分式方程选择题（精选14篇）
1.4 分式与分式方程
班级： 小组： 等级：
【考点透视】
1.了解分式的概念，能求出分式值为零时字母的值，知道分式无意义的条件
2.会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除及混合运算与分式的化简求值。 3.能正确求出可化为一元一次方程的分式方程的根，能结合实例解释解分式时产生增根的原因，能结合现实情境列分式方程解决简单的实际问题。
【知识梳理】
1.分式的概念：分式： 2.弄清分式有意义,无意义和值为零的条件
分式有意义的条件是分母不为零;无意义的条件是分母为零;值为零的条件是分子为零且分母不为零,弄懂这几个条件是做分式题很重要的一点.
3.分式基本性质的.灵活应用
分式的基本性质：
分式的约分： 分式的通分： 最简公分母: （注意： 利用分式的基本性质熟练进行约分和通分,这是分式运算的基础,利用分式的基本性质时,要注意分子、分母同乘以和除以不为零的整式.） 4.分式的运算
（1）分式的加减法法则
（2）分式的乘除法法则 （3）分式的乘方
（4）分式的混合运算
分式的四则运算主要出现在化简中,与通分、约分、分式的基本性质联合,要保证最后结果为最简分式.
5. 分式方程
（1）解分式方程：步骤 （2）列分式方程解应用题
6. 条件分式求值的常用技巧 （1）参数法：当已知条件形如化简的分式时，通常设代入所求代数式。 （2）整体代换法 像已知把1x?
1x?1y?3,求
2x?3xy?2yx?2xy?y
xa?yb?xazc?yb?zc
，所要求值的代数式是一个含x、y、z、a、b、c而又不易
?k（k就是我们常说的参数），然后将其变形为x?ka,y?kb,z?kc
的值这样的问题， 合化
简
所求
代
数式
?
已1y
知条件变换成适的形式
?
，如35
把
?3化为x?y??3xy,代入
2x?3xy?2yx?2xy?y
中，得
（2x?y)?3xy(x?y)?2xy
?6xy?3xy?3xy?2xy
,这样就
达到整体代入、化简求值的目的。 7.裂项法
裂项法即把一项化为两项，使计算得以顺利进行。 常用裂项有：
1n?(n?1)
?1n?
1
;
1
?1(
1
?
12n?1
).
n?1(2n?1)(2n?1)22n?1
【考题例析】
1.识别分式的概念
例1. （ 重庆江津）下列式子是分式的是( ) A.
x2
B.
xx?1
C.
x2
?y D.
x3
例2、如果分式
|x|-1x?3x?2
2
的值为零,那么x等于( )
A.-1 B.1 C.-1或1 D.1或2 例3. （2011浙江杭州）已知分式
x?3x?5x?a
2
，当x＝2时，分式无意义，则a＝ ，当a
时，使分式无意义的x的值共有 个． 2.分式的基本性质的识别 例2、下列各式与
x?yx?y
相等的是( )
A.
(x?y)?5(x?y)?5
; B.
2x?y2x?y
; C.
(x?y)x?y
2
2
2
(x?y) D.
x?yx?y
2
222
点评:分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式.
3.化简求值题 例3、(1)已知a+
1a
=5, (2)已知
x?4x?3x?1
x
2
2
=0,
则
a?a?1
a
2
42
=________. 先化简后求
m?nmn
2
2
x?3
?
93?x
的值.
例4. （2011 江苏南通，）设m＞n＞0，m＋n＝4mn，则A.
1m
22
的值等于
D. 3
2
例5. （2011 四川乐山）若m为正实数，且m?4.分式方程的解法及应用 解下列分式方程： 例1.（1）
xx?2
?
6x?2
?3，则m?
1m
2
?1 （2）
2x?1
?
3x?1
?
6x?1
2
例2.用换元法解方程x2?
1x
2
?x?
1x
?4，可设y?x?
1x
，则原方程可化为关于y的方程
是 . 【巩固练习】 一．选择题 1、函数y=
1x?1
2
中自变量x的取值范围是( ).A.x≠-1 B.x>-1 C.x≠1 D.x≠0
2、若分式
x?9x?4x?3a
b
2
2
的值为零,则x的值为( ).A.3 B.3或-3 C.-3 D.0
3、化简
a?b
?
a(a?b)
的结果是( ).A.
a?ba
B.
a?ba
C.
b?aa
D.a+b
4、当分式
|x|?3x?3
2
的值为零时,x的值为( ).A.0 B.3 C.-3 D.±3
mm?3
mm?3
mm?3
m3?m
5、化简
m?3m9?m
2
的结果是( )A. B.- C. D.
6、将分式
xyx?y
中的x,y都扩大2倍,分式的值 ( )
A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.不变 D.缩小2 7、化简 A.
12m?9
2
2
+
2m?3
的结果是( )
2m?3
m?6m?9
B. C.
2m?3
D.
2m?9m?9
2
二．解答题 1.计算:
3.化简:(
4.（2011重庆江津）先化简,再求值:
【中考链接】
11?x
?
x1?x
. .先化简,再求值:
x?1x?1
2
+x(1+
1x
),其中
-1.
aa?1
?
2a?1
1
)÷(1-
1a?1
). 4.化简:m+n-
(m?n)m?n
2
.
x?1x?2
2
?(
1x?2
?1),其中x?
13
・
1.（.潍坊中考）分式方程
xx?5
?
x?4x?6
的解是_________.
