不定方程组练习题

不定方程组练习题（精选10篇）

不定方程组练习题 篇1

二元一次方程具有无数多个解，但在一定条件下，如求整数解，存在有限个解的情况，这样的方程或方程组叫不定方程（组）。

1.写出方程x+2y=5的一个解。

2.写出方程x+2y=5的正整数解。

3.把一根长7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？

4.小明想用100元买15张邮票，现有4元，8元，10元三种面值。

（1）若他只想买4元和8元两种面值的邮票，怎样买？

不定方程组练习题 篇2

(一) 非负数的巧用

在初中数学中, 经常用的非负数有: (1) a2≥0; (2) |a|≥0; (3。若干个非负数的和为0, 那么每个非负数均为0。

例:已经, 求x、y的值。

评析:方程左边配方可变为非负数之和。

[解]:由x2+y2-x+2y+45=0得 (x-21) 2+ (y+1) 2=0

一般地, 几个非负数之和为0, 则每个非负数均为0。

(二) 二元一次不定方程的整数解

一个二元一次方程的解有无数多个, 但我们常常只求整数解, 甚至只求正整数解, 加上这一限制后, 解可能唯一确定或只有有限个或无解。求它的整数解时, 通常把一个未知数表示成另一个未知数的代数式, 再结合整数的整除性, 得到其解。

例:解方程2x+3y=8 (x、y均为整数)

评析:将y表示为x的代数式, 并利用整数整除性来求解。

[解]原方程变为

当x-1是3的倍数时, x、y都是整数。

设x-1=3k (k是整数)

那么:

就是原方程的通解。

变式思考:若例2中再添两个条件, 其它条件不变, 1≤x≤100, 1≤y≤100, 求x、y的值。

[解]将x=3k+1, y=-2k+2, 代入1≤x≤100和1≤y≤100中, 求得, ∵k是整数, ∴k=0时, 即方程的解为。

一般地, 若x0, y0是方程ax+by=c, a、b、c均为整数, 且 (a、b) =1的一组整数解 (称特解) , 则 (t为整数) 就是方程的通解。

(三) 三元一次不定方程

通常三个三元一次方程可求其唯一解, 两个三元一次方程组成的三元一次不定方程组的解有无数多个, 这类不定方程求解时往往把其中一个未知数看成待定常数, 转化为解二元一次方程组。

例:已知x+2y-11z=0, 2x-3y+6z=0, 求xx2y++yyz2++z2xz的值。 (xyz≠0) 。

评析:把z看成常数, 转化为解二元一次方程组。

[解]由得将x=3z y=4z代入中, 求得原式=。

一般地, 当未知数的个数多于方程的个数时, 常常把多于的未知数看成常数, 把其余的未知数表示为该常数的代数式, 是解决这类问题的基本思路。

(四) 分解因式法求二元一次不定方程的整数解

解二元二次不定方程可把等式一边分解为两个一次因式的乘积, 另一边变为常数。

例:已知xy-x+2y-5=0, x、y均为整数, 求x、y的值。

评析:将x、y分离在两个一次因式中, 即把原等式变为 (x+m) (y+n) =p的形式, 其中m、n、p都是常数且为整数, 再利用整数的整除性来求其解。

[解]xy-x+2y-5=0

x (y-1) +2 (y-1) -3=0 (x+2) (y-1) =3

∵x、y均为整数∴x+2, y-1也是整数

故

即x、y的值为

思考:本题还可变形为, 得出x+2是3的约数, 从而求出x、y值。

(五) 利用放缩法解不定方程

在解一些涉及到多个变元的问题, 如果题设条件并没有给出未知数的大小顺序, 在不影响命题的成立的前提下, 给它们假定一个大小顺序, 那么就可将问题转化为解不等式 (组) , 通过缩小范围而求解。

例:求方程的正整数解。

分析:这个方程是关于x、y、z的轮换对称式, 易知x、y、z都大于1, 不妨取1

[解]不妨设1

即∴x=2, 3。 (1) 当x=2时, , ∴y=3、4、5。此时 (x、y、z) 共有 (2、3、24) (2、4、8) 两组。 (2) 当x=3时, 。此时 (x、y、z) 的值为 (3、2、24) 。由于x、y、z在方程中的地位平等, 将上述结果作排列, 共有下面12组解, (x、y、z) 的值分别是: (2、3、24) , (2、24、3) , (3、2、24) , (3、24、2) , (24、2、3) , (24、3、2) , (2、4、8) , (2、8、4) , (4、2、8) , (4、8、2) , (87、2、4) , (8、4、2) 。

构建不定方程模型解决计数问题 篇3

定理1不定方程x1+x2+…+xk=n（k，n∈N+）的非负整数解的个数为Cnn+k-1.

证法1将不定方程x1+x2+…+xk=n的任意一组非负整数解（x1，x2，…，xk）对应于一个由n个圆圈“○”和k-1个“+”组成的如图○…○x1个+○…○x2个+…+○…○xk个所示的排列，每段圆圈“○”的个数即为原方程的一组非负整数解，易证对应关系是一对一的.

