双曲线及其标准方程（精选9篇）
教学目标：
1．掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义；
2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标
准方程；
3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题； 4．培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。
教学重点：双曲线的定义和标准方程。
教学难点：双曲线标准方程的推导过程。
教学过程：
一、创设情景，引入新课： 师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点F1(1,0)和F2(1,0)，定圆C1的圆心为F1，且半径为r，动圆C2过定点F2，且与定圆相切。
（1）若r4，试求动圆圆心的轨迹；（2）若r1，试求动圆圆心的轨迹。（教师结合几何画板演示分析）：
师：当r4时，我们得到的轨迹是什么？
生：是椭圆。
是：为什么？
生：因为当r4时动圆C2内切于定圆C1，所以两个圆的圆心距MF1满足
MF14MF2，移项后可以得到：MF1MF24满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个以F1、F2为定点，4为定长的椭圆。
师：很好。那么，当r1呢，此时动圆C2与定圆C1相切有几种情况？
生：有两种情况：内切和外切。
师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？
生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距MF1满足 MF11MF2，移项后可以得到：MF1MF21。(教师演示轨迹)师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？
生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距MF1满足 MF1MF21，移项后可以得到：MF1MF21。(教师演示轨迹)师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足MF1MF21即MF1MF21，圆心的轨迹我们称之为双曲线。
二、新课讲解：
1、定义给出
师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？
生：双曲线是到平面上两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支？
生：当MF1MF22a时，表示的是双曲线的右支，当MF1MF22a时，表示的是双曲线的左支。
2、定义探究
（教师引导学生分情况讨论）： 师：这个常数2a有没有限制条件？
生：有。这个常数2a要比焦距F1F2小。师：很好。为什么要有这个限制条件呢？其他情况会是怎样的呢？我们一起来分析一下：
（1）若a=0，则有MF1MF20即MF1MF2，此时轨迹为线段F1F2的中垂线；
（2）若2a=F1F2,则有MF1MF2F1F2，此时轨迹为直线F1F2上除去线段F1F2中间部分，以F1、F2为端点的两条射线；
（3）若2a>F1F2,则根据三角形的性质，轨迹不存在。
3、双曲线标准方程的推导过程：
师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。（师生互动，共同推导之）
第一步：建立直角坐标系；
第二步：设点：设M(x，y)，焦点分别为F1(c,0)和F2(c,0)，M到焦点的距离差的绝对值等于2a；
第三步：启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集： PMMF1MF22a；
第四步：建立方程：(xc)2y2(xc)2y22a；
ab教师强调：我们得到了焦点在x轴上，且焦点是F1(c,0)和F2(c,0)的双曲线标准方程为x2a2b2 师：那么如果焦点在y轴上呢？（学生练习）
y2x2 生（练习后）：此时的标准方程应该是221(a0,b0)。
ab 4．双曲线标准方程的探讨：
师：刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。请同学想一下，双曲线标准方程中字母a、b、c的关系如何？是不是ab？ y21(a0,b0)，这里c2a2b2 第五步：化简，得到
x22y221(a0,b0)
生：a、b、c满足等式c2a2b2，所以有a2c2b2，可以得到a,bc，但不能判断ab。师：很好。我们在求双曲线标准方程过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程很重要。那么如何根据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢？
y2x2x2y2 生：由于焦点在x轴和y轴上标准方程分别为221和221，我们发现焦点所在轴相
abab关的未知数的分母总是a，所以可以由a来判定。
x2y21，那么你如何寻找a？
师：很好。如果我们知道的方程是32 生：因为a所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了。
x2y21呢？
师：如果方程是32 生：先化成标准方程。
师：请同学总结一下。生：化标准，找正号。5．运用新知：
y2x21表示双曲线，则m的取值范围是__________，此时
【练习】已知方程9m1双曲线的焦点坐标是________________，焦距是________________；
【变式】若将9改成2m，则m的取值范围是________________________。
【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为F1(5,0)、F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点再x轴上，所以设它的标准方程为 x22ab 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。y221(a0,b0)，所以b2523216，x2y21。
所以所求双曲线的标准方程为916 【变式】已知两个定点的坐标为F1(5,0)、F2(5,0)，动点P到F1、F2的距离的差
等于6，求P点的轨迹方程。
解：因为PF1PF26，所以P的轨迹是双曲线的右支，设双曲线标准方程为1(a0,b0)，a2b2 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。x2y2 所以b2523216，x2y21(x3)。
所以所求P点的轨迹方程为916【例2】已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为
9(3,42)、(,5)，求双曲线的标准方程。
