四年级上语文单元复习

四年级上语文单元复习（通用8篇）

四年级上语文单元复习篇1

第一课时（第七册第一单元）

教学目标：1.掌握本单元的基础知识

2.扩写句子教学重难点：扩写句子教学过程：

一、根据课文内容填空

1.《故乡是北京》是一首（诗歌），以第一人称写成，表达了作者（热爱故乡的情感）。

2.背诵第一课，回答问题。

北京的名胜古迹有（），民俗文化有（）风味小吃有（）。3.《我爱家乡的柿子》作者赞美了（家乡的大柿子），记叙了（跟小伙伴一起摘柿子的欢乐情景），表达了（热爱家乡）的思想感情。

4.“柿子花谢过不久„„一下子冒出„„”中的“一下子”和“冒出”写出了（小柿子长得非常快）。

5.“田野里„„到处„„柿子”。“到处”和“缀满”写出了（柿子十分多）。

6.《可贵的沉默》告诉我们（享受爱的孩子要懂得也应当利用生日去表达自己的一份爱），是按（事情发展）顺序写的。

二、基础训练 1.多音字组词 Shu 熟

Shou 2.形近字组词

诞（诞生、圣诞）恼（恼怒、烦恼）遍（遍地、漫山遍野）涎（垂涎欲滴、馋涎欲滴）脑（脑袋、头脑）偏（偏僻、偏科）

悔（后悔、懊悔）饶（富饶、饶命）浆（豆浆、糖浆）敏（敏捷、敏锐）馋（馋嘴、馋涎欲滴）桨（船桨、木浆）3.本单元造句敏捷—— 小心翼翼—— 寂静—— 异口同声—— 4.照样子写词语

甜丝丝（ABB）:脆生生、气冲冲飘飘洒洒（AABB）:干干净净

许多——许许多多：整齐——整整齐齐干净——干干净净 5.选词填空

侦察考察观察

（1）爸爸在大西北（）沙地植物的生存状况。（2）经过一个春天的（），我终于看清楚了种子发芽的全过程。（3）他是一名公安干警，经常冒着生命危险进行（）工作 6.在（）里填上适当的词语

（）（）高耸的旋转的

（）（）名（厨）佳（肴）垂（涎）（欲）滴京（腔）京（韵）四（面）八（方）悠（闲）自（得）小巧（玲）(珑)(异)口（同）声不(约)而(同)左（顾）右（盼）小心（翼）（翼）甘美（芬）（芳）7.照样子扩写句子例:孩子们交谈。

（天真可爱的）孩子们（在会场上）（热烈地）交谈。小鸟飞翔小狗玩耍梅花开放老爷爷散步雪花飞舞

第二课时（第二单元复习）

教学目标：1.本单元基础知识

2.查字典

教学重难点：查带点字的意思，照样子写词语。教学过程：

一、根据课文内容填空

1.《山中送别》作者（王维），表达了（对朋友的思念）之情。

2.《九月九日忆山东兄弟》是（唐）代（王维）写的，是他在重阳节时，因（思念家乡和亲人）而写的。3.《题西林壁》中的“题”的意思是（书写）。

4.《责任》告诉我们：要从小对自己的行为负责，长大后才能成为对社会负责的人。

二、基础训练 1.形近字组词

才（才干、才能）尝（尝试、品尝）裁（裁剪）努（努力）材（药材、木材）偿（赔偿、如愿以偿）栽（栽树）怒（愤怒）载（记载）恕（宽恕）赔（赔钱）即（立即）陪（陪伴）既（既然）2.多音字组词

ta（踏实）lei（积累）kong（空间）踏累空

ta（踏步）lei（劳累）kong（空白）3.一字多词责（责任）（责备）（负责）（职责）编（主编）（编写）（编辑）（编织）伤（伤心）（伤亡）（受伤）（烧伤）材（木材）（材料）（板材）（药材）4.先观察再照样子写出几个成语（1）左顾右盼——（2）七上八下—— 5.造句

不但„„而且„„—— 6.查字典

（1）这件事由你主持好了（）

（2）边防战士再风雪中持枪站岗保卫祖国（）（3）在任何时候，都要坚持真理（）A读句子，了解句子的意思。B画出句子中的带点词。C查出字在词语中的意思 D把意思带入到词语中读一读

7.给带点字选择正确的读音，再下面画“——” 暂时（zhan zan）立即（ji ji）空间（kong kong）固执（zhi zhi）8.默写第5课《古诗》第三课时（第三单元复习）目标：1.梳理本单元知识点。

2.词语分类的巩固练习。3.造句

4.字的正确读音

重难点：造句、字的正确读音教学过程：

一、梳理本单元知识点。

（1）本单元的三篇课文《瀑布》、《海底世界》、《五彩池》都是写景的。（2）《瀑布》：瀑涌喻屏烟尘了解瀑布的雄伟壮丽。《海底世界》：窃啾缩普蕴储稀煤途否海底世界景色奇异，物产丰富，产生探索大自然奥秘的兴趣。《五彩池》：（1）多音字，数shǔ 禁jīn（2）强调字形，碟，耀舀凝幻

感受五彩池的神奇美丽，了解产生奇异景象的原因（3）基础知识：形近字组词: 并（并且）寿（长寿）疑(疑问)喻（比喻）抱（拥抱）险（危险）屏（银屏）涛（波涛）凝（凝结）愉（愉快）胞（细胞）检（检查）正确读音：虽（）然波（）涛海参（）情不自禁（）

二、选词填空: 方法：分析两个词语的不同，带到句子中看是否合适、通顺练习：

1.奇异奇妙

1）海底这是景色（奇异）、物产丰富的世界！

2）走着、走着，突然眼前一亮，啊！好个（奇妙）的世界 2.神奇、神秘

1）21世纪后期的一天，我来到一个（神秘）而陌生的岛屿 2）潜水员的工作（神奇）有趣，辛苦而有价值。

三、词语积累：

积累文中的四字词语、成语

1.描写海面的：波涛澎湃 2.写海底动物说话的：窃窃私语

3.描写五彩池的：玲珑多姿、大小不一 4.描写池水的：五颜六色

第四课时（第四单元复习）

目标：1.梳理本单元知识点。

2.加偏旁组成本单元学过的字组词。

3会造句、修辞手法的仿写（用上适当的关联词语 4.词语搭配

重难点：会造句、修辞手法的仿写教学过程：

一、梳理本单元知识点： 1.本单元的三篇课文《麻雀》、《自然界之道》、《神奇的鸟岛》都是描写动物的文章。

《麻雀》：桦 hua 蓬 peng 拯 zheng 庞pang 蓬：上下结构拯桦愣

感受老麻雀的爱子之情《自然界之道》：字词：率先阳光明媚遮盖鱼贯而出

气喘吁吁响彻云霄伫立

懂得如果违背了自然的规律，有时好心也会办错事《神奇的鸟岛》：淌顷幅掠概感受鸟岛的神奇 2.基础知识：听写词语: 给下面字加偏旁组成本单元学过的生字再组词：舌（敌）（敌害）斗（料）（料到）切（彻）（响彻云霄）合（洽）（融洽）华（桦）（白桦树）度（踱）（踱步）京（掠）（掠取）眉（媚）（明媚）造句：猛烈——

拯救—— 融洽—— 眼花缭乱—— 背诵默写课文：《麻雀》4.5自然段、《神奇的鸟岛》2自然段根据意思写词语：

1.争着向前、唯恐落后。（争先恐后）2.拿不定主意。（犹豫不决）

3.响声直达高空，形容声音十分嘹亮。（响彻云霄）

4.好像没有那么回事似的，形容不动声色或漠不关心（若无其事）

二、词语搭配：

猛烈地（）悄悄地（）（）的声音（）的身躯（）的怪物（）的身躯要求：正确，合理，能够搭配多个词语。

三、造句练习

1.根据课文内容，把词语连起来写

一、两句话

海龟成群结队向导

要求：1.句子要通顺、三个词语要全部用上

2.写出的句子要符合课文内容，不能违背课文内容 3.写完之后，自己在读通顺 2.先组词、再选择一个词语造句：（1）彻（）（）（）（）

（）（2）淡（）（）（）（）

（）

选择词语造句时，尽量选择自己熟悉或者曾经造过句子的词语

第五课时（第五单元复习）

目标：1.掌握本单元的基础知识。

2.练习照样子写句子。重难点：照样子写句子。教学过程：

一、根据课文内容填空：

1.《赵州桥》一课中的过渡句是（这座桥不但坚固，而且美观），作用是（承上启下）。

2.赵州桥又叫（安济桥），它是（隋）朝石匠（李春）设计并参加建造的。3.《参观人民大会堂》是按（参观）顺序写的。4.《珍珠泉》的特点是又（绿）又（清）。

水泡的特点是（美丽）、（有趣）。

5.“开始，水泡很小，摇晃着越升越高，越来越大，最后在水面绽开，在‘扑哧’一笑中消失了。”这句话写出了（水泡的变化过程很有趣）。

二、基础知识： 1.形近字组词

州（苏州）跨（跨越、跨过）智（智慧、智力）湾（海湾）洲（亚洲、非洲）夸（夸奖、夸口）知（知识、知道）弯（弯曲、弯腰）证（证件、证据）镶（镶嵌）泼（活泼、瓢泼大雨）绒（绒线、绒毛）政（政治、政策）嚷（嚷嚷）拨（拨开）茸（毛茸茸）

拱（拱桥、拱起）抵（抵制、抵抗）哄（哄笑、起哄）低（高低）烘（烘干）底（底片）2.造句朴素—— 缘故——

3.在（）里填上恰当的词语

积累（经验、词语）解除（警报、病痛）减轻（负担、压力、重量）节省（材料、时间、材料）（坚固、美观）的石拱桥（精美）的图案（宝贵）的历史遗产

（财富）（图案）（水珠）宝贵的精美的晶亮的

（遗产）（瓷器）（露珠）4.仿照例子在横线上填上合适的内容：

例：水是那样绿，绿的像是被周围的绿树、绿草染过的。（1）天是那样蓝，（）（2）雨是那样大，（）（3）水是那样清，（）5.默写

桥面两侧有石栏，栏板上雕刻着精美的图案，有的刻着（），嘴里吐出（）；有的刻着（），前爪（），各自（）；还有的刻着（）。所有的龙（），真像（）。

第六课时（第六单元）

目标：1.复习本单元基础知识。

2.掌握古诗的表达情感。3.掌握古文的寓意。

重难点：古诗文的表达情感和寓意。教学过程：

一、根据课文内容填空：

1.《题西林壁》的作者是（苏轼），千古佳句是（不识庐山真面具，只缘身在此山中），告诉我们的道理是（看问题要全面，要多角度地看事物，看问题）。

2.《滁州西涧》作者是（韦应物），写了（幽草、黄鹂、深树、春潮、舟）景物。

3.《别董大》作者是（高适），是一首（赠别）诗。4.《狐假虎威》常用来比喻（依仗别人的实力来欺压人）。

5.《滥竽充数》常用来比喻（没有真才实学的人冒充内行，混在人群里作假骗人，或拿不好的东西混在好的东西里充数，有时也表示自谦）。宣王死后，南郭先生为什么逃走？(原文回答)（湣王立，好一一听之）。

6.《祖国的山河寸土不让》是一段（京剧）唱词。

二、基础知识： 1.形近字组词：

庐（庐山）渡（渡过、过渡）峰（山峰、高峰）狐（狐狸、狐假虎威）芦（芦花）度（温度、高度）锋（锋利）孤（孤独）寇（日寇）臂（手臂、臂膀）冠（冠军）壁（墙壁、壁虎）2.多音字组词：

处 chu（处事）

chu（到处）

3.把下面的词语补充完整：（迷）（惑）不解（恍）（然）大悟围（魏）救（赵）以（逸）（待）劳（滥）竽（充）数（猝）不（及）防一（字）之（师）落（花）流（水）4.在（）里填上适当的词

（）（）（）

锦绣思念盼望

（）（）（）5.解释下列加点字的意思：

子无敢食我也。子—— 无—— 虎求百兽而食之。求—— 百—— 兽见之皆走。皆——

故遂与之行。故—— 遂—— 滥竽充数充—— 狐假虎威假——

不识庐山真面目，只缘身在此山中。识—— 缘—— 此山—— 千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷。千里黄云—— 白日曛—— 莫愁前路无知己，天下谁人不识君？莫—— 知己——

春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横。春潮—— 野渡—— 6.默写古诗

第七课时（第七单元复习）目标：1.梳理本单元知识点。

2.词语分类的巩固练习。3.缩句练习。重难点：词语分类。教学过程：

二、梳理本单元知识点。

（1）本单元的三篇课文《给予树》《咱俩的秘密》《买木雕的少年》都是写人的。

人物的品质：金吉亚善良、仁爱、有同情心、体贴家人。小男孩：艰苦朴素、自尊要强的美好心灵。

买木雕的少年：质朴善良。

（2）表达顺序：都是按事情的发展顺序写的。《给予树》：事情的起因——经过——高潮、结果。（地点的变化：家里——回家途中——家里）《咱俩的秘密》：引起回忆——回忆过去——感受《买木雕的少年》：想买木雕——挑选木雕——放弃买木雕——少年送木雕（3）基础知识：

形近字组词:涎（）援（）奖()宾（）诞（）缓（）浆（）浜（）多音字组词:给担漂正兴

二、缩写句子: 方法：去掉所有的形容词及表示地点的词。只留主干。（可以问：什么干什么？）

练习：1.希望小学的孩子们在校园里兴高采烈地歌唱。2.众多游客在景色如画的瀑布前高兴地拍照。3.形如新月的小艇在船夫的驾驶下飞快地前进。4.一群骆驼在山峦中缓缓行进。

5.取水的人络绎不绝地从我家门前走过。

三、词语分类：判断词性的好方法：名词：会问这是什么？动词：会问你在干什么？形容词：这个怎么样？

1、给下面词语分类：

统帅、疗养、浸泡、约旦、晴空如洗、忙碌、杰作、名不虚传、年迈、成绩、激励、甜蜜、援助、积累、朴素

2、每一类在写出两个。

第八课时（第八单元复习）目标：1.梳理本单元知识点。

2.在（）里填上合适的词语的巩固练习。3.加标点练习。

4.修改病句的巩固练习。重难点：加标点、修改病句。教学过程：

一、梳理本单元知识点：

1.本单元的三篇课文《缝纫鸟》《小岛失踪之谜》《神秘的死海》都是科普类文章。

《缝纫鸟》让学生了解缝纫鸟高超的建巢本领，及感受缝纫鸟不惧困难，坚忍不拔的精神。

《小岛失踪之谜》让学生了解南太平洋小岛失踪的真正原因——巨大的海星吃掉了小岛。

《神秘的死海》让学生了解死海的特点：含盐量高。2.基础知识：听写词语: 形近字组词：迷（）碟（）魅（）艰（）综（）谜（）蝶（）魁（）坚（）踪（）造句：艰难—— 特殊—— 顾名思义—— 前功尽弃—— 3.背诵默写课文：《缝纫鸟》最后一段。4.根据意思写词语：

（1）看到名称就联想到它的含义。（顾名思义）

（2）以前的功劳完全丢失了，也指过去的努力完全白费了。（前功尽弃）（3）晴朗的天空像用水洗过一样。（晴空如洗）

二、词语搭配：

布满（）拍摄（）阅读()研究（）吸引（）精致的（）辛勤的（）神秘的（）悠闲地（）（）的照片要求：正确，合理，能够搭配多个词语。

三、修改病句：

1.说说病句的几种错因及相应的修改符号。

用词不当，意思重复，意思矛盾，缺少成分，位置颠倒。

删除符号、修改符号、添加符号、移动符号、调换符号、保留符号。2.修改下面病句：

（1）昨晚刮了一夜的沙尘暴。

（2）奶奶想起了许多过去的往事。（3）奶奶家养了几只雪白的大白鹅。（4）上海世博会各式各样。四.加标点：

1.写一篇对话：我教爸爸背古诗。

四年级上语文单元复习篇2

一、互动反馈系统及其应用于课堂教学的优势

互动反馈系统 (Interactive Response System, 简称IRS) 是指在课堂教学的信息技术环境下, 引入具有“1对1”特性的数字技术, 将课堂教学过程的多媒体演示、信息反馈、师生及生生互动等环节进行高效整合的系统平台。[2]它作为反馈信息收集工具应用于课堂教学, 主要有以下优势: (1) 实时诊断教学效果, 及时调整教学策略; (2) 加强师生互动, 活跃课堂气氛; (3) 全体公平参与, 关注问题解决; (4) 随堂形成性评价, 减轻教师负担; (5) 支持多种格式教学资源展示, 方便教师灵活运用。[3]

二、互动反馈系统在小学语文课堂教学中的应用设计实例

分析对象是浙江省金华市某小学一位语文教师应用IRS执教的人教版小学五年级上册语文第四单元复习课。其教学按点与对应的教学目标如表1所示。

三、基于个案的即时反馈信息分析与处理

IRS正以其收集反馈信息及时准确的独特优势逐步走进中小学课堂, 并为越来越多的教师所熟知。针对所收集到的数据, 教师有必要进行深入分析, 以便于及时采取补救措施提高教学效率。以下将从正答率和应答时间两个角度, 对收集到的即时反馈信息进行具体分析。

(一) 从正答率角度分析即时反馈信息

正答率是教师了解学生整体认知水平、检验教学目标达成情况的一个重要窗口, 在课堂教学中发挥着不可替代的作用。根据IRS活动记录中的正答率统计表, 绘制如图1所示的柱形统计图。

由图1可知, 题目5的正确率远远低于60%。此时, 教师通过提问发现:学生对“络绎不绝”和“源源不断”间的联系与区别已达成共识, 但在具体运用阶段容易混淆。针对这一现象, 教师利用IRS提供的即问即答功能临时设置题目6、题目7 (具有真实情境的例句) 以进一步巩固学生对该知识点的理解。此外, 题目2的正答率稍有偏低, 表明少部分学生对引号作用的认识仍处于模糊状态。据此, 教师通过再次总结的方式加深学生对引号作用的印象。

由此可见, IRS提供的正答率统计功能有助于教师在课堂中及时了解学生的思维过程, 查找作答错误的原因, 从而采取相应的措施调整教学策略, 加强学生对易错知识点的把握, 最终提高教学效率。

(二) 从应答时间角度分析即时反馈信息

应答时间有助于教师反思教学按点设计的合理性以及教学方法选择的科学性, 同时, 也为教学策略调整以及教学行为分析提供了有力依据。根据IRS系统提供的历程与报表追踪功能绘制成如图2所示的团体反应曲线图。

团体反应曲线是对原数据进行统计处理后得到的, 反映应了作答时间与应答人数之间的关系。根据团体反应曲线, 教师可以有效调整教学策略, 深入分析教学行为, 以下将针对本节课的教学按点进行具体分析。

1. 调整教学策略

无应答时间是指从问题提出到第一个学生作出反应所经历的时间, 在团体反应曲线中即为曲线起点所对应的时间。总体而言, 无应答时间越短, 题目越简单。由此, 教师可根据团体反应曲线的起点判断教学按点的难易程度, 从而有效调控教学步调。观察图2可知, 题目1、5、6、7对应的无应答时间相对较短, 同时, 结合正答率统计图可发现, 题目1、6、7的正确率普遍偏高, 据此可判定题目1、6、7所应对的教学目标已基本达成, 应适当减少教学时间;而其中题目5的正确率却显著偏低, 此时教师应深入分析产生此现象的原因所在, 并有针对性地调整教学策略以保证学生对该知识点的掌握。此外, 题目2、3、4的无应答时间相对较长, 但正确率却不低, 表明学生对此类知识点已基本理解, 只是掌握不够扎实, 教师可在今后教学中有意识加强学生对相关内容的学习。

2. 分析教学行为

面对简单提问, 多数学生几乎可在同一时间做出反应, 理论上而言应答率应在瞬间达到100%, 在实际教学过程中却总有部分学生因精力不集中、误解题意等原因导致应答迟缓, 此种情况在团体反应曲线中表现为指数函数图形。如图2所示, 题目1、3、4、6、7的反应时间曲线均呈指数分布, 教师可据此推测大部分学生对上述题目都能较好理解。而题目2、5的团体反应曲线趋向于S形, 表明此类问题对学生而言难度较大, 需经过充分思考与大量分析后才能做出反应。针对这一现象, 教师应在课后及时寻找其本质原因, 并在今后教学中采取适当的补救措施来促进学生对此类知识点的理解。

四、利用互动反馈系统开展教学的策略调整建议

(一) 根据正答率调整教学策略

1. 调整教学方案, 建立有效激励机制

教学方案是教师通过对学生原有认知水平进行预测而设计的最有益于学生学习的内容编排及时间分配过程, 实施过程中, 需要结合反馈信息进行动态调整。例如:当IRS显示的正答率高于85%时, 可适当减少相关知识点的教学时间, 以留出更多时间讲解学生难以理解的知识内容;而正答率低于60%时, 有必要调整预设的教学方案, 选择一种学生更容易理解的方式进行教学。

另外, 根据正答率建立有效激励机制也同样是提高教学效率的有效手段。例如:当正答率高于85%时, 可适当减少针对该知识点布置的课后练习, 在保证教学目标达成的同时减轻学生负担, 有利于激发学生的学习兴趣, 提高学生课堂参与的积极性。

2. 开展同侪教学, 解决认知冲突

同侪教学是指组织学生以小组协作方式讨论具有严重认知分歧的知识点的教学过程, 开展前提是同伴间产生较大的思维冲突, 全体学生对所涉及的知识点处于概念模糊状态。[4]

利用IRS的直观统计图, 教师可了解每位学生的思维倾向, 并对认知分歧现象一目了然。当发现学生产生认知分歧时, 即可开展同侪教学, 为所有学生提供向同伴解释自我观点的机会, 引导他们在互动环境中相互说服, 彼此精益概念, 加深认知印象, 牢固新知识记忆。

总而言之, 教师应根据正答率的高低, 并结合课堂实况采取适当措施引导学生进行思考与讨论, 促使学生形成并巩固对相关知识点的正确认识。

(二) 根据应答时间调整教学策略

1. 帮助学生认识自己, 指导学生学会学习

答题过程中, 应答时间往往因少数学生反应较慢而延长, 我们称这部分学生为慢智型思维学生。相比于其他学生, 慢智型学生的思维过程相对缓慢, 经常在教师、同学的催促下仓促完成作答, 不仅不利于正答率的精确统计, 而且还容易使这类学生产生自卑心理, 对自己缺乏自信。面对慢智型学生, 教师应采取列举案例、分析优势等方法帮助其正确认识自己, 了解自己的思维方式, 从自身的优势出发学会有效学习。

2. 分析思维过程, 实施分层教学

利用IRS提供的追踪与统计功能, 可及时明确全体学生的作答情况, 有利于教师在课堂中实现分层教学。针对反应快但作答错误的学生, 教师可在按键后要求其说明理由, 阐述思考过程及思路以检验其学习态度。若经过认真思考, 只是思维过程出现错误, 教师应予以鼓励;相反, 可进行适当批评, 使其认识到自己不端正的学习态度, 促使其及时改正。另外, 若该类学生较多, 教师还可不定期调整学生座位, 将此类学生安排在同一组或同一方向, 便于教师于按键前进行观察与提醒。而对于作答速度快且选择正确的学生, 教师应鼓励其在完成作答后进行自主学习, 或给予这部分学生更高层次的学习任务, 以做到兼顾全局, 促使全体学生共同进步。

综上所述, 教师并不能全靠IRS收集的统计数据直接观察到学生的学习实情, 还需在课后对数据加以深入分析, 挖掘其中隐藏的有价值的教学资源, 这无疑会增加教师工作量, 需要教师投入更多的时间与精力, 并保持足够的耐心。但从另一方面而言, IRS的应用也为教师进行高效教学提供了决策依据, 有利于教师及时调整教学策略以提高教学效率。

五、结论

利用IRS及时准确收集学生的作答信息, 并进行自动化统计处理, 最终以视觉化图表形式呈现反馈信息的方式, 有利于教师及时调整教学策略, 从而做到适时分层, 满足学生个性发展, 实施因材施教, 但要将IRS拥有的功能发挥得淋漓尽致, 关键还在于按点设计及教学过程实施。可见, 完全依靠IRS来改变教学效果显然不可取, 教师需要在不断实践中亲身体验IRS的独特价值, 形成个性化的使用风格。

此外, 除了从正答率和应答时间角度进行分析, 教师还可以根据IRS提供的学生按键频率、平均分数、标准差等对课堂教学进行研究, 找到设计教学过程的依据, 力求更高效地达成教学目标。

参考文献

[1]黄立新.教学传播过程中反馈信息的精细处理[J].电化教育研究, 2007, (7) :16-20.

