初一数学规律题练习题

初一数学规律题练习题（精选5篇）

初一数学规律题练习题篇1

1姓名

1、如图1，AB∥CD，且∠BAP=60°-α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°-α，则α=()

A、10°B、15°C、20°D、30°ABβ EBP CD

D CD

图1图2图

32、如图2，AB//CD，且A25，C45，则E的度数是（）

A.60B.70C.110D.803、如图3，已知AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系为（）

（A）α+β+γ=1800（B）α—β+γ=1800（C）α+β—γ=1800（D）α+β+γ=36004、如图所示，AB∥ED，∠B＝48°,∠D＝42°, 证明：BC⊥CD。（选择一种辅助线）

5、如图，若AB∥CD，猜想∠A、∠E、∠D之间的关系，并证明之。

E DC6、如图，AB∥CD，∠BEF＝85°，求∠ABE＋∠EFC+∠FCD的度数。

AB E F D7、如图，∠ABC＋∠ACB＝110°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,EF过点O与BC平行，求∠BOC。

OF

8、如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，求∠α。

1DE9、已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.BA

C10、.如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？ CD

AB11、如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，求∠PAG的度数。_ D _ E

_ B

初一数学规律题练习题篇2

一、探索条件型

这种类型的试题是给定结论来探求能得出结论的条件,能得出结论的条件又未必唯一.在解这类题时,要对结论、图形进行归纳、分类,利用有关的性质和定理进行推理、计算.解答这类问题的一般思路和方法是从所给的结论出发,运用“分析法”逆推上去,设想出合乎要求的条件,逐一筛选,从而找出满足结论成立的适当的条件,并用“综合法”加以证明.

[例1]如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题:

(1)如果AB=AC,∠BAC=90°.

①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为______,数量关系为______.

②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?

(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动.试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?画出相应图形,并说明理由.(画图不写作法)

(3)若,BC=3,在(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值.

解:(1)①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等;

②结论仍成立.(证略)

(2)当∠BCA=45°时,CF丄BD(证略).

(3)(证略)当具备∠BCA=45°时

∵0

[评析]本题是一道典型的探索条件的代数与几何相结合的综合题.利用全等知识较容易求出问题(1),在(1)中已有的结论下进行问题(2)中条件的探索,利用问题(1)中留下的线索,运用“分析法”逆推上去,设想当∠BCA=45°时满足题意,再用“综合法”加以证明,后面的问题就迎刃而解.

二、探索结论型

试题的题设中给出明确的条件,需要判断猜想相应的结论;或变换某个题设条件后,去探索对结论的影响.解这类问题,要根据条件,从多角度进行分析、猜想,特别注意的是,准确的图形能提高猜想的准确性,解题一般思路和方法是从所给的条件(包括图形特征)出发,进行推断、论证、探索、归纳、猜想出结论并加以论证,或者分不同情况加以讨论后作出结论.

[例2]如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,∠M=∠B,M是正方形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E.

(1)求证:ME=MF.

(2)如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”,其他条件不变,探索线段ME与线段MF的关系,并加以证明.

(3)如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”,且AB=mBC,其他条件不变,探索线段ME与线段MF的关系,并说明理由.

(4)根据前面的探索和图4,你能否将本题推广到一般的平行四边形情况?若能,写出推广命题;若不能,请说明理由.

证明:(1)(略)

(2)ME=MF.证明:(略)

(3)ME=mMF.证明:(略)

(4)平行四边形ABCD和平行四边形QMnP中,∠M=∠B,AB=mBD,M是平行四边形ABCD的对称中心,Mn交AB于F,AD交QM于E.则ME=mMF.

[评析]此题是一道结论探索题.此类问题一般先设置一个让学生容易探索的问题情景,在获得结论之后,再创设一个题设变化、图形变化的问题情景,进一步探究问题对结论的影响.解决此类问题应对原命题的结构特征、辅助线的作法、解题的思维策略精心研究,然后在变化的几何图形中进一步审视原来辅助线的添加、证明思路能否迁移,抓住其中的“不变因素”,利用类比的方法,才能以“不变”应“万变”.

