线面平行与垂直练习（共9篇）
判定：a用向量，方向向量平行b一条直线平行于另一个平面，则它平行于它所在平面与那个平面的交线。C若一平面与两平行平面相交，则两交线平行。D同时与一平面垂直的两直线平行。E同时平行于一条直线的两直线平行。
性质：貌似没啥性质，一般是证明线面关系的时候先证明线线关系。
2.线线垂直
判定：a向量，方向向量垂直b直线垂直于平面，则直线与平面中的任意直线都垂直c第一条直线与第二条直线平行，第一条垂直于第三条，则第二条也垂直于第三条d把两直线放在一个平面中，利用平面几何各种判定方法，如等腰三角形的底和高等。E（重点）三垂线定理：平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线垂直，那么它也垂直于斜线在平面内的射影。（这个比较重要，记不住的话找一下例题，多看看图就好了）性质：貌似也没什么性质，一般也是要证明线面关系的时候用到它。注意：第一条直线垂直于第二条直线，第一条直线垂直于第三条直线，则第二条直线与第三条直线可垂直可平行也可普通相交。
3,线面平行
判定：a面外一条线与面内一条线平行。（常用）b空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直线上不同两点到面的距离相等d证明线面无交点（定义）e反证法（线与面相交，再推翻）
性质：平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。
4.线面垂直
判定:a一条线和平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直b两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直两平面的交线，那么这条直线和这个平面垂直c直线的方向向量与平面的法向量平行
性质：如果两条直线同时垂直一个平面，那么这两条直线平行。
5.面面平行
判定a一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行。（常用）b如果两平面同时垂直于一条直线，则两平面平行（大题一般不用）
性质：a两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面b两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面c两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行d平行平面所截的线段对应成比例（这个是推论，不好描述，书上或练习册上应该有类似的题）
6.面面垂直
判定：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直
关键词：线面垂直,证明,问题设计,反思
一、前言
著名数学教育家伦伯格说过:解决非单纯练习题式的问题正是数学教育改革的一个中心论题。主张像科学家从事科学发现活动那样来组织教学活动, 发现法教学和问题解决的教学形式可以看成是其中典型的例子, 这样的教学是有一定的理论根据, 并且具有积极意义的。当然, 学习活动中的探索活动和真正的科学发现活动还是具有重大区别, 无视这种区别的存在, 势必造成在我们的教学活动中轻思维而重操作的倾向。
科学发现活动是把科学发现当做最终目标, 是人类学习的极高境界, 而学习活动的最终目标并不是发现, 而是理解, 是人类学习的“初级阶段”, 数学能力的核心是数学思维能力, 只有数学能力达到了一定的水平, 才有可能有真正的科学发现。
二、线面垂直的证明例举
立体几何中, 线面垂直的判定定理的证明一直是教学的难点, 课本中该定理是这样的:
直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面中的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面。
传统证明思路:
已知:m∈α, n∈α, m∩n=B, l⊥m, l⊥n。
求证:l⊥α。
证明:设g是平面α内任意一条直线, 要证明l⊥α, 根据定义, 只要证明l⊥g就可以了。
先证明l, g都过点B的情况:
在直线l上的点g两侧分别取点A、A', 使AB=A'B, 那么直线m, n都是线段AA'的垂直平分线, 为了证明l⊥g, 可证明直线g也是线段AA'的垂直平分线。于是g就垂直于l了。
再证明不过点B的情况:
在g上任取一点E, 过点E在α内作不通过点B的直线, 分别与m, n相交于点D、C, 证明△ACD≌△A'CD, 进而证明△ACE≌△A'CE, 于是得到EA=EA', g⊥l。
在此证明中, 取A关于平面α的对称点A'是关键, 但如何想到用这样的思路来证明是本节课重点需引导好的一个细节。在这一教学过程中教师若有意地忽视这一点, 那只能算是完成了“传授”, 学生只是做到了“听受”, 从内容上达标, 却忽视了教学的有效途径。要回答以上问题, 我们可以从理解垂直概念的实质做好引导和分析。
实际上学生提的问题往往是很有价值的问题。因为每个人都应该养成对自己的直觉进行分析的习惯, 而不是应该听任直觉的摆布。通过提问的方式, 力求弄清直觉产生的“依据”, 对直觉进行分析, 应该说, 这也是理性思维的表现。因此, 教师要注重学生的提问, 即使学生不提这些问题, 教师也应该思考解决这些问题的有效途径, 然后在课堂上提出, 让学生探讨。
三、线面垂直的教学设计
垂直的实质就是对称, 垂直美实质上就是对称美, 了解了这一点, 教师只要注意突出垂直关系与对称观念的联系, 就可以设计出各种不同风格的教案。下面是本人依照上述观点的关于线面垂直的教学设计:
问题情境:播放视频发射卫星的视频在即将点火时定格
问题:火箭脱离支架的瞬间, 火箭会不会倒下?
