双曲线的简单几何性质(教案)

双曲线的简单几何性质(教案)（通用5篇）

双曲线的简单几何性质(教案) 篇1

能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心 率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质.(2能力目标

通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增 强学生的自信心.(3 情感目标

通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神.教学重点:双曲线的几何性质.教学难点:双曲线的渐近线.教学方法:启发诱导、练讲结合 教学用具 :多媒体 教学过程:

一、复习回顾,问题引入: 问题 1:双曲线的定义及其标准方程?

问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有 类似性质?又该怎样研究?

二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的几何性质 1.范围: 双曲线在不等式 x ≥ a 与 x ≤-a 所表示的区域内.2.对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是 双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称

中心叫双曲线中心.3.顶点:(1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0、A2(a,0, 它们叫做双曲线的顶点.(2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长;线段 B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长.(3实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,其方程为: 练一练: 1.若点 P(2, 4在双曲线 上,下列是 双曲线上的点有(1 P(-2, 4(2 P(-4, 2(3 P(-2,-4(4 P(2,-4 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程: 0(22≠=-m m y x(1焦点在 x 轴上,实轴长是 10,虚轴长是 8,则方程是(2焦点在 y 轴上,焦距是 10,虚轴长是 8,则方程是 : 4.渐近线

(1概念:双曲线 0, 0(12222>>=-b a b y a x 的各支向外延伸时,与这两条直线 逐渐接近!故把这两条直线叫做双曲线的渐近线!(2双曲线 12222=-b y a x 的渐近线方程为:x a b y ±= ,即 0=±b y a x(3等轴双曲线的渐近线方程为:x y ±=.(4 利用双曲线的渐近线, 可以帮助我们较准确地画出双 曲线的草图.具体做法是:画出双曲线的渐近线, 先确定双

曲线顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并

根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲 线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.5.离心率:(1定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e=a c ,叫双曲线的离心率.(2范围:由 c>a>0可得 e>1.思考:离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什 么几何特征?(3含义 :离心率是表示双曲线开口大小的一个量 , 离心率越大开口越大.思考:你能到处双曲线 0, 0(12222>>=-b a b x a y 的性质吗?

三、学以致用,巩固双基: 例 1 求双曲线 9y 2-16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.练习1 求双曲线 9y 2-16x 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.思考 1:请你写出一个以 为渐近线的双曲线方程.思考 2:你能写出所有以 为渐近线的双曲线方程吗 ? 练习2 求渐近线为 x y 34 ±=,且过点 4, 3(的双曲线的标准方程.四、小结反思,总结提高: 1.双曲线 0, 0(122 22>>=-b a b x a y 的简单几何性质:范围,对称性,顶点,离 心率,渐进线

2.比较双曲线的几何性质与椭圆的几何性质的异同

五、作业布置 : 必做:作业案 1-10 选做:作业案 11-12 x y 34 ±=x y 34

±=

六、教学反思

双曲线的简单几何性质(教案) 篇2

高二圆锥曲线方程同步练习4（双曲线的简单几何性质）

例1 已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴大4，两曲线的离心率之比为3:7，求两曲线方程.例2 直线y－ax－1=0和双曲线3x2－y2=1相交于A、B两点，a为何值时，以AB为直径的圆经过原点.x2y22例3 在双曲线221(a>0,b>0)的两条渐近线上分别取A、B两点，使OAOBc，其中cab是半焦距，O是中心，求AB中点P的轨迹方程.—1— 例4 已知双曲线c的实半轴长与虚半轴长的乘积等于3，c的两个焦点为F1、F2，直线l过F2点，且与直线F1F2的夹角为φ,tanφ=

21,l与F1F2线段的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线的交点2为Q，且PQ:QF22，求此双曲线的方程.说明：此题意在增强学生建立坐标系的意识，并进一步熟悉双曲线的几何性质及待定系数法.—2—

双曲线的几何性质数学教案设计 篇3

1.熟悉双曲线的几何性质。

2.能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。

3.能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。

㈡教学过程

[情景设置]

叙述椭圆 的几何性质，并填写下表：

方程

性质

图像(略)

范围-a≤x≤a，-b≤y≤b

对称性对称轴、对称中心

顶点(±a，0)、(±b，0)

离心率e=(几何意义)

(三)探索研究

1.类比椭圆 的几何性质，探讨双曲线 的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。

双曲线的.实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。

双曲线与椭圆的几何性质对比如下：

方程

性质

图像(略) (略)

范围-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a，或x≤-a，y∈R

对称性对称轴、对称中心对称轴、对称中心

顶点(±a，0)、(±b，0)(-a，0)、(a，0)

离心率0

e=>1

下面继续研究离心率的几何意义：

(a、b、c、e关系：c2=a2+b2， e=>1)

2。渐近线的发现与论证

根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把 画出来吗?(能)

根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把 画出来吗?(不能)

通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。

我们能较为准确地画出曲线y=，这是为什么?(因为当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近)此时，x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。

问：双曲线 有没有渐近线呢?若有，又该是怎样的直线呢?

引导猜想：在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出：

y=± =±

当x无限增大时， 就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y=±

与直线y=± 无限接近。

这使我们猜想直线y=± 为双曲线的渐近线。

直线y=± 恰好是过实轴端点A1、A2，虚轴端点B1、B2，作平行于坐标轴的直线x=±a， y=±b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢?显然，只要考虑第一象限即可。

证法1：如图，设M(x0，y0)为第一象限内双曲线 上的仍一点，则

y0= ，M(x0，y0)到渐近线ay-bx=0的距离为：

∣MQ∣= =

= .