4解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为
y2x2 221(a0,b0)，ab 因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐标适合方程，代入得： (42)232212ab2a162 可解得：。92b9425212bay2x21。
所以所求双曲线得标准方程为：169【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为
9（分情况讨论）(3,42)、(,5)，求双曲线的标准方程。4 【练习】（1）ABC一边两个端点是B(0,6)和C(0,6)，顶点A满足ABAC8，求A的轨迹方程。
（2）ABC一边的两个端点是B(0,6)和C(0,6)，另两边所在直线的斜率之积是
4，求顶点9A的轨迹。
三、本课小结：
师：我们总结一下本节课我们学了什么？
生：
1、双曲线的定义；
2、双曲线标准方程推导过程；
3、运用已有知识解决一些
简单的问题。
四、作业：
《双曲线及其标准方程》是普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-1 (人教A版) 第二章第三节的主要内容。这一节是在学习了椭圆的基础上, 运用类比的方法进行研究, 使学生体会联系、发展等辩证观点。以多媒体课件为平台, 直观生动地对定义进行探究和对标准方程进行推导, 使学生体验到数学发现和创造的历程, 进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
●学生分析
上课班级是实验班, 学生的数学基础较好, 有强烈的求知欲, 具备一定的观察、分析能力。在此之前, 学生已经熟练掌握椭圆的定义、标准方程以及简单的几何性质。但是在动手操作与利用信息技术协作解决问题等方面, 发展不均衡, 有待提高。
●教学目标
知识与能力目标:了解双曲线的定义;了解双曲线的标准方程, 在化简双曲线方程的过程中提高运算能力。
过程与方法目标:经历双曲线概念的产生过程, 学习从具体实例中提炼数学概念的方法, 由形象到抽象, 从具体到一般。运用自主探索, 动手实践, 合作交流的学习方式, 激发学生学习数学的兴趣。
情感、态度与价值观目标:鼓励学生养成独立思考、积极探索的习惯, 让学生体验数学发现和创造的历程, 发展创新意识。
●教学重、难点
重点:双曲线的定义, 双曲线的标准方程, 坐标化的基本思想。
难点:双曲线标准方程的推导与化简, 坐标法的应用。
●教学过程
(一) 创设情境, 提出问题
1. 展示双曲线实际应用的PPT
通过PPT展示蕴含在生活中的双曲线模型, 如工业上的冷凝塔、未来的北京交通规划图和埃菲尔铁塔 (如图1) 。
2. 以折纸游戏创设问题情境
请学生将课前统一发放的实验用纸拿出来, 并按如下步骤进行操作。
第一步:在圆F1外取一定点F2;
第二步:在圆F1上任取一点P1;
第三步:将白纸对折, 使P1和F2重合并留下一条折痕;
第四步:用虚线连接P1和F1, 并延长交折痕于M1;
第五步:再在圆上任取其他点, 将上述步骤2～4步重复4～6次, 便可以得到一个点列M1、M2、M3……这个点列能连成一个很美的图形 (如下页图2) 。
(二) 学生活动, 体验数学
学生通过动手实践、观察, 猜想轨迹为双曲线, 教师巡视指导。
展示学生成果。
用几何画板展示动点生成轨迹的全过程, 印证猜想 (如图3、图4) 。
导出新课——双曲线及其标准方程。
(三) 意义建构, 感知数学
1. 提出问题
根据|F1F2|=10, r=5;如何用一个数量关系刻画曲线上动点M和定点F1、F2之间的关系?
2. 自主探究, 小组讨论, 合作交流
如学生有困难, 可按如下提示铺设认知阶梯:
(1) 线段|PF2|与折痕的关系?
(2) |PM|与|MF2|的关系?
(3) |MF1|与|MF2|的关系?
右支:|MF1||MF2|=5;左支:
|MF1||MF2|=5;统一:||MF1||MF2||=5。
(四) 数学理论, 建立方程
1. 双曲线定义的完善
(1) 提出问题:要想用探究结论作为双曲线的定义, 并保证它足够严密、经得起推敲。那么, 这个常数可以是任意正实数吗?有什么限制条件吗?
(2) 继续深化问题:若常数=|F1F2|或常数>|F1F2|, 情况会发生什么变化?
(3) 回顾总结:双曲线定义中哪些关键词需引起我们的注意?
2. 双曲线的标准方程
(1) 提出问题:|F1F2|=2c, 根据定义|MF1||MF2|=2a, 如何探究双曲线的标准方程?
(2) 学生自主探究, 类比椭圆标准方程的推导过程进行推导。
(3) 展示学生成果。
(4) 归纳总结, 得到双曲线的标准方程。
(5) 继续深化问题:焦点在y轴上, 标准方程是什么? (课件演示)
(6) 辨析焦点分别在x轴、y轴上的双曲线标准方程的图像、焦点和abc三者的关系。
(五) 数学应用, 巩固新知
教师出题, 学生口答。
学生互相出题检测。
(六) 回顾反思, 归纳提炼
师生共同回顾本节课的知识点、运用的数学方法和数学思想。
教学反思
在本节课的教学中, 重点放在定义的形成与标准方程的推导上, 符合新课标重视过程与方法的理念。充分调动学生已有的知识, 引导学生把新旧知识有机融合, 掌握知识的系统结构。时时与椭圆进行比较, 强化学生已经理解和掌握了的建系求曲线方程的步骤。在引导分析时, 先留出“空白”, 让学生去联想、探索, 同时鼓励学生大胆质疑, 围绕中心各抒己见。围绕学生的最近发展区铺设问题, 把思路方法和需要解决的问题弄清。然后运用多种教学方法, 使学生获得自信和成功的体验, 于不知不觉中改善了他们的思维品质, 提高了数学思维能力。
尤其值得一提的是信息技术在本课的应用。运用多媒体课件辅助教学, 既节省了板演的时间, 又充分显示出信息技术与探究合作式教学理念有机结合的教学优势。
(1) 数学来源于生活, 以生活中的数学模型为素材创设情境、提出问题, 能激发学生学习的兴趣和热情。
通过PPT演示文稿, 我依次展示从网络上搜寻到的图片:工业上的冷凝塔、法国标志性建筑埃菲尔铁塔、为了解决北京交通拥堵问题, 两院院士吴良庸提出的北京未来交通路线图。它们的轮廓都是这样的曲线。这组图片突破了书本知识的局限, 优化形成全新的、内容丰富的教学资源。鲜活、直观的事例深深地吸引了学生, 同时也拉近了教师和学生的距离。
(2) 借助几何画板化静为动, 化抽象为形象, 把学习的主动权、探索权、发现权还给了学生。通过“直觉动态材料”, 使得数学思维具有“可视”性。这样充分调动了学生的学习积极性, 使学生由被动接受知识转化主动参与。
学生的认知是在不断的思维碰撞中完善的, 几何画板动态演示让学生的思维更为严谨, 使得双曲线的定义与椭圆定义的区分这一重点顺利突破。利用几何画板提问, 不仅为学生铺设了认知阶梯, 而且使学生的形象思维和抽象思维统一起来。
关键词：解决问题；引导；巩固
教材内容的分析
1． 教材内容
本节课是人教版高中数学（实验修订本•必修）第二册（上册）第八章“圆锥曲线方程”第一节“椭圆及其标准方程”的第一课时.其主要内容是研究椭圆的定义、标准方程及其初步应用.
