九年级下册相似三角形

九年级下册相似三角形（共10篇）

九年级下册相似三角形 篇1

相似三角形说课稿

今天，我的说课将分三大部分进行：

一、说教材;

二、说教学策略;

三、说教学程序。

一、说教材

从教材地位、学习目标、重点难点、学情分析、教学准备五个方面阐述

1、本课内容在教材中的地位

本节教学内容是本章的重要内容之一。本节内容是在完成对相似三角形的判定条件进行研究的基础上，进一步探索研究相似三角形的性质，从而达到对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究。从知识的前后联系来看，相似三角形可看作是全等三角形的拓广，相似三角形的性质研究也可看成是对全等三角形性质的进一步拓展研究。另外相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，也是今后研究圆中线段关系的有效工具。

从新课程对几何部分的编写来看，几何知识的结论较之老教材已经大为减少，教材首要关注的不是掌握多少几何知识的结论，相对更重视的是对学生合情推理能力的训练与培养。从这个角度上说，不论是全等还是相似，教材只是将它们作为训练学生合情推理的一个有效素材而已，正因为此，本节课应重视学生有条理的思考及有条理的表达。

2.学习目标

知识与技能方面：

探索相似三角形、相似多边形的性质，会运用相似三角形、相似多边形的性质解决有关问题;

过程与方法方面：

培养学生提出问题的能力，并能在提出问题的基础上确定研究问题的基本方向及研究方法，渗透从特殊到一般的拓展研究策略，同时发展学生合情推理及有条理地表达能力。

情感态度与价值观方面：

让学生在探求知识的活动过程中体会成功的喜悦，从而增强其学好数学的信心。

3.教学重点、难点

立足新课程标准和学生已有知识经验、数学活动经验，我确立了如下的教学重点和难点。

教学重点：相似三角形、相似多边形的性质及其应用

教学难点：①相似三角形性质的应用;

②促进学生有条理的思考及有条理的表达。

4.学情分析

从七上开始到现在，学生已经经历了一些平面图形的认识与探究活动，尤其是全等三角形性质的探究等活动，让学生初步积累了一定的合情推理的经验与能力，这是学生顺利完成本节学习内容的一个有利条件。

对相似形的性质的结论，学生是有生活经验与直观感受的。比如说两幅大小不等的中国地图，如果其相似比为2：1，我们在较大的地图上量出北京到南京的图上距离为4cm，问在较小的地图上北京到南京的图上距离是几厘米?学生肯定知道是2cm，这个问题中学生又没有学过相似形的性质，他怎么会知道呢?从中可以看出学生对比例尺的理解实际上是基于生活经验的。再比如说，如果你找一个没学过相似形性质的学生来问他：如果用放大镜将一个小五角星的边长放大到原来的5倍，则这个小五角星的周长被放大到原来的几倍?面积被放大到原来的几倍?这些问题学生基本上能给出较准确的回答。其实这就是学生对相似形性质的一种生活化的直观感受。

大家知道，源于学生原有认知水平和已有生活经验的教学设计才更能激发学生学习的内驱力，从而取得良好的教学效果。所以本节课在教学设计过程中不能把学生当作是对相似形的性质一无所知的，而是应在充分尊重学生已有的生活经验的基础上展开富有成效的教学设计。

5.教学准备

教师：直尺、多媒体课件

学生：必要的学习用具

二、说教学策略

从设计的指导思想、教学方法、学习方法三方面阐述

新课程标准指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者，那么如何让学生在教学过程中真正成为学习的主人，同时教师在教学过程中又引导什么，与学生如何合作?这就是我这节课处理教学设计时的指导思想。为了更好地体现学生主体教师主导的地位，我打算从两条主线进行教学设计：一是从知识研究的大背景出发，结合知识的生长点拓展延伸、合理整合、组织教学;二是从尊重学生已有的知识与生活经验出发，利用学生已有的生活本能体验感受相似形的一系列性质的结论，并在此基础上创设教学情境，组织教学。力图将这两条线索有机融合，行成完整的教学体系。

采取引导发现法进行教学，充分发挥教师的主导作用与学生的主体作用，加强知识发生过程的教学，环环紧扣、层层深入，逐步引导学生观察、比较、分析，用探索、发现的方法，使学生在掌握知识的同时，逐步形成技能。

有一位教育家说过：教给学生良好的学习方法比直接教给学生知识更重要。本节课教给学生的学习方法有：提出问题，感受价值，探究解决的研究问题的基本方法，从特殊到一般的拓展研究方法等。以此发展学生思维能力的独立性与创造性，逐步训练学生由被动学会变成主动会学。

三、说教学程序

(一)类比研究，明确目标

师：同学们，回顾我们以往对全等三角形的研究过程，大家会发现，我们对一个几何对象的研究，往往从定义、判定和性质三方面进行。类似的我们对相似三角形的研究也是如此。而到目前为止，我们已经对相似形进行了哪些方面的研究呢?

生：已经研究了相似三角形的定义、判别条件。

师：那么我们今天该研究什么了?

生：相似三角形的性质。

设计意图：

从几何对象研究的大背景出发，给学生一个研究问题的基本途径。从而让学生自然明白本节课的学习目标：相似三角形的性质。

(二)提出问题，感受价值，探究解决

师：就你目前掌握的知识，你能说出相似三角形的1-2条性质吗?并说明你的依据。

生：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。根据是相似三角形的定义。

师：对于相似三角形而言，边和角的性质我们已经得到，除边角外你认为还有哪些量之间的性质值得我们研究呢?

设计意图：

我们常常会说：提出问题比解决问题更重要。但是作为教师，我们应该清醒地认识到，学生提出问题的能力是需要逐步培养的。此处设问就是要培养学生提出问题的能力。我希望学生能提出周长、面积、对应高、对应中线、对应角平分线之间的关系来研究，甚至于我更希望学生能提出所有对应线段之间的关系来研究。估计学生能提出这其中的一部分问题。如果学生能提出这些问题(如相似三角形周长之比等于相似比等)，就说明他的生活经验的直觉已经在起作用了。如果学生提不出这些问题，说明他的生活直觉经验还没有得到激发，我可以利用前面提到的放大镜问题、大小两幅地图问题等逐步启发，激发学生的一些源自生活化的思考，从而回到预设的教学轨道。

师：对于同学们提出的一系列有价值的问题，我们不可能在一节课内全部完成对它们的研究，所以我们从中挑出一部分内容先行研究。比如我们来研究周长之比，面积之比，对应高之比的问题。

师：为了让同学们感受到我们研究问题的实际价值。我们来看一个生活中的素材：

给形状相同且对应边之比为1：2的两块标牌的表面涂漆。如果小标牌用漆半听，那么大标牌用漆多少听?

