1.4.1正弦函数,余弦函数的图象教案

1.4.1正弦函数,余弦函数的图象教案

1.4.1正弦函数,余弦函数的图象教案 篇1

一、复习引入: 1.弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角.2.正、余弦函数定义:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的一点P(x,y , P 与原点的距离r(0222 2>+=+= y x y x r , 则比值r y 叫做α的正弦,记作:r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦,记作:r x =αcos

3.正弦线、余弦线:设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ,y,过P 作x 轴的垂线,垂足为M , 则有MP r y == αsin ,OM r x

==αcos 向线段MP 叫做角α的正弦线,有向线段OM 叫做角α的余弦线.二、讲解新课:

1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法:(1函数y=sinx 的图象

第一步:在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ,以1O 为圆心作单位圆,从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12等份.(预备:取自变量x 值—弧

度制下角与实数的对应.第二步:在单位圆中画出对应于角6, 0π,3π,2 π ,…,2π的正弦线正弦线(等价于“列表”.把角x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合,则正弦线的终点就是正弦函数

图象上的点(等价于“描点”.第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数y=sinx ,x ∈[0,2π]的图象.r y(x,α P

根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2π,就得到y=sinx ,x ∈R 的图象.把角x(x R ∈的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.(2余弦函数y=cosx 的图象

正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法: 正弦函数y=sinx ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0(2π,1(π,0(23π ,-1(2π,0

余弦函数y=cosx ,x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1(2π,0(π,-1(2 3π ,0(2π,1

只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数

和余弦函数的简图,要求熟练掌握.优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以.3.讲解范例: 例1 作下列函数的简图

(1y=1+sinx ,x ∈[0,2π],(2 y=-cosx.y=cosx y=sinx π2π3π4π5π6π-π-2π-3π-4π-5π-6π-6π-5π-4π-3π-2π-π6π5π4π3π2ππ-11 y x-1 1 o x y 解:(1(2

三、小结: 本节课学习了以下内容: 1.正弦、余弦曲线 几何画法和五点法;2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系.四、练习: o 1 y x 2

π2 3π2 π-π π 2-1 2 y x o 1-1 2 π2 3π2 π-π π 2 在同一直角坐标系内画出 和 的图象.3sin(2 y x =-

1.4.1正弦函数,余弦函数的图象教案 篇2

据一次函数定义:形如y=kx+b (k≠0) 这样的函数是一次函数, 一次函数定义式中的自变量x的取值范围是全体实数。因此, 在该定义式中作出的函数图象是过) 的一条直线。但下面的例题中, 自变量x的取值范围是实数的一部分, 因此, 按函数图形定义, 函数图象就只是直线的一部分。

一、函数图象是一条射线

例1.某工厂现在的年产值是100万元, 如果每增加100万元投资, 一年可增加200万元产值, 那么总产值y (万元) 与新增投资额x (万元) 之间的函数关系式是什么?请画出函数图象。

分析:据题意知, y与x表达式为, 即y=100+2x。因为总产值y (万元) 与新增投资额x (万元) 均为正数。所以, 图象只能为第一象限内的一条射线 (由于x为正数, 图象不包括端点) 。解:据题意得

二、函数图象是直线上的若干个点

例:仓库内原有500辆自行车, 如果每星期领出25辆, 求仓库内余下的自行车辆数与星期数之间的函数关系式, 并作出该函数的图象。

分析:据题意知:Q与t的表达式为Q=500-25t, 因为剩余自行车数Q (辆) 与时间t (星期) 都为非负整数, 所以, 自变量t的取值范围为0≤t≤20 (t为整数) , 所以, 函数图象只能为Q=500-25t上的20个独立点。

解:据题意, 得:Q=500-25t (0≤t≤20)

三、函数图象是一条线段

例3.一支蜡烛长20厘米, 点燃后每小时燃烧5厘米, 燃烧时, 剩下的高度h (厘米) 与燃烧时间t (小时) 的函数关系式是什么?并画出函数图象。

分析:据题意知函数关系式为h=20-5t, 本题中蜡烛的剩余长度h (厘米) 与时间t (小时) 均为非负数, 且t的值不能大于4, 所以, 自变量t的取值范围是0≤t≤4, 所以, 该函数的图象应该为一条线段 (如图, 线段AB) 。解:据题意, 得h=20-5t (0≤t≤4)