[2]林建祥.互动反馈教学培训材料[M].北京:北京松博科技有限公司, 2007.

[3]张晓彬, 李霜爽.互动反馈系统 (IRS) 及其对传统课堂教学的优化设计[J].中小学电教, 2007, (9) :26-27.

四年级上语文单元复习篇3

班级：姓名：成绩：



一、看拼音，写词语。（10分）

二、我能给带点字选择正确的读音，并用“√”画出来。（3分）

惩（chěnɡ chénɡ）罚血液（yì yè）埋（mái mán）怨

吩（fēn fēnɡ）咐窜（cuān cuàn）出隐（yǐn yǐnɡ）藏

三、比一比，组词。（4分）

约（）沟（）错（）腊（）拣（）练（）堆（）推（）



四、按要求完成句子。（3+2+2+2+2+3=14分）

1补完这些歇后语可难不倒我哟。

① 十五个吊桶打水——

② 黄鼠狼给鸡拜年——

③ 小葱拌豆腐——

2课后我还积累了一些歇后语呢！不信，你看：（至少写2个）



3开学以来,我积累了不少名言,我准备选择一句合适的把我的书房布置一下。



4 用修改符号在原句上修改病句。

（1）家乡的一草一木对于爷爷奶奶都非常熟悉。

（2）在会上，他首先第一个谈了自己的收获和体会。

5改写句子。

（1）外地的桂花再香，还是比不得家乡旧宅院子里的金桂。

改成句末是问号的句子： 

（2）他的脚步声惊醒了酣睡的大熊猫。

改成把字句： 

6重新排队。

（）路上，火辣辣的太阳晒得它口干舌燥。

（）又渴又累的乌鸦始终没喝上一滴水。它叹息着：“唉！老办法不管用啦！”

（）乌鸦决定休息一下，找口水喝，于是它就收起翅膀，在一口井旁停了下来。

（）一个炎热的夏天，乌鸦出门去旅行。

（）可水井很深，乌鸦就衔来石子一块一块填进井里。

（）它一直忙到太阳下山，也没见井水涨上来。

五、连线课文。（18分）

1大大小小的湖泊，像,镶嵌在的沟谷中。这句话是把比作，把比作。

2“沉睡的牲畜，无声的低地，漆黑的夜晚，只有远处的几座灯塔闪烁着微弱的光芒。”这句话中，作者用了、等词语，写出了荷兰的宁静。我们可以用成语来形容此时的荷兰。

3普罗米修斯地把火种带到人间。从此，人类就用火来，，用火来，还用火来。向前迈进了一大步。

4有裂缝的水罐因为而感到惭愧，却不知道它可以。挑水工正是利用了这点，让主人每天都能欣赏到美丽的花朵。从这个故事中我明白了：。

六、仔细阅读下面两则短文，按要求作答。（21分）

（一）泉城（8分）

说到济南，自然会想到济南的七十二泉。这些泉有的白浪翻滚，好像；有的晶莹剔透，好像；有的声音洪大，听起来如虎啸狮吼；有的声音低细，听起来如秋雨潇潇。其中最著名的要数珍珠泉、五龙潭、黑虎泉和趵突泉了。

1将短文补充完整。（2分）

这一段中有一句写济南泉水名气大的，是哪一句？用“”画出来。（1分）

2这一段内容是从和两个方面写出了泉水的特点。（1分）

3济南的四大名泉在流动上各有特点，回忆课文内容，各用一个动词描绘一下它们流动的特点。（4分）

珍珠泉：五龙潭：

黑虎泉：趵突泉：

（二）死神也怕咬紧牙关（13分）

那个惊心动魄的故事是这样的：罗伯特和妻子玛丽终于登上了山顶。他们站在山顶上向远处眺望，城市中白色的楼群在蓝天白云的映衬下，变成了一幅无比美丽的画卷。他们两个人高兴得手舞足蹈。对于终日忙碌的他俩，这真是一次难得的旅行。

悲剧正是从这时候开始的。突然，罗伯特一脚踩空，高大的身躯打了个趔趄（liè qiｅ），随即向万丈深渊滑去。短短的一瞬，玛丽就明白发生了什么事情，她下意识地赶紧一口咬住丈夫的上衣，同时她也被一股强大的力量带向岩边,仓促之间，玛丽抱住了一棵树。

罗伯特悬在空中，玛丽咬紧牙关，两排洁白细碎的牙齿承担了一个高大魁梧躯体的全部重量。他们像一幅画，定格在蓝天白云、大山峭石之间。

一小时后，过往的游客救了他们。而这时的玛丽，美丽的牙齿和嘴唇早已被血染得鲜红鲜红。

几天以后，这个故事像长了翅膀一样飞遍了世界各地。人们发现，爱可以让人获得无限大的力量，死神也怕咬紧牙关。

1在文中找出下列词语的近义词。（4分）

远望（）无穷（）繁忙（）立即（）

2联系上下文理解下列词语的意思。（2分）

惊心动魄： 

仓促： 

3请摘录文中运用打比方的句子： 

这句话中，把比作。（3分）

4请用“”线画出罗伯特遇险的句子。在罗伯特遇险的危急时刻，玛丽第一反应是什么？用“”画出。（2分）

5读了这篇文章，你是怎样理解“死神也怕咬紧牙关”这句话的？用一两句话写下来。（2分）

 

七、快乐习作(两题任选一题）。（30分）

（一）同学们，我们的生活丰富多彩，每天都会发生使你难忘的事：有的使你高兴、快乐，有的使你后悔、懊恼，有的使你伤心、难过……请选择其中的一件写下来。要表达出你的真情实感，并适当写一写你的心理活动。题目自拟。

四年级上语文单元复习篇4

一、易读错的字

扳牛角（bān）

拳头（quán）

捶背（chuí）

衣襟（jīn）

胳膊（bo）

恐怖（bù）

掐住（qiā）

翅膀（bǎng）

露面（lòu）

角色（jué）

殷切（yīn）

妩媚（wǔ

mèi）

羡慕（xiàn）

撇嘴（piě）

窝囊（nāng）

哄笑（hōng）

笨拙（zhuō）

瞌睡（kē

shuì）

砸锅（zá

guō）

陀螺（tuó

luó）

嵌上（qiàn）

旋转（xuán

zhuǎn）绰号（chuò）

角锥（jiǎo

zhuī）

恍惚（huǎng

hū）嘲笑（cháo）

帅气（shuài）

溃败（kuì）

踱步（duó）

芥末（jiè）

芹菜（qín）

青蒜（suàn）

辣椒（jiāo）

莲藕（ǒu）

红薯（shǔ）

芋头（yù）

二、易写错的字

抚摸

甚至

跪下

拳头

捶背

顽皮

脖子

脱鞋

大概

昏乱

握住

摔倒

凭借

掐住

窝囊

笨拙

逃跑

挖坑

砸锅

瞌睡

旋转

自豪

溃败

预料

帅气

彻底

辉煌

三、多音字

lù（露珠）

jué（角色）

dū（都市）

hōng（哄传）

露

角

都

哄

hǒng（哄骗）

lòu（露脸）

jiǎo（直角）

dōu（都有）

hòng（起哄）

sì（似乎）

xuán（盘旋）

dīng（铁钉）

piāo（漂流）

似

旋

钉

漂

piǎo（漂白）

shì（似的）

xuàn（旋风）

dìng（钉扣子）

piào（漂亮）

四、形近字

摸—模

概—慨

掐—馅

俩—辆

练—炼

锅—娲

豪—毫

五、近义词

相信—信任

马上—立刻

顽皮—淘气

大概—大约

恐怖—恐惧

欺负—欺侮

羡慕—艳羡

殷切—恳切

满意—惬意

笨拙—愚笨

妩媚—妖娆

嘲笑—讥笑

仍然—依然

恍惚—隐约

好像—似乎

六、反义词

相信—怀疑

欺负—爱护

顽皮—乖巧

大概—肯定

笨拙—机灵

嘲笑—赞美

溃败—凯旋

垂头丧气—得意洋洋

七、重点词语

无缘无故

垂头丧气

哄堂大笑

通情达理

露露脸

黑道道

接连不断

踱来踱去

重整旗鼓

毫无怨言

顾名思义

不甘人后

四处寻找

得心应手

废物利用

一显身手

不伦不类

不可预料

摇头晃脑

不败之地

兴致勃勃

不动声色

士气大减

打头阵

挑大梁

占上风

破天荒

栽跟头

敲边鼓

开绿灯

碰钉子

八、词语搭配

【形容词】

（顽皮）的孩子

（结实）的汉子

（通情达理）的老师

（笨拙）的表演

（恍惚）的状态

（帅气）的陀螺

（辉煌）的时刻

（胜利）的滋味

（幸运）的甜头

【副词】

（远远）地站

（神气）地走

（啪嗒啪嗒）地跑

（轻轻）地提

（平白）地欺负

（高兴）地跳

九、关联词

1.我那时虽然不敢这样，可是用拳头捶捶牛背还是敢的。

2.要是在路上碰到鹅，就得绕个大圈子才敢走过去。

3.因为在金奎叔的手里，鹅是那么弱，那么可笑。

4.它虽然把我们看得比它小，可我们实在比它强啊！

5.虽然它远不如我想象中的那么漂亮，但我极高兴地接受了它。

十、常考句型

【比喻句】他轻轻地把鹅提了起来，然后就像摔一个酒瓶似的，呼的一下，把这只老公鹅摔到了半空中。

【比喻句】因此，曾有很长一段时间我的世界堆满乌云，快乐像过冬的燕子一般，飞到一个谁也看不到的地方去了。

【拟人句】大陀螺摇头晃脑，挺着肚皮一次次冲过来，我的“鸭蛋”则不动声色地闪躲。

十一、课文重点梳理

1.《牛和鹅》记叙了“我”在回家的路上被鹅追赶，后来在金奎叔的帮助下赶走了鹅，再不怕鹅的故事。最后借助金奎叔的话，告诉我们看待周围的事物，如果从不同的角度出发就会得到不同的结果。

2.《一只窝囊的大老虎》是作家叶至善回忆他童年时候，在一次班级演出时上台扮演老虎的故事。按照课文的写作顺序，可以归纳为三部分：期盼参加演出、饰老虎没成功、寻找失败根源。

3.《陀螺》这篇文章是儿童文学作家高洪波老师的一篇回忆性散文。此文以陀螺为线索，主要叙述了自己的一只其貌不扬的陀螺战胜大陀螺的事情，并从中悟到了一个深刻的道理：人不可貌相，海水不可斗量。体会到了成长中的快乐，从而表达了作者对陀螺的喜爱之情。

十二、三字词

打头阵

挑大梁

占上风

破天荒

栽跟头

敲边鼓

开绿灯

碰钉子

十三、日积月累

尺有所短，寸有所长。

机不可失，时不再来。

差之毫厘，谬以千里。

病从口入，祸从口出。

一言既出，驷马难追。

比上不足，比下有余。

第六单元基础知识复习检测

1.给加点字选择正确的读音，画“√”。

胳膊（bó

bo）

掐住（qiā

qià）

角色（jué

jiǎo）

笨拙（zhuō

zhuó）

芋头（yú

yù）

撇嘴（piē

piě）

溃败（kuì

guì）

捶背（chuí

cuí）

（1）小杨刚一露(lù

lòu)头，就暴露（lù

lòu）了目标。

（2）老林家境殷（yān

yīn）实，那清一色殷（yān

yīn）红的实木家具令

人赞叹不已。

2.读拼音，写词语。

shèn

zhì

bó

shuāi

dǎo

táo

pǎo

liàn

xí

（）

wán

pí

xuán

zhuàn

shuài

qì

róng

yù

zì

háo

（）

3.选字组词。

捶

垂

（）背

下（）

（）直

（）胸

练

炼

冶（）

演（）

（）习

磨（）

概

慨

感（）

大（）

慷（）

（）况

豪

毫

自（）

（）米

富（）

狼（）

4.按要求写近反义词。

（1）

近义词

相信—（）

顽皮—（）

大概—（）

羡慕—（）

嘲笑—（）

恐怖—（）

仍然—（）

好像—（）

（2）

反义词

相信—（）

欺负—（）

顽皮—（）

大概—（）

笨拙—（）

溃败—（）

垂头丧气—（）

5.词语搭配。

（）的孩子

（）的汉子

（）的老师

（）的时刻

（）的滋味

（）的甜头

6.给下列句子选择合适的关联词。

因为……所以……

要是……就……

虽然……但……

（1）

（）它远不如我想象中的那么漂亮,（）我极高兴地接受了它。

（2）

（）时间一去不复返，（）我们要珍惜时间。

（3）

（）在路上碰到鹅，（）得绕个大圈子才敢走过去。

7.根据要求完成下列句子练习。

（1）

金奎叔轻轻地把鹅提了起来。（改为被字句）

______________________________________________________________

（2）

带头的那只老雄鹅啪嗒啪嗒地跑了过来。（缩句）

______________________________________________________________

（3）

大陀螺摇头晃脑，挺着肚皮一次次冲过来，我的“鸭蛋”则不动声色地闪躲。（仿写拟人句）

______________________________________________________________

（4）因为在金奎叔的手里，鹅是那么弱，那么可笑。（用加点词造句）

______________________________________________________________

8.根据课文理解填空。

（1）

《牛和鹅》中牛怕人是因为牛眼看人觉得人比牛，鹅不怕人是

因为鹅眼看人觉得人比鹅

。从这篇课文中我们明白了______________________________________________________的道理。

（2）

《一只窝囊的大老虎》作者是_________。

（3）《陀螺》是儿童文学作家________写的。从课文中悟出一个深刻的道理：________________________________________________________________。

参考答案

1.bo

qiā

jué

zhuō

yù

piě

kuì

chuí

（1）lòu

lù

（2）yīn

yān

2.甚至

脖子

摔倒

逃跑

练习

顽皮

旋转

帅气

荣誉

自豪

3.捶

垂

捶

炼

练

炼

慨

概

慨

概

豪

毫

豪

毫

4.示例：（1）信任

淘气

大约

艳羡

讥笑

恐惧

依然

似乎

示例：（2）怀疑

爱护

乖巧

肯定

灵活

凯旋

得意洋洋

5.示例：顽皮

结实

通情达理

辉煌

胜利

幸运

6.（1）虽然

但

（2）因为

所以

（3）要是

就

7.（1）鹅被金奎叔轻轻地提了起来。

（2）老雄鹅跑了过来。

（3）示例：春风一吹，花儿们就争先恐后地绽开了笑脸。

（4）示例：漓江的水是那么清，那么静，真是让人心旷神怡啊！

8.（1）大

小

看待周围的事物，如果从不同的角度出发就会得到不同的结果

（2）叶至善

（3）高洪波

四年级下册语文第四单元复习要点篇5

一、字词

沉寂盘问口哨埋伏凝神烧毁维护壮烈牺牲谢意沉浸深情

凯旋征衣凝固阿姨精通经济贡献圣坛罪恶呼吁健康不慌不忙杂草丛生聚精会神模模糊糊以防万一断断续续永驻人间睁眼瞎手榴弹绿茵茵飘飘悠悠歪歪斜斜不速之客沉寂jì木屑xiâ轻蔑miâ磨坊mî fáng拧下来nǐng呻吟yín宛转zhuǎn丛生cïng 虽然suī卓越zhuï素质zhì沉浸jìn凯旋xuán鲜血xuâ弥漫mí覆盖fù

二、多音字

空 kōng 空旷转 zhun 转圈磨 mî石磨曲 qǖ 曲折觉 juã 觉察Kîng 填空zhun 宛转mï磨蹭qǚ 歌曲jiào 睡觉给gěi 送给旋 xuán凯旋钉dìng钉在弹dàn 弹片Jǐ给予xuàn旋风dīng钉子tán 弹跳

三、字形

寂（沉寂）埋（埋伏）削（打削）挺（挺胸）斯（慢条斯理）既（既然）理（道理）哨（口哨）蜒（蜿蜒）欺（欺负）状（形状）列（罗列）旋（凯旋）住（住宅）壮（强壮）烈（强烈）簇（簇拥）驻（驻军）

四、词语解释

空旷：地方开阔，没有树木、建筑物等。这里是指树木、建筑物等被破坏后的景象。沉寂：非常安静，一点声音也没有。轻蔑：看不起，不放在眼里。凝神：精神高度集中。宛转：声音抑扬动听。兴致勃勃：兴致、兴趣，这里指兴趣非常浓厚的样子。卓越：非常优秀，超出一般。凯旋：战胜归来。弥漫：（烟尘、雾气、水等）充满、布满。这里指战火还充满着一些地区。硝烟：炸药爆炸后产生的烟雾。威胁：用威力逼迫恫吓使人屈服。呼吁：向个人或社会申述，请求援助或主持公道。

五、近义词

沉寂——静寂盘问——盘查埋伏——隐蔽宛转——悠扬注意——关注执行——完成壮烈——雄壮赞扬——夸奖悲痛——伤痛精通——通晓弥漫——充满维护——保持威胁——恐吓卓越——优秀

六、反义词

沉寂——热闹空旷——拥挤弯曲——笔直模糊——清晰维护——破坏赞扬——批评勇敢——胆小和平——动荡

七、照样子写词语

断断续续：结结巴巴、和和美美、密密麻麻、急急忙忙兴致勃勃：小心翼翼、轻波漾漾、虎视眈眈、波光粼粼

八、搭配词语

（给予）评价（精通）语言（执行）任务（接到）问候（维护）和平（弥漫）硝烟

九、课文分析

13、夜莺的歌声

1、课文讲述了苏联卫国战争时期，一个被游击队员称作小夜莺的孩子，巧妙同敌人周旋，用口哨学鸟鸣，为游击队传递信息，协助游击队歼灭德国法西斯强盗的故事。课文充分表现了“小夜莺”的机智勇敢和爱国主义精神。（诱敌——传信——摆脱）

①夜莺的歌声打破了夏日的沉寂。这歌声停了一会儿，接着又用一股新的劲头唱起来。从表

面上看，这两句话在描写夜莺的歌声，但联系上下文，便可发觉其中还有其他的意义，“停了一会儿”“新的劲头唱起来”，机警的小夜莺已发觉了敌人，经过思考，他决定去接触敌人，把敌人引入游击队的埋伏圈，消灭敌人。

②孩子从嘴里掏出一个小玩意儿，递给他，用快活的蓝眼睛望着他。“快活”是小孩子的性格特点，快乐、活泼。“快活”在这里反映了“小夜莺”在敌人面前表现出超乎寻常的镇静、坦然。孩子在凶恶的敌人面前表现得如此镇定自如、依然快活，可见孩子的胆量。

③怎么会就剩下我一个？这里有麻雀、乌鸦、猫头鹰，多着呢。夜莺倒是只有我一个„„刚刚一开火，村子就着火了，大家都喊：‘野兽来了，野兽来了’„„就都跑了。这是小夜莺在回答敌人盘问时，说的几句一语双关的话。乍一听，纯属小孩儿天真的话语，把自己当作小动物。小夜莺正是凭借自己天真的话，加之自己一系列貌似顽皮的动作，在敌人不易觉察中戏弄、漫骂敌人，“麻雀、乌鸦、猫头鹰、野兽”都指的是敌人。德国兵虽然也“想着，轻蔑地微笑了一下”，但听、看小夜莺的言行，觉得他只不过是个不懂事的孩子，相信了小夜莺，并且让他带路。这些话语体现了小夜莺的机智和对敌人的憎恨。

