几何迭代法及其应用（精选8篇）
反例函数中k的几何意义及其应用
过反比例函数y=k/x(k≠0)的图像上任取一点P,过点P分别作x轴和y轴的垂线PM、PN,则矩形PMON的`面积S=PM・PN,|y|・|x|=|xy|,由y=k/x可得xy=k,故S=|k|.
作 者：刘相书 作者单位：清镇市第三中学 刊 名：初中生辅导 英文刊名：ASSIST AND GUIDE FOR JUNIOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS 年，卷(期)： “”(11) 分类号： 关键词：一、课标要求
1.了解随机数的意义, 能运用模拟方法 (包括计算器产生随机数来进行模拟) 估计概率, 初步体会几何概型的意义;
2.通过阅读材料, 了解人类认识随机现象的过程.
二、命题走向
近几年的高考对概率要求降低, 但本讲内容是新加内容, 考试涉及的可能性较大.
预测2011年高考: (1) 题目类型多以选择题、填空题形式出现. (2) 考试的重点内容为几何概型的求值问题, 我们要善于将实际问题转化为概率模型处理.
三、要点精讲
1.随机数的概念
随机数是在一定范围内随机产生的数, 并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.
2.随机数的产生方法
(1) 利用函数计算器可以得到0～1之间的随机数;
(2) 在Scilab语言中, 应用不同的函数可产生0～1或a～b之间的随机数.
3.几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积) 成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型.
4.几何概型的概率公式:
或, 一般地, 在几何区域D中随机地取一点, 记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A, 则事件A发生的概率为:
5.几种常见的几何概型
(1) 设线段l是线段L的一部分, 向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段l的长度成正比, 而与线段l在线段L上的相对位置无关, 则点落在线段l上的概率为:P=l的长度/L的长度.
(2) 设平面区域g是平面区域G的一部分, 向区域G上任投一点, 若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比, 而与区域g在区域G上的相对位置无关, 则点落在区域g上概率为:P=g的面积/G的面积.
(3) 设空间区域上v是空间区域V的一部分, 向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比, 而与区域v在区域V上的相对位置无关, 则点落在区域v上的概率为:P=v的体积/V的体积.
四、典例解析
1.线长问题
例1 (2009年山东卷) 在区间[-1, 1]上随机取一个数x, cos的值介于0到之间的概率为 ()
例2 (2009辽宁卷文) ABCD为长方形, AB=2, BC=1, O为AB的中点, 在长方形ABCD内随机取一点, 取到的点到O的距离大于1的概率为 ()
解析:长方形面积为2, 以O为圆心, 1为半径作圆, 在矩形内部的部分 (半圆) 面积为, 因此取到的点到O的距离小于1的概率为.取到的点到O的距离大于1的概率为, 选 (B) .
例3假设车站每隔10分钟发一班车, 随机到达车站, 问等车时间不超过3分钟的概率?
解:以两班车出发间隔 (0, 10) 区间作为样本空间S, 乘客随机地到达, 即在这个长度是10的区间里任何一个点都是等可能地发生, 因此是几何概率问题.
要使得等车的时间不超过3分钟, 即到达的时刻应该是图中A包含的样本点,
例4如图2, 在等腰三角形ABC中, ∠B=∠C=30°, 求下列事件的概率
(1) 在底边BC上任取一点P, 使BP
(2) 在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于P, 使BP
解: (1) 因为点P随机地落在线段BC上, 故线段BC为区域D, 以B为圆心, BA为半径交弧BC于M, 让“在底边BC上任取一点P, 使BP
(2) 作射线AP在∠BAC内是等可能分布的, 在BC上取一点M, 使∠AMP=75°, 则BM=BA.让“在∠BAC的内部作射线AP交线段BC于P使BP
说明:本题第一问中的事件的“测度”是长度, 第二问中事件的“测度”是角度, 因此就造成了背景相同而概率不同这样的结局.
2.面积问题
例5 (2008江苏卷) 如图3, 在平面直角坐标系xOy中, 设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域, E是到原点的距离不大于1的点构成的区域, 向D中随机投一点, 则所投点在E中的概率是________.
解析:本小题考查古典概型, 其概率应为几何图形的面积比.如图:区域D表示边长为4的正方形的内部 (含边界) , 区域E表示单位圆及其内部, 因此
评注:在解决几何概型问题时, 要弄清整个事件的区域长度 (面积或体积) , 以及所研究事件的区域长度 (面积或体积) , 特别是平面几何图形的构成常常是考查的焦点, 有可能与定积分相联系.
例6 (2007宁夏卷) 设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(Ⅰ) 若a是从0, 1, 2, 3四个数中任取的一个数, b是从0, 1, 2三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.
(Ⅱ) 若a是从区间[0, 3]任取的一个数, b是从区间[0, 2]任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.
分析:一元二次方程有实根的条件为Δ≥04a2-4b2≥0, 即a≥b.题 (Ⅰ) 可用列举法列出所有的基本事件, 找出符合条件a≥b的基本事件.题 (Ⅱ) 就是几何概型.可作出试验的总区域, 和符合条件的区域, 应该是把a, b看作有序数对 (a, b) 对于平面上的点, 可画出平面区域解答.
解:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a>0, b>0时, 方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.
(Ⅰ) 基本事件共12个: (0, 0) , (0, 1) , (0, 2) , (1, 0) (1, 1) , (1, 2) , (2, 0) (2, 1) , (2, 2) , (3, 0) (3, 1) , (3, 2) .其中第一个数表示a的取值, 第二个数表示b的取值.
事件A中包含9个基本事件, 事件A发生的概率为
(Ⅱ) 如图4, 试验的全部结果所构成的区域为{ (a, b) |0≤a≤3, 0≤b≤2}.构成事件A的区域为{ (a, b) |0≤a≤3, 0≤b≤2, a≥b}.
所以所求的概率为
评注:本题容纳了古典概型和几何概型的解法, 要善于区分提炼, 并进行转化, 把数组 (a, b) 看成平面内的点即可转化为平面区域问题用面积解答.
3.体积问题
例7 (2010福建卷, 理18) 如图5, 圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1, 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形, 且AB是圆O的直径.
(Ⅰ) 证明:平面A1ACC1⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ) 设AB=AA1.在圆柱OO1内随机选取一点, 记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为p.
(i) 当点C在圆周上运动时, 求p的最大值;
(ii) 记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ (0°<θ<90°) .当p取最大值时, 求cosθ的值.
解法1: (Ⅰ) 因为A1A⊥平面ABC, BC平面ABC, 所以A1A⊥BC,
因为AB是圆O的直径, 所以BC⊥AC, 又AC∩A1A=A, 所以BC⊥平面A1ACC1
而BC⊂平面B1BCC1, 所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1.
11 (Ⅱ) (i) 设圆柱的底面半径为r, 则AB=AA1=2r
故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V1=AC·BC·2r=AC·BC·r.
又因为AC2+BC2=AB2=4r2,
所以AC·BC≤=2r2, 当且仅当AC=BC=时等号成立.
从而, V1≤2r3, 而圆柱的体积V=πr2·2r=2πr3, 故p=, 当且仅当AC=BC=, 即OC⊥AB时等号成立.所以, p的最大值等于
(ii) 略.
解法2: (Ⅰ) 同解法1.
(Ⅱ) (i) 设圆柱的底面半径为r, 则AB=AA=2r,
故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V1=AC·BC·2r=AC·BC·r.
设∠BAC=α (0°<α<90°) , 则AC=ABcosα=2rcosα, BC=ABsinα=2rsinα,
由于AC·BC=4r2sinαcosα=2r2sin2α≤2r2, 当且仅当sin2α=1即α=45°时等号成立, 故V1≤2r3.
而圆柱的体积V=πr2·2r=2πr3, 故当且仅当sin2α=1, 即α=45°时等号成立.所以, p的最大值等于
解法3: (Ⅰ) 同解法1.
(Ⅱ) (i) 设圆柱的底面半径为r, 则AB=AA1=2r, 故圆柱的体积V=πr2·2r=2πr3, 因为p=, 所以当V1取得最大值时, p取得最大值.
又因为点C在圆周上运动, 所以当OC⊥AB时, △ABC的面积最大.进而, 三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大, 且其最大值为·2r·r·2r=2r3.
故p的最大值等于
小结:1.几何概型是必修内容, 也是考试大纲上要求的基本内容, 也是近年来新增考察内容之一.
2.有关几何概型的题目难度不大, 但需要准确理解题意, 利用图形分析问题.
3.学好几何概型对于解决后续均匀分布的问题有很大帮助.
一、知识与能力
1.本节课是高三复习课.通过对“导数、平均变化率”的复习，明确探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.
2.利用割线逼近的方法直观定义切线，概括导数的几何意义.
3.通过例题分类解析，让学生学会利用导数的几何意义求曲线的切线问题，加深对导数内涵的理解.在学习过程中感受数形结合、极限思想方法.