师：(1)猜想用多少听油漆?(2)这个实际问题与我们刚才的什么问题有着直接关联?

生：可能猜半听、1听、2听、4听等。同时学生能感受到这是与相似三角形面积有关的问题。

设计意图：从学习心理学来说，如果能知道自己将要研究的知识的应用价值，则更能激发起学生学习的内在需求与研究热情。

师：同学们的猜测到底谁的对呢?请允许老师在这儿先卖个关子。让我们带着这个疑问来对下面的问题进行研究。到一定的时候自然会有结论。

情境一：如图，ABC∽DEF，且相似比为2：1，DE、EF、FD三边的长度分别为4，5，6。(1)请你求出ABC的周长(学生只能用相似三角形对应边成比例求出ABC的三边长，然后求其周长)

(2)如果DEF的周长为20，则ABC的周长是多少?说出你的理由。(通过这个问题的研究，学生已经可以得到相似三角形周长之比等于相似比的结论)

(3)如果ABC∽DEF，相似比为k：1，且DEF三边长分别用d、e、f表示，求ABC与DEF的周长之比。

结论：相似三角形的周长之比等于相似比。

情境二：

师：相似三角形周长比问题研究完了，下面我们该研究什么内容了?

生：面积比问题。

师：那么对于相似三角形的面积比问题你打算怎样进行研究?请你在独立思考的基础上与小组同学一起商量，给出一个研究的基本途径与方法。

设计意图：人类在改造自然的过程中，会遇到很多从未见过的新情境、新课题。当我们遇到新问题的时候，确定研究方向与策略远比研究问题本身更有价值。如果你的研究方向与研究策略选择错误的话，你根本就不可能取得好的研究成果。而这种确定研究问题基本思路的能力也是我们向学生渗透教育的重要内容。所以对于相似三角形面积比的研究，我认为让学生探索所研究问题的基本走向与策略远比解题的结论与过程更有价值。

(师)在学生交流的基本研究方向与策略的基础上，与学生共同活动，作出两个三角形的对应高，通过相似三角形对应部分三角形相似的研究得到相似三角形的对应高之比等于相似比的结论。进而解决相似三角形的面积比等于相似比的平方的问题。体现教材整合。

(三)拓展研究，形成策略，回归生活

拓展研究一：由相似三角形对应高之比等于相似比，类比研究相似三角形对应中线、对应角平分线之比等于相似比的性质;(留待下节课研究，具体过程略)

拓展研究二：由相似三角形研究拓展到相似多边形研究

师：通过上述研究过程，我们已经得到相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。那么这些结论对一般地相似多边形还成立吗?下面请大家结合相似五边形进行研究。

情境三：如图，五边形ABCDE∽五边形A/B/C/D/E/，相似比为k，求其周长比与面积之比。

说明：对于周长之比，可由学生自行研究得结论。对于面积之比问题，与前面一样，先由学生讨论出研究问题的基本方向与策略转化为三角形来研究。然后通过师生活动合作研究得结论。

拓展结论1：相似多边形的周长之比等于相似比;

相似多边形的面积之比等于相似比的平方。

(结合相似五边形研究过程)

拓展结论2：相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比;

相似多边形中对应对角线之比等于相似比;

进而拓展到：相似多边形中对应线段之比等于相似比等。回归生活一：

师：通过前面的研究，我们得到了有关相似形的一系列结论，现在让我们回头来看前面的标牌涂漆问题。你能确定是几听吗?如果把题中的三角形条件改成更一般的相似形你还能解决吗?

回归生活二：(以师生聊天的方式进行)

其实我们生活中对相似形性质的直觉解释是正确的，线段、周长都属于一维空间，它的比当然等于相似比，而面积就属于二维空间了，它的比当然等于相似比的平方了，比如两个正方形的边长之比为1：2，面积之比一定为1：4。甚至在此基础上我们也可以想像：相似几何体的体积之比与相似比的关系是什么?

生：相似比的立方。

设计意图：新课程标准指出数学教学活动要建立在学生已有生活经验的基础上---;教育心理学认为：源于学生生活实际的教育教学活动才更能让学生理解与接受，也更能激发学生的学习热情，从而导致好的教学效果;于新华老师在一些教研活动中曾经说过：源于学生的生活经验与数学直觉来展开教学设计，构建知识，发展能力，最终还要回到学生的生活经验理解上来，形成新的数学直觉。这才是教学的最高境界。

而我的设计还有一个意图就是向学生渗透从生活中来回到生活中去的思想，让学生体会学好数学的重要性。

(四)操作应用，形成技能

课内检测：

1.已知两上三角形相似，请完成下面表格：

相似比 2

对应高之比 0.5

周长之比 3 k

面积之比 100

2.在一张比例尺为1：2000的地图上，一块多边形地区的周长为72cm,面积为200cm2，求这个地区的实际周长和面积。

设计意图：落实双基，形成技能

(五)习题拓展，发展能力

已知，如图，ABC中，BC=10cm，高AH=8cm。点P、Q分别在线段AB、AC上，且PQ∥BC，分别过点P、Q作BC边的垂线PM、QN，垂足分别为M、N。我们把这样得到的矩形PMNQ称为△ABC的内接矩形。显然这样的内接矩形有无数个。

(1)小明在研究这些内接矩形时发现：当点P向点A运动过程中，线段PM长度逐渐变大，而线段PQ的长度逐渐变小;当点P向点B运动的过程中，线段PM逐渐变小，而线段PQ的长度逐渐变大，根据此消彼长的想法，他提出一个大胆的猜想：在点P的运动过程中，矩形PQNM的面积s是不变的。你认为他的猜想正确吗?为什么?

(2)在点P的运动过程中,矩形PMNQ的面积有最大值吗?有最小值吗?

答： 最大值，最小值(填有或没有)。请你粗略地画出矩形面积S随线段PM长度x变化的大致图象。

(3)小明对关于矩形PMNQ的面积的最值问题提出了如下猜想：

①当点P为AB中点时，矩形PMNQ的面积最大;

②当PM=PQ时，矩形PMNQ的面积最大。

你认为哪一个猜想较为合理?为什么?

