计数原理教案

计数原理教案篇1

授课教师:孙琼芳班级:高二(2)班时间:第十二周星期四第二节 ◆教学目标

1.正确理解分类计数原理与分步计数原理的内容.2.正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题.3.了解基本原理在实际生产、生活中的应用.4.提高分析问题、解决问题的能力.◆ 教学重点

分类计数原理与分步计数原理.◆ 教学难点

正确运用分类计数原理与分步计数原理.◆ 教学方法

启发引导式 ◆ 教学准备

多媒体课件 ◆ 教学过程

一.由实际问题引入课题

2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？

要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识．排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法．

在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理．

二.讲授新课问题一：

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

图示：

（分析略）

引伸1:若甲地到乙地一天中还有4班轮船可乘,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 引伸2:若完成一件事,有n类办法.在第1类办法中有m1种不同方法,在第2类办法中有m

2种不同的方法,„„,在第n类办法中有mn种不同方法,每一类中的每一种方法均可完成这件事,那么完成这件事共有多少种不同方法?

分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，„„，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有

N = m1 + m2 + „ + mn

种不同的方法.问题二：

从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

（分析略）

从如下的图示中，我们可以具体地看到这6种走法。图示：

所有走法

火车1——汽车1；火车1——汽车2；火车2——汽车1；火车2——汽车2；火车3——汽车1；火车3——汽车2

在问题二的分析过程中，就体现了分步计数原理.分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，„„，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有

N = m1×m2×„×mn

种不同的方法.下面，我们结合例题来一起体会两个基本原理的正确运用.［例1］书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

（解答略）

教师点评：解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类计数原理”;“分步完成”用“分步计数原理”。

［例2］电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多种不同的结果？

（解答略）

教师点评：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理．

三、课堂练习

1、现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名，从中任选一人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

2、某人有两顶帽子，两件上衣，三条裤子，两双鞋，问穿戴整齐共有多少种不同的装束？.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

思考:若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢?

4.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点A爬到相对的另一个顶点C1的最近路线共有多少条？

四、小结：

1.本节课学习了分类计数原理与分步计数原理。

2.分类计数原理与分步计数原理的共同点是什么？不同点是什么？

3．解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类计数原理”;“分步完成”用“分步计数原理”。有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理．

五、布置作业：课本P87习题10.1 第2、3题

计数原理教案篇2

一、教学新分析

1. 从学生的角度

( 1) 学生的认知基础

学生在初中已经学习过用列举或树状图来解决简单的计数问题, 对于分类与分步思想, 学生也不乏认知基础, 但对今天所要学习的知识在原有的认识体系中却是自发的, 模糊的, 感性的, 从而也是肤浅的.

( 2) 学生的学习障碍

分类用加法, 分步用乘法, 从字面上学生是容易理解的. 但是学生学完本节内容后普遍感到听起来容易但做起来难, 究其原因, 很大程度是学生没能完全理解两个原理所致. 应该说加法和乘法在小学就会, 那么在中学再学它与以往有什么不同? 学生往往在判断是分类还是分步去完成一件事会有一定的障碍, 这是最棘手的问题, 也是本节内容的难点.

2. 从内容的角度

返璞归真的看两个计数原理, 实际上是加法运算与乘法运算的推广, 是解决计数问题的理论基础. 在高中阶段, 本节内容相对独立, 自成体系, 但其思维方法新颖, 独特, 将计数问题与分类和分步思想结合, 与学生以往所学的数学知识有很大区别.

3. 从教学的角度

对于这节课, 大多数老师会将其上成如何进行计数的习题训练课, 这是不对的. 这是思维过程的学习, 就必须了解清楚思维是如何进行的, 如何在原有知识基础上建构自己新的认识, 在过程中应该由浅入深, 螺旋上升. 学生一般只会说结果, 而对其思维过程, 往往不会叙述, 这就需要教师引导, 帮助学生理顺思维过程.

二、教学新设计

1. 设计趣味活动, 激活基本体验

教师: 我们的教学楼每层楼有几个楼梯口? 小明从一楼到二楼, 有几个选择? 一楼到三楼, 四楼呢?

学生: 到二楼两个选择, 到三楼则可以利用树状图, 两个选择下分别又有两个选择, 所以有四个选择, 到四楼有八个选择.

教师: 在刚才的第一问中, 我们要完成什么事? 怎样去完成?

从一楼到二楼: 一步到位, 直接完成.

在第二问中, 我们要完成什么事? 又怎样完成? ( 先到二楼, 再到三楼, ……)

从一楼到六楼: 不能直接完成, 需要分步完成.

第一步: 从一到二楼; 第二步: 从二到三楼; 第三步: 从三到四楼; 第四步: 从四到五楼; 第五步: 从五到六楼.

比较两件事的过程, 你能发现它们的不同之处吗?

完成一件事: 一步到位, 直接完成; 不能直接完成, 需要分步完成.

教学随感: 选择学生身边的素材作为新课引入的实例, 更能引起学生的共鸣, 利用这个熟悉的问题情境就可以迅速激发学生学习的积极性, 让学生在强烈的驱动力下去探究.