三、探索规律型

规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例,通过观察、类比、归纳、揭示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题.虽然探索的规律有其特殊性,但是探索规律的过程和思路却具有一般性:要么特殊探路,要么逆推分析,要么数形结合,要么分类讨论,要么进行转化(可以化为函数问题或方程问题),只要掌握了其中的规律,看起来再难的问题也会迎刃而解.解决规律探究问题的一般步骤是:通过对所给的结论进行全面细致的观察、分析、比较,从中发现其变化规律,并由此猜想出一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以应用.

[例3]如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),……Pn(xn,yn)在函数的图像上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,……△PnAn-1An都是等腰直角三角形,斜边OA1、A1A2、A2A3，……An-1An都在x轴上.

(1)求P1的坐标;

(2)求y1+y2+y3+……+y10的值.

解:(1)(略)P1(2,2)。

(2)(略)

[评析]本题以反比例函数为背景,主要考查了等腰三角形性质、一元二次方程知识,把代数和几何融为一体.较好地将“代数式规律探索”和“图形规律探索”结合在一起.全面考查学生的创新意识、实践能力和规律探究能力,以及数学推理能力.

四、探索存在性型

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题.存在性问题可分为:①点、②线(直线)、③面(特殊三角形、特殊四边形等)、④相等、平行、垂直、相似、比例关系的存在等.

探索存在性时,常常遵循从特殊(特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等)到一般的规律,可采用“假设检验法”,即假设存在→推理论证→得出结论.先对结论作出肯定的假设,然后由肯定假设出发,结合已知条件或挖掘出隐含条件,辅以方程思想等,进行正确的计算、推理,再对得出的结果进行分析检验,判断是否与题设、公理、定理等吻合.若无矛盾,说明假设正确,由此得出符合条件的数学对象存在;否则,说明不存在.

[例4]如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)若点M是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标.

解:(1)(略)抛物线的解析式为y=-x2+2x+3

(2)存在.(略)

符合条件的点P坐标为或(2,3).

(3)由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾股定理,

得,

∴CB2+CD2=BD2=20,

∴∠BCD=90°,设对称轴交x轴于点E,过C作CM丄DE,交抛物线于点M,垂足为F,在Rt△DCF中,∵CF=DF=1,∴∠CDF=45°,

由抛物线对称性可知,∠CDM=2×45°=90°,点M坐标为(2,3),

∴DM∥BC,∴四边形BCDM为直角梯形,由∠BCD=90°及题意可知,

以BC为一底时,顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;

以CD为一底或以BD为一底,且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在.

综上所述,符合条件的点M的坐标为(2,3).

[评析]本题以二次函数为载体,考查等腰三角形、直角梯形、勾股定理等相关知识.用待定系数法确定二次函数的解析式,将代数和几何融为一体,充分运用函数与方程思想、分类讨论思想、转化思想解题.较好考察了学生对所学知识能否灵活运用,以及分析问题、解决问题的能力.

初一数学证明题篇3

初一数学证明题

证明:∵AC‖DF, ∴∠A+ADF=180°(两直线平行,同旁内角互补)又∵∠A=∠1,∴∠1+∠ADF=180°, ∴CF‖AE,(同旁内角互补,两直线平行) 又∵∠3=∠4,∴CB‖EF ∴四边形CFEB是平行四边形,∴∠E=∠2.

因为ac平行df

角a=角fde

因为角1=角a

所以角1=角fde

所以cf平行于de

因为角3=角4

所以cb平行于ef

所以cbef为平行四边形

所以角e=角2

∵AC‖DF

∴∠A=∠FDE

∴∠1=∠FDE

∴BE||CF

∵∠3=∠4

∴BC||EF

∴BEFC是平行四边形

∴∠E=∠2.

∵∠A=∠1,∴CF‖AD

∵∠3=∠ 4,∴BC‖EF

∵CF‖AD,BC‖EF

∴四边形BCFE是平行四边形

∴∠E=∠2

.已知在三角形ABC中，BE,CF分别是角平分线，D是EF中点，若D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z，求证：x=y+z

证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点.

过F点分别作AC,BC上的高交于P,Q点.

根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=FP,EM=EN.

过D点做BC上的高交BC于O点.

过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J点.

则X=DO,Y=HY,Z=DJ.

因为D 是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD

同理可证FP=2DJ。

又因为FQ=FP,EM=EN.

