初中数学难题经典（通用14篇）
第一步：：连接GE，GC交EF与点h。EC平行Gf且相等，GFCE是平行四边形，因为角ABC=120，所以角DAB=60，AE是角平分线，所以角DAE=30，即角CeF=30,、、、、所以四边形GFCE是菱形。所以 CF=CE 第二步：证明△DGC全等△BGE 延长GE到ad边交与点M。因为 角bAE=角BEA=30 所以BE=AB=CD 角BEG=角DCG=120 因为角CEG=60，EC=EG 所以△EGC是等边三角形 即EG=CG 边角边全等。
第三步：: 证明△DGC全等△BDM △AbM是等边三角形 所以BM=AB=DC mD=cE=CG 角BMD=180-60=120=角DCG 边角边全等
第四步：：因为全等所以△BDG是等边三角形。
答案选C
第二种方法：：
第一步：：连接GE，GC交EF与点h。
EC平行Gf且相等，GFCE是平行四边形，因为角ABC=120，所以角DAB=60，AE是角平分线，所以角DAE=30，即角CeF=30,、、、、所以四边形GFCE是菱形。所以 CF=CE 第二步：证明△DGC全等△BGE 延长GE到ad边交与点M。因为 角bAE=角BEA=30 所以BE=AB=CD 角BEG=角DCG=120 因为角CEG=60，EC=EG 所以△EGC是等边三角形 即EG=CG 边角边全等。
第三步：: 证明△DGC全等△BDM △AbM是等边三角形 所以BM=AB=DC mD=cE=CG 角BMD=180-60=120=角DCG 边角边全等
初中数学会考中的难题主要有以下几种:1.思维要求有一定深度或技巧性较强的题目。2.题意新或解题思路新的题目。3.探究性或开放性的数学题。
针对不同题型要有不同的教学策略, 无论解那种题型的数学题, 都要求学生有一定的数学基础知识和基本的解题技能 (对数学概念的较好理解, 对定理公式的理解, 对定理公式的证明的理解;能很熟练迅速地解答出直接运用定理公式的基础题) , 所以对学生进行“双基”训练是很必要的。当然, 初三毕业复习第一阶段都是进行“双基”训练, 但要使学生对数学知识把握得深化和基本技能得到强化, 复习效果才好。
有些老师认为, 对全班进行面上的复习只要复习到中等题就行, 不必进行难题的复习, 那些智力好的学生你不帮他们复习他们也会做, 那些智力差的学生你教他们也白白浪费时间。其实, 学生有一定的数学知识和基本的解题技能也不一定能解出难题, 这是因为从数学基础知识出发到达初中会考中的难题的答案, 或者思维深度要求较高———学生思维深度不够, 或者思路很新———学生从来没有接触过。但很多有经验的初三毕业班的老师的多年的实践证明, 针对难题进行专题复习是很有必要的, 只要复习得好, 对中等以上学生解难题的能力的提高作用是较大的。对此, 我们在第二阶段复习中要对学生针对难题进行思维能力的训练和思路拓宽的训练。当然, 这种训练也要针对学生的“双基”情况和数学题型, 这种训练要注意题目的选择, 不只针对会考, 也要针对学生思维的不足, 一定量的训练是必要的, 但要给出足够的时间给学生进行解题方法和思路的反思和总结, 只有多反思总结, 学生的解题能力才能提高。老师要注重引导, 不能以自己的思路代替学生的思路, 因为每个人解决问题的方法是不一定相同的。
过去, 有些初三毕业班的老师, 在会考复习中, 找来各地各区的模拟题对学生进行一轮轮的训练, 练完讲, 讲完练, 师生都很辛苦, 但效果却不很理想, 这是因为这种题海战术式的复习方法没有做到因材施教, 老师的教学对学生的知识技能及思维能力和对数学题型的针对性都不足。学生没有体现学习的主体性, 也没有足够的时间进行总结和反思。因此, 学生的解题技能和思维能力没有真正得到提高。
有些老师觉得, 会考难题难度大, 考试题型新而难以捉摸。对难题的专题复习就是把今年会考难题以及当年各地各区的模拟考试题中的难题讲练一次。这种以题论题的复习也难以使学生解难题的能力有实质性的提高。
初中数学会考试题的命题者的命题目的是考查我们初中毕业的学生对初中数学基础知识的掌握情况, 试题当然都离不开初中的基础知识。所谓难题, 只是笼上几层面纱, 使我们不容易看到它的真面目。我们老师的任务就是教会我们的学生去揭开那些看起来神秘的面纱, 把握它的真面目。程咬金用三道板斧能在战场上取胜, 我们的学生已经掌握了所有初中数学的基础知识, 有一定的解题技能, 只要我们对学生的引导和训练得当, 我们的学生一定能在考场上取胜。
关键是, 我们对学生的复习训练能使学生对知识融会贯通并强化学生的解题技能, 同时, 我们老师的得当的引导, 学生训练后的反思总结, 对知识的自主构建, 从而把握各类数学难题的实质——跟初中数学基础知识的联系。
对难题进行分类专题复习时, 应该把重点放在对学生进行对数学难题跟基础知识的联系的把握能力的训练以及引导学生迅速正确分析出解题思路这一点上, 并从中培养学生解题的直觉思维。应当先把难题进行分类。然后进行分类训练。在课堂上不必每题都要学生详细写出解题过程, 一类题目写一两题就行了, 其他只要求学生能较快地写出解题思路, 回去再写出详细的解题过程。
