《数学物理方程》教学大纲（推荐16篇）
（Equations of Mathematical Physics）
一.课程编号：040520 二.课程类型：限选课
学时/学分：40/2.5
适用专业：信息与计算科学专业
先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程、复变函数 三.课程的性质与任务：
本课程是信息与计算科学专业的一门限选课程。数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，变分法等。
四、教学主要内容及学时分配
（一）典型方程和定解条件的推导（7学时）
一些典型方程的形式, 定解条件的推导。偏微分方程基本知识、方程的分类与化简、迭加原理与齐次化原理。
（二）分离变量法（7学时）
三类边界条件下的分离变量法, 圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法,求解一类非齐次方程的定解问题,非齐次边界条件的处理方法.（三）积分变换法（8学时）
Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，Fourier变换和Laplace变换的在求解数学物理方程中的应用。
（四）行波法（7学时）
一维波动方程的求解方法，高维波动方程的球面平均法，降维法
（五）格林函数（6学时）
微积分中学中的几个重要公式；调和函数的Green公式和性质；格林函数；格林函数的性质；格林函数的求解方法。
（六）变分法（5学时）
变分法的一些基本概念，泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题
五、教学基本要求
通过教师的教学，使学生达到下列要求
（一）掌握典型方程和定解条件的表达形式，了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题。掌握偏微分方程的基本概念，掌握关于两个变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简，掌握迭加原理与齐次化原理。
（二）掌握分离变量法在三种定解条件下的求解步骤，理解圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法, 会求解非齐次方程的定解问题,掌握非齐次边界条件的处理方法。
（三）掌握达朗贝尔公式的推导过程和物理意义，掌握解决柯西始值问题的行波法。了解依赖区间、决定区域、特征线、影响区域和决定区域的概念。掌握三维波动方程的初值问题的径向对称解，了解高维波动方程初值问题的球面平均法和降维法。
（四）掌握Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，会Fourier变换和Laplace变换的在求解某些简单的数学物理方程定解问题。
（五）掌握Green第一公式和第二公式。掌握调和函数的Green公式和性质，理解格林函数的基本性质。会求半空间和球域上的格林函数。
（六）掌握变分法的基本概念，会求解几类典型的变分问题的解。
六、课程内容的重点和深广度要求
教学基本要求中的数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧是本课程的重点，此外，学生对下列各项也应给予注意：
1.线性偏微分方程的分类与化简。
2.固有值问题，关于固有值与固有函数讨论。3.方程与边界条件同时齐次化的简易方法。4.Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质。5.格林函数的定义和基本性质
6.泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题。
七、作业、辅导与考试
作业与辅导：作业次数或作业量：每学期约布置20—24次作业，每次平均4题左右。每周一次课外辅导。
考核方法：平时考核占总成绩30%，期末考试占70%。
八、本课程与后续课程的关系
本课程是继数学分析、线性代数、常微分方程、实变函数与泛函分析、复变函数和普通物理之后的一门专业基础课，它既广泛地应用上述基础课程的基本理论、数学思想、解题方法与技巧，又以新的研究对象，发展了这些基础学科的基本理论，形成研究经典偏微分方程的一系列新的理论和解决问题的方法。为进一步学习偏微分方程专业课程打下良好的基础。
九、对学生能力培养的要求
学生能够从物理问题中提炼出方程模型，并能用本课程所学方法解决问题。
十、使用教材及主要参考书
[1] 胡学刚等.数学物理方法.机械工业出版社，1997.[2] 吴方同编著.数学物理方程.武汉大学出版社，2001.[3] 谷超豪、李大潜等.数学物理方程（第二版）.高等教育出版社，2002.[4] 姜礼尚等.数学物理方程讲义（第二版）.高等教育出版社，1996.[5] 陈恕行等.数学物理方程.复旦大学出版社，2003.[6] 王元明.工程数学：数学物理方程与特殊函数（第三版）.高等教育出版社，2004.[7] 王元明.工程数学：数学物理方程与特殊函数学习指南.高等教育出版社，2004.[8] 戴嘉尊.数学物理方程.东南大学出版社，2002 [9] Lawrence C Evans.Partial Differential Equations.American Mathematical Society, Provodence, Rhode Island，1998.十一、教学方法和教学媒体的使用
采用启发式、提问式等教学方法，辅以板书和多媒体相结合的教学手段。
十二、学习方法与建议
绪论课是数学物理方程教学之始的关键点, 具有基础性和导向性。通过绪论课使学生对这门课程的整体框架建立一个初步感观, 了解学习内容、明确学习方向、掌握学习方法、认识课程的前沿动态, 进一步解决“为何学”、“学什么”和“如何学”三个问题, 从而充分调动他们日后学习该课程的积极性。以前, 笔者在教学中对绪论课的重要性认识不足, 基本上照本宣科, 复述课程的绪论内容, 另一方面, 限于课时少的因素, 对于该课程的发展历史等精彩部分常省略不讲, 导致学生对该课程的认识不深, 越听越烦, 没有发挥绪论课的引导性作用。经过一段时间的教学实践与思考, 笔者认为必须尽快转变“绪论可有可无, 浪费课时”的错误想法, 树立“绪论既是教材的重点, 也是教材的难点”的正确观念。其实, 对于数学专业的学生来说, 最感兴趣的莫过于数学理论、方法对社会发展所起的重要作用。通过讲解数学物理方程的发展简史及其在社会发展中所发挥的作用, 可以引起学生的共鸣, 激发学生的学习热情。近几年, 笔者通过对绪论课内容的不断更新完善, 以及对多媒体课件的精心设计, 使学生及时认识到学习数学物理方程的必要性和重要性, 取得了良好的教学效果。现就绪论课的教学实践做四点总结。
1 简介数学物理方程的发展史
数学物理方程主要指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程 (包括积分方程、微分积分方程等) , 它们反映未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的相互制约关系.
18世纪初期, Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli, Daniel Bernoulli, Brook Taylor, Euler等学者对弹性物体的变形和流体的运动等物理问题的广泛研究导致了数学物理方程的诞生。但在1740年以前均没有找到描述这类问题的一般偏微分方程, 第一个力学上的一般偏微分方程, 即重链在其铅垂的平衡位置附近振动的方程, 是由D’Alembert在1743年提出的。1746年, D’Alember以小提琴弦为典型的弦振动问题导出了著名的弦振动方程。从那以后, 陆续诞生了声音传播的波动方程, 膜的振动方程, 杆的振动方程等一系列数学物理方程。1750年, D’Alembert提出了利用分离变量法的思想求解弦振动方程。为了得到泛定方程满足定解条件的解, Daniel Bernoulli于1753年提出将解叠加的思想。但得到了同时代流体热学专家Euler, Lagrange等人的反对。19世纪, Fourier在研究热传导问题时, 碰到了和他的前辈们在研究弦振动方程时同样的难题, 即是否任意函数都可以表示成三角级数?Fourier对这一问题持肯定态度并将其发展, 后人称为Fourier方法或驻波法。但Fourie的论证不严密, 历史上第一次给出函数可以展成三角级数的充分性条件是Dirichlet.1782年, Laplace在研究位势函数时, 发现了Laplace方程。19世纪中叶, 从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分方程的一般理论, 如方程的分类、特征理论等。Cauchy是讨论数学物理方程解的存在性的第一人, 1848年, 他在一系列论文中论述了如何将任意阶数大于1的偏微分方程化为偏微分方程组, 然后讨论偏微分方程组解的存在性并提出证明存在性的强函数方法。数学物理方程的求解促使数学其他分支如泛函分析、变分法、复变函数、数值计算、代数、微分几何等各个学科的快速发展。到了20世纪, 随着电子计算机和数学其他分支的迅速发展, 数学物理方程的研究也取得了前所未有的发展, 这些发展呈现如下特点: (1) 出现更多的非线性偏微分方程 (组) ; (2) 定解条件由传统的线性、逐点表示发展为非线性、非局部; (3) 与计算机、数学其他分支的关系更为密切。
2 介绍数学物理方程的内容