④有时候学夜莺唱，有时候学杜鹃叫。胳脯一甩一甩地打着路旁的树枝，有时候弯下腰去拾球果，还用脚把球果踢起来。欢快的鸟鸣，无所顾忌的游戏，多么顽皮的小孩啊！其实，这是在麻痹敌人。既进一步让敌人确信自己是一个不懂事的小孩，又为后面同游击队联络做准备，“学夜莺唱，学杜鹃叫”，以便后来他用不同的鸟叫同游击队联络时不致引起敌人的怀疑。⑤你说的是一种蘑菇吗？没有，我们这里没有这种蘑菇。这里只有红蘑菇、白蘑菇，还有洋蘑菇。如果说前面小夜莺的回答还多少带一点“实答”的话，小夜莺这时的回答全然是“虚答”，答非所问。把两个完全不沾边的东西扯到了一起。正是小夜莺的这一回答，使敌人完全相信了小夜莺。前面敌人多少还有点疑虑，有点警觉，这时敌人只认为小夜莺是个什么都不懂、顽皮的孩子，所以“就不再问了”。小夜莺的答话是文章第一部分作者叙述的重点，小夜莺的答话虚实相间，颇有童味，加上小夜莺一系列顽皮的动作，使敌人相信了他。小夜莺的机智、勇敢在这些言行中得到充分的体现。

⑥第二天，在被烧毁的村子的围墙旁边，在那小路分岔的地方，孩子又穿着那件绿上衣，坐在原来那河岸边削什么东西，并且不时回过头去，望望那通向村子的几条道路，好像在等谁似的。胜利后的“小夜莺”又投入到了新的战斗中，“小夜莺”又在坚守岗位，侦查敌情了，以便通知游击队再次歼灭敌人。这句话照应了文章的开头，结构上使文章首尾呼应，浑然一体。同时还告诉我们文中叙述的故事并不是一次偶然的巧遇。小夜莺在村口放哨这是他的职责，以夜莺的歌声传递信息则是他和敌人进行斗争的特殊方式。这样我们对“小夜莺”就有了更深刻更全面的认识。

2、课文采用了（自然空行分段法）把课文分为了四个结构段。

3、第一部分：“小夜莺”以歌声引诱敌人上勾。

第二部分：“小夜莺”在为敌人带路途中以歌声为游击队员传递敌情

第三部分：游击队员取得了战斗的胜利。

第四部分：战斗结束后“小夜莺”在村边小路旁继续吹奏着宛转的歌声。

4、小男孩是个（机智、勇敢、热爱祖国、痛恨敌人）的小男孩。

5、课文最后两个自然段和开头三个自然段的关系是什么？

答：这句话照应了文章的开头，结构上使文章首尾呼应，浑然一体。同时还告诉我们文中叙述的故事并不是一次偶然的巧遇。小夜莺在村口放哨这是他的职责，以夜莺的歌声传递信息则是他和敌人进行斗争的特殊方式。这样我们对“小夜莺”就有了更深刻更全面的认识。

6、文章题目的含义是什么？

答：全文贯穿始终的是小男孩模仿夜莺的叫声为游击队传递消息。题目也是对小男孩机智勇敢热爱祖国的一种歌颂。

7、学习了《夜莺的歌声》，我明白了面对敌人时，我们要镇定自如，机智勇敢。小夜莺——机智勇敢、热爱祖国

14课、小英雄雨来

1、《小英雄雨来》的作者是管桦；讲的是在那战火连天、枪炮轰鸣的抗日战争时期，晋察冀边区的少年雨来，聪明勇敢，游泳本领高强，为了掩护革命干部，机智地同敌人作斗争的故事。了解战争年代人们的生活，学习小英雄雨来勇敢机智的品质，从中受到爱国主义教育。

2、学习了《小英雄雨来》，我知道了雨来是一个机智勇敢，热爱祖国的人。

3、雨来——机智勇敢、热爱祖国、游泳本领高。

课文小标题：

① 游泳本领高；

② 上夜校念书；

③ 掩护交通员李大叔；

④ 勇斗鬼子；

⑤ 宁死不屈；

⑥机智逃生。

15、一个中国孩子的呼声

1、这篇课文属书信体文章，是一个中国孩子写给联合国秘书长加利的一封信。这封信首先表达了“我”和妈妈对加利先生的问候和深深的谢意，接着深情回忆“我”的爸爸出征前后的情景，在悲痛中怀着自豪和崇敬，并表示要向爸爸学习，用生命捍卫和平。最后，呼吁国际社会一致行动起来，维护和平，制止战争!缅怀那些为维护世界和平而英勇献身的英雄们，引导我们从小放眼世界，关注国际局势，树立热爱和平、维护和平的信念。

2、但是世界并不太平，不少地区还弥漫着战争的硝烟，罪恶的子弹还威胁着娇嫩的‘和平之花’。这句话的意思是说：只要有局部的战争存在，整个世界就难保太平。只要有罪恶的子弹存在，这“和平之花”虽然美丽，却容易被摧残。所以，和平需要全世界人民共同捍卫。

3、让那已经能够听到脚步声的21世纪，为战争敲响丧钟，让明天的世界真正成为充满阳光、鲜花和爱的人类家园！这句话饱含着一个失去亲人的孩子对和平无比渴望的真挚情感，同时也表达了中国孩子向国际社会呼吁“救救孩子，要和平不要战争”的心声。但是51年后的今天，和平之神并没有永驻人间。全世界的人们经历了艰苦的奋斗才获得了第二次世界大战的胜利，所有人都认真战争和苦难结束了，和平来到了。然而在世界有些地方，局部的战争却从没有停息，给人们带来了更大的伤害。从中感受到作者对战争的痛恨，对和平的向往和期待。

4、这篇课文采用了（书信）的格式。回忆了（爸爸出征在机场送别）和（爸爸牺牲后在机场迎接他）的两个情景。作者是个（热爱和平、痛恨战争）的孩子。

5、学习了《一个中国孩子的呼声》，我明白了要热爱和平，维护和平，不要战争。一个中国孩子的呼声是救救孩子们，要和平不要战争，表现了中国孩子热爱和平的思相感情。一个中国孩子——热爱和平、憎恨战争

16、和我们一样享受春天

1、这是一首呼唤和平的诗，它以一个孩子的视角，揭示了战争给自然世界带来的种种不安宁，发出对和平的呼唤。

2、全诗共五个小节。可以分为两个部分，第一部分（第一至第四小节）描述了战争给自然世界带来的种种不安宁。第二部分（第五小节）发出祈盼，让战火中的孩子和我们一样在鲜花中读书，一同享受春天的美好

3、学习了《和我们一样享受春天》，我明白了我们要憎恨战争，维护和平，捍卫和平。让那已经能够听到脚步声的21世纪，为战争敲响丧钟，让明天的世界真正成为充满阳光、鲜花

和爱的人类家园！

语文园地四

1、比喻句

① 妈妈还是死命追着不放，到底追上了，可是雨来浑身光溜溜的像条小泥鳅，怎么也抓不

住。（运用了比喻句写出了人物更机灵、可爱。）

② 雨来像小鸭子一样抖着头上的水，用手抹一下眼睛和鼻子，嘴里吹着气，望着妈妈笑。③ 那双手就像鹰的爪子，扭着雨来的两只耳朵，向两边拉。（运用比喻写出了的凶恶）④她似乎感到德军那几双恶狼般的眼睛都盯在越来越短的蜡烛上。使用比喻句的好处是：使文章更加生动、具体、形象、传神、富有感染力。

2、关于战争的成语

知己知彼百战百胜运筹帷幄决胜千里出其不意攻其不备围魏救赵声东击西四面楚歌腹背受敌草木皆兵风声鹤唳兵贵神速突然袭击神出鬼没所向无敌

3、战争中涌现出为和平而战的英雄人物：

①抗日英雄：杨靖宇、赵一曼

②英勇献身：方志敏、董存瑞

③抗美援朝、保家卫国：黄继光、邱少云„„

四年级语文第五单元复习教案篇6

课题：《复习单元五》

学

校：马屯小学

赛课人：王雪荣

第五单元复习

学习目标：

1、通过复习，能把“读读写写”中词语听写正确。

2、通过复习，能把“读读记记”中词语读准确并记住。

3、通过复习，能说出本单元的收获和体会，明白生命是宝贵的，也是美好的，能够更加珍爱生命。学习过程

一、揭题、板题：

1、揭题：同学们，我们已经把第五单元的内容学习完了，让我们来复习一下，比一比谁记得牢固，积累的多，收获的丰富。

2、板题：复习单元五

3、出示学习目标

二、复习词语

（一）会写词语

1、请同学们打开语文园地五，看前面的词语盘点。出示自学指导

（一）请同学们自由朗读“读读写写”里面的词语，边读边记忆这些词语。（5分钟后听写）

2、学生自由读记。

3、检测：听写词语，可以抽其中的一部分听写。

4、同桌互改。

5、纠错：全对的同学复习“读读写写”，出现错误的订正后同桌批改

并记忆。

6、老师对学生易错的词语进行强调、分析，加深印象。

（二）会认词语

1、师：你们真是记忆小能手，我们来看“读读写写”里面的词语，看谁表现的最棒。出示自学指导

（二）请同学们练读“读读记记”里的词语，比谁读的准确。（3分钟后比赛）

2、学生自己读“读读记记”里的词语。

3、指名读，及时纠正错音。

4、同桌互读。

5、开火车读。

6、不同形式的赛读。

三、复习课文，交流体会出示自学指导

（三）请同学们自由来读第17至20课课文，来谈谈你们的体会。（6分钟后交流）

1、学生自由读课文。

2、同桌互相交流。

3、回忆课文填空。

①谁都有生活的，谁都可以创造一个世界。这句话出自课文，作者是，文中的主人翁让他明白的这个道理。

②《生命生命》作者是，这一课通过、、三个事例让我们明白：虽然生命，但是，我们可以让体现出。于是，我下定决心，一定要，决不让它，使自己活的更加。

③《花的勇气》讲的是发生在四月的，看花时心理从“失望”、（）到“惊奇”、，最终明白了生命的意味是。

四、小结

生命的意义何在？听听雷锋怎样说？

四年级上语文单元复习篇7

一、选择题

1.已知M⊆{1, 2, 3, 4}, 且M∩{1, 2}={1, 2}, 则集合M的个数是 ( ) .

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

2.设集合P={3, log2a}, Q={a, b}, 若P∩Q={0}, 则P∪Q= ( ) .

(A) {3, 0} (B) {3, 0, 1}

3.设M={x|x<4}, N={x|x2<4}, 则 ( ) .

(A) M⊆N (B) N⊆M

4.已知集合A={y|y=x2-1, x∈R}, B={x|y=lg (1-x) }, 则A∩B= ( ) .

(A) [-1, 1] (B) [-1, 1)

5.已知E, F, G, H是空间四点, 命题甲:E, F, G, H四点不共面, 命题乙:直线EF和GH不相交, 则甲是乙的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

6.已知全集U=R, 集合 $A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {x \in R | x \geq 2}$ , 则图1中阴影部分所表示的集合为 ( ) .

(A) {1} (B) {0, 1}

7.已知条件p:x≤1, 条件q: $\frac{1}{x} \leq 1$ , 则q是¬p成立的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既非充分也非必要条件

8.以下有关命题的说法错误的是 ( ) .

(A) 命题“若x2-3x+2=0, 则x=1”的逆否命题为“若x≠1, 则x2-3x+2≠0”

(B) “x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件

(D) 对于命题p:∃x∈R, 使得x2+x+1<0, 则p:∀x∈R, 则x2+x+1≥0

9.a, b为非零向量, “函数f (x) = (ax+b) 2 为偶函数”是“a⊥b”的 ( ) .

(A) 充分但不必要条件

(B) 必要但不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

10.已知全集U=R, 集合 $A = {x | 2^{x} > 1} ‚ B = {x | \frac{1}{x - 1} > 0}$ , 则A∩ (∁UB) = ( ) .

(A) {x|x>1} (B) {x|0<x<1}

11.命题“函数y=f (x) (x∈M) 是偶函数”的否定是 ( ) .

(A) ∀x∈M, f (-x) ≠f (x)

(B) ∃x∈M, f (-x) ≠f (x)

(D) ∃x∈M, f (-x) =f (x)

12.已知集合 $Μ = {(x, y) | x^{2} + y^{2} = 1, x \in Ζ, y \in Ζ} ‚ Ν = {(x, y) | (x - 1)^{2} + y^{2} = 1}$ , 则M∩N的元素个数为 ( ) .

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4

13.集合A={ (x, y) |y=a}, 集合B={ (x, y) |y=bx+1, b>0, b≠1}, 若集合A∩B=∅, 则实数a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) (- \infty, 1) (B) (- \infty, 1] \\ (C) (1, + \infty) (D) R \end{array}$

14.设P, Q为两个非空实数集合, 定义集合P+Q={a+b|a∈P, b∈Q}, 若P={0, 2, 5}, Q={1, 2, 6}, 则P+Q中元素的个数为 ( ) .

(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

15.已知N是自然数集, 常数a, b都是自然数, 集合M={x|2x-a≤0}, 集合P={x|3x-b>0}, 如果M∩P∩N={2, 3, 4}, 那么以 (a, b) 为坐标的点一共有 ( ) .

(A) 1个 (B) 6个 (C) 10个 (D) 12个

16.对于集合M, N, 定义M-N={x|x∈M且 $x \notin Ν} ‚ Μ \oplus Ν = (Μ - Ν) \cup (Ν - Μ)$ .设 $A = {y | y = 3^{x}, x \in R} ‚ B = {y | y = - (x - 1)^{2} + 2, x \in R}$ , 则

$\begin{array}{l} A \oplus B = () . \\ (A) [0, 2) (B) (0, 2] \\ (C) (- \infty, 0] \cup (2, + \infty) (D) (- \infty, 0) \cup [2, + \infty) \end{array}$

17.在△ABC中, “sinA>sinB”是“cosA<cosB”的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

二、填空题

18.已知命题p:∃x∈R, x2+2ax+a≤0, 则命题p的否定是;若命题p为假命题, 则实数a的取值范围是.

19.已知全集 $U = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ , 集合 $A = {x | x = \frac{2}{n - 1}, x ‚ n \in Ζ}$ , 则∁UA=.

20.若x∈A, 且 $\frac{1}{x} \in A$ , 则称A是“伙伴关系集合”.在集合 $Μ = {\frac{1}{2}, 1, 2, 3}$ 的所有非空子集中任选一个集合, 则该集合是“伙伴关系集合”的概率为.

21.给出下列命题:

①A=1是幂函数;

②函数f (x) =2x-log2x的零点有2个;

$③ \sqrt{x - 1} (x - 2) \geq 0$ 的解集为 $[2, + \infty)$ ;

④“x<1”是“x<2”的充分不必要条件;

⑤函数y=x3在点O (0, 0) 处的切线是x轴.

其中真命题的序号是 (写出所有正确命题的编号) .

22.当一个非空数集F满足条件“如果a, b∈F, 则a+b, a-b, a·b∈F, 并且当b≠0时, $\frac{a}{b} \in F$ ”时, 我们就称F为一个数域.以下四个关于数域的命题:①0是任何数域的元素;②若数域F中有非零元素, 则2011∈F;③集合 $Ρ = {x | x = 3 k, k \in Ζ}$ 是一个数域;④有理数集是一个数域.其中正确命题的序号为.

23.在实数集R中定义一种运算“*”, 具有性质:

①对任意a, b∈R, a*b=b*a;

②对任意a∈R, a*0=a;

③对任意a, b, c∈R, (a*b) *c=c* (ab) + (a*c) + (b*c) -2c.

则0*2=, 函数 $f (x) = x * \frac{1}{x} (x ＞ 0)$ 的最小值是.

三、解答题

24.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0, 其中a<0, q:实数x满足x2+2x-8>0, 且¬p是¬q的必要不充分条件, 求a的取值范围.

25.设 $U = R ‚ f (x) = x^{2} + 3 x + 2 ‚ g (x) = x^{2} + (m + 1) x + m, m \in R .$

(1) 设集合 $A = {x | f (x) = 0} ‚ B = {x | g (x) = 0}$ .若 (∁UA) ∩B=∅, 求m的值.

(2) 设集合 $Ρ = {y | y = f (x)}, Q = {m | g (x) 在区间 [- 1 ‚ + \infty) 上是增函数}$ , 求P∩Q.

26.已知集合A={-2, 0, 2}, B={-1, 1}.

(1) 若M={ (x, y) |x∈A, y∈B}, 用列举法表示集合M;

(2) 在 (1) 中集合M内随机取出一个元素 (x, y) , 求以 (x, y) 为坐标的点位于区域

内的概率.

27.设命题p:函数f (x) =x3-ax-1在区间[-1, 1]上单调递减;命题q:函数y=ln (x2+ax+1) 的值域是R.如果命题p或q为真命题, p且q为假命题, 求a的取值范围.

参考答案

1.D.由题意可得1, 2∈M, 有M={1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}, 共4个.

2.B.由题意知, log2a=0, ∴a=1, 从而

4.B.A={y|y≥-1}, B={x|x<1}, ∴A∩B=[-1, 1) .

5.A.若E, F, G, H四点不共面, 则该四点组成一个三棱锥, ∴直线EF和GH不相交, 反之, 若直线EF和GH不相交, 当EF//GH时, E, F, G, H四点共面.

6.A.阴影部分为A的元素除去A∩B={2, 3, 4, 5}中的元素, 即 ${1} .$

7.B.¬p:x>1, q: $\frac{1}{x} < 1 \Leftrightarrow x < 0$ 或x>1, 故q是¬p成立的必要不充分条件.

8.C.“若p, 则q”的逆否命题为“若¬q, 则¬p”, ∴A正确.“x=1”⇒“x2-3x+2=0” (即x=1或x=2) , 而“x2-3x+2=0” /⇒“x=1”, ∴B正确.若p∧q为假命题, 说明p, q中至少有一个为假命题, ∴C错.命题“∃x, 使p”的否定为“∀x, 使¬p”, ∴D正确.

9.C.f (x) =a2x2+2a·bx+b2, 若f (x) 为偶函数, 则a·b=0⇒a⊥b, 反之也成立.

10.C.由2x>1=20, 得A={x|x>0}.由 $\frac{1}{x - 1} > 0$ , 得x-1>0, 即B={x|x>1}, ∁UB={x|x≤1}, 即A∩ (∁UB) ={x|0<x≤1}.

11.B.原命题为“∀x∈M, f (-x) =f (x) ”, 其否定为“∃x∈M, f (-x) ≠f (x) ”.

12.A.M={ (0, 1) , (0, -1) , (1, 0) , (-1, 0) }, M∩N=∅.

13.B.由A∩B=∅知, 函数y=bx+1的图象与直线y=a没有交点, ∴a≤1.

14.B.当a=0时, b=1, 2, 6, a+b=1, 2, 6;当a=2时, b=1, 2, 6, a+b=3, 4, 8;当a=5时,

, 由M∩P∩N={2, 3, 4}, 得

${\begin{cases} 1 \leq \frac{b}{3} < 2 ‚ \\ 4 \leq \frac{a}{2} < 5 ‚ \end{cases} ∴ {\begin{cases} 3 \leq b < 6 ‚ \\ 8 \leq a < 10 . \end{cases}$

又a, b∈N, 当a=8时, b=3, 4, 5, 当a=9时, b=3, 4, 5, 共6组.

$\begin{array}{l} 16 . C . A = {y | y > 0} ‚ B = {y | y \leq 2} ‚ A - B = {y | x > 2} ‚ B - A = {x | x \leq 0} ‚ \\ ∴ A \oplus B = {y | x > 2} \cup {x | x \leq 0} = (- \infty, 0] \cup (2, + \infty) . \end{array}$

17.C.由 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$ , 得sinA>sinB⇔a>b.

由 $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} ‚ \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$ ,

$\begin{array}{l} 得 \cos A < \cos B \\ \Leftrightarrow \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} < \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} \\ \Leftrightarrow a b^{2} + a c^{2} - a^{3} < b a^{2} + b c^{2} - b^{3} \\ \Leftrightarrow a^{3} - b^{3} + b a^{2} + b c^{2} - a b^{2} - a c^{2} > 0 \\ \Leftrightarrow (a - b) (a + b - c) (a + b + c) > 0 \Leftrightarrow a > b . \end{array}$

于是sinA>sinB⇔cosA<cosB.

18.∀x∈R, x2+2ax+a>0, (0, 1) .

由p为假命题知, ¬p为真命题,

则Δ= (2a) 2-4a<0, ∴0<a<1.

19.{0}.由x, n∈Z, 得n-1=-2, -1, 1, 2, 即

的非空子集有24-1=15个, 其中“伙伴关系集合”有: ${1} ‚ {\frac{1}{2}, 2}, {\frac{1}{2}, 1, 2}$ , 共3个, 所求的概率为 $\frac{3}{15} = \frac{1}{5} .$

21.④⑤.A不能写成y=xα (x≠0) 的形式, ①假.y=2x与y=x2的图象有3个交点, 得函数f (x) =2x-x2的零点有3个, ②假.③的解集应为 ${x | x \geq 2$ 或x=1}.x<1⇒x<2, 但x<2⇒x<1, ④真. $y^{'} = 3 x^{2} ‚ y^{'} |_{x = 0} = 0$ , 切线为y=0, ⑤真.

22.①②④.设a∈F, 则a-a=0∈F;若数域F中有非零元素a, 则 $\frac{a}{a} = 1 \in F ‚ 1 + 1 = 2 \in F ‚ \dots ‚ 2010 + 1 = 2011 \in F$ ;3, 6∈F, 但 $\frac{6}{3} = 2 \neq 3 k$ , 即2∉F;有理数加、减、乘、除还是有理数, 故有理数集是一个数域.

$\begin{array}{l} 23.2, 3 . 0 * 2 = 2 * 0 = 2 . \\ f (x) = x * \frac{1}{x} = (x * \frac{1}{x}) * 0 = 0 * (x \cdot \frac{1}{x}) + (x * 0) + (\frac{1}{x} * 0) - 2 \times 0 = 0 * 1 + x + \frac{1}{x} = 1 * 0 + x + \frac{1}{x} = 1 + x + \frac{1}{x} \geq 3 . \end{array}$

$\begin{array}{l} 24 . 解 ∶ 设 A = {x | x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} < 0, a < 0} \\ = {x | 3 a < x < a, a < 0} ‚ B = {x | x^{2} + 2 x - 8 > 0} \\ = {x | x < - 4 或 x > 2} ‚ \end{array}$

∵¬p是¬q的必要不充分条件,

∴q是p的必要不充分条件,

∴A⊂≠B, 于是a≤-4或3a≥2,

即a≤-4或 $a \geq \frac{2}{3} .$

又a<0, ∴a的取值范围是 (-∞, -4].

