复变函数试题

复变函数试题（精选6篇）

复变函数试题 篇1

复变函数

第一节

解析函数的概念及C.-R.方程

1、导数、解析函数

定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。如果极限

存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。

定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。解析函数的导（函）数一般记为或。

注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称在处可导。

注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；

注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；

注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。

解析函数的四则运算：

和在区域内解析，那么，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。

复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，那么复合函数在内解析，并且有

求导的例子：

（1）、如果（常数），那么；

（2）、，；

（3）、的任何多项式

在整个复平面解析，并且有

（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。

2、柯西-黎曼条件

可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：

定理2.1

设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：

1、实部和虚部在处可微；

2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）

证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时

其中。比较上式的实部与虚部，得

因此，由实变二元函数的可微性定义知，在点可微，并且有

因此，柯西-黎曼方程成立。

（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：

设则由可微性的定义，有：

令，当（）时，有

令，则有

所以，在点可微的。

定理2.2

设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：

1、实部和虚部在内可微；

2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）

关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：

注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；

注解2、解析函数的导数形式更简洁：

公式可避免利用定义计算带来的困难。

注解3、利用两个定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析。

3、例题

例1

证明在任何点都不可微。

解，四个偏导数在复平面内连续，但任何点都不满足方程，故在任何点都不可微。

例2

试讨论定义于复平面内的函数的可导性。

解：

四个偏导数在复平面内连续，且在复平面内满足方程，故在复平面内处处可导。

例3

设函数在复平面可导，试确定常数之值。

解

由方程

得

（1）

（2）

由（1）

得

（3）

由（2）

得

（4）

（5）

解（3），（4），（5）得。

第二节

初等解析函数

1、幂函数

利用对数函数，可以定义幂函数：设是任何复数，则定义的次幂函数为

当为正实数，且时，还规定。

由于

因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子

个数。

2、幂函数的基本性质：

1、由于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数；

2、当是正整数时，幂函数是一个单值函数；

3、当（当是正整数）时，幂函数是一个值函数；

4、当是有理数时，幂函数是一个值函数；

5、当是无理数或虚数时，幂函数是一个无穷值多值函数。

设在区域内，我们可以把分成无穷个解析分支。对于的一个解析分支，相应地有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，的这个单值连续分支在内解析，并且,其中应当理解为对它求导数的那个分支，应当理解为对数函数相应的分支。

对应于在内任一解析分支：当是整数时，在内是同一解析函数；当时，在G内有个解析分支；当是无理数或虚数时，幂函数在内有无穷多个解析分支，是一个无穷值多值函数。

例如当是大于1的整数时，称为根式函数，它是的反函数。当时，有

这是一个值函数。在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得得区域内，它有个不同的解析分支：

它们也可以记作，这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。

当不是整数时，原点及无穷远点是的支点。但按照a是有理数或者不是有理数，这两个支点具有完全不同的性质。

为了理解这些结论，我们在0或无穷远点的充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线围绕0或无穷远点。在上任取一点，确定在的一个值；相应地确定,在的一个值。现在考虑下列两种情况：

(1)

是有理数，当一点从出发按反时针或顺时针方向连续变动周时，从连续变动到，而则从相应地连续变动到,也即第一次回到了它从出发时的值。这时，我们称原点和无穷远点是的阶支点，也称为阶代数支点。

（2）不是有理数时，容易验证原点和无穷远点是的无穷阶支点。

当不是整数时，由于原点和无穷远点是的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为割线，得一个区域。在内，可以把分解成解析分支。

关于幂函数当为正实数时的映射性质，有下面的结论：

设是一个实数，并且。在平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域。考虑内的角形，并取在内的一个解析分支

当描出内的一条射线时（不包括0），在平面描出一条射线。让从0增加到（不包括0及），那么射线扫过角形，而相应的射线扫过角形，因此把夹角为的角形双射成一个夹角为的角形，同时，这个函数把中以原点为心的圆弧映射成中以原点为心的圆弧。

类似地，我们有，当是正整数时，的个分支

分别把区域双射成平面的个角形

.3、例题

例1、作出一个含的区域，使得函数

在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在点的值。

解：由于

我们先求函数的支点。因为的支点是0及无穷远点，所以函数可能的支点是0、1、2及无穷远点。任作一条简单连续闭曲线，使其不经过0、1、2，并使其内区域含0，但不包含1及2。设是上一点，我们确定、及在这点的值分别为