佛山科学技术学院数学物理方程的授课学时仅有32学时, 学生的大学数学、普通物理的基础知识比较薄弱, 因此教学任务集中, 难而繁的定理证明或模型推导只讲思想不讲过程。课程的教授内容主要是讲授三类典型方程:波动方程、热传导方程和位势方程和四种典型方法:分离变量法、行波法、积分变换法和Green函数法。进一步, 指出这三类方程的推导是利用两大物理定律——守恒律和变分原理以及两个数学基本方法——微元法和Fubini交换积分次序定理;而四种方法也是围绕这三类经典方程在不同定解条件下展开的。具体而言, 对于弦振动方程, 主要学习弦振动方程初值问题的特征线法和行波法、弦振动方程半无界问题的对称延拓法、弦振动方程混合问题的分离变量法。对于热传导方程, 主要学习一维热传导方程初值问题的Fourier变换方法、一维热传导方程半无界问题的对称延拓法、一维热传导方程混合问题的分离变量法。对于位势方程, 主要学习基本解和Green函数法。通过数学物理方程的学习, 学生需要达到以下三点要求:第一, 从实际问题中抽象出来的数学物理方程的建模及相应的求解方法;第二, 理解数学物理方程中的系数或边界条件所描述的物理背景以及利用数学结果解释物理现象;第三, 利用Matlab的工具箱画图, 辅助分析解的性态。
3 研究数学物理方程的意义
数学物理方程广泛应用于人口问题、流行病动力学、种群生态学、高速飞行、石油开发、城市交通等各个领域, 以三大经典方程为例, 热传导方程可以应用于金融数学中的期权模型, Laplace方程常应用于电磁场, 借助波动方程可以判断煤层是否能安全生产。有时, 单个数学物理方程不足以刻画物理现象或规律, 而需要多个方程耦合而成, 例如, 油田试井中描述渗流过程的数学物理方程一般由以下四个方程融合而成:第一, 反映渗流过程中物质平衡的连续方程;第二, 描述物质运动行为特征的运动方程;第三, 反映渗流过程中流体及介质状态变化的状态方程;第四, 表征渗流过程中产生的一些特殊的物理化学过程的特征方程。针对这个问题, 我们可以假设均质有界地层, 外边界定压, 初始压力均匀分布, 流体为单相可微压缩等条件, 在合理假设条件下, 省略一些因素, 构建相应的泛定方程和定解条件, 从而就构成一个数学物理方程的定解问题, 对方程进行分类, 化简, 选取合适的数学方法进行求解, 利用求解结果解释物理规律。
4 多媒体课件与Matlab软件包模拟综合运用, 改善教学效果
为吸引学生的注意力, 提高他们的学习兴趣, 在课堂教学中, 笔者综合运用多种教学手段提高教学质量, 改善教学效果。首先是充分发挥多媒体教学的优势。多媒体课件可以综合多种教学艺术效果, 根据数学物理方程绪论课的特点, 通过精心设计, 恰当地使用图片、文字、声音、动画等形式, 充分发挥多媒体形象、直观、交互性强的优势, 创造生动的教学氛围。其次, Matlab具有强大的数值计算和数据图形可视化的功能, 因此在数学物理方程这种理论性强的课程教学中, 适当地引入Matlab的实验教学, 使许多抽象问题的求解过程被直接地演示, 将抽象的数学知识, 繁杂的计算过程直观地呈现在学生的面前, 使学生对相应的算法有直接的认识, 从而激发他们学习数学物理方程的兴趣, 进一步强化学生的应用意识, 培养学生的实践动手能力。
通过绪论课的有效引导, 使学生快速地明白数学物理方程的主旨和篇章结构, 熟悉教材的知识系统, 发挥主动学习数学物理方程的积极性, 初步了解握数学物理方程的一般理论和研究方法, 启发和培养学生浓厚的学习兴趣, 建立整体概念, 为达到理论与实践相结合的新型应用性人才的培养目标, 起个好开端。另一方面, 通过愉悦地学习绪论, 达到师生之间的感情交流, 使学生对老师的敬佩之情转化为对该课程的喜爱, 从而建立学生学习数学物理方程的良好心理环境。
摘要：绪论课是课程建设中的重要一环, 具有基础性和导向性。通过绪论课的有效引导, 使学生顺利地进入新学科的学习, 进一步使学生了解本课程将要学习的基本内容。本文通过介绍数学物理方程的发展史, 研究内容和意义, 阐述如何上好绪论课, 从而激发学生的学习兴趣。
关键词：数学物理方程,绪论课,教学探讨
参考文献
[1]谷超豪, 李大潜.数学物理方程 (2版) [M].北京:高等教育出版社, 2002.
[2]李汉龙, 缪淑贤.数学物理方程[M].北京:国防工业出版社, 2009.
[3]李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社, 2002.
关键词：小学数学；方程；教学
G623.5
无论教材的版本如何更替，我们的教学中心适中是围绕方程教学的。方程教学，表现给大家所看到的是两个方面，利用等式关系解决一切教学难点，例如数量间的等式，时间上的等式等。第二个方面，就是利用等式关系求解未知函数，也就是通俗所讲的解方程。就如何解方程这一知识，新教材对之有完全不同的理解。
一、简要分析新旧教材对于解方程的思路
新教材的编写者明确表示，在小学阶段，学生对于解方程的能力要求，只需要能够合理利用加减乘数这四则运算就可以了。对于加减乘除的合理运用是小学生进行解方程的关键之处。这同时也为学生进入初中学习打下牢固的基础。中学数学的教学偏重于基于等式求解一元二次方程和二元一次方程。因此，这次小学教材的改革是以我们学生能够完美衔接中学教学为目的。我们要理解编写教材的作者的用心良苦，顺应他们的思路进行系统的教学。
二、转换观念，树立正确的对待新思路的态度
教材的改革总会引起教师的分歧，尽管改革的理由十分充分，部分教师仍然会觉得不够完美，产生抵触情绪。对于这部分教师，我们不能过多地指责，而是在深刻了解教师对教材产生抵触缘由的基础上进行积极引导，转变教师对当前教材的观念。
（一）不能理解该教材的缘由
对传统的教学过程汇总，利用加减乘除解决问题是最为简单的，但是，新教材明确要求我们使用等式的方式来解决问题，无意有画蛇添足的嫌疑在里面。并且这样的教学方式会出现伪命题。
例如，在之前的一次教学中，一位学生提出了这样的问题：A-X=B，A/X=B这类伪命题如何解决？如果我利用传统的解决思路来回答学生是十分简单的，同时会让学生产生这样的解题思路是繁琐无用的，会产生抵触情绪。但是不利用之前的传统解题思路又不能完美的回答学生。因此，这样的出境就会让学生产生换汤不换药的感觉，这样将极度不利于我们的教学活动的展开。
（二）两者都不排斥、相兼顾
例如，笔者自身在教学过程中就是用的二者兼顾的教学手段，针对不同能力的学生，我使用不同的教学手段。对于吸收能力较强的同学，我是用新教材的教学思路，利用等式的原理来解决方程的问题。而部分吸收能力不是很强的学生，我会建议他们先死记硬背四则运算之间的关系，之后再逐步理解新教材的解题思路，从而让所有的学生都能过收益。
（三）完全赞同新的教学方法
这类教师是与时俱进，思维能力转换较为快速的，他们能够快速的发现新教材的优势之处，并能在较短时间内找到可以完美灌输这种思想给学生的教学手段。从而让学生能够体会到这种能够更加牢固掌握知识的解方程手段。对于教师和学生来讲，都是获益的，从而完美的达到了共赢的目的。
三、让我们与时俱进，转换思念，完美传授学生新的解题思路
（一）新教材的解题思路之所以被倡导是不无道理的。这种解方程的方式，使用的原理十分的简单，能够省去我们学生大量的记忆时间。旧教材关于解方程这块的讲解是十分枯燥的，除了四则运算的关系讲解，就是督促学生进行不停的背诵。但是小学生对于单纯的背诵是十分抵触了，往往在今后的运用中容易出现失误。这时候，如果我们引进新的方法之后，学生能够在解方程的过程中逐步领悟到之间的关联，从而可以不用背诵，极难出现低级错误。
（二）改善学习思维，促进学生高效学习
我们的课程往往是十分紧凑的，当学生学习完等式最基本的属性之后，我们就需要立即教导学生解方程的知识点了。如果我们利用新教材的解题思路，在有限的教学时间内，可以更大化的改善学生的思维，从而增加我们的教学密度。相对于原有的教学手段，更能够促进学生进行思维锻炼。接下来，我以我的教学实例来说明新教材思路的优势。
之前的有一节课，我们讲授了X+3=9的问题。我鼓励学生大胆说出答案，并且鼓励学生利用不同的方法来解答这个问题。这时候，学生可以快速的解答出来，答案是6，这就是快速运用了这样的数学知识：加数等于和减去另一个加数的数学原理。这时候，如果我们利用新教材的解题思路可以解决吗？当然可以，我引导学生先回忆新教材是如何解答类似问题的，机灵的学生立马想到，在两边同时加上-3，就可以完美的解决这个问题。这样的解决方式，就是锻炼了学生的划归思想。
（三）娴熟的驾驭新教材解方程的思路
新教材针对解方程这一块有两个至关重要的点，就是熟练运用等式的基本属性和划归的思想。当我们利用大量的习题让学生能够娴熟驾驭这两个思想之后，在小学阶段，无论多么复杂的方程，学生都不会觉得难，都能完美的解决。
例如：在解方程3x-5=7这样的问题的时候，学生在驾驭了划归的思想之后，可以很快的想出解体的步骤，首先知道3x是多少，所以在两侧都加上5从而知道3x是12，接下来再两边都除以3，从而得到x为4，熟练掌握这两个思想并准确的运用，整个解题过程就会流畅无比，学生对数学中的方程解答也会更加得心应手。
四、结语
新教材所提供的解方程思想显得十分先进，作为教师，我们应当摒弃传统的教学观念，接受崭新的知识。我们应当以我们的学生和初中接轨为己任，积极备课，开拓思维，寻求最合适的教学手段将新的解方程思路灌输到学生的脑海中。本文论述了新旧教材在解方程思路上存在的差异、当前教材在方程教学中突出的显著优点以及如何运用当前教材引导学生进行方程的高效解题。希望这些论述能够给广大教师一起启发，进而推动小学数学的有效发展，此路漫长，任重而道远。
参考文献：
[1]课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书数学第九册[M].北京：人民教育出版社出版. 2005.
