练习414.3用方程解决问题

练习414.3用方程解决问题（精选8篇）

练习414.3用方程解决问题 篇1

用方程解决问题的练习题

【基础过关】

一、选择题

1、甲能在12天内完成某项工作，乙的工作效率比甲高20%，那么乙完成这项工作的天数为( )

A、6 B、8 C、10 D、11

2、一件工作，甲队独做10天可以完成，乙队独做15天可以完成，若两队合作，( )天可以完成

A、25 B、12.5 C、6 D、无法确定

3、某项工作，甲单独做要a天完成，乙单独做需b天完成，现在甲单独做2天后，剩下工作由乙单独做，则乙单完成剩下的工作所需天数是( )

A、B、C、D、

二、填空题

1、若一个三位数，十位数字是x，个位数字是十位数字的3倍，百位数字比十位数字的2 倍少1，则这个三位数可表示为______________.

2、一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的3倍，它们的和为12，那么这个两位数为________.

3、某项工程由甲独做需m天，由乙独做需n天，两人合作4天后，剩下的工程是 .

4、做一批零件，如果每天做8个，将比每天做6个提前1天完成，这批零件共有_____个.

三、列方程解应用题

1、要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时完成了任务.已知甲每小时比乙多加工2个零件，求甲、乙每小时各加工多少个零件.

2、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在由甲做4小时，剩下的部分由甲、乙合作，剩下的部分需要几小时完成?

3、一个两位数，个位数字是十位数字的4倍，把个位数字与十位数字对调，得到的两位数比原来大54，求原数.

【知能升级】

1、两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时.一天晚上停电，明明同时点燃了这两支蜡烛看书，若干分钟后来电了，明明将两芝蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟?

2、小明中考时的.准考证号码是由四个数字组成的，这四个数字组成的四位数有如下特征：(1)它的千位数字为1;(2)把千位上的数字1向右移动，使其成为个位数字，那么所得的新数比原数的5倍少49.请你根据以上特征推出小明的准考证号码.

答 案

【基础过关】

一、选择题

1、C 2、C 3、B

二、填空题

1、100(2x-1)+10x+3x 2、39 3、4、24

三、列方程接应用题

1、甲每小时加工16个零件，乙每小时加工14个零件.

2、剩下的部分需要6小时完成.3、原数为28.

【知能升级】

1、停电40分钟.

练习414.3用方程解决问题 篇2

王忠明

(四川省资中县重龙镇西街小学, 四川资中641200)

摘要:学生从用数字符号表示生活中的数量关系, 到利用字母符号表示生活中的等量关系, 是算术思维方式向代数的思维方式发展的一个飞跃, 这一飞跃对学生思维层次的提高有十分重要的意义。而小学生长期习惯于算术方法解决实际问题, 进入中学后受算术思维定势的影响, 很长一段时间不适应代数的思维方式, 因此, 在小学阶段需加强代数思维方式的训练, 加强方程教学。

关键词:算术方法;等量关系;方程;解决问题

方程是代数的初步知识, 也是学生从算术思维飞跃到代数思维分析现实生活中的数量关系的重要载体。学好方程的知识, 可以使学生不但在数的概念上有所扩展, 而且能简明地表达日常生活中数量关系的一般规律。这对学生进一步认识数的本质, 开拓解题思路, 发展他们抽象的思维能力具有极大的促进作用, 而且有利于中小学数学教学的衔接。因此, 在小学阶段教学好方程的知识, 并用之解决简单的实际问题就显得尤为重要。用方程解决实际问题应注意以下几点:

一、善于寻找题中的等量关系

找等量关系式是根据题意列方程的关键。有些数学问题数量关系复杂, 学生一时不易找出隐含的等量关系, 以致列不出方程, 因此找题中的等量关系应在教学中引起高度重视。训练找等量关系的能力, 可以从数量关系比较明显的问题开始, 再过渡到数量关系较复杂的问题, 可以组织找等量关系的专项练习。例如: (1) 一桶油, 用去30千克, 还剩下20千克。等量关系:一桶油的重量-用去的重量=剩下的重量。 (2) 六年级一班和二班共有学生90人。等量关系:六年级一班的人数+六年级二班的人数=两个班的总人数。 (3) 三年级学生开展兴趣小组活动, 书法组人数是音乐组的3倍。等量关系可以选择用除法的, 也可用乘法的。一般来说, 含有除法的等量关系式, 较之含有乘法的等量关系式, 无论在列方程、解方程等方面都要麻烦些, 这点应向学生说明。所以其等量关系我们选择乘法的。即书法组的人数=音乐组的人数×3。总之, 通过教学, 要达到使学生熟练掌握找题中等量关系式的常见方法。

二、善于从不同角度布列方程

列方程的实质是把题中的“生活语言”转化为“代数语言”, 即把文字等量关系式用已知数与未知数代入即得方程。教学时, 要鼓励学生根据不同的等量关系式列出不同的方程, 然后加以比较, 找出较好解法, 以提高学生灵活运用方程解决实际问题的能力。

小学中的实际问题并不十分复杂, 一般直接设未知数, 即求什么设什么。有时也需间接设未知数, 即设与要求的问题紧密相关的中间问题为X。设好未知数后, 有时要根据等量关系写出某些代数式, 这也是列方程中的重要一环, 值得注意的是:根据某一等量关系建立起代数式, 就不能再根据这一等量关系布列方程, 否则会出现恒等式, 而不是我们要求的方程。

比如:小红的故事书的本数是科技书的4倍, 故事书和科技书共200本。她的故事书和科技书各有多少本?首先设未知数可以选择故事书, 也可以选择科技书。设好未知数后, 要根据其中一个等量关系表示出另一个未知数的代数式。如果设科技书有X本, 用第一个等量关系表示故事书为4X。那么列方程就只能根据第二个等量关系来列即X+4X=200。还可列出200-X=4X和200-4X=X的方程, 从中选出最方便解的方程。

三、加强求未知数 (解方程) 的训练

解方程是列方程解决实际问题的重要步骤。方程会列了, 还必须具备一定的解方程的能力, 现实教学中不少学生能把方程列出来, 却没有办法求出解来。一方面是学生所列的方程太复杂, 对所布列的方程没有进行优化, 另一方面由于解方程的能力有限, 人教版新课标教材在编排时回避了形如:20÷X=2.5和120-X=50这样的方程, 未知数处于除数和减数的位置如何解。尽管教材回避了, 但对于提高学生解方程的能力来说, 教学生对这类方程如何解是必要的。

四、灵活地运用算术解法与方程解法

解决数学实际问题的算术解法与方程解法既有联系, 又有区别。两者最明显的区别在于:方程解法中未知数可以参加列式与运算;而算术解法中则不能。正因为如此, 方程解法就可降低分析推理的难度。

教学列方程解决问题以后, 有些问题可以让学生分别用算术方法和方程方法来解, 通过比较逐步分清两种解法的思路有什么不同, 并能根据题目不同特点, 灵活选择解法。一般来说, 顺向思维的题宜用算术解法;逆向思维的题宜用方程解法。

列方程解决实际问题时, 还应注意一些问题。如:要重视检验, 它既能保证解答的正确性, 又能培养学生认真负责的态度;而且由于中学里方程的解不一定是唯一的, 有时有几个根, 有时不一定有合理的根, 所以解的根必须检验。小学里养成了检验答案的习惯, 对以后的学习大有好处。

摘要：学生从用数字符号表示生活中的数量关系, 到利用字母符号表示生活中的等量关系, 是算术思维方式向代数的思维方式发展的一个飞跃, 这一飞跃对学生思维层次的提高有十分重要的意义。而小学生长期习惯于算术方法解决实际问题, 进入中学后受算术思维定势的影响, 很长一段时间不适应代数的思维方式, 因此, 在小学阶段需加强代数思维方式的训练, 加强方程教学。

用一元一次方程解决问题 篇3

这是一个环形跑道上的追及问题，今天我们就从这个问题出发研究一下行程问题中的追及问题.

