概率统计教案6

概率统计教案6（共7篇）

概率统计教案6 篇1

【教学内容】 统计表。

【教学目标】

使学生进一步认识统计的意义，进一步认识统计表，掌握整理数据、编制统计表的方法，学会进行简单统计。【重点难点】

让学生系统掌握统计的基础知识和基本技能。【教学准备】 多媒体课件。

【情景导入】 1.揭示课题

提问：在小学阶段，我们学过哪些统计知识？为什么要做统计工作？ 2.引入课题

在日常生活和生产实践中，经常需要对一些数据进行分析、比较，这样就需要进行统计。在进行统计时，又经常要用统

计表、统计图，并且常常进行平均数的计算。今天我们开始复习简单的统计，这节课先复习如何设计调查表，并进行调

查统计。

【整理归纳】

收集数据，制作统计表。

教师：我们班要和希望小学六（2）班建立“手拉手”班级，你想向“手拉手”的同学介绍哪些情况？ 学生可能回答：（1）身高、体重（2）姓名、性别（3）兴趣爱好

为了清楚记录你的情况，同学们设计了一个个人情况调查表。课件展示：

为了帮助和分析全班的数据，同学们又设计了一种统计表。六（2）班学生最喜欢的学科统计表

组织学生完善调查表，怎样调查？怎样记录数据?调查中要注意什么问题？ 组织学生议一议，相互交流。指名学生汇报，再集体评议。

组织学生在全班范围内以小组形式展开调查，先由每个小组整理数据，再由每个小组向全班汇报。填好统计表。【课堂作业】

教材第96页例3。【课堂小结】

通过本节课的学习，你有什么收获？ 【课后作业】

完成练习册中本课时的练习。

第1课时 统计与概率（1）（1）统计表

（2）统计图：折线统计图 条形统计图 扇形统计图

第2课时 统计与概率（2）

【教学内容】

统计与概率（2）。【教学目标】

1.使学生初步掌握把原始数据分类整理的统计方法 2.渗透统计意识。【重点难点】

能根据统计图提供的信息，做出正确的判断或简单预测。【教学准备】 多媒体课件。

【情景导入】

上节课我们复习了如何设计调查表，今天我们来一起整理一下制作统计图的相关知识。

【归纳整理】 统计图

1.你学过几种统计图？分别叫什么统计图？各有什么特征？ 条形统计图（清楚表示各种数量多少）折线统计图（清楚表示数量的变化情况）扇形统计图（清楚表示各种数量的占有率）教师：结合刚才的数据例子，议一议什么类型的数据用什么样的统计图表示更合适？

组织学生议一议，相互交流。2.教学例4 课件出示教材第97页例4。

（1）从统计图中你能得到哪些信息？ 小组交流。重点汇报。

如：从扇形统计图可以看出，男、女生占全班人数的百分率； 从条形统计图可以看出，男、女生分别喜欢的运动项目的人数；

从折线统计图可以看出，同学们对自己的综合表现满意人数的情况变化趋势。（2）还可以通过什么手段收集数据？ 组织学生议一议，并相互交流。

如：问卷调查，查阅资料，实验活动等。

（3）做一项调查统计工作的主要步骤是什么？ 组织学生议一议，并相互交流。

指名学生汇报，并集体订正，使学生明确并板书： a.确定调查的主题及需要调查的数据； b.设计调查表或统计表； c.确定调查的方法； d.进行调查，予以记录； e.整理和描述数据；

f.根据统计图表分析数据，作出判断和决策。【课堂作业】

教材第98页练习二十一第2、3题。【课堂小结】

通过本节课的学习，你有什么收获？ 【课后作业】

完成练习册中本课时的练习。

第2课时 统计与概率（2）

做一项调查统计工作的主要步骤： ①确定调查的主题及需要调查的数据； ②设计调查表或统计表； ③确定调查的方法； ④进行调查，予以记录； ⑤整理和描述数据；

⑥根据统计图表分析数据，作出判断和决策。

第3课时 统计与概率（3）

【教学内容】

平均数、中位数和众数的整理和复习。【教学目标】

1.使学生加深对平均数、中位数和众数的认识。体会三个统计量的不同特征和使用范围。

2.使学生经历解决问题的过程，发展初步的推理能力和综合应用意识。3.灵活运用数学知识解决实际问题，激发学生的学习兴趣。【重点难点】

进一步认识平均数、中位数和众数，体会三个统计量的不同特征和使用范围。【教学准备】 多媒体课件。

【情境导入】

教师：CCTV-3举行青年歌手大奖赛，一歌手演唱完毕，评委亮出的分数是： 9.87,9.65,9.84,9.78,9.75,9.72,9.90,9.83，要求去掉一个最高分，一个最低分，那么该选手的最后得分是多少？

学生独立思考，然后组织学生议一议，然后互相交流。指名学生汇报解题思路。由此引出课题：

平均数、中位数、众数 【复习回顾】 1.复习近平均数

教师：什么是平均数？它有什么用处？ 组织学生议一议，并相互交流。

指名学生汇报，并组织学生集体评议。使学生明确：平均数能直观、简明地反映一组数据的一般情况，用它可以进行不

同数据的比较，看出组与组之间的差别。课件展示教材第97页例5两个统计表。

①提问：从上面的统计表中你能获取哪些信息？ 学生思考后回答

②小组合作学习。（课件出示思考的问题）a.在上面两组数据中，平均数是多少？

b.不用计算，你能发现上面两组数据的平均数大小吗？ c.用什么统计量表示上面两组数据的一般水平比较合适？ ③小组汇报。

第一组数据：平均数是（1.40＋1.43×3＋1.46×5＋1.49×10＋1.52×12＋1.55×6＋1.58×3）÷（1+3+5+10+12+6+3）≈1.50（m）

