平行与垂直证明

平行与垂直证明（共9篇）

平行与垂直证明 篇1

平行与垂直

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题7分，共35分)

1.已知空间三点A（0,2,3），B（-2,1,6），C（1，-1,5）若a

a分别与AB,AC垂

直，则向量a为

A.1，1，1

B.－1，－1，－1

C.1，1，1或－1，－1，－1

D.1，－1，1或－1，1，－1,2.已知a＝1，1，1，b＝0，2，－1，c＝ma＋nb＋4，－4，1.若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为,A.－1，2B.1，－2C.1，2D.－1，－

23.已知a＝1,,，b＝3,,

A352215满足a∥b，则λ等于 22992.B.C.－D.－ 32234.已知AB＝1，5，－2，BC＝3，1，z，若AB⊥BC，BP＝x－1，y，－3，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为A.15401533，－，4B.，－，4 77774040，－2，4D.4，－15 77C.5.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是,A.a＝1，0，0，n＝－2，0，0

B.a＝1，3，5，n＝1，0，1

C.a＝0，2，1，n＝－1，0，－1

D.a＝1，－1，3，n＝0，3，1

二、填空题每小题6分，共24分

6.设a＝1，2，0，b＝1，0，1，则“c＝(的条件.7.若|a|

b＝1，2，－2，c＝2，3，6，且a⊥b，a⊥c，则a＝.,8.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为

212,,)”是“c⊥a，c⊥b且c为单位向量”33

39.设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件AM·n=0的点M的轨迹

是.三、解答题共41分

10.（13分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为BB1、C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量.

11．(14分)如图，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正

方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

2(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，3垂足为H，求证：EM⊥面BCC1B1.12．(14分)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平

面互相垂直，AB2，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.答案

1.C2.A3.B4.B5.D

6.充分不必要7.118118,2,或，2,8.1 555

5.9.过A点且以n为法向量的平面

10.解 以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示.,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则A1，0，0，M(1，1，11)，N(0，1)).2211∴AM1,0,,AN0，1设平面AMN的一个法向量为n＝x，y，z, 22

1nAMyz02 1nANxyz0

2令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．

∴(－3,2，－4)为平面AMN的一个法向量．

11.证明 建立如图所示的坐标系，则BE＝(3,0,1)，→BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

→→所以BD1=BE+BF，故BD1，BE，BF共面．

又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面．

(2)如图，设M(0,0，z)，2→0，－z，而BF＝(0，3，2)，GM＝3

得z＝1.→2由题设得GMBF=3z20，3因为M(0,0，1)，E（3,0,1），所以ME＝(3,0,0)．

→→又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为 ，0、(0,0,1)．

22

∴NE＝－1.22

又点A、M的坐标分别是2，2，0)、2222→，AM＝－，1.，1，2222→∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.22→(2)由（1）知AM＝1，∵D(2，0,0)，F2，2，1)，22

DF＝(0，2，1)．

平行与垂直证明 篇2

1 中点用于平行问题的证明

在立体几何的平行证明问题中若出现了中点的已知条件，这时我们应特别留意这一条件，因为它往往是解决本题的关键.在立体几何中若能利用好中点，平行问题的证明将会变得更具特征性，其遵循的原理即为若知一中点，即想办法找出另一个中点，那常常应注意能否应用三角形中位线、梯形中线等来证明线线平行，使之能利用中位线性质，从而得到两直线平行或平行四边形，进而可以证明线面平行的问题，从而达到证明线面的平行关系.

例1如图1，已知S是△ABC所在平面外一点，O是边AC的中点，点P是SA的中点，求证：SC∥平面BOP.

分析要证SC∥平面BOP，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即要证SC平行平面BOP内的一条直线.

证明因为P为AS中点，O为AS中点，所以PO为△ASC的中位线，所以PO∥SC，即SC∥PO.又SC平面BOP，PO平面BOP，所以SC∥平面BOP.

例2如图2，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE.

分析要证明AF∥平面PCE，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即在平面PCE内找一条直线与AF平行.

证明取PC中点K，连结EK，FK.因为F为PD中点，在△PCD中，KF是△PCD的中位线，所以KF∥CD，KF=CD.

又E为AB中点，四边形ABCD是矩形，所以AE∥CD，AE=CD，所以KF瓛AE，四边形AEKF为平行四边形，AF∥EK.

又AF平面PCE，EK⊂平面PCE，所以AF∥平面PCE.

本例条件中已经告知E，F分别为AB，PD中点这一重要信息，这一重要信息如何用上呢?由于AB，PD为两条异面直线，不能直接将现有中点连接构成三角形中位线，所以需另觅中点，当再添加PC的中点K，就会使所求证的问题出现了例1中的应用三角形中位线的情况.在△PCD中即可应用中位线定理得到KF∥CD且KF=CD这一重要桥梁信息，进而可证得四边形AEKF为平行四边形，由平行四边形的性质可得到线线平行的结论.

例3如图3，在底面是菱形的四棱锥P-ABCE中，点E是PD的中点，求证：PB∥平面EAC.

分析要证明线面平行，很自然就会想着证明线线平行，而题中已知条件有点E是PD中点，若能出现第二个中点，即可以转化为前例中三角形中位线的问题，所证问题即可迎刃而解.

证明如图3，连结BD交AC于点O，连结EO.因为四边形ABCD为菱形，所以O为PD中点.又E是PD的中点，在△DPB中，EO是△DPB的中位线，所以EO∥PB.

