复数的几何意义学案（推荐5篇）
教学目标
1．掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程． 2．掌握复数乘法的几何意义．
3．让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法． 4．培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力． 教学重点与难点
重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算． 难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握． 教学过程设计
师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的时间，完成以下两道题的演算．（利用投影仪出示）
1．（1-2i）（2+i）（4+3i）；
想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意见．
（教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程）学生板演：
z1·z2=r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）=（r1cosθ1+ir1sinθ1）·（r2cosθ2+ir2sinθ2）
=（r1r2cosθ1cosθ2-r1r2sinθ1sinθ2）+i（r1r2sinθ1cosθ2+r1r2cosθ1sinθ2）=r1r2[（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2] =r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]． 师：很好，你是怎样想出来的？为什么这样想？
生：我们已经学过复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算．根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简． 在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法．我是根据这个思想才想出来的．
师：观察这个问题的已知和结论，同学们能发现有什么规律吗？
生：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的复角等于各复数的辐角的和． 师：利用这个结论，请同学们计算：
这就是复数的三角形式乘法运算公式．
三角形式是由模和辐角两个量确定的，进行乘法运算时要清楚模怎样算？辐角怎样算？ 使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式，辐角不要求一定是主值．
同学们已经了解，复数通过几何表示，把复数与复平面内的点或从原点出发的向量建立起一一对应后，复数不仅取得了实际的解释，而且确实逐步展示了它的广泛应用．我们已经研究了复数加、减法的几何意义，并感觉到了它的用途，请大家讨论一下，学习了复数的三角形式运算对复数乘法的几何意义有什么启发呢？
（同学分组讨论，请小组代表发言．如果条件允许，在学生发言同时，用多媒体辅助教学，演示模伸缩情况，辐角终边的旋转）
生：复数的乘法对应的向量，就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个角θ2（θ2＞0，如果θ2＜0，按顺时针方向旋转一个角|θ2|，再把其模变为原来的r2倍（r2＞1，应伸长；0＜r2＜1，应缩短；r2=1，模长不变），所得的向量就表示积z1·z2．这是复数乘法的几何意义．
师：解此题复数是否一定化成三角形式？
生：复数与从原点出发的向量建立了一一对应关系，无论是代数形式还是三角形式都表示同一个复数和向量，运算结果是一个数，因此不一定化成三角形式，应根据需要来选择．
师：说得好，请同学们写一下解题过程．（找一名同学到黑板板演）
解：所求的复数就是-1+i乘以一个复数z0的积，这个复数z0的模是1，辐角的主值是120°．所求的复数是：（-1+i）·1·（cos 120°+isin 120°）
师：为什么？
生丙：乘数sin30°+icos 30°不是复数三角形式的标准式，应化为cos 60°＋isin 60°，这样才能应用复数乘法的几何意义来解题．
师：同学们应注意到旋转的角度是辐角来确定的，而辐角的大小又是由复数的三角形式的标准式来确定．
同学们开始讨论解决：
生庚：复数运算的几何意义是在复平面内实施的，因此要建立直角坐标系． 师：你分析得正确，如图8－13，建立坐标系．取正方形的边长为单位长1．
生辛：∠B1Ox=∠1，∠B2Ox=∠2，∠B3Ox=∠3，这样，∠1+∠2+∠3=∠B1Ox+∠B2Ox+∠B3Ox．而∠B1Ox，∠B2Ox，∠B3Ox可以分别看作B1，B2，B3三个点对应复数的辐角主值，下面应考虑B1，B2，B3对应复数是什么？
按着老师规定的单位长，B1，B2，B3三点对应的复数分别为1＋i，2＋i，3＋i． 师：好，你先谈到这里，如果单位长度有新的规定，例如边长为2，则三点对应复数分别为2＋2i，4＋2i，6＋2i，并未影响复数的辐角主值的大小，不过计算要繁一些．同学们继续讨论．
生壬：2＋i，3＋i的辐角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，误差较大．根据复数乘法的几何意义，积的辐角等于两个乘数辐角之和，可以先作乘法，看乘积是什么？假若其辐角主值也不是特殊角，但只取一次近似值． 师：你分析得很好，请你计算一下：
过去,教师大多是采用传统的教学方法,即课堂上以老师讲学生听为主. 笔者认为,这样教学,一些问题虽然交待清楚了,但由于学生处于被动地位,仅仅是一听了之,容易使学生在获取知识、学习能力等方面养成依赖性,因而,不同程度地影响了教学效果及对学生探求知识能力方面的培养. 为了改变上述状况,促使学生真正做到动脑、动手、动口,积极主动地学习,笔者采取了让学生先预习教材,课堂上教师提出问题,大家共同讨论,边议、边讲、边练习的做法,目的是指导学生深化对教材的理解,从而提高他们解决问题的能力. 下面就笔者在复数几何意义教学中向学生提出的问题叙述如下.
