初二数学教学设计等腰三角形（共15篇）
初二数学教学设计等腰三角形5313
12、黑发不知勤学早，白发方悔读书迟——颜真卿
初二数学教学设计
等 腰 三 角 形 南康市大坪中学
王建清
课型：
新授课 日期：
4.12 教材分析：
1、本节内容是七年级下第九章《轴对称》中的重点部分，是等腰三角形的第一节课，由于小学已经有等腰三角形的基本概念，故此节课应该是在加深对等腰三角形从轴对称角度的直观认识的基础上，着重探究等腰三角形的两个定理及其应用，如何从对称角度理解等腰三角形是新教材和旧教材完全不同的出发点，应该重新认识，把好入门的第一课
2、等腰三角形是在第八章《多边形》中的三角形知识基础上的继续深入，如何利用学习三角形的过程中已经形成的思路和观点，也是对理解“等腰”这个条件造成的特殊结果的重要之处
3、等腰三角形是基本的几何图形之一，在今后的几何学习中有着重
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要的地位，是构成复杂图形的基本单位，等腰三角形的定理为今后有关几何问题的解决提供了有力的工具
4、对称是几何图形观察和思维的重要思想，也是解决生活中实际问题的常用出发点之一，学好本节知识对加深对称思想的理解有重要意义
5、例题中的几何运算，是数形结合的思想的初步体验，如何在几何中结合代数的等量思想是教学中应重点研究的问题
6、新教材的合情推理是一个创新，如何把握合情推理的书写及重点问题，本课中的例题也进一步做了示范，可以认真研究
7、本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义
8、本课内容安排上难度和强度不高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养学生的合作精神和团队竞争的意识
学情分析：
1、授课班级为平行班，学生基础较差，教学中应给予充分思考的时
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间，谨防填塞式教学
2、该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，兼顾效率和平衡
3、本班为自己任课的班级，平时对学生比较了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性
教学目标：
知识目标： 等腰三角形的相关概念，两个定理的理解及应用
技能目标： 理解对称思想的使用，学会运用对称思想观察思考，运用等腰三角形的思想整体观察对象，总结一些有益的结论
情感目标： 体会数学的对称美，体验团队精神，培养合作精神
教学中的重点、难点：
重点：
1、等腰三角形对称的概念
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2、“等边对等角”的理解和使用
3、“三线合一”的理解和使用
难点：
1、等腰三角形三线合一的具体应用
2、等腰三角形图形组合的观察，总结和分析
主要教学手段及相关准备：
教学手段：
1、使用导学法、讨论法
2、运用合作学习的方式，分组学习和讨论
3、运用多媒体辅助教学
4、调动学生动手操作，帮助理解
准备工作：
1、多媒体课件片断，辅助难点突破
2、学生课前分小组预习，上课时按小组落座
3、学生自带剪刀，圆规，直尺等工具
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4、每人得到一张印有“长度为a的线段”的纸片
教学设计策略：依据教学目标和学生的特点，依据教学时间和效率的要求，在此课教学方法和教学模式的设计中我主要体现了以下的设计思想和策略：
1、回归学生主体，一切围绕着学生的学习活动和当堂的反馈程度安排教学过程
2、原则性和灵活性相结合，既要完成教学计划，在教学过程中又可以根据现实的情况，安排问题的难度，体现一些灵活性
3、教学的形式上注重个体化，充分给予学生讨论和发表意见的机会，注重学习的参与性，努力避免以教师活动为主体的教学过程
教学步骤及说明 学生活动 教师活动 教学目标 教学说明
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预习相关概念及定理
观察并回答
学生同步回答
学生运用直尺或圆规和剪刀进行绘图和剪切
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学生观察并思考，然后讨论，然后积极回答
学生以小组形式进行操作和讨论
然后努力向结果慢慢前进
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学生对自己剪得的等腰三角形作操作，体会对称的思想
在讨论的基础上，回答更高层次的问题
学生观察，并且以小组竞赛的方式进行大范围的搜索和体验
学生观察，体验，领会新概念
集体讨论并互相帮助记忆重要的结论
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每个小组抽查记忆
学生思考，看书理解，然后讨论每一步的理由
小组讨论，并且竞争回答
学生讨论，并且试图写出过程
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学生讨论，通过讨论，体会数学定理的使用和数学语言的组织
学生在自己剪得的等腰三角形上画上已知条件，并且观察是否相等，然后进行相应证明的思考，并积极讨论
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学生小组讨论后发言
开放性问题，自由发言
课题引入：
让学生观察两把三角尺，从三角形分类思考“两把三角尺的形状除了角度不同外还有什么区别” 在对学生思考结果的总结基础上，引入新课题
新授：
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1、等腰三角形的相关概念，腰，底边，顶角，底角
2、指导学生做一做，要求：在事先准备的纸上，画一个腰长为a的等腰三角形，并将它剪下来，与组内其他成员的作品放在一起，并观察和回答问题
3、第一个问题：观察所剪得的三角形形状是否相同，在满足条件的情况下，可以画几个不同类的等腰三角形
4、第二个问题：将这些三角形放在一起，并且使顶点重合，观察另外的一些顶点，看看有什么特点和发现
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5、问题：等腰三角形是否为轴对称图形，如何通过具体的操作体现他是轴对称，并指出对称轴
问题：等边三角形是否为轴对称图形，对称轴有几条
等腰三角形的对称轴有几条
6、通过刚才的折叠结合屏幕上图形的字母，说明轴对称图形的等量关系和位置关系
7、在总结刚才观察结论的基础上，引出两条重要的定理
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通过小组竞争的方式要求每个同学清晰记忆和理解定理2中的具体条件
8、完成例题：已知： 在△ABC中，AB＝AC，∠B＝80°．求∠C和∠A的度数．
9、完成例题：如果等腰三角形的一个外角等于140°，那么等腰三角形三个内角等于多少度？
10、完成例题：在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数
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11、完成例题：建筑工人在盖房子的时候，要看房梁是否水平，可以用一块等腰三角形放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板的底边中点，那么房梁就是水平的，为什么？
12、完成例题：等腰△ABC中，AB＝AC，D、E是BC上的两点，若BD＝CE，那么AD和AE相等吗？为什么
13、课堂小结：通过今天的学习，你体会到什么？
14、有益的思考：通过今天的学习，你有哪些方法判断剪得的三角形是等腰三角形
从直观图形上，回忆小学知识，体会等腰三角形
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理解等腰三角形相关概念
深入体会，等腰三角形的构成和画三角形的方法
1、直观体会钝角等腰三角形，锐角等腰三角形，直角等腰三角形的不同特点
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2、体会已知两边不能确定三角形，为理解全等或三角形的构成作铺垫
1、培养学生的观察，猜测，总结的能力
2、体验等腰三角形在圆中的存在
3、体会合作的乐趣
4、体会从特殊到一般的过程，为今后的轨迹思想做一些准备
1、从轴对称角度理解等腰三角形，为后面的等量关系的得出做铺垫
2、体验学习过程
3、加深对一般情况和特殊情况的理解，提高学生对两解问题的敏感度
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1、体会轴对称图形中的等量关系和由此得到的特殊位置关系 为下面定理的引出得出有用的结论
2、感受组间竞争
1、体验从特殊到一般的过程
2、体验合作和竞争的关系
3、体验原定理和逆定理的关系（不作任何表述，只做理解）
1、完成对定理1的应用 体会定理在几何计算中的运用
2、体会合作精神
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1、体会两解可能性的运用，培养思维的严密性
2、注意分类表达的合理性和清晰性
1、对三线合一的使用
2、结合学生的过程书写，体会合情推理
1、体会三线合一在生活中的使用
2、体验数学语言的精练和准确
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1、直观体验轴对称的概念，以及应用对称思想实现辅助线的寻找
2、继续体验合情推理的使用
回顾知识
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培养学生开放性思维的运用 培养学生良好的学习习惯
在小学知识和第八章三角形知识的基础上，学生比较容易得到结论
由于学生有相应的小学的知识和预习，基本概念的理解不成问题
由于三角形的形状不限，方法不限，学生绘制的结论也有所不同
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此题学生较容易总结，至于体会到什么程度特别是目标2不作具体要求，体现新教材的“不同人在数学上得到不同的发展”理念
此题教难，关键在于引导和启发，给予学生充分的时间，必要时候使用事先准备的多媒体辅助教学，从实际结果看，学生在多媒体的启发作用下，应该会有一个思维上的突破
体现新教材的操作理念，回归学习的本质，体验学习的过程
对问题的一般到特殊做一些体会
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学生由于竞争的关系，往往能够得到许多有益的结论 建议采用“开火车”的办法
在概念1中强调：在一个三角形中
在概念2中强调：三条线的具体描述
定理2可以视情况使用多媒体辅助理解 特别是对相关逆定理的理解，但不作表述
理由的叙述是数学能力培养的重要一环，认真完成每一步 同时，鼓励学生讨论，共同提高
注意两解的情况
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注意两解分类的表达
此题书写角度有很多选择，对每种书写只要合理就给予鼓励
体现：新课标的学会数学应用的理念
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在没有全等三角形的情况下，此题选择合理方法的思考就变得比较重要
注意教师的总结和理论化
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注意教师的合理总结
课后小结：由于运用了新课程教学方法和理念，知识从不同的方向得到了渗透
基本完成了课前制定的教学目标和教学要求，为进一步的深入理解打下了基础
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一、有关“说数学”的简介
在数学交流与表达中, “说”数学是一个重要的方式, 也是在实际教学中较为可行的方式. 那么什么是“说数学”呢?通过查阅文献, 我们发现, 对“说数学”这一概念的研究主要有楚雄师范学院万志琼教授、云南师范大学数学科学院的朱维宗老师和钟进均老师, 虽然他们是从不同的角度来研究“说数学”, 但其对“说数学”的理解都可总结为: “说数学”是学生通过口头表达的方式, 在“说知识”、“说过程”、“说异见”和“说体会”的过程中, 把学生隐性的思维显性化, 从而提高学生学习数学的兴趣和提高学生数学思维的能力的一种学习方式.
