几何概型教学设计1（精选8篇）
纳雍县第一中学 罗万能 教学目标
1．知识目标
①通过探究，让学生理解几何概型试验的基本特征，并与古典概型相区别； ②理解并掌握几何概型的定义； ③会求简单的几何概型试验的概率.2．情感目标
①让学生了解几何概型的意义，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象；
②通过学习，让学生体会生活和学习中与几何概型有关的实例，增强学生解决实际问题的能力；同时，适当地增加学生合作学习交流的机会，培养学生的合作能力.重点难点
重点：几何概型概念的理解和公式的运用； 难点：几何概型的应用.只有掌握了几何概型的概念及特点，才能够判断一个问题是否是几何概型，才能够用几何概型的概率公式去解决这个问题.而在应用公式的过程中，几何度量的正确选取是难点之一，要好好把握.学情分析及教学内容分析
本节课是新教材人教B版必修3第三章第三节的第一课，它在课本中的位置排在古典概型之后，在概率的应用之前.我认为教材这样安排的目的，一是为了体现和古典概型的区别和联系，在比较中巩固这两种概型；二是为解决实际问题提供一种简单可行的概率求法，在教材中起承上启下的作用.通过最近几年的实际授课发现，学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，把几何概型的“无限性”误认为古典概型的“有限性”.究其原因是思维不严谨，研究问题时过于“想当然”，对几何概型的概念理解不清.因此我认为要在几何概型的特征和概念的理解上下功夫，不要浮于表面.另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择也是需要特别重视的，在实际授课时，应当引导学生发现规律，找出适当的方法来解决问题.为了更好地突出重点，突破难点，我将整个教学过程分为“问题引入——概念形成——探索归纳——巩固深化”四个环节.教学过程
1．问题引入
引例1 北京奥运会圆满闭幕，某玩具厂商为推销其生产的福娃玩具，扩大知名度，特举办了一次有奖活动：顾客随意掷两颗骰子，如果点数之和大于10，则可获得一套福娃玩具，问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？
设计意图：复习巩固古典概型的特点及其概率公式，为几何概型的引入做好铺垫.引例2 厂商为了增强活动的趣味性，改变了活动方式，设立了一个可以自由转动的转盘（如图1）转盘被等分成8个扇形区域.顾客随意转动转盘，如果转盘停止转动时，指针正好指向阴影区域，顾客则可获得一套福娃玩具.问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？
设计意图：
1．以实际问题引发学生的学习兴趣和求知欲望； 2．以此为铺垫，通过具体问题情境引入课题； 3．简单直观，符合学生的思维习惯和认知规律.问题提出后，学生根据日常生活经验很容易回答：“由面积比计算出概率为1/4.” 提问：为什么会想到用面积之比来解决问题的呢？这样做有什么理论依据吗？
学生思考，回答：“上一节刚学习的古典概型的概率就是由事件
所包含的基本事件数占试验的基本事件总数的比例来解决的，所以联想到用面积的比例来解决.”
教师继续提问：这个问题是古典概型吗？
通过提问，引导学生回顾古典概型的特点：有限性和等可能性.发现这个问题虽然貌似古典概型，但是由于这个问题中的基本事件应该是“指针指向的位置”，而不是“指针指向的区域”，所以有无限多种可能，不满足有限性这个特点，因此不是古典概型.也就是说，我们不能用古典概型的概率公式去解决这个问题，刚才我们的解答只是猜测.到这里，我们自然而然地需要一个理论依据去支持这个猜测，从而引入几何概型的概念.2．概念形成 记引例2中的事件
为“指针指向阴影区域”，通过刚才的分析，我们发现事件
包含的基本事件有无数个，而试验的基本事件总数也是无数个.如果我们仿照古典概型的概率公式，用事件包含的基本事件个数与试验的基本事件总数的比例来解决这个问题，那样就会出现“无数比无数”的情况，没有办法求解.因此，我们需要一个量，来度量事件
和，使这个比例式可以操作，这个量就称为“几何度量”.这就得到了几何概型的概率公式量，表示子区域的几何度量.，其中表示区域的几何度引例2就可以选取面积做几何度量来解决.通过上面的分析，引导学生发现：几何概型与古典概型的区别在于它的试验结果不是有限个，但是它的试验结果在一个区域内均匀地分布，因此它满足无限性和等可能性的特征.其求解思路与古典概型相似，都属于“比例解法”.3.探索归纳
问题1 在500ml水中有一个草履虫，现从中随机抽取2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.问题2 取一根长为4米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于1米的概率是多少？
设计意图：
1．让学生分别体会用体积、长度之比来度量概率，加深学生对几何概型概念的理解； 2．强化解决几何概型问题的关键是抓住问题的实质，找出临界状态。这是解决几何概型问题的第一个关键.问题3 如图2, 设超过半径的概率？
为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与
连结，求弦长
由学生讨论解答.预期思路1：(见图3)
根据题意，在圆周上随机取一点，有无限种可能，而每一点被取到的机会都一样，满足几何概型的特点，可以考虑用几何概型求解.先找临界状态，即弦长等于半径时所取的点的位置.找到和是两个全等的正三角形.即在两个位置，使得
和
取点时弦长刚好等于半径；而在两段劣弧上取点时弦长小于半径；在化
为弧长之比.这段优弧上取点时，弦长超过半径。因此问题转
.预期思路2：（见图4）也可以转化为角度之比..预期思路3：（见图5）也可以转化为面积之比..提出问题：为什么这道题可以用弧长、角度、面积等不同的几何度量去求解？ 由学生分组讨论,给出回答：因为在半径一致的情况下，弧长之比等于角度之比，也等于面积之比..设计意图：加深学生对几何概型的理解，从而抓住解决几何概型问题的实质.问题4 如图6,将一个长与宽不等的长方形水平放置，长方形对角线将其分成四个区域.在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种颜色，并在中间装个指针，使其可以自由转动.对于指针停留的可能性，下列说法正确的是（）
A．一样大 B.黄、红区域大 C.蓝、白区域大 D.由指针转动圈数确定
设计意图：通过与引例2对比，使学生发现这两个问题选择的正确几何度量应该是“角度”，而不是“面积”.而引例2之所以用面积比也能解决问题，是因为其面积比恰好等于角度比.提出问题：如何才能找到最恰当的几何度量呢？
