二次根式1教学案例

二次根式1教学案例（精选13篇）

二次根式1教学案例 篇1

湖北省通山县教育局教研室 袁观六

一、内容和内容解析

1．内容

二次根式的概念.2．内容解析

本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念.它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义.再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；

二、目标和目标解析

1.教学目标

（1）体会研究二次根式是实际的需要．

（2）了解二次根式的概念．

2.教学目标解析

（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．

（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．

三、教学问题诊断分析

对于二次根式的定义，应侧重让学生理解 “是非负数，的算术平方根的双重非负性，”即被开方数≥0

≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.四、教学过程设计

1．创设情境，提出问题

问题1你能用带有根号的的式子填空吗？

（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．

（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t，则t= _____．

师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．

问题2 上面得到的式子，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？

师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．

【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．

2．抽象概括，形成概念

问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？

师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如

【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．

追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？

师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．

【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．

3．辨析概念，应用巩固

例

1当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？（a≥0）的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号．

师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．

例2 当是怎样的实数时，师生活动:先让学生独立思考，再追问．

【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．

问题4 你能比较

师生活动：通过分得出

和

这两种情况的讨论，比较

与0的大小，引导学生

与0的大小吗？

在实数范围内有意义？

呢？

≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.4．综合运用，巩固提高

练习1 完成教科书第3页的练习.练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义.（1）；（2）；（3）；（4）.【设计意图】 辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.5．总结反思

教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课你学到了哪一类新的式子？

（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？

（3）二次根式与算术平方根有什么关系？

师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.6．布置作业：

教科书习题16.1第1，3，5，7，10题．

五、目标检测设计

1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A.B.C.D.【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．

2.当 时，二次根式

无意义．

【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题． 3.当

时，二次根式

有最小值，其最小值是

．

【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．

4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．

二次根式1教学案例 篇2

【答案】C

A.a>0 B.a<0 C.a=0 D.不存在

【解析】根据二次根式的被开方数大于等于0, 可知:a≥0且-a≥0, 所以a=0.

【答案】C

【答案】B

(1) 求a, b的值;

【解析】 (1) 根据被开方数大于等于0列式求出a的值, 再代回原式即可求出b的值;

(2) 先代入a, b的值求出a-b, 然后根据算术平方根的定义解答.

综上所述, 实数a、b、c的值分别为5, 15, ±7.

例1说出下列各式的值:

【答案】A

【答案】-b

【答案】5

【答案】1

【解析】根据题意得, x-4=0, y-8=0,

①4是腰长时, 三角形的三边分别为4、4、8,

∴不能组成三角形.

②4是底边时, 三角形的三边分别为4、8、8,

能组成三角形, 周长=4+8+8=20,

所以, 三角形的周长为20.

故答案为:20.

《二次根式》教学反思 篇3

这是八年级第十六章第三节，学生是在已掌握最简二次根式、合并同类二次根式以及二次根式的加减法的基础上进一步学习二次根式的乘除法，同时为以后学习二次根式的混合运算作铺垫。首先，情景引入：通过将大正方形中已知两小正方形的面积，求剩下的长方形面积的问题引入二次根式的乘法及乘法法则;其次，通过例题1利用总结出二次根式的乘除法则进行计算同时注意结果要化简;再次，利用乘除法关系引入二次根式的除法法则并用之计算;最后，通过二次根式的乘除法来解决实际问题。

总而言之：在二次根式的乘除法运算法则的学习和应用的过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣。

此节教学过程中要注意：在学生学习过程中对二次根式的乘除法法则理解上问题不大，但常常忘记运算结果需要化简，此外被开方数是多项式的乘除法运算上容易出错。象练习册第3题的(3)小题尽管课堂上练过一题,但还是有人错。

二次根式 教学设计 篇4

第1课时 二次根式的概念和性质

教学目标 【知识与技能】

1.了解二次根式及最简二次根式的概念.2.会化简二次根式.3.理解并掌握二次根式的性质.【过程与方法】

经历观察、分析、讨论、归纳二次根式及最简二次根式的过程,发展学生的归纳概括能力和语言表达能力.【情感、态度与价值观】

积极参与数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体会到数学学习的乐趣.教学重难点 【重点】

理解并掌握二次根式及最简二次根式的概念,化简二次根式.【难点】

化简二次根式.教学过程

一、知识回顾,引入新课

师:同学们还记得平方根的概念吗?

