高等数学极限的证明

高等数学极限的证明（通用10篇）

高等数学极限的证明 篇1

教学目标

1．对数学归纳法的认识不断深化．

2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法． 3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系． 教学重点和难点

用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明． 教学过程设计

（一）复习引入

师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？

生：与连续自然数n有关的命题． 师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？ 生：共有两个步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时结论正确；

（2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确． 师：这两个步骤的作用是什么？

生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程． 师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？

生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．

师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题． 今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1．

（二）归纳、猜想、证明 1．问题的提出

师：我们一起来看两位同学的解题过程．学生甲的计算结果正确，但没有猜出来．学生乙没有求出f（2），f（3），f（4）的值，但猜出了计算公式，并用数学归纳法给予了证明．题目要求求值，还是应写出结果的，说说你这么写的理由吧．

生乙：其实一开始，我跟学生甲一样，先算出了f（2），f（3），f（4）的值，但从-lg 2，0，2lg 2，5lg 2我除发现了应是多少倍的lg2就再无收获了，这“多少倍的”从-1，0，2，5实在无法断定，于是我就往回找，从计算的过程中，我发现了规律，一高兴就忘了写结果了．

师：你是怎么从计算的过程中发现规律的？ 生乙：我是看f（2），f（3），f（4）每一个的计算过程都是在前一个结果的基础上加上（n-1）lg 2，也就是从n=2，3，4，„分别代入递推关系式f（n）=f（n-1）+（n-1）lg 2的求值计算过程中得到的．这里算每一个时要用前一个的结果，写时也用它的计算过程来表示，这样就容易发现规律了．

师：实际上，他是通过算式的结构特征作出归纳、推测的，这种归纳我们不妨称之为：“猜结构”，而例1那种归纳我们就叫它做“猜结果”吧．

其实，我们在猜想时，往往是先看结果，从结果得不出猜想时，再看过程，从解题过程中的式子结构去思考．但不管怎么猜想，都离不开对题目特征的认识．

学生乙在用数学归纳法证明猜想时，注意了两个步骤及归纳假设的使用，证明正确．这个问题解决得非常好．

归纳、猜想、证明是一种科学的思维方法，重要的解题途径，它是我们认识数学的一把钥匙．

（三）练习

（四）小结

（引导学生一起归纳小结）

1．归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性．它引导我们在数学的领域中积极探索，大胆猜想，可以充分地发挥我们的数学想象力．同时又要求我们注意对所得的一般结论作严格的数学证明． 2．归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．在归纳、猜想、证明的过程中，猜想是关键．我们可以“猜结果”，也可以“猜过程”，只要抓住问题的本质特征、知识的内在联系，就不难得到猜想．在用数学归纳法证明时，有时还可以弥补猜想中的不足．

（五）布置作业

1．高级中学课本《代数》下册（必修）P129第35题．

课堂教学设计说明

利用“归纳、猜想、证明”这一思维方法解题，在课本中虽无这类例题，但复习参考题的最后一道却属此类．它对于学生认识数学、提高数学修养、发展数学能力的作用重大．

在归纳、猜想、证明中，准确猜想是关键．因此我们把重点放在了如何猜想．它不仅能帮助学生使问题得以顺利解决，而且对于开发学生的想象力、培养学生的创新意识、培养新世纪人材都很有意义．

在例题、习题、作业题的配备上，我们认为高中的学习特点是梯度陡、跨度大、思维能力要求高（较初中而言）．因此在题目的设置上，我们加大了思维的含量．让学生在处理每一个问题，操作每一步时都必须有所思考，使学生深切体会到：数学不能死记硬背，也不能生搬硬套．要用数学的思想方法观点学习数学、看待数学．

本节安排的这道练习题．从题目本身看，学生得不到一个解题程序，似乎无从下手．但如果他已掌握了归纳、猜想、证明的思想而不只是方法的话，他就会有解题意识与思路．更可从中领略到发现、观察、归纳、猜想、证明这一数学研究的全过程，体会有限与无限、特殊与一般等辩证关系．

高等数学极限的证明 篇2

关键词：数列极限,高等数学,微积分

极限思想是微积分的基本思想, 在微积分学中, 导数是处理均匀量的除法在处理相应非均匀量中的发展, 实现这种发展的基础是极限;定积分是处理均匀量的乘法在处理相应非均匀量中的发展, 实现这种发展的基础也是极限。在日常生活、经济建设以及科学研究中, 极限有着非常广泛的应用。早在公元3世纪, 我国古代数学家刘徽利用蕴含极限思想的割圆术推出了圆面积的计算公式。数列极限作为极限的基础, 本文从知识应用的角度对其作一概述。

一、数列极限的定义

定义:如果数列{xn}与常数a有下列关系:对于任意给定的正数ε (无论它怎么小) , 总存在正整数N, 使得对于n>N时的一切xn, 不等式|xn-a|<ε都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收敛于a, 记为。

二、数列极限的应用

(一) 数列极限在经济中的应用。

1.银行复利问题。例1设银行某种定期储蓄的年利率是r, 本金是N0元, 如果以年为单位计算复利 (即每年计息一次, 并把利息加入下年的本金, 重复计息) , 那么t年后, 本利和应为Nt=N0 (1+r) t元。若以月为单位计算复利, 那么t年后, 本利和应为多少?

