均值不等式典型错误案例分析

均值不等式典型错误案例分析（共7篇）

均值不等式典型错误案例分析 篇1

四川省

何成宝

题目：已知正数x，y满足x+2y=1，求解法一: ∵x+2y=1 ∴

11的最小值.xy11111=(x+2y)()≥22xy·2=42 xyxyxy11的最小值为42.xy① 故1x2x解法二: ∵ 

12y22y①+② 得 x+2y+

②

11≥2+2 xy ∴11≥1+22

xy11的最小值为1+22.xy故解法三: ∵x+2y=1

∴11112yx=()(x+2y)=3+≥3+2 2 xyxyxy11的最小值为3+22.xy

故以上三种解法得到三个不同答案,显然至少有二个是错误的.那么究竟错在什么地方呢? 错解剖析: ∵ x=2y, 11= 矛盾 xy∴不能取等,故解法一错.由①式 x=

1x=1, ∵ xR+ ∴x=1 x由②式 2y=

均值不等式典型错误案例分析 篇2

忽视各项应均为正数的条件致误

例1:求函数的最值.

错解:设

剖析:这里没有考虑t, 是否为正, 就冒然使用均值不等式.事实上, , 故而是错解.

正解:设

忽视积 (或和) 为定值的条件致误

例2:求函数y=2x (5-3x) , 的最大值.

错解:

剖析:上述解法中, x+ (5-3x) 不是定值 (常量) , 是个变量, 不符合均值不等式的条件, 故而是错解.

正解:

当然, 此题也可用二次函数的有关方法来解.

忽视积式 (或和式) 中各项相等的条件致误

例3:求函数y=2x (x-1) (8-3x) , 的最大值.

错解:

剖析:上述解法中“≤”号中的等号若成立, 则应有:2x=x-1=2-3x, 显然这是不可能的.

正解:

∴当x=2时, ymax=8.

忽视自变量取值的同一性致误

最小值.

错解:

剖析:上述 (1) 式取等号的条件是, (2) 式取等号的条件是, 但 (3) 式取等号的条件是对同一个x, (1) 式与 (2) 式同时取等号, 这里显然是不可能的.

总之, 用均值不等式求最值, 一定要紧扣“一正、二定、三相等”.即各项都为正, 和 (或积) 为定值, 存在“=”号成立的条件.另外, 还应注意自变量取值的同一性, 只有这样才能得到正确结果.

均值不等式教案2 篇3

1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式

教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题 教学过程：

一、知识学习：

定理3：如果a,b,cR，那么推广：

abc3abc。当且仅当abc时，等号成立。3a1a2ann≥a1a2an。当且仅当a1a2an时，等号成立。

n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,cR，那么abc3abc（当且仅当abc时，等号成立）呢？试证明。

二、例题分析： 例1：求函数y2x223333(x0)的最小值。x解一： y2x311122x2332x2334∴ymin334 xxxxx33312223解二：y2x22x26x当2x即x时 x2xx23 ∴ymin26122331226324 21的最小值。

(ab)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？ 变式训练1 若a,bR且ab,求a由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值． 由例题，我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习1.函数y3x12(x0)的最小值是（）2xA.6

B.66

C.9

D.12 2．函数yx4(2x2)(0x2)的最大值是（）

D.2727A.0

B.1

C.四、课堂小结：

通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

五、课后作业

P10习题1.1第11，12，13题

六、教学后记：

均值不等式的应用策略 篇4

均值不等式的应用策略

作者：黄秀娟

来源：《数理化学习·高三版》2013年第09期

高中阶段常用的不等式主要有以下两种形式：

（1）如果a，b∈R那么a2+b2≥2ab（当且仅 当a=b时取等号）.（2）如果a，b都是正数，那么

21/a+1/b

≤ab≤a+b2

不等式3.2均值不等式导学案 篇5

高二数学导学案编撰人：张淑芳 审核人：王爽

一．学习目标

1.知识目标：理解均值不等式及其证明，并能应用它解决相关问题

2.能力目标：整理并建立不等式的知识链

3.情感目标: 通过运用均值不等式解决实际问题，提高用数学手段解决实

际问题的能力与意识

二．学习重点： 重要不等式及其均值不等式的证明及应用，均值不等式的使

用条件为教学重点

三．学习难点：重要不等式及其均值不等式的证明及应用

四．知识链接：不等式的性质

五．自主探究:

一、均值定理：

1．如果a、b∈R+，那么（当且仅当a=b时等号成立）.ab对任意的两个正实数a，b，数叫做a，b的，数ab叫做a，2b的.2.均值定理也可表述为：

两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值这个不等式，在证明不等 式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用，因此我们称它为基本不等式.二.常见不等式：

a2b21.（1）若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则ab（当且仅22

2当ab时取“=”）

2.(1)若a,bR*，则ab*ab(2)若a,bR，则ab2ab（当且2

2仅当ab时取“=”）ab(当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab）2*

112(当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x2(当xx

且仅当x1时取“=”）3.若x0，则x

3.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）ba

ab2a2b24.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”）)22

三、最值定理：

（1）已知x、y都是正数，则：

 如果积xy是定值p，那么当x=y时，x+y有最小值；  如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值。

