全面剖析初中数学分类讨论思想教学

全面剖析初中数学分类讨论思想教学（共12篇）

全面剖析初中数学分类讨论思想教学 篇1

[摘 要] 数学思想是中小学数学教学的重要模块，贯穿整个数学知识体系始终.数学思想能够反映人分析和解决数学问题时的意识和思维逻辑，其是从大量复杂的数学信息中总结出的系统化的知识结构和解决问题的策略、关键.中小学数学教育重点要求学生掌握的数学思想包括数形结合思想、化归思想、函数思想以及分类讨论思想等.本文针对分类讨论思想进行论述.[关键词] 分类讨论；价值；误区；应用

分类讨论思想始于《九章算术》中对“盈亏问题”的探讨，该思想常常被运用于解决开放型数学问题，即解决思路不唯一的问题时，学生需根据问题所给的具体条件对问题中可能出现的所有情况逐一分析，再根据所学知识和逻辑思维判断，将问题条件划分为多个更加单一的细化条件，将大问题转化为多个小问题后逐一解决，最后进行综合分析，得出一个或多个答案.但在实际教学中，很多教师对数学思想教学的重视程度不够，原因在于其不了解数学思想对学生思维及分析能力发展的重要性，导致数学课堂出现诸多数学思想教学误区.下面，笔者将以数学思想中的分类讨论思想为例，从其教学价值、教学误区以及教学应用三方面来谈一谈初中数学思想的高效教学策略.分类讨论思想的教学价值

1.形成分类思考意识，掌握信息分类方法

随着信息时代的快速发展，人们每天主动或被动接受的信息量与日俱增，想要不被杂乱的信息所困扰，就需自身具备对信息进行分类处理的能力.分类讨论虽为数学思想，但在运用该思想解决数学问题时，也能有效锻炼学生分类处理信息的能力，养成对各种信息进行分类的良好习惯，这样便能轻松应对日常学习和生活中对繁杂信息的处理问题，提高学习和工作效率.教师在引导学生运用分类讨论思想解决问题时，应当首先为学生介绍高效的分类技巧，即根据实际情况或已知条件自主制定分类标准，并针对各类信息做对应的分析和总结.2.培养思维发散意识，锻炼一题多解能力

思维定式是传统的数学教学模式对学生数学思维的不利影响.传统的以教师讲解为主的数学课堂，严重制约了学生对数学问题的自主思考方向，导致学生对同类题型产生定向思维，以单一的角度看问题，从而在面对新题型或变式问题时不知变通，无从下手.教师应当摒弃传统数学课堂教师主讲而学生被动学习的课堂模式，设计更多开放型问题供学生自主思考、合作学习，促使学生解决问题的角度更加具体、全面，这样有助于培养学生的发散思维意识和一题多解意识，从而更加全面、严谨地考虑问题.3.科学建构知识体系，形成良好认知结构

初中是学生数学知识学习从打牢基础到能力提升过渡的关键阶段.系统化的数学知识教学目标要求学生具备对不同知识进行分类、概括、总结的能力，从而实现对知识的自主消化，提升自主学习能力和思考能力.分类讨论思想的渗透有助于学生养成对不同信息进行分类的良好习惯，在个人数学知识体系的建构中，能够?⒏丛印⒎倍嗟闹?识点归类理解，从而大大提高学习新知和理解记忆的效率.教师应当注重引导学生理解各模块知识之间的联系，从而促使学生从知识之间的区别与联系这一方面来进行知识的分类汇总，形成一张更加趋于完整和实用的知识网络，便于学生搜索知识点及综合运用.分类讨论思想的教学误区

1.理念陈旧，缺少创新

新课程标准指出，教学应当符合学生的个性发展要求.随着中小学教育的不断发展，学生的个性发展要求也在不断地提升，传统模式的“教与学”课堂已经不符合对学生创新能力的培养.但在实际教学中，部分教师仍然秉持陈旧的教学理念，忽略学生的学习主体性，往往为了解题而解题，无法看到数学问题背后对学生数学思维和数学方法的引导，这样的陈旧观念无法促使学生对数学问题进行更加深入的思考.教师应当创新教学模式，如可以将分类讨论思想作为教学关键点，设计更多开放式的数学问题，引导学生自主思考，体现学生的学习主体性，有效培养学生的分类讨论思维.2.被动学习，效率低下

传统数学课堂教学模式除了教学理念陈旧，影响学生的个性发展而外，被动学习也使得学生探索数学知识的兴趣和热情消磨殆尽.学生处于被动学习的状态时，无法主动探索和发现数学问题，数学思维得不到有效运用，这样即使学生了解分类讨论等数学思想，也同样无法将其准确运用于数学问题的解决中，无法自主建立起知识之间的相互联系，从而无法实现数学思维和解决问题能力的有效提升.3.应试教育，能力不足

应试教育是当下中小学数学教育普遍存在的一个教学误区，面对升学压力和紧凑的课堂时间，教师往往会选择“题海战术”，要求学生通过练习大量的数学题型来形成思维习惯.表面上看，其同样是以锻炼学生的数学思维为目的，但实际上却是一味地通过练题来强迫学生在数学思维上达到熟能生巧的一种十分刻板的教学模式，并且频繁使用分数来衡量学生的数学思维和数学能力，这一做法不利于学生真正掌握和学会运用这些数学思想，甚至还会对学生的学习积极性造成反作用，降低学生的学习效率.分类讨论思想的教学应用

分类讨论思想可运用于解决不同知识模块的数学问题，笔者选择了以下四个方面的分类讨论思想教学应用实例加以阐述.1.绝对值运算

解决含有绝对值的问题时，有时需要应用分类讨论思想.做题的过程中，我们要善于分析问题，要考虑到绝对值具有非负性.例如，笔者在讲解含绝对值符号的加减运算时，给出了这样一道简单的例题：要使x+1-x=1，变量x应当满足什么条件？

这道例题出现了两个绝对值符号，因此笔者引导学生将两个含绝对值符号的式子分开讨论，于是有x+10四种情况，这四种情况经过一定的整合，最终将数轴分为了三段，即x0这三种情况，最后得出只有当x>0或x=0时，等式才成立，于是得出“当x≥0时，等式成立”的结论.2.与方程有关的问题

在解一元二次方程时，往往会出现题中某项系数未知的情况，而根据一元二次方程的定义和实根的判别方法，应当运用根的判别式来判断未知参数在什么范围下才能满足方程是否有实数根的条件.例如，教学“一元二次方程”时，笔者给出了这样一道例题：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有实数根，求a的取值范围.在这道例题中，a是二次项和一次项系数中的未知参数，根据一元二次方程根的判别式，要想使方程有实数根，则Δ≥0，即[2（a-1）]2-4a2≥0，解得a≤.本题还应当重点注意的是，题中未指明该方程是一元二次方程，因此当a=0时，该方程就变成一个一元一次方程，经检验，这样的情况显然是合理的，因此应当放入分类讨论中（即分a=0和a≠0两种情况进行讨论），实现该题的完整解答.3.函数问题

分类讨论问题在函数中的应用甚为频繁，函数的种类也十分繁多，尤其是当具体问题中并未指出函数类别时，更应当对函数的不同类别进行分类讨论.例如，讲解函数图像的有关知识时，笔者给出了这样一道例题：求函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标.与上一道例题相似，题中并未给出函数的具体类型，因此教师应当引导学生运用发散思维，对可能的函数类型进行分类?论.例如，k=1和k≠1是一次函数和二次函数的区别；当k≠1时，k2-4（k-1）≥0或k2-4（k-1）<0是函数与x轴是否有交点的区别.针对讨论情况较多的问题，教师应当引导学生理清思路，防止思维混乱，促使问题解决得更加有条理.4.几何问题

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一般来说, 数学教师在教学活动中可按以下几个步骤引导学生运用分类讨论的思想解决相应数学题, 形成能力。

一、养成分类意识、渗透分类思想

数学教师在教学过程中要有意识地让学生在学习中逐渐体会分类讨论的思想。初中课本中很多定义、定理、公式本身是分类定义、分类概括的。初一数学课本在引入负数后即对有理数进行分类:将有理数分为正数、零、负数。让学生辨别不同分类的依据, 初步体会分类要不重复, 不遗漏, 标准不同则分类不同的基本原则。此时可提出问题:“-a一定是负数吗?”启发学生分a>0, a=0, a<0三种情况考虑。在学习绝对值的定义时, 要有意识地启发学生从有理数分类进行认知的迁移, 帮助学生概括出a>0, a=0, a<0时, 应如何表示, 并要求学生能做一些简单的化简题。