(二) 数列极限在工程中的应用。瓦斯爆炸是酿成煤矿事故的主要原因。瓦斯是一种无色无味的气体, 平时靠瓦斯检测仪检测。矿井中含有瓦斯的空气被吸入盛有瓦斯吸收剂的圆柱形过滤检测仪后, 出来的空气浓度会降低, 且这种检测仪吸收的瓦斯量与矿井中瓦斯的浓度及吸收层厚度成正比。

例3对于一个具有特定厚度的检测仪, 若进口处的瓦斯浓度较高, 则其出口出的浓度也会相对较高。假设现有瓦斯含量为8%的空气, 通过厚度为10厘米的吸收层后, 其瓦斯的含量为2%。问: (1) 若吸收层厚度为30厘米, 出口处空气中的瓦斯含量是多少? (2) 若要使出口处空气中瓦斯含量为1%, 其吸收层厚度应为多少?

解:设吸收层厚度为m厘米, 将吸收层分成n小段, 每小段的厚度为m/n厘米。

(1) 根据已知条件m=30, 则出口出处瓦斯的含量为:

(三) 数列极限在数学建模中的应用。例4设有一对幼鼠, 从第二个月成年并具有繁殖能力, 第三个月生下幼鼠一对, 以后每月生下幼鼠一对。而所生的幼鼠亦在第二个月成年, 第三个月生产另一对幼鼠。假定每生产一对幼鼠例必为一雄一雌, 且均无死亡, 试问一年后共有成年与未成年老鼠多少对?二年以后又有多少对?……, t年以后呢?

解:上述老鼠生产繁殖的过程, 即构成金字塔结构:一月份共有老鼠一对;二月份仍有老鼠一对, 从三月份开始, 每月的老鼠总数恰好等于前两个月的老鼠总数之和, 即数列:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …, 可见一年后共有233对老鼠。

用数学归纳法和极限理论可以证明, 当项数很大时, 其通项为:

t年以后, n=12t, 成年与未成年的老鼠总和为:

当t=2时, a24≈0.447× (1.61825-0.61825) ≈74950

三、结语

高等数学极限的证明 篇3

摘 要： 本文给出了一道高等数学竞赛题的多种证明方法，并对其做了进一步推广.

关键词： 罗尔定理 根的存在性定理 费尔马引理 导函数介值定理

一、预备知识

2016年江苏省普通高等学校第十三届高等数学竞赛专科组试题中有一道证明题，题目如下：

命题1设函数f（x）在区间[0，1]上二阶可导，f（0）=0，f（1）=0，且f（x）>0，f（x）<0，求证：存在ξ∈（0，1），使得f′′（ξ）=0.

我们将给出命题1的三种证明方法.在这些证明方法中，除了罗尔定理和根的存在性定理之外，还用到了下列定理：

引理1（Fermat）设f（x）在[a，b]上有定义，并且在点c∈（a，b）取得最值，f（x）在点c可导，则f′（c）=0.

引理2（导函数介质定理）若f（x）在区间[a，b]上可导，则对于f′（a）与f′（b）之间的任一数值μ，必有一点c∈（a，b），使得f′（c）=μ.

二、不同证明方法及分析

在这一部分我们给出了命题1的三种不同证明方法.第一种证明方法运用了最值定理、根的存在性定理和罗尔定理，证明方法清晰，思路比较自然.

证法一：因为f（x）在区间[0，1]上可导，所以f（x）在区间[0，1]上连续，由最值定理，设f（a）=f（x）>0，f（b）=f（x）<0，不妨设0

因为f（x）在区间[0，1]上可导，在区间[0.c]与[c，1]上应用罗尔定理可得，存在ξ∈（0，c），ξ∈（c，1），使得f′（ξ）=0， f′（ξ）=0.

因为f′（x）在区间[ξ，ξ]上可导，在区间[ξ，ξ]上应用罗尔定理可得，存在ξ∈（ξ，ξ）？奂（0，1），使得f″（ξ）=0.

证法二运用了Fermat引理，证明方法简洁.

证法二：设f（a）=f（x）>0，f（b）=f（x）<0，不妨设0

因为f（x）在区间[0，1]上可导，Fermat引理，可知f′（a）=f′（b）=0.因为f′（x）在区间[a，b]上可导，在区间[a，b]上应用罗尔定理可得，存在ξ∈（a，b）？奂（0，1），使得f″（ξ）=0.

方法一与方法二运用的知识都是高职高专高等数学知识体系范围内的.证法三需要用到导函数介质定理.此定理不在高职高专高等数学知识范围内，证明如下：

证法三：由最值定理，设f（a）=f（x）>0，f（b）=f（x）<0，不妨设0

由拉格朗日定理可知，存在一点ξ∈（0，a）使得f′（ξ）=>0.同理，存在一点ξ∈（a，c）使得f′（ξ）<0；存在一点ξ∈（c，b）使得f′（ξ）<0；存在一点ξ∈（b，1）使得f′（ξ）>0.