讨论分析:
(1) 观察火箭与地平线两边所成的角的大小关系。
(2) 改变观察地点, 观察这两边的角的大小关系。
结果:不管在哪个地方观察, 火箭与地平线两边所成的角都相等。
给出线面垂直的定义。
如果你是火箭发射总工程师, 怎样才能做到火箭与地面垂直呢?按照如上分析, 是否需要找很多人站在不同的方位, 或者需要选很多观测点观测火箭?
给出线面垂直的判定定理, 让学生自行学习课本上的证明, 并提出问题。
引入课题:让学生在纸上画一个平面四边形ABCD, 使其对角线AC垂直平分BD, 把这个四边形沿BD折起, 平面四边形变空间四边形, 连接AC, O是两对角线交点, 如图:
(1) 空间四边形ABCD中, CB与CD, AB与AD分别有什么关系?
(2) 在AC上任取一点M, 连接OM, 猜想直线BD与直线OM有什么样的位置关系。
(3) 过OA, OC的平面记为α, 猜想BD与α的位置关系。
(4) 试证明你的猜想。
通过完成这个问题, 让提问者反思自己提出的问题, 是否可以自己解决了。
从根本上说, “垂直和对称存在着本质的联系, 可以说, 垂直的实质就是某种对称”, 既然垂直的本质就是对称, 那么在证明垂直的时候, 使用对称、考虑对称就是最原始、最基本的想法了, 为了做到这一点, 自然就要构造对称图形, 就要找对称点。
四、教学反思
在上面的教学活动中我们可以看出, 发现性学习可以为学生达成理解创造条件, 通过它可以帮助学生实现理解, 即知识的建构。它之所以被人们看重, 是因为发现者想要理解自己的发现, 会积极地对发现活动本身进行反思, 以建立知识与已有认识结构, 特别是认知结构中观念的联系, 所以说, 在教学过程中, 应提供给学生恰当的发现平台, 通过对发现活动的反思, 达成对发现活动的真正理解。
该观点下的数学教学, 教师不仅应该关心教些什么, 更应该关心怎样教才最有效, 在教学过程中, 注重实现“三种转换”:教师由“传授”转换为“导”, 学生由“听受”转换为“学”, “教”以重心转换为“学”为重心。要学会提供给学生更多的机会, 让学生学会下结论, 学会复述, 学会提问, 学会比较, 学会评价, 教师注重一节课是为了讲完还是为了让学生懂是思考的关键。
参考文献
[1]人民教育出版社中学数学室编著.全日制高级中学教科书 (必修) 数学第二册 (下B ) [M].北京:人民教育出版社, 2006.
[2]严先元.教师怎样作教育行动研究[M].长春:东北师范大学出版社, 2007.
[3]严先元.新课程的课堂教学是什么样子[M].长春:东北师范大学出版社, 2004.
[4]李广, 杨宏丽.上好课应知应会[M].长春:东北师范大学出版社, 2009.
【例１】 如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D在棱BC上.
(1) 若D为BC的中点,求证：A1B∥面ADC1;
(2) 若CD=3BD,P为AA1上一点,AP=λPA1,当λ为何值时,BP∥面C1AD.
分析 (1) 此问是证明线面平行,D又为中点可以通过中位线入手用线线平行证之；又或通过面面平行证明之。(2) 此问是针对把线面平行当作条件求参量λ的值,即求比例关系,可能要转化为平面几何来求,所以此题要想到线面平行的性质定理把线面转化为线线。
证明 (1) (法一)连接A1C交AC1于H,连接HD,
因为H为A1C的中点,又D为BC的中点,所以HD∥A1B.
因为HD∥A1B,HD面ADC1,A1B面ADC1,
则A1B∥面ADC1.
(法二)取B1C1的中点E,连接BE，A1E；
因为BE∥DC1,C1D面ADC1,EB面ADC1，所以BE∥面DC1A.
同理：A1E∥面DC1A,因为BE∥面DC1A,A1E∥面DC1A,A1E∩BE=E,
所以面BA1E∥面DC1A,又A1B面A1BE,所以得证.
(2) 连接PC,交AC1于H,连接HD，
因为BP∥面C1AD,BP面BPC,面BPC∩面ADC1=HD,所以BP∥HD.
所以BDDC=PHHC=PAC1C=13,即λ=12.
点拨 利用线面平行的判定定理：欲证明线面平行可通过线与平面内一线平行,通过线面平行的判定定理证明,往往这样要作辅助线，特别是中位线等。
利用面面平行的性质：欲证明线面平行，可通过经过该线的一个平面平行我们要求证的面,当然还要通过面面平行的判定定理,但这里一定要注意面面平行的判定定理如何用。
抓住两类定理是硬道理,当然线面平行的证明还是利用线线较好；
综上:证明线面平行关系可以如下表示：
【例2】 如图,已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB＝1,BC＝2,CD＝1＋3,过A作AE⊥CD,垂足为E,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC．
(1) 求证：BC⊥面CDE；
(2) 在线段AE上找一点R,当R点满足3AR＝RE时，求证：面BDR⊥面DCB.