在日常教学中的这种有序地、有目的地渗透, 能使学生在学习的过程中逐步领悟出分类讨论的思想。

二、确立分类思想, 学会分类方法

初中数学大纲明确指出要让学生“会把给出的实数按要求进行分类”, “会按角的大小和边长的关系对三角形进行分类”等等。例如, 去掉|x|和|x-3|中的绝对值符号, 在解题的过程使学生体会分类讨论的思想方法, 学会初步应用。这个让学生探索推导有理数加法法则的过程, 实际上就是应用分类思想解决问题的一个完整的过程。使学生在学习知识的过程中体会:为什么要分类, 及分类的基本原则。在随后的去括号法则、有理数的乘法、乘方的教学中均可仿照此方法渗透分类的思想。分类要不重不漏, 就是说, 在把一群事物分类时, 要使其中的每一个事物都归入某一类, 不能无类可归, 并且只归入某一类, 不能既归入这一类, 又归入另几类。分类渗透应使学生确立分类的思想, 学会分类的方法。

三、认识讨论思想, 简化讨论方法

初中数学大纲对渗透讨论思想没有明确的要求, 但是在教材和练习中, 仍能找到有关渗透讨论思想的教学要求的提示, 如:当用a表示任意一个数时, 它的绝对值是什么?教材中分a>0、a<0、a=0三种情况加以说明。但是, 我们也注意到有先给条件的简化了的讨论题, 如当a>0时, a与3a哪个大?当a<0时, a与3a哪个大?类似的问题出现在拔高题中和分类思想的教学要求相比, 讨论思想的渗透在初中数学教学中是有限制的, 仅仅只要求学生对“讨论”有个“初步认识”, 并通过有关讨论的知识的传授起到潜移默化的作用。

四、渗透讨论思想, 揭示分类本质

分类讨论是重要的数学思想方法, 但初中学生常常分类讨论的意识不强, 不知道哪些问题需要分类及如何合理地分类。这就需要教师在教学中结合教材, 举一些符合大纲要求且学生能够接受的, 需要区分种种情况进行讨论的问题, 启发诱导, 揭示分类讨论思想的本质。例如, 方程kx2+3x-4=0有几个实数根?学生往往不注意k对方程性质的影响。讨论或讲评中, 要使学生明确系数k决定方程的次数, 从而分k=0, k≠0两类讨论。当k≠0时, 再分b2-4ac>0, b2-4ac=0, b2-4ac<0三种情况进行讨论。又如, 二次函数y=a (x-1) 2+m的图像过哪几个象限?这道题势必要考虑图像的开口方向, 又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分, 则应由学生讨论, 互相补充, 互相评价, 逐步完善。

五、深化分类思想, 增强应用意识

在数学教学中应边学习边总结, 使学生明确引起分类讨论的原因, 增强学生自觉应用分类讨论的意识克服分类讨论中的盲目性和随意性, 提高学生的综合运用这种数学思想解题的能力。在初中数学中, 若涉及以下几个方面, 往往需要进行分类讨论: (1) 数和式的变形中需要条件; (2) 研究含有字母的方程、不等式解的特征和求解; (3) 一般地, 当问题的条件特别少时, 需要分类以补充条件的情况; (4) 有些知识本身是分类定义和概括的, 如绝对值的定义、一元二次方程根的判别式等; (5) 涉及几何图形的形状和位置的问题; (6) 开放性的数学问题等。

如果不在教学中加以强化, 大多数同学往往不会进行分类讨论。因此, 在平时教学中要创设情境, 培养学生自觉应用分类讨论的意识。

六、确定分类结束, 做到及时归纳

一般情况下, 分类讨论后都要对结论进行归纳, 这也是解决这一类问题必须的步骤。对所有分类情况的解进行统计, 理解问题的意思, 哪些解符合题目要求, 需保留;哪些解不符合题目要求, 要舍去。保留下来的解要做到不重复, 不遗漏。这样才能保证解题的完美性。

总之, 分类讨论思想是数学学习中的重要思想, 在以后的教学中, 我将多研究、多实践、多探索, 一如既往地培养学生分类讨论的意识, 加强数学分类讨论思想的训练, 让学生在数学学习中感到轻松快乐。

参考文献

[1]王燕春.学会分类方法.提高分类意识.中学生数学.1998.5

[2]全日制义务教育课程标准 (实验稿) .北京师范大学出版社

全面剖析初中数学分类讨论思想教学 篇3

关键词：分类讨论；解题技巧；解题步骤

分类讨论思想是一种重要的数学思想。然而，分类思想在教学过程中并没有得到足够多的重视，学生在一定程度上也缺乏对分类思想重要性的认识。然而，分类思想不仅仅能对学生的逻辑思维能力进行提高，而且对学生的整体全局观念和概括能力也有着重要的积极作用。对于教师而言，应该充分认识到分类思想在初中数学教学中的重要地位，对分类思想给予相当程度上的重视。下面，本文将围绕分类讨论思想与初中数学教学的内在联系进行讨论和分析，以求探明如何才能推动分类思想在教学中的应用。

一、分类讨论思想概说

初中数学是一门与其它学科不同的学科，具有严谨的逻辑和知识体系，往往只有客观存在的明确真理，而不是“仁者见仁智者见智”的主观感受。因此，对于初中数学，存在着大量需要分类讨论的教学内容，如不同条件下的数学公式变形、几何图形的形状和位置关系等。如何全面而严谨的掌握这些知识，分类讨论教学是行之有效的途径和方法。

分类讨论思想对比知识点内部的特征和关键因素，将其划分成不同类别，并加以讨论和分析。这样的一种数学思想既可以逻辑清晰的将问题的解决方法一一列举，条理清晰；又可以避免知识点的遗漏，确保了解决方案的全面性和概括性。

二、分类讨论思想策略

1、分类讨论思想的增强。教师在培养学生的分类讨论思想时，一定要注重遵循循序渐进的原则。对于学生而言，初中数学知识比起小学数学知识而言难度提升了一个层次，对学生的逻辑思维能力和数学思维有更高的要求。因此，学生本身就面临着适应的难题和障碍。对于教师而言，要充分考虑到初中数学教学的阶段性特征，逐渐加强并巩固学生的分类讨论思想。

比如，学生在小学时只学习了正数的概念，缺乏对其它数学概念的了解。初中数学中，学生则需要接触到负数、有理数等新的数的概念。笔者在进行教学时，则分别对其进行了不同分类下不同结果的讲解，将不同概念的区分标准清楚而明晰的展示给学生看，让学生明白不同的分类标准会导致不同的结果。在这样的教学过程中，教师不但加强了学生的分类讨论思想，同时，也对学生进行了正负数、有理数等概念的区分。

2、分类讨论思维的启发。当学生培养并树立起一定程度的分类讨论思维之后，教师应当对学生的分类讨论思维进行启发式的培养。分类讨论思想在初中数学的解题中发挥着重要的作用。因此，教师不仅仅要培养学生的分类讨论思想，更应该培养学生分辨什么时候需要分类讨论思想，什么时候不用。

教师应该在教学过程中多多引导学生的主动参与，启发学生对于是否需要运用分类讨论思想进行探讨和研究。使得学生能够不断在分类讨论思想的强化中明辨分类探讨问题的特征，灵活运用。比如说笔者在对三角形进行分类时，就注重引导学生的分类讨论的启发性。笔者鼓励学生根据不同的分类标准对三角形进行分类，主动探寻分类讨论思想在何种情况下适合利用。学生通过自主的思考，将三角形分成直角三角形和非直角三角形（锐角和钝角三角形）、等腰三角形和非等腰三角形。这样的教学方式有利于锻炼学生的分类探讨思想的启发性，帮助学生明辨分类讨论思想的适用范围。

3、具体解题步骤探讨。当学生运用分类讨论思想时，教师如何正确的引导学生呢？笔者将其运用过程大体分为以下几个方面：一、仔细阅读题目，掌握所考察的知识点。教师要引导学生细致的阅读题目要求，明确题目考察的是哪一个知识点。二、分类列出所有讨论对象，不可遗漏或重复。在明确了知识点之后，教师要确保学生养成严谨的学习习惯，将所有的讨论对象都放在考虑范围之内，不可丢三落四发生偏差。

4、讨论出每一种情况的结果，并进行归纳总结，得出最后的结论。学生在运用分类思想对其进行实践性的探讨和分类时，应当注重思维的培养。教师不仅仅要培养学生的分类讨论思维，启发学生的分类讨论思维，对于学生分类思维实践的思路引导也是教学中不可缺少的一部分。

三、结语

综上所述，分类讨论思想对于初中数学教学有着提高教学效率的重要意义和价值。每一位数学教师都应该对这一思想予以充分的重视，深入研究其与初中数学教学的联系和意义，对学生进行这种思想的训练和培养。分类讨论思想的关键就在于将复杂而多面的问题细细剖开来分解成一个一个具有前提条件的小问题，运用分类探讨的思维将分化后的问题进行周全而细致的解答，最后，再将所有的解答结果进行概括总结归纳。

参考文献

[1] 杨继梓.初中数学教学中的分类讨论思想[J].陕西教育：教学版，2011.（5）.