第二组数据：平均数是（30×2+33×4+36×5+39×12+42×10+45×4+48×3）÷40=39.6（kg）

④用什么统计量表示上面两组数据的一般水平比较合适？为什么？ 组织学生议一议，相互交流。

学生汇报：上面数据的一般水平用平均数比较合适。因为它与这组数据中的每个数据都有关系。2.复习中位数、众数

（1）教师：什么是中位数？什么是众数？它们各有什么特征？ 组织学生议一议，并相互交流。指名学生汇报。

使学生明白:在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置上 的一个数（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

（2）课件展示教材第97页例5的两个统计表，提问：你能说说这两组数据的中位数和众数吗？

学生认真观察统计表，思考并回答。指名学生汇报，并进行集体评议。【归纳小结】

1.教师：不用计算，你能发现上面每组数据的平均数、中位数、众数之间的大小关系吗？

组织学生议一议，并相互交流。指名学生汇报并进行集体评议。

2.教师：用什么统计量表示两组数据的一般水平比较合适？ 组织学生议一议，并相互交流。指名学生汇报。师生共同评议。师根据学生的回答进行板书。【课堂作业】

教材第98页练习二十一第4、5题，学生独立完成，集体订正。答案：

第4题：（1）不合理，因为从进货量和销售量的差来看，尺码是35、39、40三种型号的鞋剩货有些多。

（2）建议下次进货时适当降低35、39、40三种型号鞋的进货量，根据销货量的排名来看，每种型号的鞋的进货量的比

例总体上不会有大的变化。第5题：（1）平均数：（9.8+9.7×2＋9.6×4＋9.5＋9.4×2+9.1）÷11≈9.55（分）（2）有道理，因为平均数与一组

数据中的每个数据都有关系，但它易受极端数据的影响，所以为了减小这种影响，在评分时就采取“去掉一个最高分和

一个最低分”，再计算平均数的方法，这样做是合理的。平均分：（9.7×2+9.6×4+9.5+9.4×2）÷9≈9.57（分）【课堂小结】

通过这节课的学习活动，你有什么收获？学生谈谈学到的知识及掌握的方法。

【课后作业】

完成练习册中本课时的练习。

第3课时 统计与概率（3）

平均数：能较充分的反映一组数据的“平均水平”，但它容易受极端值的影响。

中位数：部分数据的变动对中位数没有影响

众数：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有。

第4课时 统计与概率（4）

【教学内容】

可能性的整理与复习。【教学目标】 1.使学生加深认识事件发生的可能性和游戏规则的公平性，会求简单事件发生的可能性，并会对事件发生的可能性作出

预测。

2.培养学生依据数据和事件分析并解决问题，作出判断、预测和决策的能力。3.使学生体验到用数学知识可以解决生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣。【重点难点】

认识事件发生的可能性和游戏规则的公平性，会求简单事件发生的可能性，并会对事件发生的可能性作出预测，掌握用

分数表示可能性大小的方法。【教学准备】 多媒体课件。

【情景导入】

1.教师出示情境图。表哥：我想看足球比赛。表弟：我想看动画片。表妹：我想看电视剧。

教师：3个人只有一台电视，他们都想看自己喜欢的节目，那么如何决定看什么节目呢？必须想出一个每个人都能接受 的公平的办法来决定看什么节目。

提问：你能想出什么公平的办法确定谁有权决定看什么节目吗？ 学生：抽签、掷骰子。2.揭示课题。

教师：同学们想出的方法都不错。这节课我们来复习可能性的有关知识。（板书课题）

【复习讲授】

1.教师：说一说学过哪些有关可能性的知识。（板书：一定、可能、不可能）

2.教师：在我们的生活中，同样有些事情是一定会发生的，有些事情是可能发生的，还有些事情是不可能发生的。下面

举出了几个生活中的例子，请用“一定”“可能”或“不可能”来判断这些事例的可能性。课件展示：

（1）我从出生到现在没吃一点东西。（2）吃饭时，有人用左手拿筷子。（3）世界上每天都有人出生。组织学生独立思考，并相互交流。指名学生汇报，并进行集体评议。3.解决问题，延伸拓展

（1）教师：用“一定”“不可能”“可能”各说一句话，在小组内讨论交流。指名学生汇报并进行集体评议。（2）课件展示买彩票的片段。

组织学生看完这些片段，提问：你有什么想法吗？

你想对买彩票的爸爸、妈妈、叔叔、阿姨说点什么呢？ 【课堂作业】 1.填空。（1）袋子里放了10个白球、5个黄球和2个红球，这些球除颜色外其它均一样，若从袋子里摸出一个球来，则摸到（）色球的可能性最大，摸到（）色球的可能性最小。

（2）一个盒子里装有数量相同的红、白两种颜色的球，每个球除了颜色外都相同，摸到红球甲胜，摸到白球乙胜，若

摸球前先将盒子里的球摇匀，则甲、乙获胜的机会（）。2.选择。

（1）用1、2、3三个数字组成一个三位数，组成偶数的可能性为（）。A.B.C.D.（2）一名运动员连续射靶10次，其中两次命中十环，两次命中九环，六次命中八环，针对某次射击，下列说法正确的

是（）。

A.命中十环的可能性最大 B.命中九环的可能性最大 C.命中八环的可能性最大 D.以上可能性均等

3.有一个均匀的正十二面体的骰子，其中1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，2个面标有“4”，1个