2. 教材的地位及作用
“椭圆及其标准方程”是在学生已学过集合与对应、函数的图象与性质、曲线与方程、坐标平面上的直线、圆等基础上，对“由已知条件求曲线的方程，再从所得方程来研究曲线的几何性质”的解析法的进一步深化，同时是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下.
第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用. 前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法.
第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想. 而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习.
第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础.
3. 教学的重、难点
重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
因为椭圆的定义和标准方程是解决与椭圆有关问题的重要依据，也是研究双曲线和抛物线的基础. 解决办法是用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调，对椭圆的标准方程单独列出加以比较．
难点：椭圆的标准方程的推导．
因为学生推理归纳能力较低，在推导椭圆的标准方程时涉及根式的两次平方，并且运算也较繁. 解决办法是对题目进行推导，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．
疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．
解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．
教材目标的确定
1. 教情、学情分析
高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用. 而高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，乐于探索、敢于探究，但逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待训练.
2. 教学目标
根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要，特将教学目标分为知识目标、能力目标和情感目标.
知识目标：掌握椭圆定义和椭圆标准方程的概念，能根据椭圆标准方程求焦距和焦点，初步掌握求椭圆标准方程的方法.
能力目标：培养学生灵活应用知识的能力；培养学生全面分析问题和解决问题的能力；培养学生快速准确的运算能力.
情感目标：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想.
教法与学法
1. 教法
为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动而愉快地学习，更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用教师引导学生自主探究的教学方法，按照“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学.
2. 学法指导
在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自主学习的时间和空间. 让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识.
教学过程的设计
1. 创设情境，复习引入
以“嫦娥奔月”引入
2007年10月24日中国“嫦娥”一号卫星成功实现第一次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度约210 千米，远月点高度约8 600 千米，且以月球的球心为一个焦点的椭圆形轨道. 已知月球半径约3 475 千米，你能求出“嫦娥”一号卫星运行的轨迹方程吗？
图1
设计意图是以人造地球卫星的运行轨道引入，让学生先对椭圆有一个直观地了解，使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习爱好. 再通过对圆的形成过程和圆方程的建立过程的回忆，以类比的方法探索平面上有规律的动点运动轨迹.
2. 动手实验，归纳概念
教师可事先预备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆. 在此基础上，引导学生概括椭圆的定义. （板书）
学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数，教师在演示中要从两个方面加以强调.
（1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件“在平面内”．
（2）这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意，若常数=F1F2，则是线段F1F2；若常数＜F1F2，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件“此常数大于F1F2”．
设计意图是以活动为载体，让学生通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验. 让他们通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力.
3. 启发引导，推导方程
由于学生已经具备了求曲线方程的经验，所以在教学中引导学生运用类比思想，探求椭圆标准方程. 主要分以下几个步骤.
（1）?摇建立直角坐标系，设出动点的坐标
引导学生根据建立坐标系的一般原则，使点的坐标、几何量的表达式简单化，并使得到的方程具有“对称美”“简洁美”的特点，选择适当的直角坐标系. 并设出动点M的坐标及相关常数.
（2）写出动点M满足的集合
根据动点的运动规律，写出动点运动所满足的方程，得到椭圆标准方程的雏形+=2a.
（3）化简
带根式的方程的化简，学生会感到困难，这也是教学的一个难点. 特别是由点适合的条件列出的方程为两个二次根式的和等于一个非零常数的形式，化简时要进行两次平方，且方程中字母多，次数高，初中代数中没有做过这样的题目，教学时，要注意说明这类方程的化简方法.
（4）归纳小结
这样用坐标法推导出了椭圆的标准方程，也是求曲线方程的一般方法，总结步骤为：建系设点，写出动点满足的集合，列式，化简.
设计意图：在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想，并感受椭圆方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！
拓展引申，对比分析
引导学生经过观察思考发现，只要交换坐标轴就可以得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程. 再通过表格的形式，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解.
设计意图是通过对比总结，不仅使学生加深了对椭圆定义和标准方程的理解，有助于教学目标的实现，而且使学生体会和学习类比的思想方法，为后边双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础.
运用拓展、提高能力
例题研究及学生练习是进一步理解基础知识，提高解题技能的重要途径；也是应用和拓展知识进一步提高能力的最关键性环节. 根据学生已有的知识经验和认知水平，本节课选择和设计以下例题与练习.
例1判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距.
（1）+=1；
（2）+=1；
（3）3x2+4y2=1；
（4）x2+=1.
例1是根据教学需要增设的一道题，目的是加深学生对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，同时掌握焦点坐标、焦距等基本量的运算技能.教学时采用教师引导下学生自主完成的方法.
例2求适合下列条件的椭圆标准方程.
（1）两个焦点的坐标分别为（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
（2）已知椭圆的焦距是6，椭圆上的一点到两焦点距离的和等于10.
