2019高考数学总结归纳

2019高考数学总结归纳（共6篇）

2019高考数学总结归纳 篇1

高考数学的答题顺序是什么

高考数学的答题顺序：先易后难

就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。

高考数学的答题顺序：先熟后生

通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的方法，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中高档题目的目的。

高考数学的答题顺序：先同后异

先做同科同类型的题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益。高考题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移，而“先同后异”，可以避免“兴奋灶”过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力。

点击查看：高中数学知识点总结及复习资料

高考数学的答题顺序：先小后大

小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基矗

高考数学的答题顺序：先点后面

近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面6.先高后低。即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。

高考数学知识点归纳总结

复习忌讳一

一忌“多而不精，顾此失彼”

许多同学(更多的是家长)为了在高考中领先于其它人，总是绞尽脑汁想方设法要比别人学得多，这无疑是件好事。但他们最后所采用的方法却往往是对他们最为不利的，那就是：购买和选择大量的复习资料和讲义，花去比别人多得多的时间，没日没夜的做，他们的精神非常可贵，他们的毅力非常惊人，其效果却让他们自己都非常伤心失望。有些家长甚至说：“我的小孩已经尽力了，还是没有进步，一定是太笨了”。其实，他们犯了很多科学性的错误，却不自知。

1.高中阶段所学的知识具有一定的范围，再多的复习资料、讲义，也只不过是这一范围内的知识的重复和变形。你所做的很多题目都代表相同的知识点，代表相同的方法，对于那些你已经掌握的`知识、方法，做再多的题目还是于事无补，简单无聊的重复除了使你身陷题海，不能自拔，耗尽了你的精力不算，还使你失去了信心，因为你比别人努力，却没有得到相应的回报。

2.每一套复习资料都经过编纂人员的反复推敲，仔细研究，都很系统地将相应的知识点按照一定的规律和方法融会于其中。所以同学只要研究好一两套具有代表性的复习资料，你该学的一定都能学到，该会的都能学会。

3.“丢了西瓜，捡了芝麻”的故事告诉我们，不能太贪心，这本资料也好，那本资料也不错，好的资料太多了，同学们的精力是有限的，而题目是无限的，以有限的精力去做无限的题目，永远没有尽头，必然导致你对每一套资料都没有很好的完成，都没有系统地研究，反而会因为各种资料的风格、体系的不同，而使你的学习失去全面性、系统性，多而不精，顾此失彼，是高三复习的大敌。

复习忌讳二

二忌“学而不思，囫囵吞枣”

导致很多同学身陷题海，不能自拔的另一个重要原因，就是“学而不思”，题目是知识的载体，有的同学做了很多题目，却仍然没有明白它们代表同一知识点，不但不能举一反三，甚至举三不能反一，其真正的原因，是他们没有养成思考、总结的习惯。华罗庚先生说过：“譬如我们读一本书，厚厚的一本，再加上我们自己的注解，就愈读愈厚，我们自己知道的东西也就‘由薄到厚’了”。“‘学’并不到此为止，‘懂’并不到此为透，所谓由厚到薄是消化提炼的过程，即把那些学到的东西，经过咀嚼、消化，融会贯通，提炼出关键性的东西来。”这段话充分说明了思考在学习过程中的重要性。以下是“学而不思”的几种具体表现，也许你就有过这样的经历。

1.上课以为自己听懂了，可你仍然作业不会做，去问老师的时候，老师告诉你，这就是上课讲的例题或例题的变形;总是感到有做不完的题目，觉得每个题目都很新鲜，常常遇到那种好象从未见过的题型;

2.从来不去想，怎样发展自己的强项，怎样弥补自己的不足，只知道老师叫干什么就干什么，布置了作业就做，发了试卷就考。

3.考试的时候突然觉得这就是老师讲的某个典型的东西，却有那种话到嘴边说不出的感觉，或者豁然开朗、猛然醒悟的感觉;

4.当老师要你总结一类题目的解题方法和策略或要你总结某一章所学内容的时候，你总是支支唔唔无话可说;

5.一个自己所犯的错误，只是轻轻的告诉自己，下次要注意，只简单地归结为粗心，但下次还是犯同样的错误。

学而不思，往往就囫囵吞枣，对于外界的东西，来者不拒，只知接受，不会挑选，只知记忆，不会总结。你没有在学习过程中“加入自己的注解”，怎能做到华罗庚先生说的“由薄到厚”，你不会“提炼出关键性的东西来”，就更不能“由厚到薄”，找到问题地本质，那么，你的学习就很难取得质的飞跃。

复习忌讳三

三忌“好高骛远，忽视双基”

很多同学都知道好高务远就是眼高手低、不自量力的代名词，但却不知道什么是好高骛远。

有的同学由于自己觉得成绩很好，所以，总认为基础的东西，太简单，研究双基是浪费时间;有的同学对自己的定位较高，认为自己研究的应该是那些高于其它同学的，别人觉得有困难的东西;有的同学总是嫌老师讲得太简单或者太慢，甚至有的同学成绩不怎么样，也瞧不起基础的东西。其实，这些都是好高骛远。

最深刻的道理，往往存在于最简单的事实之中。一切高楼大厦都是平地而起的，一切高深的理论，都是由基础理论总结出来的。同学们可以仔细地分析老师讲的课，无论是多难的题目，最后总是深入浅出，归结到课本上的知识点，无论是多简单的题目，总能指出其中所蕴藏的科学道理，而大多数同学，只听到老师讲的是题目，常常认为此题已懂，不需要再听，而忽略了老师阐述“来自基础，回归基础”的道理的关键地方。所以大家一定要重视双基，千万别好高务远。

四忌“敷衍了事，得过且过”

以下是对某校2020届高三300名同学关于作业问题的两项调查：(数值为人数比例：做到的/总人数)

你做作业是为了什么?

检测自己究竟学会了没有占91/30.33%

因为老师要检查占143/47.67%

怕被家长、老师批评的占38/12.67%

说不清什么原因占28/9.33%

你的作业是怎样完成的?

复习，再联系课上内容独立完成占55/18.33%

高中高三数学的知识点归纳

一、直线与圆：

1、直线的倾斜角 的范围是

在平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线，如果把 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线 重合时所转的最小正角记为，就叫做直线的倾斜角。当直线 与轴重合或平行时，规定倾斜角为0;

2、斜率：已知直线的倾斜角为，且90，则斜率k=tan.过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)，另外切线的斜率用求导的方法。

3、直线方程：⑴点斜式：直线过点 斜率为，则直线方程为 ,⑵斜截式：直线在 轴上的截距为 和斜率，则直线方程为

4、，,① ∥ ,;②.直线 与直线 的位置关系：

(1)平行 A1/A2=B1/B2 注意检验(2)垂直 A1A2+B1B2=05、点 到直线 的距离公式;

两条平行线 与 的距离是

6、圆的标准方程：.⑵圆的一般方程：

注意能将标准方程化为一般方程

7、过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线.8、直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.① 相离② 相切③ 相交

9、解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的`平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形)直线与圆相交所得弦长

二、圆锥曲线方程：

1、椭圆： ①方程(a0)注意还有一个;②定义: |PF1|+|PF2|=2a ③ e= ④长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c;a2=b2+c2;

2、双曲线：①方程(a,b0)注意还有一个;②定义: ||PF1|-|PF2||=2a ③e=;④实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c;渐进线或 c2=a2+b23、抛物线 ：①方程y2=2px注意还有三个，能区别开口方向;②定义:|PF|=d焦点F(,0),准线x=-;③焦半径;焦点弦=x1+x2+p;

4、直线被圆锥曲线截得的弦长公式：

5、注意解析几何与向量结合问题：1、,.(1);(2).2、数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a||b|cos叫做a与b的数量积，记作ab，即

3、模的计算：|a|=.算模可以先算向量的平方

2019高考数学总结归纳 篇2

安徽余其权

考点1集合的基本概念

在学习集合的基本概念时,要理解集合元素的三大特征,理解列举法和描述法,能选择合适的语言来表示集合.在解题时,要注意集合中元素的互异性.

(2)已知集合A={1,3,a},集合B={1,a２-a+1},若B⊆A,则a=_____.

解析:(1)集合A表示的是函数y = (4-x)1/2的定义域,集合B表示的是函数y=x２+1的值域,则A={x|x≤4},B={y|y≥1}, 故A∩B={x|1≤x≤4}.

(2)若a２-a+1=3,即a２-a-2=0,则a =-1或a=2;若a２-a+1=a,即a２-2a+1 =0,则a=1.当a=1时,A中有两个相同的元素1,与集合元素的互异性矛盾,因此,a=1应舍去.所以满足题意的a的值为-1,2.

考点2集合的基本关系

反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的.因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去.同时注意求真子集时千万不要忘记“空集是任何非空集合的真子集”.同时,A不是A的真子集.

例2 (1)设集合P={m|-1<m<0},Q ={m|mx２+4mx-4<0对任意实数x恒成立},则下列关系中成立的是( ).

(A)PQ (B)QP

(C)P=Q (D)P∩Q=Q

解析:(1)Q={m|mx２+4mx-4<0对任意实数x恒成立},对m分类:

1当m=0时,-4<0恒成立;2当m<0时,需要Δ=(4m)２-4×m× (-4)<0,解得-1<m<0.

由12知,-1<m≤0,所以Q={m|-1< m≤0}.故选A.

(2)根据集合相等的含义,方程ax２+bx+ 1=0的解只有一个,为x=1.当a=0时,由x =1是一次方程bx+1=0的解,得b=-1.

当a≠0时,由x=1是二次方程ax２+bx + 1 = 0的两个相同的实数根, 得

考点3集合的基本运算

认清集合的本质特征,准确地转化为图形关系,是解决集合运算中的重要数学思想.一定要牢固掌握两个重要工具:韦恩图和数轴,连续取值的数集运算,一般借助数轴处理,而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.

(A)(-∞,0)∪(1,+∞)

(B)(-∞,-3]∪(2,+∞)

(C)(-∞,-3)∪(2,+∞)

(D)(-∞,0)∪[1,+∞)

(2)已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则图1中阴影部分表示的集合为( ).

(A){0,2}

(B){0,1,3}

(C){1,3,4}

(D){2,3,4}

考点4集合中的含参问题

所谓集合中的参数问题,是指集合{p|p适合的条件}中“p适合的条件”里面含有参数的问题,解答这类问题类似于其他含有参数的问题,灵活性极强,难度也很大.在求集合中字母的取值范围时,要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号,否则会导致解题结果错误. 在有关子集问题的讨论中不要忽视对空集的讨论.

综合(1)(2),得m的取值范围是m≤3.

考点5集合的交汇题

将集合问题与其他知识交汇命题,既可以考查集合知识,又可以考查相关问题.

例5已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y ≥0},H={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域Ω 内随机投一点P,则点P落入区域H的概率为( ).

(A1 /3 (B)2 /3

(C)1 /9 (D)2/ 9

解析:作出两集合表示的平面区域如图3所示.容易得出Ω 所表示的平面区域为三角形AOB及其边界,H表示的区域为三角形OCD及其边界.容易求得D(4,2)恰为x=4,x-2y=0,x+y=6三线的交点.可得S△AOB=1 /2×6 ×6=18,S△OCD=1 /2×4×2=4.所以点P落入区域H的概率为4 /18=2 /9.故选D.

考点6四种命题及其关系

主要考查“若p则q”形式命题的四种命题的写法及其相互关系,以及真假判断,在判断真假的同时还考查对数学知识的理解和运用.

例6原命题为“若z１,z２互为共轭复数, 则|z１|=|z２|”,则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( ).

(A)1 (B)2

(C)3 (D)4

解析:设z１=a+bi,z２=a-bi,且a,b∈R, 则|z１|=|z２|=( a２+b２)1/2,因此原命题为真,所以逆否命题为真.当z１=2+i,z２=-2+i时,满足|z１|=|z２|,此时z１,z２不是共轭复数,因此原命题的逆命题为假,所以否命题为假.故选B.

考点7全称命题、特称命题及其否定

对一个全称命题或特称命题进行否定时, 通常将命题两个地方进行改变,一是量词要改变,二是结论要进行否定.判断全称命题与特称命题的真假时,主要根据命题本身涉及的知识进行判断,判断一个全称命题为真或一个特称命题为假,需要进行严格的逻辑推理,但可通过一个反例说明一个全称命题为假,举一个特例说明一个特称命题为真.

例7给出下列四个命题:

1命题“对任意x∈R,有x２≥0”的否定是 “存在x０∈R,有x０２≥0”;

2“存在x０∈R,使得x０２-x０>0”的否定是:“任意x∈R,均有x２-x<0”;

3任意x∈[-1,2],x２-2x≤3;

其中真命题的序号是(填写所有真命题的序号).

解析:对于1,“对任意x∈R,有x２≥0”的否定是“存在x０∈R,有x０２<0”,因此1错误. 对于2,命题“存在x０∈R,使得x０２-x０>0”的否定应是“任意x∈R,均有x２-x≤0”,因此2错.对于3,任意x∈[-1,2],x２-2x=(x- 1)２-1∈[-1,3],因此3正确.对于4,当x= 0时,,因此4正确.故填34.

考点8含有逻辑联结词的命题的真假判断

判断含有逻辑联结词的命题的真假时,应首先判断组成这个命题的每个简单命题的真假,然后根据真值表判断这个命题的真假.对于求参数的取值范围问题时,先把每个命题为真时参数的取值范围求出来,再根据含逻辑联结词的命题的真假,分析每个简单命题的真假情况,最后确定参数的取值范围.

(A)命题p∨q是假命题

(B)命题p∧q是真命题

(C)命题p∧(﹁q)是真命题

(D)命题p∨(﹁q)是假命题

(2)设p:关于x的不等式aｘ>1的解集为{x|x>0},q:函数y=lg(x２-4x+a)的定义域为R.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题, 则a的取值范围是.

解析:(1)对于命题p,取x=3,则3２>2３, 即9>8,因此命题p为真命题;对于命题q,取x=-π,则sin x=sin(-π/2)=-1,此时sin x>x,因此命题q为假命题.所以命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题,命题p∧(﹁q)是真命题,命题p∨(﹁q)是真命题.故选C.

(2)p真时,a>1;q真时,对任意x∈R,x２-4x+a>0恒成立,则 Δ=16-4a<0,即a >4.

若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题, 则p,q是一真一假.

综上,a的取值范围为(1,4].

考点9充分条件与必要条件的判断

判断充分、必要条件,一般有三种方法:定义法、等价法以及集合法.所以在判断充分、必要条件时应关注三点:(1)要弄清先后顺序.例如,“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B.(2)要善于举出反例.当从正面判断或证明一个命题的真假不易进行时, 可以通过举出恰当的反例来说明.(3)要注意转化.例如,劭p是﹁q的必要不充分条件p是q的充分不必要条件.

例9设a,b∈R,则“a３-a２b<0”是“a< b”的( ).

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分又不必要条件

解析:若a３-a２b<0,即(a-b)a２<0,则a ≠0,可得a<b,所以充分性成立.若a<b,则a -b<0,但是当a=0时,(a-b)a２=0,所以必要性不成立.故“a３-a２b<0”是“a<b”的充分不必要条件.故选A.

考点10充分条件与必要条件的探求

求一个命题的充分条件或必要条件时,一是直接对选项进行分析寻求,二是先求出充要条件,再在此基础上进行扩大或缩小范围得到相应的条件.

(A)a<0 (B)0<a<1 /2

(C)1/ 2<a<1 (D)a≤0或a>1

解析:因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点函数y=-2ｘ+a(x ≤0)没有零点函数y=2ｘ(x≤0)与直线y= a无公共点.由数形结合,得a≤0或a>1.所以函数f(x)有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a>1,应排除D.

当0<a<1/ 2时,函数y=-2x+a(x≤0) 有一个零点,即函数f(x)有两个零点,此时0 <a<1/ 2是函数f(x)有且只有一个零点的既不充分又不必要条件,应排除B;同理,可排除C. 故选A.

考点11充分条件与必要条件的应用

在研究此类问题时,一定要注意区间端点值的检验,处理不当容易出现漏解或增解的现象.

例11已知p:1<2ｘ<8,q:不等式x２- mx+4≥0恒成立.若劭p是劭q的必要条件,求实数m的取值范围.

解析:由p:1<2ｘ<8,得0<x<3.

又﹁p是﹁q的必要条件,所以p是q的充分条件.所以不等式x２-mx+4≥0对 x∈ (0,3)恒成立.

配套练习:

(A)1 (B)2

(C)3 (D)4

(A)(1,4)(B)(3,4)

(C)(1,3)(D)(1,2)∪(3,4)

练习3给出以下四个命题:1若ab≤0,则a≤0或b≤0;2若a>b,则am２>bm２;3在 △ABC中,若sin A=sin B,则A=B;4在一元二次方程ax２+bx+c=0中,若b２-4ac<0, 则方程有实数根.其中原命题、逆命题、否命题、 逆否命题全都是真命题的是( ).

(A)1 (B)2

(C)3 (D)4

(A)充要条件

(B)充分不必要条件

(C)必要不充分条件

(D)既不充分又不必要条件

练习5命题“x∈[1,2],x２-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ).

(A)a≥4 (B)a≤4

(C)a≥5 (D)a≤5

练习6已知命题p:x２+2x-3>0;命题q:x>a,且﹁p是﹁q的一个充分不必要条件,则a的取值范围是( ).

(A)[1,+∞)(B)(-∞,1]

(C)[-1,+∞)(D)(-∞,-3]

练习7 (1)已知集合A={(x,y)|y=x+ 1},B={(x,y)|y=2x},则A∩B=.

(2)设集合A={x,x２},且1∈A,则实数x =.

练习8 (1)已知集合A={x|log２x≤2}, B=(-∞,a),若AB,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=.

(2)已知集合A={x|x２-2x-3≤0},B= {x|x２-2mx+m２-4≤0},若A∩B=[0,3], 则实数m的值为.

练习9已知集合M为点集,记性质P为 “对(x,y)∈M,k∈ (0,1),均有(kx,ky)∈ M”.给出下列集合:

1{(x,y)|x２≥y},2{(x,y)|2x２+y２< 1},3{(x,y)|x２+y２+x+2y=0},4{(x,y)| x３+y３-x２y=0}.

其中具有性质P的点集序号是.

练习10 (1)已知命题p:x>0,总有(x +1)eｘ>1,则劭p为.

(2)已知f(x)=x２+2x+m,若同时满足条件:1x∈R,, f(x０)≤10,则m的取值范围是.

练习11设命题p:函数f(x)=(a-3/2)ｘ是R上的减函数,命题q:f(x)=x２-4x+3在[0,a]上的值域为[-1,3],若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.

练习答案:

1.D.2.B.3.C.4.C.5.C.6.A.

7.(1){(1,2)}.(2)-1.

8.(1)4.(2)2.

9.24.对于1:取k=1 2 ,点(1,1)∈{(x,y)|x2≥y},但(1 2 ,1 2 )∉{(x,y)|x2≥y},因此

1是不具有性质P的点集.

对于2:∀(x,y)∈{(x,y)|2x２+y２<1}, 则点(x,y)在椭圆2x２+y２=1内部,所以对0 <k<1,点(kx,ky)也在椭圆2x２+y２=1的内部,即(kx,ky)∈{(x,y)|2x２+y２<1},因此2是具有性质P的点集.

对于3:原式可化为(x+1/ 2 )2+(y+1)2= 5 /4 ,点(1 /2 ,-1 /2 )在圆上,但点(1/ 4 ,-1 /4 )不在圆上,因此3是不具有性质P的点集.

对于4:∀(x,y)∈{(x,y)|x３+y３-x２y =0},对于∀k∈(0,1),因为(kx)３+ (ky)３- (kx)２· (ky)=k３(x３+y３-x２y)=0,所以(kx,ky)∈{(x,y)|x３+y３-x２y=0},因此4是具有性质P的点集.

综上,具有性质P的点集是24.

10.(1)存在x０≤0,使得(x０+1)eｘ0≤1.

(2)1<m≤2.

11.a的取值范围为(3/ 2 ,2)∪[5 /2 ,4].