面标有“5”，其余面标有“6”，将这个骰子掷出。（1）“6”朝上的可能性占百分之几？（2）哪些数字朝上的可能性一样？ 答案：

1.（1）白 红（2）相等 2.（1）A（2）D 3.（1）25％（2）标有“1”和“5”，标有“2”与“4”，标有“3”和“6”的可能性一样。【课堂小结】

通过这节课的学习，你有哪些收获？学生畅谈学到的知识和掌握的方法。【课后作业】

完成练习册中本课时的练习。

第4课时统计与概率（4）

概率统计第五章教案 篇2

1、引言：在刚开始我们提到事件发生的频率具有稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，在实践中，人们还认识到测量值的算术平均值也具有稳定性，这种稳定性就是本章所要讨论的大数定律的客观背景；中心极限定理则从理论上证明了在客观世界上所遇到的许多随机变量的和是服从正态分布或近似服从正态分布的.§5.1大 数 定 律

5.1.1切比雪夫不等式

2、切比雪夫不等式：对于任何具有有限方差的随机变量X，都有PXEXDX2，其中为任一正数.不等式

DX也可写成：PXEX12.证明：设随机变量X为离散型随机变量，其概率分布律为PXxp，k1,2,，则

kkPXEXxkEX122按概率的定义XEXPXxk

第一次放大XEXxkEXpk22 求和范围放大按概率的定义xkEXpk XEX21212xk1kEXpk2

按方差的定义DX2.若随机变量X为连续型随机变量，且概率密度函数为fx，则：

PXEXxEX122按概率的定义xEX2fxdx

第一次放大积分范围放大xEXxEXfxdx2

xEXfxdx 按方差的定义DX2122

3、结论：切比雪夫不等式具体地用随机变量X的数学期望EX和方差DX来估算随机变量X的概率分布，具体地用方差估算了随机变量X取值时以

的数学期望EX为中心的分散程度.4、例如：若X~N，，则 XPXEX1

DX22，即PX12.28PX310.8889； 当3时有239215当4时有PX4142160.9375； 224PX510.9600.当5时有2525而实际计算得：PX30.9974，这与用切比雪夫不等式估算的结果不矛盾.5、例1：已知正常男性成人的血液中，每一毫升的白细胞数平均是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设随机变量X表示正常男性成人的血液中每一毫升 的白细胞数，则EX7300，DX700

2P5200X9400PX73002100

PXEX2100

1DX27002810.8889.221009

6、例

12：在每次试验中事件A以概率2发生，是否可以用大于等于0.975的概率确信，在1000 次试验中，事件A出现的次数在400与600范围内？ 解：设在1000 次试验中，事件A出现的次数为X，则

7、例

X~B1000,12，EXnp100012500，DXnpq100011212250；

P400X600PX500100PXEX100

1250100212501000010.0250.975.所以可以用大于等于0.975的概率确信，在1000 次试验中，事件A出现的次数在400与600范围内

3：设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假设灯的开、关是相互独立的，估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率（见课本P124的例1）.7 解：设随机变量X表示夜晚同时开着的灯的数量，由于每盏灯只有两个可能结果，而且灯的开、关是相互独立的，X~B10000,0.7，若用贝努里公式计算应为

P6800X72007199k6801kC100000.7k10.710000k，计算量很大，不易计算.下面用切比雪夫不等式来估算：

EXnp100000.77000，DXnpq100000.710.72100；

P6800X7200PX7000200

PXEX2002100210011220040000

10.05250.9475.此题说明：虽然10000盏灯，但是只要供应7200盏灯的电力就能以不低于94.75%的概率保证够用.5.1.2伯努利大数定律：

8、定理1（伯努利大数定律）：设是n重伯努利试验中事件A出现的次数，而p是事件A在每次试验中出现的nnlimPp1 概率，则对于任意0，都有证明：设随机变量

nnX1,第i次试验中事件A出现i0,第i次试验中事件A不出现，i1,2,,n

Xi服从参数为p的两点01分布，EXip，DXipq，其中q1p，i1,2,,n，nX1,X2,,Xn相互独立，且nXii1，n从而EnXiEi11nnnEX1niEXini1ni1 1nnp1i1nnpp，nXiDnDi11nnnX1n2Di2DXnii1ni1 1npqnpq122npqi1nn，PDnnnEnnn12 pqPnnp1n21pqn2 则 由切比雪夫不等式得：即： 9

npqlimPplim11 n两边取极限得：nn2n

9、注意：

1伯努利大数定律的实际意义：

nn表示n次试验中事件A

出现的频率，当次数n很大时，事件A出现的频率与事件A出现的概率p的偏差小于任意正数的可能性很大，概率几乎达到1100%.2从伯努利大数定律可知：若事件A的概率很小，事件A出现的频率也很小，或者说事件A很少发生.从而得出小概率事件的实际不可能性原理“概率很小的随机事件在个别（或一次）试验中是不可能发生的”.3确定事件概率的方法：频率

nn与概率p的偏差任意小的概率接近1100%，那么我们就可以通过做试验来确定事件的频率，并把它作为随机事件发生的概率的估计，这种方法称为参数估计，它是数理统计主要的研究课题之一.10、序列Y,Y,,Y,依概率收敛于a（定义）：设Y,Y,,Y,是一个相互独立的随机变量序列，a是一个常数，若对12n12n于任意正数，有limPYnna1，则称随机变量序列Y1,Y2,,Yn,依概率收敛于a.11、重新叙述伯努利大数定律：设是n次伯努利试验中事件A出现的次数，而p是事件A在每次试验中出现

