高一数学必修五（推荐9篇）
1.进一步理解函数的单调性，能利用函数的单调性结合函数的图象，求出有关函数的最小值与值，并能准确地表示有关函数的值域;
2.通过函数的单调性的教学，让学生在感性认知的基础上学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象.
学习重点
结合函数的性质求最值.
学习难点
二次函数中的参数问题.
自主预习
1.最值的概念：
一般地，设函数的定义域为.若存在定值，使得对于任意，
有 恒成立，则称 为的最 值，记为 ;
若存在定值，使得对于任意，有 恒成立，则称 为的最 值，记为 .
2.单调性与最值：
设函数的定义域为，
若是增函数，则 ， ;
若是减函数，则 ， .
3.看图像如何求最值： .
练习：如图为函数，的图象，指出它的值、最小值及单调区间.
知识应用
【例1】求下列函数的最小值：
(1); (2)，.
变式：(1)将的定义域变为或或，再求最值.
(2)将的定义域变为 ，，结果如何?
【例2】已知函数的定义域是当时，是单调增函数，当时，是单调减函数，试证明时取得值.
作为剑桥国际高中的学生，当同届的同学有条不紊地开始高中生活的时候，我们正尝试着在外教的指导下，用英语去学习数学、物理、化学、英语以及商业课，准备着IGCSE final test——类似国内高中的会考。
高一要学习的五门课程，数理化及英语的考试，除了是全英文试卷需要我们英文答题外，内容与国内的会考大同小异。对我们来说，真正新鲜的课程是商业（Business Study），一门至今未出现在国内高中的科目。而我们的第一节商业课，始于高中开学的第二天。
经过简短的自我介绍，Ellen老师开始了我们人生中的第一节商业课。这节课讲的是在我们看来再简单不过的商品，还可以区分出日常生活中的必需品和由欲望产生的商品。听起来很简单，然而好多同学都是一脸迷茫——Ellen的课件中满是复杂的图表及文字释义，虽然她的讲课声情并茂，但我们实在跟不上英语的思维方式，只好先记下课件上那些看不懂的内容。两节40分钟的课下来，中性笔的墨水少了一大截，换来的是整整三四页A4纸的笔记（在剑桥高中，所有的笔记都要求记在A4纸上）。
幸好我们适应得很快，知道商业课该如何预习之后，我们在课堂上也能跟上老师的节奏了。剑桥高中课堂上特别强调大家的参与，所以我们的听课笔记并不只是抄下老师的课件，更多的是记录同学们有价值的观点。
比如说在学习如何鼓励员工工作的时候。Ellen先介绍了为何要鼓励员工，她在白板上画了一个图，来解释从员工被激励到企业得以更好地运作的过程，随即让我们开始头脑风暴。老师让大家在A4纸的中心写上为什么工作，然后把作为员工工作的原因写在其周围，又让我们轮流上台把自己还没有跟人重复的答案写在上面。Ellen对白板上的答案进行了总结，她把我们的答案归纳为赚钱、社交需要和回报社会三个方面。我们一边听Ellen分析，一边修改A4纸上的内容。Ellen以钱为例子详细分析了如何来激励员工。然后我们又开始了新一轮的头脑风暴，来讨论如何通过社交需要和回报社会两个方面来激励员工。最后大家都在白板上留下自己的观点，由Ellen总结，我们修改笔记。这和初中所有的上课方式都不同，从前上课的时候总是老师在上面讲我们在下面写，而在剑桥高中的课堂里听讲、发言、记笔记的过程中，学生的参与度始终是很高的。
一个传统保留了下来，那就是每节课都有好几页写到手酸的笔记，一学期下来，每人都可以出本书了。学习商务的时候，拗口的英语单词及其定义，还有带着一长串英文单词的资产计算公式着实让我们头疼……午间休息的时候，走廊里拿着商业书晃悠着背诵的同学比比皆是。这种写笔记、背课本的充实日子一直持续了两个月……
学习商业的目的是为了培养经商的能力，在枯燥的理论知识学习之后，我们终于盼来了模拟经商的活动。在这些课时中，我们不再需要去背复杂的清算负债的公式，不用去记会计报表的结构，我们需要做的就是以四五个人为一组模拟经营一个公司，以盈利为最终目的，去开发包装销售自己的产品。
Ellen在第一课时里，给我们放了一个美国真人秀节目，让我们熟悉经商流程，也点燃了我们的经商热情。这个节目名为“学徒”，由美国地产大亨唐纳德·川普主持，目的是为他的下一个项目挑选一名优秀的首席执行官。我们观看的这一集讲的是8个候选人分成4男4女两个小队，在闹市区卖柠檬水，以销售额高的小组获胜。令人伤心的是，我们看到了商业中很残酷的一幕——不公平竞争。由4个女人组成的队把一杯柠檬水卖到5美元，客人却还是络绎不绝，清一色的男人。原因是她们会向前来买柠檬水的客人分别献吻。而4个男人的队伍拼死拼活地推销着2美元一杯的柠檬水……结果女队以2倍有余的销售额大胜。