二、函数与导数部分

河南张桂霞

考点1函数的概念与表示法

对函数的概念与表示法考查的常见内容有:函数值的求解、表达式的求解以及根据函数的对应关系判断函数具有的一些特征等.利用函数的概念解题时,要抓住函数的定义域和对应关系两个核心要素,当函数的对应关系无法用解析式表示时,要从对应关系的本身进行分析判断.

例1设函数f(x)(x∈N)表示x除以2的余数,函数g(x)(x∈N)表示x除以4的余数,对任意的x∈N,给出以下式子:1f(x)≠ g(x);2g(2x)=2g(x);3f(2x)=0;4f(x) +f(x+3)=1.其中正确的个数是( ).

(A)0 (B)1

(C)2 (D)3

解析:当x是4的倍数时,可知f(x)= g(x)=0,所以1不正确;当x=2时,g(2x)= g(4)=0,而2g(x)=2g(2)=4,此时g(2x)≠ 2g(x),所以2错误;当x∈N时,2x一定是偶数,所以f(2x)=0正确,即3正确;当x∈N时,x和x+3中必有一个奇数、一个偶数,所以f(x)和f(x+3)有一个为0、一个为1,所以f(x)+f(x+3)=1正确,即4正确.故答案为C.

考点2函数的定义域

函数的定义域的考查角度有两个:一是单独考查,主要考查与分式、对数式、根式等有关的函数的定义域的求法,二是与函数的性质、导数的应用等交汇在一起进行综合考查.对于复合函数,其定义域确定的原则是:(1)如果函数f(x)的定义域是A,则f[g(x)]的定义域是使得函数g(x)∈A的x的取值范围.(2)如果f[g(x)]的定义域为A,则函数f(x)的定义域即是函数g(x)(x∈A)的值域.

例2若函数y=f(x)的定义域是[0,4], 则函数g(x)=f(x+1)/ lg x的定义域是_______ .

解析:因为y=f(x)的定义域为[0,4],所以g (x)中的x需满足即故函数g(x)的定义域是(0,1)∪(1,3].

考点3分段函数

分段函数是高考的一个热点内容,主要考查分段函数的自变量或范围的求解、函数值的求解、参数值或范围的确定等.处理分段函数问题时,一定要明确自变量的取值属于哪个区间段,再选取相应的对应关系,代入求解.

(A)1 (B)2

(C)0 (D)-1

考点4函数的单调性及其应用

函数的单调性是高考的热点内容,通常从以下几个方面考查:一是求具体函数的单调性或判断增减性;二是单调性的应用;三是与函数的奇偶性、周期性等结合起来进行考查.求函数的单调区间,务必先求函数的定义域,再研究单调问题.

例4 (1)函数f(x)=log1/２(2x２-3x+1) 的单调减区间是_____.

(2)已知a为实数,f(x)=(x２-4)(x- a),若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求实数a的取值范围.

解析:(1)由2x２-3x+1>0,得函数的定义域是(-∞,1/2 )∪(1,+ ∞).令t=2x２-3x+1,则y=log1/２t.易得t=2x２-3x+1的单调增区间是(1,+ ∞),由复合函数的单调性知, f(x)的单调减区间是(1,+∞).

(2)由题意可知f′(x)=3x２-2ax-4在(-∞,-2]和[2,+∞)上非负.f′(x)=3x２- 2ax-4的图象为开口向上过点(0,-4)的抛物线,由条件得所以实数a的取值范围为[-2,2].

考点5函数的奇偶性及其应用

函数的奇偶性是高考的一个常考知识点, 常见考查角度有:一是判断具体函数的奇偶性, 常见方法有定义法、图象法、赋值法等;二是函数的奇偶性的应用,如求函数值、求解析式、求相关参数的值(范围)等;三是与函数的单调性、 对称性、周期性等融入一起进行综合考查.

(2)已知函数F(x)=eｘ满足F(x)=g(x) +h(x),且g(x),h(x)分别是R上的偶函数和奇函数,若 x∈ [1,2]使得不等式g(2x)- ah(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是______..

考点6函数性质的综合应用

函数的单调性、奇偶性、周期性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题, 常常涉及一些抽象函数.对定义、性质、图象特征的熟练掌握和灵活应用是解决这类问题的关键.

例6 (1)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点 (-3 4 ,0)对称,且满足f(x)= -f(x+3 2 ),又f(-1)=1,f(0)= -2,则f(1)+ f (2)+ f (3)+ … + f (2 015) =_____ .

(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log２a)+f(log1２a)≤2f(1),则a的取值范围是.

解析:(1)由f(x)=-f(x+3 /2 ),得f(x) =-f(x+3 /2 )=f(x+3),所以f(x)是以3为周期的函数.又函数f(x)的图象关于点(-3 /4 , 0)对称,所以f(x)=-f(-x-3/ 2 ).所以f(x +3 /2 )=f(-3 /2-x),则f(x)=f(-x).所以f(-1)=f(1)=1.所以f(-1)+f(0)+f(1) =0.又因为2 015=3×671+2,所以f(1)+ f(2)+f(3)+…+f(2 015)=671×0+f(1) +f(2)=2.

(2)由题意知a>0,又log1２a=log２a－１= -log２a.因为f(x)是R上的偶函数,所以f(log２a)= f (-log２a)= f (log1/２a).又f(log２a)+f(log1/２a)≤2f(1),所以2f(log２a) ≤2f(1),即f(log２a)≤f(1).又因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以|log２a|≤1,则-1≤log2a≤1,即log21/ 2≤log2a≤log22,所以a ∈[1 /2 ,2].故填[1 /2 ,2].

考点7指数函数

指数函数是高考的重点内容,考查内容主要有:一是指数幂的运算和幂值的大小比较;二是指数函数以及与指数函数有关的函数图象的应用;三是指数函数的性质及其应用.

例7 (1)已知函数f(x)=2ｘ-1/2x,函数则函数g(x)的最小值是 _______.

(2)已知0≤x≤2,则的最大值为_______.

解析:(1)当x≥0时为单调增函数,所以g(x)≥g(0)=0.当x<0时,为单调减函数.所以g(x)>g(0)=0,所以函数g(x)的最小值是0.

考点8对数函数

对数函数是高考的热点内容,主要考查三个方面:一是对数运算以及对数值的大小比较; 二是对数函数以及与对数函数有关的函数图象的应用;三是对数函数的性质及其应用.

例8 (1)设a=log32,b=log52,c=log23, 则( ).

(A)a>c>b (B)b>c>a

(C)c>b>a (D)c>a>b

(2)若logａ(a２+1)<logａ2a<0,则实数a的取值范围是_____.

(2)因为a2+1>1,loga(a2+1)<0,所以0 <a<1.又loga2a<0,所以2a>1,即a>1/ 2.所以实数a的取值范围是(1 /2 ,1).

考点9幂函数

对幂函数的考查主要涉及两个方面:一是幂函数解析式的确定及相关计算问题;二是幂函数的性质(奇偶性、单调性等).

2例9已知幂函数f(x)=xｍ2－２ｍ－３(m∈ Z)的对称轴为y轴,且其图象与x轴,y轴均无交点,则f(x)=______.

解析:因为函数f(x)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数.又其图象与x轴, y轴均无交点,所以m２-2m-3=(m-1)２-4 (m∈Z)是一个非正偶数.当m２-2m-3=0, 即m=-1或m=3时,f(x)=x０=1(x≠0); 当m=1时,f(x)=x－４.综上可知,f(x)=1(x ≠0)或f(x)=x－４.

考点10函数图象的识别

函数图象的识别是函数图象考查的一个热点内容,通常有两种形式:一是指已知函数解析式,从所给选项中选择出对应的函数图象,二是给出函数图象,选择对应的解析式.

例10函数的图象可能是( ).

解析:函数的定义域为{x|x≠ -1},其图象可由y=１０ｌｎ｜ｘ｜/x的图象沿x轴向左平移1个单位长度而得到,y=10ln|x| /x为奇函数,图象关于原点对称,所以y=10ln|x+1| /x+1的图象关于点(-1,0)成中心对称.可排除A,D.又x >0时,y=10ln|x+1|/ x+1>0,所以B不正确.故选C.

考点11函数图象的变换

变换图象是指给出一些基本图形,然后通过平移、对称、放缩、翻折等方式进行变换,得到新函数的图象,这是考查变图能力的主要方式. 函数图象的变换方式有对称变换、平移变换、坐标变换以及折叠变换等.对于选择题,还可以利用特殊值法(特殊点)、特性法(奇偶性,单调性, 最值)结合排除法求解,这样可以节约考试时间.

例11已知函数, 则f(1-x)的图象是( ).

解析:对于变换前的函数可知x=0时,函数值为1,变换后同样有1-x=0,即x=1时, 函数值为1,即变换后函数过点(1,1),只有答案D符合条件.故选D.

考点12函数图象的应用

应用图象是指善于借助函数的图象作为工具来分析问题、解决问题,实质上就是数形结合的思想.对于方程的根或函数的零点问题,常常可以转化为两个函数图象的交点问题,再利用函数图象来进行处理,非常直观、有效,其中准确作图是正确解题的基础,对能力要求较高.

例12若f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2-2x+1 /2|. 若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点 (互不相同 ),则实数a的取值范 围是______ .

解析:函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有互不相同的10个零点,即函数y=f(x),x∈ [-3,4]与y=a的图象有10个不同的交点.在坐标系内作出y=f(x)在一个周期内的图象,如图1,可知0<a<1/ 2.故填0<a<1/ 2.

考点13零点的个数

根据零点的定义,y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,所以方程f(x)=0根的个数就是函数y=f(x)零点的个数.

例13函数, 的零点个数为 _______.

解析:由, 得 x= -3;, 得x=e2.所以f(x)的零点个数为2.

考点14零点所在的区间问题

求解此类问题的关键是根据零点存在性定理进行分析判断.

例14函数f(x)=ln x-2/ x的零点所在的区间是( ).

(A)(1,2) (B)(2,3)

(C)(1 /e ,1) (D)(e,3)

解析:因为f(1)=0-2=-2<0,f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3-2 /3>0,f(e)=1-2/ e >0,f(1 e )=-1-2e<0,所以f(2)f(3)<0. 所以函数f(x)=ln x-2/ x在区间(2,3)内存在零点.故选B.

考点15由零点存在求参数范围

已知函数有零点(方程有根)求参数范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接求方程的根, 再约束根的范围确定参数的范围;(2)分离参数法:先将参数分离,再转化为求函数的值域问题进行解决;(3)数形结合法:先对解析式进行适当变形,然后在同一坐标系中画出函数的图象, 进行观察求解.

例15若函数f(x)=2ax２+2x-3在区间[-1,1]上有零点,则实数a的取值范围为_____.

解析:若a=0,则f(x)=2x-3,f(x)=0得x=3 /2∉[-1,1],不合题意,因此a≠0.

下面就a≠0分两种情况讨论:

(1)当f(-1)·f(1)≤0时,f(x)在[-1, 1]上至少有一个零点,即(2a-5)(2a-1)≤0, 解得1 /2≤a≤5 /2.

(2)当f(-1)·f(1)>0时,f(x)在[-1,1]上有零点的条件是解得a>5 /2.综上,实数a的取值范围为[1/1 2 ,+∞)

考点16导数的几何意义

导数的几何意义的主要考查形式有:一是求曲线在某一点处的切线;二是求有关参数的值或范围.注意:过曲线上一点的切线,该点不一定是切点,所以要先设切点,然后求切点,也就是用待定切点法.

例16已知抛物线C１:y=x２+2x和C２: y=-x２-1/2,如果直线L同时是C１和C２的切线,称L是C１和C２的公切线,求公切线L的方程.

解析:由y=x２+2x,得y′=2x+2,则曲线C１在点P(x１,x１２+2x１)处的切线方程是y -(x１２+2x１)=(2x１+2)(x-x１),即y=(2x１+2)x-x21. 1

因为L是C１和C２的公切线,则12表示的是同一条 直线,所以消去x2得,解得x1= -1 /2 ,此时x2=-1 /2 ,点P,Q重合,两曲线有且仅有一条公切线,方程为y-x+1/ 4=0.

考点17导数的运算

导数的运算常见的考查方式有两种:一是单独考查,直接以常见函数为载体,考查导数四则运算法则及导数公式;二是与导数的应用融合在一起进行考查.

例17设函数f(x)=cos(31/2x+φ)(0<φ <π),若f (x)+f′ (x)是奇函数,则φ =_____.

考点18定积分(理科)

求曲边图形区域的面积问题,是高考考查定积分计算的常见题型,解决这类问题需要结合函数的图象,把所求的曲边图形面积用函数的定积分表示.对不可分割图形面积的求解,先由图形确定积分的上、下限,然后确定被积函数,再用求定积分的方法计算面积.

例18求抛物线y２=2x与直线y=4-x所围成的 平面图形 的面积.

解法1:如图2,由得交点A (2,2),B(8,-4)

考点19利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数的单调性是高考重点考查的内容,常见考查形式为:一是求不含参数的函数的单调区间;二是求含有参数的函数的单调区间;三是已知函数的单调情况求参数的取值范围.

例19已知函数f(x)=x２-ax-aln(x -1)(a∈R),求函数f(x)的单调区间.

解析:已知函数f(x)的定义域是(1,

1若a≤0,则(a+2) /2≤1,f′(x)>0在 (1, +∞)上恒成立,所以当a≤0时,f(x)的单调增区间为(1,+∞).

2若a>0,则(a+2) /2>1,所以当x∈ (1, a+2 2 )时,f′(x)<0;当x∈ ((a+2 )/2 ,+ ∞)时, f′(x)>0.所以当a>0时,f(x)的单调减区间为(1,(a+2 )/2 ),f(x)的单调增区间为((a+2)/ 2 ,+∞).

考点20利用导数研究函数的极值(最值)

利用导数研究函数的极值(最值)也是高考考查的重点,常见考查形式有:一是求函数的极值和最值;二是已知函数的极值或最值求参数; 三是已知函数在给定区间恒成立,求参数的取值范围;四是利用最值证明不等式.

例20已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是( ).

(A)(-∞,0) (B)(0,1/2 )

(C)(0,1) (D)(0,+∞)

解析:f′(x)=ln x+1-2ax,由f(x)= x(ln x-ax)有两个极值点,得f′(x)=0有两个不等的实数解,即ln x=2ax-1有两个实数解,从而直线y=2ax-1与曲线y=ln x有两个交点.过点(0,-1)作y=ln x的切线,设切点为(x０,y０),则切线的斜率为k=1/x0,切线方程为y=1/x0(x-1).切点在切线上,则y0=x0/x0-1 =0.又切点在曲线y=ln x上,则,即切点为(1,0).所以切线方程为y=x1.再由直线y=2ax-1与曲线y=ln x有两个交点,知直线y=2ax-1位于直线y=0和y= x-1之间,如图3所示,其斜率2a满足0<2a <1,解得0<a<1 /2.故选B.

考点21导数的综合应用

导数的综合应用问题中,通常将函数、方程、不等式等问题结合起来,具有一定的难度和灵活性.常见的题型有:最值与不等式恒成立问题、方程有解或解的个数讨论问题、实际应用问题.求解时要注意对问题进行转化,常常运用到构造函数法、数形结合法等思想方法.

例21设函数f(x)=x２+bx-aln x.

(1)若x=2是函数f(x)的极值点,1和x０是函数f(x)的两个不同零点,且x０∈(n,n+ 1),n∈N,求n;

(2)若对任意b∈[-2,-1],都存在x∈ (1,e)(e为自然对数的底数),使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.

解析:(1)由题意,得f′(x)=2x-a /x+b. 因为x=2是函数f(x)的极值点,所以f′(2) =4-a /2+b=0.

令f(x)>0,得x>2,令f(x)<0,得0<x <2.

所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2, +∞)上单调递增.所以函数f(x)至多有两个零点,其中1∈(0,2),x０∈(2,+∞).

所以x０∈(3,4),则n=3.

(2)令g(b)=xb+x2-aln x,b∈ [-2, -1],则g(b)为关于b的一次函 数且为增 函数.

根据题意,对任意b∈[-2,-1],都存在x ∈(1,e),使得f(x)<0成立,则[g(b)]ｍａｘ= g(-1)=x２-x-aln x<0在(1,e)上有解.令h(x)=x２-x-aln x,只需存在x０∈ (1,e)使得h(x０)<0即可.

所以φ(x)在(1,e)上单调递增,则φ(x)> φ(1)=1-a.

1当1-a≥0,即a≤1时,φ(x)>0,即h′(x)>0,h(x)在(1,e)单调递增,h(x)>h(1) =0,不符合题意.

2当1-a<0,即a>1时,φ(1)=1-a< 0,φ(e)=2e２-e-a.

若a≥2e2-e>1,则φ(e)<0,此时在(1,e)上φ(x)<0恒成立,即h′(x)<0恒成立,

所以h(x)在(1,e)上单调递减,所以存在x０∈(1,e),使得h(x０)<h(1)=0,符合题意.

若2e2-e>a>1,则φ(e)>0,此时在(1,e)上一定存在实数m,使得φ(m)=0,所以在(1,m)上,φ(x)<0恒成立,即h′(x)<0恒成立,h(x)在(1,m)上单调递减.所以存在x０∈ (1,m),使得h(x０)<h(1)=0,符合题意.

综上所述,当a>1时,对任意b∈ [-2,-1],都存在x∈(1,e),使得f(x)<0成立.

配套练习:

练习1设函数若f(x0)>1,则x0的取值范围是( ).

(A)(-1,1)

(B)(-1,+∞)

(C)(-∞,-2)∪(0,+∞)

(D)(-∞,-1)∪(1,+∞)

练习2 (1)若a=（ln 2 ）/2 ,b=（ln 3 ）/3 ,c=（ln 5）/ 5 , 则( ).

(A)a<b<c (B)c<b<a

(C)c<a<b (D)b<a<c

练习3 (1)设1 5< (1 /5 )b< (1/ 5 )a<1,那么( ).

(A)aａ<aｂ<bａ(B)aｂ<aａ<bａ

(C)aa<ba<ab(D)ab<ba<aa

(2)已知函数f(x)=2ｘ-2,则函数y= |f(x)|的图象可能是( ).

(A)a>b>c (B)a>c>b

(C)c>a>b (D)c>b>a

练习5已知则下列函数 的图象错 误的是( ).

练习6如图所示,阴影部分的面积是( ).

(A)2（3）1/2

(B)9-2（3）1/2

(C)32 /3

(D)35 /3

练习7 (1)已知定义在R上的函数f(x) 满足2f(x)=f(x-1),若当 -1≤x<0时, f(x)=x(x+1),则当0≤x<1时,f(x) =______ .

(2)在计算机 的算法语 言中有一 种函数 [x]叫做取整函数 (也叫高斯函数).它表示x的整数部分,即表示不超过x的最大整数.如 [2.5]=2,[2]=2,[-0.6]=-1.设函数f(x) =2[x]+[2x+6],若a∈(-2,-3 /2 )则f(a) = .

练习8 (1)的定义域是 .

(2)已知函数y=f(x-1)的定义域是[2, 5),则y=f(2x)的定义域是 .

练习9已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且对任意的a,b∈[-2,2],当a+b≠0时,都有,若f(m-1)-f(12m)>0,则实数m的取值范围是_____ .

练习10 (1)已知函数

(2)设x∈ (-1,1),且f(x)是奇函数, g(x)是偶函数,f(x)+g(x)=2x-lg(1+x), 则f(x)= .

练习11 (1)已知函数y=f(x)是R上的奇函数且满足f(x+5)≥f(x),f(x+1)≤ f(x),则f(2 015)的值为 .

(2)已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(x/ y )=f(x)-f(y),f(2)=1,则不等式f (x)- f (1 /(x-3) )≤ 2的解集为_____ .

练习12 (1)已知在区间[2,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是_____ .

(2)已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值 是_____ .

练习13若,则a的取值范围为_____ .

练习14对于实数a和b,定义运算“*”:,且关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等 的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是_____ .

练习15函数f(x)=2x+x3-2在区间 (0,1)内的零点个数为 _____ .

练习16已知函数f(x)=logax+x-b(a >0且a≠1),当2<a<3<b<4时,函数f(x) 的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=_____ .

练习17已知函数若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为_____ .

练习18函数f(x)=ln x+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是_____ .

练习19设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x +n),则f′(0)=_____ .