一、复数的几何表示
( 一) 用复平面内的点来表示复数
( 1) 复数Z = a + bi与复平面内的点() 对应? 复平面内的点( a,b) 对应复数Z = ?
( 2) 什么叫做复平面? 复平面与原来所学的直角坐标平面有什么相同之处? 不同之处?
( 3) 复数能用复平面内的点来表示的依据是什么? 复数与复平面内的点有什么关系?
( 二) 用复平面内的向量来表示复数
( 1) 什么叫做向量? 如何表示? 什么叫做零向量? 它有无确定方向?
( 2) 两向量具备什么条件就相等? 相等的两向量与向量的起点有无关系?
( 3) 相等的两向量对应的两复数有何关系?
( 4) 什么叫做复数的模? 如何计算? 复数的模是实数还是虚数? 能否比较大小?
( 5) 图1中Z1与Z2表示的复数有何关系?
( 6) 如何用几何方法求图2中所表示的复数?
二、复数加、减法的几何意义
复数加、减的几何意义应该以加法的几何意义为基础,因为加法的几何意义弄清楚了,减法的几何意义也就容易解决了. 同时,学生在应用几何意义解决几何问题时又特别容易混淆复数的和( 差) 与复数和( 差) 的模的概念. 所以,在学生对复数加( 减) 法的几何定义有了一定的认识后,教师可以再提出如下问题进行强化:
( 1) 图3中的OZ对应什么? | OZ |对应什么?
( 2) 已知复数Z1= 5 + 3i,Z2= - 2 +4i对应向量OZ1、OZ2,那么Z1Z2和Z2Z1表示的复数各是什么? | Z1Z2|和| Z2Z1| 有何关系?
三、复数乘、除法的几何意义
( 一) 复数的三角形式
( 1) 复数的三角形式是什么? 式中r、θ表示什么? 什么叫做复数的模、幅角、幅角的主值?
( 2) 复数的三角形式与代数形式的互化公式是什么?
( 3) 两个复数相等的模与幅角有什么关系?
( 4) 1 r( cosθ - isinθ) ; 2 - r( cosθ + isinθ) ; 3r( sinθ +icosθ)
123是不是复数的三角形式? 若不是,你会把它们化成复数的三角形式吗?
( 二) 复数乘、除法的几何意义
( 1) 利用数的三角形式进行乘法、除法运算的法则是什么乘法、除法的几何定义是什么?
( 2) 计算2( cos60° + isin60°) ( cos90° + isin90°) ,并说明其几何意义是什么?
( 3) 图3中OZ在其模不变的情况下,绕O点逆时针( 顺时针) 旋转θ角,到达OZ1,OZ1对应的复数Z1与OZ对应的复数Z有何关系?
( 4) 图4中MZ1绕M点逆( 顺) 时针旋转θ角到达MZ2,那么MZ2对应的复数与MZ1对应的复数有何关系?
上述问题的设计,目的是为了使学生明确一个向量MZ1绕着起点M旋转θ角得到MZ2,不论起点是不是原点,MZ2对应的复数与MZ1对应的复数有以下关系: 若MZ1绕M点逆( 顺) 时针旋转θ角到达MZ2,则MZ2对应的复数应为MZ1对应的复数乘( 除) 以一个模为1的复数cosθ + isinθ.