2．（2011江苏泰州）（ab
b
2
a?ba?ba
)?
a?ba
2ab?b
a
2
3. （（2011山东济宁）计算：
?(a?)
ab
ba
4.(2011・山西)已知a-6a+9与│b-1│互为相反数,则式子(
1x
1y
66x?3
2
?)÷(a+b)的值为____.
5.(2011・天津)已知
?,则分式
60x
2x?3xy?2yx?2xy?y
的值为________.
6. （.潍坊）方程?
a
2
?0的根是 ．
7、(2012吴中区一模)化简 (A)
1a?1
a?1
?a?1的结果是( )
(B)－
1a?1
(C)
3a?1
2a?1a?1
(D)
2
a?a?1a?1
2
8. (2012.辽宁营口市)先化简： 作为a的值代入求值.
9.(2011.呼和浩特)若
Ax?5
?
Bx?2
(?a?1)?
a?4a?4
a?1
，并从0，?1，2中选一个合适的数
?
5x?4x?3x?10
2
,试求A、B的值.
10.(2011・广东)如图1-16-1小明家、王老师家、学校在同一条路上,小明家到王老师家的路程为3km,王老师家到学校的路程为0.5km,由于小明的父母战斗在抗“非典”第一线,为了使他能按照到校,王老师每天骑自行车接小明上学.?已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用了20min,问王老师的步行速度及骑自行车速度各是多少?
学校
一、去分母时漏乘不含分母的项致错
【错解】方程两边乘 (2x-5) , 得x-5=1, 解得x=6.当x=6时, 由于分母2x-5=2×6-5=7≠0, 所以, x=6是原方程的解.
【剖析】把x=6代入原方程, , 故x=6不是原方程的解.原方程去分母时, 由于右边漏乘 (2x-5) , 因此解答有误.另外, 用简便法验根时, 解方程的过程必须正确, 否则, 将求得的未知数的值代入方程两边同乘的整式, 即使整式的值不为零, 这个未知数的值也不一定是原方程的解.
【正解】方程两边乘 (2x-5) , 得x-5=2x-5, 解得x=0.经检验, x=0是原方程的解.
二、违背等式的性质致错
【剖析】由于方程两边同时除以 (5-x) , 违背了等式的性质, 这将缩小未知数的取值范围, 造成方程失根.
【正解】方程两边通分, 得
三、忽视分数线的括号作用致错
【剖析】此题解答出错是因为忘记了分数线具有括号的作用.分数线除了可以代替除号和比号外, 还起着括号的作用.当减数的分子是一个多项式, 应看作一个整体, 因此, 去分母时, 要把减数的分子作为一个整体加上括号.
四、破坏方程同解原理致错
两边同时除以 (2x-5) , 得x2-5x+6=x2-5x+4.故原方程无解.
【剖析】方程中约去含未知数的代数式, 破坏了方程同解原理, 会造成失根.
五、忽视验根致错
【错解】原方程去分母, 整理得x+5=10.解得x=5.所以, 原方程的解为x=5.
【剖析】解分式方程时, 一般要将原方程去分母, 化为整式方程来解.为了去分母, 要在方程两边同乘含未知数的式子, 这就可能破坏方程的同解变形而引入增根.因此, 解分式方程时, 必须将求得的未知数的值代入原方程的分母进行检验.如果发现某个分母的值为0, 那么该未知数的值即为增根.上面的解答就是因为忽视了验根而致错.
【正解】去分母后, 整理得x+5=10, 解得x=5.
检验:当x=5时, 分母x-5和x2-25的值都为0, 相应的分式无意义.所以, 原方程无解.
六、忽视特殊情况致错
七、忽视原方程可能有增根致错
∴当a=-4时, 原方程只有一个实数根x=1;当a=-8时, 原方程只有一个实数根x=-1.
综上所述, 同学们在求解分式方程时, 为了避免上述错误, 应该从以下两方面努力:
1.加强基础知识的学习, 在理解的基础上加强练习, 在练习中提高自己.
2.认真审题, 仔细分析, 周密思考, 慎重求解, 切忌思维定式而导致错误.
只有这样, 今后在解分式方程时才不易出错.
1. 下列分式方程中，有解的是（）.
A．= 0 B．= 0
C．= 0 D．= 0
2. 要使与互为倒数，则x的值为（）.
A. 0 B. -1
C. D. 3
3. 若关于x的方程 = 无解，则m的值为（）.
A. 10或6B. 10或 - 6
C. 10D. - 10
4. 某林场原计划在一定期限内固沙造林240 km2，实际每天固沙造林的面积比原计划多4 km2，结果提前5天完成任务.设原计划每天固沙造林x km2，根据题意，下列各方程正确的是（）.
A．+ 5 =B．- 5 =
C．+ 5 =D．- 5 =
5. 甲、乙两班学生参加植树造林活动.已知每天甲班比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等.若设甲班每天植树x棵，则（）.
A.= B.=
C.= D.=
6. A、B两地相距36 km.甲、乙两人从A地出发去B地，乙先走0.5 h，甲才出发，甲的时速是乙的时速的1.2倍，结果两人同时到达B地.若设乙的时速为x km，则下列方程中正确的是（）.
A.=+ 30B.-=
C.-= D.=-
二、填空题
7. 方程 = 的解是〓〓.
8. 方程 = 的解是〓〓.
9. 轮船顺水航行150 km所需时间与逆水航行120 km所需时间相等.已知水流速度为3 km/h，设轮船在静水中的速度为x km/h，由题设可列方程为〓〓.