我认为可以将初中会考中的难题分以下几类进行专题复习:
第一类:与一到两个知识点联系紧密的难题。
这类难题, 教学的关键是引导学生紧扣与题目相关的知识点, 直到把问题解决。
第二类:综合多个知识点或需要一定解题技巧才能解的难题。
这类难题的教学关键要求学生运用分析和综合的方法, 运用一些数学思想和方法, 以及一定的解题技巧来解答。
第三类:开放性, 探索性数学难题。
无论是开放性还是探索性的数学难题, 教学重点是教会学生把握问题的关键。
第四类:新题型 (近年全国各地初中会考中才出现的题型) 。
初中会考题型再新也离不开初中的基础知识, 所以解这类题的关键是从题意中找到与题目相关的基础知识, 然后, 运用与之相关的基础知识, 通过分析, 综合, 比较, 联想, 找到解决问题的办法。
“零知识证明”
《天方夜谭》里有一个“阿里巴巴与四十大盗”的故事。当强盗向阿里巴巴拷问打开山洞门的咒语时，他想了一个好办法，说：“你们离我一箭之地，用弓箭指着我，你们举起右手我就念咒语打开石门，举起左手我就念咒语关上石门，如果我做不到或逃跑，你们就射死我。”这个方案不会让盗贼损失什么。阿里巴巴也没损失，因为处于一箭之地的强盗听不到他念的咒语，不必担心泄露了秘密，而且他确信自己的咒语有效，也不会发生被射死的悲剧。最后强盗们相信了阿里巴巴吧。
这就是一种“零知识证明”，说的是示证者向验证者表明他知道某种秘密，不仅能使验证者完全确信他的确知道这个秘密，同时还保证一丁点秘密也不泄露给验证者。
零知识证明在社会领域中还有着很多应用。它早在1986年就被A.Fiat和A.Shamir用数学的方法给出了解决方案，并在同年申请了美国专利。由于该理论可能被用于军事领域，专利局被军方密令搁置。6个月后，军方称“该申请发表后会有害于国家安全……所有美國人的研究未经许可而泄露将会被判刑罚款”。不过，这两位作者实际上是在美国申请专利的以色列人，研究也是在以色列的大学里做的。美国军方摆了个大乌龙，虽然两天后撤消了，但还是成了学术界的笑柄。
“平行问题”及法庭招数
回到“世界级数学难题”，你可以用零知识证明来保护自己的权利。当你公开声称你解决了这个难题后，验证者会给你出一个其他的题，而能做出这道题的前提条件是已经解决了那个难题，否则的话无解，而且这个条件是学术界所公认的，这个题就是所谓的“平行问题”。不出所料，你靠着已经解开难题的基础把这个平行问题做出来了，但验证者还是不信，他又出了一道平行问题，你又做出来了。多次较量后，验证者终于确信你解决了那个难题，虽然他并没有看到具体的解法。
大家已经看出来了，零知识证明需要示证者和验证者的密切配合，但如果你只是一个数学界的无名之辈，即使你宣称你解决了数学难题，也不会有人跟你配合着玩零知识证明，那你该怎么办？
这里有一个拿到法庭上都有效的招数，你将证明打印好，选择一个最可靠最权威的邮政公司，把它寄给自己，当你收到这个扣着邮戳的包裹后，不要打开，把它放好，然后就可以把证明寄给数学泰斗。如果他用自己的名义发表了，不必着急，等他依靠其影响力把这个证明炒热后再出手，你上法庭控告他，他当然不承认，在法庭上你将那个没开封的包裹拿出来，上面清清楚楚地盖着时间戳，这就证明了你包裹里的证明是发生在那个时间戳之前的，加上之后的你邮给泰斗论文的邮件存根，和泰斗以自己名义发表论文的时间，三者就构成了一个完整的证据链，泰斗灰头土脸名声扫地，而你大获全胜名利双收。
面试相信是大家都比较头疼的关卡，如果幸运些，你会碰到一个很和蔼的面试官，如果邪恶些，会碰到一个比较难缠的考试官，那么针对后者，该怎么解决呢？
刁钻问题1：能不能谈谈你自己？
险恶用心用这样一个看似简单的问题来打你个出其不意。试想，从小学、中学到大学再到你以前做过的几份工作，你要从何说起呢？一不小心，思维就会陷入混乱，自己都不知道自己在说什么了。
命门：内容松散，语言缺乏逻辑，东一榔头，西一斧子。
破解之术：敌在明，我在暗。稍做考虑，以静制动。不鸣则已，一鸣惊人。让主考官也能感到你的语言练达，思维流畅。
刁钻问题2：你认为自己有哪些优点和缺点？
前车之鉴珍珍有一次不小心着了敌人的道。她在回答这个问题时，不管三七二十一，把自己所有的优点统统罗列出来，对缺点则避而不谈。她以为，不这样怎能长敌人志气灭我之威风呢？结果，在这次对决中琦琦败得很惨。
命门：没有针对性，满嘴跑火车，大话空话连篇，甚至夸张，脱离事实。
破解之术：事实胜于雄辩。用实例列举三到五个和应聘职位有关的优点，并坦率地剖析自己的缺点。比如你可以这样回答：我觉得自己最大的优点就是责任感强。一旦需要去完成一件事情，我必定会全力以赴直至把它做好。当然，这个优点有的时候也会成为我的缺点，因为有时太过于投入而有点工作狂。
刁钻问题3：设想一下五年后的你将是什么样的？
命门：眼高手低，好高骛远，自不量力，夸夸其谈。记住，撒谎乃大忌。一旦主考官发现你在一件哪怕是很小的事情上不够诚实，他会立即封杀你，没有丝毫商量的余地。
