数学建模中的常用算法

数学建模中的常用算法（精选10篇）

数学建模中的常用算法 篇1

一、选择题（12×5＝60分）

1、复数1+2=()2i

(A)1+2i(B)1-2i(C)-1(D)

32、设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的()

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

3、设复数z满足1zi，则|1z|=（）1z

A.0B.1C.2D.2m1ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则mni（）1i

A．12iB． 12iC．2iD．2i

122x

5、有四个关于三角函数的命题: p1:x,yR;sinxcos2

2sinx p2:x,yR;sin(xy)sinxsiny ；p3:x[0,];

4、已知

2A,p1,p4B,p2,p4C,p1,p3D,p2,p36、在复平面内，复数zsin2icos2对应的点位于()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

7、如下面的图,框图表示的程序所输出的结果是（）

（A）3（B）12（C）60（D）3608、下面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）

A.c > xB.x > cC.c > bD.b > c 1

9、右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，121称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示 1331的数是（）14a41(A)2(B)4(C)6(D)8 151010

51p4:sinxcosyxy, 其中是假命题的是()

第(7)题图

第(8)题图

3an，那么根据归纳推理可得数列的通项公式()3an

2332n1A,B,C,D, 2 n1nn22n1n2

11、平面向量a，b共线的充要条件是（）

10、已知数列{an}中，a11,an1

A.a，b方向相同

C.R，ba B.a，b两向量中至少有一个为零向量

D.存在不全为零的实数1，2，1a2b0

12、已知平面α⊥平面β，α∩β= l，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）．．．

A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β

二、填空题（4×5＝20分）

13、若复数z1a2i, z234i，且

14、若xy2z1为纯虚数，则实数a的值为。z

20，则x0且y0的逆否命题_____________________________

15、设zC，且|zi||z1|，则复数z在平面直角坐标系中对应的点的轨迹方程为

___________________________________。zi的最小值为________________。

16、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则 f(4)__________;f(n)=________________

三、解答题（4×10＝40分）

17、在△ABC中，三个内角A,B,C对应的边分别为a, b,c.且A,B,C成等差数列，a, b,c成等比数列。求证：△ABC为等边三角形。

18、已知复数z1m(4m2)i(mR)，z22Cos(3Sin)i

(,R)，并且z1z2，求的取值范围。

19、已知{a*

n}是正数组成的数列，a1=

1，且点an1)(nN)在函数

y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若列数{ba

2n}满足b11,bn1bn2n，求证：bnbn2bn1.20、设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，q：实数x满足x2x60

或x22x80，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围。

高中数学测试题

（八）答案

一，CACCABDACC DD

二，13，814，若x0或y0，则xy20

315，y

x，16，f(4)=37;f(n)3n23n1 三，17，证明：有A,B,C成等差数列，有2B＝A+C,①

∵A,B,C为△ABC的内角，∴ A＋B＋C＝,②∴由①②得，B

由a, b,c23。③ 成等比数列，有bac。④由余弦定理以及③式可得，b2a2c22acCos2B2a，再由④式可得，caca2c2acac

即(ac)20，因此ac，从而有A＝C,⑤由②③⑤可得

ABC

18，由z13，所以△ABC为等边三角形。z2，可得m2Cos，①4m23Sin，②

2由①②可得：44Cos3Sin 即化简4Sin23Sin 32939即4(sin)∴当Sin时，min 816816

当sin1时，max7，故[9,7]。16

19，（Ⅰ）由已知得an+1=an+

1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2.n

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1

=2+2+···+2+1n-1n-2

12n

＝12=2n-1.因为bnn+2n-1

n·bn+2-b2

n1=(2-1)(2-1)-(2-1)2

=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)

=-5·2n+4·2n

=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b2

n1,20，设A{x︱x24ax3a20(a0)}＝{x︱3axa(a0)}

B{x︱x2x60或x22x80}

＝{x︱2x3}∪{x︱x4或x2}＝{x︱x4或x2} ∵p是q的必要不充分条件，∴qp且p推不出q

∴CRBCRA，∵CRB{x︱4x2}

CRA＝{x︱x3a或xa}

则有a4且a0①或3a2且a0②

所以a4或2

浅谈数学应用题教学中的常用方法 篇2

一、图示法

当教师出示一道应用题后，要让学生读题，找出题目中的已知条件和问题。这时学生虽然根据教师的要求做了，但对于题目的意思还没有理解，教师就要画出线段图来帮助学生理解，并在线段图上标明条件和问题，使学生一目了然。

二、分析法

当学生找出题目里的已知条件和问题后，教师要引导学生思考先算什么，后算什么。怎样从已知的条件里面找出隐藏的问题，这就是先算什么，最后解答出问题。例如：人教版小学数学第九册第32页例11，当学生找出条件后，可引导学生根据条件求出1头奶牛一周的产奶量这个隐藏的问题。可以用分析图来帮助学生理解：

学生就可以根据这个分析图列出算式进行解答。

算式为：220.5÷3÷7

三、综合法

对于同样的题，还可以引导学生从问题中找出解答这个问题的条件。有的条件是已知的，有的条件是未知的，要根据题里的已知条件求出未知条件。例如：人教版小学数学第九册第32页例11，可以引导学生从问题“平均每头奶牛每天产奶多少千克”切入，引出“3头奶牛一天产奶多少千克”或“1头奶牛一周产奶多少千克”这个未知条件，再根据题目的已知条件求出。可以用圖来表示：

数学建模中的常用算法 篇3

本文首先综述了实现运动检测的几种传统常用算法.最后对这种技术在高速公路上的`运用作了一个简略的介绍.