(4)设图中线段PM的长度为x，请你建立矩形PQNM的面积S关于变量x的函数关系式。

设计意图：将课本基本习题改造成发展学生能力的开放型问题研究，体现了课程整合的价值。

(六)作业(略)

判断三角形相似三绝招 篇2

第一招：两组角对应相等的两个三角形相似

例1 如图1，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2.点D在BC上运动（不能到达点B）.过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．求证：△ABD∽△DCE．

分析：△ABD、△DCE中已有一组相等的角，即∠B=∠C.若再能找到一组相等的角，即可证明△ABD∽△DCE．

证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°．

又∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC，而∠B=∠ADE=45°，

∴∠BAD=∠EDC.

∴△ABD∽△DCE．

点评：“两组角对应相等的两个三角形相似”是判定三角形相似最简单、好用的方法.在应用时，注意寻找“∠A+∠B=∠C+∠D，由∠B=∠D，则∠A=∠C”类型的角的相等关系．

第二招：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

例2 如图2，△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1.连接BF．

求证：△BFG∽△FEG．

分析：△BFG与△FEG有一个公共角∠G.已知条件告诉了等腰三角形的边长，现只需证明夹∠G的两组边对应成比例，即可证明△BFG∽△FEG．

证明：由题意知FG=FE=AB=，EG=BC=1，BG=3BC=3.

∴==，==.

∴=．

又∵∠G=∠G，

∴△BFG∽△FEG.

点评：利用“两组边对应成比例且夹角相等”判定三角形相似，类似于三角形全等的“边角边”的判定方法.运用时注意把握好两边与夹角的位置关系．

第三招：三组边对应成比例的两个三角形相似

例3 如图3，在2×5的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），有格点△ABC和格点△ADE．

（1）证明：△ABC∽△ADE；（2）求∠1+∠2．

分析：（1）△ABC、△ADE中，角之间的相等关系不明显，所以第一招、第二招都不好使用.考虑到△ABC、△ADE是正方形网格中的格点三角形，可以利用勾股定理求得各边的长，然后判定三组对应边是否成比例，从而确定三角形相似与否．（2）利用相似三角形的性质，求出∠ADE的大小，即可计算出∠1+∠2．

解：（1）由勾股定理得：

AD==，DE==，AB==，AC==．

又因为AE=5，BC=2，所以==，= ，==.

∴==.

∴△ABC∽△ADE．

（2）因为△ABC∽△ADE，所以∠ADE=∠ABC=90°+45°=135°，故∠1+∠2=180°－135°=45°．

九年级下册相似三角形 篇3

1．知道相似三角形的概念；会根据概念判断两个三角形相似。

2．能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长。

教学过程

一、复习

什么是相似形?识别两个多边形是否相似的标准是什么?

二、新课

1．相似三角形的有关概念：

由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似．

三角形是最简单的多边形．由此可以说什么样的两个三角形相似?

如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′

那么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′；“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两三角形相似就读作：“△ABC相似于△A′B′C′”。

由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以点A的对应顶点是A′，B与B′是对应顶点，C与C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边．如果记

＝K，那么这个K就表示这两个相似三角形的相似比．相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系．如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为K，即指＝K，那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是应为多少呢?同学们想一想?，就不是K了，2．△ABC中，D，E是AB、AC的中点，连结DE，那么△ADE与△ABC相似吗?为什么?如果相似，它们的相似比为多少?

如果点D不是AB中点，是AB上任意一点，过D作DE∥BC，交AC边于E，那么△ADE与ABC是否也会相似呢?

判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑。能否得对应角相等?根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢?目前还没有什么依据，同学们不妨用刻度尺量一量，算一算是否成比例?通过度量，计算发现

所以可以判断出△ADE与△ABC会相似。

若是如图DE∥BC，与BA、CA延长线交于D、E，那么△ADE与△ABC还会相似吗?试一试看。如果相似写出它们对应边的比例式．

．

3．如果△ABC∽△A′B′C′，相似比K＝1，你会发现什么呢? ＝1，所以可得AB＝A′B′,BC＝B′C′，AC＝A′C′，因此这两个三角形不仅形状相同，且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例，试问：

全等的两个三角形一定相似吗?

相似的两个三角形会全等吗?

全等的符号与相似的符号之间有什么关系与区别？

4．例：如果一个三角形的三边长分别是5、12、13，与其相似的三角形的最长．边是39，那么较大三角形的周长是多少?较小三角形与较大三角形的周长的比是多少?

分析：这两个三角形会相似，对应边是哪些边?相似比是多少?哪一个三角形较大?要计算出它的周长还需求什么?根据什么采求？

三、练习

判断下列两个三角形是否相似?简单说明理由，如果相似，写出对应边的比例

四、小结

1．填空。

＿＿＿＿＿＿＿的三角形叫做相似三角形。

2．两个相似三角形的相似比为1，这两个三角形有什么关系?

3、如果一条直线平行于三角形一边，与其它两边或其延长线相交截得的三角形与原三角形相似吗?指出它们的对应边。

五、作业

九年级下册相似三角形 篇4

一、教学目标

1、使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．

2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．

二、教学重点、难点

重点：理解余弦、正切的概念

难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算

三、教学过程

（一）复习引入

1、口述正弦的定义

2、（1）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．

（2）﹙2006成都﹚如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=5，BC=2，那么sin∠ACD＝（）A． B． C． D．

（二）实践探索

一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？

o如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90，∠B=∠B`=α，那么与有什么关系？

o分析：由于∠C=∠C` =90，∠B=∠B`=α，所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，即

结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。

o如图，在Rt△ABC中，∠C=90，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB即 把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA,即

锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.（三）教学互动

例2:如图,在中, ,BC=6,求cos和tan的值.解:, 又

例3:(1)如图(1), 在中，, , ,求的度数.(2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求.（四）巩固再现

1.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（）A．．．．

2.在中，∠C＝90°，如果那么的值为（）A．．．．

3、如图：P是∠的边OA上一点，且P 点的坐标为（3，4），则cos＝_____________.4、P81 练习1、2、3

九年级下册相似三角形 篇5

第十六讲 相似三角形(二)

上一讲主要讲述了相似三角形与比例线段之间的关系的计算与证明，本讲主要讲述相似三角形的判定与性质的应用．

例1 如图2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC．

分析 设法通过添辅助线构造相似三角形，这里应注意利用角平分线产生等角的条件．

证 过B引BE∥AC，且与AD的延长线交于E．因为AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因为BE∥AC，所以