破解之术：说到底这还是自我评价的问题。如果所应聘的职位，对自己是一个比较新的领域，凭自己的努力，三到五年内得到升迁应该是比较合理的预测。建议你不妨这样回答：五年是一个相对比较长的时间段，在这五年里我争取学到更多xx（比如市场营销）方面的东西，希望在这一领域有所发展。
刁钻问题4：你的上一份工作是什么？
险恶用心：对手无非想知道你以前做过什么工作，你的这些工作经验和你所应聘的职位是不是相关，以此来决定封杀你还是保留你。
破解之术：必须让对手了解到，你是能够胜任眼前这份工作的。在阐述你从前的工作以及对目前这个职位的看法时一定要谨慎，同时要有“舍我其谁”的魄力。
刁钻问题5：你为什么要辞掉上一份工作？
险恶用心：敌人这招有点狠，一不小心就会让你落进他的圈套。第一，你肯定不能说前任老板和同事的坏话；第二，你也不能把话说得太讨巧，不然有阿谀奉承之嫌。
命门：贬低他人，抬高自己，极尽阿谀奉承之能事。
破解之术：坦率地阐明自己上一次辞职的原因，如公司经营困难或个人能力无法施展等等。你可以这样回答：我本来很喜欢原来那份工作，但后来我渐渐感觉到那份工作不能给我太奇教育广西分校
一个长期发展的空间，我觉得自己应该有更好的发展机会，因为我相信自己可以做得更好。
刁钻问题6：为什么想到我们公司来？
险恶用心：遇到这个问题是，许多MM会说：我想在贵公司学到一些东西——这个回答对考官没有任何意义。你为了自己学到东西才来我们公司的？那这对我们公司又有什么好处呢？或者回答是：对该公司所涉及的领域感兴趣，这样就又被敌人抓住了小尾巴，因为你可以加入任何一家他们竞争对手的公司。
破解之术：知己知彼，才能百战不殆。跟对手过招之前，一定要先对对方和自己的武功造诣有所了解，也就是要尽可能多地了解这家公司的背景和现状。可以这样回答：贵公司是本行业的领头羊，而且行业口碑极好，我自己是一个务实的人，如果能在贵公司的销售部门任职，我相信我的才能可以得到很好的发挥。
刁钻问题7：我们公司目前的最大问题就是„„你对此有何看法？你会如何处理这个问题？
命门：二话不说便急于接招，殊不知对手此乃缓兵之计，意在乱你阵脚。
破解之术：如果万一你觉得实在无法回答时不如直接向对方承认，这并不是什么丢人的事情。另外，别试图用胡编乱造的话来搪塞过关。别忘了坐在你对面的是谁，那可是身经百战、老奸巨滑的面试高手！有时，那些考官们会故意提出一些你无法回答的问题，来试探你的可信度。
推荐武器：条理性和分析能力。
刁钻问题8：你的业务能力如何？
命门：内容空洞，泛泛而谈，花拳绣腿是逃不过对方的火眼金睛的。
破解之术：冰冻三尺，非一日之寒。要想取得这场对决的胜利，你的实力还是最重要的。那些金领manager能有今天的成就和地位，说到底是因为他们有雄厚的专业技术背景。
刁钻问题9：你对你目前的职业生涯满意吗？如果有机会改变现状你会如何调整？
险恶用心：简单地说，对手想了解你目前的生活状态。他想知道，你真的愿意为了事业的发展而做出某种牺牲吗？
破解之术：记住，你做出牺牲的动机很重要，一定要谨慎回答。
刁钻问题10：你希望得到的薪资大概是多少？
险恶用心：有的考官可能从一开始就会提出薪水问题。他巴不得你一拿到这个问题就面露喜色侃侃而谈。——这样就可以尽快跟你拜拜了，免得多浪费时间。
破解之术：不妨在回答完大部分问题之后再回头来谈这个问题。为了转移话题，你可以试着有礼貌地问对方：“我们可不可以过一会再谈这个问题，因为我觉得，在弄清楚这个职位的具体职责之后，才可以就事论事。”
刁钻问题11：你还有什么问题吗？
命门：提出的问题过于直白，如具体工作时间、福利如何、津贴多少等等，这只会让对手藐视你：敢情是这么物质的一个人啊！
破解之术：其实在提出这个问题后，考官最希望听到的回答是“贵公司对员工素质有何要求？”“您觉得我为了实现我的既定目标需要做些什么？”“贵公司对我有什么期望吗？”
太奇教育广西分校
等，因为通过这些问题可以看出应聘者确实是对这份工作感兴趣，而不是只关心这工作能带给你多少物质上的福利。
针对以上总结出平时遇见最刁难的面试官的问题做一一详细讲解，希望大家多多揣摩，对自己以后的面试和朋友的面试有所一定帮助。
这段时间听了几位专家的讲座，受益良多。其中对杭州师范大学巩子坤教授的讲座，印象最深刻。她的体会是:探索教法，研究学法，科学用脑，交流互动，掌握规律，提高能力。其中巩老师重点讲了做好课前预习的重要性和实际做法，我对此深有体会，自己读书时在暑假时已经把下学期数学内容读完了，并能做一些简单的习题，等到老师讲解时，绝大多数都能听懂，少量不懂的内容，课后也能问老师弄明白，考试也得心应手。
现代社会讲究个人的学习能力，活到老学到老。现在新科技日新月异，新手机，新电器，新车新功能，新产品说明书------都要求相关人员学习新知识的能力要强，如果学习新知识的能力差，势必影响对这些新知识的吸收，消化。所以，学习能力是未来的学生需要掌握的核心能力之一。
要学好数学，要把握好以下几要点，对于数学的学习成绩的提高，自学能力的养成，非常有帮助。
(一)要有明确的学习目标
(二)做好课前预习，提高听课效率。
通过预习，了解要学习的课程的主要内容和重、难点，预习的任务是通过初步阅读，先 理解感知新课的内容(如概念、定义、公式、论证方法等)，为顺利听懂新课扫除障碍。