接下来的课时里，我们开始组队，设计产品，制订销售计划，我与同桌和3个女生组成一支队伍。我们的首选是在第三产业——服务业创建公司，因为第三产业的利润率是最大的，其净利润可高达60％～200％。在我们的设计中，Paradise Massage公司在纽约繁华的第五大道旁高大的建筑顶层成立了，提供顶级的按摩服务。我们设计产品时出现了一些矛盾：组员Lisa认为既然是在纽约这样的城市，就应该提供西式按摩；而Gary认为在纽约会有很多竞争对手，我们应该推出并不常见而带有东方神秘色彩的中式按摩以吸引顾客。最后我们以投票表决的方式解决了问题，Gary的意见得到了3票。我一度担心Lisa会不悦，不认真准备接下去的工作，她的表现让我知道我的担心完全是多余的，她对服务项目的定价以及公司的运营成本做了非常到位的分析：330美元/小时的价位既可以体现出公司的档次，又不至于把太多客户拒之门外；其中170美元给招聘来的按摩师，每天的净利润大约可以到3000美元……我们突然就理解了团队合作的重要，每个人都把自己的才能贡献出来，相互碰撞所激发出的能量远远超出了我们的想象。
第四课时的内容比较有趣，涉及到了具体的销售方案。Ellen特别对我们小组提出了一个问题，原因是我们在第五大道旁租用场地，租金、装修费等成本会比较高，将让公司的现金流出现问题。如何让现金快速回流，我们提出了解决方案。那就是吸引顾客办理贵宾卡，然后享受9折左右的折扣。这样不仅公司的现金可以快速回流，而且可以留住一定数量的回头客。
在第五课时里，6个组分别派出代表介绍自己公司的盈利模式。由于大家的公司都处在不同的行业，没什么可比性，Ellen对每个组进行了点评。对我们组的点评是：想法很有新意，现金流控制恰当，但选址不够好，第五大道的确是繁华地段，但沉重的租金会减缓公司的发展。即使是做高端，也可以选择一个稍稍次一些的位置，然后好好装修，大力宣传……
商业课的学习着实改变了我很多，上新浪看新闻的时候，我们的眼里不再只有NBA、英超了，我们开始关注财经，关注股票，开始不自觉地去分析公司的年度财务报表会如何影响股价，当中国在利比里亚发现新的铁矿的消息公布时，是不是全世界做钢铁生意的公司股价都开始飙升。在看《三联生活周刊》的时候，我不再去看什么度假胜地、旅游攻略，比如说最近这期，我就仔细研究了联想收购IBM PC的全球战略，从联想CEO的讲话，揣摩他为什么能成为联想集团那么重要的人物，然后欣赏他的睿智——他就像是把商业课的内容演绎成了真实故事。商业世界真的很美妙，我开始对形形色色的商业事件表现出极大兴趣，在新闻过后去网上查阅更多的资料，看看课本上的理论知识是否适用。
教学目标
■To help students learn to express attitudes, agreement & disagreement and certainty
■To help students learn to read the text and learn to write diaries in English
■To help students better understand “friendship”
■To help students learn to understand and use some important words and expressions
■To help students identify examples of Direct Speech & Indirect Speech (I): statements and questions in the text
教学重难点
Words
upset, ignore, calm, concern, settle, suffer, recover, pack
Expressions
add up, calm down, have got to, be concerned about, go through, set down, a series of, on purpose, in order to, at dusk, face to facer, no longer/ not …any longer, suffer from, get/ be tired of, pack (sth.) up, get along with, fall in love, join in
Patterns
“I don’t want to set down a series of facts in a diary as most people do,” said Anne. →Anne said that she didn’t want to set down a series of facts in a diary as most people do.