引导学生找问题中的“提示”.如问题3中在圆周上任意取点，因此选取弧长作为几何度量是最恰当的方法.几何度量的正确选择是解决几何概型问题的第二个关键.4。巩固深化
练习1 如图7,在面积为的的边上任取一点，求的面积小于的概率.练习2 如图8,向面积为练习3 如图9,向体积为的的三棱锥
内任投一点，求的面积小于，求三棱锥的概率.的内任投一点体积小于的概率.设计意图：通过这3个问题的对比，加深学生对几何度量选取的理解，关键是判断在何处取点.问题5 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形(如图10)，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.问题6平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径为的硬币任意掷在这平面上(如图11)，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．
设计意图：
1．开拓学生的思路，进一步提高学生分析、解决问题的能力； 2．引导学生归纳总结解决几何概型问题的第三个关键：物化为点.如问题5 中，我们选择了海豚的嘴尖为研究对象，问题6中，我们则选择硬币的中心为研究对象.物化为点之后，研究起来会更加便捷.在处理问题6时，先由学生自主思考，而后合作交流，发表自己的看法，培养学生概括归纳的能力。
5．课堂小结
这个工作我准备交给学生去做。让学生自己总结：这节课你学到了什么？通过这节课你掌握了哪些方法？应该注意些什么问题？有哪些思想是在以后的学习中可以借鉴的等等，引导学生对这节课的内容加以巩固深化.3.3.1 几何概型教学课后反思
纳雍县第一中学 罗万能
一、教学过程
1. 合作探究
探究环节本人安排了一个折纸活动, 让学生找出满足条件的折痕位置的特点, 目的是让学生通过实验探究出几何概型的两个特点。
问题: 一根长度为24cm的纸条, 拉直后在任意位置对折, 则对折后使得两段的长度都不小于8cm的折痕位置有什么特点? 概率是多少?
数学活动: 发给每个小组三根长度为24cm的小纸条, 拉直后在任意位置对折。小组成员进行讨论、试验, 确定计算方案, 组长负责记录结果, 教师巡视并加以引导。
刚拿到纸条, 学生们就相互交流探讨, 反复试验……当有小组探究成功后, 学生非常兴奋地讲解, 其他学生也恍然大悟。这种探究活动增强了数学学习的趣味性和实用性, 激发了学生的探究欲望。
接着, 通过问题串的形式让学生对试验进行讨论、归纳, 在思考问题的过程中让学生感受到基本事件的无限性与等可能性, 发现其与古典概型的不同, 从而过渡到建构环节。
2. 概念建构
师生共同归纳出几何概型的概念, 突出重点: 无限性及等可能性两个特点。然后, 请学生对一组概率问题进行辨别, 以强化重点: 判断一个试验是否是几何概型。接着, 本人引导学生通过类比古典概型的计算公式, 归纳出几何概型的计算公式, 对于度量这个学生比较陌生的名词, 给予解释说明。
古典概型与几何概型既有区别又有联系, 通过图表形式清楚地展示了两者之间的关系。解决了教学重点: 理解两概型的异同。
3. 例题巩固
为了加深学生对几何概型及计算公式的理解, 师生共同探讨典型例题, 通过例题明确几何概型概率的求法及体会建模的思想。
例题: 在一个边长为3cm的正方形内部有一个边长为2cm的正方形, 向大正方形内随机投点, 求所投点落入小正方形内的概率。
师生共同解决问题, 随后, 本人将例题加以拓展, 请学生解决实际问题。
练习: 取一个边长为2a的正方形及其内切圆, 随机向正方形内丢一粒豆子, 求豆子落入圆内的概率。
学生自主解决, 得到结果π /4 , 由此延伸, 本人启发学生, 可用撒豆子试验来估计圆周率, 并利用多媒体进行模拟试验, 请学生也进行操作实验, 学生通过试验、观察, 体会了几何概型的实际运用。
4. 深化提高
在巩固环节的基础上, 提供一个学生感兴趣的问题, 让学生以小组为单位共同探究解决, 同时体会数学建模思想。
问题: 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛, 比赛规则如下: 在前方有一顶帐篷, 可以看到里面有一张小方几, 要将一枚铜板扔到这张方几上. 已知铜板的直径是方几边长的3/4, 谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛. 郭靖一扔, 铜板落到小方几上, 且没有掉下, 问他能进入下一轮比赛的概率有多大?
学生讨论热烈, 纷纷作图研究解法。由于学生本身数学基础的制约, 很多学生一下对题意没能理解, 经过互相讨论, 明确题意, 可是如何解决又难倒了他们。于是本人引导学生进行临界研究, 并进行演示, 降低难度。学生很快理清思路, 并积极参与商讨, 顺利解决问题。通过解决生活实际问题, 加深了学生数学建模的思想, 并感受到生活中的概率问题。
二、反思
本人以此教学设计进行教学实践, 感觉课堂活跃、教学效果良好, 目标达成度高。反思这次教学, 收获主要有以下几个方面:
1. 本次教学突出了“知识发生、发展过程”的设计。在课堂教学中, 本人把学生置于学习的主体地位, 创设能引导学生主动参与的问题情境, 让学生通过各种不同形式的数学探究活动, 体验到了数学发现和创造的历程, 在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能。
2. 有效地将生活化的素材与教材内容相结合。本次课在新课引入、例题习题中大量采用了现实生活问题, 这些情境学生熟悉、喜欢, 很容易激发学生的学习欲望, 增强学生的数学应用意识。
3. 把信息技术作为数学教学的有力工具。数学教学中恰当运用信息技术, 是突出探究活动和数学实验中的关键因素, 可以促进学生数学理解方面的作用。在《几何概型》教案设计中, 本人将折纸活动、例题习题通过动画等多媒体形式展示给学生, 加强了学生理解能力, 有效提高了教学的效果。
同时, 本人也在思考: 怎样才能更有效地组织学生进行数学活动, 充分提高学生“做数学”的成效。在时间把握和意外情况的处理上还有待提高。在接下来的教学实践中, 本人会努力将课前准备工作做得更加充分、细致, 同时, 在数学活动中兼顾到各层次的学生。
摘要：数学新课程理念倡导积极主动、勇于探索的学习方式, 使学生学会“做数学”, 发展学生的能力, 获取积极的情感价值观。本次《几何概型》的教学, 本人通过设置一系列数学探究活动, 让学生通过合作、自主探究的方式, 探究构建新知。这种形式激发了学生学习兴趣, 有效地发挥学生的主观能动性。
关键词：做数学,几何概型,实验探究
参考文献
[1]丁永刚.用“做数学”理念探究“随机事件及其概率”[J].数学教育学报, 2012, (6) .
