【教材分析】等腰三角形（精选10篇）
1、教材的地位和作用：《等腰三角形的性质》是初中七年级下册《三角形的有关证明》的第二课时，是全等三角形的续篇。等腰三角形是最常见的图形，由于它具有一些特殊性质，因而在生活中被广泛应用。等腰三角形的性质，特别是它的两个底角相等的性质，可以实现一个三角形中边相等与角相等之间的转化，也是今后论证两角相等的重要依据之一。等腰三角形沿底边上的高对折完全重合是今后论证两条线段相等及线段垂直的重要依据。同时通过这节课的学习还可培养学生的动手、动脑、动口、合作交流等能力，加强学生对直觉、猜想、演绎、类比、归纳、转化等数学思想、方法的领会掌握，培养学生的探究能力和创新精神。
2、教材重组：《数学新课程标准》要求教师要创造性地使用教材，积极开发，利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材，所以我制作了学生非常熟悉和感兴趣的动手操作环节，裁下来，动手折叠，发现规律。如此把教材内容还原成生动活泼的思维创造活动，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。
3、学习目标：根据《数学新课程标准》对学生在知识与技能、数学思考以及情感与态度等方面的要求，我把本节课的学习目标确定为：
知识目标：了解等腰三角形有关概念，探索并掌握等腰三角形性质，了解并掌握等腰三角形的判定定理。
能力目标：能结合具体情境发现并提出问题，逐步具有观察、猜想、推理、归纳和合作学习能力。情感目标：通过创设问题情境，激发学生自主探求的热情和积极参与的意识；通过合作交流，培养学生团结协作、乐于助人的品质。
4、教学重、难点：
重点：等腰三角形性质和判定的探索及其应用。 难点：等腰三角形性质和判定的探索及证明。
关键词：数学教材,分析,教学,建议
《义务教育数学课程标准 (2011版) 》以下简称 (《课标 (2011版) 》) 以几何直观和推理能力作为十大核心观念之一, 备受瞩目。为了加强几何教学, 增强推理能力的培养, 更好地落实《课标 (2011版) 》的有关要求, 冀教版数学教材编者特意将等腰三角形、直角三角形以及这些特殊三角形的性质、判定方法编成一章。这既考虑了各版块知识的完善, 又便于培养学生的推理论证能力。
一、全章教材分析
(一) 宏观分析
1. 从全章教材内容及其编排旨在实现《课标 (2011版) 》要求, 即“了解等腰三角形的概念, 探索并证明等腰三角形的性质定理, 探索并掌握等腰三角形的判定定理, 探索等边三角形的性质定理及判定定理;……了解直角三角形的概念, 探索并掌握直角三角形的性质定理及判定直角三角形全等的‘斜边、直角边’定理;探索勾股定理及逆定理, 并能运用它们解决一些简单的实际问题;知道证明的必要性, 知道证明合乎逻辑, ……会综合法证明的格式;通过实例体会反证法的含义。”
2. 从该章内容在全册教材体系中的地位和作用考察。《特殊三角形》是对三角形知识的深化和拓展, 又是进一步研究特殊四边形的重要工具, 同时等腰三角形的知识在今后探索线段相等、角相等、直线的垂直关系等方面有着广泛的应用;勾股定理及逆定理不仅是数形结合思想的完美体现, 更是学生解决数学问题和实际问题的有力工具。
3. 从该章内容在初中数学知识体系中的地位和作用考察。在平面图形知识体系中, 《特殊三角形》是研究矩形、菱形、正方形等特殊四边形的基础, 这几种特殊四边形性质和判定方法的推导建立在等腰三角形、直角三角形的性质及判定方法之上。数形结合思想在本章中得以完美呈现, 这种思想是学生后续学习平面直角坐标系和函数的基础;勾股定理和逆定理是架构代数与几何两大数学分支的桥梁, 在初中欧氏几何体系中占有举足轻重的地位, 因此本章在整个初中数学教材中起着承上启下的作用。
(二) 微观分析
1. 从各节内容的呈现方式看。
(1) 等腰三角形的性质定理、勾股定理、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”等内容, 都设计了通过观察、操作、思考、归纳等获得“发现”、再通过演绎推理证明“发现”的探索活动。这样的编排是学生体会通过推理探索数学结论, 运用演绎推理加以证明的过程, 有利于发展学生的推理能力。 (2) 勾股定理的获得, 设计为通过观察、计算、思考、归纳、猜想等一系列活动发现问题, 然后展开探索证明活动。然验证“猜想”的过程设计为“试着做做看”“做一做”的学生自主活动。 (3) 等腰三角形的判定定理和勾股定理的逆定理的呈现, 本次教材修改为等腰三角形的性质和勾股定理的逆命题是否成立的探究活动。教材力争让学生经历“发现提出问题———归纳概括猜想———验证猜想”的完整过程, 同时给出了从另一角度发现数学事实的方法。这样编排能有效发展学生的推理能力和创新精神。 (4) “反证法”一节是新增内容, 除介绍了反证法及证明命题的一般步骤外, 还运用反证法对平行线的性质定理“两条直线被第三条直线所截, 同位角相等”进行了证明, 这样编写体现了教材在内容上的完整性。教材同时增加了应用反证法的例题, 学生能初步领会反证法的价值。
2. 从全章蕴含的思想方法看。
本章蕴含的数学思想有“数形结合”“几何直观”“从特殊到一般”等, 蕴含的方法有“数与形结合的方法”“特殊化法”“反证法”。数形结合的方法不仅体现在勾股定理及逆定理上, 在等腰三角形的性质和判定方法中也有所渗透, 教师应认真体会。
3. 从教材正文、例题、习题、课后习题的设计上看。
教材正文改变了冗长的文字叙述方式, 以简洁明快的叙述直切课题, 或以问题形式对已获定理做逆向剖析, 用“一起讨论”或“大家交流”的形式引导讨论交流, 发现问题, 提出猜想、验证猜想。
教材设计的随堂练习、课后习题的难度均低于例题, 其中, 随堂练习只是对课堂所学知识的直接检验, 课后习题的难度略有上升, 这样编排意在引导学生进行模仿练习;课后习题分A、B两层设计, 体现了考查知识由浅入深、由简单到综合、由代数求值运算到几何说理论证的螺旋上升趋势, 符合学生的认知程序。
4. 从各节内容的知识树上看。
从知识树上不难看出, 等边三角形是对等腰三角形的深化, 等边三角形性质与判定方法的研究是基于等腰三角形为基础的;勾股定理及逆定理的探索与应用分别是对直角三角形性质与判定知识的丰富和升华。
二、施教建议:
(一) 注重“挖掘教材、活用教材”
教师在教学中应摒弃“死教教材”的现象。“吃透教材, 挖掘教材, 活用教材”是教学成功的关键。备课中, 教师应揣摩: (1) 编者这样编排教材的意图是什么? (2) 本节知识教学要培养学生的哪些能力? (3) 教学目标通过何种方式得以实现?
教师教学时不仅应做到“胸中有书”, 更要做到“目中有人”。只有这样备课、授课才能真正贯彻“因材施教”的基本教学思想。
(二) 注重推理教学, 实现合情推理与演绎推理的有机结合
通过《全等三角形》和《轴对称和中心对称》两章的学习, 学生对“已知———求证——证明”的形式逻辑推理过程已有了一定的了解, 在书写格式上已具备一定的经验, 能够表达自己的思考, 但符号语言还有待规范。本章中借助等腰三角形性质、判定、直角三角形全等的判定等定理的论证过程训练学生规范书写推理过程, 用标准的数学符号语言书写推理步骤, 是本章的教学难点。
本章教材中的许多“发现”首先由合情推理 (如等腰三角形的性质) 或操作实验 (如直角三角形斜边中线的性质) 得出, 然后在教师的点拨下, 逐渐抽象出数学结论, 引领学生采用演绎推理的方式给予论证。教师在教学中通过反复操作图形, 揭示辅助线的构造方法, 扫除演绎推理过程中的障碍, 实现合情推理到演绎推理的过渡。
(三) 注重方法, 凸显数学思想
数学思想方法是数学教育的灵魂, 数学思想是隐形的、上位的, 数学方法是显性的、可操作的。本章教材涉及推理思想、抽象思想、数形结合思想、转化思想。受这些思想的作用, 产生了数形结合方法、从特殊到一般的方法、逆向思维法。教师教学时, 应通过具体的事例的讲解, 使无形的思想显性化, 使数学方法得以概括和总结, 使它们成为解决问题的“金钥匙”, 真正提升学生的学习能力。
(四) 注重实践操作和创新精神的培养
学生通过“操作实践”来“发现”知识是本章教材编写的一个突出亮点。教师在教学中应通过“一起探究”“试着做做”“观察与思考”等栏目给学生提供实践机会、认知空间, 应充分利用这些素材让学生经历知识的“产生”、“发展”、“变化”、“应用”过程, 有意识地培养学生勇于创新、善于创新、乐于创新的精神, 逐渐将这种能力内化为学生学习的能力, 实现数学教育的育人功能。
参考文献
[1]义务教育数学课程标准 (2011年版) [M].北京师范大学出版社, 2012, 3.