练习20已知函数f(x)=x2+aln x.

(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;

(2)若函数g(x)=f(x)+2/ x在[1,+ ∞) 上单调,求实数a的取值范围.

练习21若函数f(x)=ex-ax2-bx-1, 其中a,b∈R,e=2.71828… 为自然对 数的底数.设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x) 在区间[0,1]上的最小值.

练习22已知函数f(x)=x2ln x.

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使t=f(s);

(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当

练习答案:

1.D.2.C.

3.(1)B.(2)B.

4.A.5.D.6.C.

7.(1)1/ 2x(x-1).(2)-2.

8.(1)[4,6).(2)[0,2).

11.(1)0.

(2)7.因为log2(m-2)+log2(2n-2)= log2(m-2)(2n-2)=3,所以(m-2)(2n-2) =23=8,且m-2>0,2n-2>0.所以4=(m-2)(n-1)≤(m-2+n-1 2 )2,可得m+n≥7,即当m=4,n=3时,m+n的最小值是7.

13.2 /3<a<3/ 2 或a<-1.

15.1.

16.n=2.

17.(1,2).画出函数f(x)的图象如 图2所示.

函数y=f(x)-a|x|有4个零点,即函数y1=a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0).

当a=2时,函数f(x)的图象与函数y1= a|x|的图象有3个交点.故a<2.

当直线y1=a|x|(x≤0)与曲线y=|x2+ 5x+4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与y1=a|x|的图象有5个交点,此时,由, 得x2+(5-a)x+4=0.Δ=0,得(5-a)22-16=0,解得a=1,或a=9舍去),则当1<a<2时,两个函数的图象有4个交点.故实数a的取值范围是1<a<2

18.(-∞,2).

19.n!.

20.(1)f(x)的单调递减区间是(0,1).

(2)a的取值范围为[0,+∞).

因此,当x∈[0,1]时,g′(x)∈[1-2a,e-2a].

当a≤1 /2时,g′(x)≥0,所以g(x)在[0,1] 上单调递增,因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b.当a≥e/ 2时,g′(x)≤0,g(x)在[0, 1]上单调递减,因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b.当1 2<a<e 2时,令g′(x) =0,得x=ln(2a)∈(0,1).所以函数g(x)在 [0,ln(2a)]上单调递减,在[ln(2a),1]上单调递增,于是g(x)在 [0,1]上的最小 值是g[ln(2a)]=2a-2aln(2a)-b.

综上所述,当a≤1 /2时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;当1 /2<a<e 2时,g(x)在 [0,1]上的最小 值是g [ln(2a)]=2a 2aln(2a)-b;当a≥e /2时,g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b.

22.(1)函数f(x)的定义域是(0,+ ∞).

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1/e1/2), 单调递增区间是(1/e1/2,+∞).

(2)当0<x≤1时,f(x)≤0.已知t>0,令h(x)=f(x)-t,x∈[1,+∞).

由(1)知,h(x)在(1,+∞)上单调递增.

所以存在唯一的s∈(1,+∞),使得t=f(s)成立.

(3)已知s=g(t),由(2)知,t=f(s),且s> 1,从而

三、平面向量部分

河南曹松峰

平面向量有着极其丰富的实际意义和背景,具有“数”与“形”双重身份,是“沟通代数、几何与三角函数的一种工具和桥梁”,在高中数学中占有重要地位,因此成为每年高考的一项必考内容.

纵观近年来全国各地的文、理科高考数学试卷,对平面向量的考查内容主要有:一是平面向量的线性运算及平面向量基本定理;二是平面向量的数量积;三是平面向量与其他知识的综合.从题型、难度来看,前两部分内容多以中、 低档选择、填空题的形式出现,但也有少量出现在客观题的“把关”位置,考查方向以学生的运算能力、逻辑推理能力和知识迁移能力为主;第三部分既有选择、填空题,也有解答题,有一定的难度.涉及的数学思想方法主要有:数形结合、化归与转化、函数与方程、分类讨论等.

考点1平面向量的运算及平面向量基本定理

单位向量、共线向量、相等向量等基本概念,向量的加法、减法和数乘等运算,都是平面向量中最基本的内容,几乎所有的向量问题都要涉及向量的线性运算.平面向量基本定理是向量坐标化的理论依据,是实现向量代数运算的关键,还是把平面内任意向量进行统一表示的基础,其重要地位和作用不言而喻.同学们在学习时,要注意结合向量数乘运算,理解平面向量的基本定理及其几何意义,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,熟练运用定理、算理、 运算律等实施计算和推证.

点评:把两个不共线的向量用同一个向量表出,时常需要借助于几何图形,充分利用向量的三角形法则或平行四边形法则来完成转化.

例2在下列向量 组中,可以把向 量a= (3,2)表示出来的是( ).

(A)e１=(0,0),e２=(1,2)

(B)e１=(-1,2),e２=(5,-2)

(C)e１=(3,5),e２=(6,10)

(D)e１=(2,-3),e２=(-2,3)

解析:只有e1=(-1,2)与e2=(5,-2)不共线,且a=2e１+e２,故选B.

点评:此题考查了平面向量的表示.由平面向量的基本定理可知,用两个不共线的非零向量作为一组基底,可以将平面内的任意向量表示出来.

点评:此题将平面向量基本定理和圆的基本性质相结合,情境设计新颖,知识结合贴切自然,侧重于“形”的考查.同学们应有意识地从 “数”与“形”两个不同的角度认识向量,进而解决有关问题.

解析:因为a∥b,所以sin 2θ=cos２θ,即2sinθcosθ=cos2θ,整理、化简,得tanθ=1 /2.

点评:此题由向量共线的坐标运算可以得到一个三角恒等式,从等式的结构入手,化弦为切,从而得解.

例5设D,E分别是△ABC的边AB,BC

解析:求解的关键是将进行向量分解,逐步用线性表出,再利用 “唯一性”比对,即可求得

考点2平面向量的数量积

向量的数量积运算是平面向量的核心内容.在研究几何元素之间的关系,如距离、夹角、 最值、取值范围等问题时,可借助平面向量数量积代数和几何的双重身份,使问题顺利得到解决.同学们在学习时,应在理解模、夹角、射影等概念的基础上,厘清数量积与实数乘积之间的区别,如,由a≠0,且a·b=0,不能推出b=0; 由a·b=b·c,不能推出a=c;(a·b)·c≠ a(b·c),等等.

例6已知向量a与b的夹角为60°,且a =(-2,-4),|b|=51/2,则a·b=______.

解析:因为,所以

例7如图1,在平行四边形ABCD中,已知

点评:此题利用向量的数量积定义巧妙地指明了三角形中的边角关系,重点考查向量的数量积运算、三角形面积公式等知识以及运算推理能力.正确进行向量的数量积运算是顺利解题的先决条件.

例9已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则

解析:此题可以用向量法求解,但对于正方形中的向量问题,用坐标法解起来更为简捷.以A点为坐标原点,直线AB,AD分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2),易得

点评:向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种常用方法.向量法便于研究涉及直线和各种位置关系的问题;坐标法使平面中的向量与它的坐标建立一一对应关系,以形思数, 以数解形,常常可以事半功倍.

点评:此题由两个向量垂直的位置关系,通过向量的数量积运算得到数量关系,进而联立方程组,解之可得向量a的模.

例11设a,b,c是非零向量,已知命题p: a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b, b∥c,则a ∥c,则下列命题中的真命题是( ).

(A)p∨q (B)p∧q

(C)(﹁p)∧(﹁q) (D)p∨(﹁q)

解析:由于a,b,c是非零向量,且a·b= 0,b·c=0,所以可以得到a与b垂直,b与c垂直,但a与c不一定垂直,即a·c=0不一定成立.所以p为假命题.经判断命题q为真命题. 由复合命题的真值表可知A正确.故选A.

点评:此题巧妙地把向量的数量积和向量共线的有关内容设置成为命题,考查命题的否定和复合命题真假的判断,是向量与简易逻辑的完美融合,重点考查向量的基本概念与逻辑思维能力.

例12如图2,设P０是 △ABC边AB上一定点,满足P０B=1/4AB,且对于AB上任一点

(A)∠ABC=90ο

(B)∠BAC=90ο

(C)AB=AC

(D)AC=BC

解法1(利用平面向量数量积的定义):当给出的平面向量的关系式中含有未知量时,常常利用向量数量积的公式及相关性质进行转化,得到与这个未知向量关联的变量的关系式. 本题可以尝试选择PB为变量,从将表示为PB的函数入手.

解法2(向量的坐标运算):如图3所示,建立平面直角坐标系,设A (a, 0),B(b,0),C(0,c),P(x, 0),则当x=b 2时有最小值.由条件知b /2=(b-a)/ 4 ,化简,得a+b=0,即AC=BC.故选D.

点评:此题主要考查平面向量的数量积运算,但由于题目的条件以动点变化的不等式恒成立的形式给出,使得题目的难度有所增大.解决此类问题的思路是转化为代数运算,关键是要明晰数量积运算的三个角度,一是直接利用定义,二是建立坐标系转化为代数运算,三是利用向量线性运算.无论选择哪种方法,都需要适当选择解题的突破口和解题方向.

考点3平面向量与其他知识的综合

由于平面向量具有几何与代数的双重身份,它与三角函数、解析几何、函数与不等式等知识的融合型试题常常成为高考命题的重要题眼.数学学科的考试注重学科的内在联系和知识的综合性,学科内在的联系包括各部分知识在发展过程中的纵向联系,以及各部分之间的横向联系;知识的综合性则是从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题,在知识网络的交汇点处设计试题,使对数学基础知识、基本技能的考查达到必要的思想深度.

解析:利用模长的计算公式可以将|b|转化为字母的代数运算.因为

点评:向量与不等式结合的题目实际上是以向量为载体考查不等式的知识,解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为不等式的问题,注意转化时不要把向量与实数的运算相互混淆.

例14已知抛物线C:y２=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k的取值可以是( ).

(A)1 /2 (B)21/2/2

(C)21/2(D)2

解析:题目给出的数量积,表明两线段垂直,也就是给出了两个向量的坐标关系式.由题意知,抛物线C的焦点坐标为(2, 0),则直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入y２=8x,整理,得k２x２-4(k２+2)x+4k２=0.

设A(x１,y１),B(x２,y２),则

由123可解得k=2.故选D.

点评:近年来的高考试题突出了对向量与解析几何的结合考查,尤其是在客观题的编制上更是注重引入向量知识,通过向量实现形与数的转化,通过向量的坐标运算揭示图形的位置和数量关系.同学们可以通过利用向量的方法推导解析几何中的公式、定理的过程,体悟向量的工具性,逐渐树立应用向量的意识.

(A)[4,6]

解法1:因为C的坐标为(3,0),且,所以动点D是以C为圆心的单位圆.设D(x,y),则.所以

解法2:因为C的坐标为(3,0),且,所以动点D是以C为圆心的单位圆.设

点评:此题求解的关键在于由向量的模为1,可以得到点D的运动轨迹是以C为圆心、1为半径的圆,求的范围问题可以转化为求函数最值或转化为距离问题,这样既可以实施代数运算,又可以数形结合解决问题.

例16设θ为两个非零向量a,b的夹角. 已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1,则有( ).

(A)若θ确定,则|a|唯一确定

(B)若θ确定,则|b|唯一确定

(C)若|a|确定,则θ唯一确定

(D)若|b|确定,则θ唯一确定

解析:此题考查向量模的取值范围.由模长公式,可以尝试通过平方开根号的方法,将问题转化为向量的数量积运算.|b+ta|２=a２t２+ 2abt+b２,设f(t)=a２t２+2a·bt+b２,由于t∈ R,且a２≠0,该二次函数的最小值可在对称轴,即若θ确定,则|b|唯一确定,故选B.

点评:此题考查向量的模、数量积的运算、 二次函数的最值、三角函数等知识以及化归与转化的数学思想、推证运算能力,综合性较强, 有一定难度.

(1)若|a|=|b|,求x的值;

(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.

解析:(1)题目给出了向量的模之间的关系,可以尝试把向量的模平方,将向量问题转化为三角函数问题.

点评:平面向量与三角函数相结合的题目, 大多是以三角函数题型为背景的一种向量描述,需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数的相关知识来解答,如利用向量的模与数量积转化边长与夹角问题等等.

例18如图4,在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在 △ABC三边围成的区域(含边界)内.

点评:此题考查了平面向量的坐标运算、平面向量基本定理等主干知识,第(2)问与线性规划相结合,对数形结合、化归与转化等数学思想方法的考查自然恰切,很好地体现了新课程的理念和高考的正确导向.

配套练习:

练习1已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为( ).

(A)(3 /5 ,-4/ 5 ) (B)(4 /5 ,-3 /5 )

(C)(-3 /5 ,4 /5 ) (D)(-4 /5 ,3 /5 )

练习2设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使a/ |a|=b /|b|成立的充分条件是( ).

(A)a=-b (B)a∥b

(C)a=3b (D)a∥b且|a|=|b|

练习3已知向量a=(1,m),b=(m,2), 若a∥b,则实数m等于( ).

(A)-21/2(B)21/2

(C)-21/2或21/2(D)0

练习4已知平面向量a≠0,关于向量a的分解,有如下四个命题:

1给定向量b,总存在向量c,使a=b+c;

2给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a =λb+μc;

3给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc;

4给定正数λ 和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc;

上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线.

则真命题的个数是( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

练习5已知a,b为单位向量,其夹角为45°,则(21/2a-b)·b=( ).

(A)-1 (B) 0 ( C) 1 (D)2

练习6在四边形ABCD中,, ,则四边形的面积为( ).

(A)51/2(B)2(5)1/2(C)5 (D)10

练习7设a,b为向量,则 “|a·b|= |a|·|b|”是“a∥b”的( ).

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分又不必要条件

练习8已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( ).

练习10定义平面向量之间的一种运算 “⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a ⊙b=mq-np,下面说法错误的是( ).

(A)若a与b共线,则a⊙b=0

(B)a⊙b=b⊙a

(C)对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b)

练习13如图1,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,

练习14向量a,b,c在正方形网格中的位置如图2所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ =____.

练习15设e１,e２为单位向量,且e１,e２的夹角为π/3 ,若a=e１+3e２,b=2e１,则向量a在b方向上的射影为.

练习20如图3,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为.

练习21已知抛物线C:y２=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,如图4,若,则|QF| =__________.

练习22已知点A(1,-1),B(3,0),C(2, 1).若平面区域D由所有满足的点P组成,则D的面积为______.

练习23已知a= (cosα,sinα),b= (cosβ,sinβ),0<β<α<π.

(1)若|a-b|=21/2,求证:a⊥b;

(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.

(1)求证:tan B=3tan A;

(2)若cos C=51/2/5 ,求A的值.

练习25小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从A１,A２,A３,A４,A５,A６,A７,A８(如图5)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.

(1)求小波参加学校合唱团的概率;

(2)求X的分布列和数学期望.

练习答案:

1.A.2.C.3.C.4.B.5.B.6.C.7.C.

8.A.因为a,b是单位向量,且a·b=0,所以|即一个模为槡2的向量与c之差的模为1,可以在单位圆中解得故选A.

9.D.方法一:根据已知条件可知A,B1,P,B2构成一个矩形AB1PB2,以所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,设

10.B.

20.(2-sin 2,1-cos 2).根据题意可知, 圆滚动了2单位个弧长,点P旋转了2 1=2弧度,此时点P的横、纵坐标分 别为:

25.(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法有C８２=28种.X=0时,两向量夹角为直角,共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=0)=8/28=2/7.

(2)两向量的数量积X的可能取值为-2, -1,0,1.当X= -2时,有2种情形;当X= -1时,有10种情形;当X=1时,有8种情形. 从而可进一步求出X的分布列和数学期望.

X的分布列如下.

四、三角函数与解三角形部分

山东马继峰

考点1考查三角函数的概念

主要考查运用三角函数的定义求三角函数值.

例1已知角α 的终边经过点P (-2, 51/2),则cosα=( ).

(A)2/ 3 (B)-2 /3

分析:先求出点(-2,51/2)到原点的距离, 然后运用余弦函数的定义求解.

考点2考查同角三角函数的基本关系式和诱导公式的应用

主要考查运用这两类公式进行三角函数式的求值、化简和证明.

点评:在利用平方关系式求值时,因为要进行开方运算,所以一定要注意对角的范围和三角函数符号的考查.

考点3考查三角函数的图象

主要考查三角函数和复合三角函数图象的画法、变换和应用,其中变换和应用是考查的热点.

例3已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图1所示,则f(0)=( ).

(A)-2 /3 (B)-1 /2 (C)2 /3 (D)1 /2

分析:把函数图象和余弦曲线对照,易发现其上的点(7π /12 ,0)和(11π /12 ,0)分别对应着余弦曲线在周期[-π,π]上的点(-π /2 ,0)和(π/ 2 ,0). 又图象过点(π/ 2 ,-2 /3 ),根据上述信息列方程组,可求出参数A,ω,φ,即可确定函数解析式, 进而可求f(0).

解:依题意,可得

故选C.

考点4考查函数y=Asin(ωx+φ)(A> 0,ω>0)的性质

主要考查函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的定义域、值域(最值)、单调性、周期性、图象的对称性等性质.这是三角函数中的一个考查热点.

例4若函数f(x)=2sin(ωx+π/6)(ω>0)的图象与直线y=2的两个相邻交点之间的距离为 π,则函数f (x)的单调递增区间是_____.

分析:因为函数的最大值是2,所以函数f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点之间的距离应等于1个周期,据此,可求出ω 的值, 进而可求函数的单调递增区间.

考点5考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式

主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用.

分析:易发现,因此分别求出π/ 4+α,π /4-β的正弦值,即可运用两角差的余弦公式求解.

分析:把条件式等号右边的角α化为(α+β)-β,然后用两角差的余弦公式把条件式变形,从中即可求出tan(α+β)的值.

考点6考查二倍角的正弦、余弦、正切公式

主要考查二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用.

考点7考查简单的三角恒等变换

主要考查综合运用我们在必修4学习的三角公式,进行一些简单的三角恒等变换,解决化简、求值、证明等问题.

分析:先运用二 倍角的正 切公式求 出tan[2(α-π /6 )]的值,然后运用两角和的正 切公式求tan(2α+β).

分析:先依据条件式求出cosβ的值,然后运用降幂公式求cosβ/ 2.

分析:把条件式展开,从中构造出tan(α+ β),求出其值,进而求α+β的值.

考点8考查三角函数和三角恒等变换的综合问题

主要考查通过三角恒等变换化简三角函数式,进而研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等性质,有时还考查三角函数的图象变换、三角方程和三角不等式的解法.

(1)当a=1时,求f(x)的单调递增区间;

(2)当a>0,且x∈[0,π]时,f(x)的取值范围是[3,4],求a,b的值.

分析:(1)先运用倍角公式和添加辅助角公式,把函数f(x)化为Asin(ωx+φ)+h的形式,然后求其单调区间;(2)仍是先把函数化为Asin(ωx+φ)+h的形式,然后依据其函数值的范围,列方程组求a,b的值.

考点9考查正弦定理的应用

主要考查运用正弦 定理求三 角形的边 长和角.

(A)15° (B)75°

(C)105° (D)15°或75°

分析:先运用正弦定理,求出角C,再运用三角形内角和定理求A的值.

例13在△ABC中,BC=2,AB=31/2,则角C的取值范围是____.

分析:先运用正弦定理,用sin A表示出sin C,进而根据sin A的取值范围求出sin C的取值范围,再结合C<A求角C的取值范围.

A,则C∈(0,π ).综上,可知角C的取值范围

考点10考查余弦定理的应用

主要考查运用余弦定理求三角形的边长和角.

例14在 △ABC中,a=1,b=71/2,B= 60°,则c=.

分析:因为已知角B和边b,所以可考虑运用余弦定理列方程,则此方程中只有一个未知数c,解之即得其值.

(A)π /6 (B)π /3

(C)2π /3 (D)5π /6

分析:运用余弦定理的推论,从条件式中分离出cos A并求出其值,进而求A.

考点11考查正弦定理、余弦定理的综合应用

主要考查综合运用正弦定理和余弦定理求三角形的边长和角.