生:记得.一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.师:什么叫做算术平方根呢? 生:正数的正的平方根以及零的平方根,统称算术平方根.师:很好!非负数a的算术平方根用(a≥0)表示.一般地,例如(a≥0)的式子,我们叫做二次根式.这就是今天这节课我们要学习的内容.二、讲授新课

师:请同学们观察下列代数式,你能发现它们有什么共同特征吗? ，，(其中b=24,c=25).生:它们都含有开方运算,并且被开方数都是非负数.师:很好!一般地,例如(a≥0)的式子,叫做二次根式,a叫做被开方数.那么二次根式具有什么性质呢?下面我们一起来探究一下.请同学们完成以下填空:

=

,×=

;=

,×=

;= ,×=;=

,÷=

.学生独立完成填空,然后集体订正.并根据上面的猜想,估计下列式子是否相等,再借助计算器验证.=

,÷=

.师:请同学们比较左右两边的等式,你发现了什么?你能用字母表示你发现的规律吗? 学生分组讨论交流,然后由小组代表发言,教师予以补充完善.师:通过刚才的探究,我们可以发现积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质.即:(1)积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积(各因式必须是非负数),即=·(a≥0,b≥0);

(2)商的算术平方根的性质:商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.(被除式必须是非负数,除式必须是正数),即=(a≥0,b>0).师:知道了二次根式的这些性质,下面我们来看几个例题,加深理解.三、例题讲解

【例1】 化简:(1);(2);(3).【答案】(1)=×=9×8=72;(2)=×=5;(3)==.例1的化简结果5,中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.【例2】 化简:(1);(2);(3).【答案】(1)==×=5;(2)===;(3)==.判断最简二次根式的方法:通常将不含分母的被开方数分解因数或因式后,不含能开得尽方的因数或因式,即为最简二次根式.【例3】 先化简,再求出下面算式的近似值(精确到0.01).(1);(2);(3).(合理应用二次根式的性质,可以帮助我们简化实数的运算.)【答案】(1)===·=12≈20.78;(2)===≈1.01;

(3)===×=10-2×=0.01×≈0.02.四、巩固练习

1.化简:;(2);(3);(4)

【答案】(1)165(2)4(3)(4)2.化简:-

【答案】 原式=-=.3.若b>0,x<0,化简:-.【答案】 原式=-=-=-=.五、课堂小结

师 :通过这节课的学习,同学们有什么收获?能与大家分享一下吗? 学生发言,教师予以点评.第2课时 二次根式的运算(1)

教学目标 【知识与技能】

1.了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的.2.会进行简单的二次根式乘除以及加减运算.3.会进行二次根式的四则混合运算.【过程与方法】

让学生进一步了解数学知识之间是相互联系的.【情感、态度与价值观】 培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯.教学重难点 【重点】

二次根式的乘除以及加减运算.【难点】

熟练地进行二次根式的四则混合运算.教学过程

一、复习归纳

1.二次根式的性质:(1)()2=a(a≥0)(2)=(3=·)(a≥0,b≥0)(4)=(a≥0,b>0)

2.想一想:你能计算吗?(1)×;(2)×;(3)×.师:先计算每组数中的左边的式子,再计算右边的式子.它们相等吗?你发现了什么? 学生先独立完成,然后分组讨论交流,再集体订正.3.提出问题.(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两列火车共运煤多少吨?

(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两列火车共运煤多少吨?

这是以前学过的多项式加减法,同类项可以合并,想一想在计算二次根式加减法的时候能运用此类方法吗?请尝试计算以下几题.(1)3+4;(2)+;(3)++4.二、讲授新课

1.在学生进行练习后进行总结.①二次根式的乘除运算法则.=·(a≥0,b≥0)=(a≥0,b>0)

即将二次根式的性质等式左右两边对换,就得到二次根式的乘法法则和除法法则.②二次根式的加减运算法则.师:与合并同类项类似,我们可以把相同二次根式的项合并.下列计算结果哪些正确,哪些不正确? +=;a+=a;-=;a+b=(a+b);-=-=0.学生回答,教师予以订正.③二次根式的四则混合运算.二次根式即可以进行乘除运算,也可以进行加减运算.以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用.说说下列算式的运算顺序,并计算出结果.(+)·(+)·56 ×+× 2.例题学习.【例1】 计算.(1)×;(2);(3).(归纳二次根式的乘除运算的一般步骤:(1)运用法则,化归为根号内的实数运算;(2)完成根号内乘除运算;(3)化简二次根式.)【答案】(1)×===;(2)==;(3)====.【例2】 计算:(1)3×2;(2)×-5;(3)(+1)2;(4)(+3)(-3);(5)-×;(6)

【答案】(1)3×2=3×2×=6;(2)×-5=-5=-5=6-5=1;

(3)(+1)2=()2+2+1=5+2+1=6+2;(4)(+3)(-3)=()2-32=13-9=4;(5)(-)×=×-×=-=6-1=5;(6)=+=+=2+3=5.【例3】 计算:(1)+;(2)-;(3)(+)×.【答案】(1)+3=+=×+=4+=5;(2)-=-=-=;

(3)(+)×=+=+=2+3=5.三、课堂小结

师:本节课我们学习了哪些知识?还有什么疑惑的地方吗? 师生共同总结.第3课时 二次根式的运算(2)

教学目标 【知识与技能】

1.巩固对二次根式的四则混合运算的掌握.2.进一步学会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.【过程与方法】