二、过程与方法
1.学生通过观察感知、动手探究等方法培养学生的动手和动脑的能力.
2.分类探究和分层练习，各种层次的学生都可以凭借自己的知识能力独立解决问题.
3.学生通过思考探究的3个问题，深化对切线定义的认知，小结形成求切线的步骤.
三、情感、态度与价值观
1.在探究过程中渗透极限思想，体验数形结合思想.
2.采用示范剖析、学生自主实践的方式，让学生理解和掌握基本数学技能、思想方法.
【教学重难点】
重点：理解和掌握切线的定义、导数的几何意义.
难点：体会数形结合、极限思想；利用导数的几何意义求曲线的切线.
【教学方法】分层探究、自主实践.
【教学过程】
一、回顾旧知，引入新课
1.师：平均变化率Δy1Δx=f（x0+Δx）-f（x0）1Δx的几何意义是什么？
生：割线的斜率.
2.函数在x=x0处的导数f′（x0）的定义：
f′（x0）=lim1Δx→0Δy1Δx=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx.
（即Δx→0，平均变化率趋于的确定常数就是该点导数.）
师：那么当Q点无限逼近P点时（Δx→0）即lim1Δx→0Δy1Δx，在图中又表示什么呢？今天我们就一起来探究导数的几何意义及应用.
二、引导探究，获得新知
1.动画演示，得到切线的新定义
已知曲线上点P处的切线PT和割线PQ，动画演示Q点无限逼近P点，即Δx→0，割线PQ的变化趋势.教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系？并体会从割线到切线的变化过程：
k割线=Δy1Δx=f（x0+Δx）-f（x0）1Δx
↓
当 Q点无限逼近P点时，即Δx→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率.
↓
k切线=f′（x0）=lim1Δx→0Δy1Δx=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx
学生观察，得出一般曲线的切线的定义：
曲线上Q点无限逼近P点，即Δx→0，割线PQ趋近于确定的位置PT，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.
2.数形结合，概括导数的几何意义
导数f′（x0）的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率，即k=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx=f′（x0）.
三、分层解析，巩固理解
师：由导数的几何意义，我们可以解决“切点—斜率—切线”知一求二问题，接下来我们重点研究曲线求切线问题.
1.分类解析（四种常见的类型）
题型一：已知切点，求曲线的切线方程.
此类题只需求出曲线的导数得到斜率，并代入点斜式方程即可.
【例1】曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为（）.
A.y=3x-4B.y=-3x+2
C.y=-4x+3D.y=4x-5
答案：B.
题型二：已知斜率，求曲线的切线方程.
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决.
【例2】与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是（）.
A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0
C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0
答案：D.
题型三：已知过曲线上一点，求切线方程.
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法.
【例3】求过曲线y=x3-2x上的点（1，-1）的切线方程.
题型四：已知过曲线外一点，求切线方程.
【变式训练】求函数y=x3-2x过点（0，16）的切线方程.
2.动手实践
【例4】已知曲线f（x）=x2+1.
（1）求曲线在点（2，5）处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，-11）的切线方程.
3.方法总结
曲线y=f（x）“过”点P（x0，y0）与“在”点P（x0，y0）处的切线的区别：
①曲线y=f（x）过点P（x0，y0）的切线，是指切线经过P点，P点可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条；
②曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k=f′（x0），有唯一的一条切线.那么如果切线斜率不存在时，又会怎么样呢？请看思考探究.
四、思考探究，深化理解
1.如果曲线y=f（x）在x0处的导数不存在，那么曲线y=f（x）在x0处还存在切线吗，若存在，是什么？
2.曲线在某一点处的切线只能与曲线有唯一公共点吗？
3.说说曲线的切线定义与初中学习圆的切线定义有什么不同.
五、归纳总结，深化认识
1.知识：
（1）切线的定义；
（2）函数f（x）在x=x0处的导数f′（x0）的几何意义.
2.思想：体会数形结合、极限等思想方法.
3.应用：
（1）“切点—斜率—切线”知一求二；
（2）学生归纳出求切线的一般步骤.
【教学反思】
本节课是高三第一轮的复习课，学生对导数的概念及其几何意义都有了一定的认识，但很多学生由于初学时对知识掌握不牢固或理解不到位，往往知其然，而不知其所以然.因此，本节课从导数概念的复习入手，利用多媒体技术动画展示从割线到切线的形成过程并概括导数的几何意义，既让学生理解了曲线切线的定义，又让学生明确了探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.利用数形结合思想方法让学生理解了割线通过无限逼近的方法，得到割线斜率的极限就是曲线在该点处的切线的斜率，深化了学生对导数几何意义的理解，突出了重点，突破了难点，更体现了新课程背景下对知识发生过程推导所占据的举足轻重的作用.
同时，为了适应高考对解题能力的要求，对导数几何意义的应用做了分类训练，便于学生理清思路，让学生在主动实践中归纳方法，举一反三，提高效率.通过“在”某点处和“过”某点的切线的对比，明确求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在.最后，通过思考探究的3个问题的探讨，进一步深化对切线形成及导数几何意义的理解.
〖教学目标〗
（1）知识与技能：理解掌握向量加法运算，能够运用向量加法三角形法则和平行四边形法则求任意两个向量的和向量；初步尝试用向量方法解决几何问题及实际问题；
（2）过程与方法：经历概念的形式过程，提高数学建设模能力；通过自主探究活动，体验数学发现和创造的过程，提高概括、分析归纳，数学表达等基本数学思维能力；（3）情态与价值：通过师生互动，生生互动的教学活动，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高学习数学的兴趣。形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。
〖教学重点、难点〗
教学重点：理解向量加法的意义，掌握向量加法三角形法则和平行四边形法则； 教学难点：向量加法概念的形成过程；
〖教学方法与教学手段〗 教学方法：启发探究式教学 教学手段：多媒体辅助教学
〖教学过程〗
一、设置情境、尝试探求 1．设置问题情境
今年夏天，我国某些地区洪灾泛滥，某城外有一条东西流向的大河，河两岸高筑堤坝，河宽4km, 水深10km，当时河水流速为4km/h, 有一天，三名巡防队员在巡逻中发现正对岸堤坝有一处决口，情急之下，三人跳上船以8km/h 的速度直向决口处驶去，同学们想一想，如果船不改变方向，他们能否准确、及时到达出事地点？
2、学生自主探究与研讨 学生会直观猜测：不能及时准确及时到达（有了猜测就有探式的欲望）
V船
V
教师引导学生：能否运用你所学的知识进行说明；
V水
学生得出：船的实际速度应是船行驶速度和水的速度的合成。如图
教师小结：速度是一个看矢量，矢量的合成与数量相加不同，要同时考虑方向。提问，根据已有知识你还能举出一些有关矢量合成的例子吗？
3、师生共同探究
学生举例：（1）位移的合成（2）力的合成；（1）如图：某对象从A点经B点到C点，两次位移点的位移 结果相同。
，的结果，与A点直接到C
（2）如图：表示橡皮条在两个力F1、F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同。
教师：两个既有大小又有方向的量的合成运算，物理上叫做矢量的合成，在数学上叫做向量的加法。
二、形成概念，归纳方法。
向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
