四边形证明练习题

四边形证明练习题（精选12篇）

四边形证明练习题 篇1

1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

求证：四边形OCED是菱形．

2.如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．

（1）求证：△ABE≌△FCE．

（2）连接AC．BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．

3.如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP．

求证：FP=EP．

4.如图，□ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED＝BF，EF与AC相交于点O.求证：OA＝

OC.5.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OA＝

BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．

6.如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并说明你的结论。

7.如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出和BE相等的线段，并说明你的结论。

D

EM

CB

8.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E． 求证：（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE．

A

F

9.已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２ＢＣ，Ｅ，Ｆ在直线ＢＣ上，且ＢＥ＝ＢC＝ＣＦ．求证：ＡＦ⊥ＤＥ．

10.如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是多少？

C

11.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则DE=

12.△DAC、△EBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：（1）AE=BD（2）CM=CN（3）△CMN为等边三角形（4）MN∥BC

BA C

13.已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F 求证：AN=BM

求证：△CEF为等边三角形

将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）。

M

A 图1图

214.如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG 求证：（1）AD=AG

（2）AD与AG的位置关系如何

B

15.已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD，求证：（1）△BDE≌△CDF（2）点D在∠A的平分线上

A

16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H，交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE

四边形证明练习题 篇2

依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形.那么, 依次连接正方形各边的中点能得到一个怎样的图形呢?先猜一猜, 再证明.

议一议: (1) 依次连接菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形? (2) 依次连接平行四边形四边的中点呢?依次连接四边形各边中点所得到的新四边

形的形状与哪些线段有关系?有怎样的关系?

课堂上通过师生的互动交流, 先对第一个问题展开了讨论

猜想:依次连接正方形各边的中点所得到的四边形是正方形.

证明:如图1, ∵四边形ABCD是正方形,

归纳:应用类比的方法可知:依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状由原四边形的两条对角线决定.当原四边形的两条对角线相等时, 所得到的新四边形是菱形, 当原四边形的两条对角线互相垂直时, 所得到的新四边形是矩形.

拓展:依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的周长等于原四边形两条对角线长的和, 所得到的新四边形的面积等于原四边形面积的一半.

应用:例1如图2, 在四边形ABCD中, E为AB上一点, △ADE、△BCE均为等边三角形, P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点,

求证:四边形PQMN为菱形.

证明:连接AC、BD,

∵△ADE、△BCE为等边三角形,

例2如图3, 在四边形ABCD中, AC=6, BD=8且AC⊥BD, 顺次连接四边形ABCD各边的中点, 得到四边形A1B1C1D1, 再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点, 得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去, 得到四边形AnBnCnDn, 试求四边形AnBnCnDn的面积和周长.

解:设四边形AnBnCnDn的面积为Sn, 周长为Ln.

由上面归纳结论可知:四边形A1B1C1D1是矩形, 四边形A2B2C2D2是菱形, 四边形A3B3C3D3是矩形, 四边形A4B4C4D4是菱形……当n为奇数时, 四边形AnBnCnDn是矩形;当n为偶数时, 四边形AnBnCnDn是菱形.

根据勾股定理得:A1C1=B1D1=5.

《四边形性质探索》期末复习题 篇3

1. 国旗上每个五角星（）.

A． 是中心对称图形而不是轴对称图形

B． 是轴对称图形而不是中心对称图形

C． 既是中心对称图形又是轴对称图形

D． 既不是中心对称图形又不是轴对称图形

2. 如图1，ABCD中，∠A的平分线AE交CD于点E，AB=5，BC=3，则EC的长为（）.

A. 1B. 1.5C. 2D. 3

3. 如图2，在ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若AE=9，AF=12，且ABCD的周长为56，则ABCD的面积为（）.

A． 100 B． 160 C． 120 D． 144

4. 当一个多边形的边数增加1时，它的外角和增加（）.

A. 180° B. 0° C. 720°D. 360°

5. 等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与长底的夹角为（）.

A. 120° B. 60° C. 45° D. 135°

6. 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前.如图3所示，红丝带重叠部分形成的图形是（）.

A.正方形B. 等腰梯形C. 菱形D. 矩形

7. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某学习小组的4位同学各自拟定的方案，其中正确的是（）.

A． 测量门框对角线是否互相平分

B． 测量门框两组对边是否分别相等

C． 测量门框一组对角是否都为直角

D． 测量门框中的三个角是否都为直角

8. 剪掉多边形的一个角，则所成的新多边形的内角和（）.

A. 减少180° B. 增加180°

C. 减少所剪掉的角的度数 D. 增加180°，或减少180°，或不变

二、填空题（每小题5分，共40分）

9. 在ABCD中，AB=AC，∠B=70°，则∠ACD=.

10. 梯形的高为5 cm，中位线为14 cm，则此梯形的面积为.

11. 如图4，四边形ABCD中，AB＝CD，请你添加一个适当的条件：，使四边形ABCD为平行四边形.

12. 从n边形（n＞3）的一个顶点出发可以画条对角线，这些对角线把n边形分成个三角形.

13. 菱形的边长为5 cm，相邻两内角度数之比为2∶1，则此菱形较短的对角线的长为.

14. 如果一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，那么这个多边形是边形.

15. 如图5，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为.

16. 如图6，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为.

三、解答题

17.（10分）若把一个多边形的边数减少一半后，它的内角和是1 080°，求原来多边形的内角和.

18. （10分）如图7，点E、F是ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.

试说明：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥FD.

19. （14分）如图8，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，DE⊥BC于点E，AE=BE，BF⊥AE于点F.请你判断线段BF与图中的哪条线段相等.先写出你的猜想，再说明理由.

（1）猜想：BF=.

（2）说明理由.

20. （14分）如图9，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的补角的平分线CF于点F，交∠BCA的平分线CE于点E.

（1）求证：OE=OF.

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由.