1“公共边”为高的两个直角三角形
1.1正余弦定理的推导
在一个直角三角形中观察出边与角A，B，C满足asinA=bsinB=csinC之后，猜想该结论是否在斜三角形中成立（B版教材，以下提到的课本都是B版教材）.证明的方法是过三角形的一个顶点作高，将锐角三角形和钝角三角形转化为有一条公共边的两个直角三角形，再分别在两个直角三角形中寻找边与角的关系，并通过公共边去衔接，即证得正弦定理.同样，余弦定理的证明过程也是如此.体现出将一般的斜三角形转化为特殊的直角三角形、将未知转化为已知的化归思想.
1.2实际测量的运用
在实际测量中常需要构造有一条公共边的两个直角三角形，比如测量一个底部不能到达的建筑物的高度，如：在故宫护城河外测故宫一个角楼的高（B版1·2应用举例问题一），或者通过山顶的仰角测量山的高度，或者测量河堤的背水坡的倾斜角的大小（B版习题1-2A的第2、第3题）.在这些问题中涉及到被测量物的高度，所以需要构造直角三角形，而构造一个直角三角形往往条件不够，所以需要构造以高为公共边的两个三角形.
1.3高考题中的频现
基于理论的推导和现实中实际测量的需要，“公共边为高的两个直角三角形”也是近年高考中解三角形的高频考点.如2014年四川理科卷的13题，也就是以B版教材P15练习A：2为原型出的一道题：
图1如图1，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73）
显然，可以在直角三角形ADB中利用直角三角形中边角的关系求出AB的值，同理，再在三角形ACD中求出AC的值，然后在△ABC中利用余弦定理求BC.或者以AB为公共边，找到∠ABD与∠ABC互补的关系，根据内错角互补求∠ABD的正弦值，进而求出∠ABC的正弦值，再在△ABC中应用正弦定理求解.
图2再如：2014年课标Ⅰ高考文科卷的一道题：如图2，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m，则山高MN=m.
解本题时，先在Rt△AMN中利用边角关系表达出边AM，同理在Rt△ABC中求出边AC，再在△AMC中利用正弦定理就求出边AM的值.
以上两道考题都属考试中的基础题，都是将直角三角形的边角关系与正余弦定理初步结合起来，进行简单的应用.
显然通过作高将斜三角形转化为直角三角形，并通过高为衔接，进而解斜三角形中的边与角的关系，这是课本中体现的解决问题的方法，也是高考中要考查的对基础知识的运用能力.因此，需要引起师生们的关注.
再纵深去考虑的话，不仅可以用高去衔接两个三角形，也可以通过中线和角平分线这样的特殊边去衔接两个三角形，去解三角形.
2“公共边”为中线和角平分线的两个斜三角形
2.1教材中的体现
课本在得出正弦定理，并进行简单的边角运算之后就给出一个以角平分线为公共边的解三角形的问题.
课本P5例2：如图3，在△ABC中，∠A的角平分线AD与边BC相交于点D，求证：BDDC=ABAC.
证明令∠BAD=∠CAD=β，令∠BDA=α，则∠CDA=180°-α.在△ABD和△CAD中，由正弦定理得BDsinβ=ABsinα①，DCsinβ=ACsin（180°-α）=ACsinα②，
由①BDAB=sinβsinα，由②DCAC=sinβsinα，等量代换得BDAB=DCAC，再变形得BDDC=ABAC.
显然在本题中，公共边AD与边BC构成的两个角互补是衔接两个三角形△ABD与△ACD的关键.因为此时互补的两个角∠ADB与∠ADC的正弦值恰好相等.再分别在两个三角形△ABD与△ACD中用两次正弦定理，成功地将两个三角形的边衔接起来.
图3图4下面再看以中线为“公共边”的题型：课本P10习题1-1B：4.如图4，已知△ABC中，AB=43，AC=23，AD为BC边上的中线，且∠BAD=30°，求BC的长.
解△BDA中，BDsin30°=ABsin∠BDA，
△ACD中，DCsin∠DAC=ACsin∠ADC，
又因为BD=DC，sin∠BDA=sin∠ADC，
所以AB·sin30°=AC·sin∠DAC.所以43×12=23·sin∠DAC，所以sin∠DAC=1，所以∠DAC=90°.△ABC中，∠BAC=120°，AB=43，AC=23，由余弦定理得BC=221.
本题的解法与上一题的解法类似，只需要注意CD=BD这个衔接条件.以上两题都是课本上的例题或习题，解法如出一辙，都是通过公共边去衔接两个三角形.显然这样的题型学生不能很快驾轻就熟，需要进一步的训练，因此，教材给出了课本P20自测与评估第5题：已知AD是△ABC的角平分线，且AC=2，AB=3，∠A=60°，求AD的长；以及课本P20自测与评估第2题：在△ABC中b=4，c=3，BC边上的中线m=272，求∠A，a以及面积S；以及课本P20自测与评估第4题：在△ABC中，D是BC中点，已知∠BAD+∠C=90°，试判断△ABC的形状.以上三道题，都围绕公共边展开，但解法各异，这里不再赘述.
图52.2高考中的考查
（2013年浙江高考理科16题）如图5，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点.若sin∠BAM=13，则sin∠BAC=.
解设BC=2a，AC=b，则Rt△AMC中AM=a2+b2，Rt△ABC中AB=4a2+b2，
sin∠ABM=sin∠ABC=ACAB=b4a2+b2，
法一在△ABM中，由正弦定理BMsin∠BAM=AMsin∠ABM，即a13=a2+b2b4a2+b2，解得2a2=b2，于是sin∠BAC=BCAB=2a4a2+b2=63.
法二△ABM中，由正弦定理BMsin∠BAM=ABsin∠AMB，又因为∠AMB=180°-∠AMC，所以sin∠AMB=sin∠AMC.所以BMsin∠BAM=ABsin∠AMC，而sin∠AMC=bAM=ba2+b2，所以a13=4a2+b2ba2+b2.解得2a2=b2，于是sin∠BAC=BCAB=2a4a2+b2=63.
对比以上两种解法，显然解法一根据高为公共边衔接两个三角形，而解法二根据中线为公共边衔接两个三角形.由该题的解法可以看到“有一条公共边的两个三角形”的问题即一分为二，又合二为一.而且不管是解法一还是解法二，都不仅要用到直角三角形中的边角关系，还要用到斜三角形中的边角关系.因此这道题是一道别具匠心的好题.
显然以上我们都在围绕“特殊”展开，公共边为高，中线，角平分线.那么我们下面再由特殊推广到一般，看看“公共边”并不是“特殊边”的情况.
3“公共边”并不是特殊边的两个斜三角形
3.1教材中的体现
在实际测量中根据实际条件，公共边并不一定是特殊的边，如课本在12应用举例问题2中，测量地面上两个不能到达的地方之间的距离——两海岛之间的距离.衔接两个斜三角形的公共边就是任意的一条边.这在高考试题中也有体现，图6如2009年宁夏海南理科试卷17题：为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图6），飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
本题的模型完全来源于课本例题模型，仍是一道应用题，因为解三角形最终的归宿就是实际应用.该题对学生的要求较高，需要学生自主设计测量的方案，这也是对学生实际应用能力的考查，因此，看似简单学生不一定能驾驭.
3.2高考中的考查
（2010年陕西文数17题）如图7，在△ABC中，已知∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长.
图7解在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC=AD2+DC2-AC22AD·DC=100+36-1962×10×6=-12，所以∠ADC=120°，∠ADB=60°.在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsinB，AB=AD·sin∠ADBsinB=10sin60°sin45°=10×3222=56.
