一元一次不等式的应用

一元一次不等式的应用

一元一次不等式的应用 篇1

一元一次不等式的应用教案

一元一次不等式的应用教案 孙云云 一、前置作业 请自学课本12、13页，相信你会有很大的收获！带着的你的例子借助一元一次不等式来解决实际问题。 二、教学过程 一）导入 在现实中的许多问题，可以借助于一元一次不等式来解决。本节课我们来研究用元一次不等式解决实际 问题。 二、检查前置作业，交流组内存在问题 怎样借助一元一次不等式解决实际问题 三、班级汇报展示 带着你的`例子借助一元一次不等式来解决实际问题。 四、总结提升 你学会了什么？ 五、布置作业 教学反思：开始课堂沉闷，学生有些紧张，后来在教师的调解下，气氛活跃了。樊广文出的题中缺少一个条件，马悦出的三道题所提出的问题都有不正确，尽管学生在编的实际问题中出现了失误，但学生真的动起来了，在思想的相互碰撞中，每个问题都得到了解决。但也有不足，如小组的时效性较小，虽然经历了小组交流，但问题并未深入的解决，马悦的三道题是代表小组的，但小组只停留在马悦出题了，也没有交流她出题的正确性。导致三道题都出现同一个问题。在今后的教学中教师更应该关注小组的时效性。

 

一元一次不等式的应用 篇2

一、确定数量

例1 (2012·福建福州) 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分。

(1) 小明考了68分，那么小明答对了多少道题?

(2) 小亮获得二等奖 (70分～90分) ，请你算算小亮答对了几道题?

解析:对于 (1) ，设小明答对了x道题，则可列出一元一次方程进行求解;对于 (2) ，由于小亮得分在70分～90分之间，如果设其答对了y道题，那么他最少得70分，最多得90分，因此可列出不等式组进行求解。

答案:解: (1) 设小明答对了x道题，依题意得:

解得:x=16。

答:小明答对了16道题: (2) 解:设小亮答对了y道题，依题意得。

解得:

∵y是正整数，

答:小亮答对了17道题或18道题。

点评:本题通过两个问题，考查同学们列方程 (组) 、不等式组解决实际问题的能力，体现数学问题源自现实生活，而又为更好地解决现实问题的辩证规律。

二、制定运输方案

例2 (2012·浙江温州) 温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A、B、C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如右图所示。设安排x件产品运往A地。

(1) 当n=200时， (1) 根据信息填表:

(2) 若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案?

(2) 若总运费为5800元，求n的最小值。

分析:数量关系: (1) 运往C地的件数是运往A地件数的2倍;件数和为200; (2) 运往B地的件数不多于运往C地的件数; (3) 总运费不超过4000元。

解: (1) (1) 根据信息填表:

(2) 由题意得:

解得:

∵x为整数，∴x=40或41或42。

∴有三种方案，分别为:

(i) A地40件，B地80件，C地80件;

(ii) A地41件，B地77件，C地82件;

(iii) A地42件，B地74件，C地84件.

(2) 由题意得:30x+8 (n-3x) +50x=5800,

整理得:n=725-7x。

又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为整数。

∵n随x的增大而减少，

∴当x=72时，n有最小值为221。

点评:列不等式组解实际问题与列方程组解实际问题的方法、步骤类似，关键是要认真审题，仔细分析数量之间的关系，运用数学思维方式抓住表示不等的关键词句，如:“超过”、“多于”、“不足”、“至少”、“大于”、“不超过”、“不小于”等列出不等式组。

三、确定用电量量

例3 (2012·贵州贵阳) 贵阳市公布的居民用电阶梯电价收费标准如下:

例:若某户月用电量400度，则需缴电费为:

210×0.52+ (350-210) × (0.52+0.05) + (400-350) × (0.52+0.30) =230 (元) 。

(1) 如果按此方案计算，小华家5月份的电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量;

(2) 依此方案请你回答:若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用电量属于第几挡?

分析: (1) 计算出第二档最低用电量的费用进行比较即可; (2) 分别计算出第一档最低用电费和第二档最低电费对a值进行讨论.

解: (1) 因为属于第二档最低用电量的费用为:

210×0.52+ (350-210) × (0.52+0.05) =189 (元) >138.84元，

所以小华家5月份的用电量属于第二档。

设小华家5月份的用电量为x度，由题意，得:210×0.52+ (x-210) × (0.52+0.05) =138.84。

解得:x=262。

答:小华家5月份的用电量262度。

(2) 对于a的取值，应分三类讨论:

(1) 当0

(2) 当109.2

(3) 当a>189时，小华家用电量属于第三档.

点评:本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解。

四、选择优惠项目

例4 (2012·贵州黔东南) 我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案。甲家是35人 (含35人) 以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费;乙家是45人 (含45人) 以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费。如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些?