分析 (1) 欲证明BC⊥面CDE,则证BC垂直于该面的两相交直线即可;(2) 找出一条线非常重要,因为QC⊥DB很好找,所以我们选取QC作为线面垂直的那条线。
证明 (1) 由已知得：DE⊥AE,DE⊥EC,AE∩EC=E,
所以DE⊥平面ABCE,
所以DE⊥BC,又CE⊥BC,DE∩EC=E,
所以BC⊥面DCE.
(2) 当R点满足3AR＝RE时,取BD的中点Q,连接AC交BR于H,
连接HQ,因为QB=2,HB=255,
因为在△DBR中,cos∠DBR=105,所以QH=305,则有QH2+QC2=HC2,所以QC⊥QH,因为QC⊥DB,QC⊥QH,DB∩QH=Q,所以QC⊥面DBR,又因为QC面DBC,所以面DBC⊥面DBR.
点拨 证明垂直关系就三种：线线垂直,此类可通过线面垂直得到；线面垂直,通过判定定理中线线垂直；线面垂直还可以得到面面垂直,只要垂线过其中一个面即可。
综上：证明线面垂直关系可以如下表示:
牛刀小试
1. 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB＝90°,E,F,G分别是AA1,AC,BB1的中点,且CG⊥C1G．
(1) 求证：CG∥平面BEF；
(2) 求证：CG⊥平面A1C1G.
2. 如图，在四棱锥PABCD中,AB∥CD,CD=2AB,E为PC的中点.
(1) 求证：BE∥面PAD；
(2) AB⊥面PAD,面PBA⊥面PBD,求证：PA⊥PD.
3. 如图甲,在直角梯形PBCD中,PB∥CD,CD⊥BC,BC＝PB＝2CD,A是PB的中点.现沿AD把平面PAD折起,使得PA⊥AB(如图乙所示),E、F分别为BC、AB边的中点．
(1) 求证：PA⊥平面ABCD；
(2) 求证：平面PAE⊥平面PDE；
(3) 在PA上找一点G,使得FG∥平面PDE.
4. 已知△BCD中,∠BCD＝90°,BC＝CD＝1,AB⊥平面BCD,∠ADB＝60°,E、F分别是AC、AD上的动点,AEAC=AFAD=λ(0<λ<1)．
(1) 求证：不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC；
(2) 当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD？
书籍——通过心灵观察世界的窗口。住宅里没有书，犹如房间没有窗户。——威尔逊
【参考答案】
1. 证明：(1) 连接AG交BE于D,连接DF,EG．
∵E,G分别是AA1,BB1的中点,∴AE∥BG且AE＝BG,
∴四边形AEGB是平行四边形.∴D是AG的中点,
又∵F是AC的中点,∴DF∥CG,
则由DF面BEF,CG面BEF,得CG∥面BEF.
(注：也可证明平面A1CG∥平面BEF)
(2) ∵在直三棱柱ABCA1B1C1中,C1C⊥底面A1B1C1,∴C1C⊥A1C1．
又∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°,即C1B1⊥A1C1,∴A1C1⊥面B1C1CB,
而CG面B1C1CB,∴A1C1⊥CG,
又CG⊥C1G,∴CG⊥平面A1C1G.
2. 思路1：转化为线线平行,构造一个平行四边形ABEF,其中F为PD的中点.
证明：(1) 取PD的中点F,连接AF,EF,则EF为△PCD的中位线,EF∥CD,且EF=12CD,又因为AB∥CD,AB=12CD,所以EF∥AB且EF=AB.
所以四边形ABEF为平行四边形.
所以BE∥AF,BE面PAD,AF面PAD,所以BE∥面PAD.
思路2：转化为线线平行,延长DA,CB,交于点F,连接PF,易知BE∥PF.
思路3：转化为面面平行,取CD的中点F,易证面PAD∥面BEF.
(2) 在平面PBA内,作AH⊥PB于H,面PBA⊥面PBD,且面PBA∩面PBD=PB,
所以AH⊥面PBD,所以AH⊥PD,又AB⊥面PAD,所以AB⊥PD.
又因为AB∩AH=A,所以PD⊥面PBA,所以PA⊥PD.
3. (1) 证明：因为PA⊥AD,PA⊥AB,AB∩AD＝A,所以PA⊥平面ABCD．
(2) 证明：因为BC＝PB＝2CD,A是PB的中点,所以ABCD是矩形,
又E为BC边的中点,所以AE⊥ED.
又由PA⊥平面ABCD,得PA⊥ED,且PA∩AE＝A,所以ED⊥平面PAE,
而ED平面PDE,故平面PAE⊥平面PDE．
(3) 过点F作FH∥ED交AD于H,再过H作GH∥PD交PA于G,连接FG．
由FH∥ED,ED平面PED,得FH∥平面PED，
由GH∥PD,PD平面PED,得GH∥平面PED,
又FH∩GH＝H,所以平面FHG∥平面PED.所以FG∥平面PDE．
再分别取AD、PA的中点M、N,连接BM、MN,
易知H是AM的中点,G是AN的中点,
从而当点G满足AG＝14AP时,有FG∥平面PDE．
4. 证明：(1) ∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,
∵CD⊥BC且AB∩BC＝B,
∴CD⊥平面ABC.