四边形证明练习题 篇4

2如图，在□ABCD中，∠ADC的平分线与AB相交于点E，求证：BE＋BC＝CD

3、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，过点A、D分别作BC于AB的平行线，并交于点E，连接EC、AD，求证四边形ADCE是矩形。

4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD ⊥BC，垂足为点D，AG是 △ABC的外角 ∠FAC 的平分线，DE ‖AB , 交AG于点E，求证：四边形ＡＤＣＥ是矩形．

5、如图,已知菱形ABCD的边长为2cm,∠BAD＝120°,对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．

6、如图，G、H是□ABCD对角线AC上的两点，且AG=CH，E、F分别是边AB和CD的中点，求证：四边形EHFG 是平行四边形。

7、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H，EK和GH相交于点F。求证：GE与FD互相垂直平分。

8、如图，在△ABC中，∠C＝９０°，∠CAB、∠CBA的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：

证明方法四边形必备初中 篇5

一．相交线、平行线： 1．相交直线邻补角相等。

2．a垂直b，c平行a，则c垂直b

二．三角形中：

1．等腰三角形三线合一。2．勾股定理逆定理。

3．三角形三条边上的高所在直线交于同一点。

三．四边形中：

1．菱形对角线互相垂直。2．矩形邻边互相垂直。

四．圆中： 1．垂径定理。2．切线性质定理。3．圆周角定理推论。

4．相交两圆连心线垂直平分公共弦。

五．图形运动：

1．图形翻折，对称轴垂直平分对应点连线。

六．角度计算：

证明线段平行

一．相交线、平行线： 1．同位角相等。2．内错角相等。3．同旁内角互补。4．平行线的传递性。

5．垂直同一条直线的两条直线平行。

6．比例线段。

二．三角形中： 1．三角形中位线。

三．四边形中：

1．平行四边形对边平行。2．梯形两底平行。3．梯形中位线平行两底。

四．图形运动：

1．图形平移对应边平行，对应点连线平行。2．图形翻折对应点连线平行。

五．平面直角坐标系：

1．一次函数斜率相等，两直线平行。六．向量：

1．向量a=k向量b，k不等于0，向量a，向量b不为0向量，向量a所在直线与向量b所在直线平行或重合。

证明角相等的方法 一．相交线、平行线： 1．对顶角相等。

2．等角的余角（或补角）相等。

3．两直线平行，同位角相等、内错角相等。4．凡直角都相等。

5． 角的平分线分得的两个角相等。

二．三角形中：

1．等腰三角形的两个底角相等。

2．等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）。3．三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和。4．全等形中，一切对应角都相等。5．相似三角形的对应角相等。

三．四边形中：

1．平行四边形对边相等，对角线相互平分。2．菱形的每一条对角线平分一组对角。3．等腰梯形在同一底上的两个角相等。

四．圆中：

1．在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等。2．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等.。

3．圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。4．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；并且每一个外角都等于它的内对角。5．三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角。6．正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角.。

7．从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。五．角运算：

1．利用等量代换、等式性质 证明两角相等。2．利用三角函数计算出角的度数相等。

证明线段相等的方法 一．常用轨迹中：

1．两平行线间的距离处处相等。

2．线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。3．角平分线上任一点到角两边的距离相等。

4．若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等。

二．三角形中：

1．同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）2．任意三角形的外心到三顶点的距离相等。3．任意三角形的内心到三边的距离相等。

4．等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。5．直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离相等。6．有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。

7．过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

8．同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等。

三．四边形中：

1．平行四边形对边相等，对角线相互平分。

2．矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。3．菱形中四边相等。

4．等腰梯形两腰相等、两对角线相等。

5．过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。

四．正多边形中：

1．正多边形的各边相等。且边长

2．正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R)相等、各边的距离(边心距)相等。且

五．圆中：

1．同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。2．同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等。3．任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。4．自圆外一点所作圆的两切线长相等。

5．两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等。6．两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分。7．两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等。8．两同心圆中，内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分。

六．全等形中：

1．全等形中，一切对应线段（对应的边、高、中线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等。

七．线段运算：

1．对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等。

2．对应相等线段乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以的相等倍数所得的商相等。

四边形证明思路格式填空训练 篇6

班级姓名

1.如图正方形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，求证CF⊥DE

证明：∵BD正方形ABCD的对角线

∴AB=，∠1 =∠

∵BF=BF

∴△ABF△CBF（）

∴∠3 = ∠

∵AB=,∠ABC=∠DCB，BE=∴△ABE△DCE（）

∴∠5 = ∠

∵Rt△ABE中∠3+∠5=°

∴∠4+ ∠6=

∴CF⊥DE

2.如图，已知：P是正方形ABCD的CD边

上一点，∠BAP的平分线交BC于Q，求证：

AP=DP+BQ．

证明：∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD，∠1=∠B=90°

把△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ADE的位置，∴∠2=∠，∠4=∠B=90°，∠E=∠，DE=BQ，AB与AD重合，B、D两点重合，∵∠4+∠1=∴点E、D、P三点共线

∵AD∥

∴∠5=∠DAQ=∠6+∠7 又∵∠6=∠3，∠3=∠2 ∴∠5 =∠2+∠7=∠PAE ∴∠E=∠PAE

∴△AEP中PA=∴PA=DP+DE=DP+BQ

3.如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C

作

CN⊥DM交AB

于N，设正方形对角线交

点为O，试确定OM与

ON之间的关系，并说明理由

答：OM=ON；OM⊥ON．

证明：∵四边形ABCD是正方形

∴DC=BC，∠DCM=∠NBC=90°

又∵CN⊥DM交AB于N

∴∠2+∠3=°

而Rt△CDM中∠3+∠4=°

∴∠2=∠

∴△DCM≌△CBN（）

∴CM=BN，∵正方形ABCD中OC=OB，∠OCM=∠OBN=45°

∴△OCM≌△OBN（）∴OM=ON，∠5=∠而AC⊥BD，∠5+∠6=° ∴∠+∠6=90°． 即∠MON=90°．

∴OM与ON的关系是OM=ON；OM⊥ON．

4.如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的大小 解：连接AC，∵在菱形ABCD中，AB=CB，∠B=60°