又EO平面EAC，PB平面EAC，所以PB∥平面EAC.

本例通过连结BD交AC于点O，巧妙地构造出第二个中点，结合条件中的E是PD的中点，这就出现了三角形中两边中点问题，利用三角形中位线定理就可轻松地把问题解决.

2 中点用于垂直问题的证明

在立体几何的有关垂直问题的证明中，常见的是以证明线线垂直，线面垂直和面面垂直的题型为主，究其规律，该类垂直问题常由线线垂直证得线面垂直，由线面垂直进而证得面面垂直，这证明思路源于证明垂直问题的判定定理和垂直的定义.当题目中给出中点或在一个三角形中有两边相等时，利用好中点往往是解题的关键.

例4如图4，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外的一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O，求证：PA⊥BF.

分析PA，BF为两条异面直线，要证明线线垂直，不能直接证得，唯有通过线面垂直证得线线垂直.即证明PA垂直BF所在的平面或证明BF垂直PA所在的平面来实现.

证明连结AO.因为AF=AB，O为BF的中点，所以AO⊥BF即BF⊥AO.

又O为P在平面ABC内的射影，所以PO⊥BF，即BF⊥PO.

又AO∩PO=O, AO, PO⊂平面PAO, 所以BF⊥平面PAO.

又PA⊂平面PAO，所以BF⊥PA，即PA⊥BF.

上例通过证明BF⊥平面PAO，进而证明了PA⊥BF，而这一证明过程中用了O为BF的中点，且AF与AB相等这一重要条件，而当连结AO时，由等腰三角形底边上的中线也为底边上的高这一结论可知有BF⊥AO，即得到了线线垂直.从而得到了证明本题的关键.

例5如图5，在三棱锥P-ABC中，AB=AC, PB=PC, 求证:PA⊥BC.

分析要证明PA⊥BC，即证明线线垂直，可证明PA垂直BC所在的平面或证明BC垂直PA所在的平面，本题有AB=AC，PB=PC两个等腰三角形，若能用好等腰三角形三线合一的性质便可使求证的问题得到解决.

证明取BC中点O，连结AO，PO.

因为AB=AC，PB=PC，O为BC中点，所以BC⊥AO，BC⊥PO.

又AO∩PO=O, AO, PO平面PAO, 所以BC⊥平面PAO.而PA平面PAO, 所以BC⊥PA, 即PA⊥BC.

本例关键是取BC的中点，由等腰三角形底边上的中点引出线线垂直，进而证得了线面垂直.

例6如图6，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC，求证：AB⊥BC.

分析本题要证明的AB⊥BC是同一个平面内的两条直线，结合题中所给出的条件，想通过证明线面垂直来证明，这显然是走不通的，但它有条件PA=PB=PC，即它的突破点依旧是中点问题，这缘于有等腰三角形的出现.

证明如图6，取AC中点O，连结PO，BO.因为PA=PC，所以PO⊥AC.

又侧面PAC⊥底面ABC，PO⊥底面ABC，所以OB为PB在底面ABC的射影.

又PA=PB=PC，所以OA=OB=OC，即OB=AC.所以AC为直角三角形ABC的斜边，所以AB⊥BC.

要证明线线垂直，当两直线为共面直线，又无法用线面垂直进行证明时，应积极寻求其他的垂直证明依据，而出现有等腰三角形时，关注这个三角形底边上的中点常会使求证问题得到突破.

例7如图7，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点，求证：EF⊥平面PAB.

分析欲证线面垂直，应证线线垂直，即证EF⊥平面PAB内的两条相交线.

证明如图7，取PA中点O，连结DO，FO.因为AD=PD，所以OD⊥PA.

又底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.

又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，即AB⊥PD.

又PD∩AD=D，PD，AD平面PAD，所以AB⊥平面PAD.

又OD⊂平面PAD，所以AB⊥OD，即OD⊥AB.

又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，所以OD⊥平面PAB.

又E，F分别为CD，PB的中点，所以ED

所以四边形EFOD为平行四边形，所以EF∥OD，所以EF⊥平面PAB.

本题是一道比较抽象的线面垂直证明题，从题中已知条件是无法直接证明EF⊥平面PAB，证明的突破口出现在等腰三角形PDA与已知条件中的E，F分别为CD，PB的中点的这两个条件上，总之还是由中点问题进行求证的突破，从而使求证得以证明.由此可见中点问题在立体几何证明问题应用中的重要性.

由于知识的不断深化，立体几何的证明问题将会有越来越多的变式题，但不论其如何变化，我们都可以通过对已知条件进行整理，最后回归到我们所常见的、基本的题型进行寻求解答.

参考文献

[1]王申怀.高中数学必修2 (A版) [M].北京:人民教育出版社, 2008.

[2]王林全.中学数学思想方法概论[M].广州:暨南大学出版社, 2003.

[3]陈德崇.中学数学教学论[M].广州:广东高等教育出版社, 1995.

[4]王金贵.怎样解题[M].北京:北京教育出版社, 2005.

[5]李玉琪.简明数学方法论[M].北京:科学技术文献出版社, 1994.