引导学生从特殊到一般,用总结归纳的方法以及类比的方法解决数学问题.【情感、态度与价值观】

体验并掌握迁移、转化等数学思想与方法.教学重难点 【重点】

进一步应用二次根式的运算法则进行二次根式的四则混合运算.【难点】

熟练进行二次根式的四则混合运算.教学过程

一、引入新课

师:通过上节课的学习,同学们已经掌握了二次根式的相关运算法则,这节课我们进一步来学习二次根式的加减乘除混合运算.二、例题讲解

【例1】 先化简,再求出近似值(精确到0.01).--

(二次根式加减运算的一般步骤是:先化简,再合并.)【答案】 原式=--=2--=(2--)=≈1.73.【例2】 计算.(1)-3×;(2)(-3)·;(3)(-)÷.(说明:(1)二次根式混合运算的运算次序是:先乘除,后加减;(2)整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用;(3)二次根式的运算结果能化简的必须化简.)

【答案】(1)原式=3-6=-3;(2)原式=·-3·=-3=-9;(3)原式=÷-÷=-=4-3=1.【例3】 计算:(1)-;(2)-8+;(3)(-)÷;(4)+-.【答案】(1)-=-=-=;

(2)-+=-+ =3-2+=;

(3)(-)÷=÷-÷ =-=-=-=2-=;

(4)+-=+-=+-3=-+.在上面第(4)题中,很容易看出,化成最简二次根式后与,化简后的被开方数不可能相同,因此,结果中可以保留,不必将它化成最简二次根式.三、课堂小结

二次根式教学设计 篇5

问题1：你能用带有根号的式子填空吗?

(1)面积为3的正方形的边长为xx，面积为S的正方形的边长为xx

(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为xxm。

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，则t=xx。

问题2：上面得到的式子，分别表示什么意义?它们有什么共同特征?

二、合作探究

探究点一：二次根式的定义

下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式?

解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数。

解：因为xx=，(x≤3)，(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式的根指数不是2，(x≥0)，的被开方数小于0，所以不是二次根式。

方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：

(1)带二次根号;

(2)被开方数是非负数。

探究点二：二次根式有意义的条件

类型一 根据二次根式有意义求字母的取值范围

求使下列式子有意义的x的取值范围。

解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解。

解：(1)由题意得4-3x>0，解得x<.当x<时，有意义;

(2)由题意得解得x≤3且x≠2.当x≤3且x≠2时，有意义;

(3)由题意得解得x≥-5且x≠0.当x≥-5且x≠0时，有意义。

方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：

(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数;(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。

类型二 利用二次根式的非负性求解

(1)已知a、b满足+|b-|=0，解关于x的方程(a+2)x+b2=a-1;

(2)已知x、y都是实数，且y=++4，求yx的平方根。

解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可;(2)根据二次根式的非负性即可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出yx的平方根。

解：(1)根据题意得解得则(a+2)x+b2=a-1，即-2x+3=-5，解得x=4;

(2)根据题意得解得x=3.则y=4，故yx=43=64，±=±8，∴yx的`平方根为±8。

方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0。

探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题

先观察下列等式，再回答下列问题。

①=1+-=1;

②=1+-=1;

③=1+-=1.

(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出的结果;

(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用

含n的式子表示的等式(n为正整数)。

解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积;(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子。

解：(1)=1+-=1;

(2)=1+-=1(n为正整数).

方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来。

三、板书设计

1.二次根式的定义

一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式。

2.二次根式有意义的条件

被开方数(式)为非负数;有意义?a≥0。

二次根式1教学案例 篇6

一、知识的整体认知, 不能只待复习课

在初中阶段对于代数式的学习, 纵向上是沿着脉络进行的。在横向上无论是整式、分式, 还是二次根式都是沿着从概念到性质再到运算法则的研究路径展开的。因此, 到了八年级上册虽然只是出现了二次根式的教学, 但是对于它的学习不仅可以使学生对于初中代数式知识认知趋于完整、系统, 更是在研究路径上与七年级整式与分式有共通之处。换句话说, “二次根式”单元教学是帮助学生对“代数式”形成整体结构化认知的良好时机。

在与教师交流研讨过程中可以发现:教师们对于上述思考是认同的, 但问及对策时却不约而同将掌握契机, 帮助学生对“代数式”形成整体结构化认知的希望寄托于单元教学后的复习课。因此, 在二次根式概念教学时, 很多教师虽然有了上述认识, 但在教学引入环节依然是沿着教材的设计路径, 即根据代数式的意义, 从开平方运算直接引入方式开始了二次根式的学习。下面是某位教师”二次根式概念“教学的片段:

师:同学们还记得“”这个符号吗?

生:是平方根符号。

师:很好。现在老师用a来表示被开方数, 就可以得到。那么a在这里可以是任意实数吗?