。当从按反时针方向沿连续变动一周时，通过连续变动可以看到，增加了，而

没有变化，于是在的值就从

连续变动到

因此0是函数的一个支点；

同时，任作一条简单连续闭曲线，使其不经过0、1、2，并使其内区域含1，但不包含0及2。设是上一点，我们确定、及在这点的值分别为

。当从按反时针方向沿连续变动一周时，通过连续变动可以看到，增加了，而没有变化，于是在的值就从

连续变动到

因此1也是函数的一个支点；

同理，2和无穷远点也是它的支点。

支点确定后，我们作区域，把函数分解成单值解析分支。

首先，在复平面内作一条连接0、1、2及无穷远点的任意无界简单连续曲线作为割线，在所得区域内，可以把分解成连续分支。例如可取作为复平面上这样的割线，得区域。

其次，任作作一条简单连续闭曲线，使其不经过0、1、2，并使其内区域包含这三个点中的两个，但不包含另外一点。设是上一点，确定在的一个值，同样的讨论，有当从沿连续变化一周回到时，连续变化而得的值没有变化。

所以，我们可以作为割线如下，取线段及从2出发且不与

相交的射线为割线，也可以把分解成连续分支。例如取在所得区域内，可以把w分解成连续分支。例如可取及作为复平面上的割线，得区域。

求在上述区域中的一个解析分支

在的值。

在，取

于是在或内，可以分解成两个解析分支

由于所求的分支在的值为，可见这个分支是

由下图可以得到，在或内处，因此的所求分支在的值是

.例2、验证函数在区域内可以分解成解析分支；求出这个函数在上沿取正实值的一个分支在处的值及函数在下沿的值。

证明：我们有

则0及1是的三阶支点，而无穷远点不是它的支点。

事实上，任作一条简单连续闭曲线，使其内区域包含0、1，设是上一点，确定在的一个值，当从沿连续变化一周回到时，连续变化而得的值没有变化。

因此，在区域内，可以把分解成解析分支。现在选取在上沿取正实值的那一支，即在上沿，其中，根号表示算术根。求这一支在的值。

在上沿，取。于是所求的一支为

其中，根号表示算术根。求这一支在的在内处

于是的指定的一支在处的值是

.最后，考虑上述单值分支在下沿取值的情况。在区域内，当沿右边的曲线，从上沿变动到下沿时，没有变化，而减少了，于是在的下沿，有

当沿左边的曲线，从上沿变动到下沿时，增加了，而

没有变化，于是在的下沿，有

因此，无论怎样，当在的下沿时，上述单值分支的值是

.注解1：

对具有多个有限支点的多值函数，不便采取限制辐角范围的办法，而是首先求出该函数的一切支点，然后适当联结支点以割破复平面，于是，在复平面上以此割线为边界的区域内就能分出该函数的单值解析分支。因为在内变点不能穿过支割线，也就不能单独绕任一支点转一整周，函数就不可能在内同一点取不同的值了。

注解2：

复变函数试题 篇2

数学分析是高等院校数学专业的重要基础课,其主要研究对象是取值为实变量的实变函数.而复变函数是自变量为复数的函数,复变函数论是分析学的一个分支,故又称复分析,它是数学专业的后继课.复变函数论的主要研究对象是解析函数.学生在数学分析的基础上学习复变函数,如果能对二者间的内在联系深入探讨,那么有助于轻松掌握这些数学课程,减轻学习压力.通过学习,我们知道复变函数论中的许多内容都是数学分析中相关内容的延伸与拓展.例如函数的极限、连续性、可微性、洛必达法则、积分的概念及其性质、级数理论中的泰勒展开式等内容,在这儿不一一列举.本文就二者在初等函数方面的不一致给予对比,以加深学生对相关内容的学习与理解.

二、两者之间的差别

对任意的复数z=x+iy,复变数z的指数函数定义为w=ez=ex(cosy+isiny).若y=0,则w=ex,故实指数函数是复指数函数的特例.w=ex不是周期函数,但是w=ez是以2πi为周期的周期函数,即ez+2πi=ez.