关键词：几何概型；概念教学；例题教学；反思
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）14-391-01
几何概型是高中数学课程改革中的新增内容，《普通高中数学课程标准》对几何概型的教学要求指出：介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义．所以教科书中选的例题也是比较简单．但是执教过几何概型这部分内容的教师，却有这样的感受：“几何概型”这一概念的教学比较抽象，学生理解起来困难，遇到具体问题时，时常出错，而且不易找到错误原因．所以对教学内容的理解程度还需进一步深化，教学上还需进一步探索．下面结合本人的教学实践，谈谈对几何概型第一课时教学的一些思考．
一、关于新课引入创设情境的反思
这里，我设置了三个问题，是为引出几何概型的概率公式中区域的度量可以是长度、面积和体积．但实际的教学证明效果不是很好．对于问题1，虽然是实际问题，但学生立即反应的是长度之比．从运算结果来说是正确的，但这样的引入还是没能达到预期的目的，不能恰如其分地引导学生关注基本事件是红外保护线上的任一位置，指出基本事件空间和事件发生的区域都有无限多个基本事件，而且等可能，从而启发学生通过线段长度度量概率。对于问题2，这是一个简单的用面积之比求概率的问题，学生在初中时就计算过此类概率问题．预设是点出几何概型的概率也可用面积来度量，这一问题的设置相对于问题1学生理解的更好一些。经过对前面两个问题分析对于问题3，学生很快就回答出当：“总的基本事件个数可以用10立方米沙子来刻画，事件A包含的基本事件个数可以用取出的1立方米沙子来刻画，所以概率为1／10 ．”接着提出问题：上述三个概率问题有什么共同点吗？开始同学们不知从何考虑，经过引导提示才归纳出几何概型的定义、特点、概率公式。知识的引出这一过程对于学生来说有点过难，虽然我在课件中引用了动画片中的一些故事情节并设置了有趣的动画效果，目的是激发学生的学习兴趣，可是并没有达到预想的效果，还有部分学生有挫败感。课后我进行反思，觉得知识点的引出有点急，应该先引导学生发现三个问题都与几何图形有关，再根据所求的概率归纳出定义，又类比古典概型得出几何概型的特点和概率公式。这样层层递进可能效果会更好一些。
二、关于例题教学的反思
对于例1我在教学时引导学生思考以下几个问题：(1)他在0～60分钟之间任何时刻打开收音机是等可能的吗？(2)符合几何概型的条件吗？(3)如果符合几何概型，这里的几何区域用什么来度量？（4）事件A发生对应点的区域用什么来度量？通过对这些问题的思考及解决，使学生理解懒羊羊在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关。因此得出几何概型的概率就是事件A发生对应点的区域长度与0～60分钟之间任何时刻所对应的区域长度之比．分析完后提问学生说出解题过程，然后我又进行了补充，通过例1的解题过程我又提出：解决这类几何概型问题需要几步完成，学生很快就答出四步，这个例题用了大约8分钟，在确定基本事件是学生理解的不好，需要经过引导才能答出来。在研究例2时，由于有了对例1的分析的基础学生很快就确定出本题是几何概型中的面积问题，因此，我找了两名同学到黑板上写出解题过程，我到下面巡视了一下发现不少学生对基本事件的陈述不够准确，于是我又重点强调了一下。 出现上述情况的原因在于学生没有理解几何概型中区域的形成，在把事件空间转化为与之对应的区域时，常常构造出错误的几何区域，往往是因为没有抓住几何概型中的等可能,应引起我们足够的重视．到例3时学生很快就给出了答案，而且对基本事件的陈述也很到位，比预想的效果要好。三个例题的解决加深了学生对几何概型的理解，从而抓住解决几何概型问题的实质.
例题之后又设置了相应的三道练习题，要求在给定的时间内由学生独立完成，效果很好。
在剩余3分钟时我又通过问题引领学生进行回顾总结，归纳本课内容，提炼思想方法，总结学习经验，使学生在头脑中形成关于本课内容的一个清晰的知识结构.为了反馈本节所学知识的情况，学生的课后作业我布置了必做题和选做题，同时为下节课做准备。
我认为本节课有五个方面做的比较成功：
1、通过有趣的问题情境引入，容易激发学生的学习兴趣和求知欲；
2、通过与古典概型的对比，产生矛盾，迫使学生想去探求解决问题的方法；
3、分解难度，将抽象的概念“解剖”易于理解；
4、问题设置层层递进，由浅入深，符合学生的认知规律；
5、本节课中所体现的类比思想，转化思想将会对学生的思维发展有所帮助。
本节课的不足之处在于教师的准备工作做的太多，问题设置的过于紧密，使得学生发挥的空间不足。如何设计问题才能使学生的思维更活跃，不仅能认识问题，解决问题，还能创设问题？这也是我一直在思考的。
从本节课的教学过程来看，我觉得思路还是比较清晰的，教学过程也比较流畅。但在有些小细节方面还需要多钻研，比如板书的设计方面、语言可以更简练些、还可以让学生更多的发言，交流更广些，这是在以后的教学中需要注意的地方。
参考文献：
[1]贺善菊.“几何概型”的教学反思[J].数学通报,2009(10).