I stayed awake on purpose until half past eleven…
…it was the first time in a year and a half that I’d seen the night face to face…
教学工具
ppt
教学过程
Hello, everyone. I’m so glad to be your teacher of English. I’d like to make friends with you, to build up a close friendship with you. Today we shall take Unit 1. The topic of this unit is Friendship. What do you think friendship is?
1. Warming up
⑴ Warming up by defining friendship
Hello, everyone. I’m so glad to be your teacher of English. I’d like to make friends with you, to build up a close friendship with you. Today we shall take Unit 1. The topic of this unit is Friendship. What do you think friendship is?
Yeah, there are many explanations about friendship. However, friendship is a relationship that can’t be restricted(限制)by definition(定义). It can only be experienced. True friendship can exist between any two souls, be it between people or animals. It can happen at any moment, to anyone. Even to lifeless things, like a diary, a ball, a friendship can happen.
Then what is your opinion about friendship?
Do you think that friendship is important to our life? Why?
⑵Warming up by learning to solve problems
Nice to meet you, class. We shall be friends from now on. For everybody needs friends. But being a good friend can sometimes be hard work. Learning how to solve problems in a friendship can make you a better friend and a happier person. Discuss the situation below and try to solve the problems wisely.
Common problems among teenagers
Solution
Some of the common problems include forgetting friends’ birthday, not keeping promises, letting out friends’ secrets and so on.
Maybe we can have a heart-to-heart talk with our friends to ask for forgiveness.
Situation 1: Friends get angry with each other when they try to talk about something difficult.
Try to understand your friend/ Try to talk about the problem in a different way.
Situation 2: Friends don’t know how to apologize
Start by telling each other that you are sorry. A simple apology is often enough and is a good starting point.
Situation 3: Some friends don’t know how to keep secrets.
Keep your secrets to yourself
Tips on being a good friend
Treat your friends the way you want to be treated. Keep secrets that are told to you.
Pay attention when your friend is talking. Keep your promises. Share things with your friend. Tell your friend the truth. Stick up for your friend.
⑶Warming up by doing a survey
Good morning, class. I am your teacher of English. Glad to be here with you. Today we shall take Unit 1 Friendship.
To be frankly, I’d like very much to keep a close friendship with you, my dear students, in the following years. How about you then? Ok, thanks. I do hope to be your good teacher as well as your helpful friend (良师益友).
Now please do the survey on page one.
Add up your score according to the scoring sheet on page 8. You don’t have to tell your results. You can just keep it a secret.
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方面.学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数学的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强进行实践的能力等，都有很大的帮助.
本章主要内容：算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手，通过研究程序框图与算法案例，使算法得到充分的应用，同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.
在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点.
本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”，从而提高自己数学能力.因此应从三个方面把握本章：
(1)知识间的联系;
(2)数学思想方法;
(3)认知规律.
本章教学时间约需12课时，具体分配如下(仅供参考)：
1.1.1 算法的概念 约1课时
1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构 约4课时
1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句 约1课时
1.2.2 条件语句 约1课时
1.2.3 循环语句 约1课时
1.3算法案例 约3课时
本章复习约1课时
1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
整体设计
教学分析
算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为 了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固.
三维目标
1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.
2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思 路.
3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣.
重点难点
教学重点：算法的含义及应用.
教学难点：写出解决一类问题的算法.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1(情境导入)
一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法.
思路2(情境导入)
大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步?
答案：分三步，第一步：把冰箱门打开;第二步：把大象装进去;第三步：把冰箱门关上.
上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念.
思路3(直接导入)
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)解二元一次方程组有几种方法?
(2)结合教材实例 总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.
(3)结合教材实例 总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.
(4)请写出解一般二元一次方程组的步骤.
(5)根据上述实例谈谈你对算法的理解.
(6)请同学们总结算法的特征.
(7)请思考我们学习算法的意义.
讨论结果：
(1)代入消元法和加减消元法.
(2)回顾二元一次方程组
的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：
第一步，①+②×2，得5x=1.③
第二步，解③，得x= .