n的概率，则频率

nn依概率收敛于概率p.5.1.3切比雪夫大数定律：

11、引言：人们在实践中还发现，除了频率具有稳定性以外，大量观察值的平均值也具有稳定性，这就是切比雪夫大数定律.12、定理2（切比雪夫大数定律）： 设随机变量X,X,,X,相互独立，每一随机变量分别有数学期望EX,EX,,EX,和有限方差DX,DX,,DX,，且有公共上界c，即DXc,DXc,,DXc,则对于任意0，有12n12n12n12n1n1nlimPXiEXi1 nni1ni1 1n1n1nXiEXiEXi； 证明：Eni1ni1ni11n1nX1,X2,,Xn1DXi2DXi2ni1ni1相互独立n12nnccc2； nni1nDX

ii1n由切比雪夫不等式得：

1nDXninn111PXiEXi1i 2nni1i1 11

1n1nXiEXi即：Pnni1i11ncDXini1cn112122n

作为事件的概率都应有0p1，1nc1n12PXiEXi1 nnni1i1取极限得：

1nc1nlim12limPXiEXilim1nni1nnni1n

1n1n1limPXEX1ii即：n nni1i11n1nPXiEXi1.所以：limnni1ni1

13、切比雪夫大数定律的实际意义：相互独立的随机变量的算术平均值

1nXXini1与数学期望的算术平均值1nEXi的差在n充分大时是一个无穷小量，这也意ni1味着在n充分大时，经算术平均后得到的随机变量1nXXi的值将比较紧密地聚集在EXni1的附近.14、推论（由切比雪夫大数定律可得）：设随机变量X,X,,X,服从同一分布，并且有（相同的）数学期望a及方差，则对于任意正数0，有12n21nliPmXinni1a.112

15、推论（切比雪夫大数定律的）的实际意义：假如我们要测量某一物理量a，在不变的条件下重复进行n次，得n个测量值X,X,,X，显然它们可以看成是n个相互独立的随机变量，具有相同的分布，并且有数学期望a，由推论可知，当n充分大时，n次测量结果

12nX1X2Xn的平均值可作为a的近似值：an，由此发生的误差可以任意小；这就是关于算术平均值的法则的理论依据.13 §5.2中 心 极 限 定 理

1、引言：正态分布在随机变量的一切可能的分布中占有特别重要的地位，实践中我们遇到的大量的随机变量都是服从正态分布的；在某些条件下，即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量，它们的和的分布，当随机变量的个数无限增加时，也是趋于正态分布的.假如所研究的随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的，而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机变量往往近似服从正态分布，在概率论中有关论证随机变量的和的极限的分布是正态分布的一类定理称为中心极限定理.5.2.1独立同分布的中心极限定理

2、定理1（独立同分布中心极限定理）：设随机变量X,X,,X,相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差EX，DX0i1,2,，则随机变量12ni2inXEXiii1Yni1nDXii1nXi1ninn（这是随机变量X经标

ii1n准化后得到的随机变量）的分布函数Fx对任意的x,，都有

n

nXini1limFnxlimPxnnn

nXix1t2i1limPxe2dtn.n2证明略

3、说明：

1假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和的作用都很微小，则可以认为这个随机变量总和实际上是服从正态分布的；实际上只要n足够大，便可认为随机变量总和是服从正态分布的.nXiEXii1i1Ynn2DXii1nXi1ninnn，当n很大时，近似服从标准正态分布N0,1，从而有

2X~Nn,nii1

5.2.2棣音同弟莫弗-拉普拉斯DeMoiverLaplace中心极限定理：

4、定理2：设随机变量n1,2,服从参数为n,p0p1的二项分布，则对于任意区间a,b，恒有

nlimPant2bnnp12bedt.a2np1p证明：由于服从二项分布的随机变量可视为n个相互独立、服从同一参数p0p1的01分布的随机变量X,X,,X之和，n12n即nXi，其中EXip，Di1nXipq，i1,2,,n，q1p，故由独立同分布中心极限定理可得：

nXint2x12i1nnplimPxlimPxedtnn，n2npq即n~Nn,npq，于是对于任意a,b有

limPant2bnnp12bedta.2np1p

5、说明：棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理表明：正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时，服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算.nanpnnpbnpbnpanpPanbP

npqnpqnpqnpqnpq

6、例1：设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假设灯的开、关是相互独立的，估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率（此题在本章讲稿的第三页已用切比雪夫不等式估算过）.解：n~Bn,pB10000,0.7，Ennp100000.77000，Dnnpq100000.70.32100，Dn210045.8258，P6800n7200Pn7000200

7000nPDn Dn200n7000200P4.364445.825845.8258

4.36444.3644

4.364414.3644

24.3644120.99999510.99999.即亮灯数介于6800~7200之间的概率为0.99999.7、例２：某计算器进行加法计算时，把每个加数取为最接近于它的整数来计算，设所有取整误差是相互独立的随机变量，并且都在0.5,0.5上服从均匀分布.求：（1）1200个数相加时，误差总和的绝对值小于10的概率.（2）多少个数相加可使误差总和的绝对值小于10的概率大于0.9？ ii解：设X表示第i个数相加时的误差，则X服从区间0.5,0.5上的均匀分布，即X~U0.5,0.5，i其密度函数为：

10.50.5,0.5x0.51,0.5x0.5fx其它0,0,其它2，0.50.50.50.51EX0DX从而有i，i； 21212120012001200EXiEXi00

i1i1i112001112001200DXiDXi1200100；

12i112i1i1（1）由于大量随机变量的和的分布是近似服从正态

分布的，1200Xi01200标准化10i1PXi10P1100100i1 查标准正态分布表11111211

20.841310.6826.（2）设需n个数相加可使误差总和的绝对值小于10的概

率大于0.9.则

nXin0n标准化10203i1PXi10Pnn i1nDXi12203203203210.9nn n20310.90.95n，2

查标准正态分布表得：1.6450.9

5203203从而有n1.645n1.645443.4289.n443

2（即不要多于443个数相加可使误差总和的绝对值小于10的概率大于0.9）.8、例3：每发炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹至少命中5发的概率.解：用随机变量X表示500发炮弹命中目标的炮弹数，则X~B500,0.01，EXnp5000.015，DXnpq5000.010.994.95

