幂函数图像及性质

幂函数图像及性质（共11篇）

幂函数图像及性质篇1

幂函数定义：

一般的.，形如y=x^α(α为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于α取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

幂函数图像及性质篇2

一、比较大小

例1：已知a=2.10.5, b=2.30.6, c=2.10.2，试比较a、b、c的大小.

分析：比较幂的值的大小，主要依据是指数函数和幂函数的单调性。当底数相同而指数不同时，考虑利用指数函数的单调性;当底数不同且指数相同时，考虑利用幂函数的单调性;当底数、指数均不同时，可考虑用幂函数过渡到指数函数，即寻找到合适的中间值后，再比较大小。

解：因为幂函数上是增函数，所以a=2.10.5<2.30.5;因为指数函数y=2.3x在R上是增函数，所以2.30.5<2.30.6=b;因为指数函数y=2.1x在R上是增函数，所以c=2.10.2<2.10.5=a.综上，c

变式1：已知，则a、b、c的大小关系为_______.

解:因为指数函数y=0.4x在R上是减函数, 所以, 而因为指数函数y=2.5x在R上是增函数, 所以.综上, b

说明：本题中比较大小，都可以看作指数函数来考察，而b、c底数不同且指数也不同，这里是通过和中间值1比较大小，这个中间值根据题目需要而定，但通常都是和0或1比较。

二、解方程和不等式

例2：若A={x|3≤33-x<27, x∈Z}，B={x||log2x|>1, x∈R}，则A∩(CRB)的元素个数为______.

分析：首先要利用指数函数、对数函数的单调性确定集合，在进行集合的运算，要注意对数的真数大于0。

解：由3≤33-x<27，得到1≤3-x<3，即01，得到log2x<-1或log2x>1，即或x>2，所以，所以，所以A∩(CRB)={1, 2}.故A∩(CRB)的元素个数为2.

变式2:函数的定义域为_______.

分析：求定义域通常都是使表达式本身有意义，即本题是保证根号里的数大于等于零，同时还要保证对数式里德真数大于零即可。

解:由题意得到, 解不等式组得x≥log36, 即函数的定义域为[log36, +∞) .

三、综合问题

例3：已知函数f (x)=loga (ax-1) (a>0, a≠1)，求函数f (x)的定义域，并讨论函数f (x)的单调性(需利用定义进行证明)。

分析：先利用对数的真数大于0，求出函数的定义域，然后结合定义域分析单调性，并严格按照单调性的定义进行证明。要注意对指数函数和对数函数的底数的范围进行讨论。

解：要使函数有意义，则ax-1>0，则ax>a0.

(1)当a>1时，可有ax>a0，解得x>0，即函数的定义域为(0，+∞).这时，

f (x)=loga (ax-1)在(0，+∞)上是增函数，下面进行证明.

设0

因为01，所以ax2>ax1>1，则ax1-1>0, ax2-ax1>0,

所以f (x)=loga (ax-1)在(0，+∞)上是增函数。

(2)当0

变式3：已知函数f (x)=ax+loga (x+2)在[0, 1]上的最大值与最小值之和为a，则实数a的值为_______.

分析：本题主要是利用复合函数的单调性来解决的，因为h (x)=ax和g (x)=loga (x+2)在定义域上都是单调增函数，所以(x)=ax+loga (x+2)也是单调增函数，利用单调性很容易求出参数a的值。

解：由复合函数的单调性可知，函数f (x)=ax+loga (x+2)在[0, 1]上是单调增函数，所以有f (0)+f (1)=a，即a0+loga (0+2)+a1+loga (1+2)=a，解得

变式4：已知函数f (x)=lg (3x-b) (b为常数)，若x∈[1，+∞)时，f (x)≥0恒成立，求实数b的取值范围.

解：由lg (3x-b)≥0得到3x-b≥1，所以x∈[1，+∞)时，f (x)≥0恒成立，即当x∈[1，+∞)，3x-b≥1恒成立，即当x∈[1，+∞)，b≤3x-1恒成立.令g (x)=3x-1，则b≤g (x) min, x∈[1，+∞)，而当x∈[1，+∞)，g (x) min=2，所以b≤2.即b的取值范围为(-∞，2].

幂函数的概念、图象和性质篇3

一、幂函数的概念

要想真正把握好幂函数概念的内涵和外延，需将它和其他基本初等函数加以区分.