生:不能, 必须满足a≥0才有意义。

师:当a≥0时, 表示a的一个平方根, 把它看作由平方根号“”与a所组成的式子时是一个代数式。从今天开始我们就要研究这样类型的代数式。我们先给它起个名字叫做“二次根式”。

接下来是教师板书二次根式的概念“代数式 (a≥0) 叫做二次根式”。

这样的引入可以说在设计上考虑到了从具体到抽象, 从已知到未知的循循渐进的教学原则。但在进入这一新知识点的学习时, 这样的设计容易造成学生只知其然而不知其所以然。知道了要学习二次根式, 至于为什么学习以及跟以前学习过的代数式, 即整式与分式有什么区别或关联并不知晓, 更无法激起学生去做联想思考的意识。这样对于后续的复习整理及形成代数式知识整体结构化认知造成了人为的障碍。这启发我们进一步去思考, 是否可以在“二次根式概念”教学引入环节上做些调整, 帮助学生在进入新一知识点学习时就能对知识块形成初步的整体感知, 从而也使得单元教学设计更具系统性与关联性。

二、知识整体做背景, 引入中做文章

有了上述思考, 接下来要做的就是对教材和学生状态做进一步的分析, 来论证对引入环节作调整的可行性。

(一) 对教材的分析。

1.教材在二次根式概念引入的设计中考虑的是从实数中曾遇到“”为入口, 再引入字母来实现学生对二次根式概念的理解。走的是从数到式的引入路径。这样的引入有其合理性, 因为代数式就是对数的进一步发展及对数量关系的简明表达。但这一从数到式的引入路径, 在七年级代数式概念的认识中已经明确表达过。那么是否每一类代数式的具体教学都需要走这一条路径呢?答案显然是不需要。因为, 到目前为止学生对实数知识块已经有了比较完整的认识, 而对代数式知识块的学习还不具备完整性, 但已经具有了可供进一步研究学习的结构认知框架, 无需在概念引入中走从数到式的拓展式路径。而走代数式中进一步分化的路径, 不仅可以在思想方法上帮助学生在代数式知识框架内走出一条新的研究路径, 更可以帮助学生提高思维的完整性, 从而进一步体会数学独有的系统性与严密性。当然, 在进一步研究二次根式的性质及运算法则时可以利用实数相关知识作为抓手。

2.数与式的知识整体框架在相当程度上具有共通性。如实数分为有理数与无理数, 有理数又可以进一步划分为整数与分数。代数式也如出一辙, 可分为有理式与无理式, 有理式又可分为整式与分式。二次根式只是根式这一无理式当中最为简单的一类。这些才应该是学生进一步研究二次根式的知识背景。这样的认识对于八年级学生来说可能造成在思维能力上的挑战, 但是前一学年对于实数知识结构框架的梳理, 可以说已经为代数式的结构框架认识做好了方法结构上的铺垫。

基于上述思考, 无论是从代数式知识框架内部还是其外部, 即从数与式整体而言, 都为进一步学习二次根式做好了框架认知及思想方法上的铺垫, 因此, 以代数式已有知识框架为背景, 以进一步分化为路径引入根式及最简根式———二次根式概念是可行的。

(二) 对学生状态的分析。

1.对“二次根式”的编排在八年级上册开篇, 在一定程度上意味着要面对学生可能的知识遗忘, 而且学生对知识的记忆往往又是点状的。因此, 对于学生而言从代数式已有知识框架入手可能会遇到较大的障碍, 而从实数运算——数的开平方这一知识点入手显得更简便及易理解。但是这样也意味着对学生知识遗忘的淡漠。很多学习心理学家研究表明, 知识的结构化认知有助于知识的记忆, 并在一定程度上可以减轻知识记忆的负担。

2.八年级学生在思维方式上已经历了完全靠具象思维及七年级需从具象入手在慢慢进入抽象的发展过程, 具备了一定的抽象思维能力。且进入八年级后学生主观上也要求自己变得“复杂”, 希望教师也以“大人”来对待他们。因此无论从客观发展状态而言, 还是从学生主观愿望而言学生已具备了接受抽象思维挑战的能力, 八年级正是学生抽象思维能力进一步发展的大好时期。因此, 适时帮助学生从较抽象、宏观的知识框架层面思考知识点的学习, 既可激发学生进一步学习的兴趣, 也可促进其抽象思维能力的发展。

基于上述对教材与学生状态的分析, 我们认为以代数式已有知识框架为入口, 以代数式进一步划分为路径引入二次根式概念是可行的, 且对于学生的学习与发展是有帮助的。

三、反思后的重建

在上述认识的基础上, 首先对教学目标进行了调整:

1.通过对给定代数式的分类, 从“式”的整体视角形成对根式的初步认识。

2.理解二次根式的概念, 能发现使二次根式有意义的条件, 初步掌握二次根式的性质1和2。

在概念引入环节的设计如下:

(一) 常规积累环节:

教师提问:到目前为止我们都认识了哪些代数式?你还记得它们的概念吗?