四、函数图象是一条折线

例4.某校组织学生到距学校6km的博物馆去参观, 小明准备乘出租车去, 出租车公司的收费标准如下:3km (包含3km) 以下收费10元, 3km以上, 每增加1km, 加入1.5元。

(1) 写出出租车行驶的里程x (km) 与费用y (元) 之间的函数关系式。 (2) 作出该过程的函数图象。

分析:据题意可知:该函数关系式为由于费用y (元) 为正数, 在0≤x≤3时它的函数关系式为常数函数y=8, 它的图象是平行于x轴的一条线段, 而当x>3时, 它的图象是一条射线。因此, 整个过程的函数图象就是一条折线, 如图所示:

解: (1) 据题意可知:

(2) y1=10是一条平行于x轴的线段AB

y2=10+1.5 (x-3) 即y2=1.5 x+5.5

它的图象是射线BC

对于反比例函数k是常数)

它的图象是双曲线, 当k>0时, 图象的两个分支位于第二、第四象限, 且函数值y随x增大而增大, 但下面的例题, 根据其实际情况图象只是双曲线的一个分支, 但是学生在画图时往往忽略其实际情况 (即不考虑它的定义域) , 而错误的作出图象。

例5.已知甲乙两地相距120km, 一辆汽车从A地开往B地的速度为v (千米/时) 行驶时间t (小时) , 求:汽车行驶速度v (千米/时) 与时间t (时) 之间的函数关系式, 并画出函数图象。

分析:据题意可知:函数关系式为, 由于速度v (km/时) 与时间t (时) 均为正数, 所以该函数图象为第一象限的一个分支, 即是一条单曲线 (如图所示) 。

解:据题意, 得

对于二次函数y=ax2+bx+c (a、b、c为常数a≠0) 用描点法作图, 可知其图象是一条抛物线, 但当自变量x只取实数的一部分, 即在定义域作函数图象时, 它的图象就只能是抛物线的一部分。

例6. (九年制义务教育教材, 九年级 (下) 北师大版P64页) 竖直上抛物物体的高度h (米) 与运动时间t (秒) 的关系可以用公式:h=-5t2+v0t+h0表示, 其中ho (米) 是抛出时的高度, vo (米/秒) 是抛出时的速度。一个小球从地面以40米/秒的速度竖直向上抛起, 小球的高度h (米) 与运动时间t (秒) 的关系如图所示, 那么

(1) h与t的关系是什么?

(2) 画出函数的图象。

分析:由题意知:因为小球从地面竖直向上抛起, 所以h0=0, 又由于初始速度vo=40米/秒, 将vo=0 (米) vo=40 (米/秒) , 代入:

h=-5t2+v0t+h0可得到h与t的函数有关系式为

h=-5t2+40t又因为高度h (米) 与时间t (秒)

均为非负数, 所以自变量t的取值范围应在0≤t≤8之间, 因而函数图象只是抛物线的一部分。

解: (1) 据题意:h0=0 (米) vo=40 (米/秒) h=-5t2+40t

(2) 画函数图象

例7.一幢建筑物的窗户口距地面10米高, 用水嘴向斜上方喷出水流, 在落地的过程中画出一条平面上的抛物线, 最高点B距地面恰好是1米, 并且在离墙3米的C点着地, 写出高度y (米) 与水平宽度x (米) 之间的函数关系式, 并画出图象。

分析:由于抛物线最高点距墙面恰好是1米, 可知对称轴为直线x=1, 所以, 可设抛物线解析式为y=a (x-1) 2+k, 此题水是由距地面10米处向上抛, A (0, 10) 而C点是水在地面的着地点, 所以 (3, 0) 把A、C两点坐标代入y=a (x-1) 2+k即可求出y与x的函数关系式, 又因为自变量x和因变量y都是非负数, 所以自变量x的取值范围应在0≤x≤3之间, 因而函数图象只是抛物线的一部分。

解:据题意得, 设二次函数的关系式为代入设式可得:

函数及其图象全章检测题 篇3

1. 在图1所示各图象中，表示 y是x的函数的有（）.

2. 下列函数中，自变量x的取值范围是x ＞ 2的函数是（）.