1. 幂函数和指数函数

函数

内容

项目幂函数指数函数定义形如y=xα（α∈R）的函数叫幂函数，其中α为常数形如y=ax（a＞0且a≠1），x∈R的函数叫指数函数

特点1. 是幂的形式2. 幂的底数是x ——自变量3. 幂的指数是α ——常数4. α∈R（中学阶段只研究α为有理数）

1. 是幂的形式2. 幂的底数是a ——a＞0且a≠1的常数3. 幂的指数是x ——自变量

4. x∈R（定义域）

2. 幂函数和正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数

形如y=kxα的函数,k,α是常数：

① 当且仅当k≠0且α=1时为正比例函数.

② 当且仅当k≠0且α=-1时为反比例函数.

③ 当且仅当k≠0且α=1时为一次函数.

④ 当且仅当k≠0且α=2时为二次函数.

⑤ 当k=1时为幂函数.

另外，并非所有的正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数都是幂函数，比如：y=2x，y=2x，y=x+1，y=x2-x等均不是幂函数.

3. 幂函数和复合函数

幂函数作为一种基本初等函数，它可成为被复合的一分子，但它不是复合函数.如：y=x12+1是由一次函数y=u+1和幂函数u=x12组成的复合函数，但y=x12+1不是幂函数.

例1 已知函数f（x）=（m2+2m）xm2+m-1，m为何值时，f（x）是：

（1）正比例函数；

（2）反比例函数；

（3）二次函数；

（4）幂函数.

解析本题考查四种基本初等函数，关键是根据各自定义列出等式或不等式，求出m的取值.

（1） m2+2m≠0,m2+m-1=1,解得m=1.

（2） m2+2m≠0,m2+m-1=-1,解得m=-1.

（3） m2+2m≠0,m2+m-1=2,解得m=-1±132.

（4） m2+2m=1,解得m=-1±2.

二、幂函数的图象

图1

1. 以y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1五种函数的图象，通过列表——描点——连线（三步作图法）得到,如图1.

2. 幂函数y=xα，x∈［0，+∞）的图象因α值不同而不同.如图2，以y=x，y=x0和在x=1右侧分为三个区域：

图2

在Ⅰ区中，y=xα（α＜0）；

在Ⅱ区中，y=xα（0＜α＜1）；

在Ⅲ区中，y=xα（α＞1）.

利用图2，可弄清在第一象限中幂函数y=xα的图象分布与α的关系，且在x=1右侧的每一区域中，都是越往上对应的α值越大.

例2 图3是幂函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象，则（）

A. -1＜n＜0＜m＜1

图3

B. n＜-1,0＜m＜1

C. -1＜n＜0,m＞1

D. n＜-1,m＞1

解析在（1，+∞）内取一值x0，作直线x=x0，它与这两个幂函数的图象均有交点，则“点低指数小”，故选B.

3. 幂函数图象的特点

① 一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内；

② 最多只能同时出现在两个象限内；

③ 是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；

④ 如果图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

三、幂函数的性质

幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出在定义域内完整的图象；反过来，只要图象明确了，性质也就清晰无误了.

例3 已知幂函数y=xm2-2m-3（m∈N）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足(a+1)-m3＜(3-2a)-m3的a的取值范围.

解析由题意，可得m2-2m-3＜0，即-1＜m＜3.

又m∈N，所以m=0，1，2.

当m=0或m=2时，y=x-3是奇函数，不合题意,舍去.

当m=1时，y=x-4满足条件.

所以m=1.

对于（a+1）-13＜(3-2a)-13,考察幂函数y=x-13的单调性：在（-∞，0）和（0，+∞）上是减函数,

所以a+1＞0,3-2a＞0,a+1＞3-2a,或a+1＜0,3-2a＜0,a+1＞3-2a,或3-2a＞0,a+1＜0,

解得a＜-1或23＜a＜32.

故a的取值范围是（-∞，-1）∪23,32.

巩固练习

1. 下列函数是幂函数的是（）

A. y=xx

B. y=3x12

C. y=(x-1)2

D. y=x-2

2. 右图为幂函数y=xα在第一象限的图象，则C1，C2，C3，C4的大小关系为（）

A. C1＞C2＞C3＞C4

B. C2＞C1＞C4＞C3

C. C1＞C2＞C4＞C3

D. C1＞C4＞C3＞C2

3. 设函数f1(x)=x12，f2(x)=x-1，f3(x)=x2.求：f1(f2(f3(2008)))=.

4. 已知函数f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)满足f(2)＜f(3).