二、“说数学”在教学中的体现
“说数学”作为学生主动建构的一种有效的学习手段, 对数学概念、定理、公式、法则等的学习上有着重要的作用.但是由于教学进度、考试制度等的影响, “说数学”在实际教学中的体现过多地停留在空泛的表面, 或者说有些教师曲解了“说数学”的含义, 仅仅把“说数学”理解为让学生说“对”与“错”, 整堂课上教师仍是说的主体, 这与“说数学”的教学内涵是相违背的. 如何在课堂教学中实现有效的“说数学”呢? 我觉得我们应该从“谁说? 说什么? 怎么说? ”这三方面研究.
以下我们以“等腰三角形的判定”这则真实教学案例来阐释如何在课堂教学中实现有效的“说数学”.
1. 创设问题情境, 激发学生“说”的欲望
创设数学情境是有利于激发学生学习动机、调动积极情感去学习新知的一种教学策略. 数学情境种类的多种多样决定了数学情境创设途径的多种多样, 在具体的教学中, 教师依据学生已有经验及知识水平, 结合新的知识的难易程度设计不同的新课引入情境. 我们来看“等腰三角形的判定”这则教学中的情境创设:
出示例题: 如图, 在△ABC中, AB = AC, ∠A = 100°, BD平分∠ABC交AC于D. 求证: BC =BD +AD.
生: 讨论中…… ( 10秒钟)
师:有同学要发言了 ( 大家纷纷举手) , 生1你来给大家讲讲你们组的看法.
生1: ( 上讲台) 如图, 在△ABC中, AB =AC, ∠A =100°, BD平分∠ABC交AC于D. 求证: BC = BD + AD.
通过我们组的讨论, 我们得出了这样的结论: 想办法在BC上截取一段线段使它等于BD, 然后再证明剩下的线段与AD相等, 但是我们还没有想出来怎么证, 希望老师能告诉我们.
师: 好, 非常好, 刚才生1这样想的, 有没有其他的同学有其他的高见? ( 学生举手)
师: 生2一直都是善于思考的, 听一下他们组有什么想法.
生2: ( 上讲台) △ABC中, AB = AC, 所以它是一个等腰三角形, 而∠A =100°, BD是角平分线, 所以我们组认为这题可能会用到角之间的度数和等腰三角形的性质, 但是具体怎么解, 我们组也没有想出来, 希望老师告诉我们.
师:好, 刚才同学的讨论都很积极, 这几名同学说得也都有理有据, 但是有没有同学把这道题目全部解出来的?
生: 没有 ( 全体) .
师: 看起来这个状元的称号非我莫属了, 不过你们不要着急, 大奖留给你们. 因为毕竟我们所掌握的几何知识还非常有限, 所以今天我们带着这道思考题的疑问来进行新一课的学习. 希望大家能够通过新知识的学习把困难迎刃而解. 今天我们讲第三章第三节“等腰三角形的判定”. ( 板书课题名称) 3'52″
教师甲引用一道几何证明题引起学生的注意, 在宽松的课堂氛围中, 学生都大胆地说出自己的想法, 把课堂交给了学生, 由学生说疑问, 在学生的疑问中引入新课内容, 从而调动学生学习的积极性.
2. 适当引导, “说”出新知探索过程
在当下的课堂教学中, 许多“说数学”还仅仅停留于表面, 过于形式化, 学生“说数学”多在师生之间的提问上. 这种形式上的“说数学”并不能调动学生学习的主动性, 学生仍处于被动的状态, 这样不利于学生形成主动学习的内驱力. 在教学中教师应起到引导的作用, 将课堂交给学生, 让学生自主探索知识的行程过程. 如:
师: 我们看一下 ( ppt展示等腰三角形的判定定理) , 那么你对等腰三角形的判定定理的题设和结论进行一番分析之后, 请你说出它的逆命题, 哪名同学知道?
生: 一个三角形, 如果有两个角相等, 那么这个三角形就是等腰三角形.
师:好, 他说的是如果一个三角形有两个角相等, 那么这个三角形是等腰三角形, 他说的非常正确, 但是我要求你把等腰三角形边的具体的特点再具体地说一下, 你能不能在他的基础上再进一步地说?
生: 如果一个三角形有两个角相等, 那么这两个角所对应的边也相等.
师: 好, 我们把这名同学说的作为等腰三角形的逆命题 ( ppt展示: 如果一个三角形有两个角相等, 那么这两个角所对应的边也相等) , 一个命题是真是假需要做什么工作? ( 9')
生: 证明 ( 全体) .
学生动手操作证明, 老师让两名不同证法的同学进行了讲解, 一位是作角平分线, 一位是作高线, 再利用全等, 从而证明出结论. 得出上述命题是真的.
师: 所以我们把这个命题作为我们今天讲的第一个内容: 等腰三角形的判定定理, 我们看一下ppt, 展示了等腰三角形的判定定理及证明过程. ( 15'50″)
师: 那么等腰三角形的判定定理和等腰三角形的性质有什么关系?
生: 由三角形的性质定理我们可以知道等边对等角, 又由刚学习的等腰三角形的判定定理知道等角对等边, 我们可以发现这两个定理的题设和结论正好是相反的, 所以我们可以称它们为互逆命题.
师: 说得好不好?
生: 好 ( 全体) .
师: 这是我们今天讲的第一个重要的内容, 等腰三角形的判定定理, 简称为等角对等边.
下面我再问一个问题, 全等三角形作为特殊的等腰三角形, 它也具有非常重要的特性. 那我问你, 怎样判定一个三角形是全等三角形? 我提个问题你们听着: 如果一个三角形里有三个角都相等, 那你们说这个三角形是什么三角形?
生: 等边三角形.
师: 为什么是等边三角形, 有没有同学能解释一下?
生: 通过我们刚刚学过的等腰三角形的判定定理, 如果一个三角形有两个角相等, 那它们所对的边也相等, 所以可知如果一个三角形三个角都相等, 那么这三个角所对应的三条边也相等, 所以说这个三角形是等边三角形.
师: 好, 请坐, 同学所说的就是我们要讲的等腰三角形判定定理的第一个推论.
推论1: 三个角都相等的三角形是等边三角形. ( 17'34″)
第二个问题: 如果一个三角形满足它是等腰三角形, 然后再加一个条件, 加上有一个角是60°, 非常特殊的一个角, 那这个三角形是什么三角形, 谁给大家说一说?
生: 我觉得还是等边三角形.
师: 你的解释是什么呢?