上述问题学完后,为引起学生兴趣,调动学习的积极性,提高学生综合应用、解决问题的能力,特引进“荒岛探宝”这个典型题目,作为复数加、减、乘、除几何意义的综合练习. 有个名叫皮克的青年,在他曾祖父的遗物中,发现了—张羊皮纸,上面记载了关于宝藏的话: 乘船至北纬×× ,西经×× ,即可找到一座荒岛. 岛的北岸有一大片草地,草地上有一棵松树. 从松树P向左前方走一段路,你会遇到一块红石头A,并记住走了多少步;从红石头处向左拐个直角,再走同样长的一段路,到达荒岛上一点,在这里打下第一根桩A'; 然后回到松树P,再向右前方走一段路,你会遇到一块白石头B,记住从P到B走了多少步; 到了白石头向右拐个直角,再走同样长的一段路,到达一点B',在这里立下第二根桩B'; 只要在两根木桩A'和B'正中挖下去,就能找到那个藏有奇珍异宝的宝库. 因为,宝库的位置写得很明确,于是,这个青年就乘船来到那个荒岛上,找到了白石头和红石头,遗憾的是那棵松树却不见了. 因此,他只好狂乱地在草地上挖起来. 由于荒岛太大,一切都是白费力气,他只好两手空空地回去了,你能帮助他找到那个宝库吗?
我们可以这样来求解: 建立复平面,以过A、B的直线作实轴,过AB的中点O作垂直于AB的直线作虚轴( 见图5) .
设 A( - 1,0) ,B( 1,0) ,P( a,b) ,则 OA = - 1,OB = 1,OP = a + bi.
由复数乘法的几何意义知: AP = ( a + bi) + 1,BP = ( a + bi)- 1.
由复数乘法的几何意义知: AA' = AP× ( - i) = ( a + 1 + bi)× ( - i) = b - ( a + 1) i,BB' = BP×i = ( a - 1 + bi) i = - b + ( a 1) i.
由复数加法的几何意义知: OA' = OA + AA' = - 1 + b - ( a +1) i = ( b - 1) - ( a + 1) i,OB' = OB + BB' = 1 + [- b + ( a - 1) i]= ( 1 - b) + ( a - 1) i.
即 A'( b - 1,- a - 1) ,B'( 1 - b,a - 1) ,M( 0,- 1) .
若P在红、白石头的另一边,M( 0,- 1) .
即不管松树位置如何,宝藏的位置是一定的.
A（a，b），B（c，d），则|z1-z2|=|AB|=.让我们一起来看几个关于两复数的差的模的几何意义在解析几何中的常见应用.
应用一：求点的轨迹
例1 求满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹：
（1） |z-（3+4i）|=2；
（2） 2＜|z-（3+4i）|＜3；
（3） |z-1+i|=|z+5+6i|；
（4） |z-1|+|z+1|=4；
（5） |z-1|+|z+1|=2；
（6） |z-2i|-|z+2i|=4；
（7） |z-2i|-|z+2i|=3.
解 设复数z对应的点Z为（x，y）.
（1） 即动点Z（x，y）和3+4i对应的点（3，4）之间的距离为2，即轨迹是以（3，4）为圆心，2为半径的圆.
（2） 轨迹是以（3，4）为圆心，2为半径的圆的外部和以（3，4）为圆心，3为半径的圆的内部，即轨迹是圆环，但不包括边界.
（3） 即动点Z（x，y）到定点（1，-1）和定点（-5，
-6）的距离相等，即轨迹是以定点（1，-1）和定点（-5，
-6）为端点的线段的垂直平分线.
（4）即动点Z（x，y）到定点（1，0）和定点（-1，0）的距离之和是4，又4大于两定点间的距离2，即轨迹是以定点（1，0）和定点（-1，0）为焦点且长轴长是4的椭圆.
