四年级数学上复习题（通用8篇）
基础作业
不夯实基础，难建成高楼。
1. 算一算。
12+15= 78-12=
16+13= 1-15=
13+15= 79-13=
56-14= 45+212=
2. 在下面的括号里填上分数，在上面的括号里填上小数。
3. 在 里填上“”“”或“=”。
45 0.9 0.7 910
2.4 214 0.25 725
0.166 16 425 0.16
综合提升
重点难点，一网打尽。
4.填上合适的数，使每行的3个数量都相等。
5. 把下面各分数写在相应的圈里。
27 1925 4150 1115 49 716 526 21100
6.算一算。
拓展探究
举一反三，应用创新，方能一显身手。
7. 学校准备在”六一”儿童节为学生购买一些水果，以下是学生喜欢吃水果的情况统计表：
(1)喜欢吃桃子和香蕉的学生占学生总数的比例比喜欢吃苹果的`学生的比例多几分之几?
(2)喜欢吃桃子、香蕉和西瓜的学生人数共占学生总数的几分之几?
(3)如果只购买一种水果你建议买什么?为什么?
一、互动反馈系统及其应用于课堂教学的优势
互动反馈系统 (Interactive Response System, 简称IRS) 是指在课堂教学的信息技术环境下, 引入具有“1对1”特性的数字技术, 将课堂教学过程的多媒体演示、信息反馈、师生及生生互动等环节进行高效整合的系统平台。[2]它作为反馈信息收集工具应用于课堂教学, 主要有以下优势: (1) 实时诊断教学效果, 及时调整教学策略; (2) 加强师生互动, 活跃课堂气氛; (3) 全体公平参与, 关注问题解决; (4) 随堂形成性评价, 减轻教师负担; (5) 支持多种格式教学资源展示, 方便教师灵活运用。[3]
二、互动反馈系统在小学语文课堂教学中的应用设计实例
分析对象是浙江省金华市某小学一位语文教师应用IRS执教的人教版小学五年级上册语文第四单元复习课。其教学按点与对应的教学目标如表1所示。
三、基于个案的即时反馈信息分析与处理
IRS正以其收集反馈信息及时准确的独特优势逐步走进中小学课堂, 并为越来越多的教师所熟知。针对所收集到的数据, 教师有必要进行深入分析, 以便于及时采取补救措施提高教学效率。以下将从正答率和应答时间两个角度, 对收集到的即时反馈信息进行具体分析。
(一) 从正答率角度分析即时反馈信息
正答率是教师了解学生整体认知水平、检验教学目标达成情况的一个重要窗口, 在课堂教学中发挥着不可替代的作用。根据IRS活动记录中的正答率统计表, 绘制如图1所示的柱形统计图。
由图1可知, 题目5的正确率远远低于60%。此时, 教师通过提问发现:学生对“络绎不绝”和“源源不断”间的联系与区别已达成共识, 但在具体运用阶段容易混淆。针对这一现象, 教师利用IRS提供的即问即答功能临时设置题目6、题目7 (具有真实情境的例句) 以进一步巩固学生对该知识点的理解。此外, 题目2的正答率稍有偏低, 表明少部分学生对引号作用的认识仍处于模糊状态。据此, 教师通过再次总结的方式加深学生对引号作用的印象。
由此可见, IRS提供的正答率统计功能有助于教师在课堂中及时了解学生的思维过程, 查找作答错误的原因, 从而采取相应的措施调整教学策略, 加强学生对易错知识点的把握, 最终提高教学效率。
(二) 从应答时间角度分析即时反馈信息
应答时间有助于教师反思教学按点设计的合理性以及教学方法选择的科学性, 同时, 也为教学策略调整以及教学行为分析提供了有力依据。根据IRS系统提供的历程与报表追踪功能绘制成如图2所示的团体反应曲线图。
团体反应曲线是对原数据进行统计处理后得到的, 反映应了作答时间与应答人数之间的关系。根据团体反应曲线, 教师可以有效调整教学策略, 深入分析教学行为, 以下将针对本节课的教学按点进行具体分析。
1. 调整教学策略
无应答时间是指从问题提出到第一个学生作出反应所经历的时间, 在团体反应曲线中即为曲线起点所对应的时间。总体而言, 无应答时间越短, 题目越简单。由此, 教师可根据团体反应曲线的起点判断教学按点的难易程度, 从而有效调控教学步调。观察图2可知, 题目1、5、6、7对应的无应答时间相对较短, 同时, 结合正答率统计图可发现, 题目1、6、7的正确率普遍偏高, 据此可判定题目1、6、7所应对的教学目标已基本达成, 应适当减少教学时间;而其中题目5的正确率却显著偏低, 此时教师应深入分析产生此现象的原因所在, 并有针对性地调整教学策略以保证学生对该知识点的掌握。此外, 题目2、3、4的无应答时间相对较长, 但正确率却不低, 表明学生对此类知识点已基本理解, 只是掌握不够扎实, 教师可在今后教学中有意识加强学生对相关内容的学习。
2. 分析教学行为
面对简单提问, 多数学生几乎可在同一时间做出反应, 理论上而言应答率应在瞬间达到100%, 在实际教学过程中却总有部分学生因精力不集中、误解题意等原因导致应答迟缓, 此种情况在团体反应曲线中表现为指数函数图形。如图2所示, 题目1、3、4、6、7的反应时间曲线均呈指数分布, 教师可据此推测大部分学生对上述题目都能较好理解。而题目2、5的团体反应曲线趋向于S形, 表明此类问题对学生而言难度较大, 需经过充分思考与大量分析后才能做出反应。针对这一现象, 教师应在课后及时寻找其本质原因, 并在今后教学中采取适当的补救措施来促进学生对此类知识点的理解。
四、利用互动反馈系统开展教学的策略调整建议
(一) 根据正答率调整教学策略
1. 调整教学方案, 建立有效激励机制
教学方案是教师通过对学生原有认知水平进行预测而设计的最有益于学生学习的内容编排及时间分配过程, 实施过程中, 需要结合反馈信息进行动态调整。例如:当IRS显示的正答率高于85%时, 可适当减少相关知识点的教学时间, 以留出更多时间讲解学生难以理解的知识内容;而正答率低于60%时, 有必要调整预设的教学方案, 选择一种学生更容易理解的方式进行教学。
另外, 根据正答率建立有效激励机制也同样是提高教学效率的有效手段。例如:当正答率高于85%时, 可适当减少针对该知识点布置的课后练习, 在保证教学目标达成的同时减轻学生负担, 有利于激发学生的学习兴趣, 提高学生课堂参与的积极性。
2. 开展同侪教学, 解决认知冲突
同侪教学是指组织学生以小组协作方式讨论具有严重认知分歧的知识点的教学过程, 开展前提是同伴间产生较大的思维冲突, 全体学生对所涉及的知识点处于概念模糊状态。[4]
利用IRS的直观统计图, 教师可了解每位学生的思维倾向, 并对认知分歧现象一目了然。当发现学生产生认知分歧时, 即可开展同侪教学, 为所有学生提供向同伴解释自我观点的机会, 引导他们在互动环境中相互说服, 彼此精益概念, 加深认知印象, 牢固新知识记忆。
总而言之, 教师应根据正答率的高低, 并结合课堂实况采取适当措施引导学生进行思考与讨论, 促使学生形成并巩固对相关知识点的正确认识。
(二) 根据应答时间调整教学策略
1. 帮助学生认识自己, 指导学生学会学习
答题过程中, 应答时间往往因少数学生反应较慢而延长, 我们称这部分学生为慢智型思维学生。相比于其他学生, 慢智型学生的思维过程相对缓慢, 经常在教师、同学的催促下仓促完成作答, 不仅不利于正答率的精确统计, 而且还容易使这类学生产生自卑心理, 对自己缺乏自信。面对慢智型学生, 教师应采取列举案例、分析优势等方法帮助其正确认识自己, 了解自己的思维方式, 从自身的优势出发学会有效学习。
2. 分析思维过程, 实施分层教学
利用IRS提供的追踪与统计功能, 可及时明确全体学生的作答情况, 有利于教师在课堂中实现分层教学。针对反应快但作答错误的学生, 教师可在按键后要求其说明理由, 阐述思考过程及思路以检验其学习态度。若经过认真思考, 只是思维过程出现错误, 教师应予以鼓励;相反, 可进行适当批评, 使其认识到自己不端正的学习态度, 促使其及时改正。另外, 若该类学生较多, 教师还可不定期调整学生座位, 将此类学生安排在同一组或同一方向, 便于教师于按键前进行观察与提醒。而对于作答速度快且选择正确的学生, 教师应鼓励其在完成作答后进行自主学习, 或给予这部分学生更高层次的学习任务, 以做到兼顾全局, 促使全体学生共同进步。
综上所述, 教师并不能全靠IRS收集的统计数据直接观察到学生的学习实情, 还需在课后对数据加以深入分析, 挖掘其中隐藏的有价值的教学资源, 这无疑会增加教师工作量, 需要教师投入更多的时间与精力, 并保持足够的耐心。但从另一方面而言, IRS的应用也为教师进行高效教学提供了决策依据, 有利于教师及时调整教学策略以提高教学效率。
五、结论
利用IRS及时准确收集学生的作答信息, 并进行自动化统计处理, 最终以视觉化图表形式呈现反馈信息的方式, 有利于教师及时调整教学策略, 从而做到适时分层, 满足学生个性发展, 实施因材施教, 但要将IRS拥有的功能发挥得淋漓尽致, 关键还在于按点设计及教学过程实施。可见, 完全依靠IRS来改变教学效果显然不可取, 教师需要在不断实践中亲身体验IRS的独特价值, 形成个性化的使用风格。
此外, 除了从正答率和应答时间角度进行分析, 教师还可以根据IRS提供的学生按键频率、平均分数、标准差等对课堂教学进行研究, 找到设计教学过程的依据, 力求更高效地达成教学目标。
参考文献
[1]黄立新.教学传播过程中反馈信息的精细处理[J].电化教育研究, 2007, (7) :16-20.