三、小结

数域从实数域拓展到复数域后,我们在实分析中所学的极限、导数、积分、零点、基本初等函数、中值定理等知识也随着具有了不同的性质,也就是说它们在实数域中的性质不能一成不变地推广到复数域上来.本文就基本初等函数方面在实函数与复变函数中的不同点进行了分析和比较.通过比较我们可以发现新旧知识之间既存在着区别又有联系,只有通过比较分析才能够牢固地掌握新旧知识.因此在教学与学习的过程中,一定要关注二者的差异,这样才能将基础课与后继课紧密结合,达到事半功倍的效果.

摘要：本文主要从基本初等函数方面阐述了一元实变函数与单变量复变函数间的重大差异,由此巩固和理解基础课与后继课间的内在联系,达到事半功倍的效果.

关键词：实变函数,复变函数,基本初等函数

参考文献

[1]钟玉泉.复变函数论(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京:高等教育出版社,1998.

[3]同济大学数学系编.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2006.

[4]刘玉莲.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

工科复变函数课程的教学体会 篇3

【关键词】复变函数 教学方法 实变函数

【中图分类号】O174 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）06-0124-02

复变函数是高等院校工科专业的必修课，它对于培养学生的抽象思维，逻辑推理、空间想象和科学计算能力都起着重要的作用。其广泛涉及理论物理、自动控制、信号处理、流体力学、弹性力学等众多领域。复变函数的理论与方法是许多相关学科的重要解析工具，因此，学好复变函数这门课程是十分重要的，笔者结合多年教学经验，总结了一些复变函数的教学体会。

一、复变函数课程的特点

复变函数是在微积分的基础上形成发展起来的一门数学学科，它将数域由实数域扩充到复数域构建了新的数的表示形式x=x+iy，形成了特有的理论和计算技巧。定义了复变函数的初等函数，也由此建立三角函数和指数函数的关系，对欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ给出了很好的解释。由于数域的扩充使复变函数对应两个二元实函数w=f（z）=u（x，y）+iv（x+iy），这就将实变函数的极限、导数、微分、级数从基本定义到计算方法推广到复变函数，使得复变函数的理论更简洁，方法更巧妙。复变函数的积分是复变函数理论的重要部分，积分将复变函数的导数、微分，级数，留数联系到一个理论线索上。复变函数通过复平面建立了两个平面的点的对应关系，构成了平面到平面的二维映射，这是复变函数的一个重要贡献。

由于复变函数的很多概念理论和计算方法直接借助于高等数学知识，要求学生有很好的高等数学基础，同时也要求教师在教学中做到边复习高等数学边讲授复变函数，使学生的知识体系得以连贯，真正学到新的知识。随着高等教育改革的不断深入和多媒体的使用，复变函数课时相对减少， 如何才能让学生在有限的时间内高效的学好这门课，是复变函数教学的首要任务。

二、复变函数的教学体会

1.合理安排教学内容

复变函数课程的教材很多，西安交通大学高等数学教研室编写的工程数学《复变函数》，对于工科学生来讲，不失为一本很好的教材，教材内容充分，结构合理，理论应用相得益彰，但教师在教学中，还应对教材进行再加工，即要借重教材的优点，又要照顾学生。精心设计课程内容的引出、分析、解答等过程，通过抽象概念与具体实例结合，抽象思维与形象思维结合，渗透现代数学思想，提高学生兴趣，培养学生的数学思维能力和综合应用能力。

做为数学课程复变函数教材的章节是按着严格的逻辑顺序展开的，有着很强的系统性和整体性。对于一些重点知识、新知识可以安排较多课时，比如模函数，幅角函数的解析性，C-R方程、柯西-古萨基本定理、柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理等复变函数的几个重要定理需要多花精力比较使用方法，介绍应用技巧。有些知识象复数及复数的计算已经下放到了高中，所以可作为复习内容，安排较少课时。

2.采用适当的教学方法

在教学过程中，可以采用多种教学方法和教学手段，由于复变函数的许多性质、概念、定义与高等数学有着相似之处，又与高等数学在某些方面有着实质不同，比较教学法是最适用于复变函数教学的。 在复变函数教学过程中，应注意将复变函数的概念、定理以及处理问题的方法与高等数学进行对比，使学生在建构新的知识体系的同时能够区分两者之间的差异。

探索一套行之有效的考试考查方法，增加单元测验，加大平时成绩比重，把考试分为开卷和闭卷。利用单元测验检查学生对知识的掌握程度。 每章结束之后上习题课，采用对话式教学方法，提出问题，引导学生思考问题、解决问题，及时发现和纠正学生的错误，以补充和巩固复变函数的教学内容。