（5） 即动点Z（x，y）到定点A（1，0）和定点B（-1，0）的距离之和是2，又2等于两定点间的距离2，即轨迹是以定点（1，0）和定点（-1，0）为端点的线段.
（6）即动点Z（x，y）到定点A（0，2）和定点B（0，-2）的距离之差是4，又4等于两定点间的距离4，即轨迹是以定点（0，2）为端点的一条射线（与同向共线）.
（7） 即动点Z（x，y）到定点（0，2）和定点（0，-2）的距离之差是3，又3小于两定点间的距离4，即轨迹是以定点（0，2）和定点（0，-2）为焦点且实轴长为3的双曲线的下支.?摇
点评 一般地，设复数z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）对应的点分别是A（a，b），B（c，d），则复数z对应的点Z的轨迹如下：
① 若|z-z1|=r，则为圆；
② 若r1＜|z-z1|＜r2，则为圆环，但不包括边界；
③ 若|z-z1|=|z-z2|，则为垂直平分线；
④ 若|z-z1|+|z-z2|=常数，则当常数大于AB时，为椭圆；当常数等于AB时，为线段；当常数小于AB时，不存在；
⑤ 若|z-z1|-|z-z2|=常数，则当常数大于AB时，不存在；当常数等于AB时，为一条射线；当常数小于AB时，为双曲线的一支.
应用二：求轨迹图形的面积
例2 已知复数z同时满足|z|≤2和|z+2i|≤2，求复数z在复平面内对应的点组成的图形的面积.
解 所求的图形是以（0，0）为圆心，2为半径的圆面和以（0，-2）为圆心，2为半径的圆面的公共部分，如右图.
由x2+y2=4，x2+（y+2）2=4，解得交点为（，-）和（-，-2+），
所以S=（y2-y1）dx=[-2+-（-）]dx=-2.
另解 易知∠AOB=120°，扇形AOB的面积和三角形AOB的面积的差的2倍即为所求图形的面积.
应用三：探索动（含参）轨迹是否过定点
例3 已知复数z满足|z-t-it2|=，t是实数，问复数z在复平面内对应的点的轨迹是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，说明理由.
解 因为等式右边大于零，所以轨迹是以（t，t2）为圆心，为半径的动圆，方程为x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0，整理为（x2+y2-4）+（4-2x）t-2yt2=0，要想此方程对任意实数t恒成立，则x2+y2-4=0且4-2x=0且-2y=0，解得x=2，y=0，所以轨迹过定点，且定点坐标为（2，0）.
应用四：求模的值
例4 已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=|z1+z2|=1，求|z1-z2|的值.
解 设复数z1，z2，z1+z2在复平面内分别对应点A，B，C，则OACB为平行四边形.
由题设及几何意义，知|OA|=|OB|=|OC|=1，|z1-z2|=|AB|，则△OAC为等边三角形，则∠OAC=60°，所以∠AOB=180°-60°=120°.
在△AOB中，由余弦定理知|z1-z2|=|AB|=.
点评 在△AOB和△AOC中分别由余弦定理及几何意义，可得|z1+z2|2+|z1-z2|2=2（|z1|2+|z2|2）.
应用五：求模的最值
例5 （1） 已知|z|=1，求|z-3-4i|的最大值和最小值.
（2） 已知|z+1+i|=|z-1+i|，求|z-2-3i|的最小值.
（3） 已知|z+i|+|z-i|=2，求|z+1+i|的最大值和最小值.
（4） 已知|z-2|+|z+2|=6，求|z+2|的最小值和最大值.
（5） 已知|z-1|=|z-i|，求：①|z-2-i|+|z-1|的最小值；②|z-2-i|-|z-1|的最大值.
解 （1） 就是求单位圆上的点到点（3，4）的距离的最大值和最小值，故最大值为6，最小值为4.
（2） 就是求以（-1，-1）和（1，-1）为端点的线段的垂直平分线，即y轴上的点到点（2，3）的距离的最小值，故为2.