例2（1）小题是教材上的例题，设计目的是进一步理解椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系，并掌握运用待定系数法求椭圆标准方程的方法. （2）小题是（1）的变式题，其目的是对学生进行分类讨论数学思想的渗透,达到拓展知识、提高能力的目的. 其中（1）小题在师生共同分析的基础上，教师详细板书，给学生一个解题的规范示例.
课堂练习
（1）课本练习，课本第95~96页中的第2、3题；
（2）已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F的直线交椭圆于M、N两点，则△MNF2的周长为；
（3）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是?摇.
回顾反思，提升经验
总结是把数学知识与技能以“同化”或“顺应”的形式纳入认知结构的重要步骤,也是提高学生归纳、总结以及语言组织与表达等方面能力的重要途径.引导学生注意以下几点.
（1）椭圆有互相垂直的两条对称轴（由直观性看出）；其焦点总是在较长的对称轴上；
（2）若椭圆的对称轴是坐标轴，则其方程为椭圆的标准方程. 反之，椭圆的标准方程表示的椭圆其对称轴是坐标轴；
（3）椭圆的两种标准方程中，总是a>b，即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上；反之，焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大；
（4）始终满足c2=a2-b2，如果焦点在x轴上，焦点坐标是（-c，0），（c，0）；如果焦点在y轴上，焦点坐标是（0，-c），（0，c）.
说课总结
设计人：赵军伟
审定：数学备课组
【学习目标】
1.理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题； 2.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；
【学习重点】理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义；
【学习难点】会用双曲线的定义解决实际问题.【复习旧知识】 1.把平面内与两个定点，的距离之和等于＿＿＿（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做＿＿＿＿＿，两定点间的距离叫做＿＿＿＿＿＿．即当动点设为时，椭圆即为点集
．平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的＿＿＿，定直线l叫做抛物线的＿＿＿.3.抛物线的＿＿＿在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的＿＿倍，准线方程与焦点坐标相反；反之可以逆推。
【学习过程】
一、由教材探究过程容易得到双曲线的定义．
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M时，双曲线即为点集PMMF1MF22a．
二、双曲线标准方程的推导过程
思考：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法自己建立直角坐标系．
无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．
类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．
y2x2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程221a0,b0．
ba推导过程：
【应用举例】
P到F1，F2距例1 已知双曲线两个焦点分别为F15,0，F25,0，双曲线上一点离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为4，求点M的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？ 9探究方法：若设点Mx,y，则直线AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是轨迹方程．
【巩固练习】
23.下列动圆的圆心M的轨迹方程：① 与⊙C：x2y2内切，且过点A2,0；
24，因此，可以求出x,y之间的关系式，即得到点M的9
22② 与⊙C1：xy11和⊙C2：xy14都外切；③ 与⊙C1：
22x32y29外切，且与⊙C2：x3y21内切．
2解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M的半径为r．
【学习反思】
椭圆是生活中常见的图形,通过实验演示,创设生动而直观的情境,使学生亲身体会椭圆与生活联系,有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣;在椭圆概念引入的过程中,改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式,而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式,让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程,有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。
椭圆方程的化简是学生从未经历的问题,方程的推导过程采用学生分组探究,师生共同研讨方程的化简和方程的特征,可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程,使学生真正了解椭圆标准方程的来源,并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中,使学生体会成功的快乐,提高学生的数学探究能力,培养学生独立主动获取知识的能力。