1、预习的最佳时间是晚上的 8：00 到 9：00 这一段时间，单科的预习的时间一般控制 在 15 分钟到 30 分钟左右。
2、课前预习：先看书做到：
一、粗读，先粗略浏览教材的有关内容，了解本节知识的 概貌也就是大体内容。
二、细读，对重要概念、公式、法则、定理反复阅读、体会、思考，注意该知识的形成过程，了解课程的内容的重、难点，新旧知识的联系及新知识在学科体系 中的地位与意义，对难以理解的概念作出记号，以便带着疑问去听课，而后再做练习，通过 练习来检查自己的预习时掌握的情况，最后再带着自己不懂的问题去听课。
(三)听好每一节课，解决疑点，吸纳新知。
耳到：就是专心听讲，听老师如何讲授，如何分析问题，如何归纳总结，另外，还要认 真听同学们的答问，看它是否对自己有所启发。老师对一些重点难点会作出某些语言、强调 的语气，听老师对每节课的学习要求;听知识引人及知识形成过程;听懂重点、难点剖析(尤 其是预习中的疑点);听例题解法的思路和数学思想方法的体现;听好每节课的小结。
眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，接受老师某种动作的提示、以及所要表达的思想。
心到：集中注意力，避免走神，学习目标要明确，增强自己学习自觉性。课堂上用心思 考，跟上老师的教学思路，领会、分析老师是如何抓住重点，解决疑难。老师在讲例题时，在脑海中跟着老师，每一步都得自己想通。多思、勤思，随听随思;深思，即追根溯源地思 考，大胆的提出问题;善思,由听和观察去联想、猜想、归纳;树立批判意识，学会反思。
口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论，也可避免走神。同时有利于知 识的记忆。
手到：记笔记服从听讲，要掌握记录时机，就是在听、看、想、的基础上划出课文的重 点，记下讲课的要点、疑问、记解题思路和方法以及自己的感受或有创新思维的见解、课前 疑点的答、记小结、记课后思考题的分析。笔记要有重点。记录形式多种多样可以在书上或笔记本上划线(直线、曲线)、圈点、作标 记、使用不同颜色的笔(如红色就比较显眼)、记录的格式不同、书写的字体不同，这些都 是记笔记的好方法。
(四)扎实搞好复习，减少遗忘。
当天上完课的课，必须做好当天的复习。不能只停留在一遍遍地看书或笔记，可以采取 回忆式的复习：先把书，笔记合起来，回忆上课时老师讲的内容，例题：分析问题的思路、方法等(也可边想边在草稿本上写)尽量想得完整些。然后打开笔记与书本对照，看一下还 有哪些没记清的，及时把它补记起来。同时也就检查了当天课堂听课的效果如何，也为改进 听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。
通过复习，把自己的想法，思路写成小结、列出图表、或者用提纲摘要的方法，把前后知识 贯穿起来，形成一个完整的知识网。复习中遇到问题，要先想后看(问)。
做好单元复习。利用单元知识系统框架，采取回忆式复习。也要做好单元小节。本单元(章)的知识网络;本章的基本思想与方法(应以典型例题形式将其表达出来);自我体会：对本 章内，自己做错的典型问题应有记载，分析其原因及正确答案(如：错题本)，应记录下来 本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
(五)做好小结或总结，提升对知识的领悟。
在进行单元小结或学期总结时，做到：
一看：看书、看笔记、看习题。通过看，回忆、熟悉所学内容;
二列：列出相关的知识点的框架，标出重点、难点，列出各知识点之间的关系;
三做：有目的、有重点、有选择地解一些各种档次、类型的习题，通过解题再反馈，发 现问题、解决问题。
最后归纳出体现所学知识的各种题型及解题方法(倍速在章末有归纳)。学会总结是数学学习的最高层次。平时放学回家，坚持复习当天所学的内容，加深印象。并做相应的练习题以 巩固上课所学的知识。
对所学知识系统地小结，具体如下：小结的频率：最好就是每周一次，将本周所学的知识进 行系统归纳。小结的内容：可以把识记知识(如概念、公式等)系统化，也可以对题型作归 纳，并附上自己的解题心得和注意事项等。当然可以参考章末小结。
(六)做练习题强化、巩固新的知识结构。
复习中要适当看点题、做点题（可从京翰中考网免费下载）。选的题要围绕复习的中心来选。在解题前，要先回忆 一下过去做过的有关习题的解题思路，在这基础上再做题。
(七)合理安排学习时间
那天，我们去青少年活动中心参加野外丛林冒险拓展活动，一路过去，可谓是一路顺风。我不禁有些小得意，啊哈，也没什么的吧，小菜一碟!这时，我的面前出现了一座让我大惊失色的桥，那就是独木桥!
望着那离地三四米的高大建筑，我的心提到了嗓子眼，屡屡想打退堂鼓。怎么办?现在后悔已经来不及了，终点只有一桥之隔。可是独木桥没有钢丝做扶手，只有一根绳索，若是一不小心，可能有生命危险!我的内心十分矛盾，去还是不去?
看着同学们在上面嬉笑玩耍，听着他们风铃般的笑声。我的心就痒痒的，不管结果如何，我都要试一试!