拓展一 运动场环形跑道长400 m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5 min后小红第一次追上爷爷，如果小红追上爷爷后立即转身沿相反方向跑，那么几分钟后小红与爷爷再次相遇？

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

小红跑的路程+爷爷跑的路程=400 m.

解：设x分钟后，小红和爷爷再次相遇.

由教材解题过程可知道，爷爷的速度是120 m/min，小红的速度是200 m/min.

根据题意，得120x+200x=400.

解这个方程，得x=1.25.

答：1.25分钟后，小红和爷爷再次相遇.

【点评】 该问题是相遇问题，蕴涵的主要相等关系是：小红和爷爷所跑的路程和等于环形跑道的周长.

拓展二 运动场环形跑道长400 m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5 min后小红第一次追上爷爷，假设爷爷与小红第一次相遇后继续跑，则第______分钟第二次相遇，第______分钟第三次相遇，假想一下，若他们一直这样循环下去，第______分钟后第n次相遇.

【分析】 由题意可知道，小红和爷爷第一次相遇时，小红比爷爷多跑了400 m，第二次相遇时，小红比爷爷多跑了800 m，那么依次类推，第n次相遇时，小红比爷爷多跑了400n m.

可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

爷爷跑的路程+400n m=小红跑的路程.

解：设第x分钟后第n次相遇.

由教材中解题过程可知道，爷爷的速度是120 m/min，小红的速度是200 m/min.

根据题意，得120x+400n=200x.

解这个方程，得x=5n.

答案：第10分钟爷爷和小红第二次相遇，第15分钟爷爷和小红第三次相遇，第5n分钟爷爷和小红第n次相遇.

【点评】 这几个问题都是追及问题，每增加一次相遇，小红跑的路程都相应地增加一圈.

变式一 甲、乙两人在400 m的环形跑道上练习跑步，甲每秒跑5.5 m，乙每秒跑4.5 m.

（1） 甲与乙同地、同向出发，乙先跑10 m，甲出发后需要多长时间两人首次相遇？

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

乙跑的路程+10 m=甲跑的路程.

解：设甲出发x秒后两人首次相遇.

根据题意，得4.5x+10=5.5x.

解这个方程，得x=10.

答：甲出发10秒后两人首次相遇.

（2） 甲与乙同地、同向出发，乙先跑4 s，甲出发后需要多长时间两人首次相遇？

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

乙前4秒跑的路程+乙4秒后跑的路程=甲跑的路程.

解：设甲出发x秒后两人首次相遇.

根据题意，得4.5x+4.5×4=5.5x.

解这个方程，得x=18.

答：甲出发18秒后两人首次相遇.

（3） 甲与乙同地、同向出发，甲先跑100 m，乙出发后需要多长时间两人首次相遇？

【分析】 由教材中108页问题4解题过程可知道，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发时，如果他们第一次相遇，小红比爷爷多跑一圈. 本题中，甲与乙同地、同向出发，甲先跑100 m，如果他们第一次相遇，可以看作甲比乙多跑300 m.

可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

乙跑的路程+300 m=甲跑的路程.

解：设乙出发x秒后两人首次相遇.

根据题意，得4.5x+300=5.5x.

解这个方程，得x=300.

答：乙出发300秒后两人首次相遇.

变式二 甲、乙两人在同一条路上前进，甲每小时行3 km，乙每小时行5 km，甲在中午12点时经过A地，乙在下午2点经过A地，问乙下午几点能追上甲？

【分析】 “甲在中午12点时经过A地，乙在下午2点经过A地”说明当乙到A地时，甲在乙前面3×2=6（km）处.

可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

甲在12点到下午2点走的路程+甲在下午2点后走的路程=乙在下午2点后走的路程.