解析:设教师人数为x。

则甲宾馆收费为:

则乙宾馆收费为:

(1) 当0

(2) 当35

35×120+120 (x-35) ×90%<120x一定成立，

甲宾馆更优惠。

(3) 当x>45时，

即45

甲宾馆更优惠。

(4) 当x>45时，

即x=55 (人) 时，两家宾馆一样优惠。

(5) 当x>45时，

即x>55，乙宾馆更优惠;

答:总之，当x≤35或x=55时，选择两个宾馆是一样的;当3555时，选乙宾馆比较便宜。

一元一次不等式应用两例 篇3

例1 洞庭实验学校准备在五一黄金周组织部分教师到张家界旅游，现联系了甲、乙两家旅行社．两家旅行社报价均为400元 ／ 人，同时两家旅行社都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位游客七五折优惠；乙旅行社是免去1位带队老师的费用，其余的八折优惠．

（1） 人数为多少时，两家旅行社的收费相同？

（2） 请你通过计算说明，旅游人数在什么范围时选择甲旅行社费用较少，旅游人数在什么范围时选择乙旅行社费用较少．

分析：本题是2005年湖南省益阳市中考题．本题主要考查分类讨论的思想以及运用方程、不等式解决实际问题的能力．

解：（1） 设参加旅游的教师为x人时，两家旅行社收费相同．

根据题意，得400×75％x＝400×80％（x－1）．

解得x＝16．

故当人数为16时，两家旅行社收费相同．

（2） 设参加旅游的教师为x1人时，甲旅行社收费较少．

根据题意，得400×75％x1＜400×80％（x1－1）．

解得x1＞16．

设参加旅游的教师为x2人时，乙旅行社收费较少．

根据题意，得400×75％x2＞400×80％（x2－1）．

解得x2＜16．

故当人数大于16时，甲旅行社收费较少；当人数小于16时，乙旅行社收费较少．

例2 某学校为加强信息技术课的教学，拟投资兴建一个初级计算机房和一个高级计算机房．每个机房配置1台教师用机和若干台学生用机．现有厂方提供的产品推介单一份，如下表．

现知教师配置CZXM系列机型，学生配置CZXN系列机型．所有机型均按八折优惠销售．若两个机房购买计算机的钱数相等，并且每个机房购买计算机的钱数不少于20万元也不超过21万元．问：拟建的两个机房各能配置多少台学生用机？

分析：本题主要考查数形结合的思想以及运用方程、不等式组解决实际问题的能力．

解：设初级、高级机房分别配置学生用机x台、y台．由题意，得

（10 000＋4 375x）×0．8＝（14 375＋8 750y）×0．8，

200 000≤（10 000＋4 375x）×0．8≤210 000．

化简，得x－2y＝1，

≤x≤

．

∵x、y只能取正整数，∴x＝55或x＝57．从而y＝27或y＝28．

∴初级、高级机房各能配置学生用机55台、27台，或配置57台、28台．

《一元一次不等式》的教学反思 篇4

一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组在初一的时候就已经学过了，而《用函数观点看方程(组)与不等式》这节就要求学生利于函数的观点重新认识、分析。

在复习导入过程中，我给出一个一元一次不等式的的题目：3x-2>x+2、同学们都笑开了花，有同学说：“这么容易，老师，我们已经不是初一的小孩子了。”也有同学直接说出这个不等式的解。这时，我提出了问题：“谁能把刚刚学习的一次函数和这个不等式联系到一起?同学们可以大胆想象。”由于学过利用函数观点看方程，有很多同学反映比较快，说：“画两个一次函数y=3x-2和y=x+2的图像，然后再观察”。我按照他的思路讲解了这种方法，同时提出还有没有更简单的方法，引导同学通过一个函数图像来解决问题。

这节课要结束了，突然有个同学问：“老师，本来我们能用初一的知识解题的，为什么要弄的这么麻烦啊?”“问的好，这节课的目的就是培养同学们数形结合思想，为今后的学习打好基础”。

一次函数与一元一次不等式 篇5

课型：新授设计人:审核：时间;2010.8.21 学习目标：１、认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系

２．学会用图象法求解不等式 ３．进一步理解数形结合思想．

学习重点：１．理解一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系

２．掌握用图象求解不等式的方法．

学习难点：图象法求解不等式中自变量取值范围的确定． 学习过程：一．前置自学

１．解不等式5x+6>3x+10．

２．当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0？

思考:上面两个问题有什么关系？

二．展示交流:（各小组积极展示上面的问题）三．合作探究

1.“解不等式ax+b>0”与“求自变量x•在什么范围内，一次函数y=ax+b的值大于0”之间有什么关系？把你的想法与同学交流。

2.用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10．（大胆尝试，看能用几种方法求解）

四．课堂小结：是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢？它在函数图象上的表现是什么？如何通过函数图象来求解一元一次不等式？

五．课堂检测

１．当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=3x+8的值满足下列条件？

①y＞-7．②y<2．

一元一次不等式解法反思 篇6

一元一次不等式的解法反思

由于本节课是一节微课，时间简短，基于微课的要求以及微课所面对的是一些个体，因此整个教学活动教师的讲解比较重要。在教学过程中不能急于求成，适时给予恰当的引导。再通过范例与学生共同经历解一元一次不等式的过程。

一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法十分相似，解一元一次方程的依据是等式的性质，而解一元一次不等式的依据是不等式的性质，所以讲授新课之前老师先复习了不等式的性质和前面刚学过的一元一次不等式的定义。对于一元一次不等式解法的教学中采用探究式的教学方法，首先鼓励学生运用不等式的性质和不等式的解集自主尝试求解，再交流解答过程，并进行适当的归纳总结。类比解方程的方法，并比较其异同。让学生非常清楚地看到不等式的解法与方程的解法的步骤是相同的，只是第一步去分母和最后一步系数化为1，可能使得不等号的方向改变。

一元一次不等式的应用 篇7

虽然同学们都能够记住解题步骤,但是在解这类应用题时由于经验不足、抓不到关键词、概念混淆、思维定式等原因的存在,使学生们在解题过程中遇到困难,而不能得到正确的解.