该题的解法与以中线、角平分线为公共边的各题的解法类似，仍是以∠ADB与∠ADC互补，去衔接两个三角形.该类考题频繁出现，下面一一陈述
如：（2011年福建理14）如图8，△ABC中，AB=AC=2，BC=23，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于；
（2011年天津理6）如图9，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=CD，2AB=3BD，BC=2BD，则sinC的值为；
图8图9图10（2010年全国卷2理数17）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=513，cos∠ADC=35，求AD.
（2014年北京理数16）如图10，在△ABC中，∠B=π3，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=17.（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长.
为什么高考围绕该知识点频繁出题？数学来源于生活，又应用于生活，它最终的落脚点还是实际应用，下面请看以“有一条公共边的两个三角形”为载体的一道实际应用题：
某观测点C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的某人在B点处正沿此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD=21km，求此人在D处距A还有多少千米.
解如图11，在△BDC中，CD=21，BD=20，BC=31，由余弦定理得，cos∠BDC=-17，在△ADC中，cos∠ADC=cos（π-∠BDC）=17，sin∠ACD=sin（∠CAD+∠ADC）=sin（60°+∠ADC）=5314，由正弦定理：ADsin∠ACD=CDsin∠CAD，得AD=15.
显然，以上问题，都是一些特殊情况，让我们把眼界放的更宽一些，我们可以看到更一般的实际应用：
图11图12如图12，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为（3-1）nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需要的时间.
图13解如图13，连接CB，CD.设缉私船在D处追赶上走私船，所用时间为t小时，则有CD=103t，BD=10t，在△ABC中，AB=3-1，AC=2，∠BAC=120°.由余弦定理得：BC=6.又由正弦定理得∠ABC=45°.所以BC为东西方向，所以∠CBD=90°+30°=120°.在△BCD中，由正弦定理，可得sin∠BCD=BD·sin∠CBDCD=10t·sin120°103t=12.
所以∠BCD=30°=∠BDC，所以BD=BC=6.所以10t=6，所以t=610≈0.245（小时）=147（分钟）.
所以缉私船沿北偏东60°方向，约需147分钟才能追上走私船.
这是常见的追击问题，仍然是BC边衔接了两个三角形△ABC和△BCD，较上一例题问题更加一般化.
以上这些就是笔者在对《解三角形》（B版）进行教学与反思，同时结合高考考点与实际应用，发现的结论.我们可以看到，高考要考查的考点与课本所要传达的知识点是一脉相承的，课本上着重要传达的思想、解决问题的方法及对应的知识点就是高考中的考点，而不论是课本的知识点还是高考的考点，这些内容正是实际生活中解决问题所需要的知识点.
教学内容：四年级下册第77～78页的例3和“练一练”，练习十二第5～8题。
教学目标：
1.使学生在现实情境中，通过观察、想象、操作等活动，了解三角形的三边关系，知道怎样的三条边可以围成三角形，知道三角形中任意两边之和大于第三边。
2.使学生通过探索性学习，培养初步的观察、想象、操作、比较、概括、归纳等能力，发展空间观念。
3.使学生在活动中积累图形与几何的学习经验，培养进一步学习数学的兴趣。
教学重难点：了解三角形三边关系，知道三角形任意两边长度的和大于第三边。
教学具准备：多媒体课件、磁性小棒、磁性黑板。
教学过程：
一、谈话交流，引入新课
1.找一找。
提出要求：图形在生活中随处可见，你能从下图中找出哪些图形？
引导：关于三角形，你知道它的什么知识？
2.围一围。
提问：如果把一根小棒看成三角形的一条边，那么围一个三角形需要几根小棒？
明确：围一个三角形需要三根小棒。
引导：给你三根小棒（红、黄、蓝），能用这三根小棒围一个三角形吗？（指名到展示台上围三角形）
明确：围三角形时三根小棒要首尾相接。
二、操作质疑，探究新知 1.动手操作，引发冲突。
提出要求：请利用信封中的三根小棒（分别是红、黄、蓝三种颜色），独立尝试围一个三角形。
（同桌两人的小棒长度不同，一人能围成三角形，另一人不能围成三角形）
交流：每个人都围成三角形了吗？如果没有围成，请围成的同学帮忙围一围，让他们也围成三角形。
2.互动思考，引发猜想。
提问：为什么同样是三根小棒，有的同学能围成三角形，而有的同学却没围成三角形呢？能否围成三角形与什么有关？（与小棒的长度有关）
量一量：每根小棒分别多长？你发现什么？
明确：由于红色和黄色小棒太短了，3根小棒不能首尾相接，也就是8厘米+6厘米＜16厘米，所以围不成三角形。
反思：要围成三角形，三根小棒的长度要有怎样的关系？
猜测：红色与黄色小棒的长度和大于蓝色小棒，就可以围成三角形。
验证：从围成的三角形中，量出每根小棒的长度，算一算红色与黄色小棒的长度和，看是否大于蓝色小棒。
启发：只是红色与黄色小棒的长度和大于蓝色小棒吗？其他的两根小棒的长度和与第三根的长度有怎样的关系？
发现：红色+黄色＞蓝色，蓝色+黄色＞红色，红色+蓝色＞黄色
提问：怎样可以简洁地说出三根小棒之间的长度关系？
概括：任意两根小棒的长度和一定大于第三根小棒。
3.动手画图，验证猜想。
三角形任意两边长度的和一定大于第三边吗？先画一个三角形，再量一量、算一算。
明确：三角形任意两边长度的和大于第三边。
4.深入辨析，提升认识。如果三根小棒的长度分别是16厘米、7厘米和9厘米，能围成三角形吗？为什么？
小组交流想法，全班交流，课件动画演示。
明确：当两根小棒的长度和等于第三根小棒时，三角形的三条边处在一条直线上，所以不能围成三角形。
三、分层练习，巩固新知
1.准确判断。
哪组小棒可以可以围成一个三角形？为什么？
（1）2cm 4cm 6cm
（2）2cm 2cm 5cm
（3）6cm 2cm 5cm
独立判断，完成后同桌交流，说说各是怎么判断的。
启发：每次判断都要计算三次吗？怎样才能快速判断？（较短的两条边的和大于第三条边）
2.拓展练习。
一个三角形，两边的长度分别是12厘米和18厘米，第三条边的长可能是多少厘米？
5cm 25cm 30cm 38cm
追问：如果取整厘米数，第三边还有可能是多长？最短是几厘米？最长呢？
明确：最短要比6厘米长，是7厘米；最长要比30厘米短，是31厘米。而6是12与18的差，30是12与18的和。
凸显：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边。
追问：如果是6.1厘米可以吗？（多一点就行）5.9厘米呢？（缺一点不行）30.1厘米呢？
3.综合运用。
从学校到少年宫有几条路线？走哪一条路最近？
独立思考，小组交流，说说你是怎样想的？
如果运用今天学习的三角形三边关系，该怎样解释？
4.灵活运用。
把一根长14厘米的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），用线穿成一个三角形。
想一想：还可以怎样剪？
四、回顾总结，反思提升
提出要求：把眼睛闭起来，回想一下这节课你有什么收获呢？
进一步明确：（1）三角形三边关系很简单，跟我们以前学过的两点之间的所有连线中线段最短是一致的。（2）三角形边的关系很有趣，不是等于，而是大于；不是一条边和另一条边的关系，而是两条边的和与第三条边的关系。