3.充分利用多媒体教学

借助优质示范课教学平台制作《复变函数》课程的电子教案、多媒体课件，习题库、试题库，实施网络教学，实现师生互动，从而优化了学习过程、提高了学生的学习兴趣和学习效率。利用电子课件教学，使教学更生动、更立体，从而培养学生的理解力、洞察力、数学思维能力。同时将某些抽象的理论具体化，在很大程度上节约黑板书写时间，增加授课的信息量。

4.将数学实验引入课堂教学

利用MATLAB进行辅助教学可以进行复数基本运算包括计算复数的实部、虚部、模和幅角，也可以计算复变函数的导数、积分和留数，MATLAB绘制复变函数图象直观地展示复变函数的特殊映射规律。这样不但加强了学生对复变函数中的抽象概念的直观认识，而且还提高了学生运用数学和计算机解决实际问题的能力，激发了学生对复变函数的兴趣。

5.注重知识应用，培养学生应用能力

复变函数与其他学科如物理、数理方程、流体力学、电磁学等都有不同程度的联系，在教学中不仅要清晰地向学生讲述复变函数的基本知识，还应该帮助学生建立起该学科与学生专业的关系。为此，在复变函数的教学中要把握好知识应用的指导，了解学生的专业以及后续的基础课和专业课，在讲解复变函数理论的同时，向学生介绍复变函数在相应学科中的应用。如解析函数可以刻画流体流动的复势。留数和流量、环量的联系等。

总之，在复变函数的教学过程中要注意素质教育内容的融入，注重培养学生的创新能力，培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力和分析解决问题的能力。复变函数的教学不仅在于教授学生知识，更在于培养学生的数学思想，提高学生的综合素质，促进学生的全面发展。

参考文献：

[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2003

[2]张必山.试析复变函数课程教学改革[J].教育与职业，2010

[3]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].第四版，高等教育出版社，2005

[4]付小宁.工科复变函数课的教学实践[J].中国电子教育，2009

陈宗煊老师复变函数 后感 篇4

学习复变函数已经是大二的事情了。我想如果我还没有学习这门课的话也许得到的收获不是这样，或许根本就听不懂，或许仅仅是有个模糊的概念，或许就像浮云，听过了就算了。虽然我是方向二的学生，学习复变函数的内容很浅也很少，但是听完讲座之后对复变函数多少还是有那么一点怀念的。

记忆又回想到大二的时候每周一上午的三节复变函数课，从最初的复数，复平面上的点集合，复球面与无穷远点开始学起，当时对复球面根本无法理解，到第二章的解析函数的概念，柯西黎曼条件，到第三章的复变函数的积分，第四章的解析函数的级数展开到学期末才学了一点点的留数。

当时学习的时候我只是纯粹的学习复变函数的内容，仅仅是知道复变函数中的函数是定义在复数集（复平面）上的，主要研究其中一类性质非常好的函数----解析函数，也就是能在各点处展开成Taylor级数的函数。解析函数在工程技术中应用很广，是有用的工具，而其他的一无所知。

那天听了讲座之后，知道其实复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

还记得大二那学期快结束的时候，我们班有几个方向一的同学一起写了一篇关于复变函数论的课程论文，后来还发表到了一个学报上面。听了讲座之后想想，其实这个与她们学习复变函数的方法有关吧。

复变函数课程的有效教学策略探究 篇5

复变函数课程是高等师范大学和综合性大学数学类专业本、专科的一门重要基础课。复变函数论主要研究对象是解析函数, 是数学分析的后续课程, 是实变函数微积分理论的推广和发展;复变函数论又称复分析, 它不仅在内容上与实变函数微积分有许多类似之处, 而且在研究问题方面与逻辑结构方面非常类似。复变函数论不仅是我们所学数学分析的理论推广, 而且作为一种强有力的工具, 已经被广泛地应用于自然科学的众多领域, 如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学及自动控制学等, 目前被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。

作为高师数学专业复变函数课程的主讲老师, 我在多年的教学实践中不断进行深入的思考、探索, 积累了一些经验, 在教学模式的改革方面进行了一些尝试, 下面谈谈自己的教学体会。