一、解题中遇到的困难及常见错误

1. 生活经验的不足及问题信息量大是造成初中生解应用题难的两大屏障

例1地砖按每块5.5元出售,地砖每边长35厘米,用这种砖铺满长7.8米、宽5.7米的房间,需花费多少钱购买地砖?

评析要正确地解应用题,必须读懂题目中语言文字表达的问题条件和问题要求.本题中,学生必须清楚“地砖”、“出售”、“购买”、“铺”等词语的含义,否则不能读懂题意.“地砖问题”中的事实知识包括长方形、正方形的概念,以及米与厘米之间的进率换算.像这类与生活综合知识联系较紧的应用题还有很多,信息量大,经验不足导致学生读不懂题目,不知从何下手,是学生最伤脑筋的.总之,学生的生活经验、课外知识、社会知识的储备量,已成为度量学生解答应用题思维厚度的一把标尺.

2. 思维定式造成设未知数出错并带来列式困难

例2苏科版八年级下教科书20页练习第1题.

某班学生外出春游时合影留念,1张彩色底片的费用为1元,冲印1张彩照需0.6元.如果每人预定1张彩照,且每人所花费用不超过0.8元,那么参加合影的学生至少有多少人?

错解设参加合影的学生至少有x人,(错误原因:设未知数不确切,应改为设“参加合影的学生有x人”)

则1+0.6x≥0.8x,(错误原因:列式时不等号反向)

解这个不等式,得x≤5.

答:参加合影的学生有5人.(错误原因:认为此题结果是确定值,而此题结果是一个取值范围)

评析在列不等式解应用题中,学生设未知数时,往往受方程应用题的迁移,沿用求什么设什么的做法,常给列式带来困难,甚至出错.

3. 列不等式(组)时忽视关键词

例3 (2011山东枣庄)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”.计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.

(1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来;

(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明(1)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元?

解(1)设组建中型图书角x个,则组建小型图书角为(30-x)个.由题意,得

解这个不等式组,得18≤x≤20.

由于x只能取整数,∴x的取值是18,19,20.

当x=18时,30-x=12;当x=19时,30-x=11;当x=20时,30-x=10.

故有三种组建方案:方案一,中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,中型图书角20个,小型图书角10个.

(2)方案一的费用是:860×18+570×12=22320(元);

方案二的费用是:860×19+570×11=22610(元);

方案三的费用是:860×20+570×10=22900(元).

故方案一费用最低,最低费用是22320元.

评析解这类应用题的难点在于理清题意,寻找题目中的关键词语.例3中的两个关键词“不超过”、“不少于”是列不等式(组)的依据.另外还要注意所设未知数受实际情况的制约,此例中中型图书角的个数x应是正整数.

不等式应用题的取材广泛,又紧密结合实际生活,解这类题首先要理清题意,寻找关键词,比如“不少于”、“不大于”、“大于”、“小于”、“比……要节省”等,从而找到不等关系,列出不等式(组),通过解不等式确定不等式的解,最后要检验所求解是不是与实际问题相符合.

4. 移项或两边同乘(除)负值时不变号

根据题意正确地列出不等式(组)后,最重要的是解不等式(组).

例4解不等式:2x+4>x-1.

错解移项,得2x+x>-1+4.

即3x>3,则x>1.

例5解不等式:-3x+9<0.

.错解移项,得-3x<-9.

系数化为1,得x<3.

评析上面两例均犯了不变号的错误.例4、例5分别因“移项要变号”、“不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向应改变”这类知识点不能及时回应所致.因而求解时应在掌握知识点的基础上再加细心.例4的正确结果应为x>-5,例5的正确结果应为x>3.

5. 概念或意义不明确

例6求不等式2x-4<0的非负整数解.

错解因为2x-4<0的解为x<2,所以它的非负整数解为1.

例7解不等式:|x|<3.

错解x<3.

评析例6和例7错误的原因主要是对某些概念不明确或混淆,如“非负整数解”、“绝对值”等.非负整数应包括0和一切正整数,故例6正确解为:0和1.绝对值的意义是指在数轴上某个数到原点的距离,故例7的正确解为:-3

6. 去括号时不遵守运算法则

例8解不等式:3x-2(1-2x)≥5.

错解去括号,得3x-2-2x≥5,

故x≥7.

评析本题有括号,根据解不等式的步骤,要先去括号.括号前的数要与括号里的各项相乘.去括号时,除应遵循乘法的分配律不能漏乘外,还应遵循去括号法则:去括号时,括号前面为“-”,去括号要将括号里的各项都变号.本题产生错解的原因有两点:括号外的数只与第一项相乘,括号前面是负号只对第一项变号.因此本题的正确解应为x≥1.

7. 去分母时,漏乘不含分母的项

例9解不等式:

错解去分母,得x-1+2≥-4x.

移项、合并同类项,得5x≥-1,即x≥-

评析本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质,去分母时,不等式的两边同乘各分母的最小公倍数,漏乘不含分母的项,漏乘了常数项,这是解一元一次不等式(组)时常出的错误之一,应引起高度重视.因此本题的正确解应为x≥.

8. 分子是多项式,去分母时忽视了分数线的括号作用

例10解不等式:

错解去分母,得4x-1-3x-1>0,

移项、合并同类项,得x>2.

评析去分母时,当分子是多项式时,各分式的分子必须看成一个整体.忽视分数线的括号作用也是解一元一次不等式时常出的错误之一.为避免出这类错,应分别对分子添加括号,再运用去括号法则.例10中没有添加括号导致了错误.

