《分式方程》教案

《分式方程》教案（精选12篇）

《分式方程》教案 篇1

教学内容：复习分式方程

教学目标：1.掌握分式方程的概念以及解法;2.了解分式方程产生增根的原因，教学重、难点：分式方程的概念以及解法 教学过程：

一、复习问题；

1、什么是分式方程？

2、解分式方程的基本指导思想（目的）是什么？(去分母，化为整式方程)

3、解分式方程的一般步骤（过程）是什么？（找公分母、左右乘公分母、解整式方程、检验根）

二、练习回顾

114xx2、20和22x3x3x3x2x414x(1)2x33x4x3x1(2)2 x4x2x2x1（3）． 12x2x4预设坡度

三、例题讲解

例：已知关于x的方程

x1xm的有增根，求m的值。x2x1(x2)(x1)x1xm无解，求m的值。x2x1(x2)(x1)x1xm的解为正，求m的取值范x2x1(x2)(x1)变式训练：

1、已知关于x的方程

2、已知关于x的方程围。

四、小结：

五、作业；

一、选择题

1.在下列方程中，关于x的分式方程的个数有（）①2x3y0

②.x12x35x

1③.3④.3⑤

27x2xx2216.x2xx21A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.下列方程中，是分式方程的是（）

x1x11x1x24 

B.324x1x1x1xxaC.2x20

D.x(ab0)

5abm3.关于x的分式方程1，下列说法正确的是（）

x5A．方程的解是xm

5B．m5时，方程的解是正数 C．m5时，方程的解为负数 D．无法确定

234.方程的解为（）

xx1A.x2 B.x1 C.x2 D.x1 A.5.已知2xy2y，则的值为（）xy3xA.-44 B.C.1 D.5 5512的x的值是________.x1x

2二、填空题 6.满足方程：x22x0的增根是 7.分式方程x28.如果关于x的方程

三、解方程 10.12.a12x有增根，则a的值为________.1x44x42xx5x14 11.21

4xx4x1x114x4x3x1 13.2 2x33xx4x2x2

提升难度： 1.若关于x的方程m1x0，有增根，则m的值是（）x1x1A.3

B.2

C.1

D.-1 2.若方程AB2x1,那么A、B的值为（）x3x4(x3)(x4)A.2，1

B.1，2

C.1，1

D.-1，-1

aab（）1,b0,那么

abb1x111A.1-

B.C.x

D.x

xx1xx13.如果x

《分式方程》教案 篇2

一、去分母时漏乘不含分母的项致错

【错解】方程两边乘 (2x-5) , 得x-5=1, 解得x=6.当x=6时, 由于分母2x-5=2×6-5=7≠0, 所以, x=6是原方程的解.

【剖析】把x=6代入原方程, , 故x=6不是原方程的解.原方程去分母时, 由于右边漏乘 (2x-5) , 因此解答有误.另外, 用简便法验根时, 解方程的过程必须正确, 否则, 将求得的未知数的值代入方程两边同乘的整式, 即使整式的值不为零, 这个未知数的值也不一定是原方程的解.

【正解】方程两边乘 (2x-5) , 得x-5=2x-5, 解得x=0.经检验, x=0是原方程的解.

二、违背等式的性质致错

【剖析】由于方程两边同时除以 (5-x) , 违背了等式的性质, 这将缩小未知数的取值范围, 造成方程失根.

【正解】方程两边通分, 得

三、忽视分数线的括号作用致错

【剖析】此题解答出错是因为忘记了分数线具有括号的作用.分数线除了可以代替除号和比号外, 还起着括号的作用.当减数的分子是一个多项式, 应看作一个整体, 因此, 去分母时, 要把减数的分子作为一个整体加上括号.

四、破坏方程同解原理致错

两边同时除以 (2x-5) , 得x2-5x+6=x2-5x+4.故原方程无解.

【剖析】方程中约去含未知数的代数式, 破坏了方程同解原理, 会造成失根.

五、忽视验根致错

【错解】原方程去分母, 整理得x+5=10.解得x=5.所以, 原方程的解为x=5.

【剖析】解分式方程时, 一般要将原方程去分母, 化为整式方程来解.为了去分母, 要在方程两边同乘含未知数的式子, 这就可能破坏方程的同解变形而引入增根.因此, 解分式方程时, 必须将求得的未知数的值代入原方程的分母进行检验.如果发现某个分母的值为0, 那么该未知数的值即为增根.上面的解答就是因为忽视了验根而致错.

【正解】去分母后, 整理得x+5=10, 解得x=5.

检验:当x=5时, 分母x-5和x2-25的值都为0, 相应的分式无意义.所以, 原方程无解.

六、忽视特殊情况致错

七、忽视原方程可能有增根致错

∴当a=-4时, 原方程只有一个实数根x=1;当a=-8时, 原方程只有一个实数根x=-1.

综上所述, 同学们在求解分式方程时, 为了避免上述错误, 应该从以下两方面努力:

1.加强基础知识的学习, 在理解的基础上加强练习, 在练习中提高自己.

2.认真审题, 仔细分析, 周密思考, 慎重求解, 切忌思维定式而导致错误.