【教者简介】
吴凌艳，先后获江苏省小学数学青年教师基本功评比一等奖，江苏省小学数学优质课评比二等奖，连云港市小学数学教师专业技能评比一等奖，连云港市中小学教师教学研究能力比赛一等奖。执教省、市级公开课十余次。
本节微视频是苏教版数学教科书四年级下册第78~79页的教学内容。在教学之前，学生已经掌握了角的概念、角的分类和角的测量；认识了三角形，知道三角形是由三条线段首尾相接围成的图形，有三个顶点、三条边和三个角。这些已经构成学生进一步学习的认知基础。《三角形的内角和》是三角形的一个重要性质。学生在学习四年级上册“角的度量”时，通过测量三角尺三个角的度数，知道三角尺三个角加起来的和是180度，再加上前的预习，大部分的学生已经能得出结论：三角形的内角和是180度，只不过他们不清楚其中的道理，只是机械性的记忆。因此，本节的重点不是结论，而是验证结论的过程。教材组织学生对不同形状、不同大小的三角形的内角和进行探索，通过转化、推理、比较、操作和验证，总结概括出“所有三角形的内角和都是180度”的规律，从而进一步发展学生的空间观念，提高学生的自主学习能力和推理能力。
下面就具体谈谈微的教学设计：
一、教学目标
1、通过测量、转化、观察和比较等活动探索发现并验证“三角形的内角和是180度”的规律，并且能利用这一结论解决求三角形中未知角的度数等实际问题。
2、通过折一折、拼一拼和剪一剪等一系列的操作活动培养学生的联想意识和动手操作能力。体验验证结论的过程与方法，提高学生分析和解决问题的能力。
3、使学生通过操作的过程获得发现规律的喜悦，获得成就感，从而激发学生积极主动学习数学的兴趣。
二、教学重点和难点
重点：让学生亲自验证并总结出三角形的内角和是180度的结论
难点：对不同验证方法的理解和掌握。
三、教学过程
（一）质疑——发现问题，提出问题
出示学生熟悉的一副三角尺，让学生说说每块三角尺中各个内角的度数。试着计算每块三角尺的三个内角的度数加起来的和是多少度？
交流：不同三角尺的内角和都是一样的吗？三角尺的内角和有什么特征？
引导学生得出三角尺的三个内角的度数和是180度。
提问：三角尺的形状是什么三角形？三角尺的内角和是180度，我们还可以说成是什么？（得出结论：直角三角形的内角和是180度。）
你有什么办法验证这一结论呢？（动手操作，寻找答案）
方法一：拿出不同的直角三角形，分别测量三个内角的度数，再求和。（提示存在误差，但三个内角的和都在180度左右）
方法二：用两个相同的直角三角形拼成一个长方形，由于长方形的四个内角和是360度，因此能得出一个直角三角形的三个内角和是180度。
启发：直角三角形的内角和是180度，这一结论让你联想到了什么？你能提出什么新的数学问题呢？
引导：从直角三角形的内角和联想到所有三角形的内角和，提出问题：所有三角形的内角和都是180度吗？
（二）探究——分析问题，解决问题
出示三个三角形：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
引导：直角三角形的内角和是180度了，由此我们联想到锐角三角形和钝角三角形的内角和也有可能是180度。
提问：你有什么办法来验证这一猜想呢？
拿出事先从本第113页剪下来的3个三角形，动手操作，自主探索，发现规律。
方法一：可以像上面那样先测量每个三角形的三个内角的度数，再计算出它们的和，看看能发现什么规律。学生测量计算，教师巡视指导。
引导：测量时要尽量做到准确，测量是存在误差的，对于测量的不准的同学要重新测定和确认，计算出它们的和，发现其中的规律。
方法二：既然是求三角形的内角和，我们就可以想办法把三角形的3个内角拼在一起，看看拼成了什么角。那怎样才能把3个内角拼在一起呢？我们可以将三角形中的3个内角撕下来，再拼在一起，会发现拼成了一个平角，是180度。
方法三：把三角形的三个内角撕下来，虽然能将他们拼在一起，但是原有的三角形被破坏了。因此，我们还可以通过折一折的方法，把三个内角折过来拼在一起，同样会发现拼成一个平角，是180度。
方法四：将锐角三角形和钝角三角形分别分成两个直角三角形，利用直角三角形内角和是180度进行推理。180+180=360度，360-90-90=180度。
（三）归纳——获得结论
交流：回顾以上3个三角形的内角和的探索过程，你发现了什么规律？
总结：通过测量计算、拼一拼和折一折的方法，我们可以消除心中的问号，肯定得说出所有三角形的内角和都是180度这一结论。
（四）拓展——巩固练习
1、将一个大三角形剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是多少度？
杨鑫
本模块的内容包括：遗传因子的发现、基因和染色体的关系、基因的本质、基因的表达、基因突变及其它变异、从杂交育种到基因工程、现代生物进化理论七部分。学习本模块的内容，对于学生理解生命的延续和发展，认识生物界及生物多样性，形成生物进化的观点，树立正确的自然观有重要意义。同时，对于学生理解有关原理在促进经济与社会发展、增进人类健康等方面的价值，也是十分重要的。
1.单元内基础知识之间的关系
在掌握基础知识的过程中，首先得了解清楚基础知识的相互关系，建议每个章节首先让学生绘制知识框图：也可以在章头课使引导学生绘制思维导图。通过对各单元知识之间内在关系的分析，使学生形成比较完整的知识体系，这是培养学生的生物学素养的基本要求。
2.各单元之间的发展关系
本模块各单元内容总体上看可以分为三部分：生物的遗传、生物的变异和育种、现代生物进化理论。
这三部分的关系如下图：
2.1、生物的遗传
该部分内容包括第1、2、3、4章，主要是揭示生物在代代繁衍的过程中，遗传物质是什么？在哪里？如何传递以及是如何起作用的？通过上图可以看出，本模块遗传部分的内容基本是循着人类认识基因之路展开的。这样学生学习遗传知识的过程，犹如亲历了一百多年来科学家孜孜以求的探索过程，会受到科学方法、科学态度和科学精神等多方面的启迪。
2.2、生物的变异和育种
本模块的第5章内容既是前4章内容合乎逻辑的延续，又是学习第6章和第7章的重要基础。本章集中解决这样几个问题：遗传物质（基因）在代代相传的过程中，是否会发生变化？为什么会变化？怎样变化？发生的变化对生物会产生什么影响？变异的种类有哪些等等。本章中有关人类遗传病及其预防的内容，与人类的生活联系密切，对于提高个人和家庭生活质量、提高人口素质有重要的现实意义。
本模块前五章集中讲述了遗传和变异的基本原理，知识内容是按照科学史的线索展开的，较少涉及生产实践上的应用。“第6章——从杂交育种到基因工程”将集中解决这部分问题，并且是按照技术发展历程的线索来展开内容的，以期使学生在了解遗传学原理的应用的同时，在“科学、技术、社会”方面有更多的思考，获得更多的启示。
2.3、现代生物进化理论
本模块的最后一部分内容是“第7章现代生物进化理论”。该部分内容较为深入的揭示了生物繁衍过程中物种形成和更替的原理，指出生物进化的单位是种群，进化的实质是种群基因库在环境的选择作用下的定向改变，反映出生物与环境在大时空尺度下的发展变化和对立统一。通过本章的学习，学生不仅可以了解生物进化理论在达尔文之后的发展，进一步树立生物进化的观点和辩证唯物主义观点，而且能够通过学习进化理论的发展过程，加深对科学本质的理解和感悟。
3.《遗传与进化》模块的意义和价值
课程标准在“课程设计思路”中，对本模块的意义和价值，作了如下概括：本模块“有助于学生认识生命的延续和发展，了解遗传和变异规律在生产生活中的应用；领悟假说演绎、建立模型等科学方法及其在科学研究中的应用；理解遗传和变异在物种繁衍过程中的对立统一，生物的遗传变异与环境变化在进化过程中的对立统一，形成生物进化观点”。
在“内容标准”部分对本模块的意义和价值又作了进一步的阐述：“本模块选取的减数 分裂和受精作用、DNA分子结构及其遗传基本功能、遗传和变异的基本原理及应用等知识，主要是从细胞水平和分子水平阐述生命的延续性；选取的现代生物进化理论和物种形成等知识，主要是阐明生物进化的过程和原因。学习本模块的内容，对于学生理解生命的延续和发展，认识生物界及生物多样性，形成生物进化的观点，树立正确的自然观有重要意义。同时，对于学生理解有关原理在促进经济与社会发展、增进人类健康等方面的价值，也是十分重要的”。