∠2=∠3．

从而∠1=∠3，AB=BE．显然

△BDE∽△CDA，所以 BE∶AC=BD∶DC，所以 AB∶AC=BD∶DC．

说明 这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用．类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证．

在构造相似三角形的方法中，利用平行线的性质(如内错角相等、同位角相等)，将等角“转移”到合适的位置，形成相似三角形是一种常用的方法．

例2 如图 2-77所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．

分析 利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明△MEF∽△MAB，从而EF∥AB．

证 过B引BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H．因为AE是∠BAC的平分线，所以

∠BAE=∠CAE．

因为BG∥AC，所以

∠CAE=∠G，∠BAE=∠G，所以 BA=BG．

又BD⊥AG，所以△ABG是等腰三角形，所以

∠ABF=∠HBF，从而

AB∶BH=AF∶FH．

又M是BC边的中点，且BH∥AC，易知ABHC是平行四边形，从而

BH=AC，所以 AB∶AC=AF∶FH．

因为AE是△ABC中∠BAC的平分线，所以

AB∶AC=BE∶EC，所以 AF∶FH=BE∶EC，即

(AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC．)．由合分比定理，上式变为

AM∶MB=FM∶ME．

在△MEF与△MAB中，∠EMF=∠AMB，所以

△MEF∽△MAB

(两个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．)．所以

∠ABM=∠FEM，所以 EF∥AB．

例3 如图2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．

即可，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及l=AB＋AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．

注意到，原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题．

证 延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=AB＋AC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED．下面证明，△ADE∽△ABC．

设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则

∠A+∠B+∠C=7α=180°．

由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以

∠ACE=180°-4α＝3α，所以 ∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．

从而

∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．

又由作图

AE=AC，AE=BD，所以 BE=BD，△BDE是等腰三角形，所以

∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，所以 △ABC∽△DAE，所以

例4 如图2-79所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH.分析 要证QH⊥DH，只要证明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，从而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ与△DHC应该相似．

证 在Rt△PBC中，因为BH⊥PC，所以

∠PBC=∠PHB=90°，从而 ∠PBH=∠PCB．

显然，Rt△PBC∽Rt△BHC，所以

由已知，BP=BQ，BC=DC，所以

因为∠ABC=∠BCD=90°，所以

∠HBQ=∠HCD，所以 △HBQ∽△HCD，∠BHQ=∠DHC，∠BHQ＋∠QHC=∠DHC＋∠QHC．

又因为

∠BHQ＋∠QHC=90°，所以 ∠QHD=∠QHC＋DHC=90°，即 DH⊥HQ．

例5 如图2-80所示．P，Q分别是Rt△ABC两直角边AB，AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM．求证：

PB2＋QC2=PM2＋QM2．

分析与证明 若作MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并连接PQ，则

PM2＋QM2=PQ2=AP2＋AQ2．

于是求证式等价于

PB2+QC2=PA2+QA2，①

等价于

PB2-PA2=QA2-QC2． ②

因为M是BC中点，且MD∥AC，ME∥AB，所以D，E分别是AB，AC的中点，即有

AD=BD，AE=CE，②等价于

(AD＋PD)2-(AD-PD)2

=(AE＋EQ)2-(AE-EQ)2，③

③等价于

AD·PD=AE·EQ． ④

因为ADME是矩形，所以

AD=ME，AE=MD，故④等价于

ME·PD=MD·EQ． ⑤

为此，只要证明△MPD∽△MEQ即可．

下面我们来证明这一点．

事实上，这两个三角形都是直角三角形，因此，只要再证明有一对锐角相等即可．由于ADME为矩形，所以

∠DME=90°=∠PMQ(已知)． ⑥

在⑥的两边都减去一个公共角∠PME，所得差角相等，即

∠PMD=∠QME． ⑦

由⑥，⑦，所以

△MPD∽△MEQ．

由此⑤成立，自⑤逆上，步步均可逆推，从而①成立，则原命题获证．

例6 如图2-81所示．△ABC中，E，D是BC边上的两个三等分点，AF=2CF，BF=12厘米．求：FM，MN，BN的长．

解 取AF的中点G，连接DF，EG．由平行线等分线段定理的逆定理知DF∥EG∥BA，所以

△CFD∽△CAB，△MFD∽△MBA．

所以MB=3MF，从而BF=4FM=12，所以

FM=3(厘米)．

又在△BDF中，E是BD的中点，且EH∥DF，所以

因为EH∥AB，所以△NEH∽△NAB，从而

显然，H是BF的中点，所以

故所求的三条线段长分别为

练习十六

1．如图2-82所示．在△ABC中，AD是∠BAC的外角∠CAE的平分线．求证：AB∶AC=BD∶DC．

2．如图2-83所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．

3．如图2-84所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：

PB2＝PA·PC．

(提示：设法证明△PAB∽△PBC．)

4．如图2-85所示．D是等腰直角三角形ABC的直角边BC的中点，E在斜边AB上，且AE∶EB=2∶1．求证：CE⊥AD．

5．如图2-86所示．Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P为AD的中点，延长BP交AC于E，过E作EF⊥BC于F．求证：EF2=AE·EC．

网格中的相似三角形 篇6

一、格点三角形相似的判断

例1 如图1，在正方形网格中有格点三角形ABC和A′B′C′，它们相似吗？

解析：可假设网格中每个小正方形的边长为1，则AB=2，AC=4，BC=2；A′B′=，A′C′=2，B′C′=.同时，通过观察发现，两个三角形均为钝角三角形，且钝角均为135°．因此，可得出下面两种判断方法：

方法1：判断三边是否对应成比例．由上面分析知=＝=2，故△ABC∽△A′B′C′.

方法2：先证∠BAC=∠B′A′C′＝90°＋45°=135°，再判断钝角两边是否对应成比例.由上面分析知=＝2，故△ABC∽△A′B′C′.

点评：方法1是格点三角形相似问题中常用的解法，方法2有它使用的局限性，必须先发现角相等.格点三角形中常常有特殊角，如45°，90°，135°等.

例2 如图2所示，在正方形网格上有5个格点三角形：①、②、③、④、⑤．其中与①相似（不包括①）的三角形有 ．

解析：设网格中每个小正方形的边长为1，则①中各边长分别为、2、，且其中有一个角是135°的钝角．这也是解决本题的一个重要突破口.另外，“三边对应成比例”的相似判定方法可以作这样的变形：若AB∶AC∶BC=A′B′∶A′C′∶B′C′，则△ABC∽△A′B′C′.