[2]傅伟敬.几何概型的教学反思[J].中学数学月刊,2007(4)
各位评委：
上午好!很高兴在这里与大家交流。我说课的题目是：几何概型，选自人教A版必修3第三章第三节第一课。我将从教材的分析与处理、教法学法分析、教学过程设计、教学设计说明以及教学评价分析五个方面谈谈我对本节课的理解和设计。
“几何概型”这一节内容是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。此节内容是为更广泛地满足随机模拟的需要而在新课程中增加的，这是与以往教材安排上的最大的不同之处。这充分体现了数学与实际生活的紧密关系，来源生活，而又高于生活。同时也暗示了它在概率论中的重要作用，在高考中的题型的转变。利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不一定是不可能事件的例子，概率为1的事件不一定是必然事件的例子.
几何概型是新课程新增加的内容，我认为增加几何概型的原因有两个：一是使概率的公理化定义更完备，即概率的统计学定义、古典定义、几何定义;二是因为在今后的应用中能体现建模的思想域.
从学生情况来看，前面学生在已经掌握了一般性的随机事件和概率的统计性定义的基础上，又学习了古典概型。学生的认知水平有了一定的基础，但学生的抽象思维能力还有待于进一步提高，因此在从古典概型向几何概型的过渡时，如何将问题的实际背景转化为“几何度量”，学生会有一些困难和疑惑，这就需要恰当的引导、合理的解释和明确的目标。
综合以上分析，我认为本节课的教学重点是了解几何概型概率的计算方法，并能进行简单计算。为了较好的处理本节课的重点，我引用了两个生活中不同的“抽奖”实例，从两个实例出发比较从而引出问题，并让学生分组做实验自主探究去解决问题，这样能较好的提高学生的兴趣，学生能积极参与讨论，而且通过分组实验使学生了解到数学与生活实践有着密切的联系。把求未知量的问题转化为几何概型求概率问题是本节课的难点，为了突破难点，在学生实验总结之后，给出几何概型中三种形式的概率(长度、面积、体积)，引导学生应用方法去解决问题，并对学生进行及时的.补充与完善。
在本节课的学习中，要让学生了解几何概型的意义，会求简单的几何概型事件的概率。从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，通过转盘游戏问题引入几何概型定义和几何概型中概率计算公式。感受数学的拓广过程。通过学习和实验，培养学生观察、思考、积极主动探索的精神。
结合本节课的特点和能有效的开展教学，我将把教的过程变成学生主动发现问题，思考问题、讨论问题、解决问题的过程，本课通过创设情景，结合学生的“知识最近发展区”，从古典概型过渡到几何概型，让学生以实践者的身份去观察、猜想、实验、创新，体验建构知识的过程，弄清来龙去脉，调动起学生的主动性和学习的热情，体现学生学习的个性化、自主化。并通过分小组学习，引导学生在小组交流和讨论中，相互启发，相互交流解决问题的策略，提高思维水平。真正体验一个完整的数学探究过程。
下面谈谈我对本节课的教学过程设计。
本节课的基本流程分为三步：先是提出问题，复习概念，再由学生探究，得出结论，最后是知识应用及巩固。在课堂开始我给出情景设置1：抽奖活动：顾客随意掷两颗骰子，如果点数之和大于10，则可获得一套福娃玩具，问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少?
学生讨论清楚以下几个问题：(1)本题中的基本事件是指什么?(2)基本事件所包含的结果的个数?(3)满足题中条件的基本事件所包含的结果的个数?在此学生可以复习巩固古典概型的特点、定义及其概率公式，为几何概型的引入做好铺垫。
然后提出情景设置2：改变了抽奖活动方式，设立了一个可以自由转动的转盘(如图1)转盘被等分成8个扇形区域.顾客随意转动转盘，如果转盘停止转动时，指针正好指向阴影区域，顾客则可获得一套福娃玩具.问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少?引导学生讨论一下几个问题(1)本题中的基本事件是指什么?(2)这个问题是古典概型吗?(3)怎样解决这个问题?经讨论学生会发现用古典概型是解决不了情景设置2的问题，由此矛盾冲突引发学生的学习兴趣和求知欲望;也以此为铺垫，通过具体问题情境引入几何概型的定义与特点。
接下来就是第二个阶段：学生做实验探究：有一个底面由红绿蓝三色构成的长方体纸盒，向纸盒内随机抛掷小纽扣。
实验用具：开口长方体纸盒、纽扣50粒、数据统计表一份(纸盒由学生课前动手制作，底面由红绿蓝三色构成，红绿蓝面积之比为2:1:1)
由此实验探究以下问题：
提问1：纽扣落在三种颜色区域内的可能性是一样大的吗?
提问2：纽扣落在哪种颜色的可能性最大?可能性大小与什么有关?
提问3：这个问题是不是古典概型的问题?
提问4：你猜想小纽扣落在红色区域内的概率是多少?
实验1：学生进行抛掷小纽扣的实验
猜想：P(A)=红色区域的面积/长方形的面积=1/2
实验步骤：
(1)小组一位同学站在纸盒的周围随机将50粒实验纽扣抛入其中;
(2)如实统计出落在红色区域内的纽扣数量并做好记录(表1)，然后取出全部实验纽扣，至此为完成一组实验，每小组进行三组实验;
第一组
第二组
第三组
落在红色区域内的频数
试验次数
50
50
50
(3)对实验原始数据进行进一步统计及相关计算(表2);
第一组数据
前两组数据
前三组数据
全班数据
累加落在红色区域内的频数
试验次数
50
100
150
计算落在红色区域内的频率
(4)分析实验数据，归纳总结实验结果.
实验结果：当试验次数不断增大时，纽扣落在红色区域的频率将逐渐趋于一个稳定值0.5,并在它附近摆动，由此可估计出小纽扣落在红色区域的概率为0.5.
记“小纽扣落在红色区域”为事件A，有上述实验可得
P(A)=事件A所对应的几何区域(长度、面积或体积)/总事件所对应的几何区域(长度、面积或体积)
结合上述实验可引导学生归纳总结本节课的结论：
1、几何概型的特征
(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限个(无限性);
(2)每个基本事件出现的可能性相等(等可能性).
2、几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometricmodels of probability),简称为几何概型.