(A)30° (B)60°

(C)120° (D)150°

分析:先运用正弦定理,把sin C = 21/23sin B“化角为边”,然后联立a２-b２=31/2bc,这样,就可以用一边表示另外两边,最后运用余弦定理的推论求A的值.

点评:在本例中,正弦定理的主要功能是进行边角转化,余弦定理的推论的主要功能是求解.根据求解目标,准确运用正弦定理进行边角转化,是本例求解的一个关键.

例17在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=31/2acos B.

(1)求角B的大小;

(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.

分析:(1)运用正弦定理,把bsin A = 31/2acos B“化边为角”,即可求出tan B的值,进而求出B的值;(2)先运用正弦定理,把sin C= 2sin A“化角为边”,然后运用余弦定理求a,c的值.

解:(1)已知bsinA=31/2acos B,由正弦定理,得sin BsinA=31/2sin Acos B,即sinB=31/2· cos B,所以tanB=31/2.因为0<B<π,所以B=π/ 3.

(2)已知sin C=2sin A,由正弦定理,得c= 2a.又由余弦定理,得b２=a２+c２-2accos B,即9 =a２+4a２-2a２,解得a=31/2,则c=2(3)1/2.

考点12考查解三角形的实际应用

主要考查运用解三角形知识解答实际应用问题,常见的问题有求距离、求角等.

例18如图2,某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,∠BAC =60°,其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角∠OAC= 15°,A地测得最高点H的仰角∠HAO=30°, 求该仪器的垂直弹射高度CH (结果保留根式).

分析:先在△ABC中运用余弦定理列方程求出AC的值,然后在△ACH中运用正弦定理求出CH的值.

解:设AC=x,则BC=x-40.

在△ABC中,根据余弦定理,可得BC２= BA２+CA２-2|BA||CA|cos ∠BAC,即(x- 40)２=x２+10000-100x,解得x=420,即AC =420.

所以该仪器的垂直弹射高度CH为140(6)1/2米.

评注:解三角形知识应用于实际,主要解决实际生活中的测量问题.解答此类问题和别的数学应用题解法一样,一般按建模———解模———回归的步骤进行.

考点13有关三角形的计算问题

主要考查解三角形与三角形面积的综合问题.

例19在△ABC中,若A=2π /3 ,a=7,c= 5,则△ABC的面积等于____ .

分析:先运用正弦定理,求出sin C,进而求出sin(A+C),即为sin B,最后运用三角形面积公式求其面积.

例20已知在 △ABC中,a=1,B=45°, S△ＡＢＣ=2,则b等于( ).

(A)4( 2)1/2(B)3

(C)5 (D)411/2

分析:运用含sin B的面积公式,先求出c, 然后运用余弦定理求b.

点评:本例是一个与三角形的面积有关的问题.已知三角形的面积,求三角形的边或角, 有的可直接求解,有的则需借助正、余弦定理求解.求解时,常选用含有已知角的面积公式.

配套练习:

练习1若点P(m,n)(n≠0)为角420°终边上一点,则n/ m等于( ).

(A)-2 (B)2

(C)-1 (D)1

练习3已知tanθ=2,则sinθcosθ =( ).

(A)-2 /5 (B)2/ 5

(C)±2 /5 (D)4/ 5

练习4把函数y=cos(x-π /6 )的图象向左平移m(m>0)个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则m的最小值为( ).

(A)π /12 (B)π/ 6

(C)π /3 (D)π /2

(A)ω=π/ 6 ,φ=π /3

(B)ω=φ=π/ 3

(C)ω=π/ 3 ,φ=π /6

(D)ω=6,φ=π /6

练习6已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0 <φ<π)为偶函数,其部分图象如图2所示,A, B分别为最高点与最低点,并且A,B两点间距离为2(5)1/2,则ω,φ的值分别是( ).

(A)ω=π /2 ,φ=π /4

(B)ω=1/ 2 ,φ=π/ 2

(C)ω=π/ 4 ,φ=π/ 2

(D)ω=1/ 4 ,φ=π /2

练习7若直线x=π /4是函数f(x)=A· sin(x+φ)(A>0)的图象的一条对称轴,则y= f(π 4-x)是( )./

(A)奇函数且图象关于点(π/ 2 ,0)对称

(B)偶函数且图象关于直线x=π/ 2对称

(C)奇函数且图象关于直线x=π /2对称

(D)偶函数且图象关于点(π/ 2 ,0)对称

(A)1 /2 (B)-1 /2

(A)7 (B)1/ 7

(C)-7 (D)-1 /7

(A)3/ 2 (B)3/ 4

(C)1 /2 (D)-1 /2

(A)最小正周期为π的偶函数

(B)最小正周期为π的奇函数

(C)最小正周期为2π的偶函数

(D)最小正周期为π/ 2的奇函数

练习14如图3,在四边形ABCD中,B= C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于( ).

练习21在锐角 △ABC中,BC=1,B= 2A,则AC的取值范围为____ .

练习23设 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=1/ 4 ,则sin B= ____.

练习24在△ABC中,若sin2A-sin2B =2sin Bsin C,c=3b,则角A的值为____ .

练习25如图4,为测得河 对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,在C处测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得 ∠BDC=45°,则塔AB的高是________米.

(1)求cos A的值;

练习28为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪.如图5,要求在考点A周围1千米处不能收到手机信号.检查员抽查A考点,在考点正西约31/2千米B处有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手 机接通电话,以每小时12千米的速度沿 公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?

练习29如图6,为绘制海底地貌图,测量海底两点C,D间的距离,海底探测仪沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,C,D在同一个铅垂平面内.用海底探测仪测得 ∠BAC=30°, ∠DAC=45°,∠ABD=45°,∠DBC=75°,A,B两点的距离为31/2海里.

(1)求△ABD的面积;

(2)求C,D之间的距离.

练习答案:

1.D.2.A.3.B.4.B.5.B.6.C.

8.D. 9.A. 10.B. 11.A. 12.D.

所以函数f(x)的值域为[-3,3 /2 ].

28.如图所示,过点A作AM与公路所在的直线垂直于点M ,

在△ACD中,AC=AD,∠ACD=60°,所以△ACD是正三角形,所以CD=1千米.

由BC/ 12×60=5,得在BC和CD上各行使5分钟.

答:最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟考点才算合格.

29.(1)在 △ABD中,因为 ∠BAD = ∠BAC+∠DAC=30°+45°=75°,所以∠ADB =60°.

(2)因为 ∠ABC= ∠ABD+ ∠DBC=45° +75°=120°,∠BAC= ∠BCA=30°,所以BC =AB=31/2,所以AC=3.

2019高考数学总结归纳 篇3

look sb.up and down 上下打量 look back to/ upon回顾 look upon…as把… 看作 look forward to期待 look through浏览;看穿 take a new look呈现新面貌fear的常用短语： in fear害怕地

(be)in fear of 害怕

for fear of/ that担心；生怕 3 concentrate 的常用短语： concentrate on 专心…

concentrate one’s mind on 专心于… 类似的短语：

fix one’s mind upon focus on put one’s heart into focus one’s mind on 4 surprise常用短语： in surprise惊讶地

to one’s surprise 使某人惊讶的是 be surprise at/to do/that 对某事感到惊讶

5表示“穿衣”的动作或状态的词和短语 1．表示动作的有： pull on put on dress dress sb 2.表示状态的有： wear be in be dressed in have … on

6常见表“喜欢”的短语和单词 like care for be keen on be fond of

take delight in… trouble的常用短语：

have much trouble / no trouble(in)doing 在…有/没有困难 take great trouble to do 不辞辛劳做某事

put sb to the trouble of doing … 为难某人做某事 make trouble捣乱 be in(great)trouble 惹麻烦；处在困境中 help sb.out of trouble 帮某人摆脱困境 8 end的常用短语： come to an end……结束 put an end to 结束…… on end竖起, 连续 in the end终于;最后

end up(by)doing…以……结束 make both ends meet收支相抵 表示“导致”、“由…引起”的短语： 1.导致

cause sth.(to do)result in lead to

2.由……引起 be caused by result from grow out of lie in

10表“全力以赴”的短语： do / try one’s best spare no efforts to do take great pains to do go all out to do

do what somebody can(do)to do do all somebody can(do)to do 11 direction常用短语：

in(the)direction of….朝……方向

under the direction of...在……的指导下 follow the directions照说明去做 12 far常用短语：

far from(being)离……要求相差很远 far from +(a place)距离某地很远 far away遥远

so far 到目前为止;那么远

as far as sb.knows/sees据某人所知 by far(最高级前,比较级后)起强调作用 13 distance常用短语： in the distance在远处 from/ at a distance从远处 keep sb.at a distance 于某人保持一定距离 It is no distance at all.不远 14 use常用短语：

used to do过去曾经、常做 be used to doing …习惯于…… be used to do被用来做……

make good/ full use of充分利用…… come into use开始使用……

it is no use doing …干……没有用 15“出了什么事”的几种不同表达 What’s wrong with….? What’s the matter with…? What’s the trouble with…? What happened(to sb.)? 16“众所周知”常用表达法：

It is known to all that…主语从句，that不能省

As is known to all,定语从句，置于句首 We all know(that)后接宾语从句 Everyone knows(that)后接宾语从句 , which is known to all.非限定从句，置于句末

17表“同意某人意见”的常用短语： agree with sb./what sb.said agree to sth.approve(of)sth.in favour of sth.be agreeable to sth.be for sth.“不同意”

disagree with sb./ what sb.said object to sth.disapprove(of)sth.be against sth.18 sign的常用短语：

sign one’s name签名 sign to sb(not)to do sth.示意某人(不)做某事 signs of … ……的迹象 would rather 与 prefer 的区别 1．宁愿做……而不做…… would rather do A than do B prefer A to B

prefer to do A rather than do B 2.would rather 主语 + 过去式，表示“宁愿” eg.I would rather you came tomorrow than today.should prefer sb.to do sth./ should prefer 主语 + 过去式，表示“比较喜欢……”

eg.I should prefer you not to go there alone.OR: I should prefer that you did not go there alone.trap常用短语

be caught in a trap落入圈套 be led into a trap中圈套

set a trap to do sth.设圈套…… be trapped in sth.被…..所围困 21 grow常用短语

in the grow of在….成长中 grow up长大;成长

grow rich on靠…..变富 grow into长成……

grow out of由…..引起/滋生出 22 make常用短语

be made up of =consist of 由……组成 make up for弥补

be made from/ of由……造成 make up编造;组成;化妆 be made into制成…… make fun of取笑;嘲弄 make a living 谋生 supply, provide, offer 的区别： 1．表示“向某人提供某物” supply / provide sb.with sth.supply / provide sth.for sb.supply sth.to sb.offer sb.sth.2.表示“主动提出做某事” offer to do sth.3.表示“倘使”、“假如” provided / providing that = on condition that =only if 4.表示“满足需要”supply / meet a need.24 supply的常用短语

in short supply 缺乏，不足

medical/military supply医疗/军用品 supplies of…许多 25 lack的常用短语

be lacking in sth.在……不足 make up for the lack of 弥补……的不足

for/by/from/through lack of… 由于…不足,缺乏 have no lack of不缺 26damage的常用短语

do damage/harm to 对……有害 cause damage to 对……造成损害 ask for damage要求赔偿 27die of 与die from 的区别

die of 表示“死于……病”或冻死、气死，或死于过度悲伤。

die of cancer/grief/hunger/anger/cold die from表示死于外伤、事故、劳累过度。如：

die from polluted air/overwork/sword thrust 28die常用短语

die for one’s country为国捐躯 die down熄灭、平息 die off绝种、枯死 die away消逝、静下来 die a heroic death英勇牺牲 29threaten常用短语

threaten sb.with sth.用……威胁某人 threaten to do…威胁做……

under the threat of…在……的威胁下 30speed常用短语 speed up加速

at the speed of…以…..的速度 with great speed迅速 31aim常用短语 take aim at瞄准

reach an aim达到目的 aim at瞄准、针对

32permit与allow 的区别

表“允许做某事”或“允许某人做某事”用法基本相同。

permit/allow doing sth.permit/allow sb.to do sth.permit /allow of sth

一般在独立主格结构中表示“时间、条件等许可”，多用permit

Time/Weather permitting, I’ll drop in on her.allow 还可以表示“承认”、“考虑到”。例如： 1.We allow him to be wronged.2.will take an hour to go there, allowing for traffic delays.33means常用短语

by means of通过….., 靠……

by this means/ in this way用这种方法 by no means/in no case决不 by all means用一切办法 34keep常用短语 keep up with紧跟…..keep sb.doing sth.让某人一直做

keep sb.from doing sth.阻止…..做…… keep off the grass勿踏草地 keep to the point紧扣主题

keep in touch with与……保持联系 35mark常用短语

make one’s mark成功、出名 be marked with标明

gain/get full marks for ……得满分 36seat常用短语 take one’s seat坐下 have a seat请坐

see/find sb.seated看见/发现某人坐在….be seated就座, 坐着

seat oneself in/at/on使自己坐在…… 37部分 动词+ to + doing 的用法 look forward to get down to object to

devote… to… pay attention to prefer…to… 38give常用短语 give up放弃

give in让步屈服 give off 散发出

give away赠送、泄漏 give rise to 引起……

give out 疲劳、用完、散发出 39fit常用短语 be fit for适合

keep fit/keep healthy保持健康 be fit to do 适合于…..fit in with适应…… a nice fit合身的衣服 …fit sb.某人穿…..合身 40reach 常用短语

reach an agreement达成协议 reach for…伸手去拿/够……

within / out of reach够得到/够不着 reach sb’s understanding 使某人明白 41feed常用短语

feed sth.to sb/feed sb.on sth.用……喂养……

be fed up of…/ be tired of…/ be bored with… 对……感到厌倦 feed on以……为食 42mercy常用短语 without mercy残忍地

have mercy on /upon 对……表示怜悯 at the mercy of任凭摆布 beg for mercy 乞求饶恕 43 exist常用短语

exist in/lie in/consist in存在于…… in existence 现存的

come into existence/ come into being 形成 44 opinion常用短语

in one’s opinion =in the opinion of sb.在某人看来

have a high/ low opinion of 对……评价高/低 give one’s opinion on 对……谈自己的看法 45 persuade常用短语 persuade sb.to do = persuade sb.into doing

说服某人做某事

try to persuade sb.to do 试图说服某人做某事 persuade sb.to sth.说服某人同意某事 46 engage 常用短语 be engaged to sb.与某人订婚

be engaged in sth.= be engaged doing sth.忙于……, 从事某事 47wide 与broad 的区别

它们均可以表“宽”和“广阔的” a river 50 feet wide/ broad 指身体部位“宽肩、宽背”一般用broad, 表示 “睁大眼睛、张大嘴巴”一般用wide。broad shoulders/ back with wide eyes

open one’s mouth wide

wide 还可以作副词，表示“完全、大大地” be wide awake be wide open 48 sure常用短语 be sure of/about 对……由把握 be sure to do sth.肯定会……

make sure + that-clause 务必……,一定要…… make sure of… 弄清楚……

experience 常用短语 have experience in… 在……有经验

be experienced in… 在……有经验 50 pain 常用短语 take great pains to do 努力做某事

spare no pains to do 全力以赴做某事 51 stick 常用短语 stick to sth.坚持…… stick …on… 粘贴…… be stuck in … 陷进…… stick no bills 请勿张贴

spare 常用短语 spare money/time for 省出钱…，腾出时间 in one’s spare time 在某人业余时间 spare no efforts to do 不遗余力去做

don’t spare the opinions 不要保留意见

put down的不同含义

put down(one’s knife and fork)放下……pit down the rebellion 镇压

put down what sb.says 记下，写下

take up 的不同含义 take up a hobby 培养……

take up football 开始……

take up the work 继续……

take up…time/space 消耗,占据…… take up a post 就职

take up a song/ cry 跟着一起…… 55 habit 常用短语 form/get the habit of 养成……习惯

be in/have the habit of 有…….习惯

get into the habit of 沾染了……恶习get rid of the habit= grow out of the habit= break away from the habit

2019高考数学总结归纳 篇4

一、静电场：

静电场：概念、规律特别多，注意理解及各规律的适用条件；电荷守恒定律，库仑定律

1.电荷守恒定律：元电荷

2.库仑定律：

条件：真空中、点电荷；静电力常量k=9×109Nm2/C2

三个自由点电荷的平衡问题：“三点共线，两同夹异，两大夹小”

中间电荷量较小且靠近两边中电量较小的；

常见电场的电场线分布熟记，特别是孤立正、负电荷,等量同种、异种电荷连线上及中垂线上的场强分布,电场线的特点及作用.3.力的特性(E)：只要有电荷存在周围就存在电场，电场中某位置场强：

（定义式）（真空点电荷）

（匀强电场E、d共线）

4.两点间的电势差：U、UAB：(有无下标的区别)

静电力做功U是(电能其它形式的能)

电动势E是(其它形式的能电能)

＝－UBA＝－（UB－UA）与零势点选取无关)

电场力功W=qu=qEd=F电SE

(与路径无关)

5.某点电势描述电场能的特性：(相对零势点而言)

理解电场线概念、特点；常见电场的电场线分布要求熟记，特别是等量同种、异种电荷连线上及中垂线上的场强特点和规律

6.等势面(线)的特点，处于静电平衡导体是个等势体,其表面是个等势面,导体外表面附近的电场线垂直于导体表面(距导体远近不同的等势面的特点?)，导体内部合场强为零,导体内部没有净电荷,净电荷只分布于导体外表面；表面曲率大的地方等势面越密,E越大,称为尖端放电。应用：静电感应，静电屏蔽

7.电场概念题思路：电场力的方向电场力做功电势能的变化(这些问题是电学基础)

8.电容器的两种情况分析

始终与电源相连U不变；当d增C减Q=CU减E=U/d减

仅变s时，E不变。

充电后断电源q不变:当d增c减u=q/c增E=u/d=不变,仅变d时,E不变；

9带电粒子在电场中的运动qU=mv2；侧移y=，偏角tgф=

①

加速

②偏转(类平抛)平行E方向：L=vot

竖直：

tg=(θ为速度方向与水平方向夹角)

速度：Vx=V0

Vy

=at

（为速度与水平方向夹角）

位移：Sx=

V0

t

Sy

=

（为位移与水平方向的夹角）

③圆周运动

④在周期性变化电场作用下的运动

结论：

①不论带电粒子的m、q如何，在同一电场中由静止加速后，再进入同一偏转电场，它们飞出时的侧移和偏转角是相同的(即它们的运动轨迹相同)

②出场速度的反向延长线跟入射速度相交于O点，粒子好象从中心点射出一样

(即)

证：

(的含义?)