只有这样, 今后在解分式方程时才不易出错.

分式方程检测题 篇3

1. 下列分式方程中，有解的是（）.

A．= 0 B．= 0

C．= 0 D．= 0

2. 要使与互为倒数，则x的值为（）.

A. 0 B. -1

C. D. 3

3. 若关于x的方程 = 无解，则m的值为（）.

A. 10或6B. 10或 - 6

C. 10D. - 10

4. 某林场原计划在一定期限内固沙造林240 km2，实际每天固沙造林的面积比原计划多4 km2，结果提前5天完成任务.设原计划每天固沙造林x km2，根据题意，下列各方程正确的是（）.

A．+ 5 =B．- 5 =

C．+ 5 =D．- 5 =

5. 甲、乙两班学生参加植树造林活动.已知每天甲班比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等.若设甲班每天植树x棵，则（）.

A.= B.=

C.= D.=

6. A、B两地相距36 km.甲、乙两人从A地出发去B地，乙先走0.5 h，甲才出发，甲的时速是乙的时速的1.2倍，结果两人同时到达B地.若设乙的时速为x km，则下列方程中正确的是（）.

A.=+ 30B.-=

C.-= D.=-

二、填空题

7. 方程 = 的解是〓〓.

8. 方程 = 的解是〓〓.

9. 轮船顺水航行150 km所需时间与逆水航行120 km所需时间相等.已知水流速度为3 km/h，设轮船在静水中的速度为x km/h，由题设可列方程为〓〓.

10. 社区艺术节需用红纸花3 000朵.某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务.但在实际制作时有10名同学因排节目而没有参加，这样，参加劳动的同学平均每人制作的花比原定全班同学平均每人所制作的花多15朵.设这个班共有x名同学，则可列方程为〓〓.

11. 某校师生到距学校20 km的公园义务植树.甲班师生骑自行车先走，45 min后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，则汽车的速度是〓〓.

三、解答题

12. 解下列分式方程：

（1）-= 1.

（2）-= .

（3）+= .

（4）+= .

13. 已知 += ，求 + 的值.

14. 一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u、像距v和凸透镜的焦距f满足关系式： += .若v = f + 2，试用f表示u，并求当f = 6 cm时u的值.

15. 华联超市用50 000元从外地采购回一批T恤衫.由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多2倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元.商场在出售时统一按每件80元的标准出售.为了缩短库存时间，最后的400件按6.5折处理并很快售完.商场在T恤衫生意上盈利多少元？

16. 小颖和几位同学去文具店购买练习本.该文具店规定，如果购买本数达到一定数量，则可以按批发价购买.于是他们凑了60元钱以批发价购买，这样购得的练习本比用零售价购得的练习本多30本.若每本练习本的批发价是零售价的，问：每本练习本的零售价是多少元？

17. 甲、乙两人合做一项工作，两人合做2天后，由乙独做1天就可完成.已知乙独做全部工作所需天数是甲独做所需天数的1.5倍.甲、乙两人单独做各需多少天？

18. 某项工程，甲、乙两人合做，8天可以完成，需费用3 520元；若甲独做6天后，剩下的工程由乙独做，乙还需12天才能完成，共需3 480元.问：

（1）甲、乙两人单独完成此项工程，各需多少天？

（2）甲、乙两人单独完成此项工程，各需费用多少元？

19. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可租用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变.若甲、乙两车单独运这批货物，则分别用2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数，运完这批货物时，甲车共运了180 t；若乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物时，乙车共运了270 t.

（1）乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍？

初二数学分式方程教案 篇4

1。使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根。

2。通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法;

3。通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点。

二、重点、难点、疑点及解决办法

1。教学重点：可化为一元二次方程的分式方程的解法。

2。教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验。

3。教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性。

4。解决办法：(l)分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解。(2)无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤。(3)方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0。

三、教学步骤

(一)教学过程

1。复习提问

(1)什么叫做分式方程?解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么?

(2)解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验?检验的方法是什么?

(3)解方程，并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因。

通过(1)、(2)、(3)的准备，可直接点出本节的内容：可化为一元二次方程的分式方程的解法相同。

在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量。

在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力。

2。例题讲解

例1解方程。

分析对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正。

解：两边都乘以，得

去括号，得

整理，得

解这个方程，得

检验：把代入，所以是原方程的根。

∴原方程的根是。

虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学生容易犯的类型错误应加以强调，如在第一步中。需强调方程两边同时乘以最简公分母。另外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调。

例2解方程

分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是

正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按的降幂排列，所以将方程的分母作一转化，化为按字母终行降暴排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母。

解：方程两边都乘以，约去分母，得

整理后，得

解这个方程，得

检验：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把

代入它等于0，所以是增根。

∴原方程的根是

师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较。

例3解方程。

分析：此题也可像前面例l、例2一样通过去分母解决，学生可以试，但由于转化后为一元四次方程，解起来难度很大，因此应寻求简便方式，通过引导学生仔细观察发现，方程中含有未知数的部分和互为倒数，由此可设，则可通过换元法来解题，通过求出y后，再求原方程的未知数的值。