2. 借助案例分析, 完成理性认识

教师: 小红外出郊游, 需要搭配衣服. 现在小红有1 件牛仔上衣, 2 件毛衣上衣, 2 件衬衫上衣, 小红要先选择一件上衣, 有几种选择? 小红还有3 条裤子, 假如选完上衣还要选择一条裤子, 请问小红总共可以搭配出几套? ( 上衣+ 裤子为一套) 再比如小红还有2 双鞋子, 请问上衣+ 裤子+ 鞋子, 总共可以搭配出几套?

学生: 1 + 2 + 2 = 5; 5 + 5 + 5 = 15, 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15;不知道.

教师: 只选上衣, 可以选牛仔, 选毛衣, 选衬衫, 都直接完成. 在我们的选法中, 从衣服的材质来讲, 预先已经分好, 不管选哪一类, 都可以算完成选择上衣这件事情. 选上衣和裤子, 不能直接完成, 需分两步. 第一步, 选上衣, 第二步选裤子, 则上衣1 配一裤有3 种选择, 共5 件上衣, 则3 + 3 + 3+ 3 + 3 = 15 ( 树状图得出) . 也可以第一步, 选裤子, 第二步选上衣, 则裤子1 配一上衣有5 种选择, 共3 条裤子, 则5 +5 + 5 = 15 ( 树状图得出) . 当有鞋子的时候, 怎么办? 还可不可以用树状图? 可以. 那么当树状图画出的时候, 该怎么计数呢?

教学感悟: 考察案例, 分清层次, 先易后难, 逐步解决.从一步到两步, 再到三步, 从一步中渗透分类思想和加法原理, 到两步中的树状图方法, 再到三步乃至多步中的分步思想和乘法原理. 在完成的过程中, 我们还发现, 能直接完成的往往也可以按某一标准分类去完成; 不能直接完成的则需要分步去完成. 什么时候可分类完成, 什么时候需分步完成呢?

3. 启迪自主探究, 实现初步应用

一个口袋里有2 封信, 另一个口袋里有3 封信, 各封信内容均不相同.

(1) 从两个口袋里, 各取1封, 有多少种不同取法?

(2) 从两个口袋里, 任取1封, 有多少种不同取法?

( 3) 把这两个口袋里的5 封, 分别投入6 个邮筒, 有多少种不同放法?

( 4) 把这两个口袋里的5 封, 分别投入6 个邮筒 ( 每个邮筒最多放一封信) , 有多少种不同放法?

计数原理中的数学思想方法篇3

一、构造法

例1某市有7条南北向街道，5条东西向街道（如图）.

（1）图中共有多少个矩形？

（2）从A点走向B点最短路线的走法有多少种？

分析：（1）任意一个矩形可由两条横线和两条纵线组成；（2）从A点走向B点最短路线的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另4段方向相同.

解：（1）在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成1个矩形，故可组成矩形有C27·C25=210（个）.

（2）每条东西向街道分成6段，每条南北向街道分成4段，从A到B最短路线的走法无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向向东，另4段方向向北.每种走法，即是从10段选出6段，这6段是走东西方向的（剩下4段数即是走南北方向的），共有C610=C410=210（种）走法（同样可以从10段选4段走南北方向的，每个选法是1种走法）

点评：要在实际问题中建立组合模型，这就需要抓住特例进行分析，如在本例（1）中，注意一个矩形可由图中的两条横线和两条纵线所围成，因而只要从5条横线中选2条再从7条竖线中选2条即可，从而建立组合模型；而在（2）中，观察分析每条最短路线均由10段组成，其中6段为由西向东的方向，而另4段为由南向北方向所组成.

二、转化思想

例2求(1+x+x2)8展开式中x5的系数.

解法1：(1+x+x2)8＝［1+(x+x2)］8，所以Tr+1=Cr8(x+x2)r，

则x5的系数由(x+x2)r来决定，

T′k+1=Ckr·xr-k·（x2）k=Ckrxr+k，令r＋k＝5，

解之得r1=5k1=0 或r2=4k2=1 或r3=3k3=2 

所以含x5的系数为C58C05+C48C14+C38C23=504.

解法2：(1+x+x2)8＝［(1+x)+x2］8=C08(1+x)8+C18(1+x)7·x2

+C28(1+x)6·(x2)2+C38(1+x)5·(x2)3…

则展开式中含x5的系数为C08C58+C18C37+C28C16=504.

解法3：(1+x+x2)8=(1+x+x2)(1+x+x2)…(1+x+x2)（共8个），这8个因式中乘积展开式中形成x5的来源有三：

（1）有2个括号出1个x2，其余6个括号恰有1个括号出1个x，这种方式共有C28C16种；

（2）有1个括号出1个x2，其余7个括号中恰有3个括号各出1个，共有C18C37种；

（3）没有1个括号出x2，恰有5个括号各给出1个x，共有C58种.

所以x5的系数是C28C16＋C18C37＋C58＝504.

点评：求多项式的展开式以及展开式中特定项方法较多，可以把它转化为二项式来展开；也可以利用多项式的乘法法则来展开；还可以对多项式先变形化简，再展开；还可以利用两个原理来求其指定项的系数等.