所以不定方程x1+x2+…+xk=n的非负整数解的个数就是n个圆圈“○”和k-1个“+”组成的直线排列数，即在n+k-1个位置中选k-1放置“+”（或选n个位置放置圆圈“○”），因此共有不同的排法种数为Ck-1n+k-1=Cnn+k-1.

证法2对不定方程x1+x2+…+xk=n的任意一组非负整数解（x1，x2，…，xk），令y1=x1+1，y2=x1+x2+2，…，yk=x1+x2+…+xk+k，则1≤y1

定理2不定方程x1+x2+…+xk=n（k≥2，n≥2，k≤n）的正整数解的个数为Ck-1n-1.

证法1设想将n个1排成一排，这n个1之间有n-1个空档，从n-1个空档中选k-1个放入k-1个“+”，共有Ck-1n-1种放法，这k-1个“+”把n个1分成k段，各段1的个数即为原方程的一组正整数解，这样“+”的每一种放法就对应着原不定方程的一组正整数解，所以原不定方程共有Ck-1n-1组解.

证法2令yi=xi-1，其中xi≥1，不定方程x1+x2+…+xk=n的正整数解与不定方程y1+y2+…+yk=n-k非负整数解之间建立了一一对应关系，所以不定方程x1+x2+…+xk=n的正整数解组（x1，x2，…，xk）的组数与不定方程y1+y2+…+yk=n-k非负整数解组（y1，y2，…，yk）的组数相等，由定理1知，方程y1+y2+…+yk=n-k有Cn-k（n-k）+k-1=Cn-kn-1=Ck-1n-1个非负整数解，所以方程x1+x2+…+xk=n有Ck-1n-1个正整数解.2利用不定方程整数解的结论解有限制条件的不定方程或不定方程组的整数解的个数问题

例1求方程2x1+x2+x3+…+x10=3的非负整数解的个数.

解析由题意，x1=0，1，故分情况讨论如下：

若x1=0，则x2+x3+…+x10=3，该方程非负整数解的个数为：C39+3-1=165；

若x1=1，则x2+x3+…+x10=1，该方程非负整数解的个数为：C19+1-1=9.

综上，非负整数解的个数为：165+9=174个.

例2求方程x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解x，y，z的个数.

解析首先由定理2知，方程x+y+z=2010的正整数解的个数为C22009=2009×1004.

把x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解分为三类：

1x，y，z均相等的正整数解的个数显然为1；

2x，y，z中有且仅有两个相等的正整数解的个数，易知为1003个；

3x，y，z两两均不相等的正整数解个数为k.

易知1+3×1003+6k=2009×1004，解得k=335671，从而方程x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解的个数为1+1003+335671=336675

例3在世界杯足球赛前，F国教练为了考察A1，A2，…，A7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛（每场90分钟）中都上场.假设在比赛的任何时刻，这些队员中有且仅有一人在场上，且A1，A2，A3，A4每人上场的总时间（以分钟为单位）均能被7整除，A5，A6，A7每人上场的总时间（以分钟为单位）均能被13整除.如果每场换人次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况.

解析设第i名队员上场的时间为xi分钟（i=1，2，3，…，7），问题即求不定方

程x1+x2+…+x7=270在条件7xi（1≤i≤4）且13xj（5≤j≤7）下的正整数解的组数.由条件，设x1+x2+x3+x4=7m，x5+x6+x7=13n（m≥4，n≥3）.于是m、n即是不定方程7m+13n=270的一组正整数解.由m=270-13n7≥4，易得3≤n≤18，（n∈N）.进而得到方程的三组正整数解：

m=33，

n=3，m=20，

n=10，m=7，

n=17，设xi=7yi（1≤i≤4），xj=13yj（5≤j≤7）.

所以本题转化为求方程组y1+y2+y3+y4=33，

y5+y6+y7=3，y1+y2+y3+y4=20，

y5+y6+y7=10，

y1+y2+y3+y4=7，

y5+y6+y7=17，的正整数解的组数.由分步乘法计数原理和分类加法计数原理及定理2知共有正整数解C332C22+C319C29+C36C216=42244组.3利用不定方程整数解的结论解排列组合中的计数问题

利用不定方程整数解的结论解决排列组合中的计数问题，一般用于相同元素的有序分配问题，如指标数、个数、人数等相同的事物的数量分配问题.

3.1投球入盒问题

例4把2016个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第i个盒子里至少有i个球（i=1，2，…，10），问不同放法的总数是多少？

解析先在第i个盒子里放入i个球（i=1，2，…，10），即第1个盒子里放入1个球，第2个盒子里放入2个球，…，这时共放了1+2+3+…+10=55个球.还剩余2016-55=1961个球.故问题转化为把1961个球任意放入10个盒子里（允许有的盒子里不放球），即为不定方程x1+x2+…+x10=1961的非负整数解的个数，由定理1知有C19611961+10-1=C91970种不同放法.

3.2名额分配问题

例5将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不

相同的分配方法共有多少种？解析设分配给3个学校的名额数分别为x1，x2，x3，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程x1+x2+x3=24的正整数解的个数，由定理2得不定方程x1+x2+x3=24的正整数解的个数为C223=253.又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.