我带好头盔，系好安全带，坚定地向前走去。在过独木桥的过程中，我的腿抖得厉害，握着绳索的手全是汗。我的牙咬得紧紧的“赵同学，加油，你一定可以的!”我反复做了几次深呼吸，调整心态向前走去。
我小心翼翼地走在上面，生怕一个不小心坠入“万丈深渊”。绳索剧烈地摇晃着，好似一个可怕的魔鬼。我的身体成45度角向后倒，我的呼吸一下子急促起来，额头泌出几滴细汗，我拼了命地抓住绳索，它是我唯一的救命稻草。
我的身体摇晃得厉害起来，我努力将身体保持平衡，侧着身子像一只螃蟹似的横着爬。
在当前高等教育数学学科公共基础科目中, 《高等代数》《微积分》《线性代数》等均属于研究确定性现象的数学分支, 唯独《概率论与数理统计》研究的领域是随机现象。因此, 《概率论与数理统计》的教学也应当与其他数学课程有所区别, 不单单是要讲授概率统计的相关知识点, 更重要的是要向学生传递一种数学思维方式, 将概率论纵横交错的逻辑架构清晰地展现在学生眼前, 使其眼前“豁然开朗”, 感受到“境界的升华”, 进而有效地解决数学难题。
二、概率统计课程教学中的数学难题分析要重视学生数学思维的培养
概率论课程从学生高中时就有所接触, 那为什么学生们在大学阶段更进一步地深入学习《概率论与数理统计》时, 却频频出现学习障碍呢?其中很重要的一点问题, 就在于学生在学习课程知识点时, 缺乏有意识的思维训练, 所掌握的仅仅是零散的知识, 未能从整体上把握该课程常需要应用到的数学解题技巧, 不利于学生整体上的理解, 以致在解题时频频失误。对此, 笔者认为, 在概率统计教学时, 不仅要强调对学生严谨推导问题的归纳能力的培养, 也要将归纳和演绎思维的训练纳入教学目标内, 要综合运用多种教学手段培养学生的数学思维, 使学生的数学应用能力得到本质上的提高。
三、结合概念实际背景融入数学建模思想, 解决数学难题
1.在概率论与数理统计教学中融入数学建模思想的可行性
总体来看, 概率统计教材中所涉及的随机数学问题大致可分为4大类: (1) 随机事件与概率; (2) 随机变量及其函数的概率分布; (3) 大数定律和中心极限定理; (4) 随机变量的数字特征等。教师要深入钻研教材, 结合相关实例来讲解概率论与数理统计的基本理论, 使其确立数学建模的思维理念, 引导学生通过“再思维”来展现数学“活生生”的创造活动, 逐渐深化对相关知识的理解, 进而提高分析问题和解决问题的能力。
2.数学建模解决数学难题的实例分析
教师应当合理地利用教学案例来进行数学难题的讲解, 并以此培养学生运用数学建模思想解题的意识。以报刊亭的收益问题为例:
例题:报刊亭每天清晨从报站批发报纸零售, 晚上将未卖完的报纸退回。每份报纸零售价a元, 批发价b元, 回收价c元, 且a>b>c, 则报刊亭每售出一份报纸可赚取a-b元, 退回一份会赔b-c元, 问如何确定每天批发报纸的数量, 才能获得最大收益。
分析:很明显, 求解批发量需要根据需求量来确定, 也就是说, 报纸的需求量为随机变量, 设报刊亭每天报纸的需求量为X=x份, 批发量为n份, 其概率为P (x) 。而需求量x是随机的, 因此报刊亭的收益也是随机的, 作为优化模型的目标函数, 报刊亭每天获取的最大收益应考虑到其长期 (半年、一年等) 的日平均收入即其期望值 (以下简称为平均收入) 。
由此, 假设报刊亭每日批发n份报纸, 日均收入为S (n) , 若x≤n, 则表示当前报刊亭售出报纸x份, 退回n-x份;若x>n, 则表示报纸完全售出。因此, 平均收入, 建立数学模型后, 只需了解到需求量为x的概率P (x) 、a、b、c的具体值, 就可以求取S (x) max。
在此基础上, 教师还可以进一步提出问题:如模型中需求量x、批发量n取值较大, 将x视为连续变量时应如何求解?学生们综合以上模型及所学连续型随机变量概念, 将概率P (x) 转化为概率密度函数f (x) , 并套用模型S (x) 可得:
进而得出结论:批发量n满足条件
时报刊亭日均收入最高, 因为
因此又可以转化为, 即每份报纸赚钱与赔钱之比越高时, 批发报纸分数也越多。同样的, 指导学生运用离散型随机变量概念解题也可以得出相同结论。
通过报刊亭收益问题建立的数学模型, 还可以大量引用到其他不同的现实问题中, 这对于锻炼学生的思维灵活性及解决数学难题都有着很好的帮助。
四、巧用“逆事件”, 解决数学难题
求解古典概率问题时一般会涉及到基本事件总数、有利事件数等, 从正面探求这些问题往往不易解决, 且学生在复杂的计算中稍不留神, 就会陷入到思维陷阱中, 脑中一团乱麻, 解题就更加麻烦了。对此, 教师应当在教学中指导学生熟练应用“逆事件”解题, 从问题的反面逆向思维上寻求解决数学难题的方案。以下题为例:
例题:已知4个人在旅社住宿, 每个人都等可能地被分配到5个房间中的任一间去住, 问:事件A={4人各住一房}的概率, 事件B={至少有2人同住一房}的概率?
按照一般的解题思路, 首先需要求解A、B事件的有利事件数和基本事件总数, 如事件A包含的有利事件数为P54, ;事件B也同样如此, 。如果问题中住宿人数或房间数进一步增加, 计算也会变得更加繁琐, 甚至出现遗漏或重复计算等情况。在此情况下, 运用逆事件求解就简单多了。如事件B的发生概率可由定理
五、结语
所谓“通达善变”, “通”是数学学习的基础, 是基本保证, 立足通法, 才能准确地应用各种解题技巧, 才能发展可靠的逻辑思维和发散思维, 生出巧法。在大学数学公共基础课程的教学过程中, 教师应当客观准确地把握学生的数学能力状况, 在课堂教学中融入多种解题技巧教学, 帮助学生拓展解题思路, 提高其分析难题与解决难题的能力, 以更好更深入地学习数学知识。
参考文献
[1]教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会课题组.数学学科专业发展战略研究报告[J].中国大学教学, 2005, (3) .
[2]徐海静, 何立官.矩阵思想在《线性代数》教学中的应用[J].西南师范大学学报 (自然科学版) , 2012, (5) .
[3]李毛亲.矩阵乘积的精彩——贯穿于《线性代数》始终的矩阵乘积的教学方法探讨[J].台州学院学报, 2012, (3) .