第三步，②-①×2，得5y=3.④
第四步，解④， 得y= .
第五步，得到方程组的解为
(3)用代入消元法解二元一次方程组
我们可以归纳出以下步骤：
第一步，由①得x=2y-1.③
第二步，把③代入②，得2(2y-1)+y=1.④
第三步，解④得y= .⑤
第四步，把⑤代入③，得x=2× -1= .
第五步，得到方程组的解为
(4)对于一般的二元一次方程组
其中a1b2-a2b1≠0,可以写出类似的求解步骤：
第一步，①×b2-②×b1，得
(a1b2-a2b1)x=b2c1-b1c2.③
第二步，解③，得x= .
第三步，②×a1-①×a2，得(a1b2-a2b1)y=a1c2-a2c1.④
第四步，解④，得y= .
第五步，得到方程组的解为
(5)算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.
现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.
(6)算法的特征：①确定性：算法的每一步都 应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.
(7)在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础.
应用示例
思路1
例1 (1)设计一个算法，判断7是否为质数.
(2)设计一个算法，判断35是否为质数.
算法分析：(1)根据质数的定义，可以这样判断：依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数.
算法如下：(1)第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.
第二步，用3除 7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.
第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.
第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.
第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.
(2)类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：第一步，用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.
第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.
第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.
第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.
点评：上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以，如果判断是否为质数就麻烦了，因此，我们需要寻找普适性的算法步骤.
变式训练
请写出判断n(n >2)是否为质数的算法.
分析：对于任意的整数n( n>2)，若用i表示2—(n-1)中的任意整数，则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作：用i除n,得到余数r.判 断余数r是否为0，若是，则不是质数;否则，将i的值增加1，再执行同样的操作.
这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止.
算法如下：第一步，给定大于2的整数n.
第二步，令i=2.
第三步，用i除n,得到余数r.
第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法;否则，将i的值增加1，仍用i表示.
第五步，判断“i>(n-1)”是否成立.若是，则n是质数，结束算法;否则，返回第三步.
例2 写出用“二分法”求方程x2-2=0 (x>0)的近似解的算法.
分析：令f(x)=x2-2,则方程x2-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.
“二分法”的基本思想是：把函数f(x)的零点所在的区间[a,b](满足f(a)?f(b)<0)“一分为二”，得到[a,m]和[m,b].根据“f(a)?f(m)<0”是否成立，取出零点所在的区间[a,m]或[m,b]，仍记为[a,b].对所得的区间[a,b]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a,b]“足够小”，则[a,b]内的数可以作为方程的近似解.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
解：第一步，令f(x)=x2-2,给定精确度d.
第二步，确定区间[a,b]，满足f(a)?f(b)<0.
第三步，取区间中点m= .
第四步，若f(a)?f(m)<0，则含零点的区间为[a,m];否则，含零点的区间为[m,b].将新得到的含零点的区间仍记为[a,b].
第五步，判断[a,b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，则m是方程的近似解;否则，返回第三步.
当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.
a b |a-b|
1 2 1
1 1.5 0.5
1.25 1.5 0.25
1.375 1.5 0.125
1.375 1.437 5 0.062 5
1.406 25 1.437 5 0.031 25
1.406 25 1.421 875 0.015 625
1.414 062 5 1.421 875 0.007 812 5
1.414 062 5 1.417 968 75 0.003 906 25
于是，开区间(1.414 062 5,1.417 968 75)中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.实际上，上述步骤也是求 的近似值的一个算法.
了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。批 注
重点：使学生掌握高中数学学习基本方法。
教学难点：如何激发学生学习数学的兴趣.
教学用具：投影仪.
教学方法：学生通过自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成高中的学习.
教学过程：
一、欢迎词：
1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一级学校深造。希望同学们能够以新的行动，圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同学们取得优异成绩，实现宏伟目标。
2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐劳、严肃认真、严格要求
3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定一年，…
4、本节和同学们谈谈几个问题：为什么要学数学?如何学数学?高中数学知识结构?新程标准的基本思路?本期数学教学、活动安排?作业要求?
二、几个问题：
1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域;活脑，训练思维;计算机等高科技应用的需要;生活实践应用的需要。
2.如何学数学：
请几个同学发表自己的看法 → 共同完善归纳为四点：抓好自学和预习;带着问题认真听;独立完成作业;及时复习。注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。
高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些后练习册，教材上每复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料.