二、恒定电流：

I=(定义)

I=nesv(微观)

I=

R=(定义)

电阻定律：R=(决定)

部分电路欧姆定律：

U=IR

闭合电路欧姆定律：I

=

路端电压：

U

=

e

－I

r=

IR

输出功率：

=

Iε－Ir

=

电源热功率：

电源效率：

=

=

电功：

W＝QU＝UIt＝I2Rt＝U2t/R

电功率P=＝W/t

=UI＝U2/R＝I2R

电热：Q＝I2Rt

对于纯电阻电路：

W=IUt=

P=IU

=

对于非纯电阻电路：

W=IUt

P=IU>

E=I(R+r)=u外+u内=u外+Ir

P电源=uIt=

+E其它

P电源=IE=I

U

+I2Rt

单位：J

ev=1.9×10-19J

度=kwh=3.6×106J

1u=931.5Mev

电路中串并联的特点和规律应相当熟悉

1、联电路和并联电路的特点（见下表）：

串联电路

并联电路

两个基本特点

电压

U=U1+U2+U3+……

U=U1=U2=U3=……

电流

I=I1=I2=I3=……

I=I1+I2+I3+……

三个重要性质

电阻

R=R1+R2+R3+……

1/R=1/R1+1/R2+1/R3+……

R=

电压

U/R=U1/R1=U2/R2=U3/R3=……=I

IR=I1R1=I2R2=I3R3=……=U

功率

P/R=P1/R1=P2/R2=P3/R3=……=I2

PR=P1R1=P2R2=P3R3=……=U22、记住结论：①并联电路的总电阻小于任何一条支路的电阻；②当电路中的任何一个电阻的阻值增大时，电路的总电阻增大，反之则减小。

3、电路简化原则和方法

①原则：a、无电流的支路除去；b、电势相等的各点合并；c、理想导线可任意长短；d、理想电流表电阻为零，理想电压表电阻为无穷大；e、电压稳定时电容器可认为断路

②方法：a、电流分支法：先将各节点用字母标上，判定各支路元件的电流方向（若无电流可假设在总电路两端加上电压后判定），按电流流向，自左向右将各元件，结点，分支逐一画出，加工整理即可；b、等势点排列法：标出节点字母，判断出各结点电势的高低（电路无电压时可先假设在总电路两端加上电压），将各节点按电势高低自左向右排列，再将各节点间的支路画出，然后加工整理即可。注意以上两种方法应结合使用。

4、滑动变阻器的几种连接方式

a、限流连接：如图，变阻器与负载元件串联，电路中总电压为U，此时负载Rx的电压调节范围红为，其中Rp起分压作用，一般称为限流电阻，滑线变阻器的连接称为限流连接。

b、分压连接：如图，变阻器一部分与负载并联，当滑片滑动时，两部分电阻丝的长度发生变化，对应电阻也发生变化，根据串联电阻的分压原理，其中UAP=，当滑片P自A端向B端滑动时，负载上的电压范围为0~U，显然比限流时调节范围大，R起分压作用，滑动变阻器称为分压器，此连接方式为分压连接。

一般说来，当滑动变阻器的阻值范围比用电器的电阻小得多时，做分压器使用好；反之做限流器使用好。

5、含电容器的电路：分析此问题的关键是找出稳定后，电容器两端的电压。

6、电路故障分析：电路不能正常工作，就是发生了故障，要求掌握断路、短路造成的故障分析。

路端电压随电流的变化图线中注意坐标原点是否都从零开始

电路动态变化分析(高考的热点)各灯、表的变化情况

1程序法:局部变化R总I总先讨论电路中不变部分(如:r)最后讨论变化部分

局部变化再讨论其它

2直观法:

①任一个R增必引起通过该电阻的电流减小,其两端电压UR增加.(本身电流、电压)

②任一个R增必引起与之并联支路电流I并增加；

与之串联支路电压U串减小（称串反并同法）

当R=r时，电源输出功率最大为Pmax=E2/4r而效率只有50%，路端电压跟负载的关系

(1)路端电压：外电路的电势降落，也就是外电路两端的电压，通常叫做路端电压。

(2)路端电压跟负载的关系

当外电阻增大时，电流减小，路端电压增大；当外电阻减小时，电流增大，路端电压减小。

U

U

r＝0

I

O

E

U内＝I1r

U＝I1R

定性分析：R↑→I(＝)↓→Ir↓→U(＝E－Ir)↑

R↓→I(＝)↑→Ir↑→U(＝E－Ir)↓

∞

特例：

0

0

外电路断路：R↑→I↓→Ir↓→U＝E。

0

外电路短路：R↓→I(＝)↑→Ir(＝E)↑→U＝0。

图象描述：路端电压U与电流I的关系图象是一条向下倾斜的直线。U—I图象如图所示。

直线与纵轴的交点表示电源的电动势E，直线的斜率的绝对值表示电源的内阻。

闭合电路中的功率

(1)闭合电路中的能量转化qE＝qU外＋qU内

在某段时间内，电能提供的电能等于内、外电路消耗的电能的总和。

电源的电动势又可理解为在电源内部移送1C电量时，电源提供的电能。

(2)闭合电路中的功率：EI＝U外I＋U内I

EI＝I2R＋I2r

说明电源提供的电能只有一部分消耗在外电路上,转化为其他形式的能,另一部分消耗在内阻上,转化为内能。

(3)电源提供的电功率：又称之为电源的总功率。P＝EI＝

R↑→P↓，R→∞时，P＝0。

R↓→P↑，R→0时，Pm＝。

(4)外电路消耗的电功率：又称之为电源的输出功率。P＝U外I

定性分析：I＝

U外＝E－Ir＝

从这两个式子可知，R很大或R很小时，电源的输出功率均不是最大。

P

R

O

U

I

O

R1

r

R2

R＝r

E

E/r

E/2r

E/2

定量分析：P外＝U外I＝＝(当R＝r时,电源的输出功率为最大，P外max＝)

图象表述：

从P－R图象中可知，当电源的输出功率小于最大输出功率时，对应有两个外电阻R1、R2时电源的输出功率相等。可以证明，R1、R2和r必须满足：r＝。

(5)内电路消耗的电功率：是指电源内电阻发热的功率。

P内＝U内I＝

R↑→P内↓，R↓→P内↑。

(6)电源的效率：电源的输出功率与总功率的比值。η＝＝

当外电阻R越大时，电源的效率越高。当电源的输出功率最大时，η＝50%。

电学实验

---测电动势和内阻

(1)直接法：外电路断开时，用电压表测得的电压U为电动势E

;U=E

(2)通用方法：AV法测要考虑表本身的电阻,有内外接法；

①单一组数据计算，误差较大

②应该测出多组(u，I)值，最后算出平均值

③作图法处理数据，(u，I)值列表，在u--I图中描点，最后由u--I图线求出较精确的E和r。

(3)特殊方法

（一）即计算法：画出各种电路图

(一个电流表和两个定值电阻)

(一个电流表及一个电压表和一个滑动变阻器)

(一个电压表和两个定值电阻)

（二）测电源电动势ε和内阻r有甲、乙两种接法，如图

甲法中所测得ε和r都比真实值小，ε/r测=ε测/r真；

乙法中，ε测=ε真，且r测=

r+rA。

（三）电源电动势ε也可用两阻值不同的电压表A、B测定，单独使用A表时，读数是UA，单独使用B表时，读数是UB，用A、B两表测量时，读数是U，则ε=UAUB/（UA－U）。

电阻的测量

AV法测：要考虑表本身的电阻,有内外接法；多组(u，I)值，列表由u--I图线求。怎样用作图法处理数据

欧姆表测：测量原理

两表笔短接后,调节Ro使电表指针满偏，得

Ig＝E/(r+Rg+Ro)

接入被测电阻Rx后通过电表的电流为

Ix＝E/(r+Rg+Ro+Rx)＝E/(R中+Rx)

由于Ix与Rx对应，因此可指示被测电阻大小

G

R2

S2

R1

S1

R1

S

V

R2

使用方法:机械调零、选择量程(大到小)、欧姆调零、测量读数时注意挡位(即倍率)、拨off挡。

注意:测量电阻时，要与原电路断开,选择量程使指针在中央附近,每次换挡要重新短接欧姆调零。

电桥法测：

半偏法测表电阻：

断s2,调R1使表满偏;

闭s2,调R2使表半偏.则R表=R2；

一、测量电路（内、外接法)

记忆决调

“内”字里面有一个“大”字

类型

电路图

R测与R真比较

条件

计算比较法

己知Rv、RA及Rx大致值时

内

A

V

R大

R测==RX+RA

RX

适于测大电阻

Rx

外

A

V

R小

R测=

适于测小电阻

RX

当Rv、RA及Rx末知时，采用实验判断法：

动端与a接时(I1；u1)，I有较大变化（即）说明v有较大电流通过，采用内接法

动端与c接时(I2；u2)，u有较大变化（即）说明A有较强的分压作用，采用内接法

测量电路（内、外接法)选择方法有（三）

①Rx与

Rv、RA粗略比较

②

计算比较法

Rx

与

比较

③当Rv、RA及Rx末知时，采用实验判断法：

二、供电电路（限流式、调压式)

电路图

电压变化范围

电流变化范围

优势

选择方法

限流

～E

～

电路简单

附加功耗小

Rx比较小、R滑

比较大，R滑全>n倍的Rx

通电前调到最大

调压

0～E

0～

电压变化范围大

要求电压

从0开始变化

Rx比较大、R滑

比较小

R滑全>Rx/2

通电前调到最小

以“供电电路”来控制“测量电路”：采用以小控大的原则

电路由测量电路和供电电路两部分组成,其组合以减小误差,调整处理数据两方便

R滑唯一：比较R滑与Rx

控制电路

Rx

Rx

限流方式

分压接法

R滑≈Rx两种均可，从节能角度选限流

R滑不唯一：实难要求确定控制电路R滑

实难要求：①负载两端电压变化范围大。

②负载两端电压要求从0开始变化。

③电表量程较小而电源电动势较大。

有以上3种要求都采用调压供电。

无特殊要求都采用限流供电

三、选实验试材(仪表)和电路,按题设实验要求组装电路,画出电路图,能把实物接成实验电路,精心按排操作步骤,过程中需要测?物理量,结果表达式中各符号的含义.(1)选量程的原则：测u

I,指针超过1/2，测电阻刻度应在中心附近.(2)方法:

先画电路图,各元件的连接方式(先串再并的连线顺序)

明确表的量程,画线连接各元件,铅笔先画,查实无误后,用钢笔填,先画主电路,正极开始按顺序以单线连接方式将主电路元件依次串联,后把并联无件并上.(3)注意事项：表的量程选对,正负极不能接错；导线应接在接线柱上,且不能分叉；不能用铅笔画

用伏安法测小电珠的伏安特性曲线：测量电路用外接法，供电电路用调压供电。

(4)实物图连线技术

无论是分压接法还是限流接法都应该先把伏安法部分接好；即：先接好主电路(供电电路).对限流电路，只需用笔画线当作导线，从电源正极开始，把电源、电键、滑动变阻器、伏安法四部分依次串联起来即可(注意电表的正负接线柱和量程,滑动变阻器应调到阻值最大处)。

对分压电路，应该先把电源、电键和滑动变阻器的全部电阻丝三部分用导线连接起来，然后在滑动变阻器电阻丝两端之中任选一个接头，比较该接头和滑动触头两点的电势高低，根据伏安法部分电表正负接线柱的情况，将伏安法部分接入该两点间。

实物连线的总思路

分压（滑动变阻器的下两个接线柱一定连在电源和电键的两端）

画出电路图→连滑动变阻器→

限流（一般连上一接线柱和下一接线柱）

（两种情况合上电键前都要注意滑片的正确位

电表的正负接线柱

→连接总回路：

总开关一定接在干路中

导线不能交叉

微安表改装成各种表：关健在于原理

首先要知：微安表的内阻、满偏电流、满偏电压。

采用半偏法先测出表的内阻；最后要对改装表进行较对。

(1)改为V表：串联电阻分压原理

(n为量程的扩大倍数)

(2)改为A表：串联电阻分流原理

(n为量程的扩大倍数)

(3)改为欧姆表的原理

两表笔短接后,调节Ro使电表指针满偏，得

Ig＝E/(r+Rg+Ro)

接入被测电阻Rx后通过电表的电流为

Ix＝E/(r+Rg+Ro+Rx)＝E/(R中+Rx)

由于Ix与Rx对应，因此可指示被测电阻大小

四、磁场

基本特性,来源,方向(小磁针静止时极的指向,磁感线的切线方向,外部(NS)内部(SN)组成闭合曲线

要熟悉五种典型磁场的磁感线空间分布（正确分析解答问题的关健）

脑中要有各种磁源产生的磁感线的立体空间分布观念；会从不同的角度看、画、识

各种磁感线分布图

能够将磁感线分布的立体、空间图转化成不同方向的平面图（正视、符视、侧视、剖视图）

安培右手定则：电产生磁

安培分子电流假说，磁产生的实质(磁现象电本质)奥斯特和罗兰实验

安培左手定则(与力有关)

磁通量概念一定要指明“是哪一个面积的、方向如何”且是双向标量

F安=B

I

L

f洛=q

B

v

建立电流的微观图景(物理模型)

从安培力F=ILBsinθ和I=neSv推出f=qvBsinθ。

典型的比值定义

(E=

E=k)

(B=

B=k)

(u=)

（R=

R=)

(C=

C=)

磁感强度B：由这些公式写出B单位，单位公式

B=

;

B=

;

E=BLv

B=；

B=k（直导体）

；B=NI（螺线管）

qBv

=

m

R

=

B

=

;

电学中的三个力：F电=q

E

=q

F安=B

I

L

f洛=

q

B

v

注意：①、B⊥L时，f洛最大，f洛=

q

B

v

（f、B、v三者方向两两垂直且力f方向时刻与速度v垂直）导致粒子做匀速圆周运动。

②、B

||

v时，f洛=0

做匀速直线运动。

③、B与v成夹角时，（带电粒子沿一般方向射入磁场），可把v分解为（垂直B分量v⊥，此方向匀速圆周运动；平行B分量v||，此方向匀速直线运动。）

合运动为等距螺旋线运动。

带电粒子在磁场中圆周运动（关健是画出运动轨迹图,画图应规范）。

规律：

(不能直接用)

1、找圆心：①(圆心的确定)因f洛一定指向圆心，f洛⊥v任意两个f洛方向的指向交点为圆心；

②任意一弦的中垂线一定过圆心；

③两速度方向夹角的角平分线一定过圆心。

2、求半径(两个方面)：①物理规律

②由轨迹图得出几何关系方程

（解题时应突出这两条方程)

几何关系：速度的偏向角=偏转圆弧所对应的圆心角(回旋角)=2倍的弦切角

相对的弦切角相等，相邻弦切角互补

由轨迹画及几何关系式列出：关于半径的几何关系式去求。

3、求粒子的运动时间：偏向角（圆心角、回旋角）=2倍的弦切角，即=2

×T4、圆周运动有关的对称规律：特别注意在文字中隐含着的临界条件

a、从同一边界射入的粒子，又从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等。

b、在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，一定沿径向射出。

初中数学归纳总结儿歌 篇5

各校初三中考第一轮复习如火如荼，通过对教学情况调查，教师在课堂教学中存在着以下问题：花费大量时间在知识结构表中纠缠不清；对知识点的复习的呈现练习未能贴合学生实际；复习的工作未能面向大多数学生，中下生与层次较好学生未能兼顾；对有关的基础知识的复习落实不到位，对解题规律的总结以及提高分析能力欠缺等等。

通过总复习，使学生掌握的知识和技能系统化、条理化，进一步提高综合运用双基知识、分析和解题的能力；通过综合题，使学生进一步熟练掌握知识，开发智力，形成能力，得到升华。要达到这样的目标，教师必须进行有效的复习课教学策略探索，通过在内容整合、学生学案设计、课堂教学方法等方面实践探索，从关注内容设计，关注课堂教学，关注题型的归纳和思想的提炼，逐步掌握思维方法与形成解题技能等提高复习课的效益。

(一)内容整合策略

对于围绕重要概念构建而成的系统知识，学生可以在理解的基础上掌握、保持并且在实践中进行应用。技能学习也是如此，倘若教师能依从一定的教学目的和条件进行适宜性的教学，学生将会比较容易地掌握技能并能有效地应用。所以教师需努力引导学生理清所学知识的结构及其相互联系，形成连贯一致的内容。强调教学内容的一致性，目的在于使学生获得有效学习和应用知识的有益体验。

(二)教学设计策略

教学设计的预设成功与否决定着复习的有效性。用题目覆盖知识点，以局部训练为主要形式的题目体系组成教学内容是教学设计的重点，对教学内容的提炼与整合来实施高效益教学是教学设计的核心。正确地选择学科基本技能训练的内容和途径是提高课内技能训练有效性唯一的可行的策略，为此，需注意：

1.目标明确且准确，分层设标，分类推进

抓住主干，针对学生实际、始终抓住复习内容的重点复习。一方面，设计按照课标要求，保证学生基础知识和基本技能的获得与一定的训练，以基础题为主体而不片面追求解题的难度、技巧和速度。另一方面，考虑到学生发展的差异和不平衡性，题组的选择与编排设计体现一定的弹性和梯度，突出层次性，满足学生的不同需求，使全体学生都能得到相应的发展；采取分层设标，分类推进的办法，即根据学生的具体水平分为若干层次，要求学生分层达标。

2.采用学案形式教学

学案的使用与否与教学质量的高低有直接的联系，学案的使用对课堂教学的成功与否也有直接的联系，当然不排除教师本身的因素。对于使用学案的学校，其学案设计的质量如何很大程度直接影响到使用效果。调研发现使用学案形式教学的学校教学效果良好，复习时采用学案的形式，保证课内训练的有效性。设计侧重于知识体系和基本技能的复习，对应于所有知识点，设计相应的基础练习题，尽量不遗漏。其中练习题设置的难度在教材的中等例题以下，每一节知识点的复习回顾尽量结合题目，对一些重点且较难的知识点，设计成局部，让学生再次经历知识的形成过程，以填空的形式让学生独立完成。通过为学生提供科学的训练内容、及时的训练反馈、足够的时间以及为学生尽量完成课内批改，从而达到淡化形式、注重实质，体现复习有效性。通过调研发现设计编写模式大致如下：

①知识结构：因为人的认知规律遵循“整体（局部模糊）——局部——整体（局部精细）的认知规律，知识的产生以及熟练也大致如此，所以可用图表的形式罗列本单元的知识点，目的在于让学生了解所要复习的知识结构，但在课堂教学中不宜花时间在此纠缠，可快速扫描或者课前自行阅读。

②知识点回顾：通过填空的形式让学生独立地回忆每个知识点，即把知识点设计成为题

目的形式显性化，并且注意是直接的显示，没有任何的变形，或者通过例题来达到回忆的目的。

③基础达标练习（Ａ层）：主要以选择题和填空题为主，以便教师能在课内批改、反馈，注意控制题量和难度，尽量能在一节课内完成。

④能力提高训练（Ｂ、Ｃ层）：这是一种对学有余力的学生进行思维拓展训练，数量不宜多。

(三)全面复习基础知识，加强基本技能训练

这个阶段的复习目的是让学生全面掌握初中数学基础知识，提高基本技能，做到全面、扎实、系统，形成知识网络。做到如下几点:

1.重视课本，系统复习(按知识块组织复习)

以课本为主，绝不能脱离课本，应把书中的内容进行归纳整理，使之形成体系； 搞清课本上的每一个概念、公式、法则、性质、公理、定理； 抓住基本题型，记住常用公式，理解来龙去脉对经常使用的数学公式，要进一步了解其推理过程，并对推导过程中产生的一些可能变化进行探究．使学生更好地掌握公式，胜过做大量习题，而且往往会有意想不到的效果。

2.夯实基础，学会思考

数学中考试题中，基础分值占的最多。因此，初三数学复习教学中，必须扎扎实实地夯实基础，使每个学生对初中数学知识都能达到“理解”和“掌握”的要求；在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速。

让学生学会思考是从根本上提高成绩，解决问题的良方，这里讲的不是“教会学生思考”，而是“让学生学会思考”。会思考是要学生自己“悟”出来，自己“学”出来的，教师能教的，是思考问题的方法和策略，然后让学生用学到的方法和策略，在解决具有新情境问题的过程中，感悟出如何进行正确的思考。

3.强调通法，淡化技巧，数学基本方法过关

中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学方法的考查，如待定系数法，求交点，配方法，换元法等操作性较强的数学方法。在复习时应对每一种方法的内涵，它所适应的题型，包括解题步骤都应熟练掌握。

4.重视对数学思想理解及运用的渗透

要对数学思想有目的，有机会的渗透，不可能全到第二轮复习中才讲。如告诉了自变量与因变量，要求写出函数解析式，或者用函数解析式去求交点等问题，都需用到函数的思想，教师要让学生加深对这一思想的深刻理解，多做一些相关内容的题目。再如方程思想，它是利用已知量与未知量之间联系和制约的关系，通过建立方程把未知量转化为已知量；再如数形结合的思想。

5.教师必须明确方向

突出重点，对中考“考什么”、“怎样考”应了若指掌，总复习能否取得较佳的效果，是要看教师对《课标》、《考试说明》理解是否深透，研究是否深入，把握是否到位，对于删去的内容就不要再花时间复习了，对于调整的内容按调整后的要求进行复习。

6.培养学生兴趣

要发挥学生主体地位作用，教会学生掌握复习策略（如做题，看书，独立思考，反思的好习惯），提高复习效果，让学生参与解题活动，参与教学过程。一些具体的做法： ⑴每天表扬一个学生；⑵在试卷上与学生谈心 ；⑶练时难，考时易。

7.重视复习课中的典型的例题的讲解

例题不是习题。通过例题让学生掌握学习方法，对例、习题能举一反三，触类旁通，变条件、变结论、变图形、变式子、变表达方式等。习题最好来源于课本，对课本上题目进

行演变，如适当改变题目的条件，改变题目的问法，看看会得出什么结果，这就是“变式训练”；运用一题多拓，培养思维的深刻性;引导一题多变，深化思维的灵活性;提倡一题多解，提高思维的独创性。

8.课堂容量

提倡增大课堂复习容量，不是追求面面俱到，而是重点内容得用多时间，非重点内容敢于取舍，集中精力解决学生困惑的问题，增大思维容量，少做无用功，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展。

不能让学生过早地做综合练习题及中考模拟题，而应以课本的编排体系为主线进行系统复习．选题要难度适宜，举一反三，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法。

(四)一轮复习时的几点误区

1.复习无计划，效率低，体现在重点不准，详略不当，对大纲和教材的上下限把握不准．

2.复习不扎实，漏洞多，体现在：

⑴高档题难度太大，扔掉了大块的基础知识；

⑵复习速度过快，学生心中无底；

⑶要求过松，对学生有要求无落实，大量的复习资料，只布置不批改。

3.解题不少，能力不高，表现在：

⑴以题论题，满足于解题后对一下答案，忽视解题规律的总结。

⑵题目无序，没有循序渐进。

2019高考数学总结归纳 篇6

一、选择题

1.设l, m是两条不同的直线, α是一个平面, 则下列命题正确的是 ( ) .