[2]楊刚，小学数学课程改革的研究与实践/小学数学课程改革研究[M].北京：人民教育出版社，2007.
直线方程的教学是在学习了直线的倾斜角和斜率公式之后推导引入直线的点斜式方程，进一步延伸出其他形式的直线方程和相互转化，为下面直线方程的应用如中点公式、距离公式、直线和圆的位置关系等打下良好的基础。
（一）初步培养了学生平面解析几何的思想和一般方法。
在初中，学生熟知一次函数y=kx+b（也可以看成是二次方程）的图象是一条直线，但反过来任意画一条，要同学们写出方程表达式，学生刚开始会无从下手，从而激发学生学习的兴趣。随着教学的展开，让学生逐步形成平面解析几何的方法，如建立坐标啊，设点啊，建立关系式啊，得出方程啊等等，初步培养学生的平面解析几何思维，为后面学习圆、椭圆和相关圆锥曲线打下良好的基础。
（二）在教学中贯彻“精讲多练”的教学改革探索。
(1)掌握圆的标准方程。
(2)会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程。
(3)会判断点与圆的位置关系。
2、过程与方法：
(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力。
(2)加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用。
3.情感、态度与价值观：
(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识。
本章内容中重点为一元二次方程的解法和应用。我将复习设为两节，第一节重点讲解法。思路：以学生为主体，注重学生自我发现，了解自己的不足，同时，注意加强运算。总的设计思路较好，过程中有一个地方费时较多，主要是我没有吃透“课标”，对于一元二次方程公式法的推导过程不应让学生推导，因为在此费时过多，所以最后的小测试没来得及做。另为，在练习中解方程时，由于时间关系，没有让学生比较，而是由我代办，这样效果反而不好。
通过复习，我感到，在复习时一定要好好研究课标，吃透课标。另为，注意学生的分析，教师不要代办太多。
《数学物理方程》具有很强的实际背景, 主要以偏微分方程作为研究对象。作为《常微分方程》和《数学分析》的后续课程, 《数学物理方程》既有《数学分析》和《常微分方程》的特点, 又完全不同于这两门课程, 因而学生在学习时的困难也就更大。
一、突出《数学物理方程》的物理背景, 强调问题驱动的应用数学的学习和研究
《数学物理方程》与《常微分方程》相比, 由于自变量增加, 研究的难度也加大, 本身的理论结果就不好学, 加上抽象的符号, 很导致学生学习兴趣降低。但是, 数学物理所研究的问题大多是从物理、力学甚至生物科学中导出的, 具有很强的实际背景, 而这些实际背景大都是学生经常遇到的, 比较容易理解甚至非常熟悉。如果有意识地引导学生从这些实际背景中提出各种各样的问题, 让学生主动去寻求解决问题的途径, 就能使学生把被动的学习方式转化为主动的学习方式。在引导过程中, 教师从学生提出的问题中挑选出要讨论的问题, 启发学生运用所学的数学知识和数学语言把要解决的问题数学化, 给出要解决问题的定义域和各种初始条件, 然后利用物理学中各种守恒律或变分原理进行数学建模, 把实际问题转化为数学语言———偏微分方程, 学生就会对这些方程感兴趣, 进而就能通过努力学习数学理论来解决这些问题。
二、突出教学重点, 巧妙利用比较的方法引导学生学习
《数学物理方程》的教学大都安排在大四第二学期, 课时一般都比较少, 如何合理地安排教学进度, 使学生尽可能多学些知识就成为任课教师面临的重要问题。
《数学物理方程》研究的对象主要是三个典型方程, 因此在教学中也应以这三个方程的学习为主。教师要让学生了解如何把一个现实问题运用数学语言来描述, 也就是把这个问题转化为数学模型, 从而激发学生深入学习的兴趣。例如:在学习第一章的内容时, 应重点讲授微小横振动的弦振动方程和热传导方程的推导, 然后用所学的方法去推导课后习题中的相关方程, 这样就能使学生巩固所学知识, 激发继续深入探索问题的兴趣。
三、在教学过程中重视方法和应用, 提倡从不同角度去理解和求解问题, 进而培养学生的实际能力
在学习《数学物理方程》中相关问题的推导时要用到数学分析的复杂公式和定理, 这些复杂的公式尤其是曲面积分和法向量的证明过程非常复杂, 需要学生有非常好的数学分析基础, 能够熟练运用相关公式, 但实际上并不是所有学生都能达到这一要求。因此, 教师要在教学过程中突出方法, 而不是突出推导和记忆的教学思路。教师在求解问题之前一定要把解题思路给学生讲清楚, 解题过程中要运用到的相关定理和公式也要提前告诉学生, 这样学生就可以按照教师教的方法自己来解决问题了。
另外, 《数学物理方程》的内容非常丰富, 方法也多种多样, 很多问题都可以从不同角度进行研究和求解。因此, 在讲授这门课时, 教师应从理论内容和方法技巧两个方面入手, 并经常比较各类方程和各类解决问题的方法的异同, 以求让学生融会贯通。例如:在推导能量不等式时, 教师可以从法向量的角度来推导, 也可以直接运用格林公式来求导, 通过比较学生就可以知道, 直接运用格林公式来推导形式上简单, 但遇到方向变化时可能不如运用法向量法更容易理解, 这样学生就能加深对所学内容的理解, 进而达到融会贯通。
数学是自然界最简洁的语言, 具有高度的概括性, 为人们理解自然界的规律提供了一个最佳的表达方式。但是, 有了数学理论知识还不等于能够解决实际问题。在《数学物理方程》的教学过程中, 教师要注意培养学生理论联系实际的能力, 具体地说就是要培养学生以下三个方面的能力:一是具备发现问题的能力。遇到一类现象, 能够发现这种实际现象蕴涵的各种实际问题。二是具备对实际问题进行数学建模的能力。对遇到的实际问题, 能够运用数学语言描述出来, 然后进行数学建模。三是能够把推导出来的数学公式和定理还原到实际问题中, 从而解释实际问题。
总之, 《数学物理方程》教学不能单纯地从理论到理论, 而应贯彻“数学服务于物理”的原则, 既要重视数学物理的结合, 运用数学方法解决物理问题, 又要防止出现完全数学化而不考虑其物理含义的现象, 只有这样才能使学生对这门课产生兴趣。
四、采用可视化教学模式培养学生的兴趣和创新能力
尽管《数学物理方程》的理论结果都有明确的物理意义, 但是怎样让学生从这些复杂的、看起来让人眼花缭乱的数学公式中观察其中所表达的物理图像, 着实是一件很棘手的事情, 这也正是《数学物理方程》枯燥乏味的原因所在。如果能通过计算机软件把这些公式所表达的图像展现出来, 让这些无言的公式“开口说话”, 甚至通过动态的形式让这些公式“表演”, 就会极大地增强学生的学习兴趣。
对于复杂的《数学物理方程》, 教师可以引导学生利用所学的计算机语言和数值计算方法进行编程, 或者利用编程实现《数学物理方程》的动态行为的演化, 激发学生的学习兴趣, 引导学生直观化理解理论问题, 并对理论问题所反映的实际问题进行深入思考和理解, 从而有效提高学生解决实际问题的能力。
