平行线的性质优秀教学反思（通用16篇）
一、教材分析
教师是用教材教，而不是教教材，但教师的教学内容及合理性仍然要依靠教材，而不能脱离教材，所以对于一名青年教师来说，深刻挖掘教材是我首先也必要做的一件事，只有深刻发现教材的安排特点，掌握教材安排的用意，才能更好的去理解掌握并传授给学生。教材的设计符合学生的认知特点，层层递进，所以深挖教材，把握教学重难点并合理分配课时，能够使学生对于内容的理解更深刻清晰。在平行线的性质第一课时中，重点内容为平行线性质的探究及应用，所以在授课过程中应将着眼点放在学生对性质的理解上，并强化学生基于性质之上的应用，使学生掌握并进行实际应用。并在挖掘概念的过程中提炼出内容的实质并注重知识的落实。
二、课标分析
数学课程标准明确指出，数学活动的发展依照观察、实验、猜想、证明的过程进行，由问题的特殊性转化到一般方式上，从而得出问题的结论。这样的活动过程符合学生的认知特点，并能够清晰的展示问题的思考过程，所以在授课时要严格贯彻数学课程标准的目标思想，这样便提示了我们掌握课标的重要性。
著名的美国数学家、数学教育家波利亚指出:“对于学习数学的学生和从事数学工作的教师来说, 猜想是一个重要的方面, 因为:在证明一个数学定理之前, 你先得猜测这个定理的内容;在你完全做出详细的证明之前, 你先得猜测证明的思路;你既要把观察到的结果进行综合, 然后加以类比;又要一次一次地进行尝试……我们通常得到的那个证明 (或解答) , 就是这样通过合情推理、通过猜想发现的.”由此可见, 数学是伴随着猜想而发展的, 从这个意义上来说“怎么强调猜想的重要性都不为过!”立体几何教学所倡导的“直观感知、思辨论证、度量计算”的教学理念, 从某种意义上来说可以理解为让学生经历操作、实验、观察, 通过分析、综合, 提出猜想, 再对猜想进行计算验证和证明, 最终形成结构优良的知识体系.基于上述理解, 我校高二数学备课组在2011学年上学期的集体备课、教研活动中以“用行动阐释课程理念, 向课堂要效益”为主题, 在立体几何教学中进行了一些有益的尝试, 其中不乏精彩的案例, 现择其一例“人教A版必修2‘平面与平面平行的性质’”实录如下, 并附上个人的一些思考.
1 课例实录
1.1 引入新课——教学生猜想策略
教师打开PPT, 依次展示牛顿和波利亚的图片 (如图1) , 并简单介绍:牛顿Isaac newton (1643—1727) 英国科学家, 人类历史上最伟大的科学家之一, 其名言:没有大胆的猜想, 就不可能有伟大的发明和发现!
波利亚George Polya (1887—1985) 美籍匈牙利数学家, 当代最著名的数学家之一, 法国科学院、美国科学院、匈牙利科学院院士, 其名言:数学既要证明, 又要猜想!
师:由此可见猜想的重要性, 这节课让我们一起来进行一次猜想之旅!我们猜想的主题是:两个平面平行有哪些性质?如何猜想呢?猜想的常见策略之一是:适当增加条件.
1.2 操作感知——运用猜想策略
师:如图2, 两个平面放在这儿能发现什么吗?
生:发现不了什么.
师:那怎么办呢?
生1:可以增加一条直线.
师:你比划给大家看看.
生1: (在黑板上边比划边说) 当直线l与平面α相交时, 也必定与平面β相交, 当l在α内时, 必与平面β平行, 当l与α平行时, l与平面β平行或在β内. (教师板书记录)
生2:可以添加两条直线, (以两只笔代替直线摆弄了一小会儿, 在教师的提示下发现) 如果两条直线平行, 那么夹在两平行平面间的线段长度相等.
师:上面两位同学通过添加直线, 发现了4个结论, 其他同学还有想法吗?
生3:还可以添加平面, 如果一个平面和两平行平面中的一个平行, 也必定平行于另一个平面;如果一个平面和两平行平面中的一个相交也必定和另一个相交.
(此时, 有学生在小声议论, 认为学生3发现的第二个结论没什么意义)
师:大家在议论什么?认为第二个结论没什么意义是吗?可别忘了平面相交有交线哦!……
生4:这两条交线是平行的, 比如这两本书平行摆放, 第三本书与这两本书无论怎么样相交, 上下两条边总是平行的.
师:你能用语言表述出来吗?
生4:如果一个平面和两个平行平面相交, 那么两条交线平行.
1.3 思辨论证——在证明中学会推理
师:通过增加直线或者是平面, 同学们发现了7个结论, 严格来讲, 这7个结论只能算7个猜想, 猜想是否正确还需要严格的证明, 要证明这7个猜想, 我们先要做哪些工作?哪位同学说说看.
生5:先要画出图形, 再根据猜想写出已知、求证, 然后才是证明.
师:对, 我们先要根据猜想的条件、结论画出图形, 再用符号语言写出已知、求证, 这就是我们常说的文字语言、图形语言、符号语言三者之间的转换, 下面请第一组同学证明结论1, 2, 3, 第二组同学证明结论5, 第三组同学证明结论7.
学生独立完成证明后, 教师每组挑选一个同学的证明, 通过投影引导大家一起分析图形画的是否正确、符号语言表示是否准确、推理过程是否合乎逻辑, 订正错误, 并对照检查自己的证明过程.
1.4 整理结论——在反思中建构
师:数学在其发展过程中发现的结论不计其数, 但是能够作为定理、性质的却不多, 同学们想想, 要是从上面7个命题中选择一个作为“平面与平面平行的性质”, 你会选择哪一个?理由是什么?
生6:我会选择第2个, 即:“若两平面平行, 那么一个平面内的任何一条直线必定与另一个平面平行.”因为由线面平行可以判定面面平行, 反过来由面面平行可以得到线面平行, 前后呼应.
生7:我会选择第7个, 即:“如果两个平行平面都和第三个平面相交, 那么所得的两条交线互相平行.”理由是:线线平行是所有平行的基础, 能够由最复杂的面面平行得到最基本的线线平行是一种回归, 揭示了知识间的关联, 应用更加广泛.
……
师:同学们说得很有道理, 受大家刚才的启发, 我个人认为作为定理、性质必须具备这样几个条件: (1) 表述简洁、明了; (2) 应用广泛; (3) 能贯通前后知识间的联系.以上仅是我个人的一点看法, 就我所知还没有看到有关这方面的一些论述, 有兴趣的同学不妨就这个问题做些研究, 我期待将来有一天能看到在座某位同学的研究结果, 课本上是把第7个结论作为性质, 第2个结论也可以作为性质, 到今天为止, 我们研究了线线平行、线面平行、面面平行的判定与性质, 请大家画一个知识框图揭示三种平行间的关系.
引导学生得到图3的知识结构框图, 教师小结:由左至右, 研究的问题越来越复杂, 复杂的问题都是转化为简单问题进行研究, 这体现了数学中的“化归与转化”的思想, 由右至左是性质, 可以看出, 复杂的问题中蕴含着简单性质.
1.5 习题训练——实战中提炼方法
问题:如图4, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F分别为AB1, BD的中点, 求证:EF∥平面BB1C1C.
师:请大家结合知识结构框图从方法的角度分析:证EF∥平面BB1C1C有哪些思路? (思考了大约一分钟)
学生8:有两个思路, 从判定的角度看只需证明直线EF与平面BB1C1C内的一条直线平行即可, 从性质的角度来看, 只需要证明经过直线EF的某个平面与平面BB1C1C平行就好了.
师:分析得很对, 做题先要分析思路, 再动手寻找方法, 这叫“宏观上把握方向, 微观上探寻路径”, 下面请大家沿着刚才的思路写出具体的证明过程.
两个学生板演, 其他学生在草稿本上完成, 再集体批改学生的板演, 交流不同的证明方法.