生: 我觉得60°的角既可以是顶角也可以是底角.
师: 好, 同学刚发表了他的第一个观点, 60°的角既可以是顶角也可以是底角, 你们同意吗?
生: 同意 ( 全体) .
师: 因为题目中没有限制60°的角是顶角还是底角, 好, 请接着说.
生: 当60°的角为顶角时, 可以由等腰三角形的性质得出其他的两个角也是60°, 所以得出三个角都相等, 所以它是等边三角形. 当60°的角是底角时, 同理可证出这个三角形也是等边三角形.
师: 好, 请坐, 大家听明白这名同学说的了吗?
生: 听明白了 ( 全体) .
师: 好, 这就是我们今天的推论2: 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 ( ppt展示) . ( 19'02″)
那么推论1、推论2可不可以作为等边三角形的判定定理?
生: 可以.
师: 好, 请坐. 我们刚才通过一番讲解学习了三个内容. ( 20')
第一个内容: 等腰三角形的判定定理;
第二个内容: 推论1;
第三个内容: 推论2.
该教师通过引导学生从逆定理的证明引出了本节课的第一个内容, 又通过三个问题的提问, 把学生带入到探究学习的过程中, 在探索的过程中, 学生成为知识探寻的主人, 通过清晰有据的语言表达, 把自己的思维过程暴露在老师面前, 这对教师在课堂中能及时掌握学生学习的动态提供了很好的依据.
3. 归纳小结, “说”体会
归纳小结是总结一节课所学知识点, 回顾重点、难点以及注意点的一项教学活动, 是教学中的重要组成部分, 大部分教师在教学中习惯于自己总结, 学生处于听或者记的状态, 这虽然省时省力, 但对于学生对知识的掌握是极为不利的, 所以教师应放手交给学生, 如以下教学片段:
师: 下面请同学们通过刚才的讲解、例题、练习, 你学到了哪些内容, 你给大家总结一下, 我们学了哪些知识?
生: 本节课我学习了等腰三角形的判定定理及其两个推论, 而这两个推论恰好是等边三角形的判定方法, 还知道了等腰三角形的判定定理和性质定理是互逆定理.
师: 好, 我们讲了判定定理、两个推论, 两个推论是等边三角形的判定方法, 还知道了等腰三角形的判定定理和性质定理是互逆定理.
我问一下大家: 如何判断一个三角形是不是等腰三角形呢? 因为我们往往学习了一种方法而把另一种方法忽略掉, 那等边三角形的判定又有几种方法呢?
生: 等腰三角形的判定方法有两种, 第一种是定义的方法: 有两条边相等的三角形是等腰三角形. 还有一种是今天所学的等腰三角形的判定方法.
师: 好 ( 强调了定义的方法) , 那等边三角形的判定方法呢?
生: 等边三角形的判定有三种方法: 第一种是定义的方法. 另外, 有推论1: 三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2: 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
师: 好, 请坐. 他给大家总结了等腰三角形的判定方法和等边三角形的判定方法, 都应该加上定义的方法, 另外有一点要解释一下, 对于推论2, 要判定一个三角形是等边三角形首先应该判断这个三角形是什么三角形?
生: 等腰三角形.
师: 然后再加上一个什么条件?
生:60°.
师: 这就是我们这节课要学的重点.
在小结中, 教师引导学生“说”的规范性, 在学生“说”的过程中, 既对本节课知识点快速地回顾了一遍, 又能对新知识的掌握更加深刻.
三、“说数学”在教学中的反思
一、引入——播撒思想方法的种子
课始，我开门见山的抛出问题：同学们，你们知道数学家们都是怎样在研究数学问题吗？学生被老师“没头没脑”的问题问得只能摇头，同时也在心中升起疑惑。接着，我用课件介绍数学家是这样研究数学问题的：
1．不轻易相信别人或书本。
2．得出一个结论要经过多次的实验。
3．解决同一个问题有不同的策略。
4．数学家的研究过程是：提出猜想，反复验证，得出结论，运用结论。
师：这节课我们就像数学家一样来研究数学问题，你敢挑战吗？（学生跃跃欲试）
师：上节课我们学习了三角形的分类，现在你了解三角形的哪些知识了？
有了前面学习的基础，学生开始七嘴八舌的回答老师提出的问题。当有人说到“三角形内角和是180啊笔保我故作惊讶的问他：“你怎么知道三角形的内角和?80暗模磕闳范吗？”学生回答如我所料——“老师曾经给我们说过的”。我赶紧顺势抛出研究问题“不轻易相信别人或书本”的思想?
二、猜想——展开思想方法的翅膀
猜想是新知识的探索起步阶段，有了大胆的猜想学生的思维被激活了，初步在头脑中架起一座已知与未知的桥梁，学生被猜想牵引着，验证猜想就成了发自内心的需求，学生就会积极主动地参与到学习过程中来。
通过引导，学生大胆提出猜想——是不是所有三角形的内角和都是180澳兀?
师：我们先来看看直角三角形的情况。只要将正方形或长方形怎么样，就可以得出直角三角形?
生：把正方形或长方形沿对角线对折，就得到两个完全一样的直角三角形。(教师操作演示)
师：现在可以猜测一下直角三角形的内角和是多少度?
生：180啊?
师：为什么?
生：因为正方形(或长方形)的内角和等于360埃现在把正方形平分成两个直角三角形，所以每个直角三角形的内角和等?80啊?
师：这是你的分析或者说猜想，对吗？如果直角三角形的内角和是180埃但它是一种特殊的三角形。那么，钝角三角形的内角和是多少呢？锐角三角形的内角和呢?
三、验证——把握思想方法的方向
顾汝佐先生曾说过这样一段耐人寻味的话：“学生学习数学是掌握前人创造的经验，而这种经验需要教师设计出一定的客观形式，通过相应的信号、信息载体，让学生自己去观察、操作、发现、检验、实施，在头脑中构建经验结构。”这实际上就是要求数学教学应根据需要为学生模拟探究情境和过程，让学生自己去发现、建构新知，提升数学素养。
师：可以用什么办法来验证我们的猜测呢?
学生找到了量、拼、折等不同的方法来验证直角三角形的内角和是180度。然后再由直角三角形这种特殊三角形到钝角三角形、锐角三角形这样一般三角形的验证。在学生交流验证方法时我潜移默化地给学生渗透了科学探索的方法——特殊到一般的研究方法，以及转化的数学思想，使学生从小受到了方法论思想的熏陶。
四、归纳——收获思想方法的果实
通过猜测以及验证的一系列探究活动后同学们各抒己见，这时，我让学生们交流、分析，得出结论。但我并没有急于给学生的结论做出判断，而是通过课件展示：“钝角三角形的内角和大于180埃蝗窠侨角形的内角和小?80啊闭庑┐误的结论，让他们再讨论、交流，最后得出结论。这样做就让学生感受到了验证过程的必要，在概括结论时，就会依据验证过程进行提炼。
五、运用——思想方法的再次起航
学生经历了猜测—验证—归纳后，已经建构了自己的认知结构。然而，我们的数学学习还需要灵活运用数学知识解决实际问题。为了让学生在轻松愉快的氛围中巩固知识，拓展思维，我安排了以下练习：
1、在一个直角三角形中∠ 1=30埃?的度数是多少？
2、在钝角三角形中，已知∠1＝140埃?＝25埃求?的度数。
3、在一个等腰三角形中，已知∠1＝40埃求?， ∠3的度数？
4、在一个等边三角形中，分别求出∠1， ∠2， ∠3的度数？
有了前面的探究体验，学生很轻松的完成了这4个练习，直到下课仍旧有人拉着我要继续探究这个问题，不让离去。
2、巩固运用等腰三角形的性质，判定方法，思考解决问题的方法和策略．在教学中应注重训练学生的正确表达数学文字语言和符号语言的转化。
3、教学中应自然地渗透数学思想方法，如：分类讨论等，学生初步形成有分类讨论的意识，巩固运用———熟识基本图形“角平分线——平行线——等腰三角形”使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目的
4、通过对问题的分析及实际问题的解决，注重培养学生之间的合作、交流意识与语言表达能力，增强小组合作意识。进一步提高学生说理和逻辑思维的能力，逐步培养用数学的意识。主动探求新知的动机。获得研究的乐趣，久而久之甚至发展为志趣。
5、存在的问题：
（1）对腰三角形性质，判定应用及知识的拓展方面较薄弱，显得深度不够。
（2）课堂中虽有学生自主探索活动。但放得还不够，仅局限于教材中的一些知识探索显得平淡无奇。
(1)本节课的设计体现了以教师为主导、学生为主体，以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想。教师以探究任务引导学生自学自悟的方式，提供了学生自主合作探究的舞台，营造了思维驰骋的空间，在经历知识的发现过程中，培养了学生分类、探究、合作、归纳的能力。
(2)在课堂教学设计中，尽量为学生提供“做中学”的时空，不放过任何一个发展学生智力的契机，让学生在“做”的过程中，借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大认知结构，发展能力，完善人格，从而使课堂教学真正落实到学生的发展上。
(3)“乐思方有思泉涌”，在课堂教学中，时时注意营造积极的思维状态，关注学生的思维发展过程，创设民主、宽松、和谐的课堂气氛，让学生畅所欲言，这样学生的创造火花才会不断闪现，个性才得以发展。
1、在理解的基础上掌握三角形的面积计算公式，能正确计算三角形的面积。
2、通过操作、观察和比较，使学生认识转化的思想方法在研究三角形面积时的运用。
教学重点：
掌握三角形的面积计算公式，能正确计算三角形的面积。
教学难点：
培养学生分析、综合、抽象、概括和运用转化的方法解决实际问题的能力。
课前准备：
直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各一对，课件。
教学过程：
一、复习：
1、出示一个平行四边形。(课件)
“这是什么图形?”“平行四边形面积计算公式是什么?”