∴△ABC是三角形 ∴∠BAC=60°，AB=AC ∵∠EAF=60°

∴∠BAC-∠3=∠EAF-∠3 即：∠2=∠∵AB∥

∴∠5=∠BAC=° ∴∠5=∠B

∵∠2=∠，AB=AC，∠5=∠∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF，又∠EAF=60°，则△AEF是等边三角形，∴∠6=60°，又∠AEC=∠B+∠BAE=80°，∴∠CEF=∠AEC-∠6=80°-60°=20°

5.如图，四边形ABCD是正方形，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．猜想图中线段BG、DE的数量和位置关系，并说明理由．

答：猜想BG=DE，且BG⊥DE．

证明：∵四边形ABCD、CEFG是正方形，∴∠3=∠4=°，BC=CD，CE=CG，∴∠3+∠5=∠4+∠即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（）∴∠1=∠2，BG=DE，∵Rt△BCH中∠1+∠∠BHC=∠6

∴∠2+∠BHC=∠2+∠6=°

∴∠DOG=∠2+∠6=90°，∴BG⊥DE．

6.如图，正方形ABCD中，E、F为BC，CD的上点且∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF 证明：如图，把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG，∴BE=GD，AE=AG，∠1=∠

4∵正方形ABCD中∠BAD=90°，∠2=45° ∴∠1+∠3=45°=∠2 ∴∠4+∠3=∠2 ∴∠2=∠FAG

在△AEF和△AGF中，AE=AG，∠2=∠FAG，AF=AF

∴△AEF≌△AGF（）∴EF=GF

即EF=GD+DF∴EF=BE+DF

7.正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；

（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；

解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下： 连接AC，∵四边形ABCD是正方形 O是BD的中点 ∴点A,O,C在同一直线上，AC=BD，AC⊥BD

∵OA=OC=AC，OB=OD=BD ∴OA=OB=OC=OD

∵△BCO中OB=OC，PE⊥BC

∴E是BC的中点 同理F是CD的中点 ∴EF是△BCD的中位线 ∴EF∥BD，EF=BD ∵AC⊥，OA=BD ∴OA⊥EF, OA=EF 即AP=EF，AP⊥EF

（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下： 延长AP交BC于N，延长FP交AB于M； ∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°

∴四边形BEPM是又∵∠2=∠3=° ∴∠3=∠4=° ∴BE=EP

∴矩形MBEP是正方形

∴MB=BE，∠5=∠FPE=90°； ∴AB-BM=BC-即AM=CE

而矩形CEPF中CE=PF ∴AM=PF

∴△AMP≌△FPE（）∴AP=EF，∠6=∠7=∠8 ∵Rt△PEF中∠7+∠9=90° ∴∠8+∠9=90°，即AP⊥EF，故AP=EF，且AP⊥EF．

8.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

证明：（1）∵

ABCD对角线交于点O∴OA = OC

∵△EAC为等边三角形

∴ 

EO⊥AC即：AC⊥BD

故ABCD是菱形

(2)∵△EAC为等边三角形，OA = OC∴∠∠AEC = 30°∵∠AED = 2∠EAD∴∠EAD = 15°∴∠ADB = 45°

∴∵

 ∠ADC = 2∠ADB = 90°

ABCD为菱形

故：ABCD为正方形

9.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．（1）证明：∵在△ABC中AB=AC，AD⊥BC，∴∠2=∠BAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠3=∠CAM

∴∠DAE=∠2+∠3=×180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．

（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．（答案不唯一）理由：∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠5=∠B=45°

∵∠∠BAC=45°

∴∠5=∠=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形． ∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．

10.如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG为菱形． 解：∵AE⊥CA，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AE=EF，∠=∠2 ∵AD⊥BC，EF⊥BC ∴AD∥EF ∴∠2=∠∴∠1=∠3 ∴AE=AG

∴四边形AEFG为平行四边形，又∵AE=AG，∴四边形AEFG为菱形．

11.如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．

证明：延长CF、BA交于点M，∵四边形ABCD为正方形

∴AD=CD=BC，∠4=∠D=∠BCD=90° ∵DF=AD,CE=CD ∴CE=

∵BC=CD，∠BCE=∠D，CE=DF

∴△BCE≌△CDF()∴∠1=∠∵∠3+∠=∠BCD=90°

∴∠3+∠=90°

∴∠BPM=∠3+∠1=90° 又∵FD=FA，∠D=∠，∠5=∠6，∴△CDF≌△AMF()∴CD=AM．

∵CD=AB，∴AB=AM．

∴PA是Rt△BPM斜边BM上的中线，∴AP=BM= AB=AM 即AP=AB．

12.如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90度．将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC

上，再将

Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF．连接AD．

（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形，为什么？

（1）证明：∵Rt△DEC

是由Rt△ABC绕点C旋转60°得到的，∴AC=，∠1=∠ACD=° ∴△ACD是三角形 ∴AD=DC=

又∵Rt △ABF是Rt△ABC沿AB折叠的 ∴AC=，∠2=∠ABC=°

∴∠FBC是平角∴点F、B、C三点共线，∵∠ACB=°

∴等腰△AFC是三角形 ∴AF=FC=AC

∴AD=DC=FC=AF∴四边形AFCD是（2）四边形ABCG是矩形

证明：由（1）知△ACD是三角形

DE⊥AC于E ∴AE=∵AG//BC ∴∠3=∠∠4=∠∴△AEG≌（）∴AG=

∴四边形ABCG是平行四边形 而∠ABC=

四边形证明练习题 篇7

1.如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E 与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．

12BC，E H（1）证明四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EFBC，且EF

证明平行四边形EGFH 是正方形．

2、已知：如图，D是△ABC的边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足

分别为E、F，且BF＝CE．当∠A满足什么条件时，四边形AFDE是正

方形?请证明你的结论．

3、已知：如图，在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，延长CB

到点F，使BF＝BC，连结DF交AB于E．求证：OE＝()BF(在括号中填人一个适当的常数，再证明)．

B D

F C4、(12分)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．

(1)试猜想线段AE与BF有何关系?说明理由．

(2)若△ABC的面积为3 cm2，请求四边形ABFE的面积．

(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形?说明理由．

5、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一

个动点（点G与C、D不重合），以ＣG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于H。

（1）求证：①△BCＧ≌△DCE。②ＢＨ⊥ＤＥ.（2）试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分ＤＥ？请说明理由。