2 几点思考
平面与平面平行的性质是中学阶段从形的角度研究平行关系的最后一节内容, 学生由线线平行到线面平行, 再到面面平行, 图形渐次复杂, 但是研究的问题是不变的:如何判定?有何性质?研究的方法一以贯之的转化与化归, 既然是平行关系的收官课, 教学不能仅仅定位在性质定理的教学上, 还要凸显研究的思想方法, 构建平行关系的知识网络, 如何把这三者有机的融合是上好这一节课的关键.
2.1 性质教学——起于猜想, 提升于选择
命题教学是数学教学的重要内容之一, 命题的获得有两种形式:呈现式和发生式两种, 前者是教师直接给出命题, 后者是在揭示命题发生、发展的过程中使学生感悟命题发现的方法.平面与平面平行的性质, 图形简洁、直观, 具有较强的操作性, 易于学生探究, 利于采用发生式引导学生获得命题, 能较好的践行新课程理念, 在新课引入就阐明:这节课我们要进行猜想之旅;猜想的常见策略是增加条件, 以确保后续的猜想得以顺利进行.学生在动手操作过程中提出了7个猜想, 教师没有一一证明, 而是在7个猜想之后, 明确提出要求:画出图形、写出已知求证, 分组完成证明.很好的做到了自然语言、图像语言、符号语言之间的转换, 7个命题的证明对学生来说并不困难, 而作为性质不可能面面俱到, 选哪个命题作为性质呢?把选择权教给学生, 让学生在选择的过程中阐明理由, 深化对知识体系的认识, 这种取舍不是简单、随意的选择, 而是通过对知识前后关联的思考、比较中, 选取联系最紧密、应用最广泛的命题作为性质.
2.2 在梳理过程中建构知识网络, 凸显思想方法
平面与平面平行的性质是几何意义上研究平行关系的收官课, 关于平行的梳理学生可以自主完成, 用框图形式勾勒出知识发生发展的逻辑结构、研究的问题、研究的方法, 聚三者于一图, 易于学生从整体上构建知识网络, 感悟数学研究的方法.在例题教学中, 教师不急于给出证明, 而是要求学生结合问题条件、结论和知识框图, 宏观上分析证明的思路, 在应用中深化对数学思想方法的理解.
参考文献
[1]陈继理, 江建国.“生”动的课堂才是高效的课堂[J].中国数学教育 (高中版) , 2012 (1-2) :43-45.
[2]喻平.数学教育心理学[M].南宁:广西教育出版社, 2004.
[关键词] 平行线的性质；教学设计
教学目标
1. 知识与技能
掌握平行线的性质定理2和性质定理3，并能够进行简单的应用.
2. 过程与方法
通过对判定和性质定理1的回忆与类比，引导学生通过观察、猜测和论证得到性质定理2和性质定理3. 引导学生有条理地思考和表达自己的探索过程和结果，从而进一步增强分析、概括、表达的能力，使学生能够顺利地得到平行线的性质及掌握其推导过程，并进行相关的计算和推理训练.
3. 情感态度价值观
让学生在类比猜测等数学活动中体验探索、交流、成功与提升的喜悦，激发学生学习数学的兴趣，进一步树立学生的学习自信心，培养学生大胆猜想、验证、推理的严谨科学态度.
教学重点
平行线的性质定理2和性质定理3的得出.
教学难点
平行线的性质定理2和性质定理3的探索，对性质与判定的深化理解.
教具
三角板、PPT课件.
教学过程
1. 复习回顾，引入新课
（1）知识回顾：如图1（PPT显示，黑板上也同时画出）.
回忆“三线八角”的定义，请学生指出他们的相互关系.
（2）回忆平行线的判定定理，在学生回答的基础上用PPT展示定理内容及数学表示方式：
◎同位角相等，两直线平行.
因为∠1=∠2， 所以a∥b.
◎内错角相等，两直线平行.
因为∠3=∠2，所以a∥b.
◎同旁内角互补，两直线平行.
因为∠4+∠2=180°，所以a∥b.
（3）回忆平行线的性质定理1，同样在学生回答后用PPT展示定理内容.
◎两直线平行，同位角相等.
因为a∥b，所以∠1=∠2.
2. 探索发现
探究1：引导学生说出判定定理实际上就是讲的具备怎样的“三线八角”的关系后就有a∥b .性质定理实际上就是讲的具备a∥b后的“三线八角”的关系.
探究2：引导学生得出性质1与判定1的关系与特点.
探究3：请学生猜测还有没有其他性质，引导学生在类比的基础上猜测出性质定理2和性质定理3，并引导学生用学习过的知识与方法说明性质定理2和性质定理3的正确性. 在学生说理的基础上，正确写出证明过程（如果学生能够上台书写就让学生书写；不能，则教师书写，目的在于让学生感受并养成这样的习惯）：
因为a∥b，所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
因为∠4+∠1=180°，所以∠4+∠2=180°（等式性质）.
在这些基础上得出：
平行线的性质定理2：两直线平行，內错角相等.
平行线的性质定理3：两直线平行，同旁内角互补.
在实际应用过程中我们的书写应该是：
因为a∥b，所以∠4+∠2=180°.
因为a∥b，所以∠3=∠2.
3. 典型例题，师生互动
教材P19例1，在学生说理后修改教材写法为学生正规书写（板书）.
4. 巩固知识，拓展提高
练习：如图2，已知平行线AB，CD被直线AE所截.
已知 ∠1=110°，则∠2 ，∠3，∠4是多少度？为什么？
5. 谈收获
总结：抽学生口头讲解本课所学知识，然后用PPT展示的方式进行课堂知识总结.
最后将箭头改成双向.
在这个过程中特别注意强调，性质定理2和性质定理3是学生自己猜测并论证的，在鼓励、表扬学生的同时提出要求，要学生养成这样思考的好习惯.
6. 布置作业，强化理解
作业：习题5.3.1中的第7，13，14题.
选作：如图3，若AB∥CD，你能确定∠B，∠D与∠BED的大小关系吗？说说你的看法.