解：设乙出发x小时后，乙追上甲.

根据题意，得3x+3×2=5x.

解这个方程，得x=3.

2+3=5.

答：乙下午5点能追上甲.

【变式训练1】 汽车以每小时72 km的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷. 驾驶员按一声喇叭，4秒后听到喇叭声，此时汽车距离山谷多少米？（声音的速度是340 m/s）

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

汽车4秒走的路程+汽车4秒后离山谷的距离=声音走的路程-汽车4秒后离山谷的距离.

解：设4秒后汽车距离山谷x米.

每小时72 km=每秒20米.

根据题意，得x+20×4=340×4-x.

解这个方程，得x=640.

答：此时汽车距离山谷640米.

【变式训练2】 甲、乙两人同时以每小时4 km的速度从A地出发到B地办事，走了2.5 km时，甲要回去取一份文件，他以每小时6 km的速度往回走，取了文件后以同样的速度追赶乙，结果他们同时到达B地，已知甲取文件时在办公室耽误了15 min，求A、B两地的距离.

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

甲往回走后乙走的路程+2.5 km=甲往回走到追上乙的路程-2.5 km.

本题如果直接设A、B两地的距离相对较难处理，我们可以采用间接法设未知数.

解：设甲从往回走到追上乙共用了x小时.

15 min=0.25 h.

根据题意，得

2.5+4x=6（x-0.25）-2.5.

解这个方程，得x=3.25.

2.5+4x=15.5.

答：A、B两地的距离是15.5 km.

把实际问题转化为方程，有助于帮助学生感受方程是刻画现实世界的有效的数学模型. 方程的出现源于实际问题，追及问题是实际问题中的一个很重要的部分，用一元一次方程可以很有效地解决追及问题.

用方程解决问题教学反思 篇4

首先，在学用方程解决问题之前，必须让学生熟练理解方程的意义。1）把含有未知数的等式叫做方程。2）其中最关键的理解是，在等式的基础上含有未知数。

其次，要正确理解实际要解决问题的题意，分析各数量之间所包含的关系，根据关系用文字和数字列出准确的等式关系，反复琢磨自己所列出的等式关系，并验证。

练习414.3用方程解决问题 篇5

①和、差、倍、分问题，即两数和＝较大的数+较小的数，较大的数＝较小的数×倍数±增（或减）数；

②行程类问题，即路程＝速度×时间；

③工程问题，即工作量＝工作效率×工作时间； ④浓度问题，即溶质质量＝溶液质量×浓度；

⑤分配问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系； ⑥等积问题，即变形前后的质量（或体积）不变；

⑦数字问题，即有若个位上数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这三位数可表示为100c+10b+a，等等； ⑧经济问题，即利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数；税后利息＝本金×利率×期数×（1－利息税率）；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝ ×100％.等等

初一上册用方程解决问题之解决问题的策略

知能点1：市场经济、打折销售问题

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝

商品利润×100%

商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80%出售．

知能点2储蓄、储蓄利息问题

(1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税

(2）利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率（20%）(3）利润每个期数内的利息100%，本金知能点3：工程问题

工作量＝工作效率×工作时间 工作效率＝工作量÷工作时间

工作时间＝工作量÷工作效率 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 知能点4：行程问题

基本量之间的关系： 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间

（1）相遇问题（2）追及问题 快行距＋慢行距＝原距 快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题 顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 知能点5：若干应用问题等量关系的规律