（1）可判断三角形②中的钝角小于135°（因是45°角与一个小于90°的角之和)，则三角形②与三角形①一定不相似.

（2）同上面的方法，知三角形③与三角形①一定不相似．

（3）三角形①三边之比为∶2∶=1∶∶．三角形④三边长分别为，，5，则三边之比为∶∶5=1∶∶．所以三角形④与三角形①相似.

（4）易知三角形⑤与三角形④全等，则三角形⑤与三角形①也相似.

综上可知，应填④、⑤．

点评:判断相似与判断全等有类似之处，都需要抓住图形的重要特征，这样可以减少计算量，提高解题速度.首先可注意有关的钝角，比如135°的角，这样可排除一些明显不相似的三角形．“三边对应成比例”的判定方法变形后用来判定相似很方便，可以避免找对应边带来的麻烦．但也要注意，三边之比最好都按从小到大的顺序进行排列.

<\server2photosSL8Sjjgg.TIF>[现在就练！]

1. 如图3所示,在正方形网格中有6个格点三角形:①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EKF．②~⑥中与①相似的是（）．

A. ②、③、④B. ③、④、⑤

C. ④、⑤、⑥D. ②、③、⑥

二、画与已知的格点三角形相似的格点三角形

例3 如图4所示，在正方形网格上有格点△ABC，请在网格上画出一个与△ABC相似但不全等的格点三角形.

解析：设网格中每个小正方形的边长为1，计算后知AB=，BC=，AC=.

方法1：由AB2＋BC2=AC2知∠ABC=90°，且AB∶BC=1∶1，因此，我们可以找一个直角（比如一个大的正方形的一个内角），再在直角的两边上截取相等的两段，得到的格点三角形必与原三角形相似．

方法2：由图可知道，AB、BC分别是相邻的1×2和2×1的矩形的对角线，我们可以寻找类似的m×2m和2m×m(m为大于1的整数）矩形，作出它们的对角线，构成格点三角形.

点评：本题画图的方法较多．无论是利用哪一种方法画图，都必须理解作图的依据和技巧.

<\server2photosSL8Sjjgg.TIF>[现在就练！]

2． 在10×10的正方形网格中，以小正方形的顶点为顶点，画出两个相似的钝角三角形，且使其相似比为1∶.

三、与相似有关的证明

例4 如图5所示，三个正方形拼成一个矩形ABEF.

（1）求证：△ACE∽△DCA．

（2）求证：∠1+∠2+∠3=90°.

解析：（1）由∠ACD=∠ECA，=＝，可知△ACE∽△DCA．

（2）由∠1=45°知，须证∠2+∠3=45°．而∠1=∠3+∠CAE，即∠3+∠CAE=45°，由（1）知△ACE∽△DCA，因此，∠2=∠CAE，故∠2+∠3=45°，得证．

点评：由于格点三角形的特殊性，相似在这里很容易证明．

<\server2photosSL8Sjjgg.TIF>[现在就练！]

3. 已知正方形的边长为1.

（1）如图6所示，可以算出一个正方形的对角线长为，求2个正方形并排拼成的矩形的对角线长，并计算出n个正方形并排拼成的矩形的对角线长l.

（2）根据图7所示，在下列的三个结论中，选出正确的结论并加以证明：①∠BEC+∠BDE=45°；②∠BEC+∠BED=45°；③∠BEC+∠DFE=45°.

虽然网格中的数学问题远不止这些，但是，只要我们把握了网格的真正特征，掌握了研究与分析问题的方式，再难的问题也会迎刃而解.

练习题参考答案

九年级下册相似三角形 篇7

【教学目标】、使学生理解三角形的定义，掌握三角形的特征和特性。

2、知道三角形高和底的含义，会在三角形内画高。

3、通过观察和操作，培养学生比较、概括、判断、推理的能力并发展学生空间观念，实现知识和技能的正迁移，让学生做到活学活用。

【教学重点】使学生掌握。

【教学难点】学会给三角形画高。

【教具】三角板一套、多媒体

【教学过程】

一、课前预习、三角形的含义是什么？

2、三角形的特征和特性是什么？

3、怎样画三角形的高？

二、展示交流、动手操作：用四边形、三角形撑起两个支架，然后对比、观察，发现了什么结论？

2、出示电线杆、自行车图片，体会三角形的稳定性。

3、列举生活中应用三角形稳定性的例子。

4、提示课题：三角形的认识

三、探究活动，掌握特征、理解三角形的含义

①通过实物演示和出示，总结：什么叫三角形？

②学生自己画一个三角形。

2、探究三角形的特征

（1）演示，说出三角形各部分名称。（边、顶点和角）

（2）出示三个三角形，观察这三个三角形，你还性理了什么？

（3）动手画一个三角形，标出顶点、边和角。

（4）用字母ABc表示三角形。

3、认识三角形的底和高

（1）出示三角形屋顶的房子和斜拉桥，你能想出办法测量三角形的房顶和斜拉桥的高度吗?

（2）演示，抽象出三角形，学生作反馈测量方法，引出三角形高和底的含义。

（3）出示有一组底和高的三角形，观察、讨论，还有其它的底和高吗？

（4）完成教材第86页练习十四第1题

四、检测反馈

、填空

①三角形是由（）条边同（）个顶点，（）个角组成的。

②三角形具有（）性。

③三角形有（）条高，有（）个底。

2、判断

（1）由三条线段组成的图形是三解形。（）

（2）三角形有三条高，三个底。

（）

（3）自行车车架运用了三角形的稳定性原理。（）

3、画出这个三角形的三条高。

四、板书设计

三角形的认

稳定性

由三条线段围成的图形叫做三角形

教后反思：本节课的概念比较多．学生在学习这本课的时候，对于画高，有个别同学画得不对，可见是以前学习画垂线的时候，掌握得不太好．在今后，应该多加练习．

《三角形的特征（2）》教学设计

【教学目标】

.探究三角形三边的关系，知道三角形任意两边的和大于第三边。

2.根据三角形三边的关系解释生活中的现象，提高用数学知识解决实际问题的能力。

3.提高学生观察、思考、抽象概括能力和动手操作能力。

4.积极参与探究活动，在活动中获得成功的体验，产生学习的兴趣。

【教学重点】

让学生探索三角形三条边的关系

【教学难点】

引导学生通过自主探究得出“三角形任意两条边的和大于第三边”的结论。

【教具】多媒体

【教学过程】

一．预习提纲、三角形按角分类有哪几种？

2、按边分类有哪几种？

3、三角形任意两边的和与第三边有什么关系？

二．展示交流

（一）创设情境，导入新课

今天，我们给大家介绍一位新朋友——小明，你们看，他正在做什么？（演示，内容为教材第82页小明上学图。）

小明从家到学校有几条路线呢？

这三条路线中哪条路线离学校最近？为什么？

小组讨论、交流、汇报。

同学们都说出了自己的想法，有些同学是结合自己的生活经验谈的，有些同学是用测量的方法量出来的。大家想一想，在生活中这些路线我们不可能去用尺子一米一米的量出它的长短，这个时候我们应该怎么办呢？