三、分类讨论思想

例3有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名日语译员，另外两名英、日语

都很精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可以开几张？

解：若先考虑两名英、日语都精通的人，按“多面手”的参与情况分成三类求解，列

式较复杂，容易考虑不全，但按“多面手”翻译英语的人数分类，则类别少，列式清晰.

第一类：“多面手”都参加英语翻译，有C22C25C44种；

第二类：“多面手”只有一个参加英语翻译，有C12C35C45种；

第三类：“多面手”都不参加英语翻译，全部加入日语类，有C45C46种；

三个类别共有C22C25C44＋C12C35C45＋C45C46＝185种.

点评：本题求解的分类方法条理清楚，类别较少，采用分类思维解题关键是要有合理的分类方法，才能容易列式计算，有利于问题的解决.

四、正难则反

例4在第29届北京奥运会期间，组织者要从6名男志愿者和4名女志愿者中选出4人，分别从事解说、接待、宣传、清洁工作，若这4人中至少有1名女生，则选派方案共有多少种？

分析：本题直接求解，需要讨论女生的人数，比较麻烦，若采用逆向思考的方法可使问题简化.

解：从10名志愿者中选出4人共有A410种，这些选法中全部都是男志愿者的选法有A46种，这些选法不符合题意，应舍去，故至少有一名女志愿者的选法总数为A410－A46＝5040－360＝4680.

点评：对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难从正面入手的排列问题，在解题时，应调整思路，从问题的反面入手，通过探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现.

有限制条件的组合问题，主要有“含”与“不含”“至少”与“至多”等问题，解决方法分直接法与间接法两种，要特别注意题目中的关键词语，谨防重复或遗漏.

五、构造模型法

例5如图所示是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有.

解：如图，构建三棱锥ABCD，四个顶点表示四个色块，六条棱表示连结任意两个色块的线段.

由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法，这可由间接法完成：

从六条棱中任取三条棱的不同取法为C36种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同的取法为C36－4＝16（种）

点评：本题根据问题的特征，巧妙地构建恰当的立体几何图形，用几何知识去解，显得直观清晰，简洁明快.

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美图秀二

后悔是一种耗费精神的情绪。后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以不要沉于后悔，要让自己看到前方的希望。

计数原理教案篇4

教案第十编计数原理主备人张灵芝总第52期

§10.2 排列与组合

基础自测

1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有个.答案 54 2.（2008·福建理）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案共有种.答案 14 3.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排法有种.（用式子表示）答案 A88

4.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法种数是（用式子表示）.3答案 C100-C394

5.（2007·天津理）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）.答案 390

例题精讲

例1 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.解（1）方法一要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后其余

155人在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步计数原理，共有站法：A4·A5=480（种）.2方法二由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A5种站法，然后中24间人有A44种站法，根据分步计数原理，共有站法：A5·A4=480（种）.5方法三若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A5种站法，从总数中减去这两种 329

5情形的排列数，即共有站法：A66-2A5=480（种）.（2）方法一先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有A55种站法，再把

52甲、乙进行全排列，有A22种站法，根据分步计数原理，共有A5·A2=240（种）站法.方法二先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放

2412入，有A15种方法，最后让甲、乙全排列，有A2种方法，共有A4·A5·A2=240（种）.（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A442种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A5种站法，故共有站法为2A44·A5=480（种）.52也可用“间接法”，6个人全排列有A66种站法，由（2）知甲、乙相邻有A5·A2=240种站法，所52以不相邻的站法有A66-A5·A2=720-240=480（种）.（4）方法一先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A4然后将甲、乙按条件插入站队，有3A24种，2种，故共有A4（3A24·2）=144（种）站法.方法二先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A2然后把甲、4种，乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A3最后对甲、乙进行排列，有A22种3种方法，32方法，故共有A24·A3·A2=144（种）站法.（5）方法一首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，24有A44种，根据分步计数原理，共有A2·A4=48（种）站法.方法二首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A22种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下

24的4人去站，有A44种站法，由分步计数原理共有A2·A4=48（种）站法.54（6）方法一甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A5种，且甲在左端而乙在右端的站法有A4 330 54种，共有A66-2A5+A4=504（种）站法.方法二以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A55种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不145114在右端有A14·A4·A4 种，故共有A5+A4·A4·A4=504（种）站法.例2 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.2解（1）第一步：选3名男运动员，有C36种选法.第二步：选2名女运动员，有C4种选法.2共有C36·C4=120种选法.（2）方法一至少1名女运动员包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.4233241由分类计数原理可得总选法数为C14C6+C4C6+C4C6+C4C6=246种.方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.5从10人中任选5人有C10种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“至少有1名女运动员”的5选法为C10-C56=246种.（3）方法一可分类求解：

443“只有男队长”的选法为C8； “只有女队长”的选法为C8； “男、女队长都入选”的选法为C8； 43所以共有2C8+C8=196种选法.方法二间接法：

55从10人中任选5人有C10种选法.其中不选队长的方法有C8种.所以“至少1名队长”的选法为55C10-C8=196种.44（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C9种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C8种选法.444其中不含女运动员的选法有C5种，所以不选女队长时的选法共有C8-C5种选法.所以既有队长又有女444运动员的选法共有C9+C8-C5=191种.331 例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？