1.加强复数基础知识教学

教材第一章主要讲有关复数及复变函数的基本概念, 虽然学生在高中学过复数的基础知识, 但由于该内容不是高考内容, 中学数学教师对这部分内容一般都是略讲, 大多数学生都没有学好;而这部分内容作为复变函数的基础知识, 不仅是复变函数后续内容的学习关键, 而且对学生以后从事中学数学教学很重要。以前在复变函数的教学计划中, 我们把第一章的课时安排为4~6课时, 教学实践证明这个课时安排不合理, 由于课时少, 复数与复变函数的基础知识没学好, 严重影响后面内容的学习, 所以在近几年的教学中, 我们一般都安排8~10课时, 其目的是夯实基础, 深刻理解复数和复变函数的有关概念, 相关方法, 重点理解幅角的无穷多值性、区域的有关概念及复数的几何表示, 掌握复数的运算方法及复变函数的极限、连续的研究方法, 为进一步学习解析函数打下良好的基础。

2.加强知识类比与同化

数学分析与复变函数相关知识结构对比:

从上面我们可以看出数学分析和复变函数的一些知识点的关系, 复变函数是数学分析的后续课程, 复变函数课程中有很多概念、性质、定理都是从数学分析平移过来的, 因此, 在复变函数教学时要加强与数学分析的联系, 即利用学生已有的分析基础, 发挥知识的迁移作用, 促使知识的同化。在复变函数的教学中, 通过与数学分析中的相关知识作对比, 可以把数学分析中的一些知识延拓到复变函数中。比如数学分析中极限、连续、导数、微分、积分和级数有关概念、性质和定理都可以延拓到复变函数中, 这样可以极大地提高教学效率, 促进学生对复变函数理论与方法的理解和掌握。

例如在讲授复变函数极限概念的过程中可以与二元是函数的极限概念对比, 利用实极限帮助学生对复极限的理解。复变函数f (z) =u (x, y) +iv (x, y) 的实部u (x, y) 和虚部v (x, y) 都是二元实函数, 可以把复变函数的极限问题转化为数学分析中的二元函数的极限问题, 利用不等式|u (x, y) |≤|f (z) |, |v (x, y) |≤|f (z) |, |f (z) |≤|u (x, y) |+|v (x, y) |, 可以得到结论 :f (z) 在一点z=x+iy有极限的充要条件是u (x, y) , v (x, y) 这两个二元实函数在在该点的极限都存在。

3.抓住重点 , 注意知识的系统化

虽然复变函数是数学分析的后续课程, 但复变函数不仅仅是数学分析的延拓, 还有许多和数学分析不同的概念与方法, 比如:多值函数、洛朗级数与孤立奇点、留数理论等。在复变函数中学习的知识和数学分析中学习的知识侧重点也不一样, 比如微分与导数, 数学分析主要讲微分的概念、意义和计算, 而在复变函数中, 对于微分与导数的概念、性质及计算是一带而过, 复变函数课程重点研究解析函数。复变函数概念多, 性质定理多, 在教学过程中, 既要抓好双基的教学, 又要突出重点, 更要通过总结、复习等教学环节, 顺着知识的逻辑结构, 理清知识脉络, 这样才能让学生系统地掌握复变函数理论和方法。

例如:在教学柯西积分定理这一节时, 柯西积分定理及推广一共有四个定理, 教学总结时一定要理顺这四个定理的逻辑关系, 即后面的定理包含前面的定理, 并指出四个定理的本质是:f (z) 在由周线 (或复周线) C围成的区域内解析, 并且连续到边界, 那么fC (z) dz=0。在复习周线积分fC (z) dz的计算时 , 可按下列顺序逐步判断并计算, 若f (z) 在C内不解析, 则一般用参数法计算;若f (z) 在C内解析且连续到边界, 由柯西积分定理有fC (z) dz=0;若f (z) 在C内有一个奇点 , 利用柯西积分公式计算;若f (z) 在C内有多个奇点, 则利用柯西留数定理计算。