我们用数学知识看看能不能解决这个问题。请同学们仔细看，从小明家到邮局再到学校的路线近似于一个什么图形？

走中间的这条路线，走过的路线是三角形的一条边，走旁边的路线，走过的路程实际上就是三角形的另外两条边的和。根据大家的判断，走三角形的两条边的和要比走第三条边长。那么，是不是所有三角形的三条边都有这样的关系呢？我们来做个实验。

（二）小组合作，探索新知

实验1：请同学们从准备的学具中任意拿出三张纸条摆出一个三角形，看看你能发现什么？学生动手操作、交流。

实验2：深入探究在什么情况下能组成三角形。

.动手操作

从纸条中任意拿出三张纸条，看看能不能摆出一个三角形？把能组成三角形和不能组成三角形的情况分别填在实验表格中。

出示表格：（单位：厘米）

能组成三角形

任意两边的和是否大于第三边

你发现

不能组成三角形

任意两边的和是否大于第三边

你发现

学生汇报实验结果。

2.分析、探索（出示）

①

观察自己的实验表格，说一说不能摆成三角形的情况有几种。

②

能组成三角形的三条边有什么关系？

③

“任意两边的和都大于第三边”这句话是什么意思？

④

那根据你们的实验观察，大家都认为三角形的两边之和大于第三边吗？

⑤

大家的发现到底对不对？请各小组摆三角形来验证一下。

以上分小组讨论，然后全班交流。

3.教师小结

同学们通过实验、验证，我们发现如果任意两条线段的和大于第三条线段，这三条线段就能组成三角形，也就是说，三角形的任意两边之和大于第三边。

三．检测反馈

.讲解小明选择上学的路线。现在你能用这个发现来解释小明家到学校哪条路最近的原因吗？

2.游戏

游戏一：红绿灯

要求：每组的三根小棒能组成三角形的，绿灯通过；不能组成三角形的，红灯停。（单位：厘米）

（1）————4

—————5

——————6

（2）————4

————4

——————6

（3）———3

———3

——————6

（4）———3

——2

——————6

我们每次都是把三条线段中任意两条线段相加后才判断的，你们能不能相出一个更简单的方法呢？（用较短的两条线段的和与第三条线段比较来检验。）

游戏二：

要求：下面这些线段里面能组成三角形的三条线段是一组好朋友，找找看，哪三条线段是一组好朋友？

2厘米

4厘米

5厘米

8厘米

0厘米

游戏三：猜一猜。

要求：现在有两根分别长为3厘米、6厘米的小棒。猜一猜，能与它们组成三角形的第三根小棒长几厘米？说说你的想法。

四．课堂总结

通过这节课的学习，大家有什么收获？

对数学知识的学习，你有了哪些新的认识？

五．板书设计

三角形的特征

教学反思:

本节课根据三角形三边的关系解释生活中的现象，学生在学习中很有兴趣．提高了用数学知识解决实际问题的能力。他们积极参与探究活动，在活动中获得成功的体验，产生学习的兴趣。