“用字母怎样表示?”“我们在推导平行四边形面积公式时，运用了什么方法?”
“通过割补法，把平行四边形转化成了什么图形?”
2、揭示课题：“同学们周日预习的主要内容是什么?”(板书：三角形的面积)
二、探究新知：
1、导入：
“通过预习，同学们对于三角形的面积有了一定的了解，那么，我们现在就要考查同学们预习的效果，如果有疑问，你看一看通过我们共同的努力是否把它解决了。”
“三角形的面积计算在我们没有预习前是一个陌生的知识，同学们想一想，三角形的面积计算是否可以像平行四边形那样，把它转化成我们学过的图形呢?”
2、小组学习：拼组三角形
让学生拿起桌面上的两个直角三角形。
“这两个三角形是什么三角形?”
“它们有什么特点?”(引导学生说出“完全一样”)
以此引导学生观察另外两组三角形。
“同学们想一想，用两个完全一样的三角形能否拼出我们学过的图形呢?而且拼出图形的面积还会计算。”
以小组为单位活动。
完成后汇报、交流。
3、通过观察、分析和计算，总结三角形面积计算公式。
“老师把用两个完全一样的三角形拼成的平行四边形放大了贴在黑板上，同学们注意观察，听老师的提问。”
“每个平行四边形的面积可以求出来吗?”“为什么?”
学生答出以后，写出每个平行四边形的底和高。
“这样能求了吗?”(板书算式)
“如果让你求其中一个三角形的面积，怎样列式?”(板书算式)
“通过我们上面求平行四边形和三角形的面积，同学们看一看，三角形和拼成的平行四边形有什么关系?”
引导学生说出。第二个和第三个同样讲解。
“同学们看一看，通过我们的实际操作和列式计算，我们是不是可以得出一些结论呢?”(课件出示，填空)
“你们可以总结出三角形的面积计算公式吗?”
“底×高”求的是什么?为什么要除以2?
“计算三角形的面积必须知道几个条件?是哪几个?
4、应用计算公式解决问题。
出示例题，让学生独立计算，解答后汇报、交流。
1. 引入 ———播撒思想方法的种子
课始, 我开门见山的抛出问题:同学们, 你们知道数学家们都是怎样在研究数学问题吗? 学生被老师“没头没脑”的问题问得只能摇头, 同时也在心中升起疑惑. 接着, 我用课件介绍数学家是这样研究数学问题的.
师:这节课我们就像数学家一样来研究数学问题, 你敢接受挑战吗? (学生跃跃欲试)
师:上节课我们学习了三角形的分类, 现在你了解三角形的哪些知识了?
有了前面学习的基础, 学生开始七嘴八舌的回答老师提出的问题, 其中有人说到“三角形内角和是180°”.
2. 猜想 ———展开思想方法的翅膀
通过引导, 学生大胆提出猜想———是不是所有三角形的内角和都是180°?
师: 我们先来看看直角三角形的情况. 只要将正方形或长方形怎么样, 就可以得出直角三角形?
生:把正方形或长方形沿对角线对折, 就得到两个完全一样的直角三角形. (教师操作演示)
师:现在可以猜测一下直角三角形的内角和是多少度?
生:180°啊?
师:为什么?
生:因为正方形 (或长方形) 的内角和等于360°, 可以分成两个三角形.
师:这是你的分析或者说猜想, 对吗?
3. 验证 ———把握思想方法的方向
师:可以用什么办法来验证我们的猜测呢?
学生找到了量、拼、折等不同的方法来验证直角三角形的内角和是180 度. 然后再由直角三角形这种特殊三角形到钝角三角形、 锐角三角形这样一般三角形的验证. 在学生交流验证方法时我潜移默化地给学生渗透了科学探索的方法———特殊到一般的研究方法, 以及转化的数学思想, 使学生受到了方法论思想的熏陶.
4. 归纳 ———收获思想方法的果实
通过猜测以及验证的一系列探究活动后同学们各抒己见, 这时, 我让学生们交流、分析, 得出结论. 但我并没有急于给学生的结论作出判断, 而是通过课件展示:“钝角三角形的内角和大于180°”错误的结论, 让他们再讨论、交流, 最后得出结论. 这样做就让学生感受到了验证过程的必要, 在概括结论时, 就会依据验证过程进行提炼.
5. 运用 ———思想方法的再次起航
学生经历了猜测—验证—归纳后, 已经建构了自己的认知结构. 然而, 我们的数学学习还需要灵活运用数学知识解决实际问题. 为了让学生在轻松愉快的氛围中巩固知识, 拓展思维, 我安排了以下练习:
① 在一个直角三角形中∠ 1 = 30°, ∠2、 ∠3 的度数是多少? ② 在钝角三角形中, 已知∠1 = 140°, ∠2 = 25°, ∠3的度数是多少? ③ 在一个等腰三角形中, 已知∠1 = 40°, 求∠2、∠3 的度数. ④ 在一个等边三角形中, 分别求出∠1, ∠2, ∠3 的度数?
有了前面的探究体验, 学生很轻松地完成了这4 个练习, 直到下课仍旧有人拉着我要继续探究这个问题, 不让离去.
实践证明, 在教学中重视猜想验证思想方法的渗透, 有利于学生迅速发现事物的规律, 获得探索知识的线索和方法, 增强了学生主动探索和获取数学知识的能力, 进而促进学生学习方式的改变.
5.1 在学生小组合作学习的时候, 老师应该关注什么
我们经常会看到, 学生小组合作学习时, 老师会边走边不停地提示学生应该干什么、怎么干. 其实, 这个时候老师的提示对学生而言往往是没有任何价值的, 不仅影响学生的思路, 还会干扰学生的思维. 这个时候教师应该帮助每个小组排除学习的障碍, 然后找到最需要帮助的小组, 介入到这个小组的学习中, 了解学生的状态, 为后面的交流做好准备.
5.2 在学生的认知和原有的经验发生冲突时, 老师应该关注什么
在新课程理念下, 就是让学生去研究和探索, 然后获得结论. 学生在解决数学问题时, 常常需要把面对的问题通过转化、分析、综合、假设等变化成已知的数学问题. 在这个思维过程中, 要依据具体情况恰当地运用分析与综合、具体与抽象、求同与求异、一般与特殊等思维方法. 验证方法的多样性不仅提高了结论的可靠性, 也培养了学生的创新意识. 但是, 在实际的课堂情境中往往会有很多意想不到的情况出现.