又∵AEAC=AFAD=λ(0<λ<1),
∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,
∴EF⊥平面ABC,EF平面BEF,
∴不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2) 由(1)知,BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD,
∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1,∠BCD＝90°,∠ADB＝60°,
∴BD=2,AB=2tan60°=6,
∴AC=AB2+BC2=7，
由AB2＝AE•AC得AE=67,
∴λ=AEAC=67.
故当λ=67时,平面BEF⊥平面ACD.
一、定理填空：
1.直线和平面垂直
如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理 线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理1：如果两条平行线中的一条于一个平面，那么判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么.性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线.二、精选习题：
1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：
①a//baMaMa//Mb∥M④bM②a//b③b⊥M.abaMbMab
其中正确的命题是()
A.①②B.①②③C.②③④D.①②④
2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有()
第3题图
A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF
3.设a、b是异面直线，下列命题正确的是()
A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交
B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直
C.过a一定可以作一个平面与b垂直
D.过a一定可以作一个平面与b平行
4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()
A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ
5.有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直
其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.36.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题
① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题的序号是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.求证:VC⊥AB;
8.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．
10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.面面垂直专题练习
一、定理填空
面面垂直的判定定理：
二、精选习题
1、正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角等于
2、三棱锥PABC的三条侧棱相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的____心.3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为______________
4、在正三棱锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为___________________
5、已知l是直二面角，A,B,A、Bl，设直线AB与成30角，AB=2，B
到A在l上的射影N，则AB与所成角为______________.6、在直二面角AB棱AB上取一点P，过P分别在,平面内作与棱成 45°角的斜线PC、PD，则∠CPD的大小是_____________
7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为___________________.二、解答题：
8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D
DA
1D
B1
C1
C
A
B10、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：平面PAC⊥平面PBC．
BAC11、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．
BA
C
二面角练习1210
1.正方体ABCD－A1B1C1D1中,二面角A－BD1－C的大小是（）A.52B.C.D.632
32.边长为a的正三角形中，AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B－AD－C后，BC=
a，这时二
2面角B－AD－C的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°
3.以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高为折痕，将△ABC折起，若折起后的三角形ABC为等边三角形，则二面角C－AD－B的大小为（）
A.30°B.60°C.90°D.120°
4在空间四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分别 是AC、AD、CA的中点。求证：平面BEF
^平面BEG。
性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。
二面角的基本求法
(1)定义法：在棱上取点，直。
9．SA^平面ABC，AB^BC，SA=AB=BC，（1）求证：SB^BC；（2）求二面角S-BC-A和C-SA-B的大小；
（3）求异面直线SC与AB所成角的余弦值。
10.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面角A-B1C-A1的大小；（2）平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的正切值。
11.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A-BD1-P的大小。
(2)．三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平垂直。
12．平面ABCD^平面ABEF，ABCD是 矩形且AF=
AD=a，G是EF2
A
平面AGC^平面BGC；（2）求GBB
角的正弦值；
（3）求二面角B-AC-G的大小。
13．点P在平面ABC外，ABC是等腰直角三角形，?ABC
（1）求证：平面PAB^平面APA^BC。PAB是正三角形，（2）求二面角P-AC-B的大小。
（3）．垂面法
14.将一副三角板如图拼接，并沿BC折起成直二面角，设AB=AC=a, ∠BAC=∠DCB=90°,∠DBC=30°,求二面角B－AD－C的大小 及二面角C－AB－D的正切值。
[基础练习]
1．下列命题正确的是（）
A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行
B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行
C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行