FQ=2DJ，EN=2HD。

又因为角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四边形FQNE是直角梯形，而D是中点，所以2DO=FQ+EN

又因为

FQ=2DJ，EN=2HD。所以DO=HD+JD。

因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。

2.在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的.点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由。

当∠BON=108°时。BM=CN还成立

证明;如图5连结BD、CE.

在△BCI)和△CDE中

∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE

∴ΔBCD≌ ΔCDE

∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN

∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN

∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°

∴∠MBC=∠NCD

又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN

∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN

3.三角形ABC中，AB=AC,角A=58°，AB的垂直平分线交AC与N，则角NBC=( )

3°

因为AB=AC，∠A=58°，所以∠B=61°，∠C=61°。

因为AB的垂直平分线交AC于N，设交AB于点D，一个角相等，两个边相等。所以，Rt△ADN全等于Rt△BDN

所以 ∠NBD=58°，所以∠NBC=61°-58°=3°

4.在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点。且角PAQ=45°，求证：PQ=PB+DQ

延长CB到M，使BM=DQ，连接MA

∵MB=DQ AB=AD ∠ABM=∠D=RT∠

∴三角形AMB≌三角形AQD

∴AM=AQ ∠MAB=∠DAQ

∴∠MAP=∠MAB+∠PAB=45度=∠PAQ

∵∠MAP=∠PAQ

AM=AQ AP为公共边

∴三角形AMP≌三角形AQP

∴MP=PQ

∴MB+PB=PQ

∴PQ=PB+DQ

5.正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=BN,BP⊥MC于点P,求证DP⊥NP

∵直角△BMP∽△CBP

∴PB/PC=MB/BC

∵MB=BN

正方形BC=DC

∴PB/PC=BN/CD

∵∠PBC=∠PCD

∴△PBN∽△PCD

∴∠BPN=∠CPD

∵BP⊥MC

∴∠BPN+∠NPC=90°

∴∠CPD+∠NPC=90°

初一数学同步练习题篇4

关于初一数学同步练习题

在初一这个过渡的时期，总是有同学面对新问题准备的不好，掉下队来，同时，也有些同学方法得当，后来居上。为什么会这样呢?在这里，编辑了初一数学同步练习，以备借鉴。

一、选择题(共30分，每题2分。)

1.-9的相反数是

A.B.C.-9D.9

2.下面计算正确的是()

A.-22=4B.(-)3=-C.D.

3.若，且，则()

A.、都为正数B.、都为负数

C.、一个为正数，一个为负数D.、中有一个为0

4.若，则下列式子错误的是

A.B.

C.D.

5.已知∠1=17°18′,∠2=17.18°,∠3=17.3°,下列说法正确的是()

A.∠1=∠2B.∠1=∠3C.∠1<∠2d.∠2>∠3

6.关于的.方程的解是=3，则的值为()

A.4B.4C.5D.-5

7、关于单项式-的说法中，正确的是()

A、系数是，次数是2B、系数是-，次数是2

C、系数是，次数是3D、系数是-，次数是3

8.一个多项式减去等于，则这个多项式是

A.B.C.D.

9.将方程去分母，得()

A.B.

C.D.

10.已知和是同类项，则m的值是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

11.下列合并同类项中，正确的是()

A.B.C.D.

12.利用一副三角板，不能画出的角是()

A.15°B.135°C.75°D.100°

13.右图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，从右边看得到的平面图形是()

14.将下面的直角梯形绕直线l旋转一周，可以得到右边立体图形的是().

15.某项工程，甲单独做30天完成，乙单独做40天完成，若乙先单独做15天，剩下的由甲完成，问甲、乙一共用几天完成工程?若设甲、乙共用天完成，则符合题意的是()

A.B.

C.D.

二、填空题(共20分，每题2分。)

1.比较大小：-2________-3

2.的倒数是______________

3.计算：=___________。

4.方程2x=3x-4的解是x=________;

5.地球上的陆地面积约为149000000平方千米，这个数字用科学记数法表示应

为;

6.如图，在线段AB上有两点C、D，AB=28cm，AC=4cm，点D是BC的中点，则线段

AD= cm;

7.如果，则的值是______________;

8.已知点B在线段AC上，AB=8cm，AC=18cm，P、Q分别是AB、AC中点，则PQ=______。

9.如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=130°，则∠BOC=____________.

10.如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若

∠AOC=28°，则∠BOE=°

(第9题)(第10题)

三、计算题(共24分，每题6分。)

1.2.