3、几何概型的概率计算公式
P(A)=事件A所对应的几何区域(长度、面积或体积)/总事件所对应的几何区域(长度、面积或体积)
这一个环节的设计充分体现了学生的课堂主动性，给出学生问题让学生自主动手实验探究，能提高学生的学习兴趣和动手能力，并能更好的突破本节课的重点和难点。
到此第二个阶段即完成了，往下主要是结论的应用：会区分几何概型和古典概型并能求几何概型的概率。在此给出三个课堂习题：
问题1：取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于1米的概率是多少?
问题2：在一个5000 的海域里有面积达40 的大陆架蕴藏着石油，在这个海域里随意选定一点钻探，钻出石油的概率为 。
问题3：在 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率 。
上述三个课堂练习，分别对应了高中几何概型的三种几何度量：长度、面积和体积。能够更好的指导学生将未知量问题转化为几何概型求概率问题，有助于这一节课难点的突破，在此可引导学生解决本节课开课时的问题情境2，在解决的过程中让学生思考是否可以采用不同的几何度量例如：圆心角之比、弧长之比和扇形面积之比来求概率，并注意采用不同的几何度量时的区别。
进入课堂小结，回顾本节课的问题解决过程，让学生认识到数学与生活的紧密练习，并对本节课的知识进行强调，分清古典概型与几何概型的区别，并会利用公式求解几何概型。
最后是作业布置和课后思考：在生活中我们见到的抽奖活动中是否有概率的影子，体验数学与生活的联系。
到此就完成了本节课的教学。
板书设计：书写两点：一是本节课的结论，二是实验统计表格。
“使学生经历知识的生成过程，学会学习方法，获得积极的情感体验。”是新课标对教师提出的基本要求，从这一点出发，我在设计本节课时注意了以下两点：一是在本节课的开始结合学生前边的认知基础，在用古典概型解决情景问题2时产生了矛盾，从而为学生提出了问题，促使学生去思考解决问题的办法，提高学生的学习兴趣。二是在对本节课的重点和难点的处理的过程中，通过问题和实验，让学生主动思考总结和动手实验探究，以学生为主我在傍边协助让学生突破，并让学生体验知识产生的乐趣。
这节课在学生实验的过程中，对学生的学习态度、参与程度给出及时的评价;并对学生课堂中知识的探索、知识的总结过程进行评价，在课下及时了解学生的学习和作业情况，指导我今后的教学。
1.教学目标
1．知识与技能
（1）掌握画三视图的基本技能（2）丰富学生的空间想象力 2．过程与方法
主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。3．情感态度与价值观（1）提高学生空间想象力（2）体会三视图的作用
2.教学重点/难点
重点：画出简单组合体的三视图 难点：识别三视图所表示的空间几何体
3.教学用具
投影仪等.4.标签
数学，立体几何
教学过程
（一）创设情景，揭开课题
“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。
在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？
（二）实践动手作图
1．讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图（1）画出球放在长方体上的三视图
（2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图
学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。3．三视图与几何体之间的相互转化。（1）投影出示图片（课本P10，图1.2-3）请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么？（2）你能画出圆台的三视图吗？
（3）三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？
教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。
4．请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学交流。
（三）巩固练习
课本P12 练习1、2 P18习题1.2 A组1
（四）归纳整理
请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图
（五）课外练习
1．自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。
2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。
课堂小结 归纳整理
请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图
课后习题 作业：
1．自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。
2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。
一、内容和内容解析
本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，他的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率精确值，同时古典概型也是后面学习条件概率的基础，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。主要内容有： １．基本事件的概念及特点：（１）任何两个基本事件是互斥的；
（２）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。２．古典概型的特征：
（１）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；（２）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）。
３．古典概型的概率计算公式，p(A)=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数，用列举法计算一些随机事件所含的基本事件的个数及事件发生的概率。随机事件概率的基本算法是通过大量重复试验用频率来估计，而其特殊的类型――古典概型的概率计算，可通过分析结果来计算。学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。所以教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的古典概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化古典概型的两个特征及概率计算公式。同时使学生初步能够把一些实际问题转化为古典概型，并能够合理利用统计、化归等数学思想方法有效解决有关的概率问题。
本节课的重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。
二、目标和目标解析 <一>知识与技能
1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 <二>教学思考: 让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系.<三>解决问题: 借助问题背景及动手操作，让学生不断体验古典概型的特征，充分认识到它在运用古典概型概率计算公式中的重要性。在合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识与能力.锻炼质疑、独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念.<四>情感态度与价值观: 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育.三、教学重点