作 者：侯丹红 钟雄 作者单位：侯丹红(广州医学院从化学院计算机教研室,510900)

钟雄(广东机电职业技术学院工商外语系,510515)

数学建模常用的十种方法 篇4

时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）

2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）

3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）

4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）

5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）

6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）

7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）

8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）

9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）

数学常用解题方法 篇5

(1) 选择题、填空题

选择题、填空题通称为小题，解答小题的原则为小题不大做，即用各种技巧解答问题，常用方法如下。

做小题有以下几种基本方法：

1、回忆法。直接从记忆中取要选择的内容。

2、直接解答法。多用在数理科的试题中，根据已知条件，通过计算、作图或代入选择依次进行验证等途径，得出正确答案。

3、淘汰法。把选项中错误中答案排除，余下的便是正确答案。

4、猜测法。

5、数形结合法

6、特殊值法。

二、考场上解题策略

数学要想考好，必须要有扎实的基础知识和一定量的习题练习，在此基础上辅以一些做题方法和考试技巧。高考考的是个人能力，要求考生不但会做题还要准确快速地解答出来，只有这样才能在规定的时间内做完并能取得较高的分数。因此，对于大部分高考生来说，在考试时应处理好以下几个关系。

1、快与准的关系

在目前题量大、时间紧的情况下，准字则尤为重要。只有准才能得分，只有准你才可不必考虑再花时间检查，而快是平时训练的结果，不是考场上所能解决的问题，一味求快，只会落得错误百出。适当地慢一点、准一点，可得多一点分;相反，快一点，错一片，花了时间还得不到分。

2、审题与解题的关系

有的考生对审题重视不够，匆匆一看急于下笔，以致题目的条件与要求都没有吃透，至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起，这样解题出错自然多。只有耐心仔细地审题，准确地把握题目中的关键词与量(如至少，0，自变量的取值范围等等)，从中获取尽可能多的信息，才能迅速找准解题方向。

3、会做与得分的关系

要将你的解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表述，这一点往往被一些考生所忽视，因此卷面上大量出现会而不对对而不全的情况，考生自己的估分与实际得分差之甚远。如立体几何论证中的跳步，使很多人丢失1/3以上得分，代数论证中以图代证，尽管解题思路正确甚至很巧妙，但是由于不善于把图形语言准确地转译为文字语言，得分少得可怜;对于许多看似简单的题目，许多考生心中有数却说不清楚，扣分者也不在少数。只有重视解题过程的语言表述，会做的题才能得分。

4、难题与容易题的关系

数学建模中的常用算法 篇6

常用算法

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）08A-

0086-01

数学作为各个学科中极具挑战性的一门课程，其教学方式关系着最终的教学效果。在教学过程中，有理数的运算是初中数学学习的一个重点，也是难点，更是学生学好初中数学的一个关键点。灵活巧妙地运用有理数运算方法，可以大幅度提高学生的运算速度以及准确度，更有助于学生思维能力的锻炼。下面，笔者根据多年的教学经验，对初中数学中有理数运算的几种常见算法进行详细的介绍和简单的分析。

一、倒序相加法

倒序相加法应用于有一定规律的数字求和中，具体表现在前后数字的差值一定，首尾以及距离首尾等距离的数字之和一定，这样的有理数题型就能够使用倒序相加法进行解答。例如，计算5+10+15+20+……+1990+1995的和。首先，我们可以明显地看出题目中的数字的规律性。其次，在进行题目分析时，我们不难发现，5+1995=2000，10+1990=2000……以此类推，首尾项以及距离首尾项等距的数字和都是2000。因此，本题型适用于倒序相加法。具体的解题步骤如下：首先设s1=5+10+15+……+1990+1995，其次将上式采用倒序的方法写下来，设为s2=1995+1990+……+15+10+5。这样便可以简单地将s1与s2的和算出，得出原题目的答案就是s1与s2总和的一半。从中我们不难发现，如果相邻的项之间存在固定的差值关系，那么就可以运用倒序相加法来解决。

二、错位相减

为了方便多个有理数求和，还有一种看似增加了加数，实质上却简便了算式的错位相减法。错位相减法也是解决有理数算式的重要方法。利用错位相减法解答的有理数题型也有着明显的特征。例如，计算3+6+12+24+……768+1536的和是多少。在这个题型中，我们可以很轻易地发现其中的数字排布规律，即从第一项以后，每一项都是前一项的2倍，这就是本题的突破口。试想，如果将这道题目中的每一个数字乘以2，那么得到的新的式子只有最后一项和原式第一项不同，我们就可以利用这一个特点来进行有理数的简便运算。具体的解法如下：令s=3+6+12+24+……768+1536，那么2s=6+12+24+……768+1536+3072，可以利用他们之间的相同项进行消除运算，即2s-s=-3+3072=3069，解得s=3069。从中我们可以看出，如果项与项之间存在固定的倍数关系，就可以运用错位相减法进行解决。

三、拆项法

在进行有理数运算时用对了方法，就会有一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。拆项法就是这样一种神奇的方法。它经过简化可以将相同项进行消除，让看似复杂繁琐的计算变得简洁清晰。拆项法，顾名思义，就是将题目中的项进行拆分，从而达到消除相同项的目的。因此，拆项法又叫做裂项相消法。例如，=1-、=-，利用这种性质，我们可以解决相类似的一系列有理数计算问题。例如，计算1++++……+的和是多少。这个题目就完全满足拆项法的解答条件。原式根据上述方法进行拆项后可以转化为1+1-+-+……-=1+1-=。这样，相同的项就被轻而易举的消除，原来复杂的项被拆分、简化，为有理数的计算提供了解答的可能。