D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面
2．若直线l与平面α的一条平行线平行，则l和α的位置关系是()
AlB l//C l或l//D l和相交
3．若直线a在平面α内，直线a,b是异面直线，则直线b和α平面的位置关系是()
A．相交B。平行C。相交或平行D。相交且垂直
4．下列各命题：
（1）经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线；
（2）若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行；
（3）空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。
其中假命题的个数为()
A0B 1C 2D
35．E、F、G分别是四面体ABCD的棱BC、CD、DA的中点，则此四面体中与过E、F、G的截面平
行的棱的条数是（）
A．0B 1C 2D
36．直线与平面平行的充要条件是
A．直线与平面内的一条直线平行B。直线与平面内的两条直线不相交
C．直线与平面内的任一直线都不相交D。直线与平行内的无数条直线平行
7．若直线上有两点P、Q到平面α的距离相等，则直线l与平面α的位置关系是()
A平行B相交C平行或相交D 或平行、或相交、或在内
8．a,b为两异面直线，下列结论正确的是()
A 过不在a,b上的任何一点，可作一个平面与a,b都平行
B 过不在a,b上的任一点，可作一直线与a,b都相交
C 过不在a,b上任一点，可作一直线与a,b都平行
D 过a可以并且只可以作一个平面与b平行
9．判断下列命题是否正确：
(1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行()
(2)若直线l，则l不可能与α内无数条直线相交()
(3)若直线l与平面α不平行，则l与α内任一直线都不平行()
(4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线()
(5)若平面α内有一条直线和直线l异面，则l()
10．过直线外一点和这条直线平行的平面有个。
11．直线a//b，a//平面α，则b与平面α的位置关系是。
12．A是两异面直线a,b外一点，过A最多可作个平面同时与a,b平行。
13．A、B两点到平面α的距离分别是3、5，M是的AB中点，则M到平面α的距离是。
14．P为平行四边形ABCD外一点，E是PA的中点，O是AC和BD的交点，求证：OE//平面PBC。
15．求证：如果一条直线和两相交平面平行，那么这条直线就和它们的交线平行。
[深化练习]
16．ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC//平面EFGH，BD//平面EFGH，AC=m,BD=n当EFGH为菱形时，AE：EB=.17.用平行于四面体ABCD的一组对棱AB、CD的平面截此四面体
(1)求证：所得截面MNPQ是平行四边形；
(2)如果AB=CD=a，求证：四边形MNPQ的周长为定值。
C
18．已知P、Q是单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D、面A1B1C1D1中心。
（1）求线段PQ的长；
（2）证明：PQ//平面AA1B1B。
DD
[参考答案]
（2）当∠PDA＝45°时，求证：MN⊥平面PCD；
2、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2.（I）求证：PA1⊥BC；
（II）求证：PB1//平面AC1D；
3、（本题满分14分）如图，平行四边形ABCD中，BDCD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE,DF的交点.⑴求证： GH//平面CDE；⑵求证： BD平面CDE.4、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，ABAE,FAFE,AEF45
（I）求证：EF平面BCE；
（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证： PM∥平面
BCE5、（本小题满分14分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。（I）求证：AF//平面BCE；（II）求证：平面BCE⊥平面CDE；
6、直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB2AD2CD2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）在A1B1上是否存一点P，使得DP
与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论． B1CD
B
D C
变题：求证：（1）A1B⊥B1D；（2）试在棱AB上确定一点E，使A1E∥平面ACD1，并说明理由．
7、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PABC1AD.（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE//平面PAB？
2若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.8、已知直角梯形ABCD中, AB//CD,ABBC,AB1,BC2,CD1过A 作AECD,垂
足为E,G、F分别为AD、CE的中点,现将ADE沿AE折叠,使得DEEC.(1)求证：
BC面CDE；(2)求证：FG//面BCD；（Ⅲ）在线段AE上找一点R,使得面BDR面DCB,并说明理由.D D C G E A B 2F C
教学过程:
一、创设情境,激发兴趣
播放《西游记》中“龙宫借宝”片段。
师:孙悟空有一件宝贝,是什么?
生:如意金箍棒。
师:金箍棒可真是件宝贝,可以变得越来越长,在咱们数学中也有一件宝贝,它也可以变得越来越长,是什么?
生:直线。
师:今天我们就来研究和直线有关的知识。
设计意图:从动画情境入手,激发学生的兴趣,自然地引入直线,不但激发学生学习兴趣,而且复习了直线的特征,为探究新知打下铺垫。
二、探究新知
1.认识生活中的相交与垂直。
师:前几天我在郊外看到几个小朋友在栽树,我把他们栽的树拍了下来,你们看!(课件出示图片———地面上有一棵栽斜了的小树)
师:看到这张照片,你们发现了什么?
生:这棵树栽歪了。
师:那你认为怎样栽,树才直呢?你能比画比画吗?
预设:学生有的用手势,有的用直尺,有的用笔,纷纷比画,表示出自己的想法。
师:(走到一个用直尺比画的同学前)你用直尺表示什么?
生:我用直尺表示栽直的树。
师:他栽直了吗?
生(齐):栽直了。
师:同学们真聪明!都能把你心中的想法比画出来,那同学们能用两条直线把你心中的想法画出来吗?
(生动手尝试,师巡视挑选出两名同学上台用实物投影展示。两名同学都画出了“⊥”这样的图形。)
师:你们俩谁来说一说自己的想法?
其中一名同学:我用竖着的直线表示栽直的树,横着的直线表示地面。
设计意图:此环节用简单的生活图片再现了生活情境,有效地调动了学生的生活经验,让学生在动脑思考,动手操作中从具体的生活情境中抽象出两条直线组成的数学图形,为后面的学习做好了充分的铺垫。
师:(课件出示图片形“⊥”)你们看,他们用简单的数学图形就清楚简洁地把自己的想法表示出来了,咦,我在这幅图中又看到了我们的老朋友——角,你看到了吗?
生(齐):看到了。
师:你看到了几个角?
生有的说两个,也有的说三个。
师用电子笔示意“⊥”图中右面的角,凭你们的经验,这个是什么角?
生:直角。
师:的确很像直角。那它到底是不是直角呢?我们该怎么办?
生1:用量角器量。
生2:用三角板比一比。
师:那我们就用三角板来比一比(课件演示)。
师:果然是直角,看来呀,在生活中我们用数学的眼光看,当它形成直角的时候,你们看(播放课件)这棵树就栽直了。
设计意图:在看似漫不经心的过程中,有效地突出了两条直线互相垂直的主要特征———两条直线相交成直角。
师:同学们,如果让你们用两条直线把这幅图也表示出来,行吗?