四(共8分).先化简，再求值：，其中

五解下列方程(共24分，每题6分。)

六.应用题(共14分，第1题6分，第2题8分。)

1.若干学生若干房，如果每间住了3人，则有4人没处住，如果每间住4人，则前面房间住满后空出2间房，问有多少房间?多少学生?

2.甲、乙两站路程为360km,一列慢车从甲站开出，每小时行48km，一列快车从乙站开出，每小时行72km.(1)两车同时开出，相向而行，多少小时相遇?

(2)若慢车先开出20分钟，快车再出发，两车同向而行，快车多少时间追上慢车?

七、(附加题，10分)如图C、D、E将线段AB分成1：2：3：4四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN=15cm,求PQ的长.

巧用数学规律妙解物理习题篇5

物理学的发展离不开数学, 描述物理规律、解决物理问题都要运用数学思想方法与数学规律.高考能力要求也特别提出了要会运用数学思想与数学规律解决物理问题.下面笔者举例进行分析, 供同学们复习时参考.

1.巧用“几何”规律

利用几何方法解物理习题时, 常用到的是对称的性质、“两点间以直线距离为最短”的几何公理、三角形中斜边大于直角边以及两三角形全等、相似等相关知识.

例1.如图1所示, 轻绳的A端固定在天花板上, B端系一重为G的小球, 小球静止在固定的大球表面上.已知AB绳长度为L, 大球半径为R, 天花板到大球顶点的竖直距离AC=d, ∠ABO>90°, 求绳中张力和大球对小球的支持力 (小球直径不计) .

解析:小球B的受力情况如图2所示, 利用力的矢量三角形定则, 平移矢量N、G如图3所示, 则由几何知识可知△AOB∽△acb.这样, 就可以利用三角形相似求出未知力.

依三角形相似比有 $\frac{Τ}{L} = \frac{G}{d + R} = \frac{Ν}{R}$ ,

解得: $Τ = \frac{L}{d + R} G, Ν = \frac{R}{d + R} G .$

有趣的是, 如果缩短L, 当小球在大球表面向上移动的过程中, 弹力N不变.

2.巧用“比例”法

在物理习题中如有大量的公式推算或进行符号运算时, 常常把所求物理量通过比例换算用其他物理量表示出来, 再进行求解, 可使问题简化.

例2.一筒内贮有压强为40atm、温度为47℃的氧气1kg, 如果使用一段时间后压强和温度分别降为30atm、27℃, 问用去了多少氧气?

解析:根据克拉珀龙方程 $p V = \frac{m}{Μ} R Τ$ 知, 相同体积的同种气体, 其质量与压强成正比, 与开氏温度成反比, 即

所以 $Δ m = \frac{p Τ^{'} - p^{'} Τ}{p Τ^{'}} m = 0.2$ kg.

此法较之运用克拉珀龙方程求出该筒容积和氧气剩余量后, 再求耗氧量的方法要简单得多.

3.巧用“配方”法

利用配方求极值是数学运算中常用的技巧之一, 即将函数式中的自变量进行配方整理, 化成与一常量差的平方, 只要使自变量等于该常量, 便能得到函数极值.

例3.已知电源输出电压恒为U, 从电源到用电区的两根导线的电阻均为r, 如图4所示.问在用电区并联阻值均为R的电灯泡多少盏时, 所有灯泡消耗的总功率最大?最大总功率为多少? (用电区内的导线电阻不计)

解析:由于导线电阻的存在, 灯泡的总功率并非一直随灯泡数的增多而增大.设并联n盏灯时, 所有的灯泡、导线和电路的功率分别为PL、Pr和P, 则有

$Ρ_{L} = Ρ - Ρ_{r}, Ρ = \frac{U^{2}}{2 r + \frac{R}{n}}, Ρ_{r} = \frac{2 r U^{2}}{(2 r + \frac{R}{n})^{2}}$

3个方程中有4个未知量, 联立以上三式并整理得

$Ρ_{L} = \frac{n R U^{2}}{(2 n r + R)^{2}} = \frac{R U^{2}}{(2 \sqrt[]{n} r - \frac{R}{\sqrt{n}})^{2} + 8 r R}$

显然, 当 $2 \sqrt[]{n} r - \frac{R}{\sqrt{n}} = 0$ , 即 $n = \frac{R}{2 r}$ 时, 灯泡的总功率最大, 且 $Ρ_{\max} = \frac{U^{2}}{8 r} .$

4.巧用“判别式”

一元二次方程ax2+bx+c=0, 若方程有实数解, 则判别式Δ=b2-4ac≥0;若方程无实数解, 则Δ<0.求解方程数少于未知量个数的物理极值问题时, 如方程经过联立整理后是关于某一未知量的二次方程, 则可根据该物理量是否存在实数解, 利用判别式应满足的条件, 列出一个新的关系式, 从而求解物理问题.