四、换元法

换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法。利用换元法进行解题，能够简化分式，简便运算。例如，计算题：（++++……+）（1+++++……+-（1+++++……+）（++++……+）.通过观察可以发现，在这个复杂的分式混合运算中有着共同的一部分就是++++……+，为了方便计算，我们可以将这个共同的部分用M代替，那么原式就变成了（M+）（1+M）-（1+M+）M.再进行拆分，就能够让原式变成（M+M·M++）-（M+M·M+）.再进行运算就相当简单了，得出最终结果。

总之，有理数相关题型千变万化，但是万变不离其宗，学生在初中时期能够熟练地掌握有理数的解题技巧，就一定能够提高解题的速度和质量，提高教学效率。

数学建模中的常用算法 篇7

【导语】海南教师资格考试：http://hi.zgjsks.com/。

在海南教师资格中学教师资格考试中，高中数学常用公式及常用结论知识点的复习向来是考生复习备考阶段的一大重点，其中中公教师考试网为高中数学常用公式及常用结论知识点的复习为考生提供知识点梳理，帮助考生备考！

初中数学常用的解题技巧 篇8

由于数学问题纷繁复杂，学生容易受定势思维的影响，这样就会响解题思路造成很大的影响。例如：AB=DC，AC=DB。求证：∠A=∠D。

此题是一道比较经典的证明全等的题型，主要是对学生对已知条件整合能力和观察识图能力的锻炼。然而，从图形的直观角度来证明∠AOC=∠DOB，这样的思路只会落入题目所设下的陷阱。

发挥想象力，借助面积出奇制胜

面积问题是数学中常出现的问题，在面积定义及相关规律中，蕴含着深刻的数学思想，如果学生能充分了解其中的韵味，能够熟练的掌握其中的数学论证思维，就有可能在其他数学问题中借助面积，出奇制胜顺利实现解题。

巧取特殊值，以简代繁

初中数学虽然是基础数学，但是这并不意味着就没有难度，特别是在素质教育下，从培养学生综合素质能力的角度出发，初中数学越来越重视数学思维的培养，因此在很多数学问题的设置上，都进行了相当难度的调整，使得数学问题显得较为繁杂，单一的思维或者解题方式，在有些题目面前会显得较为艰难。如有些数学问题是在一定的范围内研究它的性质，如果从所有的值去逐一考虑，那么问题将不胜其烦甚至陷入困境。在这种情况下，避开常规解法，跳出既定数学思维，就成了解题的关键。

巧妙转换，过渡求解法

数学建模中的常用算法 篇9

【关键词】高中数学 算法 教学设计

高中数学中的算法是指在数学学习的过程中，通过寻找规律和体现流程来解决问题的方法，它能保证解决问题的速度和准确性。与传统的数学教学相比，算法教学更注重学生看待问题时的视角和思维模式，从方法入手，教导学生如何简化问题，如何探索结论。在计算机技术大力发展的今天，计算机程序也为算法教学的进行提供了巨大的支持，老师可以通过计算机编程，或教学生编程，来锻炼学生的逻辑思维能力，学生面对数学问题时有更加灵活多变的处理方法。因此，算法教学已经受到越来越多高中数学教育工作者的青睐。

在高中数学教学中，算法教学可以分为两种，一种是基于思维探究的书面算法，一种是基于程序的计算机算法，这两种算法相辅相成。前者是后者的基础，后者是前者的简化，老师教学时要注意将这两种方法适当的结合起来，充分利用教学资源，在提高学生学习成绩的同时，锻炼他们的思维能力，培养他们积极思考的学习态度。

一、推广算法教学思想

算法教学与传统的数学教学有一些区别，传统数学教学注重模式和结果，对相似问题多采取的是生搬硬套的方法，而算法教学注重逻辑思维和解决问题的流程，着眼于问题的本质。这对学生的要求很高，老师教学起来有一定的难度，首先就是要将算法教学的思想传达给学生，让学生能够转变思想，积极与老师配合。

比如，学习《函数的概念和图象》时，老师不要急于教函数方程的解法，可以通过观察去寻找函数的突破点，或者培养学生首先做出函数图像的学习习惯，通过对抛物线的分析，或者图形的象限区域选择，让问题变得直观，从而方便解答，也更容易找出错误所在。

又比如，在学习《函数与方程》的时候，老师要引导学生注意区分方程的情况，关注问题中所给出的区分条件，如当方程无实根时，求未知数的取值范围，或者当方程有唯一实根时，求未知数的值等等。这些条件是解题过程的思路体现，学生可以根据揣摩这些条件来确定解题的思维，并且这些条件应用在计算机程序上也是最为关键的条件语言。因此，老师在教学过程中就要特别注意教导学生对条件进行区分，掌握各条件的特点和衍射情况，让学生的思维更加清晰活跃。

推广算法教学思想是进行算法教学的前提，只有让学生认识到思维的重要性，领会到算法的实用与便捷，才能让他们对老师的教学充满信心，从而在学习上减少怀疑和消除顾虑。除了在学生中推广算法教学思想，老师还可以向学校提出建议，在硬件上给予支持，普及计算机的使用，开设计算机课程，为算法教学提供有力的帮助。

二、加强计算机程序应用

算法是计算机技术的核心，一段程序最为关键的地方就是熟悉语言流程所代表的意义，如何将语言流程没有疏漏的、完善的表达出来。高中数学的知识复杂繁琐，在应用计算机程序上虽然对学生的思维要求颇高，但反过来，通过计算机程序的阅读和编写，也能让学生的思维更加清楚流畅，起到互相促进的作用。