（3） 就是求以（0，1）和（0，-1）为端点的线段上的点到点（-1，-1）的距离的最大值和最小值，故最大值为，最小值为1.
（4） 就是求以（2，0）和（-2，0）为焦点且实轴长为6的椭圆上的点到左焦点（-2，0）的距离的最小值和最大值，故最小值为1，最大值为5.
（5） 复数z对应的点Z的轨迹是以（1，0）和（0，1）为端点的线段的垂直平分线，方程为y=x.
① 即求Z到点A（2，1）和B（1，0）的距离之和的最小值.设B关于直线y=x的对称点是B1（0，1），则ZA+ZB=ZA+ZB1≥AB1，当且仅当Z，A，B1三点共线时，取得最小值AB1=2；
② 即求Z到点A（2，1）和B（1，0）的距离之差的最大值.ZA-ZB≤AB，当且仅当Z，A，B三点共线时，取得最大值AB=.
点评 对于（5），求和的最小值时，一般把两点转化在直线的异侧；求差的最大值时，一般把两点转化在直线的同侧.
应用六：证明模的不等式
例6 已知复数z1，z2，求证：||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|
+|z2|.
解 设复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，由几何意义知|z1-z2|=|AB|，|z1|=|OA|，|z2|=|OB|.
当，同向共线时，左边不等式取等号；
当，异向共线时，右边不等式取等号；
当，不共线时，O，A，B组成三角形，由三角形中两边之和大于第三边，得|OA|+|OB|＞|AB|，即|z1|+
|z2|＞|z1-z2|；由三角形中两边之差的绝对值小于第三边，得||OA|-|OB||＜|AB|，即||z1|-|z2||＜|z1-z2|.由传递性可得||z1|-|z2||＜|z1-z2|＜|z1|+|z2|.
综上所述，原不等式成立.
点评 同理，可证得||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.
应用七：求参数的范围
例7 已知z1=1+2ai，z2=a-i，A={z||z-z1|≤1}，B={z||z-z2|≤2}，且A∩B=?堙，求实数a的范围.
解 集合A是以C（1，2a）为圆心，1为半径的圆上及内部的点的集合，集合B是以D（a，-1）为圆心，2为半径的圆上及内部的点的集合，由已知得两圆外离，故|CD|＞1+2，即a＞1或a＜-.
应用八：求复数的值例8 已知复数z满足|z-5i|=|z-1+2i|=|z+3+4i|，求复数z.
解 因为复数z在复平面内对应的点Z到三定点A（0，5），B（1，-2），C（-3，-4）的距离相等，所以点Z应是两条垂直平分线的交点.由BC垂直平分线方程2x+y+5=0和AC垂直平分线方程x+3y=0，得点Z的坐标为（-3，1），即z=-3+i.
点评 点Z实际上是△ABC的外接圆的圆心.
两个复数的差的模的几何意义是：复平面内与这两复数对应的两点之间的距离.即设复数z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）在复平面内对应的点分别是
A（a，b），B（c，d），则|z1-z2|=|AB|=.让我们一起来看几个关于两复数的差的模的几何意义在解析几何中的常见应用.
应用一：求点的轨迹
例1 求满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹：
（1） |z-（3+4i）|=2；
（2） 2＜|z-（3+4i）|＜3；
（3） |z-1+i|=|z+5+6i|；
（4） |z-1|+|z+1|=4；
（5） |z-1|+|z+1|=2；
（6） |z-2i|-|z+2i|=4；
（7） |z-2i|-|z+2i|=3.
解 设复数z对应的点Z为（x，y）.
（1） 即动点Z（x，y）和3+4i对应的点（3，4）之间的距离为2，即轨迹是以（3，4）为圆心，2为半径的圆.
（2） 轨迹是以（3，4）为圆心，2为半径的圆的外部和以（3，4）为圆心，3为半径的圆的内部，即轨迹是圆环，但不包括边界.
（3） 即动点Z（x，y）到定点（1，-1）和定点（-5，
-6）的距离相等，即轨迹是以定点（1，-1）和定点（-5，
-6）为端点的线段的垂直平分线.