（1）求k及其相应的f(x)的解析式；

（2）对于（1）中得到的函数f(x)，试判断是否存在q（q＞0），使函数g（x）=1-qf(x)+（2q-1）x在区间［-1，2］上的值域为-4,178？若存在，求出q；若不存在，说明理由.

正比例函数的图像和性质篇4

正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。

比如斜率问题就取决于k值，当k越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然。

还有，y=kx是y=k/x的图像的对称轴。

1.单调性

当k>0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的`增大而增大（单调递增），为增函数；

当k<0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数。

2.对称性

对称点：关于原点成中心对称。

对称轴：自身所在直线；自身所在直线的垂直平分线。

正比例函数图像

反比例函数的图像与性质教案篇5

授课教师：还地桥镇松山中学卢青

【教学目的】

1、知识目标：经历观察、归纳、交流的过程，探索反比例函数的主要性质及其图像形状。

2、能力目标：提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平。

3、情感目标：让学生进一步体会反比例函数刻画现实生活问题的作用。

【教学重点】

探索反比例函数图象的主要性质及其图像形状。

【教学难点】

1、准确画出反比例函数的图象。

2、准确掌握并能运用反比例函数图象的性质。

【教学过程】

活动

1、汇海拾贝

让学生回忆我们所学过得一次函数y=kx+b(k≠0)，说出画函数图像的一般步骤。（列表、描点、连线），对照图象回忆一次函数的性质。

活动

2、学海历练

让学生仿照画一次函数的方法画反比例函数y=2/x和y=-2/x的图像并观察图像的特点活动

3、成果展示

将各组的成果展示在大家的面前，并纠正可能出现的问题。

活动

4、行家看台

1．反比例函数的图象是双曲线

2．当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内

当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内

3．双曲线会越来越靠近坐标轴，但不会与坐标轴相交

活动

5、星级挑战

1星：

1、反比例函数y=-5/x的图象大致是（）

2、函数y=6/x的图像在第象限，函数y=-4/x的图像在第象限。2星：

1、函数y=(m-2)/x的图像在二、四象限，则m的取值范围是

2、函数y=(4-k)/x的图像在一、三象限，则k的取值范围是3星：

1、下列反比例函数图像的一个分支，在第三象限的是（）

A、y=(3-π)/xB、y=2-1/xC、y=-3/xD、y=k/x2、已知反比例函数y=-k/x的图像在第二、四象限，那么一次函数y=kx+3的图像

经过（）

A、第一、二、三象限B、第一、二、四象限

C、第一、三、四象限D、第二、三、四象限

4星：

1、在同一坐标系中，函数y=-k/x和y=kx-k的图像大致是

2、反比例函数y=ab/x的图像在第一、三象限，那么一次函数y=ax+b的图像大致

是

5星：

1、反比例函数y2m

1xm28,它的图像在一、三象限，则

2、反比例函数y

活动

6、回味无穷 k4k2，它的图像在一、三象限，则k的取值范围是x

1．反比例函数的图象是双曲线

2．当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内

当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内

3．双曲线会越来越靠近坐标轴，但不会与坐标轴相交

活动

7、终极挑战

幂函数图像及性质篇6

例2 利用正切函数图像求满足条件的角的范围.

设计意图:强调学生要学会利用图像来做题，注意区间的开闭问题.

（四）课堂小结：学生自己先总结然后老师补充.

（五）思考问题：

1.正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？

2.正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？

五、作业布置

完成相应的课后作业.

六、设计说明

1.板书说明：侧黑板留给学生展示，前黑板用来展示多媒体.

2.时间分配:(一) 五分钟（二）六分钟1.十分钟2.十二分钟3.五分钟

正比例函数图像和性质教学反思1 篇7

正比例函数的图象与性质，对学生学习一次函数有着重要的影响，是学好函数的基础。

在教学过程中，考虑到学生在理解能力上还有一定的局限性，处于形象为主逐步向经验型的抽象思维过渡的阶段。而正比例函数性质的学习要有一定的逻辑思维能力。因此本节课我采用了 “观察发现法”和“实践归纳法”。即在教师引导下使学生通过自己的观察探索来发现问题、解决问题的教学方法。由于学生亲自来发现事物的特征和规律，能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自行学习的内在动机，更有利于发展学生的创造性思维能力。