10. 社区艺术节需用红纸花3 000朵.某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务.但在实际制作时有10名同学因排节目而没有参加，这样，参加劳动的同学平均每人制作的花比原定全班同学平均每人所制作的花多15朵.设这个班共有x名同学，则可列方程为〓〓.
11. 某校师生到距学校20 km的公园义务植树.甲班师生骑自行车先走，45 min后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，则汽车的速度是〓〓.
三、解答题
12. 解下列分式方程：
（1）-= 1.
（2）-= .
（3）+= .
（4）+= .
13. 已知 += ，求 + 的值.
14. 一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u、像距v和凸透镜的焦距f满足关系式： += .若v = f + 2，试用f表示u，并求当f = 6 cm时u的值.
15. 华联超市用50 000元从外地采购回一批T恤衫.由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多2倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元.商场在出售时统一按每件80元的标准出售.为了缩短库存时间，最后的400件按6.5折处理并很快售完.商场在T恤衫生意上盈利多少元？
16. 小颖和几位同学去文具店购买练习本.该文具店规定，如果购买本数达到一定数量，则可以按批发价购买.于是他们凑了60元钱以批发价购买，这样购得的练习本比用零售价购得的练习本多30本.若每本练习本的批发价是零售价的，问：每本练习本的零售价是多少元？
17. 甲、乙两人合做一项工作，两人合做2天后，由乙独做1天就可完成.已知乙独做全部工作所需天数是甲独做所需天数的1.5倍.甲、乙两人单独做各需多少天？
18. 某项工程，甲、乙两人合做，8天可以完成，需费用3 520元；若甲独做6天后，剩下的工程由乙独做，乙还需12天才能完成，共需3 480元.问：
（1）甲、乙两人单独完成此项工程，各需多少天？
（2）甲、乙两人单独完成此项工程，各需费用多少元？
19. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可租用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变.若甲、乙两车单独运这批货物，则分别用2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数，运完这批货物时，甲车共运了180 t；若乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物时，乙车共运了270 t.
（1）乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍？
本节课作为分式方程的第一节课，是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式四则混合运算的基础上展开的，既是前一节的深化，同时解决了解方程的问题，又为以后的教学——“应用”打下了良好的基础，因而在教材中具有不可忽略的地位与作用。
本节的教学重点是探索分式方程概念、会解可化为一元一次方程的分式方程、明确分式方程与整式方程的区别和联系。教学难点是如何将分式方程转化成整式方程。本节教材中的引例分式方程较复杂，学生直接探索它的解法有些困难。我是从简单的整式方程引出分式方程后，再引导学生探究它的解法。这样很轻松地找到新知识的切入点：用等式性质去分母，转化为整式方程再求解。因此，学生学的效果也较好。
我认为比较成功的
1、把思考留给学生，课堂教学试一试这个环节中，我把更多的思维空间留给学生。问题不轻易直接告诉学生答案，而由学生通过动手动脑来获得，从而发挥他们的主观能动性。我主要在做题方法上指导，思维方式上点拨。改变那种让学生在自己后面亦步亦趋的习惯，从而成为爱动脑、善动脑的学习者。
2、积极正确的引导，点拨。保证学生掌握正确知识，和清晰的解题思路。由于学生总结的语言有限，我就把本节课的重点内容：解分式方程的思路，步骤，如何检验等都给学生展示出来。还有在解分式方程过程中容易出现的问题都给学生做了强调。
3、及时检查纠正，保证学生认识到自己的错误并在第一时间内更正。学生在做题过程中我就在教室巡视，及时发现学生的错误，及时纠正。对于困难的学生也做个别辅导。
虽然在课堂上做了很多，但也存在许多不足的地方，这也是我在今后教学中应该注意的地方。
第一，讲例题时，先讲一个产生增根的较好，这样便于说明分式方程有时无解的原因，也便于讲清分式方程检验的必要性，也是解分式方程与整式方程最大的区别所在，从而再强调解分式方程必须检验，不能省略不写这一步。
分式与分式方程 4．分式方程
（三）总体说明
本节是分式方程的第4小节，共4个课时，这是第三课时，本节课主要让学生经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．教学中设置丰富的实例，这些实例涉及工业、农业、环保等方面，关注学生从现实生活中发现并提出数学问题的能力，关注学生能否尝试用不同方法寻求问题中的数量关系，并用分式方程表示，能否表达自己解决问题的过程．
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生已经熟练掌握了分式方程的解法，为本节课的深入学习提供了良好的基础．
学生活动经验基础：学生已经经历过用一元一次方程和二元一次方程组解决实际应用问题，会用数学模型表示简单的数学等量关系．
二、教学任务分析
学生在学习了分式方程以及分式方程的解法并能熟练地解方程之后，如何将这些技能应用于现实生活当中，也就是将生活中某些问题模型化，本节课安排了《分式方程》的第三课时，旨在培养学生的应用意识和解决实际问题的能力，为此，本节课的教学目标是：
知识与技能：
（1）能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．
（2）经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程．
数学能力：
（1）学会举一反三，进一步提高分析问题与解决问题的能力．
（2）提高学生的阅读理解能力，从多角度思考问题，注意检验，解释所获
/ 6
得结果的合理性．
情感与态度：
初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心．
三、教学过程分析
本节课设计了7个教学环节：回顾——练一练——想一想——试一试——做一做——学生小结——反馈练习
第一环节：回顾 活动内容：
1.列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？ 2.列一元一次方程解下列应用题: 某工人原计划13小时生产一批零件，后因每小时多生产10件，用12小时不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件? 活动目的：回顾列一元一次方程解应用题的一般步骤，引出新问题． 教学效果：