解（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选

1212个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有C14C4C3×A2=144种.（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有C2、（2，2）两类，第一类有序不4种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）均匀分组有CC24(C342C11A234C11A22种方法；第二类有序均匀分组有

2C24C2A22·A

22种方法.故共有+2C24C2A22·A22）=84种.巩固练习

1.用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.12解(1)先排个位，再排首位，共有A13·A4·A4=144（个）.1123(2)以0结尾的四位偶数有A35个，以2或4结尾的四位偶数有A2·A4·A4个，则共有A5+ 12A12·A4·A4=156（个）.2(3)要比3 125大，4、5作千位时有2A35个，3作千位，2、4、5作百位时有3A4个，3作千位，1作 321百位时有2A13个，所以共有2A5+3A4+2A3=162（个）.2.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？

（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

3解（1）只需从其他18人中选3人即可，共有C18=816（种）.5（2）只需从其他18人中选5人即可，共有C18=8 568（种）.43（3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C12C18+C18=6 936（种）.332（4）方法一（直接法）至少一名内科医生一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三

4233241内二外；四内一外，所以共有C112C8+C12C8+C12C8+C12C8=14 656（种）.方法二（间接法）由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，55得C520-（C8+C12)=14 656(种）.3.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；

（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.2解（1）分三步：先选一本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C5种选法；对于余下的三本 123全选有C33种选法，由分步计数原理知有C6C5C3=60种选法.233（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有C16C5C3A3=360种选法.222（3）先分三步，则应是C6C4C2种选法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A、B、C、D、222E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则C6C4C2种分法中还有（AB、EF、CD），（CD、AB、EF）、（CD、EF、AB）、（EF、CD、AB）、（EF、AB、CD）3共有A33种情况，而且这A3种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分法有222C6C4C2A33=15种.222C6C4C2（4）在问题（3）的工作基础上再分配，故分配方式有

A33222·A33= C6C4C2=90种.回顾总结

知识方法思想

课后作业

一、填空题

1.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有个.答案 36 2.将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法共有种.333 答案 10 3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有种.答案 960 4.(2008·天津理)有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有种.答案 1 248 5.在图中，“构建和谐社会，创美好未来”，从上往下读（不能跳读），共有种不同的读法.答案 252 6.（2008·安徽理）12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（用式子表示）.22答案 C8A6

7.平面内有四个点，平面内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定个平面，任取四点，最多可确定个四面体.（用数字作答）答案 72 120 8.（2008·浙江理，16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻.这样的六位数的个数是.（用数字作答）答案 40

二、解答题

9.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？

解可先分组再分配，据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2

22个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有C3A4种方案；另一类1个城市1个项目，即把3个223元素排在4个不同位置中的3个，共有A34种方案.由分类计数原理可知共有C3A4+A4=60种方案.10.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？（1）只有一名女生；（2）两队长当选；

334（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选.4解（1）一名女生，四名男生，故共有C15·C8=350（种）.3（2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C11=165（种）.423（3）至少有一名队长含有两类：有一名队长和两名队长.故共有：C12·C11+C2·C11=825（种）.55或采用间接法：C13-C11=825（种）.（4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生.2345故选法为C5·C8+C15·C8+C8=966（种）.11.已知平面∥，在内有4个点，在内有6个点.（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？

2解（1）所作出的平面有三类：①内1点，内2点确定的平面，有C14·C6个；②内2点，2内1点确定的平面，有C2C1③，本身.∴所作的平面最多有C1C6+C2C1（个）.4·4·4·6个；6+2=983（2）所作的三棱锥有三类：①内1点，内3点确定的三棱锥，有C14·C6个；②内2点，内2312点确定的三棱锥，有C24·C6个；内3点，内1点确定的三棱锥，有C4·C6个.32231∴最多可作出的三棱锥有：C14·C6+C4·C6+C4·C6=194（个）.（3）∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等,且平面∥，∴体积不相同的三棱锥最多有

322C36+C4+C6·C4=114（个）.12.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？

解 ∵前排中间3个座位不能坐，∴实际可坐的位置前排8个，后排12个.12（1）两人一个前排，一个后排，方法数为C18·C12·A2种； 212（2）两人均在后排左右不相邻，共A12-A22·A11=A11种；

高二下期末复习计数原理篇5

一、3个人要坐在一排8个空位置上，若每人左右都有空座位，不同的坐法有多少种？

二、某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？

三、用数字2、3组成四位数，且数字2、3至少出现一次，这样的四位数共有多少个？

四、（1）、5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？

（2）、若5名学生争夺3项比赛的冠军，（每一名学生参赛项目不限）则冠军获得者有多少种不同的情况？

五、用012345可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数？

六、用123三个数组成四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有多少种？

七、五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建一项，其中甲工程队不能承建一号子项目，则不同的承建方案共有多少种？

八、有4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规定：每位同学必须从甲乙两道题中任选一道作答，若选甲题则答对得100分，答错得—100分；若选乙题则答对得90分，答错得—90分。若四位同学所得的总分为0分，则四位同学不同的得分情况的不同种数是？