《垂直与平行》教学设计 篇3

裴星童是今年年初从南关区幸福中心校来我校实行“城乡教师捆绑交流”的年轻教师。这节“垂直与平行”一课是她的一节常规课，但从常规中透视出许多不常规的亮点。

她让学生“做中学”“学中思”把枯燥无味的数学知识变成了学生手中的魔方、玩具、手工作品，使学生在动手操作中感悟到了知识的生成，并在生成中动脑思考知识形成的过程与结果。

她通过数学教学培养学生的创造意识。这是许多教师在教学中十分困惑的，觉得学科教学中无法渗透这气思想。可裴老师却抓住“垂直与平行”这一小小的教学内容，潜心挖掘“创造力”资源。

裴老师的亮点还有很多。这里不一一列举。

从裴老师近一年来的成长看，青年教师的成长与环境与领导的重视程度是有很大联系的。可谓给她一缕阳光她肯定会灿烂。而城乡教师捆绑交流则是一个极好的培养提高途径。

长春市树勋小学副校长：金玉茶

教学目标：

1帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊位置关系，初步认识垂线和平行线。

2培养学生的空间观念及空间想象能力。

3培养学生学习数学的兴趣和树立合作探究的学习意识。

教学重点：

正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。

教学过程：

一、复习导入

师：(黑板上有一条直线)你们看到了什么?

生：直线。

师：对了，这可是我们的老朋友了，谁来给大家介绍介绍它?

生：直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可以测量。

生：看来大家对直线已经很了解了，今天，我们继续研究与直线有关的知识。

二、建立表象

1感知

师：每个同学的桌面上都有这样一张白纸(师手举白纸)，我们把它看成一个平面，想象一下，这个面变大了。(能想象出来吗?)好，闭上眼睛，我们一起想象：这个面变大了，又变大了，变得无限大，在这个无限大的平面上出现一条直线，又出现一条直线。你想的这两条直线的位置关系是什么样呢?

2画图

师：睁开眼睛，就在你那个无限大的平面上，把你刚才的想法画出来。(给学生时间画图)

师：画出来了吗?请你们互相欣赏一下，看看谁的想法与众不同!给我欣赏一下好吗?想展示的同学把作品贴到黑板上。

3观察

师：仔细观察，你画的和这些一样吗?如果不一样，可以进行补充。(让学生到前面补充完善)

同学们的想象力可真丰富，画出这么多种情况，能把它们分分类吗?仔细观察。(给学生思考的时间)有想法了吗?在小组内说说你是怎样分的，分类标准是什么?

4分类

师：谁来汇报你分类的情况，并说清楚自己的想法。

生：我分三类：一类是交叉的，一类是快要交叉的，一类是不交叉的。

师：对于他的分法，你们有不同的想法吗?(提示：这可是两条直线呀!)

生：我觉得快要交叉的那几个可以和交叉的那一类放到一起。

师：为什么?

生：因为这是两条直线可以无限延长，如果把这两条直线继续延长后它们就会交叉。

师：你们也这样认为吗?好，我们共同拿起心里的那支笔，用眼睛做尺来画一画。(学生“画”)结果如何?

师：再请一名同学实际画一画。现在我们应该把这些放在哪一组呢? (指快要相交的一组)

(调整成两种分类标准。)

师：还有调整意见吗?从你们的眼神里，我可以看出现在大家的意见比较统一。

经过大家的共同努力，我们发现在同一平面上，两条直线的位置关系有两类，一类是这样：相互交叉，碰头了，还有一个交点。数学上我们叫相交。(板书)

三、分析比较

(一)揭示平行的概念

1理解互相平行

师：看这一组直线相交了吗?

生：没有

师：想象一下，画长点，会相交吗?

生：不会。

师：在长点相交了吗?无限长，会相交吗?

生：永远不会相交。

师：这种情况你们知道数学上叫什么吗?

生：平行(板书)

师：是这一条叫平行? (指其中一条直线)

生：不是

师：这一条? (指另一条直线)

生：不是，是这两条直线互相平行。(板书)

师：你的发言给了我很大的启发。也就是不能孤立的说某一条直线是平行线。

师：能用自己的话理解一下“互相”这个词吗?

生1：我们在平时学习中你帮助我，我帮助你叫互相学习。

生2：我们在生活中你帮助我，我又帮助你叫互相帮助。

2说一说

师生活中你看到过互相平行的现象吗?

生1：黑板上下的两条边互相平行。

师：很会观察。说话也很完整。

生2：马路上斑马线互相平行。

师：眼界真宽!看到教室外面去了。好。

生3：数学书上的等号是互相平行的。

师：真是有心的孩子。在数学符号里发现了互相平行的现象。

生4：老师如果大臂向前看齐，两条胳膊就是互相平行的。

师：是这样吗?(将两手臂往里扣)

生4：不是，太窄了!

师：是这样吗?(将两手臂向外展)

生4：不是，太宽了。

师：那是怎样的呢?

生4：两个手臂间的宽度要一样，差一点也不行!

师：说的好，要想让两臂之间平行，就必须保持两臂之间距离是一样的。这是我们在生活中对平行的理解。那么通过以上讨论，你对平行线有什么想法呢?

生：我认为两条平行线之间宽度应该是相等的，

师：你们也这样认为吗?(生点头)那我们共同验证一下。(量两条平行线之间的宽度)

师：经过我们的共同努力，不仅认识了平行线，还会验证两条直线是不是互相平行的。

3练习

观察下面几组图形，验证一下它们是平行线吗?

(1)展示不同方向的几组平行线。

(2)师画错误的，理解同一平面内。

通过刚才看和做，请你说一说，怎样的两条直线是互相平行的?