首先请一位学生分析题中的已知条件和未知条件,列出题中所反应的等量关系式,再让所有学生列出方程并解出方程.大部分学生依然记得列方程解应用题的基本方法，并能很快解出这一题．只有小部分学生有些困难，在老师和同学的帮助下也能完成．
第二环节:练一练 活动内容: 解下列分式方程: 120180 x3x 2 / 6
活动目的: 复习上节课内容:解分式方程，为本节课提供基础.教学效果：
经过上一节课的学习，学生都能熟练解分式方程.但是部分学生没有先化简,方程两边应先除以60,再解方程,对于这一点老师应强调,因为实际应用题中的数据有时很大,如果不化简,会给计算带来麻烦.第三环节:想一想 活动内容: 你能用所学过的知识和方法为下列应用题列出方程吗?(1).一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时.现在该从甲站到乙站所用其所的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x千米/时，请根据题意列出方程.(2)“华联”商厦进货员在苏州用80000元购进某品牌衬衫，后又在上海用176000元购进这种品牌衬衫，数量是从苏州购进的2倍，只是单价比苏州的贵4元，请问从苏州购进的衬衫每件多少元? 活动目的: 引导学生通过独立思考和小组讨论的形式，用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题，鼓励学生大胆尝试.形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．
教学效果：
学生比较熟悉路程、速度、时间的关系，在第一题中能很快根据提速前后的时间关系列出等量关系式。学生通过类比的方法，对于第二题中有些学生对商品的总价和每件商品的单价以及商品的总件数之间的关系不熟悉。在老师的讲解下大部分学生都能用所学的知识和方法，完成 “ 设未知数——找等量关系——列代数式——列出方程”这一过程，小部分有困难的同学在老师和小组的帮助下也能完成任务．
第四环节：试一试
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活动内容：
某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.(1)你能找出这一情境中的等量关系吗?(2)根据这一情境你能提出哪些问题?(3)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗? 活动目的: 引导学生从不同角度寻求等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．
教学效果：
学生都能找出所有房屋的总租金和每间房屋的租金以及房屋总数之间的关系式，并能提出解出房屋总数的问题，应用列方程的一般方法解决这个问题，并能多角度思考问题，提出很多不同问题．
第五环节：做一做 活动内容：
1某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨，小丽家去
3年12月份的水费是14.7元，而今年7月份的水费则是28元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多3立方米，求该市今年居民用水的价格．
活动目的：
在老师的指导下，老师和学生一起完成“设未知数——分析等量关系——列代数式——列出方程——解方程到验证解的合理性”这一完整过程，并规范书写．
教学效果：
首先，老师询问学生家中的每月用水情况，要求学生能关心家庭生活，又得到了节约用水的教育．学生根据一个月的总水费等于每一吨水费乘以一个月的用水的总吨数，再根据“小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米”这一条件，列出等量关系式，从而列出分式方程，有了前面的基础，学生能很快和老师一起完成上述过程．
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第六环节：学生小结 活动内容：
你能用自己的语言总结这节课的主要内容，并谈谈你的感受． 解题步骤：1 设；列；解；检验；
得出结论.活动目的：
初步学会从数学的角度提出问题、理解问题． 教学效果：
学生都能积极参与活动，感受到数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；
第七环节：反馈练习活动内容：
独立完成下列问题：
1． 小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，困此他们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
2． 某化肥厂计划在x天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划成本生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是（）
A．120***0180120180
B.C.D.x3xx3xxx3xx33．全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车进行宣传，全程共10千米，自行车队速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车车队晚到了2小时候，如果设长跑队跑步的速度为x千米/时，那么根据题意可列方程为
（）101011010
B.20.5 A.2x2.5x22.5xx1010101020.5D.20.5 C.x2.5xx2.5x活动目的:
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使学生体会丰富的实例，乐于接触社会环境中的数学信息，巩固用分式方程解决实际问题的技巧．
教学效果：
以上练习题密切联系学生生活实际，又关注社会热点问题，学生大部分能将实际问题转化为数学模型，并进行解答，解释解的合理性。
作业:课本P42 习题2.10
四、教学反思
在教学中应结合具体的数学内容采用“问题情境-建立模型-解释、应用与拓展”的模 式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心．在教学中始终把学生置于一种动态、开放、生动、多元的教学环境中．这种动态的开放式的学习，体现了活动、内容、问题的开放性，从探究实践中形成想象，抓本质、揭规律、找方法．
1.增根的定义
分式方程转化为整式方程的解使得原分式方程的最简公分母为零, 这样的未知数的值是原分式方程的增根.
2.增根产生的原因
我们看一个简单的一元一次方程x-1=0, 显然方程的解是x=1, 而如果把方程两边同乘以x+1变成方程 (x+1) (x-1) =0, 则方程的解就是x1=1, x2=-1, 此时方程比原方程便多了一个根x=-1, 这就因为我们在方程两边同乘以了一个含有未知数的整式.
在解分式方程时第一步便在两边乘以了一个含有未知数的整式——最简公分母.当我们所解整式方程的解使最简公分母为零时, 也就是在方程两边乘以了一个值为零的含有未知数的整式, 导致方程产生了增根.