五、采用课堂互动式教学方法培养学生独立思考的能力
课堂教学是教师传授知识的主要途径, 我国传统的教学模式主要是“灌输式”, 学生被动地学习。尽管许多高校都在尝试利用现代先进的多媒体进行教学, 但这也仅仅是从视觉上提高学生学习的积极性, 并没有从根本上解决问题。
从本质上来说, 教学的目的是让学生学到新知识, 最终能够灵活运用。因此笔者主张, 在《数学物理方程》教学过程中, 学生一定要成为教学活动的主体, 学生与教师的关系一定要是朋友间的平等关系, 而不能是传统的“师徒关系”。在课堂上, 教师与学生之间也不能是听与被听的关系, 而应是朋友关系, 两者进行聊天谈话, 学生在课堂上可以随时与教师互动, 不清楚的地方可以随时提问;教师也应改变过去那种说教的模式, 转而利用商量和引导的模式, 注重引导学生提出问题。这样就可以使学生变被动为主动, 从被强迫学习变成积极主动地想学习。另外, 在课堂上, 教师还可以针对本节课的内容, 利用以前学过的理论, 设计一些比较简单的问题, 启发学生的思维。
六、教师结合自己的研究课题, 利用研究性教学模式, 引导学生提出问题、解决问题, 从而培养学生的创新能力
目前的教学大多是教师手把手教学生, 一旦让学生自己独立发现问题、解决问题, 就会出现许多意想不到的事情。这充分反映了学生独立创新能力的不足。因此, 在教学过程中教师可以适当穿插一些自己目前所从事的研究项目的相关内容, 让学生能够独立对这些前沿问题进行数学建模、求解等, 从而培养学生独立创新的能力。学生一旦深入这个课题, 就会为战胜了这样或那样的困难而信心十足, 就会越来越希望钻研, 独立科研创新能力也就会不断提高。
摘要：《数学物理方程》相关理论的研究已经渗透到数学学科大部分后续课程中, 目前的《数学物理方程》大多采取孤立的教学模式, 没有把《数学物理方程》这门课与数学学科的整体结合起来。因此, 要利用《数学物理方程》培养学生的创新能力:利用心理学理论, 结合多媒体和数学软件的可视化, 把微分方程抽象的理论结果可视化, 从而达到激发学生学习兴趣的目的, 并通过介绍教师目前研究的问题, 激发学生的研究热情。
关键词：《数学物理方程》,可视化教学模式,研究性学习方法,创新能力
参考文献
[1]彭芳麟.《数学物理方程》的MATLAB解法与可视化[M].北京:清华大学出版社, 2004.
[2]姜礼尚.《数学物理方程》讲义[M].北京:高等教育出版社, 2007.
[3]谷超豪.数学物理方程[M].北京:高等教育出版社, 2002.
[4]王正斌, 毛巍威, 杨正红.“数理方程”课程教学改革探索[J].宜春学院学报, 2006, (6) .
关键词：解方程；教学思路；数学思想
前言
方程作为小学数学中十分重要的一个部分，也是解决许多实际问题的重要方法。我们从小学就开始接触方程，对方程的学习主要包括两个方面的内容：（1）列出方程，即根据问题及数量之间的关系，设元之后列出方程；（2）解出方程，即运用等式性质和数学方法，解决问题。这两个方面的内容都离不开方程思想，分别体现了建模思想和化归思想。同时，在解方程的过程中，学生的解题思维发生了转变，由逆向思维变成了正向思维，这就需要在小学数学的解方程教学中要针对这一思维变化而有所改变。
解方程中的数学思想
方程学习中的两个重要内容列方程和解方程都体现了方程思想，因此教师在方程教学过程中要引导学生树立相关数学思想。
列方程中的建模思想
小学生在第一次接触方程，并尝试用方程解决问题时，大概需要经历三个阶段：第一，尝试用自己的语言描述问题；第二，变化成抽象的对数学的表达；第三，利用数学符号建立方程，即完成建模。教师在这一过程中首先要引导帮助学生弄清楚题意，分析出题目中的数量关系；然后，教师要利用图形立体生动的特点鼓励学生找出数量关系等式，教师要鼓励学生用自己的思维去探索、思考；第三，分析理解后，教师引导学生根据数量间的相等关系列出方程。注意说明方程之所以成立是因为方程左右两边数量关系相等，突出方程思想中两事物等价的本质特征。
解方程中的化归思想
在解比较复杂的方程时，要首先将方程化归为比较简单的形式，逐步使方程变得简单，并求解。化归的过程必须根据等式的性质进行。解方程的教学重点就是让学生体会解方程的完整过程背后所蕴含的化归思想，弄清楚化归的原因。化归过程的关键主要依托学习的迁移。教师要引导学生对学过的方程进行比较，形成迁移思想；然后，学生利用学过的知识点解决新的问题，引导学生总结归化的原因、要求、步骤，进一步解决问题。
在应用中体会方程思想
教学反思和教学总结能够使学生对知识加深理解，有助于学生的长时记忆，是非常有效的教学策略。所以，在经历过一段时间的学习之后，教师要引导学生回忆解题步骤和解题方法。这样既有利于理清学生的学习思路，又有利于让学生体会解题过程要遵循的原则和技巧，使复杂的问题变得简单化。长期以往，就会实现对学生进行方程思想的渗透。
小学数学解方程教学过程的思考
在解方程的过程中，学生的解题思维发生了转变，由逆向思维变成了正向思维，这就需要在小学数学的解方程教学中要针对这一思维变化而有所改变。
调整教学编排
新教材对“解方程”部分的安排，缺乏对学生的研究，没有掌握知识点与知识点之间的紧密联系，使得学生在第九册学习解方程时缺乏知识和经验的双重积累。所以造成了教师对“等量关系”教学的困难和学生的不理解现象。要利用图画等多种手段使学生理解等式的性质和等量关系。教师在进行讲解后，适时地启发和引导学生进行观察和思考，鼓励学生尝试解题、进行总结，参与解方程学习的整个过程。
教师要使学生掌握简易的方程解法
小学阶段的方程常常是简易方程，如：ax+b=c，ax-b=c，ax+bx=c，ax-bx=c等四种，这类方程要求运用四则运算中各部分之间的关系进行解答。教学过程中，教师要引导学生对四则关系式进行解答，启发学生对方程进行简化，完成解答。对于有相同未知数的方程在学习列方程解决应用题时，利用加减的计算，将其变为只含一个未知数的方程，即ax=c的形式，并启发学生掌握这种解题方法。
教师在对练习进行设计时考虑到温故知新
教师在解方程的教学过程中，要意识到知识点之间的连贯性。首先，要让学生对四则运算、化简方法、学过的简易方程的解法进行复习，引导学生对学过的知识进行迁移，用学过的知识点解决新的问题，并且通过练习来提高解题速度。因为新教材没有涉及等式的性质，而在解方程中的本质就是对等式性质的理解，所以，教师要引导学生理解等式的性质，并掌握这种性质解出方程。
结语
在小学阶段的方程学习中离不开建模思想和化归思想，教师要积极对学生进行方程思想的渗透，同时，改变教学方法，调整教学编排，使学生掌握简易的方程解法。着眼学生的后续学习，帮助学生提高学习效能。
参考文献：
[1]马明明.小学数学列方程教学.《小学时代（教育研究）》，2010，1.
[2]张喜风.对小学数学解方程教学的思考.《学周刊：B》，2012，8.
[3]王岳成，宋莲芝.小学数学应用题“解题思路方程化”题组训练初探.《新课程：小学》，2012，1.
[4]周永强.在"方程"教学中渗透方程思想的策略.《学周刊C版》，2010，12.