小结：在同一平面内，画两条直线出现两种情况，一种是不相交，也就是互相平行，另一种情况是——相交。

(二)揭示垂直概念

1理解互相垂直

师：(指前面两条直线相交的情况)你认为那种最特殊?特殊在哪?

生：两条直线相交成直角，而其他情况相交后成的不是直角，有的是锐角，有的是钝角。

师：你是怎么知道他们相交后形成了四个直角呢?(学生验证：三角板、量角器)(板书：成直角)

师：像这样的两条直线，在数学上也有他的名字你知道叫什么吗?

生：垂直。

师：还有不同意见吗?

生：互相垂直，

师：为什么要加互相呢?

生：象互相平行一样不能单独说某一条直线是垂线。

师：那应该怎样说?

生：其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

师：不仅听得认真，记住了我们前面讲的互相平行，而且能够举一反三!了不起!

2理解相交与垂直的关系

师：(指互相垂直情况)那它是相交家里的成员吗?

生：是，只不过是有点特殊。

师：也就是垂直只是相交里的特殊情况。

3教学垂足

师：在数学上这个交点还有一个好听的名字呢!知道吗?

生：垂足

师：你是怎样知道的?

生：看书。

师：好孩子，在告诉我们这个交点名字的同时还教给我们一种很好的学习方法：预习。谢谢你。

师：能用自己的语言说说什么是互相垂直吗。(学生试说后指名回答)

4说一说

师：生活中我们常常遇到垂直的现象，你能举几个例子吗?(十字路口、医院的十字标志)

师：这节课我们共同研究的是在同一平面内两条直线的两种特殊位置关系：垂直和平行。(板书课题)

四、运用概念，巩固拓展

1小游戏

摆一摆

(1)把两根小棒都摆成和第三根小棒平行。看一看，这两根小棒有什么关系吗?

(2)、把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直。看一看，这两根小棒有什么关系?

五、学习后的反思

师，这节课你有什么收获?

(作者单位：长春市南关区幸福中心校)

平行与垂直证明 篇4

一、选择题

1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()．

A．l1∥l2B．l1⊥l

2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确

2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()

A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)

B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)

C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)

D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)

35153．已知a＝1，－，b＝－3，λ，－满足a∥b，则λ等于()． 222

2992A.B.C．－D．－ 322

34．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()．

A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)

B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是()

A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)

B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)

C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)

D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)

6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()．

62636065A.B.C.D.7777

7．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()

A．(1，－1,1)3B.1，3，2



C.1，－3，2

二、填空题



D.－1，3，－

2

8．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则

l1与l2的位置关系是_______．

9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.→

＝0的_______．

→

12．已知→AB＝(1,5，－2)，→BC＝(3,1，z)，若→AB⊥→BC，→BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．

三、解答题

13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

→

11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．

→

→

→

→

→

10．已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC

a，b，c.14.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：

MN∥平面A1BD.证明 法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直

线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，1

则M0，1，N，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，22→

1

1于是MN＝，0，2

2设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． x＋z＝0，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得

x＋y＝0.→

→

取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． →

11

又MN·n＝，0，·(1，－1，－1)＝0，22→

∴MN⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝

1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

(2)若点G在BC上，BG＝M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面

BCC1B1.→→

证明(1)建立如图所示的坐标系，则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

→→

→→→→

所以BD1＝BE＋BF，故BD1、BE、BF共面． 又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面．(2)如图，设M(0,0，z)，→

→→

2

则GM＝0，－，z，而BF＝(0,3,2)，3

→→

由题设得GM·BF＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.→

因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME＝(3,0,0)． →

→

又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→

所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.16．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为 22

，0、(0,0,1)．

22→22∴NE＝－，－1.22

2

2又点A、M的坐标分别是2，2，0)、，1

22



→

22∴AM＝－，－1.22

→→

∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.22

(2)由(1)知AM＝－，－1，22

→

∵D2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)→→

《垂直与平行》教案 篇5

【教学内容】

义务教育课程标准实验教科书（人教版）小学数学四年级上册 P64、P65 【教学目标】

知识与技能目标：

1、学生结合生活情境，通过自主探究活动，初步认识生活中平行、垂直的现象。

2、初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，培养学生空间观念及空间想象能力。

3、通过讨论交流，引导学生树立合作探究的学习意识。过程与方法目标：

通过想像、动手操作、观察、分类比较等活动，让学生经历认识垂直与平行线的过程，掌握其特征。情感、态度和价值观：

引导学生具有合作探究的学习意识，体会到数学的应用和美感，激发学生的学习兴趣。【教学重点】

正确理解“同一个平面”“相交” “互相平行” “互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。【教学难点】

正确判断两条直线之间的位置关系（尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解）和对“同一平面”的正确理解。

【教学用具】白纸、尺子、三角板、水彩笔一支、小棒、多媒体、正方体、学案

教学过程：

一、复习提问

教师：请同学们回忆一下，直线有怎样突出的特点？

学生：向两端无限延长，没有端点„

教师：你的回答为我们下面的学习奠定了好的基础。（过渡）其实平面也具有无限的特点。同学们看这张白纸，（学生拿准备的白纸）这个平面是可以无限扩大的。请同学们闭上眼睛跟着老师一起想象：这个平面在无限扩大，在浩瀚的宇宙中，无边无际。这时，平面上出现了一条直线，它在无限延长，又出现了一条直线，它也是无限延长的。