3.增根的检验
由于解分式方程易产生增根, 所以一定要检验所获得的整式方程的解是否使得原分式方程的最简公分母为零, 判断其是原分式方程的解还是原分式方程的增根.但要注意检验并不是解分式方程的最后一步, 最后一步应该是明确指出方程的解的情况, 有解则指出方程的解是什么, 无解也需点明原方程无解.
4.增根的确定
【例1】 分式方程
分析:很多同学会毫不犹豫地填上x=2或x=-2, 这是错误地理解了分式方程增根的定义, 这里的x=2的确使原分式方程的最简公分母为零, 但并不是原分式方程转化后整式方程的解.事实上, 我们解方程就可以发现, 方程只产生了增根x=-2.
【例2】 当m何值时, 分式方程
分析:我们很容易猜测出分式方程可能产生的增根是x=1或x=-1, 只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程, 即可求出相对应的字母m的值.
解:原方程去分母并整理得 (m-2) x=5+m.
假设产生增根x=1, 则有:m-2=5+m方程无解, 所以不存在 m的值, 使原分式方程产生增根x=-1;
假设产生增根x=-1, 则有:2-m=5+m, 解得
时, 分式方程
5.增根与无解
若在解可化为一元一次方程的分式方程时产生增根, 原分式方程必无解.但分式方程的无解并不都是由于产生增根引起的, 如
【例3】 当m=时, 分式方程
原来，检验分式方程是为了防止“无解”出现.
如：=这一方程，我们将方程两边同乘（x-5）（x+5）得x+5=10. 解这个整式方程得x=5，到这一步，或许在你认为就已经结束了，但并非如此. 我们将x=5代入（x-5）（x+5），发现（x-5）（x+5）的值为零，那么这个分式方程就无解了，也就是说：x=5只是x+5=10这个整式方程的解，却不是=这个分式方程的解.这时，=就无解.
看来，分式方程的检验并不是多此一举，而是体现了数学这个学科独有的周密性、严谨性.
那有没有不必检验的情况呢？有！
如：=. 我们把它化简为x-1
=x+1. 这一步，我们是根据分式的基本性质变形的，所以不要检验.
刘老师点评：不少同学对分式方程为什么一定要写出“验根”这样的步骤很不理解，认为在七年级学习一元一次方程时，并没有这样严格的要求，何以到了八年级就提出这样的“多余”步骤呢？从小杨的这篇写作中可以发现，分式方程的验根目的是检验第一步“去分母”可能潜在的风险，也就是说这是对自己解法的一种完善和风险评估，并不像七年级一元一次方程检验那样，仅是检查是否笔误、粗心之类的步骤. 当然，小杨最后指出的从约分的角度解分式方程，由于离开了“去分母”这样的风险步骤，自然也可以不写验根的必要步骤.
1.经历在实际问题中运用分式方程的过程，了解分式方程的意义，体会分式方程的模型思想.
2.会解可化为一元一次方程的分式方程.
3.了解分式方程增根产生的原因，会检验分式方程的根.
4.通过学习分式方程的解法，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，体会数学中的转化思想.
二、重、难点
重点：
(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法.
(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想.
难点：增根产生的原因
三、学习过程
(一)复习并引入新课
1、什么叫方程?什么叫方程的解?
2、阅读课本P76页“交流与发现”，完成课本上的.填空。并思考所列方程有怎样的特点?
(二)探究新知
1、总结分式方程的定义：中含有求知数的方程，叫做分式方程.
巩固练习：判断下列方程中，哪些是分式方程.为什么?
(1)2x+x-15=10(2)x-1x=2
(3)12x+1-3=0(4)2x3+x-12=0
2、阅读课本P77—78例1、例2并思考：
(1)与解一元一次方程有什么异同点?解分式方程必需要.
(2)总结解分式方程的步骤：
巩固练习：解下列分式方程：
(1)(2)
3、自学课本P78—79页例3、例4，进一步熟练解分式方程的步骤.