综上所述，结合“具体内容标准”和教材内容可以看出，本模块内容在知识、能力和情感态度价值观三个方面都具有独特的教育价值。
3.1、在知识教育方面的价值
必修模块“所选内容能够帮助学生从微观和宏观两个方面认识生命系统的物质基础和结构基础、发展和变化规律以及生命系统中各组分间的相互作用”，这是课程标准对必修模块内容的知识教育价值所做的高度概括，它明确指出了在高中生物必修课中，学生的认知对象是生命系统——包括细胞、个体、群体、生态系统等各个层次；认知目标就是理解不同层次生命系统的物质和结构基础、发展和变化规律、各组分间的相互作用、系统与环境的相互作用。对这一认知目标的达成，三个必修模块各有其独特的作用。
本模块主要是揭示生物在代代繁衍的过程中，遗传物质是如何传递和变化以及是如何起作用的，也可以说是从基因的角度来达成上述认知目标的。（如图1所示）
3.2、在能力培养方面的价值
课程目标确定的能力目标包括操作技能、信息能力和科学探究能力三个方面，尤为重视科学探究能力的培养。领悟和运用科学方法，对于发展科学探究能力至关重要，而不同模块在科学方法教育上既有共同之处，又有不同的侧重点。本模块在科学方法教育上具有独特的价值。正如课程标准所指出的，本模块有助于学生“领悟假说演绎、建立模型等科学方法及其在科学研究中的应用”。这一表述明确指出了本模块在科学方法上的侧重点。
假说一演绎法的内容主要安排在本模块中，特别是在教材《遗传因子的发现》和《基因和染色体的关系》两章。
模型方法也是现代生物科学研究的重要方法。《分子与细胞》模块侧重物理模型和概念模型的构建，如真核细胞三维结构模型和细胞膜的流动镶嵌模型；本模块侧重物理模型和数学模型的构建，如DNA分子的双螺旋结构模型、减数分裂中染色体数目和行为变化的模型和种群基因频率变化的数学模型；《稳态与环境》模块则进一步练习各类模型的构建。
同其他两个模块一样，本模块的科学方法教育既有侧重点，又是全方位的。通过科学史的介绍和探究活动的安排，学生可以在逻辑推理(如归纳、演绎、类比)的训练、数学方法的运用、实验材料的选择、实验数据的处理等方面得到全面提高。
3.3、在情感态度价值观教育方面的价值
本模块所蕴含的情感态度价值观内容十分丰富，依据课程标准的有关表述，并结合教材内容进行分析，主要包括以下几个方面。
3.3.1、对立统一的观点 对立统一的观点是辩证唯物主义观点的重要组成部分。课程标准在“课程设计思路”中指出，本模块有助于学生“理解遗传和变异在物种繁衍过程中的对立统一，生物的遗传变异与环境变化在进化过程中的对立统一”。此外，、本模块还涉及生物的多样性与共同性的统一。从遗传角度看，所有的生物都共用一套遗传密码；从进化的角度看，所有生物都有着共同的起源。这些内容对于学生形成对立统一的观点都是十分重要的。
3.3.2、生物进化的观点 本模块对学生进一步形成生物进化的观点具有重要意义。尽管学生在初中阶段已经学过一些生物进化的知识，但由于遗传学知识基础的限制，不可能对生物进化的原理有深入的理解，生物进化观点的建立还处于初级水平，面对进化论领域的不同观点还缺乏鉴别能力。本模块在引导学生深入学习有关遗传学知识的基础上，较深入地介绍了现代生物进化理论，对达尔文进化论的巨大贡献和局限性也做了辩证的分析，这就有利于学生进一步确立生物进化的观点，提高对进化论领域的不同观点甚至伪科学论调的鉴别能力。
3.3.3、科学态度和科学精神 本模块教材中介绍了许多科学家在研究过程中表现出的科学态度和科学精神，比如孟德尔热爱科学、锲而不舍、敢于独立思考的精神，摩尔根尊重科学、勇于自我否定的精神，达尔文既能挑战传统观念，又能正视自己不足的精神，等等。这对于学生养成科学态度和科学精神都有助益。
3.3.4、科学技术价值观 课程标准指出，本模块“对于学生理解有关原理在促进经济与社会发展、增进人类健康等方面的价值，也是十分重要的。”为体现课程标准的这一要求．教材中介绍了DNA指纹技术在刑侦和亲子鉴定等方面的应用、遗传病的监测和预防、遗传学原理在育种上的应用、基因工程的应用等内容。实际上，教材中有关反映科学技术价值的内容远不止这些，大致可以归纳为下图(图2)：
4.教学过程的建议（以第一章第一节为例）
第1节 孟德尔的豌豆杂交实验
（一）教学建议
1．课时建议（共计7课时）
第1节 分离定律 3课时（含活动）
第2节 自由组合定律 3课时
复习与小结 1课时
2．教法建议
（1）第1节《孟德尔的豌豆杂交实验
（一）》的教学重点：孟德尔的杂交实验为素材进行科学方法教育；分离现象的解释，阐明分离定律；运用分离定律解释一些遗传现象；教学难点:对分离现象的解释；显性相对性。本节课的内容是按科学史的发展线索来安排的，学生在学习时缺乏减数分裂的知识，认知上有一定的难度。通过科学史的学习，学会从现象到本质的认识论方法，能深刻体会到孟德尔敢于质疑、勇于创新、勇于实践以及严谨、求实的科学态度。在教学过程中，引导学生根据现象去分析和推理，通过背景材料，熟悉科学研究的一般过程（观察现象、发现问题、提出假设、验证假说、得出结论）。通过讨论，明白高茎豌豆与矮茎豌豆杂交实验的分析图解及相关概念，理解一对相对性状的遗传现象及其结果。通过具体事例的分析、讨论，突破显性相对性这一难点。“性状分离比的模拟”活动对学生理解掌握孟德尔定律有重要意义，能帮助学生理解等位基因在形成配子时要相互分离，雌雄配子受精时是随机结合的。
（2）第2节《孟德尔的豌豆杂交实验
连盐(连云港—盐城)高速公路某特大桥,全长3 779 m,第3联、21联分别跨越北、南大堤,设计为47 m+80 m+43 m变高度预应力混凝土连续箱梁,单箱单室,底板宽8.50 m,翼板宽4.25 m,三向预应力。墩身中心处梁高5.80 m,跨中梁高2.40 m,箱梁段底板沿半立方抛物线变化,桥面横坡为单向2%,通过箱梁腹板高度调节。箱梁0号块节段长10.0 m,在支架上浇筑。两侧各有10个节段,梁段数及梁段长度为2.0 m,2×3.0 m,4×3.5 m和3×4.0 m,采用挂篮悬臂浇筑施工,浇筑梁段最大控制重量132.6 t,设计考虑挂篮荷载60 t,实际使用的挂篮重量约45 t。
2 三角形挂篮组成及受力计算
2.1 三角挂篮各部件组成
三角挂篮主要由四部分组成:承重三角架、底平台、吊点装置及模板体系。
2.2 三角形挂篮各部分受力计算
三角形挂篮结构和受力形式简化图(见图1)。
前后吊带受力分别计算如下:
F前1=45%梁体重量=132.6×0.5×45%=29.8 t,
F后1=55%梁体重量=132.6×0.5×55%=36.47 t。
同时考虑到施工荷载以及荷载的不均匀等因素,前后吊带的受力按梁体分配荷载的1.3倍计算:
F前=1.3 F前1=38.74 t,
F后=1.3 F后1=47.41 t。
采用清华大学SM Solver软件对三角形挂篮各部件受力进行了计算。
计算结果见图2,图3,图4。
三角形挂篮各部件内力图见表1。
2.3 纵向主梁抗弯能力验算
由上面的计算结果可知,纵向主梁所受最大弯矩为:Mmax=464.4 kN·m。
抗弯强度:
σ=Mmax/W=464.4×103×103/(5 760×103×2)
=40.3 MPa<[σ]=215 MPa。
因此,主梁满足强度要求。
2.4 立柱抗压能力验算
立柱所受最大轴力为1 281.33 kN。
σ=N/A=1 281.33×103/( 94.02×102×2)=68.14 MPa<[σ]=215 MPa。
因此,立柱满足抗压强度要求。
2.5 拉杆抗拉能力验算
前后拉杆由于采用同样的型钢,因此,只对受力最大的拉杆(后拉杆)进行验算。后拉杆的最大拉力为1 034.63 kN。
σ=N/A=1 034.63×103/(53.51×102×2)=96.7 MPa<[σ]=215 MPa。
2.6 后锚锚固能力验算