再次利用拉格朗日中值定理可知，存在一点ξ∈（ξ，ξ）使得f″（ξ）<0；存在一点ξ∈（ξ，ξ）使得f″（ξ）>0；最后，由导函数介质定理可知，存在ξ∈（ξ，ξ）？奂（0，1），使得f″（ξ）=0.

三、一些推广

在这一部分，我们对命题1做了一些简单的推广.

命题2：设函数f（x）在区间（a，b）上二阶可导，f（x）=f（x）=C，且f（x）>0，f（x）<0求证：存在ξ∈（0，1），使得f″（ξ）=0.

证明：令f（a）=f（b）=C，令g（x）=f（x）-C，则g（x）满足命题1中的条件，且gs″（x）=f″（x）.

命题3：设函数f（x）在区间（a，b）上二阶可导，f（x）=A，f（x）=B，且f（x）>A，f（x）

证明：令f（a）=A，f（b）=B.不妨设0

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）第三版[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]叶建兵.一道高等数学竞赛题的多种方法及推广[J].高师理科学刊，35（2）：18-21.

[3]杨天明，等.高等数学[M].南京：南京大学出版社，2011.

高等数学说课稿《数列极限》 篇4

袁勋

这次我说课的内容是由盛祥耀主编的《高等数学》（上册）第一章第二节极限概念中的数列极限。这部分内容在课本第18页至20页。

下面我把对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作一个说明。

一、关于教学目的的确定：

众所周知，对极限这个概念的理解是高等数学的学习基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。

1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；

2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。体验‚从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊‛的认识过程；

3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。

二、关于教学过程的设计：

为了达到以上教学目的，根据两节。在具体教学中，根据‚循序渐进原则‛，我把这次课分为三个阶段：‚概念探索阶段‛ ；‚概念建立阶段‛ ；‚概念巩固阶段‛。下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。

（一）‚概念探索阶段‛ 1.这一阶段要解决的主要问题

在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：

①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；

②使学生形成对数列极限的初步认识； ③使学生了解学习数列极限概念的必要性。2．本阶段教学安排

我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。① 温故知新

由于研究数列极限首先应对数列知识有一个清晰的了解，因此在具体教学中通过对教案中5个具体数列通项公式的思考让学生对数列通项公式这个概念产生回忆，指出以前研究数列都是研究的有限项的问题，现在开始研究无限项的问题。然后引导学生回忆数列是自变量为自然数的函数，通项公式就是以n为自变量的、定义域为自然数集的函数an的解析式。再引导学生回忆研究函数，实际上研究的就是自变量变化过程

1中，函数值变化的情况和变化的趋势，并以第[2]的数列an为例说

2明：当n=2、3、4、5 时，对应的an1、1、1、1 就说明自变量由

242168增加到5时，对应的函数值就由1减小到1这种变化情况。若问自然数n

216n1一直增加下去，函数an应怎样变化下去，这就是研究变化的趋势。

这样利用通项公式就可把数列变化趋势问题与函数值变化趋势问题有机地结合起来，引导学生从函数值变化趋势的角度来看待例题中五个数列的变换趋势。通过这种讨论，在对变化趋势这个概念的理解上发挥心理学上所提‚无意注意‛的作用，使学生对进一步讨论的数列变换趋势问题不至于太陌生。

② 推陈出新

在对5个数列变化趋势的分析过程中，通过引导，由学生讨论得到数列（2）、（3）、（5）的共同特征，近而向学生说明：‚具有类似于数列（2）、（3）、（5）共性的数列称为有极限的数列，共性中的‚趋近于一个确定的常数‛称它为有极限数列的极限‛。并进一步和学生讨论如何给数列的极限下定义，此时我根据学生情况给予提示，给出数列极限概念的描述性说明：当项数无限增加时，数列的项无限趋近于某一个确定的常数的数列称为有极限的数列，这个确定的常数称为数列极限。

③ 刘徽及其《割圆术》的介绍

学生对数列极限概念有了一定的认识，为了使学生认识到这个概念并不是突然产生的，是和他们已有的知识结构密切相关的，为此在第一阶段我设计了这一部分教学。

我一方面介绍了我国古代数学家对数列极限思想所做的贡献，如‚在世界数学史上，刘徽是最早运用这种数列极限的思想解决数学问题的大 数学家。用这种指导思想计算圆面积的方法，就称为刘徽割圆术.用类似刘徽割圆术的方法求出圆周率的近似值，虽然在公元前3世纪的古希腊数学家阿基米德也算出过，但所用的方法却比刘徽所用的方法繁杂的多。‛

在另一方面重点结合计算机模拟刘徽割圆术，介绍这种算法的指导思想：‚割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣‛。通过课件动态演示，进一步在‚无意注意‛作用的发挥上下文章，加深学生对‚变化趋势‛、‚趋近于‛、‚极限‛等概念的认识，为下一阶段极限概念的教学提供对这个概念感性认识的基础。