（一）温故知新

引入新课

学生学习数学的方式方法是随着他们思维的发展而变化的。处于经验型思维的初中生，学习数学新知识时，需要已有的知识和经验作支持，否则还难以接受。本节课是通过复习正比例函数的概念和画函数图象的步骤引入新课的。在复习导入时，又设计了简单函数式，让学生判断是否是正比例函数。

（二）观察推理

探究新课

在明晰了正比例函数概念后，教学进入到学习正比例函数图象环节。通过多媒体教学手段使“函数的图象可以清晰、直观描述函数的关系。正比例函数从形式上具有共同的特性，那么它们的函数图象是否也有共同的地方呢？

于是，教师先引导学生画y=2x的图像，然后让学生练习画出 y=－2x的图像（在坐标纸上画）。同时，说明画图的具体要求，此间，老师巡视指导，帮助学生解决画图中遇到的问题。

看到绝大多数学生都完成了任务。于是，教师提出问题：“观察你所画的图象，它们是什么图形？”使学生观察到正比例函数图像是

“过原点的直线。”

教师接着问道：“是不是所有的正比例函数图象都是过原点的直线呢？”学生沉默了片刻,有人打破了僵局，说道:“应该都是过原点的直线。”看到有些学生还有些半信半疑，于是老师用多媒体在大屏幕演示正比例函数图象。观察后，学生进一步明确了上述结论。

从上述过程可以看出，教师只是向学生提供了观察的素材---函数图象，正比例函数图像的特点完全是由学生自己观察、分析、归纳概括得到的，因此，这些思维能力在上述过程中得到了发展。

（三）讨论发现

得出结论

通过观察所画图像，学生发现了正比例函数图像是一条过原点的直线教师继续引导：“大家再看这两个函数图象有什么不同？”有学生回答：“y=2x的图象经过一、三象限，y=－2x图象经过二、四象限。”

值得关注的是，教师提醒学生观察k值正负与其对应图象之间的关系，进而发现了其中的规律：k﹥0时，直线y=kx的图象经过一、三象限；k﹤0时，y=kx的图象经过二、四象限。

在这一环节，教师再提出这样的问题：大家再看看两个函数图象还有什么不同？看到学生陷入思考,有的还在小声研究讨论,但没有结果，于是，老师提示学生回顾函数的概念:“什么叫函数?”学生道:“在一个变化过程中有两个变量y和x,给定x一个值y有唯一的值与之对应且y随x的变化而变化.”教师追问:正比例函数中y如何随x的变化而变化的？这样提问再一次指明了观察和思考的方向。

通过研讨，学生得出结论：从图象还可看出k﹥0时y随x的增大而增大，k﹤0时y随x的增大而减小。

从以上环节师生互动的情况看，通过图像的走势，发现变量之间的变化规律，这一过程对于学生的观察、分析、归纳概括等数学思维能力是十分有价值的。虽然教师追问时所提问题指明了观察思考的方向，从而压缩了思考空间，但在一定程度上，仍旧促进了上述能力的 2

发展

（四）课堂小结，完善构建

一次函数的图像和性质教学反思篇8

1、理解正比例函数和一次函数的意义。

2、会画一次函数的图像，并结合图像和表达式理解一次函数的性质。

3、能根据已知条件确定一次函数的表达式。

下面对这节课反思如下:

1、上课仍然改不了以前的好多习惯，不放心学生，总想包办代替，自己讲的多，留给学生的时间和空间少。

2、学生展示的少，老师没有放手给学生，没有让学生去经历知识的获取过程。

3、起点过高，把学生的基础估计过高，不能面对的多数学生。没有本着低起点，小步伐，慢节奏的方式方法进行教学。

4、数形结合不够，应该从图像入手让学生经历画图像和观察图像的过程，并且根据图像去解决一些问题。

5、用展台展示不太清晰，没有让学生画在黑板上效果好。

6、教师应该把课堂还给学生，让学生多做多讲。不可以有老师太多的讲解。

7、中考备课要讲究实效，不可以走过场，作秀，那只能是事倍功半。

8、要仔细钻研教材和课标，以及考试说明，备好课。这是上好课的前提。

9、没有注重方法的总结。

幂函数图像及性质篇9

一、指导思想：

《数学课程标准（2011年版）》指出：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。”在学习反比例函数的图像时，要组织学生画出反比例函数的图像，给学生提供体验反比例函数图像的画法。在学习反比例函数的性质时，引导学生经历由具体到抽象的过程，通过恰当的问题引导学生归纳出反比例函数的性质。通过几何画板进行直观展示，使学生获得几何直观。在选择教学内容时，要考虑中考和期末考试的需要。