[2]林建祥.互动反馈教学培训材料[M].北京:北京松博科技有限公司, 2007.
[3]张晓彬, 李霜爽.互动反馈系统 (IRS) 及其对传统课堂教学的优化设计[J].中小学电教, 2007, (9) :26-27.
一、情境辅助——突出应用价值
教材上的许多习题是按照数学知识的逻辑性和系统性进行设计的，缺少数学知识应用于生活实际的联系。这样的习题对学生来说缺乏趣味性，因此，我们可以对一些给纯粹的数学命题换回生活化包装，把对数学知识的运用放置在现实的生活情境中，真正使数学题焕发出浓郁的生活气息。
【原题呈现】一个数a，先增加10%，再减少5%，则结果会
（ ）。
A、增加 B、不变C、减少D、由a的值决定
这是一道学习“有理数乘法”后非常典型的练习题，它能有效地检测学生对字母表示数的理解．然而，由于其缺乏现实背景，给人以刻板、沉闷的感觉，导致学生对解答这样的练习题缺乏兴趣。
【二度开发】“某商店以a元/件的价格购进一批衬衫，先提价10％，然后在此基础上降价5％，问这商店是赚了还是亏了？”
在这里，为原本枯燥的问题添加了“销售衬衫”这样的现实生活背景，将研究视角直接切入到现实生活中，使学生感受到数学在现实生活中有着广泛的应用。这样能使得数学知识和生活实际得以“无缝接轨”，既让学生对所涉及到的数学知识有了一个更深刻的认识，又能体现出数学的应用价值。
二、预作铺垫——突出知识联系
设计练习时，如果不注意新旧知识或前后知识的内在联系，就会练得零乱琐碎，漫无边际，学生就会感到思绪紊乱，兴趣索然。因此，教师必须从整体角度设计练习，对一些习题预作铺垫，突出数学知识之间的联系。
【原题呈现】学校数学课外兴趣小组共有学生84人，其中男生人数是女生人数的2倍，则数学课外兴趣小组的男生和女生分别是多少人？
这是“列方程解应用题”中的一道习题，我们可以进行这样的层次化处理。
【二度开发】①画线段图表示题意。②根据图意写出等量关系式。③如果设女生人数为人，那么男生人数是多少？④根据等量关系式列方程是：_____________。
然后组织学生归纳列方程解应用题的特点，并完成下列填空：
①用字母表示________；②根据题中的数量之间的相等的关系，列出一个________的等式；③再解这个方程。
以上的课堂练习就是借助线段图的直观性这一学生已掌握的知识作为阶梯，着重引导学生在理解题意的基础上找出题中的等量关系，把知识转化成技能。
三、注重变式——提高运用能力
对于教材中的一些习题，我们可以根据实际情况恰当地对题目进行不同的求解、延伸、演变、拓展，适时地创造悬念，通过变式练习，使学生思维处于积极状态，开拓思路，提高运用基础知识的能力。
【原题呈现】如图1，AD是⊙O的直径，直线BC切圆于点D，AB、AC与圆交于点E、F，求证:AE·AB=AF·AC。
这一道题可以连结DE、DF，由射影定理得：AD2=AE·AB，AD2=AF·AC。如果在教学时，只让学生做这样一道题是不能有效训练学生对知识的运用能力的。我们可以对原题的条件进行弱化，开发出变式练习。
【二度开发】①把图1中的直线向上移(弱化了相切这个条件)，得图2，此时结论AE·AB=AF·AC是否成立？②把图1中的直线向下移(弱化了相切这个条件)，得图3，此时结论AE·AB=AF·AC是否成立？
以上两种变式的求解过程只要连结DE、DF，再证明RtΔAMB∽RtΔAED，RtΔACM∽RtΔADF，根据对应边的比例关系可得AE·AB=AF·AC成立。在原题的基础上设计出这两道变式练习题，有利于学生加强对数学知识的综合理解，从而提高运用能力。
四、一题多变——加深思维含量
教师在对习题进行分析和解答后，若注意发挥例题以点带面的功能，有意识地在例题基础上进一步引伸扩充，挖掘问题的内涵和外延，指导学生对新问题的探讨，这对培养学生思维的广阔性是大有裨益的。
【原题呈现】已知：MN是⊙O的切线，切点为C，AB是⊙O的直径.求证：点A、B到MN的距离之和等于⊙O的直径。
【二度开发】此题看似一道很普通的习题，但经过一番探索，不能发现它有丰富的内涵。
①挖掘证明。思路1：连OC，证明半径OC是直角梯形ABED的中位线。
思路2：连AC、BC，过C作CG⊥AB，证明△ADC≌△ACG，△BCG≌△BEC，得到AD＝AG，BE＝BG。
②挖掘联系。从图中不难发现：OD＝OE，AC、BC分别平分∠DAB、∠EBA，因此，本例实质上是下面习题的再现：
①求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。
②设AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和⊙O在点C的切线垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB.又因为AB＝AD＋BE，所以它是下面习题的一种特殊形式：
③已知：梯形ABED中，AD∥BE，AB＝AD＋BE，C为DE的中点，求证：AC、BC分别平分∠DAB和∠EBA。
这样通过典型范例的思路剖析，使学生牢固掌握了基本题型及解题规律，揭示了知识间的内在联系，前后贯通，引伸拓宽，使学生的思维活动始终处于一种由浅入深，由表及里，由一题到一路的“动态”进程之中，形成了一条较为完成的知识链，而且能充分调动学生的学习积极性和主动性，激发学生探求知识的欲望，发展了学生思维的广阔性。
总之，在初中数学教学中教师要深入领会习题的编写意图，充分发挥习题的练习功能，同时又要创造性地使用习题，进行适当地引申、拓展、调整和重组，拓展练习的“三维空间”使得数学教学真正顺着学生的需要展开。
1、在除法里，除数不变，被除数乘8，商()，被除数除以70，商()。
2、在除法里，被除数不变，除数乘20，商()，除数除以12，商()。
3、在除法里，被除数和除数同时乘15，商()。
4、如果被除数和除数都扩大100倍，那么商就()。
5、如果除数缩小10倍，要使商不变,那么被除数要()。
6、如果被除数和除数都缩小20倍,那么商就()。
一、找出下列不同类的.单词，把序号写在前面的括号内。
1.A.apple B.lion C.pear
2.( )A.pen B.ruler C.horse
3.()A.my B.our C.it
4.()A.nice B.green C.great
5.()A.three B.there C.thirteen
二、按要求填空
1.these(单数)_____2.donot(缩写形式)____3.mango(复数)___4.let’s(完整形式)_____5.grapes(单数)___6.thanks(同义词组)____7.boy(对应词)____8.some(同义词)_______
三、英汉互译。
1.制作一个水果色拉_____5.thistiger_________2.一些葡萄_________6.manyballs________3.十五张贴纸_______7.inthatbox________4.一头大象__________8.playtabletennis___
四、选择填空。
()1.Thisis________.Ilike_____________.
A.adog;dogs B.dog;dogs C.adog;adog
()2.Howmany______doyouhave?