25.解: (Ⅰ) 由题意知, $A = {- 1, - 2}$ .当m=1时, $B = {- 1}$ , 此时 (∁UA) ∩B=∅, ∴m=1适合;当m≠1时, $B = {- 1, - m}$ , 又 (∁UA) ∩B=∅, ∴m=2.综上, m=1或2.

$(Ⅱ) Ρ = [- \frac{1}{4}, + \infty) ‚ g (x) = x^{2} + (m + 1) x + m = (x + \frac{m + 1}{2})^{2} - \frac{(m + 1)^{2}}{4} + m$ ,

由题意知, $- \frac{m + 1}{2} \leq - 1$ , 即

$\begin{array}{l} m \geq 1 ‚ \\ ∴ Q = [1, + \infty) ‚ \\ ∴ Ρ \cap Q = [1, + \infty) . \end{array}$

26.解: (Ⅰ) 由题意知, M={ (-2, -1) , (-2, 1) , (0, -1) , (0, 1) , (2, -1) , (2, 1) }.

(Ⅱ) 区域D如图所示, 在集合M内随机取出一个元素 (x, y) , 共有 (-2, -1) , (-2, 1) , (0, -1) , (0, 1) , (2, -1) , (2, 1) , 共6种, 而位于区域D内的点有 (-2, -1) , (0, -1) , (0, 1) , (2, -1) , 共4种, ∴所求的概率 $p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} .$

27.解:当命题p为真时, f ′ (x) =3x2-a≤0在[-1, 1]上恒成立,

∴a≥3x2, 又当x∈[-1, 1]时, (3x2) max=3,

于是a≤3.

当命题q为真时, 由函数y=ln (x2+ax+1) 的值域为R知, x2+ax+1能取到任何的正实数, 即函数y=x2+ax+1的图象至少与x轴有1个交点,

∴Δ=a2-4≥0, 解之, 得a≤-2或a≥2.

由p或q为真命题, p且q为假命题, 得p, q必一真一假.

当p真q假时, 无解;

当p假q真时,

${\begin{cases} a < 3, \\ a \leq - 2 或 a \geq 2 ‚ \end{cases}$

解之, 得a≤-2或2≤a<3.

∴a的取值范围是 (-∞, -2]∪[2, 3) .

二、函数与微积分部分 (1)

一、选择题

1.函数 $y = \sqrt{2 - x} + g x$ 的定义域是 ( ) .

(A) (0, 2] (B) (0, 2)

2.已知两个函数f (x) 和g (x) 的定义域和值域都是集合 ${a, b, c}$ , 其定义如下表:

则g[f (a) ]的值为 ( ) .

(A) a (B) b

3.已知函数 $f (x) = (\frac{1}{2}) - x^{\frac{1}{3}}$ , 那么在下列区间中含有函数f (x) 零点的是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) (0, \frac{1}{3}) (B) (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) \\ (C) (\frac{1}{2}, \frac{2}{3}) (D) (\frac{2}{3}, 1) \end{array}$

4.已知定义在 (-1, 1) 上的函数f (x) =x-sinx, 若f (a-2) +f (4-a2) <0, 则a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) (- \infty, - 1) \cup (2, + \infty) \\ (B) (\sqrt{3}, \sqrt{5}) \\ (C) (2, \sqrt{5}) \\ (D) (0, 2) \end{array}$

5.已知函数若f (2-x2) >f (x) , 则实数x的取值范围是 ( ) .

(A) (-∞, -1) ∪ (2, +∞)

(B) (-∞, -2) ∪ (1, +∞)

(D) (-2, 1)

6.在同一个坐标系中画出函数y=ax, y=sinax的部分图象, 其中a>0且a≠1, 则下列所给图象中可能正确的是 ( ) .

7.为了得到函数 $y = \log_{2} \frac{x + 3}{2}$ 的图象, 只需把函数y=log2x的图象上所有的点 ( ) .

(A) 向左平移3个单位长度, 再向上平移1个长度单位

(B) 向右平移3个单位长度, 再向上平移1个长度单位

(D) 向右平移3个单位长度, 再向下平移1个长度单位

8.已知函数f (x) =ax+x-b的零点x0∈ (k, k+1) (k∈Z) , 且常数a, b分别满足2a=3, 3b=2, 则k= ( ) .

(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

9.已知图象不间断的函数f (x) 是区间[a, b]上的单调函数, 且在区间 (a, b) 上存在零点.图1是用二分法求方程f (x) =0近似解的程序框图, 判断框内可以填写的内容有如下四个选择:

①f (a) f (m) <0; ②f (a) f (m) >0;

③f (b) f (m) <0; ④f (b) f (m) >0.

其中正确的选择是 ( ) .

(A) ①② (B) ②③

10.已知函数f (x+1) 是定义在R上的奇函数, 若对于任意给定的不等实数x1, x2, 不等式 (x1-x2) [f (x1) -f (x2) ]<0恒成立, 则不等式f (1-x) <0的解集为 ( ) .

(A) (1, +∞) (B) (0, +∞)

11.定义一种运算:已知函数f (x) =2x⨂ (3-x) , 那么函数y=f (x+1) 的大致图象是 ( ) .

12.已知f (x) 在R上是奇函数, 且满足f (x+3) =-f (x) , 当x∈ (-3, 0) 时, f (x) =2x2, 则f (2011) 等于 ( ) .

(A) -2 (B) 2 (C) -98 (D) 98

13.当x∈[0, 2]时, 函数f (x) =ax2+4 (a-1) x-3在x=2时取得最大值, 则a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) [- \frac{1}{2}, + \infty) (B) [0, + \infty) \\ (C) [1, + \infty) (D) [\frac{2}{3}, + \infty) \end{array}$

14.右图所示的是某一容器的三视图, 现向容器中匀速注水, 容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是 ( ) .

15.已知是 (-∞, +∞) 上的增函数, 那么a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) (1 ‚ + \infty) (B) (0 ‚ 3) \\ (C) (1 ‚ 3) (D) [\frac{3}{2} ‚ 3) \end{array}$

16.已知集合M={1, 2, 3, m}, N={4, 7, n4, n2+3n}, m, n∈N, 映射f:y→3x+1是从M到N的一个函数, 则m-n的值为 ( ) .

(A) 2 (B) 3

17.若一系列函数的解析式相同, 值域相同但定义域不同, 则称这些函数为“孪生函数”.那么函数解析式为y=2x2+1, 值域为 ${3, 19}$ 的“孪生函数”共有 ( ) .

(A) 15个 (B) 12个

18.若函数f (x) = (k-1) ax-a-x (a>0, a≠1) 在R上既是奇函数, 又是减函数, 则g (x) =loga (x+k) 的图象是 ( ) .

19.已知函数f (x) =x2-2x, g (x) =ax+2 (a>0) , 若∀x1∈[-1, 2], ∃x2∈[-1, 2], 使得f (x1) = g (x2) , 则实数a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) (0, \frac{1}{2}] (B) [\frac{1}{2}, 3] \\ (C) (0, 3] (D) [3, + \infty) \end{array}$

20.设a (0<a<1) 是给定的常数, f (x) 是R上的奇函数, 且在 (0, +∞) 上是增函数, 若 $f (\frac{1}{2}) = 0 ‚ f (\log_{a} t) ＞ 0$ , 则t的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) (0, \sqrt{a}) (B) (1, \frac{1}{\sqrt{a}}) \\ (C) (0, \frac{1}{\sqrt{a}}) (D) (1, \frac{1}{\sqrt{a}}) \cup (0, \sqrt{a}) \end{array}$

21.已知 $f (x) = \ln (x^{2} + 1), g (x) = (\frac{1}{2})^{x} - m$ , 若∀x1∈[0, 3], ∃x2∈[1, 2], 使得f (x1) ≥g (x2) , 则实数m的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) [\frac{1}{4} ‚ + \infty) (B) (- \infty ‚ \frac{1}{4}] \\ (C) [\frac{1}{2} ‚ + \infty) (D) (- \infty ‚ - \frac{1}{2}] \end{array}$

22.定义在R上的函数f (x) 满足则f (2011) 的值为 ( ) .

(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

23.已知函数f (x) 满足:①∀x, y∈R, f (x+y) =f (x) +f (y) , ②∀x>0, f (x) >0, 则 ( ) .

(A) f (x) 是偶函数且在 (0, +∞) 上单调递减

(B) f (x) 是偶函数且在 (0, +∞) 上单调递增

(D) f (x) 是奇函数且单调递增

二、填空题:

24.已知函数为奇函数, 则a+b=.

25.已知定义在R上的函数f (x) 满足:f (x) ·f (x+2) =13, 若f (1) =2, 则f (2011) =.

26.已知奇函数f (x) 在 (-∞, 0) 为减函数, 且f (2) =0, 则不等式 (x-1) ·f (x-1) <0的解集为.

27.已知函数f (x) 对任意的x∈R都有f (1+x) =f (1-x) , 函数 $f (x + \frac{1}{2})$ 是奇函数, 当0≤x≤1时, f (x) =2x-1, 则方程 $f (x) = - \frac{1}{3}$ 在[-3, 4]内的所有根之和等于.

三、解答题

28.已知函数f (x) =|x|· (a-x) , a∈R.

(Ⅰ) 当a=4时, 画出函数f (x) 的大致图象, 并写出其单调递增区间;

(Ⅱ) 若函数f (x) 在x∈[0, 2]上是单调递减函数, 求实数a的取值范围;

(Ⅲ) 若不等式|x|· (a-x) ≤6对x∈[0, 2]恒成立, 求实数a的取值范围.

29.已知函数 $f (x) = \ln \frac{x + 1}{x - 1} .$

(Ⅰ) 求函数的定义域, 并证明 $f (x) = \ln \frac{x + 1}{x - 1}$ 在定义域上是奇函数;

(Ⅱ) 对于 $x \in [2, 6] ‚ f (x) = \ln \frac{x + 1}{x - 1} > \ln \frac{m}{(x - 1) (7 - x)}$ 恒成立, 求实数m的取值范围.

30.某销售商销售某品牌手机, 该品牌手机进价为每部1580元, 零售价为每部1880元.为促进销售, 拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法, 且赠送礼物的价值不超过180元.统计表明:在促销期间, 礼物价值每增加15元 (礼物的价值都是15元的整数倍, 如礼物价值为30元, 可视为两次增加15元, 其余类推) , 销售量都增加11%.

(Ⅰ) 当赠送礼物的价值为30元时, 销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍?

(Ⅱ) 试问赠送礼物的价值为多少元时, 商家可获得最大利润?

31.已知函数 $f (x) = \log_{a} \frac{2 m - 1 - m x}{x + 1} (a ＞ 0, a \neq 1)$ 是奇函数, 定义域为区间D.

(Ⅰ) 求实数m的值, 并写出区间D;

(Ⅱ) 当a>1时, 试判断函数y=f (x) 在定义域D内的单调性, 并说明理由;

(Ⅲ) 当x∈A=[a, b]⫋D (a是底数) 时, 函数值组成的集合为[1, +∞) , 求实数a, b的值.

32.某地区的农产品A第x天 $(1 \leq x \leq 20)$ 的销售价格 $p = 50 - | x - 6 |$ (元∕百斤) , 一农户在第x天 $(1 \leq x \leq 20)$ 农产品A的销售量 $q = 40 + | x - 8 |$ (百斤) .

(Ⅰ) 求该农户在第7天销售农产品A的收入;

(Ⅱ) 问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大?

33.某企业投入81万元经销某产品, 经销时间共60个月, 市场调研表明, 该企业在经销这个产品期间第x个月的利润 (单位:万元) .

为了获得更多的利润, 企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的利润率为 $g (x) = \frac{第 x 个月的利润}{第 x 个月前的资金总和}$ , 例如, $g (3) = \frac{f (3)}{81 + f (1) + f (2)} .$

(Ⅰ) 求g (10) ;

(Ⅱ) 求第x个月的当月利润率;

(Ⅲ) 求该企业经销此产品期间, 哪一个月的当月利润率最大, 并求出该月的当月利润率.

参考答案

1.B.由得0<x<2.

2.C.由题中表格可知, g[f (a) ]=g (b) =c.

3.B.观察知f (x) 单调递增, $f (0) = 1 > 0 ‚ f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \sqrt[6]{\frac{1}{8}} - \sqrt[6]{\frac{1}{4}} < 0$ , 零点在 $(0, \frac{1}{2})$ 内, 又 $f (\frac{1}{3}) = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{\frac{1}{3}} > 0$ , 故零点在 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ 内.

4.C.f (x) 在 (-1, 1) 上为奇函数, f′ (x) =1-cosx≥0, 当且仅当x=0时取等号, 于是f (x) 在 (-1, 1) 上单调递增, 由f (a-2) +f (4-a2) <0, 得

$\begin{array}{l} f (a - 2) < - f (4 - a^{2}) = f (a^{2} - 4) ‚ \\ ∴ {\begin{cases} - 1 < a - 2 ‚ \\ a^{2} - 4 < 1 ‚ \\ a - 2 < a^{2} - 4 ‚ \end{cases} 解之 ‚ 得 2 < a < \sqrt{5} . \end{array}$

5.D.f (x) 在 (-∞, 0]上递增, 在 (0, +∞) 也递增, 且在x=0处连续, ∴f (x) 在 (-∞, +∞) 上递增, 由f (2-x2) >f (x) , 得2-x2>x, 解之, 得-2<x<1.

6.D.由A, C中的图象得a>1, 则y=sinax周期 $Τ = \frac{2 π}{a} < 2 π ‚ ∴ A, C$ 均错, 由B, D的图象得0<a<1, 则y=sinax周期 $Τ = \frac{2 π}{a} > 2 π ‚ ∴ B$ 错, 故选D.

$7 . C . ∵ y = \log_{2} \frac{x + 3}{2} = \log_{2} (x + 3) - 1 ‚ ∴$ 将y=log2x的图象向左平移3个单位, 再向下平移1个单位即可.

8.A.由2a=3, 3b=2, 得a>1, 0<b<1, 且a=log23, b=log32, ab=1, f (x) =ax+x-b单调递增, f (0) =1-b>0, f (-1) =a-1-1-b=-1<0,

∴x0∈ (-1, 0) , 即k=-1.

9.C.由题图所给的框图知, 当零点在 (a, m) 时, 输出的a, 零点在 (m, b) 时, 输出的a=m, 于是可填f (a) f (m) <0或f (b) f (m) >0.

10.C.由题意知, f (x) 关于点 (1, 0) 对称, 由 (x1-x2) [f (x1) -f (x2) ]<0知, x1-x2与f (x1) -f (x2) 异号, 即f (x) 为减函数, 且f (1) =0, 而f (1-x) <0=f (1) , ∴1-x>1, 即x<0.

11.B.由所给的定义得又函数g (x) =2x+x-3单调递增, 且f (1) =0, 所以当x<1时, g (x) <0, 即2x<3-x, 当x≥1时, g (x) ≥0, 即把其图象向左平移1个单位得f (x+1) 的图象.

12.A.由f (x+6) =-f (x+3) =-[-f (x) ]=f (x) , f (x) 是以6为周期的周期函数, f (2011) =f (335×6+1) =f (1) =-f (1) =-2.

13.D.当a=0时, f (x) =-4x-3在[0, 2]上递减, 不能在x=2处取得最大值;当a>0时, 二次函数f (x) 的开口方向向上, 对称轴为 $x = - \frac{4 (a - 1)}{2 a} = - 2 + \frac{2}{a}$ , 要在x=2处取得最大值, 则 $- 2 + \frac{2}{a} \leq 1$ , 解之, 得 $a \geq \frac{2}{3}$ ;当a<0时, $x = - 2 + \frac{2}{a} < 0$ 不能在x=2处取得最值, $∴ a \geq \frac{2}{3} .$

14.B.由三视图知该容器为开口向上的圆锥, 则水面的高度h随时间t的增加, h的升高的速度越来越慢, 只有B正确.

15.D.由f (x) 在R上单调递增知, 解之, 得 $\frac{3}{2} \leq a < 3 .$

16.B.由题意可得或又m, n∈N, 解之, 得

17.C.由3=2x2+1, 得x=±1, 由19=2x2+1, 得x=±3, 要得到值域为 ${3, 19}$ , 则定义域可能为{-1, -3}, {-1, 3}, {1, -3}, {1, 3}, {-1, 1, -3}, {-1, 1, 3}, {-1, -3, 3}, {1, -3, 3}, {-1, 1, -3, 3}.

18.A.由f (x) 是R上的奇函数, 则f (0) =0,

∴ (k-1) -1=0, 即k=2.

又 $f (x) = a^{x} - a^{- x} = a^{x} - \frac{1}{a^{x}}$ 为减函数, ∴0<a<1, 则g (x) =loga (x+2) 的图象由y=logax的图象向左平移2个单位得到, 故选A.

19.D.当x∈[-1, 2]时, f (x) = (x-1) 2-1∈[-1, 3], 又a>0, g (x) =ax+2递增,

∴当x∈[-1, 2]时, g (x) ∈[-a+2, 2a+2].

$\begin{array}{l} 由题意知, [- 1, 3] \subseteq [- a + 2, 2 a + 2] ‚ \\ ∴ {\begin{cases} - a + 2 \leq - 1, \\ 2 a + 2 \geq 3, \end{cases} 即 a \geq 3 . \end{array}$

20.D.由题意可得f (x) 的图象如图所示, 由f (logat) <0, 得 $- \frac{1}{2} < \log_{a} t < 0$ 或 $\log_{a} t > \frac{1}{2}$ .由 $- \frac{1}{2} < \log_{a} t < 0$ , 得 $\log_{a} \frac{1}{\sqrt{a}} < \log_{a} t < \log_{a} 1$ , 而 $0 < a < 1, ∴ 1 < t < \frac{1}{\sqrt{a}}$ ;由 $\log_{a} t > \frac{1}{2}$ , 得 $\log_{a} t > \log_{a} \sqrt{a}$ , 则

21.A.当x∈[0, 3]时, f (x) ∈[0, ln10], 当x∈[1, 2]时, $g (x) \in [\frac{1}{4} - m, \frac{1}{2} - m]$ , 由于∀x1∈[0, 3], ∃x2∈[1, 2], 使得f (x1) ≥g (x2) , 则 $f (x)_{\min} \geq g (x)_{\min}, ∴ \frac{1}{4} - m \leq 0$ , 即 $m \geq \frac{1}{4} .$

22.由题意可得f (-1) =1, f (0) =0, f (1) =f (0) -f (-1) =-1, f (2) =f (1) -f (0) =-1, 于是f (1) , f (2) , f (3) , …依次为-1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, …其周期为6, 而2011=6×335+1, 有f (2011) =f (1) =-1.

23.D.令x=y=0, 有f (0) =f (0) +f (0) , 则f (0) =0.令y=-x, 有f (0) =f (x) +f (-x) , 即f (-x) =-f (x) , ∴f (x) 为奇函数.

设0<x1<x2, 令x2=x1+t, t>0, 则f (t) >0, 有f (x2) -f (x1) =f (x1+t) -f (x1) =f (x1) +f (t) -f (x1) =f (t) >0, ∴f (x2) >f (x1) , 即f (x) 在 (0, +∞) 上单调递增.

又f (x) 为奇函数, 且在x=0处连续不断, 故f (x) 在R上为增函数.

24.0.当x<0时, 则-x>0, ∴f (x) =x2+x, f (-x) =ax2-bx, 而

$\begin{array}{l} f (- x) = - f (x), ∴ - x^{2} - x = a x^{2} - b x, ∴ a = - 1, b = 1 . ∴ a + b = 0 . \\ 25 . \frac{13}{2} . f (x + 4) = \frac{13}{f (x + 2)} = \frac{13}{\frac{13}{f (x)}} = f (x) . \\ ∴ f (2011) = f (4 \times 502 + 3) = f (3) = \frac{13}{f (1)} = \frac{13}{2} . \end{array}$

26. (-∞, -1) ∪ (3, +∞) .由题意知, f (x) 的大致图象如图所示.

当x>1时, 有f (x-1) <0, ∴x-1>2, 即x>3;

当x<1时, 有f (x-1) >0,

这时x-1<0, 则x-1<-2, 即x<-1.

$∴ x < - 1 或 x > 3 .$

.由 $f (x + \frac{1}{2})$ 是奇函数, 得 $f (- x + \frac{1}{2}) = - f (x + \frac{1}{2})$ ,

以 $x - \frac{1}{2}$ 代x得f (1-x) =-f (x) ,

又f (1+x) =f (1-x) ,

于是f (x+1) =-f (x) , 则f (x+2) =f (x) ,

∴f (x) 是以2为周期的周期函数,

由f (1+x) =f (1-x) 知, f (x) 的图象关于x=1对称.

又0≤x≤1时, f (x) =2x-1, 设点P (x, y) 是f (x) 在[1, 2]上任意一点, 则点P关于x=1的对称点为P′ (2-x, y) , 有y=2 (2-x) -1=-2x+3, 即

$f (x) = {\begin{cases} 2 x - 1, 0 \leq x \leq 1, \\ - 2 x + 3, 1 < x \leq 2 . \end{cases}$

设方程 $f (x) = - \frac{1}{3}$ 在[0, 2]的2个实根为x1, x2, 则x1与x2关于x=1对称, 则x1+x2=2.

设方程 $f (x) = - \frac{1}{3}$ 在[-2, 0]上的2个实根为x3<x4, 在[2, 4]上的2个实根为x5<x6,

则x4+x5=2, x3+x6=2.

设x∈[-3, -2], 则x+4∈[1, 2], 有

f (x) =f (x+4) =-2 (x+4) +3=-2x-5.

令 $f (x) = - 2 x - 5 = - \frac{1}{3}$ , 解之, 得 $x = - \frac{7}{3} .$

故所有实根之和为 $2 \times 3 + (- \frac{7}{3}) = \frac{11}{3} .$

28.解: (Ⅰ) a=4时, 的图象如图所示,

∴f (x) 的单调递增区间为[0, 2].

(Ⅱ) x∈[0, 2]时, $f (x) = x (a - x) = - x^{2} + a x = - (x - \frac{a}{2})^{2} + \frac{a^{2}}{4}$ ,

若函数f (x) 在x∈[0, 2]上是单调递减函数, 则 $\frac{a}{2} \leq 0$ , 所以a≤0.

(Ⅲ) 当x=0时, 0≤6成立, 所以a∈R.