5.3 在学生对学习内容探究与结论形成的过程中, 老师应该关注什么
学生从测量并计算三角形的内角和是180 度, 猜测所有的直角三角形的内角和是180 度, 验证的方法又是多维的.用拼一拼、 撕一撕等方法验证三角形的内角和是180 度, 把三个角拼成一个“平角”, 受上面方法的启发从正方形、长方形的内角和推出直角三角形的内角和, 或证明两个锐角的和是90 度, 较好地弥补了量一量所造成的误差, 得出的结论是比较可信的. 三角形的三个角能拼成一个平角, 理论上说是对的. 从成人的角度来说, 我们能肯定那一定是一个平角, 因为我们知道三角形的内角和是180 度, 但是在学生的眼里, 看到的只是“近似”的直线. 所以, 当老师说“拼”的方法也有误差, 听课的老师在下面暗自否定这种想法的时候, 学生却是频频点头. 接下的推理, 是严密的, 无懈可击的, 结论是学生信服的. 孩子有自己的眼光看数学, 教师应蹲下身子, 和学生站在同一视平线上, 真正走入了学生的心田.
6. 结束语
关键词：初中数学；三角形；形状判定；方法
中圖分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）07-183-02
三角形既可以按边分类也可以按角分类。当我们得到了它们的边（或角）之间的关系亦或最大角的度数时，就能据此判定三角形的形状。笔者尝试用几种方法举例如下，让大家一起来欣赏其中所出现的“色彩缤纷”的三角形。
一、利用因式分解
例1 △ABC三边长a、b、c满足 - + = ，试判定该三角形的形状。
解：∵ - + =
∴ =
即(bc-ac+ab)(a-b+c)=abc
展开整理得 2abc-b c+bc -a c+a b-ab =0，把左边分组后因式分解，得
(a b-ab )-(ac -bc )-(a c-2abc+b c)=0
ab(a-b)-c (a-b)-c(a-b)=0
(a-b)[ab-c -c(a-b)]=0
即(a-b)(a+c)(b-c)=0
∵a、b、c是△ABC三边之长，∴a+c≠0,
∴a-b=0或b-c=0,即a=b或b=c
故此三角形为等腰三角形或等边三角形
二、利用配方法
例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足：a +b +c =10a+24b+26c-338，判定该三角形的形状
解： ∵a +b +c =10a+24b+26c-338
a +b +c -10a-24b-26c+338=0
配方得(a -10a+5)+(b -24b+144)+(c -26c+169)=0
即（a-5） +(b-12) +(c-13) =0
∴ a-5=0，b-12=0，c-13=0
∴ a=5，b=12，c=13.又∵a +b =5 +12 =13 =c
∴△ABC是直角三角形。
三、利用根的判别式
例3 已知a、b、c是△ABC的三边，且方程(a +b +c )x -(a+b+c)x+ 有实根，试判定△ABC的形状。
解据题意：有△=[-(a+b+c)] -4(a +b +c )x
=a +b +c +2ab+2bc+2ac-3a -3b -3c
=-[(a-b)+(b-c)+(a-c)]≥0
∴(a-b) +(b-c)+(a-c)≤0
又∵(a-b)+(b-c)+(a-c)≥0
∴(a-b)+(b-c)+(a-c)=0
∴a=b b=c a=c 从而a=b=c,故△ABC是等边三角形
四、利用三角形内角和
例4△ABC中,已知 试问△ABC是什么形状的三角形?
解: ① ②
①、②分别乘以2和5得， ③
④
由③、④得根据三角形内角和定理，有∠A+∠B+∠C=1800，故 解得∠C＞360，代入 即该 三角形为钝角三角形。
五、利用公共根
例5设a、b、c是△ABC的三边长，方程 有一个相同的根。求证：△ABC是直角三角形。
证明：设两个方程的相同根（公共根）为α，则
① ②
①-②得
当a=c时，b=0不合题意，舍去
当a≠c时，a= ，将其代入①（②亦可）
得( ) +2a( )+b =0
化简得b +c =a 所以△ABC是以∠A为直角的直角三角形
六、利用韦达定理
例6已知α是三角形的一个内角，且sinα和cosα是方程2x -2x+p=0的两个实根，试判定三角形的形状。
解：由韦达定理，得
sinα+cosα=1 ① sinα•cosα=p②（下转185页）
教学内容：
83～84 页例4 教学目标：
知识与智能
1、让学生在给三角形分类的探索活动中发现和认识锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
2、让学生在实际操作中发展空间观念。过程与方法
经历三角形按不同标准的分类过程，体验整理分类的思想和方法。
情感态度与价值观
在学习过程中，沟通知识之间的联系，学会合作学习。
教学重点：会按角的大小给三角形分类。
教学难点：理解等腰三角形和等边三角形之间联系。
教学准备：课件，各种形状的三角形，直尺，量角器。
教学过程：
一、复习角的分类：
角是有大有小的，角按大小可以分成哪几类？
老师随学生回答依次板书：锐角、直角、钝角、这些角有的度数是确定的？分别是多少度？
锐角和钝角的度数是不确定的，但有一个范围，谁来说一说？
板书整理成：锐角、直角、钝角、二、学习三角形的分类：
1、教师：三角形有三个角，它们有哪些角呢？让我们找一找吧！
（1）按角给三角形分类。组织学生拿出准备好的各种形状的三角形，观察每个三角形的三个角，在小组中互相交流它们特征。
（2）各小组汇报。
（3）教师根据学生的汇报板书： 3个锐角
1个直角，2个锐角 1个钝角，2个锐角
（4）有三个角都是锐角的叫什么三角形呢？。。。教师引导学生按角的不同，给三角形命名。
板书：锐角三角形
直角三角形
钝角三角形（5）关于三角形三个角的分类做练习。
通过学生回答，使大家明白：钝角三角形中只有一个钝角，还有两个是锐角；直角三角形中只有一个角是直角，还有两个角也都是锐角；确定了钝角或直角后剩下的肯定是锐角了。而先画了锐角之后，剩下的角可能是三种角中的任意一种。
2、通过刚才的学习，你觉得三角形可以分为几类？用自己的话分别说说怎样的角是锐角三角形？怎样的角是直角三角形？怎样的角是钝角三角形？
3、按边给三角形分类。
（1）教师：我们可以按角给三角形分类，三角形还可以按别的方法分类吗? 学生独立思考，可能会想到按边给三角形分类。（2）拿出三角形，按边的长短分一分。
组织学生在小组中用尺子分别按三角形边长短给三角形分类。
（3）学生通过比较，会得到以下几种情况： 板书：
a：三条边都不相等
不等边三角形 b：有两条边相等
等腰三角形 c：三条边相等
等边三角形
（4）讨论等边三角形和等腰三角形的特征。（5）测量等边三角形和等腰三角形的各个角。（6）议一议：等边三角形是等腰三角形吗？（7）找一找，哪里有这种特殊的三角形。
揭示课题：这节课我们学习三角形按角分类的方法。板书：三角形的分类。
三、完成想想做做：
1、回答问题。
2、判断题。
在新授的过程中能充分发挥学生自主学习的作用。因为教学内容相对简单，我在课上只要学生自己能说的、能做的我就绝对不说、不做。整堂课学生的自主学习相当充分，并不是留于形式，浮于表面，而是实实在在的自主学习。特别是在探索三角形分类的过程中，多次让学生观察、思考、讨论，自主探索三角形的分类知识，我仅仅起了组织和引导的作用。一节课下来，学生在动手操作、主动探索、交流辩论的过程中，进行自主的归纳、总结，他们在自主学习中获取知识的能力，在操作中感悟数学的能力，均得到较好的发展。
今天教学了《三角形的分类》一课，应该说，从流程上来说，还是顺利的，但是总觉得给学生自主探索的时间够多，因此，造成的结果就是学生的探索结果浮于表面、
出示了6个三角形之后是让学生根据观察填出表格再根据表格分类。这个问题一下去：你是怎么给三角形分类的。很多学生马上就说出了锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，甚至是说出了概念。一听就知道是做了预习的。但是这个概念并不是他们通过观察体念得来的，是背油书的结果，相比较之下，我更欣赏的是学生以自己的语言说出来的规律，虽然不够精确，但是是建立在自己观察、思考的结果之上而得的。
譬如：什么叫锐角三角形。有学生就说，最大的一个角是锐角的三角形。
什么叫钝角三角形：最大的一个角是钝角的三角形。
什么叫直角三角形;最大的一个角是直角的三角形。
这个概念因为来自学生，所以我觉得比书本上的更为亲切。
如何让学生运用自己的语言来理解概念，来表述概念，而不是流于形式，是我要好好思考的问题。
一、 数形结合思想
在解直角三角形时，应该通过画图来帮助分析解决问题，通过数形结合的思想加深对解直角三角形本质的理解.