本节课首先提出问题：
1.请同学们回顾前面学过的平行线的判定方法，并说出它们的已知和结论分别是什么？
2、把这三句话的已知和结论颠倒一下，可得到怎样的语句？它们正确吗？ 这样通过复习旧知,引出新知，通过提问,让学生思考,针对问题,敢于发表自己的见解。紧接着让学生动手操作，利用我们学习的平行线的画法，画出两条互相平行的直线，作出截线，找出其中的同位角，让学生讨论用什么样的方法可以验证同位角之间的关系，学生说出可以用度量的方法或剪切的方法来验证，然后让学生选择其中的一个方法进行验证，把验证的结论告诉大家，从而得出平行线的性质一，用这样的方法可以让学生都参与到教学中来，提高了他们动手、动脑的能力，而且增加了学习兴趣。再让学生用“∵”、“∴”的推理形式，也就是数学符号
语言的形式把性质一表示出来。这样可以增强学生的数学符号感。
另外两个性质让学生想办法验证，再利用性质一来推导，加强了学生的逻辑推理能力。
反思本节课的教学有以下成功之处:
1、这节课是在学生已学习习近平行线判断方法的基础上进行的，所以我通过创设一个疑问：能不能通过两直线平行，来得到同位角相等呢，自然引入新课，激发学生的思考，进而引导学生进行平行线性质的探索。
2、整个课最突出的环节是平行线性质的得到过程，事先让学生准备好白纸，三角板，在上课时学生通过自主画图进行探索，得到猜想，再通过验证发现的。即在学生充分活动的基础上，由学生自己发现问题的结论，让学生感受成功的喜悦，增强学习的兴趣和学习的自信心。在探究“两直线平行，同位角相等”时，要求全体学生参与，体现了新课程理念下的交流与合作。
3、在教学中，设计了知识的拓展环节，加深了学生对平行性质的理解。
4、在练习的设置过程中，从简到难，由简单的平行线性质的应用到平行线性质两步或三步运用，学生容易接受。
这节课存在的问题：
1、在上课过程中，担心学生由于基础差，不能很好的掌握知识，所以新课教学时间过长，学生练习时间短。
北师大版八年级上册数学《平行四边形的性质》教学反思
上完课后，总体感觉还可以，主线突出，学生通过动手操作的过程和自制教具、多媒体课件的演示，得出并掌握性质，效果比较好。例题能够引导学生用不同的方法去解决问题，能根据学生的具体情况在练习的过程中及时发现问题，并通过投影指出错误，规范说理过程，反馈工作做得较到位。但需要改进的地方确是更多的。在得出平行四边形定义的时候花了不少时间让学生回忆四边形的定义，其实是没什么用的，只需把本节课需用到的四边形内角和等于360°带过便足够。直接的引入应该可以更节省时间，把本节课要研究的问题直接摆出来，让学生明确自己的任务。学生根据学案上的步骤画图时是有些麻烦的，困难在于不理解文字想要表达的意思，不知道该怎样做，这时可以更灵活地利用实物投影给学生做示范，但要注意作图规范（尤其是线段的平移）。性质的探索所花的时间也较长，从三个过程才得出几个性质。其实由平行四边形是中心对称图形可以一次过把所有的性质都得出，这样学生还是需要动手做，但可以更快地得到结果。引导学生得出平行四边形对角线互相平分时，有学生回答对角相等且互相平分，这时应及时强调一般的平行四边形的对角线是不相等的，即明确指出。对角线互相平分的几何语言表示还可以是。另外，因为学生有平行线性质和全等图形的知识铺垫，也可以由两个全等三角形拼出平行四边形，再利用全等三角形的特征得出平行四边形的性质（但这种方法需要严格的推理过程，没有由中心对称得出性质来得形象）。由于性质探索部分花了较多时间，导致练习的时间不够多。应该让学生在练习的时候有更多的时间讨论，说得更多。可把练习的1、2、3题放在例题前，先填空，再学着说理，增强练习的梯度性；第4题作为例题的类型题可放在例题后面，巩固对性质的运用；第5题作为对角线互相平分性质的运用，应更注意提醒学生怎样思考。还可以多加一道综合应用各个性质的题，让学生学会灵活运用性质解决问题。小结部分也做得较匆忙，如果时间充裕的话，应由学生自己归纳本节课的内容，把性质按边、角、对角线作归纳，配以图表方便记忆。
本节课以学生习以为常的“平行光线在室内的投影”为情境引出课题，激起学生强烈的好奇心和求知欲。使学生不知不觉中走入数学王国，经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程实践探究，把学生置于结论的发现过程。
首先，将枯燥的概念教学赋予有趣的实际背景，使教学内容更生动、更鲜活.通过拼图游戏，让学生经历了平行四边形概念的探究过程，自然而然地形成平行四边形的概念，符合学生的认知规律。再通过对拼出的四边形分类，进一步加深学生对概念本质的理解。
其次，遵循学生学习数学的认知规律，对教材内容进行了重组加工，将教材中平行四边形性质的探究活动完全开放。为学生提供了自主合作探究的舞台，营造了思维驰骋的空间，激发了学生思维创新的火花。变式训练，把学生置于创新思维的深入培养过程。把书中一道命题证明的练习题改编成有趣的实验操作型问题，做到源于教材，活于教材。使学生学会用运动、变化的观点分析问题，从而培养学生思维的严谨性、发散性、灵活性，达到举一反三的作用。最大限度地发挥学生的潜能，活跃思维，培养学生的合作意识、创新精神。反思小结，把学生置于知识系统建立的过程中。这节课的结尾，既有对课堂知识的系统小结，又有对思想方法的高度凝炼，提升学生思维品质，让学生获得可持续发展的动力。板书设计充分体现了本节课的学习要点，给学生留下清晰的记忆。
例1:已知:如图1, 直线a∥b.求证: (1) ∠1=∠6; (2) ∠1+∠2=180°; (3) ∠2+∠4+∠3+∠6=360°.
证明: (1) ∵a∥b (已知) ,
∴∠1=∠3 (两直线平行, 同位角相等) .
又∵∠3=∠6 (对顶角相等) ,
∴∠1=∠6.
(2) ∵a∥b (已知) ,
∴∠1=∠3 (两直线平行, 同位角相等) .
又∵∠5+∠3=180° (邻补角的定义) ,
∴∠1+∠5=180°.
(3) ∵a∥b (已知) ,
∴∠1=∠3, ∠4=∠5 (两直线平行, 同位角相等) ,
∴∠2=∠5 (两直线平行, 内错角相等) .
又∵∠5+∠3=180°, ∠5+∠6=180° (邻补角的定义) ,
∴∠2+∠4+∠3+∠6= (∠5+∠3) + (∠5+∠6) =180°+180°=360°.
即:∠2+∠4+∠3+∠6=360°.
分析:这里运用了平行线的性质: (1) 两直线平行, 同位角相等; (2) 两直线平行, 内错角相等, 对顶角相等, 以及临补角的定义和等量代换等性质.如果不能牢记这些基本知识, 就很难进行推理论证, 所以要把这些性质熟记在心, 并注意把性质与判定区别开来, 而且还要学会使用因果推理论证的方法.“因”就是条件, “果”就是结论.
例2:如图2, 如果∠1=∠2, ∠C=∠D, 那么∠A=∠F吗?为什么?
分析:要使∠A=∠F, 必须DF∥CA, 因为如果DF∥CA, 就有∠A=∠F, 那么在什么情况下DF∥CA呢?于是就会想到前面学过的平行线的判定定理, 看看DF和CA有没有平行的可能.根据已知条件可知, ∠2和∠3互为对顶角, ∠2=∠3, 再由已知条件∠1=∠2可得∠1=∠3, 而∠1和∠3是一对同位角, 于是由平行线的判定定理可知BD∥CE (同位角相等, 两直线平行) , 下面再根据平行线的性质“两直线平行, 同位角相等”, 即可得到∠4=∠C;又因为已知∠C=∠D, 所以我们可以得到∠4=∠D, 于是可证明DF∥CA, 从而可进一步推出∠A=∠F.
解:结论:∠A=∠F, 道理如下:
∵∠1=∠2 (已知) , ∠2=∠3 (对顶角相等) .
∴∠1=∠3.
∴BD∥CE (同位角相等, 两直线平行) .
∴∠4=∠C (两直线平行, 同位角相等) .
又∵∠C=∠D,
∴∠4=∠D,
∴DF∥CA (内错角相等, 两直线平行) .
∴∠A=∠F (两直线平行, 内错角相等) .
例3:如图3, 在△ABC中, BE⊥AC于E, DF⊥AC于F, BC∥ED, BE是∠ABC的平分线, 那么∠BED=∠ADF吗?
分析:由于BE⊥AC于E, DF⊥AC于F, 所以∠AFD=∠AEB=90°, 根据平行线的判定定理可知:DF∥BE, 根据平行线的性质定理可知:∠ADF=∠ABE, (两直线平行, 同位角相等) , ∠BED=∠FDE (两直线平行, 内错角相等) ;再由已知条件BC∥ED, 可知∠ADE=∠ABC (两直线平行, 同位角相等) , ∠BED=∠EBC (两直线平行, 内错角相等) ;BE是∠ABC的平分线, ∠ABE=∠EBC (平分线的性质) , 所以可推出∠CBE=∠FDE, ∠ADF=∠FDE, 于是可知∠BED=∠FDE=∠ADF, 即:∠BED=∠ADF.
解:结论:∠BED=∠ADF, 道理如下:
∵BE⊥AC于E, DF⊥AC于F,
∴∠AFD=∠AEB=90° (垂直的定义) .
∴DF∥BE (同位角相等, 两直线平行) .
∴∠ADF=∠ABE (两直线平行, 同位角相等) ,
∠BED=∠FDE (两直线平行, 内错角相等) .
又∵BC∥ED (已知) ,
∴∠ADE=∠ABC (两直线平行, 同位角相等) ,
∠BED=∠EBC (两直线平行, 内错角相等) .
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠EBC (平分线的性质) ,
∴∠BED=∠CBE=∠FDE, ∠FDE=∠ADF=∠ADF (等量代换) ,
∴∠BED=∠ADF.
求∠AFC的度数.