（4）即动点Z（x，y）到定点（1，0）和定点（-1，0）的距离之和是4，又4大于两定点间的距离2，即轨迹是以定点（1，0）和定点（-1，0）为焦点且长轴长是4的椭圆.
（5） 即动点Z（x，y）到定点A（1，0）和定点B（-1，0）的距离之和是2，又2等于两定点间的距离2，即轨迹是以定点（1，0）和定点（-1，0）为端点的线段.
（6）即动点Z（x，y）到定点A（0，2）和定点B（0，-2）的距离之差是4，又4等于两定点间的距离4，即轨迹是以定点（0，2）为端点的一条射线（与同向共线）.
（7） 即动点Z（x，y）到定点（0，2）和定点（0，-2）的距离之差是3，又3小于两定点间的距离4，即轨迹是以定点（0，2）和定点（0，-2）为焦点且实轴长为3的双曲线的下支.?摇
点评 一般地，设复数z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）对应的点分别是A（a，b），B（c，d），则复数z对应的点Z的轨迹如下：
① 若|z-z1|=r，则为圆；
② 若r1＜|z-z1|＜r2，则为圆环，但不包括边界；
③ 若|z-z1|=|z-z2|，则为垂直平分线；
④ 若|z-z1|+|z-z2|=常数，则当常数大于AB时，为椭圆；当常数等于AB时，为线段；当常数小于AB时，不存在；
⑤ 若|z-z1|-|z-z2|=常数，则当常数大于AB时，不存在；当常数等于AB时，为一条射线；当常数小于AB时，为双曲线的一支.
应用二：求轨迹图形的面积
例2 已知复数z同时满足|z|≤2和|z+2i|≤2，求复数z在复平面内对应的点组成的图形的面积.
解 所求的图形是以（0，0）为圆心，2为半径的圆面和以（0，-2）为圆心，2为半径的圆面的公共部分，如右图.
由x2+y2=4，x2+（y+2）2=4，解得交点为（，-）和（-，-2+），
所以S=（y2-y1）dx=[-2+-（-）]dx=-2.
另解 易知∠AOB=120°，扇形AOB的面积和三角形AOB的面积的差的2倍即为所求图形的面积.
应用三：探索动（含参）轨迹是否过定点
例3 已知复数z满足|z-t-it2|=，t是实数，问复数z在复平面内对应的点的轨迹是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，说明理由.
解 因为等式右边大于零，所以轨迹是以（t，t2）为圆心，为半径的动圆，方程为x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0，整理为（x2+y2-4）+（4-2x）t-2yt2=0，要想此方程对任意实数t恒成立，则x2+y2-4=0且4-2x=0且-2y=0，解得x=2，y=0，所以轨迹过定点，且定点坐标为（2，0）.
应用四：求模的值
例4 已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=|z1+z2|=1，求|z1-z2|的值.
解 设复数z1，z2，z1+z2在复平面内分别对应点A，B，C，则OACB为平行四边形.
由题设及几何意义，知|OA|=|OB|=|OC|=1，|z1-z2|=|AB|，则△OAC为等边三角形，则∠OAC=60°，所以∠AOB=180°-60°=120°.
在△AOB中，由余弦定理知|z1-z2|=|AB|=.
点评 在△AOB和△AOC中分别由余弦定理及几何意义，可得|z1+z2|2+|z1-z2|2=2（|z1|2+|z2|2）.
应用五：求模的最值
例5 （1） 已知|z|=1，求|z-3-4i|的最大值和最小值.
（2） 已知|z+1+i|=|z-1+i|，求|z-2-3i|的最小值.
（3） 已知|z+i|+|z-i|=2，求|z+1+i|的最大值和最小值.
（4） 已知|z-2|+|z+2|=6，求|z+2|的最小值和最大值.
（5） 已知|z-1|=|z-i|，求：①|z-2-i|+|z-1|的最小值；②|z-2-i|-|z-1|的最大值.