正确去分母,得2(2x-1)-3(x-2)>0.

去括号,得4x-2-3x+6>0,

移项、合并同类项,得x>-4.

二、学好解一元一次不等式(组)及应用题的策略

1. 理解有关的概念

①不等式:用“<”或“>”号表示大小关系的式子,叫做不等式.

②一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式.分母中不能含有未知数.

③不等式的解:在含有未知数的不等式中,把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.不等式若有解,一般它的解有无数个.

④不等式的解集:如果一个不等式有解,能使不等式成立的未知数的取值范围,叫做不等式的解的集合,简称解集.不等式的解集包括所有能使不等式成立的未知数的值.

2. 领悟不等式的三个基本性质

①不等式的两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.

②不等式两边同乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.

③不等式的两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

不等式的三个基本性质是进行不等式变形的根本依据,其中前两个性质类似于等式的性质,而在运用性质③时,要注意必须改变不等号的方向,这是不等式特有的性质.

3. 牢固掌握不等式(组)的解法

解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程相同:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化成1.

各步需注意事项:①去分母:不要漏乘不含分母的项,是否改变不等号的方向;②去括号:括号前是负号时,括号内各项均要变号;③移项:移项要变号;④合并同类项:系数相加,字母及字母指数不变;⑤系数化成1:是否改变不等号的方向.

4. 牢固掌握列不等式(组)解应用题的步骤,抓住不等关系关键词,挖掘隐含的不等关系

在能构建不等式的题目中往往有表示不等关系的词语,如“大于、小于、不大于、不小于、超过、不超过”等.我们一定要利用好这些关键信息,列出不等式(组)以解决实际问题.

有些题目中无明显表示不等关系的关键词,而是深藏于题意中,这就要求老师引导学生根据问题的实际意义,深入挖掘蕴含其中的不等关系.

5. 重视不等式(组)应用题的教学

在平时的教学过程中,教师既要注重知识的传授和题目的解答,也要重视学生的实践性活动的开展和教学,这样才会避免数学和实际生活脱节,同时教学中要不断地增加新的背景和内容,跟上时代,弥补生活经验的不足,激发学生学习的热情.对于不等式(组)应用题文字较多学生获得信息困难的问题,教师平常在教学中在应用题上要多停留,有耐心.

在实际问题中,有许多用方程很难解决的问题,而用不等式去处理则可轻易解决.应用题是初中数学的重点,列不等式解应用题是初中数学的难点,根据题意正确地列出不等式(组),解应用题就成功了一半.一元一次不等式(组)的解法十分重要,它与一元一次方程的解法有许多相似之处,但又有其自身特点,同学们要认清两者解法的联系与区别.正确应对学生在解题过程中遇到的困难,提高学习的积极性,增加学习数学的兴趣,才有可能应用一元一次不等式(组)去解决生活中的实际问题.

摘要：现实世界既包含大量的相等关系,又存在许多不等关系.解决实际问题的过程中,有时不能确定或无需确定某个量的具体取值,但可以求出或确定这个量的变化范围,不等式(组)就是探求不等关系的基本工具.列不等式(组)解决实际问题是初中数学中的难点,同时也是中考的热点.解这类题的关键是在实际问题中找出相等关系和不等关系,列出方程和不等式.但在解不等式(组)时有的同学常因基础不扎实、概念不清、粗心大意,而在解题过程中遇到各种困难.

关键词：初中生,一元一次不等式(组)应用题,应对策略

参考文献

[1]钟山.不再让学生的困惑成为课堂教学的遗憾——《一元一次不等式组》教学片段所感[J].学生之友(初中版)(下), 2010(11).

[2]赵春祥.列一元一次不等式解应用题[J].初中生, 2009(6).

[3]石卫东.解一元一次不等式的常见错误分析[J].中学生数学,2003(10).

[4]任保平.解一元一次不等式常见错误剖析[J].数理化学习(初中版),2003(3).

一元一次不等式的应用 篇8

1. 重点：不等式的三条性质，解和解集的意义，解集在数轴上的表示方法，一元一次不等式（组）的解法及其简单应用.

2. 难点：准确运用性质解题，确定不同类型的不等式组的解集并在数轴上加以表示，在解决实际问题时合理选择函数、方程、不等式这三种数学模型.

二、知识精析

1. 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．例如：若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc

或＜

．因此在解不等式时，要注意“系数化为1”这一步.

2. 在数轴上表示不等式的解集时，当解集中不含等号时，端点为空心圆圈；当解集中含有等号时，端点为实心圆点.

3. 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况，见下表．

4. 注意感受两种数学思想，一是类比思想，二是数形结合思想．将不等式与方程进行比较学习就体现了类比的数学思想，解集在数轴上的表示以及一元一次不等式与一次函数的联系就体现了数形结合的思想.

三、解题技巧

例1 若a＜b＜0，则有（）.

A. ＜1 B. a2＜b2 C. a＜a-b D. ＜

解析：由不等式性质及条件，知＞1，＜，排除A、D．又因a2＞ab，ab＞b2，得a2＞b2，排除B．故应选C.

评注：上面用到的是排除法，本题也可用特殊值法求解．例如，取a=-2，b=-1，满足a＜b＜0,则＞1，（-2）2＞（-1）2，-2＜-2-（-1），＞．可知只有C成立.

例2 若关于x的不等式组

＞

+1， ①

x+m＜0 ②

的解集为x＜2，则m的取值范围是.