九、在一块并排10垄的田地中，选择两垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有多少种？

十、把9个相同的小球放在编号为1、2、3的三个箱子里要求每个箱子放球的个数不小于盒子的编号，则不同的方法有多少种？

十一、在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，有2名既会下象棋又会下围棋，先从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？

十二、现在高一四个班学生34人，其中1、2、3、4班分别为7、8、9、10人，他们自愿组成数学课外小组，（1）选其中一人为负责人有多少种不同的选法？

（2）每班选一名组长有多少种不同的选法？

（3）推选两人做中心发言，这两人需要来自不同的班级，有多少种不同的选法？

十三、用0到9这10个数字，可以组成多少个满足下列条件的数

（1）三位整数（2）无重复的三位整数（3）小于500的无重复数字的三位整数

（4）小于500且末位数字是8或9的无重复数字的三位整数

古人计数教案篇6

教学内容：数学北师大一年级上 P74---P76

教学目标： 1．让学生能正确地数出数量是 11~20 的物体个数，会准确认、读、写 11～ 20 各数。知道这些数是由几个十和几个一组成，掌握

11~20 各数顺序和大小。初步认识个位和十位，了解“十”为单位的计数方法（十进制计数法）

2．通过引导学生操作数学模型的活动培养学生动手能力和合作探究

能力促进数学感知。

3．了解数的起源及数的符号化经历，培养学生的估算意识。

教学重点：理解计数单位“一”和“十”。并感知、理解运用它们计数（11～20 这

些数）的意义。

教学难点：为什么用“十”计数及对“数位”的理解。

课前准备：11～20 各数卡纸(黑卡纸)，0～10 数字卡片，小棒，（借磁性小棒）胶带，计数器（师生），2 个磁铁板画计数器，课件

一、情境引入

古人计数（十进制计数法的铺垫）小朋友真有精神，老师奖励大家一个故事，想听吗？在很久很久以前，那时数宝宝还没有发明出来，古人还不会用数宝宝表示羊的只数，可他们是用什么办法表示自家的羊有多少呢？看！（课件）这就是可爱的小女孩在清点自己的羊，图片中告诉了古人计数的方法是什么？（板书课题：古人计数）

你能说说牧羊人是用什么方法来计数的吗？（一块石头代表一只羊）两块石头呢？三块呢？十块呢？十五块呢？二十块呢？大家想一想那么一大堆的石块摆起来不方便，对吧？那怎么办呢？聪明的古人就想出了一种新的办法，瞧！（课件：十块石头变成一块大石头。）你看到了什么？那么这里 1 大块和 3 小块表示多少？一块大石头表示多少只羊？现在只用 1 大块 3 小块表示 13 只，方便吗？再看这 1 大块 6 小块表示多少只？想想用一大块表示 10 块和前面一块表示 1 想比，有什么好处？小结：一小块一小块摆太麻烦，用一大块一大块表示 10 就很容易又很快数出来，对吧？又省时间又省力气。古人真聪明，对不？那今天我们就一起来学学聪明的古人，用一根小棒来表示一只羊，摆一摆。

二、展开新知（11～20 各数的组成，十进制计数法的开始）

1．摆小棒，体会小棒的根数就是羊的只数请大家准备好小棒，老师要开始放羊了，我放出来一只羊你就摆几根小棒，再放一只呢？再放两只呢？比一比哪位小朋友的手和眼睛配合得最好。请一位小朋友到黑板上来摆。（磁性小棒）请其他的同学就在自己的桌面上摆一摆。摆完后，那我们一起来数一数，牧羊人有几只羊？一共有几只羊呢？一起来数一数。

（11）比 10还要多 1 是 11

2．捆小棒，体会 10 个一就是 1 个十

前面我们知道古人很聪明，用 1 大块表示 10 只很容易让人看出有几只羊。聪明的一（1）班小朋友们，这么多的小棒放在一起，你们有没有办法让人很快看出来这有多少根，你能在桌面上摆一摆吗？

（分成 10 和 1）左边是几根？你怎么知道？指着十根小棒：这刚好是 10 根小棒，拿起 1 根问：几根？我们就说有 1 个一（大写）2 根呢？10 根里有几个 1 根？我们一起来数一数？（10 个一）板书。

用绳子把 10 个一捆在一起！咦！这一捆是几根？几个10？1 个十。这一捆就是 1 个十（板书 1 个十）。

课件再次呈现捆小棒的过程，老师口述，10 个一变成了一个十，10 个一和 1 个十是相等的。10 个一就是 1 个十。（都是这捆小棒）（板书）齐读

小朋友们，你想不想把 10 个一变成 1 个十？那老师想问问：你先要数出几个一，那接下来怎么办？（捆起来）好！那自己动手试一试。

（捆好的同学快举起这一个十）帮助一个慢的同学，请大家放下手中的一个十，我要先问他一个题目，听听他都回答对了没有，回答对了，老师就帮助他。（举起那 10 个一，你让我把这些小棒捆在一起对吧，那这里是几个一）判断对了，只有 10 个一才能捆在一起，捆好后，问现在变成了多少？（一个十）