课件出示栽斜的树
师:你们画得都一样!谁来说一说你的想法?
其中一名同学边指边说:我用斜的直线表示没有栽直的树,用横的直线表示地面。
师:同学们,你们看,我们用简单的图形就表示出了栽树的两种情况!
课件展示两幅图:
师:同学们仔细观察一下,看看这两幅图,有什么相同和不同的地方。
生1:两幅图都是由两条直线组成的。
生2:这两组直线都碰头了。
师:都画了两条直线,而且这两条直线都碰头了,也就是交叉在一起了,这在数学里我们叫作“相交”,它们相交的这个点,我们叫作“交点”。(师课件同步展示“相交”、“交点”后板书“两条直线相交”)
设计意图:在有效激发起学生学习兴趣的基础上,充分调动学生的主观能动性,在学生动手操作、比较辨析的过程中,抓住有利时机,及时介绍了“相交”、“交点”等基本概念,教学活动简洁明了、富有实效。
师:刚才同学们说到了它们相同的地方。那它们有不同的地方吗?
生:它们相交后一个是直角,一个没有直角。
(师板书:成直角、不成直角)
师:像这样两条直线相交成直角,我们就说这两条直线互相垂直。
师:观察刚才所展示的两幅图,你认为哪一幅图是互相垂直的,为什么?
生:我认为第一幅图是互相垂直的,因为它们相交成直角。
师:同学们,在这条规定里有一个词“互相”是什么意思?(课件演示:将“互相”一词变色突出)你是怎么理解的?
生:“互相”就是“相互”的意思。
师:你能举例说说我们生活中“互相”的事例吗?
生1:我俩是好朋友,这时我们就说我和他是好朋友,或者说他是我的好朋友,我们不能说我是好朋友,因为这里是指我俩之间的一个关系,我们不能单独说某一个人。
生2:我帮助小明,小明帮助我,我们互相帮助。
生3:我是小红的同桌,小红是我的同桌,我们是同桌关系。
……
师:同学们真了不起,很快就理解了“互相”的含义。
师:如果我们用字母a表示其中一条直线,用字母b表示另一条直线,这时我们就说直线a和直线b互相垂直。
师:关于这两条直线我们还可以这样描述(课件展示):直线a是直线b的垂线;直线b是直线a的垂线。
师:谁能用刚才的话说一说?
生1:直线a是直线b的垂线。
生2:直线b是直线a的垂线。
师:同学们记忆力真强!那我说“直线a是垂线”对吗?
生(齐):不对。
师:那应该怎么说呢?
生:直线a是直线b的垂线。
师:对了,我们说的互相垂直,是指两条直线的位置关系,不能只说某一条直线是垂线。
师:这两条直线相交的点我们叫作“垂足”。为什么有这么特殊的名字呢?
课件出示图片(解放军立正站队),配合图片介绍:这是因为我们中国人自古以来就讲究做人要顶天立地,当一个人直立于地面的时候,人和地面就互相垂直。我们的脚又称为足,所以脚和地面的交点我们称为垂足。记住了吗?
生:记住了。
设计意图:在这个环节的学习活动中,巧妙地将“两条直线相交成直角,这两条直线互相垂直”这句话直接抛给学生。并灵活地引导学生思考比较,有效启发学生,紧紧抓住概念中的几个核心词进行教学。特别是对“垂足”的介绍,形象生动,不落俗套,给学生留下了深刻的印象。
2.认识平行。
师:同学们,两条直线除了有相交的情况,它们还有不相交的情况呢!大家闭上眼睛想象一下,想象出两条直线,这两条直线不能相交,大家能想象出来吗?
生:能!
师:那好,把你们想到的不相交的两条直线画在纸上。
生独立操作,教师巡视后挑选两名同学上台展示自己的作品。
师:同学们各有各的画法,大家都认为自己画的两条直线不会相交。有的同学是这样画的(课件展示图1),他认为自己画的不会相交,有的是这样画的(课件展示图2),他也认为自己画的不会相交。那你是赞成第一种、还是第二种?或者你两种都赞成?谁来说说自己的看法?
生1:我认为两种画法都不相交。
生2:我不同意,我认为只有第一种不相交,第二种会相交,因为延长以后,它们就相交了。
师:你真厉害,想到了直线的基本特点,我们来看一下,延长后相交了吗?(课件演示第二组图形两条直线延长后相交了)
生(齐):相交了!
师:经过我们研究发现,像这种两条直线的一部分看上去没有相交,但实际延长后,它们怎么样了?
生(齐):相交了!
师:看来这组直线不属于不相交的情况,我们来看一下另外一组。我们说它相不相交不能只看直线的某一部分,根据刚才的经验,可以把它延长后进行判断。(课件演示第一组图形两条直线延长后的画面)
师:相交了吗?
生:没有。
师:同学们,像这种延长后不相交的两条直线,我们就说这两条直线互相平行。(课件出示:像这种不相交的两条直线,叫作互相平行。)
师:同学们,互相平行里也有互相两个字,说明互相平行也是指两条直线,如果我们用字母c表示其中的一条直线,用字母d表示另一条直线,这时我们就说直线c和直线d互相平行。
师:关于这两条直线,我们还可以这样描述(课件展示):直线c是直线d的平行线;直线d是直线c的平行线。
师:(隐藏课件)谁能用刚才的话说一说?