4.改 革教学模式 , 充分利用现代教学手段 , 突破教学难点

复变函数这门课程, 历来都存在难教难学的问题, 其主要原因:一是这门课程内容中存在一些较难的知识点。比如:初等多值函数、柯西积分定理、解析函数的洛朗展式与孤立奇点等, 这些概念、性质、定理抽象、思想方法复杂, 学生难理解难掌握。二是传统的教学模式以教师讲授为主, 由于板书及语言表述的局限性, 不能展现知识的变化过程, 严重影响学生对知识的理解和掌握, 满堂灌的讲授更是无法调动学生的学习积极性。在教学中要改变传统的教学模式, 利用现代媒体技术积极探索新的教学模式。对于复变函数中的一些难点, 我们一方面要充分利用现代教学手段, 利用多媒体动态展示数学知识的发展过程及变化规律, 另一方面要调动学生的学习积极性, 让学生主动参与探究知识的活动, 感悟知识的变化过程, 掌握应用知识解决问题的方法, 同时体会到领悟知识的愉悦, 这样就能达到突破教学难点的目的。

结语

在复变函数课程的教学设计中, 我们要改革传统的教学模式, 积极探索有效的教学模式;用先进的教学理念指导教学设计, 精心设计教学过程;在教学过程中既要让学生积极参与知识的探究过程, 体验到学习的快乐, 又要充分利用现代教学手段, 突出教学重点, 突破教学难点, 这样就能实现三位一体的教学目标, 使学生系统地掌握复变函数的理论和方法。

摘要：复变函数是数学与应用数学专业本、专科的一门重要基础课程。复变函数的性质定理多, 概念抽象, 学习难点多, 由于受传统教学模式的制约, 历来都存在难教难学的问题。作者结合自己多年的教学经历, 就在教学中如何改革教学模式, 进一步提高教学效率, 让学生全面系统地理解和掌握复变函数的理论和方法, 并提出教学策略。

关键词：复变函数,重点,难点,教学策略

参考文献

[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社, 2004.

[2]余家荣.复变函数[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[3]周鉴.对高师院校复变函数教学的思考[J].通化师范学院学报, 2012, 33 (12) .

复变函数试题 篇6

关键词：分层次教学 复变函数与积分变换

中图分类号：G642.0 文献标识码： A

二十一世纪是知识型的社会，对人才有着不同层次的需求。复变函数与积分变换作为一门基础学科又是重要学科倍受人们的关注。尤其是一些尖端科技的发展对复变函数与积分变换的要求日渐愈高，利用复变函数与积分变换的知识可以解决许多工程中遇到的问题，在世界关注的军事、国防、航天等领域更加显示了最为超前的强大力量。

有关数学课程的教学方法经历了无数次的改革，但无论如何改革都是以培养学生为目的，以适应社会发展的需求为准则。人们不断的寻求、探索，以期待寻找更适合实际的教学方法。以往的高等数学教学采用“大锅饭”的形式讲授，学生靠教师推着走，这样无论对教师还是对学生而言都是不利的。就教师来说，无法更好的因材施教。针对不同的学生也只能采用同一教学模式，从而也导了有的学生“吃不饱”，有的学生“吃不消”的分化现象。“吃不饱”的学生认为教师讲的内容过于简单，进度缓慢，不听也会。“吃不消”的学生恰恰相反，内容听不懂，思路跟不上，久而久之，使得他们对数学的学习失去了兴趣也没了信心。这种两极分化的情形如不得以解决，势必会影响复变函数与积分变换今后的发展和对学生素质教育的培养和提高。考虑到以上因素，同时为了实现大众化教学与重点培养相结合的目的，并结合我校的实际情况满足学校多目标、多层次人才培养计划，本着因材施教的原则，我们创造性地提出对复变函数与积分变换的分层次教学。根据每位学生的不同特点并结合高考成绩和入学后的测试成绩分为A、B、C三个层次。对不同层次的班级制定不同的教学大纲，不同的授课计划，不同的授课学时，这样任课教师就会对不同层次的班级采用不同的教学侧重点，不同的教学方法和不同的教学手段，真正做到了因材施教，以便取得了较好的教学效果。

一、创新钻研型——A班

A班以培养创新钻研型人才为目标。学生的特点是基本功强，思维活跃，善于发现问题。因此在教学中侧重学生的数学素质及创新能力的培养。教师在教学中突出教学重点，贯彻少而精，在教学内容的组织上，在讲清基本概念、基本性质、基本理论、基本方法的前提下，通过对典型例题的分析、假设、猜想、讲解、扩展等形式，向学生讲述解题的思想方法。特别是较特殊的解题技巧的训练，培养学生独立解决问题的能力和创造性思维，使学生形成能够主动获取新知识的能力及分析和解决问题的能力，同时使得学生产生“不满现状，立意创新”的思想。讲解某一类问题时，从不同的角度出发，可采用提示——诱导——疏通——解决问题四步走的策略，使得学生彻底领会解题的思想方法。在教学中始终贯彻以学生为主体，教师是主导的方针，教师必须始终在“引”字上下功夫，引导学生步步深入，层层剥皮，循着科学研究的流向去思考问题，探索问题，解决问题，达到具有数学的抽象思维能力，逻辑推理能力，想象能力，并逐步形成创新能力。