比如，在学习《等差数列》一章时，因为等差数列特定的规律，就可以利用计算机编程来加快学生吸收知识的速度。以从一加到一百为例，老师可以事先编写程序，以S存放和，从0开始，i表示项数，从1开始，当条件语句i<=100时，s=s+i，同时i=i+1，当不符合条件时，输出结果s。对于这个程序，老师要着重教导学生注意和的叠加和项数的叠加要同时进行，这样学生就能领会到等差数列求和的本质和应该要注意的问题，在利用计算机程序进行计算的过程中，学生能够感受到计算机计算的速度和便捷，对算法教学会产生浓厚的兴趣。

又比如，在学习统计知识的时候，由于统计的数据往往庞大而繁琐，学生即便知道统计的要领，但是在操作上也心有余而力不足。这种情况下，计算机就成了必备条件。通过计算机程序的编写，学生可以快速的对数据进行分类，如归类学生的成绩，90分以上的为第一类，90以下，60以上的为第二类，60以下的为第三类，利用计算机算法，这样的分类不用一秒就能完成。又如，在绘制图表方面，计算机根据程序语言绘制的图表快速而精确，能够做到直接生成，大大减少了工作量，而且在程序编写过程中，学生会对统计的知识进行复习和巩固，如果程序表现的结果有误，也能第一时间去查漏补缺，大大提高了学生学习的效率。

计算机程序的应用是算法教学的一个主要体现，它让算法变得直观清楚，不仅提高了老师的教学效率，也让学生的学习变得灵活。在计算机程序的应用上，数学的教育可以与计算机的教育相结合，因为在大学、硕士乃至博士生的学习中，计算机与数学是密不可分的，在数学、计算机、工程、生化等领域，两者都发挥着巨大的作用。因此，老师可以通过计算机竞赛，数学编程竞赛等实践活动，让学生深入的领会算法教学的精髓，为学生以后的学习打好基础。

三、结语

算法教学通过对学生思维的培养，养成他们独立思考、深入探索的学习习惯。通过对计算机程序的应用，为学生解决复杂的数学问题提供了可靠的软硬件支持，让学生的学习过程变得简洁而有效率。因此，算法教学应该被广泛的应用于高中数学的教学中，在提高学生成绩和思维的同时，与时俱进，开发更加先进的教学方法。

数学建模中的常用算法 篇10

目 学

生 指导教师年

级 专

业 二级学院（系、部）

全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨柴云飞 闫 峰

教授 2009级本科 数学与应用数学 数学系

2013年6月

邯郸学院数学系

郑重声明

本人的毕业论文是在指导教师闫峰的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．

论文经“中国知网”论文检测系统检测，总相似比为5.80%．

毕业论文作者（签名）：

****年**月**日

全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨

摘 要

全国大学生数学建模竞赛作为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，越来越受到人们的重视，所以建模竞赛的方法也就变得尤为重要．随着竞赛的不断发展，赛题的开放性逐步增大，一道赛题可用多种解法，各种求解的算法有时会相互融合，同时也在向大规模数据处理方向发展，这就对选手的能力提出了更高的要求．由于建模方法种类众多，无法一一介绍，所以本文主要介绍了四种比较常用的数学建模竞赛方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论方法，并结合历年赛题加以说明．

关键词：数学建模竞赛 统计学方法 数学规划 图论

I

Commonly Used Modeling Method of

China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling Chai yunfei

Directed by Professor Yan feng

ABSTRACT

more people as a basic subject of the largest national college competition.The method of modeling competition has become more and more important.Open questions gradually increased with the development of competition.Most of the games can be solved by lots of solutions.Sometimes these methods can be used together.And there is also a lot of data which puts forward higher requirement on the ability of players.The modeling methods is too numerous to mention, so this article mainly four kinds Commonly used modeling method are introduced that differential and difference equations modeling method, Mathematical programming modeling method, Statistics modeling method, graph theory and interprets with calendar year’s test questions.KEY WORDS：Mathematical contest in modeling Statistics method Mathematical programming Graph theory

II

目 录

摘 要..............................................................................................................................................I 英文摘要........................................................................................................................................II

前 言.............................................................................................................................................1 1 微分方程与差分方程建模.........................................................................................................2

1.1 微分方程建模..................................................................................................................2

1.1.1 微分方程建模的原理和方法...............................................................................2 1.1.2 微分方程建模应用实例.......................................................................................3 1.2 差分方程建模..................................................................................................................4

1.2.1 差分方程建模的原理和方法...............................................................................4 1.2.2 差分方程建模应用实例.......................................................................................5 数学规划建模.............................................................................................................................5

2.1 线性规划建模的一般理论..............................................................................................6 2.2 线性规划建模应用实例..................................................................................................7 3 统计学建模方法.........................................................................................................................8

3.1 聚类分析..........................................................................................................................8

3.1.1 聚类分析的原理和方法.......................................................................................8 3.1.2 聚类分析应用实例...............................................................................................9 3.2 回归分析..........................................................................................................................9

3.2.1 回归分析的原理与方法.......................................................................................9 3.2.2 回归分析应用实例.............................................................................................10 图论建模方法...........................................................................................................................10

4.1 两种常见图论方法介绍................................................................................................11

4.1.1 模拟退火法的基本原理.....................................................................................11 4.1.2 最短路问题.........................................................................................................11 4.2 图论建模应用实例........................................................................................................12 5 小结...........................................................................................................................................13 参考文献.......................................................................................................................................14 致 谢...........................................................................................................................................15

前 言

全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛．参赛者需要根据题目要求，在三天时间内完成一篇包括模型假设、模型建立和求解、计算方法的设计和实现、模型结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文．通过参加竞赛的训练和比赛，可以提高学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，而且在培养团队精神和撰写科技论文等方面都会得到十分有益的锻炼．