1、提问：对于平面上任意两个向量，如何定义它们的加法？ 同学们任意作出两个向量试一试。
2、学生自主探究 学生可能答案：
（1）共起点的两个向量相加，用平行四边形法则；
（2）首尾相接的两个向量相加，模仿位移的合成，作出和向量；（3）任意两个向量相加，先平移到共点，再作出和向量；（4）共线的两个向量相加（同向或反向）
3、交流、研讨、辩析 投影同学们的研究成果，引导学生对几种作图方法进行辩析，它们有什么共同和不同之处？如何理解“任意”？和向量的方向和大小有何变化？能否对作图过程进行语言表达。
4、归纳总结
在师生、生生的互动交流中，形成以下共识：
一、向量加法的定义
1、三角形法则：
已知非零向量a、ｂ.在平面内任取一点和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ，作
=a，=ｂ，则向量
叫做a与ｂ的 a
a＋ｂ ｂ
ｂ
a
位移合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型
2平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a、ｂ，为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线就是与的和。
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。对于零向量与任一向量我们规定：
提问：你能从向量加法的几何意义，说明规定的合理性吗？
思考：当在数轴表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？ a a
ｂ ｂ
a+b
a+b
探究：|+|与||+||的大小关系：
当向量与不共线时，|+|<||+||； 一般的有：|+|≤||+|| 思考：、处于什么位置时，（1）|+|=||+||（2）|+|=||-||（或|+b|=||-||）
三、实践探索 形成能力
1、探究：数的加法满足交换侓和结合侓，即对任意a、b a+b=b+a(a+b)+c= a+(b+c)任意向量、的加法是否也满足交换侓和结合侓？（1）让学生通过画图探索验证：+=+（2）提问：你能否验证：
有
(+)+=+(+)
小结：向量的加法满足交换律：+=+ 向量的加法满足结合律：(+)+=+(+)
2、练习P93 3、4题
3、例2：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图2.2-12所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h。
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）（引导学生正确理解题意，把问题化归为向量的加法运算。注意规范学生的解题格式。）
4、巩固作业
（1）P103习题2。2：第２，３，4（1）（2）（3）题（2）选做题：在△ABC中，求证：
四、归纳小结：内化知识
通过本节课的学习，同学们谈谈自己体会最深刻的是什么？
1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；
一、学习目标与任务
1、学习目标描述 知识目标
使学生掌握双曲线的定义，能确定双曲线的标准方程；理解并掌握双曲线的简单几何性质，能运用双曲线的标准方程讨论它的几何性质，能确定双曲线的形状特征。能力目标
通过对相关网络资料的阅读，结合观察思考探究、协作交流讨论、动手实践操作，培养学生分析资料、提取信息、发现问题和解决问题的能力。
培养学生运用数形结合的思想，进一步掌握利用方程研究曲线的基本方法，通过与椭圆几何性质的对比来提高学生联想、类比、归纳的能力，解决一些实际问题。德育目标
进一步理解并掌握代数知识在解析几何运算中的作用，提高解方程组和计算能力，通过“数”研究“形”，说明“数”与“形”存在矛盾的统一体中，通过“数”的变化研究“形”的本质。帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。
2、学习内容与学习任务说明 本节课的内容是双曲线简单几何性质的探索。学习重点：双曲线的简单几何性质及性质的应用。学习难点：双曲线离心率与双曲线形状的关系；
明确本课的学习目标，以学习任务驱动为方式，以双曲线性质探寻为中心，进行主动探究学习。
抓住本节课的重点和难点，采取类比、联想、发现、探究、协作、讨论等学习方法相结合的教学模式，突出重点、突破难点。主动操作实验、大胆分析问题和解决问题，充分利用本课网站内的内容和相关的学习资源的利用，在着重学习内容的基础上，联系所学知识和技能，对本节课程进行分析。培养学生自主学习的能力和克服困难的信心。
二、学习者特征分析
（说明学生的学习特点、学习习惯、学习交往特点等）本课的学习对象为高二年文科班的学生，他们经过近一年多的高中学习，已经有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，基本的计算机操作较为熟练。
作为高二年文科班的学生普遍存在着数学科基础知识较为薄弱，对数学学习有一定的困难。在课堂上的主体作用的体现不是太充分，但是他们能意识到自己的不足，对数学课的学习兴趣高，积极性强。高二年文科班的学生在学习交往上表现为个别化学习，课堂上较为依赖老师的引导。学生的群体性小组交流能力与协同讨论学习的能力不强，对学习资源和知识信息的获取、加工、处理和综合的能力较低。
三、学习环境选择与学习资源设计 1．学习环境选择（打√）
（1）Web教室（√）（2）局域网（3）城域网（4）校园网（√）（5）Internet（√）（6）其它
2、学习资源类型（打√）
（1）课件（网络课件）（√）（2）工具（3）专题学习网站（√）（4）多媒体资源库（5）案例库（6）题库（7）网络课程（8）其它
3、学习资源内容简要说明（说明名称、网址、主要内容等）
《双曲线定义与简单几何性质网站》：双曲线定义、标准方程、双曲线的性质、协作讨论、例题、在线测试等几部分来探讨双曲线的定义与简单几何性质。
四、学习情境创设
1、学习情境类型（打√）
（1）真实性情境（√）（2）问题性情境（√）（3）虚拟性情境（√）（4）其它
2、学习情境设计
真实性情境：用Flash制作的一系列教学软件。
问题性情境：双曲线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、焦点、渐进线、离心率等的寻找（文字，图片，制作相关的Flash）。虚拟性情境：双曲线离心率与双曲线开口形状的关系
五、学习活动的组织
1、自主学习设计（打√并填写相关内容）类型相应内容使用资源学生活动教师活动(1)抛锚式（√）
椭圆的定义和简单几何性质数学教材、网站中的椭圆部分对照、类比、联想复习提问，引导思路(2)支架式（√）
双曲线的定义和简单几何性质数学教材、专题网站及专题网站下的多媒体教学课件。分析、操作、协作讨论、总结、提交结论。问题的提出。
学习资源获取路径的指导。问题解答和咨询。(3)随机进入式（√）双曲线定义与几何性质相关问题的求解与应用双曲线的例题，在线测试各个相关网页根据自身情况选题、分析题目、协作讨论、解答问题。讲解例题
总结点评学生做题过程中存在的问题。(4)其它
2、协作学习设计（打√并填写相关内容）类型相应内容使用资源分组情况学生活动教师活动（1）竞争（2）伙伴
（√）双曲线简单几何性质的探究数学教材、专题网站及专题网站下的多媒体教学课件。每组4人。学生之间对双曲线的几何性质展开讨论研究问题的提出。学习资源获取路径的指导。问题解答和咨询。（3）协同（√）
双曲线的对称性；离心率对双曲线形状的影响Flash制作的一系列教学课件。每组4人。通过协作讨论区，同学之间互相配合、互相帮助、各种观点互相补充。归纳，概括，整理问题结论（4）辩论（5）角色扮演（6）其它
3、教学结构流程的设计
六、学习评价设计
1、测试形式与工具（打√）
（1）堂上提问（√）（2）书面练习（3）达标测试
（4）学生自主网上测试（√）（5）合作完成作品（√）（6）其它
2、测试内容
教师堂上提问：双曲线的定义、简单几何性质与椭圆的定义、简单几何性质的对比，寻找它们之间的相同点与不同点。学生学习回答，教师总结概括，达到本课的学习目的。
学生自主网上测试：解决双曲线定义与简单几何性质的相关练习。合作完成作品：通过对Flash课件的合作学习，得出性质结论。
七、教学过程
步骤教师行为学生行为设计意图 课堂准备
1、指导学生登陆网站。
2、介绍网站的操作方法。
3、讲明上课过程中的注意事项。（1）作好课前准备。（2）登陆网站。
（3）熟悉本网站的操作方法。
①少部分不熟悉网络操作的同学学会利用网络来辅助学习。②助于本节课的顺利进行。情境导入
1、请同学点击“学习任务”进入子页进行学习。
2、请同学点击“问题解决”，了解本节课要解决的问题。（1）学生在“学习任务”子页下，点击各个按钮进行操作，对本节课的学习内容，学习重点、难点做到胸中有数。