解 （1） 就是求单位圆上的点到点（3，4）的距离的最大值和最小值，故最大值为6，最小值为4.
（2） 就是求以（-1，-1）和（1，-1）为端点的线段的垂直平分线，即y轴上的点到点（2，3）的距离的最小值，故为2.
（3） 就是求以（0，1）和（0，-1）为端点的线段上的点到点（-1，-1）的距离的最大值和最小值，故最大值为，最小值为1.
（4） 就是求以（2，0）和（-2，0）为焦点且实轴长为6的椭圆上的点到左焦点（-2，0）的距离的最小值和最大值，故最小值为1，最大值为5.
（5） 复数z对应的点Z的轨迹是以（1，0）和（0，1）为端点的线段的垂直平分线，方程为y=x.
① 即求Z到点A（2，1）和B（1，0）的距离之和的最小值.设B关于直线y=x的对称点是B1（0，1），则ZA+ZB=ZA+ZB1≥AB1，当且仅当Z，A，B1三点共线时，取得最小值AB1=2；
② 即求Z到点A（2，1）和B（1，0）的距离之差的最大值.ZA-ZB≤AB，当且仅当Z，A，B三点共线时，取得最大值AB=.
点评 对于（5），求和的最小值时，一般把两点转化在直线的异侧；求差的最大值时，一般把两点转化在直线的同侧.
应用六：证明模的不等式
例6 已知复数z1，z2，求证：||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|
+|z2|.
解 设复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，由几何意义知|z1-z2|=|AB|，|z1|=|OA|，|z2|=|OB|.
当，同向共线时，左边不等式取等号；
当，异向共线时，右边不等式取等号；
当，不共线时，O，A，B组成三角形，由三角形中两边之和大于第三边，得|OA|+|OB|＞|AB|，即|z1|+
|z2|＞|z1-z2|；由三角形中两边之差的绝对值小于第三边，得||OA|-|OB||＜|AB|，即||z1|-|z2||＜|z1-z2|.由传递性可得||z1|-|z2||＜|z1-z2|＜|z1|+|z2|.
综上所述，原不等式成立.
点评 同理，可证得||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.
应用七：求参数的范围
例7 已知z1=1+2ai，z2=a-i，A={z||z-z1|≤1}，B={z||z-z2|≤2}，且A∩B=?堙，求实数a的范围.
解 集合A是以C（1，2a）为圆心，1为半径的圆上及内部的点的集合，集合B是以D（a，-1）为圆心，2为半径的圆上及内部的点的集合，由已知得两圆外离，故|CD|＞1+2，即a＞1或a＜-.
应用八：求复数的值例8 已知复数z满足|z-5i|=|z-1+2i|=|z+3+4i|，求复数z.
解 因为复数z在复平面内对应的点Z到三定点A（0，5），B（1，-2），C（-3，-4）的距离相等，所以点Z应是两条垂直平分线的交点.由BC垂直平分线方程2x+y+5=0和AC垂直平分线方程x+3y=0，得点Z的坐标为（-3，1），即z=-3+i.
点评 点Z实际上是△ABC的外接圆的圆心.
1. 求满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹：
（1） |z+5-6i|=|z-1+2i|；
（2） |z-3+i|=2；
（3） |z-i|+|z+i|=4；
（4） |z-i|+|z+i|=2；
（5） |z-i|-|z+i|=2；
（6） |z-i|-|z+i|=1.
2. （1） 已知|z+1-i|=1，求|z|的最值；
（2） 已知|z-i|≤1，求|z+4+2i|的最值；
（3） 已知|z-1-2i|=|z-1+2i|，求|z+5+3i|的最小值.
3. 设集合A={（x，y）|（x+2）2+（y-3）2≤4}，B=（x，y）|（x+1）2+（y-m）2＜，且A∩B=B，求实数m的取值范围.
1. （1）直线（垂直平分线）；（2） 圆；（3） 椭圆；（4） 线段；（5） 射线；（6） 双曲线的下支.
2. （1） 最大值为+1，最小值为-1；（2） 最大值为6，最小值4；（3）3.