[2] 丁守方.例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用[J].新课程学习：基础教育，2010.（10）.

全面剖析初中数学分类讨论思想教学 篇4

《直线与圆的位置关系》课例

教师在教学中对学生的数学思想方法的渗透存在的一些问题。

近日，我有幸聆听了王老师一堂课《直线与圆的位置关系》。听了这节课后，我想从“如何在数学概念教学课中向学生渗透分类思想”谈一些自己的想法。

在《直线与圆的位置关系》的教学中，王老师是这样引入的：（1）师：请每一位同学任意画一个圆和一条直线。

生：动手画圆和直线。

（2）师：收集并展示学生的作品。（用实物投影）

（3）师：拿出两张学生作品（如右图）。

问：这两张图有什么共同的特征？ 生（个答）：它们都有两个交点。

（4）

师：拿出两张学生作品（如左图）。问：这两张图有什么共同的特征？ 生（个答）：它们都没有交点。

（5）拿出两张学生作品（如右图）。问：这两张图有什么共同的特征？ 生（个答）：它们都只有一个交点。（6）师归纳直线与圆的三种位置关系。

（7）师：你能举一些生活中直线与圆的位置关系的具体例子吗？

生1：太阳从地平线升起的过程。生2：筷子摆放在碗上。生3：球放在桌面上。…

王老师想通过这个概念教学向学生渗透分类思想，但是在实际操作过程中却没有达到预想的效果。反思整个引入的过程，我认为最关键的是忽视了学生的“经历”。其主要表现如下：

一、忽视学生从现实生活中的具体事物抽象出数学图形的过程。“数学来自于生活”，提倡生活数学是新课标的一项重要内容。学生学习数学，其中就包括学习抽象和概括的能力。数学应该是来源于生活的。在向学生渗透分类思想的过程中，笔者认为最关键的是“为什么分类”，“你怎么想到要用分类思想的”。由此，笔者不禁想：是否将王老师的教学过程稍加调整。具体操作如下：

（1）展示现实生活中一些直线与圆的位置关系的具体事例，如太阳从海平面上升，动车在轨道上行驶等等。

（2）通过具体例子，提示学生以数学的眼光去看问题，从中抽象概括出它们都是涉及到直线与圆的位置关系的。

这样的设计可以让学生感受到：由于实际生活的需要，我们经常要对事物进行分类。这样就解决了教师向学生渗透分类思想时“为什么要分”的问题。

二、忽视学生对分类标准探讨、确定的过程。

王老师的（2）（3）（4）（5）四步是解决“如何分”的问题。笔者认为：王老师有意识地让学生动手（每一位同学任意画一个圆和一条直线），但是这种动手却是一种机械的动手，没有深度可言。教师在向学生渗透分类思想中重要的一项内容就是要让学生学会如何寻找分类的标准，即“怎么分”。区分的标准不应该是老师直接给出的，而是由学生自己发现并进行归纳的。

直线与圆的位置关系分类的标准是交点的个数。王老师的做法是：自己将这些图形进行分类，然后让学生去说明每一类的特征。因此，（3）（4）（5）三步的做法就失去了探索的意义。是否可以对这三步也进行调整。直接向学生抛出问题：“这么多图形，你能不能给它们进行分类？并说说你分类的标准。”然后让学生自己讨论，得出分类标准，然后上台展示。通过这样的活动，可以让学生经历“标准”产生的过程。而且学生通过探索逐渐学会如何寻找分类标准，这样也可以为结论的记忆带来帮助。反思：

出现这种问题的原因。

分类思想的渗透分为三步：“为什么分”----“怎么分”----“分的结果如何”。我们老师在课堂上，往往只重视“分的结果”，过多地要求学生记忆结果，而忽略了过程。对于“怎么分”“为什么分”简单带过，甚至出现根本不提“为什么分”。不仅仅是王老师，在我们平时听的很多公开课和随堂课中，上课教师也经常出现上述的问题。我认为出现这些问题的原因有以下几点：

1、教师没有很好地理解新课程理念。

新课程理念的核心是“素质教育”，要培养学生的能力。这就要求学生在教学中要处于主体地位，而教师处于主导地位。但是还有一部分教师对这句话的理解只停留在表面。以为让学生动动手，有个合作学习就是以学生为主体了。其实不然，真正以学生为主体不是看学生是否“动手了”是否“讨论了”，而是要看学生的思维是否被调动起来，积极主动地提出问题，解决问题。

2、教师对数学本质理解不到位，自身数学素养有待提高。

“我有一桶水，才能给你一杯水”。教师自身的数学基本功和数学素养，直接影响到他对学生的指导。看看我们周围，还有不少教师对数学的本质还没有很明确的认识。“抽象概括”，“化繁为简”，“分类讨论”，“数形结合”… 是不是每一位老师都能在教材中很清楚地找到它们的位置，在合适的时候向学生渗透呢？ 各个知识点之间的联系，高等数学对初中数学的指导…每一位教师是否都清楚呢？如果教师自己都不清楚，怎么来指导我们的孩子呢？

3、应试教育的后遗症，社会环境的影响，让我们的老师只重结果，不重过程。

由于受以前应试教育的影响，很多教师到现在还是会不自觉地“只重视结果，不重视过程”。长此以往，我们的孩子也是如此。很多孩子在预习或者学习的时候往往只看到书上的结果，很少有孩子去考虑这个结果是怎么来的。当然，这和我们周围的环境也有关系。现在的社会是一个功利的社会，很多情况下大家都只注重“结果”，没有去看“过程”。但是作为一位教师，作为祖国将来的栋梁的我们的孩子，绝对不能受这个环境的影响，做学问一定要扎扎实实静下心来。建议： 太大太空洞。找一些细小的，可以完成的措施。

针对上述种种原因，我也想谈谈自己的一些不成熟的建议，以供大家参考：

1、认真地去解读新课程标准，感受新课程理念。

每次听评课都会有老师把新课程标准、新课程理念拿出来当作参考。但是真正认真研究过新课标、新课程理念的教师却不多。很多教师对它们都只是一知半解，只见一斑。是否组织教师集中学习新课标，让每位教师都能更好地理解新课标和新课程理念。

2、提高自身素养，提高理论知识。

要提高教师自身的数学素养和理论知识可以通过以下一些途径。（1）多读书，读好书。不仅要读专业方面的书，还要看教育学、人物传记、古典文学、小说等等各个方面的书籍，提高自身素养。（2）有机会多听专家报告和讲座。每一位专家都有自己独到的见解和想法，听专家的报告和讲座，可以让我们“站在巨人的肩上”，看得更远。（3）多和别人交流，博取众家之长。“三人行，必有我师”。哲学告诉我们：看待事物要从不同的角度去观察。而我们每个人看待问题都不可能面面俱到，与同伴交流，可以让我们从不同的角度看事物，从而增加我们对某一事物或问题的理解。

3、不急功近利，沉下心来做学问。

全面剖析初中数学分类讨论思想教学 篇5

关键词：分类讨论思想,初中数学,解题

一、分类讨论思想概述

分类讨论思想, 指的就是在解决一个问题的过程中, 采取单一的某种方法是无法解决的, 而是需要把问题加以划分, 形成若干个可以用不同方式去处理的小问题, 在逐个将小问题解决之后, 最终实现解决问题的目的[1]. 分类讨论思想是一种极为关键的数学解题思路, 同时也是一种不可或缺的解题对策, 利用这种“化整为零、积零为整”的方式, 能够最大限度的提升学生的归纳总结水平, 且进一步强化学生思维的条理性与概括性. 学生在采取分类讨论思想对初中数学题进行解答时, 必须严格遵守以下四大基本原则, 分别是统一性原则、互斥性原则、相称性原则以及层次性原则等[2].

二、初中数学解题中分类讨论思想的具体运用

1. 分类讨论思想在实数、有理数中的运用

例1若|x| =4, |y| =5, 且xy <0, 那么x - y =.