巩固练习：(1)21-x+1=x1+x
(2)61-x2=31-x
四、当堂小结：
本节课你的收获是：
不足有：
五、当堂测试：
解下列方程
(1)(2)
分式方程的根与增根
能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的根；增根是在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0），那么这个根叫做原分式方程的增根。
例题1：解方程 ①
解：两边同乘以（x+3）（x-3），得
（x+3）（x-3）-18=3（x-3） ②
解这个方程得：x1=-3，x2=6
检验：当x=-3时，（x+3）（x-3）=0，所以x=-3不是原方程的解；
当x=6时，（x+3）（x-3）≠0，左边=，右边=，左边=右边。
所以：x=6是原方程的解。
说明：显然，方程①中未知数的取值范围是x≠3且x≠-3，而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数，所以求得的x值恰好使最简公分母为0，x的值就是增根。本题中方程②的解x=-3，恰好使公分母为0，所以x=-3是方程的增根，x=6是原方程的解。
增根是如何产生的
从例题1可以看出x=-3虽然是整式方程的根，但却使得最简公分母为0，所以不是分式方程的根，而是原分式方程的增根。也就是说，所得的整式方程与原方程已经不是同解方程了。那么，增根就是在去分母的过程中产生的。其实，去分母的依据是等式基本性质，即在等式的两边同时乘以一个不为0的整式，等式仍然成立，而在例题中两边同乘的是一个含有未知数x的整式，也就不能保证它的值一定不为0，我们去分母的时候就已经默许了条件（x+3）（x-3）≠0，才得到整式方程。即所得的整式方程与原方程已经不是同解方程，这样便产生了增根。
例题2：使关于x的方程产生增根的a的值是多少呢？
要正确解答此题就要理解增根是如何产生的，增根是去分母后的整式方程的根，是使原分式方程分母为零的未知数的值。
解：去分母并整理，得：
（a2-2）x-4=0
因为原方程的增根为x=2，
把x=2代入（a2-2）x-4=0，
得a2=4
所以a=±2
说明：做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最好将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值。其实也不仅是分式方程可以产生增根，类似的，可想到若在整式方程（x+3）=0两边同时乘以（x-4），得到（x+3）（x-4）=0也同样会产生增根。由此可知，增根并不是分式方程特有的。
解分式方程如何避免增根
以例题1为例，可将原方式方程通分整理如下：
对于上式中，当（x+3）=0时，分式的分母等于0，此时，分式无意义，所以（x+3）≠0；那么可以继续化简为，即（x-6）=0，得x=6。也就是说，我们可以先把方程的一切非零项移到左边，通过恒等变形将方程的左边化成一个分式，右边是零的形式。然后，再找出分子分母的公因式并约去，就可以得到一个新方程并且与原方程是同解方程。解新方程得到的根就是原方程的根，避免了增根的产生。
不容忽视的增根
分式方程的增根问题与一元二次方程根的几种情况相结合会使问题更加复杂化，也使得这一类问题的答案对学生们而言更加的扑朔迷离。下面通过几个例题解析一下与增根有关的此类问题。
例题3：当k为何值时，方程只有一个实数根，并求出此实数根。
解：原方程可化为：x2+2x-k=0
（1）要原方程只有一个实数根，只要方程x2+2x-k=0有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由Δ=4+4k=0，得k=-1。把k=-1代入x2+2x-k=0，解之得x1=x2=-1
（2）要原方程只有一个实数根，只要方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，
所以由Δ=4+4k>0，得k>-1。
又原方程的增根为x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入x2+2x-k=0，得k=0，或k=3。把k=0代人x2+2x-k=0，解之得x1=0（增根），x2=-2；把k=3代人x2+2x-k=0，解之得x1=1（增根），x2=-3。
综上所述，原方程的根为：
（a）当k=-1时，原方程只有一个实数根x=-1；（b）当k=0时，原方程只有一个实数根x=-2；（c）当k=3时，原方程只有一个实数根x=-3。
在分式方程教学中，教师要深入钻研教材，全面完整地分析分式方程的增根是如何产生的，并引导学生正确理解、完整掌握、准确解答分式方程的增根问题，从而真正提高学生的解题能力，提高教学效果。
了解何为分式方程时, 课本从三个实例让学生根据实际经验得到了三个方程undefined;undefined;undefined, 根据这三个方程先让学生看一看说一说有什么共同特点, 在新教材中, 课本并没有刻意强调分式方程的定义而只是给出形式上的感知。然后学生自己根据对分式方程的认识试一试写出一个分式方程, 从而在潜意识里真正了解什么是分式方程。在这个过程中, 一切以学生的感知为重, 让学生自己感受到分母中含有未知数的方程就是分式方程, 从中让学生经历建模的过程, 经历由具体到一般的抽象、概括分式方程概念的过程, 从而体会分式方程的模型思想。
新课程要求教师从教中解放出来, 让学生自主学习。以学为主, 以教为辅是我在教学过程中要努力做到的标准。在求解分式方程时我先给出一个整式方程, 即24x=20 (x+1) , 学生在解这个整式方程的过程中, 很好的回顾了解法思路, 接着抛出问题:你能解分式方程undefined吗?提示学生观察刚刚解完的整式方程想一想怎么解这个分式方程, 大部分学生发现只要将分式方程undefined的两边同乘各分式的最简公分母x (x+1) , 就可以得到一元一次方程24x=20 (x+1) 。随即给出例题1 解方程:undefined, 让学生通过刚刚的经验自己试一试解题。学生口述, 教师板演解题格式:解:方程两边同乘x (x-2) 得
3 (x-2) -2x=0
解之得 x=6