综上知，满足条件的分配方法共有253-31=222种.

3.3染色问题

例6用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的一种，或两种，或三种，或四种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不着色的，问共有几种着色法？

解析设红色涂了x1个面，橙色涂了x2个面，…紫色涂了x7个面，则x1+x2+…+x7=4，正四面体着色方法与方程的非负整数解建立了一一对应的关系.由定理1知该不定方程有C47+4-1=210组非负整数解，所以正四面体共有210种着色方法.

3.4掷骰子问题

例7三粒骰子同时掷出，有多少种不同的结果？

解析设掷出1点的有x1粒，设掷出2点的有x2粒，…，设掷出6点的有x6粒，则有x1+x2+…+x6=3.掷骰子的结果与方程的非负整数解建立了一一对应的关系.由定理1知该不定方程有C36+3-1=C38=56组非负整数解，所以共有56种不同的结果.

3.5进站问题

例8某民航站共有1到4个入口，每个入口处每次只能进一个人，一小组4个人进站的方案数有多少种.

解析设第1，2，3，4个入口分别进x1，x2，x3，x4人，则xi≥0且x1+x2+x3+x4=4，由定理1知不定方程x1+x2+x3+x4=4的非负整数解的个数C44+4-1=C37即为4个人进站的分组方法数；由于每个入口处每次只能进一个人，按第1，2，3，4个入口顺序同时通过入口排成一列，就每一分组方法将四个人全排列有A44种方法，所以共有不同进站方法C37·A44=840种.

3.6开关灯问题

例9街道上有10盏路灯，要求晚上关掉其中4盏，且为了方便行人，相邻的路灯不允许关掉.问共有多少种关灯的方法？

解析先考虑关着的灯，再考虑开着的灯，如图：○○○○，有4盏灯关着，它们之间形成了5个空，这5个空共要插进6盏灯作为开着的灯，设从左到右第i个空共有xi（i=1，2，3，4，5）盏灯开着，则有x1+x2+x3+x4+x5=6，等价于（x1+1）+x2+x3+x4+（x5+1）=8（x1+1，x2，x3，x4，x5+1≥1，且xi∈N），由定理2知，共有C47=35种方法，所以共有35种开关灯的方法.

3.7在线性规划中整点个数问题

例10在直角坐标系xOy中，已知△ABC三边所在直线方程分别为x=0，y=0，x+y=4，则在△ABC内部（包括边界）的整点个数是多少？

解析此类题常见解法是画图描出整点，然后数一下.实际上满足题意的整点（x，y）必有x+y≤4，且x≥0，y≥0.若令z=4-（x+y）则z≥0且z为整数.所以x+y+z=4，该方程非负整数解的组数即为整点个数.所以整点个数是C44+3-1=C26=15.

3.8n项展开式的项数问题

例11试问（a+b+c）10的展开式共有多少项？

解析（a+b+c）10展开式每一项均可表示为ax1·bx2·Cx3，其中xi≥0（i=1，2，3）且x1+x2+x3=10.因此，求展开式中共有多少项，即求不定方程x1+x2+x3=10共有多少组非负整数解.由定理1知，此不定方程解的个数为C1010+3-1=C212=66，所以展开式共有66项.

同理可得（a1+a2+…+an）m展开式共有Cmn+m-1项.

3.9广告问题

例12电视台在n天内共播出r次商业广告，问若每天至少播p次广告（np≤r），就每天播出广告的次数而言，共有几种播出方法？

解析设第i天播出广告xi次，由题设知：x1+x2+…+xn=r，xi≥p（i=1，2，…，n），令yi=xi-p，则y1+y2+…+yn=r-np≥0，故问题转化为求上述不定方程的非负整数解的个数，由定理1知广告播放的方法数为Cr-np（r-np）+n-1.

3.10有条件的环形排列问题

例138个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站两个男孩，那么，共有多少种不同的排列方法.（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）.

解析以8个女孩为组长，将25个男孩分入该8组，每组内男孩数记为x1，x2，…，x8，

则x1+x2+…+x8=25，（xi≥2，i=1，2，…8），设xi-1=yi（i=1，2，…，8），即得y1+y2+…+y8=17，（yi≥1，i=1，2，…，8），于是由定理2可求出符合条件的方程组的解的个数为C8-117-1=C716，即25个男孩分入8组，每组至少2人的分组方法有C716种.

8个组排成每组以女孩为头的圆排列有（8-1）！=7！（一个8个元素的圆排列包括8个不同的线性排列，设8个元素的圆排列数为N，则8N=A88，所以N=A77）种排列方法，再将25个男孩站入的方法数为25！.

所以总的排列数为C716·7！·25！=16！·25！9！.

3.11比赛过程的种数问题

例14甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛.双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程.求所有可能出现的比赛过程的种数.

解析先考虑甲队获胜的比赛过程，设甲队队员第i号队员胜了xi场，（i=1，2，…，7），则x1+x2+…+x7=7，于是甲队获胜的比赛过程与方程x1+x2+…+x7=7的非负整数解组（x1，x2，…，x7）构成一一对应，由定理1知方程x1+x2+…+x7=7有C67+6=C613组非负整数解，所以甲队获胜的比赛过程有C613种，同理乙队获胜的比赛过程也有C613种，故不同的比赛过程共有2C613=3432种.