例1 已知tanA=，求sinA的值.
【分析】此已知条件可转化为：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求∠A的正弦值.
解：如图1，若设AC=4k，BC=3k，那么必有AB=5k，所以sinA==.
二、 方程思想
方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法.
例2 如图2，已知∠C=90°，AB=26，∠CBD=45°，∠DAC=30°，求BC的长.
【分析】图形中有 Rt△DAC和Rt△DBC，但是没有一个直角三角形条件够用，原因是AB=26不属于任何一个直角三角形，可以通过设BC=x，则AC=x+26，让字母参与运算，最后列方程求解.
解：设BC=x，
∵∠CBD=45°，∠C=90°，∴BC=CD=x，
在Rt△DAC中，∠DAC=30°，AC=x+26，
tan30°=，3x=（x+26），
x=，x=13（+1），
∴BC=13（+1）.
三、 转化思想
解直角三角形时，在某些问题的图形中你根本看不到直角三角形，这时需根据条件通过作辅助线构造直角三角形，将问题转化为直角三角形中的问题，然后利用直角三角形的相关知识解决问题.
例3 如图3所示，在四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠BAD=30°，∠ABC=60°，四边形ABCD的面积为5，求AD的长.
【分析】显然四边形ABCD中有特殊角∠DAB和∠CBA，且它们互余，延长AD、BC相交于点E，可得Rt△AEB.
解：延长AD、BC相交于点E，则∠E=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ABE中，sin30°=，cos30°=，
由此可得BE=4，AE=4，CE=3.
S四边形ABCD=S△ABE-S△CED=×4×4-×3DE=5，
∴DE=2，AD=AE-DE=2.
例4 如图4所示，在△ABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的长.
【分析】欲求AB的长，但题目是斜三角形，且已知条件非常分散，所以若想用到角的条件，必须构造直角三角形，作BC上的高AD，把问题转化成解直角三角形.
解：作AD⊥BC于点D，设BD=x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵∠B=60°，
∴AB=2x，AD=x，
DC==，
∴AB+BC=2x+x+=3x+=2，解得：x=.
经检验是原方程的根，则AB=2x=1.
四、 参数思想
例5 如图5，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值.
【分析】此题在条件中没有给出有关线段的长度，但已知比值，因此可根据已知条件中的比值1∶3引进参数假设有关线段的长度，进行求解.
解：作DE⊥BC于点D，并设AD=k，则DC=3k，AB=AC=4k.
∵∠A=90°，∴BC=AC=4k，又∠C=45°，
∴∠EDC=45°，DE=EC，
在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，
设DE=x，则x2+x2=9k2，
x2=k2，x=k（负值舍去），
∴DE=EC=k，
∴BE=BC-EC=4k-k=k，
∴tan∠DBC===.
五、 分类讨论思想
分类讨论思想就是针对数学对象的共性与差异性，将其分为不同种类. 要做到成功分类，要注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情景中抓住分类的对象；二是找出科学合理的分类标准，满足不重不漏的原则.
例6 在△ABC中，AB=2，AC=，∠B=30°，求∠BAC的度数.
【分析】原题没有给出图形，隐含了可能的条件，满足要求的三角形有两种情形，需要分类讨论.
解：过点A作AD⊥BC交BC（或延长线）于点D，
在Rt△ABD中，∠BAD=60°，
sin30°===，
所以AD=1，
在Rt△ACD中，
cos∠CAD==，
所以∠CAD=45°，
如图6，∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°，
或如图7，∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-45°=15°.
六、 建模的思想
解直角三角形在生产、生活中有着广泛地应用，这就要求我们能从实际问题出发去分析、构建直角三角形模型.
例7 如图8，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°. 已知AB=20 m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度.（结果保留根号）
【分析】本题是测量问题，可通过作CD⊥AB构建直角三角形模型进行求解.
解：作CD⊥AB，垂足为D，设气球离地面的高度是 x m，
在Rt△ACD中，∠CAD=45°，
所以AD=CD=x，
在Rt△CBD中，∠CBD=60°，
所以tan60°=，所以BD=x，
因为AB=AD-BD，
所以20=x-x，
所以x=30+10，
所以气球离地面的高度是（30+10）m.
“三角形的内角和是180°”是三角形的一个重要性质,也是“空间与图形”领域的重要内容之一。学好它有助于理解三角形内角之间的关系,同时也是进一步学习几何的基础。在学习本课之前,学生已经掌握了角的分类、度量及三角形的认识和分类。这些都为进一步研究三角形的内角和做了知识储备和心理准备。
笔者在教学设计时,结合当前课改的要求,真实地从学生已有的知识经验出发,围绕教学目标,力图让每一位学生通过具体实际的动手操作、比较思考,参与到问题研究中,在特定活动中积累丰富的数学活动经验, 经历由感性认识到理性认识的思维磨炼过程。
二、案例描述
【片段一】对于三角形的内角和,我到底想了解什么?
师:认识三角形家族的三兄弟吗?
生:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
(课件动画演示)锐角三角形:“我的个头大,我的内角和最大!”
钝角三角形:“我有一个钝角,我的内角和最大!”
直角三角形:“难道我的内角和最小吗?”
师:它们在比什么呀?
生:内角和。
师:你知道什么是三角形的内角吗? 谁能上来指指钝角三角形的内角在哪吗?
生边指边说:三角形里面的角就是它的内角。
师:伸出小手,跟老师一起指指锐角三角形的内角: ∠1、∠2、∠3。
问:三角形都有几个内角?现在你知道什么是三角形的内角和了吗?
生:三角形三个内角的度数和。
师:三兄弟在比谁的内角和大呢,谁来评判一下?
生:它们的内角和一样大,都是180°
师:你们觉得呢?咦,这节课还没学呢,你们是怎么知道的?
生1:我们上学期认识角的时候老师给我们介绍过啊!
生2:我早就知道啦!我爸爸告诉我的。
生3:我在课外辅导班学过了!
……
师:那对于这个结论你还有什么想了解的?
生1:是不是所有三角形的内角和都是180°呢?
生2:为什么三角形的内角和会是180°呢?
生3:我们有什么办法能证明是180°吗?
……
师:咱们中国有句古话是这样说的:纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。意思是说:虽然我们已经知道这个结论了,但只有自己亲身去实践、去验证,才能更深入地理解这个知识。三角形的内角和到底是不是180°, 为什么是180°,想不想亲自验证一下?
生齐声说:想!
【反思一】
在本课设计之初,我就在思考这个问题:对于三角形的内角和,学生到底想了解些什么?教材设计是预设学生不知道三角形的内角和是多少,希望通过一系列操作活动的探索来得出结论。事实上对于“三角形内角和是180°”这个结论,学生并不陌生。我在不同学校若干四年级班级做调查,几乎所有学生都能清楚地说出三角形三个内角的和是180°,但是他们却不知道怎样才能证明三角形的内角和是180°。因此,我的教学设计围绕学生真正想了解的“怎么证明是180°”等问题顺势而为:交流质疑—动手验证—得出结论。
【片段二】 为什么我的三角形内角和不是180°?
师:好,还记得刚才争论的三兄弟吗?它们正等着大家帮忙验证内角和是不是180°呢!想一想,怎样验证?
生:用量角器量。量完以后再把三个角度加起来看看是不是180°。
师:你们觉得这个方法可行吗?好,接下来同桌合作验证,任意选择一个三角形,像这样先标出这个三角形的三个内角,然后一人量角,一人记录数据并计算。
同桌合作并汇报三种三角形的测量结果和内角和, 师板书记录:
锐角三角形:43°+65°+68°=176°
直角三角形:90°+35°+55°=180°
钝角三角形:125°+35°+20°=180°
师:和你们的结果一样吗?有没有不一样的?
记录其他组的内角和结果:178°、182°……
生:难道我的三角形内角和不是180°吗?这是怎么回事呀?
师:老师刚才发现个别小组一边量一边改数据,就想凑到内角和是180°。而大部分小组非常诚实地记录下测量的数据,都是严谨的小数学家!观察一下,有几十度吗?有200多度吗?这些数据都有什么共同点?
生:都在180°左右!