（二）‚概念建立阶段‛ 1． 这一阶段要解决的任务

由于数列极限概念及其定义的数学语言表述具有高度的概括性、抽象性，学生初次接触很困难。具体讲，在-N语言中，学生搞不清的两重性——绝对的任意性、相对的确定性；学生搞不清‚N‛，不太理解N的实质是表示项数n无限增大过程中的某一时刻，从这一时刻起，所有an(n>N)，都聚集在以极限值A为中心，为半径的邻域中，N是否存在是证明数列极限存在的关键。

因此在这一阶段的教学中，我采取‚启发式谈话法‛与‚启发式讲解法‛，注意不‚一次到位‛，这样在本阶段我设计解决的几个主要问题是：

①建立、理解数列极限的定义；

②认识定义中反映出的静与动的辨证关系； ③初步学习论证数列极限的方法。2． 本阶段教学安排

本阶段教学安排分三个步骤进行。① 问题的提出

在教学安排上，我根据学生形成对数列极限的初步认识，以数列

‚1,2,3,4,,n,‛

2345n1为例，提出一个学生形成极限概念时不好回答的问题：根据数列极限定义直观描述，这个数列的极限是1，即当项数n无限增大时，这个数列的项无限地趋近于1，问题是为什么不说这个数列的项无限地趋近于1.1，从而使学生发现问题在于自己已获得的数列极限概念中‚无限趋近于‛这一描述，这种描述比较含混，感到有必要对极限定义做进一步精 确描述。

② 问题的解决

具体讲，由于数轴上两点的距离及其解析表示对学生来说是很熟悉的，故我在教学中利用数轴引导学生先得出结论：‚趋近于‛是距离概念，距离的解析表示是绝对值，‚无限趋近于‛就可用距离要多小有多小来表示。即数列项与确定常数差的绝对值要多小有多小。

然后让学生通过具体计算如：‚思考已知数列中是否有到1.1的距离为0.01的项？‛使学生知道已知数列的项不能与1.1的距离要多小有多小，即1.1不是已知数列的极限，从而使学生对‚要多小有多小‛这一概念有了进一步认识，并为量化|an-1|当项数无限增加时要多小有多小打下基础。

③数列极限定义的得出

在‚检验‘1’是否满足：已知数列的项与1的差的绝对值是否要多小有多小‛的教学过程中，我采取‚给距离找项数‛的方法。

具体讲让学生考虑已知数列中有哪些项与1的差的绝对值小于0.1、0.05、0.0011、0.0001，让学生把用计算器计算的结果在黑板上列表写出并解释所得的结果，如提示学生得出结论：‚已知数列中第908项以后各项与1的差的绝对值小于0.0011。‛这种讨论的目的是使学生感受到‚N‛是项数n 无限增大的过程中的一个标志，进而说明对于给定的每一个正数，可找到N，当n>N时，|an-1|小于这个正数。进而让学生注意无论表示距离的正数取的多么小，也不能说成‚要多小有多小‛，而把具体值改为后即可解决这个问题。

这样通过讨论，在我的引导下，使学生得到结论：‚数列： 1,22,33,42,34,,53,4n, n1n, n1当项数无限增大时，它的项越来越趋近于1‛，也就是数列： 1,24,,5的极限为1，并进一步让学生总结出一般数列的极限的准确定义。

（三）‚概念巩固阶段‛

1． 本阶段的教学计划

在这一阶段的教学中我计划做两件事情：

①说明N、、|an-A |<在讨论数列极限时所起的作用;②是习题训练。

2． 本阶段的教学过程 根据上述说明，这一阶段分为两个步骤。① 定义说明

除了对极限概念予以说明外为了加深学生对数列极限概念中N、、|an-A |<的认识，我让学生讨论问题‚任意有极限的无穷数列能否使极限值为数列中的项‛及‚常数列是否有极限‛，当学生有困难时，可通过举数列

‚1,0,1,0,1,,1sinn,‛

4162n12并提示其根据定义考虑问题。这样使学生进一步体会由特殊到一般再到特殊的认识规律。

②习题训练

在学生对数列极限定义的初步掌握的基础上，为巩固学生所学，我让学生作课本例1，练习这道题目的在于总结上一阶段得到数列极限的过程，同时让学生熟悉数列极限定义的应用步骤；在此基础上结合北大附中学生的特点我安排了例2，让学生作这道题目的在于通过对这道题的证明与讨论可让学生对等比数列{1，q，q2，…qn，…}收敛、发散性有一个清楚的了解。在例2的处理手法上我让学生先各抒己见，然后采用几何画板演示，验证同学猜想，从而激发学生的求知欲望。由于{1，q，q2，…qn，…}和{1,1,1,1,}是今后学习过程中的常用数列，因此我觉得23n学生对例