一、通读全册课文，对课文内容要熟悉。
二、背诵 课文：2-1 古诗二首 12-2 语文天地：
第 27 页 九月九日忆山东兄弟
第 36 页 书湖阴先生壁
第 37 页 西江月
第 50 页 寄扬州韩绰判官 第 96 页 琵琶行
第 108 页 入京 第 129 页 江雪 诗句 凉州词 3-1 爱我中华
6-1 美丽的集邮册 下雪的早晨 播种行为，收获习惯；播种习惯，收获性格；播种性格，收获命运。印度谚语第 107 页 强不执弱，众不劫寡，富不侮贫，贵不傲贱。——《墨子 兼爱中》
一粥一饭，当思来之不易；半丝半缕，恒念物力维艰。——（清）朱柏庐
君子爱财，取之有道。——《增广昔时贤文》
三、字词
1、认字表中的字词。
2、语文天地画线的词语。
3、第 49 页 第 95 页 第 119 页的形近字和同音字。
4、第 128 页 多音字 全册的多音字：落 都 间 露 空
5、易读错音的字：
戛（）然而止 迂（）腐 愚（）笨 嫉（）妒 嶙（）峋 差 散 待 弹 脖颈（）泥泞（）霎（）时间 提供（）几绺（）乱发 不屑（）拎（）怔（）住 入场券（）一沓（）钞票 佝偻（）瞠（）目结舌
6、词语积累（1）月（2）明 月 明 月 明 月 明 吐蕃（）膝（）盖 第 107 页 省吃俭用 当牛做马 手疾眼快心驰神往 能工巧匠 心惊胆寒 积累 ABB AABB ABCC 栉风沐雨 安家落户
四、句子
1、积累的句子： 第 5、18、26、82、120 页中读一读的句子。
2、仿写句子 第 5、17、49、63、64、82、107 页
五、阅读
1、阅读方法
（1）掌握换词、利用字典词典、结合生活实际、联系上下文理解词 语的方法；初步学习查字典时，选择字在词语中的恰当意思。
（2）掌握顿号的使用方法，初步认识分号、破折号，初步了解引号 在人物对话中以及在特定称谓上的用法； 准确认识比喻句中的本体和 喻体；感悟反问句的意思，并能将反问句改成陈述句；认识因果句、转折句、并列句，理解因果句，有前因后果、前果后因等不同形式； 巩固联系上下文、联系生活实际理解句子的方法，初步学习查阅资料 理解句子的方法。
（3）能够找出概括自然段内容的句子，用“联词归纳法”概括段意 的方法。知道课文是按一定的顺序写的：如：事情的发展顺序、时间 顺序、方位顺序等，并能按此顺序给课文划分逻辑段。
（4）阅读文章能够在文中提取信息。
六、习作：
1、学习作文的完整格式，掌握三段式的基本习作结构。能围绕一个 主题，构建一个中心，在留心观察周围事物中，选取一件事情，进行 书面表达，增强习作的信心。
2、选材上，从平时积累的语言材料中，运用有新鲜感的语言，把一 件事写具体。
一、选择题
1.已知集合S={0, 1}, 集合T={0}, 若S∩T={a}, 则 () .
(A) a={0} (B) a={1}
(C) a=0 (D) a=1
2.设U =R, 不等式x2-x≤0的解集为M, 函数f (x) =lg (1-|x|) 的定义域为N, 则
(A) (-1, 0] (B) [0, 1)
(C) (0, 1) (D) [0, 1]
3.已知集合A={x|x2-3x+2<0}, B={x|log4x>1/2}, 则 () .
4.已知命题p:x≥k, 命题q:, 若p是q的充分不必要条件, 则实数k的取值范围是 () .
(A) [2, +∞) (B) (2, +∞)
(C) [1, +∞) (D) (-∞, -1]
(A) (-∞, 0) ∪ (2, +∞)
(B) [0, 2]
(C) R
(A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 2 3
7.下列命题是假命题的是 () .
8.设集合A={x||x-a|<1, x∈R}, B={x||x-b|>2, x∈R}, 若AB, 则实数a, b必须满足 () .
(A) |a+b|≤3 (B) |a+b|≥3
(C) |a-b|≤3 (D) |a-b|≥3
二、填空题
11.已知集合A={x|x2-x-2≤0}, B={x|2a<x<a+3}, 且满足, 则实数a的取值范围是________.
12.已知集合A={x||x-1|+|x+1|≤3}, 集合B={x|x2- (2m+1) x+m2+m<0}.若, 则实数m的取值范 围是_____ .
13.已知函数f (x) =x2-2x, 点集M ={ (x, y) |f (x) +f (y) ≤2}, N={ (x, y) |f (x) -f (y) ≥0}, 则M∩N所构成平面区域的面积为______ .
14.已知集合M={1, 2, 3, 4}, 集合A, B为集合M的非空子集, 若对x∈A, y∈B, x<y恒成立, 则称 (A, B) 为集合M的一个“子 集对”, 则集合M的“子集对”共有个____.
15.命题“存在x∈R, 使得x2+2x+5=0”的否定是____________ .
16.若“x2-2x-8>0”是“x<m”的必要不充分条件, 则m的最大值为_________ .
17.下列说法:
其中正确的是_______ .
三、解答题
18.已知p:A={x|x2-2x-3≤0, x∈R}, q:B={x|x2-2mx+m2-9≤0, x∈R, m∈R}.
(Ⅰ) 若A∩B=[1, 3], 求实数m的值;
(Ⅱ) 若p是﹁q的充分条件, 求实数m的取值范围.
19.已知集合A= {-2, 0, 2}, B= {-1, 1}.
(Ⅰ) 若M={ (x, y) |x∈A, y∈B}, 用列举法表示集合M;
(Ⅱ) 在 (Ⅰ) 中的集合M内, 随机取出一个元素 (x, y) , 求以 (x, y) 为坐标的 点位于区 域, 内的概率.
20.向50名学生调查对A, B两事件的态度, 有如下结果:赞成A的人数是全体的五分之三, 其余的不赞成;赞成B的比赞成A的多3人, 其余的不赞成.另外, 对A, B都不赞成的学生数比对A, B都赞成的学生数的三分之二少6人.问对A, B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?
(Ⅰ) 点P (a, b) 的轨迹图形的面积;
(Ⅱ) a+5b的取值范围.
参考答案
1.C.∵S={0, 1}, T={0}, ∴S∩T={0}.
又S∩T={a}, ∴a=0.∴选C.
2.A.∵M={x|0≤x≤1},
N={x|-1<x<1},
3.D.∵A={x|1<x<2}, B={x|x>2},
∴x>2或x<-1, ∴q:x>2或x<-1.
即[k, +∞) (-∞, -1) ∪ (2, +∞) ,
∴k>2, 即k∈ (2, +∞) .∴选B.
5.B.若p∨ (￢q) 为假命题, 则p假q真.命题p为假命题时, 函数y=ex与y=mx没有交点, 则0≤m<e;命题q为真命题时, 有Δ=m2-4≤0, 即-2≤m≤2.最后要使p∨ (￢q) 为假命题, m的取值范围是0≤m≤2.∴选B.
6.B.对于1, 由“p且q”为假命题得p, q中至少有一个假命题, 所以1不正确;对于2, 易知其是正确的;对于3, 易知其是不正确的.∴选B.
综上所述, 应选B.
注意到直线x-y=0和x+y-2=0互相垂直, 且它们的交点是圆心 (1, 1) .
所以集合M∩N中的元素表示的平面区域的面积等于圆面积的一半.
A={1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}时, B均有1种情况.
∴满足题意的子集对共有
7+3+1+3+3=17 (个) .
于是有m≤-2, 即m的最大值为-2.
综上可知, 只有命题14正确.
18.解:化简集合A, B, 得A={x|-1≤x≤3, x∈R}, B={x|m-3≤x≤m+3, x∈R, m∈R}.
(Ⅰ) ∵A∩B=[1, 3], ∴m=4.
(Ⅱ) ∵p是￢q的充分条件, ∴
∴m>6或 m<-4.
19.解 (Ⅰ) M={ (-2, -1) , (-2, 1) , (0, -1) , (0, 1) , (2, -1) , (2, 1) }.
(Ⅱ) 记“以 (x, y) 为坐标的点位于区域D内”为事件A.集合M中共有6个元素, 即基本事件总数为6, 区域D含有集合M中的元素为: (-2, -1) , (0, -1) , (0, 1) , (2, -1) , 共4个, 所以P (A) =4/6=2/3.
20.解:赞成A的人数为50×3/5=30, 赞成B的人数为30+3=33.如图, 记50名学生组成的集合为U, 赞成事件A的学生全体为集合A, 赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A, B都赞成的学生人数为x, 则对A, B都不赞成的学生人数为2/3x-6, 赞成A而不赞成B的人数为30-x, 赞成B而不赞成A的人数为33-x.依题意 (30-x) + (33-x) +x+ (2/3x-6) =50, 解得x=21.所以对A, B都赞成的学生有21人, 都不赞成的有8人.