学生活动:小组合作交流。

呈现方式:集体交流呈现。

教师板书:

设计意图:为下一步分类研究做好知识铺垫。

(二) 第一环节:整体感知, 形成概念认识。

开放式问题设计:观察下列代数式, 根据已学代数式知识请给它们分分类。

学生活动:小组讨论, 形成分类结果。

教师过程中提示:分类过程中分类标准要保持一致。预设资源:从结果看可能出现以下几种分类结果:一是将多项式与被开方数为多项式的根式分为一类, 单项式与被开方数为单项式的根式分为一类, 分式与被开方数为分式的根式分为一类, 共分为三类。

二是分为单项式、多项式、分式、无法确定的一类。

三是将 (2) 分为一类;将 (1) 、 (6) 分为一类; (3) 、 (5) 、 (8) 分为一类;将 (4) 、 (9) 分为一类;将 (7) 分为一类;将 (10) 分为一类。

四是将整式分为一类, 分式分为一类, 将不知名的代数式分为一类。

还有一些学生由于知识遗忘可能对于 (5) 和 (6) 的分类产生疑惑, 情况较少时做个别及时指导, 情况出现较多时作为生成资源做集体指导。

教师活动:捕捉资源、呈现资源、组织交流、明确根式与二次根式的概念。

交流议题:1.你是否同意第一种分类方式?为什么? (引导学生运用单项式、多项式与分式的概念进行判断。)

2.你是否同意第二类分类方式?为什么? (引导学生对式子中的根号产生敏感性。)

3.你是否同意第三类分类方式?你认为这样分类的依据是什么? (引导学生对根号指数产生敏感性。)

4.你是否同意第四类分类方式?你认为这样分类的依据是什么? (引导学生明了整式和分式属同一级分类, 而单项式和多项式是对整式的二级分类。)

教师引导语:原来代数式中还有这样一类式子, 它的特点我们可以归纳为的形式。那么思考根据已学知识, 对n和a会有什么要求吗? (引导回顾, 得出n为偶数时a必须是非负数, n为奇数时a为任意实数。)

引出概念:这样的代数式叫做根式, 可以用 (n为偶数时a必须是非负数, n为奇数时a为任意实数) 表示。其中最简单的根式是n=2时的根式。即指数为2的根式, 我们叫做“二次根式”。根据根式概念的形式, 你能写出“二次根式”的概念吗?

学生尝试给出二次根式的概念。

教师整理板书:

二次根式:代数式 (a≥0) 叫做二次根式。

摘要：教材对知识点的编排会根据知识对学生思维能力及知识积累的要求, 在不同学段有不同的侧重与要求。这样的编排从学生发展过程视野上来分析, 关注到了学生学习的系统性与连贯性。但是, 教师作为教材的使用者, 如不能从过程视野整体思考每一知识点的教学, 就会将教材知识编排的割裂变为学生认识的割裂。

二次根式乘除教学设计 篇7

（1）经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程；会进行简单的二次根式的乘法运算；

（2）会用公式化简二次根式。

2、目标解析

（1）学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容；

（2）学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式。

教学问题诊断分析

本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难、运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气、，培养学生良好的运算习惯。

在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：（1）如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简（例见教科书例6解法1），也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号（例见教科书例6解法2）；（2）如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简。

本节课的教学难点为：二次根式的`性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简。

教学过程设计

1、复习引入，探究新知

我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除、本节课先学习二次根式的乘法、

问题1 什么叫二次根式？二次根式有哪些性质？

师生活动 学生回答。

【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质。

问题2 教材第6页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？

师生活动 学生计算、思考并尝试归纳，引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容。

【设计意图】学生在自主探究的过程中发现规律，运用类比思想，由特殊到一般地，采用不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则、要求学生用数学语言和文字分别描述法则，以培养学生的符号意识、

2、观察比较，理解法则

问题3 简单的根式运算。

师生活动 学生动手操作，教师检验。

问题4 二次根式的乘除成立的条件是什么？等式反过来有什么价值？

师生活动 学生回答，给出正确答案后，教师给出积的算术平方根的性质。

【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况、乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培养学生的运算能力。

3、例题示范，学会应用

例1 化简：（1）二次根式的乘除； （2）二次根式的乘除。

师生活动 提问：你是怎么理解例（1）的？

如果学生回答不完善，再追问：这个问题中，就直接将结果算成二次根式的乘除可以吗？你认为本题怎样才达到了化简的效果？

师生合作回答上述问题、对于根式运算的最后结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质二次根式的乘除将其移出根号外、。

再提问：你能仿照第（1）题的解答，能自己解决（2）吗？

【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力，明确二次根式化简的方向、积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简、