（1）和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。增长量＝原有量×增长率 有量＋增长量

（2）等积变形问题

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变． ①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝r2

h ②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc

练习414.3用方程解决问题 篇6

课型：新授

课时：

主备：曹 瑜

审核：初一数学组

姓名

时间：2012.11.21

【学习目标】

（1）掌握用方程来解决行程问题中的相遇问题和追及问题；（2）培养学生解决实际问题的能力以及对数学学习的兴趣；

【学习重点、难点】

教学重点、难点：能够理清速度、时间、路程之间的关系，画出线段图或列出表格，找到相遇、追及问题中合理的等量关系，列出正确方程，从而解决实际问题；

【学习过程】

一、课前准备

1、设x表示两位数,y表示三位数,如果把x放在y左边组成一个五位数,用代数式表示为

2、少年宫参加无线电小组的同学如果分12个小组，则多16人；如果分成14个小组，则少8 人。求每组多少人，共有多少人？

3、四年级上体育课。老师叫一部分同学打羽毛球。每两人一组，每组分6个球，少10个球。每组分4个球，还少2个球。问共有多少个组？有多少个羽毛球？

4．一个三位数，十位上的数字是0，其余两位上的数字的和为12，如果个位数字减2，百位数字加1，所得到的三位数比原来三位数的百位数字与个位数字对调所得的三位数还小100，求原来三位数。

5．甲、乙两个水池共贮水50吨，甲池用去5吨，乙池又贮水8吨，甲池的水比乙池的水少3吨，问原来甲、乙两水池各有多少吨水？

二、合作探究

活动一

甲、乙两站距441千米，一列快车和一列慢车同时分别从甲、乙两站出发，快车每小时行72千米，慢车每小时54千米，（1)两车同时出发，相向而行，两车出发后几小时相遇？

（2)慢车先行42分钟，快车相向而行，问快车出发后几小时相遇？（3)快车先行42分钟，慢车相向而行，问快车出发后几小时相遇？（4)慢车先行27千米，快车相向而行，问快车出发后几小时相遇？

活动二

甲、乙两车从A、B两地相向而行，甲车比乙车早出发15

分，乙车速度是甲车速度的1倍半，相遇时，甲比乙少走6千米，已知甲车的速度为10千米/小时，求A、B两地的距离。

活动四

甲、乙两列车相向而行，甲列车每小时行60千米，车身长150米；乙列车每小时行75千米，车身长120米，两车从车头相遇到车尾分离需多少时间？

活动五

甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，甲骑车的速度是乙骑车的2倍，已知二人在上午8时同时出发，到上午10时二人相距36千米，到中午12时二人又相距36千米，求A、B两地间的距离。

三、当堂反馈

1.甲、乙两人，分别同时从A、B两地相向而行，甲骑自行车每小时行15千米，乙步行每小时行5千米，两人相遇后乙又行了6小时到达A地，求两地之间的路程是多少千米？

2、A、B两地相距75千米，一辆汽车以50千米/时的速度从A地出发，另一辆汽车以40千米/时速度从B地出发，若两车同时出发，相向而行，经过几小时两车相距30千米？

3.甲、乙两人骑自行车，分别从相距45千米的A、B两地相向而行，甲先走半小时后乙再出发，乙走后1.5小时与甲相遇，已知甲比乙每小时多走2.5 千米，求甲、乙每小时各走多少千米？

4.A、B两地相距36km，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时出发相向而行，若行4小时，则两人相遇；若行6小时，则甲到B地所剩下的路程是乙到A地所剩下路程的2倍，求甲、乙两人步行的速度

练习414.3用方程解决问题 篇7

一、转化思想

转化也称化归,它是指将未知的、陌生的、复杂的问题,根据知识间内在的联系,从一种形式转化为另一种形式,问题就可能比较顺利地得到解决,这就是转化的思想方法. 它能够帮助我们打开思路, 把一个较复杂或陌生的问题转化成一个已经解决过的比较简单或熟悉的问题.

例1 (2013·山东菏泽)解方程:(x+1)·(x-1)+2(x+3)=8.

【解析】观察本题的特点,可以看出解方程的几种方法均不能处理此题,因而应利用整式的乘法及加、减把一元二次方程化成一般形式,然后再利用因式分解法.

解:原方程可化为x2+2x-3=0,即(x-1)·(x+3)=0, 解之,得x1=1,x2=-3.