当 $0 ＜ x \leq 2 ‚ a - x \leq \frac{6}{x}$ , 即 $a \leq x + \frac{6}{x},$

只要 $a \leq (x + \frac{6}{x})_{\min}$ ,

设 $g (x) = x + \frac{6}{x}, g (x)$ 在 $(0, \sqrt{6}]$ 上递减, 在 $[\sqrt{6}, + \infty)$ 上递增,

当0<x≤2时, g (x) min=g (2) =5, 所以a≤5.

综上, |x| (a-x) ≤6对x∈[0, 2]恒成立的实数a的取值范围是 (-∞, 5].

29.解: (Ⅰ) 由 $\frac{x + 1}{x - 1} > 0$ , 解之, 得x<-1或x>1, 即函数的定义域为 (-∞, -1) ∪ (1, +∞) .

当x∈ (-∞, -1) ∪ (1, +∞) 时,

$\begin{array}{l} f (- x) = \ln \frac{- x + 1}{- x - 1} = \ln \frac{x - 1}{x + 1} = \ln (\frac{x + 1}{x - 1})^{- 1} \\ = - \ln \frac{x + 1}{x - 1} = - f (x) ‚ \\ ∴ f (x) = \ln \frac{x + 1}{x - 1} 在定义域上是奇函数 . \end{array}$

(Ⅱ) 由x∈[2, 6]时, $f (x) = \ln \frac{x + 1}{x - 1} > \ln \frac{m}{(x - 1) (7 - x)}$ 恒成立,

$\begin{array}{l} ∴ \frac{x + 1}{x - 1} > \frac{m}{(x - 1) (7 - x)} > 0 . \\ ∵ x \in [2, 6] ‚ ∴ 0 < m < (x + 1) (7 - x) 在 x \in [2, 6] 恒成立 . \end{array}$

令g (x) = (x+1) (7-x) =- (x-3) 2+16, x∈[2, 6], 由二次函数的性质可知,

x∈[2, 3]时函数单调递增, x∈[3, 6]时函数单调递减,

x∈[2, 6]时, g (x) min=g (6) =7,

∴实数m的取值范围 (0, 7) .

30.解:设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为m部,

(Ⅰ) 原来利润为 (1880-1580) m=300m元,

当赠送礼物的价值为30元时, 销售的总利润为

$(1880 - 1580 - 30) m (1 + 11 %)^{2} = 1.2321 \times 270 m ‚$

=1.10889,

答:当赠送礼物的价值为30元时, 销售的总利润变为原来不赠送礼物时的1.1倍.

(Ⅱ) 当赠送礼物的价值为15x元时, 销售的总利润为f (x) 元, 则

f (x) = (1880-1580-15x) ·m· (1+11%) x=15m (20-x) ·1.11x, (x∈N, 且x≤12)

f (x+1) -f (x) =15m (1.09-0.11x) ·1.11x,

令f (x+1) -f (x) ≥0, 得 $x \leq 9 \frac{10}{11} .$

∵x∈N, 且x≤12,

∴当x≤9时, f (x+1) >f (x) ;

当9<x≤12时, f (x+1) <f (x) ,

答:当赠送礼物的价值为150元时, 可以获得最大利润.

31.解: (Ⅰ) ∵y=f (x) 是奇函数,

∴对任意x∈D, 有f (x) +f (-x) =0,

即 $\log_{a} \frac{2 m - 1 - m x}{1 + x} + \log_{a} \frac{2 m - 1 + m x}{1 - x} = 0$ ,

化简此式, 得 (m2-1) x2- (2m-1) 2+1=0.

又方程有无穷多解 (D是区间) ,

$\begin{array}{l} ∴ {\begin{cases} m^{2} - 1 = 0, \\ (2 m - 1)^{2} - 1 = 0 . \end{cases} 解之 ‚ 得 m = 1 ‚ \\ ∴ f (x) = \log_{a} \frac{1 - x}{1 + x}, D = (- 1, 1) . \end{array}$

(Ⅱ) 当a>1时, 函数 $f (x) = \log_{a} \frac{1 - x}{1 + x}$ 在D= (-1, 1) 上是单调减函数.

理由:令 $t = \frac{1 - x}{1 + x} = - 1 + \frac{2}{1 + x} .$

易知1+x在D= (-1, 1) 上是随x增大而增大, $\frac{2}{1 + x}$ 在D= (-1, 1) 上是随x增大而减小,

故 $t = \frac{1 - x}{1 + x} = - 1 + \frac{2}{1 + x}$ 在D= (-1, 1) 上是随x增大而减小,

于是, 当a>1时, 函数 $f (x) = \log_{a} \frac{1 - x}{1 + x}$ 在D= (-1, 1) 上是单调减函数.

(Ⅲ) ∵A=[a, b) ⊂≠D, ∴0<a<1, a<b≤1,

∴依据 (Ⅱ) , 当0<a<1时, 函数 $f (x) = \log_{a} \frac{1 - x}{1 + x}$ 在A上是增函数, 即 $f (a) = 1, \log_{a} \frac{1 - a}{1 + a} = 1$ , 解之, 得 $a = \sqrt{2} - 1$ (舍去 $a = - \sqrt{2} - 1)$ , 若b<1, 则f (x) 在A上的函数值组成的集合为 $[1, \log_{a} \frac{1 - b}{1 + b})$ , 不满足函数值组成的集合是[1, +∞) 的要求, ∴必有b=1.

因此, 所求实数a, b的值是 $a = \sqrt{2} - 1 ‚ b = 1 .$

32.解: (Ⅰ) 由已知第7天的销售价格p=49, 销售量q=41. ∴第7天的销售收入W7=49×41=2009 (元) .

(Ⅱ) 设第x天的销售收入为Wx,

则

$W_{x} = {\begin{cases} (44 + x) (48 - x) ‚ 1 \leq x \leq 6 \\ 2009 ‚ x = 7 ‚ \\ (56 - x) (32 + x) ‚ 8 \leq x \leq 20 . \end{cases}$

当1≤x≤6时, $W_{x} = (44 + x) (48 - x) \leq [\frac{(44 + x) + (48 - x)}{2}]^{2} = 2116$ , 当且仅当x=2时取等号, ∴当x=2时取最大值W2=2116;

当8≤x≤20时, $W_{x} = (56 - x) (32 + x) \leq [\frac{(56 - x) + (32 + x)}{2}]^{2} = 1936$ , 当且仅当x=12时取等号, ∴当x=12时取最大值W12=1936,

由于W2>W7>W12,

∴第2天该农户的销售收入最大.

答: (Ⅰ) 第7天的销售收入2009元; (Ⅱ) 第2天该农户的销售收入最大.

$\begin{array}{l} 33 . 解 ∶ (Ⅰ) 依题意得 f (1) = f (2) = f (3) = \dots = f (9) = f (10) = 1 . \\ ∴ g (10) = \frac{f (10)}{81 + f (1) + f (2) + \dots + f (9)} = \frac{1}{90} . \end{array}$

(Ⅱ) 当x=1时, $g (1) = \frac{1}{81} .$

当1<x≤20时, f (1) =f (2) =…=f (x-1) =f (x) =1.

则 $g (x) = \frac{f (x)}{81 + f (1) + f (2) + \dots + f (x - 1)} = \frac{1}{x + 80} ‚ x = 1$ 也符合上式.

故当1≤x≤20时, $g (x) = \frac{1}{x + 80}$ ,

$\begin{array}{l} 当 21 \leq x \leq 60 时 ‚ g (x) = \\ \frac{f (x)}{81 + f (1) + f (2) + \dots + f (21) + \dots + f (x - 1)} \\ = \frac{\frac{1}{10} x}{81 + 20 + f (21) + \dots + f (x - 1)} \\ = \frac{\frac{1}{10} x}{101 + \frac{(x - 21) (x + 20)}{20}} = \frac{2 x}{x^{2} - x + 1600}, \end{array}$

所以第x个月的当月利润率为

$g (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x + 80}, 1 \leq x \leq 20 ‚ \\ \frac{2 x}{x^{2} - x + 1600}, 21 \leq x \leq 60 . \end{cases}$

(Ⅲ) 当1≤x≤20时, $g (x) = \frac{1}{x + 80}$ 是减函数, 此时g (x) 的最大值为 $g (1) = \frac{1}{81}$ ,

当21≤x≤60时, $g (x) = \frac{2 x}{x^{2} - x + 1600} = \frac{2}{x + \frac{1600}{x - 1}} \leq \frac{2}{79}$ , 当且仅当 $x = \frac{1600}{x}$ ,

即x=40时, g (x) 有最大值 $\frac{2}{79} .$

因为 $\frac{2}{79} ＞ \frac{1}{81}$ , 所以, 当x=40时,

g (x) 有最大值 $\frac{2}{79} .$

答:该企业经销此产品期间, 第40个月的当月利润率最大, 其当月利润率为 $\frac{2}{79} .$

三、函数与微积分部分 (2)

一、选择题

1.已知函数f (x) 的导函数为f′ (x) , 且满足f (x) =2xf′ (1) +lnx, 则f′ (1) = ( ) .

(A) -e (B) -1 (C) 1 (D) e

2.直线l为曲线 $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$ 的切线, 则l的斜率的取值范围是 ( ) .

(A) (-∞, 1]

(B) [-1, 0]

(D) [1, +∞)

3.从如图1所示的正方形OABC区域内任取一个点M (x, y) , 则点M取自阴影部分的概率为 ( ) .

$(A) \frac{1}{2} (B) \frac{1}{3} (C) \frac{1}{4} (D) \frac{1}{6}$

4.设函数f (x) 在定义域内可导, y=f (x) 的图象如图2所示, 则导函数y=f′ (x) 的图象可能为 ( ) .

5.下列图象中, 有一个是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + (a^{2} - 1) x + 1 (a \in R, a \neq 0)$ 的导数f′ (x) 的图象, 则f (-1) 的值为 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) \frac{1}{3} (B) - \frac{1}{3} \\ (C) \frac{7}{3} (D) - \frac{1}{3} 或 \frac{5}{3} \end{array}$

6.若曲线y=x2+ax+b在点 (0, b) 处的切线方程是x-y+1=0, 则 ( ) .

(A) a=-1, b=1 (B) a=-1, b=-1

7.已知函数f (x) =x3+ax与g (x) =2x2+b的图象在x=1处有相同的切线, 则a+b= ( ) .

(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

8.函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) \frac{1}{2} (B) 1 \\ (C) 2 (D) \frac{3}{2} \end{array}$

9.已知函数f (x) =x2-cosx, 则f (-0.5) , f (0) , f (0.6) 的大小关系是 ( ) .

(A) f (0) <f (-0.5) <f (0.6)

(B) f (-0.5) <f (0.6) <f (0)

(D) f (-0.5) <f (0) <f (0.6)

10.若a=∫ $_{0}^{1}$ xdx, b=∫ $_{0}^{1}$ $\sqrt{1 - x} d x, c =$ ∫ $_{0}^{1}$ $\sqrt{1 - x^{2}} d x$ , 则a, b, c的大小关系是 ( ) .

(A) a<b<c (B) a<c<b

11.已知α, β是三次函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} a x^{2} + 2 b x$ 的两个极值点, 且α∈ (0, 1) , β∈ (1, 2) , 则 $\frac{b - 2}{a - 1}$ 的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) (\frac{1}{4}, 1) (B) (\frac{1}{2}, 1) \\ (C) (- \frac{1}{2}, \frac{1}{4}) (D) (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \end{array}$

12.定义在R上的函数f (x) 满足f (4) =1, f′ (x) 为f (x) 的导函数, 已知y=f′ (x) 的图象如图2所示, 若两个正数a, b满足f (2a+b) <1, 则 $\frac{b + 1}{a + 1}$ 的取值范围是 ( ) .

13.函数的零点个数为 ( ) .

(A) 4 (B) 3

14.定义在R上的函数f (x) 满足 (x+2) f′ (x) <0 (其中f′ (x) 是函数f (x) 的导数) , 又 $a = f (\log_{\frac{1}{3}} 3), b = f [(\frac{1}{3})^{0.1}], c = f (\ln 3)$ , 则 ( ) .

(A) a<b<c (B) b<c<a

15.已知非零向量a, b满足 $| a | = \sqrt{3} | b |$ , 若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + | a | x^{2} + 2 a \cdot b x + 1$ 在R上有极值, 则〈a, b〉的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) [0, \frac{π}{6}] (B) (0, \frac{π}{3}] \\ (C) (\frac{π}{6}, \frac{π}{2}] (D) (\frac{π}{6}, π] \end{array}$

二、填空题

16.已知函数f (x) =xex, 则f′ (x) =___, 函数f (x) 图象在点 (0, f (0) ) 处的切线方程为___.

17.曲线y=3-3x2与x轴所围成的图形面积为___.

18.若x∈[0, 2π], 则函数y=sinx-xcosx的单调递增区间是___.

19.已知函数f′ (x) , g′ (x) 分别是二次函数f (x) 和三次函数g (x) 的导函数, 它们在同一坐标系下的图象如图3所示:

①若f (1) =1, 则f (-1) =___;

②设函数h (x) =f (x) -g (x) , 则h (-1) , h (0) , h (1) 的大小关系为___ (用“<”连接) .

三、解答题

20.已知函数f (x) =ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值, 且在x=0处的切线的斜率为-3.

(Ⅰ) 求f (x) 的解析式;

(Ⅱ) 若过点A (2, m) 可作曲线y=f (x) 的三条切线, 求实数m的取值范围.

21.某公司生产陶瓷, 根据历年的情况可知, 生产陶瓷每天的固定成本为14000元, 每生产一件产品, 成本增加210元.已知该产品的日销售量f (x) 与产量x之间的关系式为

$f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{625} x^{2}, 0 \leq x \leq 400 ‚ \\ 256, x ＞ 400, \end{cases}$

每件产品的售价g (x) 与产量x之间的关系式为

$g (x) = {\begin{cases} - \frac{5}{8} x + 750, 0 \leq x \leq 400 ‚ \\ 500, x ＞ 400 . \end{cases}$

(Ⅰ) 写出该陶瓷厂的日销售利润Q (x) 与产量x之间的关系式;

(Ⅱ) 若要使得日销售利润最大, 每天该生产多少件产品, 并求出最大利润.

22.设函数f (x) =ex, 其中e为自然对数的底数.

(Ⅰ) 求函数g (x) =f (x) -ex的单调区间;

(Ⅱ) 记曲线y=f (x) 在点P (x0, f (x0) ) (其中x0<0) 处的切线为l, l与x轴, y轴所围成的三角形面积为S, 求S的最大值.

23.已知函数f (x) =ex, 直线l的方程为y=kx+b.

(Ⅰ) 求过函数图象上的任一点P (t, f (t) ) 的切线方程;

(Ⅱ) 若直线l是曲线y=f (x) 的切线, 求证:f (x) ≥kx+b对任意x∈R成立;

(Ⅲ) 若f (x) ≥kx+b对任意x∈[0, +∞) 成立, 求实数k, b应满足的条件.

24.设函数f (x) =lnx+ (x-a) 2, a∈R.

(Ⅰ) 若a=0, 求函数f (x) 在[1, e]上的最小值;

(Ⅱ) 若函数f (x) 在 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上存在单调递增区间, 试求实数a的取值范围;

(Ⅲ) 求函数f (x) 的极值点.

25.已知函数f (x) =-cosx, g (x) =ax-π.

(Ⅰ) 若函数h (x) =g (x) -f (x) 在 $x = \frac{π}{3}$ 时取得极值, 求h (x) 的单调递减区间;

(Ⅱ) 证明:对任意的x∈R, 都有

$| f^{'} (x) | \leq | x |$ ;

(Ⅲ) 若a=2, x1∈[0, π], g (xn+1) =f (xn) ,

求证: $| x_{1} - \frac{π}{2} | + | x_{2} - \frac{π}{2} | + \dots + | x_{n + 1} - \frac{π}{2} | ＜ π (n \in Ν^{*}) .$

26.设函数 $f_{n} (x) = 1 - x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + \dots - \frac{x^{2 n - 1}}{2 n - 1} (n \in Ν^{*}) .$

(Ⅰ) 研究函数f2 (x) 的单调性;

(Ⅱ) 判断fn (x) =0的实数解的个数, 并加以证明.

27.已知f (x) =ln (1+ex) -mx (x∈R) .

(Ⅰ) 已知对于给定区间 (a, b) , 存在x0∈ (a, b) 使得 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = f^{'} (x_{0})$ 成立, 求证:x0唯一;

(Ⅱ) 若x1, x2∈R, x2≠x2当m=1时, 比较 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 和 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 大小, 并说明理由;

(Ⅲ) 设A, B, C是函数f (x) =ln (1+ex) -mx (x∈R, m≥1) 图象上三个不同的点, 求证:△ABC是钝角三角形.

参考答案

$1 . B . f^{'} (x) = 2 f^{'} (1) + \frac{1}{x}$ , 令x=1, 得f′ (1) =2f′ (1) +1, ∴f′ (1) =-1.

2.D.y′=x2-2x+2= (x-1) 2+1≥1, 即l的斜率的取值范围是[1, +∞) .

3.B.阴影部分的面积S=∫ $_{0}^{1}$

∴所求的概率 $Ρ = \frac{\frac{1}{3}}{1} = \frac{1}{3} .$

本题也可由对特性求出阴影部分的面积

2∫ $_{0}^{1}$ $(x - x^{2}) = \frac{1}{3} .$

4.D.由y=f (x) 的图象知, 当x<0时, f (x) 单调递增, f′ (x) >0, 导函数y=f′ (x) 的图象在x轴上方, 排除A, C, 当x>0时, f (x) 先递增, 再递减, 后递增, 有两个极值点, 只有D适合.

5.B.f′ (x) =x2+2ax+ (a2-1) =[x+ (a+1) ][x+ (a-1) ], 于是只有第三个图象可能是y=f′ (x) 的图象, 由其图象的对称轴x=-a>0, 小根-a-1=0, 解之, 得

$\begin{array}{l} a = - 1 ‚ \\ ∴ f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 1 ‚ 即 f (- 1) = - \frac{1}{3} . \end{array}$

6.D.y′=2x+a, 由题意得 $y^{'} |_{x = 0} = a = 1$ , 而切点 (0, b) 在切线x-y+1=0上, ∴b=1, 即a=1, b=1.

7.C.f′ (x) =3x2+a, g′ (x) =4x, 由题意得f′ (1) =g′ (1) , ∴3+a=4, 即a=1, 于是f (x) =x3+x, f (1) =2, 则切点为 (1, 2) , 它在g (x) =2x2+b上, ∴2=2+b, 得b=0, ∴a+b=1.

8.D.所求的面积S=∫ $_{- 1}^{0}$ (x+1) dx+ $\int_{0}^{\frac{π}{2}}$

, 当x∈[0, 1) 时, f′ (x) =2x+sinx≥0, 当且仅当x=0时取等号, ∴f (x) 在[0, 1) 上单调递增, 得f (0) <f (0.5) <f (0.6) , 又f (x) 为偶函数, 故只有A正确.

$10 . B . a = (\frac{1}{2} x^{2}) | \begin{array}{l} x = 1 \\ x = 0 \end{array} = \frac{1}{2} ‚ b = [- \frac{3}{2} (1 - x)^{\frac{3}{2}}] | \begin{array}{l} ^{x = 1} \\ x = 0 \end{array} = \frac{3}{2}$

.令 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ , 则x2+y2=1, 有0≤x≤1, 0≤y≤1, 于是c表示四分之一圆x2+y2=1的面积, 即

, 而α, β是方程f′ (x) =0的两实根, 且α∈ (0, 1) , β∈ (1, 2) ,

其表示的区域如图所示, $\frac{b - 2}{a - 1}$ 表示点 (a, b) 与点 (1, 2) 之间的斜率.

在1+a+2b=0中令b=0, 得a=-1, 即B (-1, 0) , 由解之, 得即 $A (- 3, 1) ‚ k_{Ρ B} = 1 ‚ k_{Ρ A} = \frac{1}{4} ‚ ∴ \frac{b - 2}{a - 1} \in (\frac{1}{4}, 1) .$

12.C.由y=f′ (x) 的图象知, 当x>0时, f′ (x) >0, f (x) 在 (0, +∞) 上递增, 又正数a, b满足f (2a+b) <1=f (4) , 得0<2a+b<4, 画出可行域如图所示, 可得A (2, 0) , B (0, 4) , 而 $Ρ (- 1, - 1) ‚ k_{Ρ A} = \frac{1}{3} ‚ k_{Ρ B} = 5 ‚ ∴ \frac{b + 1}{a + 1} \in [\frac{1}{3}, 5] .$

13.B.当x≤0时, f′ (x) =1-sinx≥0, 当且仅当 $x = 2 k π - \frac{3 π}{2} (k \in Ζ, k \leq 0)$ 时取等号, 于是f (x) 在 (-∞, 0]上单调递增, 而 $f (- \frac{π}{2}) = - \frac{π}{2} ＜ 0 ‚ f (0) = 1 ＞ 0$ , 故f (x) 在 (-∞, 0]上仅有1个零点.当x>0时, f′ (x) =x2-4= (x+2) (x-2) , 令f′ (x) =0得x=2或x=-2 (舍) , 当0<x<2时, f′ (x) <0, f (x) 递减, 当x>2时, f′ (x) >0, f (x) 递增, f (x) 在x=0处连续, $f (2) = \frac{8}{3} - 4 + 1 ＜ 0 ‚ f (10) ＞ 0$ , 故f (x) 在 (0, 2) , (2, +∞) 上各仅有1个零点, 共3个零点.

14.D.当x>-2时, x+2>0, 由 (x+2) f′ (x) <0, 得f′ (x) <0, f (x) 在 (-2, +∞) 单调递减, 而 $\log_{\frac{1}{3}} 3 = - 1, 0 ＜ (\frac{1}{3})^{0.1} ＜ 1, \ln 3 ＞ 1$ , 有a>b>c.

15.D.三次函数f (x) 在R上有极值, 则必有两个极值, 即方程f′ (x) =0有两个不相等的实根, 又f′ (x) =x2+2|a|x+2a·b, 有 $Δ = (2 | a |)^{2} - 4 \times 2 a \cdot b ＞ 0$ , 记θ=〈a, b〉, 则 $| a |^{2} ＞ 2 | a | \cdot | b | \cos θ$ , 而 $| a | = \sqrt{3} | b | ‚ ∴ \cos θ ＜ \frac{\sqrt{3}}{2}$ .又θ∈[0, π], 则

, 则f′ (0) =1, 且f (0) =0, 切点为 (0, 0) , 切线方程为y-0=1× (x-0) , 即y=x.