1、例2的掌握的好坏将对后面的学习产生直接影响。

③ 补充说明

对于较好的班级，还可考虑用直角坐标系来代替数轴。由于数列是以自然数集子集为定义域的特殊函数，其图象是离散的点.这使得数列的项与点(n,f(n))，即点(n,an)对应起来.当数列{an}有极限A时，在直角坐标平面内的几何意义为：任给正数，存在一个以直线y=A+和y=A-为边界的条形区域，存在一个N，当n>N时，所有的点（n, an）都落在这个条形区域内。换句话说数列的项在坐标平面内对应的点，只有有限个点落在条形区域外。利用这种方式教授这节课，形象直观，并为今后函数极限的教学打下基础。

三、关于教学用具的说明：

这节课的教学目的之一是使学生通过对极限概念形成过程的了解，较为自然地接受极限的定义，以利于加深对概念的理解和掌握。因此在本节课中主要使用的是计算器和计算机课件演示。计算器的作用在于使学生理解 ‚‛和‚N‛内在关系； 计算机课件演示目的有三：其一是通过史料的简单介绍对学生进行爱国主义教育；其二是在概念形成阶段，为学生提供感性认识的基础；其三可对学生所得的结论验证、完善，加深对问题的理解，巩固所学的概念。总之‚恰当使用现代化教学手段，充分发挥其快捷、生动、形象的辅助作用，最大限度地使学生获得并掌握所学的知识，‛是我选择和使用教学用具的根据。

四、结束语：

高等数学极限的证明 篇5

2018考研高等数学基本定理：函数与极

限部分

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数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

单调有界数列必有极限。

6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。

不连续情形：

1、在点x=x0没有定义;

2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;

3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。

高等数学极限的证明 篇6

习题1.5 1.试用说法证明(1)1x在x0连续(2)sin5x在任意一点xa连续.证(1)0,要使|x,|x|221x210|2x22.由于22x22x,只需221x11x110|,故1x在x0连续.5(xa)2|.,取,则当|x|时有|1x5x5a2||sin(2)(1)0,要使|sin5xsin5a|2|cos由于2|cos取5x5a2||sin5(xa)2|5|xa|,只需5|xa|,|xa|5,5,则当|xa|时有|sin5xsin5a|,故sin5x在任意一点xa连续.2.设yf(x)在x0处连续且f(x0)0,证明存在0使得当|xx0|时f(x)0.证由于f(x)在x0处连续,对于f(x0)/2,存在存在0使得当|xx0|时f(x)f(x0)|f(x0)/2, 于是f(x)f(x0)f(x0)/2f(x0)/20.3.设f(x)在(a,b)上连续,证明|f(x)|在(a,b)上也连续,并且问其逆命题是否成立?证任取 x0(a,b),f在x0连续.任给0,存在0使得当|xx0|时|f(x)f(x0)|,此时||f(x)||f(x0)|||f(x)f(x0)|,故|f|在x0连续.其逆命题1,x是有理数不真,例如f(x)处处不连续,但是|f(x)|1处处连续.1,x是无理数4.适当地选取a,使下列函数处处连续: 2ln(1x), x1,1x,x0,(1)f(x)(2)f(x)aarccosx,x1.ax x0;解(1)limf(x)limx0x0x1x11x21f(0),limf(x)f(0)a1.x0x1x1(2)limf(x)limln(1x)ln2f(1),limf(x)limaarccosxaf(1)ln2,aln2.5.利用初等函数的连续性及定理3求下列极限:(1)limcosx1xx22xcoslimx1xxxcos01.(2)limxx2x.sin2xsin3x2sin2x(3)limex0sin3xelimx0e3.arctanlimx(4)limarctanxx8x124x8x124arctan14.1(5)limx(x13|x|x122x2)|x|2x2xx02lim(xx122x2)|x|limxxx03lim22x11/x12/xg(x)32.6.设limf(x)a0,limg(x)b,证明lim)f(x)xx0lim[(lnf(x))g(x)]a.a.bb证lim)f(x)xx0g(x)lim)exx0(lnf(x))g(x)exx0eblna7.指出下列函数的间断点及其类型,若是可去间断点,请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:(1)f(x)cos(x[x]),间断点nZ,第一类间断点.(2)f(x)sgn(sinx),间断点n,nZ,第一类间断点.x,x1,(3)f(x)间断点x1,第一类间断点.1/2,x1.x1,0x1(4)f(x)间断点x1,第二类间断点.,1x2,sinx11,0x1,2x(5)f(x)x,1x2,间断点x2,第一类间断点.1,2x3.1x22

8.设yf(x)在R上是连续函数,而yg(x)在R上有定义,但在一点x0处间断.问函数h(x)f(x)g(x)及(x)f(x)g(x)在x0点是否一定间断?解h(x)f(x)g(x)在x0点一定间断.因为如果它在x0点连续,g(x)(f(x)g(x))f(x)将在x0点连续,矛盾.而(x)f(x)g(x)在x0点未必间断.例如f(x)0,g(x)D(x).