(A) 若l⊥m, m⊂α, 则l⊥α

(B) 若l⊥α, l//m, 则m⊥α

(C) 若l//α, m⊂α, 则l//m

(D) 若l//α, m//α, 则l//m

2.在下列命题中, 错误的是 ( ) .

(A) 如果两个平面有三个不共线的公共点, 那么这两个平面重合

(B) 如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线平行

(C) 如果两条直线都与第三条直线垂直, 那么这两条直线垂直

(D) 如果两个平行平面同时与第三个平面相交, 那么他们的交线平行

3.已知正四棱锥S-ABCD中, $SA=2\sqrt{3}$, 那么, 当该棱锥的体积最大时, 它的高为 ( ) .

$(\text{A})1(\text{B})\sqrt{3}(\text{C})2(\text{D})3$

4. (理) 过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l, 使l与棱AB, AD, AA1所成的角都相等, 这样的直线l可以作 ( ) .

(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条

(文) 一个几何体的三视图如图1所示, 该几何体的表面积是 ( ) .

(A) 372 (B) 360 (C) 292 (D) 280

5.如图2, 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 动点E, F在棱A1B1上, 点Q是CD的中点, 动点P在棱AD上, 若EF=1, DP=x, A1E=y, 其中x, y大于零, 则三棱锥P-EFQ的体积 ( ) .

(A) 与x, y都有关

(B) 与x, y都无关

(C) 与x有关, 与y无关

(D) 与y有关, 与x无关

6.如果四棱锥的四条侧棱都相等, 就称它为“等腰四棱锥”, 四条侧棱称为它的腰, 以下4个命题中, 假命题是 ( ) .

(A) 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

(B) 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

(C) 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

(D) 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

二、填空题

7.在三棱锥O-ABC中, OA, OB, OC两两互相垂直, 且OA=1, OB=OC=2, 则该三棱锥的外接球的体积为____.

8.如图3, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=AD=2AA1=4, 点O是底面ABCD的中心, 点E是A1D1的中点, 点P是底面ABCD上的动点, 且到直线OE的距离等于1.设点P的轨迹为L, 则L的离心率等于____.

三、解答题

9.如图4, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是边长为a的正方形, E, F分别是PC, DB的中点, 侧面PAD⊥底面ABCD, 且${\rm P}A={\rm P}D=\frac{\sqrt{2}}{2}AD.$

(Ⅰ) 求证:EF//平面PAD;

(Ⅱ) 求EF与底面ABCD所成的角的大小.

10. (理) 如图5, 圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1, 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形, AB是圆O的直径, 且AB=AA1, 在圆柱OO1内随机选取一点, 记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为p.

(Ⅰ) 当点C在圆周上运动时, 求p的最大值;

(Ⅱ) 记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ (0°<θ≤90°) , 当p取最大值时, 求cosθ的值.

(文) 如图6, 四棱锥P-ABCD, △PAB≌△CBA, 在它的俯视图ABCD中, BC=CD, AD=1, ∠BCD=∠BAD=60°.

(Ⅰ) 求证:△PBC是直角三角形;

(Ⅱ) 求四棱锥P-ABCD的体积.

11.如图7, 在多面体ABCDEF中, 四边形ABCD是正方形, AB=2EF=2, EF//AB, EF⊥FB, ∠BFC=90°, BF=FC, G, H分别为DC, BC的中点.

(Ⅰ) 求证:平面FGH//平面BDE;

(Ⅱ) 求证:平面ACF⊥平面BDE;

(Ⅲ) (理) 求异面直线AF与CD所成的角的余弦值.

(文) 求四面体B—DEF的体积.

12. (理) 如图$8‚\stackrel{⌢}{AEC}$是半径为a的半圆, AC为直径, 点E为$\stackrel{⌢}{AC}$的中点, 点B和点C为线段AD的三等分点, 平面AEC外一点F满足$FB=FD=\sqrt{5}a‚FE=\sqrt{6}a.$

(Ⅰ) 证明:EB⊥FD;

(Ⅱ) 已知点Q, R为线段FE, EB上的点, $FQ=\frac{2}{3}FE‚FR=\frac{2}{3}FB$, 求平面BED与平面RQD所成的二面角的正弦值.

(文) 如图$9‚\stackrel{⌢}{AEC}$是半径为a的半圆, AC为直径, 点E为$\stackrel{⌢}{AC}$的中点, 点B和点C为线段AD的三等分点, 平面AEC外一点F满足FC⊥平面$BED‚FB=\sqrt{5}a.$

(Ⅰ) 证明:EB⊥FD;

(Ⅱ) 求点B到平面FED的距离.

参考答案

1.B.构造如图1所示的正方体, 取平面ABCD为α, 直线AB为m,

直线BC1为l, 则选项A错;取AA1为l, 当l//m时, 必有m⊥α, 则B正确;取直线A1B1为l, AC为m, 则C错;取直线A1B1为l, A1D1为m, 则D错.

【易错分析】构造正方体考虑这类问题时, 需注意选择的多样性, 如在选项A中, 若选择AA1为l时, A也正确, 正因为选项A可能正确, 也可能不正确, 则不能说其正确, 对于C, D也如此.

2.C.两条直线都与第三条直线垂直, 那么这两条直线可能相交、平行或异面.

【易错分析】构造“长方体或正方体模型”是判断空间中线面位置关系的利器, 但并不是万能的, 如本题, 若用“正方体模型”解答, 则较为麻烦.

3.C.设正四棱锥的高OS=h, 则

令V′S-ABCD=0, 得h=2, 当0<h<2时, V′S-ABCD>0, VS-ABCD单调递增, 当$2<h<2\sqrt{3}$时, V′S-ABCD<0, VS-ABCD单调递减,

∴当h=2时, $(V{}_{S-ABCD}){}_{\max }=\frac{32}{3}.$

【易错分析】本题也可设AB=a, 用导数求其最值, 再求四棱锥的高, 但运算量稍大, 容易出错.

4. (理) D.如图2, 在正方体的内部, 有直线AC1满足题意, 在正方体的外部也存在3条直线l满足题意, 故共有4条直线l满足题意.

【易错分析】本题易由于思维的局限性, 而错选A, 其实由对称不难推出:满足题意的直线有4条.

(文) B.该几何体由两个长方体组合而成, 将上面的长方体的上表面移到下面的长方体, 则其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和.∴ S=2 (10×8+10×2+8×2) +2 (6×8+8×2) =360.

【易错分析】本题易错点有:一是不能想象该几何体的构成, 二是不能将上面的长方体的上表面转移到下面的长方体上, 简化所求表面积的计算, 加大计算次数而产生错误.

5.C.连结A1D, 作PM⊥A1D于点M, 由DC⊥平面ADD1A1, PM⊂平面ADD1A1, 得PM⊥DC, A1D∩DC=D, 所以PM⊥平面A1DCB1, 即PM⊥平面EQF.又

$\begin{array}{l}{\rm P}{\rm M}=\frac{x}{\sqrt{2}},S{}_{△EQF}=\frac{1}{2}\cdot EF\cdot A{}_{1}D=\frac{1}{2}\times 1\times 2\sqrt[]{2}=\sqrt{2},\\ \therefore V{}_{{\rm P}-EFQ}=\frac{1}{3}\cdot S{}_{△E{\rm O}F}\cdot {\rm P}{\rm M}=\frac{x}{3}.\end{array}$

【易错分析】由于三棱锥的四个顶点均为动点, 易误认为其体积与x, y都有关而错选A, 另外, 若不能将平面EQF扩展为平面A1DCB1, 则难于计算△EQF的面积及点P到平面EOF的距离.

6.B.由等腰四棱锥的定义知, 设SABCD为等腰四棱锥, O为顶点S在底面内的射影, 侧棱长为l, 高SO=h, 则${\rm O}A={\rm O}B={\rm O}C={\rm O}D=\sqrt{l{}^2-h{}^2}$, 因此可将等腰四棱锥通过补体补成一个圆柱, 如图3, 连结上下底面的中心得到等腰四棱锥的高, 进而可以证得A和C正确;对于D, 我们可在高所在的直线上找到一个点 (位置由高和腰的大小关系确定) , 使之到各顶点的距离相等, 因此等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上;而等腰四棱锥的底面未确定, 所以侧面底边上的高不能确定, 从而侧面与底面所成的角不能确定.

【易错分析】读不懂题中提供的信息, 即不清楚“等腰四棱锥”的定义是什么, 不知道该如何下手去做, 对相应的判断也失去了意识, 最后胡乱选择一个了事.

$7.\frac{9}{2}\text{π}$.把三棱锥放置于如图4所示的长方体中, 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球, 由直径等于对角线的长, 得

$\begin{array}{l}2R=\sqrt{{\rm O}A{}^2+{\rm O}B{}^2+{\rm O}C{}^2}\\ =\sqrt{1{}^2+2{}^2+2{}^2}=3‚\\ \therefore R=\frac{3}{2}‚\text{于}\text{是}\text{所}\text{求}\text{的}\text{体}\text{积}\text{为}\end{array}$

$V=\frac{4}{3}\times \text{π}\times (\frac{3}{2}){}^3=\frac{9}{2}\text{π}.$

【易错分析】本题若直接计算, 则难以确定球心的位置, 而且计算量非常大, 容易出错.

$8.\frac{\sqrt{2}}{2}$.由题意可知, 点P在以OE为轴, 半径为1的圆柱侧面上, 点P又在底面ABCD上,

∴ 点P的轨迹是平面ABCD与圆柱侧面的交线, 可算得其轴OE与平面ABCD所成的角为45°, 则点P的轨迹是椭圆, 且长半轴长$a=\sqrt{2}$, 短半轴长为b=1, 则$c{}^2=a{}^2-b{}^2=1,\therefore e=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

【易错分析】本题若不能从交线的角度考虑问题, 难以找到解题入口;在确定点P的轨迹为椭圆后, 只需求得椭圆中的a, b, c即可, 不必囿于思维定式, 而求其方程.

9.解: (Ⅰ) 如图5, 连结AC, 由底面ABCD是正方形知, AC过点F, 且F为AC的中点, 又E为PC的中点,

∴ EF//PA, EF⊄平面PAD, PA⊂平面PAD,

∴ EF//平面PAD.

(Ⅱ) 取AD的中点M, 连结PM.

由${\rm P}A={\rm P}D=\frac{\sqrt{2}}{2}AD$知, △PAD为等腰直角三角形, 且∠APD=45°, ∴ PM⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴ PM⊥平面ABCD.

∴ PA与底面ABCD所成的角为∠PAM, 且∠PAM=45°, 由 (Ⅰ) 知, EF//PA.

故EF与底面ABCD所成的角为45°.

【易错分析】 (Ⅰ) 本题也可取CD的中点N, 通过证明平面EFN//平面PAD来证明EF//平面PAD, 但过程稍繁, 容易产生表达上的漏洞. (Ⅱ) 本题易错误认为PA⊥底面ABCD, 而以点A为原点建立空间直角坐标系解答问题, 从而出错.

10. (理) 解: (Ⅰ) 设圆柱的底面半径为r, 则AB=AA1=2r, 故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为

$V{}_1=\frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot 2r=AC\cdot BC\cdot r.$

又因为AC2+BC2=AB2=4r2,

所以$AC\cdot BC\le \frac{AC{}^2+BC{}^2}{2}=2r{}^2$, 当且仅当$AC=BC=\sqrt{2}r$时等号成立, 从而V1≤2r3, 而圆柱的体积V=πr2·2r=2πr3, 故$p=\frac{V{}_1}{V}\le \frac{2r{}^3}{2\text{π}r{}^3}=\frac{1}{\text{π}}$, 当且仅当$AC=BC=\sqrt{2}r‚$即OC⊥AB时等号成立, 所以p的最大值是$\frac{1}{\text{π}}.$

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可知, p取最大值时, OC⊥AB, 于是以O为坐标原点, 建立空间直角坐标系O-xyz (如图6) , 则C (r, 0, 0) , B (0, r, 0) , B1 (0, r, 2r) .

因为BC⊥平面A1ACC1, 所以$\overrightarrow{BC}=(r,-r,0)$是平面A1ACC1的一个法向量.设平面B1OC的一个法向量为n= (x, y, z) .

由得

故

取z=1得平面B1OC的一个法向量为n= (0, -2, 1) .

因为0°<θ≤90°,

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\cos \theta =|\cos \langle \mathit{n},\overrightarrow{BC}\rangle |\\ =\left|\frac{\mathit{n}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\mathit{n}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}\right|=\left|\frac{2r}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}r}\right|=\frac{\sqrt{10}}{5}.\end{array}$

【易错分析】本题在求法向量n时, 容易产生运算上的错误, 在取法向量的过程中, 若一些平面的法向量可观察而得, 可直接写出, 如本题的平面A1ACC1的法向量$\overrightarrow{BC}$, 在取值时, 应注意运算的简便性.

(文) 解: (Ⅰ) 证明:由题图可知, 点P在底面ABCD上的投影是点A, ∴ PA⊥ABCD.

因为AB, BC⊂ABCD,

∴ PA⊥AB, PA⊥BC.

∵ △PAB≌△CBA,

∴ ∠ABC=∠BAP=90°, AB⊥BC.

因为PA∩AB=A, 所以BC⊥平面PAB,

∴ BC⊥PB, △PBC是直角三角形.

(Ⅱ) 连结BD.∵ BC=CD, ∠BCD=60°, ∴ △BCD是等边三角形, 在△ABD中, 根据多边形内角和定理计算得∠ADB=90°.

$\begin{array}{l}\text{又}\because \angle BAD=60°,\text{所}\text{以}BD=\sqrt{3}AD=\sqrt{3}‚\\ \therefore S{}_{△ABD}=\frac{\sqrt{3}}{2},S{}_{△BCD}=\frac{\sqrt{3}}{4}BD{}^2=\frac{3\sqrt[]{3}}{4},\\ \therefore S{}_{ABCD}=S{}_{△ABD}+S{}_{△BCD}=\frac{5\sqrt[]{3}}{4}.\end{array}$

又${\rm P}A=BC=BD=\sqrt{3}$,

所以, 四棱锥P-ABCD的体积

$V=\frac{1}{3}\times {\rm P}A\times S{}_{ABCD}=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times \frac{5\sqrt[]{3}}{4}=\frac{5}{4}.$

【易错分析】由俯视图看到点P在底面ABCD上的投影刚好为点A, 于是PA⊥平面ABCD, 这时问题就不难解决了.△PAB≌△CBA隐含了三组对应边及三组对应角相等, 其边角关系必须对应, 否则容易算错边长及角度.

11.解: (Ⅰ) 如图7, 设AC与BD交于点O, 连结OE, OH.由$EF//AB‚EF=\frac{1}{2}AB$, 得$EF■\frac{1}{2}AB.$

又

∴ 四边形OEFH为平行四边形, 得FH//EO,

FH⊄平面BDE, EO⊂平面BDE, 得EH//平面BDE, 而G, H分别为DC, BC的中点, 得GH//DB, GH⊄平面BDE, DB⊂平面BDE,

∴ GH//平面BDE.又∵ EH∩GH=H,

∴ 平面FGH//平面BDE.

(Ⅱ) ∵ 四边形ABCD为正方形, ∴ AC⊥BD.

∵ AB⊥BC, EF//AB, ∴ EF⊥BC.

又EF⊥FB, BF∩BC=B,

∴ EF⊥平面BCF, FH⊂平面BCF, 得EF⊥FH, 而EF//OH, 于是FH⊥OH.

又BF=FC, H是BC的中点, 得FH⊥BC,

OH∩BC=H, 得FH⊥平面ABCD, AC⊂平面ABCD, 有FH⊥AC.

由OE//HF, 得AC⊥OE, OE∩BD=O,

∴ AC⊥平面BDE, 而AC⊂平面ACF,

∴ 平面ACF⊥平面BDE.

(Ⅲ) (理) 由EF//AB//DC, 得异面直线AF与CD所成的角为∠BAF, 由题意知△BCF为等腰直角三角形, 且斜边BC=2, 得$BF=\sqrt{2}.$

又$AB\perp BF‚\therefore \tan BAF=\frac{BF}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 而$\angle BAF\in (0,\frac{\text{π}}{2}]‚\therefore \cos BAF=\frac{\sqrt{6}}{3}$, 即异面直线AF与CD所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}.$

(文) EF⊥BF, ∠BFC=90°, BF⊥平面CDEF, 则BF为四面体B—DEF的高.

$\begin{array}{l}\text{又}BC=AB=2‚BF=FC=\sqrt{2}‚\\ \therefore V{}_{B-DEF}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}=\frac{1}{3}.\end{array}$

【易错分析】若不注意选取AC与BD的交点O, 难以找到本题的解题入口, 对于 (Ⅰ) , 易出现表达上的漏洞, 如得到FH//EO与GH//DB即下结论平面FGH//平面BDE, 对于 (Ⅱ) , 若缺少转换考虑而直接证明AC⊥OE, 则不能顺利得到结论.

12. (理) 解: (Ⅰ) 证明:由题可知, 点B为圆心, 又E为AC的中点, 故EB⊥BC.

$\begin{array}{l}\text{在}△BEF\text{中}‚FB=\sqrt{5}a‚EB=r=a‚FE=\sqrt{6}a‚\\ \therefore FB{}^2+EB{}^2=FE{}^2‚\therefore FB\perp EB.\end{array}$

又∵ FB∩BC=B, BC⊂平面BDF, FB⊂平面BDF, ∴ EB⊥平面BDF.

又FD⊂平面BDF, ∴ EB⊥FD.

(Ⅱ) 过点D作DG//BE,

$\begin{array}{l}\text{易}\text{知}\text{平}\text{面}BED{\displaystyle \cap \text{平}}\text{面}RQD=DG.\\ \because FQ=\frac{2}{3}FE‚FR=\frac{2}{3}FB‚\therefore QR//EB.\end{array}$

由 (Ⅰ) 知, EB⊥平面BDF,

∴DG⊥平面BDF, ∴DG⊥DR.

又EB⊥BC, ∴ DG⊥BC, ∴ ∠BDR为平面BED与平面RQD所成二面角的平面角.

在△BDF中, $BD=2a‚FB=\sqrt{5}a‚FD=\sqrt{5}a$,

由余弦定理求得$\cos DBF=\frac{\sqrt{5}}{5}.$

$\begin{array}{l}\text{在}△BDR\text{中}‚\cos DBR=\cos DBF=\frac{\sqrt{5}}{5}‚BD=2a‚RB=\frac{1}{3}FB=\frac{\sqrt{5}a}{3}‚\\ \therefore RD=\sqrt{BD{}^2+RB{}^2-2BD\cdot RB\text{c}\text{o}\text{s}DBR}\\ =\frac{\sqrt{29}}{3}a‚\end{array}$

由正弦定理, 得$\frac{RB}{\text{s}\text{i}\text{n}BDR}=\frac{RD}{\text{s}\text{i}\text{n}DBR}$, 且$\sin DBR=\frac{2\sqrt[]{5}}{5}$, 可解得$\sin BDR=\frac{2\sqrt{29}}{29}$,

即平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为$\frac{2\sqrt{29}}{29}.$

【易错分析】本题容易找到∠BDR为平面BED与平面RQD所成二面角的平面角, 但必须加以严格说明, 将问题转化为解三角形BDR后, 容易产生计算上的混乱与错误, 在图中相应边标上其长度即可避免这种错误.