3.12集合、映射个数问题

例15已知两个实数集合A={a1，a2，…，a100}与B={b1，b2，…，b50}.若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原像，且f（a1）≤f（a2）≤…≤f（a100），求这样的映射的个数.

解析不妨设b1

例16设集合M={1，2，3，…，14}，Ma={a1，a2，a3}，Ma为M的子集，且满足a1+6≤a2+3≤a3，求Ma的个数.

解析由a1≥1，a2-a1≥3，a3-a2≥3，14-a3≥0，令a1=x1，a2-a1=x2，a3-a2=x3，14-a3=x4，则x1+x2+x3+x4=14，问题即求不定方程在x1≥1，x2≥3，x3≥3，x4≥0下的整数解的组数，又方程转化为x1+（x2-2）+（x3-2）+（x4+1）=11.令x1=y1，x2-2=y2，x3-2=y3，x4+1=y4，而y1+y2+y3+y4=11的正整数解的组数是C310.所以符合条件的Ma的个数有C310=120个.

以上问题虽然背景各异，但经充分挖掘后发现本质是相同的，其结果均与不定方程的整数解有一一对应的关系.解题的关键是建立不定方程模型.问题一般有三类，第一类是中间的可以一个也没有，用定理1求解（如例4、例6、例7、例8、例10、例11、例14）；第二类是中间的个数至少有一个，用定理2求解（如例5、例9、例15）；第三类是中间的个数多于1个，这类有约束条件的相同元素的有序分配问题，相对来讲破解较难，需要通过转化问题才能用不定方程来处理.转化的关键是使问题变成第一个类型（如例12），当然也可以转化第二个类型（如例13、例16）.4不定方程非负整数解与重复组合数的关系

从k个不同的元素中，取n个允许重复的元素而不考虑其次序，被称为从k个不同元素中取n个允许重复的组合，简称为n-重复组合，允许重复的组合数常常记作Hnk.

设（a1，a2，…，an）是取自{1，2，…，k}中的任一n-可重复组合，并设a1≤a2≤…≤an，令bi=ai+i-1（1≤i≤n），从而b1=a1，b2=a2+1，b3=a3+2，…，bn=an+n-1，显然下面两组数是一对一的：

a1≤a2≤…≤an，1≤a1

设A={（a1，a2，…，an）|ai∈{1，2，…，k}，a1≤a2≤…≤an}，

B={（b1，b2，…，bn）|bi∈{1，2，…，k+n-1}，b1

其一、上述证明，与定理1的证法2大同小异，请仔细体味其中小异妙在何处.

其二、设n-可重复组合a1，a2，…，an中含有x1个1，x2个2，…，xk个k，则x1+x2+…+xk=n（k，n∈N+），显然（a1，a2，…，an）与不定方程x1+x2+…+xk=n的解（x1，x2，…，xk）一一对应.

其三、允许重复的组合的典型模型是把n只相同颜色的球放到k个编号不同的盒子中，而且每个盒子放球数不加限制，xi代表第i（i=1，2，3，…，k）个盒子中所放的球的个数，那么就有x1+x2+…+xk=n（k，n∈N+），不同的放法就对应该方程的不同的解.

对例6我们用重复的组合数来理解，易知，正四面体的相关位置，没有先后顺序，即先涂或后涂哪个面，没有什么不同，所以是组合问题；这四个面可以分别用一种，或两种，或三种，或四种颜色，故是一个重复组合问题，即可归结为4只相同颜色的球放到7个编号不同的盒子中，每个盒子放球数不加限制，故有着色法H47=C47+4-1=210.

对例7我们用重复的组合数来理解，因为掷三粒骰子等价于从六个数1，2，3，4，5，6中允许重复的选取三个数，故不同结果的数目是H36=C36+3-1=C38=56.

从重复的组合数来理解不定方程的非负整数解，对于培养思维的深刻性、逻辑性大有裨益.

不定代词练习 篇4

1.---Mum, Bill is coming to dinner this evening.---OK.Let’s give him _____ to eat.A.something different B.different anything C.anything different D.different something 2.There is ____ in the bag.It’s empty.A.nothing B.something C.anything D.somebody 3.–Could you do _____ for me? –Certainly.A.anything B.something C.nothing D.someone 4._____ is knocking(敲)at the door.A.Anyone B.Someone C.Something D.Nothing 5.May I have a talk with you, sir? I’ve got _____ important to tell you.A.nothing B.anything C.something D.everything 6.Please keep quiet, _____!I have _____ to tell you.A.everyone, anything important B.anybody, something important C.everyone, important everything