理解古典概型的概念及利用古典概型公式求解随机事件的概率。
四、教学难点
怎么分析一个事件是否为古典概型以及在概率公式中古典概型的基本事件个数和基本事件总数
五、教具准备
多媒体课件、大转盘
六、教学问题诊断分析
学生在初中阶段学习了概率初步，在高中阶段学了随机事件的概率，并亲自动手 操作了掷硬币、骰子（包括同时掷两个）的试验，由此归纳出古典概型的两个特征不是难点，关键的问题是学生在解决古典概型中有关概率计算时，往往会忽视古典概型的两个特征，错用古典概型概率计算公式，因此在教学中结合例子进行深入讨论，加深对基本事件（相对性）的理解，让学生真正体会到判断古典概型的重要性，其中可以利用试验、统计、列举等手段来帮助学生解决问题。七．教学条件支持
为了有效实现教学目标，可借助计算机进行辅助教学。通过模拟和分析每种方式中每个基本事件的等可能性，引导学生发现在某些情况下每个基本事件不是等可能的。
八、教学过程
（一）新课导入：
教师提问：在之前的学习中，我们已经简单的了解了概率论的基本性质。可是，概率论是怎么起源的？数学家研究概率论问题是来自赌博者的请求。四百多年前，为了破解一个赌桌上如何分配金币的疑团，数学家开始了对概率论相关问题的思索。问题1：这究竟是一场怎样的赌局？ 问题2：赌局中遇到了哪些问题？
问题3：在这里又包含了哪些数学原理呢？
带着这些问题，共同走进第三章第二节—--古典概型。
教师引入：早在概率论产生之初，有着这样的一个故事，十七世纪的一天，梅尔和保罗相约赌博，他们每人拿出了6枚金币作为赌注，并约定谁先胜三局就可以得到所有的金币，可是比赛进行到梅尔胜两局保罗胜一局时，赌博被中断了。这个时候金币的分配成了难题，该怎么分配呢？每个人都有自己的想法，保罗认为，按照获胜的局数，梅尔胜了两局应该得到金币的三分之二，也就是8枚金币，而保罗则应该得到金币的三分之一，即4枚.可是梅尔自认为，我们约好了谁先胜三局谁就得到所有的金币，我已经胜了三局，有极大的的可能率先胜三局，因此金币应该全为梅尔所有。面对这么大的分歧，这 金币究竟怎么分配呢？此时他们请教当时法国著名的科学家帕斯卡和费尔马，两人为了这个数学问题开展了细致、深刻的研究。三年后，依据不同的方法给出了相同的答案，那就是梅尔得到9枚金币，保罗得到3枚金币。为什么会得到这样的结果呢？本节课我们就以费尔马的思想为例，看他是如何解决这个问题的。费尔马是这样考虑的，比赛在梅尔胜两局保罗胜一局的时候中断，如果我们让他们再赛一局的话，梅尔获胜，比赛终止，要是保罗获胜的话，比赛还得继续！也就是说，再进行一局不一定得到最终的结果。问题4：如果进行两局结果会怎么样呢? 教师总结：梅尔获胜或保罗获胜。在第一局是梅尔获胜的前提下，第二局有怎么样？梅尔获胜或保罗获胜两种情况。同样在第一局是保罗获胜的前提下，第二局呢？梅尔获胜或保罗获胜。
（二）评价概括，揭示新知问题
1.得出概念：数学家就是通过这样的数学模型归纳总结出了与它具有相同特点的数学模型，被成为古典概率模型，简称古典概型。
2.分析概念：那我们一起来总结一下，它究竟有哪些特点。
（1）在一次试验当中所有可能出现的基本事件只有有限个。（2）每个基本事件出现的可能性相等。3.回顾课堂：回到这场17世纪的比赛当中。教师提问：
问题5：应用我们学过的概率公式，所有可能出现的基本事件的概率之和等于必然事件发生的概率，因此，等于多少？
问题6：每个事件出现的概率相等，也就是说每个事件发生的概率都等于四分之一，我们来看这些基本事件，有哪些基本事件能让梅尔获胜呢？
问题7：再一次运用我们学过的概率公式，梅尔获胜的概率等于多少？
归纳总结：根据以前学习过的方法，梅尔获胜的概率等于梅尔获胜所包含的基本事件的个数3与基本事件总数4的比值，因此等于四分之三！数学家就是在这一计算方法的基础上，又总结出了在这一试验当中计算任一古典概型的通用公式。
4.得出公式：在一个古典概型当中，对于任一事件A而言，它所发生的概率，将等于A 所包含的基本事件的个数与基本事件总数的比值。
公式的运用：应用通用公式计算一下保罗获胜的概率是多少。
保罗获胜的概率等于保罗获胜所包含的基本事件的个数1与基本事件总数4的比值，因此等于四分之一，数学家们合理地分配了这12枚金币。梅尔得到金币的四分之三，9枚金币，保罗得到金币的四分之一，三枚金币。
随后，这一事件又被来到法国荷兰的科学家惠更斯获悉，他在这一游戏的基础上，写成了概率论最早的著作，而在这其后又被拉普拉斯定义了概率的古典定义。(三)动手实践，合作探究：
例子：学习了什么是古典概率极其概率公式之后，我们来将其应用到实际当中，看一个 现实生活中的小例子。
学生都见过有奖转盘的游戏，教师将转盘稍作改动，把1、2两个数字均匀地分布在圆盘上，游戏规则是这样的：将圆盘旋转两次，并将数字加和，为我们所要的结果。问题8:旋转两次，并将数字加和，能得到哪些结果呢？如果求的是数字之和为3的概率为多少？教师找一个同学来实践一下这个游戏，看看会得到哪些结果。（老师指向一名同学）来，这位同学，旋转„„（同学旋转一次）。
第一次的结果是„„1。第二次的结果依然是1，请回。注意指出：
（1）观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难.（2）要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控.在探究学习过程中,应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等，鼓励学生在学习中不怕困难积极思考，敢于表达自己的观点与感受,养成实事求是的科学态度.问题
9、该同学旋转的结果是1和1，请大家根据刚刚这位同学旋转的结果的基础上，再想想还没有没可能出现哪些基本事件？
问题
10、应用这个通用公式，如果用字母B来表示数字之和为3这一事件，它的概率等于多少？
九、练习巩固，发展提高.学生练习
问题11：在石头剪刀布这个游戏当中，若两人猜拳，手势相同的概率有多大？两人猜拳，第一个人可能出什么？在第一个人出拳头的前提下，第二个人可能出的是什么？同样，第一个人出剪子和布的时候，第二个人也会出这三种手势与之相对应。因此，我们得到了几个基本事件？手势相同的概率等于手势相同包含的基本事件个数3与基本事件总数9之商，因此等于三分之一。
问题12： 同时掷两个骰子，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
设计意图：这节课是在没有学习排列组合的基础上学习如何求概率，所以在教学中引导学生根据古典概型的特征，用列举法解决概率问题。深化巩固对古典概型及其概率计算公式的理解，和用列举法来计算一些随机事件所含基本事件的个数及事件发生的概率。培养学生运用数形结合的思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。
通过观察对比，发现两种结果不同的根本原因是——研究的问题是否满足古典概型，从而再次突出了古典概型这一教学重点，体现了学生的主体地位，逐渐养成自主探究能力。
十、教师总结
以上是本节课的主要说课内容，要求大家掌握什么是古典概型极其概率计算公式。概率论起源于十七世纪中叶，当时，在误差、人口统计、人寿保险等范畴中的应用，应运 而生了这样一门数学分支。最初，数学家研究概率论问题正式本节课我们所学习的这样 一场十七世纪的赌局问题。本节课我们用了费尔马的思想方法来解决这一问题，其实啊，帕斯卡也有他的功业，同学们不妨课后百度一下，看看他是如何解决这一问题的。下课！
一、常见的几种几何概型
1.与长度有关的几何概型
【例1】 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过, 乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的, 求乘客候车时间不超过3分钟的概率.