解：设，那么，于是原方程变形为

两边都乘以y，得

解得

当时，，去分母，得

解得;

当时，，去分母整理，得，

检验：把分别代入原方程的分母，各分母均不等于0。

∴原方程的根是，

此题在解题过程中，经过两次“转化”，所以在检验中，把所得的未知数的值代入原方程中的分母进行检验。

巩固练习：教材P49中1、2引导学笔答。

(二)总结、扩展

对于小结，教师应引导学生做出。

本节内容的小结应从所学习的知识内容、所学知识采用了什么数学思想及教学方法两方面进行。

本节我们通过类比的方法，在已有的解可化为一元一次方程的分式方程的基础上，学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法，在具体方程的解法上，适用了“转化”与“换元”的基本数学思想与基本数学方法。

此小结的目的，使学生能利用“类比”的方法，使学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握。

四、布置作业

1。教材P50中A1、2、3。

2。教材P51中B1、2

五、板书设计

探究活动1

解方程：

分析：若去分母，则会变为高次方程，这样解起来，比较繁，注意到分母中都有，可用换元法降次

设，则原方程变为

∴

∴或无解

∴

经检验：是原方程的解

探究活动2

有农药一桶，倒出8升后，用水补满，然后又倒出4升，再用水补满，此时农药与水的比为18：7，求桶的容积。

解：设桶的容积为升，第一次用水补满后，浓度为，第二次倒出的农药数为4。升，两次共倒出的农药总量(8+4· )占原来农药，故

整理，

(舍去)

《分式方程》教案 篇5

1.教学目标

1.1 知识与技能：

1.会分析题意找出等量关系.2.会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.1.2过程与方法 ：

通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之间是相互联系的，理论来源于实践，使学生能用所学的知识服务于我们的生活。

1.3情感态度与价值观 ： 培养学生学习数学的兴趣。

2.教学重点/难点

2.1 教学重点

利用分式方程组解决实际问题.2.2 教学难点

列分式方程表示实际问题中的等量关系.3.教学用具 4.标签

教学过程

1创设情境,导入新课

1.什么叫做一元一次方程? 2.下列方程哪些是一元一次方程?

生：（1）（4）是一元一次方程 师：引言问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间, 与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等, 江水的流速为多少? 师：由这个引言问题我们得到了方程

=。

仔细观察这个方程，未知数的位置有什特点 ? 师：追问1方程

与上面的方程有什么共同特征？ 生：分母中含有未知数。

师：分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 师追问:你能再写出几个分式方程吗？ 生举例：。。

师：注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中． 练习下列式子中，属于分式方程的是（2）（3），属于整式方程的是（1）号）．

判断下列说法是否正确：

（填序 问题2 你能试着解分式方程

吗？

师：你认为这个方程应该先怎么做？ 生：去分母 学生尝试解答。师生共同总结：

解答这类方程的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程． 师：思考：

（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？（2）怎样去分母？

（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？ 总结：

（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．

（2）利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母． 师追问： 你得到的解

是分式方程

的解吗？

（3）步骤：

1、去分母（化成整式方程）

2、去括号

3、移项、合并同类项

4、系数化成1 该怎么验证呢？

生：带入原方程，使方程左右两边相等。问题3

解分式方程： 追问1 你得到的解

是分式方程

的解吗？该如何验证呢？

能直接带入原方程么？

追问2上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程 整式方程

生：将 的解

的解

却不是分式方程

是分式方程

的解？

的解，而带入两个分母中，分母都是0，无意义。

师：原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．

师：检验的方法主要有两种：

（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0． 师：问题5 回顾上面解这两个分式方程的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？

生：基本思路 将分式方程化为整式方程一般步骤：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验． 师： 注意：

由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验． 例1 解下列方程：

解：无解。

检验：。。（2）经检验，不是原方程的根，原方程练习解下列方程：

解：（1）（2）检验是检验

原方程的根

不是原方程的根，原方程无解。

课堂小结

师：（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解

分式方程应该注意什么？ 生：解分式方程的步骤：

1、去分母（化成整式方程）

2、去括号

3、移项、合并同类项

4、系数化成1

5、检验

板书

15.3 分式方程

1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程

2、解分式方程的步骤：

1、去分母（化成整式方程）

2、去括号

3、移项、合并同类项

4、系数化成1

《分式方程》教案 篇6

（2）

（3）

（4）

．

2．计算； ①

②

3．先化简：；若结果等于，求出相应x的值．

4．如果，试求k的值．

．

5．（2011•咸宁）解方程

6．（2010•岳阳）解方程：

7．（2010•苏州）解方程：

8．（2011•苏州）已知|a﹣1|+

9．（2009•宁波）如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4，求x的值．

10．（2010•钦州）某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召，组织团员植树300棵．实际参加植树的团员人数是原计划的1.5倍，这样，实际人均植树棵数比原计划的少2棵，求原计划参加植树的团员有多少人？，且点A、B到原点的距离相等，=0，求方裎+bx=1的解．