解析：易知不等式①的解集为x＜2，不等式②的解集为x＜-m．而由题设条件知原不等式组的解集为x＜2，所以，由解集的意义有-m≥2，即m≤-2.

评注：解题时要抓住不等式组解集的意义（即各个不等式解集的公共部分）来求出m的取值范围.

例3 某公司推销一种产品．设x是推销产品的数量，y是推销费，图1中表示了公司每个月付给推销员推销费的两种方案y1、y2 ．根据图中信息解答下列问题：

（1）分别求y1、y2与x的函数关系式．

（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的．

（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？

解析：（1）设y1与x的函数关系式为y1=k1x，由图象得600=30k1，即k1=20．于是y1=20x（x≥0）.

设y2与x的函数关系式为y2=k2x+b，由图象得600=30k2+b，

300=b，解得k2=10，

b=300.所以y2=10x+300（x≥0）.

（2）方案y1是不推销产品就没有推销费，每推销1件产品的推销费为20元；方案y2是保底工资为300元，每推销1件产品再提成10元.

（3）令y1＞y2，即20x＞10x+300，解得x＞30.

若业务能力强，平均每月能保证推销的产品多于30件时，就选择付费方案y1；否则，选择付费方案y2.

评注：本题是用一元一次不等式与一次函数解决实际问题的综合题．由数形结合思想，根据图中信息列出函数关系式，再利用不等关系选择最优方案.

四、易错点直击

1． 因漏乘项而出错.

例4 解不等式：-2＞.

错解：去分母，得10x+2-2＞3x-15．移项、合并，得7x＞-15．系数化为1，得x＞-.

剖析：去分母时，不等式中的每一项都要乘以最简公分母．上面的错误就出现在-2这一项“漏乘”了最简公分母12.

正解：去分母，得10x+2-24＞3x-15．移项、合并，得7x＞7．系数化为1，得x＞1.

2． 忽视分数线的括号作用而出错.

例5 解不等式：-≥.

错解：去分母，得4×2x-1-6×3x-1≥5，即8x-1-18x-1≥5．移项、合并，得-10x≥7．系数化为1，得x≤-.

剖析：分数线除了可以表示除号和比号外，还起着括号的作用．上面的错误就出在去分母时，没有将分子2x-1和3x-1加上括号.

正解：去分母，得4（2x-1）-6（3x-1）≥5.去括号，得8x-4-18x+6≥5.移项、合并，系数化为1，得x≤-.

3． 移项或系数化为1时不变号而出错.

例6 解不等式：-3≤＜7.

错解：去分母，得-9≤1-2x＜21.移项，得-10≤-2x＜20.把系数化为1，得5≤x＜-10.

剖析：在系数化为1时，忘记了不等号方向的改变.

正解：去分母，得-9≤1-2x＜21.移项，得-10≤-2x＜20.把系数化为1，得-10＜x≤5.

4． 对“≥（或≤）”中“=”取舍不当而出错.

例7 如果关于x的不等式3x-m≤0的正整数解是1，2，那么m的取值范围是.

错解：由3x-m≤0即x≤的正整数解是1，2，有2≤≤3，解得6≤m≤9.

剖析：对“≥（或≤）”中“=”的意义理解不透，认为已知中带“=”，则解答过程中也应带“=”.

正解：由3x-m≤0即x≤的正整数解是1，2，有2≤＜3，解得6≤m＜9.

5． 曲解定义，套用方程组解法而出错.

例8 解不等式组：-3x-1＞3，①

2x+1＞3. ②

错解：①+②，得-x＞6，故x＜-6.

剖析：根据定义，不等式组的解集应该是每个不等式解集的公共部分．上述解法曲解了这一定义．两不等式相加后，改变了未知数的取值范围，因此x＜-6不是原不等式组的解集.

正解：①的解集为x＜-，②的解集为x＞1，数轴表示见图2，所以原不等式组无解．

五、相关中考题链接

1. （沈阳市）把不等式组2x-4≥0，

6-x＞3的解集表示在数轴上，正确的是（）.

A.B.

C.D.

2. （四川）不等式组2x＞-3，

x-1≤8-2x的最小整数解是（）.

A. -1B. 0C. 2D. 3

3. （益阳市）一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图3所示，那么这个不等式组可为（）.

A. x＞2，

x≤-1B. x＜2，

x＞-1

C. x＜2，

x≥-1D. x＜2，

x≤-1

4. （河南）如图4，关于x的一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（）.

A. x＞0B. x＞2

C. x＞-3D. -3＜x＜2

5. （青岛市）某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价120%的价格才能出售．但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多能让老板降价（）.

A. 80元B. 100元C. 120元D. 160元

6. （山西）若关于x的不等式组x-a＞2，

b-2x＞0的解集是-1＜x＜1，则（a+b）2 006=.

7. （包头市）一堆玩具分给若干个小朋友．若每人分3件，则剩余3件；若前面每人分5件，则最后一人得到的玩具不足3件．那么，小朋友的人数为.

8. （杭州市）已知a=，b=，并且2b≤＜a．请求出x的取值范围，并把这个范围在数轴上表示出来.