D.everyone, something important 7.---What else do you need for your trip?---___else.I’ve packed everything.A.Something B.Everything C.Anything D.Nothing 8.Something _____(be)wrong with my watch.9.Nobody ______ what the future(未来)will be like.A.know B.knew C.knows D.knowing 10.There isn’t ____ in the restaurant.A.anything delicious B.delicious anything C.something delicious D.delicious something 11.For lunch, we had ____ Malaysian yellow noodles.A.something special B.anything special C.special something D.special anything 12.I really have something important _____ A.do B.to doing C.to do D.does 13.---Who helped Jessie with her English?---______, she taught herself.A.Anybody B.Somebody C.Nobody D.Everyone 14.As volunteers(志愿者), they should do _____ to help the children in trouble.A.nothing B.anybody C.something D.somebody 15.---Is there ____ in your room?---Yes, there is.A.anything B.something C.nothing D.everything

不定方程组练习题 篇5

解方程 1.x1413x3x1122

12. 2x1x113x3x119x326x1x22x4.3.x2xx2xx21x2x25x6x3

5.关于x的分式方程

1k42有增根x=-2，则k=

x2x2x

4四、应用题

一．行程问题

（1）一般行程问题

1、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。（2）水航问题

2、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。二．工程问题

1、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？

2、某 市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？

三．利润（成本、产量、价格、合格）问题

1、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。

3线性方程组典型习题解析 篇6

3.1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式)3.1.1 基本概念

a11x1a12x2axax2112221、方程组 am1x1am2x2a1nb1a2nb2amnbm 

称为含n个未知量m个方程的线性方程组，i)倘若b1,b2,....,bm不全为零，则该线性方程组称为非齐次线性方程组；

ii)若b1=b2==bm0，则该线性方程组就是齐次线性方程组，a1nc1a2nc2amncma11x1a12x2axax21122

2这时，我们也把该方程组称为 am1x1am2x2的导出组，（其中c1,c2,...cm不全为零）

a11

2、记A=am1x1b1a1nxb22,x,b amnxnbm

则线性方程组（*）又可以表示为矩阵形式

Axba1ja2j

3、又若记 j,j1,2,amjn

则上述方程游客一写成向量形式

x11x22xb.nn 。同时，为了方便，我们记A(A,b)，称为线性方程组（*）的增广矩阵。3.1.2 线性方程组解的判断

1、齐次线性方程组Ax=0，（n=线性方程组中未知量的个数

对于齐次线性方程组，它是一定有解的（至少零就是它的解），i)那么，当r=秩(A)=n时，有唯一零解；

ii)当r=秩(A)

秩(A)<秩A(无解；)秩A()=有唯一解，n,秩(A)=A)秩=A()秩（秩A()<有无穷多解，且基础解系个数为n,-秩nA().秩(A)=秩A(不可能)秩(A)>3.1.3 线性方程组的解空间

1、齐次线性方程组的解空间

（作为线性方程组的一个特殊情形，在根据其次线性方程与非齐次线性方程组解的关系，我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间）

定理：对于数域K上的n元齐次线性方程组的解空间W的维数为

dim(W)=n-秩(A)=n-r，其中A是方程组的系数矩阵。那么，当齐次线性方程组[(*)--ii)] 有非零解时，它的每个基础解系所含解向量的数目都等于n-秩(A)。

2、非齐次线性方程组的解空间

我们已知线性方程组的解与非齐次线性方程组的解的关系，那么我们可首先求出非齐次线性方程组的一个解0（称其为方程组特解）；然后在求对应的导出组的解空间（设该解空间的基础解系为1，2，...n-r），则(*)解空间的维数为n-r，且非齐次线性方程组的每一个解都可以表示为：

0+k11k22+...+kn-rn-r.................()

我们称其为该非齐次线性方程组(*)的通解.3.2 经典题型解析

1x1112

1、已知方程组23a2x23无解，试求a的取值

1a2x031112 解：方程组的增广矩阵A23a23（初等行变换不影响线性方程组的1a20解）

2111进行一系列的初等行变换01a10a2311002101aa(3a)(11 1)a3由于方程组无解秩(A)<秩(A),秩(A)<3(a3)(a1)0a3 或a1

i)当a3时，秩(A)=2=秩(A)，方程组又无穷多解； ii)当a1时，秩(A)=2<3=秩(A)，方程组无解 综上可得，a1

易错提示：对方程组有解、无解时的条件把握不牢固；在把增广矩阵化为解提醒矩阵的过程中不仔细导致错误。所以，我们在做题的过程中，一定要善于总结，通过练习找到自己的不足点。对于关于线性方程组解的判定、性质以及解的结构失无必要进行总结的，已做到深刻的理解与领悟。

2、设A为n阶方阵，r(A)=n-3，且1，2，3是Ax0的三个线性无关的解向量，则下面哪个是Ax0的基础解系()

(A)12，2,3.,131.(B)21,32(C)221,132,1.(D)1 3,,22 .233132解：由r(A)=n-3Ax0的基础解系个数为nr(A)=n-(n-3)=3

又因为1，2，3是Ax0的解，所以四个选项中的向量都是方程组的解，而我们只要验证看其是否线性无关即可，现在我们利用矩阵这里工具来进行求解：

101,31，，)110(1，，2)A 3

(12，231)=(23011101(21,32,13)=(1，2，3)110(1，2，3)B

0111011(221,32,13)=(1，2，3)210(1，2，3)C

21102101(123,32,123)=(1，2，3)110(1，2，3)D

112因为：A20,BCD0

所以，向量组12，23,31线性无关，而其余三个都是线性相关的，故选A。

评析：本题解法颇多，只要验证选项中的向量组线性无关即可，但上述方法是较为简单的方法，且不易出错；同时，我们可以看到，在解决一些有关向量组和线性方程组问题时，有时把矩阵这一数学工具拿来运用也未尝不是一种简便！