即两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.（2）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：

 各项均为正数;

 其和或积为常数;

 等号必须成立.（3）应用此公式求最值时，还应该注意配凑和一定或积一定，进而用公式求解.六．典例分析：

模块一：配系数

例1.已知0x

模块二：添加项

例2.已知x

32，求yx的最小值.22x33，求yx(32x)的最大值.2模块三：分拆项

x23x6例3.已知x2，求y的最小值.x2

模块四：巧用”1”代换

例4.已知正数x,y满足2xy1,求

cd说明：一般地有,(axby)(acbd)2,其中x,y,a,b,c,d都是正数.这xy12的最小值.xy

里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解.例5.已知正数x,y,z满足xyz1，求

模块五：换元

例6.已知abc,求wacac的最小值.abbc149的最小值.xyz

例7.已知x1,求y

模块六：.在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数

af(x)x的单调性.x

例8.求函数y

x1的最大值.2x5x82.七．高考链接：

1、已知0x

1，求函数y的最大值.；

2．0x

2，求函数y.3八．学习反思：

九．自我评价:

你完成本节导学案的情况为（）

初中英语定语从句典型错误分析 篇6

1.She used to help my brother, who was very kind of her.【改】将who改为which。

【析】犯这类错误的主要原因是把my

brother错当成了先行词。关系代词which指代的先行词是整个主句，它引导非限定性定语从句。

2.Do you still remember the day when we spent together in China last year?

【改】将when改为that / which或将

when删除。

【析】犯这类错误的主要原因是没有弄清关系代词与关系副词的用法区别。不能因为先行词表示时间就一定用关系副词when, 而要学会准确把握句子的结构，正确分析句子的成分。例句中定语从句要用关系代词引导，并在定语从句中作spent的宾语。

3.The way which you look at problems is wrong.【改】在which前加in或者将which改为that，也可将which删除。

【析】当先行词是the way时，定语从句常用that / in which引导，that / in which也可省略。

4.We were interested in the things and people whom we saw during the trip.【改】将whom改为that。

【析】当先行词既有人又有物时，定语从句用关系代词that引导，that作宾语时可省略。

5.It was in the kitchen where the fire broke out.【改】将where改为that。

【析】犯这类错误的主要原因是把强调

句型与定语从句混为一谈了。例句为强调句型，强调的是地点状语in the kitchen。

6.Is this factory that you have been working in since your graduation?

【改】在that前加the one。

【析】犯这类错误的原因是把this factory错看作是定语从句的先行词了。解答这类题时，我们不妨先将疑问语序改为陈述语序。this factory是主句的主语，故应添加the one作定语从句的先行词。当然，在factory前加the也可以，那么this是主语，the factory是表语。

7.He is such a lazy man as no one wants to work with him.【改】将him删除或将as改为that。

【析】犯这类错误的主要原因是把such...as...和such...that...两个句型混淆了。

8.There are many books in the library, most of which is in Chinese.【改】将is改为are。

【析】关系代词作主语时，定语从句中谓语动词要与先行词在人称和数上保持一致。例句中关系代词which指代的是先行词books，故从句谓语动词应用复数形式。

9.I am terribly sorry for having broken the MP4 I borrowed it from you the other day.【改】去掉it。

【析】定语从句中的关系代词在从句中充当一定的成分，因此从句中不能再出现与关系代词指代相同的代词或名词，以避免重复。例句中it与省略了的关系代词that/which重复，应去掉。

10.We will do all what we can to help you out.【改】改what为that或将what删除。

【析】先行词为指物的不定代词时，定语从句用that来引导，that在从句中作宾语时可省略，而what不能引导定语从句。

11.He is our English teacher, without his help I couldn’t have made such rapid progress.【改】将his改为whose。

【析】犯这类错误的主要原因是没有弄清句子结构。这是一个主从复合句，逗号前面是主句，逗号后面是“介词 + 关系代词”引导的非限制性定语从句。

12.The scientist has made another discovery, that I believe is of great importance.【改】将that改为which。

【析】that不能引导非限制性定语从句。

13.There’s somebody that wants you on the telephone.【改】that改为who或去掉that。

【析】先行词是-body，-one构成的复合代词时，关系代词用who(whom)不用that。口语中在It be / there be / here be后面的关系代词可省略。

14.John, who greeted me is my teacher, that is deeply respected by all.【改】me之后加逗号；that改为who。

【析】第一个who引导的是非限制性定语从句。从句位于句中时，两头须用逗号与主句隔开。第二个who引导的也是一个非限制性定语从句，关系代词在指人时须用who(whom)，在指物时须用which，不能用that。

15.Do you know the reason why do many people like Zhang Yimou’s films?