浅论极限在高等数学中的作用 篇7

一、极限的产生和发展是高等数学产生的基础

在西方, 极限观点的萌芽起源于对量的可分性的质疑.早在古希腊时代, 一些智者就提出质疑:它是无限可分的, 还是由无穷多个极微小的不可分的部分组成的?对于两种设想, 不同学派有不同的看法, 但无论哪种看法, 都包含了最朴素的极限思想:无穷逼近.如, 古希腊的数学家欧多克索斯所提出的穷竭法, 他认为量是无限可分的, 并建立了下列原理:

“如果从任一量中减去不小于它的一半的部分, 从余量中再减去不小于它的一半的另一部分, 如此继续下去, 则最后留下一个小于任何给定的同类量的量.”

极限观点在我国古代也有记载, 战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”, 也就是说一根长为一尺的木棒, 每天截去一半, 这样的过程可以无限地进行下去.此外, 《墨经》中“端, 体之无厚而最前者”“端, 无问也”“非半弗斯则不动, 说在端”等都包含了对物体经“化整为零”后的微分思想.随后, 三国时的数学家刘徽在计算圆周率的过程中创立并使用了极限方法.他用正n边形内接于圆, 随着边数不断增加, 正n边形的面积越来越接近圆面积, 其面积之差也越来越小, 当差为无穷小量时, 与圆面积无限逼近.这种当n无限增大, 用差值趋于零的无限逼近思想, 正是现代微积分中的极限思想的本质.

17世纪上半叶, 解析几何的产生标志着变量数学的开端, 结束了希腊时期形成的数学几何化的一统天下;反过来, 用方程表示曲线, 在一定程度上又使数学代数化.同时, 代数符号体系的形成和发展, 都为微积分的建立奠定了基础.伴随着微积分的建立过程, 对无穷小量的探讨也越来越引起人们的注意.17世纪下半叶, 英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别总结了前人的工作, 创立了一个新的学科——高等数学.这个学科的特点是, 需要运用无限过程运算, 即极限运算.高等数学的核心内容是微分学和积分学, 而微分和积分的概念是通过极限来定义的.

18世纪的许多科学家, 如达兰贝尔、欧拉、拉格朗日等都提出了自己的看法, 都不同程度用极限概念作为微积分基础, 但并不成功, 占优势的还是“无穷小方法”, 至于“无穷小”到底是什么, 没有公认的精确定义.在19世纪20年代以后, 柯西在1821—1823年间出版了《分析教程》《无穷小计算讲义》两本书, 在这两本书中, 柯西给出了极限的精确定义, 终于解决了“无穷小”问题, 确立了极限论作为微积分的基础.

由上可见, 在极限的整个发展过程中, 我们确定了微积分在高等数学中的基础地位, 也肯定了极限论在微积分中的重要地位.因此, 极限的产生和发展是与高等数学紧密联系在一起的.

二、极限在高等数学各组成部分的研究中起到了工具作用

高等数学研究的对象是函数, 使用的工具是极限.极限方法是用来研究变量问题的基本方法, 是人们从有限认识无限的一种数学思想.极限概念体现了变量和常量的对立统一, 本质上是客观世界量变转化为质变过程的一种反映.极限是高等数学的理论基础, 用极限可以把连续、导数、积分、级数收敛等高等数学理论中的各组成部分进行统一处理.

本文仅以定积分的定义来阐述极限的工具作用:

函数极限的定义证明 篇8

1.根据函数极限的定义证明:

(1)lim(3x1)8;x3

(2)lim(5x2)12;x2

x244;(3)limx2x2

14x3

(4)lim2.x2x12

1证明(1)分析 |(3x1)8||3x9|3|x3|, 要使|(3x1)8| , 只须|x3|.3

1证明 因为 0, , 当0|x3|时, 有|(3x1)8| , 所以lim(3x1)8.x33

1(2)分析 |(5x2)12||5x10|5|x2|, 要使|(5x2)12| , 只须|x2|.5

1证明 因为 0, , 当0|x2|时, 有|(5x2)12| , 所以lim(5x2)12.x25

(3)分析

|x(2)|.x24x24x4x24(4)|x2||x(2)|, 要使(4), 只须x2x2x2

x24x24(4), 所以lim4.证明 因为 0, , 当0|x(2)|时, 有x2x2x2

(4)分析 14x31114x312, 只须|x()|.2|12x2|2|x()|, 要使2x12x1222

14x31114x3

2, 所以lim证明 因为 0, , 当0|x()|时, 有2.12x12x122x2.根据函数极限的定义证明:

(1)lim1x3

2x3

sinxx1;2(2)limxx0.证明(1)分析

|x|1

1x32x311x3x322x312|x|3, 要使1x32x311, 只须, 即322|x|2.证明 因为 0, X(2)分析

sinxx0

12, 当|x|X时, 有1x

1x32x311x31, 所以lim.x2x322

1x

, 即x

sinxx

|sinx|x

, 要使

sinx

证明 因为0, X

2, 当xX时, 有

xsinxx

0, 只须



.0, 所以lim

x

0.3.当x2时,yx24.问等于多少, 使当|x2|<时, |y4|<0.001？

解 由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x3.要使|x24||x2||x2|5|x2|0.001, 只要

|x2|

0.001

0.0002, 取0.0002, 则当0|x2|时, 就有|x24|0.001.5

x21x

34.当x时, y

x21x23

1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y1|<0.01?