作者：杨宇廷
单位：抚顺市清原县第二高级中学 学科：高中数学
地址：抚顺市清原县第二高级中学 邮政编码：113300 手机号码：*** 电子邮箱：qyegsxz@163.com
椭圆及其标准方程
前言：
新课程改革实施以来，教学模式发生了重大的改变，由以往的“一言堂”形式向多种“开放式”教学模式进行转变，在教育观念的不断转变下，对于我们的一线老师也提出了更高的要求，新形势下，要想成为一名合格的老师，就需要不断的加强自己的业务能力，使自己能够变成一名受学生尊重和喜爱的老师，从而更好的提高学生的教学成绩。
基于以上原因，本人尝试制定出椭圆及其标准方程第一课时的教学设计如下：
一，教材分析
本节课是《全日制普通高中课程标准实验教科书》（选修１－１）（人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学教材实验研究组编著）第二章《圆锥曲线与方程》第一节《椭圆》的第一课时。在学习本课之前，我们已经学习了直接和圆的相关内容，使学生对于曲线和方程的概念有了一定的了解，同时，对于利用坐标法来研究几何也有了一定的认识，对于数形结合思想也有了一定的了解，从根本上来讲，本节课也属于曲线方程的一个延伸，也是利用坐标法来研究几何图形的进一步加强，本节课的掌握情况的好坏，将直接影响后面双曲线和抛物线的学习。对于学好圆锥曲线也有重要的意义。
椭圆这一节课体现出来的一些学习方法对于后面双曲线和抛物线的学习有一个重要的引导作用，但是本节课也难度较大，对于缺乏数形结合能力，不爱作图的学生来廛，学习起来是非常困难的，尤其是我所要教授的是一群普通高中的学生，更是难上加难的。
二，学习对象分析
１.学习对象
本节课重点讲解内容是椭圆，经过上一节课的学习，学生有了一些求点的轨迹问题的知识基础和能力，但是由于我们的学生作为普通高中的一名学生，在高中招走７００名学生后，才进入到我们学校的学生来讲，他们的起点低，学习习惯不好，导致了我们的教学难度的加大，所以，从研究圆，跨越到椭圆，学生会存在一定学习上的障碍，教学过程中更要注意这方面的教学。对于学生的抽象思维，分析能力都是一个较大的考验。
２.知识基础
上课前，要对学生对于直线和圆的方程，以及曲线和方程部分知识点进行适当的回顾，将学生拉到利用坐标法来解决实际问题的过程中来。对于当初圆的标准方程的得出过程让学生重新整理一下思路。
3.能力基础
对于学生培养起利用坐标法研究几何图形，充分锻炼学生的抽象能力和数形结合思想，使学生能够学以致用，将来更好地应用到学习中去。对于我的学生来讲，这些都是比较难做到的，在教学过程中，更应该有足够的耐心。
三，学习目标
根据新课程标准的要求，以及我们学校学生的实际学习情况，将本节课的教学目标确定为知识与技能目标、过程与方法目标、情感态度与价值观目标，具体如下：
1.知识与能力目标
（1）掌握椭圆的定义（理解椭圆、椭圆的焦点和椭圆的焦距的定义）及其标准方程，教会学生如何在整理过程中准确，快速得到我们所要整理代数式的答案。
（2）通过对于椭圆标准方程的整理过程，进一步加强学生的计算能力，增强学生利用坐标系分析解决问题的能力，体会数形结合思想的应用。
（3）能够根据所给条件，准确快速写出椭圆的标准方程（包括焦点坐标、焦距）
2.过程与方法目标
（1）利用布置给学生需要带的强子，两人合作作出椭圆，使学生带有愉悦的心情，完成椭圆的绘制过程，提高了学生的动手能力和合作学习能力。
（2）通过两名同学的绘制过程，让学生体会到点的运动规律，培养学生将抽象转变为具体，归纳知识等能力的提高。让学生通过椭圆的绘制，给出椭圆的定义，完成教学的第一个难点内容。并通过些种方法，激发学生的学习兴趣，帮助他们重新树立信心，完成本节课的教学。
四、学习重点、难点
根据以上的教学分析，将本节课的重点、难点确定为：
1.学习重点
重点：掌握椭圆的定义及其标准方程。
通过对于教材的分析及本节课的内容，椭圆的的定义是本节课的重点，也是将来做题的时候经常用到的。必须在学生的做图过程中，让学生体会到一个个动点到两个定点距离和等长数（绳长）这一过程，这样才能够加深学生对于椭圆定义的理解，更好的将它们应用的实际问题的解决过程中去。通过对于“定长”的分析，加深学生对于椭圆定义的理解
突破重点的关键：运用多媒体手段，制作椭圆形成过程的动太图，通过图形的形成过程，引导学生给出椭圆的定义。使学生对于椭圆的认识从感觉性认识上升到理性认识。
2．学习难点
难点：椭圆标准方程形式及推导过程
通过对于教材的分析及本节课的实际内容需要，椭圆的标准议程的推导过程（如何建系）是本小节的难点所在，在推导过程中应该注意：（1）如何建系，好的坐标系的建立，可以帮助我们先解决至少一半的难点。
（2）焦点位置的选择，（两种状态）
突破难点的关键：掌握建立坐标系的方法及化简根式的方法（快速而准确）恰当的展示建立坐标系的方法，合理分配根式的化简步骤，引导学生一步步给出正确的整理过程，得出正确的椭圆的标准方程。在此过程中，老师必须要有足够的耐心，给学生充足的时间，适时点拨，也可以让学生进行分组讨论，共同研究出解决问题的方法，这些都有利于我们化解难点、突破难点。
五． 学习目标
（1）师生共同用绳做出椭圆，使学生相信原来他们也可以做出如此优美的曲线，再通过课件展示椭圆的形成过程，使学生认识到科技的重要性，进行适当的科学教育。
（2）进一步加强师生互动，加深学生与老师的感情培养，更好的利用教学相长这一特点。
六．学习思路设计
能过对新课标的学习，在现行教学手段下，结合现代教育技能对于本节课进行教学设计，对于学习目标的确定，具体如下：
1.利用先进的科学技术手段，对学生灌输正能量，转化为动力，更好地投入到学习中去。
2.课件展示椭圆的形成过程，对于学生对于椭圆的理解是有很大的帮助的，也能够更好地帮助学生理解椭圆。
3．教学方法的设计（1）教法