A. y=B. y=

C. y=D. y=

3. 若点P（m，1）在第二象限内，则点Q（m，0）在（）.

A. x轴正半轴上B. x轴负半轴上

C. y轴正半轴上D. y轴负半轴上

4. 已知一次函数y=kx＋b的图象如图2，当y＜0时，x的取值范围是（）.

A. x＞0B. x＜1

C. 0＜x＜1D. x＞1

5. 如图3，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系.根据图象判断该公司盈利的销售量为（）.

A. 小于4件B. 等于4件

C. 大于4件D. 大于或等于4件

6. 已知反比例函数y=（k ≠ 0），当x＜0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y=kx-k的图象经过（）.

A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限

C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限

7. 打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水4个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（L）与时间x（min）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）.

8. 如图4，点N是x轴正半轴上一个动点，过点N作x轴的垂线MN交双曲线y=于点M，连接OM，点N沿x轴正方向运动时，Rt△NOM的面积（）.

A. 逐渐增大B. 逐渐减小

C. 保持不变D. 无法确定

9. 如图5，过点A的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B，能表示这个一次函数图象的方程是（）.

A. 2x-y ＋ 3=0B. x-y-3=0

C. 2y-x ＋ 3=0D. x ＋ y-3=0

10. 已知反比例函数y=的图象经过（a，b）、（c，d）两点，且b＜d＜0，则a与c的大小关系为（）.

A. a＞c＞0B. a＜c＜0

C. c＞a＞0D. c＜a＜0

二、试试你的身手

11. 已知点（1，-2）在反比例函数y=的图象上，则k=.

12. 把直线y=x ＋1向上平移3个单位得到的函数解析式是.

13. 某种灯的使用寿命为1 000 h，它的可使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的函数关系式为 .

14. 如图6，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P， 则根据图象可得，关于y=ax+b,

y=kx的二元一次方程组的解是.

15. 某学校的平面示意图如图7，如果实验楼所在位置的坐标为（-2，-3），教学楼所在位置的坐标为（-1，2），那么图书馆所在位置的坐标为.

16. 一次函数y= （2-m）x＋m的图象经过第一、二、四象限时，m的取值范围是.

17. 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80 cm的等腰三角形.请你写出底边长y（cm）与一腰长为x（cm）的函数关系式为.

18. 已知反比例函数y=的图象与一次函数y=2x-k的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为 -4，则k=.

19. 如图8，函数y=-x＋2的图象分别交y轴、x轴于M、N两点，过MN上两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为A1、B1，若OA1＋OB1＞4，则△OAA1与△OBB1的面积S1和S2的大小关系为.

20. 如图9，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2-7x2y1=.

三、挑战你的技能

21. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80 km/h的平均速度用6 h到达目的地.

（1） 当他按原路返回时，求汽车的速度 （km/h）与时间 （h）之间的函数关系式.

（2） 如果该司机匀速返回时，用了4.8 h，求返回时的速度.

22. 已知反比例函数y=的图象与一次函数y=kx＋m的图象相交于点（2，1）.

（1） 分别求出这两个函数的解析式.

（2） 试判断点P（-1，5）关于x轴的对称点P ′是否在一次函数y=kx＋m的图象上.

23. 随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势，试用你所学的函数知识解决下列问题.

（1）求入学儿童人数y（人）与年份x（年）的函数关系式.

（2）利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1 000人.

24. 如图10，已知反比例函数y=-与一次函数y=kx ＋ b的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是 -2.

（1） 求一次函数的解析式.

（2） 求△AOB的面积.

25. 某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元.在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件.

（1） 求出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式.

（2） 若要使车间每天所获利润不低于24 000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？

26. 制作一种产品，需要先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（min）.据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系，停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系.（如图11）已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5 min后温度达到60℃.

（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x之间的函数关系式.

（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，必须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？

27. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图12，请根据图象所提供的信息解答下列问题.

（1） 乙队开挖到30 m时，用了h．

开挖6 h时甲队比乙队多挖了m.

（2） 请你求出：

①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式.

②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式.