关键词：整体思想 运用 高中数学难题
现在的高考数学试题，越来越注重基础知识、基本技能以及各种思想方法的考察，尤其是全国高中数学联赛，更注重能力的检验。因此，要达到快速解题的目的就要求学生有灵活的思维方式以及扎实的基本功，数学思想方法的教学尤为重要。某些相对复杂的数学问题，如果从它的各个组成部分逐一分析，有时能找到解题途径。而有意识地拓宽问题的视角，将待解问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式与结构，做某种整体处理，往往能化难为易，化繁为简，化未知为已知，从而达到巧解问题的目的。这种从整体出发研究问题的过程，心理上称之为整体思维，它是一种较高级的思维方式，具有简约性和跳跃性等特征。而整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体代换、整体处理、整体联想、整体补形、整体改造等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。下面我们就整体思想的运用进行一番探究。
一、注意整体表示，切忌单独考虑。
有些问题，如果单独考察个体范围，较易出错。而注意各部分之间的整体表示，容易
得解。
例1、已知 ①，且 ②，求 的范围。
[错解]由(①+②)得： ③，由(①+② （－1）)得： ④③ 4＋④ （－2）得： 。这个答案是错误的，产生错误的原因是单独求 与 的范围时采用了非同解变形，扩大了 与 的取值范围，从而造成错误。
[正解]视 与 为整体，设 ＝ ,
则 ＝ ,故 ＝4， ＝－2，解得 ， ，
即 ＝ ,由①②知： ， ，
故5 10，即5 10。
二、注意整体联系，切忌分割处理。
有些问题如果只考虑单个个体，不易得解。但拓宽视野，从整体上把握这些量之间的关系，找出各个整体之间的联系，则思路更明确，解法更巧妙。
例2、（1996年全国高考题）等差数列 的前 项和 ＝30,前 项和 ＝100,求它的前 项和 。
[解]单独考虑 不易求出 。若视 ＝ 、 、 为整体，可知 、 、 构成等差数列，故2（ ）＝ ＋（ ），从而得 ＝3（ ）＝3 （100－30）＝210。
三、注意整体代换，切忌局部运算。
在解雇某些问题时，如果按常规思路，从个体角度出发思考，很难得解。而突破常规
把其中的一些组合式子视作整体，进行整体代换，从而避免局部运算的困难。
例3、实数 、 满足 ，求的最小值。
[解]单独求 、 是不现实的。原方程可化為：
令 ＋ ＝ ， - = ，可得 ＝ ， ＝ ，由于
故 ， 。从而• ＝ ＝ ＝ ，当 ＝ 时，的最小值为12。
例4、解方程
分析：若采用去分母求解，过程复杂，运算量大。
[解]根据方程特点，采用整体换元，将分式方程化为整式方程来解。
设 = ，则原方程可化为 -4= ，即 ，解得 =5，或 =-1。故 =5，或 =-1，从而得： ， ， ， ，经检验 、 、 、 都是原方程的解。
四、注意整体特征，切忌单独求值。
1、整体形式特征。
有些比较复杂的问题，单独求值比较困难，可先找出整体形式特征，提示出一般规律，再还原成特殊情况，从更高角度解决特殊问题，这也遵循了认知规律。
例5、若 、 ，R，且满足方程 ① 和 ②，求 的值。
[解]虽然不能直接两个方程中求出 、 ，但两个方程形式上有不少共同特征，它们的根之间有一定联系。方程②可化为： ③，比较方程①和③可知 与－2 都是方程 的根，而 在 上为增函数，由于 ，故 ，即 ＝0。
2、整体中的个体特征。
一些问题直接求解较困难，若注意到期中的个体特征，换一个角度思考，问题便迎刃而解。
例6、化简： 。
[解]直接入手很难。注意到 ， ， ， ， ，由倒序相加法， ①，又 ②
①＋②得： ＝ ，故 。
五、注意整体补形，切忌局部求解。
一些问题从局部求解较困难时，可从整体角度出发，补出特殊的整体图形，利用整体性质解决局部问题。
例7、一个三棱锥三条侧棱两两垂直，其长分别为3，4，5，求它的外接球表面积。
[解]直接找三棱锥外接球球心以及求三棱锥外接球半径很困难。拓宽思维角度，注意到三条侧棱两两垂直，把三棱锥补形为长方体，该长方体的一个顶点处三条棱长分别为3，4，5，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，其直径2R即为该长方体的体对角线，即2R= =5 ，故R= ，三棱锥外接球表面积为S= 。
六、注意整体变形，切忌单独对待。
从单个个体出发不易得解时，可变换思维角度，从整体出发来考虑，有时可对整体进行适当的变形，使问题迎刃而解，这种方法即为整体变形法。
例8、求 = + + ，( )的最小值。
[解]， ， 取得最小值时， 的值并不相同，注意到
=( + ) -1，视 + 为整体，令
= + = ，( )，则 ，故原函数化为
=-1+ =( + ) - ，，故当 =- 时，=- 。
七、注意整体考察，切忌片面思维。
对于涉及方程(不等式)有关根的问题，利用函数图像进行整体考察，是解决此类问题的有效方法之一，在数学教学中要引起足够的重视。
例9、若关于 的方程 ２+( ２-1) + -2=0的一根大于1，一根小于-1，求 的取值范围。
分析：运用根的判别式和韦达定理解答此题较为困难。整体考虑，把方程 ２+( ２-1) + -2=0与函数 = ２+( ２-1) + -2起来，利用二次函数的图像解题，则较为容易。
[解]依题意得，抛物线图像开口向上，它与 轴的交点，一个在点(1，0)的右边，一个在点(-1，0) 的左边，故有： =1时， ＜0； =-1时， ＜0，即 ＜0①， ＜0②，由①②得：-2＜ ＜0。
总之，整体思想是系统思想中的整体性原则在数学中的反映，用整体思想解决问题,不是着眼于它的局部特征，而是着眼于它的整体结构,通过对其整体结构包括全部条件和结论，全面、深刻地观察、分析，从宏观上去理解和认识问题的实质，从而挖掘和发现整体结构中的内在联系，从宏观上把握解题的关键。用整体思想解题不仅解题过程简单明快，而且富有创造性。整体思想是一种极其重要的思想方法，也是一种总揽全局的思维方式。灵活运用整体思想能够站得高，看得远，达到化难为易，化繁为简，化未知为已知的效果，帮助我们走出困境。因此，教师在平时的教学中，必须注意整体的思想方法的渗透，使学生逐步树立整体意识，通过不断的训练，强化整体思维，从而促进学生数学解题能力的迅速提高。