实数对 (a, b) 为坐标的点的轨迹图形如图 (阴影部分, 不包括边界) .
∵p∧q是真命题, 则p真, 且q真,
∴
∴点P (a, b) 的轨迹图形如 图所示的△ABC的内部, 但不包括边界.
由边界可得A (0, 2) , B (-3, 2) ,
(Ⅱ) 设a+5b=z, 直线a+5b=z过点B时, z=-3+5×2=7, 直线a+5b=z过点C时, z=-12/5+5×13/5=53/5,
∴a+5b的取值范围是 (7, 53/5) .
二、函数的图象和基本性质 (一)
一、选择题
1.函数) 的定义域是 () .
(A) (-3, 0)
(B) (-3, 0]
(C) (-∞, -3) ∪ (0, +∞)
(D) (-∞, -3) ∪ (-3, 0)
2.下列选项对应的图象表示的函数f (x) , 满足f (1/4) >f (3) >f (2) 的只可能是 () .
3.f (x) 是R上的奇函 数, 当x≥0时, f (x) =x3+ln (1+x) , 则当x<0时, f (x) = () .
(A) -x3-ln (1-x)
(B) x3+ln (1-x)
(C) x3-ln (1-x)
(D) -x3+ln (1-x)
4.若函数其中[x]表示不大于x的最大整数, 如[1.1]=1, 则f (8.8) = () .
(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1
5.图1可能是下 列哪个函数的图象 () .
6.已知函数, 在 R上单调递增, 则a的取值范围是 () .
(A) (1, 4] (B) (2, 4)
(C) [2, 4) (D) (4, +∞)
7.若函数y=lg[ (a2-1) x2+ (a+1) x+1]的定义域 为R, 则实数a的取值范 围是 () .
8.若x∈R, 用[x]表示不超过x的最大整数, 如[-1.5]= -2, [5.1]=5.设 {x}=x[x], 则对函数f (x) ={x}, 下列说法中正确的个数是 () .
1定义域为R, 值域为[0, 1) .
2它是以1为周期的周期函数.
3若方程f (x) =kx+k有三个不同的根, 则实数k的取值范围是 (-1/3, -1/4]∪[1/4, 1/3) .
4若n≤x1≤x22<n+1 (n∈Z) , 则f (x1) ≤f (x2) .
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
9.已知定义在R上的函数f (x) , 对任意x∈R, 都有f (x+2) =f (x) +f (2) 成立, 若函数y=f (x+1) 的图象关于直线x=-1对称, 则f (2014) 的值为 () .
(A) 2014 (B) -2014 (C) 0 (D) 4
10.已知函数f (x) =x3+ax2-x+c (x∈R) , 下列结论错误的是 () .
(A) 函数f (x) 一定存在极大值和极小值
(B) 若函数f (x) 在 (-∞, x1) , (x2, +∞) 上是增函数, 则
(C) 函数f (x) 的图象是中心对称图形
(D) 函数f (x) 一定存在三个零点
11.已知函数 (a>0, b∈R, c>0) , g (x) =m[f (x) ]2-n (m, n∈R, 且mn>0) , 则关于x的方程g (x) =0的解集不可能为 () .
12.已知函数f (x) 满足f (x) =2f (1/x) , 当x∈[1, 3]时, f (x) =lnx, 若在区间[1/3, 3]内, 函数g (x) =f (x) -ax的图象与x轴有3个不同的交点, 则实数a的取值范围是 () .
二、填空题
13.设f (x) 的定义域为D, 满足下面两个条件的函数f (x) 为闭函数:1f (x) 是D上的单调函数;2存在, 使f (x) 在[a, b]上的值域为[a, b].若为闭函数, 则k的取值范围是_____ .
16.已知f (x) 为定义在R上的偶函数, 当x≥0时, 有f (x+1) =-f (x) , 且当x∈[0, 1) 时, f (x) =log2 (x+1) , 给出下列命题:
1f (2015) +f (-2014) 的值为0.2函数f (x) 在定义域上为周期是2的周期函数;3直线y=x与函数f (x) 的图象有1个交点.4函数f (x) 的值域为 (-1, 1) .
其中正确命题的序号有________ .
18.如图2, 偶函数f (x) 的图象如字母M, 奇函数g (x) 的图象如字母N, 若方程f[f (x) ]=0, f[g (x) ]=0的实根个数分为m, n, 则m+n= ____.
三、解答题
19.已知函数f (x) 定义在 (0, +∞) 上, 对于任意的x, y∈ (0, +∞) , 都有f (xy) =f (x) +f (y) , 当且仅当x>1时, f (x) <0成立.
20.设函数f (x) =|x2-4x-5|.
(Ⅰ) 在图3中作出函数f (x) 在区间[-2, 6]上的图象;
(Ⅱ) 设集合A={x|f (x) ≥5}, B = (- ∞, -2) ∪ [0, 4]∪ (6, +∞) , 试判断集 合A和B之间的关 系, 并给出证明;
(Ⅲ) 当 k>2 时, 求证:在区间[-1, 5]上, y=kx+3k的图象位于函数f (x) 图象的上方.
21.已知函数 (a>0且a≠1) 是定义在 (-∞, +∞) 上的奇函数.
(Ⅰ) 求a的值;
(Ⅱ) 求函数f (x) 的值域;
(Ⅲ) 当x∈ (0, 1]时, tf (x) ≥2x-2恒成立, 求实数t的取值范围.
22.已知二次 函数f (x) =ax2+bx+c (c>0且为常数) 的导函数的图象如图4所示.
(Ⅰ) 求函数f (x) 的解析式;
(Ⅱ) 令g (x) =f (x) /x, 求y=g (x) 在[1, 2]上的最大值.
23.已知函数, 其中a>-1且a≠0.
(Ⅰ) 当a>0时, 求函数f (x) 的单调区间.
(Ⅱ ) 若函数f (x) 有两个相 异的零点x1, x2.
(1) 求实数a的取值范围;
(2) 求证:x1+x2>2.
24.已知函数f (x) =ax2+x-xlnx.
(Ⅰ) 若a=0, 求函数f (x) 的单调区间;
(Ⅱ) 若f (1) =2, 且在定义 域内f (x) ≥bx2+2x恒成立, 求实数b的取值范围.
25.已知函数f (x) =lnx-ax (a∈R) .
(Ⅰ) 若函数f (x) 无零点, 求实数a的取值范围;
(Ⅰ) 假设m=-2, 求f (x) 的极大值与极小值.
(Ⅱ) 是否存在 实数m, 使f (x) 在 [-2, -1]上单调递增? 如果存在, 求m的取值范围;如果不存在, 请说明理由.
参考答案
1.A.要使函数有意义, 必须有
解之, 得-3<x<0.∴选A.
2.D.∵f (1/4) >f (3) >f (2) ,
∴函数f (x) 有增有减, ∴排除A, B.
在 C中, f (1/4) <f (0) , f (3) >f (0) ,
即f (1/4) <f (3) , 故排除C.所以选D.
3.C.∵f (x) 为奇函数,
∴f (-x) =-f (x) .
当x<0时, -x>0,
∴f (-x) = (-x) 3+ln (1-x) .
∴-f (x) =-x3+ln (1-x) ,
即f (x) =x3-ln (1-x) .∴选C.
4.B.f (8.8) =f ([8.8]) =f (8) =82/3=4.
∴选B.
5.C.题图给出的信息:函数有两个零点, 且x=0是其中的一个零点.对于选项A, 当x→-∞时, y→-∞, 与图象不符.对于选项B, 当x→+∞时, y→0, 显然与图象不符;另外, 由于sinx的周期性, 函数零点应有无数多个.对于选项D, f (x) 的定义域为{x|x>0且x≠1}, 也与图象不符, 也应排除, 所以只有C正确.
故选C.
6.C.∵f (x) 在R上单调递增,
∴a∈[2, 4) .∴选C.
7.D.∵函数的定义域为R,
∴选D.
8.C.由题意知, f (x) 的图象如图, 显然1 2 4正确;3错, 易知所求的实数R取值范围是 (-1, -1/2]∪[1/4, 1/3) .∴选C.
9.C.依题意知, 函数y=f (x) 的图象关于直线x=0对称, 因此函数y=f (x) 是偶函数.令x=0, 则f (2) =f (0) +f (2) , ∴f (0) =0;令x=-2, 则f (-2+2) =f (-2) +f (2) , 即f (0) =f (2) +f (2) , 所以f (2) =0, 所以f (x+2) =f (x) , 函数y=f (x) 是以2为周期的 函数, f (2014) =f (2×1007) =f (0) =0.∴选C.
11.C.∵f (b+x) +f (b-x)
∴f (x) 的图象关于点 (b, 0) 对称.