（2）学生点击按钮“问题解决”，清楚本节课要完成解决的问题。①使学生在操作中深深体会到双曲线的定义与几何性质的重要性，从而吸引了学生的注意力，使学生产生研究双曲线的动力。②这一导入过程，可调动学生的主动性和积极性，使学生完成角色的改变，从“要我学”变成“我要学”。操作探讨
1、请同学点击“双曲线定义”进入子页，选择按钮“椭圆”、“双曲线”、“第二定义”进入页面。
2、请同学点击按钮“性质探索”，进入双曲线简单几何性质的学习。
3、请同学点击按钮“范围”，进入双曲线范围的操作和探索，教师提醒注意与椭圆比较。
4、请同学点击按钮“对称性”，进入双曲线对称性的操作和探索，教师提醒注意与椭圆比较。
5、请同学点击按钮“焦点”，进入双曲线焦点的操作和探索，教师提醒注意与椭圆比较。
6、请同学点击按钮“顶点”，进入双曲线顶点的操作和探索，教师提醒注意与椭圆比较。
7、请同学点击按钮“离心率”，进入双曲线离心率的操作和探索，教师提醒注意与椭圆比较。指导学生操作Flash课件，让学生拉动离心率e，观察当e变化时，双曲线图形的变化情况。
8、教师针对学生得出的双曲线性质进行讲解校对。
9、教师在整个过程中，对个别学生进行辅导。
（1）学生点击按钮“双曲线定义”进入子页，选择按钮“椭圆”、“双曲线”、“第二定义”，完成复习任务。（2）学生点击按钮“性质探索”，进入双曲线的简单几何性质的操作和探索。（学生可分小组讨论）。
（3）学生把自己总结的“双曲线的范围”与教师的讲解进行校对订正。
（4）学生把自己总结的“双曲线的对称性”与教师的讲解进行校对订正。
（5）学生把自己总结的“双曲线的焦点”与教师的讲解进行校对订正。
（6）学生把自己总结的“双曲线的顶点”与教师的讲解进行校对订正。
（7）学生把自己总结的“双曲线的离心率”与教师的讲解进行校对订正。
（8）学生操作Flash课件，拉动离心率e，观察双曲线图形的变化过程。寻找发现双曲线图形开口与离心率e的密切关系，得出结论。并把自己的结论与教师的讲解进行校对订正。
（9）如在操作过程中有何问题，可进入“协作讨论”页面，进行探讨研究。
①学生在这一学习过程中充分发挥其主体作用，在提供的网络资源中，自主学习，操作实验，并从中发现问题，提出问题，最后总结结论，校对结论。②教师在这一教学过程中充分发挥出引导的作用，使教师起到成为“导航者”的效果。
③充分发挥网络的优势，使学生对在自主学习中碰到的困难，可能的疑问，能展开协作讨论，并得出结果。
④如在操作过程中有何问题，可进入“协作学习”页面下，进行探讨研究。
⑤创造一个让学生协作学习的空间，互相配合、互相帮助、各种观点互相补充，完成学习任务，从而培养学生团队精神、克服困难的精神以及各方面的能力。知识应用
1、请同学点击按钮进入“例题”页面。
2、讲解例
一、例
二、例三三道例题。
3、请同学点击按钮进入“在线测试”页面。
指导学生根据自身的情况选择“*”、“**”或“***”题，进行练习。
（1）学生听教师讲解例
一、例
二、例三三道例题。加深对刚学到的双曲线的简单几何性质知识应用的体会。
（2）学生根据自身的情况选择“*”、“**”或“***”题，进行在线测试。（3）如在解题过程中有何问题，可进入“协作学习”页面下，进行探讨研究。
①让学生实现知识的自我反馈。
②使题目具有层次性，适合不同层次的学生的学习需要。③使每道题具有交互性和实验性，保证学生在学习过程中的自主性。课堂小结
1、总结本课的教学内容。
2、总结本课的教学内容。高中数学《双曲线的简单几何性质》公开课小结
《双曲线的简单几何性质》这堂网络课，教学重点是放在如何使学生掌握好双曲线的简单几何性质：双曲线的范围，对称性，顶点，离心率上。首先，通过对椭圆几何性质的复习，使学生产生对学习研究双曲线的几何性质的浓厚兴趣。在对双曲线的定义和标准方程充分掌握的基础上，给学生打下了进一步学习双曲线几何性质的基础。其次，在教学中，本着以学生为本的原则，让学生自己动手参与实践，使之获取知识。在传统教学过程中，学生主要依靠老师，自主探索的能力不强，因此在本节课学习中，教师在课堂上适时抛出问题，使学生有的放矢，有针对性，知道自己下一步应该做什么。在强大的网络环境下，让学生动手摸索双曲线的几何性质，自主发现结论，以人机交互的方式，使个性化学习成为可能，体现了学科教学与教育技术的整合。第三、针对数学学科的特点，在学生自主探索发现结论后，还需在理论上给予支持。因此，对双曲线的各个几何性质，教师在课堂上分别给予小结，目的是让学生在今后的自主学习中，若遇到同样的问题，有能力自己解决。从而让学生逐步熟悉、形成较为完整的一套自主学习的方法。
在上课的过程中，充分体现出计算机的交互和便捷的特点，学生可以根据需要，在老师的引导下，选择自己学习的进度和内容，去自主的学习和探索。通过实际操作，帮助理解和掌握本节课重点内容：双曲线的范围，对称性，顶点，离心率。在上课过程中，学生积极思考，相互协作讨论，踊跃回答问题，气氛活跃，教学效果好。在学生课后的反馈中，总体的反映都觉得各自获益匪浅，从中学到了不少的东西，切实掌握了双曲线的4个简单几何性质。
当然，本节课还有许多需要改进的地方，如课堂上留给学生探索，动手的时间还可以再多一些；学生在自主探寻双曲线的性质时，分组协作讨论不够充分。由于学生电脑的水平以及数学学科的特点，所以许多学生不能很熟练地操作电脑，许多数学符号，公式无法在讨论区中体现。
总之，在网络教学这领域中，今后还有很大的学习空间，做为一名教师，要适应时代的需要，改善自己平时的传统教学思维，大胆创新，努力学习，不断地探索，不断反思。树立现代教育观念，不断学习现代化技术，完善自己，提高素质，才能担负起祖国赋予我们肩上的重任。
高中数学《双曲线的简单几何性质》教师评语 评议者1：
1、学生积极参与探究，课堂调控，师生互动好，较好地体现自主学习的精神；
2、采用类比方法，让学生类比椭圆几何性质，进行探究，符合教学规律，教学效果好；
3、网络制作精美，较好地调合学生的探究，建议要让学生的探究更加深入，即在理论上证明上还须加强，另外要加强学生的协作探究。评议者2：
1、课堂讲述较快，语速应较慢；
2、在讲解过程中能较好与椭圆类比来学习，但若能在页面中把与椭圆类比点，可再次展现，效果会更好；
3、本节课虽说是网络课，但整堂课还是以教师讲授为主，让学生在网络课中自主学习时间并不多。评议者3：
1、黑板上的图形是否可结合“幻灯片”演示文稿来呈现？
2、在网络课件中设置双曲线的几种情况及椭圆的顶点等几个内容，让学生动手探索，得出与椭圆的相同与不同点，使学生学会先过程后结果的探究学习方法。
3、课件让学生探作的互动课件，渗透了“数形结合”思想，使学生对抽象问题转化为具体形象的认识好。
4、讨论区用于讨论的问题应具有一定开放性，即多种角度，多层面，多方法的较好。
5、网络资源是否最大限度的利用？自主学习显不够时间。
6、在线测试软件，及时检查学生学习过程好。评议者4：
1、网络资源丰富；
2、在教学过程中来充分体现学生的学习自主性；
3、讨论区的运用较为合理。评议者5：
讲解速率有点快，协作讨论时，学生不是很投入，差生如能自己上网学习，也就不需要老师指导。评议者6：
网页制作技术含量高。网页能够考虑学生的学习应用，而设计，有利于“人机”互动。资源丰富，让学生采用类比法来学习双曲线的几何性质，能够充分体现了课改的精神，整个课堂节奏紧凑。评议者7：
上传: 刘荣锋 更新时间：2012-12-2 13:16:10
【引用】几何画板的应用举例
对于单位圆在三角函数教学中的应用，各位老师可谓仁者见仁，智者见智，在利用单位圆时，如果能让三角函数线动起来，那就更加直观易懂，学生更容易理解接受。这里我介绍利用《几何画板》展示单位圆的两个应用，供大家参考。1．解三角函数不等式
利用单位圆中的三角函数线解解三角函数不等式，不少老师已经提到，这里不再赘述，只把我用《几何画板》作的一个小动画传上来供大家参考，做法也很简单，就不在介绍。
2．作正弦函数图象
利用三角函数线作正弦函数图象也是教材中提出的方法，如果能让三角函数线动起来，那将会更加直观易懂。
作法：
第一步： 打开画板，建立直角坐标系（菜单栏里的“图表”→“定义坐标系”），在空白处右击鼠 标，在弹出的对话框中点“隐藏网格”；
第二步：在空白处右击鼠标，在弹出的对话框中点“绘制点”，绘制两个点A（-2,0），B（-1,0），按顺序选中A、B，在菜单栏里“构造”→“以圆心和圆周上的点绘圆”，构造一个单位圆。拖动单位点调整单位长度；
第三步：在单位圆上取一点D，按顺序选中A、D，在菜单栏里“构造”→“射线”，构造一条射线，过点D构造x轴的垂线交x轴于E，隐藏垂线，再构造线段DE，并在菜单里“显示”把线段DE改成蓝色、粗线。
第四步：顺序选中点B、E和圆，在“构造”里点“圆上的弧”，及时选菜单里“度量”→“弧长”，并及时点菜单里“变换”→“标记距离”。
第五步：选中原点，“变换”→“平移”，在在弹出的对话框中把下边的“固定角度”改为0，则原点平移到F’；
第六步： 顺次选中E、F’点，“变换”→“标记向量”，选中线段DE和点D，“变换”→“平移”，将线段DE平移到F’D’，；连结DD’，并把线段改为虚线；
第七步： 选中D’点，点菜单栏里“显示”→“追踪点”；
第八步： 选中点D，点“编辑”→“操作类按钮”→“动画”，确定。OK！点一下“运动点”，欣赏一下你的大作吧。