竞赛题目的涉及面比较宽，有工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等．竞赛选手不一定预先掌握深入的专业知识，而只需要学过高等数学的相关课程即可，并且题目具有较大的灵活性，便于参赛者发挥其创造能力．近年来，竞赛题目包含的数据较多，手工计算一般不能实现，所以就对参赛者的计算机能力提出了更高的要求，如2003年B题，某些问题的解决需要使用计算机软件；2001年A题，问题的数据读取需要计算机技术，并且对于给出的图像，需要用图像处理的方法获得；再如2004年A题则需要利用数据库数据，数据库方法，统计软件包等等．

竞赛题目的总体特点可大致归纳如下：（1）实用性不断加强，问题和数据来自于实际，解决方法需要切合实际，模型和结果可以应用于实际；（2）综合性不断加强，解法多样，方法融合，学科交叉；（3）数据结构越来越复杂，包括数据的真实性，数据的海量性，数据的不完备性，数据的冗余性等；（4）开放性也越来越突出，题意的开放性，思路的开放性，方法多样，结果不唯一等．总体来说，赛题向大规模数据处理方向发展，求解算法和各类现代算法相互融合．

纵观历年的赛题，主要用到的建模方法有：初等数学模型、微分与差分方程建模、组合概率、数据处理、统计学建模、计算方法建模、数学规划、图论方法、层次分析、插值与拟合、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、计算机模拟法、灰色系统理论、时间序列等．

本文不一一列举竞赛题目中涉及的所有方法，只是重点讨论其中一些比较常用的方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论建模方法，并结合案例说明建模方法的原理及应用． 微分方程与差分方程建模

在很多竞赛题目中，常常会涉及很多变量之间的关系，找出它们之间的函数关系式具有重要意义．可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但可以得到含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程.建立微分方程或差分方程的数学模型是一种重要的建模方法.如1996年A题“最优捕鱼策略”，1997年A题“零件参数设计”，2003年A题“SARS的传播”，2007年A题“中国人口增长预测”，2009年A题“最优捕鱼策略”等赛题中，都用到了这种方法．

1.1 微分方程建模

1.1.1 微分方程建模的原理和方法

一般来说，任何时变问题中随时间变化而发生变化的量与其它一些量之间的关系经常以微分方程的形式来表现．

例1.1 有一容器装有某种浓度的溶液，以流量v1注入该容器浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅拌均匀，并以v2的流量流出混合后的溶液，试建立反映容器内浓度变化的数学模型．

解

注意到溶液浓度=变化而发生变化．

不妨设t时刻容器中溶质质量为st，初始值为s0,t时刻容器中溶液体积为vt，初始值为v0，则这段时间t,tt内有

溶液质量，因此，容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积

溶液体积sc1v1tc2v2t，（1）Vv1tv2t其中c1表示单位时间内注入溶液的浓度，c2表示单位时间内流出溶液的浓度，当t很小时，在t,tt内有

c2s(t)s(t).（2）V(t)V0(v1v2)t对式（1）两端同除以t，令t0，则有

dsdtc1v1c2v2dV.（3）v1v2dts(0)s0,V(0)V0即所求问题的微分方程模型．虽然它是针对液体溶液变化建立的，但对气体和固体浓度变化同样适用．

实际应用中，许多时变问题都可取微小的时间段t去考察某些量之间的变化规律，从而建立问题的数学模型，这是数学建模中微分方程建模常用手段之一．

常用微分方程建模的方法主要有：

（1）按实验定律或规律建立微分方程模型．

此种建模方法充分依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些重要的已知定理，这种方法要求建模者有宽广的知识视野,这样才能对具体问题采用某些熟知的实验定律．

（2）分析微元变化规律建立微分方程模型．

求解某些实际问题时，寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数学模型．如例1.1中考察时间微元t，从而建立起反应溶液浓度随时间变化的模型．此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变化，即微元分析，找出其他一些变量与该微元间的关系式，从微分定义出发建立问题的数学模型．

（3）近似模拟法．

在许多实际问题中，有些现象的规律性并非一目了然，或有所了解亦是复杂的，这类问题常用近似模拟方法来建立问题的数学模型．一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象，将问题做某些规范化处理后建立微分方程模型，然后分析、求解，并与实际问题作比较，观察模型能否近似刻画实际现象．近似模拟法的建模思路就是建立能够近似刻画或反映实际现象的数学模型，因此在建模过程中经常做一些较合理的模型假设使问题简化，然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型．

1.1.2 微分方程建模应用实例

例1.2（2003年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）SARS传播的预测． 2003年爆发的“SARS”疾病得到了许多重要的经验和教训，使人们认识到研究传染

病的传播规律的重要性．题目给出了感病情况的三个附件，要求对SARS的传播建立数学模型：（1）对SARS的传播建立一个自己的模型，并说明模型的优缺点；（2）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测．

问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献[1]中的求解思路分析.传染病的传播模式可近似分为自由传播阶段和控后阶段，然后将人群分为易感者S，感病者I，移出者R三类．由三者之间的关系可得到下列微分方程：

dSdtkISdIkIShI，dtdRhIdtSIRN利用附件中给出的数据，可以将上述方程变形为

dIkNIhII，dt其中kNh，其解为

I(t)I0et.其中I0为初始值．

但此模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况，当病例数远小于总人口数时，感病人数将随时间以指数增长.这是按实验定律或规律建立的微分方程模型.为进一步改进模型，用计算机跟踪病毒的个体传播情况，又建立计算机模拟模型．然后用计算机模拟北京5月10日之前SARS的传播情况，并对5月10日以后的传播情况进行预测．但是得到的有效接触率与实际统计数据有所偏差，所以统计数据，为参数的确定寻求医学上的支持，并以随机模拟取代完全确定性的模拟，对原模型进行改进，建立随机模拟模型．通过计算机编程，产生正态分布的随机数，并对传染情况进行500次模拟，即可进行预测，并可得出对SARS疫情控制提出的相应建议．