17.4.由3-3x2=0, 得x=±1,

18. (0, π) (开闭均可) .y′= (sinx) ′- (xcosx) ′=cosx- (cosx-xsinx) =xsinx, 又x∈[0, 2π], 令y′>0, 得xsinx>0, 有sinx>0, ∴0<x<π.

19.①1, ②h (0) <h (1) <h (-1) .

由所给的图象得f′ (x) =x, g′ (x) =x2,

于是 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + a ‚ g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + b$ ,

由f (1) =1, 得 $\frac{1}{2} + a = 1$ , 即

$\begin{array}{l} a = \frac{1}{2} ‚ \\ ∴ f (- 1) = \frac{1}{2} (- 1)^{2} + \frac{1}{2} = 1 ‚ \end{array}$

$\begin{array}{l} 而 h (x) = f (x) - g (x) = (\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{3} x^{3} + b) ‚ \\ h (- 1) = \frac{4}{3} - b ‚ h (0) = \frac{1}{2} - b ‚ h (1) = \frac{2}{3} - b ‚ ∴ h (0) ＜ h (1) ＜ h (- 1) . \end{array}$

本题也可由函数及其导数的奇偶性角度考虑.由题图可知, f′ (x) 是奇函数, g′ (x) 是偶函数,

∴f (x) 是偶函数, g (x) 是奇函数,

∴f (-1) =f (1) =1.

又f′ (x) -g′ (x) =h′ (x) , 当x≤0时, h′ (x) <0,

h (x) 递减, 0≤x≤1时, h′ (x) ≥0, h (x) 递增,

∴h (x) min=h (0) .又g′ (x) ≥0, ∴g (x) 递增,

∴h (1) =f (1) -g (1) , h (-1) =f (-1) -

g (-1) =f (1) +g (1) >h (1) ,

∴h (0) <h (1) <h (-1) .

20.解: (Ⅰ) f′ (x) =3ax2+2bx+c, 依题意知,

${\begin{cases} f^{'} (1) = 3 a + 2 b + c = 0, \\ f^{'} (- 1) = 3 a - 2 b + c = 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} b = 0, \\ 3 a + c = 0 . \end{cases}$

又f′ (0) =-3, ∴c=-3, ∴a=1,

∴f (x) =x3-3x.

(Ⅱ) 设切点为 (x0, x $_{0}^{3}$ -3x0) .

∵f′ (x) =3x2-3,

∴f′ (x0) =3x $_{0}^{2}$ -3.

∴切线方程为y- (x $_{0}^{3}$ -3x0) = (3x $_{0}^{2}$ -3) (x-x0) , 又切线过点A (2, m) ,

∴m- (x $_{0}^{3}$ -3x0) = (3x $_{0}^{2}$ -3) (2-x0) ,

∴m=-2x $_{0}^{3}$ +6x $_{0}^{2}$ -6.

令g (x) =-2x3+6x2-6,

则g′ (x) =-6x2+12x=-6x (x-2) .

由g′ (x) =0, 得x=0或x=2,

g (x) 极小值=g (0) =-6, g (x) 极大值=g (2) =2,

画出草图知, 当-6<m<2时, m=-2x3+6x2-6有三解,

∴m的取值范围是 (-6, 2) .

21.解: (Ⅰ) 由题意知, 总成本为c (x) =14000+210x, 所以日销售利润

$Q (x) = f (x) g (x) - c (x) = {\begin{cases} - \frac{1}{1000} x^{3} + \frac{6}{5} x^{2} - 210 x - 14000, 0 \leq x \leq 400 ‚ \\ - 210 x + 114000, x ＞ 400 . \end{cases}$

(Ⅱ) ①当0≤x≤400时,

$Q^{'} (x) = - \frac{3}{1000} x^{2} + \frac{12}{5} x - 210 .$

令Q′ (x) =0, 解之, 得x=100或x=700 (舍) .

于是Q (x) 在区间[0, 100]上单调递减, 在区间[100, 400]上单调递增, 所以Q (x) 在x=400时取到最大值, 且最大值为30000;

②当x>400时, Q (x) =-210x+114000<30000.

答:若要使得日销售利润最大, 每天该生产400件产品, 其最大利润为30000元.

22.解: (Ⅰ) 由已知g (x) =ex-ex,

∴g′ (x) =ex-e.

由g′ (x) =ex-e=0, 得x=1, 则在区间 (-∞, 1) 上, g′ (x) <0, 函数g (x) 在区间 (-∞, 1) 上单调递减;在区间 (1, +∞) 上, g′ (x) >0, 函数g (x) 在区间 (1, +∞) 上单调递增.

∴函数g (x) 的单调递减区间为 (-∞, 1) , 单调递增区间为 (1, +∞) .

(Ⅱ) 因为f′ (x) =ex, ∴曲线y=f (x) 在点P处切线为l:y-ex0=ex0 (x-x0) .

切线l与x轴的交点为 (x0-1, 0) , 与y轴的交点为 (0, ex0-x0ex0) .

$\begin{array}{l} 因为 x_{0} ＜ 0 ‚ 所以 S = \frac{1}{2} (1 - x_{0}) (1 - x_{0}) e^{x_{0}} \\ = \frac{1}{2} (1 - 2 x_{0} + x_{0}^{2}) e^{x_{0}} ‚ \\ S^{'} = \frac{1}{2} e^{x_{0}} (x_{0}^{2} - 1) \end{array}$

, 在区间 (-∞, -1) 上, 函数S (x0) 单调递增, 在区间 (-1, 0) 上, 函数S (x0) 单调递减.∴当x0=-1时, S有最大值, 此时 $S = \frac{2}{e} .$

∴S的最大值为 $\frac{2}{e} .$

23.解: (Ⅰ) ∵f′ (x) =ex, 记切点为T (t, et) ,

记切点为T (t, et) ,

∴切线l的方程为y-et=et (x-t) ,

即y=etx+et (1-t) .

(Ⅱ) 由

$(Ⅰ) {\begin{cases} k = e^{t}, \\ b = e^{t} (1 - t), \end{cases}$

记函数F (x) =f (x) =kx-b, ∴F (x) =ex-etx-et (1-t) ,

∴F′ (x) =ex-et, 于是F (x) 在x∈ (-∞, t) 上单调递减, 在x∈ (t, +∞) 为单调递增,

故F (x) min=F (t) =et-ett-et (1-t) =0,

故F (x) =f (x) -kx-b≥0,

即f (x) 对任意x∈R成立.

(Ⅲ) 设H (x) =f (x) -kx-b=ex-kx-b, x∈[0, +∞) , ∴H′ (x) =ex-k, x∈[0, +∞) .

①当k≤1时, H′ (x) ≥0,

则H (x) 在x∈[0, +∞) 上单调递增,

∴H (x) min=H (0) =1-b≥0,

∴b≤1, 即符合题意.

②当k>1时, H (x) 在x∈[0, lnk) 上单调递减, x∈[lnk, +∞) 上单调递增,

∴H (x) min=H (lnk) =k-klnk-b≥0,

∴b≤k (1-lnk) .

综上所述, 满足题意的条件是

24.解: (Ⅰ) f (x) 的定义域为

$\begin{array}{l} (0, + \infty) ‚ \\ f^{'} (x) = \frac{1}{x} + 2 x ＞ 0 ‚ \end{array}$

∴f (x) 在[1, e]上是增函数, 当x=1时, f (x) 取得最小值f (1) =1.

∴f (x) 在[1, e]上的最小值为1.

$(Ⅱ) f^{'} (x) = \frac{1}{x} + 2 (x - a) = \frac{2 x^{2} - 2 a x + 1}{x}$ ,

设g (x) =2x2-2ax+1.

依题意, 在区间 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上存在子区间使得不等式g (x) >0成立.

注意到抛物线g (x) =2x2-2ax+1开口向上, 所以只要g (2) >0, 或 $g (\frac{1}{2}) ＞ 0$ 即可.

由g (2) >0, 即8-4a+1>0, 得 $a ＜ \frac{9}{4}$ ,

由 $g (\frac{1}{2}) ＞ 0$ , 即 $\frac{1}{2} - a + 1 ＞ 0$ , 得

$\begin{array}{l} a ＜ \frac{3}{2} . \\ ∴ a ＜ \frac{9}{4} \end{array}$

, 即实数a的取值范围是

$\begin{array}{l} (- \infty, \frac{9}{4}) . \\ (Ⅲ) ∵ f^{'} (x) = \frac{2 x^{2} - 2 a x + 1}{x} ‚ \end{array}$

令h (x) =2x2-2ax+1.

①显然, 当a≤0时, 在 (0, +∞) 上h (x) >0恒成立, 这时f′ (x) >0, 此时, 函数f (x) 没有极值点.

②当a>0时,

(ⅰ) 当Δ≤0, 即 $0 ＜ a \leq \sqrt{2}$ 时, 在 (0, +∞) 上h (x) ≥0恒成立, 这时f′ (x) ≥0, 此时, 函数f (x) 没有极值点.

(ⅱ) 当Δ>0, 即 $a ＞ \sqrt{2}$ 时,

当 $\frac{a - \sqrt{a^{2} - 2}}{2} ＜ x ＜ \frac{a + \sqrt{a^{2} - 2}}{2}$ 时,

易知h (x) <0, 这时f′ (x) <0;

当 $0 ＜ x ＜ \frac{a - \sqrt{a^{2} - 2}}{2}$ 或 $x ＞ \frac{a + \sqrt{a^{2} - 2}}{2}$ 时, h (x) >0, 这时f′ (x) >0.

∴当 $a ＞ \sqrt{2}$ 时, $x = \frac{a - \sqrt{a^{2} - 2}}{2}$ 是函数f (x) 的极大值点;

$x = \frac{a + \sqrt{a^{2} - 2}}{2}$ 是函数f (x) 的极小值点.

综上, 当 $a \leq \sqrt{2}$ 时, 函数f (x) 没有极值点;当 $a ＞ \sqrt{2}$ 时, $x = \frac{a - \sqrt{a^{2} - 2}}{2}$ 是函数f (x) 的极大值点, $x = \frac{a + \sqrt{a^{2} - 2}}{2}$ 是函数f (x) 的极小值点.

25.解: (Ⅰ) 由f (x) =-cosx, g (x) =ax-π,

得h (x) =g (x) -f (x) =ax+cosx-π,

∴h′ (x) =a-sinx, 而h (x) 在 $x = \frac{π}{3}$ 处取得极值, 则 $h^{'} (\frac{π}{3}) = a - \sin \frac{π}{3} = 0$ , 即 $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,

于是 $h^{'} (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin x$ ,

由 $h^{'} (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin x ＜ 0$ , 得

$\sin x ＞ \frac{\sqrt{3}}{2} ‚ 2 k π + \frac{π}{3} ＜ x ＜ 2 k π + \frac{2 π}{3} ‚$

∴h (x) 的单调递减区间为 $(2 k π + \frac{π}{3}, 2 k π + \frac{2 π}{3}), k \in Ζ .$

(Ⅱ) 证明:可得f′ (x) =sinx, 令 $m (x) = | x | - | s i n x | ‚ x \in R$ , 则m (x) 为偶函数.

①当x≥0时,

若 $0 \leq x \leq \frac{π}{2} ‚ m (x) = x - \sin x ‚ m^{'} (x) = 1 - \cos x \geq 0$ , 当且仅当x=0时取等号,

∴m (x) 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增,

于是m (x) ≥m (0) =0, 即sinx≤x.

若 $x ＞ \frac{π}{2} ‚ | s i n x | \leq 1 ＜ \frac{π}{2} ＜ x$ ,

即当x≥0时, $| s i n x | \leq | x | .$

②当x<0时, 由m (x) 为偶函数, 得m (x) =m (-x) ≥0, 即 $| s i n x | \leq | x | ‚$

∴对任意的x∈R, 都有 $| f^{'} (x) | \leq | x | .$

(Ⅲ) 证明:∵a=2, g (xn+1) =f (xn) ,

∴2xn+1-π=-cosxn,

即 $x_{n + 1} - \frac{π}{2} = - \frac{1}{2} \cos x_{n} .$

$\begin{array}{l} 由 (Ⅱ) 知 ‚ | x_{n + 1} - \frac{π}{2} | = \frac{1}{2} | c o s x_{n} | \\ = \frac{1}{2} | \sin (x_{n} - \frac{π}{2}) | \leq \frac{1}{2} | x_{n} - \frac{π}{2} | ‚ \\ ∴ | x_{n + 1} - \frac{π}{2} | \leq \frac{1}{2} | x_{n} - \frac{π}{2} | \\ \leq \frac{1}{2^{2}} | x_{n - 1} - \frac{π}{2} | \leq \dots \leq \frac{1}{2^{n}} | x_{1} - \frac{π}{2} | ‚ \end{array}$

$\begin{array}{l} 则 | x_{1} - \frac{π}{2} | + | x_{2} - \frac{π}{2} | + \dots + | x_{n + 1} - \frac{π}{2} | \leq | x_{1} - \frac{π}{2} | + \frac{1}{2} | x_{1} - \frac{π}{2} | + \dots + \frac{1}{2^{n}} | x_{1} - \frac{π}{2} | = (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^{n}}) | x_{1} - \frac{π}{2} | = \frac{1 \times [1 - (\frac{1}{2})^{n + 1}]}{1 - \frac{1}{2}} | x_{1} - \frac{π}{2} | \\ = 2 [1 - (\frac{1}{2})^{n + 1}] | x_{1} - \frac{π}{2} | ＜ 2 | x_{1} - \frac{π}{2} | . \end{array}$

又x1∈[0, π], 得 $x_{1} - \frac{π}{2} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ,

$\begin{array}{l} 即 | x_{1} - \frac{π}{2} | \leq \frac{π}{2} ‚ 于是 2 | x_{1} - \frac{π}{2} | \leq π . \\ ∴ | x_{1} - \frac{π}{2} | + | x_{2} - \frac{π}{2} | + \dots + | x_{n + 1} - \frac{π}{2} | ＜ π (n \in Ν^{*}) . \end{array}$

$\begin{array}{l} 26 . 解 ∶ (Ⅰ) f_{2} (x) = 1 - x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}, \\ f^{'}_{2} (x) = - 1 + x - x^{2} = (x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{3}{4} ＜ 0 ‚ \end{array}$

∴f2 (x) 在 (-∞, +∞) 单调递减.

(Ⅱ) f1 (x) =1-x有唯一实数解x=1,

当n≥2时, 由 $f_{n} (x) = 1 - x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + \dots - \frac{x^{2 n - 1}}{2 n - 1}, n \in Ν^{*}$ , 得

f′n (x) =-1+x-x2+…+x2n-3-x2n-2.

(i) 若x=-1, 则

f′n (x) =f′n (-1) =- (2n-1) <0.

(ii) 若x=0, 则f′n (x) =-1<0.

(iii) 若x≠-1且x≠0时,

则 $f^{'}_{n} (x) = \frac{x^{2 n - 1} + 1}{x + 1} .$

①当x<-1时, x+1<0, x2n-1+1<0,

f′n (x) <0.

②当x>-1时, x+1>0, x2n-1+1>0,

f′n (x) <0.

综合 (i) , (ii) , (iii) , 得f′n (x) <0, 即fn (x) 在 (-∞, +∞) 单调递减.

$\begin{array}{l} 又 f_{n} (0) = 1 ＞ 0 ‚ \\ f_{n} (2) = (1 - 2) + (\frac{2^{2}}{2} - \frac{2^{3}}{3}) + (\frac{2^{4}}{4} - \frac{2^{5}}{5}) + \dots + (\frac{2^{2 n - 2}}{2 n - 2} - \frac{2^{2 n - 1}}{2 n - 1}) \\ = - 1 + (\frac{1}{2} - \frac{2}{3}) 2^{2} + (\frac{1}{4} - \frac{2}{5}) 2^{4} + \dots + \\ (\frac{1}{2 n - 2} - \frac{2}{2 n - 1}) 2^{2 n - 2} \\ = - 1 - \frac{1}{2 \cdot 3} 2^{2} - \frac{3}{4 \cdot 5} 2^{4} - \dots - \frac{2 n - 3}{(2 n - 2) (2 n - 1)} 2^{2 n - 2} ＜ 0 ‚ \end{array}$

所以fn (x) 在 (0, 2) 有唯一实数解, 从而fn (x) 在 (-∞, +∞) 有唯一实数解.

综上, fn (x) =0有唯一实数解.

27.解: (Ⅰ) 证明:假设存在x′0, x0∈ (a, b) , 且x′0≠x0, 使得

$\begin{array}{l} \frac{f (b) - f (a)}{b - a} = f^{'} (x_{0}) ‚ \\ \frac{f (b) - f (a)}{b - a} = f^{'} (x^{'}_{0}) \end{array}$

, 即

$\begin{array}{l} f^{'} (x_{0}) = f^{'} (x^{'}_{0}) . \\ ∵ f^{'} (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} - m ‚ 记 g (x) = f^{'} (x) ‚ \end{array}$

$∴ g^{'} (x) = \frac{e^{x}}{(1 + e^{x})^{2}} ＞ 0,$

f′ (x) 是[a, b]上的单调增函数 (也可通过复合函数的单调性说明f′ (x) 的单调性) .

∴x0=x′0, 这与x′0≠x0矛盾,

即x0是唯一的.

$(Ⅱ) f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) ＜ \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} .$

原因如下:

设 $F (x) = f (\frac{x + x_{2}}{2}) - \frac{f (x) + f (x_{2})}{2}$ , 则

$F^{'} (x) = \frac{1}{2} f^{'} (\frac{x + x_{2}}{2}) - \frac{f^{'} (x)}{2} .$

由 (Ⅰ) 知, f′ (x) 单调递增,

所以当x>x2, 即 $\frac{x + x_{2}}{2} ＜ x$ 时,

有 $F^{'} (x) = \frac{1}{2} f^{'} (\frac{x + x_{2}}{2}) - \frac{f^{'} (x)}{2} ＜ 0$ ,

所以x>x2时, F (x) 单调递减;

当x<x2, 即 $\frac{x + x_{2}}{2} ＞ x$ 时,

有 $F^{'} (x) = \frac{1}{2} f^{'} (\frac{x + x_{2}}{2}) - \frac{f^{'} (x)}{2} ＞ 0$ ,

所以x<x2时, F (x) 单调递增.

所以F (x) <F (x2) =0,

所以 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) ＜ \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} .$

(Ⅲ) 证明:设A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , 且

$\begin{array}{l} x_{1} ＜ x_{2} ＜ x_{3} ‚ ∵ m \geq 1 ‚ \\ f^{'} (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} - m = 1 - m - \frac{1}{e^{x} + 1} ＜ 0 ‚ \end{array}$

∴f (x) 是x∈R上的单调递减函数,

$\begin{array}{l} ∴ f (x_{1}) ＞ f (x_{2}) ＞ f (x_{3}) . \\ ∵ \vec{B A} = (x_{1} - x_{2}, f (x_{1}) - f (x_{2})), \\ \vec{B C} = (x_{3} - x_{2}, f (x_{3}) - f (x_{2})), \\ ∴ \vec{B A} \cdot \vec{B C} = (x_{1} - x_{2}) (x_{3} - x_{2}) + [f (x_{1}) - f (x_{2})] [f (x_{3}) - f (x_{2})] . \\ ∵ x_{1} - x_{2} ＜ 0, x_{3} - x_{2} ＞ 0, \\ f (x_{1}) - f (x_{2}) ＞ 0, \\ f (x_{3}) - f (x_{2}) ＜ 0 . \end{array}$

$∴ \vec{B A} \cdot \vec{B C} ＜ 0, ∴ \cos B ＜ 0, ∠ B$ 为钝角.

故△ABC为钝角三角形.

四、三角函数与解三角形部分

一、选择题

1.下列各选项中, 与sin2011°最接近的数是 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) - \frac{1}{2} (B) \frac{1}{2} \\ (C) \frac{\sqrt{2}}{2} (D) - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

2.已知 $\sin θ = \frac{3}{4}$ , 且θ在第二象限, 那么2θ在 ( ) .

(A) 第一象限 (B) 第二象限

3.已知 $\tan α = \frac{1}{4}, \tan (α - β) = \frac{1}{3}$ , 则

$\begin{array}{l} \tan β = () . \\ (A) \frac{7}{11} (B) - \frac{11}{7} (C) - \frac{1}{13} (D) \frac{1}{13} \end{array}$

4.函数 $y = \cos^{2} (x + \frac{π}{4}) - \sin^{2} (x + \frac{π}{4})$ 的最小正周期为 ( ) .

$(A) \frac{π}{4} (B) \frac{π}{2} (C) π (D) 2 π$

5.若把函数y=f (x) 的图象沿x轴向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位, 沿y轴向下平移1个单位, 然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标保持不变) , 得到函数y=sinx的图象, 则y=f (x) 的解析式为 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) y = \sin (2 x - \frac{π}{4}) + 1 \\ (B) y = \sin (2 x - \frac{π}{2}) + 1 \\ (C) y = \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4}) - 1 \\ (D) y = \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{2}) - 1 \end{array}$

6.在△ABC中, 已知a, b, c分别为∠A, ∠B, ∠C所对的边, 且 $a = 4 ‚ b = 4 \sqrt[]{3} ‚ ∠ A = 30 °$ , 则∠B等于 ( ) .

(A) 30° (B) 30°或150°

7.如图1, 某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数:y=Asin (ωx+φ) +B, 则中午12点时最接近的温度为 ( ) .

(A) 26℃ (B) 27℃

8.已知α为锐角, 且 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{4}{5}$ , 则cosα的值为 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) \frac{4 - 3 \sqrt[]{3}}{10} (B) \frac{4 + 3 \sqrt[]{3}}{10} \\ (C) \frac{4 \sqrt[]{3} - 3}{10} (D) \frac{4 \sqrt[]{3} + 3}{10} \end{array}$

9.函数y=sin (πx+φ) (φ>0) 的部分图象如图2所示, 设P是图象的最高点, A, B是图象与x轴的交点, 则tanAPB= ( ) .