几何画板在“函数y=Asin（ωx+φ）的图象”教学中的应用
上传: 刘荣锋 更新时间：2012-12-2 19:42:26
《几何画板》在“函数y=Asin（ωx+φ）的图象”教学中的应用
摘要：“三角函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分；函数的两种表达方式——解析式和图象之间常常需要对照。为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端；应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事倍功半的效果。
关键词：几何画板 函数 图象 三角
对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实；但从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。”因此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的变革——用计算机辅助教学，改善人们的认知环境——越来越受到重视。从国外引进的教育软件《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。《几何画板》给高中数学教学带来了极多方便，作为一名高中数学教师就此谈在“函数y=Asin（ωx+φ）的图象”教学中的应用。
一、用《几何画板》动态、直观地推演出最基本的正弦函数Y=sinx的图像
要研究三角函数的性质，首先我们必须从他的图像入手。然而为了解决数形结合的问题，在有关三角函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图没有动态感；应用几何画板动态、直观的显示正弦函数Y=sinx的图像怎么得来及变化情况．这样学生通过动态变化的图象自主的接受和理解，讲的再好还不如亲眼所见．
二、探索函数图象y=Asin x与y=sin x图象之间的关系。在同一坐标系里画出y=1/2sinx、y=sinx、y=2sinx三个不同的函数图象(如下图),然而点A、B、C分别在y=1/2sinx、y=sinx、y=2sinx三个图象上，用《几何画板》的“度量”度量出点A、B、C的纵坐标.拖动点P看A、B、C三点纵坐标的变化，除相交处外，它们始终保持1/2:1:2的关系。这里体现的《几何画板》作图的精确性，使得更有说服力。这样让学生更能了解上面三个函数的联系与不同。
再作出下图，可以拖动点P改变A的值观察Y=Asinx的图像的变化情况。
用《几何画板》画出精确，而且可以随意变化演示给学生看的图象，起到比传统教学难以比拟的教学效果。
三、探索函数图象y=sinωx与y=sin x图象之间的关系
在同一坐标系里画出y=sin
x、y=sinx、y=sin2x三个不同的函数图象(如下图)观察它们的周期T变化,以及另外两个函数图象与y=sinx的图象的联系.再用《几何画板》画出下面图象，可以随意输入一个ω的值，将快速、自动、准确地画出相应的函数图象，让学生观察它们的周期T的变化，总结出Y=sinωx的性质。
四、探索函数图象y=sin（x+φ）与y=sin x图象之间的关系
适当的拖动点φ，让学生观察函数图象的变化。观察函数图象变化，让学生总结图象变化规律：图象上各点沿x轴平移（φ＞0）或向右平移φ＜0）φ个单位。
五、探索函数图象y=Asin（ωx+φ）与y=sin x图象之间的关系。
从函数y=sin x图象到y=Asin（ωx+φ）的图象有多种不同的变换顺序，变换方法与上同。通过改变A、ω和φ的值，让学生观察函数图象变化，引导学生总结出：①A改变的是图象的振幅；②ω改变的是图象的周期;③φ改变的是图象的左右平移。
利用几何画板，可以比较便捷地绘制出各种函数图象，又能根据自己的教学意图，随心所欲地修改解析式的参数，并且能让图象真正“动”起来通过实践观察，发现解析式各个参数的变化对函数图象的影响及相互之间的联系，给学生的学习创设一个体验和理解数学的过程，使学生直观感受到数形结合是探寻数学规律的绝佳方法。同时还可以用它来演示、验证学生的发现和猜测，加深学生对数学概念和性质的理解，激起学生对数学知识和数学规律学习和探索的欲望，提高他们学习的主动性和积极性，使学生获得积极的情感体验，并使之上升为理性认识，达到了新课程下研究性学习的目的，最终提高了教与学的双重效率。
几何画板的应用实例之二:研究二次函数
《几何画板》是一款优秀的教学软件，具有动态直观、数形结合、变化无穷的特点，为我们提供了一个理想的做数学的环境。充分运用好画板的功能，可使学生从“听”数学转变到“做”数学，以研究者的方式，参与包括发现、探索在内的获得知识的全过程，对开发学生的智力，提高思维能力很有帮助。本文以二次函数的两种基本形式y=a(x-h)2+k和y=ax2+bx+c为例，探讨《几何画板》在二次函数教学中的应用。
一、利用《几何画板》，构造函数图像
由于解析式中字母系数的不同，函数的图像也不尽相同。因此，要在画板中构造出能够调节字母系数变化的元素，在图像的动态变化中，发现蕴含其中的普遍规律。首先，打开画板，单击“图表”→“定义坐标系”建立一个平面直角坐标系，在画板左侧工具栏选择点工具，在x轴的适当位置构造三个点A、B、C，再回到画板工具栏，选中“选择箭头工具”，同时选中A、B、C三点和x轴，单击“作图”→“垂线”，再选中工具栏“直尺工具”中的线段工具，分别在这三条直线上构造到垂足的垂线段，选中这三条垂线（不选刚构造的垂线段），单击“显示”→“隐藏垂线”。把垂线段的另一个端点分别命名为D、E、F，再选中D、E、F三点，单击“度量”→“纵坐标”，就在画板内显示出这三点的纵坐标，单击工具栏“文本工具”，双击度量出的D点纵坐标，改名为a，D、E两点的纵坐标改名为h、k。可以看到，改变一点的位置，相对应的纵坐标值随之改变，这样就构造出了字母系数和它的调节元素。然后，就该构造以a、h、k为字母系数的函数图象了。在x轴上任作一点J，度量其横坐标xj，单击“度量”→“计算”调出“新建计算”，单击度量出的“a”，导入计算框内，进一步计算出a(xj-h)2+k的值，按顺序选中xj和a(xj-h)2+k的值，单击“图表”→“绘制(x,y)”即在坐标系内绘出一点，再同时选中点J,单击“作图”→“轨迹”就绘出了函数图象，最后选中不想显示的元素将其隐藏。同样可以绘出y=ax2+bx+c的图像。综合利用“度量”“作图”“绘制(x,y)”还可以作出抛物线的对称轴、顶点及图像与y轴的交点等。
二、利用构造出的函数图象，研究抛物线的性质
在y=a(x-h)2+k的图像中，拖动点D改变a的值，可以直观地看到抛物线的开口大小也随之改变，a的绝对值越大，抛物线开口越小，反之，则开口越大；当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；改变h或k的值，图像左右或上下移动。因此抛物线y=a(x-h)2+k可看做y=ax2经过上下和左右平移后得到的结果，进而理解平移后抛物线的解析式和平移数值的关系。
在y=ax2+bx+c的图像中，改变a的值，不仅抛物线的开口大小和开口方向变化，而且对称轴和顶点坐标都有变化，这和y=a(x-h)2+k图像中a的变化仅改变抛物线的开口大小和开口方向不同；改变b的值，抛物线的开口大小和开口方向不变，与y轴的交点坐标也不变，对称轴和顶点坐标均有变化；改变c的值抛物线只是上下移动；并且不论改变哪一个字母的值,图像与y轴交点的纵坐标都和c的值相等。
这样，通过对字母系数变化和与之关联的图像变化的形象认识，学生可以直观地把握字母系数和图像变化间的联系，进而引导学生思考引起这种变化的内在原因，掌握二次函数图像的变化规律。
总之，《几何画板》能准确、动态地表达数学问题，它所提供的多种方法可以帮助教师进行形象直观的教学，也可以让学生在教师做好的图形上进行数学探讨，能极大地增强学生的学习兴趣。但由于构造图形需准确把握图形的性质及图形中各元素间的内在联系，故不适合学生进行独立的构图探索。
几何画板在教学中的应用之四:几何画板的应用实例-----椭圆的构造方法
评论：0 浏览：269 RSS：0 文章类型：摘录 发表于：2011/9/19 20:51:23 几何画板应用实例之一:椭圆的构造方法
在教学中本人发现利用几何画板可以有很多方法来构造椭圆的图象，于是把几种画法整理如下：
椭圆的第一定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和为定值2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹。椭圆的构造方法一：
（1）以O为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P，在圆内任取一点A；（2）连接PO、PA，作PA的中垂线与PO交于点M，连接MA；
（3）将点M定义为“追踪点”，选中点P，让点P在圆上任意转动可得到点M的轨迹为以O，A为焦点长轴长为2a的椭圆。