分析: 一般xy <0可以分成两种情况进行讨论, 即x <0, y > 0亦或者是x > 0, y < 0.

解: 因为|x| =4, 所以x = ±4, 因为|y| =5, 所以y = ±5. 因为xy <0, 当所以x =4时, y = -5, 所以x - y =9; 当x = -4时, y = 5, x - y = - 9.

所以, 本题的答案为±9.

例2在 -1, 0, 0. 2, 3中, 正数共有______个.

分析: 一般可以将有理数分成两种, 其一为正有理数、负有理数、0; 二为分数、整数.

解: 由题可知, 正数共有2个, 分别是0. 2, 3.

2. 分类讨论思想在应用题中的运用

例2某家具厂生产桌子和椅子, 桌子每张定价200元, 椅子每张定价40元. 在对桌椅进行促销的过程中, 厂家为广大消费者提供两种购买方案. 方案一: 买一张桌子送一张椅子; 方案二: 桌子和椅子均按定价的90% 付款 ( 两种优惠方案不能同时使用) . 某家具店老板打算购买20张桌子和椅子若干 ( 超过20张) , 请你帮该老板选择一种比较划算的购买方案.

分析: 由于已知条件中并没有给出具体椅子购买数量, 因此比较划算的购买方案还无法明确, 而是由椅子的购买数量来决定的.

解: 设老板需要购买的椅子为x张, 则

方案一: 200×20 + ( x -20) ×40 =3200 +40x ( 元)

方案二: ( 200×20 +40x) ×90% =3600 +36x ( 元)

设 y = ( 3200 +40x) - ( 3600 +36x) =4x -400 ( 元)

当y >0时, 4x - 400 > 0, x > 100, 两种购买方案中, 第二种方案比较划算;

当y =0时, 4x -400 =0, x =100, 两种购买方案一样划算;

当y <0时, 4x - 400 < 0, 20 < x < 100, 两种购买方案中, 第一种方案比较划算;

由此可见, 当所要购买的椅子在20张以上, 但少于100张时, 方案一比较划算, 当购买的椅子数量为100张时, 两种购买方案一样划算, 当购买的椅子数量在100张以上时, 那么方案二比较划算.

3. 分类讨论思想在函数中的应用

例3已知函数y = ( m -1) x2+ ( m - 2) x - 1, 其中m为实数. 倘若函数的图象与x轴仅有一个交点, 求m的值.

分析: 上述该题应当从函数分类的方向来探讨, 分成两种情况, 即m -1≠0与m -1 =0, 以此来求出m的值.

解: 当m -1 =0时, 该函数为y = - 1 - x, 其和x轴仅有一个交点, 即该交点为 ( -1, 0) . 当m -1≠0时, 该函数则是一个二次函数, 由Δ = ( m -2) 2+ 4 ( m - 1) = 0, m = 0.

因此, 抛物线y = - x2- 2x - 1的顶点为 ( - 1, 0) , 位于x轴上.

4. 分类讨论思想在圆中的应用

数学中有关圆的题目, 极易出现漏解的情况, 之所以会出现这种情况主要是由于学生没有考虑到要对题目进行分类讨论[3].

例4假使半径分别为6与4的两圆相切, 那么两圆之间的圆心距为 ()

( A) 10 ( B) 2 ( C) 5 或 1 ( D) 10 或 2

分析: 两圆相切一般分为两种情况, 即外切、内切.

解: 如果两圆为外切, 那么两圆之间的圆心距是10; 如果两圆为内切, 那么两圆之间的圆心距是2. 因此, 本题的答案为 ( D) .

总之, 通过分类讨论思想在实数、应用题以及函数等中的具体应用, 能够了解到通过对分类讨论思想的准确应用, 对各种问题展开分类探讨, 使一个个大问题化整为零, 进而逐个突破, 然后在进行积零为整, 最终让一个复杂的问题获得全面的、严谨的解答.

参考文献

[1]黄国金.分类讨论思想在初中数学解题中的运用及教学渗透[D].浙江师范大学, 2010.

[2]史志亚.分类讨论思想在初中数学解题中应用分析[J].数学大世界 (教学导向) , 2012, (11) :64-65.

初中数学分类讨论思想例析 篇6

【关键词】数学 分类讨论 原则

数学思想是数学的精髓，初中阶段常见的数学思想包括类比思想、数形结合思想、化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想等。其中分类讨论思想贯穿于整个初中数学，它已经成为各地近年来中考命题的热点。

一、分类讨论的定义和意义

把所研究的问题根据题目的特点和要求，按照一定的标准，把有关问题分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称为分类讨论思想。分类讨论既是一种重要的数学思想方法，也是数学的一种基本解题策略。一方面它可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当地分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的意识，增强学生周密严谨的数学素养。

二、分类讨论的原则

1.同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据，否则在解题时会出现漏解的情况。

例如：化简：|X-3|-|5-X|

此题根据题意，把X的取值分为三段，都在同一标准进行分类讨论。

解：当X<3时，原式=（3-X）-（5-X）=-2；

当3≤X<5时，原式=（X-3）-（5-X）=2X-8；

当X≥5时，原式=（X-3）-（X-5）=2.

2.互斥性原则。分类后的每个子项应当互不兼容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项，否则在解题时会出现重复的情况。

例如：解不等式（a-1）x>a2-1

此题x的系数（a-1）应分成三种情况： a-1>0， a-1=0， a-1<0.这三种情况互相排斥。

解：（1）当a-1>0 即a>1时，则x>a+1；（2）当a-1=0即a=1时，原不等式为0·x>0，不等式无解；（3）当a-1<0 即a<1时，则 x1时，x>a+1；当a=1时，不等式无解；当a<1时，x

3.层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。有些对象的分类情况比较复杂，这时常采用“二分法”来分类，就是按对象有无某性质来进行分类。按“二分法”作分类，就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念，一直分到不必再分为止。

例如：已知在△ABC中，∠A=50°，当∠B=_____度时，△ABC是等腰三角形？

此题中的∠A有两种情况：∠A是顶角或底角。当∠A是顶角时，∠B必为底角；当∠A是底角时，∠B又有两种可能：顶角或底角，故又需进行分类讨论。

解：当∠A是顶角时，∠B必为底角，得65°；当∠A是底角时，∠B又有可能为顶角或底角，当∠B为顶角时，得80°，当∠B为底角时，得50°，故答案为50°、65°或80°。

三、分类讨论的常见情况

掌握用分类讨论思想解题的关键在于搞清楚哪些情况下会引起分类讨论。下面笔者结合平时的教学实践举例说明引起分类讨论的一些常见情况。

1.由于分类概念或定义而需要分类讨论

有些数学概念是分类定义的。如实数的绝对值（正数、0、负数的绝对值），两圆相离（外离、内含） ，两圆相切（外切、内切）等，所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。

例如：已知|x+1|=3，y2=4，xy<0，求2x+y的值。

本题中的绝对值和偶次幂是分类定义的，x+1可能为正数或负数，y也可能为正数或负数，因此要进行分类讨论。

解：由题意得x+1=±3，y=±2，所以x=2或-4；y=2或-2。又因为xy<0，即x、y异号，所以有两种情况：（1）当x=2，y=-2时，2x+y=2 ；（2）当x=-4，y=2时，2x+y=-6.

又如：圆心距为5的两圆相切，其中一个圆的半径为2，则另一个圆的半径为________。

本题中的两圆相切是分类定义的，因此要进行分类讨论。

解：当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，即是3；当两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差，即是7，故填7或3.

2.由于题设和结论有多种可能而需要分类讨论

例如：一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为______。

本题的条件是不唯一的，这个等腰三角形腰为3还是7？问题中没有说明，所以要分为两种情况讨论。

解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，7，3+3<7，三边关系不成立；当等腰三角形的腰为7时，三边为3，7，7，三边关系成立，周长为3+7+7=17.故答案为17.

3.由于参数取值范围不同而需要分类讨论

对于具体问题，如求函数解析式、方程的解、不等式的解集等问题中随着参数取值不同而变化，这时要对参数的取值进行讨论。

例如：已知一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-1≤x≤1，相应的函数值的取值范围是3≤y≤-1，求这个一次函数的解析式。

本题中的一次函数y=kx+b中的k有可能>0，也可能<0，两种不同的取值范围导致y随x的变化不同，所以要分类讨论。

解：（1）当k>0时，y随x的增大而增大，把x=-1，y=-1；x=1，y=3代入一次函数的解析式y=kx+b中，运用待定系数法即可求出函数的解析式为y=2x+1；（2）当k<0时，y随x的增大而减小，把x=-1，y=3；x=1，y=-1代入一次函数的解析式y=kx+b中，运用待定系数法即可求出函数的解析式为y=-2x+1.