DX4.952.223；

方法一：用二项分布来计算

kPX5C5000.01k10.01k54500500k

k1C5000.01k0.99500kk0012C5000.99500C5000.010.99499C5000.0120.9949813C0.0130.99497C40.0140.994965005000.56039.方法二：当n很大，p很小时的二项分布，可近似用泊松分布来计算X~Pnp.4kePX51PX41 k!k01k045000.01k!ke5000.01

5ke510.5595.k!k04方法三：用中心极限定理计算.23 1，第i发炮弹击中目标设Xi0，第i发炮弹未击中目标

Xi近似服从正态分布 则Xi1500XEX5EXPX5P

DXDX标准化55000.01XEXP

概率统计教案6 篇3

随机事件及其概率

概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域.本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.第一节 随机事件

内容分布图示

★ 随机现象

★ 样本空间

★ 随机现象的统计规律性 ★ 随机事件

★ 事件的集合表示 ★ 事件的关系与运算 ★ 事件的运算规律

★ 例1 ★ 例4 ★ 内容小结

★习题1-1

★ 例2 ★ 例5 ★ 课堂练习

★ 例3 内容要点：

一.随机现象

从亚里士多德时代开始,哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用, 但直到20世纪初, 人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究.概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科.而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性现象的数学学科.二.随机现象的统计规律性

由于随机现象的结果事先不能预知, 初看似乎毫无规律.然而人们发现同一随机现象大量重复出现时, 其每种可能的结果出现的频率具有稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的规律性.人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为E.例如, 观察某射手对固定目标进行射击;抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数;记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验.随机试验具有下列特点: 1.可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行;2.可观察性: 试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;3.不确定性: 每次试验出现的结果事先不能准确预知.三.样本空间 尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为e（或）；它们的全体称为样本空间, 记为S(或).基本事件的称谓是相对观察目的而言它们是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件.四.事件的集合表示

按定义, 样本空间S是随机试验的所有可能结果(样本点)的全体, 故样本空间就是所有样本点构成的集合, 每一个样本点是该集合的元素.一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成的, 所以一个事件对应于S中具有相应特征的样本点(元素)构成的集合, 它是S的一个子集.于是, 任何一个事件都可以用S的某一子集来表示,常用字母A,B,等表示.五.事件的关系与运算

因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理.六.事件的运算规律

事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表：

表1.1 记号概率论样本空间,必然事件不可能事件基本事件事件A的对立事件事件A发生导致B发生事件A与事件B相等事件A与事件B至少有一个发生事件A与事件B同时发生事件A发生而事件B不发生事件A和事件B互不相容集合论全集空集元素子集A的余集A是B的子集A与B的相等A与B的和集A与B的交集A与B的差集A与B没有相同的元素AAABABABABABAB

例题选讲：

例

1在管理系学生中任选一名学生, 令事件A表示选出的是男生, 事件B表示选出的是三年级学生, 事件C表示该生是运动员.(1)叙述事件ABC的意义;(2)在什么条件下ABCC成立?(3)什么条件下CB?(4)什么条件下AB成立? 解(1)ABC是指当选的学生是三年级男生, 但不是运动员.(2)只有在CAB, 即CA,CB同时成立的条件下才有ABCC成立, 即只有在全部运动员都是男生, 且全部运动员都有是三年级学生的条件下才有ABCC.(3)CB表示全部运动员都是三年级学生, 也就是说, 若当选的学生是运动员, 那么一定是三年级学生, 即在除三年级学生之外其它年级没有运动员当选的条件下才有CB.(4)AB表示当选的女生一定是三年级学生, 且BA表示当选的三年级学生一定是女生.换句话说, 若选女生, 只能在三年级学生中选举, 同时若选三年级学生只有女生中选举.在这样的条件下, AB成立.例2 考察某一位同学在一次数学考试中的成绩, 分别用A, B, C, D, P, F表示下列各事件(括号中表示成绩所处的范围):

A优秀([90,100]), B良好([80,90))，C中等([70,80)),D及格([60,70)),P通过([60,100]),F未通过([0,60)),则A,B,C,D,F是两两不相容事件P与F是互为对立事件，即有PF;A,B,C,D均为P的子事件，且有

PABCD.例3（讲义例1）甲，乙，丙三人各射一次靶，记A“甲中靶” B“乙中靶” C“丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：

(1)“甲未中靶”：

A;

(2)“甲中靶而乙未中靶”：

AB;

(3)“三人中只有丙未中靶”：

ABC;

(4)“三人中恰好有一人中靶”：

ABCABCABC;

(5)“ 三人中至少有一人中靶”：

ABC;

(6)“三人中至少有一人未中靶”： ABC;或ABC;(7)“三人中恰有兩人中靶”：

ABCABCABC;

(8)“三人中至少兩人中靶”：

ABACBC;(9)“三人均未中靶”：

ABC;(10)“三人中至多一人中靶”：

ABCABCABCABC;

(11)“三人中至多兩人中靶”：

ABC或ABC.注：用其他事件的运算来表示一个事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)实际上是同一事件，读者应学会用不同方法表达同一事件, 特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法.例