理由：图中的MP=MA，所以OM+MA=OM+MP=OP=圆的半径，符合椭圆的第一定义。椭圆的第二定义：设动点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线 : x＝ 的距离的比是常数(a>c>0)，则点M的轨迹是椭圆。点F是椭圆的一个焦点，直线 是椭圆中对应于焦点F的准线。常数e＝(0 （1）取点F和直线L，（点F不在L上）。过点F作一条直线，在直线上取一点P； （2）以F为圆心以FP为半径作圆，度量FP的长度，取参数e=0.8(可改为其他小于1的正数)，计算FP/e； （3）过P点作直线L的垂线，交L于M点，以M为圆心，以FP/e为半径做圆，交垂线于N点，过N作L的平行线，交圆F于A，B两点；（4）追踪A，B两点，让P在直线PF上任意移动可得椭圆方程。 理由：不管P点在何位置，总可以保证A，B点到F点距离与他们到直线L的距离之比为0.8，所以构造方法二依据的是椭圆的第二定义。椭圆的构造方法三： 1．以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径画两个圆;2．在大圆上取一点A，连接OA与小圆交于点B； 3．过点A作AN垂直于Ox轴，垂足为N；作BM垂直于AN，垂足为M； 4．分别选中点M和点A，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。理由：|ON|＝acosφ, |NM|＝bsinφ, 根据椭圆的参数方程知，点M的轨迹是一个椭圆。 椭圆的构造方法四： （1）任取一线段a，在Y轴上任取一点B，以B为圆心，以a为半径作圆交X轴于A点，则AB为长度为a的线段； （2）在线段AB上任取一点C（不为AB中点），追踪C点，让B点在Y轴上任意移动，C点轨迹即为半个椭圆，把线段AB关于Y轴反射一下，则可得另外半个椭圆。 理由：C点的横坐标为BCcosθ，C点纵坐标为CAsinθ，由于BC≠CA，所以C点轨迹满足椭圆参数方程。椭圆的构造方法五：（1）定义坐标系； （2）以原点为圆心，任意长度为半径作圆；（3）在圆上任取一点A，并度量其横纵坐标xA，yA。（4）计算yA/3（分母可改为其他不等于1的正数）； （5）绘制点B（xA，yA/3），并追踪点B，让点A在圆上任意移动，可得B点的轨迹为椭圆。 理由：可以由圆的方程中把y换成3y，使得圆上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的1/3，把圆“压扁”从而得到椭圆；从方程的角度看，使得x2和y2的系数不一样，从而得到椭圆的方程。 几何画板在教学中的应用之三:应用几何画板的小技巧 评论：0 浏览：477 RSS：0 文章类型：摘录 发表于：2011/9/19 20:45:20 应用几何画板的小技巧 1、如何用几何画板给相交两圆公共部分涂颜色 ①.按照图片中“第一步”，依次选中各个点或圆，然后点“构造→圆上的弧” ②.按照图片中“第二步”，依次选中各个点或圆，然后点“构造→圆上的弧” ③.选中构造得到的两段弧，点“构造→弧内部→弓形内部” ④.选中两个弓形内部，点“显示→颜色”，把他们的颜色调到相同的就行了 ⑤.如果这时他们中间有一条裂缝的话，那就连接两个圆的交点，并把得到的线段的颜色调到与弓形内部颜色相同 ⑥.如果这时线的颜色比内部颜色深的话，右键内部，点“属性→透明度→100%” ⑦.OK啦。 2、如何导入外部图片 制作课件时，往往需要导入《几何画板》以外的美丽图片，来提高课件的质量。下面介绍两种导入外部图片的方法。①插入的方法 “编辑”菜单中“插入对象”命令 —>选中“BMP图象”类型—> 自动启动《画图》程序—>利用《画图》程序“编辑”菜单中的“粘贴自”命令，读入所需图片文件，最后利用“文件”菜单中的“退出并返回„„”命令，回到《几何画板》编辑窗口。②粘贴的方法 把所需的图片复制到Windows的“剪贴板”上，再利用《几何画板》中的“粘贴”命令直接导入一幅图片到课件中。这种方法看来比较简单，但制作课件中若用到多个图片时，此方法的优势就显现不出来了。 注：若要使导入的图片参与动画运动，可以先选中一点，然后利用上述方法导入图片。这样导入的图片就被固定在指定点的位置，该点运行轨迹就是此图片的运动路径。 3.如何输入数学符号或数学公式 ①导入法 象导入外部图片一样，将Word或WPS中的数学公式或符号，导入到《几何画板》课件中。 ②“编辑数学格式文本”法 其实《几何画板》中提供了输入常用数学公式或符号命令，只是初学者不大会用。这里以一个具体的例子来说明这些命令的使用方法。 例如：标识5的算术平方根（根式） 按下[Num Lock]键不放开，再双击A点的标签，弹出“编辑数学格式文本”对话框；在“数学格式”栏中输入{V：5}，确定即可。 注：单独使用的“文本”工具，创建的“注释”类型文本，不能进行数学格式编辑。只有对象标签或度量的文本才可以进行“数学格式编辑”。 4、如何查看别人是如何制作课件的？ 看到某些精彩的课件时自然就会想知道别人是如何制作的，可是往往其中的关系错综复杂，看得一头雾水。怎么办呢？其实很简单── （1)几何画板打开一个文件时，在“文件打开”对话框右下角有一个“包括工作”选项，把它打上勾。 （2）打开文件后，选择“显示”菜单中的“ 显示所有隐藏”命令，就可以把所有隐藏的对象显示出来。 （3）连续按“Ctrl+Z”键，直到所有的对象都不见了。 （4）连续按“Ctrl+R”键，您便可以看别人的课件是如何一步步做的了 5、如何动态弹出一段文字？ 机械制造装备的精度指标对产品的市场竞争力有着十分重大的影响, 公差设计是精度控制的一个关键环节。公差设计的质量不仅影响产品的质量, 而且对制造成本起着决定性的作用[1]。目前, 公差设计已逐渐从可行性设计转变为优化设计。公差优化设计的目标可直观概括为“满足既定输出精度下的成本最优”。围绕这一目标, 各项相关研究工作逐步开展和深入, 建立和发展了诸多有价值的理念和方法, 如面向功能的公差设计[2]、并行公差设计[3]、生长型设计中的功能公差设计[4]、三维公差设计[5]、蒙特卡洛法[6]、变动几何约束网络法[7]、粒子群优化算法[8]和遗传算法[9]等。 重庆大学在研制国内第一台基于零传动技术的高精度滚齿机过程中, 发现采用现有优化算法实施大规模机床公差优化设计存在一定的困难:公差优化目标函数中, 质量损失成本的复杂性导致目标函数的表述和计算较为复杂, 被加工表面工艺的多样性所导致制造成本不确定, 机床大量的几何尺寸和公差将导致优化模型可计算性的下降甚至不可行。例如, 使用遗传算法进行公差优化时, 大量的机床公差会进一步加大目标函数的累积误差, 同时大幅度增加基因片段数和编码长度, 从而严重影响进化效率, 除此以外还存在多解问题。针对这一现状, 课题组根据机床系统几何误差源的最终作用结果存在相互抵消的现象, 提出一种基于机床系统几何误差源在加工误差敏感方向上相互补偿的机床公差设计方法。 1 误差系统源互补偿与机床公差设计 1.1 机床系统误差源的互补偿 图1所示, 机床的中间部件i和j分别存在误差ΔXi、ΔXj, 它们传递到最终执行部件上的值分别为ΔX′i、ΔX′j, 如果两者的作用方向相反, 则两个误差源对机床输出精度的影响会抵消。因此, 尽管机床零部件在加工和装配中均会产生误差, 但在装配完成后, 这些误差经过传递变化, 以量值和方向相互叠加的方式反映为机床最终输出误差。如果在设计中合理加以控制, 就能起到误差补偿的效果。 1.2 两个重要概念 (1) 机床敏感误差。 对机床而言, 在误差敏感性中补充“加工误差敏感方向”的内涵, 对提高机床的精度控制效率具有十分重要的作用。在机械加工中, 被加工表面的法线方向被称为加工误差敏感方向[10], 在该方向上, 刀具与工件的相对位置误差将最大程度地反映为加工误差, 而其切线方向上的影响则最小。所以, 尽管机床存在众多的误差源, 而且它们均能导致刀具与工件偏离理想的相对位置, 但不同误差源所导致的工件与刀具的偏离量和偏离方向却不尽相同, 因而对最终加工误差产生的影响程度也不同。例如, 车削直径为40mm的外圆时, 如果刀具与工件分别在径向和切向上存在0.1mm的误差, 则系统径向误差造成的工件半径误差约为切向半径误差造成的工件半径误差的400倍。由此可以定义一个新概念——机床敏感误差, 即在加工误差敏感方向贡献值较大的机床误差源。 (2) 经济加工精度。 在公差优化中, 必须面对成本目标函数的准确性问题, 机械加工的“精度-成本”关系表明, 加工成本只有在超出经济加工精度[10]后才会急剧上升。所以, 尽管机械加工工艺的多样性在一定程度上影响了追求最低成本的可操作性, 但充分利用经济加工精度仍然可以使公差设计的结果具有很好的成本效应, 即用合理成本代替最优成本。禡琳等[11]在3-HSS型并联机床精度设计中, 将角性公差和线性公差处于同一精度等级作为一个重要的约束条件;卢强等[12]在用蒙特卡洛法进行并联机床精度综合时, 合理考虑了误差源公差调整的效率和经济性。 