生:直线c是直线d的平行线。
师:还可以怎么描述?
生(齐):直线d是直线c的平行线。
师:如果说“直线c是平行线”,对吗?
生(齐):不对。
师:那应该怎么说呢?
生:直线c是直线d的平行线。
师:对了,我们说的互相平行,也是指两条直线的位置关系,不能只说某一条直线是平行线。
设计意图:在学生掌握了两条直线相交和特殊相交———垂直的知识点后,巧妙引导,利用知识之间的迁移,充分发挥学生的想象能力,鼓励学生大胆探索,有效掌握了平行线的特点,并形成了平行线的概念———不相交的两条直线互相平行。
师:同学们,你们看,刚才我们画的这两组直线,为什么延长后有一组相交,有一组不相交呢?
生1:第二组的两条直线是斜的,所以它们延长后相交。(师提示学生观察两条直线两端的开口大小。)
生2:第一组的两条直线两端的开口一样,第二组的两条直线两端的开口不一样,一头大,一头小。
师:经过大家的分析,我们发现了数学里的一个秘密,平行线间的距离处处相等。
师:同学们,今天我们所研究的内容都是和什么有关?
生:直线。
师:都是和几条直线有关?
生:两条。
师:如果让你在纸上画直线,你觉得有没有难度?
生:没有。
师:那好,我们来完成一个活动,在同一张纸上,看看能不能画出两条既不相交、又不平行的直线。大家试一试,画一画。
(生先独立试画,然后同桌相互交流,师巡视后指名展示。)
师生交流后得出:在一张纸上画两条直线只有两种可能,一种是两条直线相交,另一种是两条直线不相交,不相交就是平行。
师:同学们,你们今天的表现很不错,大家的学习状态都很好,肯动脑、肯思考问题,尤其值得表扬的是你们今天还能用数学的眼光观察物体,能把一棵大树看成一条直线,能把地面也看成一条直线。
师:和同学们交流,我也收获不少,我也会用数学的眼光来观察周围的物体,找到了两条直线。(师在教室找了两条异面直线,并用电子笔示意。)
师:咦,我怎么发现这两条直线既不相交,又不平行呢?刚才你们不是说在一张纸上画不出既不相交又不平行的两条直线吗?我现在怎么找到两条既不相交又不平行的直线呢?这是怎么回事呢?
生1:一条是左右延伸的,一条是上下延伸的。
生2:这两条直线一条在前面,一条在右面。
生3:它们根本就没有在同一个平面上。
师:看来呀,我们说不相交的两条直线就互相平行,必须要有一个前提条件,这两条直线要在同一个平面内。(板书:同一个平面,课件同步补充)
设计意图:通过引导学生对比辨析,进一步加强对平行线的理解。并结合在现场物体上找的线,完善不相交的两条直线互相平行的必要前提———在同一个平面内。使教学活动整体上显得层层深入,丝丝相扣。
三、巩固练习
师:那你们究竟掌握得怎样呢,我想检验一下。
课件出示练习题:
1.判断。
(1)下面各组直线,哪些是互相垂直的?
(2)下面各组线中哪些是互相平行的?
2.让学生在题卡纸上的几组图片中找出垂直和平行的现象,并用彩笔画出来。
学生顺利完成练习后,师生逐题交流,反馈订正。
线面垂直的判定
教学目标
1．知识与技能
掌握直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及性质定理，并能应用．
2．过程与方法
通过“观察”“认识”“画出”空间图形及垂直关系相关定理的学习过程，进一步培养学生的空间想象力及合情推理能力．
3．情感、态度与价值观
垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可让学生进一步认识到数学和生活的联系，体会数学原理的广泛应用．
教材分析
教材以旗杆与地面、书脊与桌面等日常生活中学生熟悉的实例人手，让学生在直观感知的基础上借助直角三角板形成直线与平面垂直的概念．然后以长方体模型为基础，让学生思考：如何判定一条直线与一个平面垂直呢?结合长方体模型中具体的线面关系，让学生进行操作确认，从而得到直线与平面垂直的判定定理．突出了长方体模型在帮助学生思考垂直关系中的作用．
在平面与平面垂直的判定这一节中，教材的展开思路与
教学目标
1．知识与技能
掌握直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能进行简单应用．
2．过程与方法
在合作探究中，逐步构建知识结构；在实践操作中进一步发展学生的几何直观能力和空间想象能力．
3．情感、态度与价值观
垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可让学生进一步认识到数学和生活的联系，体会数学原理的广泛应用．
教材分析
本节课是第6节的第一课时，是立体几何的核心内容之一．在学生学习了线面平行关
系之后，仍以长方体为载体，是对学生“直观感知、操作确认、归纳总结、初运用”的认知过程的一个再强化．
学情分析
学生已经学习了直线和平面、平面和平面平行的判定及性质，学习了两直线(共面或异面)互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力． 教学重点和难点
本节的重点：垂直关系的判定定理．
本节的难点：对直线和平面垂直判定定理的理解．
教学过程
问题提出
问题1空间一条直线与平面有哪几种位置关系?