4.由于位置或形状不确定而需要分类讨论

对于条件中没有明确图形在什么位置或是什么形状时，应根据不同位置或形状进行分类讨论。

例如：在直角边分别为3cm和4cm的直角三角形中作菱形，使菱形的一个内角恰好是三角形的一个角，其余顶点都在三角形的边上，求所作菱形的边长。

本题中的菱形与三角形公共的内角不确定，公共的内角可能是直角，也可能是两个锐角中的其中一个，所以要需要进行分类讨论。

解：（1）如图1，当公共的内角是直角时，菱形是正方形， 设正方形的边长是x，则上面的小三角形与原三角形相似，得到， 解得x=， 则菱形的边长是cm； （2）如图2，当公共的内角是∠C时，△BDF∽△BAC，根据勾股定理求得AC=5， 设菱形的边长是x，得到，解得x=，则菱形的边长是cm.（3）当公共的内角是∠A时，△CEF∽△CAB， 设菱形的边长是x，得到，解得x=，即菱形的边长是cm.

由此可见，分类讨论思想是解决数学问题常用的一种方法，对学生的能力要求较高，是一个难点，学生在解答此类问题时极易漏解。我们应在教学中有目的、有计划地对学生渗透和强调，加强这方面题型的训练、强化，巩固知识点，让学生逐渐产生分类讨论的意识，解题中仔细分析题意，挖掘题目中可能出现的不同情况，然后采用分类讨论的思想加以解决，使一些错综复杂的问题变得简单，解题思路变得清晰，提高分析、解决问题的能力。

【参考文献】

[1]刘贻阁.分类讨论的三原则四步骤[J].中学数学，2005（2）.

[2]陈敦峰.浅谈数学中的分类讨论思想. 理科爱好者，2011（3） .

全面剖析初中数学分类讨论思想教学 篇7

关键词：初中数学教学 分类讨论思想 原则

分类讨论思想其实就是一种重要的教学思想，也是一种重要的解题策略，因其不仅可以体现了化整为零，积零为整的思想与归类整理的方法，同时也揭示着数学对象之间的内在规律，以便让学生更好的掌握文化知识。将分类讨论思想有效的应用在解题当中，可以更好的提升我国初中化学教学教学效率。

一、初中数学中分类讨论思想的应用应该遵循的原则

1.互斥性与多层性原则

互斥性原则其实就是指在分类之后，各子项应相互排斥，不能够促使其中的部分事物同属于一个子项。用一个简单例子来说明：譬如，一个班学生参加快跑与篮球比赛的学生一共有8个人，其中参加快跑比赛有5人，而篮球比赛有5人，这些都是由于两人两项比赛都有参加，若将着8人分类为参加快跑与篮球比赛两类，其主要存在逻辑性错误。除此之外，在进行初中数学解题的过程中，分类讨论又一次与多次分类讨论之分，所以将讨论的对象分作两个层次性的相互矛盾的概念，以便于更好的将枯燥无味的数学知识展示给学生，从而将数学知识逐层。

2.同一性与相称性原则

要想把分类讨论思想有效的运用到初中数学解题当中，教师应该做到以下几步：第一步，要确定分类讨论的对象，从而进行分类，并且分类的过程中一定要做到，主次清晰，不叠加，不遗漏。譬如，在对三角形进行分类的过程中，教师可以将三角形分成等腰三角形、锐角、直角三角形以及钝角三角形等等。值的注意的一点就是分类要相称，换句话说其实就是在分类之后，分类子项的并集要与母项的子集相称。

二、探讨分类讨论思想在初中数学教学中的应用

1.分类讨论思想在应用题中的运用

譬如，某家具厂主要生产桌子和椅子，桌子的市场定价大概为每张200元，而椅子的市场定价为40元，厂家为了能够提升这月的销售额，给广大消费者提供了两种购买方案，其一方案：买一张桌子送一张椅子。其二方案：桌子和椅子均按照定位的90%付款，但是两种优惠方案不能同时使用。如果某家具店老板打算购买20张桌子和椅子若把，请给家具店老板制定出一个非常划算的购买方案。

分析：由于题中没有直接的给出家具店老板要购买椅子的数量，所以，在制定方案时难免会有些麻烦。解题方式如下：

解：设家具店老板需要购买的椅子为x张，则有两种方案分别是：第一种方案，200×20+x-20）x40=3200+40x（元），第二种方案，（200x20+40x）x90%=3600+36x（元）设y=（3200+40x）-（3600+36x）=4x-400（元）而当y>0时，4x-400>0，x>100，由此可看，两种购买方案中，第二种方案比较适合。如果当y=0时，4x-400=0，x=100则两种购买方案均可以使用。而如果当y<0时，4x-400<0，20

2.分类讨论思想在三角形问题中的应用

众所周知，初中数学教学中的三角形问题中，经常运用到分类讨论的思想，因可以让学生更好的掌握数学知识，以便于更好的提升数学课堂教学效率。譬如，在已知两边长且图形为等腰三角形，求该三角形面积为周长。在此条件下，并不明确已知条件下，不知道那条底为边长，那条为腰，这时就需要进行分类讨论，方可尽快找到答案，抓住题中的关键因素，如例题：已知3cm与4cm分别为直角三角形的两边长，求直角三角形的第三边长。解此题，需要把分类讨论思想有效的应用在教学中，把分为4cm为斜边长或者一直角边长这两种情况，从而分别求出第三边长为7cm，或5cm。

3.分类讨论思想在函数问题中的实际应用

譬如，已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）若函数的图像与x轴恰好有一个交点，求a的值是多少？

分析：当此函数为一次函数时，a=0，求得与x轴交点为（-1，0）而如果当此函数为二次函数时，a不能等于0，即a=0.25时，有一个交点为（-2，0）

综合以上分类，a=0，或者a=0.25。在面对此题时，教师一定要让学生知道考核点是根据一次函数与二次函数的变换而确定存在的分类讨论必要。因由于函数中x2前的变量a不定，换句话就是a有可能就是任何一个数字，因此，要首先对a的取值进行分类讨论，其实就是a=0时的讨论方案与a不能等于0时的讨论方案。然后，要引导学生要找准a的取值范围后，继而让学生快速进入到函数的变换中，由此可以得出，当a=0时，函数为一次函数，当a不等于0时，函数即为二次函数。从上述解题可以看出，将分类讨论思想有效的应用在函数解题当中，其不仅可以让解题内容更加简单，也可以促使学生能够更快的熟悉一次函数与二次函数的区别，最终在脑中有一个简单的架构，从中得出相应的解题方案。

4.分类讨论思想在不等式问题中的实际应用

就目前的发展趋势来看，分类讨论思想在初中数学教学中得到了广泛的应用，其在不等式问题中应用最为广泛。譬如，在八年级一例题中，解不等式（h-1）x>h2-1，若不加区分，得出x>h+1就错了。因为k-1的值可以是h-1>0，h-1=0，由此可以得出，分类情况不同时，讨论的结果也就不相同。解题过程如下：

解析：当h-1>0，即为h>1时，则x>h+1.如果当h-1=0时就是h=1时，则原不等式无解。而如果当h-1<0时，其h<1时，由此可以推断出x1时，x

5.分类讨论思想在圆中的应用

圆是初中数学教学最重要的教学内容，其主要包括圆的对称性，圆与直线，等等。而在圆的对称性及位置关系的解题过程中，分类讨论思想成为了主要的解题思想。其不仅可以让学生更加明白题目中的变量及图形与图形之间的距离，而且还可以让学生在解题的过程中更加清楚知道应该采取何种解题方法进行解题，更可以促使解题结果更加准确。譬如假设半径分别为6和4的两圆相切，求两圆之间的圆心距是多少？从题中可以分析出：如果两圆为外切，则两圆之间的圆心距就是10，而如果两圆为内切，则两圆之间的圆心距就是2。所以，两圆之间的圆心距为10和2.从上述解题可以看出，分类讨论思想确实应该在教学中得到广泛的应用，以便于更好的提高学生的学习效率。

三、结束语

综上所述，将分类讨论思想应用在初中数学教学中即是新课程理念的要求，也是学生发展的需要。所以，在进行数学教学的过程中，教师一定要根据实际的教学内容有效的将分类讨论思想应用在不等式、圆以及函数的解题中，以便于让学生更好的进行解题，从而提高学生的学习效率，促进初中数学教学效率得以提升。总地来说，分类讨论思想不仅是一种深化的数学思维方式，也是一种对数学的认知能力。

参考文献：

[1]刘江华.分类讨论思想在高一数学教学中逐步渗透的实践探究[D].河北师范大学，2013.