例2 计算：（1）二次根式的乘除； （2）二次根式的乘除； （3）二次根式的乘除

师生活动 学生计算，教师检验。

（1）在被开方数相乘的时候，就可以考虑因数或因式分解，由二次根式的乘除直接可得二次根式的乘除而不必先写成二次根式的乘除再分解；

（2）二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算，交换律、结合律都是适用的、对于根号外有系数的根式在相乘时，可以将系数先相乘作为积的系数，再对根式进行运算；

（3）例（3）的运算是选学内容、让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式”的运算、本题先利用积的算术平方根的性质，得到二次根式的乘除，然后利用二次根式的乘法法则，变成二次根式的乘除，由于二次根式的乘除可以判断二次根式的乘除，因此直接将x移出根号外、。

【设计意图】引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式简化运算、让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用。

教材中虽然指明，如未特别说明，本章中所有的字母都表示正数，但仍应强调，看到根号就要注意被开方数的符号、可以根据二次根式的概念对字母的符号进行判断，在移出根号时正确处理符号问题。

4、巩固概念，学以致用

练习：教科书第7页练习第1题、第10页习题16、2第1题。

【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的掌握情况。

5、归纳小结，反思提高

师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：

（1）你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗？

（2）你能说明乘法法则逆用的意义吗？

（3）化简二次根式的基本步骤是怎样？一般对最后结果有何要求？

6、布置作业：教科书第7页第2、3题、习题16、2第1，6题。

五、目标检测设计

1、下列各式中，一定能成立的是（ ）

A、二次根式的乘除

B、二次根式的乘除

C、二次根式的乘除

D、二次根式的乘除

【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的基础。

2、化简二次根式的乘除 ______________________________。

【设计意图】二次根式是特殊的实数，实数的相关运算法则也适用于二次根式。

3、已知二次根式的乘除，化简二次根式二次根式的乘除的结果是（ ）

A、二次根式的乘除

B、二次根式的乘除

C、二次根式的乘除

D、二次根式的乘除

《二次根式的性质》教学设计 篇8

一、教学目标：

（一）知识与技能：

1．了解二次根式的概念，会确定二次根式成立的条件。

2.会用二次根式性质进行有关计算。

3.了解逆用公式在实数范围内因式分解。

（二）过程与方法：体验性质的推导过程，感受由特殊到一般的方法。

（三）情感态度：激发对数学的兴趣。

二、教学重点：二次根式成立的条件，双重非负性；

用性质进行计算。

三、教学难点

：性质的逆用。

四、教学准备：课件

五、教学过程

：

(一)复习提问

1．什么叫二次根式？

2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值为任意实数．

(二)二次根式的简单性质

上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质

我们知道，正数a有两个平方根，分别记作零的平方根是零。引导学生总结出，其中，就是一个非负数a的算术平方根。将符号“”看作开平方求算术平方根的运算，看作将一个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：

这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代表一个代数式吗？

请分析：引导学生答如

时才成立。

时才成立，即a取任意实数时都成立。

我们知道

如果我们把，同学们想一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了．

例1

计算：

分析：这个例题中的四个小题，主要是运用公式

。其中(2)、(3)、(4)题又运用了整式乘除中学习的积的幂的运算性质．结合第（2）小题中的，说明，这与带分数

。因此，以后遇到，应写成，而不宜写成。

例2

把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5；

(2)11；

(3)1.6；

(4)0.35．

例3

把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：

(1)4x2-1；(2)a4-9；

(3)3a2-10；(4)a4-6a2+9．

解：(1)4x2-1

=(2x)2-12

=(2x+1)(2x-1)．

(2)a4-9

=(a2)2-32

=(a2+3)(a2-3)

(3)3a2-10

(4)a4-6a2+32

=(a2)2-6a2+32

=(a2-3)2

(三)小结

1．继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的取值范围问题．

2．关于公式的应用。

(1)经常用于乘法的运算中．

(2)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式，解决在实数范围内因式分解等方面的问题．

(四)练习和作业

练习：

1．填空

注意第(4)题需有2m≥0，m≥0，又需有-3m≥0，即m≤0，故m=0．

2．实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：

分析：通过本题渗透数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，引导学生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．

3．计算

二、作业

教材P．172习题11．1；A组2、3；B组2．

补充作业：

下列各式中的字母满足什么条件时，才能使该式成为二次根式？

分析：要使这些式成为二次根式，只要被开方式是非负数即可，启发学生分析如下：

(1)由-｜a-2b｜≥0，得a-2b≤0，但根据绝对值的性质，有｜a-2b｜≥0，∴

｜a-2b｜=0，即a-2b=0，得a=2b．

(2)由(-m2-1)(m-n)≥0，-(m2+1)(m-n)≥0

∴

(m2+1)(m-n)≤0，又m2+1＞0，∴

我的“二次根式巧拼图”闯关宝典 篇9

冲关策略:

(1) 由正方形的面积得知,该正方形边长为.

(2) 此时利用逆向思维 ,不难得知 ,在直角边为1,2的直角三角形中,斜边长为.

(3) 可以画出右图.