请同学们睁开眼睛，你的两条直线有怎样的位置关系？请你在纸上用彩笔画出来。

学生动手画出来。

二、探索新知

1、对两条直线的位置关系进行分类。教师：我们每个同学都画出了一种情况。下面请每个小组的同学观察一下，你的和其他组员的有什么不同，并把你认为相同的分为一类。小组讨论。教师指导。

教师巡视，把同学们出现情况比较多的粘在黑板上，并编上序号。小组同学回答，并补充。学生可能会出现以下几种分法：

（1）分为两类：交叉的一类，不交叉的一类。

（2）分为三类：交叉的一类，快要交叉的一类，不交叉的一类。

（3）分类三类：交叉的一类，交叉成直角的一类，不交叉的一类。

当学生在汇报过程中出现“交叉”一词时，教师鼓励学生形容的非常好。随即解释：也就是说两条线碰一块儿了。在数学上我们把交叉称为相交，相交就是相互交叉。（并在适当时机板书：相交）

请学生提出质疑：直线是无限延长的，把直线无限延长后，就只有交叉和永远也不交叉两类。教师投影演示。

小组重新分类：相交的一类、不相交的一类。把学生的画法重新粘在黑板上。

2、引出平行线的定义。教师：所以我们把同一平面上的两条直线的位置关系分为两类：相交的和永远不相交即平行的。（板书：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。）之所以强调“在同一平面上”是因为我们生活中有这样的现象：（出师正方体，指出两个不同的面上的两条直线，它们并不平行，但即使怎样延长，它们也不会相交。）

请学生画两条平行线，其中一条叫a,另一条叫b。“互相”的意思就是a是b的平行线，b是a的平行线。学生同组之间指着说。

3、练习：下面的各组直线，哪些是互相平行，哪些是相交的。

4、生活中的平行

教师：我们生活的周围有哪些平行的例子？ 学生回答（适当引导并鼓励）

出示图片，学生指出图中平行的例子。

5、理解垂直的定义。

教师(指着相交的图片)在相交的情况中，你认为哪种情况比较特殊呢？ 学生：有直角的情况。

教师：你指出的非常准确。所以我们可以把相交的情况又分为两类：一般相交和两条直线互相垂直（板书）。你认为两条直线之间有什么特点，可以称为垂直呢？ 学生1：有一个直角。学生2：四个角都是直角。

教师：你认为哪种说法准确呢？ 学生1：第二种。

学生2：两种都正确。因为两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，那么另外三个也是直角。学生3：我认为只说一个角是直角就可以。

总结垂直定义：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。这两条直线的交点叫做垂足。出示投影：直线a和直线b互相垂直。请学生同桌互说：直线a是直线b的垂线；直线b也是直线a的垂线。

6、生活中垂直的例子。

（出示投影）请你找出图中互相垂直的例子。

三、小结

这就是我们本节课认识的两条直线在同一平面上的两种特殊的位置关系：平行和垂直。（板书课题）

在我们的学习和生活中，处处都有平行和垂直的例子，只要我们掌握了它们的特点，就能准确的作出判断。

学生总结“平行”和“垂直”的特点。

四、巩固练习

1、下面图形中，哪些边是平行的？哪些边是垂直的？（出示投影）

2、（学案）

（1）在下图中找出互相平行的线段，并用不同颜色画出来。

（2）小鱼向右平移5格，平移前后小鱼图形中的哪些线段是互相平行的？用不同的颜色描出来。

3、填空：

（1）在同一平面内，的两条直线互相平行。（2）两条直线相交，就说这两条直线互相垂直。

4、下面图形中，互相平行的有 ：互相垂直的有。

板书设计：

平行和垂直平行

同一平面内，两条直线的位置关系 相交

垂直与平行教案 篇6

高浦小学 程丽娜

教学过程

一、游戏引入 新授

１.学生尝试画一画。生画时，师巡视

２.反馈各类作品，并整理成一组图形。

师：请同学们把组图形分分类，为什么要这样分（４人小组讨论）３.汇报交流。（给学生充分的时间分类讨论依据）

【设计意图】：学生不是一张白纸，部分孩子对平行已经有了一定的认识，在教学中，我尊重学生的知识起点，让他们先自己尝试画一画，然后通过反馈各种作品，使学生了解平行、相交的两条直线的位置表象。

二、揭示平行概念。

1.让学生想象平行的两组直线延长后是否会相交。（得出结论，不会相交）2.媒体出示三组平行线，分别延长，让学生直观体验延长后不相交。想象：一直这样不断延长下去呢？（生：永远不会相交）

【设计意图】作为几何教学仅仅引导学生经历观察是不够的，空间想象能力的培养显得尤为重要，这也是提升数学思维含量的重要内容。在教学中，我通过想象，让学生来理解平行线永不相交这一特征，使学生对平行线的概念有了更深刻的理解。

3.让学生用自己的话来说一说怎样的两条直线相互平行。生1：只要两条直线不会相交，那么他们就是平行的。生2：两条直线无限延长都不会相交，这两条直线就是平行线。完成板书：不相交——互相平行 ４.理解同一平面。