分析:已知条件是:AB∥CD∥EF, ∠AEC=80°, , 据此我们可以想到利用平行线的有关性质, 比如:“两直线平行, 内错角相等.”于是可想到利用已知度数的∠AEC, 作辅助线, 延长FE (所作的辅助线应使用虚线) , 如图4, 这样就把∠AEC变成了两个角的和, 于是有:∠AEC=∠AEM+∠MEC, ∠AFC=∠FAB+∠FCD.接下去就很容易解题了.因为, ∠EFA=∠FAB, ∠EFC=∠FCD, 所以, 所以
解:作辅助线, 延长FE,
根据上述综合应用平行线性质解答有关问题的方法可知:教师在解答这类问题时, 一定要让学生牢牢掌握平行线的性质, 知道平行线性质的来由, 牢牢把握平行线的判定与性质的区别, 而且能在推理过程中正确地应用它们, 并注意文字语言、图形语言、符号语言间的相互转化.还要懂得几何中的计算往往要说理, 这就要求让学生不仅要熟悉解答几何计算题的格式和要求, 还要懂得由“已知”条件推得一系列新结论的推理方法.对于简单的题目, 能做到想得明白, 写得清楚, 书写规范, 对于较难的题目, 要与图形结合, 从图形中找出解决问题的入手点, 进行探究思考、推理证明.另外, 在解题过程中, 教师一定要让学生搞清楚每一步推理的依据, 严格按照解题的格式和要求去做.
【附典型训练题】
1.如图5, 直线AD与AB、CD相交于A、D两点, EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F, 如果∠1=∠2, ∠B=∠C.求证:∠A=∠D.
2.如图6, 若直线AB∥ED, 请你探求∠B、∠C、∠D之间的数量关系, 并说明理由.
3.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边, 那么这两个角之间有怎样的数量关系?请说明你的理由.
4.如图7, 已知∠ABC=40°, ACB=60°, BO、CO平分∠ABC和∠ACB, DE过O点, 且DE∥BC, 求∠BOC的度数.
5.如图8, AB∥CD, EF分别交AB, CD于M、N, ∠EMB=50°, MG平分∠BMF, MG交CD于G.求∠1的度数.
6.如图9, 已知AB∥CD, AE平分∠BAC, CE平分∠ACD, 那么AE与CE有什么关系呢?请你在得出结论后, 用一句话把题设与结论完整地总结出来, 作为有用的命题.
【答案与提示】
1.证明:∵∠1=∠2, ∠2=∠BMA (对顶角相等) ,
∴∠1=∠BMA,
∴CE∥BF,
∴∠B+∠BEC=180°.
又∵∠B=∠C
∴∠C+∠BEC=180°,
∴AB∥CD (同旁内角互补, 两直线平行) ,
∴∠A=∠D (两直线平行, 内错角相等) .
2.解:结论是∠C+∠D-∠B=180°.理由如下:
如图10, 过点C作CF∥AB, 则∠B=∠2.
∵AB∥ED, CF∥AB,
∴ED∥CF (平行于同一条直线的两直线平行) ,
∴∠1+∠D=180° (两直线平行, 同旁内角互补) .
而∠1=∠BCD-∠2=∠BCD-∠B,
∴∠BCD-∠B+∠D=180°, 即∠BCD+∠D-∠B=180°.
[注:平行线CF是联系AB、DE的桥梁, 本题还有其他做法.]
3.解:结论是这两个角相等或互补.理由如下:
如图11, ∠1的两边与∠2、∠3的两边分别平行.
∵AB∥CD, AF∥CE,
∴∠1=∠4, ∠4=∠2 (两直线平行, 内错角相等) ,
∴∠1=∠2,
又∵∠2+∠3=180°,
∴∠1+∠3=180°.
从而∠1=∠2, ∠1+∠3=180°.
[注:解答本题应分情况讨论, 全面考虑.]
4.提示:由于BO、CO平分∠ABC和∠ACB, 且DE∥BC, 所以可知, 又因为∠DOB+∠EOC+∠BOC=180°, 所以可知∠BOC=130°.
5.提示:要求∠1的度数, 根据两直线平行可得∠1=∠BMG, 所以只要根据已知条件求得∠BMG的度数即可.解:因为AB∥CD, 所以∠1=∠BMG (两直线平行, 内错角相等) , 又因为∠EMB=50°, MG平分∠BMF, 所以, 所以∠1=65°.
6.结论:如果两条平行线被第三条直线所截, 那么两个同旁内角的平分线就互相垂直.解题提示:过E作EM∥AB交AC于M, 利用平行线的性质: (1) 两直线平行, 内错角相等; (2) 两直线平行, 同旁内角互补, 接下去根据已知条件:AE平分∠BAC, CE平分∠ACD, 即可推出结论.
题1如图1，已知AB∥EF，试说明∠BCF=∠B+∠F．
上面的条件可归纳为以下三个部分：①AB∥EF；②一条折线BCF在两条平行直线AB、EF之间；③折线BCF折一次．
（1）把其中的折线BCF折一次改为折两次．如图2，已知AB∥EF，试说明∠α+∠CDF=∠β+∠BCD.
（2）把条件中的点C在AB、EF之间改为点C在AB、EF之外．如图3，已知AB∥EF，试说明∠α、∠β与∠ACM之间有何关系．
解： 如图1，作CD∥AB，根据平行线的性质易证明∠BCF=∠B+∠F.
（1）如图2，分别过C、D作CG∥AB，DH∥AB.
∵EF∥AB，CG∥AB，DH∥AB，
∴EF∥AB∥CG∥DH.
∴∠α=∠1，∠2=∠3，∠4=∠β.
∴∠α+∠CDF=∠1+∠β+∠2=∠BCD+∠β.
（2）如图3，过点C作CN∥AB.
∵EF∥AB，CN∥AB，
∴EF∥AB∥CN.
∴∠α=∠1，∠NCM=∠β=∠1+∠ACM.
∴∠β=∠α+∠ACM.
探索心得：涉及两条平行线间的折线问题时，通常过折点作与两平行线都平行的直线，构造相等角或补角解题.同时要根据图形的位置关系，结合各种情况分类讨论．
题2直线AB∥CD，它们之间有一动点E，AB上有一动点M，直线CD上有一动点N，画图观察∠AME、∠CNE和∠MEN（均小于180°）之间的关系，并证明你的结论.
解： （1）当点E在M、 N所在直线的左边时，如图4，有∠AME+∠CNE=∠MEN.理由如下.
过点E作EF∥AB.
∵CD∥AB，EF∥AB，
∴EF∥AB∥CD.
∴∠AME=∠1，∠CNE=∠2.
∴∠AME+∠CNE=∠1+∠2=∠MEN.
（2）当点E在M、N所在直线的右边时，如图5，有∠AME+∠CNE+∠MEN=360°.理由如下.
过点E作EF∥AB.
∵CD∥AB，EF∥AB，
∴EF∥AB∥CD.
∴∠AME+∠1=180°，∠CNE+∠2=180°.
∴∠AME+∠CNE+∠MEN=360°.
（3）当点E在直线MN上时，如图6，∠MEN是平角.此时，∠AME+∠CNE=∠MEN.