(文) 解: (Ⅰ) 证明:∵ AC为半圆的直径, 且E是$\stackrel{⌢}{AC}$的中点, ∴ BE⊥AC.

又FC⊥平面BED, BE⊂平面BED,

∴ FC⊥BE, 而AC∩FC=C, 得BE⊥平面FBD, FD⊂平面FBD, ∴ BE⊥FD.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, △FBC, △FCD, △BED, △BEF均为直角三角形,

而$BC=a‚FB=\sqrt{5}a$, 由勾股定理得FC=2a,

而CD=BC=a, 在Rt△FCD中, 得$FD=\sqrt{5}a$, 在Rt△BED中, 得$ED=\sqrt{5}a$,

在Rt△BEF中, 得$EF=\sqrt{6}a$, 于是△EFD为等腰三角形, 取EF的中点G, 则$DG\perp EF‚EG=\frac{1}{2}EF=\frac{\sqrt{6}}{2}a‚\therefore DG=\sqrt{DE{}^2-EG{}^2}=\frac{\sqrt{14}}{2}a.$

设点B到平面FED的距离为h,

由VF-BDE=VB-DEF, 得$\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{2}\cdot BE\cdot BD)\cdot CF=\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{2}\cdot EF\cdot DG)\cdot h$,

$\begin{array}{l}\text{有}a\cdot 2a\cdot 2a=\sqrt{6}a\cdot \frac{\sqrt{14}}{2}a\cdot h‚\\ \therefore 4a=\sqrt{21}h‚\text{所}\text{以}h=\frac{4\sqrt{21}}{21}a‚\end{array}$

即B到平面FED的距离为$\frac{4\sqrt{21}}{21}a.$

【易错分析】用等积法求VF-BDE与VB-DEF时, 容易产生计算上的混乱与错误, 在图中相应边标上其长度即可避免这种错误.

十、排列组合、概率与统计部分

一、选择题

1. (理) 已知随机变量X服从正态分布N (3, 1) , 且P (2≤X≤4) =0.6826, 则P (X>4) = ( ) .

(A) 0.1588 (B) 0.1587

(C) 0.1586 (D) 0.1585

(文) 在120个零件中, 一级品24个, 二级品36个, 三级品60个.用系统抽样法从中抽取容量为20的样本, 则二级品中每个个体被抽取到的概率是 ( ) .

$(\text{A})\frac{1}{6}(\text{B})\frac{1}{36}(\text{C})\frac{1}{60}(\text{D})\frac{1}{24}$

2.某单位200名职工的年龄分布情况如图1所示, 现要从中抽取40名职工作样本, 用系统抽样法, 将全体职工随机按1～200编号, 并按编号顺序平均分为40组 (1～5号, 6～10号, …, 196～200号) .若第5组抽出的号码为22, 则第8组抽出的号码应是m;若用分层抽样方法, 则40岁以下年龄段应抽取n人.那么m, n分别为 ( ) .

(A) 27, 22 (B) 32, 20

(C) 37, 20 (D) 37, 22

3. (理) 如图2, 用四种不同的颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色, 要求每个点涂一种颜色, 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色, 则不同的涂色方法有 ( ) .

(A) 288种 (B) 264种

(C) 240种 (D) 144种

(文) 在区间[0, 1]上任取两个实数a, b, 则函数$f(x)=\frac{1}{3}x{}^3+ax-b$在区间 (-1, 1) 上有且仅有一个零点的概率为 ( ) .

$(\text{A})\frac{1}{9}(\text{B})\frac{2}{9}(\text{C})\frac{7}{9}(\text{D})\frac{8}{9}$

4. (理) $(1-x){}^4(1-\sqrt{x}){}^3$的展开式中x2的系数是 ( ) .

(A) -6 (B) -3 (C) 0 (D) 3

(文) 对于任意两个正整数m, n, 定义某种运算“※”如下:当m, n都为正偶数或正奇数时, m※n=m+n;当m, n中一个为正偶数, 另一个为正奇数时, m※n=mn.在此定义下, 集合M={ (a, b) |a※b=12, a∈N*, b∈N*}中的元素个数是 ( ) .

(A) 10 (B) 15 (C) 16 (D) 18

5. (理) 设两个独立事件A, B都不发生的概率为$\frac{1}{9}$, 则A与B都发生的概率可能为 ( ) .

$(\text{A})\frac{1}{3}(\text{B})\frac{2}{3}(\text{C})\frac{5}{9}(\text{D})\frac{8}{9}$

(文) 某电脑公司有3名产品推销员, 其工作年限与年推销金额数据如下表:

由表中数据算出线性回归方程$\widehat{y}=bx+a$中的$b=\frac{7}{26}$.若第4名推销员的工作年限为6年, 则估计他的年推销金额为 ( ) .

(A) 2 (B) 3 (C) 3.3 (D) 3.5

6.甲、乙两位同学相同的5次数学测试成绩如图3所示, 设$\overline{x{}_1}$和$\overline{x{}_2}$分别表示甲、乙两位同学数学测试成绩的平均数, 设s1和s2分别表示甲、乙两位同学测试成绩的标准差, 则有 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\overline{x{}_1}=\overline{x{}_2}‚s{}_1<s{}_2(\text{B})\overline{x{}_1}=\overline{x{}_2}‚s{}_1>s{}_2\\ (\text{C})\overline{x{}_1}>\overline{x{}_2}‚s{}_1=s{}_2(\text{D})\overline{x{}_1}＜\overline{x{}_2}‚s{}_1=s{}_2\end{array}$

二、填空题

7.某市居民2005～2009年家庭年平均收入x (单位:万元) 与年平均支出Y (单位:万元) 的统计资料如下表所示:

根据统计资料, 居民家庭年平均收入的中位数是____;家庭年平均收入与年平均支出呈____线性相关关系.

8.某地有居民100000户, 其中普通家庭99000户, 高收入家庭1000户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户, 从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查, 发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房, 其中普通家庭50户, 高收入家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识, 你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是____.

9.投掷两颗骰子得到向上的点数分别记为a, b, 设函数f (x) =ax2-bx-1, 则该函数在[1, +∞) 上是增函数的概率为____.

10. (理) 甲罐中有5个红球, 2个白球和3个黑球, 乙罐中有4个红球, 3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐, 分别以A1, A2和A3表示由甲罐取出的球是红球, 白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球, 以B表示由乙罐取出的球是红球的事件, 则下列结论中正确的是____ (写出所有正确结论的编号) .

①A1, A2, A3是两两互斥的事件;②事件B与事件A1相互独立;$③{\rm P}(B|A{}_1)=\frac{5}{11}$;$④{\rm P}(B)=\frac{2}{5}.$

(文) 一个班级里, 男生占四分之一, 女生中有三分之一得过第一名, 而男生中只有十分之一得过第一名, 随机地选一位学生, 则这位学生得过第一名的概率是____.

三、解答题

11.第17届亚运会将于2014年9月18日至10月4日在韩国仁川进行, 为了搞好接待工作, 组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者, 调查发现, 男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动, 其余不喜爱.

(Ⅰ) 根据以上数据完成以下2×2列联表:

(Ⅱ) 根据列联表的独立性检验, 能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关?

(Ⅲ) (理) 从女志愿者中抽取2人参加接待工作, 若其中喜爱运动的人数为ξ, 求ξ的分布列和期望.

(文) 如果从喜欢运动的女志愿者中 (其中恰有4人会英语) , 抽取2名负责翻译工作, 则抽出的志愿者中2人都能胜任翻译工作的概率是多少?

参考公式:${\rm K}{}^2=\frac{n(ad-bc){}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$, 其中n=a+b+c+d.

参考数据:

12. (理) 如图4, 设不等式组确定的平面区域为确定的平面区域为V.

(Ⅰ) 在区域U内任取3个整点 (坐标为整数的点) , 求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率;

(Ⅱ) 在区域U内任取3个点 (不一定为“整点”) , 记这3个点在区域V的个数为X, 求X的分布列、数学期望E (X) 及方差D (X) .

(文) 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生, 将其数学成绩 (均为整数) 分成六段[40, 50) , [50, 60) , …, [90, 100]后得到如图5所示的部分频率分布直方图.观察图形的信息, 回答下列问题:

(Ⅰ) 求分数在[70, 80) 内的频率, 并补全这个频率分布直方图;

(Ⅱ) 统计方法中, 同一组数据常用该组区间的中点值作为代表, 据此估计本次考试的平均分;

(Ⅲ) 用分层抽样的方法在分数段为[60, 80) 的学生中抽取一个容量为6的样本, 将该样本看成一个总体, 从中任取2人, 求至多有1人在分数段[70, 80) 的概率.

参考答案

1. (理) B.密度曲线如图1所示, 它关于x=3对称, 则${\rm P}(3\le X\le 4)=\frac{1}{2}{\rm P}(2\le X\le 4)=0.3413‚{\rm P}(X>4)=0.5-{\rm P}(3\le X\le 4)=0.5-0.3413=0.1587.$

【易错分析】本题若囿于思维定式, 将其转化为标准正态分布问题求解, 易出错, 其实从数形结合出发, 由对称性即可求得概率P (X>4) .

(文) A.二级品中每个个体被抽到的概率等于所有零件中每个个体被抽取到的概率, 所以所求的概率为$\frac{20}{120}=\frac{1}{6}.$

【易错分析】若对系统抽样理解不到位, 易产生如下不必要的计算:二级品中需抽到的产品个数为$\frac{20}{120}\times 36=6$, 故所求的概率为$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$

2.C.由分组可知, 抽号的间隔为5, 又因为第5组抽出的号码为22, 所以第6组抽出的号码为22+5=27, 第7组抽出的号码为27+5=32, 第8组抽出的号码为m=32+5=37.若用分层抽样, 由于40岁以下的职工人数占总职工人数的50%, 故抽出的40名职工中, 40岁以下的职工人数也占50%, 于是n=40×50%=20人.

【易错分析】系统抽样与分层抽样是两类不同的常用抽样方法, 前者的特征是每组抽一个, 且保持间隔相等, 后者的特征是按比例抽取.若概念模糊了, 则容易出现错解.

3. (理) D. (1) 若B、D、E、F用四种颜色涂色, 则有A${}_4^4$=24种, 当这四点涂好后, 点A只能涂与点F相同的颜色, 点C只能涂与点E相同的颜色, 这时共有24种.

(2) 若B、D、E、F用三种颜色涂色, 则必有2点同色, 分3类情况:

(i) B、D同色, 此时A有2种涂法, C有2种涂法, 有A${}_4^1$A${}_3^2$×2×2=96种 (如图2) ;

(ii) B、E同色, 此时A有2种涂法, C有1种涂法, 有A${}_4^1$A${}_3^2$×2×1=48种 (如图3) ;

(iii) F、D同色, 此时A有1种涂法, C有2种涂法, 有A${}_4^1$A${}_3^2$×1×2=48种 (如图4) .

(3) 若B、D、E、F用两种颜色涂色, 则B与E同色, F与D同色, 有A${}_4^2$种, 同 (2) 知, 点A、C各有2种涂色方法, 这时共有A${}_4^2$×2×2=48种 (如图5) .

故共有24+192+48=264种不同的涂色方法.

【易错分析】本题由于折线B-F-E-D (也可以选择折线A-E-F-C) 相邻的点比较多, 易于讨论, 若选择其他为主线, 容易产生重复或遗漏, 另一个易错的思路为:以每点逐一涂色为入口, 运用乘法计数原理生搬硬套, 如A有4种, B有3种, F有3种, C有2种, E有2种, D有1种, 而错得4×3×3×2×2×1=144种, 而错选D, 其实这时已忽略了A与F同色, A与C同色的考虑, 但当同色与否的讨论时, 又会产生重复计算.

(文) C.由题意可得f′ (x) =x2+a, 而a∈[0, 1], ∴ f′ (x) ≥0, 且f′ (x) ≢0, ∴ f (x) 在 (-1, 1) 上单调递增, 要f (x) 在 (-1, 1) 上仅有一个零点, 则f (-1) ·f (1) <0,

注意到a, b∈[0, 1], 则①无解, 用线性规划的方法求得在a, b∈[0, 1]的条件下, 区域②围成的面积为$1\times 1-\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{7}{9}.$

由几何概型可知, ${\rm P}=\frac{\frac{7}{9}}{1\times 1}=\frac{7}{9}.$

【易错分析】本题易错的环节有两个:一是不能抓住a∈[0, 1]结合导数快速判断f (x) 在 (-1, 1) 上的单调性, 得到f (-1) ·f (1) <0;二是得到$(-\frac{1}{3}-a-b)(\frac{1}{3}+a-b)<0$不能由其形式抽象为线性规划问题来解答, 这是由于基本功落实不到位及解题的转化解题的意识不强所致.

4. (理) A.原式$=(1-4x+6x{}^2-4x{}^3+x{}^4)(1-3x{}^{\frac{1}{2}}+3x-x{}^{\frac{3}{2}})‚$

∴ x2的系数是-12+6=-6.

【易错分析】本题由于涉及两个二项式的积, 容易出现运算的混乱而致错, 若直接运用通项公式求解, 则有Tr+1=Cr414-r· (-x) r= (-1) rC${}_4^r$xr, tk+1=Ck313-k· (-x) k, 有${\rm T}{}_{r+1}\cdot t{}_{k+1}=(-1){}^{r+k}\text{C}{}_4^r\text{C}{}_3^{k}x{}^{r+\frac{k}{2}}$.令$r+\frac{k}{2}=2$, 注意到r=0, 1, 2, 3, 4, k=0, 1, 2, 3, 得或于是x2的系数为 (-1) 1+2C14C23+ (-1) 2+0C${}_4^2$C${}_3^0$=-12+6=-6, 对于指数较高时, 这种方法较为合适, 但对于本题则不宜使用.

(文) B.若a, b同奇或同偶, 有12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6, 前面的每种情况交换位置可以得到两个点, 最后一种情况只有1个点 (6, 6) , 这时有2×5+1=11;若a, b一奇一偶, 有12=1×12=3×4, 每种情况交换位置可以得到两个点, 这时有2×2=4.

∴ 共有11+4=15个.

【易错分析】从定义出发, 抓住a, b的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键.本题易出现a, b同奇偶时, 忽略6+6只能得到1个点 (6, 6) , 而没有注意以致算成2个点, 而错选C, a, b一奇一偶时, 出现12=1×12=2×6=3×4, 而错选D.

5. (理) A.设独立事件A, B发生的概率分别为P (A) =x, P (B) =y, 则${\rm P}(\overline{A})$与${\rm P}(\overline{B})$相互独立,

$\therefore {\rm P}(\overline{A}\cdot \overline{B})={\rm P}(\overline{A})\cdot {\rm P}(\overline{B})=(1-x)\cdot (1-y)=\frac{1}{9}$, 得$1+xy=\frac{1}{9}+(x+y)\ge \frac{1}{9}+2\sqrt{xy}.$

$\begin{array}{l}\text{解}\text{之}‚\text{得}\sqrt{xy}\le \frac{2}{3},\\ \therefore 0\le xy\le \frac{4}{9},\text{只}\text{有}\frac{1}{3}\text{合}\text{适}.\end{array}$

【易错分析】本题易出现的错误有两个:一是误认为A与B都发生的概率$1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, 而错选D;二是得到$1-x-y+xy=\frac{1}{9}$后不能抓住求xy的范围, 建立基本不等式模型考虑问题.

(文) B.由题意算得$\overline{x}=6,\overline{y}=3,\therefore a=\overline{y}-b\overline{x}=3-\frac{7}{26}\times 6=\frac{18}{13}$, 即$\widehat{y}=\frac{7}{26}x+\frac{18}{13},$

当x=6时, $\widehat{y}=\frac{7}{26}\times 6+\frac{18}{13}=3.$

【易错分析】在潜意识中凡涉及线性回归方程的问题都存在着大量的运算, 而且容易产生没有深入审题就失去解题信心的现象, 其实本题已给出b的值, 只需通过$a=\overline{y}-b\overline{x}$求得a的值即可, 从而得解.

6.B.由“10”左右2个数之和相等, “11”左右3个数之和相等, $\therefore \overline{x{}_1}=\overline{x{}_2}$, 易得$\overline{x{}_1}=112$.用甲的5次成绩减去112分别得-5, -5, 6, 4, 0, 用乙的5次成绩减去112分别得-7, -3, 1, 4, 5, 可得前者的平方和>后者的平方和, 即s1>s2.

【易错分析】本题若不注意观察, 容易引来大量的运算, 如在计算$\overline{x{}_1}$时, 用$\overline{x{}_1}=\frac{1}{5}(107+107+112+116+118)=112$, 计算s1时, 用$s{}_1^2=\frac{1}{5}[(107-112){}^2+(107-112){}^2+(112-112){}^2+(116-112){}^2+(118-112){}^2]=\frac{102}{5}$, 得$\sqrt{s{}_1}=\sqrt{\frac{102}{5}}$, 再求$\sqrt{s{}_2}$, 运算量大, 容易产生错误.

7.13;正 (或正的) .表示年平均收入的x的5个数据已从小到大排列, 中间一个数是13, 即中位数为13, 描出5组数据的散点图知, 其呈正 (或正的) 线性相关关系.

【易错分析】本题易错的是第二问, 题中问的是x与Y呈怎样的 (正的还是负的) 线性相关关系, 并非问线性相关的强弱或求线性回归方程, 若用相关公式判断其强弱或求线性回归方程, 将会陷进运算量超大的计算中, 得到的还是一个错误的结果, 所以审题一定要细心.

8.5.7%.该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有:$99000\times \frac{50}{990}+1000\times \frac{70}{100}=5700$户, 所以所占比例的合理估计是5700÷100000=5.7%.

【易错分析】本题属分层抽样问题, 阅读量大, 难于从中收集到有效的信息而出错, 另一方面, 若过于草率, 易出现$\frac{120}{990+100}\approx 11\%$的错误结论.

$9.\frac{5}{6}$.由题意可得a∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}, b∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}, 故基本事件的总数为36种.又二次函数f (x) 的开口方向向上, 对称轴为$x=\frac{b}{2a}$, 要使f (x) 在[1, +∞) 上单调递增, 则$\frac{b}{2a}\le 1‚\therefore b\le 2a$, 当a=1时, b≤2, 得b=1, 2, 共2种;当a=2时, b≤4, 得b=1, 2, 3, 4, 共4种;当a=3时, b≤6, 得b=1, 2, 3, 4, 5, 6, 共6种;当a=4时, b≤8, 得b=1, 2, 3, 4, 5, 6, 共6种;当a=5或a=6时, 都共有6种.故共有2+4+6×4=30种, ∴ 所求的概率为$\frac{30}{36}=\frac{5}{6}.$

【易错分析】本题易在忽略a, b取值的情况下, 对二次函数的开口方向及对称轴的位置展开讨论, 从而出现错误, 另外, 若列举法掌握得不好, 也会在列举基本事件时出现遗漏或重复现象而致错.

10. (理) ①③.A1, A2, A3是两两互斥的事件, ①正确;事件B发生与否与事件A1发生与否有关, ∴ ②错;在事件A1发生的条件下, 事件B发生的概率满足条件概率的定义, 由古典概型和条件概率的计算公式知, ${\rm P}(B|A{}_1)=\frac{{\rm P}(A{}_{1}B)}{{\rm P}(A{}_1)}=\frac{\frac{\text{C}{}_5^1\times \text{C}{}_5^1}{\text{C}{}_{10}^1\times \text{C}{}_{11}^1}}{\frac{\text{C}{}_5^1}{\text{C}{}_{10}^1}}=\frac{5}{11},\therefore ③$正确;由分步计数原理和古典概型的计算公式可知, ${\rm P}(B)=\frac{\text{C}{}_5^1\times \text{C}{}_5^1}{\text{C}{}_{10}^1\times \text{C}{}_{11}^1}+\frac{\text{C}{}_2^1\times \text{C}{}_4^1}{\text{C}{}_{10}^1\times \text{C}{}_{11}^1}+\frac{\text{C}{}_3^1\times \text{C}{}_4^1}{\text{C}{}_{10}^1\times \text{C}{}_{11}^1}=\frac{25}{110}+\frac{8}{110}+\frac{12}{110}=\frac{45}{110}=\frac{9}{22}‚\therefore ④$错.