问题2在直线与平面相交的位置关系中，哪种相交最特殊?
在我们的生活中，随处可见线、面的垂直：在操场上竖立的国旗杆与地面、竖直的墙角线与地面、灯塔与海平面.思考
1如何用语言表述直线和平面的垂直关系?
直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．
用符号记作： l
用图形表示： a．
思考
2怎样判定直线与平面垂直呢?
思考
3 如果一条直线垂直于一个平面内的一
条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直?
如果一条直线垂直于一个平面内的两条条直线，那么这条直线是否与这个平
面垂直?
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平
面垂直?
如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线是否与这个
平面垂直?
抽象概括
直线和平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面．
关键：线不在多，相交则行
符号语言表示：若a,b,abP,且la,lb，则l
图形语言表示：
动手实践
过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上
（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？若不过顶点A翻折纸片呢？
（3）翻折前后垂直关系发生变化了吗？由此你能得到什么结论？
知识应用
例1如图所示，在Rt△ABC中，B90，P为△ABC所在平面外一点，PA平0
面ABC问：四面体P—ABC中有几个直角三角形?
解：因为PA平面ABC，所以 PAAB，PAAC，PABC．
所以△PAB，△PAC为直角三角形．
又PABC，ABBC，且PAABA，所以BC平面PAB．
又PB平面PAB，于是BCPB，所以△PBC也为直角三角形．
所以四面体PABC中的四个面都是
直角三角形．
例2如图所示，已知三棱锥A-BCD中，CACB,DADB,BECD,AHBE,且F为棱AB的中点，求证：AH平面BCD.证明：取AB的中点F，连接CF，DF，因为CA=CB，DA=DB，所以CFAB,DFAB,又CFDF
又CDF,所以AB平面CDF.平面CDF，于是ABCD,由已知BECD,且ABBEB,所以CD平面ABH.又AH平面ABH，于是CDAH,已知AHBE,且BECDE,所以AH平面BCD.课堂小结
判定直线和平面是否垂直，有两种方法：
(1)定义：强调是“任何一条直线”；
(2)判定定理：必须是“两条相交直线”．
线线垂直线面垂直
布置作业
课本习题1—6 A组5、6（1）B组2（1）
思考交流
一．线面平行的判定
1.定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.2.判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.3.符号表示为：a,b,a//ba//
二．面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行符号语言:_____________________________________________________________________
选择题
1．已知直线l1、l2,平面α, l1∥l2, l1∥α, 那么l2与平面α的关系是（）.A.l1∥αB.l2αC.l2∥α或l2αD.l2与α相交
2．以下说法（其中a，b表示直线，表示平面）
①若a∥b，b，则a∥②若a∥，b∥，则a∥b
③若a∥b，b∥，则a∥④若a∥，b，则a∥b
其中正确说法的个数是（）.A.0个B.1个 C.2个D.3个
3．已知a，b是两条相交直线，a∥，则b与的位置关系是（）.A.b∥B.b与相交C.bαD.b∥或b与相交
4．如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系一定是（A.平行B.相交C.平行或相交D.AB
5．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面（）.A.只有一个 B.恰有两个 C.或没有，或只有一个 D.有无数个.已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与平面α的位置关系()
A ｂ∥αB ｂ与α相交CｂαDｂ∥α或ｂ与α相交
7．不同直线m,n和不同平面,，给出下列命题：
//m//n
①mm//
n//
②m//
mm,n异面
③n
其中假命题有()
A0个B1个C2个D3个
8．若将直线、平面都看成点的集合，则直线ｌ∥平面α可表示为()
AｌαBｌαCｌ≠αDｌ∩α＝
9．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是()
A平行B相交C异面D平行或相交或异面
10．下列命题中正确的是()
① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行
②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行
③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行
④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行
A.①③B.②④C.②③④D.③④.）
证明题：
1.如图，D－ABC是三棱锥，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，AC的中点．求证：FGH．
2．平面与△ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，求证：BC∥平面.3：在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△ABC的重心，在四面体的四个面中，与MN平行 的是哪几个面？试证明你的结论.平面D是直三棱柱ABC—A1B1C1的AB边上的中点，求证： AC1∥面B1CD。
C A1B
1B
5.在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别是AB、SC的中点，求证： EF∥面SAD
E
B
C6、已知：△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A至A′的位置，取AB的中点为M,求证:ME∥平面ACD
7.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分别是AD1、BD上的点，且AP=BQ，求证：PQ∥平面DCC1D1。
8.如图2-3-7所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D
是BC的中点，试判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.9.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E, F分别是AB,BC的中点,G为DD1上一点,且D1G:GD=1:2,ACBD=O,求证:平面AGO∥平面D1EF
AD
C
A B
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱AB、BC、BB、AD、DC、DD的中点，求证：平面PQR∥平面EFG。
C
E B
11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点：求证：平面AMC1//平面NB1C.12.如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC
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