参考文献：
1、《中学数学思想方法》钱珮玲 北京师范大学出版社 (2005-08出版)
2、《怎样解题》第三次修订版薛金星主编北京教育出版社
3、《怎样解题》第四次修订版薛金星主编北京教育出版社
4、《整体思想的功能及形成》江兴代安徽教育 1992年09期
5、《运用整体思想 清除思维障碍》石荔枝数学教师 1997年10期
6、2004年-2010年福建省《普通高等学校招生统一考试大纲》
7、2004年-2010年福建省《普通高等学校招生统一考试试题、参考答案》
脑筋急转弯，有一个细胞，1分钟分裂为2个，再过1分钟，又分别分裂为2个，总共分裂为4个。这样，一个细胞分裂成满满一瓶需要1个小时。同样的细胞，如果从2个开始分裂，分裂成一瓶需要几分钟。?答案是什么?脑筋急转弯，作为语言的一种重要形式，它既能测试一个人的反应能力，又能锻炼一个人的思维能力。因而深受大众的喜欢。下面学习啦小编为大家揭晓答案，希望大家喜欢。
脑筋急转弯：有一个细胞，1分钟分裂为2个，再过1分钟，又分别分裂为2个，总共分裂为4个。这样，一个细胞分裂成满满一瓶需要1个小时。同样的细胞，如果从2个开始分裂，分裂成一瓶需要几分钟。
答案：59分钟
“千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。可以预期，“千年大奖问题”将会改变新世纪数学发展的历史进程。
卡儿，(1596-1650)法国哲学家，数学家，物理学家，解析几何学奠基人之一。他认为数学是其他一切科学的理论和模型，提出了数学为基础，以演绎为核心的方法论，对后世的哲学。数学和自然科Х⒄蛊鸬搅司薮蟮淖饔谩?
笛卡儿分析了几何学和代数学的优缺点，表示要寻求一种包含这两门科学的优点而没有它们的缺点的方法，这种方法就是用代数方法，来研究几何问题--解析几何，《几何学》确定了笛卡儿在数学史上的地位，《几何学》提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞生，思格斯把它称为数学的转折点，以后人类进入变量数学阶段。
笛卡儿还改进了韦达的符号记法，他用a、b、c……等表示已知数，用x、y、z……等表示未知数，创造了“=”，“”等符号，延用至今。
笛卡儿在物理学，生理学和天文学方面也有许多独到之处。
一、抓好基础教学，培养学生的学习能力
1.抓好语言教学。语言是语言教学的出发点，在教学实践中往往容易被忽视。在众多的中学里，由于受条件、环境等因素的局限，学生对语言的学习是被动的，除了在课堂上能听到英语外，在课外很少预习、练习和复习。针对这种现状，教师在英语启蒙教育中一定要把英语26个字母、48个音素准确无误地教给学生。一旦学生掌握了学习英语的这根拐杖，有了语言、语调的概念，他们就能学得主动，并且学得富有成效。
2.抓好句型教学。初中课本的每篇课文的前面都安排了句型操作项目。它是语法教学中最典型的一种练习形式，不仅有利于学生上口，而且也便于教师归纳。因此，对这一操作练习形式，教师要抓紧不放松。在句型教学中，教师要根据学生的特点，采取灵活多变的教学方法，充分利用图片、手势、表情、姿态以及幻灯、录音、多媒体信息技术等教学，让学生置身于整个英语教学情景之中，培养他们听、说、读的能力。对一些与汉语表达方式、语序截然不同的句子，要求学生通过熟读、多练、反复背诵，直到能达到灵活运用、牢固掌握之目的。
二、激发学习兴趣，帮助学生克服学习困难
美国著名心理学家、教育家布鲁纳曾说过：“学习的最好刺激乃是对教材的兴趣。”兴趣是推动学生进行学习活动的内在动力。有了兴趣，学生就不会感到英语学习是一种负担。学生初学英语时，由于好奇，有兴趣，劲头也较足，考试成绩也较好。但是，随着年级的增高，学习内容的丰富，学习的困难也就多了起来。尤其是到了初一下学期，有部分学生就开始掉队。教师若不及时正视，不设法加以引导，这部分学生对学好英语就会失去信心，最后只好完全放弃。所以，教师要及时鼓励他们，帮助他们找到克服困难的办法。同时，教师还应精心设计好每一节课，要用最佳的教学方法来教学，并仔细地观察学生听課的反应，努力去吸引学生的注意力。实践证明，学生对所学内容感兴趣并能乐意接受时，听课时注意力高度集中，情绪轻松愉快，学得也就生动活泼。反之，则会思想不集中，注意力涣散，听课情绪烦燥，学习也就被动，甚至做与课堂无关的事。
三、采取有效举措，关心、帮助、爱护后进生
苏联著名教育家、心理学家赞可夫根据他对后进生的长期研究，认为后进生的普遍特点是观察力差，缺乏求知欲。因此，教师要引导学生注意观察英语教学的全过程，寻找学好英语的最佳途径，努力提高英语课堂教学的效率和教学质量。
1.教师要有信心去教好后进生。现在的初中学生大多数都是独生子女，由于各种因素的影响，如家庭条件、家长溺爱、教师的态度、教学方法等，往往无法赶上教师的授课进度，造成一时难以适应。对此，英语教师不要厌恶、嫌弃、轻视他们，要帮助他们树立学习的信心，要相信他们经过师生双方的合作、交流，完全可以克服自己在学习上的困难，并取得进步的。教学活动不仅是传授知识，而且还是师生情感的交流。部分学生一时学习上存在障碍，原因是多方面的，并非都是因为智力因素的限制。教师要体谅他们的困难，要充分理解他们，要帮助他们找出掉队的原因所在，帮助他们树立起克服困难的信心和决心，使他们感到老师是在关心、相信、喜欢、爱护他们，从而让学生树立学好英语的信心。
2.教师要有恒心去帮助后进生。学生学习成绩的好坏主要取决于课堂上对知识的接受和巩固的程度。教师在课堂教学过程中，应注意让后进生多实践，要多安排他们回答一些较容易的问题。对一些难点、难句，可以让他们重复别人的答案，使他们在每节课都能有所收获。这样，后进生的积极性就不会挫伤，学习热情也会随之提高，成绩当然就会有所进步了。
哪知观音已知晓此事，她对悟空说：“求我帮忙也不是那么容易的，谁叫你那样没规矩呢?”