【点评】在解一元二次方程时,一般情况下先观察其特点,判断是否能直接应用开平方法、因式分解法,当二次项系数为“+1”且一次项系数为偶数时 , 利用配方法, 最后才考虑公式法. 这四种方法都不能直接应用时, 注意把方程变为一般形式去求解.

二、整体思想

整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征. 对本章的学习来说,就是要善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理.采用整体处理的方法,不仅可避免复杂的计算,而且还达到了解决问题的目的.

例2 (1)(2013·黑龙江绥化)设a,b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根,则a2+2a+b的值______.

(2)(2013·荆州)设x1,x2是方程x2-x2013=0的两个实数根,则x31+2014x2-2013的值______.

【解析】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2, 由根的定义得再利用这些结论中的某些结论,进行整体代入,往往可使所求问题变得简单.

解:(1) 因为a,b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根,所以,由根的定义,得a2+a-2013=0,即a2+a=2013,由根与系数的关系可知:a+b=-1,所以,a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2013+(-1)=2012.

(2) x1,x2是方程x2-x-2013=0的两个实数根,所以,x21-x1-2013=0, 即x21=x1+2013,x1+x2=1, 所以x31+2014x2-2013 =x21·x1+2014x2-2013 =(x1+2013)·x1+2014x2-2013 =x21+2013x1+2014x2-2013 =x1+2013 +2013x1+2014x2-2013=2014(x1+x2)=2014.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系以及整体思想,解决此类题型的关键是熟悉相关的知识点. 如第(1)小题,将a2+a=2013及a+b=-1作为整体进行代入计算. 第(2)小题利用x21=x1+2013进行降幂,再利用x1+x2=1求出代数式的值.

三、分类讨论思想

所谓分类讨论思想,就是在研究解决数学问题时,若问题所给对象不能进行统一研究,我们就要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为能用不同形式来解决的小问题,将这些小问题逐一解决,从而使整个问题得到解决,这种处理问题的思想方法称为分类思想. 它既是一种数学思想方法,又是一种重要的解题策略.

例3 (2013·四川内江)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-p ,x1·x2=q. 请根据以上结论,解决下列问题:

(1)已知关于x的方程x2+mx+n=0(n≠0),求出一个一元二次方程,使它的两根分别是已知方程两根的倒数;

(2)已知a、b满足a2-15a-5=0,b2-15b5=0,求a/b+b/a的值;

(3)已知a、b、c均为实数,且a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.

【解析】可综合应用上面的三种解题方法求解本题. (1) 抓住两方程的根互为倒数利用转化思想构造方程即可. (2) 应考虑a,b相等与a、b不相等两种情况分类讨论 .当它们相等时,ab,ba的值都等于1;当它们不相等时,a,b可以理解为是关于x的方程x2-15x-5=0的两个不相等的实根, 然后对ab+ba通分,利用完全平方公式变形,再整体代入求解. (3) 由a+b+c=0,abc=16,得a+b=-c,ab=16c,构造以a,b为根的一元二次方程,然后利用根的判别式b2-4ac≥0构造不等关系求解.

【点评】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系,根的判别式,难度较大. 数学新课程标准对一元二次方程的根与系数的关系并不作高的要求,此题在这种情况下以阅读题的形式命制,为大家铺设好解决问题所需要的知识和方法,可以有效考查同学们的自学能力, 灵活应用能力,具有一定的区分度.

四、建模思想

建模思想其实质是从实际问题中提取出关键性的基本量,将其转化为数学问题来表达.

例4市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格. 某种药品经过连续2次降价后,由每盒200元下调至128元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少?

【解析】对于降价问题, 一般是降价后的量=降价前的量×(1-下调的百分率),设出平均每次下调的百分率, 根据从200元下调到128元, 列出一元二次方程求解即可;

解:设平均每次下调的百分率为x,由题意,得200×(1-x)2=128.

解这个方程,得x1=0.2,x2=1.8.

因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题意,故舍去.

符合题目要求的是x1=0.2=20%.