2 基本实施步骤及关键环节 由图1可知, 要在公差设计中实现各个误差源的互补偿有两个关键:一是误差预测 (图2中的步骤 (1) 、步骤 (2) ) , 即通过机床误差建模, 预测各误差源到最终执行部件的映射规律 (包括量值和方向) , 这是实现互补偿的基础;二是公差约束效果预测及公差调整方法, 即预测预定公差的约束效果, 然后选择性调整误差源公差的方向和量值, 使其控制的误差源的最终作用效果尽量相互抵消。由于机床误差源众多, 所以图2中的步骤 (3) 、步骤 (4) 决定了公差设计的效率和效果。图2描述了机床互补偿公差设计的基本流程。 (1) 机床位姿误差建模。 机床误差模型反映了机床各个部件之间的几何位姿、运动及其误差的相互关系, 是机床精度量化分析的基础。使用该模型, 可实现各个误差源到最终执行部件的映射 (包括量值和方向的变化) 。不同机床的结构及尺寸不同, 其误差模型的具体表达也不同, 但现行的建模原理是基本相同的, 即将相邻的机床部件作为相邻体, 应用多体系统理论描述机床的拓扑结构, 用齐次坐标变换描述相邻体之间的位姿、运动关系以及误差传递关系。 (2) 误差源公差的映射及求和。 首先, 分别设各个误差源在6个自由度上产生单位误差, 通过机床误差模型将其映射到最终执行部件上。由于源误差为单位误差, 故比较其映射结果即可判别各个误差源对机床最终输出精度的影响程度 (误差敏感度) 。机床敏感误差是机床精度控制的重点, 也是公差调整的重点对象。然后, 根据经济加工精度设定各个误差源的控制公差, 将公差极值作为误差源再次进行误差映射, 并将其结果进行求和, 此即为各误差源均达到公差极限时的机床静态输出误差。 (3) 误差源公差方向的调整。 观察各误差源的映射结果及其求和结果, 尤其是机床误差敏感方向上的映射结果和求和结果, 然后根据上述结果有目的、有计划地调整各误差源公差的方向使其尽量抵消。如求和结果较大, 调整机床敏感误差项的效果更好, 详细调整过程可参阅下文的示例。 (4) 误差源公差量值的调整。 为解决机床误差的分布问题, 理论上应当使用蒙特卡罗法进行公差设计结果的仿真检验。如机床误差不满足要求, 还需对误差源公差量值进行调整, 直到合乎要求为止。实际操作中应根据具体情况做出相应处理:对于普通精度机床, 公差的互补偿设计后的重点是进一步降低成本 (放宽公差带) ;对于高精度机床, 修正公差要求可能是保证精度输出的有效途径。 (5) 输出合理的公差组合。 经过上述调整所得到的公差组合即为合理优化后的部件公差组。 3 关键步骤示例 3.1 机床误差建模 图3是YK3610滚齿机的样机图片及其结构示意图。两个最终执行部件——工件2和滚刀8之间的位姿和运动关系, 可描述为滚刀8上的一个啮合点Qt (xt, yt, zt) 通过一系列相邻体之间的齐次坐标变换和齿轮空间啮合关系, 得到工件2上的对应啮合点Qw (xw, yw, zw) , 其传递关系可表示为 T28=T78T67T56T45T34T03T10T21 (2) 其中, T28为滚刀与工件之间的总特征变换矩阵;矩阵的下标为图3中相邻部件的编号。T28由图3中各相邻体之间的特征变换矩阵Tij决定 (该样机相邻体之间的特征变换矩阵推导和结果可参阅文献[13]) 。Tij包括两个相邻体i和j之间的几何位姿矩阵、运动矩阵和误差矩阵。将机床误差源代入该模型, 即可求得该误差源的最终映射结果。 3.2 机床误差源的映射方法 因为在公差设计中只考虑了机床两个最终执行部件之间的位姿精度, 故此处可略去图3中工件2和滚刀8之间的运动因素。现假设机床在加工的某一时刻, 滚刀主轴坐标系中的一个固定点Qt (xt, yt, zt) 经过一系列中间部件坐标系的齐次坐标变换, 会在工件主轴坐标系中得到一个对应点。如果两个主轴坐标系本身以及中间部件坐标系均不存在位姿误差, 则对应点处于理论位置Qw (xw, yw, zw) 。反之, 对应点将偏离理想位置而处于其实际位置Q′w (x′w, y′w, z′w) , 两者的偏差值则综合体现了两个主轴的位姿误差量值和方向。如果将误差源的误差均设为单位误差, 则各误差源的映射结果和方向反映了它们对加工误差的影响程度 (误差敏感度) , 其操作步骤如下: (1) 计算理想位置Qw。参照式 (1) 、式 (2) 可得理想位置Qw的坐标计算公式 T17=T67T56T45T34T03T10 (4) (2) 计算实际位置Q′w。同理可得实际位置Q′w的坐标计算公式 T ′17=T ′67T ′56T ′45T ′34T ′03T ′10 (6) 与式 (4) 不同, 式 (6) 等号右侧各相邻体之间的变换矩阵T ′ij为实际位置变换矩阵 (实际位置变换矩阵应包括两相邻体的位姿误差变换矩阵ΔTij) , T ′ij与Tij的关系可表示为 T ′ij=TijΔTij (7) 其中, ΔTij包括6个误差矩阵, 即相邻体j坐标系与相邻体i坐标系之间的3个线位移误差矩阵和3个转角误差矩阵, 可表示为 ΔTij=ΔTijΔxΔTijΔyΔTijΔzΔTijΔαΔTijΔβΔTijΔγ (8) 式中, 下标Δx、Δy、Δz、Δα、Δβ、Δγ分别为相邻体j坐标系相对于相邻体i坐标系3个坐标轴的线位移误差和转角误差。 (3) 位置偏离量。实际位置与理想位置的差ΔXw、ΔYw和ΔZw不仅反映了误差的放大缩小程度, 还表明了映射结果误差的方向。 由滚齿加工原理可知, 滚齿误差敏感方向为工件轴坐标系的Xw方向和Zw方向, ΔYw与敏感方向垂直, 为最不敏感方向。 3.3 机床误差源敏感性分析 机床误差源敏感性分析即分析各个误差源对最终输出精度的影响权重和作用方向, 其结果可以为公差分配和调整提供依据。为适量减少示例计算量和结果, 使分析方法相对简单易读, 特将部件3 (进给滑板) 、部件4 (立柱) 整合为一体, 并建立样机各个部件的坐标系, 如图4所示, 则式 (4) 在本次分析中可表示为 T17=T67T56T35T03T10 式中矩阵的数据均取自YK3610样机。 在滚刀主轴坐标系中取一点Q (0, 0, -150) ;设各个部件坐标系在6个自由度上分别产生单位误差, 按照前述方法计算其产生的最终位置偏差 (ΔXw, ΔYw, ΔZw) 。计算中, 角偏误差统一取为0.01°;线单位偏误差统一取为0.01mm, 各个误差源在最终执行部件中的映射结果见表1, 表1中数据的量值反映了各误差源的敏感性, 如Δγ03和Δγ35分别为滚齿加工误差敏感方向X和Z上的最敏感误差源。 mm 3.4 公差方向调整 由于完整的公差调整工作量很大, 而本文旨在介绍其基本原理和方法, 故对以下公差调整的阐述不深入到具体的公差项目, 仅对6个自由度公差方向的调整方法进行简要说明。 表1所示结果表明, 在设各误差源均为正向单位误差时, 最终在敏感方向X和Z上的累加值分别为0.2143mm和0.1133mm。为叙述简捷, 现假设所选误差源的单位误差均为对应公差的正向极值, 则不论X和Z上的累加值是否超差, 均可对预设公差方向进行调整以提高机床的输出精度。 直接在输出表1中进行观察并进行有计划的调整, 从敏感方向X方向开始, 由于每调整一误差项公差的方向, 原误差映射结果归零并在反方向上产生等值映射结果, 故应在总累加值中减少2倍对应公差极值;其引起的另外两个方向的映射值和最终累加值也应同步修改。调整步骤如下: (1) 预设条件下X方向上的累积偏差较大, 将该方向上的敏感误差源Δγ03反向之后, X方向的累加偏差为0.0495mm, 此时Z方向上的累加偏差相应增大为0.1483mm。 (2) 寻找到接近X方向误差0.0495mm一半的误差源Δβ10并将其反向, 计算得到调整之后的累加偏差。 (3) 由于X方向累积偏差已调整到位, 故Z方向累积偏差调整时应选取不影响X方向累积偏差的误差源Δγ35, 计算方法同上。 经过调整后, X方向和Z方向上的最终累加偏差分别变为-0.0071mm和0.0087mm (表2) , 大大优于原公差方向设定下的实际效果。观察法简单易行, 其调整效果和效率在一定程度上取决于观察者的观察分析能力和经验。 特别提示:由于实际加工和装配的偏差在公差范围内具有随机性, 故机床最终输出精度不会达到上述理想效果, 但表1所示的“误差源-结果偏差”映射关系可为机床调整或修配提供很好的依据。 4 结论 (1) 充分利用机床几何误差源互补偿规律的公差设计方法, 可以提供另一种提高机床精度或降低成本的选择。 (2) 对误差敏感方向和误差敏感度的合理利用, 将提高公差设计的效果和效率, 误差源的敏感性分析结果还可为机床调整提供重要依据。在机床公差设计中应用经济加工精度的概念可较好解决加工成本的目标问题。 (3) 采用本文介绍的全数字化公差分析和调整方法, 可在一定程度上改善机床公差设计中过多依赖类比和经验的状况。 摘要：针对机床系统几何误差源的最终作用结果存在相互抵消的现象, 提出了一种基于机床系统几何误差源相互补偿的机床公差设计方法。该方法以经济加工精度为初始成本界限, 通过机床误差建模实现各个几何误差源公差到机床输出精度的映射;根据映射结果的量值和方向, 有目的地调整几何误差源公差的量值和方向, 使机床几何误差源在加工误差敏感方向上的抵消效果达到最好。以滚齿机YK3610为例, 给出了该方法应用过程的基本步骤和关键环节。 