3.高中数学知识结构：
书本：高一上期(必修①、②)，高一下期(必修③、④)，高二上期(必修⑤、选修系列)，高二下期(选修系列)，高三年级：复习资料。
知识：密切联系，必修(五个模块)+选修系列(4个系列)
能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。
4.新程标准的基本理念：
①构建共同基础，提供发展平台; ②提供多样程，适应个性选择; ③倡导积极主动、勇于探索的学习方式;④注重提高学生的数学思维能力; ⑤发展学生的数学应用意识; ⑥与时俱进地认识“双基”; ⑦强调本质，注意适度形式化; ⑧体现数学的化价值; ⑨注重信息技术与数学程的整合; ⑩建立合理、科学的评价体系。
5.本期数学教学、活动安排：
本期学习内容：高一必修①、②，共72时，必修① 第一13时(4+4+3+1+1)+第二14时(6+6+1+1)+第三9时(3+4+1+1);必修②第一8时(2+2+2+1+1)+第二10时(3+3+3+1)+第三9时(2+3+3+1)+第四9时(2+4+2+1).
上方式：每周新授5节，问题集中1节(双节连排时)。
学习方式：预习后做节后练习;补充知识写在书的边缘;
主要活动：学校、全国每年的数学竞赛;数学外活动等。
6.作业要求： (期末进行作业评比)
① 堂作业设置两本;② 提倡用钢笔书写，一律用铅笔、尺规作图，书写规范;③ 墨迹、错误用橡皮擦擦干净，作业本整洁;④ 批阅用“?”号代表错误，一般点在错误开始处;⑤ 更正自觉完成;⑥ 练习册同步完成，按进度交阅，自觉订正;⑦ 当天布置，当天第二节晚自习之前交(若无晚自习，则第二天早读之前交)。⑧ 每次作业按A、B、C、D四个等级评定，每本作业本完成后自行统计得分并上交科代表审核、教师评定等级，得分A，B为优良等级，A为优秀等级。
三、了解情况：
初中数学开情况;暑假自学情况;作图工具准备情况。
教学准备
教学目标
o 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
o 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
o 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重难点
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学过程
(一)向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
(二)(教材P74面的四个图制作成幻灯片)请同学阅读课本后回答：(7个问题一次出现)
1、数量与向量有何区别?(数量没有方向而向量有方向)
2、如何表示向量?
3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么?
4、长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量?
5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗?
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系?
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
课后小结
1、描述向量的两个指标：模和方向.
2、平面向量的概念和向量的几何表示;
3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
(1)万丈高楼平地起，基础最关键!
高数必修四知识点比较零碎但又重要，涉及概念多、公式多、推理多，所以第一步必须要扎实基础，做到课前预习，课中划重点、记笔记，课后及时温习知识点、做习题!
记住这本内容主要就是三角函数，余弦、正弦两角和差换算公式、正切、余切换算公式，能把这些掌握了，数4几乎全懂了，所以，基础知识点你必须加强记忆，多做题!
(2)会学习，知重点，掌其道，拿高分!
三角函数的图像与性质，必须掌握，每年高考都会考，这里主要记五点：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性，尤其奇偶性、单调性是重中之重!
这一块如果自己听不懂，一定要多跟同学交流，多请教老师，甚至你可以进行专题突破练习，只要做题多了，才会把知识点变成自己的!
(3)重点知识点，要加强突破!
向量是高数必修四最难的了，并且每年高考涉及向量的题就有2～4道，都是和其它知识点串联出题的!所以既然是最难，又是常考的题，那么学生们一定要特别注重，把向量知识完全吃透，加强向量知识点专题的训练，达到会一道题型会百道题!
推荐方法：专题突破，此方法可用在所有学科，即是某一类型题或某一章节题不会，加强此题的.重点攻破，效果很好，现在参考书特别多，如果不会，就买参考书进行专题突破。
(4)信心、信心、信心，学习一定要有信心!
1.下列各组对象能构成集合的有()
①美丽的小鸟;②不超过10的非负整数;③立方接近零的正数;④高一年级视力比较好的同学
A.1个B.2个
C.3个D.4个
【解析】①③中“美丽”“接近零”的范畴太广，标准不明确，因此不能构成集合;②中不超过10的非负整数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共十一个数，是确定的，故能够构成集合;④中“比较好”，没有明确的界限，不满足元素的确定性，故不能构成集合.