4指出下列各等式命题是否成立, 并说明理由:(1)AB(AB)B;(2)ABAB;(3)ABCABC;(4)(AB)(AB).解(1)成立.(AB)B(AB)(BB)(分配律)(AB)SAB.(2)不成立.若A发生, 则必有AB发生, A发生, 必有A不发生, 从而AB不发生, 故ABAB不成立.(3)不成立.若ABC发生, 即C发生且AB发生, 即必然有C发生.由于C发生, 故C必然不发生, 从而ABC不发生, 故(3)不成立.(4)成立.(AB)(AB)(AB)(BA)A(BB)A(A)AA.例5 化簡下列事件：

(1)(AB)(AB);

(2)ABABAB.解(1)(AB)(AB)[A(AB)][B(AB)](分配律)

(AAAB)(BABB)(AAB)](BA)(因ABA)ABAA.(2)ABABABABABABABABABABAB(交换律)

(ABAB)(ABAB)(结合律)

(AA)BA(BB)BAAB.(对偶律)

课堂练习

1.设当事件A与B同时发生时C也发生, 则（）.(A)AB是C的子事件;

(B)ABC;或ABC;

(C)AB是C的子事件;

概率统计复习重点 篇4

1.全概率公式应用题。

练习题：有两只口袋，甲袋装有a只白球，b只黑球，乙袋中装有n只白球，m只黑球，(1)从甲袋中任取1球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1球，求最后从乙袋中取出的是白球的概率。

(2)从甲袋中任取2球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1球，求最后从乙袋中取出的是白球的概率。

(3)从甲袋中任取3球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1球，求最后从乙袋中取出的是白球的概率。

2.一个正态总体方差的区间估计。两个正态总体的区间估计不考。

3.二维连续型随机变量联合概率密度函数及其性质，边缘概率密度函数的求法，判断两个

随机变量的独立性。

4.已知二维连续型随机变量的联合概率密度函数，求两个随机变量的数学期望，协方差。5.6.7.8.一个正态总体均值的假设检验，方差未知。两个正态总体的假设检验不考。切比雪夫不等式。会求两随机变量的函数的相关系数。样本方差与样本二阶中心矩的关系。

9.常见分布如均匀分布、正态分布、泊松分布的数学期望和方差；数学期望与方差的性质。

10.条件概率公式、加法公式。

11.矩估计、无偏估计。

概率统计复习重点：

1.全概率公式应用题。

练习题：有两只口袋，甲袋装有a只白球，b只黑球，乙袋中装有n只白球，m只黑球，(1)从甲袋中任取1球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1球，求最后从乙袋中取出的是白球的概率。

(2)从甲袋中任取2球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1球，求最后从乙袋中取出的是白球的概率。

(3)从甲袋中任取3球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1球，求最后从乙袋中取出的是白球的概率。

2.一个正态总体方差的区间估计。两个正态总体的区间估计不考。

3.二维连续型随机变量联合概率密度函数及其性质，边缘概率密度函数的求法，判断两个

随机变量的独立性。

4.已知二维连续型随机变量的联合概率密度函数，求两个随机变量的数学期望，协方差。

5.一个正态总体均值的假设检验，方差未知。两个正态总体的假设检验不考。

6.切比雪夫不等式。

7.会求两随机变量的函数的相关系数。

8.样本方差与样本二阶中心矩的关系。

9.常见分布如均匀分布、正态分布、泊松分布的数学期望和方差；数学期望与方差的性质。

10.条件概率公式、加法公式。

《统计与概率》教学反思 篇5

(一)很容易就完成(难度不大)

此类题目出现在填空题里，如求简单事件概率，求平均数、众数，一般所有考生都能完成

(二)一看就会，一做就错

这类题目主要是对概率与统计中的一些概念和定义不熟练，模糊和混淆，如求中位数，没有注意要重排数据;条形统计图中没有注意条形长与宽的单位大小等等，突出体现基本功不扎实。

(三)易掌握难做

这类题目体现在对数据的整理，教师只需讲一遍，学生就能掌握，但做起来很费力。主要是在画统计图上，从小学学生就会做了，但要完整、美观地画出来，很多同学还是捉襟见肘，体现基本运算不熟练的实际问题，也是现在学生的一个弱点。

(四)难掌握难做

此类题目体现的是长效记忆和瞬时记忆的问题。概率与统计中，有些题目并不是单纯的概率与统计题，里面还涉及到其他数学问题，需要综合考虑，老师讲解过后马上就进行练习，学生能完成，一段时间过后，学生就模棱两可，无从下手，要达到长效记忆，只有多做多练，分析问题要结合实际，才能突破这类题目。

《应用概率统计》综合作业二 篇6

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10和10件，现从中随机地抽取一件，记，则，的联合分布律为

（X1，X2）～

(0，0)

(0，1)

(1，0)

(1，1)

0.1

0.1

0.8

0

.2．设二维连续型随机变量（，）的联合密度函数为其中为常数，则=

.3．设随机变量和相互独立，且，则（，）的联合密度函数为

f(y)=∅*＇(lny)×(lny)＇=N(μ,σ^2)|x=lny

×1/y

.4．设随机变量和同分布，的密度函数为若事件，相互独立，且，4^(1/3)