3. 3-≤m≤3+.1. 求满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹：
（1） |z+5-6i|=|z-1+2i|；
（2） |z-3+i|=2；
（3） |z-i|+|z+i|=4；
（4） |z-i|+|z+i|=2；
（5） |z-i|-|z+i|=2；
（6） |z-i|-|z+i|=1.
2. （1） 已知|z+1-i|=1，求|z|的最值；
（2） 已知|z-i|≤1，求|z+4+2i|的最值；
（3） 已知|z-1-2i|=|z-1+2i|，求|z+5+3i|的最小值.
3. 设集合A={（x，y）|（x+2）2+（y-3）2≤4}，B=（x，y）|（x+1）2+（y-m）2＜，且A∩B=B，求实数m的取值范围.
1. （1）直线（垂直平分线）；（2） 圆；（3） 椭圆；（4） 线段；（5） 射线；（6） 双曲线的下支.
2. （1） 最大值为+1，最小值为-1；（2） 最大值为6，最小值4；（3）3.
air 空气 airs 风度、神气
ash 灰烬 ashes 骨灰
beef 牛肉 beeves 食用牛，菜牛
blue 兰色 blues 烦闷，忧郁
brain 脑髓 brians 脑力
colour 颜色 colours 旗帜
compass 罗盘 compasses 圆规
content 容量，内容 contents 目录
custom习惯，风俗 customs 海关，关税
damage 损害 damages 赔偿金
drawer 抽屉 drawers 衬裤
effect 效果 effects 动产，家产
copper 铜 coppers 铜线
fetters 囚禁，束缚 fetter 脚镣
experiences 经历 experience 经验
foots 渣滓 foot 脚
force 力 forces 军队，兵力
fund 资金 funds 现金
green 绿色 greens 蔬菜
ground 土地 grounds 根据，理由
gut 肠子 guts 内脏，内容，勇气
heaven 天国 heavens 天空
honour 荣誉 honours 优等成绩
iron 铁 irons 镣铐
letter 信，字母 letters 文学
line 行 lines 诗歌
look 脸色，看 looks 容貌
manner 方式 manners 礼貌
minute 分钟 minutes 会议记录
moral 教训 morals 品行
oil 油 oils 油画
pain 痛苦 pains 辛苦，努力
part 部分 parts 才能
physic 药品 physics 物理
premise 前提 premises 房屋
quarter 四分之一 quarters 住宅
return 回来 returns 利润
sand 沙 sands 沙滩
saving 节约 savings 储金
scale 风度 scales 天平
silk 绸 silks 绸衣
spectacle 景象 spectacles 眼镜
spirit 精神 spirits 烈酒
step 步骤，脚步 steps 台阶
time 时间times 时代
troop 群，队 troops 军队
water 水 waters 海洋
wit 有才能的人 wits 智力
学案 第九编 解析几何 主备人 张灵芝 总第50期
§9.8 抛物线
班级 姓名 等第
基础自测
1.设a≠0,a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为.2.若抛物线y=2px的焦点与椭圆2x26+
y22=1的右焦点重合，则p的值为
.3.抛物线y2=24ax(a＞0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为.4.若双曲线x2316yp22=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为.5.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于.例题精讲
例1 已知抛物线y=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小2值，并求出取最小值时P点的坐标.例2已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A（m,-3）到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程.99
例3 如图所示,设抛物线方程为x=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点,过M 引抛物线的切线,切2点分别为A,B.(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列；
(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=410.求此时抛物线的方程.巩固练习
1.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为.2.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），但|AF|+|BF|=8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q（6，0），求此抛物线的方程.3.已知以向量v=1,为方向向量的直线l过点0,，抛物线C：y=2px（p＞0）的顶点关于直线l的24152 100 对称点在该抛物线的准线上.（1）求抛物线C的方程；
（2）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m,直线OB与直线m交于点N，若
2，试求点N的轨迹方程.OA·OB+p=0（O为原点，A、B异于原点）
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