这题属于 小儿科问题,相信难不倒各位同学.下面是第二关,难度更进一步哟!

关卡二:

将下图涂色部分分割裁剪,拼成正方形. (相信看到这个图形,某些同学已经头大了吧!)

【关卡分析】

这个问题看上去很难解决,但因为有了上一个例题提供给我们的思路,所以解答起来相对容易.所有图形的面积S都等于5,所以边长为.

【关卡宝典】解决这个题目的突破口在于如何将图形切割 ,使几条边 的长度为.

从三角形与正方形的拼接,你是不是想到了数学书单元封面上那个著名的弦图了呢? 试一试,相信你能成功.冲过这一关的幸存者,你已经成为能熟练运用面积与二次根式的知识来解决拼图问题的大师啦! 怎么样,你掌握了吗?

八年级数学《二次根式》教学反思 篇10

本课先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，此问题贴近学生生活，易激发学生的学习兴趣。采用分组讨论，由四人一组探索、发现、 解决问题，培养学生用数学方法解决实际问题的能力。.对法则的教学与整式的加减比较学习。再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣。

学生在自主探究的过程中发现问题，解决问题，总结规律，加深对所学知识的理解。并向学生传递这样一个信息：二次根式的加减运算并不是孤立的全新的知识，可以将二次根式的加减进行比较学习。

使学生掌握被开方数相同的二次根式合并的方法，注意二次根式加减运算的联系与区别，避免一些常见错误，提高解题的准确程度。4、在二次根式的加减运算时，首先需搞清楚什么是同类二次根式，同类二次根式的判断，关键是能熟练准确地化二次根式为最简二次根式。再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则。

《二次根式的乘除法》教学反思 篇11

开始可以从二次根式的性质引入，将二次根式的性质反过来就是二次根式的乘除法法则： ，利用这个法则，可以进行二次根式的乘法和除法运算。

本节课中的易错点是运算的最后结果不是最简结果，因为学生只顾着运用法则进行计算了，忽略了二次根式的化简，举例说明： ，这个运算过程只是运用了法则，但没有进行化简，应该是 。

本节课中的难点是对于分母中含有根号的式子不会化简，这应该牵涉到分母有理化，分母有理化这个概念本章课本中没有提及，但是课后练习和习题中也有涉及，如何处理呢?举例说明：

随堂练习中一个题目 对于这个题目，很多学生表示都不知道从何下手，只有一些程度好的学生有自己的看法，我让学生进行了讲解： ，学生能将分母中不含有根号，想到用 来代替，然后再利用法则进行解答，真是聪明。学生的这种做法，我给予了充分的肯定，并表扬了这位同学。并且我也用分母有理化的思想进行了另一种方法的讲解，因为后面我想补一节分母有理化，所以在这里只是展示了一下过程， 这样同样能达到化简的目的，然后让学生对比了一下刚才那位同学的做法，没有展开讲。

剩下的时间我主要针对法则让学生进行了练习，做正确的小组加分，不正确的进行点评，到下课时，学生基本掌握了二次根式的乘除法的计算。

学生比较容易理解这两个法则，下面可以学习例2，主要是让学生通过看课本来理解法则的`应用，在学生理解例题的基础上，让学生思考还有没有其他方法来解决这些题目，以此来增加学生解题的思路与方法。在这里可以拿出1-2个题目来示范。

如 ，可以有两种解法：

法一： 这一种也是课本上的方法，是直接利用了二次根式的乘法法则。

法二： 这是利用了二次根式的性质。

通过这个题目的讲解，可让学生灵活掌握二次根式的计算方法。

二次根式1教学案例 篇12

二次根式的定义:一般地, 式子 (a≥0) 叫做二次根式.

二次根式的性质:当a≥0时, (二次根式的双重非负性) .

二次根式的计算或化简法则:

1.当a≥0时,

3.二次根式的乘法法则: (a≥0, b≥0) .

逆之得积的算术平方根的化简法则: (a≥0, b≥0) .

4.二次根式的除法法则: (a≥0, b>0) .

0, b>逆0) 之.得商的算术平方根的化简法则:

笔者发现, 二次根式中字母的取值范围是一个重要的知识点, 有时是解决问题的关键, 有时也是学生解题时比较容易出错的地方, 需要引起足够的重视.现举例如下:

一、确定字母的取值范围

例1 能使有意义的实数x的值有 ( ) .

A.0个

B.1个

C.2个

D.无数个

解析由题意得- (x-5) 2≥0, 所以 (x-5) 2≤0, 则x=5, 选择B.

点评根据二次根式的定义得:当二次根式的被开方数为非负数时, 二次根式有意义.很多时候这个知识点经常还与其他知识综合考查.

例2 要使式子有意义, a的取值范围是.

解析由题意得可得a的取值范围是a≥-2且a≠0.