3．摆小棒，体会按群计数，以“十”计数的方便，并认识 11～20 各数的组成。1 个十和右边的 1 个一合起来是（11）请看这表示多少？能快速知道吗？

（12 根，先是 1 根 1 根摆的，不能马上知道，电脑马上把 10 根捆成一捆，很快说出来。）摆了多少根？（1 个十 5 个一合起来是 15）你们想学着摆一摆吗？你摆了几根？（一个十，（把你摆的向同桌说一说。小结：把 10 个一变成一个十来计数更加方便。练习P75 小结：刚才我们学了这么多新的数宝宝，大家一起来看看，你们发现了什么？（都是 1 个十，几个一组成的数是十几）小结：1 个十，几个一组成十几。对口令几个 19 再加 1 根是多少？（20）由几个十几个一组成？（一个十，10 个一）10 个一又可以捆成一捆又变成了一个十，合起来就有 2 个十。课件演示。

4．认识数位。（位值制计数法）大家一起看，这些刚刚新认识的数和以前学的 1～9 数字有什么不同的地方呢？（两个数字组成的）这两个数字站的位置可是不一样的，从右边起第一位是个位，第二位是十位个位和十位都叫数位。今天就有一个数学的好朋友计数器就要跟我们一起来学习关于数位的知识。请你请出你的好朋友计数器，并在上面找到个位和十位。孩子们找，老师在黑板上板

画计数器，并写上个位和十位，（并介绍：从右边起，第一位是个位，第二位是十位。）找到的孩子用行动告诉老师，谁再来说说，计数器上，从右边起第一位是什么位？第二位是什么位？

5．在计数器上拨数计数器上还有珠子表示数，那咱们就一起来在计数器上拨一拨，你们数，我来拨。（1 个一，2 个一，3 个一。„„）

现在我们来比赛，比一比拨数宝宝 10 谁拨的快？学生出现有两种拨法，哪种方便？（在十位上拨一个珠子就行）为什么在十位上拨一个珠子就行了？（因为在十位上）哦！十位上一个珠子就表示一个十，这个珠子已经表示 1 个十了演示，原来个位上的 10 个一可以变成十位的 1 个十，更方便。那谁帮我把这 1 个十摆在这个计数器上（板画的），就用这个小磁铁代表一）个一）

个珠子摆一摆。给大家说说你摆了几个十？拿出你的计数器，跟老师一起来拨一拨，边拨边数（1 个一，2 个一。„„„ 10 个一。满十进一，拨去 10 个一，变成 1 个十）

6．拨 11，加深理解数位 11 怎么拨？请小朋友上来演示。

为什么这次要把这一个珠子放在个位？（预设学生回答：因为这个珠子表示一个一个的„„）我不明白了，这两珠子一模一样，怎么意思就不一样呢？教师：我明白了，不是珠子神奇，是数位的作用。个位上的 1 表示感谢个一，十位上的 1 表示 1 个十。那合起来这个数是多少？（板书：11）（指指小棒，指指计数器）这两个珠子也都长得一模一样，怎么一个表示 1 个一，一个表示 1 个十呢？我不明白！读 11，这两个 1 意思一样吗？我又不明白了。那这两个 1 明明也长得一模一样，怎么表示的意思也不一样呢？一个十（板书 10），1 个一（板书 1）合起来就是 11（板书“+，=”）完成算式。虽然这两个 1 长的一样，但是表示的意思却不一样。（学生回答）这数位是非常重要的。看来这个数位指着黑板计数器，7．练习拨珠，探索 11-20 的组成

（1）老师报数，学生拨 12 怎么拨？（1 个十 2 个一，十位是 1 个位是 2）13 呢？比 13 多 2 呢？一个十 8 个一个位 7，十位 1 同学们想拨吗？心是想好一个数，请同桌拨一拨。

（2）同桌合作，我说你拨。（一人报数另一人拨）（3）同桌合作，我拨你说。

小结：11～19 十位上都是 1。为什么呢？都只有 1 个十。最后拨 19，19 再加 1 个变成多少？怎么表示？为什么只要拨两个珠子就行了？因为是十位？哦！十位两个珠子就表示几个十？两个十就是 20（板书两个十是 20，10+10=20）。我们一起再来看看 20 是怎样来的这有 1 个十，这有 10 个一，10 个一怎么办？拨去 10 个一变成 1 个十，这里有几个十？（2 个十）刚才我们自己动手拨了拨，写了写，重新认识了这些数，我相信每个同学今天都有不少的收获，那就让我们带着这些收获来做练习吧！

三、练习实践，夯实新知第一关：做一做(练一练第二题)第二关：猜数游戏拓展：用两个珠子在计数器上可以表示哪些不同的数。

数学概率中两类计数原理探究篇7

在概率统计中, 分类计数原理和分步计数原理是两个非常重要的原理, 是整个概率统计的基础.这两个计数原理是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本规律.它们不仅是推导排列与组合中排列数、组合数计算公式的依据, 也是求解排列、组合问题的基本思想, 而且高中数学中将排列、组合及二项式定理的研究都作为两个计数原理的典型应用而设置.