【易错分析】本题若忽略从甲罐中随机取出一球放入乙罐的球可能为红球、白球、黑球的讨论, 而将所取的这个球默认为红球, 易错选④.

(文) 0.275.不妨设男生有x人, 则女生有3x人.那么得过第一名的学生有$(\frac{3x}{3}+\frac{x}{10})$人, 从而随机地选一位学生, 则这位学生得过第一名的概率是$\frac{\frac{3x}{3}+\frac{x}{10}}{4x}=\frac{11}{40}=0.275.$

【易错分析】“设男生有x人, 则女生有3x人”是解决本题的关键, 它为计算得过第一名的人数与总人数提供了方便, 若不注意整体运算策略的运用, 易陷于全班人数的计算当中, 而不得其解.

11.解: (Ⅰ) 如下表:

(Ⅱ) 假设:是否喜爱运动与性别无关, 由已知数据可求得${\rm K}{}^2=\frac{30\times (10\times 8-6\times 6){}^2}{(10+6)(6+8)(10+6)(6+8)}\approx 1.1575<2.706$.因此, 在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关.

(Ⅲ) (理) 喜爱运动的人数为ξ的取值分别为0, 1, 2, 其概率分别为${\rm P}(\xi =0)=\frac{\text{C}{}_8^2}{\text{C}{}_{14}^2}=\frac{28}{91}‚{\rm P}(\xi =1)=\frac{\text{C}{}_6^1\text{C}{}_8^1}{\text{C}{}_{14}^2}=\frac{48}{91}‚{\rm P}(\xi =2)=\frac{\text{C}{}_6^2}{\text{C}{}_{14}^2}=\frac{15}{91}$,

喜爱运动的人数为ξ的分布列为:

所以喜爱运动的人数ξ的期望值为

$E\xi =0\times \frac{28}{91}+1\times \frac{48}{91}+2\times \frac{15}{91}=\frac{78}{91}.$

(文) 喜欢运动的女志愿者有6人, 分别设为A, B, C, D, E, F, 其中A, B, C, D会英语, 则从这6人中任取2人有AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF, 共15种取法, 其中两人都会英语的有AB, AC, AD, BC, BD, CD, 共6种, 故抽出的志愿者中2人都能胜任翻译工作的概率是${\rm P}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}.$

【易错分析】本题在解答第 (Ⅱ) 问时, 由于思维定式的影响, 算得K2≈1.1575, 只会用1.1575与0.708比较得到1.1575>0.708, 而不能对“能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关”作出判断.另外文科的第 (Ⅲ) 问需要列举时, 不能引入字母, 为列举的书写提供便利, 也容易出错.

12. (理) 解: (Ⅰ) 如图6, 由题意知, 区域U内共有15个整点, 区域V内共有9个整点, 设所取3个整点中恰有2个整点在区域V的概率为P (V) , 则${\rm P}(V)=\frac{\text{C}{}_9^2\cdot \text{C}{}_6^1}{\text{C}{}_{15}^3}=\frac{216}{455}.$

(Ⅱ) 区域U的面积为8, 区域V的面积为4,

∴ 在区域U内任取一点, 该点在区域V内的概率为$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.X$的取值为0, 1, 2, 3,

$\begin{array}{l}{\rm P}(X=0)=\text{C}{}_3^0(\frac{1}{2}){}^0(\frac{1}{2}){}^3=\frac{1}{8}‚\\ {\rm P}(X=1)=\text{C}{}_3^1(\frac{1}{2}){}^1(\frac{1}{2}){}^2=\frac{3}{8}‚\\ {\rm P}(X=2)=\text{C}{}_3^2(\frac{1}{2}){}^2(\frac{1}{2}){}^1=\frac{3}{8}‚\\ {\rm P}(X=3)=\text{C}{}_3^3(\frac{1}{2}){}^3(\frac{1}{2}){}^0=\frac{1}{8}‚\end{array}$

∴ X的分布列为:

则$X~B(3‚\frac{1}{2})$,

$\begin{array}{l}\text{于}\text{是}E(X)=np=3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}‚\\ D(X)=npq=3\times \frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2})=\frac{3}{4}.\end{array}$

【易错分析】本题的易错点有两个:一是受第 (Ⅰ) 问的影响, 误认为第 (Ⅱ) 问也是古典概型问题, 错误地得出:在区域U内任取一点, 该点在区域V内的概率为$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$, 从而得到错误的结果;二是在求E (X) 与D (X) 时, 不注意先判断其分布类型, 用E (X) 与D (X) 的原始公式计算, 带来一些不必要的运算.

(文) 解: (Ⅰ) 分数在[70, 80) 内的频率为

1- (0.010+0.015+0.015+0.025+0.005) ×10=1-0.7=0.3, 故$\frac{0.3}{10}=0.03$, 如图7所示.

(Ⅱ) 平均分为$\overline{x}=45\times 0.1+55\times 0.15+65\times 0.15+75\times 0.3+85\times 0.25+95\times 0.05=71.$

(Ⅲ) 由题意知, [60, 70) 分数段的人数为0.15×60=9, [70, 80) 分数段的人数为0.3×60=18.

∵ 在[60, 80) 的学生中抽取一个容量为6的样本, ∴ [60, 70) 分数段抽取2人, 分别记为m, n;[70, 80) 分数段抽取4人, 分别记为a, b, c, d.

设从样本中任取2人, 至多有1人在分数段[70, 80) 为事件A, 则基本事件空间包含的基本事件有: (m, n) , (m, a) , (m, b) , (m, c) , (m, d) , (n, a) , (n, b) , (n, c) , (n, d) , (a, b) , (a, c) , (a, d) , (b, c) , (b, d) , (c, d) , 共15种, 则事件A包含的基本事件有: (m, n) , (m, a) , (m, b) , (m, c) , (m, d) , (n, a) , (n, b) , (n, c) , (n, d) , 共9种,

$\therefore {\rm P}(A)=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.$

【易错分析】本题的易错点为:一是在第 (Ⅰ) 问中忘了乘以组距10;二是对第 (Ⅲ) 问的表达缺乏规范性, 贪一时的方便, 没将相关的基本事件一一列举出来, 从而被扣去相应的步骤分.

十一、算法、框图及推理证明部分

一、选择题

1.在数列{an}中, a1=1, an=an-1+n, n≥2.为了计算这个数列前10项的和, 现给出该问题算法的程序框图 (如图1所示) , 则图中判断框 (1) 处合适的语句是 ( ) .

(A) i<9 (B) i<10

(C) i>9 (D) i>8

2.已知函数f (x) =ax+xa (a>0) , 则下列说法正确的是 ( ) .

(A) ∀a∈R*, f (x) -1为偶函数, 且在R上单调递增

(B) ∃a∈R*, f (x) -1为奇函数, 且在R上单调递增

(C) ∀a∈R*, f (x) -1为奇函数, 且在R上单调递减

(D) ∃a∈R*, f (x) -1为偶函数, 且在R上单调递减

3.执行图2所示的程序框图, 若输出的y值为4, 则输入的x的值为 ( ) .

(A) 2k (k∈Z, k≥1)

(B) 2k (k∈Z, k≤1)

(C) 2k-1 (k∈Z, k≥1)

(D) 2k-1 (k∈Z, k≤1)

4.下面使用类比推理正确的是 ( ) .

(A) 直线a, b, c, 若a//b, b//c, 则a//c.类推出:向量a, b, c, 若a//b, b//c, 则a//c

(B) 同一平面内, 直线a, b, c, 若a⊥c, b⊥c, 则a//b.类推出:空间中, 直线a, b, c, 若a⊥c, b⊥c, 则a//b

(C) 实数a, b, 若方程x2+ax+b=0有实数根, 则a2≥4b.类推出:复数a, b, 若方程x2+ax+b=0有实数根, 则a2≥4b

(D) 以点 (0, 0) 为圆心, r为半径的圆的方程为x2+y2=r2.类推出:以点 (0, 0, 0) 为球心, r为半径的球的方程为x2+y2+z2=r2

二、填空题

5.如图3, 画1个圆将平面分成2部分, 画2个圆将平面最多分成4部分, 画3个圆将平面最多分成8部分, …, 设画n个圆将平面最多分成f (n) 部分, 则f (4) =____, f (n) =____ (答案用n表示) .

6.如图4所示的程序框图 (未完成) , 设当箭头a指向①时, 输出的结果s=m, 当箭头a指向②时, 输出的结果s=n, 则m+n=____.

7.在平面上, 设ha, hb, hc是△ABC三条边上的高, P为三角形内任一点, P到相应三边的距离分别为Pa, Pb, Pc, 我们可以得到结论:$\frac{{\rm P}{}_a}{h{}_a}+\frac{{\rm P}{}_b}{h{}_b}+\frac{{\rm P}{}_c}{h{}_c}=1$.把它类比到空间, 写出三棱锥的类似结论____.

三、解答题

8.如图5, 在正方形ABCD中, 点P是△BCD内部或边界上任一点, 设$\overrightarrow{A{\rm P}}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AD}$, 求λ+μ的取值范围.

9.设函数f (x) 在 (a, b) 上有导函数f′ (x) , 其图象如图6所示, 则我们必可将割线PQ平移至直线l, 使得直线l与f (x) 在 (a, b) 上的图象的一点ξ处相切, 于是我们可得到结论:在 (a, b) 内至少存在一点ξ, 使得$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$成立.试用该结论解决下面的问题:

设函数φ (x) 的导函数为φ′ (x) , φ′ (x) 单调递减, 且φ (0) =0.

(Ⅰ) 对x∈ (0, 1) , 证明:φ (1) x<φ (x) <φ′ (0) x;

(Ⅱ) (理) 若φ (1) ≥0, φ′ (0) ≤1, 任取x0∈ (0, 1) , 令xn=φ (xn-1) , n∈N*, 证明:0<xn+1<xn.

参考答案

1.【错解】D.由所给的程序框图知, 当输入i=0时, 将输出s=0+1, 当输入i=1时, 输出s=s+2, 依此类推, 当输入i=9时, 输出s=s+10, 停止运算, 输出前10项的和, 于是选D.

【分析】由于i考虑的是输入的值, 而s是输出的值, 产生了不匹配, 以致错位, 而出现了条件判断的错误.

【解】C.输出i, a, s的相关数据如下:

于是只需在判断框中填上i>9 (或i≥10) 即可.

【点拨】抓住输出的相关数据实施列举, 才能对判断条件作出正确的选择.

2.【错解】f (-x) -1=a-x+ (-x) a-1, 运算止步;考虑单调性时, 运用导数求解得[f (x) -1]′=f′ (x) =axlna+axa-1, 里面含有a, 无法判断其单调性, 还是止步.

【分析】在推理问题时, 未考虑到实际情况, 硬套方法, 出现了推理的漏洞而致错.

【解】B.取a=2, 则f (x) =2x+x2不是奇函数, 也不是偶函数, 故A, C错.取a=1, f (x) -1=x为奇函数, 且在R上单调递增, 故选B, 若f (x) -1为偶函数, 则f (-x) -1=f (x) -1, 得f (-x) =f (x) , 即a-x+ (-x) a=ax+xa, 必有a-x=ax, (-x) a=xa, 由a-x=ax, 得ax=1, 于是a=1, 这时 (-x) 1≠x1, 矛盾, 故D错.

【点拨】∀a∈R*与∃a∈R*是本题实施推理的关键.对于∀a∈R*, 要给予否定, 只需找到一个反例, 要给予肯定, 则需严格证明;对于∃a∈R*, 要证明之, 只需得到一个满足题意的a即可, 要否定之, 则需要考虑∀a∈R*, 通过反证法给出证明.

3.【错解】A.要使输出的值为4, 则需y=2x中的x为2, 而在A中, 令k=1, 有输入2k=2, 即满足题意, 故选A.

【分析】以上的错解其实对程序框图的实际意义未能作深入的理解, 循环结构中的x=x+2还未作考虑, 其实x=x+2的作用是给x≤1的数x进行赋值, 使之变大, 最终使得所有的非正偶数均可转换为2, 从而得到y=2x中的x为2, 使输出y=4.

【解】B.程序框图的意义为

当x>0时, 由2x=4, 得x=2, 当x≤0时, 对所有的负偶数x=2k (k∈Z, k≤-1) , 都有f (2k) =f (0) =f (2) =4, 对所有的负奇数x=2k-1 (k∈Z, k≤0) , 都有f (2k-1) =f (1) =2≠4, 于是x=2k (k∈Z, k≤1) .

【点拨】解决框图问题的关键在于理解所给框图的实际意义, 特别是出现循环结构的框图问题, 循环部分即为解决问题的关键.

4.【错解】平行向量可能同向或反向, 于是平行性可以传递, 得A正确;在空间中, a与b可以相交、平行、异面, 故B不正确;对于C, 类似于实数范围内考虑问题, 于是也应该有a2≥4b, 故C正确;对于D, 类比应得球的方程为x3+y3+z3=r3, D也错, 有A, C两项正确, 无法作出选择.

【分析】当A中的向量b为0时, 则a与c可为任意向量, 得不到a//c的结果;对于D, 则他们之间存在共性的两点间的距离等于r, 从而也应为x2+y2+z2=r2.

【解】D.若向量b=0, 则a//c不正确;空间内, 直线a与b可以相交、平行、异面, 故B不正确;方程x${}_0^2$+ix0+ (-1±i) =0有实根, 但a2≥4b不成立;设点P (x, y, z) 是球面上的任一点, 由|OP|=r, 得$\sqrt{x{}^2+y{}^2+z{}^2}=r,\text{D}$正确.

【点拨】用类比法得到的不少结论是不正确的, 需注意二者的共性与差异.

5.【错解】16;2n.由f (1) =2, f (2) =4=22, f (3) =8=23, 得f (4) =24=16, f (n) =2n.

【分析】由于对初始情形的归纳过于草率, 就会出现上述错解.其实从递推的角度考虑问题, 每增加一个圆, 该圆都会与原来的n个圆中的每个圆交于2个点, 共得2n个交点, 该圆圆周也就被分成了2n段, 每1段增加了1个部分, 于是便得f (n+1) =f (n) +2n, 用累加法可求f (n) .

【解】14, n2-n+2.要将平面分成最多部分, 则任意两个圆相交, 没有三个圆共点, 设画n个圆将平面最多分成f (n) 部分, 在添加第n+1个圆时, 这个圆与原来的n个圆相交于2n个点, 则这个圆周被分成了2n段, 每1段都增加了1个部分, 于是f (n+1) =f (n) +2n,

∴f (n) =[f (n) -f (n-1) ]+[f (n-1) -f (n-2) ]+…+[f (2) -f (1) ]+f (1) =2 (n-1) +2 (n-2) +…+2×2+2×1+2=2[ (n-1) + (n-2) +…+2+1]+2=n2-n+2.

所以f (4) =42-4+2=14, f (n) =n2-n+2.

【点拨】运用归纳推理考虑问题时, 会产生量变与质变的问题, 其实, 若在3个圆的基础上再添加一个圆, 则不难得到f (4) =14, 从而推翻f (n) =2n的猜测, 进而考虑别的方法求解.

6.【错解】10.当箭头a指向①时, 可得s=m=5, 当箭头a指向②时, 也会得到相同的结果, 从而m+n=10.

【分析】箭头a指向①与指向②直接影响到输出的s的值, 循环结构已产生了差异, 前者出现了s=0 (归0) 的情形, 故不会出现“结果相同”的情况, 需重新给予推导.

【解】 (1) 当箭头a指向①时, 输出s和i的结果如下:

∴s=m=5.

(2) 当箭头a指向②时, 输出s和i的结果如下:

∴s=n=1+2+3+4+5=15.于是m+n=20.

【点拨】框图问题中的每个细节都非常清晰, 差一点, 结果相差甚远.

7.【错解】设Sa, Sb, Sc, Sd分别是四面体A-BCD各顶点所对面的面积, 点P到四个面的距离分别为Pa, Pb, Pc, Pd, 可得到$\frac{{\rm P}{}_a}{S{}_a}+\frac{{\rm P}{}_b}{S{}_b}+\frac{{\rm P}{}_c}{S{}_c}+\frac{{\rm P}{}_d}{S{}_d}=1.$

【分析】受类比思维定式的影响, 总将平面中的长度与立几中的面积进行类比, 出现了错解.

【解】设ha, hb, hc, hd分别是四面体A-BCD四个面上的高, 点P到四个面的距离分别为Pa, Pb, Pc, Pd, 可得到$\frac{{\rm P}{}_a}{h{}_a}+\frac{{\rm P}{}_b}{h{}_b}+\frac{{\rm P}{}_c}{h{}_c}+\frac{{\rm P}{}_d}{h{}_d}=1.$

【点拨】类比推理是一种由此及彼的合情推理, 得到的结论不一定正确, 还需将类比过程、方法进行类比论证, 如本题只涉及距离与高的类比, 在平面中可用面积法给予证明, 类比到空间中, 也应是距离与高的关系, 可用体积法给出证明.

8.【错解】由$\overrightarrow{A{\rm P}}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AD}$两边平方, 得$\overrightarrow{A{\rm P}}{}^2=(\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AD}){}^2=\lambda {}^2+\mu {}^2$.由题意知, $\frac{\sqrt{2}}{2}\le |\overrightarrow{A{\rm P}}|\le \sqrt{2}$, 即$\frac{1}{2}\le \lambda {}^2+\mu {}^2\le 2$, 有$\frac{\lambda +\mu }{2}\le \sqrt{\frac{\lambda {}^2+\mu {}^2}{2}}\le 1$, 即λ+μ≤2.

由$\frac{\lambda +\mu }{2}\le \sqrt{\frac{\lambda {}^2+\mu {}^2}{2}}$知, $\sqrt{\frac{\lambda {}^2+\mu {}^2}{2}}$取得最小值$\frac{1}{2}$时, $\frac{\lambda +\mu }{2}$也取得最小值,

$\begin{array}{l}\therefore \frac{1}{2}\le \frac{\lambda +\mu }{2}‚\therefore \lambda +\mu \ge 1‚\\ \therefore \lambda +\mu \text{的}\text{取}\text{值}\text{范}\text{围}\text{是}[1,2].\end{array}$

【分析】本解中求最大值与结果都是正确的, 但求最小值的推理是错误的, $\sqrt{\frac{\lambda {}^2+\mu {}^2}{2}}$取得最小值时, 不能保证$\frac{\lambda +\mu }{2}$也取得最小值.

【解】设正方形ABCD的边长为1, 以AB, AD分别为x轴, y轴建立平面直角坐标系, 且设P (x, y) , 则$\overrightarrow{A{\rm P}}=\lambda \overrightarrow{AB}+u\overrightarrow{AD}=\lambda (1,0)+u(0,1)=(\lambda ,u)$, 即x=λ, y=u, λ+u=x+y.

又x, y满足令λ+u=b=x+y,

则y=-x+b,

当直线y=-x+b与BD重合时, bmin=1, 当直线y=-x+b经过点C (1, 1) 时, bmax=2, ∴λ+u∈[1, 2].

【点拨】解题过程中的推理必须严密谨慎, 不能出现“想当然”的情况, 防止养成虚浮的不良思维习惯.

9.【错解】 (Ⅰ) 错解1:由x∈ (0, 1) 及得到的结论知, 在 (0, 1) 上至少存在一点x, 使得${\phi }^{\prime }(x)=\frac{\phi (1)-\phi (0)}{1-0}$, 又φ′ (x) 单调递减, 且φ (0) =0, 得φ (1) =φ′ (x) <φ′ (0) , 即φ (1) <φ′ (0) , ∴φ (1) x<φ′ (0) x. (止步)