1.2 差分方程建模

1.2.1 差分方程建模的原理和方法

差分方程在数学建模竞赛中应用的频率极高，所以要对这种方法引起足够的重视．它针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量．具体方法是：根据实际的规律性质、平衡关系等，建立离散变量所满足的关系式，从而建立差分方程模型．

差分方程可以分为不同的类型，如一阶和高阶差分方程，常系数和变系数差分方程，线性和非线性差分方程等等．

建立差分方程模型一般要注意以下问题：

（1）注意题中的离散变化量，对过程进行分析，尤其要注意形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量；

（2）通过对具体变化过程的分析，列出满足题意的差分方程，其中入手点是找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程．

1.2.2 差分方程建模应用实例

例1.3（2007年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）中国人口增长预测.题目要求从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考附录中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，特别要指出模型中的优点与不足之处.问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献[2]中的求解思路分析.通过分析题中相关的数据，考虑到我国近年来人口发展的总趋势，因为涉及到人口的增长和变换，所以可以先用微分方程来建立模型，并对我国人口增长的中短期和长期趋势做出预测．

首先，根据灰色系统理论，使用灰色关联分析模型法对人口系统结构进行关联分析，找出影响人口增长的主要因素；其次使用年龄推算法进行短期预测.在建立和求解长期预测模型时，根据人口阻滞增长模型（Logistic模型），可以考虑对中国人口老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素建立新的人口增长的差分方程模型.但是它仅给出了人口总数的变化规律，反映不出各类人口的详细信息，所以我们需要建立离散化的模型，并进一步可以得到全面系统地反应一个时期内人口数量状况的差分方程，可以用微分和差分方程理论来表现和模拟人口数量的变化规律．从而对人口分布的状况、变化趋势、总体特征等有更加详细和科学的了解．

在模型的求解过程中，用到了MATLAB软件，并做参数估计，利用所得结果和题目给出的近五年来的人口数据，对我国人口发展趋势进行了预测，得到了在老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素影响下，未来我国人口发展预测情况.数学规划建模

数学规划是指在一系列条件限制下，寻求最优方案，使得目标达到最优的数学模型，它是运筹学的一个重要分支．数学规划的内容十分丰富，包括许多研究分支，如：线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划、0-1规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化、随机规划、模糊规划、多层规划问题等．

在1993年A题“非线性交调的频率设计”，1993年B题“足球队排名”，1995年A题“飞行管理问题”，1996年B题“节水洗衣机”，1997年A题“零件的参数设计”，1998年A题“一类投资组合问题”，1999年B题“钻井布局”，2001年B题“公交车调度问题”，2002年A题“车灯线光源的优化”，2006年A题“出版社书号问题”，2007年B题“城市公交线路选择问题”等赛题中，都用到了规划的方法．在此以线性规划为例，对规划的方法进行探讨．

2.1 线性规划建模的一般理论

线性规划建模方法主要用于解决生产实际中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法．

一般的优化问题是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或利润最大．

优化模型的一般形式为:

min或max zfx(4)s.t.gx0.i1,2,,m(5)

xx1,x2,，xn.T由（4）、（5）组成的模型属于约束优化．若只有（4）式就是无约束优化．fx称为目标函数，gx0称为约束条件．

在优化模型中，如果目标函数fx和约束条件中的gx都是线性函数，则该模型称为线性规划．

建立实际问题线性规划模型的步骤如下：

（1）设置要求解的决策变量．决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解，否则很可能事倍功半．

（2）找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示．当限制条件多，背景比较复杂时，可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和

信息，从而避免“遗漏”或“重复”所造成的错误．

（3）明确目标要求，并用决策变量的线性函数来表示，标出对函数是取极大还是取极小的要求．

需要特别说明的是，要使用线性规划方法来处理一个实际问题，必须具备下面的条件：

（1）优化条件：问题的目标有极大化或极小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示．

（2）选择条件：有多种可供选择的可行方案，以便从中选取最优方案．

（3）限制条件：达到目标的条件是有一定限制的（比如，资源的供应量有限度等），而且这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式表示出来．

此外，描述问题的决策变量相互之间应有一定的联系，才有可能建立数学关系，这一点自然是不言而喻的．

线性规划模型的求解可用图解法或单纯形法．随着计算机的普及和大量数学软件的出现，可以利用现成的软件MATLAB或LINGO等求解，在此不再叙述．

2.2 线性规划建模应用实例

例2.1（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目给出了美国某艾滋病医疗试验机构公布的两组数据，数据涉及到了病人CD4和HIV的浓度含量的测试结果.根据所给的资料需要参赛者完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（3）如果病人需要考虑4种疗法的费用，对评价和预测有什么影响.问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.首先对题目所给数据进行分析,考虑到治疗的效果与患者的年龄有关，将患者按年龄分组，如14~25岁,25~35岁,35~45岁及45岁以上4组．每组中按照4种疗法和4个治疗阶段（如0~10周，10~20周，20~30周，30~40周），构造16个决策单元．取4种药品量为输入，治疗各个阶段末患者的CD4值与开始治疗时CD4值的比值为输出.然后建立相应的数学模型,利用相对有效性评价方法，建立分式规划模型并经过变换，转化为线性规划模型求解，对各年龄组患者在各阶段的治疗效率进行评价．计算结果：对第1年龄组疗法2和4在整个治疗中效率较高，在第4阶段仍然有效；对第2年龄组疗法1在第1，2阶段有效；对第3年龄组疗法1，2，3在第1阶段有效；对第4年龄组疗法1，2在第1，2阶段有效．表明只有14~25岁的年4种轻患者，才能在治疗的最