6、如图，已知在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，底AD=6，斜腰CD的垂直平分线EF交AD于G，交BA的延长线于F，连结CG，且∠D=45o，（1）试说明ABCG为矩形；（2）求BF的长度。(6分)

7、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8。求：梯形两腰AB、CD的长。

8、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，DE//AC，交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F，求证：AD=CF。

B

第7题图形

C

B9、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

10、（2011•海南）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．（1）求证：△BDQ≌△ADP；

（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．

11、如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．（1）求证：AC∥DE；

（2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由．

12、将平行四边形纸片ABCD如图方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D’处，折痕为EF.（1）求证：△ABE≌△AD’F

（2）连结CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形，说明理由.D’

D

B13、如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．

（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

14.如图，△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的动点(点D不与B、C重合)，△ADE是以AD为边的等边三角形，过E作BC的平行线，分别交AB、AC于点F、G，连结BE.A（1）求证：△AEB≌△ADC；

（2）四边形BCGE是怎样的四边形？说明理由.15.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E.（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并什么理由.B

D

证明平行四边形 篇8

（三）平行四边形导纲

一、引入：

平行四边形的定义：

A

平行四边形定义的应用：B⑴∵AB∥CD，AD∥BC

∴四边形ABCD是⑵∵四边形ABCD是平行四边形 ∴

二、自主探究：

证明：平行四边形的对边相等，对角相等。已知： □ABCD（如图）

求证:AB=CD,BC=DA;∠B=∠D,∠BAD=∠DCB 证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴

D

AB

D

三、性质应用：.在□ABCD中，已知∠A =32。，求其余三个角的度数 解：∵四边形ABCD是平行四边形∴

D

2.已知在□ ABCD中AB=6cm,BC=4cm,求□ ABCD 的周长。解：∵四边形ABCD是平行四边形∴

3.连结AC，已知□ABCD的周长等于20 cm，AC=7 cm，求△ABC的周长。

C

B

A

四、小组合作探究：

证明：平行四边形的对角线互相平分

五．总结性质：

A D

D

B

C

六、巩固练习：

1.已知O是□ ABCD的对角线交点，AC=10cm，BD=18cm，AD=•12cm，则△BOC•的周长是_______

2.如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于O点，且AB≠BC，过O点作OE⊥AC，交BC于E，如果△ABE的周长为b，则平行四边形ABCD的周长是（）。

A.b B.1.5bC.2bD.3b

AD

BEC

七、学以致用：

证明:夹在两条平行线间的平行线段相等。

八、巩固练习：

1、已知：如图平行四边形ABCD，E,F是直线BD上的两点，且∠E= ∠F。求证：AE=CFC2、已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交

于点E,F.D 求证:OE=OF.B

F

九、自我检测：

1.在□ABCD中，∠A= 50 ，则∠°

2.如果□ABCD中，∠A+∠C=240°，则∠°

3.如果□ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么，cm，cm，．

3、已知:如图,AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,求证:AE=CF.B

十、能力提高：

4、已知:在□ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AF=CE.D

线段BE与DF之间有什么关系?请证明你的结论.A

证明(三)平行四边形 篇9

课 题3.1平行四边形（2）

教学目标

1．能够用综合法证明平行四边形的判定定理及相关结论。

2．理解平行四边形的主要辅助线是对角线，把平行四边形转化为两个三角形全等问题，通过平移梯形一腰把梯形转化为“一个平行四边形和一个三角形”。

三、展示交流 点拨提高3.平行四边形的判定定理3：

定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

已知：画图 教学重点、难点:

重点证明平行四边形的判定定理及相关结论。难点探索证明的思路和方法。教学过程

一、预习反馈 明确目标

1．回顾平行四边形的性质定理，我们是如何证明的；

2．回顾平行四边形的性质定理的逆定理就是平行四边形的判定定理。

二、创设情境 自主探究1.平行四边形的判定定理1：

定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。首先画出符合题意的图像，写出已知、求证。已知：。

求证：画图

2.平行四边形的判定定理2：

定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。已知：

求证：画图

求证：

四、师生互动 拓展延伸

已知:如图所示，求证:四边形MNOP是平行四边形。

五、达标测试 巩固提高课本P87 随堂练习：1,2、3题。

1.证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

N

山丹育才中学讲学稿

2、已知：如图，在ABCD中，BF＝DE.求证：四边形AFCE是平行四边形。

2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AD、BC分别相交于E、F。你认为OE与OF有怎样的关系？请证明你的结论。

3、已知：如图，如图，BD是三角形ABC的中线，延长BD至E，是的DE=BD,链接AE,CE.求证：∠BAE=∠BCE

◆ 作业布置

1.已知：如图，在ABCD中，∠ＡＢＣ的角平分线与AD相交于点求证：PD+CD=BC

A

3.已知：如图，ABCD中，E、F为对角线AC上的两点，且AE＝CF。求证：四边形BEDF是平行四边形。

平行四边形的应用证明 篇10

1.如图，□ABCD中，AE、CF分别与直线DB 相交于E和F,且AE//CF, 求证：CE//AF.C

A

2..如图，□ABCD中，BM垂直AC于M,DN垂直AC于N, 求证：四边形BMDN是平行四边形。

C

A

3.如图，□ABCD中，点M、N是对角线AC上的点，且AM=CN,DE=BF,求证：四边形MFNE是平行四边形。

E

C

A

4.如图，AB、CD相交于点O,AC//DB,AO=BO,E、F分别为OC、OD的中点，连接AF、BE,求证：AF//BE.A

C

D

5.在四边形ABCD中，AB//CD,对角线AC、BD交于点O，EF过O交AB于E，交CD于F，且OE=OF，求证，ABCD是平行四边形。

D

B

6.如图，过□ABCD对角线的交点O作直线EF交AD、BC分别于E、F，又G、H分别为OB、OD的中点，求证：四边形EHFG为平行四边形。

AE

D

B

7.如图，在□ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且满足BE=DF,CG=AH,连接EF、GH。求证：EF与GH互相平分。