． ﹣

=1．

．

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答案与评分标准

一．解答题（共10小题）1．化简：（1）

（2）

（3）

（4）．

考点：分式的混合运算；约分；通分；最简分式；最简公分母；分式的乘除法；分式的加减法。专题：计算题。分析：（1）变形后根据同分母的分式相加减法则，分母不变，分子相加减，最后化成最简分式即可；（2）根据乘法的分配律展开后，先算乘法，再合并同类项即可；

（3）先根据异分母的分式相加减法则算括号里面的，再把除法变成乘法，进行约分即可；（4）先把除法变成乘法，进行约分，再进行加法运算即可． 解答：解：（1）原式=﹣

﹣

=

=

=

=﹣ ；

（2）原式=3（x+2）﹣=3x+6﹣x =2x+6；

（3）原式=[== ； ••（x+2）

]•

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（4）原式=•

+

===+

=1．

点评：本题主要考查对分式的混合运算，约分，通分，最简分母，分式的加、减、乘、除运算等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．

2．计算； ①②

．

考点：分式的混合运算。专题：计算题。

分析：①首先进行乘方计算，然后把除法转化为乘法计算，最后进行乘法运算即可； ②运用乘法的分配律和完全平方公式先去括号，再算除法． 解答：解：①

=•（﹣）

==﹣②•（﹣；）

2=[﹣x﹣1+1﹣x﹣1+x+2]÷（x﹣1）

2=（x﹣1）÷（x﹣1）=x﹣1．

点评：考查了分式的乘除法，解决乘法、除法、乘方的混合运算，容易出现的是符号的错误，在计算过程中要首先确定符号．同时考查了分式的混合运算，分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．

3．先化简：

；若结果等于，求出相应x的值．

考点：分式的混合运算；解分式方程。专题：计算题。

分析：首先将所给的式子化简，然后根据代数式的结果列出关于x的方程，求出x的值．

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解答：解：原式=

2=；

由 =，得：x=2，解得x=±．

点评：本题考查了实数的运算及分式的化简计算．在分式化简过程中，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．

4．如果，试求k的值．

考点：分式的混合运算。专题：计算题。

分析：根据已知条件得a=（b+c+d）k①，b=（a+c+d）k②，c=（a+b+d）k③，d=（a+b+c）k④，将①②③④相加，分a+b+c+d=0与不等于0两种情况讨论，所以k有两个解． 解答：解：∵，∴a=（b+c+d）k，① b=（a+c+d）k，② c=（a+b+d）k，③ d=（a+b+c）k，④

∴①+②+③+④得，a+b+c+d=k（3a+3b+3c+3d），当a+b+c+d=0时，∴b+c+d=﹣a，∵a=（b+c+d）k，∴a=﹣ak ∴k=﹣1，当a+b+c+d≠0时，∴两边同时除以a+b+c+d得，3k=1，∴k=．

故答案为：k=﹣1或．

点评：本题考查了分式的混合运算，以及分式的基本性质，比较简单要熟练掌握．

5．（2011•咸宁）解方程

．

考点：解分式方程。专题：方程思想。

分析：观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：两边同时乘以（x+1）（x﹣2），得x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣2）=3．（3分）解这个方程，得x=﹣1．（7分）检验：x=﹣1时（x+1）（x﹣2）=0，x=﹣1不是原分式方程的解，∴原分式方程无解．（8分）点评：考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

6．（2010•岳阳）解方程： ﹣=1．

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考点：解分式方程。专题：计算题。

分析：观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答：解：去分母，得4﹣x=x﹣2

（4分）解得：x=3

（5分）检验：把x=3代入（x﹣2）=1≠0．

∴x=3是原方程的解．

（6分）点评：本题考查解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

7．（2010•苏州）解方程：

．

考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。

分析：方程的两个分式具备平方关系，设程．先求t，再求x． 解答：解：令=t，则原方程可化为t﹣t﹣2=0，2=t，则原方程化为t﹣t﹣2=0．用换元法转化为关于t的一元二次方

2解得，t1=2，t2=﹣1，当t=2时，当t=﹣1时，=2，解得x1=﹣1，=﹣1，解得x2=，经检验，x1=﹣1，x2=是原方程的解．

点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解题技巧．

8．（2011•苏州）已知|a﹣1|+=0，求方裎+bx=1的解．

考点：解分式方程；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根。专题：综合题；方程思想。

分析：首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入方程求解即可． 解答：解：∵|a﹣1|+=0，∴a﹣1=0，a=1；b+2=0，b=﹣2． ∴﹣2x=1，得2x+x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=．

经检验：x1=﹣1，x2=是原方程的解． ∴原方程的解为：x1=﹣1，x2=．

点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．同时考查了解分式方程，注意解分式方程一定注意要验根．

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9．（2009•宁波）如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4，求x的值．

考点：解分式方程；绝对值。专题：图表型。

分析：A到原点的距离为|﹣4|=4，那么B到原点的距离为4，就可以转换为分式方程求解． 解答：解：由题意得，解得经检验∴x的值为，是原方程的解，． =|﹣4|，且点A、B到原点的距离相等，点评：（1）到原点的距离实际是绝对值．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；（2）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

10．（2010•钦州）某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召，组织团员植树300棵．实际参加植树的团员人数是原计划的1.5倍，这样，实际人均植树棵数比原计划的少2棵，求原计划参加植树的团员有多少人？ 考点：分式方程的应用。专题：应用题。

分析：设原计划参加植树的团员有x人，则实际参加植树的团员有1.5x人，人均植树棵树=树﹣实际人均植树棵树=2，列分式方程求解，结果要检验． 解答：解：设原计划参加植树的团员有x人，根据题意，得，用原人均植树棵解这个方程，得x=50，经检验，x=50是原方程的根，答：原计划参加植树的团员有50人．

点评：找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．

正确理解分式方程的增根 篇7

1.增根的定义

分式方程转化为整式方程的解使得原分式方程的最简公分母为零, 这样的未知数的值是原分式方程的增根.