解 要使1

4x23

0.01, 只|x|

3397, X.0.01

5.证明函数f(x)|x| 当x0时极限为零.x|x|

6.求f(x), (x)当x0时的左﹑右极限, 并说明它们在x0时的极限是否存在.xx

证明 因为

x

limf(x)limlim11,x0x0xx0x

limf(x)limlim11,x0x0xx0limf(x)limf(x),

x0

x0

所以极限limf(x)存在.x0

因为

lim(x)lim

x0

x0

|x|x

lim1,x0xx|x|xlim1,xx0x

lim(x)lim

x0

x0

lim(x)lim(x),

x0

x0

所以极限lim(x)不存在.x0

7.证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则limf(x)A.x

证明 因为limf(x)A, limf(x)A, 所以>0,x

x

X10, 使当xX1时, 有|f(x)A|;X20, 使当xX2时, 有|f(x)A|.取Xmax{X1, X2}, 则当|x|X时, 有|f(x)A| , 即limf(x)A.x

8.根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性.设f(x)A(xx0), 则>0, 0, 使当0<|xx0|< 时, 有

|f(x)A|<.因此当x0

|f(x)A|<.这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A.再证明充分性.设f(x00)f(x00)A, 则>0,1>0, 使当x010, 使当x0

| f(x)A|< ,即f(x)A(xx0).9.试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M

证明 设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

二元函数极限证明 篇9

此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。

我们必须注意有以下几种情形：’

(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在(2)两个二次极限存在而不相等

(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→X0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→X0)

根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε

而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域U(x0;δ)

又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-

1再取M=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域U(x0;δ)时,有|f(x)|

证毕

3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

1，y以y=x^2-x的路径趋于0Limitedsin(x+y)/x^2=Limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。

2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。

4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)

显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在而当x->0,y->0时

由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)

而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^

2所以|f|<=|x|+|y|

所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0

这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了

就我这个我就线了好久了

5(一)时函数的极限：

以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4

高等数学极限的证明 篇10

关键词：信息化教学,高等数学,三元一体化,极限

一、高职数学“三元一体化”教育教学模式的背景

信息化教学是以现代教学理念为指导，以信息技术为支持，将信息技术与教学过程深度融合的现代化教学方法。结合信息化技术手段进行教学改革既是对传统教学的继承，也是对技术环境下教学新模式的探索。在信息化环境下，高职数学教学内容的载体已经不仅仅局限于传统的纸质媒介，网络课程、电子课件、在线题库已经被越来越多地应用于数学教学过程中。信息化教学不仅提高了知识的存储和传递的速度，更提高了使用效率。

数学教师信息化意识淡薄，对信息化教学的理解和认识还停留在比较低的层次，一些教师甚至认为信息化教学就是“PPT”。教育信息化对教师来讲不仅仅是教学资源的便利，更多的是教学能力和自身素质的挑战。如何合理运用信息化手段，拓展师生之间信息交流的渠道，突破高等数学的教学难点，实现教学目标，提高教学质量，是高职院校数学教师面临的一个重要课题。

高职数学“三元一体化”教育教学模式就是充分利用信息化技术，在教师导、学生学、教学资源活用三方面深入挖掘教育教学潜能，激发学生兴趣并提供相应学习资源，以期实现教学目标。文章以高职院校“高等数学”课程中“极限”这一章节为例，探讨“三元一体化”教育教学模式的构建，并给出其教学设计和实施过程。

二、高职数学“三元一体化”教育教学模式的设计

（一）教学目标

知识目标是为专业课的学习提供必要的数学基础知识，保证专业课教学得以顺利进行；能力目标是提高学生的运算能力，为解决专业实际问题提供可靠的论证方法和计算工具；素质目标是提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。

（二）教学内容

根据教学目标制定教学内容，通过《庄子·天下篇》“一尺之棰，日取其半，万世不竭”引入极限的概念，学会计算极限以及会使用极限知识解决实际生活中的一些简单问题。

（三）设计思路

采用教师导、学生学、教学资源活用的“三元一体化”信息化教学设计理念，结合任务驱动法、直观演示法、案例教学法、小组讨论法等一系列教学方法，适当的辅以数学实验，引导学生主动参与学习和探究，充分利用各种资源获取知识，发挥学生的主动性和创新性，克服学习高等数学的恐惧心理，让学生成为课堂的主体，教师从课堂的主导者变成引导者。

三、高职数学“三元一体化”教学过程的实施

课前先通过QQ群或者是微信群向学生发布预习提纲，学生可充分利用图书馆或网络资源完成预习提纲上提出的目标任务，对下节课的上课内容有一个感性的认识；课堂上利用动画演示或者带领学生进行数学实验来帮助学生理解和掌握理论知识，在此基础上，也可适当的插入与上课内容相关的数学小模型，让学生分小组对如何解决这些实际问题进行讨论，以达到利用理论知识解决实际问题的目的；课后，学生也可以随时随地通过微课对课上内容进行巩固复习。整个教学实施过程如图1所示。