AF

DB

E

8.如图，以△ABC的三条边为边向BC的同一侧作等边△ABP、等边△ACQ，等边△BCR，求证：四边形PAQR为平行四边形。

P

Q

9.如图所示，平行四边形ABCD中，BC=2AB，AF=AB=BE，且点E、F在直线AB上，求EOF的度数．C

F

A B

平行四边形的证明与计算 篇11

1.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．

（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．

号考 线

2.如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．

题级 班答 要 不

内3.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF，求证：DE=BF．

线 封封 密

名 4.如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且AE=CF．求证：DE=BF．

姓

5.如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC，求证：BE=AF．

密 校 学

6.如图，已知点A、C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE=CF．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）直接写出图中所有相等的线段（AE=CF除外）．

7.如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10cm，BC=30cm，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

8.如图，ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，若∠ABF=∠CDE=90°．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AB=AD=8，BF=6，求AE的长．

9.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F，连接CF．（1）求证：四边形CDAF为平行四边形；（2）若∠BAC=90°，AC=AF，且AE=2，求线段BF的长．

10.如图，将▱ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，点E在AB上．（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；（2）若AB=4，BC=6，求四边形ABFE周长．

11.如图，延长▱ABCD的边AB到点E，使BE=BC，延长CD到点F，使DF=DA，连结AF，CE，求证：四边形AECF

是平行四边形．

12.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，延长BC至点F，使得CF=

BC，连结CD、DE、EF．

（1）求证：四边形CDEF是平行四边形．

（2）若四边形CDEF的面积为8，则△ABC的面积为 16 ．

13.如图，在△ABC中，D、E是AB、AC中点，AG为BC边上的中线，DE、AG相交于点O，求证：AG与DE互相平分．

14.如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：CF=2AE；（2）若S△ABE=2cm2，求四边形ADCF的面积．

15.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF．求证：BE∥DF．

16.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点，试说明四边形AECF是平行四边形．

17.如图，平行四边形ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）连接EC，AF，求证：四边形AECF是平行四边形．

18.如图Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE． EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；（2）求四边形ADFE的周长．

19.（2016春•云梦县期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若FA=FC．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）若AE⊥EC，EF=EC=1，求四边形ADCE的面积．

20.如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD的延长线上，且ED=FB，连结AE、EC、CF，AF．（1）求证：AE=CF．（2）求证：四边形AECF是平行四边形．

21.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交

AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G．（1）求证：四边形ABDE是菱形；（2）若BD=14，cos∠GBH=，求GH的长．

22.如图，茬四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AC平分∠BCD，且AC⊥AB，接DE，交AC于F．（1）求证：AD=CE；

八年级数学下学期四边形习题 篇12

一、单选题(每小题4分，共40分)

1、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是下方形的条件是( )

A. AC=BD，AD CD B. AD∥BC，∠A=∠C

C. AO=BO=OC=DO，AB=BC D. AO=CO，BO=DO，AB=BC

2、矩形的四个内角平分线围成的四边形( )

A. 一定是正方形 B. 是矩形 C. 菱形 D. 只能是平行四边形

3、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，则原来的正方形铁片的面积是( )

A. 8cm B. 64cm C. 8cm 2 D. 64cm 2

4、如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE=48°，∠APD等于( )

A. 42° B. 48° C. 52° D. 58°

5、如图，□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12、BD=10、AB=m，那么m的取值范围是( )

A. 1

C. 10

6、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于( )

A. B. C. D.

7、如下图，延长方形ABCD的一边BC至E，使CE=AC，连结AE交CD于F，则∠AFC的度数是( )

A. 112.5° B. 120°

C. 122.5° D. 135°

8、如图，E是平行四边形内任一点，若S □ABCD=8，则图中阴影部分的面积是( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

9、如图，在□ABCD的面积是12，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为( )

A. 6 B. 4 C. 3 D. 2

10、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，设有以下论断：

<1>AB=BC：<2>∠DAB=90°：<3>BO=DO，AO=CO：<4>矩形ABCD;<5>菱形ABCD;<6>下方形ABCD，则下列推论中不正确的是( )

A. B. C. D.

二、填空题(每小题5分，共20分)

11、如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为其各边的中点，则图中阴影部分的面积为( )。

12、如图是由5个边长为1的正方形组成了“十”字型对称图形，则图中∠BAC的度数是( )。

13、如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，以下结论：①BE=DF;②AG=GH=HC;③ ：④S △ ABE=3S △ AGE其中正确的有( )

14、如图，是用4个相同的小矩形与一个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示表示小矩形的两边长(x>y)，请观察图案，写出用x，y表示的三个等式。

三、解答题

15、如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC、BD的交点，且∠CAE=15°

(1)求证：△AOB为等边三角形： (2)求∠BOE度数。

16、已知：如图，在□ABCD中，BE.CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm.求□ABCD的周长和面积。

17、(1)图中将两个等宽矩形重叠一起，则重叠四边形ABCD是什么特殊四边形?不需证明。

(2)若(1)中是两个全等的矩形，矩形的长为8cm，宽为4cm，重叠一起时不完全重合，试求重叠四边形ABCD的最小面积和最大面积，并请对面积最大时的情况画出示意图。

18、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，AB边上有一只小虫P，由A向B沿AB以1cm/秒的速度爬行，过P做PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，求：(1)矩形PECF的周长y(cm)与爬行时间t(秒)的函数关系式，及自变量的取值范围;

(2)小虫爬行多长时间，四边形PECF是正方形。

19、(1)如图，已知□ABCD，试用三种方法将它分成面积相等的两部分。(保留作图痕迹，不写作法)

由上述方法，你能得到什么一般性的结论?