提问：是不是所有不相交的两条直线都一定是平行线呢？我们来做一个实验。

出示教具：一个大长方体。

师：这个长方体的前面有两条直线，他们平行吗？ 生：平行。师：为什么？

生：因为他们不会相交。

师：（转动，得到不同的面）大家注意看，现在还平行吗？ 生：不平行了。

师：确实不平行了。那他们会相交吗？认为会相交的举手！（都未举手）都认为不会相交？我们来延长看看。（师用教具小棒延长两条直线，引导学生想象得出不会相交）

师：哪里出问题了？不会相交的两条直线怎么不是平行线呢？ 生1：方向不一样，一个平的，一个是斜斜的。生2：因为这两条直线不在一个面上。

师：你们发现了吗？（转动教具让学生再想象，得出结论）师：那我们研究在平行的时候，要强调一个什么问题呢？ 生：在同一个平面内。

【设计意图】对于“同一个平面”这一个概念，四年级的学生是很难理解的，为了突破这一教学难点，我用一个长方体盒子，通过演示、想象，帮助学生感悟理解同一个明面。

５.理解“互相”。

1.（媒体出现直线a,直线b，并说明）在同一平面内，不相交的两条直线，叫做平行线。我们可以说，直线a与直线b互相平行，还可以说，直线a是直线b的平行线，直线b是直线a的平行线。

2.出示直线c与直线d，说一说他们的位置关系。６.小结。

我们已经认识了平行线。知道了在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。

７.请学生说说生活中平行的例子。

三、认识垂直

1.观察。②③④⑤图形，再次分类

让学生观察ＰＰＴ几组相交的直线，说说他们有什么相同的地方和不同的地方。

学生通过观察比较发现，相交的两条直线都有4个角。其中，③ ⑤都是直 角。

2.揭示垂直的概念。

提问：像这样，两条直线相交成直角时，也有个名字，知道叫什么吗？ 生齐说：垂直。（课件出示：垂直）说说怎样的两条直线相互垂直？

生1：两条直线相交，四个角全都是直角，就是垂直。生2：两条直线相交后形成4个直角的就是垂直。完成板书：相交成直角――相互垂直。

3.是：直线a与直线b相互垂直，也就是说，直线a是直线b的垂线，直线b是直线a的垂线，这两条直线的焦点，叫做垂足。可以用字母o表示。（自己轻轻说一说）

【设计意图】因为有“平行”学习方法的基础，垂直概念的学习就水到渠成了。我充分利用练习中的学习材料，通过观察、比较、概括，不仅可以让学生掌握垂直的概念，更利于学生初步感悟垂直与相交的联系。

四、总结、梳理 1.小结。

今天，我们学习了平行与垂直，知道了在同一个平面内不相交的两条直线相互平行，相交成直角的两条直线相互垂直，他们的交点叫垂足。（师生共同完成小结）

2.分类梳理（出示图三）

这些都是在同一个平面内，两条直线的不同位置，学了今天的知识，你能给他们分分类吗？

反馈：

（1）2类。怎么分？（平行一类，相交一类）说说你的理由。（2）3类。怎么分？（平行一类，相交一类，垂直一类）

（3）分成3类合理，还会2类合理？通过交流讨论，让学生理解垂直属于相交，因此分成2类更合理。

小结：在同一个平面内，两条直线的位置关系，根据是否相交，可以分成两大类，一类是不相交，一类是相交，不想交的这一类，我们叫做平行。在相交中，如果相交成直角，就叫做垂直。

【设计意图】这一环节的教学对整堂课起着相当重要的作用，是对零散的 几个概念的梳理和提升，有利于学生进一步理解概念间的内在联系，构建正确清晰的知识体系。

平行与垂直证明 篇7

正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”“平行线”“垂线”等概念, 发展学生的空间想象能力是本课教学的重点;正确判断同一平面内两条直线之间的位置关系是教学的难点。本课教学尊重学生的认知规律, 力求学生通过多种学习方式学习同一平面内两条直线的垂直与平行的空间位置关系知识, 引导学生通过观察、讨论、感知生活中垂直与平行的现象;帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系, 初步认识垂线和平行线;培养学生的空间概念及空间想象能力, 培养学生具有合作探究的学习意识。

一、创设情景、感知想象

1.前面我们已经学习了直线, 那大家还记得直线有什么特征吗?

2.老师这儿有一张白纸, 把这张白纸当成一个平面, 如果这个平面无限扩大, 闭上眼睛想象一下, 它会是什么样的?在这个无限大的平面上, 出现了一条直线, 接着又出现了另一条直线, 想一想这两条直线的位置是怎样的?

让学生动手在三张白纸上画, 一张白纸上画一种情况, 用水彩笔和直尺画。

评析:先让学生回顾旧的知识点并想象在一个大的平面上出现两条直线, 这样不仅能让学生感知空间想象, 还让学生思考这两条直线有怎样的位置关系;然后让学生动手在白纸上画出具体的直线, 使学生能直观地感知两条直线的位置关系。

二、自主探索, 构建新知

1.提出问题

(1) 画好了吗?同桌两人一小组讨论:说一说你所画的两条直线的位置是怎样的?

(2) 有哪个小组想把你所画的直线展示给大家看呢?

展示到黑板上, 并标上号:

评析:这一步先让学生独立思考, 再在小组中交流, 然后选出有代表性的情况, 展示到黑板上, 其他小组互相补充, 使学生经历了一个从个人——小组——全班的逐层递进的过程, 同时为学生自主分类提供了丰富的信息资源。

2.观察分类, 讲授新课

师:仔细观察这6种情况中两条直线的位置关系, 能把它们分类吗?想好后和同桌交流。

学生汇报:生1:1和2、3和5、4和6分三类。

生2:1和2一类, 3、4、5、6一类。

在学生说到交叉的分为一类时, 告知学生交叉在数学上叫做相交。

板书:相交

针对学生的不同分类, 引发学生的争议, 在争议中统一意见, 大致按相交、不相交分为两类。

板书:不相交

3.提问:4号为什么要放到相交的这一类?