探索心得：解答动态问题时，要从动中觅静，在运动变化过程中探索问题的不变性.既要考虑问题的一般情形，也要考虑问题的特殊情形．
指导老师：田道元
《探索平行四边形的性质》是在学生具备“三角形全等”的知识、学习了“轴对称、平移、旋转”之后，进而学习“四边形”一章的起始课。本节课的探索方法与思想将导引学生进行后续学习“菱形、矩形、正方形和等腰梯形、多边形”的相关知识。因此，在本节课中，大量的“学生实验操作——细心观察——学生发现——进行推理验证”这种模式导引、渗透是否到位将直接影响本章的学习效果。故在教学中，着重使学生在学习过程中体会“实验——观察——猜想发现——验证” 这一探究问题的方法。使学生在合作交流的愉悦中得到知识，获取科学的学习方法。
本节课开始时学生有些紧张，经过两个“互动平台”和“想一想”、“议一议”等环节促使学生探索交流的积极性高涨。体现在对“平行四边形性质”探索时的推理论证，学生思维活跃，发言积极；在“新知应用2”证明线段DE=BF时，讨论时的积极热烈，让我感动和欣慰；在达标测评环节中，学生能独立冷静思考，有理有据地讲明理由；在“做一做”的活动中，学生思维深刻，灵活性强。可见，前面的交流与探索已水到渠成。课堂中一个学生的“双语”使用，给我们的课堂又加了点“糖”，同时也提醒我要不断提高自己，才能使学生更加信服你，爱戴你；从学生随堂练习展示中，部分学生忘记辅助线作法，提示我在教学中对此的强调可能还欠火候。本节课我为学生创设了大量的数学活动和交流的空间，使他们在合作交流中进步。
《数学课程标准》中指出“学生学习的数学内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动进行观察、实验、猜测、验证、推理、交流等数学活动”，在探索平行四边形的性质中，我设计了“我的发现、想一想、议一议、做一做”等环节，使学生深刻感受到探索的价值，体验成功的喜悦，感受数学中的“转化、化归”思想。本节教学过程中，我为学生创设了数学活动和交流的空间。通过“实验—观察—猜想—发现—探究—推理验证—模仿体验”完成本节知识的学习，学生讨论积极热烈，合作学习愉悦，他们在合作交流中增长了知识，积累了经验，发展了思维，提高了能力。
1、在自主活动中享受学习的乐趣，喜欢数学
有人说“思维的火花在于指间”，通过动手做，学生的思维得到了激发。实践证明，让他们投入到丰富的学习活动中去，动起来，是一种行之有效的途径。所以在本节课的教学中，我提供给学生许多不同的学具，以小组的形式，让学生自己选择喜欢的学具制作平行四边形，让每个学生都有观察、操作、分析、思考的机会，提供给学生一个广泛的、自由的活动空间。通过在钉子板上围一围，方格纸上画一画，吸管摆一摆探索发现“对边相等”这一特征。通过用直尺在白纸上画一画，发现 “对边平行”这一特征。用图形摆一摆，发现平行四边形和其它图形的`关系。当学生通过动手动脑，在探索中初步发现平行四边形的特征。这些发现，对于小学生来说则是他们利用自己已有的知识经验，在独立操作、独立观察、测量、思考以及相互讨论的基础上得出的“新发现”，这就是他们的创造。教学到这里，我又不失时机地引导他们去验证，对 “全新发现”作出积极的评价。通过说一说，让学生不仅深刻理解平行四边形的特征，使感性认识上升为理性认识，而且进一步激发学生探索、研究的欲望，通过大胆尝试、探索，感受数学的乐趣，激起学习的热情。
2、在探索发现中体验成功的喜悦，拥有自信
一、求角度
例1（2013年江西省中考题）如图1，?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______。
分析已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边CD,则有AD=DE,即△ADE为等腰三角形，顶角∠ADE=∠BCF，则可求∠DAE。
解因为?荀ABCD与?荀DCFE的周长相等，且有公共边CD，
所以AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°。
所以∠DAE=■（180°-∠ADE）=■×50°=25°。
点评本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质。先要明确∠DAE的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角的度数，关键是要求得∠ADE=∠BCF=130°。
二、求线段长
例2（2013年黑龙江省哈尔滨市中考题）如图2，在■ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（）
A．4B．3
C．■D．2
分析根据平行四边形性质得出AB=DC，AD∥BC，可推出∠DEC=∠BCE，从而有∠DEC=∠DCE，可推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可。
解因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AD∥BC，所以∠DEC=∠BCE。
因为CE平分∠DCB，所以∠DCE=∠BCE。
所以∠DEC=∠DCE，所以DE=DC=AB。
因为AD=2AB=2CD，CD=DE，所以AD=2DE。
所以AE=DE=3，所以DC=AB=DE=3。
故答案选B。
点评本题考查了平行四边形性质、平行线性质、角平分线定义、等腰三角形的性质和判定的应用，解题的关键是求出DE=AE=DC。
三、求周长
例3（2013年山东省烟台市中考题）如图3，?荀ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O。点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为______。
分析根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得OB=OD，又因为点E是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，则有OE=■BC，所以易求得△DOE的周长。
解因为?荀ABCD的周长为36，
所以2（BC+CD）=36，则BC+CD=18。
因为四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，BD=12，
所以OD=OB=■BD=6。
又因为点E是CD的中点，所以OE是△BCD的中位线，
所以OE=■BC。
所以△DOE的周长=OD+OE+DE=■BD+■（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15。
故答案填15。
点评本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质。解题时，同学们要灵活利用“平行四边形对角线互相平分”“平行四边形的对边相等”的性质。
四、证明角相等
例4（2013年浙江省衢州市中考题）如图4,在?荀ABCD中,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BE、DF分别交AD、BC于E、F，求证: ∠BED=∠BFD。
分析∠BED和∠BFD是四边形BFDE的对角,所以只要证明四边形BFDE是平行四边形即可。
证明因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC。所以∠1=∠3。
又BE、DF分别平分∠ABC与∠ADC，所以∠3=■∠ABC，
∠2=■∠ADC。
又∠ABC=∠ADC, 所以∠3=∠2。所以 ∠1=∠2。所以BE∥DF。
又AD∥BC,所以四边形BFDE是平行四边形。
所以∠BED=∠BFD。
点评利用平行四边形的定义及性质是证明线段平行、线段相等或角相等的一种重要方法,而且这种方法非常简捷。
五、证明线段相等
例5（2013年四川省泸州市中考题）如图5，已知?荀ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长交AB的延长线于点E。求证：AB=BE。
分析根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥CD，可推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，可以证明△CDF≌△BEF，从而推出BE=DC，即可证明。
证明因为F是BC边的中点，所以BF=CF。
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AB∥CD。
所以∠C=∠FBE，∠CDF=∠E。
所以△CDF≌△BEF（AAS），所以BE=DC。
因为AB=DC，所以AB=BE。
点评本题考查了平行四边形性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质的应用，解题的关键是推出△CDF≌△BEF。
六、求最值
例6（2013年四川省达州市中考题）如图6，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?荀ADCE中，DE最小的值是（）
A．2B．3C．4D．5
解析由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短可知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值。