(2)解决问题：有兄弟俩分家时，原来共同承包的一块平行四边形田地ABCD，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗?(保留作图痕迹，不写作法)

20、如图，在△ABC中，AB=BC，BD是中线，过点D作DE∥BC，过点A作AE∥BD，AE与DE交于点E.求证：四边形ADBE是矩形.

21、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.

(1)求证：EO=FO;

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论。

22、已知：在△ABC中，BC>AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD=BC，连结DC.过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N.

(1)如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H.连结HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF=∠BNE(不需证明).

(2)当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系?请分别写出猜想，并任选一种情况证明.

23、如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1;再顺次连接四边形A1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……，如此进行下去得到四边形A nB nC nD n。

(1)证明：四边形A1B1C1D1是矩形;

(2)仔细探索，解决以下问题：(填空)①四边形A1B1C1D1的面积为________A2B2C2D2的面积为________;②四边形AnBnCnDn的面积为________(用含n的代数式表示);③四边形A5B5C5D5的周长为________。

答案：

C

试题解析：

【分析】

本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等;②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角.

根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案.

【解答】

解：A.因为条件AD∥CD，且AD=CD不能成立，所以不能判定为正方形;

B.不能，只能判定为平行四边形;

C.能;

D.不能，只能判定为菱形.

故选C.

A

试题解析：

【分析】

本题考查了矩形的性质与判定、正方形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键.由矩形的性质和角平分线证出四边形GMON为矩形，再证出△DOC、△AMD、△BNC是等腰直角三角形，得出OD=OC，证明△AMD≌△BNC，得出NC=DM，得出OM=ON，即可得出结论.

【解答】

解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠CBA=∠BCD=∠ADC=90°， AD=BC，

∵AF，BE是矩形的内角平分线.

∴∠DAM=∠BAF=∠ABE=∠CBE=45°.

∴∠1=∠2=90°.

同理：∠MON=∠OMG=90°，

∴四边形GMON为矩形.

又∵AF、BE、DK、CJ为矩形ABCD的角的平分线，

∴△DOC、△AMD、△BNC是等腰直角三角形，

∴OD=OC，

在△AMD和△BNC中，

∴△AMD≌△BNC(AAS)，

∴NC=DM，

∴NC-OC=DM-OD，

即OM=ON，

∴矩形GMON为正方形.

故选A.

D

试题解析：

【分析】

本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.解题过程中要注意根据实际意义进行值的取舍.

可设正方形的边长是xcm，根据“余下的面积是48cm2”，余下的图形是一个矩形，矩形的长是正方形的边长，宽是x-2，根据矩形的面积公式即可列出方程求解.

【解答】

解：设正方形的边长是xcm，根据题意得x(x-2)=48，

解得x1=-6(舍去)，x2=8，

那么原正方形铁片的面积是8×8=64(cm2).

故选D.

B

试题解析：

【分析】

本题考查三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等.由翻折可得∠PDE=∠CDE，由中位线定理得DE∥AB，所以∠CDE=∠DAP，进一步可得∠APD=∠CDE.

解：∵△PED是△CED翻折变换来的，

∴△PED≌△CED，

∴∠CDE=∠EDP=48°，

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，

∴∠APD=∠CDE=48°，

故选B.

A

试题解析：

【分析】

本题考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，求出OA、OB后得出OA-OB

根据平行四边形的性质求出OA、OB，根据三角形的三边关系定理得到OA-OB

【解答】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，BD=10，

∴OA=OC=6，OD=OB=5，

在△OAB中，OA-OB

∴6-5

∴1

故选A.

B

试题解析：

【分析】

本题考查了矩形的性质，比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可.根据已知条件，可得出△AEP∽△ADC;△DFP∽△DAB，从而可得出PE，PF的关系式，然后整理即可解答本题.

【解答】

解：设AP=x，PB=3-x.

∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC;

∴△AEP∽△ABC，故 = ①;

同理可得△BFP∽△DAB，故 = ②.

①+②得 = ，

∴PE+PF= .

故选B.

A

试题解析：

【分析】

此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质.解题关键是熟练掌握三角形的外角的性质.

根据正方形的对角线的性质，可得∠ACD=∠ACB=45°，进而可得∠ACE的大小，再根据三角形外角定理，结合CE=AC，易得∠CEF=22.5°，再由三角形外角定理可得∠AFC的大小.

【解答】

解：AC是正方形的对角线，

∴∠ACD=∠ACB=45°，

∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°，

又∵CE=AC，

∴∠CEF=22.5°，

∴∠AFC=90°+22.5°=112.5°.

故选A.

B

试题解析：

【分析】

本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质(平行四边形的两组对边分别相等).要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系.根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半.所以S阴影= S四边形ABCD.

【解答】

解：设两个阴影部分三角形的底为AB，CD，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，

∴S△EAD+S△ECB

= ADh1+ CBh2= AD(h1+h2)

= S四边形ABCD

=4.

故选B.

D

试题解析：

【分析】

本题考查了平行四边形的性质和三角形的面积，平行四边形的对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形，本题解题关键是利用三角形的面积计算公式找出所求三角形与已知三角形的面积关系.

根据平行四边形的性质可知△ABC的面积是平行四边形面积的`一半，再进一步确定△BEF和△ABC的面积关系即可.

【解答】

解：∵SABCD=12，

∴S△ABC= SABCD=6，

∴S△ABC= ×AC×高= ×3EF×高=6，

得到： ×EF×高=2，

∵△BEF的面积= ×EF×高=2.

∴△BEF的面积为2.

故选D.

10、C

试题解析：

【分析】

本题考查是矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形;对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形;对角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形.根据矩形、菱形、正方形的判定定理对四个选项逐一分析.

【解答】

解：A.由 <1><4>得，一组邻边相等的矩形是正方形，故A正确;

B.由 <3>得，四边形ABCD是平行四边形，再由 <1>，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确;

C.由 <1><2>不能判断四边形是正方形，故C错误;

D.由 <3>得，四边形是平行四边形，再由 <2>，一个角是直角的平行四边形是矩形，故D正确;

故选C.

11、

试题解析：

【分析】

本题利用了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解.