后阶段仍然有有效的疗法．

随后，由线性规划模型的对偶形式建立预测模型，对各年龄组各种疗法下一阶段的疗效进行预测．若由某决策单元得到的实际输出大于预测输出，则该决策单元相对有效；反之，说明该种疗法对该组患者在治疗的未来阶段不再有效，应该转换疗法． 统计学建模方法

在数学建模竞赛中，常常会涉及到大量的数据，因此，我们就需要用统计学建模方法对这些数据进行处理．此类方法主要包括统计分析、计算机模拟、回归分析、聚类分析、数据分类、判别分析、主成分分析、因子分析、残差分析、典型相关分析、时间序列等．

如2004年A题“奥运会临时超市网点设计问题”，2004年B题“电力市场的输电阻塞管理问题”，2007年A题“人口增长预测问题”，2008年B题“大学学费问题”，2012年A题“葡萄酒的评价”等都用到了这种建模方法．在此选取其中两类方法进行阐述．

3.1 聚类分析

3.1.1 聚类分析的原理和方法

该方法说的通俗一点就是，将n个样本，通过适当的方法选取m聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法来聚类，从而可以得到聚类．结果利用sas 软件或者spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图．这种模型的的特点是直观，容易理解．

聚类分析的类型可分为：Q型聚类（即对样本聚类）和R型聚类（即对变量聚类）． 通常聚类中有相似系数法和距离法两种衡量标准.聚类方法种类多样，有可变类平均法、中间距离法、最长距离法、利差平均和法等.在应用时要注意,在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易,这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理．主要的方法步骤大致如下：

（1）首先把每个样本自成一类；

（2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵；（3）重新计算类间距离，得到衡量矩阵；（4）重复第2步，直到只剩下一个类.3.1.2聚类分析应用实例

例3.1（2012年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）葡萄酒的评价.题目的附件中给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，和该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据.要求参赛者建立数学模型解决以下问题：（1）分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信；（2）根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级；（3）分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系；（4）分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量.问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献[4]中的求解思路分析.由于给定了酿酒葡萄的理化指标，首先可将附录2和附录3中的一些数据进行处理.并可以据此对各种酿酒葡萄进行聚类分析，但是，由于题目中所给的数据庞大，所以可通过主成分分析法，简化并提取大部分有效信息，再用聚类分析对酿酒葡萄进行分级．最后根据酿酒葡萄对应葡萄酒质量的平均值大小进行比较，排序分级．接下来针对问题中分析酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系，及上面整理好的数据，采用回归分析原理，在SPSS中得到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系．再通过相关分析，得出相应的相关系数，从而得到相应的判断结论．在分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系时，还用到了多元线性回归分析．

该模型用于生活实践中，也可以解决很多实际问题．

3.2 回归分析

回归分析是利用数据统计原理，对大量数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方程，并加以外推，用于预测今后的因变量的变化的分析方法．

3.2.1回归分析的原理与方法

回归分析是在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制．回归分析主要包括一元线性回归、多元线性回归、非线性回归．

回归分析的主要步骤为：

（1）根据自变量和因变量的关系，建立回归方程．

（2）解出回归系数．

（3）对其进行相关性检验，确定相关系数．

（4）当符合相关性要求后，便可与具体条件结合，确定预测值的置信区间.需要注意的是，要尽可能定性判断自变量的可能种类和个数，并定性判断回归方程的可能类型．另外，最好应用高质量的统计数据，再运用数学工具和相关软件定量定性判断．

3.2.2 回归分析应用实例

例3.2（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目同例2.1．

问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.问题2的解决就用到回归模型.首先分析数据知，应建立时间的一次与二次函数模型，并经过统计分析比较，确定哪种较好．所以可建立一个统一的回归模型，也可对每种疗法分别建立一个模型．

以总体回归模型为例，分别用一次与二次时间函数模型进行比较，可知疗法1~3用一次模型较优，且一次项系数为负，即CD4在减少，从数值看疗法3优于疗法2和1；疗法4用二次模型较优，即CD4先增后减，在t20左右达到最大．可以通过4条回归曲线进行比较，显示疗法4在30周之前明显优于其它．最后再用检验法作比较，结果是疗法1与2无显著性差异，而疗法1与3，2与3，3与4均有显著性差异． 图论建模方法

图论建模方法在建模竞赛中也经常涉及，应用十分广泛，并且解法巧妙，方法灵活多变．如1990年B题“扫雪问题”，1991年B题“寻找最优Steiner树”，1992年B题“紧急修复系统的研制”，1993年B题“足球队排名”，1994年A题“逢山开路问题”，1994年B题“锁具装箱问题”，1995年B题“天车与冶炼炉的作业调度”，1997年B题“截断切割的最优排列”，1998年B题“灾情巡视最佳路线”，1999年B题“钻井布局”，2007年B题“城市公交线路选择问题”等都应用到了图论的方法．

图论近几年来发展十分迅速，在物理、化学、生物学、地理学、计算机科学、信息论、控制论、社会科学、军事科学以及计算机管理等方面都有着广泛的应用．因此图论越来越受到了全世界数学界和工程技术界乃至经营决策管理者的重视．同时也成为了数学建模中一种十分重要的方法．图论问题算法很多，包括最短路、最大流、最小生成树、二分匹配、floyd、frim等．

4.1 两种常见图论方法介绍

图论中的图是由平面上的一些点及这些点之间的连线（称为边）构成的．图中的点表示要研究的离散对象，边表示对象之间的关系．用这些点和边建立的离散对象来建立模型，通过这种办法许多难题都可以被巧妙地解决．所以图论方法成为研究离散问题的一种重要手段．由于图论方法所包含的概念和定义较多，无法全部列举．在这里只就其中的两种方法作介绍．