二、两类计数原理详细分析与对比

分类计数原理是指, 做一件事情有i类不同的方法, 第一类方法中有m1种不同的方法, 第二类方法中有m2种不同的方法, …, 第i类方法中有mi种不同的方法, 那么, 解决这件事情总共就有N=m1+m2+…+mi种不同的方法.例如, 从郑州到上海, 共有五类车可供选择:动车、直达车、特快、快速和临客.其中动车一共有124趟列车, 直达车共有1趟列车, 特快共有1趟列车, 快速车共有16趟列车, 临客共有9趟列车.那么从南京到上海共有多少趟列车可供选择呢?这就用到了分类加法计数原理.即本事件共分成五类, 动车、直达车、特快、快速和临客, 从南京到上海就一共有N=124+1+1+16+9=151种不同的方法.

分步计数原理是指, 做一件事情需要先后经过j个步骤, 第一个步骤中有k1种不同的方法, 第二个步骤中有k2种不同的方法, …, 第j个步骤中有kj种不同的方法, 那么, 解决这件事情总共就有N=k1×k2×…×kj种不同的方法.例如, 某人要乘火车从上海去西安, 途中需要在南京和郑州停留办事, 从上海到南京共有90趟列车, 从南京到郑州共有11趟列车, 从郑州到西安共有32趟列车.那么从上海到西安共有多少种乘车方案可供选择呢?这就用到了分布乘法计数原理.即本事件共分成三步, 第一步从上海到南京, 再从南京到郑州, 最后从郑州到西安, 共有N=90×11×32=31680种不同的方法.

三、对两个计数原理的考查与例题解析

【例1】 (推导排列数公式) 从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素, 按照一定的顺序排成一列, 求有多少种排列数?

分析:每一步取出1个元素, 需要m个步骤才完成.

第1步:从n个不同元素中选取1个元素, 有n种选法.

第2步:从剩下的n-1个不同元素中选取1个, 有n-1种选法.

第3步:从剩下的n-2个不同元素中选取1个, 有n-2种选法.

第m步:从剩下的 (n-m+1) 个不同元素中选取1个, 有 (n-m+1) 中选法.

完成了以上m个步骤, 就完成了这个排列.所以从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素, 根据分步计数原理, 共有n× (n-1) × (n-2) ×…× (n-m+1) 种不同的方法, 即Anm=n× (n-1) × (n-2) ×…× (n-m+1) .

【例2】 (子集个数问题) 已知集合A={a1, a2, a3, …, an) , 则A的子集共有多少个?

方法1:集合A的子集可能有0, 1, 2, 3, …, n个元素, 所以可以就子集中元素的个数去分类.

解:含有0个元素的子集有Cn0个;含有1个元素的子集有Cn1个;含有2个元素的子集有Cn2个;……含有n个元素的子集有Cnn个.

由分类计数原理, 集合A共有Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n个子集.

方法2:因为组成A的子集的元素都来自集合A, 所以可以就集合A中的某个元素是否属于某一子集B去考虑.

解:a1有两种情况, a1∈B或a1B;a2有两种情况, a2∈B或a2B;a3有两种情况, a3∈B或a3B;…;an有两种情况, an∈B或anB.

由分步计数原理, 集合A共有2×2×2×…×2=2n个子集.

方法1是就A的子集中所含的元素个数来分类的, 应用的是分类计数原理, 而方法2是就集合A的元素是否在子集B中, 应用的是分步计数原理.

可以得到结论:若集合A有n个元素, 则它的子集有2n个.

四、总结

计数原理教案篇8

1-1. (改编)如图,从A处沿街道走到B处,使路径最短的不同走法共有多少种?

1-2. (改编)图中共有多少个矩形?

2. (苏教版选修2-3P18习题1.2第7题)证明(n+1)!-n!=n•n!,并用它来化简1×1!+2×2!+3×3!+…+10×10!.

2-1. (改编)化简:.

2-2. (改编)化简:.

3. (苏教版选修2-3P29习题1.4第7题)7个人站成两排,前排3人,后排4人,有多少种站法?

3-1. (改编)8个人站成前后两排,前排3人,后排5人,有多少种站法?

3-2. (改编)2女6男8个人站成前后两排,每排4人,且2名女生站在前排,有多少种站法?

3-3. (改编)身高互不相同的8个人站成前后两排,每排4人,且后排的每个人都不矮于他前排对应的那个人,有多少种站法?

4. (苏教版必修1P13练习第5题)设A={x|x=2k-1,k∈Z｝,B={x|x=2k,k∈Z},求A∩B,A∪B.

4-1. (改编)设A={x|x=3k+1,k∈Z｝,B={x|x=3k+2,k∈Z},求A∩B,Z (A∪B).

4-2. (改编)设A={x|x=2k-1,k∈Z｝,B={x|x=4k,k∈Z},C={x|x=4k+1,k∈Z}.

(1) 求Z (A∪B);

(2) 判断Z (A∪B)与C之间的关系.

4-3. (改编)已知集合A={x|x=2k-1,k∈Z｝,求集合{x|∈A,x∈Z}.

5. (苏教版选修1-1P16习题1.3第2题)判断下列命题的真假:

(1) x∈R,2x2-3x+4>0;

(2) x∈{1,-1,0｝,2x+1>0;

(3) x∈N,使x2≤x;

(4) x∈N*,使x为29的约数.

5-1. (改编)写出上述命题的否定.