3、设1,2，s是齐次线性方程组AX0的一个基础解系。而1t11t22,2t12t23，st1st21，其中t1，t2是实数，问当t1，t2满足什么关系时，1,2,解：显然，1,2，s也是方程组AX0的基础解系？ ,s线性无关时，t1，t2,s为AX0的解，下证在1,2,应满足的关系。设k11k22kss0 k1(t11t22)k2(t12t23)ks1(t1s1t2s)ks(t1st21)0 (ks1t2k3t1)30(k1t1kst2)1(k1t2k2t1)2由1,2，3线性无关知

t1k1kst20tktk02112  t2ks1t1ks0由于1,2，s线性无关，此方程组只有零解，即

t1t2000t1t2000t10000t2t20s0t1s(1)s1t2 t1s故当t1s(1)s1t20时，即s为偶数时，t1t2，s为奇数时，t1t2，这时1,2，s为AX0的一个基础解系。

(1a)x1x2xn02x(2a)x2x012n4、设齐次线性方程组，(n2)，试问a为何值时， nx1nx2(na)xn0该方程组有非零解，并求其解。解：方法一

对系数矩阵进行初等行变换

111a2a22A333annn11a11122aa0033a0a0B nana00a（1）若a0，R(A)1，方程组有非零解，其同解方程为x1x2xn0

故其基础解系为

11,1,0,,0T，21,0,1,0,,0T，…n11,0，0,1

T所以方程组的通解为 k11k22kn1n1（k1,,kn1为任意常数）

（2）若a0，对矩阵B继续作初等行变换，有

1a111a2100B3010n0011n(n1)223n010001000 100当an(n1)时，R(A)n1n，方程组有非零解，其同解方程为

2x1x203x1x30得基础解系为1,2,,nT所以通解为k（k为 nx1xn012任意常数）

方法二

由于系数行列式

1a122aAnn12n(n1)n1aa

2na故当a0或an(n1)时，方程组有非零解。2111111222000（1）当a0时，有A故方程组的同解方

nnn000程为

x1x2xn0

由此行基础解系为

1(1,1,,0)T，2(1,0,1,,0)T，…，n1(1,0,,1)T

通解为k11k22kn1n1（k1,,kn1为任意常数）（2）当an(n1)时，对系数矩阵进行初等行变换，有 1211a2a2Ann11a1122aa0

na0ana001a110210210

n01n01故方程组的同解方程为

2x1x203x1x30  nx1xn0可得基础解系为(1,2,,n)T，故通解为k（k为任意常数）

5、求下述数域K上的非齐次线性方程组的解空间

x32x4，4x13x25

-2x1x23x3x47，-x7x9x4x2.2341解：

第一步，求解方程组的特解。为此，先求出它的一般解公式，4105135247进行一系列初等行变换21317015179420001175531 5500所以，方程组的一般解为

4117xxx,34155（其中x3，x4都是自由变量）

731xxx,234555由式可以推出方程组的一特解：

1751

0.500第二步，求导出组的一个基础解系。

由于原 非齐次线性方程组的系数矩阵与其导出组的系数矩阵相同，因此，我们只要把原方程组一般解公式的常数项去掉，就可得到导出组的一般解。

41xxx4,3155



（其中x3，x4都是自由变量）

73xxx,23455从而得到导出组的一个基础解系

4171，2

5005第三步，写出非齐次线性方程组的解空间 ,1k2K

U0k1 1k22k评析：本题写出了求解一般非齐次线性方程组的最一般的解法及其步骤，作为线性方程组的最一般解法，我们是必须掌握的。

1241156、已知向量1=，2=，3，0132411a1x12x2a3x3a4x4d1,

是方程组4x1b2x23x3b4x4d2,的三个解，求该方程组的解。

3xcx5xcxd.2234431解：即方程组的系数矩阵为A，则 i)由已知条件知：2-1，31时相应的齐次线性方程组的两个线性无关的解向量

由4-r(A)2r(A)2

又系数矩阵A有二阶子式110

3系数矩阵A的秩r(A)2因此，由*）与**）r(A)=2

ii)由i)齐次线性方程组基础解系由2(4-r(A)=4-2=2)个解向量构成，即



2-1，31是齐次线性方程组的一基础解系

所以，该线性方程组得通解为：1+k1(2-1)+k2(31).易错提示：按常规思路，如果把三个解代入方程组先求其参数，再求通解，则计算是非常繁琐的，在限定时间内是很难达到很好的效果，有时这种方法也是行不通的；而倘若我们对方程组的性质与其解的结构都能够很好的理解，那么当遇到相关类型的题目时也就不至于困惑了。

x1x2kx34,

7、问k为何值时，线性方程组-x1kx2x3k2，有唯一解，无解，无穷多解？

xx2x4231并且，当有解时求出其所有解。

11k解：记线性方程组的系数矩阵为A，即A=1k1，则

11211k1(k4)(k，1)21k

A11i)