新课标要求以“学生发展为核心”，老师是学生的组织都、促进者、合作者，在教学过程中要注意以学生为主体，让学生真正地动起来，体现出学生的主体作用，让学生动手作图，使学生能够真正地参与到教学中来，激发学生的学习兴趣。学生现阶段对于一切新鲜事物都有好奇心，这样做，使他们能够以极大的热情参与到我们的教学过程中来，才能更好地提高他们的学习成绩，更好地完成我们的教学过程。
（2）学法
在学法方面，增强学生的自主性、互动性、探究性的学习，让学生以一种自主探索、合作交流的方式参与到学习过程中来，会有事半功倍的效果的。只有这样做，才能使他们对于所学的内容有了更深层次的认识，只有学生积极主动的参与到了学习过程中来，我们老师才能更好地完成我们的教学过程。
（３）本节课时：
一、创设情境，引入课题。
二、实验探究，研究概念。
三、研究探讨，推导程。
四、归纳概括，五、应用举例，变式巩固。
六、课堂小节，布置作业。
七．课堂准备 本课时，需要学生自己动手绘制椭圆，安排学生提前准备好一要细绳（不带弹力）。
八，课时安排（1课时）
椭圆及其标准方程
九、学习设计
（一），创设情境，引入课题
1，创设情境
课件展示行星围绕太阳旋转的gif图，引导学生观察行运行轨迹，通过学生的讲述，得到我们本节课的课题：椭圆及其标准方程。
设计意图：根本图片上绚丽的色彩，及星空的美丽，引发学生的求知遇。也许有一天，他们也会飞向太空，通过这样的方式，使学生明确本节课的学习目标。
2，引入课题
课件展示利用平面去截取对顶圆锥所能到的截面的形状，给出课题，适当回顾前面所学过的圆的知识及圆的标准方程。
设计意图：再次激发出学生的学习兴趣及求知欲。学生活动：对老师提出的问题，进行思考回答。
（二）实验探究，形成概念
1.实验探究
动手实验：以学生为中心，安排两名学生黑板演示椭圆的形成过程，（老师引导学生完成），展示完毕后，让下面的同学，同桌之间相互合作，完成椭圆的制作过程。并在学生实验过程中提出如下问题：（1）椭圆是一些什么样的点所围成的图形？
（2）它们满足什么规律（什么是不变的）？
2、形成概念
老师课件展示椭圆的形成过程，（通过不断的变化引导学生喜欢上椭圆），引导学生给出椭圆的定义：平面内到两个定点的距离的等于常数的点的轨迹叫椭圆。教师给出焦点，焦距的概念。再具体给学生分析定长与两点间距离的关系，加深学生对于椭圆的定义的理解与掌握。
设计意图：通过以上形式，引导学生进入本节课的学习情境，完成本节课的教学。
（三）研讨探究、推导方程
1.研讨探究
老师活动：通过刚才的课件展示，引导学生对于前面所学知识的回顾，并使学生尝试推导椭圆的标准方程：
（1）如何建立平面直角坐标系？
（2）不同的建系方法，哪种形式看起来更为方便？
设计意图：通过回顾前面所学的知识，使学生能更快的理解并掌握椭圆的方程的推导过程。２.推导方程 课件展示椭圆并提问。
师：如何将椭圆放置到平面直角坐标系中？ 生：经过讨论给出应该以焦点所有直线做为X轴，以线段中点为坐标原点的建系方法。
师：对于学生的回答给予肯定，夸奖一下，使学生能够乐呵呵地投入到接下来让人头疼的化简过程中来。
课件展示椭圆方程整理过程中的部分重点步骤，起到一个引导作用，并及时纠正学生所出现的错误，使学生能够顺利准备的完成椭圆标准方程的整理过程。
（四）归纳概括
师：通过前面的学习，得到了椭圆的标准方程，那么我们能否转变一下焦点所在的位置，换一种方法，得到焦点在Y轴上的椭圆的标准方程。让学生分组讨论，整理出另一种椭圆的标准方程。课件展示椭圆的两种标准方程。
（五）应用举例，变式巩固
课件展示例题：
例１.根据下列条件，求椭圆的标准方程（１）两个焦点坐标分另是（－３，０），（３，０）。椭圆上一点Ｐ与两焦点的距离和等于８；
（２）两个焦点的坐标分别是（０，－４），（０，４），并且椭圆经过点（3,5）。
引导学生独立完成这两道例题，老师适当给予充分和肯定。幻灯展示解题的过程。
变式１.根据下列条件求椭圆的标准方程（１）a=5,b=4,焦点在x轴上；（２）焦点坐标为（－５.０），（５，０），椭圆上一点到两焦点的距离之和是２６；（３）a=5,c=17,焦点在y轴上。
设计意图：通过以上例题的讲解与传授，变式训练的强化训练，加深学生对于椭圆的标准方程的理解与掌握。更好的能够理解椭圆，并应该相关知识解决实际应用问题。
例２.示下列方程表示的椭圆的焦点坐标；
x2y21；（１）（２）8x23y224。3624设计意图：加深同学对于椭圆标准方程的理解与掌握，通过具体实例解决实际的应用问题，达到事半功倍的效果。
变式２：求下列方程表示的椭圆的焦点坐标；
x2y24x29y222221,(2)2x4y1,(3)25x16y144,(4)1（１）28122525设计意图：进一步加强椭圆标准方程的理解与掌握。
（六）课堂小结，布置作业 １，课堂小结
（１）椭圆是一种优美的曲线，通过本节学习认识到几何图形的美感。（２）掌握椭圆的定义及其标准方程。熟练掌握曲线方程的整理过程。设计意图：进一步加深学生对于椭圆及其相关的内容的理解与掌握。２，布置作业
教材P43习题２－１Ａ第１题
1. 关于“如何引入课题”
在我们的日常生活中,抛物线有着重要而广泛的应用, 例如,探照灯就是利用抛物面的光学性质制作而成,将点光源发出的光,折射成平行光,照射到足够远的地方. 教师在引入课题的时候可以利用多媒体向学生展示一些类似的例子,让学生直观地感受抛物线,同时对比二次函数及其图像,向学生抛出“如何给出抛物线的定义”,从而引出新课.
2. 关于“抛物线定义的教学”
在介绍抛物线的画法时,教师应尽量创造条件,让学生亲自动手画出抛物线,引导学生细心观察动点的运动过程, 并用数学语言描述动点的运动规律,用心体会数学语言的精确性. 在画抛物线的过程中,使学生明白抛物线上的点所满足的几何条件,引导学生概括出抛物线的定义. 对抛物线的定义特别要强调的是定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过定点F垂直于直线l的一条直线. 如,到点F( 1,0) 和到直线l: x + y - 1 = 0的距离相等的点的轨迹为: x - y - 1 = 0,该轨迹是过定点F( 1,0) 且垂直于直线l: x + y - 1 = 0的一条直线.