因为在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
所以AC=■=5。
因为四边形ADCE是平行四边形，
所以OD=OE，OA=OC=2.5。
所以当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC。
所以OD=■=1.5，
所以ED=2OD=3。
故答案选B。
点评本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识。解答本题的关键，是利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质。
七、综合问题
例7（2013年云南省中考题）如图7，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（）
A．S■ABCD=4S△AOB
B．AC=BD
C．AC⊥BD
D．?荀ABCD是轴对称图形
分析根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可。
解因为平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
所以AO=CO，DO=BO。
所以S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB，
所以S■ABCD=4S△AOB，故A选项正确。
无法得到AC=BD，故B选项错误；无法得到AC⊥BD，故C选项错误；■ABCD是中心对称图形，故D选项错误。
故答案选A。
一、注重平行四边形定义、定理学习过程, 抓好定义、定理教学, 合理安排教学
平行四边形的定义、定理, 从现实世界得到其意义, 又在更大的范围内作用于现实, 学生只有在理解定义、定理的来龙去脉及其意义, 而且熟练地掌握它们的各种用法, 从而得到理性的认识之后, 在数学学习中才能灵活地对其进行各种等价叙述, 并在一个抽象的符号系统中正确应用, 从而达到对数学符号语言学习的最高水平。教学过程是教师具体对某一个数学符号进行讲解、分析、举例、考查的过程。一些看起来相似, 用起来容易混淆的定义, 最好采用对比法教学。
例如, 在学习“三角形的中位线”时, 和“三角形的中线”相比较, 平行四边形的定理都要进行推理论证, 但其重要的是掌握定理的条件和结论, 我们不要喧宾夺主, 例如, “定理:三角形的中位线平行于第三边, 且等于第三边的一半。”教学的重点不仅仅是证明定理, 更是理解和掌握这个定理及结论, 并能利用这个结论解决相关问题, 定理理解掌握了, 对学好几何证明也就有了强大的基础。
二、要合理破译图形语言的数形关系
图形语言是一种视觉语言, 通过图形给出某些条件, 其特点是直观, 便于观察与联想, 观察题设图形的形状、位置、范围, 联想相关的数量或等式, 这是破译图形语言数形关系的基本思想。 (1) 从语言到图形, 即根据语言画出直观图。 (2) 从图形到符号, 即把已有的直观图中各种位置关系用符号表示。 (3) 从符号到图形, 即根据符号所示的条件, 准确地画出相应的图形。在教学过程中要引导学生会把几何定义、定理从“语言文字叙述”转化为“几何语言表达”。几何命题有文字语言表达、图形表达和几何语言表达三种方式。同一个命题, 虽然表达的方式不同, 但表达的意思是一样的。如,
文字语言表达为:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
几何语言表达为:∵AB∥DC, AD∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形
几何图形表达为:
几何定义、定理大都采用文字语言表达。因此, 教师在教学时就必须加强学生的文字语言表达、几何图形表达和几何语言表达三者的有机结合训练, 让学生对三种表述方式能互相转化, 互译自如。
三、要注重从分析到综合的逻辑推理和由分析到综合的逻辑思维
在几何学习中, 有些学生对几何论证逻辑性差, 有些题目似乎自己看懂了, 但就是写不出来, 究其原因, 主要是其分析综合能力比较差。如果每一道题都能从分析到综合或由综合分析 (两头凑) 到综合多练几遍, 这种现象就有可能大大减少。
如下图, 在平行四边形ABCD中, M、N分别是BC、AD的中点, 线段AM和CN分别交对角线BD于E、F。求证:BE=EF=FD。
1.分析法
2.综合法
平行四边形ABCD圯BC∥AD, AD=BC圯圯FF
3.分析综合法 (两头凑)
由已知:易知
由未知:
四、一题多解, 培养学生思维能力
一题多解可以变学生的单向思维为多向思维, 开阔学生的视野。对于同一道题, 从不同的角度去分析研究, 可能会得到不同的启示, 从而引出多种不同的解法, 或者通过不同的侧面的观察, 将学生的思维触角伸向不同的方向, 摆脱固定的思维方式, 发现思维过程中的不足, 以完善学生的思维过程和思维品质。
如下图, 已知在荀ABCD中, BF=DE, 求证:四边形AFCE是平行四边形。
证法一: (利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
在荀ABCD中, AB=CD, AB∥CD
证法二: (利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
在荀ABCD中, AB=CD, AD=BC, ∠D=∠B
证法三: (利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
在荀ABCD中, DC∥AB, AD=BC, ∠D=∠B, AB=DC
证法四: (利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形)
在荀ABCD中, ∠D=∠B, ∠DAC=∠DCB,
DC=AB, AD=BC
一、教材分析
《平行四边形的性质》选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）八年级下册第十九章第一节．本节课内容是学生在小学阶段初步了解特殊四边形以及学过《三角形》这章的基础上进行的，教材首先通过丰富的生活实例，让学生体会平行四边形，然后又观察归纳性质最后通过试一试做一做等栏目让学生主动参与、亲自动手操作，进一步拓展学生的思考与探索的空间，本节课的内容是全章的重点内容，学好本节内容可以为学好全章打下基础，这些性质是解决有关实际问题的重要工具。
二、教学目标
（1）知识与技能方面：学生掌握平行四边形的有关概念；探索平行四边形的性质，会运用平行四边形的性质解决有关问题；通过学生猜测结论，培养学生的猜想能力和观察能力；通过开放式教学，培养学生的创新能力和思维的灵活性。（2）过程与方法方面：培养学生提出问题的能力，并能在提出问题的基础上确定研究问题的基本方向及研究方法，渗透从特殊到一般的拓展研究策略，同时发展学生合情推理及有条理地表达能力。
（3）情感态度与价值观方面：培养学生善于发现，勇于探索的精神；让学生在探求知识的活动过程中体会成功的喜悦，从而增强其学好数学的信心。
三、教学流程设计
教学环节
（如：导入、讲授、复习、训练、实验、研讨、探究、评价、建构）
教师活动 学生活动
信息技术支持（资源、方法、手段等）
教学活动
一、设置情境，导入课题
提出问题：知识来源于生活，又服务于生活。我们经过校门时，是否注意到电动门的机械工作原理（教师用几何画板演示开关门的过程）演示多媒体
学生认真观察然后回答问题（１）图上有没有自己所熟悉的图形？是什么图形？（2）开关门的过程实质上是什么图形变化的过程？
（3）如何定义平行四边形？如何表示？
多媒体出示教师提出的问题（几何画板演示开关门的过程）
多媒体显示
电脑显示：用几何画板演示，教师拖动B点，改变平行四边形的形状、位置、大小。通过几何画板显示使学生形象直观的看到平行四边形的边与角的数据的变化，从而水到渠成的得出平行四边形的性质。（多媒体演示）
2.教师做好引导点拨，你从几何直观上能观察猜想到什么结论？请把你的结论说出来。
（鼓励学生互相讨论，大胆发言）
很好！同学们的观察很细致，也非常全面，下面我们来看一下这些结论中那些是已学过的，哪些是没有学过的。
3.水到渠成——得出平行四边形的性质
使学生经历观察—探索—发现—归纳—猜想，培养学生数学思维，从特殊到一般的猜想证明思路
1.学生根据出示的幻灯片，分组观察数据的变化，思考后进行交流，目的是培养学生分析概括数学材料的能力与数学语言表达能力。
（1）平行四边形的对边平行（2）平行四边形的对边相等（3）平行四边形的对角相等(4)平行四边形的对角 线互相平分(5)平行四边形的邻角互补
(6)平行四边形内外角的和均为360。（7)平行四边形具有不稳定性。学生自己写出“已知、求证”教师分析证题思路，而证明过程可由学生自己完成．教师可板书一种证明方法，规范书写完整的证明过程。以便培养学生规范书写证明过程的习惯
3.学生通过上述的探究过程进行总结新的结论 【结论】①平行四边形的对边相等．
②平行四边形的对角相等． ③平行四边形的对角线互相平分。
大冶市第二实验中学 华先法
一、教学内容
平行四边形的概念，平行四边形边、角的性质，平行线间的距离。
二、教学目标
1、理解平行四边形的概念。
2、探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质。
3、初步体会几何研究的思路和方法。
三、教学重点
平行四边形边、角的性质探索和证明。
四、教学难点