[2]李学.分类讨论思想在初中数学教学中的应用与实践[J].散文百家，2015，（05）：64+85.

全面剖析初中数学分类讨论思想教学 篇8

一、分类讨论思想的概念

在数学题中, 每个结论都有其成立的条件, 每一种数学方法也有它自己的适用范围.在数学问题中, 当问题所给出的对象不能够用统一的形式进行研究的时候, 就需要以一定的标准、按照不同情况对其进行分类研究, 转化成若干类小问题, 并得出每一类的结论, 最后综合每一类的结果, 找到整个问题的答案.这个过程就叫做分类讨论, 这种思想称为分类讨论思想.

二、哪些问题需要进行分类讨论

1.数学中有一些概念、性质、定理、公式、法则是分类的定义或分类讨论所给出的, 如实数的绝对值、直线与平面所成的角、完全平方式的算术根等, 这些数学的概念都是分类定义的, 在运用它们时需进行分类讨论.

例1 若undefined, 则x的取值范围是 ( ) .

undefined

分析 我们知道, 对数函数的单调性是由x∈ (0, 1) 和x∈ (1, +∞) 这两种情况来确定的, 因而如果从对数函数单调性的角度来解答, 也应分两种情况:①即当x>1时, 函数为增;②当0

2.某些数学概念、数学公式有范围和条件限制, 当解题过程的变换需突破这些范围或限制条件时, 必然要分类讨论.研究含参数的方程、函数不等式等问题时, 由参数值的大小的变化而导致结果的变化, 也需要分类讨论, 如异面直线所成角、反正弦的主值、等比数列前n项和公式等.

例2 已知undefined, 试求undefined的最小值.

分析 本题要注意隐含条件对结果的制约作用, 将整体化为部分, 经分类讨论解答后可得函数undefined的最小值是undefined

3.在推理过程中, 如果遇到数量大小的不确定, 图形位置或形状不确定时, 必须要用分类讨论来保持解题结果的完整性, 如几何图形中由于图形的变化或形状不确定, 使问题结果具有多种可能性.

例3 与空间不共面的四个点距离相等的平面共有 ( ) 个.

A.7 B.6 C.5 D.4

分析 由空间四点不共面可知它们不可能都位于某一平面的同一侧, 满足条件的平面可以分为两类:①将已知的四点隔成一侧3个, 另一侧1个, 这样的平面有4个;②将已知的四点隔成每侧各有两个, 这样的平面有3个.综上可知答案为A.

4.在某些问题中, 运算的实施需要一定条件, 如除法中必须满足除数不为零, 开偶次方被开方式必须非负, 对数运算的真数必须大于零, 等等, 当需要实施这些运算时就要考虑用分类讨论.另外在某些问题中, 能满足已知条件的不止一种, 需要对所有的可能情况进行分类讨论.

例4 若A={x|x2+ (m+2) x+1=0, x∈R}, 且A∈R+=∅ (空集) , 则实数m的取值范围为 ( ) .

A.m≤-2 B.m≥-2

C.m>-4 D.m≥0

分析 由A∈R+=∅, 可知方程x2+ (m+2) x+1=0没有正根, 可能情况有两种:①方程没有实根;②有实根但没有正根.分别从 (m+2) 2-4<0和 (m+2) 2-4≥0来解, 得出答案为C.

三、分类讨论的方法和步骤

1.确定分类的对象和标准

分类的对象是指使问题变幻不定的因素, 分类标准就是使变幻不定的问题转化为相对稳定的问题的分类界值.分类讨论的第一步是要确定分类的对象和分类的标准, 要确定分类讨论的对象和分类标准, 必须要首先明确引起讨论的原因是什么.

2.依据分类的原则进行科学分类

分类讨论思想实际上就是逻辑划分, 是将整体化为部分来解决问题的数学思想方法.用分类法来解题时, 必须保证分类时不重不漏, 并力求最简.设全域为集合A, 每一种分类都是集合A的子集, 那么把所有子集相并, 必然等于集合A;任意子集相交, 必然为空集.

3.逐类讨论、求解, 注意分类的层次性

当一次分类不能解决问题或讨论的对象为两个以上时, 必须进行多层次分类.每一层次的分类必须要有各自统一的分类标准.另外, 在同一次讨论中, 只能确定一个标准.

4.进行结论的归纳和总结, 得出最终答案

分类讨论结论的归纳有三种方式:并列归纳.并集归纳和交集归纳.并列归纳是将讨论的结果用并列复句的形式给出;并集归纳是对每一类归纳的结果求并集并作为最后的结论;交集归纳是对每一类归纳的结果求交集作为最后的结论.

例5 设M={x|x2+4x=0}, N={x|x2+2 (b+1) x+b2-1=0}, 若M∩N=N, 求b的值.

解 由已知得, M={0, -4}.

∵M∩N=N,

∴N⊂M.

按集合N中所含元素的个数分类:

(Ⅰ) 若N=∅, 则4 (b+1) 2-4 (b2-1) <0, 解得b<-1.

(Ⅱ) 若集合N含有一个元素:

①当N={0}时, 则b2-1=0, 得b=±1.

当b=1时, N={x|x2+4x=0}={0, -4};

当b=-1时, N={x|x2=0}={0}.

∴b=-1.

②当N={-4}时, 则b2-8b+7=0, 解得b=1或b=7.

当b=1时, N={0, -4}, 此类无解;

当b=7时, N={x|x2+16x+48=0}={-12, -4}.

(Ⅲ) 若集合N中含有两个元素即N={0, -4}, 此时解得b=1.

综上, b≤-1或b=1.

四、如何在教学中渗透分类讨论思想

1.充分挖掘数学教材中的分类讨论思想

数学是思想方法和知识的结合, 两者缺一不可.教材中很多地方包含了分类讨论问题, 教师要充分挖掘蕴含在教材中的分类讨论思想, 并予以阐述、揭示和强调, 引起学生对这种数学思想的重视.

2.在解题指导中突出分类讨论思想方法的运用

教师是教学过程的主导, 教师有效地指引对学生数学思想和能力的形成具有不可估量的作用.“中学数学的首要任务就是加强解题训练”, 解题是培养学生数学能力和思维的重要手段.通过对题目的解决, 能够从中提炼出方法, 并上升到思想的高度.

3.在作业中培养学生自觉运用分类讨论思想的习惯

“实践出真知”, 作业是学生实践和巩固课堂知识的途径, 合理布置作业, 能够激发学生独立思考, 体会题目中蕴含的分类讨论思想, 获得成就感, 从而养成自觉运用分类讨论思想的习惯.

4.在教学过程中加强分类讨论思想的培养

分类讨论思想的形成和掌握不是一蹴而就的, 需要老师在教学过程中循序渐进地指导.在进行概念教学时, 老师应让学生了解概念、结论产生的背景及其运用, 理解其基本概念, 感悟其中蕴含的数学思想.例如在不等式的关系教学中, 有一题:“设a∈R, 解关于x的不等式a2x2+2ax-3<0.”可向学生说明, 在解此不等式时由于a∈R, 因此, 不能按一元二次不等式的解法进行求解, 因为当a=0时, 原不等式化为-3<0, 解集为R, 因此解题必须应分为a=0与a≠0这两种情况进行讨论.在求出a2x2+2ax-3<0的两根数值时也需对其进行讨论.

参考文献

[1]韩文国.高中数学教学实施素质教育的思考[J].佳木斯教育学院学报, 2010 (3) .

[2]江春梅.新课程下高中数学教学策略初探[J].中国校外教育, 2010 (2) .

全面剖析初中数学分类讨论思想教学 篇9

分类讨论必须要遵循一定的原则, 才能使分类更加科学、严谨, 从而正确、合理地解题.分类讨论的原则有同一性原则、互斥性原则和层次性原则.

分类讨论思想也是中学必须掌握的数学思想之一.对于刚刚进入初中的孩子们, 接触分类讨论思想并不是很多, 而且这个年龄段是由形象思维向抽象逻辑思维过渡的转折期, 他们的学习还是以间接性经验为主.他们对数学思想的理解不可能主动的形成, 而且也不是特别深刻.所以在引入分类讨论思想时, 必须借助一定的材料, 循序渐进地引导学生慢慢领悟.在这种条件下, 我将教学难度设立在学生能理解分类讨论的重要特点:不重不漏.