二、学情分析：

学生参与课堂学习的积极性比较低，特别是11班的学生更加明显。他们不能认真听讲，不能独立思考。学生缺乏有效的学习方法。不会进行观察、不会进行抽象概括，不会预习，不会学习，不会复习，不能按时完成作业，不能接受老师的批评教育，逆反情绪明显。

因此，在本单元教学过程中要组织学生开展预习、复习活动。在教学过程中，要注意引导学生认真听讲，对没有认真听讲的学生进行提醒。

三、教材分析：

（一）、地位和作用

通过对反比例函数的学习，进一步丰富了研究函数的内容和方法。所以搞好反比例函数的图像和性质的教学，对将来进入高中后对出等函数全面深入的学习具有重要的意义。在教学过程中，不仅要注意对函数知识、技能的落实，更要注意对研究函数方法的渗透，比如画图像、分析函数解析式的特点、观察函数图象归纳函数性质，了解函数的变化规律和函数变化趋势。

（二）、考点分析。一次函数常常与反比例函数、三角形的面积结合在一起进行考察。

四、教学目标：

1.使学生在了解自变量和因变量的对应关系特点的基础上，掌握反比例函数图像的画法。能根据反比例函数的解析式正确了解它的图像分布规律以及图像与坐标轴的位置关系。会用待定系数法确定反比例函数的解析式。继续提高数学知识的应用意识，会把相关问题归结为反比例函数问题，并会运用反比例函数的性质加以解决。

2.经历反比函数的性质的形成过程。增强学生数形结合的数学思想。3．提高学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯。

五、教学重点、难点分析

（一）、教学重点：反比例函数的图像、性质和应用。

（二）、教学难点：反比例函数的增减性和反比例函数的应用。

（三）、教学关键：掌握图像的画法，熟悉解析式的参数和函数的图像形状、位置特征的关系是教学的关键。

六、多媒体准备：按课时准备好ppt课件。在学习二次函数的性质时，通过几何画板进行验证。

七、课时计划

本单元教学时间3课时。1.反比例函数的图像一课时； 2.反比例函数的性质一课时；

3.反比例函数的应用一课时。如果有必要可以增加一课时。

八、计划采取的措施 1.做好学生的思想工作。将反比例函数的学习作为新的学习起点，避免产生新的问题，防止问题成堆。

2.制作好课件。上网查阅资料，建立资料库。对搜集的课件进行整理，选择适合所教班级实际的教学方式。如果需要进行动态展示，就要进行动态展示，丰富学生的直观意识。在教学过程中，要将课件与板书进行有效整合。

幂函数图像及性质篇10

课程标准对这一节的要求：知识技能方面，理解直线y=kx+b与直线y=kx之间的位置关系;会画出一次函数的图象;掌握一次函数的性质。数学思考方面，通过一次函数图象归纳性质，体验数形结合法的应用;解决问题方面，通过一次函数图象和性质的研究，体会数形结合法在问题解决中的应用，并能运用性质、图象及数形结合法解决相关函数问题。情感态度方面，体会数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美;在探究活动中渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。本节课教学重点是：一次函数的图象和性质。难点是由一次函数的图象归纳得出一次函数的性质及对性质的理解。

本节课的设计思路是：通过6个活动，在复习正比例函数和一次函数的定义、正比例函数图象和性质的基础上，在同一个直角坐标系中描出正比例函数y=-6x和一次函数y=-6x+5的图象，通过让学生观察比较去体验两者之间的位置关系，得出一次函数的图象是一条直线，并且函数y=kx+b的图象实际是直线y=kx上所有点进行了平移的结果。因为两点确定一条直线，通过活动3明白要做出一次函数的图像只需要选取图象和坐标轴的两个交点坐标就可以了。从而达到掌握一次函数图象的画法的目的。然后在同一直角坐标系中画出四个k和b取不同值的一次函数的图象，进一步巩固一次函数图象的画法，同时观察k和b的变化引起直线位置和变化趋势的`变化，使得一次函数的性质这一教学重点自然浮出水面，水到渠成。再通过学生演板课后练习题，及时反馈教学效果，查缺补漏。设计一个思考题让学有余力的学生对常数b也有一个较为深入的认识。最后通过小结总结回顾学习内容养成整理知识的习惯。选作题设计目的是对作业进行分层要求，使“不同的学生在数学上得到不同的发展”。