2.增根产生的原因

我们看一个简单的一元一次方程x-1=0, 显然方程的解是x=1, 而如果把方程两边同乘以x+1变成方程 (x+1) (x-1) =0, 则方程的解就是x1=1, x2=-1, 此时方程比原方程便多了一个根x=-1, 这就因为我们在方程两边同乘以了一个含有未知数的整式.

在解分式方程时第一步便在两边乘以了一个含有未知数的整式——最简公分母.当我们所解整式方程的解使最简公分母为零时, 也就是在方程两边乘以了一个值为零的含有未知数的整式, 导致方程产生了增根.

3.增根的检验

由于解分式方程易产生增根, 所以一定要检验所获得的整式方程的解是否使得原分式方程的最简公分母为零, 判断其是原分式方程的解还是原分式方程的增根.但要注意检验并不是解分式方程的最后一步, 最后一步应该是明确指出方程的解的情况, 有解则指出方程的解是什么, 无解也需点明原方程无解.

4.增根的确定

【例1】 分式方程$\frac{x-2}{x+2}-\frac{x+2}{x-2}=\frac{16}{x{}^2-4}$的增根是.

分析:很多同学会毫不犹豫地填上x=2或x=-2, 这是错误地理解了分式方程增根的定义, 这里的x=2的确使原分式方程的最简公分母为零, 但并不是原分式方程转化后整式方程的解.事实上, 我们解方程就可以发现, 方程只产生了增根x=-2.

【例2】 当m何值时, 分式方程$\frac{m}{x+1}-\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x{}^2-1}$会产生增根?

分析:我们很容易猜测出分式方程可能产生的增根是x=1或x=-1, 只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程, 即可求出相对应的字母m的值.

解:原方程去分母并整理得 (m-2) x=5+m.

假设产生增根x=1, 则有:m-2=5+m方程无解, 所以不存在 m的值, 使原分式方程产生增根x=-1;

假设产生增根x=-1, 则有:2-m=5+m, 解得

时, 分式方程$\frac{m}{x+1}-\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x{}^2-1}$产生增根.

5.增根与无解

若在解可化为一元一次方程的分式方程时产生增根, 原分式方程必无解.但分式方程的无解并不都是由于产生增根引起的, 如$\frac{x}{x-1}=1$, 去分母后的整式方程本来就无解, 所以原分式方程也无解.

【例3】 当m=时, 分式方程$\frac{m}{x+1}-\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x{}^2-1}$无解?

对分式方程检验的认识 篇8

原来，检验分式方程是为了防止“无解”出现.

如：=这一方程，我们将方程两边同乘（x-5）（x+5）得x+5=10. 解这个整式方程得x=5，到这一步，或许在你认为就已经结束了，但并非如此. 我们将x=5代入（x-5）（x+5），发现（x-5）（x+5）的值为零，那么这个分式方程就无解了，也就是说：x=5只是x+5=10这个整式方程的解，却不是=这个分式方程的解.这时，=就无解.

看来，分式方程的检验并不是多此一举，而是体现了数学这个学科独有的周密性、严谨性.

那有没有不必检验的情况呢？有！

如：=. 我们把它化简为x-1

=x+1. 这一步，我们是根据分式的基本性质变形的，所以不要检验.

刘老师点评：不少同学对分式方程为什么一定要写出“验根”这样的步骤很不理解，认为在七年级学习一元一次方程时，并没有这样严格的要求，何以到了八年级就提出这样的“多余”步骤呢？从小杨的这篇写作中可以发现，分式方程的验根目的是检验第一步“去分母”可能潜在的风险，也就是说这是对自己解法的一种完善和风险评估，并不像七年级一元一次方程检验那样，仅是检查是否笔误、粗心之类的步骤. 当然，小杨最后指出的从约分的角度解分式方程，由于离开了“去分母”这样的风险步骤，自然也可以不写验根的必要步骤.