.5．设相互独立的两个随机变量和具有同一分布律，且

0

0.5

0.5

则随机变量的分布律为

Z=0，P=14

Z=1，P=34

.6．设表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则的数学期望

18.4

.7．设离散型随机变量服从参数的泊松分布，且已知，则参数=

.8．设随机变量和相互独立，且均服从正态分布，则随机变量的数学期望

2/（√（2pai））

.9．设随机变量，相互独立，其中服从正[0，6]区间上的均匀分布，服从正态分布，服从参数的泊松分布，记随机变量，则

.10．设随机变量的数学期望，方差，则由切贝雪夫（Chebyshev）不等式，有

1/9

.二、选择题（每小题2分，共20分）

1．设两个随机变量和相互独立且同分布，，则下列各式成立的是（A）

（A）

（B）

（C）

（D）

2．设随机变量的分布律为：

且满足，则等于（B）

（A）0

（B）

（C）

（D）1

3．设两个随机变量和相互独立，且都服从（0，1）区间上的均匀分布，则服从相应区间或区域上的均匀分布的随机变量是（D）

（A）

（B）

（C）

（D）（）

4．设离散型随机变量（）的联合分布律为

若和相互独立，则和的值为（A）

（A），（B），（C）

（D），5．设随机变量的相互独立，其分布函数分别为与，则随机变量的分布函数

是（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

6．对任意两个随机变量和，若，则下列结论正确的是（B）

（A）

（B）

（C）和相互独立

（D）和不相互独立

7．设随机变量服从二项分布，且，则参数，的值等于（B）

（A），（B），（C），（D），8．设两个随机变量和的方差存在且不等于零，则是和的（C）

（A）不相关的充分条件，但不是必要条件

（B）独立的必要条件，但不是充分条件

（C）不相关的充分必要条件

（D）独立的充分必要条件

9．设随机变量（，）的方差，相关系数，则方差（C）

（A）40

（B）34

（C）25.6

（D）17.6

10．设随机变量和相互独立，且在（0，）上服从均匀分布，则（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

三、（10分）设随机变量，，相互独立，且同分布：，0.4，=1，2，3，4．

求行列式的概率分布.解答：

Y1=X1X4

Y2=X2X3

Z=Y1-Y2

P{Y1=1}=P{Y2=1}={X2=1,X3=1}=0.16

P{Y1=0}P{Y2=0}=1-0.16=0.84

Z有三种可能-1,0,1

P{Z=-1}={Y1=0,Y2=1}=0.84×0.16=0.1344

P{Z=1}P{Y1=1,Y2=0}=0.16×0.84=0.1344

P{Z=0}=1-2×0.1344=0.7312

Z

0

P

0.1344

0.7312

0.1344

四、（10分）已知随机变量的概率密度函数为，；

（1）求的数学期望和方差.（2）求与的协方差，并问与是否不相关？

（3）问与是否相互独立？为什么？

解答：

五、（10分）设二维随机变量（）的联合密度函数为试求：

（1）常数；

（2），；

（3），；

（4）.解答：

(1)由概率密度函数的性质∫+∞−∞∫+∞−∞f(x,y)dxdy=1，得

∫+∞0dy∫y0cxe−ydx=c2∫+∞0y2e−ydy=c=1，即c=1

(2)由于为判断X与Y的相互独立性,先要计算边缘密度fX(x)与fY(y).fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy={xe−x0amp;,x>0amp;,x⩽0

类似地,有fY(y)=⎧⎩⎨12y2e−y0amp;,y>0amp;,y⩽0

由于在0

因此随机变量X与Y不是相互独立的。

(3)当y>0时,fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)=⎧⎩⎨⎪⎪2xy20amp;,00时,fY|X(y|x)=f(x,y)fX(x)={ex−y0amp;,0

(4)P{X<1|Y<2}=P(X<1,Y<2)P(Y<2)=∫1−∞∫2−∞f(x,y)dxdy∫2−∞fY(y)dy

=∫10dx∫2xxe−ydy∫2012y2e−ydy=1−2e−1−12e−21−5e−2，由条件密度的性质知P{X<1|y=2}=∫1−∞fx|y(x|2)dx，而fx|y(x|2)=⎧⎩⎨x20amp;,0

用X1,X2表示两台机器先后开动的记录仪无故障工作的时间，则：T=X1+X2.由已知条件,X1与X2相互独立,且Xi(i=1,2)的概率密度为：

p(x)={5e−5x,x>00,x⩽0，利用两个独立随机变量和的密度公式可得：

①对于任意t>0，T的概率分布：

f(t)=∫∞−∞p1(x)p2(t−x)dx=25∫

t0e−5xe−5(t−x)dx=25e−5t∫

t0dx=25te−5t

②当t⩽0时,显然有：f(t)=0.于是，f(t)={25te−5t,t>00,t⩽0.由于Xi(i=1,2)服从参数为λ=5的指数分布，所以：EXi=15,DXi=125.因此,ET=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=25

因为X1与X2相互独立，所以：

DT=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=225

七、（10分）设随机变量和相互独立，服从[0，1]上的均匀分布，的密度函数为试求随机变量的密度函数.解答：

八、（10分）某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件，现在从中随机抽取一件，记.试求：（1）随机变量与的联合分布律；

概率论与数理统计 篇7

1012502-31 汤建波

概率与数理统计在现实的牛产和生活中有着广泛的应用，因此，《概率论与数理统计》作为公共课是很多专业所必修的。但是，由于这门课的学习方法与《微积分》《线性代数》等其他课程有着极大的差异，很多学生在学习过程中感到难以把握概念与理论，在遇到问题时不知如何人手。因此，笔者在总结这几年教学实践的基础上，提出以下思考。

一、适度引入案例。形成生动教学及启发性教学

概率论源于博弈，是赌博中的很多问题催生了概率论这门数学学科。在开课伊始，教师就适度引入触发概率论的一些问题，如“De．mere”问题，“分赌金问题”等等，使学生在故事中不仅得到r课本里所没有的历史知识，而且无形中可以提高学习兴趣，消弭一部分同学的畏难情绪。另外，再在随后的教学过程中引入“彩票中奖问题”“蒙特卡罗法求订法”“保险付赔问题”等等，引导学生了解、探索这门学科在现实中的应用，使学乍实现由知识向能力的转化，从而增强学，F利用概率统计解决实际问题的“欲望”，促使他们更好地认识现实世界。