二、应用型——B班

B班以培养应用型人才为目标。这类学生的特点是基本功较好，但只善于学习一层不变、固定的知识，缺乏创造力。针对这一特点，要发挥他们的长处，将所学应用到实践，学以并用。因此在教学中侧重于应用能力的培养，兼顾数学素质和创新意识的培养，使他们的数学知识即能够满足今后学习的需要，又能够为他们今后的发展奠定基础。在教学内容的组织上，B班注重基本理论与应用的结合，使学生即具有一定的应用能力，又具有一定的创新精神。

改革的宗旨是体现内容的现代化和知识的应用化。鉴于每个专业对复变函数与积分变换知识的内容，深浅程度要求的不同，整体B班的学生按所需内容的不同分几个班级授课，因此在教学内容上可结合专业的特点给予适当的删减和补充，并注重学生能力的培养。

除此之外，还要结合数学实验训练学生的上机能力，让学生自己动手运用复变函数与积分变换所学的知识去解决实际问题，一方面提高了学生的动手实践能力，丰富了课堂内容，进一步的增加了学生对数学的学习兴趣；另一方面利用计算机在制图和计算的精确度上人类无法比拟的优越性，对于计算量大较易出错的问题，可以利用计算机来解决。节约时间的同时也省去了一些烦琐的推导计算。

三、基础型——C班

C班以培养基础型的人才为目标。学生特点是底子薄，基础差，这也是学生学习的最大障碍。在教学中主要培养学生对基本概念、基本定理、基本方法的理解和掌握。教师在授课方面自然要采取特殊的方法，而且对他们的要求可适当的降低。在教学内容的组织上，针对C班做适当的处理，即能使讲述教学内容不少于大纲的要求，又能使C班学生易于接受，在授课上偏重于对复变函数与积分变换中基本概念、基本性质、基本理论、解决问题的基本方法分析和指导，而且由于学生的自主能力较弱，课堂上可以适时介绍有关复变函数与积分变换史及数学家的经历等方面内容以提高学生的学习兴趣，激发他们的学习热情，吸引学生的注意力。对于难题及烦琐的定理的推导过程等可删掉，有些定理的推导写一黑板还占用半节课的时间，学生听后如雾里看花，不清不楚，似懂非懂。而删掉后即能够节约时间加强对学生基础知识和基本技能的训练，又能够减轻学生的学习压力，有利于改变学生对数学“深不可测”的错误认识，提高学生的学习兴趣。在授课进度上要慢，不要急于求成，每讲一道题，让学生练习一道，每做对一道题就会增添学生一点信心，尽可能调动学生的积极性，让学生跟着教师走，帮助学生在适合自己的学习环境中得到最优发展。

复变函数与积分变换教学改革的目标是要研究如何用最佳的教学方式将知识传授给学生，如何采用合理的教学手段使学生尽可能容易地接受知识，最大限度地启迪思维，真正提高教学质量，以适应社会对人才的需要。对于分层次教学无论哪个层次都要渗透相应的现代数学的新思想，新观点，新方法。同时结合数学实验、数学建模及数学竞赛来提高和调动学生的学习兴趣和学习积极性，让他们从被动变为主动，从而全面提高学生的数学素质。

分层次教学是针对性很强的一种教学方式，通过分层次教学，真正达到了有的放矢，因材施教的目的，实践证明分层次教学是一套适合切实可行教学方法。

参考文献：

[1]杨春玲.《复变函数与积分变换》的教学改革与实践.现代企业教育，2013（9）.

[2]刘晓瑜.丁少红 数学分层教育刍议.华南师范大学学报（社会科学版），1999.6.

[3]杨孝平，刘德钦，米少君，许春根，王为群.本科高等数学分层次教学的深入思考与实践，2003.12.

[4]單香珍，庄丽.谈分层次教学的重要环节.辽宁工程技术大学学报（社会科学版），2002.4.