9. （佛山市）某工厂现有甲种原料226 kg，乙种原料250 kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共40件．生产A、B两种产品的用料情况如下表：

设生产A种产品x件，请解答下列问题：

（1）求x的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案．

（2）若甲种原料每千克50元，乙种原料每千克40元，请说明（1）中哪种方案较省钱．

相关中考题链接参考答案

1. A 2. A 3. C 4. C 5. C 6. 1 7. 3 8. ＜x≤6，数轴表示略. 9. （1）由题意列不等式组7x＋3（40－x）≤226，

一元一次不等式组教学反思 篇9

2、利用多媒体进行辅助教学，能直观的展示了一元一次不等式中各解集的公共部分、使学生更容易理解一元一次不等式解集的意义。

3、本节课的最大的亮点是通过小组合作探究新知、自学例题等环节鼓励学生自己探究，让学生真正去思考、去尝试，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，让学生学会思考了，解决问题的能力也得到了锻炼，让学生经历了整个探究过程，真正体现了学生是数学学习的主体，教师是学生数学学习的引导者和帮助者。教学的重难点也得到了很好的突破，教学效果不错；

4、注意渗透数学思想方法的教学、利用类比与化归的思想引导学生归纳一元一次不等式组的有关概念。运用数形结合的方法，引导学生通过小组合作探究，通过借助数轴找出公共部分解出解集。

5、练习的形式新颖，请第一组的同学任点其余三组的同学板演，板演的同学如不会做，可请本组的同学教的做法，激发了学生的兴趣，更好的关注了学困生，实现了兵教兵。

几点不足：

1、在对整节课的时间把握上有所欠缺，学生探究的时间过多，以致堂堂清无法在课堂上完成。

2、课堂的节奏还可以更紧凑些。

一元一次不等式说课稿 篇10

大家好，今天，我说课的内容是一元一次不等式。

对于本节课，我将从教什么、怎么教、为什么这么教来阐述本次说课。

新课标指出：数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上都能得到不同的发展。今天我将贯彻这一理念从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。

一、说教材

教材是连接教师和学生的纽带，在整个教学过程中起着至关重要的作用，所以，先谈谈我对教材的理解。

本节课主要讲述的是一元一次不等式的概念及其解法。

在本节课之前学生已经掌握了一元一次方程的相关知识和不等式的性质，所以，本节课类比一元一次方程的解法，利用不等式的性质解一元一次不等式。另外，本节课为后续学习解一元一次不等式组奠定基础。

不等式在日常生产生活中的应用很广泛，它与数、式、方程、函数甚至几何图形有着密切的联系，它几乎渗透到初中数学的每一部分。所以，本节课在数学领域中起着非常重要的地位。

二、说学情

合理把握学情是上好一堂课的基础，本次课所面对的学生群体具有以下特点。

本学段的学生逐渐掌握抽象概念和复杂的概念系统，能作科学定义，抽象逻辑思维逐步占优势。

本阶段的学生类比推理能力都有了一定的发展，并且在生活中已经遇到过很多关于一元一次方程的具体的事例，所以在生活上面有了很多的经验基础。为本节课的顺利开展做好了充分准备。

三、说教学目标

根据以上对教材的.分析以及对学情的把握，我制定了如下三维目标：

(一)知识与技能

认识一元一次不等式，会解简单的一元一次不等式，类比一元一次方程的步骤，总结归纳解一元一次不等式的基本步骤。

(二)过程与方法

通过对比解一元一次方程的步骤，学生自己总结归纳一元一次不等式步骤的过程，提高归纳能力，并学会类比的学习方法。

(三)情感态度价值观

通过数学建模，提高对数学的学习兴趣。

四、说教学重难点

本着新课程标准，吃透教材，了解学生特点的基础上我确定了以下重难点：

(一)教学重点

掌握一元一次不等式的概念，会解一元一次不等式并能够在数轴上表示出来。

例析一元一次不等式的概念 篇11

一、 不等式的概念

用不等号（>，≥，<，≤，≠）表示不等关系的式子，叫做不等式. 在判断不等式时，需要严格按照不等式的定义.

例1 在数学表达式：①-3<0，②3x+5>0，③x↑2-6，④x=-2，⑤y≠0，⑥x+2≥x中，不等式的个数是（ ）.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【解析】对照定义即可解决，其中x+2 ≥ x是矛盾不等式，也属于不等式的一种. 故选C.

二、 不等式的性质

不等式的性质与等式的性质有相同之处也有不同之处，所以我们在学习时要注意. 不等式性质之一是：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a>b，那么a±c>b±c；性质之二是：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a>b，c>0，那么ac>bc（或ac>bc）. 性质之三是：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a>b，c<0，那么ac

例2 如果a>b，那么下列结论中，错误的是（ ）.

A. a-3>b-3

B. 3a>3b

C. a3>b3

D. -a>-b

【解析】不等式的性质是解不等式的关键，只有理解了不等式的性质才能正确求出不等式（组）的解集和解决与不等式有关的一些问题.利用不等式的基本性质（1）可知A正确；利用基本性质（2）可知B，C正确.故选D.

例3 学习了不等式的性质后，小明和小亮对3a>2a是否成立进行了争论. 小明说：“给 3a>2a的两边同时除以a，得3>2，因为3>2成立，所以3a>2a也一定成立.”小亮说：“这是不正确的.”你认为谁说的对？为什么？

【解析】当a>0时，在不等式3>2的两边同乘以a，根据性质2，不等号方向不改变，此时3a>2a；当a=0时，3a=2a=0；当a<0时，在不等式3>2的两边同乘以a，根据性质3，不等号方向改变，此时3a<2a.

【点评】本题考查不等式的性质，解决这类问题首先要分清不等式两边同时乘以的是正数还是负数，若是负数，不等号的方向一定要改变，其次就是掌握分类讨论的数学思想，对a进行正确的分类.