由上面的计算结果可知,最大剪力为500.26 kN。而锚固钢筋采用直径32 mm的冷拉 Ⅳ 级钢筋,其抗拉设计强度为750 MPa,承拉能力为3.14×32×32×0.25×750=602.88 kN。因此,后锚满足要求。
2.7 横梁抗弯能力验算
2.7.1 后上横梁抗弯能力验算
后边吊带所受拉力主要为箱梁翼缘的重量,最重节段翼缘重量约146×0.55=80.3 kN,乘以1.3倍的施工荷载,总荷载为104.4 kN,最大弯矩为104.4×4.5=469.8 kN·m。
σ=Mmax/W=469.8×103×103/(1 500.4×103×2)=156.5 MPa<[σ]=215 MPa。
2.7.2 前上横梁抗弯能力验算
前边吊带所受拉力主要为箱梁翼缘的重量,最重节段翼缘重量约146×0.45=65.7 kN,乘以1.3倍的施工荷载,总荷载为85.4 kN,最大弯矩为85.4×4.5=384.3 kN·m。
σ=Mmax/W=384.3×103×103/(1 500.4×103×2)=128.1 MPa<[σ]=215 MPa。
2.7.3 后下横梁抗弯能力验算与挠度计算
1)浇筑状态抗弯能力验算。
当挂篮处于浇筑状态时,后边吊带所受拉力主要为箱梁翼缘的重量,最重节段翼缘重量约146×0.55=80.3 kN,乘以1.3倍的施工荷载,总荷载为104.4 kN,最大弯矩为104.4×4.85=506.3 kN·m。
σ=Mmax/W=506.3×103×103/(2 446.5×103)=206.9 MPa<[σ]=215 MPa。
2)行走状态挠度计算。
当挂篮处于行走状态时,后下横梁上的内吊带拆除,后下横梁主要受底模的重量,底模为均布荷载,考虑荷载为30b工字钢、木方约1 m3、钢管约1 t、模板等,经计算总荷载约为89.9 kN,由后下横梁承担的荷载按0.55×89.9=49.45 kN,则均布荷载为q=49.45/16.4=3 kN/m。
Mmax=ql2/8=3×16.42/8=100.9 kN·m。
σ=Mmax/W=100.9×103×103/(2 446.5×103)=41.2 MPa<[σ]=215 MPa。
挠度为:
2.7.4 前下横梁抗弯能力验算
前下横梁吊带处架设成简支,受均布荷载作用。最大均布荷载在底板段,以底板段所承担的荷载为均布荷载作为强度验算。
(132.6-14.6×2)×9.8×0.45×1.3/8=74.1 kN/m。
最大弯矩Mmax=157.8 kN·m。
σ=Mmax/W=157.8×103×103/(2 446.5×103)=64.5 MPa<[σ]=215 MPa。
3 挂篮移动过程中的抗倾覆措施与抗倾覆安全系数计算
挂篮移动过程的抗倾覆措施通过“移动锚”来解决。
移动锚实际上就是后锚的交替使用。在浇筑阶段,一幅挂篮后锚共6根,但在行走时,后锚上的螺栓稍稍松动,使后锚与纵向主梁脱离接触即不受竖向力,但若挂篮向下倾,则后锚受拉,从而确保挂篮在行走过程的抗倾覆安全。
移动锚最不安全的状态即挂篮在一个节段浇筑好后移动至下一个节段(到位)且只有两个锚起作用的时候。
空载时挂篮底模的重量(参考2.7.3节)为89.9 kN,另外加上前后下横梁的重量,然后考虑1.3倍的其他荷载。
抗倾覆安全系数:
k=后锚力矩/挂篮悬臂部分力矩=602.88 kN×4.1 m/[(89.9 kN×1.3×0.55×0.5+115.06 kg/m×17 m×9.8×10-3×1.3×0.5)×0.4 m+(89.9 kN×1.3×0.45×0.5+115.06 kg/m×17 m×9.8×10-3×0.5×1.3)×5.9 m]=10。
需要说明的是,上面的计算只考虑了一个后锚(移动锚)起作用时的安全系数,若两个后锚同时受力,则安全系数更高。因此,挂篮在行走时的抗倾覆满足要求。
4 结语
通过对该挂篮的组成结构进行系统的设计,考虑各种荷载及安全系数进行受力计算,可以确保该挂篮能满足施工及安全要求。
摘要：结合具体工程实例,介绍了该特大桥三角挂篮的各部件组成,详细地计算了三角形挂篮各部分的受力,提出了挂篮移动过程中的抗倾覆措施,对抗倾覆安全系数进行了计算,以保证该挂篮能满足施工及安全要求。
关键词：特大桥,挂篮,受力,稳定性
参考文献
[1]JTJ 041-2000,公路桥涵施工技术规范[S].
本课题组成员陈丹媛借助史宁中教授等人的课程难度量化分析的模型，撰写了文章《三角形课程难度的定量分析比较》，并于2014年10月12日在《考试周刊》发表，以此作为基础，分析初中几何课程三角形的课程难度变化对初中教师的教学实践的指导。
根据已发表的前文，比较2011年版《义务教育数学课程标准》（以下简称《标准》）与2000年版《全日制九年义务教育初中数学教学大纲（试用修订版）》（以下简称《大纲》）。《大纲》中课程广度系数、课程深度系数、课程事实时间、课程难度系数分别为G1=39，S1=88，T1=45，N1=131;而《标准》中对应的系数为G2=41，S2=91，T2=50，N2=126。
二、教学指导
三角形是常见的几何图形之一，在生产和生活中有广泛的应用。教科书通过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形，形成三角形的概念。本文借助陈丹媛文献所得到的数据进行分析，可得到《标准》与《大纲》相比，课程难度降低了005，虽然课程广度、课程深度有所增加，但是因为课程实施时间较长，使得课程难度有所降低。接下来，我将分析课程广度、课程深度、课程实施时间、课程难度这四个影响因素的变化对初中教师的教学实践的指导。
1课程广度变化对教学实践的指导
根据对陈丹媛文献的分析可以得到，《标准》与《大纲》相比，三角形的知识点从概念方面来说，增加了等腰三角形、直角三角形、三角形的重心三个内容，而且删除了相似比;从技巧方面来说，增加了会作三角形的外接圆，删除了作三角形的角平分线、中线和高。总体上说，《标准》下“三角形”的课程广度有所增加。当知识点既有增加又有减少，初中教师在进行授课时，又应该如何把握授课技巧和改变授课方法呢？接下来，我将逐一说明我自己的观点：《标准》中新增加了等腰三角形、直角三角形的概念，其实也是从另一方面告诉我们等腰三角形、直角三角形越来越重要。还有就是，在《大纲》中只有三角形的内心和外心，《标准》下增加了三角形的重心，内心是三角形角平分线的交点，外心是三角形垂直平分线的交点，重心是三角形中线的交点，这三个知识点是非常重要的，我们必须牢牢记住。再者，《标准》下增加了作三角形的外接圆，删除了作三角形的角平分线、中线和高，其实作三角形的外接圆必须先找出圆心，要找出圆心必须找出三角形的外心，也就是垂直平分线的交点，也就要求我们会作三角形的高和中线，而《大纲》与《标准》都有要求会作三角形的内切圆，也就是找出圆心，就是找出三角形的内心，也就是会作角平分线。初中学生好奇心强，特别是对新鲜事物，所以要尽量避免知识点的重复性，保持学生的这种好奇心，使学生更好更快地学好知识。
2课程深度变化对教学实践的指导
基于对三角形课程的分析，可以知道，《标准》相比较于《大纲》，其对课程深度的赋值有些知识点有所增加，例如三角形顶点、边、内角、外角、角平分线、中线和高，全等三角形、锐角三角函数的概念要求和三角形的边长关系、直角三角形的全等判定、勾股定理的逆定理这些定理部分;同时有些知识点的课程深度赋值却有所降低，例如相似三角形的概念要求和三角形相似的判定定理、三角形相似的性质定理这些定理部分。那课程深度赋值的增加或减少，对于教师的授课有何影响呢？
由对比可知，三角形的全等判定的课程难度赋值没有变化，说明全等三角形这一内容是非常重要的，而直角三角形的全等判定作为一个单独的知识点，再增加其难度赋值。相似三角形与全等三角形的内容有些许相同，但相对而言，相似三角形的内容难度较大，为控制《标准》下的三角形的课程难度，所以减少难度较大的知识点的难度赋值是十分必要的。因其难度的降低，三角形的相似判定定理或性质定理不再单独作为一道题目，例如：
如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF∶S四边形BCED的值为（）