5-2. (改编)若“x∈{1,-1,0｝,2x+a>0”为真,求实数a的取值范围.

5-3. (改编)若“x∈R,2x2-3x+a>0”为真,求实数a的取值范围.

5-4. (改编)若“x∈{1,-1,0｝,使2x+a>0”为真,求实数a的取值范围.

5-5. (改编)若“x∈R,使2x2-3x+a>0”为真,求实数a的取值范围.

5-6. (改编)已知数列{an｝的通项公式为an=,试判断命题“m∈N*,使得n∈N*,an≥am”是否为真.若是真命题,试求出这样的正整数m;若不是真命题,请说明理由.

6. (苏教版必修3P14练习第2题)用Ni代表第i个学生的学号,Gi代表第i个学生的成绩(i=1,2,3,…,50),则右边的流程图表示了一个什么样的算法?

6-1. (改编)下面的流程图输出的所有数之和为________.

6-2. (改编)甲、乙两人玩游戏,规则如下面的流程图所示,则甲胜的概率为______.

1. (1) 走法取决于4个步骤(三个向右,一个向下)中哪1个步骤向下走,因为一旦确定,则向右走的步骤随之确定,故有4种走法.

(2) 走法取决于4个步骤(两个向右,两个向下)中哪2个步骤向下走,因为一旦确定,则向右走的步骤随之确定,故有C2 4=6种走法.

1-1. 与解课本题的思路完全一致,走法取决于8个步骤中哪3个步骤向下走,故共有C3 8 =56种走法.

1-2. 由于确定矩形不仅要确定长边,而且要确定宽边,故应在横线与纵线中各选2条,故共有C2 5 C2 6个矩形.

2. (n+2)!=(n+1)n!;展开(拆项)相消,可得1×1!+2×2!+3×3!+…+10×10!=11!-1.

2-1. 因为=-,所以可用拆项相消法求得=1-.

2-2.==-,故可用拆项相消法求得=-.

说明教材中的例、习题的解题策略常常会运用于高考题的新情境中,关键是要看清其本质.一般地,解以分式形式为通项的数列求和问题时,除了直接判断出其为等比数列或等差数列与等比数列对应项的积数列外,都可以试着对通项进行拆项然后相消求和.

3. 其实就是7个元素的全排列,有7!种站法.

3-1. 就是8个人的全排列,有8!种站法.

3-2. 优先安排2名女生站在前排,有A2 4A6 6种站法.

3-3. 先站第1列,有C2 8 种站法,同理,第2,3,4列分别有C2 6,C2 4,C2 2 种站法,故共有C2 8 C2 6 C2 4 C2 2 种站法.

说明以上几个变式题的设计目的是让同学们了解,在解题时不能仅从形式上找相似之处,同样是前、后排列问题,可以有本质的区别.我们讲重视课本题的模式识别(即引导题型归类)作用,不是指机械模仿,而是指通过审读,去除表面的、包装的“外衣”,把握本质的一致性,这样才能运用熟悉的模型(问题)解决新的问题.

4. 事实上,A为奇数集,B为偶数集,所以A∩B=,A∪B=Z.

4-1. A是所有整数中除3余1的数,B是所有整数中除3余2的数,所以A∩B=,Z(A∪B)={x|x=3k,k∈Z｝.

4-2. (1) Z((A∪B)={x|x=4k+2,k∈Z};

(2) Z((A∪B)∩C=.

4-3. 因为=3+,所以若要∈A,即要3+为奇数,即要为偶数.又x∈Z,即x+1∈Z,故x+1是20的约数,故逐一检验可得x+1=-10,-5,-2,-1,1,2,5,10,即x=-11,-6,-3,-2,0,1,4,9,故集合{x |∈A,x∈Z}={-11,-6,-3,-2,0,1,4,9｝.

说明同模(同余)分类与整除性问题是竞赛中的常见题型,因为各地区高考命题专家中竞赛教练所占比例均较大,而此类问题在教材中又有着一定的“影子”,故高考中时常见其“身影”就不足为怪了.

5. (1)真;(2)假(x=-1时不成立);(3)真(x=1或0时成立);(4)真(x=1时成立).

5-1. (1) x∈R,使2x2-3x+4≤0;

(2) x∈{1,-1,0｝,使2x+1≤0;

(3) x∈N,x2>x.

(4) x∈N*,x都不为29的约数.

说明常用逻辑用语大多数情况下是以填空题形式考查的,且题目基本上较为简单,故直接用教材中的例、习题作简单改编既不会出错,又能把握好难度.

5-2. 由题意,知2x+a在x取{1,-1,0}中的数时的最小值大于0,即-2+a>0,故a>2.

5-3. 由题意,知2x2-3x+a在x取实数时的最小值大于0,即a+->0,故a>.

说明解5-2题时,如果只是将三个元素分别代入不等式,然后联立不等式并解不等式组,则其方法就不能“迁移”到5-3题的解决过程中.这说明,在解题时最好能运用具有一般性的思维策略.

5-4. 由题意,知2x+a的最大值大于0,即2+a>0,即a>-2.

5-5. 由题意,知2x2-3x+a一定能大于0,即a可取任意实数.