（二）的内容，感觉没什么明显的精彩地方。学生由于有了关于加减的等式的性质的了解，在通过例题中两组方程的观察，适当提醒学生联系前面学习的等式的性质，很自然的就能得出有关乘除的等式的性质。
只是在让学生举例的时候，没有学生能想到同时除以0，结果是怎样的。只能由自己向学生提出问题，简单讨论后，很快想到除法中除数不能为0，因而得出同时除以一个不为0的数的范围。
教学内容：《义务教育课程标准实验教科书
数学》五年级上册第58、59页例
1、例2。教材分析：
本节课是学生在掌握了等式的性质及方程的意义的基础上正式学习解方程的初始课。主要讨论x+a=b，ax=b，x÷a=b的方程的解法。这部分知识的学习是学生进一步学习稍复杂的方程和应用方程解决实际问题的重要基础，是本单元的重点内容之一，与原有教材不相同的是，新课标实验教材以等式的基础性质为基础，而不是依据逆运算关系教学解方程，这有利于加强中小学数学教学的衔接。对于本课中较简单的方程，教材要求，直接利用等式的性质，只要通过一次变形，即在方程两边同时加上或减去、乘上或除以一个数（0除外）就能求出方程的解。教学目标：
1、2、能根据等式的性质解较简单的方程。
通过探究较简单的方程的解法，培养利用已有知识解决问题的意识和能力。
3、培养规范书写和自觉检查的习惯。
教学准备：多媒体课件 教学过程;
一、游戏导入，回顾旧知 师：今天我还给大家带来一位老朋友，（出示天平图）
师：我在天平的两边同时放两瓶同样重的墨水，天平的两边怎么样？
生：天平的两边保持平衡。
师：接下来“我说你答”你和我一起合作，让我们图上的天平保持平衡，可以吗？ 生：可以
师：我在天平的右边加3瓶墨水。生：天平的左边也加3瓶墨水。师：我从天平的左边拿走一瓶墨水。生：天平的右边也拿走一瓶墨水。说的真好，换一幅图不知道行不行，“我将天平左边排球的数量扩大到原来的3倍，变成6个排球。” “我将天平左边排球的数量缩小到原来的一半，变成3个排球。” 师：同学们真了不起，有这么多让天平保持平衡的方法这个游戏让我们想起些什么？（天平的两边同时加上或减去，相同的物品，天平的两边保持平衡。天平的两边同时扩大或缩小相同的倍数，天平保持平衡。）
师：这个游戏让我们再次复习了天平保持平衡的道理，今天我们将利用这个道理来解决一些实际的问题，大家有信心吗？
（设计意图：利用我问你答的游戏形式复习和巩固前两节学习的天平平衡道理，再结合连环画式的幻灯片，不仅能加深学生的记忆，还能激发学生的学习兴趣，使学生能以一种积极的状态参与到数学活动中来。）
二、提出问题，探究新知 ㈠（课件出示例1的主题图）
1、提出问题
师：请看大屏幕，请你说出图上的意思。（盒子里有x个球，盒子外有3个球，合起来一共是9个球。）师：能不能用我们新学的方程解决这个问题
学生列出方程：X+3=9（引导学生根据加法的意义列出方程。）师：大家和他的想法一样吗（板书：X+3=9）那么X是多少？（异口同声说6）
师：当然我知道这么简单的问题是难不住大家的，但是从今天开始我们将学习利用解方程的方法来解决这个问题，（板书：解方程）齐读解方程，（设计思路：在这里学生能列出这个方程其实也是一个难点，因为学生一直是按以前算术方法的解题思路去分析，不假思索就会说出9-3=6，因此我在这里强调用加法的意义列出方程。为后面学习用方程解决问题做准备。另外强调解方程这种思考方法到中学解更加复杂的方程一直有用，可以提高学生学习掌握新的思考方法的积极性。）
2、结合天平探究解法 A、结合天平，理解方程 师：怎样解方程呢？还是请天平来帮忙。（出示天平图1）师：你能理解吗？说说他的意思，师生结合图一起说：天平的左边是X+3，天平的右边是9，左右两边正好平衡，说明两边相等。方程的左边是X+3，方程的右边是9，左右两边正好相等。齐读这个方程X+3=9 B、明确目的，寻找方法
师：接下来我们就来解这个方程，哎，我不禁要问我们解方程的目的是什么？（学生回答：解方程的目的就是要算出X=？）师：对，我们解方程的目的就是要算出X等于几.师：请你结合天平图思考，怎样才能使天平的左边只剩下X，而且还要保持天平平衡？（同座位的同学可以相互讨论）
组织交流（指名学生说，再说一次，齐说一次）
天平的两边同时去掉3个皮球，天平的两边平衡，为什么要同时去掉3个，同时去掉两个行吗？
（课件演示）进一步明确：只有天平的两边同时去掉3个皮球，左边才能只剩下X。右边剩下6个皮球，说明X代表6个皮球。师：天平的两边同时去掉3个皮球，天平的两边保持平衡，那么这句话表现在里该怎么说？
出示：方程的两边同时减去3，左右两边相等。
把这个过程记录下来就是：出示：方程的左边－3＝方程的右边－3 师：方程的左边原来是X+3再减去3，方程的右边原来是9也减去3（板书：X+3－3
9－3）这个时候天平仍然平衡，说明方程的左右两边相等，（板书：=）方程的左边是X+3再减去一个3，就只剩下X，（板书：X）方程的右边是9再减去3就是6。（板书：6）这个时候天平仍然保持平衡，所以X=6（板书：=）在这里需要强调一点，解方程时每一步得到的都是一个等式，不能连等。另外还要注意等号对齐。
师：画个方框，这个过程就是解方程的过程，所以在过程前面要写上（板书：解：）
师：一起回顾解方程的过程，第一步：先写方程。第二布：写上解：
第三步：为了使方程的左边只剩下X两边同时减去一个相同的数。第四步：求出X=？
看着解方程的过程自己心里琢磨琢磨。
师：刚才我们求出X+3=9这个方程的的解是X=6这个答案正确吗？我们一起来验算一下
指名学生回答，（课件出示）：方程的左边= X+3
=6+3
=9
=方程的右边
所以X=6是方程的解
4、巩固练习同学们会解方程了吗？现在我有一个问题需要你来帮忙，在课前我了解到我们班共有学生----人，其中男生----人，求女生有多少人？（学生自己试着列式）
师：同学们真了不起，想出这么多种方程，但我们今天，只解决这个方程，X+----=------展示，集体交流
（设计意图：从一开始就强化必要的书写规范，以发挥首次感知先入为主的强势效应，有利于促进良好的书写习惯的形成。）㈡、出示例2 师：这个方程都解对了吗？你们真聪明，一下子就学会了，不过接下来的挑战会更艰巨，大家有信心吗？（出示例2的主题图）师：你能用一个方程来表示吗？（3X=18）
师：那么你会解这个方程吗？请大家打开课本59页自己独立思考完成例2的填空
讨论交流：
①、谁能说一说，你是怎样让方程的左边只剩下一个Ｘ的.。师：解方程的目的就是要求出X=？天平的左边有3个X，要想求出一个X，我们可以把3个X平均分成3分，每份就是一个X，那么天平的右边该怎么做？
师：把18个皮球也平均分成3分，每份就是一个X所对应的。把这一过程表示在方程里就是方程的两边同时除以3，（课件演示）得出X=6它是不是方程解，请大家自己验算，和同桌的同学说一说，师：用一句话概括自己的做法，在方程的两边同时除以一个不等于0的数，左右两边仍然相等。
（设计意图：在学习例１的基础上，放手自己思考3Ｘ＝18的解法，充分体现了学生的主体性，也有利于把教学的重点由天平保持平衡的变换规律，类推出方程保持相等的变换方法上来，采用先“试”后“教”，先做后说的方法，便于发挥学生的主动性。）练习： 20+ x = 47 解
20+x○□=47○□
x =□
㈢、归纳总结，加深记忆
提问：你学会解方程了吗？和同学讨论一下，解方程需要注意什么？ 总结：
1、方程两边同时减去同一个数，或两边同时除以一个不等于0的数，方程左右两边仍然相等。
2、注意解方程的格式。
3、记得验算。
三、强化认知，巩固提高
1、基本练习
2、强化练习
四、谈谈这节课的收获，还有什么问题？
5 x = 60
解
5x ○ □=60 ○ □
x =□如果方程两边同时加上或乘一个数，左右两边还相等吗？ 这个问题且听下回分解。