由题目可知，首先，我们可以证明△ADE≌△CFE（SAS），得到S△ADE=S△CFE;再因为DE是△ABC的中位线，可知△ADE∽△ABC，得到S△ADE∶S△ABC=1∶4，因此可以知道所求的结果为A选项。从这道题知道，该题目主要的考点：相似三角形的判定性质、全等三角形的判定性质、三角形的中位线定理。就这个题目而言，对于相似三角形这个知识点我们可以很清晰地看出来，既让我们必须学会了解三角形的定义和定理，又不会出现太过刁钻的问题，降低了相似三角形该知识点的难度，从而使得一道题目可以出现好几个知识点又不至于难度太大，让学生无法解答。因此，教师在讲解的时候需要多注意知识的系统性，在教新知识的同时也要注意新旧知识的联系。
3课程实施时间的变化对教学实践的指导
由数据分析可知，《标准》中的三角形的课程实施时间较长，增加了五个课时。课时的增加一方面是因为课程广度、课程深度的增加，所以需要增加课程实施时间来辅助教师的授课，以避免教师对新课的讲解不够具体，学生对知识点的理解不够彻底;另一方面需要注意的是，因课时的增加，教师不应过多地补充难题、怪题，而是应该多注意帮助学生理解新旧知识的联系，使学生形成一个系统的知识面。
4课程难度变化对教学实践的指导
《标准》比《大纲》的课程难度降低了005，由课程难度量化分析模型N=αG/T+（1-α）S/T可知，虽然三角形的内容的课程广度、课程深度都增加了，但是课程实施时间较长，使得其可比广度、可比深度都略微降低。课程难度过高不切合实际，让学生对知识的掌握更加系统才是真理，所以降低课程难度是非常必要的。从课程广度而言，虽然知识点个数增加了，但是增加的知识点都是难度较小，平时比较常用到的，相对的，就是删除了难度较大也不常用的知识点，有增加也有删除，是为了控制知识点的个数在适量的范围之内;从课程难度而言，对难度较大的知识点，如相似三角形这些内容的难度赋值都有所降低，而对于常用的知识点其难度赋值却有所上升，如直角三角形的全等判定，从而我们可以知道，根据新时代的发展，我们课本学习的知识要多与实际相联系，特别是要注重这些内容的掌握程度，使得我们“学有所用”;再从课程实施时间而言，因为三角形课程广度、课程深度的增加，为了避免教师授课时无法对知识进行具体的讲解，相应地需要增加课时，但是，增加课时不是为了让教师补充过多的课外知识或者怪题、难题，而是应该注重课本内容，多培养学生的独立思考能力，使学生养成一定的思维能力和推理能力，增强对新旧知识的联系能力，形成一个知识系统。
本节课重点要让学生通过动手翻折等腰三角形纸片得出等腰三角形“两个底角相等”、“三线合一”的性质。设计理念是让学生通过感官认识、折纸、猜想、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角的知识加以论证。使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目的。授课过程分为4个环节：
（1）感受生活中的等腰三角形。在学习等腰三角形之前，多数学生早已认识了等腰三角形。所以在课前，我收集了一些轮廓为等腰三角形的图片，通过让学生欣赏图片，引导学生感受等腰三角形在生活中的优美存在，进一步引导学生寻找“你身边的等腰三角形”。课堂上学生反应热烈，举出了如：三角板、自行车、房顶、松树等例子。就连原来数学基础不是很好的学生，也可以举出身边的等腰三角形。学生们兴趣盎然地走进了《等腰三角形》的知识世界。
（2）形象认识等腰三角形性质特点。设计“已知等腰三角形的两边长分别为5和2，求周长”，我的目的是检查学生对“三角形两边和大于第三边”知识的掌握情况及“等腰三角形有两条相等的边”的理解，课堂上学生能够直接回答，并且有一个学生的回答时指出：“等腰三角形两腰相等”。由于等腰三角形的腰、底边、顶角和底角多数学生已提前掌握，因此本环节学习学生感觉很轻松。通过图形变异，学生认清了顶角是两腰的夹角而非上面的角，底角是腰与底边的夹角而非是下面的角。课堂上学生表现出极强的参与意识，指认变异图形的腰、底边、顶角和底角时，相当一部分后进生纷纷举手，而且回答准确率极高。由于收获了成功的喜悦，同学们对于下面的等腰三角形的性质探究跃跃欲试。
（3）通过折纸探究等腰三角形的性质。课堂上，当我介绍完操作规则后，学生迫不及待地拿出他们课前准备好的三角形纸片，仔细地翻折。可以看到同桌两个同学在小声的讨论。等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”都是由其具有轴对称性质引出的，学生得出“两个底角相等”较为容易。因为担心“三线合一”学生会感到困难，我特意介绍了三角形中的角平分线、高和中线，并为学生设计出对应表格，让学生填出“三线合一”的性质。这样做好处是降低了“三线合一”性质得出的难度，学生较易了解，但由于设定表格，学生就被牵着鼻子走，限制了他们在实践过程的发现，学生的填表仅是印证了课本上的说明，如果让学生自主发挥，时间多费些，课堂上不确定因素也多了点，但学习效果应该会好一点。
（4）运用“等边对等角”解决实际问题。本节课的另一知识重点是学会应用“等边对等角”解决实际问题。课堂上，完成了一些角度计算的填空后，我侧重于让学生书写解题过程。新课标教材中对学生解题步骤书写要求比较放松，但我认为学生若养成严谨的书写习惯对于培养思维的严谨性有帮助，经过近一个学年的严格要求，多数学生能较顺利进行解题步骤的书写，但也还有部分学生对此感到困难。为进一步让学生巩固“等边对等角”性质的运用，我补充了“圣诞树轮廓为等腰三角形”这一道生活题，请同学们根据底角计算树顶两条斜线的夹角，本题与例题解法相同，同学们基本上都可以完成。课后反思，这个练习补充得不是很好。虽然可以让学生巩固书写格式，但在时间较紧的情况下，这样重复训练显然没有必要。
生命化教学实践中，提倡数学教学应更关注学生的认知特点，尽量让全体学生学有所获。本节课从总体上看，学生基本掌握了等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的性质，学会了“等边对等角”的运用，较好的完成了教学目的。但我总觉得，这样上课，学习基础较好的学生不能满足，会有吃不饱的感觉。若在课堂教学过程中，尝试分组练习，整体效果可能会好些。
体育教材是体育教学的内容，也是完成体育教学任务的主要依据。在贯彻统一性与灵活性相结合原则的基础上，把教材划分为两个部分基本部分和选用部分，基本部分进一步分为体育与卫生保健基础知识和体育运动实践部分；选用部分的教材可结合本地区和学校的具体情况选用地区性或具有民族特点的教材。1． 教材的基本结构和要求
（1）体育与健康基础知识教材。意义：掌握知识，提高自觉性，指导锻炼，养成习惯，提高效果和体育文化素质，为终身体育打下基础。它是体育教学的重要组成部分，是为全面完成体育教学任务服务的，其重要意义在于使学生掌握体育与健康基础知识，提高积极主动参加体育锻炼的自觉性，科学地指导身体锻炼，养成锻炼身体的习惯，提高锻炼效果和学生的体育文化素质，为学生终身从事体育锻炼打下基础。
（2）基本运动教材。以自然的走、跑、跳、投、攀登、爬越、悬垂、支撑、滚翻、平衡等为主要内容。结合学生身心发育特点，以自然的走、跑、跳、投、攀登、爬越、悬垂、支撑、滚翻、平衡等为主要内容。通过教学，使学生初步掌握这些动作，发展能力，全面地发展身体素质和动作感觉、知觉，形成正确的身体姿势，培养协调性和对体育活动的兴趣。（3）走、跑教材。以快速跑、耐久跑、接力跑和障碍跑为基本内容。走和跑是属同一类型的运动，但细微分析有明显的差异。跑的教材选用了适合学生年龄特点，并在学校体育教学中能够进行的内容。这些内容的选择是面向全体学生，以锻炼学生身体，促进身心健康为目标的。以快速跑、耐久跑、接力跑和障碍跑作为四项基本内容
（4）跳跃教材。跳高、跳远，提高弹跳力的各种跳跃运动。跳跃是人体的基本活动能力之一，是锻炼身体的有效手段，对发展身体素质、增强体质、提高健康水平起着很大的作用。跳跃教材，选择既有体育运动中的竞赛项目跳高和跳远，也安排发展身体素质，提高弹跳力的各种形式的跳跃运动。