提醒学生直线有什么特征, 并让学生进行延长, 最后证实4号看起来不相交, 延长后会相交, 因此4号要归为相交的一类。

评析:这一步让学生在自主探索与交流的过程中达成分类的共识, 即相交的一类, 不相交的一类。发展了学生的空间想象能力, 让学生在自主探索、交流、辨析、求证的过程中顺其自然地发现在同一平面内两条直线的两种位置关系。

4.认识平行线

(1) 观察、体会平行线的特点

师:1、2号看起来不相交, 会不会延长也相交呢?

先让学生动手延长两条直线看是否会相交, 再课件演示两条直线不管怎样延长, 永远都不会相交的动态过程。

师: (课件演示) 老师展示把1号放在方格子上, 发现两条直线之间的距离是怎样的?

生1:两条直线之间的距离处处相等。

小结:像这种位置关系的两条直线在数学上叫做平行线, 也可以说这两条直线互相平行。

板书:平行线。

(2) 平行线的含义

师:为什么要加上“互相”呢?

小结:要说互相平行是因为平行线至少需要2条直线。

师:能说一条直线是平行线吗?

直线a是直线b的平行线

直线b是直线a的平行线

直线a和直线b互相平行

师:同学们, 平行的现象在生活中随处可见, 请同学们举例说说身边的平行现象吧。

(3) 认识垂直

师:两条直线相交会形成什么呢?

生:角。

师:在这些角中有什么角最特殊呢?

生:因为它们都是十字形的。

生2:它们都有四个直角。

() 揭示垂直的定义

师:像这样两条直线相交成直角在数学上叫做互相垂直。

大屏幕出示:如果两条直线相交成直角, 就说这两条直线互相垂直, 其中一条直线叫做另一条直线的垂线, 这两条直线的交点叫做垂足。

直线c是直线d的垂线

直线d是直线c的垂线

直线c和直线d互相垂直

师:同学们举例身边垂直的现象吗?

小结:今天这节课我们认识了在同一平面内两条直线特殊的位置。关系:垂直与平行 (板书课题)

评析:在观察、比较、验证的学习过程中, 深刻体验平行与垂直的特征, 并通过举例身边的平行与垂直的现象来直接考查学生对平行与垂直的知识点的掌握程度。

(5) 课件出示以下长方体:找找长方体中互相平行和互相垂直的现象。 (重点让学生理解直线a是平面1的直线, 直线b是平面2的直线, 虽然它们不相交, 但也不能说它们互相平行)

评析:这一步让学生在充分观察、想象、验证、自学提问的学习过程中, 深刻体验平行与垂直的特征, 深刻理解了同一平面的含义, 同时培养了学生科学严谨的学习态度和自学能力, 也发展了学生的空间观察。

三、巩固拓展, 加深认识

闯关游戏:

第一关:小试牛刀:判断下列各组是否互相平行, 互相垂直、相交, 还是什么都不是。

第二关:摆一摆

(1) 把两根红色小棒都摆成和绿色小棒平行, 看一看, 这两根红色小棒互相平行吗?

(2) 把两根红色小棒都摆成和绿色小棒垂直, 看一看这两根红色小棒有什么关系?

第三关:考考你, 对的打√, 错的打×。

(1) 在同一平面内, 只要两条直线相交成90°, 这两条直线就互相垂直。 (√)

(2) 两条直线相交, 那么这两条直线互相垂直。 (×)

(3) 两条平行线间的距离处处相等。 (√)

(4) 在同一平面内两条直线不垂直就一定平行。 (×)

() 不相交的两条直线叫做平行线。 ()

评析:本环节的练习主要是让学生加深理解相交、互相平行、互相垂直的特征, 并能对今天所学的知识进行自我检测。

四、全课总结

同学们, 通过这节课的学习, 你们有什么收获?你们觉得自己表现如何?

评析:这样用谈话的方式进行总结, 不仅总结了所学的知识、技能, 更重要的是给了学生一次评价的机会, 让他们通过自评、互评初步学会评价, 实现了课堂评价主体的多元化。

《用向量讨论垂直与平行》说课稿 篇8

【关键词】 教材分析 学情分析 教法学法 教学过程 教学反思

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2016）08-087-01

一、教材分析

1.在教材中的地位与作用。本章内容《空间向量与立体几何》是在学习了立体几何的基本理论（必修2）和空间向量知识（必修4）的基础上提出的，本章的前三节为本节的学习和研究奠定了基础。本节主要是利用向量工具研究空间中的线线、线面、面面的位置关系，是本章的核心内容。

2.教学目标分析。根据《新课程标准》的理念，基于对教材的理解和分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下三维教学目标：（1）知识与技能目标。能用向量语言表述空间中线线、线面、面面的垂直与平行的位置关系；掌握平面的法向量的求法。（2）过程与方法目标。结合已有的立体几何知识，运用向量方法，解决立体几何中垂直与平行的问题。（3）情感态度与价值观目标。体验科学探索的曲折过程，感受在探索问题的过程中的挫折感和成就感，培养合作意识和创新精神，激发学习兴趣。

3. 教学重难点分析根据以上教学目标确定如下：教学重点：能用向量方法判断垂直与平行的位置关系；会求平面的法向量。教学难点：结合已有的立体几何知识，运用向量方法，用向量语言证明垂直与平行的问题。