接下来，对教学实施过程中的每一个步骤进行深入探讨。

（一）课前任务

课前，可先通过QQ群或者微信群向学生下达预习任务，让学生通过图书馆或者互联网查找相关资料，对下一节课的内容预先有一个大概的了解，不至于在上课的时候对所学内容一无所知。如在“极限的定义”这一章节可以设置预习提纲，“了解庄子‘一尺之棰，日取其半，万世不竭’和刘徽的‘割圆术’这两个概念”。在这之前，学生对这两个概念未必十分了解，出于好奇心，首先就想要知道这两个概念到底是什么意思。要想知道它们的意思，就需要查找资料来翻译这两句文言文。通过一番努力理解了这两个概念，就可以发现这两者存在一个共同之处，就是讲述的都是无限接近的概念，而无限接近这个概念正是理解极限定义的关键所在。课前的预习任务既可以让学生对所学知识印象深刻，有助于理论知识的理解，同时也大大增强了学生参与课堂的意识。

（二）直观演示

信息化教学的目的在于解决传统教学无法解决的问题，高职院校的学生普遍存在数学基础差、逻辑思维能力弱的特点，他们在高等数学的学习过程中对一些抽象概念的理解模糊不清，合理运用信息化手段，可以将复杂的理论用最直观的方式展现出来，能让学生“看得到也看得懂”，对学生理解理论知识有很大的帮助。比如在数列极限中，若存在一个数列，其中，求当时，数列的极限是多少。直接讲解计算，学生可能对结果理解得不是特别清楚，如果将数列各项在平面直角坐标系上用点表示出来，配以动画的形式来表示出整个数列的发展趋势（如图2所示），既吸引住了学生的眼球又很直观地解释了整个题目的意思；既方便了学生的理解，又改变了传统数学课枯燥乏味的讲授方式，使得整堂课变得丰富多彩。

（三）数学实验

教师在讲授的过程中可以适当穿插一些数学实验，围绕高等数学的基本内容，充分利用计算机和MATLAB软件强大的的数值计算、绘图功能展示基本概念与结论。例如在两个重要极限部分，针对第一类重要极限，使用仿真软件可以非常方便而且直观地看出所求函数的发展方向（如图3所示）。在教学过程中插入一些数学实验，可以培养学生学习数学的兴趣，学生在这个过程中既动脑又动手，从以前的被动接受，变成现在的主动参与，这个过程极大地调动起了大家学习的积极性，一改往日数学课堂单纯“老师讲，学生学”的沉闷学习气氛。

（四）合作探究

在整个章节的基础知识全部结束之后，可以尝试在课堂上穿插一些与本章内容相关、能用所学知识解决的与实际生活相贴近的数学模型小插件，让学生自由组合成若干个小组，以小组为单位对这些问题进行互相探讨，最终解决问题。比如在极限章节中，提前准备好与极限知识相关的数学小模型，如“细菌繁殖问题”“药物残留问题”等，在课堂上使用flash动画“砸金蛋”的方式让各小组随机抽取题目，每一组派一位代表来“砸金蛋”，金蛋里的题目就是该组成员需要解决的问题，各小组在课后探讨的结题思路和解决方案必须做成PPT课件的形式，在下一节课堂上向全班同学讲解演示，最后根据效果给该小组成员打分，并且这个分数将成为期末成绩综合评定的一部分。这个过程既能加深学生对知识的理解，又培养了学生将理论知识应用到实际生活的能力，同时还锻炼了学生的语言表达能力，更检验了他们小组合作的效果。

（五）课后自学

“微课”是帮助学生课后自主学习最佳的教学资源。将高等数学课程中每一章节的定义介绍、重难点分析、典型例题详解分别制作成微课，学生在课堂上哪部分知识没能完全消化和理解，课后只需点开相对应的微课就能即时学习。这种随时可取的教学资源，为学生掌握所学知识提供了便捷有效的学习方法，在潜移默化中帮助学生更高效地消化吸收，同时也提高了学生自主学习的能力。

在高职院校的数学教学过程中，教师要做的不是单纯的教，而是有方向性的导，用教师积累的经验和先进的教学方法引导学生如何去学习，培养学生的主动性和主体性；学生则在教师的引导下，主动探究学习的内容，积极参与进来，发现学习的趣味性和内容的实用性；而贯穿于教师的导和学生的学中最重要的就是教学资源，将资源整合、优化活用是提升教学效果的重要途径。

充分发挥信息化教学的优势，提高数学课程的育人水平，争取最佳的教学效果，是高校教师共同努力的方向。将“三元一体化”教学模式应用到实践教学中，使信息技术与学科教学能够有效结合，不失为高职院校数学课程教学改革的一条新思路和新途径。

参考文献

[1]朱鹏华.高职数学信息化教学改革探索与实践[J].职业技术教育,2014,35(32):41-43.

[2]张莉,苗耀华.信息化环境下的高职数学教学设计[J].教育与职业,2014(30):119-120.