《解方程》的设计思路
寿阳县东关小学
冯志平
今天我讲课的内容是五年级上册第58页，和第59页的例1和例2这节课是学生在掌握了等式的性质及方程的意义的基础上正式学习解方程的初始课。这部分知识的学习是学生进一步学习稍复杂的方程和应用方程解决实际问题的重要基础，是本单元的重点内容之一，与原有教材不相同的是，新课标实验教材以等式的基础性质为基础，而不是依据逆运算关系教学解方程，这有利于加强中小学数学教学的衔接。对于本课中较简单的方程，教材要求，直接利用等式的性质，只要通过一次变形，即在方程两边同时加上或减去、乘上或除以一个数（0除外）就能求出方程的解。根据以上特点，我将本节课的教学目标确定为：
1、2、能根据等式的性质解较简单的方程。
通过探究较简单的方程的解法，培养利用已有知识解决问题的意识和能力。
3、培养规范书写和自觉检查的习惯。
而让学生能够根据等式的性质来解方程既是本节课的重点，也是本节课的难点，为突破这个难点我设计了以下的教学环节，首先我设计了一个游戏，利用我问你答的游戏形式复习和巩固前两节学习的天平平衡道理，再结合连环画式的幻灯片，不仅能加深学生的记忆，还能激发学生的学习兴趣，使学生能以一种积极的状态参与到数学活动中来。第二部分，提出问题探究新知，先出示例1的主题图，让学生根据图列出方程，在这里有一点需要强调，学生一直是按以前算术方法的解题思路去分析，不假思索就会说出9-3=6，因此我在这里强调用加法的意义列出方程。为后面学习用方程解决问题做准备。
本课的难点是根据是根据天平平衡的原理来解方程，这部分内容我分两步来完成，①、结合天平理解方程，理解清方程的左边和方程的右边，把方程和以前的算式从根本上区别开来。②明确目的、寻找方法。先让学生明确解方程的目的就是要算出未知数是几。再让学生思考怎样让方程的左边只剩下X,学生通过反复的说可以理解，只有天平的两边同时去掉3个皮球，才能只剩下X.。然后我又出示“方程的左边－3＝方程的右边－3”这样的一个等式，这其实等于是给了学生一根拐杖，使学生真正明白是在谁的基础上减去3。对于学生来说，怎样根据天平平衡原理来解方程就不难理解了。在教学例2，两边同时除以一个数时，在学习例１的基础上，放手自己思考3Ｘ＝18的解法，充分体现了学生的主体性，也有利于把教学的重点由天平保持平衡的变换规律，类推出方程保持相等的变换方法上来，采用先“试”后“教”，先做后说的方法，便于发挥学生的主动性。另外我还在课件上想办法，让天平的两边真正体现两边同时除以3，天平保持平衡，明确显示出，一个X就代表6个球。
摘 要： 列方程解应用题是初中数学教学主要内容之一。本文针对列方程解应用题的教学方法进行探讨，从帮助学生树立信心，养成耐心的习惯入手，详述列方程解应用题的四大步骤，简述找等量关系应注意的几点，以期提高列方程解应用题的课堂教学质量。
关键词： 初中数学 列方程解应用题 提高能力
列方程解应用题因综合性强、涉及面广等特点，成为广大初中生难以攻克的“堡垒”、难以跨越的障碍，成为教师教学中的一个难点。
列方程解应用题，从表面分析，无疑涵盖两个内容：列方程和解应用题。这二者是手段和目的的关系，列方程是解应用题的方法，列方程的目的是解应用题，而解应用题通过列方程实现，列方程的核心是找等量关系。因此，笔者在列方程解应用题的步骤和方法及应注意的问题等方面谈谈几点实践性体会。
一、树立信心和耐心
列方程解应用题贯穿初中整个教学过程，七年级学习，八年级渗透，九年级仍然是重点。根据多年的教学实践观察，多数学生对列方程解应用题感到力不从心，往往束手无策，遇到这类题大都望题生叹。久而久之，对列方程解应用题失去信心，对数学学习失去信心和动力，拿到问题，思考不出解题思路就放弃的数不胜数，认为这类题难，不论怎么想都不可能解决，信心全无，耐心没有，决心消失殆尽，学习兴趣不再浓厚。
兴趣是最好的老师，教学列方程解应用题时，可以通过设计生活化问题，以学生身边实例进行教学，让学生感到列方程解应用题与自己息息相关，与生活密不可分。
二、抓住“四个步骤”
1.审题
所谓审题，就是认真读题目，理解题意，分析已知和未知，分清题设与结论。如甲乙两站之间的距离是660km，一列客车以90km/h的速度从甲站开往乙站，同时一列货车以75km/h的速度从乙站开往甲站，问经过多长时间相遇？
对于这个问题，要指导学生：拿到问题，首先找出已知条件：甲乙两站的距离，两列车的速度及车的运动方向——相对运动，以及一个隐含条件——两列车走完全程660km，未知条件，也就是开车多长时间两车相遇，即要求的是时间。
2.分析
分析的过程就是根据已知条件和未知条件，判断二者本质联系的过程。如上文的两列车相遇问题，务必清楚，两车相遇，简言之就是两车行驶的距离之和等于甲乙两站之间的距离。经过这样的分析，为找等量关系和解决问题奠定基础。
3.解答
解答过程又分为四步走：
（1）确定等量关系。仍然以两列车相遇为例：分析数量关系时，已经得到“两车行驶的距离之和等于甲乙两站之间的距离”的结论，而这个等量关系用数学语言——数学公式可以表示为：客车行驶的路程+货车行驶的路程=总路程。
（2）设未知数。设未知数，就是题目中要求的未知量，用未知数x等表示出来。这个题目中要求的是“经过多长时间两车相遇”，那么就可以直接将这个未知量设定为x，未知数的设定为实际问题转化为代数语言、为列方程埋下伏笔。
（3）列方程。以两车相遇问题为例，找到等量关系后，根据已知条件，总路程是660km，经过x小时后相遇，那么两辆车行驶的距离分别是90x和75x，那么，方程90x+75x=660便浮出水面。
（4）解方程。对于列方程解应用题的问题解决过程中，常见到学生习惯用“解之得”而忽略解方程的全过程，将x=？直接写出来，这样容易功亏一篑，容易解错，如果不能及时代入检验的话，出错率就会提高。
4.校对
校对，简单说就是“检验”，既要验证x的值是否是方程的解，又要代入实际问题中，看是否合乎问题要求。如通过解方程，不难得出x=4（h），那么经过四小时相遇，货车走的路程是75x=75×4=300km，而客车行驶的是90x=90×4=360km，而两车行驶的距离之和300+360正好等于甲乙两站间的全程660km。这样，才足以说明所求的结果是正确的。
教师应该强调：列方程解应用题时的四个步骤，哪一步都不能放松和马虎，否则，容易出错。
三、找准等量关系
找等量关系，是列方程解应用题的关键环节，教师应引导学生掌握寻找等量关系的方法，从方法上找突破口。一般来说，找等量关系无外乎译式、列表、图例、图示等分析法。
找等量关系时，应注意以下几个问题：
1.未知数的设法可以多样化，可以根据自己的实际情况或者问题的需要采用不同的方法，从不同角度分析和设这个未知数。一般直接解法是问什么设什么为x。而这个问题也可以换个方法求解，即设相遇时，客车走了xkm，那么货车行驶了660-x，那么不难得出x/75=660-x/90，求出x，要求的时间是x÷75，这样问题就迎刃而解。
2.注意单位换算，一些问题中如果给出的单位不相同，那么，换算成统一的单位，才能找等量、列方程。如上面的实际问题，给出的两辆车的车速，单位是一致的，都是km/h，如果其中一辆是m/s的话，务必需要换算为统一的单位。
3.方程两边的代数式表达的必须是同一个属性的量。以行程类问题而言，等式左边是路程，右边不能是速度或者时间，反之亦然。关系属性量不一致，方程就没有任何意义。
列方程解应用题是初中数学重点内容之一。教学中，应认识到它的重要价值所在，并认真研究教法，“授之以渔”。这个部分才不会成为学生的弱点，教学才会大为改观，教学质量才会稳步提高。
参考文献：
[1]潘卫贤.列好方程巧解题轻松愉快达目标——浅议初中数学列方程解应用题之技巧[J].文理导航（中旬），2014（5）.