答:平均每次下调的百分率是20%.

【点评】关于两次增长(或降低)率问题, 要注意其固定的等量关系. 一般形式为:a(1+x)2=b,a(1-x)2=b. 其中x为增长(或降低)百分率,a表示为增长(或降低)前的数据,b表示经过两次增长(或降低)后得到的数据,“+”表示增长,“-”表示降低.

小试身手

A. a≥1 B. a>1且a≠5 C. a>1 D. a≠5

4. 已知关于x的方程x2=(2m+2)x-(m2+4m-3)中的m为不小于0的整数,并且它的两实根的符号相反,求m的值,并解方程.

5. 长沙市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过两次下调后,决定以每平方米4 050元的均价开盘销售.

(1)求平均每次下调的百分率;

练习414.3用方程解决问题 篇8

“鸡兔同笼”问题是我国古代数学著作《孙子算经》中的名题，暗示着我国古代数学的杰出成就.它不仅趣味性强，而且“鸡兔同笼”问题可以用算术方法、一元一次方程等方法求解，但用二元一次方程组求解是最为直接的方法.原题：今有鸡兔同笼上有35头，下有94足.问鸡兔各几何？（题意为：笼里有鸡和兔，共有35只头，94只足.问鸡和兔各几只？）用方程组表达实际问题的意义时要突出解决问题的过程，即设未知数，找出两个相等关系，列出方程组.现将分析的思维方法展示如下：设鸡有x只，兔有y只，得相等关系两个，鸡头+兔头=35，鸡足+兔足=94.将鸡头、兔头、鸡足、兔足分别用x、y代数式表示则得到一个二元一次方程组x+y=35，

2x+4y=94.解之得x=23，

y=12.则问题得到解决.像这样的问题不胜枚举，现再举一例：我国明朝程大位所著《算法统宗》中有一道“百僧问题”. 原题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？（题意为：有100个馒头和100个和尚，大和尚每人吃三个，三个小和尚分一个.问大小和尚各有几人）思维方法：设大和尚x人，小和尚y人，得相等关系两个，大和尚+小和尚=100，大和尚所吃馒头+小和尚所吃馒头=100.将大和尚、小和尚、大和尚所吃馒头、小和尚所吃馒头分别用x、y代数式表示则得到一个二元一次方程组x+y=100，

3x+13y=100.解之则问题得到解决.当然这个问题也可以用一元一次方程的相关知识加以解决（解法：设大和尚x人，则小和尚有（100-x）人，根据题意列方程：3x+13（100-x）=100，解得x=25，即大小和尚分别为25人和75人.）通过对比同学们可以体会用二元一次方程组解决实际问题比用一元一次方程解决问题思路更加直接，方法也较简单.

既然如此，那么从实际问题到方程组，问题的探究经历了那些过程呢？答案就是从实际问题开始首先是到数学问题，再从数学问题到列出方程组，正确列出方程组的关键在于弄清题意，恰当地设未知数，找出问题中的两个相等关系.方法就是化实际问题到数学中的二元一次方程组问题来解决.通过对上面2个例子的学习，你是否觉得自己还有很多潜力没有挖掘出来呢？这里再举几个题目供大家思考并解决.

（1） 小明买了80分与1元的邮票共10枚，花了9元.80分与1元的邮票各买了多少枚？

（2） “百钱百货”古算题：柑三梨四，一钱枣子买14. 百钱买百货，问柑、梨、枣各买几何？

（3） 著名数学家欧拉的著作中的百蛋问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋到市场去卖.两个人的蛋数不同，但卖得的钱数一样.第一个农妇对第二个说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜币.”第二个回答道：“如果你的鸡蛋换给我，我就只能卖得20/3个铜币.”问她们各有鸡蛋多少个？

其实，探究实际问题的分析和解决，除了解题，自编问题交流解答更能挑战思维，同时锻炼我们的独创和探索精神，建立对数学的自信，让自己的思维能力产生一轮又一轮的飞跃.