分式方程教学反思 篇9

本节课是北师版数学八年级下第四章第一节的内容，是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式四则混合运算的基础上展开的，既是前一节的深化，同时解决了解方程的问题，又为以后的教学——“应用”打下了良好的基础，因而在教材中具有不可忽略的地位与作用。

本节的教学重点是探索分式方程概念、会解可化为一元一次方程的分式方程、明确分式方程与整式方程的区别和联系。教学难点是如何将分式方程转化成整式方程。

下面结合教学过程谈谈自己的几点感悟：

一、知识链接部分我设计了分式有无意义和找几组分式的最简公分母，帮助学生回忆旧知识，并且为本节课解分式方程扫清障碍。

反思：在这个环节里，出现了一个问题，就是对学生估计过高，尤其是最简公分母的找法中下游的学生把旧知识忘了，造成浪费了课上的时间。

二、由课本中的百米赛跑的应用题引出分式方程的概念。我把课本中的阅读和一起探究改为几个小问题让学生自主探究然后小组内交流讨论。由于学生对于应用题的掌握太差，造成在这个环节浪费了太多的时间。

反思：因为本节课的重点和难点是解分式方程，所以在以后的教学中我个人认为应把它改编在为简单的，便于学生理解的，直观的。简单的整式方程，再给出几个分式方程让学生自己判断直接得出分式方程的意义，节省出时间让学生重点学习和练习解分式方程。本节课值得欣喜的是四班的优生反应灵敏，四、让学生自学课本例一，也就是解分式方程，分析课本做法的依据，和自己的做法是在否一致，会用课本的方法解题。看完后，我让学生自己做到导纲上。很多同学看完后还不是很理解，所以，我又让小组自己讨论了一下，弄明白如何做题。最后，我在黑板上板书了例题，然后，让学生将自己的纠正一下。

反思：这个内容是这节的重难点，由于前面已经做过铺垫，让学生自己尝试解过分式方程，所以，在这里我设想的是学生看完课本，明白教材的做法，自己会运用同样的方法解决分式方程。但是，在实际的操作过程中，发现一个问题，同学们并没有真正理解教材时怎么处理的，他们被第二环节中自己的做法禁锢住了，很多同学都先通分。通分很好，但通分的目的还是为了去分母。这点我没有强调到位。同时，检验的过程我没有板书在黑板，只是口头强调了一下，致使很多学生印象不深，没有进行检验。

纠正措施：重点强调化分式方程为整式方程的依据和做法。就这一步，安排几个题进行专门训练，小组合作，直到每个组员都能找到最简公分母，并会去掉分母为止。将第二课时提到这节点拨，在这节就让学生明白分式方程为何要检验，从开始就让学生养成检验的好习惯。

五、归纳解分式方程的一般步骤。根据上面的解题过程，小组总结出解题步骤。（在提示中，学生初步了解了大体步骤）

六、自学课本例二，弄明白后做到导纲上。

（这个环节设置的目的是让学生进一步熟悉分式方程的解法。注意一些细节问题。）

七、巩固练习。做导纲四道题。小组批阅。

八、总结这节课的知识。（由于前面进行不是很顺利，总结有些匆忙）总体反思

这节课是一堂新授课。因此，让学生对知识有透彻的理解是最重要的。我们的导学案也设置了很多的环节来引导学生，提高学生的学习兴趣。

本节课的关键是如何过渡，究竟是给学生一个完全自由的空间还是让学生在老师的引导下去完成，“完全开放”符合设计思路，符合课改要求，但是经过教学发现，学生在有限的时间内难以完成教学任务，因此，先讲解，做示范，再练习更好些。在教学过程中，由于种种原因，存在着不少的不足。

1.回顾引入部分题目有点多，难度有些高，没有达到原来设想的调动积极性的作用。应该选择简单有代表性的一两个题目，循序渐进，符合人类认知规律。

2.由于经验不足，随机应变的能力有些欠缺，对在教学中出现的新问题，应对的不理想，没有立刻采取有效措施解决问题。例如，在复习整式方程时，学生并不像想象中对整式方程解题过程很了解，我就引导大家一起复习了一下，在这里，如果再临时出几个题目巩固一下，效果也许更好些。

3.教学重点强调力度不够。对学生理解消化能力过于相信，在看例一的过程中，每一步的依据都进行了讲解，而分式方程的难点就是第一步，即将分式方程转化成整式方程。在这里，需要特别强化这个过程，应该对其进行专项训练或重点分析。例如，就学生的不同做法进行分析，让他们明白课本的这种方法最简单最方便。同时，通过板书示范分式方程的解题。

4.时间掌握不够。备学生不够充分，导致突发事件过多，时间被浪费了，以致总结过于匆忙。

分式方程应用题 篇10

一、工程问题

1.现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。求原来每天装配的机器数.2.打字员甲的工作效率比乙高25%，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？

3.一项工程，如果甲、乙两队合做，12天可以完成。现在，先由甲队独做5天，接着由甲、乙两队合做4天，结果只完成了全部工程的一半。问：如果让甲、乙两队单独做，要完成这项工程各需多少天？

4.有一工程需在规定日期内完成，如果甲单独工作，刚好能够按期完成；如果乙单独工作，就要超过规定日期3天.现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙单独完成，刚好在规定日期完成，求规定日期是几天？

二、路程问题

1.某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？

2.供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度.三、水流问题

1.轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度

2.一船自甲地顺流航行至乙地，用2.5小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.四、数字问题：

1.一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.2.一个两位数，它的十位数比个位数小5。如果把个位数与十位数对调后所得的两位数作为分母，原两位数作为分子，所得分数的值是3。求原两位数。

8五.其他：

1.总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果便宜1元，比乙种糖果贵0.5元，求甲、乙两种糖果每千克各多少元？

六、提升

1.“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？

2.某机械加工车间共有26名工人,现要加工2100个A零件,1200个B零件,已知每人每天加工A零件30个或B 零 件20个,问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？ 求详解

3.东营市某学校2015年在某商场购买甲、乙两种不同足球,购买甲种足球共花费2 000元,购买乙种足球共花费1 400元,购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍.且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元;(2)2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召,这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的售价进行调整,甲种足球售价比第一次购买时提高了10%,乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2 900元,那么这所学校最多可购买多少个乙种足球?