学生归纳:求分式方程的解, 只要在方程的两边同乘各分式的最简公分母, 有时就可以将分式方程转化成一元一次方程来解。在这个基础之上给出例题2 解方程:undefined, 学生板演解题过程:
解:方程两边同乘3 (x-2) 得
3 (5x-4) =4x+10-3 (x-2)
解之得 x=2
这时, 有学生提出疑问了, 这个解x=2会使原分式方程的分母为0, 大部分学生开始讨论:1, 这个使原分式方程没有意义的解怎么办 2, 怎么会出现这个使原分式方程没有意义的解?教师及时点拨, 为了使原分式方程有意义, 分式方程一定要检验。如果能使原分式方程有意义, 那么求出的就是原方程的解;如果能使原分式方程没有意义, 那么求出的就是增根, 则原方程无解。并且立即在2个例题后面补充检验过程。那么怎么会出现增根的呢?学生观察解题步骤, 一致认同增根产生在去分母这一步。教师点拨:看一看整式方程24x=20 (x+1) 和分式方程undefined中对未知数的取值要求一样吗?进而让学生理解, 正是在分式方程转化成一元一次方程的过程中扩大了未知数的取值范围, 才有了增根的出现, 再次强调解分式方程一定要检验。随即让学生练一练:
undefined
在这个学习解分式方程的过程中让学生经历观察、抽象、类比、猜想等思维过程.所以, 评价应关注学生在这些具体活动中的投入程度——能否积极主动地参与各种活动, 如:在分式方程学习中, 有无检验分式方程根的意识?等等.其次是看学生在这些活动中的思维发展水平——能否独立思考, 能否用数学语言 (分式、分式方程) 表示自己的想法, 能否反思自己的思维过程发现新的问题, 如:解分式方程与解一元一次方程有哪些联系与区别等。
分式方程的难点是 解含字母常量的分式方程。针对含字母常量的分式方程我专门开设了一节课, 在选题上注重让学生观察比较, 逐步提高难度。其中学生的主体地位贯穿于自主学习的始终, 在学习活动中, 要让学生感受到自己是学习的主人, 教师应该同学生一起探索数学知识发生、发展过程以及解题思路。当学生在学习过程中出现了困难, 教师要不时地鼓励学生回顾思路, 有可能的话让学生进行表述, 教师对学生思路中的合理部分给以肯定, 并给出适当的帮助, 让学生觉得只有自己真正参与到课堂教学中来, 才能收到良好的效果。教师先给出例1:若方程undefined的一个解为x=-2, 求代数式k+k-1的值。让学生分析:既然x=-2是这个分式方程的解, 则把它代入方程, 等式成立。解得undefined, 从而undefined。给出例2:若分式方程undefined有增根, 试求m的值。让学生分析:有增根是指x=±2。教师提问:那么可以仿照上一题把x=±2代入分式方程解得m的值吗?从而让学生感知这一题的解题思路和例1有区别, 应该把m先当已知数解得undefined, 再把x=±2代入求出m的值。改变例2:若分式方程undefined无解, 试求m的值。让学生讨论:有增根和无解有区别吗?教师提示:有增根是指定未知数x的值, 无解除了有增根之外对字母常量有范围要求, 因而学生得到在例2的基础之上还要考虑m-1=0, m=1时undefined无意义, 所以原分式方程也无解。给出例3:已知关于x的方程undefined有一个正数解, 求m的取值范围。学生根据比较例1, 例2的经验, 先解得x=6-m。让学生讨论:对于这个分式方程有一个正数解要考虑什么?学生得出:x>0且x≠3, 解得6-m>0且6-m≠3。为师者“授之以鱼不如授之以渔”, 在这里, 仅仅灌输给学生大量的知识是不够的, 通过看一看, 比一比, 试一试, 想一想, 从易到难逐渐让学生掌握吸收知识、消化知识的方法, 才能真正达到事半功倍的教学效果。
昨天设计这一节课时，我先讲解一个例题，并且说出解分式方程的思想编成一段文字，让孩子们记住，并且讲解难点――找最简公分母恶几种情况。然后让同学们练习。但就在昨晚入眠前的那一刻，我改变了主意。
这节课，我让孩子们先做三道典型的题目，由于我没有预先教孩子们怎么做，肯定困难重重，这又何妨呢?我让孩子们自己克服困难去琢磨书本的例题后再来解答例题，很多同学通过观察例题很规范的搞定书后的练习。同时黄杰，懿嘉，芊悦三名同学自觉上台来解答并板书后，让他们给全班讲解这三题的思路。最后当堂检测学习效果。
1、不要怕学生有困难，不要总是给学生理好思路，让孩子模仿;这一节课中，如果按照我先前的设计，可能很多同学都很快掌握，但孩子的学习能力没有实质性提高，没有深度体验到学习的快乐，成了训练的机器。所以这一节课中，让孩子自学，陈芊悦上台前根本就不会做这一题，但她大胆的.走上台，在台上临时学习，自行琢磨书上例题后解答出来最难的一道练习，相信她很有成就感。事实上，很多同学都能通过自学搞定。同时也暴露自己学习中的问题，让大家来帮忙。
2、让孩子们学会倾听;当同学在台上讲解时，下面的同学要仔细听，找到他讲解的漏洞，或者语言表达中的问题。然后提出自己的意见。这一点很多同学做到了，但还要强化少部分同学的这种能力。
3、什么内容适合学生讲解?并不是每一部分内容都适合讲解，同学讲解前，一定是所有的同学对问题有了深入的研究，有了自己的想法思路，然后和讲解者产生共鸣，这样的讲解才有效果。 包括老师给同学讲解前也要遵循同样的道理，所以要先学后教。如果还有少数同学不懂，一定得借力周围的同学去把问题搞懂后再听台上同学讲解。
16.已知关于 的方程 无解，求a的值?
17.已知 与 的.解相同，求m的值?
18.近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨.下面是小明与爸爸的对话：
小明：“爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊!”
爸爸：“是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年5月份的 倍，用 元给汽车加的油量比去年少 升.”
小明：“今年5月份每升汽油的价格是多少呢?”
聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格?
19.武汉一桥维修工程中，拟由甲、乙两各工程队共同完成某项目，从两个工程队的资料可以知道，若两个工程队合作24天恰好完成，若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成，请问：
⑴甲、乙两工程队完成此项目各需多少天?