三、 一元一次不等式的概念

类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式. 从概念中我们不难发现是不是一元一次不等式必须满足三个条件：（1） 一个未知数；（2） 未知数次是1；（3） 左右两边均是整式.

例4 下列不等式中哪一个不是一元一次不等式（ ）.

A. x>3

B. -y+1>y

C. 1x>2

D. 2x>1

【解析】对照一元一次不等式的定义可知选C.

四、 一元一次不等式的的解和解集

一般地，能够使一元一次不等式成立的未知数的值叫做一元一次不等式的解；它的所有的解的全体叫做这个不等式的解集. 一元一次不等式的解集可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴来表示. 用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，有等号（≥，≤）画实心点，无等号（>，<）画空心圈.

例5 下列说法中，错误的是（ ）.

A. 不等式x<2的正整数解只有一个

B. -2是不等式2x-1<0的一个解

C.不等式-3x>9的解集是x>-3

D.不等式x<10的整数解有无数个

【解析】本题考查的是如何解不等式和求不等式整数解. 不等式x<2的正整数解为x=1；2x-1<0的一个解为x<12，-2在这个解集中；x<10的整数解有无数个，包括无数个负整数解、零和1到9这9个正整数解. 故选C.

例6 不等式2x+1≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）.

【解析】先解不等式，再在数轴上表示解集. 移项，合并，得2x≥2，将x的系数化为1，得x≥1，故选D.

五、 解一元一次不等式

一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向. 解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将项的系数化为1. 当然我们在解不等式时，上面的五个步骤不一定都能用到，并且不一定按照顺序解，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤.

例6 不等式2x+13-10x+16≥54x-5，并把它的解集在数轴上表示出来.

【解析】一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同，不等式中含有分母，应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的项，再作其他变形. 所以去分母，得4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60；去括号，得8x-4-20x-2≥15x-60 ；项合并同类项，得-27x≥-54；系数化为1，得x≤2. 在数轴上表示解集如图所示：

六、 一元一次不等式的应用

列一元一次不等式解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等，或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要.

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例7 甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每张椅子80元. 甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠. 现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）.

（1） 分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；

（2） 购买的椅子至少多少张时，到乙厂家购买更划算？

【解析】（1） 根据甲乙两厂家的优惠方式可知：甲厂家所需金额为：3×800+80（x-9）=1 680+80x；乙厂家所需金额为：（3×800+80x）×0.8=1 920+64x；

（2） 令甲厂家的花费大于乙厂家的花费得：1 680+80x>1 920+64x，解得：x>15. 答：购买的椅子至少16张时，到乙厂家购买更划算.

七、 一元一次不等式组的概念及解法

由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组就叫做一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集. 我们把求一元一次不等式组的解集的过程，叫做解一元一次不等式组. 当任何数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集. 那如何解一元一次不等式组呢？通常是先分别求出不等式组中各个不等式的解集；然后利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集. 有时我们也可以用不等式组公共解的一般规律来确定解集. 这个规律就是：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了.

例8 解不等式组2x+1<-1，

3-x≥1.并将解集在数轴上表示出来.

【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.

【答案】2x+1<-1，①

3-x≥1.②

解不等式①得：x<-1，解不等式②得：x≤2，

所以不等式组的解集是：x<-1；在数轴上表示不等式组的解集，如图所示：

【总结】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式（组）的解集等知识点的理解和掌握. 能够根据不等式的解集找出不等式组的解集是解决此题的关键.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）

一元一次不等式测试卷 篇12

1.不等式组的解集是 () .

A.x≥-1 B.x<5 C.-1≤x<5 D.无解

2.若m>n, 则下列不等式中成立的有 () .

(1) m+a<n+b; (2) ma<mb; (3) ma2>na2; (4) a-m<a-n.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.若不等式2x<4的解都能使关于x的一次不等式 (a-1) x<a+5成立, 则a的取值范围是 () .

A.1<a≤7 B.a≤7 C.a<1或a≥7 D.a=7

4.如果a>b, c<0, 那么下列不等式成立的是 () .

5.下列不等式变形正确的是 () .

A.由a>b, 得ac>bc B.由a>b, 得-2a>-2b

C.由a>b, 得-a>-b D.由a>b, 得a-2>b-2

6.若不等式组的解集是x>a, 则a的取值范围是 () .

A.a<3 B.a=3 C.a>3 D.a≥3

7.已知方程组的解x、y, 且2<k<4, 则x-y的取值范围为 () .

8.如果不等式的解集是x<2, 那么m的取值范围是 () .

A.m=2 B.m>2 C.m<2 D.m≥2

9.若不等式组有实数解, 则实数m的取值范围是 () .

10.已知m, n为有理数, 则解集可以是-3<x<2的不等式组是 () .

二、填空题

11.x的1/2与5的差不小于3, 用不等式表示为______.

12.设a>b, 用“<”或“>”填空:

(1) 2a-5______2b-5; (2) -3.5b+1______-3.5a+1.

13.不等式的整数解为______.

14.关于x的不等式2x<a+5的解集是x<2, 则a______.

15.若|a-3|=3-a, 则a的取值范围是_______.

16.若关于x, y的二元一次方程组的解满足x+y<2, 则a的取值范围为________.

17.已知 (3x+18) 2+|4x-y-2k|=0, 当k为何值时, y为负数.

18.如果那么x与y之间的关系式是______, 若y>9, 则x的范围是______.

19.关于x的不等式组的整数解共有5个, 则m的取值范围是______.