15. (-2, 2/3) .由题意可 知, f (x) 为奇函数, 且在定义域 内为增函 数, ∴f (mx-2) +f (x) <0可变形为f (mx-2) <f (-x) , ∴mx-2<-x, 将其看作关于m的一次函数g (m) =x·m -2+x, m∈ [-2, 2], 可得当m∈[-2, 2]时, g (m) <0恒成立, 若x≥0, g (2) <0, 若x<0, g (-2) <0, 解得-2<x<2/3.
18.12.由题目中的图象可知, 偶函数f (x) 的一个零点 是0, 另外两个 零点分别 在区间 (-2, -1) 与 (1, 2) 内, 值域为[-1, 1];奇函数g (x) 的一个零点是0, 另外两个零点分别在区间 (-1, 0) 与 (0, 1) 内, 值域是[-2, 2]. (1) 只有当f (x) =0时, f[f (x) ]=0, 故g (x) 的实根个数m=3. (2) 存在3个实数x, 使g (x) =0, f[g (x) ]=0;存在3个实数x, 使g (x) ∈ (-2, -1) , f[g (x) ]=0;存在3个实数x, 使g (x) ∈ (1, 2) , f[g (x) ]=0, 故实根个数n=9.
从而m+n=12.
19.解: (Ⅰ ) 证明:因为f (xy) =f (x) +f (y) ,
20.解: (Ⅰ) 函数f (x) 的图象如图所示.
在区间[-1, 5]上, 当k=2时, y=2 (x+3) 的图象与函数f (x) 的图象只有一个交点 (1, 8) ;
当k=18时, y=18 (x+3) 的图象与函数f (x) 的图象没有交点.
由图可知, 由于直线y=k (x+3) 过定点 (-3, 0) , 当k>2时, 直线y=k (x+3) 是由直线y=2 (x+3) 绕点 (-3, 0) 逆时方向 旋转得到.
因此在区间[-1, 5]上, y=k (x+3) 的图象位于函数f (x) 图象的上方.
21.解: (Ⅰ) ∵f (x) 是定义在 (-∞, +∞) 上的奇函数, ∴f (-x) =-f (x) .
∴f (x) 在 (0, 1]上为增函数, 在[1, -1/a]上为减函数, 在[-1/a, +∞) 上为增函数.
考虑到当x→0时, f (x) → - ∞, 当x→ + ∞时, f (x) →+∞.
从而f (x) 在 (0, 1) 内有且仅有一个零点, 要使f (x) 在 (0, +∞) 上有两个相异零点,
∴上述关于a的方程无解.
综上所述, 实数a的范围为 (3, +∞) .
(2) 证明:先证明下列不等式:
∴对任意的x∈ (0, 1) , g (x) >g (1) =0,
即对任意的x∈ (0, 1) , f (2-x) >f (x) .
24.解: (Ⅰ) 当a=0时, f (x) =x-xlnx, 函数定义域为 (0, +∞) .
f′ (x) =-lnx, 由-lnx=0, 得x=1.
当x∈ (0, 1) 时, f′ (x) >0, f (x) 在 (0, 1) 上是增函数;
当x∈ (1, +∞) 时, f′ (x) <0, f (x) 在 (1, +∞) 上是减函数.
∴g (x) 在 (0, 1]上单调递减, 在[1, + ∞) 上单调递增,
∴g (x) min=g (1) =0.
∴b的取值范围是 (-∞, 0].
25.解: (Ⅰ) f (x) 的定义域为 (0, +∞) .
∴当x∈ (-∞, -3) 或x∈ (0, 2) 时,
f′ (x) <0;
当x∈ (-3, 0) 或x∈ (2, +∞) 时,
f′ (x) >0;f′ (-3) =f′ (0) =f′ (2) =0.
∴f (x) 在 (- ∞, -3) 上单调递 减, 在 (-3, 0) 上单调递增, 在 (0, 2) 上单调递 减, 在 (2, +∞) 上单调递增,
∴当x= -3或x=2时, f (x) 取得极小值;当x=0时, f (x) 取得极大值.
解之, 得m≤4.
∴当m∈ (-∞, 4]时, f (x) 在[-2, -1]上单调递增.
三、函数的图象和基本性质 (二)
一、选择题
3.已知函数f (x) =ex-2x-1 (其中e为自然对数的底数) , 则y=f (x) 的图象大致为 () .
4.已知函数若f[f (0) ]=4a, 则实数a= () .
5.已知函数f (x) =x2+2x+1-2x, 则y=f (x) 的图象大致为 () .
(A) 4029 (B) -4029
(C) 8058 (D) -8058
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9
8.定义在R上的函数f (x) 满足f (-x) =-f (x) , f (x-2) =f (x+2) , 且x∈ (-1, 0) 时, f (x) =2x+1/5, 则f (log220) = () .
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10
10.已知函数 (其中e为自然对数的 底数) , 则y=f (x) 的图象大 致为 () .
11.已知函数f (x) =|x2-4|-3x+m恰有两个不同 的零点, 则实数m的取值范 围是 () .
12. 已知函数若存在实数k使得函数f (x) 的值域是[0, 2], 则实数a的取值范围是 () .
二、填空题
14.已知函数f (x) 的定义域 为 (- ∞, +∞) , 如果那么f (2015+π/4) ·f (-7985) =______ .
15.某商场2013年一月份到十二月份销售额呈现先下降 后上升的 趋势, 现有三种 函数模型:
1f (x) =p·qx (q>0, q≠1) ;2f (x) =logpx+q (p>0, p≠1) ;3f (x) =x2+px+q.
能较准确反映商场月销售额f (x) 与月份x关系的函数模型为______ (填写相应函数的序号) , 若所选函数满足f (1) =10, f (3) =2, 则f (x) =_______ .
16.函数f (n) =logn+1 (n+2) (n∈N*) , 定义使f (1) ·f (2) ·f (3) ·…·f (k) 为整数的数k (k∈N*) 叫作企盼数, 则在区间[1, 2015]内这样的企盼数共有个______.
17.已知二次函数f (x) =ax2-x+c (x∈R) 的值域为[0, +∞) , 则的最小值为_______ .
18.幂函数y=xα, 当α取不同的正 数时, 在区间[0, 1]上它们的图象是一族美丽 的曲线 (如图2) .设点A (1, 0) , B (0, 1) , 连结AB, 线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα, y=xβ的图象三等分, 即有BM=MN=NA, 那么, αβ=______ .
三、解答题
20.已知函数f (x) 满足
(Ⅰ) 求函数f (x) 解析式及定义域;
(Ⅱ) 求函数f (x) 的反函数f-1 (x) ;
(Ⅲ) 若f (x) ≥log5 (2x) , 求x的取值范围.
21.函数f (x) 的定义域为D={x|x≠0}, 且满足对于任意x 1, x 2∈D, 有f (x 1·x 2) =f (x 1) +f (x 2) .
(Ⅰ) 求f (1) 的值;
(Ⅱ) 判断f (x) 的奇偶性并证明;
(Ⅲ) 如果f (4) =1, f (3x+1) +f (2x-6) ≤3, 且f (x) 在 (0, +∞) 上是增函数, 求x的取值范围.
22.已知函数
(Ⅰ) 求f (x) 的值域;
(Ⅱ) 设函数g (x) =ax-2, x∈[-2, 2], 若对于任意x 1∈[-2, 2], 总存在x0∈[-2, 2], 使得g (x0) =f (x 1) 成立, 求实数a的取值范围.
23.设函数f (x) =x2- (a-2) x-alnx.
(Ⅰ) 求函数f (x) 的单调区间;
(Ⅱ) 若函数f (x) 有两个零点, 求满足条件的最小正整数a的值;
(Ⅲ) 若方程f (x) =c有两个不相等的实数根x1, x2, 求证:
24.已知函数 (a∈R) .
(Ⅰ) 若y=f (x) 在[3, +∞) 上为增函数, 求实数a的取值范围;
(Ⅱ) 当a= -1/2时, 方程有实根, 求实数b的最大值.
25.已知函数 (a>0) .
(Ⅰ) 求证:f (x) 必有两个极值点, 一个是极大值点, 一个是极小值点;
(Ⅱ) 设f (x) 的极小值点为α, 极大值点为β, f (α) =-1, f (β) =1, 求a, b的值;
(Ⅲ) 在 (Ⅱ) 的条件下, 设g (x) =f (ex) , 若对于任意实数x, 恒成立, 求实数m的取值范围.
26.已知f (x) = (1-x) ex-1.
(Ⅰ) 求函数f (x) 的最大值;
(Ⅱ) 设, 证明:g (x) 有最大值g (t) , 且-2<t<-1.