同时,也可以恰当使用信息技术帮助学生理解抛物线的概念,例如几何画板等,以便让学生更直观地看到动点的运动轨迹. 但有时教师由于课时等因素的限制,一般都会在课下就做好课件,课堂上直接演示. 实际上用几何画板演示抛物线的形成过程时,建议教师让学生亲历课件制作的过程,演示过程中注意动点的运动速度的控制,引导学生边观察、边思考,这样的过程会有利于学生在动态变化中强化对几何概念的认识.
3. 关于“抛物线标准方程的教学”
由于在教学中圆锥曲线方程的推导都需要建立坐标系,故教师要引导学生有意识地加强对“如何建系”的思考, 例如抛物线方程的推导中为什么不将定点设在坐标系的原点处? 或是以定直线为y轴? 这样的思考无疑会有利于学生理解标准方程的意义,进而进一步理解解析几何的本质. 特别要注意的是,学生可能会提出各种建系的方式,为了使抛物线方程最后的形式简洁,教师应与学生共同分析并做计算,从而找到较好的建系方式. 与此同时还要强调动点所满足的几何条件,因为这是求曲线方程的关键.
还有在推导的过程中会遇到方程的化简. 在很多情况下,学生都会遇到类似的方程的化简、利用多个等式于不等式的关系解决如变量的取值范围等问题. 由于学生在初中阶段方程的学习仅限于整式方程中的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程和二元一次方程组,以及可化为一元一次方程的分式方程,不等式的学习也仅限于一元一次不等式,高中阶段学习了一元二次不等式,教师从学生这样的经历不难看出,学生在学习本章时代数变形的学习经历是非常有限的,这就造成了一部分学生在具体的解题过程中缺乏信心、经验不足. 因而,建议教师结合学生遇到的具体困难,加强对学生的指导和示范,帮助学生积累代数变形的经验,提高代数推演的能力.
另外,一条抛物线由于它在坐标系内的位置不同方程也不同,于是希望学生自己归纳出抛物线开口向左、向上、 向下三种情形下的方程,并求出相应的顶点坐标、焦点坐标. 建议画出表格的第一、第二列,引导学生根据抛物线的对称性将下表补充完整.
4. 关于“知识巩固”
考虑到抛物线的定义,几何图形,标准方程要求掌握, 所以在设置例题的时候要有梯度,例如: 求下列抛物线的焦点和准线方程:
同时,为了强调圆锥曲线的应用体现数学的应用价值, 可以选取实际应用的例子,帮助学生树立模型观念,为运用这些模型解决实际问题做了良好的铺垫.
5. 结束语
一、已知双曲线上两点，双曲线方程可设为 。
例1、已知双曲线上两点 ，求双曲线的标准方程。
解（法一）：（由于双曲线焦点的位置不明确，我们一般是分情况讨论求解）
当所求双曲线焦点在x轴上时，设双曲线标准方程为
将 两点代入上式得： ，此方程无解；
当所求双曲线焦点在y轴上时，设双曲线标准方程为
将 两点代入上式得： ，解得：
所以双曲线方程为 。
（法二）设双曲线方程为 ，
将 两点坐标代入得： ，
所以，所求双曲线的标准方程为 。
对比总结：已知双曲线上两点，求双曲线方程，可设为 。
但需注意：①必须标明 ；②当双曲线焦点位置不确定时，可将双曲线方程设为 ，这个方程包括了焦点在x轴和y轴两种情况。
二、与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程可设为 。
例2、求与双曲线 有相同渐近线并且经过点 的双曲线方程。
解：（法一）双曲线的渐近线方程为 ，
当所求双曲线焦点在x轴上时， ，设其方程为 ，将点 代入上式： ，解得： ，所以双曲线方程为 ；
当所求双曲线焦点在y轴上时， ，设其方程为 ，将点 代入上式： ，此方程无解。
综上所述，所求双曲线的方程为 。
（法二）设双曲线方程为 ，将点 代入上式 ， ，所以所求双曲线方程为 。
对比总结：与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程可设为
但需注意：①不能漏标 ；②若已知双曲线的渐近线方程，也可归纳为设法求解。
三、与椭圆 共焦点的双曲线方程可设为 。
例3、求于椭圆 共焦点且过点 的双曲线的标准方程。
解：（法一）因为椭圆 的焦点为 ，所以所求双曲线焦点为 。所以设所求双曲线方程为 ，将点 代入上式得： 且 ，消去 得 或 。当 时 舍
当 时 ，所以双曲线标准方程为 。
（法二）设双曲线方程为 ，将点 代入上式，得： ，解得： 或
，所以，所求双曲线的标准方程为 。
对比总结：与椭圆 共焦点的双曲线方程可设为
但需注意：① 的取值范围；②可拓展：与双曲线 有公共焦点的双曲线方程可设为 。
四、等轴双曲线的方程可设为 。
例4、若等轴双曲线过点 ，求该双曲线的标准方程。
解：（法一）当所求等轴双曲线焦点在x轴上时，设其方程为 （a>0）
将点 代入上式得 ，解得 ，所以双曲线方程为 ；
当所求等轴双曲线焦点在y轴上时，设其方程为 （a>0）
将点 代入上式得 ，此方程无解。
综上所述，所求等轴双曲线的标准方程为 。
（法二）设双曲线方程为 ，将点 代入方程解得： 。
所以，所求双曲线的标准方程为 。
对比总结：等轴双曲线的方程可设为 。
但需注意：①不能漏标 ；② 时，表示双曲线焦点在x轴上； 时，双曲线焦点在y轴上。
巩固练习：
1、经过点 的双曲线的标准方程为
2、经过点 且一条渐近线方程为 的双曲线标准方程为
3、双曲线与椭圆 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为 ，则双曲线的方程为