例4.在光滑的水平轨道上, 有两个半径都是r的小球A、B, 质量分别为m、2m, 当两球心间的距离大于L (L比2r大得多) 时, 两球间无相互作用力;当两球心间的距离等于或小于L时, 两球间存在恒定的相互作用斥力F.设球A从远离球B处以速度v0沿两个球连心线向原来静止的球B运动, 如图5所示, 欲使两个球不发生接触, v0必须满足什么条件?

解析:设从两球心相距为L开始, 经过时间t后, 两球A、B的位移分别为s1、s2, 则

$s_{1} = v_{0} t - \frac{F}{2 m} t^{2}, s_{2} = \frac{F}{4 m} t^{2}$

若两球刚好接触, 有:s1-s2=L-2r

3个方程中有四个未知量, 由上面各式可整理成关于t的一元二次方程, 即

$\frac{3 F}{4 m} t^{2} - v_{0} t + (L - 2 r) = 0$

要两球不发生接触, 则t无实数解, 有Δ<0, 即

$(- v_{0})^{2} - 4 \times \frac{3 F}{4 m} (L - 2 r) < 0$

得 $v_{0} < \sqrt{\frac{3 F (L - 2 r)}{m}} .$

5.巧用“不等式”

当x1=x2=……=xn>0时, 根据不等式的性质, 有

$x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} \geq n \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \dots x_{n}}$

对于求极值的物理问题, 若最后得出的式子中含有无法消去的未知量, 可考虑利用不等式的上述性质, 变求和式为求积式, 或变求积式为求和式确定某物理量的大小范围.

例5.一质量为m的粒子与另一质量为M的静止粒子发生正碰, 碰撞前后, 两粒子所组成的系统的动能损失了E.问粒子m碰撞前后的最小速度v0是多大?

解析:设碰撞后两粒子m、M的速度分别为v1、v2, 则有

$m v_{0} = m v_{1} + Μ v_{2} ‚ \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} Μ v_{2}^{2} + E$

两个方程中3个未知量 (v0、v1、v2) , 由以上两式消去v1, 可得

$v_{0} = \frac{(m + Μ)}{2 m} v_{2} + \frac{E}{Μ v_{2}} \geq 2 \sqrt[]{\frac{(m + Μ) E}{2 Μ m}}$

即粒子m碰撞前的最小速度

$v_{\min} = \sqrt{\frac{2 (Μ + m) E}{Μ m}} .$

6.巧用“降元”法

“方程数少于未知数数目, 该题不可解”.此数学观念指无法求得所有未知数, 并不排斥能求出一个或几个未知数.物理习题求解有时列方程数虽多, 但往往只求一个或几个量, 能够通过适当数学方法解决.“降元法”是把几个量的组合看做一个新物理量, 从而减少了未知量的数目, 使方程数和未知量数目相等, 即可求解.

例6.如图6所示电路, 灯泡的额定电压U0和电池的电动势相等, 灯泡A的额定功率为392W, 实际功率为324W, 当与灯泡A再并联一只同样的灯泡B时, 电池的输出功率是多大?

解析:设灯泡电阻为R, 额定功率为P0;电路中含有一只灯泡时, 路端电压为U1、电源输出功率为P1;电路中并联两只灯泡时, 路端电压为U2, 电源输出功率为P2;电源内阻为r, 则R=U $_{0}^{2}$ /P0, 由U0=E, 可得

$\begin{array}{l} Ρ_{1} = \frac{U_{1}^{2}}{R} = (\frac{U_{1}}{U_{0}})^{2} Ρ_{0} = (\frac{R}{R + r})^{2} Ρ_{0} \\ Ρ_{2} = 2 \frac{U_{2}^{2}}{R} = 2 (\frac{U_{2}}{U_{0}})^{2} Ρ_{0} = 2 (\frac{R}{R + 2 r})^{2} Ρ_{0} \end{array}$

上述两个式子有3个未知量R、r、P2, 做降元处理, 令k=r/R, 则有

$Ρ_{1} = (\frac{1}{1 + k})^{2} Ρ_{0}, Ρ_{2} = 2 (\frac{1}{1 + 2 k})^{2} Ρ_{0}$

这样, 方程数和未知量数目相同, 解之得

P2=544.5W.