解:记A为“候车时间不超过3分钟”, 以x表示乘客来到车站的时刻, 那么每一个试验结果可以表示为x, 假定乘客到车站后第一辆汽车来到的时刻为t, 依据题意, 乘客必在 (t-5, t) 内来到车站, 故D={x|t-5<x≤t}, 欲使乘客候车时间不超过3分钟必须t-3≤x≤t,
所以
点评:对于一个实际问题能否用几何概型的概率公式求解的关键是能否将问题几何化.本例设参数x表示时间, 转化为用数轴上的线段 (几何图形) 来表示, 从而求出其概率.
2.与角度有关的几何概型
【例2】 在直角坐标系内, 射线OT落在60°角的终边上, 任作一条射线OA, 求射线OA落在∠xOT内的概率.
分析:以O为端点作射线OA是随机的, 因而射线OA落在任何位置都是等可能的.落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关, 符合几何概型的条件.
解:记B={射线OA落在∠xOT内},
3.与面积有关的几何概型
【例3】 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另人一刻钟, 过时即可离去, 求两人能会面的概率.
分析:甲、乙两人中每人到达会面地点的时刻都是6时到7时之间的任一时刻, 如果在平面坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间, y轴表示乙到达约会地点的时间, 用0分到60分表示6时到7时的时间段, 则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标 (x, y) 就表示甲、乙两人分别在6时到7时间段内到达的时间, 而能会面的时间由x-y≤15所对应的图中阴影部分表示.由于每人到达时间都是随机的, 所以正方形内每个点都是等可能被取到的 (即基本事件等可能发生) .所以两人能会面的概率只与阴影部分的面积有关, 这就转化为面积型几何概率问题.
解:以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间, 则两人能够会面的充要条件是x-y≤15.在如图3所示平面直角坐标系下, (x, y) 的所有可能结果是边长为60的正方形, 而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概率公式得:
即两人能会面的概率是
4.与体积有关的几何概型
【例4】在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 棱长为1, 在正方体内随机取点M, 求使四棱锥M-ABCD的体积小于的概率.
解:设M到面ABCD的距离为h, 则:
所有满足点M到面ABCD的距离小于的点组成以ABCD为底面, 高为的长方体, 其体积为, 又正方形体积为1, 所以使四棱锥M-ABCD的体积小于的概率P=
二、几何概型中当背景相似的问题, 而等可能的视角不同时, 结果也不尽相同
【例5】已知等腰RtABC中, ∠C=90°.
(1) 在直角边BC上任取一点M, 求∠CAM<30°的概率.
(2) 在∠CAB内作射线AM求∠CAM<30°的概率.
解: (1) 在BC上任取一点M0, 使∠CAM0<30°, 设BC=a, 则.
于是有P (∠CAM<30°) =.
(2) 如图4, 在∠CAB内作射线AM0, 使∠CAM0=30°,
于是有P (∠CAM<30°) =
点评:这两题的区别在于点M产生的方式不同, 前一题中, 点M可以是从C运动到B而均匀产生的, 第二题中则是AM从AC逆时针均匀运动到AB而产生的, 背景相同, 考虑的角度不同, 而产生了不同的概率.
【例6】在半径为1的圆的内随机地取一条弦, 则其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率是多少?
思路一:因任一条弦一定与圆有两个交点, 不失一般性, 可先固定其中一点于圆周上, 以此点为顶点作一等边三角形, 显然只有落入此三角形内的弦才满足要求, 这种弦的另一端经过的弧长为整个圆周的 (如图5-1) , 故所求的概率为.
思路二:弦长只与弦心距有关, 而与方向无关, 因此可以假定它垂直于某一直径, 当且仅当它与圆心的距离小于时, 其长才大于3 (如图5-2) , 因此所求概率为.
思路三:弦长被其中点唯一确定, 当且仅当其中点属于半径为的同心圆内时, 弦长大于3.此小圆面积为大圆面积的, 故所求概率为.
一、求和法
如果所求事件较为复杂，我们可以将事件分为几个彼此互斥的事件分别求解，利用互斥事件的概率加法公式求解.（当事件A与B互斥时，P（A∪B）=P（A）+P（B））
例1某商场举行抽奖活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3的四个小球的抽奖箱中每次抽出一个小球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率.
分析：列出取球的所有结果，中三等奖包括两个互斥事件，分别求解，然后求和，中奖包括三个互斥事件，分别求解，然后求和.
解析：设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B.
从四个小球中有放回地取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），共16种不同的结果.
（1）记两个小球的号码之和为x，则由题意可知，事件A包括两个互斥事件：x=4，x=3.
事件x=4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1），故P（x=4）=316；
事件x=3的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），故P（x=3）=416.
由互斥事件的加法公式，得P（A）=P（x=3）+P（x=4）=416+316=716.
（2）由题知事件B包括三个互斥事件：中一等奖（x=6），中二等奖（x=5），中三等奖（事件A）.
事件x=5的取法有2种：（2，3），（3，2），故P（x=5）=216；
事件x=6的取法有1种：（3，3），故P（x=6）=116，
由（1）可知，P（A）=716，
由互斥事件的加法公式，得P（B）=P（x=5）+P（x=6）+P（A）=216+116+716=58.
点评：将复杂事件的概率转化为彼此互斥事件的概率进行求解，其关键在于确定事件划分的标准，要保证不重不漏，即依据此标准划分后，任意两个事件不同时发生，并且这些互斥事件的并集就是所求事件.
二、正难则反法
对于较复杂的古典概型问题，如果直接求解有困难时，可利用正难则反的思维策略，将其转化为其对立事件的概率求解.此类试题的典型条件是“至少”、“至多”、“否定”或“肯定”等.