悟空恳求道：“只要您帮我这次忙，以后随您叫我干什么都行。”
观音这才应允：“好吧，你先说说这样的一桶水注入这种钵里，要多少只钵?”
“条件呢?没有条件怎么算?”悟空挤了挤眼睛说。
“好精灵的猴头!”观音笑笑，“这只长方体水桶的底面是边长2.5分米的正方形，高3.6分米，这个钵的容积是6.25毫升。”
“这就好算了，这桶水的体积是：2.5×2.5×3.6=22.5(立方分米)，合22500立方厘米，即22500毫升，这样所需的钵是：22500÷6.25=3600(只)。
“你算的这么快，难道有什么诀窍吗?”
“诀窍倒也谈不上，仅仅是掌握这类题的规律而已，我先求出大体积(水的体积)，再求小体积(钵的体积)，最后根据“大体积÷小体积”则可求得答案。”悟空道。
正在此时，八戒寻来了。观音对他说：“悟空代我做了一道题，做得好极了，你也来做一道题：一个正方体油箱，棱长5分米，把这样一桶油注入容积是12.5毫升的瓶子里，可以装多少瓶?”
八戒张口结舌，无言以答。
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数学史上有个20棵树植树问题，几个世纪以来一直享誉全球，不断给人类智慧的滋养，聪明的启迪，伴随人类文明几个世纪，点缀装饰于高档工艺美术的百花丛中，美丽经久不衰、与日俱增且不断进步，不断发展，在人类文明的进程中更加芬芳娇艳，更加靓丽多采。20棵树植树问题，源于植树，升华在数学上的图谱学中，图谱构造的智、巧、美又广泛应用于社会的方方面面。20棵树植树问题，简单地说，就是：有20棵树，若每行四棵，问怎样种植（组排），才能使行数更多？20棵树植树问题，早在十六世纪，古希腊、古罗马、古埃及等都先后完成了十六行的排列并将美丽的图谱广泛应用于高雅装饰建筑、华丽工艺美术（图1）。进入十八世纪，德国数学家高斯猜想20棵树植树问题应能达到十八行，但一直未能见其发表绘制出的十八行图谱。直到十九世纪，此猜想才被美国的娱乐数学大师山姆·劳埃德完成并绘制出了精美的十八行图谱。
进入20世纪七十年代，两位数学爱好者巧妙地运用电子计算机超越了数学大师山姆·劳埃德保持的十八行纪录，成功地绘制出了精湛美丽的二十行图谱，创造了20棵树植树问题新世纪的新纪录并保持至今（图
3）。
跨入21世纪，20棵树植树问题又被数学家们从新提出：20棵树，每行四棵，还能有更新的进展吗？数学界正翘首以待。随着高科技的与日俱进和更新发展，期望将来人类的聪明智慧与精明才干能突破现在20行的世界纪录，让20棵树植树问题能有更新更美的图谱问世，扮靓新世纪。（摘自重庆邓开朋——中
国教育在线：数学世界三大难题）20棵树的问题可以排成23行
分析前人和计算机的成果，我认为20棵树植树问题可以突破20行，原因是前人和计算机有两个问题没有解决好。一是：外围点尽量少的问题；二是中心点的移动问题，也就是要解决单一的轴对称和中心对称问题。通过研究，我解决了上述的两个问题：外围的点由12个减少到4个。由单一的轴对称和中心对称变成中心点可以移动的复杂图形，成功的绘制了十六到二十三排各种图谱，下面的（图4）和（图5）是二十二和二十三行的图谱，这两个图谱具有代表性，稍加变化可以得到其他不同的十八到二十二行图谱，所以其他图谱略。使20棵树植树问题有了更新的进展。
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，„，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有
多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法
练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有种
新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后
用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙
丙共有种坐法，则共有种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法
练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有种分法.把第二名实习生分配到车间也1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插
入原节目单中，那么不同插法的种数为
2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略
例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展
成直线其余人共有种排法即
ABCDEFGHA
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆
1m 形排列共有An
n
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.前四个特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种
前 排后 排
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不
能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)
练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任
务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位
数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有种排法，再排小集团内部共有种
排法，由分步计数原理共有种排法.小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为2.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种 十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６
个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。
二班三班六班七班
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，m
1插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cn1
练习题：
1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？C9 2.xyzw100求这个方程组的自然数解的组数C10
3十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数
431
2个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法有C5C5,和为偶数的取123123法共有C5。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C5C5C5C5C59
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出
它的反面,再从整体中淘汰.练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一
步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A3种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。
n
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以An(n为均分的 组数)避免重复计数。练习题：
5421将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（C13）C84C4/A2
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排方案种数为十三.合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人
员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有种。
本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做 到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.十四.构造模型策略
例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2
盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有种
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收 到意想不到的结果
练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,十六.分解与合成策略
例16.30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×1
3依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共,每个四面体有
对异面直线,正方体中的8个顶点可连成对异面直线
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题
逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到
问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略
十七.化归策略 例17.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有种。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有选法。
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简
要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题
练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少
种？
B
A
十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
5432
1解:N2A52A4A3A2A1297
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数
是十九.树图策略
例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______
练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅（i1,2,3,4,5）的不同坐法有
多少种？
二十.复杂分类问题表格策略
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均
有且三色齐备,则共有多少种不同的取法解:
一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗
漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效
二十一：住店法策略
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