师追问:你知道为什么吗?
生:在测量时可能会产生一些误差。
师追问:你们怎么知道是误差而不是错误?
生:这些结果都在180°左右,是由于误差造成的!
师:那你根据结果能完全肯定三角形的内角和是180°吗?
生想了想,摇摇头。
师:那你们来评价一下用测量的方法来验证好不好?有没有其他更好的方法呢?
【反思二】
对于学生而言,要验证三角形的内角和是180°最容易想到的方法就是用量角器测量每个内角的度数,再把它们加起来。在动手操作前几乎所有学生对这个方法都是非常认可并认为一定能证明三角形的内角和是180°。然而在实际动手操作、记录数据的过程中有的学生就发现了一些问题:他的三角形内角和不是180°!这个与已知结论矛盾的结果激起了学生思维的碰撞,他们迫切地希望去探究背后的原因,进而发现原本觉得天衣无缝的证明方法其实是有缺陷的,进而产生了对其他更完善的验证方法的思考和探究。做中学、做中思、做中得!我相信“测量可能会产生误差”这个道理已深深地印在了学生的脑海中,也将广泛运用于他们后续的学习中。
【片段三】为什么我的三角形三个角折不到一起?
师:还有什么更好的方法?
生:把角剪下来拼到一起。
问:怎么会想到要把三个内角拼到一起?
生:看看拼出来的是不是一个平角。
师:为什么要拼成平角?
生:因为平角是180°。
师:如果我不想破坏这个三角形,还有什么方法能把三个角拼到一起呢?
生:把三个角折到一起。
(生动手折)
师:在折的时候遇到了什么困难吗?
生1:不太好把三个顶点折到一起去。
生2:我折完以后三个角之间还有很大的缝隙!
(这句话引起了其他同学的共鸣。)
师引导:其实,要是能找到三个角的顶点最后重合的这个点就好了,是吗?
生点头表示同意。
问:那有什么好办法能找到这个点呢?讨论讨论。
生在小组中一边讨论一边思考一边动手实践。
最后终于有一名同学边折边想出了一个好方法,投影操作演示:
先找出三角形最长的一边,折出这条边上的“高”, 找到对应的“垂足”;这个垂足就是最后拼成的平角的顶点。然后将三个内角的“顶点”分别对准“垂足”进行折叠,就容易多啦!
【反思三】
在教学设计时就觉得这个问题很难处理,有老师建议我省掉这一环节,或者是我做一个示范就可以了,不要学生动手折,这样就不会出现问题了。但是如果不给学生动手的机会,他们就不会发现在折的时候会出现的困难和问题。教师不能为了上课而上课,回避学生容易出现的问题。我想这正是我和学生一起学习和研究的好机会,于是我保留了这个环节,放手让学生动手折一折,体验直观性。我觉得这个办法已经超出了这个年龄段学生的能力,我甚至做好了方法讲解的课件。最后证明我还不够相信学生,相信他们在动手操作中的灵光一闪,相信他们无穷无尽的潜力和智慧!
三、结语
四年级数学下册《三角形的特性》教学设计
教学内容：人教版小学四年级数学下册第59-60页。
设计理念：由于学生个体差异，不同学生认识事物的角度不同，我设计教学时重视为学生创设交流的情境，提供“数学对话”的机会，鼓励学生用耳、口、眼、手等方式表达自己的思想和接受他人的思想。这样的过程有助于培养学生的参与意识，学会用不同的方式探索、思考、解释问题，不断提高学生的思维水平。
教材分析：学生通过以前对空间与图形内容的学习，对三角形已经有了直观的认识，能够从平面图形中分辨出三角形。本单元知识的教学是在上述内容基础上进行的，通过这部分知识的学习，进一步丰富学生对三角形的认识和理解，本单元内容有：三角形的特性、三角形的分类、三角形的内角和。
学情分析：学生已经积累了一些关于“空间与图形”的知识与经验，形成了一定程度的空间感。对周围失事物的感知和理解能力以及探索图形及特征的愿望不断增强，具备了一定抽象思维能力。
教学目标：
1.使学生理解三角形的意义，掌握三角形的特性。
2.通过引导学生自主探索、动手操作，培养初步的创新精神和实践能力。
3.让学生树立几何知识源于实际、用于实际的观念，激发学生的学习兴趣。
教学重点：认识三角形，知道三角形高和底的含义，会在三角形内画高。
教学难点：会在三角形三条边上画高。
教 法：情景教学法、归纳总结法、演示法。
学 法：自主探究、合作交流。
学具准备：三角尺、四边形、教学课件。
教学过程：
一、创设情境，激趣导入
1．请同学们观察我们学校建筑工地，看看图中有哪些平面图形？其中哪一种图形最多？
2．生活中哪些物体上也有三角形？
【设计意图】让学生体会到数学与生活的紧密联系，感受到三角形来源于现实生活，同时引出课题三角形的特性。
二、动手操作，探究新知
（一）初步感知三角形的特征
1．画三角形。
同学们已经认识了三角形，你们会画三角形吗？那现在我们就进行一场画三角形比赛，请你画一个自己喜欢的三角形，看谁画得又快又好。画完的同学以端正的坐姿告诉老师。
2．展示学生作品。
同学们都认真的画出了自己喜欢的三角形，现在请同学们欣赏几副作品，哪些是你们心目中的三角形？
【设计意图】充分发挥学生的主体作用，让学生动手操作，让学生去观察、思考互相评价，唤起学生对三角形的感知，初步体验三角形特征，为抽象概括三角形的定义做好准备。
（二）认识三角形各部分的名称
1．给自己三角形起名字。
（1）你的概括能力真强，那这是谁画的三角形？那怎样区分是谁画的呢？能像同学们一样，每个人都有自己的名字，那我们也给自己三角形起个名字吧！
（2）请同学们给自己的三角形起个名字，三位同学上黑板前来给自己三角形起名字。
（3）请你说一说你的三角形叫什么名字？同学们都给自己三角形起了一个名字，但为了表达方便，我们通常用三个英文大写字母ABC 来表示。这个三角形就叫做三角形ABC。
2．三角形各部分名称。（1）围成三角形的三条线段分别叫做三角形的边，这条边叫做AB边，三角形还有边吗？
（2）三角形每两条边相交的点分别叫做三角形的顶点，那这三个顶点分别叫做顶点A,„„
（3）三角形内两条边的夹角叫做三角形的角，这三个角分别是角A„..（4）请同学们思考一下，那顶点 A 所对的边是哪条边呀？那顶点B的对边呢？那顶点Ｃ呢？
（5）想一想，三角形几条边？几个顶点？几个角？
（三）概括三角形概念
同学们对三角形有了一定的了解，能不能用自己的话说说什么样的图形是三角形？科学家经过再三斟酌，选择‘‘围成” 来表达同学们所说的意思，你也选择用“围成”这个词语，那谁来说一说什么叫“围成”？
那谁用一句话概括一下怎样的图形是三角形？
【设计意图】让学生观察自己画的三角形，去思考、探索、交流，抽象概括三角形的概念，让学生在玩中学，学中玩。
（四）认识三角形的底和高
（1）你们很快就探究出新的知识，那么看看这个图形叫什么名字？请同学们回忆一下，怎样给平行四边形画高？
（2）那么这样的话，三角形有高吗？那么什么是三角形的高呢？怎样画三角形画高？三角形有几条高？大家以4人一小组互相讨论交流一下。然后在你的三角形上做出一条高，并说说画高的时候要注意些什么？
（3）刚才是从顶点向它的对边画出了一条高，那三角形只有一条高吗？那你觉得应该有几条高？
（4）任何三角形都有三条高和相应的三个底。
【设计意图】让学生体会新旧知识之间的联系，以便更好地利用知识迁移学习新知。
三、巩固练习，提高认识
同学们很快就接受了新知识，老师现在就想考考你，你敢接受挑战吗？
1.填一填：
2判一判：下面的图形哪些是三角形？
3说一说：说说下面哪幅图画出了三角形的高？
4.修一修：围篱笆。
5.画一画：怎样给下面三角形画不同类型的高？
【设计意图】通过反馈练习强化教学重点和难点，把抽象的知识落实到具体的问题中，可对知识的认识有质的飞跃，使不同的学生在数学上有不同的发展。
四、反思回顾
通过今天的学习，你有哪些收获？
板书学设计： 三角形的特性
由三条线段围成的图形叫做三角形。
三条边 三个顶点
四年级数学下册《三角形的认识》教学设计1
教学目标：
1.通过动手操作和观察比较，体会三角形的本质特征，理解三角形的含义，认识三角形各部分的名称，了解三角形的特性。认识三角形高和底的含义，会在三角形内画高。
2.通过实验，使学生知道三角形的稳定性及其在生活中的应用。
3.在观察、操作等活动中,发展观察操作能力和比较、抽象、概括等思维能力。
教学重点：三角形的概念，感知稳定性
教学难点：高的画法和意义
教学过程：
一、三角形的概念
1、在画中建立概念
其实三角形大家并不陌生，现在请你把心目中的三角形画下来。
展示作品。
2、交流中完善概念
三条线段怎样画才会是三角形?