根据正方形的性质及相似三角形的性质求得阴影部分的边长，从而即可求得阴影部分的面积.

【解答】

解：

正方形的边长为1，则CD=1，CF= ，

由勾股定理得，DF= ，

由同角的余角相等，易得△FCW∽△FDC，

∴CF：DF=CW：DC=WF：CF，得WF= ，CW= ，

同理，DS= ，

∴SW=DF-DS-WF= ，

∴阴影部分小正方形的面积( )2= .

故答案为 .

12、45°

试题解析：

【分析】

本题考查了正方形的性质，通过作辅助线构造特殊三角形求解是解决角度问题的一般做法，要求熟练掌握.由题意知，各正方形的边长均为1，连接BC，利用角度关系可以得出△ABC为等腰直角三角形，进而得出∠BAC=45°.

【解答】

解：如图，根据题意可知，∠BAD=∠FBC、∠ABD=∠BCF，

∴∠ABD+∠FBC=90°，

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA=45°.

故答案为45°.

13、①②③④

试题解析：

【分析】

本题考查了平行四边形的性质和平行线等分线段定理与全等三角形的判定，中等难度，解答此类题目的关键是熟记平行四边形的几个重要的性质.

根据三角形全等的判定，由已知条件可证①△ABE≌△CDF;继而证得②AG=GH=HC;又根据三角形的中位线定理可证△ABG≌△DCH，得③EG= BG.而④S△ABE=3S△AGE正确，从而判断出了答案.

【解答】

解：①在ABCD中，∵E、F分别是AD、BC的中点，

∴ED∥BF，ED=BF，

∴四边形BFDE是，

∴BE=DF，

∴①是正确的;

②∵BE∥DF，在△ADH中，E是AD边的中点，

∴G是AH边的中点，

∴AG=GH，

同理可证CH=GH，

即AG=GH=HC，

∴②是正确的;

③由②的结论可判断EG= DH，

再根据已知条件及结论得AD=BC，AH=CG，∠DAC=∠BCG，

∴△ADH≌△CBG，

∴BG=DH，

故EG= BG，

∴③是正确的;

④在△ABE与△AGE中，分别以BE、GE为底边时，

∴它们的高相等，面积之比即为底边BE与GE之比，

根据③的结论，BE：GE=1：3，

∴S△ABE=3S△AGE，

∴④是正确的.

故答案为①②③④.

14、x+y=7，x=y+2，(x+y)2=(2y+2)2(答案不唯一)

试题解析：

【分析】

本题考查了列代数式.根据正方形的边长和面积列式即可.

【解答】

解：∵图案的面积为49，小正方形的面积为4，

∴图案的边长为7，小正方形的边长为2，

∴可列等式可以为：x+y=7，x=y+2，(x+y) 2=49，(x+y) 2=(2y+2) 2，(x+y) 2=4xy+4(任选三个即可).

故答案为x+y=7，x=y+2，(x+y) 2=(2y+2) 2.(答案不唯一)

15、正确答案：

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ABC=90°，AO=BO= AC= BD，

∵AE是∠BAD的角平分线，

∴∠BAE=45°，

∵∠CAE=15°，

∴∠BAC=60°，

∴△AOB是等边三角形;

(2)解：∵在Rt△ABE中，∠BAE=45°，

∴AB=BE，

∵△ABO是等边三角形，

∴AB=BO，

∴OB=BE，

∵∠OBE=30°，OB=BE，

∴∠BOE= (180°-30°)=75°.

试题解析：

本题考查了矩形的性质和等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理.熟记各性质并准确识图是解题的关键.

(1)因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OB，则只需求得∠BAC=60°，即可证明三角形是等边三角形;

(2)因为∠B=90°，∠BAE=45°，所以AB=BE，又因为△ABO是等边三角形，则∠OBE=30°，故∠BOE度数可求.

16、正确答案：

解：∵BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，

∴∠1=∠3= ∠ABC，∠DCE=∠BCE= ∠BCD，

∵AD∥BC，AB∥CD，

∴∠2=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180°，

∴∠1=∠2，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90°，

∴AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°，

在直角三角形BCE中，根据勾股定理得：BC=13，

根据平行四边形的对边相等，得到：AB=CD，AD=BC，

∴平行四边形的周长等于：13+13+13=39.

作EF⊥BC于F.根据直角三角形的面积公式得：EF= = ，

所以平行四边形的面积= =60.

即平行四边形的周长为39cm，面积为60cm2.

试题解析：

本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题.根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE.根据直角三角形的勾股定理得到BC=13.根据等腰三角形的性质得到AB=CD= AD= BC=6.5，从而求得该平行四边形的周长;根据直角三角形的面积可以求得平行四边形BC边上的高.

17、正确答案：

解：(1)重叠四边形ABCD是菱形.

(2)当菱形ABCD为正方形时，s最小=42=16(cm2);

当菱形ABCD如图时，面积最大.

设CD=x，根据勾股定理得x2=(8-x)2+42，

解得x=5.

∴s最大=BC×DE=5×4=20(cm2).

试题解析：

此题考查了菱形的判定方法、矩形的性质及面积的计算问题.应明白在什么情况下重叠面积最小或最大，这是此题的难点.

(1)易证ABCD为平行四边形;根据矩形等宽，说明平行四边形的各边上的高相等，利用等积表示法证明邻边相等.根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得证;

证明：根据矩形对边平行，可得ABCD是平行四边形;

因为矩形等宽，即ABCD各边上的高相等.

根据平行四边形的面积公式可得邻边相等，

所以ABCD是菱形;

(2)当ABCD为正方形时面积最小;当对角线重合时的菱形面积最大.分别计算求解.