例2一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n 分析：利用列举法求解编号之和大于4的概率，列举出又放回抽取两球编号的所有结果，满足n 解析：（1）从袋中随机抽取两个球，其一切可能结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个. 因此所求事件的概率为13. （2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）（3，2），（3，3）（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个. 所有满足条件n≥m+2的事件为（1，3）（1，4）（2，4），共3个. 所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=316， 故满足条件n 点评：在数学解题中，若从正面或顺向难以解决，则不妨进行反面或逆向思考，这就是正难则反策略.这种策略提醒我们，从正面解决困难时可考虑反面求解，直接解决困难时可考虑间接解决，顺推困难时可考虑逆推.这种思维实际上是逆向思维，体现了思维的灵活. 三、数形结合法 根据已知条件作出大致的几何图形.从而确定运用何种测度公式. 例3已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1. （1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率； （2）设点（a，b）是区域x+y-8≤0 x>0 y>0内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率. 分析：根据原函数是增函数确定a，b的范围，枚举基本事件总数与事件A的个数，可求第（1）问，作出可行域，计算测度（面积），计算第（2）问. 解析：（1）∵函数f（x）=ax2-4bx+1图象的对称轴为x=2ba，要使f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a>0且2ba≤1，即2b≤a. 若a=1，则b=-1；若a=2，则b=-1，1；若a=3，则b=-1，1.
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为515=13.
（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，
函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|a+b-8≤0
a>0
b>0}.
构成所求事件的区域为三角形部分，由a+b-8=0
b=a2得交点坐标为（163，83）.
∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=13.
点评：几何概型问题难度不大，但需要准确理解题意.解决此类问题首先要确定所求事件中对应的图形的形状，该图形的确定往往取决于元素的个数，一个元素多与线段的长度或角度相关，两个元素多与平面图形的面积相关，三个元素多与几何体的体积有关，然后确定该事件的度量依据，最后确定度量方法.
四、构造模型法
当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型来求之.
例4在区间[0，1]上任取三个实数x、y、z，事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}.
（1）构造出此随机事件对应的几何图形；
（2）利用该图形求事件A的概率.
分析：由于事件A对应的结果是由三维数构成的，所以试验的所有结果都是由三维数构成，转化成与体积有关的几何概型问题.
解析：（1）如图，由区间[0，1]上的三个实数组成的基本事件总体构成以1为边长的正方体，对应的集合Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，而随机事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}对应的几何图形为在正方体内以O为球心，以1为半径的球的18部分.
（2）由于x，y，z属于区间[0，1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分.
∴P（A）=18×43π×1313=π6.
点评：基本事件的对应结果用有序实数组表示，要注意概率的取值范围，若数的取值是离散的，则为古典概型；若数的取值是连续的，则可转化为几何概型.由于x、y、z的取值是[0，1]上的任意实数，其构成三维空间，转化为与体积有关的几何概型.构造几何图形时要注意变量的取值范围对图形的限制.在将概率问题进行转化时，要注意表示事件结果的数值的个数，一个数的转化为与长度有关的几何概型，两个数的转化为与面积有关的几何概型.三个数的转化为与体积有关的几何概型.endprint
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为515=13.
（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，
函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|a+b-8≤0
a>0
b>0}.
构成所求事件的区域为三角形部分，由a+b-8=0
b=a2得交点坐标为（163，83）.
∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=13.
点评：几何概型问题难度不大，但需要准确理解题意.解决此类问题首先要确定所求事件中对应的图形的形状，该图形的确定往往取决于元素的个数，一个元素多与线段的长度或角度相关，两个元素多与平面图形的面积相关，三个元素多与几何体的体积有关，然后确定该事件的度量依据，最后确定度量方法.
四、构造模型法
当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型来求之.
例4在区间[0，1]上任取三个实数x、y、z，事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}.
（1）构造出此随机事件对应的几何图形；
（2）利用该图形求事件A的概率.
分析：由于事件A对应的结果是由三维数构成的，所以试验的所有结果都是由三维数构成，转化成与体积有关的几何概型问题.
解析：（1）如图，由区间[0，1]上的三个实数组成的基本事件总体构成以1为边长的正方体，对应的集合Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，而随机事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}对应的几何图形为在正方体内以O为球心，以1为半径的球的18部分.
（2）由于x，y，z属于区间[0，1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分.
∴P（A）=18×43π×1313=π6.
点评：基本事件的对应结果用有序实数组表示，要注意概率的取值范围，若数的取值是离散的，则为古典概型；若数的取值是连续的，则可转化为几何概型.由于x、y、z的取值是[0，1]上的任意实数，其构成三维空间，转化为与体积有关的几何概型.构造几何图形时要注意变量的取值范围对图形的限制.在将概率问题进行转化时，要注意表示事件结果的数值的个数，一个数的转化为与长度有关的几何概型，两个数的转化为与面积有关的几何概型.三个数的转化为与体积有关的几何概型.endprint
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为515=13.
（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，
函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|a+b-8≤0
a>0
b>0}.
构成所求事件的区域为三角形部分，由a+b-8=0
b=a2得交点坐标为（163，83）.
∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=13.
点评：几何概型问题难度不大，但需要准确理解题意.解决此类问题首先要确定所求事件中对应的图形的形状，该图形的确定往往取决于元素的个数，一个元素多与线段的长度或角度相关，两个元素多与平面图形的面积相关，三个元素多与几何体的体积有关，然后确定该事件的度量依据，最后确定度量方法.
四、构造模型法
当一些代数问题的概率不能直接计算时，可通过建立函数关系，确定约束条件，构造几何模型来求之.
例4在区间[0，1]上任取三个实数x、y、z，事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1}.
（1）构造出此随机事件对应的几何图形；
（2）利用该图形求事件A的概率.
分析：由于事件A对应的结果是由三维数构成的，所以试验的所有结果都是由三维数构成，转化成与体积有关的几何概型问题.
解析：（1）如图，由区间[0，1]上的三个实数组成的基本事件总体构成以1为边长的正方体，对应的集合Ω={（x，y，z）|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}，而随机事件A={（x，y，z）|x2+y2+z2<1，x≥0，y≥0，z≥0}对应的几何图形为在正方体内以O为球心，以1为半径的球的18部分.
（2）由于x，y，z属于区间[0，1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分.
∴P（A）=18×43π×1313=π6.
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