三角形的分类（3）

教学目标：

．通过动手操作，会按角的特征及边的特征给三角形进行分类。

2．培养学生动手动脑及分析推理能力。

教学重点：会按角的特征及边的特征给三角形进行分类。

教学难点：会按角的特征及边的特征给三角形进行分类。

教学用具：量角器、直尺。

教学过程：

一、预习提纲导入新课

投影出示多个三角形

我们认识了三角形，三角形有什么特征？

今天这节课我们就按照三角形的特征对三角形进行分类．怎样分？

二、展示交流汇报

小组活动：

出示小片子，观察每个三角形．可以动手量一量，分工合作。根据你发现的特点将三角形分类。

2按角分的情况

引导学生明确：相同点是每个三角形都至少有两个锐角；不同点是还有一个角分别是锐角、钝角和直角．

我们可以根据它们的不同进行分类

分类．

根据上边三个三角形三个角的特点的分析，可以把三角形分成三类．

图①，三个角都是锐角，它就叫锐角三角形．

提问：图②、图③只有两个锐角，能叫锐角三角形吗？

引导学生根据另一个角来区分．图②还有一个角是直角，它就叫直角三角形，图③还有一个钝角，它就叫钝角三角形．

请同学再概括一下，根据三角形角的特征可以把三角形分成几类？分别叫做什么三角形？

教师板书：

三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；

有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；

有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形．

三角形的关系．

我们可以用集合图表示这种三角形之间的关系．把所有三角形看作一个整体，用一个圆圈表示．好像是一个大家庭，因为三角形分成三类，就好象是包含三个小家庭．

每种三角形就是这个整体的一部分．反过来说，这三种三角形正好组成了所有的三角形．

（3）三角形中至少要有两个锐角，所以判断三角形的类型，应看它最大的内角．……

问：还有没有其他的分法？

3按边分的情况：

（1）我发现有两条边相等的三角形，还有三条边都相等的。

（2）师：我们把两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫腰，另外一条边叫底。

（3）师：把三条边都相等的三角形叫等边三角形。

（4）分别量一量等腰三角形和等边三角形的各个角，你有什么发现？

（5）从红领巾、三角板、慢行标志中找一找哪里有这两种特殊的三角形？

三检测反馈

．判断题．

由三条线段组成的图形叫三角形．

锐角三角形中最大的角一定小于90°．

看到三角形中一个锐角，可以断定这是一个锐角三角形．

三角形中能有两个直角吗？为什么？

2.猜一猜

甲：我拿的三角形没有钝角。他可能是什么角？

乙：可能是锐角三角形，也可能是……

丙：为什么？

课后反思：

九年级下册相似三角形 篇8

第五单元是在学生已学习线段、角和直观认识了三角形的基础上进行教学的。通过这部分内容的教学，要提高学生的动手操作能力、观察能力以及形象思维能力，为今后学习几何的有关知识打下良好的基础。所以在教学这个单元时，为了更好地实现教学目标，吸引学生积极主动地参加学习，我设计了一些教学活动，给学生提供探索的空间。首先我解放学生的双手，让学生用小棒围三角形，从而让学生直观感受到三角形是由三条线段围成的。当有的组用三根小棒围不成三角形时，给学生制造了认知冲突，激励学生积极探索，为后面教学三角形三边之间的关系埋下伏笔。在三角形特性的教学中，我先让学生对电线杆、自行车图进行观察，提出问题，激发学生的求知欲，然后让学生亲自拉四边形、五边形、三角形木框教具，在动手操作的`过程中，感悟三角形的稳定性。在学习三角形的分类时，因为这个内容既是重点也是难点，所以我采用小组合作、拼摆画图等方式，让学生认识到三角形是无限多的，再让学生观察记录三角形每个角的情况，找出异同，进行分类，促进学生初步的逻辑思维能力的培养，而且针对这一内容安排了根据露出的一个角猜三角形的游戏，从而激发学习的兴趣，并培养学生的分析和推理能力。

回顾本单元的教学，由于学生活动较多，环节之间不够紧凑，所以拖延了课堂教学时间，但同时也给今后的课堂教学提出了一个值得思考的问题：如何合理有序的安排学生的操作活动，更好地组织课堂教学?恳请同行们提出宝贵意见，我会不断改进，找到更好的教学方法。

九年级数学下册综合测试题 篇9

A. B. C. 1 D.

2.若关于x的一元二次方程2x2-2x+3m-1=0有两个实数根x1、x2且x1·x2>x1+x2-4，则实数m的取值范围是（ ）.

A.m>- B.m≤

C.m<- D.-

3.如图1，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD∶OE∶OF=（ ）.

A. a∶b∶c

B. ∶ ∶

C. cosA∶cosB∶cosC

D. sinA∶sinB∶sinC

4.已知△ABC的三边长分别为 、 、2， △A′B′C′的两边长分别是1和 ，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该是（ ）.

A. B.

C. D.

5.如图2，小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB∶BC=4∶5，则cos∠DCF的值为___.

图2 图3

6.如图3，AB∥CD，AC、BD交于O，BO=7，DO=3，AC=25，则AO的长为__________.

7.抛物线y=x2-4与x轴的两个交点和抛物线的顶点构成的三角形的面积为 .

8.已知关于x的方程x2+（3-m）x+ =0有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是___________.

9. 如图4，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/S的速度运动，另一动点Q从A出发沿

着AC方向以2cm/S的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）.

（1）当为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的 ？

（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由.

图4 图5

10.如图5所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点B且12a+5c=0.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动.

①移动开始后第t（s）时，设S=PQ2（cm）2，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

九年级下册相似三角形 篇10

教案

[背景与导读]：“三角形三边的关系”是人教版课程标准实验教材四年级下册“三角形”中的第三课时，该课时是在学生初步了解了三角形的定义的基础上，进一步研究三角形的特征，即三角形任意两边的和大于第三边。三角形三边关系定理不仅给出了三角形三边之间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准,熟练灵活地运用三角形的两边之和大于第三边，是数学严谨性的一个体现,同时也有助于提高学生全面思考数学问题的能力,它还将在以后的学习中起着重要的作用。教学中，教师根据小学生喜欢玩的天性，首先设计让学生搭建三角形的动手操作活动，使学生一开始就进入学习状态，同时也可产生认知冲突，为后面的学习铺好路。在教师的引导下，当学生发现三角形三边的关系后，教师这时再出示书上的一组数据让学生判断，训练学生灵活运用知识的能力，接下来教师出示书上的情景图，让学生学会运用知识解决实际问题，这一环节的设计，主要是引导学生学会看书，毕竟书本是我们学习最直接的资料之一，我们应好好的加以运用。本节课的后半部主要是出示一些实际问题，让学生在解决问题地过程中理解、掌握本节课的重点。

[片断一]：动手操作，产生问题

师：前面我们已经认识了三角形，知道三角形是由三条线段首尾相连围成的封闭图形，今天，老师想让同学们利用你们桌上的木条亲手搭建一个个的三角形，要求是每个三角形只能用三根木条，你们想不想试一试？

学生：想！

师：下面请同学们分小组开始活动。

（学生分小组活动）

师：每个小组利用桌上的六根木条共搭建了几个三角形？

学生：我们搭建了一个三角形。

师：剩下的三根木条能搭建成一个三角形吗？

学生：不能。

师：你们知道剩下的三根木条为什么不能搭建成一个三角形吗？你发现了什么？

学生1：我发现剩下的三根木条怎么连也连不到一起。

学生2：我们也是这样的。

师：“剩下的三根木条怎么连也连不到一起”说明了这三边在长短上有某种关系，你们能找出这三边在长短上有什么样的关系吗？

学生1：我们将较短的两根木条连接在一起与最长的一根木条相比较，发现较短的两根木条和起来还没有另外一根木条长。

学生2：我们把较短的两根木条连接在一起与最长的一根木条相比较，发现较短的两根木条和起来不是没有另外一根木条长，而是同另外一根一样长。

学生3：我们发现的结论与学生（1）相同，我们是通过用直尺分别度量这三根木条的长度，再计算、比较后发现的。

学生4：我们发现的结论与学生（2）相同，我们也是通过用直尺分别度量这三根木条的长度，再计算、比较后发现的。

师：下面我们将能拼成三角形的三边分开，象上面一样比较一下这三条边在长度方面有什么关系？

（学生活动后汇报）

学生1：我发现较短的两条边加起来比最长的一条边长，同刚才的结论正好相反。

学生2：我发现我这个三角形的任意两边加起来的和都比第三边长。

学生3：我的发现同学生（2）一样，也是这个三角形的任意两边加起来的和都比第三边长。

学生4：“任意两边”是什么意思？我不太懂。

学生5：“任意两边”就是指三角形三边中的每两条边加起来的长度都比剩下来的第三条边的长度长。

学生4：原来是这样的。

（学生都有同感）

学生6：也就是说，任意一个三角形，它的三条边都存在这样一个特征：三角形的任意两边之和都大于第三边。

学生7：我想应该是这样的吧。因为我们的三角形不一样，但我们得到的结论都是一样的。

学生8：我看到书上也有同样的结论。

（学生都翻书看）

[反思]：苏霍姆林斯基曾说：“在人的心理深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个开拓者、研究者和探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。”教学中，教师有意设置这些动手操作，共同探讨的活动，既满足了学生的这种需要，由让学生在高昂的学习兴趣中学到了知识，体验到了成功。