当A0，即k1且k4时，方程组有唯一解，我们用克莱姆法则求之，k22kk22k+42kx1，x2，x3。

k+1k+1k+1ii)

当k=-1时，11-141114方程组的增广矩阵A1-111初等行变换0005，1-12-40238r(A)=2<3=r(A)因此，方程组无解； iii)

当k=4时，11441030方程组的增广矩阵A14116初等行变换0114，1-12-40000

r(A)=2=(rA)，可知方程组有无穷多解，于是

3c03x3x13，令x3c，则通解为x4c，亦即x4c1。x2x34c01点评：本题属于含有参数变量的线性方程组问题，这类问题一直都是本章的一个重要考察点，务必要好好把握。

8、设有两个4元齐次线性方程组

（I）xxx30x1x20；（II）12

x2x40x2x3x40（1）求线性方程（I）的基础解系；

（2）试问方程组（I）和（II）是否有非零的公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。解:（1）（I）的基础解系为

10,0,1,0T，21,1,0,1T

（2）关于共公解有下列方法： 方法一

把（I）（II）联立起来直接求解，令

001111010101

A11100001110000101012000001000101

1200由nR(A)431，基础解系为1,1,2,1T，从而（I），（II）的全部公共解为k1,1,2,1T，（k为任意实数）

方法二

通过（I）与（II）各自的通解，寻找公共解。可求得（II）的基础解系为

10,1,1,0T，21,1,0,1T

则k11k22，L11L22分别为（I），（II）的通解。令其相等，即有

k10,0,1,0Tk2(1,1,0,1)TL10,1,1,0TL21,1,0,1T

由此得

k2,k2,k1,k2TL2,L1L2,L1,L2T

比较得

k1L12k22L2

故公共解为

2k20,0,1,0Tk21,1,0,1T

Tk21,1,2,1

方法三

把（I）的通解代入（II）中，在为其解时寻求k1，k2应满足的关系式而求出公共解。

由于k11k22k2,k2,k1,k2T，要是（II）的解，应满足（II）的方程，故

k2k2k10 kkk0122解出

k12k2，从而可求出公共解为 k21,1,2,1T。

不定方程组练习题 篇7

隔板法:相同元素的分配问题可以在其之间插入隔板来达到分配的目的.它强调的是分配之后每组元素的各数, 而与每一组包含哪几个元素无关.

【例】 某市拟成立一个由6名大学生组成的社会调查组, 并准备将6个名额分配给本市的3所大学, 要求每所大学都有学生参加, 则不同的分配方法共有 ( ) .

A.6种 B.8种 C.9种 D.10种

解析:6个名额可视为6个没有区分的 (相同的) 元素, 将6个元素排成一排, 在6个元素之间一共有5个空隙, 将两块隔板插入这些空隙中, 规定由隔板分成的左、中、右三部分的元素的个数分别为分配给三所大学的大学生名额数, 则每一种分隔法都对应了一种分发, 于是分法种数为C${}_5^2$=10种.

变式:将9个完全相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子内, 要求每个盒子内的球数不小于其编号数, 问有多少种不同的方法?

解析:先将编号为2的盒子放入1个球, 编号为3的盒子放入2个球, 然后只需将余下的6个球放入三个盒子内, 要求每个盒子至少再放入1个.余下解法同上引例.

其实上述问题可归结为不定方程x+y+z=6有多少组正整数解的问题, 即将六个完全相同的小球放入编号分别为x, y, z的三个盒子内, 要求每个盒子至少有一个小球, 有多少种不同的方法?如OIOOOIOO, 这就代表了不定方程的一组解x=1, y=3, z=2, 在6个球之间有五个空隙, 所以将两个隔板插入, 共有C${}_5^2$种不同的方法, 即方程有C${}_5^2$=10组不同的正整数解.

推广:不定方程x1+x2+x3+…+xm=n (n≥m, m, n∈N*) 有C${}_{n-1}^{m-1}$组正整数解.

引申:不定方程x1+x2+x3+…+xm=n (n≥m, m, n∈N*) 有多少组非负整数解?

分析:令y1=x1+1, y2=x2+1, …, ym=xm+1, 由x1≥0, x2≥0, …, xm≥0有y1≥1, y2≥1, …, ym≥1, 则原方程有多少组非负整数解的问题就转化成了不定方程y1+y2+…+ym=n+m有多少组正整数解的问题, 结合上述推广, 知原方程有C${}_{n+m-1}^{m-1}$组非负整数解.

应用1:设集合P={1, 2, 3, …, n} (n≥7) , A={a1, a2, a3}是P的子集, 其中a1<a2<a3, 当满足a3≥a2+3≥a1+6时, 求这样的集合A的个数.