20.若不等式组的解集为-1<x<1, 则 (a+1) (b+1) =_______.

三、解答题

21.解下列不等式, 并把它们的解集在数轴上表示出来.

22.解下列不等式组

23.y为何值时, 代数式与的差是非负数?

24.求同时满足7x+1<5x+2及的偶数.

25.已知方程组的解中, x为非正数, y为负数.求:

(1) a的取值范围.

(2) 化简a-3+a+2.

(3) 在a的范围内, 当a为何整数时, 不等式2ax+x>2a+1的解为x<1?

26.已知关于x的不等式组的所有整数解的和为-5, 求m的取值范围.

27.为了举行班级晚会, 孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具, 并买一些乒乓球拍做奖品, 已知乒乓球每个1.5元, 球拍每个22元, 如果购买金额不超过200元, 且买的球拍尽可能多, 那么孔明应该买多少个球拍?

28.某工厂生产A、B两种产品共50件, 其生产成本与利润如下表:

一次函数与一元一次不等式练习题 篇13

一、选择题

1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（）

A．x>1B．x≥1C．x<1D．x≤1

2．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0•的解集是（）

A．x>-2B．x≥-2C．x<-2D．x≤-2

3．已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x轴的交点是（）

A．（0，1）B．（-1，0）C．（0，-1）D．（1，0）

二、填空题

4．当自变量x的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x轴下方．

5．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2•的解集是________．

6．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12•的解集是________．

7．已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x•轴的交点是__________．

8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3•的交点坐标是_________．

三、解答题

9．某单位需要用车，•准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y元，付给出租车公司的月租费是y元，y，y分别与x之间的函数关系图象是如图11-3-4所示的两条直线，•观察图象，回答下列问题：

（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？

（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？

（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，•那么这个单位租哪家的车合算？

10．在同一坐标系中画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图象，并根据图象回答下列问题：

（1）写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点P的坐标．

（2）直接写出：当x取何值时y1>y2；y1

211．已知函数y1=kx-2和y2=-3x+b相交于点A（2，-1）

（1）求k、b的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象．

（2）利用图象求出：当x取何值时有：①y1

解一元一次不等式练习题 篇14

（1）7>4（2）3x ≥ 2x+1（3）20（4）x+y>1（5）x2+3>2xx1、解下列的一元一次不等式（并在数轴上表示出来，自己画数轴）

（1）x－5<0（2）x+3 ≥ 4(3)3x > 2x+1(4)-2x+3 >-3x+1

(1)2x > 1(2)–2x ≤ 1(3)2x >-1(4)22x2（5）x2（6）x2 33

（1）2（x+3）<7(2)3x－2（x+1）>0

(3)3x－2（x－1）>0(4)－(x－1)>04、下列的一元一次不等式(1)xx1xx2x1x2xx1（3）1（4）1 （2）323223231、解下列不等式

12（1）x（2）(x1)2（3）x2＋x23

2x1x21（4）(x1)2（5）323

－2x1x32（7）－3（6）23

一元一次不等式的应用 篇15

误区1:移项忘记变号致错

例1解不等式5x+1≤3x+7

错解:移项得5x+3x≤1+7,即8x<8,解得x≤1

错因剖析:移项法则掌握不牢,和解方程一样,不等式中的项从不等式的一边移到另一边时,一定要改变符号.

正解:移项得5x-3x≤7-1,即2x≤6,解得x≤3

误区2:违背不等式的基本性质致错

例2解不等式3x+4≤5x-2

错解:移项得3x-5x≤-2-4,即-2x≤-6,解得x≤3

正解:x≥3

误区3:违背去括号法则致错

例3解不等式5x-2(8-x)≥6x-3(4-x)

错解:去括号得5x-16-x≥6x-12-x

移项,合并同类项得-x≥4

解得x≤-4

错因剖析:上述去括号有两点错误:1一个数与多项式相乘,去括号时,应将这个数与括号内的每一项相乘;2括号前面是负号,去括号时括号内的每一项都要改变符号.

正解:去括号得5x-16+2x≥6x-12+3x

移项,合并同类项得-2x≥4

解得x≤-2

误区4:去分母时漏乘某些项致错

例4解不等式

错解:去分母得3(2x+1)≥2(x-1)+1

去括号、移项,合并同类项得4x>-4

解得x>-1

错因剖析:错解对不等式的基本性质2理解不透,在去分母时,应将最简公分母乘以不等式的每一项.

正解:去分母得3(2x+1)≥2(x-1)+6

去括号、移项,合并同类项得4x>1

解得x>1/4

误区5:忽视分类讨论致错

例5解关于x的不等式3x-a≤ax+1

错解:移项,合并同类项得(3-a)x≤a+1

系数化为1得

错因剖析:由于不能确定未知数的系数的符号,所以必须分类讨论.

正解:移项,合并同类项得(3-a)x≤a+1

当a<3时,当a=3时,不等式的解集为全体实数;当a>3时,

误区6:忽视分数线的括号作用致错

例6解不等式

错解:去分母得2y+1-6y-5≥12

移项得2y-6y≥12-1+5

合并同类项得-4y≥16

系数化为1得y≤-4

错因剖析:分数线具有“括号”作用.所以,在去分母时,分数线上面的多项式应作为一个整体,加上括号.

正解:去分母得2(y+1)-3(2y-5)≥12

去括号得2y+2-6y+15≥12

移项得2y-6y≥12-2-15

合并同类项得-4y≥-5