我在教学初一“三角形按边分类”这节课时, 就尝试对学生进行分类讨论的数学思想的渗透, 收到了非常好的效果.以下是教学片断:

……

师:我们小学就知道三角形可以按边分类, 按角分类.同学们还记得按边是怎么分类的吗?

生:等腰三角形和不等腰三角形.等腰三角形还包括等边三角形.

师:这么麻烦啊.不如直接将三角形分为等边三角形, 等腰三角形和不等腰三角形, 行不行啊? (本班学生思维活跃, 敢于质疑.)

生:不行.

师:为什么不行啊?

生:这样任何一个等边三角形就既属于等边三角形, 又属于等腰三角形了.

师:那又怎么样?不行吗?

生:老师, 那就重复了.

师:他说那就重复了, 谁来帮他解释一下什么叫重复了? (带动更多学生来参与课堂教学, 尤其是数学成绩不是特别好的学生)

生: (思考)

师: (提示) 或者说什么重复了?是三角形重复了?还是等边三角形和等腰三角形重复了?

生:等边三角形和等腰三角形重复了.

师:那就是说, 在我们给三角形分类时, 每一类都必须是不重复的 (对以上的讨论进行总结) .比如说:把我们班同学分成男生, 女生和15岁以下的同学, 行不行? (举出显而易见的例子, 帮助学生理解.)

生:不行.

师:为什么?

生:这样分类的话, 就重复了.一名同学可能既属于女生, 又属于15以下的同学.

生A:老师, 可不可以这样分类? (突然杀出个“程咬金”.) 师:怎么分类?你说说看.

生A:把我们班的同学分为语文好, 数学好和英语好的? (学生立马炸开了锅.)

生:不行, 重复了.

生:还有哪一门都不好的.

师:是啊, 而且什么叫语文好的?

生A: (看了一会) 期末考试时哪一门分数最高就算是哪一门好.

师:同学们想想看, 这样分类有什么问题吗?

生:如果有名同学有两门分数是一样的怎么办?

师:是啊, 比如数学和语文分数一样, 那到底是归为数学好那一类还是归为语文好那一类呢?

生A:都归.

生:那就重复了.

生A:都不归.

师:那这名同学就没地方去了, 这样分类就不完整了.你提出的这个问题很好, 不光明确了分类的不重复原则, 而且启发我们分类不能遗漏.我们再举个例子:在讨论x的时候, 我只把x的范围分为大于0和小于0这两类, 行不行?

生:不行, 这样就漏掉了等于0.

师:对, 所以我们在分类时, 还有一个重要原则, 那就是不遗漏.好, 回到我们对三角形按边分类的问题上, 我们怎么保证分类时既不重复又不遗漏呢?

生B:按照一定的标准去分类.比如在这个分类中, 就是按照三角形三条边的等量关系来分的.

师:对, 你先坐下来, 换名同学.你能具体说说是什么等量关系吗? (这个问题是在小学就熟记的知识, 同学们基本都可以回答.)

生C:三条边都不相等的是不等边三角形、两条边相等和三条边都相等的是等腰三角形.

生D:等腰三角形就是至少有两条边相等的三角形.

生:任何两条边都不相等的是不等腰三角形, 至少有两条边相等的是等腰三角形.若三条边都相等就是特殊的等腰三角形———等边三角形.

师:对, 同学们思考问题非常严谨.我们按照一定的标准来分类就能保证不重不漏.

……

课后总结:

由于加入了分类讨论的数学思想, 使得原本老生常谈的一节课变得特别的充实.这节课中对学生循序渐进的引导提高了学生学习数学的兴趣, 锻炼了学生的逻辑思维能力.由于有了这样的铺垫, 学生在学习之后的三角形三条边之间的关系时明显思维有条理多了.如果我们经常用各种方式强化学生的理解, 我相信学生肯定能慢慢形成清晰严密的思考习惯.

全面剖析初中数学分类讨论思想教学 篇10

关键词：高中数学；分类讨论思想；应用方法

G633.6

分类讨论属于数学思想中的重要一种，主要是针对数学相关对象做异同点的分类划分思想运用，依据每一种类别做对应的求解与分析后获取答案。在高中教学中分类讨论思想运用广泛，贯穿与整个教学。分类讨论可以将较为复杂的知识材料进行有效分解条理化，进而有效的为解题提供更清晰的思维状态，在高中数学中应用广泛。

一、分类讨论思想的定义运用原则

分类讨论思想属于数学思维方式的一种，主要是在分析与解决问题中，针对讨论对象无法有效采用统一性分析操作时，需要将研究对象与问题划分为多个部门，而后针对各部门做对应的细化分析，一直辅助问题的解决。

分类讨论思想运用需要保证同一性、互斥性、层次性与相称性。同一性主要需要让分类依照统一标准开展，不可以存在分类标准的差异性。互斥性则代表分类之后的子项需要保持不相容的特点，各子项之间存在排斥状态，不能存在子项的同属状态。相称性主要是在分类后需要各子项所具有的外延总和应该与母项相同状态的外延。层次性则表示分类中可以进行多次与一次分类。一次分类是针对讨论对象做一次分类处理，而多次分类是将分类后的子项再作为母项做再一次的分类处理，一直分类到其达到更为清晰明确与理想为止。一次分类主要针对简单讨论对象而言，而多次分类主要针对复杂讨论情况，可以将讨论对象的外延做互不矛盾的持续划分，直到其无法再分类为止。

二、分类讨论思想在数学中的应用范围

分类讨论可以运用在数学概念的定义中，或者因为条件局限而导致分析受阻，可以通过分类讨论来达到定义了解的清晰化。其二，可以运用在运算与证明中，如果无法有效清晰的做好对应证明处理，可以通过分类讨论来将内容阐述或者运算处理清晰化，分析不同条件与情况下的解题分析。其三，在对于点、面或图像缺乏确定位置关系，或者在存在多种可能状况下，需要通过分类讨论来分析具体位置关系状况。例如线与线之间的位置关系可以表现为交叉、平行与重合；线与曲线之前可以存在相切、相交与相离等状况；同时不同的图形在空间位置上也会存在一定位置关系；在二次函数中也会由于定点的差异而导致最终值的变化。其四，可以运用在数学定理、公式与函数性质等各方面。一般在数学定理与性质上的讨论会存在条件局限，因此在分析中，需要对内容与公式的符合情况做有效讨论。其五，在参数值产生改变下可以使用，在方程、函数或者不等式中会由于参数值的差异而导致结果的变化，因此需要分类讨论。

三、分类讨论思想运用方法

1.依照规范步骤

在高中数学教学中运用分类讨论需要依照一定步骤，首先，需要对分类讨论对象做对应领域划分与定义，确定其归属的知识点内容。其次，按照对应领域标准做科学合理的划分，在分类中需要避免重复性问题，保持各子项的独立性与不相关性，同时要避免存在分类情况的遗漏，保证分类的完整性。其三，需要对分类做对应的细致分析求解，依据不同情况做各子项结果分析。其四，需要对所有分类子项分析结果做汇总分析，从而对整个研究对象得出最终结论。

2.课堂教学中渗透

在分类讨论的使用情况下，课堂教学运用较为广泛，同时该使用可以达到一定示范作用，提升学生的模仿与学习能力。这种分类讨论不仅仅是将分类讨论思想运用在具象化的提醒或者理论中，更是需要强调学生之间在课堂上的小组讨论能力，加强学生之间的交流合作，发挥学生自身知识储备与分析能力。同时在分类对象的选择上需要依照统一性标准，避免重复、遗漏，要保持层次性，避免越级讨论等问题。要指导学生对知识有更灵活的整合分析与归纳能力。不仅要进行常规应用题类别的教学，同时需要强化专题训练，这样可以让学生对于相关内容做更为系统深入性的分析，从而对不同的数学模型与提醒做有效的分类总结。利于学生找准不同知识点与题型的特点，从而快速有效的分析内容而得出结论。要充分的了解数学教材中所含有的分类讨论素材，其中包括公式、习题、定义与相关数学法则，需要不断引导与强化学生自身的分类讨论思想，通过单个应用题就可以让学生展开不同解题方法的分析讨论，进而对一种题型内容的解答方式做深入全面的分析总结。例如，在章节知识点开始，可以对本章节学习的知识点做汇总分析，分析不同类别知识点的联系图，让学生对知识点学习内容范围做有效的准备。在章节知识点学习完后可以对整体学习的知识点做汇总分析。