$\begin{array}{l} [Τ S (] 图 2 [Τ S)] (A) 10 (B) 8 \\ (C) \frac{8}{7} (D) \frac{4}{7} \end{array}$

10.△ABC的外接圆半径R和△ABC的面积都等于1, 则

$\begin{array}{l} \sin A \sin B \sin C = () . \\ (A) \frac{1}{4} (B) \frac{\sqrt{3}}{2} (C) \frac{\sqrt{3}}{4} (D) \frac{1}{2} \end{array}$

11.已知函数 $f (x) = \sin x - \frac{1}{3} x, x \in [0, π]$ , 且 $\cos x_{0} = \frac{1}{3} ‚ x_{0} \in [0, π]$ .那么下列命题中真命题的序号是 ( ) .

①f (x) 的最大值为f (x0) ;

②f (x) 的最小值为f (x0) ;

③f (x) 在[0, x0]上是减函数;

④f (x) 在[x0, π]上是减函数.

(A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④

12.设函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ , 则下列结论正确的是 ( ) .

(A) f (x) 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称

(B) f (x) 的图象关于点 $(\frac{π}{4}, 0)$ 对称

(D) f (x) 的最小正周期为π, 且在 $[0, \frac{π}{6}]$ 上为增函数

二、填空题

13.如图3所示, 在平面直角坐标系xOy中,

角α的终边与单位圆交于点A, 点A的纵坐标为 $\frac{4}{5}$ , 则cosα=______.

14.若 $\cos α = \frac{1}{3}$ , 则 $\frac{\cos (2 π - α) \cdot \sin (π + α)}{\sin (\frac{π}{2} + α) \cdot \tan (3 π - α)}$ 的值为______.

15.如图4, 一艘船上午8:00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,

之后它继续沿正北方向匀速航行, 上午8:30到达B处, 此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处, 且与它相距 $4 \sqrt[]{2} n$ mile, 则此船的航行速度是______n mile/h.

16.已知a, b, c分别是△ABC的三个内角A, B, C所对的边, 若 $\frac{c o s B}{c o s C} = - \frac{b}{2 a + c}$ , 则B=______.

17.设定义在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上的函数y=4tanx的图象与y=6sinx的图象交于点P, 过点P作x轴的垂线, 垂足为P1, 直线PP1与函数y=cosx的图象交于点P2, 则线段P1P2的长为______.

18.已 $0 < α < \frac{π}{2}, - \frac{π}{2} < β < 0, \cos (α - β) = \frac{3}{5}$ , 且 $\tan α = \frac{3}{4}$ , 则sinβ=______.

19.如图5, 线段DE把边长为2a的等边△ABC分成面积相等的两部分, D在AB上, E在AC上, 则线段DE长度的最小值为______.

20.若函数 $f (x) = \cos (\frac{x}{3} + φ) (0 < φ < 2 π)$ 在区间 (-π, π) 上是单调递增函数, 则实数φ的取值范围为______.

三、解答题

21.已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cdot \sin (\frac{π}{2} + x) - 2 \sin^{2} x + 1 (x \in R) .$

(Ⅰ) 求函数f (x) 的最小正周期及函数f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ) 若 $f (\frac{x_{0}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{3} ‚ x_{0} \in (- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ , 求cos2x0的值.

22.在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知 $\tan B = \frac{1}{2} ‚ \tan C = \frac{1}{3}$ , 且c=1.

(Ⅰ) 求tanA;

(Ⅱ) 求△ABC的面积.

23.在△ABC中, 已知 $A = 45 ° ‚ \cos B = \frac{4}{5} .$

(Ⅰ) 求cosC的值;

(Ⅱ) 若BC=10, D为AB的中点, 求CD的长.

24.在△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且满足 $\frac{2 c - b}{a} = \frac{c o s B}{c o s A} .$

(Ⅰ) 求角A的大小;

(Ⅱ) 若 $a = 2 \sqrt[]{5}$ , 求△ABC面积的最大值.

25.在△ABC中, 角A, B, C所对应的边分别为a, b, c, 且 $4 \sin^{2} \frac{A + B}{2} - \cos 2 C = \frac{7}{2} .$

(Ⅰ) 求角C的大小;

(Ⅱ) 求sinA+sinB的最大值.

26.如图6, 正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙, 同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号, 此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70km的C处, 渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处, 两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援, 渔政船乙仍留在B处执行任务, 渔政船甲航行30km到达D处时, 收到新的指令另有重要任务必须执行, 于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙 (渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙) , 此时B, D两处相距42km, 问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救?

27.已知 $- \frac{π}{4}$ 和 $\frac{π}{4}$ 是函数f (x) =sin (ωx+φ) (ω>0, 0<φ<π) 的相邻的两个零点.

(Ⅰ) 求f (x) 的解析式;

(Ⅱ) 在△ABC中, 若sinBsinCcosA=sin2A, 求函数f (A) 的值域.

28.如图7, 在△ABC中, $\sin \frac{∠ A B C}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , AB=2, 点D在线段AC上, 且 $A D = 2 D C ‚ B D = \frac{4 \sqrt[]{3}}{3} .$

(Ⅰ) 求BC的长;

(Ⅱ) 求△BCD的面积.

参考答案

1.A.sin2011°=sin (5×360°+180°+31°) ≈-sin30°=.

本题的常规解法:θ为第二象限角,

9.B.作PQ⊥x轴于点Q, 由

11., 由f′ (x) >0, 得0≤x<x0, f (x) 单调递增, 由f′ (x) <0, 得x0<x≤π, f (x) 单调递减, ∴只有 (1) (4) 正确.

15.16.∠S=45°, BS=, 由正弦定理得

16.由正弦定理得2cos BsinA+cos BsinC=-sinBcosC, 则2cos BsinA+ (cos BsinC+sinBcosC) =0, 有2cos BsinA+sin (C+B) =0, 即2cos BsinA+sinA=0.又sinA>0, 故

17..设P (x0, y0) , 则P1 (x0, 0) , P2 (x0, cosx0) , |P1P2|=cosx0, 由4tanx0=6sinx0, 得

本题的常规解法:的单调递增区间是-3π-3φ≤x≤6kπ-3φ.∵φ∈ (0, 2π) , ∴要使f (x) 在 (-π, π) 上单调递增, 此时令k=1, 即3π-3φ≤x≤6π-3φ, ∴3π-3φ≤-π, π≤6π-3φ,

(Ⅱ) 由已知得

两边平方, 得, 所以sin2x0=.

因为x0∈ () , 所以2x0∈ () .

因为A=180°-B-C,

所以tanA=tan[180°- (B+C) ]=-tan (B+C) =-1.

(Ⅱ) 因为0°<A<180°, 由 (Ⅰ) 中结论知, A=135°.

因为

所以0°<C<B<90°.

所以

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可得

解之, 得AB=14.

在△BCD中, BD=7,

所以

24.解: (Ⅰ) 因为, 所以 (2c-b) ·cos A=a·cos B.

由正弦定理, 得 (2sinC-sinB) ·cos A=sinA·cos B.

整理得2sinC·cos A=sin (A+B) =sinC.在△ABC中, sinC≠0, 所以

(Ⅱ) 由余弦定理知,

所以b2+c2-20=bc≥2bc-20,

所以bc≤20, 当且仅当b=c时取等号.

所以三角形的面积

所以三角形面积的最大值为

25.解: (Ⅰ) ∵A, B, C为三角形的内角, ∴A+B+C=π.

26.解:设∠ABD=α, 在△ABD中, AD=30, BD=42, ∠BAD=60°.

由正弦定理得

在△BDC中, 由余弦定理得

BC2=DC2+BD2-2 DC·BDcos BDC=402+422-80×42cos (60°+α) =3844, ∴BC=62 (km) .

答:渔政船乙要航行62km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.

27.解: (Ⅰ) 依题意知, 函数f (x) 的周期T=

(Ⅱ) ∵sinBsinCcos A=sin2 A,

由正弦定理和余弦定理知,

28.解: (Ⅰ) 因为

所以

在△ABC中, 设BC=a, AC=3b, 由余弦定理可得

在△ABD和△DBC中, 由余弦定理可得

因为cos ADB=-cos BDC, 所以有

所以3b2-a2=-6. (2)

由 (1) (2) 可得a=3, b=1, 即BC=3.

另解:在△ABD和△ABC中,

∴3b2=a2-b. (2) 下同, 余略.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知,

∴△ABC的面积为所以△DBC的面积为

五、平面向量部分

一、选择题

1.已知a= (1, 2) , b= (-2, m) , 若a//b, 则|2a+3b|等于 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) \sqrt{70} (B) 4 \sqrt[]{5} \\ (C) 3 \sqrt[]{5} (D) 2 \sqrt[]{5} \end{array}$

2.已知P={a|a= (1, 0) +m (0, 1) , m∈R}, Q={b|b= (1, 1) +n (-1, 1) , n∈R}是两个向量集合, 则P∩Q= ( ) .

(A) { (1, 1) } (B) { (-1, 1) }

3.在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=3, 则

$\begin{array}{l} \vec{A B} \cdot \vec{A C} = () . \\ (A) - 9 (B) 9 (C) - 16 (D) 16 \end{array}$

4.已知平面上不重合的四点P, A, B, C满足 $\vec{Ρ A} + \vec{Ρ B} + \vec{Ρ C} = 0$ , 且 $\vec{A B} + \vec{A C} = m \vec{A Ρ}$ , 那么实数m的值为 ( ) .

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

5.直线l:y=k (x-2) +2将圆C:x2+y2-2x-2y=0平分, 则直线l的一个方向向量是 ( ) .

(A) (2, -2) (B) (2, 2)

6.已知方程ax2+bx+c=0, 其中a, b, c是非零向量, 且a, b不共线, 则该方程 ( ) .

(A) 至多有一个解 (B) 至少有一个解

7.在△ABC中, “ $\vec{A B} \cdot \vec{B C} > 0$ ”是“△ABC为钝角三角形”的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

8.△ABC的外接圆的圆心为O, 半径为1, 若 $\vec{Ο A} + \vec{A B} + \vec{Ο C} = 0$ , 且 $| \vec{Ο A} | = | \vec{A B} |$ , 则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 等于 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) \frac{3}{2} (B) \sqrt{3} \\ (C) 3 (D) 2 \sqrt[]{3} \end{array}$

9.设M={平面内的点 (a, b) }, N={f (x) |f (x) =acos2x+bsin2x}, 给出M到N的映射f: (a, b) →f (x) =acos2x+bsin2x, 若点 $(1, \sqrt{3})$ 的像f (x) 的图象可以由曲线y=2sin2x按向量m平移得到, 则向量m的坐标为 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) (\frac{π}{6}, 0) (B) (- \frac{π}{6}, 0) \\ (C) (- \frac{π}{12}, 0) (D) (\frac{π}{12}, 0) \end{array}$

10.设D, E, F分别是△ABC的三边BC, CA, AB上的点, 且 $\vec{D C} = 2 \vec{B D} ‚ \vec{C E} = 2 \vec{E A} ‚ \vec{A F} = 2 \vec{F B}$ , 则 $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F}$ 与 $\vec{B C} () .$

(A) 同向平行 (B) 反向平行

11.已知A, B, C是圆O:x2+y2=1上的三点,

$\begin{array}{l} \vec{Ο A} + \vec{Ο B} = \vec{Ο C} ‚ \vec{A B} \cdot \vec{Ο A} = () . \\ (A) \frac{3}{2} (B) - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ (C) - \frac{3}{2} (D) \frac{1}{2} \end{array}$

12.如图1, 在△ABC中, $\vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{D C}, \vec{A E} = 3 \vec{E D}$ , 若 $\vec{A B} = a, \vec{A C} = b$ , 则 $\vec{B E} = () .$

13.设向量a, b, c均为单位向量, 且a·b=0, 则 (a-c) · (b-c) 的最小值为 ( ) .

$\begin{array}{l} (A) - 2 (B) \sqrt{2} - 3 \\ (C) - 1 (D) 1 - \sqrt{2} \end{array}$

14.在平面向量中有如下定理:设点O, P, Q, R为同一平面内的点, 则P, Q, R三点共线的充要条件是:存在实数t, 使 $\vec{Ο Ρ} = (1 - t) \vec{Ο Q} + t \vec{Ο R}$ .如图2, 在△ABC中, 点E为AB边的中点, 点F在AC边上, 且CF=2FA, BF交CE于点M, 设 $\vec{A Μ} = x \vec{A E} + y \vec{A F}$ , 则 ( ) .

二、填空题

15.已知向量a= (x-1, 2) , b= (4, y) .若a⊥b, 则16x+4y的最小值为______.

16.若|a|=2, |b|=4, 且 (a+b) ⊥a, 则a与b的夹角是______.

17.以O为起点作向量a, b, 终点分别为A, B.

已知|a|=2, |b|=5, a·b=-6, 则△AOB的面积等于______.

18.如图3, 在平面直角坐标系中, 正方形OABC的边长为1, E为AB的中点, 若F为正方形内 (含边界) 任意一点, 则 $\vec{Ο E} \cdot \vec{Ο F}$ 的最大值为______.

19.如图4, 过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+ (y-1) 2=1于点A, B, C, D, 则 $\vec{A B} \cdot \vec{C D}$ 的值是______.

20.已知Sn是{an}的前n项和, 向量a= (an-1, -2) , b= (4, Sn) 满足a⊥b, 则 $\frac{S_{4}}{S_{2}} =$ ______.

21.在平面直角坐标系中, O是坐标原点, 已知点 $A (3, \sqrt{3})$ , 点P (x, y) 的坐标满足

${\begin{cases} \sqrt{3} x - y \leq 0 ‚ \\ x - \sqrt{3} y + 2 \geq 0 ‚ \\ y \geq 0 ‚ \end{cases}$

设z为 $\vec{Ο Ρ}$ 在 $\vec{Ο A}$ 上的投影, 则z的取值范围是______.

三、解答题

22.已知向量 $a = (\sin x ‚ 1) ‚ b = (\cos x ‚ - \frac{1}{2}) .$

(Ⅰ) 当a⊥b时, 求x的取值集合;

(Ⅱ) 求函数f (x) =a· (b-a) 的单调递增区间.

23.设集合A={1, 2}, B={1, 2, 3}, 分别从集合A和B中随机取一个数a和b.

(Ⅰ) 若向量m= (a, b) , n= (1, -1) , 求向量m与n的夹角为锐角的概率;

(Ⅱ) 记点P (a, b) , 则点P (a, b) 落在直线x+y=n上为事件Cn (2≤n≤5, n∈N) , 求使事件Cn的概率最大的n.

24.设锐角△ABC的三内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 向量 $m = (1 ‚ \sin A + \sqrt{3} \cos A) ‚ n = (\sin A ‚ \frac{3}{2})$ , 且m与n共线.

(Ⅰ) 求角A的大小;

(Ⅱ) 若 $a = 2 ‚ c = 4 \sqrt[]{3} \sin B$ , 且△ABC的面积小于 $\sqrt{3}$ , 求角B的取值范围.

25.已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin π x + \cos π x ‚ x \in R .$

(Ⅰ) 求函数f (x) 的最大值和最小值;

(Ⅱ) 设函数f (x) 在[-1, 1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M, N, 图象的最高点为P, 求 $\vec{Ρ Μ}$ 与 $\vec{Ρ Ν}$ 的夹角的余弦值.

26.已知向量a= (sinx, cosx) , b= (sinx, sinx) , c= (-1, 0) .

(Ⅰ) 若 $x = \frac{π}{3}$ , 求向量a, c的夹角θ;

(Ⅱ) 若 $x \in [- \frac{3 π}{8} ‚ \frac{π}{4}]$ , 函数f (x) =λa·b的最大值为 $\frac{1}{2}$ , 求实数λ的值.

27.已知A, B, C分别为△ABC的三边a, b, c所对的角, 向量m= (sinA, sinB) , n= (cosB, cosA) , 且m·n=sin2C.

(Ⅰ) 求角C的大小;

(Ⅱ) 若sinA, sinC, sinB成等差数列, 且 $\vec{C A} \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 18$ , 求c的值.

28.已知两点M (-1, 0) , N (1, 0) , 且点P使 $\vec{Μ Ρ} \cdot \vec{Μ Ν} ‚ \vec{Ρ Μ} \cdot \vec{Ρ Ν} ‚ \vec{Ν Μ} \cdot \vec{Ν Ρ}$ 成公差小于零的等差数列.

(Ⅰ) 点P的轨迹是什么曲线?

(Ⅱ) 若点P坐标为 (x0, y0) , θ为 $\vec{Ρ Μ} ‚ \vec{Ρ Ν}$ 的夹角, 求θ的取值范围.

参考答案

∴m=-4, 2a+3b= (-4, -8) ,

$\begin{array}{l} 则 | 2 a + 3 b | = 4 \sqrt[]{5} . \\ 2 . A . a = (1 ‚ m) ‚ b = (1 - n ‚ 1 + n) \end{array}$

, 由a=b, 得

${\begin{cases} 1 = 1 - n ‚ \\ m = 1 + n ‚ \end{cases}$

解之, 得

${\begin{cases} n = 0 ‚ \\ m = 1 ‚ \end{cases}$

即

$\begin{array}{l} Ρ \cap Q = {(1 ‚ 1)} . \\ 3 . B . \vec{A B} \cdot \vec{A C} = (\vec{A C} + \vec{C B}) \cdot \vec{A C} = | \vec{A C} |^{2} = 9 \end{array}$

, 或 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = | \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} | \cos A = | \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} | \frac{| \vec{A C} |}{| \vec{A B} |} = | \vec{A C} |^{2} = 9 .$

4.B.由 $\vec{A B} + \vec{A C} = m \vec{A Ρ}$ , 得 $(\vec{Ρ B} + \vec{A Ρ}) + (\vec{Ρ C} + \vec{A Ρ}) = m \vec{A Ρ}$ , 即 $(2 - m) \vec{A Ρ} + \vec{Ρ B} + \vec{Ρ C} = 0$ , 又 $\vec{Ρ A} + \vec{Ρ B} + \vec{Ρ C} = 0 ‚ ∴ 2 - m = - 1$ , 即m=3.

另解: $\vec{A B} = \vec{A Ρ} + \vec{Ρ B} ‚ \vec{A C} = \vec{A Ρ} + \vec{Ρ C} ‚ ∴ \vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A Ρ} + \vec{Ρ B} + \vec{Ρ C} = 2 \vec{A Ρ} - \vec{Ρ A} = 3 \vec{A Ρ} ‚ ∴ m = 3 .$

5.B.由题知直线l过所给圆的圆心 (1, 1) , ∴1=k (1-2) +2, 即k=1, 直线l的方向向量为 (1, k) = (1, 1) , 向量 (2, 2) 与 (1, 1) 同向, 故选B.

6.A.由于a, b不共线, 所以c=ma+nb, m, n∈R, 且m, n是唯一的,

则

${\begin{cases} x^{2} = - m ‚ \\ x = - n ‚ \end{cases}$

故该方程至多有一个解, 选A.

$7 . A . \vec{A B} \cdot \vec{B C} > 0 \Leftrightarrow | \vec{A B} | | \vec{B C} | \cos (π - B) > 0 \Leftrightarrow \cos B < 0 \Leftrightarrow B$ 为钝角, 但△ABC为钝角三角形 /⇒B为钝角.