点评此题将二次根式有意义与分式有意义综合在一起考查, 需要对每个知识点的准确把握, 学生经常顾此失彼, 或混淆知识从而出错.

例3 如果, 则 ( ) .

解析 由题意得2m-1≤0, , 选择B.

点评根据上述第2条化简法则, 对比得到此题化简实质为:, 进而推出a≤0解决问题, 许多学生解题时经常会漏考虑a=0的情况从而出错.

例4 式子成立的条件是 ( ) .

A.x≥3

B.x≤1

C.1≤x≤3

D.1

解析 由题意得

解得1

点评 本题根据上述第4条化简法则 (a≥0, b>0) 进行解答, 若忽略对分母的考虑, 和第3条化简法则混淆, 认为a≥0, b≥0就会出错, 所以极易混淆的知识点要多比较, 以提高辨别能力.

二、准确抓住字母的取值范围解决问题

1. 已知字母取值范围

A.7

B.-7

C.2a-15

D.无法确定

解析 由题意得50, a-11<0, 化简得:

原式=|a-4|+|a-11|= (a-4) + (11-a) =7, 故选择A.

点评 本题由实数a在数轴上的位置确定a的取值范围, 从而顺利解决化简问题, 此题字母a的取值范围是化简得以正确进行的关键.

2. 挖掘隐含的字母取值范围

例6 已知, 则2xy的值为 ( ) .

A.-15

B.15

点评 此题所涉及的两个二次根式的被开方数互为相反数, 它们要同时大于或等于0, 只有每一个被开方数都等于0, 从而得出x, y的值解决问题.

例7 已知x, y为实数, 且满足, 那么x2011-y2001=_______.

点评 本题关键是发现条件中第二项的系数与二次根式中的被开方数相同, 利用二次根式所隐含的取值范围得出第二项整体是一个非负数, 再根据“若几个非负数的和为0, 则每一个非负数都为0”顺利解决问题.

点评 此题关键是抓住, 将化简为1-a, 否则将会非常容易出错.

3. 没有字母取值范围时需分类讨论

例9 已知xy=3, 那么的值_______.

解析因为xy=3且, 所以x>0, y>0和x<0, y<0都符合题意.需分两种情况讨论, 现提供两种不同解法:

解法一 直接化简

解法二先平方, 再开方.

所以应填:

点评 此题条件只告诉我们x, y同号, 所以必须分两种情况讨论, 学生往往只注意第一种情况, 从而漏解, 所以解题时思维要缜密谨慎.

二次根式的化简 教学设计2 篇13

一、教学目标

1.掌握二次根式的性质

2.能够利用二次根式的性质化简二次根式

3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法

二、教学设计

对比、归纳、总结

三、重点和难点

1.重点：理解并掌握二次根式的性质

2.难点：理解式子 中的 可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

七、教学步骤

（一）教学过程

【复习引入】

1．求值、、、…

求值、、、…

结论：当 时，；

当 时，．

2．求值、…

结论：当 时，式子有意义，3．求值、…

结论：当 时，．

，不能为负数．

，对于

问：若根号内这个式子中的底数，根式还有意义吗？其值等于什么？

例如，其中－2与2互为相反数；，其中－3与3互为相反数；，其中 与 互为相反数．

【讲解新课】

提出问题： 等于什么？引导学生讨论、猜测、联想，得到结论：

教师可结合学生的具体情况，将上面公式用最简练的语句表达，并反复提问中差学生，加深其印象，进一步提问：若 时，能否等于，以增强学生的辨别能力，加强学生对公式的理解和记忆．

例1 化简：

（1）；（2）．

解：（略）．

注： 可看作，把 先写为 ；

可看作，把 先写为 ．

例2 化简： ．

分析：底数 是非负数还是负数将直接影响结果，这时要注意条件，由条件，可得 ．

∴ ．

解：（略）．

例3 化简下列各式：

（1）（）；（2）（）；

（3）（）； 解：（1）∵

∴ ．

∴

（2）∵

∴，即 ．

∴

．

（3）∵

∴，即 ．（4）（）．

．

∴

．

（4）∵，∵，即 ．

∴ ．

注：要从条件出发，判断根号下面式子的底数是非负数还是负数，再根据公式 计算出结果，因此在解题过程中，也是先写出条件，后进行变形，判断底数的正、负．

在写解题步骤上，尽量完整，以减少失误，并训练学生的逻辑思维能力．

（二）随堂练习

1．求值：

（1）；（2）；（3）（）；

（4）；（5）．

解：（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

（5）．

注：，学生易与 相混淆．

2．化简：

（1）；（2）；（3）；

（4）（）；（5）（）．

解：（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

（5）．

（三）总结、扩展

对公式，一定要在理解在基础上牢固掌握，要准确地运用公式进行二次根式的化简，关键是对根号内式子的底数的判断．

（四）布置作业

教材p213中1（2）、（3）；2（1）、（2）．

（五）板书设计

标 题

1．复习题

2．公式

3．例题