7.巧用“三角函数”

在很多物理题中, 由于物体受力方向、运动方向等的变化常用角变量来表示, 其过程中的物理量的大小变化与角变量的三角函数有关, 可以利用三角函数的性质及其值范围进行求解.

例7.如图7所示, 固定斜面AB的倾角为α, 在点A的正上方高度为h的P处, 一小物体沿光滑直轨道由静止开始下滑, 为使物体在最短时间内到达斜面, 轨道与竖直方向的夹角应为多大?物体下滑的最短时间为多少?

解析:设轨道PC长为s, 与竖直方向的夹角为θ, 物体下滑的加速度为a, 作PD⊥AB, 则

$∠ A Ρ D = α ‚ \bar{Ρ D} = h \cos α$

由图可知

$a = g \cos θ, s = \frac{h c o s α}{\cos (α - θ)}, s = \frac{1}{2} a t^{2},$

3个方程中有θ、a、s、t四个未知量, 将以上各式联立求解, 得

$t = \sqrt{\frac{2 h c o s α}{g c o s θ \cos (α - θ)}} = \sqrt{\frac{4 h c o s α}{g [\cos α + \cos (2 θ - α)]}}$

显然当2θ-α=0, 即 $θ = \frac{α}{2} ‚ t$ 有极小值, 即

$t_{\min} = 2 \sqrt[]{\frac{2 \cos α}{g (\cos α + 1)}} .$

8.巧用“数形结合”思想

高中物理中一些比较抽象的习题较难求解, 若能与数学图形相结合, 恰当地引入物理图象, 则可变抽象为形象、化抽象为直观, 便于突破难点、疑点, 解题过程将大大简化, 计算可快速便捷.

例8.从地面上以初速2v0竖直上抛物体A, 相隔Δt时间后再以初速v0竖直上抛物体B, 要使A、B在空中相遇, Δt应满足什么条件?

解析:如按通常情况, 可依题意用运动学知识列方程求解, 这是比较麻烦的.如换换思路, 依据 $x = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ 作“x-t”图象, 则可使解题过程大大简化, 如图8所示, 显然, 两条图线的相交点表示A、B相遇, 交点横坐标对应相遇时刻, 纵坐标对应位移xA=xB.由图象可直接看出Δt满足关系式 $\frac{2 v_{0}}{g} ＜ Δ t ＜ \frac{4 v_{0}}{g}$ 时, A、B可在空中相遇.

9.巧用“归纳”思想

当问题中涉及相互联系的物体或过程较多, 相互作用或过程具有一定的重复性并且有规律时, 应根据题目特点将所研究的问题归类, 然后求出通式, 这就是数学归纳思想的应用, 我们把它称为递推法.具体方法是先分析某一次作用的情况, 得出结论;再根据多次作用的重复性和它们的共同点, 把结论推广, 然后结合数学知识求解, 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.

例9.请用严密的逻辑阐述:初速度为零的匀加速直线运动, 从运动开始计时起, 连续相等的时间间隔内通过的位移之比等于从1开始的连续奇数比.

解析:本题可采用数学归纳法予以证明.设时间间隔为t, 加速度为a, 从运动开始在连续的每个t时间内的位移分别为sⅠ、sⅡ、sⅢ…则需证明:

$\begin{array}{l} (1) 当 Ν = 2 时 ‚ s_{Ⅰ} = \frac{1}{2} a t^{2} ‚ s_{Ⅱ} = \frac{1}{2} a (2 t)^{2} - \frac{1}{2} a t^{2} = \frac{3}{2} a t^{2} = 3 s_{Ⅰ} \\ s_{Ⅰ} ∶ s_{Ⅱ} = 1 ∶ 3 ‚ 原式成立 . \end{array}$