一、传统教材中, 把小学阶段加、减、乘、除各部分间的关系作为解方程的依据, 初中则用等式的基本性质解方程
小学、初中解方程依据的不同, 导致了小学、初中解方程思路和方法的不一致, 因此, 小学的算数思路及其算法掌握得越牢固, 对中学代数起步教学的负迁移就越明显。所以, 新教材按照《课程标准》的要求, 统一了小学、初中解方程的依据和思路———用等式的基本性质解简单方程。对于解方程的基础———等式基本性质, 教材就安排了一个课时, 却要学生运用它去解各类方程, 这样的编排, 过高地估计了小学生的接受能力。
针对于这个思考我在教学时使用天平, 通过动手操作直观地帮助学生理解等式的基本性质。把教学一课时改为二课时, 给予学生充分理解等式的基本性质的时间, 为解方程做好准备。
二、教材要求, 在学生用等式基本性质解方程时, 方程的变形过程应该要写出来, 等到熟练以后, 再逐步省略
这样的要求, 在实际操作中, 带来了书写上的一些问题。
1. 书写过程过于冗长繁琐
初学解方程时, 书写过程过于冗长繁琐。因为用等式基本性质解方程, 每两步才能完成一次方程的变形。这体现在书写时, 显得太繁琐了。如2x+6=16, 先2x+6-6=16-6, 再2x=10, 还要2x÷2=10÷2, 最后得到x=5。这样的过程, 等式忽长忽短, 数字忽多忽少, 会使得小学生因为书写过程繁琐而导致分心、抄错数字、计算出错等现象。
2. 解方程熟练时, 思考过程无法体现。
教材要求, 解方程熟练之后, 中间的过程可以省略。于是在学生的书写中, 就出现了这样的情况:将x+3=15直接变形为x=12。向学生了解原因, 才知道学生是口算“方程左右两边减掉3”, 然后就直接得到结果了。这种书写形式, 一点都没有体现解方程的思考过程, 这对于学生养成细致缜密的学习习惯, 提高解方程的计算正确率, 同样不是好事。
因此, 实践教学中, 为了既渗透了用等式的基本性质解方程的思路, 提高解方程的正确率, 又按课程标准完成教学任务。我在不改变教学目标的前提下改变了教学要求。一开始学习时, 把过于冗长繁琐的书写过程改为用语言描述, 在书写时, 可以省略的直接就省略掉了, 不再书写。例如, 在教学2x+6=16时让学生重点说一说一步一步计算的思路, 书写时写2x=16-6再写2x=10, 最后写x=5?。并且在练习时也要求学生这样做, 加深解方程的思考过程。,
三、新教材根据《标准》的要求, 降低了难度, 把解决应用问题和计算方法整合在一起, 让学生在解决问题的过程中学习计算
由于学生尚未学习正负数和分式方程的有关知识, 因此a-x=b和a÷x=b类的方程不适合在小学阶段学习, 故而教材将它们回避掉了。只出现了未知数x做加数、被减数、因数、被除数。用等式的基本性质解方程, 学生是很容易理解的。可是在练习题上却依旧出现a-x=b和a÷x=b类的方程题, 学生迷茫。再利用等式的性质来解方程, 学生不是很容易理解。如“地球绕太阳一周的时间比水星绕太阳一周所用时间的4倍还多13天, 水星绕太阳一周要用多少天?”根据列方程解应用题的基本理念, 用字母代表未知数, 列式时尽量顺向思考, 那么, 找到等量关系式列“地球绕太阳一周的时间-水星绕太阳一周的4倍=所多的13天”列出方程“365-4x=13”是恰当的方法。但现在学生不会解这样的方程, 学生心里会充满疑惑———我这样的列法为何不可?更重要的是, 它影响了学生完整知识体系的建立。
针对这种情况我做了如下处理:等式基本性质中还有一个相等关系的对称性, 即“若a=b, 则b=a”, 我把这个知识渗透给学生, 学生一听就明白了, 我再给他们讲如何解a-x=b、a÷x=b类型的题, 如365-4x=13, 根据等式的基本性质, 左边加x右边也加x即365-4x+4x=13+4x, 365=13+4x, 13+4x=365然后再根据等式的基本性质继续做。学生经历这样的学习过程, 对解方程的变化有比较深刻的理解, 再次将等式的性质与解方程的原理进行沟通, 让学生真正明白解方程时, 在“等号左边加、减、乘或除以一个常数 (在除法里0除外) ”, 根据平衡的需要“等号的右边也同时加、减、乘或除以同一个常数 (在除法里0除外) ”。
四、为了让学生对解方程的思维方式和方法能牢固、稳定地掌握, 必须对学生进行有效地训练
在教学中要特别关注对基本类型的解方程的练习, 根据相对应的内容进一步加强练习, 并注意在形式上的变化。对不同类型的方程都有所接触, 有利于知识体系的完整。
在教学过程中主要通过线段分析法引导学生解决实际问题，因为线段分析法可以让同学们清楚地看到题目中的每一个量及每一个量的变化，这有利于帮助同学们理解题目意思，正确找到每一个量，同时线段分析法有助于同学们准确找到问题中的等量关系，即列方程的依据。我在教学过程中发现：线段分析法可以帮助同学们快速地从复杂的应用题中走出来，轻松地解决实际问题，所以线段分析法是用方程解决实际问题的有效方法。
但是在教学过程中，也有不适用线段分析法解决的问题，学生往往无法理解题目意思，容易被题目中的量搞混乱，所以对无法用线段分析法解决的应用题，要从题目中的等量关系入手，帮助同学们理清题中的每一个量及量与量之间的`关系。
我在列方程解决实际问题这方面的教学中还存在一定的不足，学生在这方面掌握的不是很扎实，对新题型不能很好的解决，所以在以后的教学中不仅要扎实学生的基础，同时也要拓展学生知识面。
本节课小结采取了学生提出问题、教师解答问题的形式.这种方法一方面为学生搭建了展示自己的平台，设置了独立思考的想象空间，提供了锻炼表达能力的机会;另一方面也为教师能及时弥补教学中存在的漏洞创设了条件和可能.不过，若时间允许的话，有些问题可以由学生讨论解决。
了解何为分式方程时, 课本从三个实例让学生根据实际经验得到了三个方程undefined;undefined;undefined, 根据这三个方程先让学生看一看说一说有什么共同特点, 在新教材中, 课本并没有刻意强调分式方程的定义而只是给出形式上的感知。然后学生自己根据对分式方程的认识试一试写出一个分式方程, 从而在潜意识里真正了解什么是分式方程。在这个过程中, 一切以学生的感知为重, 让学生自己感受到分母中含有未知数的方程就是分式方程, 从中让学生经历建模的过程, 经历由具体到一般的抽象、概括分式方程概念的过程, 从而体会分式方程的模型思想。
新课程要求教师从教中解放出来, 让学生自主学习。以学为主, 以教为辅是我在教学过程中要努力做到的标准。在求解分式方程时我先给出一个整式方程, 即24x=20 (x+1) , 学生在解这个整式方程的过程中, 很好的回顾了解法思路, 接着抛出问题:你能解分式方程undefined吗?提示学生观察刚刚解完的整式方程想一想怎么解这个分式方程, 大部分学生发现只要将分式方程undefined的两边同乘各分式的最简公分母x (x+1) , 就可以得到一元一次方程24x=20 (x+1) 。随即给出例题1 解方程:undefined, 让学生通过刚刚的经验自己试一试解题。学生口述, 教师板演解题格式:解:方程两边同乘x (x-2) 得
3 (x-2) -2x=0
解之得 x=6
学生归纳:求分式方程的解, 只要在方程的两边同乘各分式的最简公分母, 有时就可以将分式方程转化成一元一次方程来解。在这个基础之上给出例题2 解方程:undefined, 学生板演解题过程:
解:方程两边同乘3 (x-2) 得
3 (5x-4) =4x+10-3 (x-2)
解之得 x=2
这时, 有学生提出疑问了, 这个解x=2会使原分式方程的分母为0, 大部分学生开始讨论:1, 这个使原分式方程没有意义的解怎么办 2, 怎么会出现这个使原分式方程没有意义的解?教师及时点拨, 为了使原分式方程有意义, 分式方程一定要检验。如果能使原分式方程有意义, 那么求出的就是原方程的解;如果能使原分式方程没有意义, 那么求出的就是增根, 则原方程无解。并且立即在2个例题后面补充检验过程。那么怎么会出现增根的呢?学生观察解题步骤, 一致认同增根产生在去分母这一步。教师点拨:看一看整式方程24x=20 (x+1) 和分式方程undefined中对未知数的取值要求一样吗?进而让学生理解, 正是在分式方程转化成一元一次方程的过程中扩大了未知数的取值范围, 才有了增根的出现, 再次强调解分式方程一定要检验。随即让学生练一练:
undefined
在这个学习解分式方程的过程中让学生经历观察、抽象、类比、猜想等思维过程.所以, 评价应关注学生在这些具体活动中的投入程度——能否积极主动地参与各种活动, 如:在分式方程学习中, 有无检验分式方程根的意识?等等.其次是看学生在这些活动中的思维发展水平——能否独立思考, 能否用数学语言 (分式、分式方程) 表示自己的想法, 能否反思自己的思维过程发现新的问题, 如:解分式方程与解一元一次方程有哪些联系与区别等。
分式方程的难点是 解含字母常量的分式方程。针对含字母常量的分式方程我专门开设了一节课, 在选题上注重让学生观察比较, 逐步提高难度。其中学生的主体地位贯穿于自主学习的始终, 在学习活动中, 要让学生感受到自己是学习的主人, 教师应该同学生一起探索数学知识发生、发展过程以及解题思路。当学生在学习过程中出现了困难, 教师要不时地鼓励学生回顾思路, 有可能的话让学生进行表述, 教师对学生思路中的合理部分给以肯定, 并给出适当的帮助, 让学生觉得只有自己真正参与到课堂教学中来, 才能收到良好的效果。教师先给出例1:若方程undefined的一个解为x=-2, 求代数式k+k-1的值。让学生分析:既然x=-2是这个分式方程的解, 则把它代入方程, 等式成立。解得undefined, 从而undefined。给出例2:若分式方程undefined有增根, 试求m的值。让学生分析:有增根是指x=±2。教师提问:那么可以仿照上一题把x=±2代入分式方程解得m的值吗?从而让学生感知这一题的解题思路和例1有区别, 应该把m先当已知数解得undefined, 再把x=±2代入求出m的值。改变例2:若分式方程undefined无解, 试求m的值。让学生讨论:有增根和无解有区别吗?教师提示:有增根是指定未知数x的值, 无解除了有增根之外对字母常量有范围要求, 因而学生得到在例2的基础之上还要考虑m-1=0, m=1时undefined无意义, 所以原分式方程也无解。给出例3:已知关于x的方程undefined有一个正数解, 求m的取值范围。学生根据比较例1, 例2的经验, 先解得x=6-m。让学生讨论:对于这个分式方程有一个正数解要考虑什么?学生得出:x>0且x≠3, 解得6-m>0且6-m≠3。为师者“授之以鱼不如授之以渔”, 在这里, 仅仅灌输给学生大量的知识是不够的, 通过看一看, 比一比, 试一试, 想一想, 从易到难逐渐让学生掌握吸收知识、消化知识的方法, 才能真正达到事半功倍的教学效果。
【关键词】常微分方程 数学建模 弱肉强食模型
第一次世界大战期间，奥地利与意大利的敌对状态造成了亚德里亚海捕鱼业的破坏与停滞，战后发现，亚得里亚海中以小鱼为食物的大鱼密度高于正常水平。为什么停止捕捞有利于大鱼密度的上升，这一问题引起了意大利数学家沃儿泰拉的兴趣，他的研究产生了如下模型。
以x（t）表示t时刻小鱼密度，即单位体积的小鱼数，y（t）代表相应的大鱼密度。先考虑小鱼密度的变化规律，如果不存在大鱼，类似于马尔萨斯人口模型，假设小鱼密度的净增长率为一个常数a>0，当有大鱼存在时，由于大鱼捕食小鱼，使得小鱼的净增长率下降，这一下降的速率正比于y（t），其比例系数设为常数b，由此小鱼密度满足方程：
x（t）=a-by （1）
类似的考虑大鱼密度方程：
y（t）=-c+dx （2）
式中的c，d系数前的符号与小鱼方程系数a，b的符号相反，这是因为当不存在小鱼时，大鱼由于没有食物而死亡，因而数量下降。下面对由方程与组成的常微分方程进行分析。
容易看出，如上方程组有三组特定的解，即：
（1）x（t）=y（t）=0
（2）x（t）=0，y（t）=y（0）e-ct（y（0）>0）
（3）y（t）=0，x（t）=y（0）eat（x（0）>0）
在Oxy平面上，對应不同的初值x（0）和y（0），这三组解的轨道构成区域R2+={（x，y）∈R2：x≥0，y≥0}的边界，将上述区域的内部记为intR2+={（x，y）∈R2：x>0，y>0} ，由常微分方程组解的存在唯一定理，不同的积分轨道不能相交，所以初值点在intR2+内的积分轨道保持在同一区域内，不能越过它的边界，在这一区域内，存在唯一一组不随时间变化的平衡解，它可由令其=0解得，即
x= ，y=
在Oxy平面上，过点（x，y）分别作平行于x轴与y轴的直线，这两条直线把区域划分为四个部分，如果所讨论的方程组存在封闭轨线所表示的周期解，那么由轨线上任何一点相对于点（x，y）的位置，不难知道该点的符号，由此知道这样的周期轨道是逆时针方向旋转的，以下说明这样的周期解确实存在。
将方程（1）乘以c-dx与方程（2）乘以a-by相加，整理后得
（clnx-dx+alny-by）=0 （3）
注意到x，y的值，令
H（x）=xlnx-x
G（y）=ylny-y
V（x，y）=dH（x）+bG（y）
则（3）式化为
V（x（t），y（t））=0
或者等价有V（x（t），y（t））=const
即定义在intR2+上的函数V沿方程组（1）和（2）的任何一条轨道取常数值，称这一常数为运动常数。
因为函数H（x）满足
=-1，=-<0
所以H（x）在点x=x达到极大，类似可知函数G（x）在点y=y达到极大，由此函数V（x，y）唯一的极大值在平衡点（x，y）达到，还可说明从平衡点（x，y）出发的任何一条射线，V（x，y）单调下降，因而集合{（x，y）∈intR2+：V（x，y）=const}是围绕平衡点的闭曲线，由于intR2+内的任何一组解必须保持在V（x（t），y（t））等于常数的集合上，因此随着时间的推移，解的代表点必然回到它的初始位置，因而轨道一定是周期的。
如上讨论说明，无论大鱼密度还是小鱼密度都是周期振荡的，而且振幅与频率都依赖于初始条件，然后可以说明：密度的时间平均值是与初始条件无关的常数，且等于相应的平衡值，即
x（t）dt=x，y（t）dt=y
此处t是解的周期，这一结论可按下述方式说明：由
（lnx）=a-by
积分，有
lnx（t）dt=（a-by（t））dt
即lnx（t）-lnx（0）=aT-by（t）dt
因为x（t）=x（0），上式给出
y（t）dt==y
类似的可以讨论x（t）的平均值。
利用上述结果，沃尔泰拉说明了战争期间大鱼密度上升的原因，捕捞的效果是降低小鱼生殖率，提高大鱼的死亡率。因此当考虑捕捞时，如上模型中的系数应当调整，方程（1）中的a应由a-k代替，k是某一正数，而（2）中的c则应由c+m代替，m是某一正数，而系数b，d反映大鱼、小鱼间的相互作用，故保持不变;与这组系数相对应，大鱼平均密度变为（a-k）/d，即低于停止捕捞时的值，小鱼的平均密度变为（c+m）/d，高于停止捕捞时的值，这样就说明了停止捕捞将使大鱼密度上升，小鱼密度下降。
如上讨论可适用于较（1）和（2）更为实际的描述生态活动的方程组，类似的讨论启示我们，要谨慎地使用那些无选择性的农药，因为这些农药既会杀死害虫，也会杀死害虫的天敌，产生类似捕捞鱼群的效果，使得害虫密度相对于天敌密度上升，就此而言这样施用农药的效果是值得怀疑的。对如上模型适当加以修正，还可以讨论生物种群间更复杂的共生、竞技或排斥关系。
【参考文献】
[1]葛渭高，李翠哲，王宏洲.常微分方程与边值问题[M].北京：科学出版社，2008.
[2]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006（1）.
【《数学物理方程》教学大纲】推荐阅读：
数学物理方程讲义01-27
数学解简易方程教学反思01-12
【教学设计】方程的意义_数学_小学10-26
四年级下数学教学实录-方程-北师大版04-26
初一数学上册解方程10-11
高中数学曲线和方程教案05-29
数学四年级下册解方程11-02
七年级上册数学解方程11-24
数学教案－曲线和方程03-12