(Ⅰ) 若f (x) 在[0, +∞) 上是下凸函数, 求a的取值范围;
(Ⅱ) 设 M (x) =f (x) +f (-x) +12, n 是正整数, 求证:M (1) ·M (2) ·…·
参考答案
∴选A.
2.C.∵f (x) =logax的图象过点 (2, 1) ,
又∵h (x) 为偶函数, h (-x) =h (x) ,
∴当x<0时, h (x) =h (-x) =log2 (-x) .
故g (x) =log2 (-x) .∴选C.
9.D.函数y=f (x) -g (x) 在区间[-5, 5]上的零点个数, 即为函数y=f (x) 与y=g (x) 的图象的交点个数.
根据函数y=f (x) 的性质可知,
当x∈[1, 3]时, x-2∈[-1, 1],
f (0) =g (0) =1, f (1) =g (1) =0, 在同一坐标系内画出两个函数的图象, 如图所示.
观察图象可知, y=f (x) 与y=g (x) 的图象交点个数为10.故选D.
故选B.
24.解: (Ⅰ) f (x) 在区间[3, + ∞) 上为增函数,
(1) 当a=0时, f′ (x) =x (x-2) ≥0在[3, +∞) 上恒成立, 所以f (x) 在[3, +∞) 上为增函数, 故a=0符合题意.
(2) 当a≠0时, 由函数f (x) 的定义域可知, 必须有2ax+1>0对x≥3恒成立, 故只能a>0, 所以2ax2+ (1-4a) x (4a2+2) ≥0在[3, +∞) 上恒成立.
因此当x=1时, b取得最大值0.
∴当x变化时, f′ (x) 和f (x) 的变化情况如下:
所以f (x) 有两个极值点, 一个是极大值点, 一个是极小值点.
不妨设x>0,
当x∈ (0, x0) 时, [h′ (x) ]′≤0, 所以h′ (x) 在 (0, x0) 上单调递减, h′ (x) <h′ (0) =0,
所以h (x) 在 (0, x0) 上单调递减, h (x) <h (0) =0, 与条件矛盾.
同理, 当x<0时亦如此.
综上, 0≤m≤1.
所以h (x) 在 (-2, -1) 上有一个零点t.
当x∈ (- ∞, t) 时, g′ (x) >0, g (x) 单调递增;
当x∈ (t, 0) 时, g′ (x) <0, g (x) 单调递减.
由 (Ⅰ) 知, 当x∈ (-∞, 0) 时, g (x) >0;当x∈ (0, +∞) 时, g (x) <0.
因此g (x) 有最大值g (t) , 且-2<t<-1.
∴当x∈ (1, +∞) 时, H′ (x) >0, H (x) 单调递增;
当x∈ (0, 1) 时, H′ (x) <0, H (x) 单调递减.
∴当x=1时, H (x) 取得最小值H (1) =e, ∴a≤e/6,
∴a的取值范围为 (-∞, e/6) .
(Ⅱ) ∵f (x) =ex-ax3+3x-6,
四、导数的概念及应用
一、选择题
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
2.下列四个图象中, 有一个是函数 (a∈R, a≠0) 的导函数y=f′ (x) 的图象, 则f (1) = () .
3.函数的图象在 点 (1, -2) 处的切线方程为 () .
(A) 2x-y-4=0 (B) 2x+y=0
(C) x-y-3=0 (D) x+y+1=0
4.函数f (x) 在定义域R内可导, 若f (x) =f (2-x) , 且当x∈ (- ∞, 1) 时, (x-1) ·f′ (x) <0, 设 a=f (0) , b=f (1/2) , c=f (3) , 则 () .
(A) a<b<c (B) c<b<a
(C) c<a<b (D) b<c<a
5.设函数f (x) 的导函数为f′ (x) , 若对任意x∈R都有f′ (x) >f (x) 成立, 则 () .
(A) f (ln2014) <2014f (0)
(B) f (ln2014) =2014f (0)
(C) f (ln2014) >2014f (0)
(D) f (ln2014) 与2014f (0) 的大小关系不确定
6.已知三次函数在 x∈ (- ∞, +∞) 上是减函数, 则m的取值范围为 () .
(A) m<2或 m>4
(B) -4<m<-2
(C) 2<m<4
(D) 以上皆不正确
7.已知a为常数, 函数f (x) =x (lnxax) 有两个极值点x1, x2 (x1<x2) , 则 () .
9.一列火车在平直的铁轨上行驶, 由于遇到紧急情况, 火车以速度 (t的单位:s, v的单位:m/s) 紧急刹车至停止.在此期间火车继续行驶的距离是 () .
(A) 55ln10m
(B) 55ln11m
(C) (12+55ln7) m
(D) (12+55ln6) m
10.已知曲线f (x) =3mx+sinx上存在相互垂直 的两条切 线, 则实数m的值为 () .
(A) 3/10 (B) -2/7 (C) 1 (D) 0
(A) π2 (B) 4 (C) π (D) -9π
12.定义在 (0, π/2) 上的函数f (x) , f′ (x) 是它的导函数, 且恒有f (x) <f′ (x) ·tanx成立, 则 () .
二、填空题
13. (理) 函数y=x-x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于_______ .
(文) 曲线y=alnx (a>0) 在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4, 则a=_________ .
14.已知函数f (x) =x (x-a) (x-b) 的导函数为f′ (x) , 且f′ (0) =4, 则a2+2b2的最小值为________ .
15.若函数f (x) =2x2-lnx在其定义域内一个子区间 (k-1, k+1) 上不是单调函数, 则实数k的取值范围是________ .
16.已知函数f (x) =-x3+ax2-4在x=2处取得极值, 若m, n∈[-1, 1], 则f (m) +f′ (n) 的最小值是_____ .
三、解答题
17.已知函数
(Ⅰ) 若函数在区间 (a, a+1/2) (其中a>0) 上存在极值, 求实数a的取值范围;
(Ⅱ) 求证:当x≥1时, 不等式恒成立.
18.已知a>0, 函数f (x) =ax2-x, g (x) =lnx.
(Ⅰ) 若a=1/2, 求函数y=f (x) -2g (x) 的极值.
(Ⅱ) 是否存在实数a, 使得f (x) ≥g (ax) 成立?若存在, 求出实数a的取值集合;若不存在, 请说明理由.
19.已知函数f (x) = (2-a) x-2 (1+lnx) +a,
(Ⅰ) 若函数f (x) 在区间 (0, 1/2) 上无零点, 求实数a的最小值;
(Ⅱ) 若对任意给定的x0∈ (0, e], 在 (0, e]上方程f (x) =g (x0) 总存在两个不等的实根, 求实数a的取值范围.
20.设函数, e=2.71828…是自然对数的底数, c∈R.
(Ⅰ) 求f (x) 的单调区间、最大值;
(Ⅱ) 讨论关于x的方程|lnx|=f (x) 根的个数.
21.已知函数f (x) =ex-x-1 (e为自然对数的底数, e=2.71828…) .
(Ⅰ) 判断函数f (x) 的零点个数, 并说明理由;
参考答案
4.C.∵f′ (x) (x-1) <0, x∈ (-∞, 1) ,
∴f′ (x) >0, ∴函数f (x) 在 (-∞, 1) 上单调递增.
又∵f (x) =f (2-x) , ∴函数f (x) 的图象关于直线x=1对称, ∴f (3) =f (-1) .
又∵-1<0<1/2<1,
∴f (-1) <f (0) <f (1/2) ,
即c<a<b.∴选C.
当0<x<1 时, f′ (x) >0;当 x>1 时, f′ (x) <0;当x=1时, f′ (x) =0.
所以函数f (x) 在 (0, 1) 上单调递增, 在 (1, +∞) 上单调递减,
所以函数f (x) 在x=1处取得极大值.
因为函数在区间 (a, a+1/2) (其中a>0) 上存在极值,
19.解:f (x) = (2-a) (x-1) -2lnx.
(Ⅰ) 令 m (x) = (2-a) (x-1) , x>0, h (x) =2lnx, x>0,
∴f (x) =m (x) -h (x) .
(1) 当a<2时, m (x) 在 (0, 1/2) 上为增函数, h (x) 在 (0, 1/2) 上为增函数.
若f (x) 在 (0, 1/2) 上无零点,
∴当x∈ (0, 1) 时, g′ (x) >0, 函数g (x) 单调递增;
当x∈ (1, e]时, g′ (x) <0, 函数g (x) 单调递减.
又g (0) =0, g (1) =1, g (e) =e2-e>0,
∴函数g (x) 在 (0, e]上的值域为 (0, 1].
方程f (x) =g (x0) 等价于 (2-a) (x-1) -g (x0) =2lnx.