8.C.如图, 由已知得 $\vec{Ο A} + \vec{Ο C} = - \vec{A B}$ , 以 $\vec{Ο A} ‚ \vec{Ο C}$ 为邻边作平行四边形AOCM, 则 $\vec{Ο Μ} = - \vec{A B}$ , 得四边形ABOM平行四边形, 于是点O在BC上, 即△ABC为直角三角形, 又 $| \vec{Ο A} | = | \vec{A B} |$ , 故△ABO为等边三角形, 且圆O的半径为1, 则 $| A B | = 1 ‚ | B C | = 2 ‚ | A C | = \sqrt{3}$ ,

$\begin{array}{l} ∴ \vec{C A} \cdot \vec{C B} = \sqrt{3} \times 2 \times \cos 30 ° = 3 . \\ 9 . C . f (x) = \cos 2 x + \sqrt{3} \sin 2 x = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6}) = 2 \sin [2 (x + \frac{π}{12})] \end{array}$

, 将y=2sin2x的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位即得f (x) 的图象, 故

$\begin{array}{l} m = (- \frac{π}{12} ‚ 0) . \\ 10 . B . \vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = (\vec{A B} + \vec{B D}) + (\vec{B C} + \vec{C E}) + (\vec{C A} + \vec{A F}) = \vec{B D} + \vec{C E} + \vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{B C} + \frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{2}{3} \vec{A B} = - \frac{1}{3} \vec{B C} ‚ 故选 B . \end{array}$

11.C.由题意知, 四边形OACB是边长为1的菱形, 可得 $| \vec{A B} | = \sqrt{3} ‚ | \vec{Ο A} | = 1$ , 则

$\begin{array}{l} \vec{A B} \cdot \vec{Ο A} = \sqrt{3} \times 1 \times \cos (180 ° - 30 °) = - \frac{3}{2} . \\ 12 . B . \vec{B C} = \vec{A C} - \vec{A B} = b - a ‚ \vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B C} = \frac{1}{3} b - \frac{1}{3} a ‚ \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D} = \frac{2}{3} a + \frac{1}{3} b ‚ \vec{A E} = \frac{3}{4} \vec{A D} = \frac{1}{2} a + \frac{1}{4} b ‚ \vec{B E} = \vec{A E} - \vec{A B} = \frac{1}{2} a + \frac{1}{4} b - a = - \frac{1}{2} a + \frac{1}{4} b . \end{array}$

13.D.由a, b, c均为单位向量, 且a·b=0, 得 (a-c) · (b-c) =a·b- (a+b) ·c+c2=- (a·c+b·c) +1.设a与c的夹角为θ, b与c的夹角为φ.由a⊥b, 得 $φ = \frac{π}{2} - θ$ 或 $θ - \frac{π}{2}$ 或 $θ + \frac{π}{2}$ , 对于前两者有 $- (a \cdot c + b \cdot c) + 1 = - (\cos θ + \sin θ) + 1 = - \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{4}) + 1 \geq 1 - \sqrt{2}$ , 对于后者也有 $- (a \cdot c + b \cdot c) + 1 = - (\cos θ - \sin θ) + 1 = \sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) + 1 \geq 1 - \sqrt{2} .$

14.A.因为点B, M, F三点共线, 则存在实数t, 使 $\vec{A Μ} = (1 - t) \vec{A B} + t \vec{A F} .$

又 $\vec{A B} = 2 \vec{A E} ‚ \vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ,

则 $\vec{A Μ} = 2 (1 - t) \vec{A E} + \frac{t}{3} \vec{A C} .$

因为点C, M, E三点共线,

则 $2 (1 - t) + \frac{t}{3} = 1$ , 所以 $t = \frac{3}{5} .$

故 $x = \frac{4}{5} ‚ y = \frac{3}{5} .$

15.8.由a⊥b知, 4 (x-1) +2y=0, 于是

$\begin{array}{l} 2 x + y = 2 ‚ \\ ∴ 16^{x} + 4^{y} = 4^{2 x} + 4^{y} \geq 2 \sqrt{4^{2 x + y}} = 2 \sqrt{4^{2}} = 8 . \\ 16 . \frac{2 π}{3} \end{array}$

.由 (a+b) ⊥a, 得 (a+b) ·a=0,

则a2=-a·b, 又|a|=2, |b|=4,

∴4=-2×4cosθ, 得 $\cos θ = - \frac{1}{2}$ ,

而θ∈[0, π], 于是 $θ = \frac{2 π}{3} .$

17.4.由题意知, 2×5×cosθ=-6, 得

$\begin{array}{l} \cos θ = - \frac{3}{5} ‚ 则 \sin θ = \frac{4}{5} ‚ \\ ∴ S_{△ A Ο B} = \frac{1}{2} | a | | b | \sin θ = 4 . \end{array}$

$18 . \frac{3}{2}$ .可得 $\vec{Ο E} = (1 ‚ \frac{1}{2})$ , 设F (x, y) , 则 $\vec{Ο F} = (x ‚ y) ‚ 0 \leq x \leq 1 ‚ 0 \leq y \leq 1$ , 而 $\vec{Ο E} \cdot \vec{Ο F} = x + \frac{1}{2} y$ , 当x=1, y=1时, $(x + \frac{1}{2} y)_{\max} = \frac{3}{2}$ , 即 $\vec{Ο E} \cdot \vec{Ο F}$ 的最大值为 $\frac{3}{2} .$

19.1.设A (x1, y1) , D (x2, y2) , 由抛物线的定义知, $| \vec{A B} | = y_{1}, | \vec{C D} | = y_{2}$ .设直线的方程为y=kx+1, 与抛物线联立, 消去x, 整理得

y2- (2+4k2) y+1=0, 则 $\vec{A B} \cdot \vec{C D} = y_{1} y_{2} = 1 .$

20.5.由a⊥b, 得4 (an-1) -2Sn=0, 即Sn=2 (an-1) , 当n=1时, S1=a1=2 (a1-1) , 则a1=2, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2 (an-1) -2 (an-1-1) , 则an=2an-1, 故{an}是以2为首项, 公比为2的等比数列,

$\begin{array}{l} ∴ \frac{S_{4}}{S_{2}} = \frac{\frac{2 (1 - 2^{4})}{1 - 2}}{\frac{2 (1 - 2^{2})}{1 - 2}} = 5 . \\ 21 . [- \sqrt{3} ‚ \sqrt{3}] . z = | \vec{Ο Ρ} | \cos θ = | \vec{Ο Ρ} | \frac{\vec{Ο A} \cdot \vec{Ο Ρ}}{| \vec{Ο A} | \cdot | \vec{Ο Ρ} |} = \frac{\vec{Ο A} \cdot \vec{Ο Ρ}}{| \vec{Ο A} |} = \frac{3 x + \sqrt{3} y}{2 \sqrt[]{3}} = \frac{\sqrt{3} x + y}{2} \end{array}$

, 即 $y = - \sqrt{3} x + 2 z$ , 画出可行域

${\begin{cases} \sqrt{3} x - y \leq 0 ‚ \\ x - \sqrt{3} y + 2 \geq 0 ‚ \\ y \geq 0 ‚ \end{cases}$

, 当直线 $y = - \sqrt{3} x + 2 z$ 经过点 $(1 ‚ \sqrt{3})$ 时, 2z有最大值, 即 $\sqrt{3} = - \sqrt{3} \times 1 + 2 z_{\max}$ , 有 $z_{\max} = \sqrt{3}$ , 当直线 $y = - \sqrt{3} x + 2 z$ 经过点 (-2, 0) 时, 2z有最小值, 即 $0 = - \sqrt{3} \times (- 2) + 2 z_{\min}$ , 有 $z_{\min} = - \sqrt{3}$ , 即 $z \in [- \sqrt{3} ‚ \sqrt{3}] .$

22.解: $(Ⅰ) ∵ a = (\sin x ‚ 1) ‚ b = (\cos x ‚ - \frac{1}{2}) ‚ a ⊥ b ‚ ∴ \sin x \cos x - \frac{1}{2} = 0$ , 则sin2x=1,

故 $2 x = 2 k π + \frac{π}{2}$ , 即 $x = k π + \frac{π}{4} ‚$

$\begin{array}{l} ∴ x 的取值集合为 {x | x = k π + \frac{π}{4} ‚ k \in Ζ} . \\ (Ⅱ) f (x) = a \cdot (b - a) \\ = \sin x (\cos x - \sin x) - \frac{3}{2} \\ = \sin x \cos x - \sin^{2} x - \frac{3}{2} \\ = \frac{1}{2} \sin 2 x - \frac{1 - \cos 2 x}{2} - \frac{3}{2} \\ = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (2 x + \frac{π}{4}) - 2 ‚ \end{array}$

当 $2 k π - \frac{π}{2} \leq 2 x + \frac{π}{4} \leq 2 k π + \frac{π}{2}$ ,

即 $k π - \frac{3 π}{8} \leq k π + \frac{π}{8}$ 时, 函数f (x) 单调递增,

∴f (x) 的单调递增区间为 $[k π - \frac{3 π}{8} ‚ k π + \frac{π}{8}] (k \in Ζ) .$

23.解: (Ⅰ) 设向量m与n的夹角为θ.

因为θ为锐角, $∴ \cos θ = \frac{m \cdot n}{| m | | n |} > 0$ , 且向量m与n不共线, 因为a>0, b>0, n= (1, -1) , 显然m与n不共线, 所以, m·n=a-b>0, a>b,

分别从集合A和B中随机取一个数a和b的基本事件有: (1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , 共6种, 其中满足a>b只有 (2, 1) ,

∴向量m与n的夹角为锐角的概率 $Ρ = \frac{1}{6} .$

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知,

当n=2时, 满足条件的概率 $Ρ_{2} = \frac{1}{6}$ ,

当n=3时, 满足条件的概率 $Ρ_{3} = \frac{1}{3}$ ,

当n=4时, 满足条件的概率 $Ρ_{4} = \frac{1}{3}$ ,

当n=5时, 满足条件的概率 $Ρ_{5} = \frac{1}{6} ‚$

∴使事件Cn的概率最大的n为3或4.

24.解: (Ⅰ) ∵m//n, 则 $\sin A (\sin A + \sqrt{3} \cos A) = \frac{3}{2}$ , 即

$\begin{array}{l} \sin^{2} A + \sqrt{3} \sin A \cos A = \frac{3}{2} ‚ \\ ∴ \frac{1 - \cos 2 A}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 A = \frac{3}{2} ‚ \end{array}$

即 $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 A - \frac{1}{2} \cos 2 A = 1 ‚ ∴ \sin (2 A - \frac{π}{6}) = 1 .$

∵A是锐角, $∴ 2 A - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ , 故 $A = \frac{π}{3} .$

(Ⅱ) 因为 $a = 2 ‚ c = 4 \sqrt[]{3} s i n B$ , 则

$\begin{array}{l} S_{△ A B C} = \frac{1}{2} a c \sin B = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 \sqrt[]{3} \sin^{2} B \\ = 4 \sqrt[]{3} \sin^{2} B \\ = 4 \sqrt[]{3} \times \frac{1 - \cos 2 B}{2} = 2 \sqrt[]{3} - 2 \sqrt[]{3} \cos 2 B ‚ \\ ∴ 2 \sqrt[]{3} - 2 \sqrt[]{3} \cos 2 B < \sqrt{3} ‚ 即 \cos 2 B > \frac{1}{2} . \end{array}$

因为B是锐角, 所以 $0 < 2 B < \frac{π}{3}$ ,

即 $0 < B < \frac{π}{6}$ , 故角B的取值范围是 $(0 ‚ \frac{π}{6}) .$

$\begin{array}{l} 25 . 解 ∶ (Ⅰ) ∵ f (x) = \sqrt{3} \sin π x + \cos π x \\ = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin π x + \frac{1}{2} \cos π x) \\ = 2 \sin (π x + \frac{π}{6}) ‚ x \in R ‚ ∴ - 1 \leq \sin (π x + \frac{π}{6}) \leq 1 ‚ \end{array}$

∴函数f (x) 的最大值和最小值分别为2, -2.

(Ⅱ) 令 $f (x) = 2 \sin (π x + \frac{π}{6}) = 0$ , 得

$\begin{array}{l} π x + \frac{π}{6} = k π ‚ k \in Ζ . \\ ∵ x \in [- 1 ‚ 1] ‚ ∴ x = - \frac{1}{6} 或 \frac{5}{6} ‚ \end{array}$

$∴ Μ (- \frac{1}{6} ‚ 0) ‚ Ν (\frac{5}{6} ‚ 0)$ ,

由 $\sin (π x + \frac{π}{6}) = 1$ , 且x∈[-1, 1], 得

$\begin{array}{l} x = \frac{1}{3} ‚ ∴ Ρ (\frac{1}{3} ‚ 2) ‚ \\ ∴ \vec{Ρ Μ} = (- \frac{1}{2} ‚ - 2) ‚ \vec{Ρ Ν} = (\frac{1}{2} ‚ - 2), \end{array}$

从而 $\cos 〈 \vec{Ρ Μ} ‚ \vec{Ρ Ν} 〉 = \frac{\vec{Ρ Μ} \cdot \vec{Ρ Ν}}{| \vec{Ρ Μ} | \cdot | \vec{Ρ Ν} |} = \frac{15}{17} .$

26.解: (Ⅰ) 当 $x = \frac{π}{3}$ 时, $a = (\frac{\sqrt{3}}{2} ‚ \frac{1}{2})$ , 则

$\begin{array}{l} \cos θ = \frac{a \cdot c}{| a | \cdot | c |} = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 \times 1} = - \frac{\sqrt{3}}{2} ‚ ∴ θ = \frac{5 π}{6} . \\ (Ⅱ) f (x) = λ (\sin^{2} x + \sin x \cos x) \\ = \frac{λ}{2} (1 - \cos 2 x + \sin 2 x) ‚ \\ f (x) = \frac{λ}{2} [1 + \sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4})] . \end{array}$

因为 $x \in [- \frac{3 π}{8} ‚ \frac{π}{4}]$ ,

所以 $2 x - \frac{π}{4} \in [- π ‚ \frac{π}{4}]$ ,

当λ>0时, $f_{\max} (x) = \frac{λ}{2} (1 + 1) = \frac{1}{2}$ ,

即 $λ = \frac{1}{2}$ ,

当λ<0时, $f_{\max} (x) = \frac{λ}{2} (1 - \sqrt{2}) = \frac{1}{2}$ ,

即 $λ = - 1 - \sqrt{2}$ ,

所以 $λ = \frac{1}{2}$ 或 $λ = - 1 - \sqrt{2} .$

27.解: (Ⅰ) m·n=sinAcosB+sinBocsA

=sin (A+B) =sin (π-C) =sinC,

又∵m·n=sin2C,

∴sinC=sin2C, sinC=2sinCcosC,

而sinC≠0, 则 $\cos C = \frac{1}{2}$ ,

由0<C<π, 得 $C = \frac{π}{3} .$

(Ⅱ) 由sinA, sinC, sinB成等差数列, 得

2sinC=sinA+sinB.

$\begin{array}{l} 由正弦定理得 2 c = a + b . \\ ∵ \vec{C A} \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 18 ‚ \\ ∴ \vec{C A} \cdot \vec{C B} = 18 ‚ 即 a b \cos C = 18 ‚ \end{array}$

由 (Ⅰ) 知, $\cos C = \frac{1}{2}$ , 得ab=36,

由余弦定理得

c2=a2+b2-2abcosC= (a+b) 2-3ab,

∴c2=4c2-3×36, 则c2=36, ∴c=6.

28.解: (Ⅰ) 设P (x, y) , 则

$\begin{array}{l} \vec{Μ Ρ} = (x + 1 ‚ y) ‚ \vec{Μ Ν} = (2 ‚ 0) ‚ \vec{Ν Μ} = (- 2 ‚ 0) ‚ \vec{Ρ Μ} = (- 1 - x ‚ - y) ‚ \vec{Ν Ρ} = (x - 1 ‚ y) ‚ \vec{Ρ Ν} = (1 - x ‚ - y) ‚ \\ ∴ \vec{Μ Ρ} \cdot \vec{Μ Ν} = 2 x + 2 ‚ \vec{Ρ Μ} \cdot \vec{Ρ Ν} = x^{2} + y^{2} - 1 ‚ \vec{Ν Μ} \cdot \vec{Ν Ρ} = - 2 x + 2 ‚ \end{array}$

由 $\vec{Μ Ρ} \cdot \vec{Μ Ν} ‚ \vec{Ρ Μ} \cdot \vec{Ρ Ν} ‚ \vec{Ν Μ} \cdot \vec{Ν Ρ}$ 成公差小于零的等差数列, 得

2 (x2+y2-1) = (2x+2) + (-2x+2) ,

即x2+y2=3.

又 $\vec{Μ Ρ} \cdot \vec{Μ Ν} > \vec{Ν Μ} \cdot \vec{Ν Ρ}$ ,

则2x+2>-2x+2, 有x>0,

∴P的轨迹方程是x2+y2=3 (x>0) .

故点P的轨迹是以原点为圆心, $\sqrt{3}$ 为半径的右半圆.

$\begin{array}{l} (Ⅱ) 由题意知 ‚ \cos θ = \frac{\vec{Ρ Μ} \cdot \vec{Ρ Ν}}{| \vec{Ρ Μ} | \cdot | \vec{Ρ Ν} |} \\ = \frac{x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - 1}{\sqrt{(x_{0} + 1)^{2} + y_{0}^{2} \cdot \sqrt{(x_{0} - 1)^{2} + y_{0}^{2}}}} . \end{array}$

由 (Ⅰ) 知, x $_{0}^{2}$ +y $_{0}^{2}$ =3, 则 $\cos θ = \frac{1}{4 - x_{0}^{2}}$ ,

而 $0 < x_{0} \leq \sqrt{3}$ , 得 $\cos θ \in (\frac{1}{2} ‚ 1] ‚ ∴ θ \in [0 ‚ \frac{π}{3}) ‚$

∴θ的取值范围是 $[0 ‚ \frac{π}{3}) .$

四年级上语文单元复习篇8

（满分：100分时间：90分钟）

班级：姓名：成绩：

出题人：刘月珍

一、看拼音，写词语。（10分）

wù sōnɡ shèshì nínɡ jié xīn xīn xiànɡ rónɡ

ɡàocí ɡēsònɡ zēnɡ tiānqínɡ búzìjīn

二、按要求填空（18分）

1．在括号内填上适当的词。（3分）

（）的霜花（）地赞叹（）的气氛

（）的生活（）的春联（）的雾凇

2．把下列词语补充完整。（6分）

国（）民（）抑（）（）挫（）（）兴旺

开（）有益万马（）（）人（）年（）

3．照样子写词语。（9分）

欣欣向荣（AABC式）___________________________________________________

万紫千红（含有“万、千”的成语）_____________ ______________ ____ ________

张灯结彩（描写喜庆气氛的成语）______________ _______________ ______________

三、选词填空。（7分）

慢慢地轻轻地渐渐地

①我来到爸爸住的病房，（）敲了敲门，得到医生的允许后才走了进去。

②月季花（）长高了，有一天终于含苞欲放了。

③小火车（）停了下来，乘客陆陆续续走了出来。

观赏欣赏赞赏玩赏

四（1）中队“雏鹰起飞”展示会开始了。来自兄弟班级的同学代表和老师济济一堂，有的（）着墙上的书画、小报作品，有的（）着同学们亲手制作的飞机、轮船、汽车模型，最后，大家还（）了同学们表演的文艺节目。这次活动给大家留下了深刻的印象，赢得了大家的（）。

四、修改病句。（6分）

1．我们要经常锻炼身体，增加体质。

__________________________________________________________________

2．墨似的乌云和瓢泼似的大雨从空中倾泻下来。

_____________________________________________________________________________

3．下课铃响了，争先恐后的同学们来到操场上活动。

_____________________________________________________________________________

五、按课文内容填空。（11分）

1．绿柳舒眉辞旧岁，_____________________________。（1分）

2．_____________________________，依然十里杏花红。（1分）

3．三九严寒，______________。松花江畔的_________________，_______________的霜花缀满了枝头，在阳光照耀下，_______________，_________________。这就是_____________________的吉林雾凇奇观。（3分）

4．《元日》这首诗是_____代诗人________写的。诗中描写了_______________的节日气氛，我会写其中的两句：___________________ ，___________________。（4分）

5．写出能够描写吉林雾凇的诗句_________________，_______________。（2分）

六、把下面四幅春联用直线连起来。（4分）

一年四季春光在春夏秋冬四季平安

春回大地处处花明柳绿桃符万户更新

东南西北八方吉庆百福千祥幸福来

爆竹一声辞旧福至人间家家语笑歌欢

七、阅读短文，完成练习。（14）

松坊溪的冬天

下雪了。

雪降落在松坊村上了。

雪降落在松坊溪上了。

像柳絮(xùxì)一般的雪，像芦花一般的雪，像蒲公英的带绒毛的种子一般的雪，在风中飞舞。溪中的大溪石和小溪石上都覆（fùfú）盖着白雪了。好像有一群白色的小牛，在溪中饮水；好像有两只白色的狮睡在雪地里；好像有几只白色的熊，正准备从溪中冒雪走上溪岸。

雪止了。

早晨，村子的屋顶上，稻草垛和篱笆上，拖拉机站的大棚上，都披着白雪。山上的松树和竹林子都披着雪那高高的枫树和野柿树的树干树枝上都披着白雪

远山披着白雪。石桥披着白雪。溪石披着白雪。好一个白雪世界！从石桥上走过来时，我停住了。我听见桥下的溪水淙淙（cónɡzōnɡ ）地流着。我看见桥下溪中的白雪世界，有一群彩色的溪鱼，穿过桥洞，正在游来游去。

忽地，我看见那成群游行的彩色溪鱼，又一下子都散开了，向溪石洞隙间游去，都看不见了。忽地，彩色的溪鱼又都游出来了，又集合起来。我看见一群又一群彩色的溪鱼，穿过一个映（yìnyìnɡ）照在水中间的、明亮的白雪世界，向前游过去了。

1．给文中加点字选择正确的读音,用“——”划出来。（2分）

2．“雪降落在松坊村上。雪降落在松坊溪上。”是不是排比句？在正确的括号里打“ ”。（2分）

是（）不是（）

3．在文中找出两个比喻句，用“——”标出。并说明把什么比成了什么？（4分）

①________________________________________________________

②________________________________________________________

4．为第6自然段加上标点。（2分）

5．文中加下划线的句子“好一个白雪世界！”是一个______句。这句话作者是在_________________________________________ 的情况下说出的，表达了作者当时_____________的心情。这句话应该读出____________的语气。（4分）

八、习作。（30分）

因为有爱，所以感动；因为感动，懂得了感恩。亲爱的同学，你生活中曾有过这样的感动吗？如果你曾感动于一个微笑、一个眼神、一声祝福、一句劝勉，如果你曾经感动于一抹曙光、一片绿叶、一颗露珠、一泓清泉，那么请拿起你的笔，去记录你的情感历程，用你的智慧，去品味多彩的生活，用一颗感恩的心，去感谢生活中的美。请以“感恩”为话题写一篇400字的作文。

要求：①表达要有真情实感。②文体不限(诗歌除外)，题目自拟。

“四年级（上）第七的单元综合学习能力自测”参考答案及评分标准

一、看拼音，写词语。

雾凇摄氏凝结欣欣向荣告辞歌颂增添情不自禁（一字0．5分）

二、按要求写词语。

1．略（一空0．5分）

2．国（泰）民（安）抑（扬）（顿）挫(六)(畜)兴旺

开（卷）有益万马（奔）（腾）人（寿）年（丰）（一词1分）

3．略（一空1分）

三、选词填空。

1．轻轻地渐渐地慢慢地

2．观赏玩赏欣赏赞赏（一空1分）

四、修改病句。

1．“增加”改为“增强”（2分）

2．删去“墨似的乌云”（2分）

3．“争先恐后的同学们”改为“同学们争先恐后地”。（2分）

五、按课文内容填空。

1．红桃开口贺新年（1分）

2．又是一年芳草绿（1分）

3．大地冰封十里长堤上洁白晶莹银光闪闪美丽动人闻名全国（一空0．5分）

4．宋王安石欢天喜地、热热闹闹千户万户曈曈日，总把新桃换旧符（前两空一空0.5分，后面各1分）

5．忽如一夜春风来千树万树梨花开（一空1分）

六、把下面四幅春联用直线连起来，再选自己喜欢的一幅写在下面横线上。

略（一个1分）

七、阅读短文，回答问题。

1. xùfùcónɡyìnɡ（一空0.5分）

2. 不是（一空2分）

3. 像柳絮一般的雪，像芦花一般的雪，像蒲公英的带绒毛的种子一般的雪，在风中飞舞。把雪比做柳絮；芦花；蒲公英带羽毛的种子。

好像有一群白色的小牛，在溪中饮水；好像有两只白色的狮睡在雪地里；好像有几只白色的熊，正准备从溪中冒雪走上溪岸。把雪比做小牛；狮子；熊（一空2分）

4. ，；、，。（一空0.5分）

5. 感叹句雪止后看到到处都覆盖着白雪的景色激动感叹感慨（一空1分）

八、作文（30分）

一类文（26——30分）：围绕一个中心，内容完整，命题恰当，语句连贯，标点符号正确。

二类文（20——25分）：基本围绕一个中心，内容相对完整，命题恰当，语句较通顺，标点符号基本正确。

三类文（19分下）：中心内容不够突出，命题不够恰当，语句不通顺，标点符号运用不正确。如出现只写题目不写内容只得4分。

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