概念是概率课程中最基本的内容，对概念的理解程度直接影响学生对这门课程的学习与掌握程度。在教学中，应尽量从实际问题入手，先提出问题，接着在问题的分析和解决中抽象出概念，让学生清楚概念的来龙去脉，而不是硬性给出定义，让学生死记硬背。例如，在讲述“事件”这个定义时，引入“卫瞿嫦娥二号将于2010年10月1日发射”这一现实中的“事件”在概率论中应该是“实验”，而其结果“发射成功”才能算是概率论所定义的“事件”，这样，在区别现实的“事件”与概率论所研究的“事件”基础上，学生加深了对“事件”这一定义的理解。在阐明相互独立和互不相容之间的区别有P(A)>0，P(B)>0时，A、B相瓦独屯与互不相容是不能同时成立的，直观上可以这样解释：相互独立意味这

4、B其中一方发生与否并不影响另一方的发生，而互不相容意味着A、B只要其中一方发生了，另一方就一定不发生，所以这两个关系不能同时存在。从公式上解释是：P(A)>0，P(B)>0且A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0，而如果A、B互不相容，则P(AB)=P(西)=0。但是只要有一方的概率为0，如，如果A=西，则A与B既相互独立又互不相容，因为此时P(AB)=P(A)P(B)=0。综上所述，相互独立与互不相容并没有必然的联系。

而在区别“不相关”与“相互独立”的区别时，可以通过举例得知J]|f、y不相关不一定就独立，因为X、l，之间有可能存在其他的函数关系，但是存在函数关系的随机变量是否就不独立了呢？答案是未必，例子如下：

考察随机变量X、l，和Z：假定x与l，独立月．都服从参数为P的(0—1)分布，令z为x与y的函数：

可以得到当P=1／2时，Z与X相互独立。转载于 无忧论文网 http://

通过这些举例，避免了学生将“独立”和“互不相容”等同起来，又说明了“独立”与“函数关系”之间的联系。

二、课堂教学中注重数学思想的教育。培养学生建模能力

概率统计中的很多问题都可以归结为同一类问题，数学模型就是这类事物共同本质的抽象。“数学建模”是指对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。数学模型在概率统计中的应用随处可见，模型化方法贯穿本课程全过程，因此，在教学过程中应该注意培养学生抽象出问题的本质以建立起一般的数学模型的能力。

如“将n只球随机地放入Ⅳ(N大于等于n)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率”与“班级同学生日各不相同”具有相同的数学模型。另外，还有古典概型、贝努利概型、正态分布等等这些都是生产生活中抽象出来的，在很多问题中都可以归结为以上的模型。如以下两个

：

例1，设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0．01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。

例2，保险公司在一天内承保了5000张相同年龄、为期1年的寿险保单，每人一份。在合同有效期内若投保人死亡，则公司赔付3万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为0．0015，且各个投保人是否死亡相互独立。求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率。

以上两个例子虽然不同，但都可以归结为伯努利概型，利用二项分布解决。对这类模型，不应简单地给出它的结果，而应注秀模型的建立、模型的应用范围以及如何把实际问题转化为有关的数学模型去解决。

三、适度引入多媒体教学及数据处理软件。促进课堂教学手段多样化

在概率统计教学中，实际题目信息及文字很多，“一支粉笔、一块黑板，以讲授为主”的传统教学方法显然已经跟不上现代化的教学要求，不利于培养学生的综合素质和创新能力。因此，有必要借助于现代化媒体技术和统计软件，制作内容、图形、声音、图像等结合起来的多媒体课件。～方面，采用多媒体教学手段进行辅助教学，能够将教师从很多重复性的劳动中解脱出来，教师可以将更多的精力和时间投入到如何分析和解释问题，以提高课堂效率，与学生有效地进行课堂交流。另一方面，用图形动画和模拟实验等多媒体作为辅助教学手段，便于学生对概念、图形等的理解。如投币试验、高尔顿板钉实验等小动画在不占用太多课堂时间的同时，又增添了课堂的趣味性。又如在利用Mathematica软件演示大数定律和中心极限定理时，就能将抽象的定理化为形象的直观认识，达到一定的教学效果。在处理概率统计问题中，教师也会面对大量的数据，另外，集数学计算、处理与分析为一身的数据处理软件如：Excel，Matlab，Mathematic，SAS，SPSS等，在计算一些冗长数据时可以简化计算，降低理论难度。而且，在教师的演示过程中，能让学生初步了解如何应用计算机及软件，将所学的知识用于解决生产生活中的实际问题，从而激发他们学习概率知识的热情，提高他们利用计算机解决问题的能力。

最后，在教学过程中，教师应该考虑到各个专业的学生今后学习与发展的需要，在满足教学大纲的要求下，选择与其专业关系紧密的知识点进行重点讲授。同时，在讲授过程中，本着以人为本的教学理念，注意多种方法灵活应用，建立积极的互动教学模式，尽量避免教师在课堂上满堂灌、填鸭式地教学，充分调动学生学习的主动性，挖掘学生的学习潜能，最大限度地发挥和发展学生的聪明才智，使学生能理解概率统计这一学科领域思想方法的精髓。

论文参考文献：

[1]盛骤，谢式千。潘承毅．概率论与数理统计[M]．北京：高等教育出版社，2009．

[2] 姜启源．数学模型[M]．北京：高等教育出版社。2003：4—7．

[3] 徐钟济．蒙特卡罗方法[M]．上海：上海科学技术出版社，1985：171—188．

[4] 郝晓斌，董西广．数学建模思想在概率论与数理统计课程教学中的应用[J]．经济研究导刊，2010，90(16)：244—245．