分析:由1≤a1<a2<a3≤n, 将1, 2, …, n按从小到大的顺序从左到右排成一排, 不防设由1到a1 (含a1) 有x1个数, 由a1+1到a2有x2个数, 由a2+1到a3 (含a3) 有x3个数, 由a3+1到n (含n) 有x4个数, 则x1+x2+x3+x4=n, 由a3≥a2+3≥a1+6, 有x1≥1, x2≥3.x3≥3, x4≥0.

结合引申的结论, 设y1=x1, y2=x2-2, y3=x3-2, y4=x4+1, 则y1+y2+y3+y4=n-3, 且y1≥1, y2≥1.y3≥1, x4≥1, 即将问题转化成了不定方程y1+y2+y3+y4=n-3有多少组正整数解的问题, 结合上述推广知该方程有C${}_{n-4}^3$组正整数解, 即满足条件的集合A有C${}_{n-4}^3$个.

应用2:若从编号分别为1, 2, 3, …, 9的九张卡片中任意抽取三张, 将它们的编号从小到大依次记为x, y, z, 则“y-x≥2, z-y≥2”的概率为

$\begin{array}{l}().\\ \text{A}.\frac{1}{3}\text{B}.\frac{5}{12}\\ \text{C}.\frac{1}{4}\text{D}.\frac{5}{28}\end{array}$

分析:从九张卡片中任意抽取三张所含的基本事件的个数为C${}_9^3$, 然后不妨设由1到x (含x) 有x1个数, 由x+1到y (含y) 有x2个数, 由y+1到z (含z) 有x3个数, 由z+1到9 (含9) 有x4个数, 则x1+x2+x3+x4=9, 结合y-x≥2, z-y≥2, 知x1≥1, x2≥2, x3≥2, x4≥0.

设y1=x1, y2=x2-1, y3=x3-1, y4=x4+1, 则y1+y2+y3+y4=8, 且y1≥1, y2≥1, y3≥1, y4≥1, 即将问题转化成了不定方程有多少组正整数解的问题.方程的每一组正整数解就对应着一种满足题意的选法, 则满足题意的选法为C${}_7^3$种, 所以所求的概率为$\frac{C{}_7^3}{C{}_9^3}=\frac{5}{12}$.选B.

解简易方程练习题 篇8

4.3+2x=10.3 ( ) 7.9+X<12.6 ( )

8.9+6X ( ) 8X=0.5 ( )

19×2X ( ) 9.6+2.5X=17.15 ( )

二、填空。

(1) 13+5x=28变为5x=28-13是根据( )。

(2) 72÷3X=6变为3X=72÷6是根据( )。

(3) 6a+14=32的解是( )。

(4) 当X=( )时，6X-5.5=0.5。

(5) X的5倍与72的差是28，列方程是( )。

三、解下列方程。

5X+28=48 6X-12=30 45-3X=24

3X-4×6=48 1.8÷0.3-0.2 X=2 1.2-0.9+5X=0.8

四、列方程求解。

1、20减X的2倍，差是7，求X。

初一暑假数学分式方程练习题 篇9

可化为一元一次方程的分式方程及其应用练习题

一、填空题(6分×7=42分)

1.当时，2.方程

3x

1x1

xx5

与

x2x6

相等.的解是.mx1x12x1

8的解为x=

3.若关于x的方程4.若方程5.如果

1ax3x21b，则m.4有增根，则增根是.ba

ab，则

ab

.6.已知

xyxy



32，那么

xyxy

.7.全路全长m千米，骑自行车b小时到达，为了提前1小时到达，自行车每小时应多走千米.二、解方程(12分×4=48分)

8.10.12.关于x的分式方程

某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走45分钟后，乙班的师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？

x1x1



4x1

19.13x13x



3x13x1



1219x

2xx2



1x

x5x6



2xx3

11.5xxx6



2x5xx12



7x10x6x8

21x2



kx2



4x4

有增根x=-2，则k=.(10分)

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参考答案

一、1.x=102.x=3

23.m=44.x=25.-16.26

57.m

b(b1)

二、8.无解9.x=-110.x=111.x=1

12.k=-1

五年级数学解方程练习题 篇10

2、5x 表示5个x相乘。 ( )

3、有三个连续自然数，如果中间一个是a ,那么另外两个分别是a+1和a- 1。( )

4、一个三角形，底a缩小5倍，高h扩大5倍，面积就缩小10倍。( )

解下列方程。

3.5x = 140 2x +5 = 40 15x+6x = 168

5x+1.5 = 4.5 13.7—x = 5.29 4.2 ×3—3x = 5.1 (写出检验过程)

列出方程并求方程的解。

(1)、一个数的5倍加上3.2，和是38.2，求这个数。 (2)、3.4比x的3倍少5.6，求x 。

列方程解应用题。

1、 运送29.5吨煤，先用一辆载重4吨的汽车运3次，剩下的用一辆载重为2.5吨的货车

运。还要运几次才能运完?

2、一块梯形田的面积是90平方米，上底是7米，下底是11米，它的高是几米?

3、某车间计划四月份生产零件5480个。已生产了9天，再生产908个就能完成生产计

划，这9天中平均每天生产多少个?

4、甲乙两车从相距272千米的两地同时相向而行，3小时后两车还相隔17千米。甲每小时行45千米，乙每小时行多少千米?