通过连接对角线，用全等三角形知识证明平行四边形性质。
五、教学过程设计
1、观察抽象，形成概念 引言
前面我们学习了许多图形与几何知识，掌握了一些探索和证明图形几何性质的方法，本节开始，我们继续研究生活中的常见图形。
问题1 观察这些图片，从中能否找到平行四边形的形象？
师生活动：学生积极踊跃发言，教师用电脑演示从实物中抽象出平行四边形的过程。
问题2 你知道什么样的图形叫做平行四边形吗？ 师生活动：教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。说明定义的两个方面作用：既可以作为平行四边形的性质，又可以作为判定平行四边形的依据。介绍平行四边形的符号表示方法。
2、概括证明，探索性质
问题3 回忆我们的学习经历，研究几何图形的一般思路是什么？
师生活动：学生可能难以回答，此时教师引导学生回顾全等三角形的学习过程，得出研究的一般过程：先给出定义，在研究性质和判定。教师进一步指出：性质的研究，其实就是对边、角等基本要素的研究。
问题4 对于平行四边形，从定义出发，你能得出它的性质吗？ 师生活动：教师引导学生通过观察、度量，提出猜想。猜想1：平行四边形的对边相等。猜想2：平行四边形的对角相等。追问1：你能证明这些结论吗？
师生活动：一般地，学生会先 考虑分别证明这两个结论。利用平行线的性质证明对角相等，通过添加辅助线，利用全等证明对边相等。证后会发现用全等可以证明这两个结论，让学生领悟，证明线段或角相对通常采用证明三角形全等的方法。而图形中没有三角形，只有四边形，我们需添加辅助线，构建全等三角形，将四边形问题转化为三角形问题来解决，突破难点，进而总结提炼出化四边形问题为三角形问题的基本思路。
追问2 ：通过证明，发现上述两个猜想正确，这样就得到了平行四边形的两个重要性质。你能说出这两个命题的题设与结论，并运用这两个性质进行推理吗？
师生活动：教师引导学生辨析定理的题设和结论，明确应用性质进行推理的基本模式：
∵ 四边形
ABCD是平行四边形（已知），∴ AB=CD，AD=BC（平行四边形的性质）； ∠DAB=∠DCB，∠B=∠D（平行四边形的性质）．
3、应用知识，解决问题 问题5 如图2，在ABCD中，（1）若∠B=40°，求其余三个角的度数．
（2）若AD=8，其周长为24，求其余三条边的长度． 师生活动：出示题目后让学生口答，并说明理由。此题解决后进一步复述平行四边形边、角的性质：平行四边形的对边平行且相等，平行四边形的邻边互补、对角相等。例1 如图，F．求证：AE=CF．
ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，师生活动：师生交流，要证明线段相等，我们可以利用全等三角形的性质，而全等的条件可由平行四边形的性质得到。在此基础上，引导学生写出证明过程，并组织学生进行点评。
追问：DE=BF吗？如图，直线a∥b，A，B为直线a上的任意两点，点A 到直线b 的距离和点B 到直线b 的距离相等吗？为什么？
师生活动：结合前面的分析，可以得出如果 两条直线平行，那么一条直线上所有点到另一条
直线的距离都相等。此时教师适时介绍两条平行线间的距离。
例2 △ABC是等腰三角形，AB=AC, P是底边BC 上一动点，PE∥AB，PF∥AC，点E，F分别在AC，AB 上．求证：PE+PF=AB．
师生活动：实际教学中，教师引导学生分析思路，写出证明过程。
4、小结
教师引导学生参照下面问题回顾总结：（1）本节课我们学习了那些知识？
（2）你觉得对一个几何图形的研究通常是怎样进行的？
5、布置作业
教科书第43页练习第1，2题；习题18.1第1,2,7,8题。
五、目标检测设计
1、在ABCD中，∠A=50°，则∠B= °，∠D= °
2、在ABCD中，∠A+∠C=240°，则∠A= °，∠B= °。
3、如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，AD= cm。
4、如图，在ABCD中，AE=CF,求证：AF=CE。
1.设计理念
新课标指出:“教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握, 对一些核心概念和基本思想要贯穿数学教学的始终, 帮助学生逐步加深理解.”因此, 本节课创设适当的问题情境, 引发必要的认知冲突, 通过对教材内容的再创造、再设计, 构建一个反映数学内在发展逻辑、符合学生数学认知规律的概念体系, 揭示概念的内涵和外延, 突出概念的核心.正确理解数学概念是掌握数学知识的前提, 也是理解和体会数学思想方法的基础, 更是提高解题能力的关键.数学学习是从概念学习开始的, 所以数学教学应从概念生成出发.
2.教学重点与难点
重点:概率的基本性质.
难点:互斥事件与对立事件的联系与区别及应用.
3.学法与教学用具
(1) 讨论法:师生共同讨论, 从而加深学生对概率基本性质的理解和认识.
(2) 教学用具:多媒体.
二、课堂教学实录
1.新课导入
教师:通过学习导学案, 我们今天要学习什么内容?
学生:概率的基本性质.
教师:非常正确.现在请大家自学整理1分钟, 对学、群学讨论1~15分钟.
2.学生独学、对学、群学
教师进行巡视调查与析疑, 发现大部分学生对课堂内容准备、理解不到位, 完成不彻底.主要原因是其中列举事件太多, 分类太细, 不利于理解.因此, 教师做出了更改教学内容的决定, 等到大部分学生的讨论基本结束 (10分钟左右) 后, 教师请两位学生在黑板上画两个人, 并分别编号为A、B.
3.课堂展示
教师引导, 用多媒体展示基本概念:
(1) 事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (见课本) ;
(2) 若A∩B为不可能事件, 即A∩B=, 那么称事件A与事件B互斥;
(3) 若A∩B为不可能事件, A∪B为必然事件, 那么称事件A与事件B互为对立事件;
(4) 当事件A与B互斥时, 满足加法公式:P (A∪B) =P (A) +P (B) ;若事件A与B为对立事件, 则A∩B为必然事件, 所以P (A∩B) =P (A) +P (B) =1, 于是有P (A) =1-P (B) .
教师:请看黑板, 黑板上所画人物B正在对人物A说一句“你死我活” (将成语“你死我活”写在人物B旁边) .请同学们思考人物B所说的“你死我活”这个成语中包含了几个事件?这些事件有什么关系?
学生之前对黑板上的人物感到莫名其妙, 现在一听, 顿时来了兴趣, 稍做思考之后, 纷纷站起来发言.
学生A:成语“你死我活”包含了两个基本事件, 即“你死”与“我活”.
学生B:不对, “你死我活”包含了四个基本事件:“A死”, “B活”;“A活”, “B死”;“A、B都死”;“A、B都活”.
学生一下子争论起来, 有的认为是两个基本事件, 有的认为是四个基本事件.逐渐的, 认为是两个基本事件的意见占据了主导地位.
教师:学生B用“A死”、“B活”的表达方式较好, 这可不是说我俩之间的“你死我活”啊 (教室里笑声一片) .我和大家的看法一样, 认为这个成语表示的是“一死一活”的事件.如果是两个基本事件的话, 请问它们是什么关系?
学生:它们是互斥事件.
教师:为什么?
学生:因为A、B只有一个能活.
教师:它们是否是对立事件呢?为什么?
学生:是对立事件, 因为不是“A死B活”, 就是“A活B死”, 两个只有且必有一个发生.
教师:如果真是大家所说的这种情况的话, 那么它们既是互斥事件, 又是对立事件.
“学生教师” (学生以教师的身份) 讲授课前准备.
(接下来, 学生以教师的身份上台, 讲授课前准备的其他部分, 教师站在教室内旁听.)
在讲解课前准备时, 有学生站起来说:“老师, 你能举例说明一下互斥事件与对立事件吗?”
讲台上的“学生教师”准备不充分, 无法自己讲解, 但他马上请了一位自己认为是“高手”的学生C来讲解这个问题.
学生C:互斥事件就是不同时发生的事件.如这里有1、2、3、4四个数字, 从中抽取一个数字, 记“抽到1的事件为A”, “抽到2的事件为B”, “抽到3的事件为C”, “抽到4的事件为D”.这些事件任意两个都不可能同时发生, 所以这些事件中任何两个均为互斥事件.
学生:那么它们也是对立事件吗?
学生C:不是这样的.虽然A发生了, B一定不会发生;但是A不发生的时候, B却不一定发生.所以事件A、B不是对立事件.但我们可以想办法使它们是对立事件 (将数字3、4擦掉, 只剩下数字1、2) , 现在从这两个数字中“抽取一个数字1”和“抽取一个数字2”的事件就是对立事件.
太棒了!学生由衷地感叹, 因为这种理解是他们在不断探索中获得的, 教师只是适时地作了引导.于是课堂气氛又热烈起来.
师:若A∩B为不可能事件 (A∩B=ø) , 那么事件A与事件B互斥.其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生.若A∩B为不可能事件, A∪B为必然事件, 那么事件A与事件B互为对立事件.其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.
“学生教师”接下来讲解课前准备.在写概率的取值范围的时候, 他写成了“0<P (A) <1”, 马上有学生站起来说:“由于事件的频数总是小于试验的次数, 且必然事件的概率为1, 不可能事件的概率为0.所以0<P (A) ≤1.”并且走上讲台用彩色粉笔进行了修改.
教室里马上就形成了两派, 在一番讨论之后, 达成了一致意见:“0≤P (A) ≤1”.
教师出示例题:
【例1】判断下列每对事件是否是互斥事件, 是否是对立事件.