由3条线段围成(每相邻两条线段的端点相连)的图形叫做三角形。
3、延伸中强化概念
不在一条线上的三个点就能确定一个三角形。
4、介绍各部分名称
二、三角形的稳定性
1、设疑
为什么要把篱笆围成这种形状?
2、操作
围一围、拉一拉、比一比小结：当三角形的三条边长确定后，三角形的形状和大小也就确定了，所以在拉的时候，三角形才不会变形，这就是三角形的稳定性。
3、欣赏
三、三角形的高
1、初认高
回忆点到直线的垂直线段。
其实在三角形中，像这样，从三角形的一个顶点到它的对边所作的垂直线段就是三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
2、再识高
移动顶点，找高。
旋转三角形，辨高。小结：只要是从顶点向对边做的垂直线段就是三角形的高。
三角形还有其他高吗?
3、画高
① 画AB边上的高。
展示学生作品。
画高时，有什么需要注意的地方?小结：看来我们的高不仅要垂直、要从顶点出发，还要注意所画的高与底要对应。
② 再画出AC边上的高。
③ 在指定底上画高。
近几年来, 沪教版教材八年级上册直角三角形的性质定理推论“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”一直是开设公开课的热门课题。一个好的课题引入情境设计, 往往会成为一堂课成功的关键, 更能提高学生对新知识的兴趣。当然, 要提高学生对新知识的兴趣, 更重要的是情境引入要有合理性和必要性, 这样就能让学生信服, 并产生想要学的欲望。也正因为深刻认识到这一点, 我在上这节课的时候潜心让自己尝试不同的教学情境, 针对所教授的不同届学生, 从以下几个教学情境出发, 观察学生的课堂反应, 以此不断改进自己的教学方式。
情境设计一
设计作业纸:在作业纸上画好一个直角三角形。请同学们找斜边上的中线并填充下面的表格。
学生课堂反应:以四人为一小组展开讨论, 先让同学们找到斜边上的中线, 有个别小组找不到中线的, 教师在旁边加以指导。当时学生在测量时的表现较为积极, 但对数据的测量出现了很大的误差, 有同学甚至不知道如何准确测量所需要的数据。而有的同学事先预习了, 他不测量也能直接得知结果。
反思:学生通过测量过程来理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 看上去课堂气氛热闹, 整个定理的发现由学生自主完成, 充分发挥了学生学习的主动性, 新教材也一直在情境设计教学这一块鼓励教师通过学生实验操作得到所要的结论, 希望从“实验——归纳——应用”这样的教学让学生体验知识形成的过程, 然而, 一届届不同学生的反应让这样的教学情境显得有点为操作而操作。
情境设计二
直接出示图形, 如图1, 观察圆中的OC与AB之间的数量关系, 并猜测△ABC是什么形状的三角形。
学生课堂反应:学生能直接从半径与直径的概念中得出它们之间的数量关系。之后抛出的问题是三角形的形状, 大部分学生能猜出直角三角形, 而对这个结论的论证方式只有个别同学想到了。突破这个难点后, 提出它的逆命题的形式并进行验证。
反思:这样的设计比较直接, 但是由于以逆命题的形式给出, 似乎在数学情境设计中没有体现出数学的严谨性要求。这样的设计并没有从学生的实际出发, 有些本末倒置了。
情境设计三
设计作业纸:想一想, 在一个直角三角形中是否能一次同时剪出一个等腰三角形和一个等边三角形?如果能剪出, 此时的直角三角形的锐角要满足什么条件?
给出一个含有30 度角的特殊直角三角形, 如图2, 让学生组成学习小组进行讨论。
学生课堂反应:教师问题一提出, 课堂气氛明显有点沉闷, 学生一头雾水, 不知从何处入手, 而且学生对分解图形本身就没方向。只有部分学生看到“等边三角形”能联想到这个直角三角形两个锐角的度数, 从而把一条直角边作为初始边来找三角形, 但绝大部分学生只是看着图形, 胡乱地画着线。
反思:新课程基本理念指出, “数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性, 使数学教育面向全体学生, 实现人人学有价值的数学, 不同的人在数学上得到不同的发展。”这样的设计显然激起了一部分学生在学习活动中的学习斗志, 让学生在经历中以学会主动探索和解决问题为立足点, 鼓励他们大胆猜想, 激发学生的创新意识, 最终把知识结构转化为学习者的认知结构。但也让大部分学生感觉难度太大, 不知这样做的明确目的是什么。而后只能由教师引领学生一起找到60 度角再构造等腰三角形, 但这样的情境引入耗时太长, 不能直接切入主题。
情境设计四
从尺规作图出发, 学生刚学完尺规作图, 在含有30 度角的直角三角形中, 让学生以其中一个直角顶点为圆心, 以较短的直角边为半径画弧, 如图3。
利用多媒体的几何画板将动态的效果展现在学生面前, 明确找到了点D的位置后, 让学生去发现CD线段在直角三角形中的名称以及它与斜边之间的数量关系。
学生课堂反应:通过多媒体课件的演示, 呈现知识形成的过程, 让学生有思考的欲望。有些内容过去单凭教师“说”, 学生不好理解, 现在多媒体能帮助教师“说话”, 把抽象和直观有机结合起来, 情况就大不相同了。学生对于课件中出现的CD线段, 能很快把握其与斜边之间的数量关系, 因而结论的揭示对大部分学生都并无困难。
反思:多媒体课件中几何画板的运用加深了学生对中线的认识, 并在不断改变的直角三角形图形中发现斜边上的中线与斜边之间不变的数量关系, 直观而且深刻, 也让学生体会了从特殊到一般的数学思想方法。这样的设计既直观明了, 又切入知识要点, 揭示出课题, 也充分利用了多媒体与数学的完美整合, 相当受学生的欢迎。
情境设计五
如图4, 用多媒体给出一个等边三角形与一个底角为30度的等腰三角形 (其中等边三角形的边与等腰三角形的腰相等) , 首先通过对这两种特殊三角形性质的复习, 引出直角三角形作为特殊的三角形隐含什么样的性质, 然后通过几何画板演示这两个三角形的叠合过程, 让学生在图形动态过程中得到了直角三角形。如图5, 此时等边三角形的边与等腰三角形的腰叠合在一起, 它便成为了直角三角形中一条特殊的边。
学生课堂反应:学生在课件的演示过程中立即就能够得出“斜边上的中线等于斜边的一半”这个结论, 并为辅助线的添设做了铺垫。
反思:课堂上每一位学生都认真地看着课件中图形的生成过程, 多媒体课件不仅从视觉上给学生以足够的冲击, 动感十足, 大大提高了学生的探究热情, 也让定理的得出水到渠成, 论证的方法通过课件的展示迎刃而解。这种设计从学生已有的知识出发, 帮助学生找准新旧知识的连接点, 在新旧知识之间建立起非人为的实质性联系, 实现认知迁移, 使学生能够利用旧知同化新知, 从而学会学习。
通过这几个情境的教学设计, 我不断思索着什么样的情境教学更适合学生, 也正是这样的不断改进, 我和我的学生更加知道学习数学的乐趣。特别是情境四和情境五, 让我的学生眼前一亮, 原来知识可以这样来学习。因此情境的设计并不是简单地照搬教材, 还必须符合学生的认知水平, 从学生现有的知识出发, 避免知识的跳跃, 做到慢慢深入、合理衔接, 使其变成更能激发学生探究热情的引入, 让学生真正成为学习的主人。
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