3.课下习题与生活中渗透

除了课堂教学中渗入分类讨论思想，在课下习题中也可以充分展现，需要充分的把控该思想运用的时机，达到分类讨论思想效果的巩固。一般情况下课下习题可以针对课堂分类讨论思想教学运用情况做对应的配套强化，让学生学习该思想的同时能够有效的深入掌握与灵活运用。可以在习题的完成要求上做一定规定，适宜的做好分类讨论思想运用的引导。

在日常生活中也存在着大量的高中数学知识，可以让学生针对生活现象与问题做有效的分类讨论思想运用，让数学思维来源于生活，同时更好的回归到生活中。将数学问题依照一定科学标准划分为多个领域，而后再针对多个领域做针对性异同分析，而后做对应的分类总结。尤其是对于生活中的问题较为复杂，需要通过分类讨论来理清思路。

四、结束语

分类讨论思想在高中数学教学中运用广泛，可以有助于学生解析繁复问题，理清分析思路，促进数学与知识理解与运用的效率与效果，是高中数学教学中不可或缺的关键性数学思维方法。需要针对学生实际情况做对应的引导，让学生掌握该思维方式的技巧，提升思维运用的有效性。

参考文献：

[1]金光华.浅谈分類讨论思想在高中数学教学中的应用[J].科学导报，2014，（z2）：39-39.

[2]祁义和.高中数学思想方法之分类讨论思想[J].东西南北·教育，2014，（4）：39-39.

[3]陈志鸿.探析高中数学教学中的分类讨论思想[J].都市家教（下半月），2015，（2）：138-139.

作者简介：

全面剖析初中数学分类讨论思想教学 篇11

关键词：数学,分类讨论,标准,步骤

在高中数学问题中广泛地存在含有参数的各类问题, 这也是近年来高考考查的重点和热点之一。以数学命题的条件和结论的结构为标准, 我们可以把含参数的问题大致分为两种类型:一是根据参数的取值范围, 去寻求命题可能出现的结果, 从而归纳出命题的结论;二是给定命题的结论, 去寻求参数的取值范围或者应满足的条件。然而这些问题的求解往往都会涉及分类讨论的思想方法, 本文中笔者就分类讨论的思想方法在这类问题中的应用进行一些探讨, 不妥之处, 敬请斧正。

解决含有参数的问题, 需要用到分类讨论的方法时, 首先要明确需要讨论的对象, 再根据题目的条件和所涉及的数学概念、定理、公式、性质以及运算的需要等进行科学合理的分类, 然后逐类进行讨论, 寻求各自的结果, 最后归纳出命题的最终结论, 达到解决问题的目的。其根本在于化难为易, 化繁为简, 这是比较常见的解题策略和方法。

一、科学合理的分类

何谓科学合理的分类, 就是把一个集合A分成若干个非空真子集Ai (i=1、2、3…n) (n≥2, n∈N+) , 使集合A中的每一个元素都属于且仅属于某一个子集。即满足:

则称对集合A进行了一次科学的分类。

科学的分类需要具备这样两个条件:一是确保分类不能有遗漏, 二是确保分类不能有重复, 即通常所说的不重不漏。在此基础之上再根据题目的条件和性质, 做到尽可能减少分类。

二、确定分类标准

解题过程中如果已经确定了需要分类讨论的对象, 那么接下来要做的就是以什么样的标准来分类, 这也是学生最困惑的地方, 同时也是分类讨论的关键。通常情况下我们可以从以下三个方面入手来分析确定分类的标准。

1. 根据数学中的概念确定分类标准

例如:数学中的绝对值是这样定义的:

例1求函数y=│x+1│+│x-2│-2的值域。

解:函数y=│x+1│+│x-2│-2的零点是x=-1和x=2, 所以应该以-1和2作为分类讨论的标准, 将定义域R分成三段, 即x<-1, -1≤x≤2以及x>2进行分类讨论:

ⅰ) 当x<-1时, y=-2x-1

ⅱ) 当-1≤x≤2时, y=1

ⅲ) 当x>2时, y=2x-3

综上所述,

2. 根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准

高中数学中的许多定理、公式和性质, 在条件发生变化时有着不同的结论, 所以在使用过程中就要注意分类讨论, 分类讨论的依据是定理、公式和性质中的条件。

例如:等比数列前几项和公式是分段给出的:

3. 根据解题中的需要确定分类标准

例如:解不等式组

例2已知圆 (x-2) 2+ (y-3) 2=1, 求该圆与x轴和y轴的截距相等的切线l的方程。

解:由题意设切线l与x轴和y轴的截距分别为a, b, 则a=b, 根据直线方程的适用范围可知必须对截距a和b是否为零进行讨论:

三、分类讨论的方法和步骤

通常情况下运用分类讨论解题时的常规步骤应分为: (1) 确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围; (2) 确定分类标准科学合理; (3) 逐类进行讨论得出各类结果; (4) 归纳各类结论。

综上所述:

四、结束语

分类讨论思想在初中几何中的应用 篇12

初中几何主要研究的图形就是点、线、角、三角形，四边形和圆，在一些问题中，由于点的位置的不确定性，或者三角形的边角的不确定性，或是运动过程中图形的变化引起的结果的不唯一，就需要进行分类讨论。下面通过一些三角形、、圆和图形相互运动中的实例来谈谈几何中常见的分类讨论思想的应用。

一、三角形中分类讨论思想的应用

一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类。

1、三角形的形状不定需要分类讨论

例1、 在△ABC中，∠B=25°，AD是BC上的高，并且，则∠BCA的度数为_____________。

解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 如图1，当△ABC的高在形内时，由， 得△ABD∽△CAD，进而可以证明△ABC为直角三角形。由 ∠B=25°。可知∠BAD=65°。所以∠BCA=∠BAD=65°。 如图2，当高AD在形外时，此时△ABC为钝角三角形。 由，得△ABD∽△CAD 所以∠B=∠CAD=25°∠BCA=∠CAD+∠ADC=25°+90°=115°

2、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论

例2、 已知x，y为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为______________。

解析：由，可得且， 分别解这两个方程，可得满足条件的解，或。

由于x，y是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。

当两直角边长分别为2，2时，斜边长为；

当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为；

当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为。

综上，第三边的长为或或。

3、相似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类。

例3、如图所示，在中，是的中点，过点的直线交于点，若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形相似，则的长为（ ）

析解：由于以为顶点的三角形和以为顶点的三角形有一个公共角（），因此依据相似三角形的判定方法，过点的直线应有两种作法：一是过点作∥，这样根据相似三角形的性质可得，即，解得；二是过点作，交边于点，这时，于是有，即，解得. 所以的长为3或，故应选（B）。

二、图形运动过程中分类讨论的应用

图形的运动过程中，涉及到动线、动点、动图问题，每一种情况往往都会因为运动产生不同的结果，从而要求应用分类讨论来解决。

1、 点的运动引起的图形变化产生的分类讨论问题

例4、如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动

点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒.

（1） 求直线AB的解析式；

（2） 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

解析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b

由题意，得 b=6

8k+b=0

解得 k=— b=6

所以，直线AB的解析式为y=—x+6.

（2）由 AO=6， BO=8 得 AB=10，所以AP=t ，AQ=10—2t

1°当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB.所以 = 解得 t=（秒）

2°当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB.所以 = 解得 t=（秒）

2、 线的运动引起图形的变化产生的分类讨论问题

例5、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

解析：如图1，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形。∴PM=DC=12

∵QB=16—t，∴S=×12×（16—t）=96—t

（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t。以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：

① 若PQ=BQ。在Rt△PMQ中，，由PQ2=BQ2 得 ，解得t=；

② 若BP=BQ。在Rt△PMB中，。由BP2=BQ2 得：

即。

由于Δ=—704<0 ∴无解， ∴PB≠BQ

③ 若PB=PQ。由PB2=PQ2，得

整理，得。解得（不合题意，舍去）

综合上面的讨论可知：当t=秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。

通过以上的一些实例，我们可以发现，几何中的分类讨论应用十分广泛。只有抓住了分类讨论的动因，把握住了分类的标准，才能做到分类时条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复或遗漏，保证解题准确无误。分类过程中应把握的原则是（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。在整个教学的过程中，教师应该循序渐进，逐步渗透分类方法和分类原则，使学生通过较长时间的培养，形成分类讨论的意识，提高学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题，从而达到课标的要求。

参考文献

[1] 《全日制义务教育课程标准（实验稿）》。北京师范大学出版社

[2] 《数学思想和数学方法》。蔡上鹤