关键词：迭代与进化式开发；项目教学；教学设计 中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1007-9599 (2012) 01-0000-02 The Applied Research of Iteration Evolutionary Development Method in the C# Project Teaching Liu Ruohua,Chu Shulai (Zhoukou Vocational and Technical College,Zhoukou466001,China) Abstract:The iteration and evolutionary development in the C# project of teaching application and practice to do a simple induction,consolidation,to illustrate the iteration and evolutionary development thought on the C# project of teaching effect. Keywords:Iteration and evolutionary development;Project Teaching; Teaching design 一、引言 针对社会对高职人才培养要求，同时满足计算机课程的教学实际要求，根据高职学生的自身特点，将迭代开发法用于计算机软件课程的项目教学，通过在课堂教学中营造软件项目开发环境，不断引导学生采用多次迭代开发的方法完成一个真实项目。 这样实现起来，课程的教学内容被分解，课程的教学目标在迭代中逐步实现。在项目由简到繁的迭代开发中，学生不仅学到了课程知识，设计出功能完善的软件系统，同时，对实际项目开发也有了切身体验和实践，开发技能得到了充分的训练。通过多年的计算机教学实践，项目教学法能有效地提高学生学习的积极性和主动性，他们的动手能力、解决实际问题的能力也得到了很大的提高。 二、迭代与进化式开发与项目化教学概述 所谓迭代原本指的是数学上的一种求解方程的方法，也叫逐次逼近法，是一种通过求近似根的序列收敛，最终得到较为精确解的过程。现代软件工程中所讲的迭代与进化式开发法原理同样采用多次重复开发的方式，每次递增地实现开发任务，直到最终产品被完成。迭代开发过程中，开发任务被分解成一个个更容易实现的阶段性小目标，每个小目标具有其定义明确的阶段性评估标准，迭代就是为了完成给定的阶段目标。通过渐进的开发过程，阶段目标形成一系列功能递增的软件实现目标，在循环往复中逐步完善软件系统。 在项目教学中，学习过程应该成为一个人人参与的创造实践活动，注重的不单是最终的结果，而主要是完成项目的过程。学生在项目实践过程中，理解和把握课程要求的知识和技能，体验创新的艰辛与乐趣，培养发现问题、分析问题和解决问题的思维方式。而教师在项目教学中应与时俱进，转变传统教学观念，自我挑战，不断提高以适应教学的需要。 三、迭代与进化式开发方法在C#项目化教学中的具体实施过程 下面以高职院校计算机软件类专业课程C#程序设计为例，选取“学生学籍信息管理系统”作为运用迭代与进化式开发方法的教学项目，以此来说明在高职计算机软件类专业课程教学中，迭代与进化式开发方法在项目化教学中的实施过程。 （一）“学生学籍信息管理系统”教学项目功能的分析 “学生学籍信息管理系统”教学项目任务分解如下： 编号项目名称任务名称 子项目一项目总体设计任务一：项目需求分析 任务二：系统总体框架设计 子项目二登录模块设计任务一：系统用户登录界面设计 任务二：用户登录身份验证程序设计 子项目三系统管理主界面设计任务一：系统主菜单设计 任务二：系统工具栏和状态栏设计 子项目四系统数据库设计任务一：数据库设计 任务二：ADO.NET连接数据库 子项目五用户管理模块设计任务一：用户注册模块设计 任务二：用户密码修改模块设计 任务三：用户注销模块设计 任务四：用户登录身份验证程序再设计 子项目六数据信息管理模块设计任务一：数据信息录入模块设计 任务二：数据信息查询模块设计 任务三：数据信息维护模块设计 子项目七数据报表管理模块设计任务：水晶报表设计 子项目八系统帮助文件设计任务：系统帮助文件设计 子项目九软件产品发布任务：软件产品发布 “学生学籍信息管理系统”是与学生自身管理相关，也是学生接触的真实环境，在熟悉管理规则的情况下，来做“学生学籍信息管理系统”很容易让学生投入其中，也提高了学生对本课程学习的兴趣。需要说明的一点，在本项目设计中，功能做了适当简化或只需实现部分功能即可，其他功能作课外实训项目来完成，这样就可以避免学生学习难度过大、或学时不够的情况，当然也可以根据实际教学情况也调整。把涉及该课程核心知识点，经分解和细化各项功能，可作为运用迭代与进化式开发方法的教学项目来实施。 （二）C#程序设计的教学目标分析 1.总体目标。 通过“学生学籍信息管理系统”项目的开发实践，使学生能进行系统登录、系统管理主界面、系统菜单、信息录入、信息查询与信息修改等模块的界面与程序设计方法，并能独立设计一些小型应用系统。 2.能力目标。 能力目标主要包括：能根据企业具体要求完成项目的整体设计、能根据项目任务具体要求画出相应流程图、能进行系统登录模块的界面设计和用户身份验证程序设计、能进行系统管理主界面中的菜单设计、工具栏设计、能进行用户注册、密码修改、用户注销等模块的界面设计和程序设计、能进行数据录入、信息查询及数据维护等模块的界面设计和程序设计、能进行报表打印模块的界面设计和程序设计、能进行系统帮助模块设计、能进行Windows应用程序的打包发布与安装程序的制作。 3.知识目标。 通过本课程的学习，学生应掌握以下知识点：了解企业调研的基本流程；掌握C程序的三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构；掌握C程序的编译、连接与运行的过程；掌握VS2008中窗体的创建与常用属性设置方法；掌握VS2008中常用控件及组件的使用方法；掌握类的创建与使用方法；掌握Microsoft SQL Server2005数据库的创建方法；掌握SQL数据库的常用操作方法；掌握创建ADO.NET数据库连接的方法；掌握SqlConnection、SqlCommand、SqlDataReader、SqlDataAdapter、DataSet等类对象的创建与使用方法；掌握VS2008中数据集的创建与使用方法。 4.素质目标。 素质目标主要包括：通过标准开发过程和规范化的程序设计训练，培养学生细致认真、一丝不苟的工作作风和分析解决问题的能力；通过分组协作，培养学生与人交流、沟通的能力；通过项目实施中的作品展示，培养学生表达和展示自我的能力与意识；通过互相评分，培养学生欣赏别人的品质；通过实际项目的训练，培养学生的自学能力和创新能力；通过组织项目开发小组，模拟软件项目开发流程，营造职场氛围，培养学生的职业素养和团队协作精神。 （三）“学生学籍信息管理系统”与C#程序设计课程的联系 “学生学籍信息管理系统”的九个子项目，基本涵盖了C#程序设计课程的核心知识点，因此，教学项目与课程教学目标的总体思路是基本一致的，根据迭代与进化式开发的原则，项目分解为更易实现的独立“任务”。下面介绍项目的分解及迭代与进化式开发过程，根据“学生学籍信息管理系统”的设计，C#程序设计课程的教学过程中实现进行了九次迭代。每次迭代开发均涉及不同的教学授课单元和核心知识点，并逐步推进项目教学，实现的“学生学籍信息管理系统”功能也在不断增强，经过多次迭代，最终完成全部设计功能的“学生学籍信息管理系统”。 在每个子项目进行过程中，原则上是以小组为单位进行的，小组内学生可以相互讨论来共同完成；在子项目考核时应包含学生互评及教师评审，遇见共性问题时老师进行必要的补充；在任务基本完善时，以小组为单位来展示任务成果；在课堂之外学生可通过书籍、网络等途径查询资料，预做任务。对迭代式的教学项目考核及实施基本上也是按这个流程进行的，在这里就不在过多阐述。 四、结语 在上述迭代过程中，随着教学内容的逐步深入，学生在课堂上经历了项目的迭代与进化式开发过程，在逐步实现了一个功能完整的“学生学籍信息管理系统”过程中，学生学习了课程要求的各个知识点，也实现了课程的教学目标。这种授课理念避免了只注重学习的循序渐进和积累的老套路，也不再按照教学内容的从易到难的顺序，而是以完成一个又一个紧密相衔接的子项目（任务）来驱动学生学习，从而达到教学目标。 参考文献： [1]姜大源.职业教育学研究新论[M].北京:教育科学出版社,2007 [2]曾爱民,蒋丽波,于顺达.采用项目教学法培养学生职业能力的研究与实践[J].职业技术,2009,9 [3]陈战胜,王廷梅,李明.项目教学中应用迭代开发方法的研究和实践[J].计算机教育,2010,7 [作者简介]刘若华（1982-），女，河南沈丘县人，周口职业技术学院讲师，研究方向：软件工程与网络；楚书来（1982-），男，河南沈丘县人，武汉大学在读硕士，周口职业技术学院讲师，研究方向：软件工程与网络。几何迭代法及其应用 篇7
几何迭代法及其应用 篇8