【答案】A
2.小于2的自然数集用列举法可以表示为()
A.{0,1,2}B.{1}
C.{0,1}D.{1,2}
【解析】小于2的自然数为0,1，应选C.
【答案】C
3.下列各组集合，表示相等集合的是()
①M={(3,2)}，N={(2,3)};②M={3,2}，N={2,3};③M={(1,2)}，N={1,2}.
A.①B.②
C.③D.以上都不对
【解析】①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.
【答案】B
4.集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，则6-a∈A，那么a为()
A.2B.2或4
C.4D.0
【解析】若a=2，则6-a=6-2=4∈A，符合要求;
若a=4，则6-a=6-4=2∈A，符合要求;
若a=6，则6-a=6-6=0?A，不符合要求.
∴a=2或a=4.
【答案】B
5.(2013?曲靖高一检测)已知集合M中含有3个元素;0，x2，-x，则x满足的条件是()
A.x≠0B.x≠-1
C.x≠0且x≠-1D.x≠0且x≠1
【解析】由x2≠0，x2≠-x，-x≠0，解得x≠0且x≠-1.
【答案】C
二、填空题
6.用符号“∈”或“?”填空
(1)22________R,22________{x|x<7};
(2)3________{x|x=n2+1，n∈N+};
(3)(1,1)________{y|y=x2};
(1,1)________{(x，y)|y=x2}.
【解析】(1)22∈R，而22=8>7，
∴22?{x|x<7}.
(2)∵n2+1=3，
∴n=±2?N+，
∴3?{x|x=n2+1，n∈N+}.
(3)(1,1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y|y=x2}表示二次函数函数值构成的集合，
故(1,1)?{y|y=x2}.
集合{(x，y)|y=x2}表示抛物线y=x2上的点构成的集合(点集)，且满足y=x2，
∴(1,1)∈{(x，y)|y=x2}.
【答案】(1)∈?(2)?(3)?∈
7.已知集合C={x|63-x∈Z，x∈N_}，用列举法表示C=________.
【解析】由题意知3-x=±1，±2，±3，±6，
∴x=0，-3,1,2,4,5,6,9.
又∵x∈N_，
∴C={1,2,4,5,6,9}.
【答案】{1,2,4,5,6,9}
8.已知集合A={-2,4，x2-x}，若6∈A，则x=________.
【解析】由于6∈A，所以x2-x=6，即x2-x-6=0，解得x=-2或x=3.
【答案】-2或3
三、解答题
9.选择适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;
(2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解组成的集合;
(3)一次函数y=x+6图像上所有点组成的集合.
【解】(1)绝对值不大于3的整数是-3，-2，-1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{-3，-2，-1,0,1,2,3};
(2)方程(3x-5)(x+2)=0的实数解仅有两个，分别是53，-2，用列举法表示为{53，-2};
(3)一次函数y=x+6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y=x+6}.
10.已知集合A中含有a-2,2a2+5a,3三个元素，且-3∈A，求a的值.
【解】由-3∈A，得a-2=-3或2a2+5a=-3.
(1)若a-2=-3，则a=-1，
当a=-1时，2a2+5a=-3，
∴a=-1不符合题意.
(2)若2a2+5a=-3，则a=-1或-32.
当a=-32时，a-2=-72，符合题意;
当a=-1时，由(1)知，不符合题意.
综上可知，实数a的值为-32.
11.已知数集A满足条件：若a∈A，则11-a∈A(a≠1)，如果a=2，试求出A中的所有元素.
【解】∵2∈A，由题意可知，11-2=-1∈A;
由-1∈A可知，11-?-1?=12∈A;
由12∈A可知，11-12=2∈A.
Ⅰ
Ⅱ ? 终边落在x轴上的角的集合：?????,??z?? 终边落在y轴上的角的集合：????????????,??z????,??z?终边落在与坐标轴上的角的集合：??
?? 22????
360度?2? 弧度
l? r
?11S?l r?? r2
221???180.弧度
180 1 弧度?度180??? 弧度?倒数关系：Sin?Csc??1 正六边形对角线上对应的三角函数之积为1
Cos?Sec??1
tan2??1?Sec2?