（5）投掷教材。手榴弹、掷垒球、投木棒等投远、投准。投掷是一项发展身体素质、锻炼身体、增强体质很好的运动。不同地区和条件的学校，应就地取材，设置符合本地区情况的项目。如：手榴弹(300-400克)、掷垒球、投木棒等各种投掷物的投远、投准的比赛(如沙袋、实心球等)。这些运动按其用力的形式可分为投、推、抛三类，都是人们在日常生活中活动所具有的投掷技能。通过这些活动的练习可以养成正确的投掷姿势和用力方法，达到发展力量素质和全身协调配合能力，提高投掷技能和促进全面发展的目的。
（6）基本体操教材。队列和体操队形、成套徒手操、持轻器械体操、负重搬运和角力等内容。基本体操是以增强体质，促进人类健康，培养正确的身体姿态，提高人体活动能力和实用能力为主要目的的练习。从练习内容上看，它选用了符合人体解剖、生理和年龄特点的一些站立、行走和跑的自然动作，还选用了头颈、四肢和躯干的不同方向、不同位置的举、伸、屈、转、绕环、振、摆，蹋、跳的简单动作，又增加了推、拉．抬、运及攀爬的一般身体发展的实用性练习。基本体操教材选用了队列和体操队形练习、成套徒手操练习、持轻器械体操、负重搬运和角力等内容。（7）技巧教材。滚动、滚翻、倒立、平衡等动作。技巧主要是指在垫上进行翻腾，用力动作和各种造型，身体在空间产生姿势变化的一项活动。作为体育教材的技巧动作是最简单的滚动、滚翻、倒立、平衡等动作，可在草地、沙滩、垫子上等条件下完成，具有群众性、游戏性和实用性特点。
（8）支撑跳跃教材。一般跳跃：跳越障碍、跳上、跳下和弹跳板练习等；支撑跳跃：正向腾越，侧向腾越、手翻腾越等。学校体育中以完成助跑、踏跳、腾空、落地四个环节为主。支撑跳跃是借助支撑使身体腾越过一定障碍物的运动，是一项培养跳跃技能和发展跳上、跳下的实用能力的教材。体操中的跳跃按动作类型分为一般跳跃和支撑跳跃两大类。一般跳跃是支撑跳跃的辅助练习，包括跳越障碍、跳上、跳下和弹跳板练习等。支撑跳跃按动作技术结构分为正向腾越，侧向腾越、手翻腾越等。学校体育中的支撑跳跃练习与竞技的支撑跳跃是有区别的，它没有规则限制，动作包括较为简单的一般跳跃和支撑跳跃练习。在动作技术要求上重点以完成助跑、踏跳、腾空、落地四个环节为主。
（9）单杠教材。单杠的基本握法、悬垂、摆动和支撑为重点的基本技术和基本姿势教育为主要内容，并发展学生身体素质。按练习形式和技术结构分为四类：(a)上法；(b)摆越；(c)回环；(d)下法。单杠是在一根横杠上借助悬垂、支撑，进行摆动、回环、屈伸、腾越，使身体在空间产生位置、姿势变化的一种活动。是一项发展悬垂能力的典型教材。另一方面，是利用物体翻上、翻下的实用技能训练的教材。在学校开展的单杠练习与竞技运动是有区别的。从目的上看，学校的单杠教材是作为发展学生身体素质、提高悬垂能力和掌握实用技术为主的一项练习。从内容上看，中学以单杠的基本握法、悬垂、摆动和支撑为重点的基本技术和基本姿势教育为主要内容，并发展学生身体素质。从场地器械上看，学校要求适合不同年龄的男女生都可练习的低杠、中杠和高杠。所以学校的单杠教材具有针对性、实用性和普及性特点。单杠的单个动作和联合动作教材，按练习形式和技术结构分为四类：(a)上法：单足蹬地翻身上、双足蹬地翻身上；(b)摆越：一腿向前摆越成骑撑，一腿向后摆越成支撑；(c)回环：骑撑单膝后回环一周半成单挂膝悬垂，骑撑前回环；(d)下法：正撑后摆转体90度下。
（10）双杠教材。基本握法，各种支撑、移行和屈伸为重点的基本技术和基本姿势教育为主要内容，又突出简单的上法、套路和安全落地的下法学习。分为四类：(a)静止姿势和变化；(b)上法；(c)摆动和转体；(d)下法。双杠是在两根横杠上，借助支撑、悬垂进行摆动、屈伸、回环、翻腾和静止用力使身体在空间进行体位变化的活动。是一项发展支撑和摆动能力的典型教材。学校体育中的双杠练习，从目的上看，是作为发展学生身体素质，提高支撑能力和掌握实用技能为主的一项练习项目。从练习内容上看，以基本握法，各种支撑、移行和屈伸为重点的基本技术和基本姿势教育为主要内容，另一方面又突出了简单的上法、套路和安全落地的下法学习。从器械上看，学校要求具有适合不同年龄、不同年级的低、中、高杠，面向全体男女学生。双杠的单个动作和联合动作教材，按技术结构分为四类：(a)静止姿势和变化：分腿坐、分腿坐前进；(b)上法：跳上；(c)摆动和转体：支撑摆动、支撑摆动后摆转体180度成分腿坐；(d)下法：前摆挺身下、后摆挺身下。
（11）游戏教材。有智力游戏、活动性游戏、竞技性游戏、。由一定的情节动作、比赛规则和结果等部分组成的综合性体育活动。既是教育的内容，又是教育的方法和手段。游戏是体育的重要手段，文化娱乐的一种。有智力游戏(如下棋、积木、填字)，活动性游戏(如捉迷藏、搬运接力)，竞技性游戏(如足球、乒乓球)。游戏一般有规则，对发展学生智力和体力有—定作用。游戏做为学校体育的重要内容，它是由一定的情节动作(跳、投、攀爬、对抗、各种表现动作)、比赛规则和结果等几个部分组成的综合性体育活动。在学校体育教学中，游戏既是教育的内容，又是教育的方法和手段。
（12）篮球教材。主要由基本技术、简单战术和教学比赛三部分组成。篮球运动是以球为活动工具，以投中篮筐为目标，综合跑、跳、等基本活动技能所组成的一项运动。篮球运动的技术动作是由各种跑、跳、投掷等基本技能所组成的，是一项全身都能得到运动、锻炼价值极高的运动项目。该项目不受年龄、性别的限制，运动量的大小可随人体的承受能力自行调节，只要学生掌握了运球、传接球、投篮就可以比赛。其运动特点具有竞争性、集体性、独立性和趣味性，并能适应学生心理及生理特征的需要，所以篮球运动是广大青少年学生极为喜爱的运动项目。篮球教材主要由基本技术、简单战术和教学比赛三部分组成。（13）排球及软式排球教材。基本内容有传球、垫球、发球和简单战术。排球运动是一项以球为器具，隔网集体对抗的游戏。经常参加排球运动可以提高人的灵敏、弹跳、力量、速度、耐久力等身体素质，提高排球活动的能力和技巧，培养团结协作、勇敢、顽强、拼搏奋进等优良品质。排球教材的基本内容有传球、垫球、发球和简单战术。
（14）足球教材。掌握踢、停、顶、运球的方法，简单的战术 足球，是一项以球为器具，用脚踢球的集体对抗的游戏活动。由于足球场地大，活动时间较长，对抗性强，争夺激烈，经常从事足球运动，能有效地增强各器官系统的工作能力，发展学生的速度、力量、耐力、灵敏协调等身体素质；培养学生勇敢、顽强、果断、坚忍不拔、克服困难、团结协作等优良品质。参加足球运动，需要掌握踢、停、顶、运球的方法，掌握这些基本技术与技能，不断增加脚对足球的感觉，即提高球性，还要掌握简单的战术。
（15）娱乐体育教材。主要有：毽球、拔河、跳皮筋和跳绳等等。娱乐体育是指为了丰富文化生活，愉快地度过余暇时间而开展的带有娱乐性质的体育活动。教材内容主要有：毽球、拔河、跳皮筋和跳绳等等。
2．教材的重点、难点和关键
“重点”：核心部分，是基础，有常用性和应用性。是客观的。“难点”：一是难以理解和掌握；二是容易出错或混淆。有主观性。“关键”：起决定作用的内容。
“重点”是指教材中最基本、最重要的核心部分，是学习后继内容的基础，具有常用性和应用性。在体育教学中是指身体练习的主要部分，即某一个身体练习的技术关键或技术环节的重要连接部分。教材的重点是客观的，它不以学习对象的不同而改变。例如：跳远教材的重点就是助跑与起跳的结合。
难点”包含两层意思：一是学生难以理解和掌握的内容；二是学生容易出错或混淆的内容。教材的难点具有主观性．它不仅与教材有关，更与教学对象的学习能力、身体素质等有关。例如，跳远教材从难点的角度出发，有些入可能是起跳与助跑的结合(从这一点上看，教材的重点和难点是一致的)掌握不好，从而影响了整体技术的提高，也有些人可能是助跑步点不准确，腾空时不平衡甚至前倾，落地时小腿不能前伸，等等。“关键”是指教材中起决定作用的内容，掌握了它，如同掌握了一把钥匙，其余内容便会迎刃而解。教学策略是：突出重点，突破难点，抓住关键。突破难点的常用办法：（a）分散难点，各个击破；（b）创设情景，联系实际，引导思维；（c）混淆的内容，用对比来区分；（d）多用直观。