4.在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的 1（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？ 3 1（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是

a，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？

5.烟台享有“苹果之乡”的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果．甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其它成本不计）．问：（1）苹果进价为每千克多少元？

分式方程的根与增根 篇11

分式方程的根与增根

能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的根；增根是在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0），那么这个根叫做原分式方程的增根。

例题1：解方程 ①

解：两边同乘以（x+3）（x-3），得

（x+3）（x-3）-18=3（x-3） ②

解这个方程得：x1=-3，x2=6

检验：当x=-3时，（x+3）（x-3）=0，所以x=-3不是原方程的解；

当x=6时，（x+3）（x-3）≠0，左边=，右边=，左边=右边。

所以：x=6是原方程的解。

说明：显然，方程①中未知数的取值范围是x≠3且x≠-3，而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数，所以求得的x值恰好使最简公分母为0，x的值就是增根。本题中方程②的解x=-3，恰好使公分母为0，所以x=-3是方程的增根，x=6是原方程的解。

增根是如何产生的

从例题1可以看出x=-3虽然是整式方程的根，但却使得最简公分母为0，所以不是分式方程的根，而是原分式方程的增根。也就是说，所得的整式方程与原方程已经不是同解方程了。那么，增根就是在去分母的过程中产生的。其实，去分母的依据是等式基本性质，即在等式的两边同时乘以一个不为0的整式，等式仍然成立，而在例题中两边同乘的是一个含有未知数x的整式，也就不能保证它的值一定不为0，我们去分母的时候就已经默许了条件（x+3）（x-3）≠0，才得到整式方程。即所得的整式方程与原方程已经不是同解方程，这样便产生了增根。

例题2：使关于x的方程产生增根的a的值是多少呢？

要正确解答此题就要理解增根是如何产生的，增根是去分母后的整式方程的根，是使原分式方程分母为零的未知数的值。

解：去分母并整理，得：

（a2-2）x-4=0

因为原方程的增根为x=2，

把x=2代入（a2-2）x-4=0，

得a2=4

所以a=±2

说明：做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最好将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值。其实也不仅是分式方程可以产生增根，类似的，可想到若在整式方程（x+3）=0两边同时乘以（x-4），得到（x+3）（x-4）=0也同样会产生增根。由此可知，增根并不是分式方程特有的。

解分式方程如何避免增根

以例题1为例，可将原方式方程通分整理如下：

对于上式中，当（x+3）=0时，分式的分母等于0，此时，分式无意义，所以（x+3）≠0；那么可以继续化简为，即（x-6）=0，得x=6。也就是说，我们可以先把方程的一切非零项移到左边，通过恒等变形将方程的左边化成一个分式，右边是零的形式。然后，再找出分子分母的公因式并约去，就可以得到一个新方程并且与原方程是同解方程。解新方程得到的根就是原方程的根，避免了增根的产生。

不容忽视的增根

分式方程的增根问题与一元二次方程根的几种情况相结合会使问题更加复杂化，也使得这一类问题的答案对学生们而言更加的扑朔迷离。下面通过几个例题解析一下与增根有关的此类问题。

例题3：当k为何值时，方程只有一个实数根，并求出此实数根。

解：原方程可化为：x2+2x-k=0

（1）要原方程只有一个实数根，只要方程x2+2x-k=0有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由Δ=4+4k=0，得k=-1。把k=-1代入x2+2x-k=0，解之得x1=x2=-1

（2）要原方程只有一个实数根，只要方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，

所以由Δ=4+4k>0，得k>-1。

又原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入x2+2x-k=0，得k=0，或k=3。把k=0代人x2+2x-k=0，解之得x1=0（增根），x2=-2；把k=3代人x2+2x-k=0，解之得x1=1（增根），x2=-3。

综上所述，原方程的根为：

（a）当k=-1时，原方程只有一个实数根x=-1；（b）当k=0时，原方程只有一个实数根x=-2；（c）当k=3时，原方程只有一个实数根x=-3。

在分式方程教学中，教师要深入钻研教材，全面完整地分析分式方程的增根是如何产生的，并引导学生正确理解、完整掌握、准确解答分式方程的增根问题，从而真正提高学生的解题能力，提高教学效果。