4.1.1模拟退火法的基本原理

模拟退火法是模拟热力学中系统的降温过程，当孤立粒子系统的温度以足够慢的速度下降时，系统近似处于热力学平衡状态，最后系统将达到本身的最低能量状态，即基态，这相当于能量函数的全局极小点．其步骤如下(也称为Metropolis过程)：

（1）给定初始温度T0，及初始点，计算该点的函数值fx；

（2）随机产生扰动x，得到新点xxx计算新点函数值fx,及函数值差

ffxfx；

（3）若f0，则接受新点，作为下一次模拟的初始点；（4）若f0，则计算新点接受概率：

fpfexp，KT产生0,1区间上均匀分布的伪随机数r,r0,1，如果pfr，则接受新点作为下一次模拟的初始点；否则放弃新点，仍取原来的点作为下一次模拟的初始点．

4.1.2最短路问题

最短路问题是一个有着广泛应用价值的问题，例如各种管道的铺设，线路的安排，输送网络费用等问题，都可以用到最短路求法．

在解决实际问题时，我们问题中的“边权”可以有着各种不同的解释．例如在运输网络中，从v运送一批货物到u，若“边权”视为通常意义下的路程，则最短路问题就是

使运输总路程最短的路线，若“边权”表示运输时间，则最短路就是运输总时间最短的路线，“边权”也可以代表费用，这时相应的就是总费用最省的的路线．

4.2 图论建模应用实例

例4.2（2007年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）城市公交线路选择问题.在2007年B题中，涉及到了北京公交车的换乘问题，为了使乘客利益最大化，需要设计一个“公交线路选择自主查询系统”，其核心是线路选择的模型，该模型必须考虑实际情况，满足查询者的各种不同需求．要求解决如下问题：(1)仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法．(2)同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题．(3)假设又知道所有站点之间的步行时间，请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型．

问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献[5]中的求解思路进行分析.由于在现实情况下，乘客一般不能乘坐一辆公交车就到达终点，可能会换乘，但要是频繁倒车，会给乘客造成不便，也会增加车费．所以可针对城市公交线路选择问题建立模型．为了使问题简单化，我们分别以乘车时间、乘车费用以及换乘次数为目标函数，得到各自的较优线路，再通过对比，有效地处理这些线路，最终得出查询系统给出的结果．

首先固定换乘次数n，通过集合论的相关知识把确定换乘点的具体位置, 转化成确定一些集合间的交集，从而建立集合寻线算法，再根据集合相关公式，得到所有可行线路；进一步考虑时间和费用等因素，对可行线路进行处理比较，得出最佳线路．

图论模型中，通过图论的知识将整个北京市交通线路构建出一个有向图，每个站点与有向图的顶点一一对应，同一线路上的相邻站点对应为有向边，通过不同目标（时间、费用）给有向图进行不同的赋权，分别将不同目标转化为赋权有向图寻找最短有向路，根据最短路径算法，得到最佳线路．最后综合评价了两个模型的优缺点．

以每个站点为顶点，若站点A到站点B有公交线路并且A与B为相邻站点，则连一条A到B有向边，根据所给的站点与线路我们建立一个得到一个有重边的有向图DV,E一条公交线路就是DV,E的一条有向路．则任意两公汽站点之间线路最少时间选择问题就转化为求DV,E,W的对应两顶点的最短有向路问题．

由图论模型所得的查询系统，是以图论知识中的最短路有向图为基础，对不同线路经过同一站点时，假设多个假想点，并将各不同站点之间所需时间作为权，对各线路站点赋权，分别确定以时间、费用、换乘为目标转化为寻找有向的完全图，并根据实际情况，建立出动态赋权有向图，得出最佳线路.小结

建模竞赛的方法种类众多，本文主要对其中四中常用的方法进行了阐述、总结和探讨．在每一章的开头，都列出了近几年来应用到此方法的赛题．在四种方法中，微分与差分方程是比较基础的一种方法，在解决变量问题时经常会用到．第二种规划方法则是一种应用广泛的方法，很多赛题都会涉及到．第三种是统计学方法，从近些年的赛题变化趋势来看，赛题题目中所给的数据越来越多，越来越复杂化，这就需要用统计学方法对这些数据进行分类处理，并最终得到相关结论．最后一种是图论方法，这种方法灵活多变，应用巧妙，可以使很多复杂问题简单化．当然还有很多常用方法，本文不再一一列举，希望本文能够对读者有所帮助．

参考文献

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致 谢

四年的大学生活转眼就要说再见了，当大学的最后一项任务即将完成的时候，终于长长地吁出一口气时，这时也突然意识到，原来四年马上就要过去了，到了该告别的时候了．仔细想想，竟有些恍惚，四年的时光就这样过去了，猛然有了那么多的不舍．

可是终归真的要毕业了．大学四年，读的是一所普普通通的二流大学，而且处在一个大学生泛滥的时代，面对着父母的期待，有时候真的会很茫然，甚至不知所措．但是我依然踏踏实实的过完了这四年．从开始的新奇，到后来的迷茫，再到后来的坚定和努力．我无愧于这四年的大学生活，在即将给它画上句号的时候，我还是会带着微笑去回忆，这四年我成长了许多，从那么的稚嫩、懵懂变得成熟稳重．我会始终带着感恩去铭记这里，去铭记我的恩师们，你们辛苦了．

特别感谢闫峰老师，在她细心的指导下，我才得以完成这篇论文，从开题、资料查找、修改到最后定稿，承载了她太多的心血，她的涓涓教诲，我会永远铭记心田．我很自豪有这样一位老师，她值得我感激和尊敬．