18、正确答案：

解：∵小虫P由A向B沿AB以1cm/秒的速度爬行，

∴AP=tcm，

∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，

∴PF= AP= tcm，AC=BC÷tan30°=3÷ =3 cm，AF= AP= tcm，

∴PE=FC=(3 - t)cm，

∴矩形PECF的周长y=2(PF+PE)=2( t+3 - t)=(1- )t+6 ，

∴ 矩形PECF的周长y(cm)与爬行时间t(秒)的函数关系式为y=(1- )t+6 ;

(2)当小虫爬行(9-3 )秒时，四边形PECF是正方形，理由如下：

由(1)知四边形PECF是矩形，若四边形PECF是正方形，

则有PE=PF，

∵根据题意可知AP=tcm，由(1)知PF= AP= tcm，PE=FC=(3 - t)cm

∴ t=3 - t时，四边形PECF是正方形，

解得t=9-3 ，

∴当小虫爬行(9-3 )秒时，四边形PECF是正方形.

试题解析：

本题考查了矩形的性质，正方形的判定及解直角三角形，一元一次方程的应用.

(1)根据题意可得出PF= tcm，PE=FC=(3 - t)cm，然后利用周长y=2(PF+PE)求出即可;

(2)由(1)知四边形PECF是矩形，若四边形PECF是正方形，则有PE=PF，即 t=3 - t，解出方程即可.

19、正确答案：

解：(1)

结论：过平行四边形对角线交点的任意一条直线都将平行四边形分成相等的两部分;

(2)解：连接AC、BD相交于点O，过O、P作直线分别交AD、BC于E、F，

则一人分四边形ABFE，另一人分四边形CDEF.

试题解析：

此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形是中心对称图形.本题需仔细分析题意，结合图形，利用平行四边形的中心对称性即可解决问题.

(1)1、利用平行四边形的对角线;2、连接一组对边的中点

3、过平行四边形的对称中心作一条直线即可.根据中心对称图形的性质得结论;

(2)先找出平行四边形的对称中心，过中心和P作直线即可 .

20、正确答案：

证明：∵D是AC的中点，

∴AD=CD，

∵AE∥BD，DE∥BC，

∴∠EAD=∠BDC，∠ADE=∠DCB，

∴△ADE≌△DCB，

∴AE=DB，

∴四边形ADBE是平行四边形，

∵AB=CB，

∴BD⊥AC即∠ADB=90°，

∴平行四边形ADBE是矩形.

试题解析：

本题考查了矩形的判定定理，即有一个角是直角的平行四边形是矩形.根据矩形的判定定理，欲证四边形ADBE是矩形，先证明四边形ADBE是平行四边形，再根据等腰三角形底边的中线垂直底边得出四边形ADBE的一个角是90°，得出四边形ADBE是矩形.

21、正确答案：

(1)证明：如图，

∵CE平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

又∵MN∥BC，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴EO=CO，

同理，FO=CO，

∴EO=FO;

(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.

理由： ∵EO=FO，点O是AC的中点.

∴四边形AECF是平行四边形，

∵CF平分∠BCA的外角，

∴∠4=∠5，

又∵∠1=∠2，

∴∠2+∠4= ×180°=90°.

即∠ECF=90°，

∴四边形AECF是矩形.

试题解析：

本题考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论.

(1)根据平行线性质和角平分线的定义，以及等角对等边可得结论;

(2)根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证.

22、正确答案：

解：(1)图1：∠AMF=∠ENB;

图2：∠AMF=∠ENB;

图3：∠AMF+∠ENB=180°.

(2)证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF.

∵F是DC的中点，H是AC的中点，

∴HF∥AD，HF= AD，

∴∠AMF=∠HFE，

同理，HE∥CB，HE= CB，

∴∠ENB=∠HEF.

∵AD=BC，

∴HF=HE，

∴∠HEF=∠HFE，

∴∠ENB=∠AMF.

如图3：取AC的中点H，连接HE、HF.

∵F是DC的中点，H是AC的中点，

∴HF∥AD，HF= AD，

∴∠AMF+∠HFE=180°，

同理，HE∥CB，HE= CB，

∴∠ENB=∠HEF.

∵AD=BC，

∴HF=HE，

∴∠HEF=∠HFE，

∴∠AMF+∠ENB=180°.

试题解析：

此题考查了中位线定理，平行线的性质等概念，解答此题的关键是需要作出两条辅助线.(1)(2)思路基本相同，都需要作出两条辅助线，两次运用中位线定理解答即可.

23、正确答案：

(1)证明：∵点A1，D1分别是AB、AD的中点，

∴A1D1是△ABD的中位线，

∴A1D1∥BD，A1D1= BD，

同理：B1C1∥BD，B1C1= BD，

∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1= BD，

∴四边形A1B1C1D1是平行四边形.

∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，

∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°，

∴四边形A1B1C1D1是矩形;

(2)12;6;24× ; .

试题解析：

【分析】

本题利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方求解.

(1)由A 1D 1分别是△ABD的中位线，B 1C 1是△CBD的中位线知，A 1D 1∥B 1C 1，A 1D 1=B 1C 1= BD，故四边形A 1B 1C1D 1是平行四边形，由AC⊥BD，AC∥A 1B 1，BD∥A 1D 1知，四边形A 1B 1C 1D 1是矩形;

(2)由三角形的中位线的性质知，B 1C 1= BD=4，B 1A 1= AC=3，故矩形A 1B 1C 1D 1的面积为12，可以得到故四边形A 2B 2C 2D 2的面积是A 1B 1C 1D 1的面积的一半，为6;由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形A nB nC nD n的面积为24× ;由相似图形的面积比等于相似比的平方可得到矩形A 5B 5C 5D 5的边长，再求得它的周长.

【解答】

(1)证明见答案;

(2)解：由三角形的中位线的性质知，B1C1= BD=4，B1A1= AC=3，

得：四边形A1B1C1D1的面积为24× =12;

四边形A2B2C2D2的面积为24× =6;

四边形AnBnCnDn的面积为24× ;

四边形A5B5C5D5的面积为24× = ，

由(1)得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3.边长为14，

∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1

∴矩形A5B5C5D5的面积：矩形A1B1C1D1的面积=(矩形A5B5C5D5的周长)2：(矩形A1B1C1D1的周长)2

即 ：12=(矩形A5B5C5D5的周长)2：142，

∴矩形A5B5C5D5的周长= = .

故答案为12;6;24× ; .

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