[片断二]：及时练习，形成能力

师：同学们刚才表现得非常棒，你们棒在不仅爱玩，而且能在玩中发现数学问题，通过自己的思考、探讨，你们也能解决问题。这就是我们今天一起学习的三角形的另外一个特征，现在你能运用三角形三边的关系判断给出的三条边能否组成一个三角形吗？

学生：能！

师：请同学们翻书到第86页，自己独立做第4题。

（学生做完后汇报展示，并说明判断的方法）

学生1：（1）、（2）、（4）这三组中的线段能拼成一个三角形，（3）中的线段不能拼成一个三角形，我是把每组中的三条线段两两相加，再与剩下的第三条线段相比较，其中（1）、（2）、（4）这三组中的线段每两条线段之和都大于第三条线段，所以它们能拼成一个三角形，而（3）中22〈6，所以这组中的三条线段不能拼成一个三角形。

学生2：我的结论同学生（1）一样，但我的判断方法与他不同，我是先找出较短的两条边，比较它们的和与剩下的第三条边的大小，如果和大一些，则能拼成三角形，如果和小一些，则不能拼成三角形。

学生3：学生（2）的方法只是一种巧合，他没有判断任意两边之和大于第三边，所以这种方法不行。

（学生对学生（2）的方法产生了争论，学生讨论一会儿后）

学生4：学生（2）的方法是对的，因为较短的两条边之和如果大于第三条边，则说明任意一条较短的边与最长的一边之和肯定大于第三条边，这也就更进一步说明这个三角形的任意两边之和大于第三边。

学生5：看来在判断某三条边能否拼成一个三角形时，用学生（2）的方法既快又对。

[反思]：课堂练习的目的是为了让学生及时掌握知识，形成能力。教学中老师充分注意到了这一点，即让学生用所学内容来说明为什么这一环节。同时我们也欣喜地发现，通过练习，学生还在原来所学内容的基础上，对原知识又有发展，找到了最佳的判断方法。学生的能力不可限量啊！

[片断三]：结合实际，学会运用

师：通过刚才的练习，你们不仅掌握了判断某三条边能否拼成一个三角形的方法，并且还找出了最佳的判断方法。从这里可以看出，只要同学们肯动脑思考，一定会取得令人满意的结论。下面请同学们观察小明上学示意图（电脑出示书第82页示意图），如果小明想走离学校最近的路，你认为他会选择那条路上学？

学生：他会走中间这条路。

师：你们是怎样判断的？

学生1：因为中间这条路是直的，其它的路是弯的，所以中间这条路最短。

学生2：如果小明走通过邮局到学校这条路上学，小明家、邮局、学校则构成一个三角形，由三角形的三边关系可以知道，小明家到邮局，邮局到学校这两条边之和一定大于第三边，即中间这条路，所以中间这条路最短。

师：思考问题既要靠直觉，更要学会用所学的知识解决问题，就像学生（2）一样。另外请问从这副图还可以看出连接两点的线中，哪条线最短？

学生：线段最短。

[反思]：教材是学习的载体，教学中教师应充分发挥教材的育人作用，挖掘教材的教育功能，而不要把教材撇开一边。从上面可以看出，这副图既能让学生领悟知识与实际的结合，又能从中学到另外的知识，可谓一举多得。

[片断四]：拓展延伸，丰富充实

师：通过上面的学习，老师欣喜地发现同学们不仅能自主、能动地学习新知，而且能将所学的知识用于解决实际问题之中。下面老师这儿有几道题不知怎样解答，谁能帮一帮老师？（电脑出示题目）

题目一：已知两条线段a、b,其长度分别是2.5cm与3.5cm。另有长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm、9cm的五条线段，其中能够与线段一起组成三角形的有哪几条？

学生1：长度分别是3cm、5cm的两条线段中任意一条线段能与a、b组成一个三角形，因为32.5>3.5，2.53.5>5。

学生2：长度分别是1cm、6cm、9cm的三条线段中任意一条线段不能与a、b组成一个三角形，因为12.5=3.5；2.53.5=6；2.53.5<9。

题目二：用长度为2cm、2cm、6cm、6cm、6cm这五条线段中的任意三条线段拼成一个三角形，你能拼成几种不同的形状？拼成的三角形有什么特点？

学生1：我用长度为2cm、6cm、6cm三条线段能拼成一个三角形，这个三角形有两条边的长度相等。

学生2：我用长度为6cm、6cm、6cm三条线段能拼成一个三角形，这个三角形三条边的长度都相等。

学生3：我用长度为2cm、2cm、6cm三条线段不能拼成一个三角形，因为22<6，所以他们不能拼成三角形。

师：刚才学生

1、学生2所说的三角形是两种较特殊的三角形，这些三角形我们将在下次课中学习研究。

题目三：用15根等长的火柴棒摆成的三角形中，最长边最多可以由几根火柴棒组成？

学生1：我想最多可以由9根火柴棒组成。

学生2：我觉得最多可以由8根火柴棒组成。

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师：同学们敢于大胆猜想，勇于发表自己的意见，这很好。不过同学们如果能通过实践，讲究事实依据，用理由来说服人那就更好了！

（学生分小组讨论、拼摆）

学生1：我们通过实践知道，最长边最多可以由7根火柴棒组成。

学生2：我们通过讨论知道，最长边最多可以由7根火柴棒组成。此时另外两条较短的两条边的和为8，大于最长边7，根据三角形三边的关系可知，此时能拼成三角形，且最长边由7根火柴棒组成，为最多。

师：同学们今天表现非常棒，不仅能猜想，而且能通过实践，利用所学知识解决实际问题，老师为你们骄傲，我相信，只要同学们一如既往，灿烂的明天一定会与你拥抱。

[反思]：数学教师的课堂教学应该是敢于放手，尽可能多地给学生创造展示自己的思维空间和时间，如此定会别有洞天。