从一副桥牌 (52张) 中任取一张:
(1) “抽取红桃”与“抽取黑桃”;
(2) “抽取红色牌”与“抽取黑色牌”;
(3) “抽取的牌点数为3的倍数”与“抽取的牌点数大于10”.
教师首先将黑板分好块, 规定哪一块是哪道例题, 所有例题, 允许任何一位学生上台板书.当教师一提出开始展示例题时, 前后两块黑板前马上挤满了学生, 还不时有学生上台为本组学生纠正错误.
待学生写好了之后, “学生教师”上台检查与点评例1.黑板上书写的答案都是对的, 但是有学生提出了疑问.
学生D:老师, 我认为“抽取的牌点数为3的倍数”与“抽取的牌点数大于10”这两个事件是互斥事件.
“学生教师”:这不是互斥事件, 因为如果抽到Q, 它是12点, 它既是3的倍数, 又满足点数大于10.不满足互斥事件“只有一个发生”的条件.
学生D:假如我抽到的是8点呢?它既不是3的倍数, 又不大于10点.这时事件A与事件B都不发生, 所以它们应该是互斥事件.
学生E (立即站起) :互斥事件要求“事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生, 而不是某一次试验中不会同时发生”, 你认识发生偏差了.
教师点评:“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的.互斥事件是不可能同时发生的两个事件, 而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件.因此, 对立事件必须是互斥事件, 但互斥事件不一定是对立事件.也就是说, “互斥事件”是“对立事件”的必要但不充分条件, “对立事件”是“互斥事件”的充分但不必要条件.
【例2】如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张, 那么取到红心 (事件A) 的概率是1/4, 取到方块 (事件B) 的概率是1/4.问:
(1) 取到红色牌 (事件C) 的概率是多少?
(2) 取到黑色牌 (事件D) 的概率是多少?
接下来, 另一位“学生教师”引导检查与点评了例2.前后黑板上板书的解答都写成: (1) 因为P (A) =14, P (B) =1/4, 所以P (C) =P (A) +P (B) =1/2.学生都觉得很完整.
教师在“学生教师”下了讲台之后, 再次引导学生检查.
教师:是否所有的概率都可以直接相加呢?
学生:书本上没说.
教师:我们学的概率加法公式的前提是什么?
学生:当事件是互斥的时候就可以使用概率的加法公式.
教师:这些解题的过程中体现这个前提了吗?
学生:都没有, 过程不严谨, 应该改为:因为A、B为互斥事件, P (A) =1/4, P (B) =1/4, 且抽到红色牌 (事件C) 包括A、B两个基本事件, 所以P (C) =P (A) +P (B) =1/2 (教师补充板书第 (2) 问) .
【例3】某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率为0.24, 0.28, 0.19, 0.16, 0.13.计算这个射手在一次射击中:
(1) 射中10环或9环的概率;
(2) 至少射中7环的概率;
(3) 射中环数不足8环的概率.
“学生教师”点评与讲解例3中的易错点.
4.总结与小测
教师:好了, 现在请大家自我评价一下本节课的学习情况, 并用双色笔将自己出现过问题的地方标出来.接下来进入5分钟当堂检测.检测之后, 学生报答案, 集体纠正.对于检测, “学生教师”讲解得特别到位.
教师:请大家总结、反思自己本节课在学习中遇到的问题, 并将它记录下来.
师生小结:1事件的包含、并事件、交事件、相等事件的概念.
2事件A与事件B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生, 事件A和事件B在一次试验中不会同时发生.
3对立事件是针对两个事件来说的, 一般来说, 若两个事件对立, 则这两个事件必是互斥事件;反之, 若两个事件互斥, 则未必是对立事件.
4对立事件是一种特殊的互斥事件, 若事件A与事件B是对立事件, 则A与B互斥, 且A∪B是必然事件.
5从集合角度来看, 事件A 的对立事件是全集中由事件A 所含结果组成的集合的补集.
三、课堂教学反思
1.心理学研究表明, 数学概念的学习要经历感知、理解、保持和应用四种心理过程.教师在进行概念教学时, 要“讲背景、讲思想、讲应用”, 重视基本概念在智力开发、能力培养、情感体验、认知训练等方面蕴含的教育价值, 深入挖掘新旧知识间内在的联系, 追寻知识发生的轨迹, 遵循学生认知发展的规律, 循序渐进, 水到渠成, 引导学生主动完成新知识的构建.
2.本节课在发现学生对课前准备出现畏难情绪时, 如果继续按照原来的教学思路进行, 可能会导致学生对后面知识失去学习兴趣, 临时改变为探究“你死我活”的成语所包含的事件.虽然将学生从情绪低迷中带了出来, 学生互动得比较到位, 但还是存在着不足之处:
(1) 忽略了对事件的包含、并事件、交事件的概念的准确理解.这样的情况以后在备课中应提前预想到.
(2) 在学生讲解课前准备的时候, “学生教师”讲解得不是很透彻, 未能从两个互斥事件进行推广, 思维有跳跃性, 应加以提醒.
(3) 学生对前面的知识还有混淆.如在上课的时候, 有学生居然说了一句“必然事件与必然不可能事件”.
(4) 评分细节需要完善.在这一节课中, 学生学习的热情很高, 但是评分细节没有跟上, 只有数学课代表对小组进行了评分记载.教学实践证明, 评分细节不完善会直接影响到学生学习兴趣的培养.
四、课堂教学评析
本节课做到了教师在课堂上“消声”, 学生在课堂上“有声”, 学生成了课堂的主角、学习的主体, 教师成了组织者和参与者.整个教学以生为本, 关注学生的情感、意志、品质、价值观, 以学生思维的最近发展区为起点, 情境灵活, 内容丰富, 重视学生能力的培养和主体性的发挥, 符合学生的认知规律, 有助于学生自主学习、探究和综合运用能力的提高.课堂是学生学习活动的核心阵地, 只有课堂快乐了, 学生才能切实感受到学习的快乐;课堂充实了, 学生才能体会到生命的充实;课堂精彩了, 学生才能享受到生活的精彩.
关键词：平行四边形；向量性质；空间推广
利用平面向量的知识，平行四边形有以下性质：
定理1：不过点A的直线l分别交平行四边形ABCD边所在直线AB，AD于点P，Q，交对角线所在直线AC于点M，若满足=x，=y，=k，则+=．
证：如图1所示，因为=+，所以=k+k．……①
又P，Q，M三点共线（A不在直线l上），所以=λ+μ（其中λ+μ=1），……②
结合题设，由②得=λx+μy．……③
联立①③得k+k=λx+μy?．
又因为与不共线，故有λ+μ=1，λx=μy=k，所以+=1，即+=．
定理1的逆定理：P，Q，M分别是平行四边形ABCD边所在直线AB，AD及对角线所在直线AC都异于点A的点，且=x，=y，=k，若满足+=，则P，Q，M三点共线．
证：如图1所示，因为=+，所以=k+k．
由题设知=，=，则=+．
由于+=k×+=k×=1，从而有P，Q，M三点共线．
利用类比的方法易将平行四边形的性质推广到空间，于是有以下性质：
定理2：不过点A的平面α分别交平行六面体ABCD－A1B1C1D1棱所在直线AB，AD，AA1于点P，Q，R，交对角线所在直线AC1于点M，若满足=x，=y，=z，=k，则++=．
证：如图2所示，在平行六面体中有=++，
所以=k+k+k．……①
又P，Q，R，M四点共面（A不在平面α上），
所以=λ+μ+t（其中λ+μ+t=1），……②
结合题设，由②得=λx+μy+tz．……③
联立①③得k+k+k=λx+μy+tz．
又因为，与不共面，故有λ+μ+t=1，λx=μy=tz=k，所以++=1，即++=．
定理2的逆定理：?摇P，Q，R，M分别是平行六面体ABCD－A1B1C1D1棱所在直线AB，AD，AA1及对角线所在直线AC1都异于点A的点，且=x，=y，=z，=k，若满足++=，则P，Q，R，M四点共面．
证：如图2所示，因为=++，所以=k+k+k．
由题设知=，=，=，则=++．
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