《分式方程》教案 篇12

了解何为分式方程时, 课本从三个实例让学生根据实际经验得到了三个方程undefined;undefined;undefined, 根据这三个方程先让学生看一看说一说有什么共同特点, 在新教材中, 课本并没有刻意强调分式方程的定义而只是给出形式上的感知。然后学生自己根据对分式方程的认识试一试写出一个分式方程, 从而在潜意识里真正了解什么是分式方程。在这个过程中, 一切以学生的感知为重, 让学生自己感受到分母中含有未知数的方程就是分式方程, 从中让学生经历建模的过程, 经历由具体到一般的抽象、概括分式方程概念的过程, 从而体会分式方程的模型思想。

新课程要求教师从教中解放出来, 让学生自主学习。以学为主, 以教为辅是我在教学过程中要努力做到的标准。在求解分式方程时我先给出一个整式方程, 即24x=20 (x+1) , 学生在解这个整式方程的过程中, 很好的回顾了解法思路, 接着抛出问题:你能解分式方程undefined吗?提示学生观察刚刚解完的整式方程想一想怎么解这个分式方程, 大部分学生发现只要将分式方程undefined的两边同乘各分式的最简公分母x (x+1) , 就可以得到一元一次方程24x=20 (x+1) 。随即给出例题1 解方程:undefined, 让学生通过刚刚的经验自己试一试解题。学生口述, 教师板演解题格式:解:方程两边同乘x (x-2) 得

3 (x-2) -2x=0

解之得 x=6

学生归纳:求分式方程的解, 只要在方程的两边同乘各分式的最简公分母, 有时就可以将分式方程转化成一元一次方程来解。在这个基础之上给出例题2 解方程:undefined, 学生板演解题过程:

解:方程两边同乘3 (x-2) 得

3 (5x-4) =4x+10-3 (x-2)

解之得 x=2

这时, 有学生提出疑问了, 这个解x=2会使原分式方程的分母为0, 大部分学生开始讨论:1, 这个使原分式方程没有意义的解怎么办 2, 怎么会出现这个使原分式方程没有意义的解?教师及时点拨, 为了使原分式方程有意义, 分式方程一定要检验。如果能使原分式方程有意义, 那么求出的就是原方程的解;如果能使原分式方程没有意义, 那么求出的就是增根, 则原方程无解。并且立即在2个例题后面补充检验过程。那么怎么会出现增根的呢?学生观察解题步骤, 一致认同增根产生在去分母这一步。教师点拨:看一看整式方程24x=20 (x+1) 和分式方程undefined中对未知数的取值要求一样吗?进而让学生理解, 正是在分式方程转化成一元一次方程的过程中扩大了未知数的取值范围, 才有了增根的出现, 再次强调解分式方程一定要检验。随即让学生练一练:

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在这个学习解分式方程的过程中让学生经历观察、抽象、类比、猜想等思维过程.所以, 评价应关注学生在这些具体活动中的投入程度——能否积极主动地参与各种活动, 如:在分式方程学习中, 有无检验分式方程根的意识?等等.其次是看学生在这些活动中的思维发展水平——能否独立思考, 能否用数学语言 (分式、分式方程) 表示自己的想法, 能否反思自己的思维过程发现新的问题, 如:解分式方程与解一元一次方程有哪些联系与区别等。

分式方程的难点是 解含字母常量的分式方程。针对含字母常量的分式方程我专门开设了一节课, 在选题上注重让学生观察比较, 逐步提高难度。其中学生的主体地位贯穿于自主学习的始终, 在学习活动中, 要让学生感受到自己是学习的主人, 教师应该同学生一起探索数学知识发生、发展过程以及解题思路。当学生在学习过程中出现了困难, 教师要不时地鼓励学生回顾思路, 有可能的话让学生进行表述, 教师对学生思路中的合理部分给以肯定, 并给出适当的帮助, 让学生觉得只有自己真正参与到课堂教学中来, 才能收到良好的效果。教师先给出例1:若方程undefined的一个解为x=-2, 求代数式k+k-1的值。让学生分析:既然x=-2是这个分式方程的解, 则把它代入方程, 等式成立。解得undefined, 从而undefined。给出例2:若分式方程undefined有增根, 试求m的值。让学生分析:有增根是指x=±2。教师提问:那么可以仿照上一题把x=±2代入分式方程解得m的值吗?从而让学生感知这一题的解题思路和例1有区别, 应该把m先当已知数解得undefined, 再把x=±2代入求出m的值。改变例2:若分式方程undefined无解, 试求m的值。让学生讨论:有增根和无解有区别吗?教师提示:有增根是指定未知数x的值, 无解除了有增根之外对字母常量有范围要求, 因而学生得到在例2的基础之上还要考虑m-1=0, m=1时undefined无意义, 所以原分式方程也无解。给出例3:已知关于x的方程undefined有一个正数解, 求m的取值范围。学生根据比较例1, 例2的经验, 先解得x=6-m。让学生讨论:对于这个分式方程有一个正数解要考虑什么?学生得出:x>0且x≠3, 解得6-m>0且6-m≠3。为师者“授之以鱼不如授之以渔”, 在这里, 仅仅灌输给学生大量的知识是不够的, 通过看一看, 比一比, 试一试, 想一想, 从易到难逐渐让学生掌握吸收知识、消化知识的方法, 才能真正达到事半功倍的教学效果。