“推理与证明、复数”测试卷

“推理与证明、复数”测试卷（共3篇）

“推理与证明、复数”测试卷篇1

1-1. (改编)已知数列{an}中,a1=-,前n项和Sn满足Sn++2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.

1-2. (改编)对于任意正整数n,猜想2n-1与(n+1)2的大小关系.

2. (人教A版选修1-2第2.2节“直接证明与间接证明”例6)已知,≠k+(k∈Z),且sinθ+cosθ=2sin,sinθcosθ=sin2,求证:=.

2-1. (改编)求证:+>2+.

2-2. (改编)求证:当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积比正方形的面积大.

3. (人教A版选修1-2第2.2节“直接证明与间接证明”例8)已知直线a,b和平面α,如果aα,bα,且a∥b,求证:a∥α.

3-1. (改编)设{an}是公比为q(q≠0)的等比数列,Sn是它的前n项和,求证:数列{Sn}不是等比数列.

3-2. (改编)若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证:a,b,c中至少有一个大于0.

3-3. (改编)已知函数f(x)是R上的增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”,写出其逆命题,判断其真假并证明你的结论.

4. (人教B版选修2-2第2.3.2点“数学归纳法应用举例”例1)用数学归纳法证明:12+22+32+…+n2=.

4-1. (改编)设a0为常数,且an=3n-1-2an-1(n∈N*),证明:an=[3n+(-1)n-1•2n]+(-1)n•2na0(n≥1).

4-2. (改编)数列{an}满足a1=1,且an+1=1+an

+(n≥1),用数学归纳法证明:an≥2(n≥2).

5. (人教B版选修1-2第3.2.2点“复数的乘法和除法”例2)求证:

(1) z•=|z|2=||2;

(2) 2=()2;

(3) =•.

5-1. (改编)设复数z=,求1+z+z2+…+z2006的值.

5-2. (改编)设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,求z的值.

1-1. 由S1=-,S2=-,S3=-,S4=-,S5=

-,猜想Sn=-.

1-2. 当n≤6时,2n-1<(n+1)2;当n=7时,2n-1=(n+1)2;当n=8时,2n-1>(n+1)2(n∈N*).

2-1. 提示:用分析法,两边平方,逐步推导即可.

2-2. 设圆和正方形的周长均为l,则圆的面积为π2,正方形的面积为2.

只需证明π2>2,只需证明>.

两边同乘以正数,得>,即只需证明4>π.

因为上式是成立的,所以原命题得证.

3-1. 假设{Sn}为等比数列,则S2 2=S1S3,整理可得(1+q)2=1+q+q2,即q=0,与q≠0矛盾.

3-2. 设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0.而a+b+c=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0,这与假设矛盾.

3-3. 逆命题是:若“f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0”.它是真命题.

证明如下:假设a+b<0,则a<-b,b<-a.

又因为f(x)是R上的增函数,所以f(a)

4-1. 当n=1时,由已知a1=1-2a0=(3+2)-2a0,即等式成立;

假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即ak=[3k+

(-1)k-12k]+(-1)k2ka0,

那么当n=k+1时,ak+1=3k-2ak=[3k+1+(-1)k2k+1]+(-1)k+12k+1a0,即等式也成立.

综上可知,等式对任意n∈N*成立.

4-2. 当n=2时,a2=2≥2,不等式成立;

假设当n=k(k≥2)时,不等式成立,即ak≥2(k≥2),

那么当n=k+1时,有ak+1=1+ak+≥1+×2+=2++>2(k≥2),即不等式也成立.

综上可知,an≥2对所有n≥2成立.

5-1. z=i,原式=i.

5-2. 设z=bi,则|z-1|=|-1+bi|=.

推理证明复数篇2

2011-2-14

闫英

一、推理与证明考纲要求：

（一）合情推理与演绎推理

1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

（二）直接证明与间接证明

1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2．了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

（三）数学归纳法

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.重、难点：推理及证明方法

考向预测：

1．推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。2．推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。

二、复数考纲要求：

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

（2）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；

（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。（4）能进行复数形式的四则运算，了解复数形式的加、减运算的几何意义。（5）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．教学建议

（一）教材分析

1、知识结构

本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念．

2、重点、难点分析

（1）正确复数的实部与虚部

对于复数是，虚部是，实部是，虚部是

．注意在说复数

时，一定有，否则，不能说实部,复数的实部和虚部都是实数。

这一标准形式以及

是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很说明：对于复数的定义，特别要抓住

大的帮助。

（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：

①设，则为实数

②

为虚数

③ 且。④ 为纯虚数且

（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式 ②实部、虚部中的字母为实数，即

（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

①任何一个复数些书上就是把实数对（②复数都可以由一个有序实数对()叫做复数的．用复平面内的点Z（）表示．复平面内的点Z的坐标是（），而不是（），也就)唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是．由于 =0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度．

③当数．但当时，时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点（）（）都是表示纯虚是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意．（5）关于共轭复数的概念

设，则，即

与的实部相等，虚部互为相反数（不能认为

与或

是共轭复数）．

（6）复数能否比较大小

教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

①根据两个复数相等地定义，可知在

两式中，只要有一个不成立，那么

．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．