令p (x) = (2-a) (x-1) -g (x0) ,
则p (x) 过定点 (1, -g (x0) ) ,
且-1≤-g (x0) <0,
令t (x) =2lnx, 由p (x) , t (x) 的图象可知, 要使方程f (x) =g (x0) 在 (0, e]上总存在两个不相等的实根,
需使在 (0, e]上恒成立,
五、平面向量
一、选择题
1.已知向量a= (1, 2) , b= (1, 0) , c= (3, 4) , 若λ为实 数, (b+λa) ⊥c, 则λ的值为 () .
2.设向量a= (-1, 2) , b= (m, 1) , 如果向量a+2b与2a-b平行, 那么a与b的数量积等于 () .
3.若两个非零向量a, b满足|a+b|=|ab|=2|a|, 则向量a+b与a -b的夹角为 () .
5.已知向量a, b满足|a|=2|b|≠0, 且关于x的函数在R上有极值, 则向量a, b的夹角的 取值范围是 () .
(A) |m|>|n| (B) |m|<|n|
(C) |m-n|=0 (D) |m-n|>0
7.如图1所示, 点A, B, C是圆O上的三点, 线段OC与线段AB交于圆内一点P, 若, 则λ= () .
8.自平面上一点O引两条射线OA, OB, 点P在OA上运动, 点Q在OB上运动且保持为定值a (点P, Q不与点O重合) , 已知∠AOB=π3, 的取值范围为 () .
二、填空题
10.在△ABC中, 边AC=1, AB=2, A=2π/3, 过 A 作 AP ⊥BC 于 P, 且, 则λμ=______.
11.已知O是锐角△ABC的外接圆 的圆心, 且∠A =θ, 若, 则实数m=_________ (用θ表示) .
12.已知O为锐角△ABC的外心, AB=6, AC=10, 且2x+10y=5, 则边BC的长为________ .
14.已知抛物线y2=2px (p>0) 的焦点为F, △ABC的顶点都在抛物线上, 且满足
三、解答题
15.在直角△ABC中, 已知BC=a, 若长为2a的线段PQ以点A为中点, 问的夹角θ取何值时的值最大?并求出这个最大值.
16.设x, y∈R, i, j为直角坐标平面内x, y轴正方向上的单位向量, 若向量a=xi+ (y+2) j, b=xi+ (y-2) j, 且|a|+|b|=8.
(Ⅰ) 求点M (x, y) 的轨迹C的方程.
(Ⅱ) 过点 (0, 3) 作直线l与曲线C交于A, B两点, 设, 是否存在这样的直线l, 使得四边形OAPB是矩形?若存在, 求出直线l的方程;若不存在, 试说明理由.
(Ⅰ) 求最小值, 并指出此 时与的夹角.
(Ⅱ) 是否存在两定点F1, F2, 使恒为常数k?若存在, 指出常数k的值;若不存在, 说明理由.
参考答案
1.A.∵b+λa
= (1, 0) +λ (1, 2) = (1+λ, 2λ) ,
又 (b+λa) ⊥c, ∴ (1+λ, 2λ) (3, 4) =0.
解之, 得λ=-3/11.∴选A.
2.D.a+2b= (2m-1, 4) ,
2a-b= (-2-m, 3)
由a+2b与2a-b平行, 得m=-1/2.
∴a·b= (-1, 2) · (-1/2, 1)
=1/2+2=5/2.∴选D.
设直线l的方程为:x=my+c,
sin∠BAO=cos (∠OBC+∠OAC)
=cos (∠OCB+∠OCA) =cos∠ACB.
同理sin∠CAO=cos∠ABC.
故 m =cos∠BAOsin∠CAO +sin ∠BAOcos∠CAO=sin (∠BAO+∠CAO) =sinθ.
(Ⅱ) 若直线l的斜率不存在, 则点P与O重合, 与四边形OAPB为矩形矛盾.
故直线l的斜率存在, 设为k, 则其方程为y=kx+3.
(Ⅱ ) 以C为坐标原点, ∠ACB的平分线所在直线为x轴建立直角坐标系 (如图) .
六、三角函数的概念、图象和性质
一、选择题
1.已知cos (π2+α) =35, 且α∈ (π2, 3π2) , 则tanα= () .
2.若sin (π.6-α) =13, 则cos (π.3+α) 的值为 () .
3.函数f (x) =tan (2x-π/3) 的单调递增区间是 () .
4.已知函数f (x) =sin (ωx+φ) (ω>0, |φ|<π/2) 的部分图 象如图1所示, 则y=f (x+π/6) 取得最小值时x的集合为 () .
5.已知直线x=5π/12和点 (π/6, 0) 恰好是函数 (ω>0, |φ|<π) 图象的相邻的对称轴和对称中心, 则f (x) 的表达式可以是 () .
6.函数y=cos2 (2x-π/3) 的图象向左平移π/6个单位, 所得的图象对应的函数是 () .
(A) 偶函数, 值域为[0, 1]
(B) 奇函数, 值域为[0, 2]
(C) 偶函数, 值域为[0, 2]
(D) 奇函数, 值域为[0, 1]
7.已知函数f (x) 是定义在R上的偶函数, 且在区间 [0, + ∞) 上是增函 数.令a=f (sin2π/7) , b=f (cos5π/7) , c=f (tan5π/7) , 则 () .
(A) b<a<c (B) c<b<a
(C) b<c<a (D) a<b<c
8.函数f (x) =sin (ωx+φ) (ω>0, |φ|<π/2) 的最小正周期是π, 若其图象向右平移π/3个单位后得到的函数为奇函数, 则函数f (x) 的图象 () .
(A) 关于点 (π/12, 0) 对称
(B) 关于直线x=π/12对称
(C) 关于点 (5π/12, 0) 对称
(D) 关于直线x=5π/12对称
9.已知函数f (x) =Asin (ωx+φ) (A>0, ω>0, |φ|<π/2) 在一个周期 内的图象如 图2所示.若方程f (x) =m在区间[0, π]上有两个不同的实 数解x1, x2, 则x1+x1的值为 () .
10.图3为函数 (ω>0) 的部分图象, B, C分别为图象的最高 点和最低 点, , 则ω= () .
(A) π/3 (B) π/4 (C) π/6 (D) π/12
11.已知函数f (x) =asinx-bcosx (a, b为常数, a≠0, x∈R) 在x=π/4处取得最小值, 则函数y=f (3π/4-x) 是 () .
12.已知方程|cosx|/x=k在 (0, +∞) 上有两个不同的解α, β (α<β) , 则下列的四个命题正确的是 () .
二、填空题
13.若, 则sin (α+5π/6) =______ .
14.若函数f (x) =cos2x+asinx在区间 (π/6, π/2) 是减函数, 则a的取值范 围是_____ .
15.已知函数f (x) =sin (2x+φ) , 其中φ为实数, 若f (x) ≤|f (π/6) |对x∈R恒成立, 且f (π/2) >f (π) , 则f (x) 的单调递 增区间是________ .
16.函数f (x) = -sin2x+sinx+a, 若1≤f (x) ≤17/4对一切x∈R恒成立, 则a的取值范围为 ____.
三、解答题
17.设函数f (x) =sinωx+sin (ωx-π/2) , x∈R.
(Ⅰ) 若ω=1/2, 求f (x) 的最大值及相应x的集合;
(Ⅱ) 若x=π/8是f (x) 的一个零点, 且0<ω<10, 求ω的值和f (x) 的最小正周期.
18.已知函数记函数f (x) 的最小正周期为β, 向量a= (2, cosα) , , 且a·b=7/3.
(Ⅰ) 求f (x) 在区间[2π/3, 4π/3]上的最值;
19.已知函数
(Ⅰ) 求f (x) 的最小正 周期和单 调递增区间;
(Ⅱ) 当x∈[0, π/2]时, 求函数f (x) 的最大值和最小值及相应的x的值.
20.已知函数图象上的一个最低点A, 离A最近的两个最高点分别为B, C,
(Ⅰ) 求a的值;
(Ⅱ) 求f (x) 的单调递增区间.
21.已知函数f (x) =2sinπ/6xcosπ6/x, 过两点A (t, f (t ) ) , B (t+1, f (t+1) ) 的直线的斜率记为g (t) .
(Ⅰ) 求g (0) 的值;
(Ⅱ) 写出函数g (t) 的解析式, 求g (t) 在[-3/2, 3/2]上的取值范围.
22. 已知函数f (x) =Asin (ωx+φ) (A>0, ω>0, |φ|<π/2) 的部分图象如图4所示.
(Ⅰ) 求函数f (x) 的解析式;
(Ⅱ) 在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若f (x) 在x∈[4, 12]上的最大值为c, 且∠C=60°, 求△ABC的面积S△ABC的最大值.
参考答案
七、三角变换、解三角形
一、选择题
1
(A) 4 (B) 2 (C) -2 (D) -4
2.已知sinα+cosα=1/3, 则
3.已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为 a, b, c, 且, 则 B= () .