1.4.1正弦函数,余弦函数的图象教案 篇4

§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

——教学设计

作 课：陈 琦

单 位：河南师范大学附属中学 §1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

教材选择：普通高中课程标准实验教科书数学必修4

第一章第四节

作 课：陈 琦 河南师范大学附属中学

一、内容和内容解析 1.内容

正弦函数、余弦函数的图象 2.内容解析

本节的主要内容是在学习了弧度制、任意角的三角函数、三角函数线和诱导公式的基础上研究正弦函数、余弦函数的图象，为进一步学习函数的性质，函数yAsin(x)的图象及其性质做准备，有着承前启后的作用和意义.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：正弦函数、余弦函数的图象，“五点作图法”作简图.二、目标和目标解析 1.目标

（1）理解用三角函数线作ysinx,x0，2图象的方法.（2）会根据正弦函数ysinx,xR的图象及关系式cosxsin(x出ycosx,xR的图象.（3）熟练掌握用“五点作图法”作出正弦、余弦函数的简图，并会利用图形平移和对称变换解决一些有关问题.2.目标解析

（1）明确函数作图的方法就是描点作图法，利用单位圆正弦线只是为了精确、方便，实质就是描点作图法.关键点作图法，即“五点作图法”一般适合于作简图，用以判断图象形状、得出函数性质和用于数形结合解题.（2）类比正弦函数图象的研究方法，余弦函数作图也需描点法，利用诱导

观察相关函数图象之间的关系，研究图象的平移变换，进而探索余弦函数的图象.五、教学过程分析

（一）创设情境

回顾前面学习过的指数函数、对数函数和幂函数的研究流程：定义、解析式、函数图象、性质及应用.设计意图：采用类比的方式，不仅调动了学生的积极性，同时又紧扣主题，为本节课的学习进行了方法上的准备.（二）知识链接

1.研究函数的一般流程是什么？ 2.描点法画图象的步骤是什么？ 3.正弦线的定义是什么？

4.正弦函数与余弦函数的关系是什么？理论依据是什么？

师：前面我们学习过指数函数、对数函数和幂函数，从中体会出研究函数的流程为：定义、解析式、函数图象、性质及应用，本章我们已经学习了正弦函数和余弦函数的定义及解析式，今天我们就一起学习正弦函数、余弦函数的图象.设计意图：通过复习研究函数的流程、描点法画图象的步骤及正弦线的定义为学习画正弦函数的图象奠定基础，同时提出问题，明确本节课的学习任务.（三）探究图象

探究一：如何作出正弦函数的图象？

1.描点法作图的三个步骤是什么？ 列表 描点 连线.2.先画ysinx,x[0,2]的图象，选取哪些点？作图准确吗？ 3.为了画出比较精确的正弦函数图象，如何比较精确的表示纵坐标？ 先让学生在x0,2内描点作图，学生尝试后一般会取x0,6

,4,,基本能作出图象，.32教师先肯定学生的思维和方法的正确性，然后再指出不足和可以改进的几点：①把区间[0,2] 12等分；②

23、是无理数，坐标描点不够精确.22-3 教师追问：观察函数的ysinx,x0,2图象，哪些点起关键作用？ 学生：图象的最高点：（3,1)、图象的最低点：(,-1)、函数图象与x轴22的交点：(0,0)、(,0)、(2,0)教师强调：在精确度要求不太高时，我们常常用“五点法”画函数的简图.探究三:如何得到余弦函数的图象？

学生活动：先由学生独立思考、尝试画出函数ycosx,x0,2的图象，然后小组讨论交流，小组代表发言，其他同学补充或质疑.教师追问(1)：如作简图，哪种方法更简洁？

教师设问(2)：如何解释正弦曲线与余弦曲线之间的关系？ 学生活动：学生尝试解释，教师及时点拨，并利用动画直观演示．

设计意图：使学生经历类比正弦函数图象作图过程，体验知识的产生形成过程让学生自己去观察、类比、发现的方式获得知识，培养学生积极参与的意识和自主探索的能力；教师的追问引导学生从“数”、“形”两方面解决问题，让学生体会数形结合的思想.例题探究：画出下列函数的简图：

(1)y1sinx,x0,2(2)ycosx,x0,2

学生活动：由学生先尝试，然后学生代表展示成果.]与函数ysinx,x[0,2]的图象之间教师追问：函数y1sinx,x[0,2有何联系？如何解释？