关键词：增根,整式方程,最简公分母,方程化
在八年级数学分式这一章, 解分式方程中会出现增根的现象而导致分式方程无解, 因此解分式方程时必须检验。而同学们在做相关的练习题时, 有时会遇到无解, 有时会遇到增根, 那么无解与增根到底有怎样的区别呢? 近几年随着考试难度的降低, 这一知识点逐渐淡化出很多人的视线。总体上说分式方程的增根和分式方程分无解是两个不同的概念。
一、概念的意义不同
分式方程的增根是指解分式方程时, 在去分母的过程中, 方程两边都乘以了一个可以使分母为零的整式, 从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值。它是化简后整式方程的根, 但不是分式方程的根, 所以分式方程求解中的检验必不可少。分式方程的无解是无论未知数取何值, 都不能使方程左右两边的值相等。它包含着两种情况: ( 1) 原方程化去分母后的整式方程无解; ( 2) 原方程化去分母后的整式方程有解, 但这个解却使原方程的分母为0, 它是原方程的增根, 从而使原方程无解. 现举例说明如下。
二、分式方程有增根
三、分式方程无解
1. 无解 = 增根
很多同学受思维定式的影响, 会认为只要x的值是原分式方程的增根, 原分式方程无解。事实上原分式方程无解分两种情况讨论。①分母 = 0使分式方程无解; ②化简后的整式方程无解, 使分式方程无解。
如: 把原方程去分母得m - 3 = x - 1
对于这道题而言化简后的整式方程m - 3 = x - 1即x = m - 2永远有解, 所以无解和有增根求得的未知数的值是一样的。
只需把增根x = 1代入m - 3 = x - 1中得m = 3
我们顺利地解决了这道题, 接下来看下面的例子。
2. 无解≠增根
分析: 从两方面考虑分式方程无解的条件是: ①去分母后所得整式方程无解, 即 ( a - 1) x = a无解。
对于这个含字母系数的整式方程 ( a - 1) x = a, 当a - 1 = 0时, 即a = 1会出现0x = 1的情况, 此时方程无解。即无论x取何值, 此时都不存在未知数的值使分式方程的左边 = 右边, 我们说分式方程无解。
此时我们要注意不能求出一种情况就认为自己已经找到了正确答案, 此时还要考虑第②种情况: 分式方程有增根, 即当x = 0时方程无解, 并求出参数a的值为0。
这告诉我们两点: ①当方程中出现无解时要特别小心; ②当化简后的整式方程未知数的系数含有字母时, 更应小心。一定要特别留心未知数的系数是否含有字母, 若未知数的系数含有字母时, 我们一定要小心。
所以增根与无解既有联系又有区别, 考虑问题须全面缜密。方程无解要比方程有增根考虑的情况要多, 参数取得值也多。当然这种情况只限于参数做了未知数的系数。否则取得的值就和上面前两个例子一样了。
参考文献
[1]李亚军.正确理解分式方程的增根[J].中学教学参考, 2009, (11) .
[2]姜官扬.与分式方程根有关的问题分类举例[J].数理化学习 (初中版) , 2005, (07) .
[3]徐根林.分式方程的增根问题[J].中学生数理化 (初一版) , 2002, (12) .
[4]罗鹏江.利用增根求参数的值[J].初中数学教与学, 2008, (10) .
一、一般法
去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程。但要注意,可能会产生增根。所以,必须验根。产生增根的原因:当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解。
例1.解方程：.（2006年·临安市中考题）
分析：在解分式方程的时候，要把分式方程变为整式方程。原方程的两边都要乘最简公分母，在找最简公分母的时候要先把分式方程变形。
解：去分母得2x-5=3(2x-1)，即 2x-5=6x-3。
解之得
检验：当时，最简公分母2x-1≠0。
所以是原方程的解。
评注：在解这个分式方程时一定要注意，方程等号右边的常数3也必须乘最简公分母。
二、换元法
换元法就是恰当地利用换元，将复杂的分式简单化。为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程。
分析本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的
解 设x2＋x=y，原方程可变形为
解这个方程，得y1=－2，y2=1。当y=－2时，x2＋x=－2。
∵Δ＜0，∴该方程无实根；当y=1时，x2＋x=1，
∴ ；经检验，是原方程的根，所以原方程的根是。
三、拆项法
拆项法就是根据分式方程的特点，将组成分式方程的各项或部分项拆项，然后将同分母的项合并使原方程简化。特别值得指出的是，用此法解分式方程很少有增根现象。
解将方程两边拆项，得
即x=－3是原方程的根。
四、因式分解法
因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，从而简化解题过程。
例4.
解 将各分式的分子、分母分解因式，得
∵x－1≠0，∴两边同乘以x－1，得
检验知，它们都是原方程的根。所以，原方程的根为x1=－1，x2=0。
五、配方法
配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。
∴x2±6x＋5=0，
解这个方程，得x=±5，或x=±1。
检验知，它们都是原方程的根。所以，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。
六、运用各自通分法
例7.解方程：。
分析：此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答。观察此方程可以发现，分子均相同，分母按大小排列依次相差2，所以此方程可采用特殊的方法来解。
解：移项，得：方程两边通分，得：
即
方程的两边同乘(y-2)(y-4)(y-6)(y-8)，得：-2(y-6)(y-8)=-2(y-2)(y-4)
即y2-14y+48=y2-6y=8
解之得y=5
经检验,y=5是原方程的解。
∴原方程的解为y=5。
【分式方程选择题】推荐阅读：
《分式方程》教案06-12
分式方程实际问题教案06-13
分式教学设计表单09-06
分式的乘除法教案06-15
一元一次不等式和分式练习题06-20
五上 简易方程复习07-13
日历中方程优秀案例07-01
方程的意义评课07-21
微分方程数值解法07-23
简易方程教学设计07-25