4、等轴双曲线过点 ，则该双曲线的方程为
练习答案：1、 2、 3、 4、
四川省安岳中学
唐开兵
本教案依据全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)第八章圆锥曲线方程，前面的教案已经详述了本课所涉及到知识与方法，现对本教案做以下三点说明
一、本课内容的数学本质与教学目标定位
在第七章中，我们已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念已经有过一些了解，并求过简单曲线方程各利用其方程研究曲线的几何性质，本课在这基础上学习椭圆及其标准方程，通过这一课的学习，学生既进一步熟悉理解数形结合的基本思想，又进一步从圆拓展到椭圆乃至圆锥曲线等二次曲线的图像、方程与性质。
我们知道，教科书对三种圆锥曲线不平均使用力量，以椭圆为例交代求方程，利用方程讨论几何性质的一般方法，在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此，我们不仅要进一步巩固好求轨迹的一般方法，而且还要进一步利用这种方法来解决椭圆的轨迹问题，要回答出椭圆的轨迹方程，必追溯到椭圆的概念，这个概念又与已熟悉掌握的知识有何联系呢？这些内容恰好就是本课重点要突破掌握的内容。只有学好了本课，才能为椭圆的性质打下坚实的基础；只有学好了本课，才能对根式的化简有一个新的认识；只有学好了本课，才能深化已有知识；只有学习好了本课，才能为二次曲线铺平一条崭新的道路；也只有学好了本课，才能巩固数学学科知识与其他知识的联系。
随着20世纪以来数学飞速发展，数学的本质和应用都发生了巨大的变化，不仅发展了许多新领域，而且应用数学的问题都发生了巨大的变化，通过本课可以发现，古往今来，椭圆不仅应用了人们生活的各个领域中，而且在遥远的太空，大多数星球的轨迹几乎都是椭圆。嫦娥奔月过程中，嫦娥一号无论是绕地球的16小时轨道、24小时轨道、48小时轨道，还是环月12小时轨道、3.5小时轨道的平面图都是椭圆，而且根据开普勒关于行星运动的三大定律的第一定律：所有行星的运动轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。这个定律也适用于卫星系统。更何况，嫦娥一号的这些轨道椭圆的一个焦点是地球或月球。
既然如此，本课的教学目标应定位在椭圆的概念及其相关的焦点、焦距上，并会推导椭圆的标准方程，还能灵活应用椭圆标准形式确定椭圆的标准方程，为进一步掌握椭圆及其他圆锥曲线的性质埋下伏笔。由此目标，不难得出本课的重难点及德育渗透点等。
二、借误导悟、粗中有细
前面不仅谈到了本课的承前启后的作用，还从数学学习思想上定位了本课的教学目标。
当然，任何一门学科，任何一课都有很多误区。关键是我们不能由误到误，以致于误入歧途，而要细心发现发掘，由误导悟，积累新知识，完善自己。
误区之一，漏掉关键字，误解椭圆的概念。椭圆的概念应特别强调这个常数要大于两定点间距离，采用对立面思考问题的思想，可以发现，其余两种情况的轨迹问题。这个地方可与学生在课堂中当堂探讨完成，也可留着课后思考题，在以后的课堂上补充归纳。误区之二，建立直角坐标系，求椭圆的方程时，不利用建系的基本原则及椭圆本身具有的性质，而盲目建系导致运算量加大。这时，只要稍加引导点拨，即可走出误区。
误区之三，关于椭圆标准方程的误区。其
一、应理解何谓“标准”，就是焦点在坐标轴上，中心为坐标原点的椭圆的方程。其
二、椭圆的两种标准方程中，都有a>b>0，这一点可从b2=a2—c2中直观理解到。（b2=a2—c2易与常见Rt△中a2+b2=c2混淆，因此这个地方要反复让学生体会椭圆中这个特征三角形，让数(b2=a2—c2)与形(特征三角形)完美结合起来），其
三、椭圆的焦点总在长轴上，椭圆的标准方程中，若其焦点在x轴上，其焦点坐标为(c,0)；椭圆的标准方程中，若其焦点在y轴上，其焦点坐标为(0,c)。其
四、两个标准方程都可抽象成x2Ay2B1(A0,B0)，据A、B的不同可得其焦点的位置，必要时还可逐渐引导对于AxByC的方程，只要A、B、C同号，均可化为22x2CAy2CB1，逐步朝椭圆的标准方程靠近。
总之，“误”并不可怕，怕的是不“悟”而继续再“误”。
三、预期效果分析
本堂课依据全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)及其对应的教学大纲，以学生为主题，采用“学生自主学习+教师讲授引导”的教学方法，在已有知识基础上通过动手、演示构建新知、应用新知、强调新知。这样既符合课程标准要求，又切合学生实际。
教学过程中，学生首先对嫦娥一号充满了无限好奇，激起其求知欲，进而思考其如何成为月球的卫星。通过观看电影知道了嫦娥到月球，大部分时间在绕椭圆轨道运动。何谓椭圆呢？椭圆是怎样画出来的呢？与前面圆的知识有何联系呢？这一连串的问题从学生内心迫使自己“蠢蠢欲动”，于是从自己的动手动脑和教师多媒体演示中体会椭圆，自然而然建立起对椭圆概念的印象。学新概念避免不了“抠”关键点。于是一分为二，发散思考椭圆概念的另一面所涉及到的轨迹问题。概念固然重要，但仅仅停留在概念上是远远不够的。于是向概念深层次发掘探究椭圆的方程。于是在求轨迹的一般思想的引导下，向椭圆的方程方向研究去……
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