点M向远处运动， x0随着增大，∣MQ∣就逐渐减小，M点就无限接近于 y=

故把y=± 叫做双曲线 的渐近线。

3.离心率的几何意义

∵e=，c>a， ∴e>1由等式c2-a2=b2，可得 ===

e越小(接近于1) 越接近于0，双曲线开口越小(扁狭)

e越大 越大，双曲线开口越大(开阔)

4.巩固练习

求下列双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。

①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4

已知双曲线的渐近线方程为x±2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程

①M(4， ) ②M(4， )

[知识应用与解题研究]

例 1 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图;它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m)

㈣提炼总结

1、双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。

2、渐近线是双曲线特有的性质，其发现证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。

双曲线几何性质2 篇4

授课时间 周星期 授课班级 授课教师 方法、技巧、规律 课双曲线几何性质 题 学1．了解双曲线的简单几何性质——渐近线习2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。目.标 重双曲线的几何性质及初步运用。点 难双曲线的渐近线 点 问题 1：由椭圆的几何性质出发，类比探究双曲线 标准方程 观察图形，把握对 称性`开放性和特 殊点 渐近线方程 问题2实轴与虚轴等长的双曲线叫___________ 双曲线 学方程可表示为___________，渐近线方程为________,习问题3：不同的双曲线渐近线会相同吗？ 过x2y222程 1.双曲线491渐近线方程为_____，双曲线y36x161渐近线方程为_____ 2.（2009天津卷文）设双曲线x22a2yb21(a0,b0)的虚轴长为2，焦距为23，x224ky9k1渐近线方程为____ 例2.已知双曲线方程x29y2161，求与它共渐近线且满 1）过点(3,23)22）焦点为椭圆x210y51的顶点 3）焦距为10 渐近线应用 21）（2009宁夏海南卷理）双曲线x24-y12=1的焦点到渐近（A）23（B）2（C）3 2）(2011年湖南)设双曲线x2a2y291a0的渐近线3）（2010浙江理数）（8）设Fx21、F2分别为双曲线a2曲线右支上存在点P，满足PF2F1F2，且F2到直线双曲线的渐近线方程为（A）3x4y0（B）3x5y0（C）4x3yx24）.（2009全国卷）双曲线y21的渐近线与圆(b

双曲线的简单几何性质(教案) 篇5

教学目标

1、掌握椭圆的几何性质，掌握用坐标法研究直线与椭圆的位置关系

2、熟练地求弦长、面积、对称等问题

3、培养对数学的理解能力及分析问题、解决问题的能力

教学过程

1、复习回顾

椭圆的定义、几何性质

判断直线与圆的位置关系的方法

2、探索研究

直线与椭圆的位置关系：坐标法(围绕直线与椭圆的公共点展开的)，将直线方程与椭圆方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＜0时，直线与椭圆相离。

3、反思应用

例1 当m为何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144相切、相交、相离？ 分析：将直线方程y＝x＋m代入椭圆9x＋16y＝144中，得9x＋16(x＋m)＝144，整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∵Δ＝(32m)2―4·25(16m2―144)＝－576m2＋14400 当Δ＝0即m＝±5时，直线与椭圆相切； 当Δ＞0即－5＜m＜5时，直线与椭圆相交；

当Δ＜0即m＜－5或m＞5时，直线与椭圆相离。

例2 已知斜率为1的直线l经过椭圆x＋4y＝4的右焦点交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|。分析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由椭圆方程知：a=4,b=1,∴c=3,∴右焦点F(3,0), ∴直线l的方程为yx8353，代入椭圆得5x83x80

222

2x1x2,x1x285,|AB|2|x2x1|2(x1x2)8x1x2285

小结：弦长公式|AB|1k2|x2x1|

例3 过椭圆x2/16＋y2/4＝1内一点M(2,1)引一条弦AB，使AB被点M平分，求弦AB所在直线的方程。

解一：当弦AB的斜率不存在时，弦AB的方程为x=2，不合题意舍去

设弦AB所在直线的方程为：y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理得

(4k2＋1)x2―8(2k2―k)x＋4(k2―1)2―16＝0，又设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2为方程的两个根，于是x1x24(2k4k22k)1，又M为AB的中点，x1x222(2k4k22k)12，解之得k＝－1/2，故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0 解二：设A(x1,y1),B(x2,y2)，∵M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4,y1＋y2＝2 又∵A、B两点在椭圆上，∴x12＋4y12＝16，x,22＋4y22＝16，两式相减得x12－x22＋4(y12－y22)＝0，

283ktx1x2214k 22212kt4tx1x2214k∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0，即x1x2k(x1整理得：(1k2)x1x2(1k)(12kt4t)14k222223t)k(x2223t)0

3kt(x1x2)3kt20

24kt14k4223kt220，整理得k＝4/11，2323txx1227此时

24tx1x29∵|PQ|＝20/9，1k411323t272|x2x1|2209

即(1)[()216t9]209,t1

所以所求椭圆方程为x2/4＋y2＝1

4、归纳总结

数学思想：数形结合、函数与方程

知识点：直线与椭圆的位置关系、弦长公式、中点弦问题、对称问题 作业：

1、直线l与椭圆方程为4x2＋9y2＝36交于A、B两点，并且AB的中点M(1,1)，求直线l的方程。