平方关系：Sin2??Cos??1 21?Cot2??Csc2?
乘积关系：Sin??tan?Cos? ， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积
Ⅲ 诱导公式? 终边相同的角的三角函数值相等
Sin???2k???Sin? , k?z Cos???2k???Cos? , k?z
tan???2k???tan? , k?z
?角?与角??关于x轴对称Sin??????Sin?
Cos?????Cos?
tan??????tan?
?角???与角?关于y轴对称Sin??????Sin?
Cos???????Cos?
tan???????tan? ?角???与角?关于原点对称Sin???????Sin?
tan??????tan?Cos???????Cos?
?角?
2??与角?关于y?x对称???Sin
?????Cos?Cos??2?? ??????Cos?????Sin?
Cos??????Sin??2??2?
??????tan?????cot?tan??????cot??2??2?
上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”
Ⅳ 周期问题
?
2?y?ACos??x??? , A?0 , ? ? 0 , T????y?ASin??x??? , A?0 , ? ? 0 , T??y?ACos??x??? , A?0 , ? ? 0 , T??
y?ASin??x??? ?b , A?0 , ? ? 0 , b ?0 , T?2?y?ASin??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?2?
2?y?ACos??x??? ?b , A?0 , ? ? 0 , b?0 , T?????T??y?Acot??x??? , A?0 , ? ? 0 ,
?
y?Atan??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?
?
??
y?Acot??x??? , A?0 , ? ? 0 , T?
?
Ⅴ 三角函数的性质
y?Atan??x??? , A?0 , ? ? 0 , T??怎样由y?Sinx变化为y?ASin??x????k ? 振幅变化：y?Sinx左右伸缩变化：
y 左右平移变化 x??)
上下平移变化y?ASin(?x??)?k
Ⅵ平面向量共线定理：一般地，对于两个向量 a,a?0,b,如果有
?
一个实数?,使得??,?,则与与是共线向量 那么又且只有一个实数?,使得??.
Ⅶ 线段的定比分点
?
.
OP?
?
?当??1时 ?当??1时
Ⅷ 向量的一个定理的类似推广
向量共线定理： ?? ??
?推广
?平面向量基本定理： a??e ??e , ??其中e1,e2?1122
??
?不共线的向量
?
?推广
??1e1 ??2e2 ??3e3,
空间向量基本定理： ?? 其中e,e,e为该空间内的三个123??
?不共面的向量???
Ⅸ一般地，设向量??x1,y1?,??x2,y2?且?,如果∥那么x1y2?x2y1?0 反过来，如果x1y2?x2y1?0,则∥.
Ⅹ 一般地，对于两个非零向量a,b 有 ???，其中θ为两向量的夹角。
Cos??
?
x1x2?y1y2x1
2?
y1
2
x2
2
?
y2
2
特别的，??? ?
2
Ⅺ
如果 ??x1,y1? , ??x2,y2? 且? , 则??x1x2?y1y2特别的 , a?b?x1x2?y1y2?0
Ⅻ 若正n边形A1A2???An的中心为O , 则OA1?OA2?????OAn?
三角形中的三角问题
A?B?C ?A?B?C?? ,A?B?C??,?-2
2
2
2
2
?A?B??C?
Sin?A?B??Sin?C? Cos?A?B???Cos?C? Sin???Cos??
?2??2?
?A?B??C?Cos???Sin??
?2??2?
?正弦定理：
abca?b?c
???2R? SinASinBSinCSinA?SinB?SinC
余弦定理：
a2?b2?c2?2bcCosA , b2?a2?c2?2acCosB c?a?b?2abCosC
2
2
2
b2?c2?a2a2?c2?b2CosA ?, CosB ?
2bc2ac
变形： 222
a?b?c
CosC ?2ab
【高一数学必修五】推荐阅读：
高一数学必修五教案03-05
高一数学必修五知识点01-25
高一数学必修4教案07-03
高一数学必修一总结09-14
高一数学必修1应该怎么学好07-09
高一必修二数学知识点11-29
高一数学必修一知识点03-06
高中高一必修一数学教学计划01-29
高一数学必修三第三单元知识点09-24
人教版高一数学必修一必考知识点总结02-12