二、学情分析

学生已经学习了立体几何中线线、线面、面面的位置关系，具备有关知识储备，对坐标法解决几何问题也有了初步的认识。但是利用向量工具解决空间中垂直与平行的问题还没有系统的学习过，需要老师循序渐进的引导。

三、教法学法分析

1.教学：启发引导、数形结合、案例分析、构建模型。

2. 学法：观察分析、自主探究、合作交流、讨论归纳。

四、教学过程展示

本节课主要分五个环节来完成：复习引入、自主探究、知识运用、课堂小结及布置作业。

（一）复习引入。给出三个问题，让学生思考：①什么是直线的方向向量？②什么是平面的法向量？③如何利用向量知识判断直线与平面间的平行或垂直问题？

设计意图： 1.个问题是引导学生复习旧知识，为本节课的学习打铺垫；2.个问题是引导学生思考与本节课有关的问题。

（二）自主探究。观察图形，并用向量语言表述以下位置关系：设空间直线l1，l2的方向向量分别是1， ，平面α、β的法向量分别是 ，2，则：①线线平行：②线线垂直：③线面平行：

④面面平行：⑤线面垂直；⑥面面垂直

设计意图： 1.学生合作交流，完成自主探究部分。2.学生根据图形，结合已有的立体几何知识，运用向量语言，数形结合，找到垂直与平行关系的等价条件，为突破重难点打下基础。

（三）知识运用

例1.（线面垂直判定定理）若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直。

设计意图：让学生从理论上学会用向量方法证明几何问题，从另一个侧面体现了利用向量方法研究垂直与平行的重要性，至此突破难点。

【方法归纳】：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）

设计意图：由例3归纳解题步骤，帮助学生梳理解题思路，构建知识体系。

学生练习：完成课本41页练习：1.2.3.

（以上三道题目考察的知识点依次是：线线位置关系，线面位置关系，面面位置关系）

设计意图：学生自己检验是否掌握了所学知识，并对所学方法加深理解。

（四）课堂小结（讨论归纳）。（1）用向量表示线线、线面、面面垂直与平行的关系；（2）求法向量的步骤；（3）用向量方法解决立体几何问题的步骤。

设计意图：引导学生对本节知识进行回顾，同时检验学生对本节知识的掌握程度，有利于教师更好地根据学生的情况进行针对性的辅导。

（五）布置作业（反馈提升）。1.课本42页第2、3题；2.学有余力的同学完成课本41页的思考交流。（第2、3题考察的知识点依次是：线线位置关系，面面位置关系；思考交流是对“面面垂直的判定定理”的证明）

设计意图：分层布置作业，尽可能适应不同层次学生的需要。通过完成作业，学生可以巩固所学知识，反馈学习效果，同时也起到了复习的作用。在做作业的同时，可以加深对知识的理解，提升思维能力。

五、教学反思

垂直与平行教学反思 篇9

1、创设纯数学研究的问题情境，从数学本身引入新知。

本课开始就直接进入纯数学知识的研究氛围，带领学生先进行空间想象，把两条直线的位置关系画到纸上，然后进行梳理分类。由于学生对直线的特点已有了初步认识，有一定的知识基础和空间想象能力，对两条直线的位置关系也就有了有更丰富的想象，有利于展开研究，而且创设纯数学研究的问题情境有助于培养学生对数学研究产生兴趣，有于用数学自身的魅力来吸引、感染学生，教学反思《垂直与平行教学反思》。

2、以分类为主线，通过学生自主探索，体会同一平面内两直线间的位置关系。

在教学时我们大胆地让学生以分类为主线，通过想像、动手画线，图形反馈，分类、观察、辩析、讨论、验证、归纳等活动，帮助学生在复杂多样的情况中逐步认识到：在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和不相交两种情况，相交中有成直角和不成直角两种情况。通过两次分类、分层理解，提高学生的空间想象能力，培养学生初步的问题研究意识。

3、在操作与想象中培养学生的空间想象能力。

①以黑板为平面想象以及在同一平面内两条直线位置关系的想象，然后画在纸上。想象平面上出现两条直线时，不是让学生直接想象两条直线，而是一条一条地出现，有利于学生想象出更多的两条直线间的位置关系，培养学生的空间想象能力。②对看似两条直线没有相交而实际却相交的情况先让学生进行想象，在画图验证；③对于教师所举例子（不同平面两条内两条直线是否相交）的想象与操作验证。这样做有利于学生得出规律并进一步发展学生的空间想象能力。

4、课堂上及时调整预设使动态生成.课堂教学是在预设中生成，在生成中预设，是在矛盾的统一体中不断优化整合、有效建构、生成发展的。师在教学中，能准确把握预设与生成的关系。当一个学生说出单杠、双杠的支架互相平行时，有一些学生持反对意见。对此，我及时把握这个生成，不是将答案直接告诉学生，而是让学生在小组内讨论，说出自己的见解。通过一翻激烈的讨论，学生产生了思维碰撞的火花。接着我请学生发言，一些学生说出了自己的看法，因为单杠、双杠的支架既在同一个平面内，又不相交，符合了平行的条件，所以它们是平行的。这时，我才指出看两条直线是否互相平行的关键是看它们是否在同一个平面内和是否相交，与两条直线放置的方向无关；同样，看两条直线是否互相垂直的关键是看它们相交所成的角是否直角，与两条直线放置的方向无关。这就打破了学生的思维定势。