(A) π/6 (B) π/4 (C) π/3 (D) 3π/4
4.若 sin (π/6-α) =13, 则 cos (2π/3+2α) = () .
5.设锐角△ABC的三内角A, B, C所对边的边长分别为a, b, c, 且a=1, B=2A, 则b的取值范围为 () .
6.在△ABC中, 角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, 且满足, 则sinA+sinB的最大值是 () .
7.在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, S表示△ABC的面积, 若acosB+bcosA=csinC, , 则角B等于 () .
(A) 90° (B) 60° (C) 45° (D) 30°
8.为测出现 所住小区的面积, 某人进行了一些测量工作, 所得数据如图所示, 则小区的 面积是 () .
9.已知tan (αβ) =1/2, tanβ=-1/7, 且α, β∈ (0, π) , 则2α-β的值为 () .
11.设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且∠C=π/3, a+b=λ, 若△ABC面积的最大值为, 则λ的值为 () .
(A) 8 (B) 12 (C) 16 (D) 21
12.已知M是△ABC内的一点, 且, ∠BAC=30°, 若△MBC, △MAB和△MAB的面积分别为12, x, y, 则1/x+4/y的最小值是 () .
(A) 9 (B) 18 (C) 16 (D) 20
二、填空题
13.已知sin (π-α) cos (-8π-α) =60/169, 且α∈ (π/4, π/2) , 则cosα=_______ , sinα_______
14.若cos (α+β) =1/5, cos (α-β) =3/5, 则tanα·tanβ= .
15.已知a, b, c分别为△ABC三个内角A, B, C的对边, 若cosB=4/5, a=10, △ABC的面积为42, 则b+a/sinA的值等于_________ .
16.已知a, b, c分别为△ABC的三个内角A, B, C的对边则 A=______ .
17.已知△ABC的内角A, B, C依次成等差数列, 所对的边a, b, c依次成等比数列, 若△ABC的面积为, 则△ABC的周长为 _______.
18.在锐角△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c, b/a+a/b=4cosC, 则
三、解答题
19.在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 并且
(Ⅰ) 求角C的大小;
(Ⅱ) 若, c=2, 求b.
20.在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c,
(Ⅰ) 求角C的大小;
(Ⅱ ) 若, △ABC的面积为, 求sinA及c的值.
21.已知函数 (x∈R) .
(Ⅰ) 求函数f (x) 的最大值以及取最大值时x的取值集合;
(Ⅱ) 在△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且求△ABC的面积.
22.已知△ABC三个内角A, B, C的对边分别是a, b, c, 面积为S,
(Ⅰ) 求角A的值.
(Ⅱ) 若取最大值时S的值.
23.已知0<α<π/2, π/2<β<π, 且tanα/2=1/2, sin (α+β) =5/13.
(Ⅰ) 分别求cosα与cosβ的值;
(Ⅱ) 求tan (α-β) 的值.
24.函数 (ω>0) 在一个周 期内的图象如图2所示, A为图象的最高点, B, C为图象与x轴的交点, 且△ABC为正三角形.
(Ⅰ) 若x∈[0, 1], 求函数f (x) 的值域;
25.已知函数
(Ⅰ) 求函数f (x) 的最小正周期;
(Ⅱ) 若不等式|f (x) -m|<1在x∈[π/6, π/4]上恒成立, 求实数m的取值范围.
参考答案
班级：姓名：成绩：
一、 看拼音，写词语。（10分）
二、 我能给带点字选择正确的读音，并用“√”画出来。（3分）
惩（chěnɡ chénɡ）罚 血液（yì yè）埋（mái mán）怨
吩（fēn fēnɡ）咐窜（cuān cuàn）出隐（yǐn yǐnɡ）藏
三、 比一比，组词。（4分）
约（）沟（）错（）腊（）拣（）练（）堆（）推（）
四、 按要求完成句子。（3+2+2+2+2+3=14分）
1补完这些歇后语可难不倒我哟。
① 十五个吊桶打水——
② 黄鼠狼给鸡拜年——
③ 小葱拌豆腐——
2课后我还积累了一些歇后语呢！不信，你看：（至少写2个）
3开学以来,我积累了不少名言,我准备选择一句合适的把我的书房布置一下。
4 用修改符号在原句上修改病句。
（1） 家乡的一草一木对于爷爷奶奶都非常熟悉。
（2） 在会上，他首先第一个谈了自己的收获和体会。
5改写句子。
（1）外地的桂花再香，还是比不得家乡旧宅院子里的金桂。
改成句末是问号的句子：
（2） 他的脚步声惊醒了酣睡的大熊猫。
改成把字句：
6重新排队。
（）路上，火辣辣的太阳晒得它口干舌燥。
（）又渴又累的乌鸦始终没喝上一滴水。它叹息着：“唉！老办法不管用啦！”
（）乌鸦决定休息一下，找口水喝，于是它就收起翅膀，在一口井旁停了下来。
（）一个炎热的夏天，乌鸦出门去旅行。
（）可水井很深，乌鸦就衔来石子一块一块填进井里。
（）它一直忙到太阳下山，也没见井水涨上来。
五、 连线课文。（18分）
1大大小小的湖泊，像,镶嵌在的沟谷中。这句话是把比作，把 比作。
2“沉睡的牲畜，无声的低地，漆黑的夜晚，只有远处的几座灯塔闪烁着微弱的光芒。”这句话中，作者用了 、 等词语，写出了荷兰的宁静。我们可以用成语来形容此时的荷兰。
3普罗米修斯地把火种带到人间。从此，人类就用火来，，用火来，还用火来。向前迈进了一大步。
4有裂缝的水罐因为而感到惭愧，却不知道它可以。挑水工正是利用了这点，让主人每天都能欣赏到美丽的花朵。从这个故事中我明白了：。
六、 仔细阅读下面两则短文，按要求作答。（21分）
（一）泉城（8分）
说到济南，自然会想到济南的七十二泉。这些泉有的白浪翻滚，好像；有的晶莹剔透，好像；有的声音洪大，听起来如虎啸狮吼；有的声音低细，听起来如秋雨潇潇。其中最著名的要数珍珠泉、五龙潭、黑虎泉和趵突泉了。
1将短文补充完整。（2分）
这一段中有一句写济南泉水名气大的，是哪一句？用“”画出来。（1分）
2这一段内容是从和两个方面写出了泉水的特点。（1分）
3济南的四大名泉在流动上各有特点，回忆课文内容，各用一个动词描绘一下它们流动的特点。（4分）
珍珠泉：五龙潭：
黑虎泉：趵突泉：
（二）死神也怕咬紧牙关（13分）
那个惊心动魄的故事是这样的：罗伯特和妻子玛丽终于登上了山顶。他们站在山顶上向远处眺望，城市中白色的楼群在蓝天白云的映衬下，变成了一幅无比美丽的画卷。他们两个人高兴得手舞足蹈。对于终日忙碌的他俩，这真是一次难得的旅行。
悲剧正是从这时候开始的。突然，罗伯特一脚踩空，高大的身躯打了个趔趄（liè qiｅ），随即向万丈深渊滑去。短短的一瞬，玛丽就明白发生了什么事情，她下意识地赶紧一口咬住丈夫的上衣，同时她也被一股强大的力量带向岩边,仓促之间，玛丽抱住了一棵树。
罗伯特悬在空中，玛丽咬紧牙关，两排洁白细碎的牙齿承担了一个高大魁梧躯体的全部重量。他们像一幅画，定格在蓝天白云、大山峭石之间。
一小时后，过往的游客救了他们。而这时的玛丽，美丽的牙齿和嘴唇早已被血染得鲜红鲜红。
几天以后，这个故事像长了翅膀一样飞遍了世界各地。人们发现，爱可以让人获得无限大的力量，死神也怕咬紧牙关。
1在文中找出下列词语的近义词。（4分）
远望（）无穷（）繁忙（）立即（）
2联系上下文理解下列词语的意思。（2分）
惊心动魄：
仓促：
3请摘录文中运用打比方的句子：
这句话中，把比作。（3分）
4请用“”线画出罗伯特遇险的句子。在罗伯特遇险的危急时刻，玛丽第一反应是什么？用“”画出。（2分）
5读了这篇文章，你是怎样理解“死神也怕咬紧牙关”这句话的？用一两句话写下来。（2分）
七、 快乐习作(两题任选一题）。（30分）
（一） 同学们，我们的生活丰富多彩，每天都会发生使你难忘的事：有的使你高兴、快乐，有的使你后悔、懊恼，有的使你伤心、难过……请选择其中的一件写下来。要表达出你的真情实感，并适当写一写你的心理活动。题目自拟。
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