【改】去掉why之后的do。

【析】定语从句须用陈述句语序。关系副词why在从句中作原因状语，其先行词是表示原因的reason。

16.Which is known to all, Mount Emei is one of the famous mountains of China.【改】Which改为As。

【析】which, as都可作关系代词引导非限制性定语从句，表示整个主句的内容，并在从句中作主语、宾语。这种从句放在主句的后边时，which, as均可引导；放在主句的前边时，一般用as引导。

17.Who are the persons who are sitting on the travel bags and which is the bag which belongs to me?

【改】将句中第二who和第二个which

都改为that。

【析】当主句是以who或which开头的

特殊疑问句时，为了避免重复，定语从句要用that引导而不用who(whom)和which引导。

18.The woman who you spoke is an actress.【改】在spoke之后加to。

【析】关系代词who在定语从句中作介词的宾语时，介词须后置。如果介词to前置，who得变为whom。

19.The number of people lost homes reached as many as 250,000 in the earthquake and the fires in San Francisco in 1906.【改】在people之后加关系代词who /

that。

【析】关系代词在定语从句中作主语时

均值不等式典型错误案例分析 篇7

农场小学：杨利娟

计算在小学数学教学中占据着十分重要的地位，是小学数学教学内容的重要组成部分，是学习数学的基础。培养学生准确、迅速、灵活的计算能力是小学数学教学的一项重要任务。但我们经常发现学生在实际学习中，计算错误多，正确率低，他们计算出错的原因究竟有哪些呢？我将近几年内教学中出现的错误进行分析如下：

学生计算错误的原因及实例

在计算练习中，学生的计算错误经常发生：不是看错数字，就是写错数字；不是抄错数字，就是漏写符号；或是加法忘了进位，减法忘了退位，加法当减法做，乘法当成了除法，小数点忘了点或点错了位，商中间不够商“1”而忘了用“0”占位，分数加法中分子加分子、分母加分母，还有四则运算中不按运算顺序计算，而是怎样好算就怎样算，有时甚至会出现一些无法理解的错误等等。原因是多方面的，根据收集到的调查材料显示，学生计算错误大致可以归纳为知识性错误和非知识性错误两大类。知识性错误是指学生对于计算法则概念或运算顺序的不理解，或者没有很好的掌握所学知识导致的错误。非知识性错误是指学生不是不懂得运算，而是由于不良的学习习惯所导致的错误；如抄错数字、不认真审题、注意力不集中、易受负迁移干扰等。

1、基础知识不扎实。

有些学生对于简单的20以内加减法不熟练，表内乘法出现三七二十七、六九四十五等错误，在混合运算中对一些常用数据如25×4，125×8，分数与小数互化等不熟练，质数表记不准，简便算法不能“为己所用”，这些都有可能使学生计算出错。

2、概念、法则理解不清

概念和法则是学生思维的基本形式，又是学生进行计算的重要依据。只有正确理解和掌握基本概念和计算法则才能正确地进行计算。

原因：学生对退位减法算理不清，不明白个位不够减应从十位退一当十再加上个位上的数，然后再减，所以当个位不够减时就直接用减数来减被减数。

原因分析：虽懂得算理，但是在借位后仍然记不得十位被借后应该减去“1”。（2）对运算顺序理解不清

错误原因是学生对混合运算顺序的掌握不够牢固，很容易按照先后顺序依次进行计算。

（3）对分数的意义理解不清

错误分析：不理解分数的意义，当分母不同时不能够直接向加减。（4）对0的占位作用认识不够

错误的原因：学生对概念不够清晰：计算除法时，在求出商的最高位上的数以后，除到被除数的哪一位不够商1，就对着那一位商0，这里学生对0的占位作用认识不够，在什么情况下应该用0占位这一知识点没有掌握。

在计算中还有很多错误是非知识性错误，也就是我们常说的粗心大意造成的。

如：计算不认真，注意力不集中，抄错数字：

错误分析：马虎大意，本来是46÷4写竖式时却变成了64÷4=16 不良的学习习惯如计算粗心，书写潦草，马马虎虎，做题不喜欢用草稿纸，再大的数也不想动笔算，而喜欢口算，做题时只求速度，不求质量，不注意审题，检查，态度不端正等这些不良习惯容易造成错误。

改进学生计算错误的措施：

不管何种原因造成的计算错误，教师们都要高度重视，找出问题的根本和关键，分析错误原因，加强练习。

教学计算时，教师不仅要教给学生计算方法，让学生掌握好计算法则，而且要多给学生练习的时间，争取在课堂上多练习，完成一些课堂作业，特别对学生在计算中易出现的失误及时给予指导。我们应该在教学中精心设计，组织一些有趣的比赛环节，例如开展“找朋友”，“夺红旗”，“计算接力赛”，争当“计算小能手”等多种活动，让学生在兴趣盎然中提高计算能力，同时也让学生感受到了数学计算的无穷奥妙。