高中数学正弦余弦公式

高中数学正弦余弦公式（精选11篇）

高中数学正弦余弦公式 篇1

1.了解利用向量知识推导正弦定理;

2.掌握正弦定理并能运用正弦定理解斜三角形，并会利用计算器解决解斜三角形中复杂的计算问题;

3.会判定已知两边和其中一边的对角解斜三角形的解时一解、两解或无解;

4.通过利用向量证明正弦定理，了解向量的工具性和知识间的相互联系，体会事物之间是相互联系的辩证思想;

教学重点：正弦定理及其推导过程，正弦定理在三角形中的应用;

教学难点：正弦定理的向量法证明以及运用正弦定理解三角形时解的个数的判定.

教学方法：情景问题、启发引导

教学设计过程

(一)设置情境。

思考：现实生活中如何测得某湖对岸A、B两点之间距离。学生会很自然地构造直角三角形来解决。但是很多情况，受地理条件的限制，我们很难构造直角三角形，也就是在一般的三角形里我们如何求出AB的距离?我们能不能发现在三角形中还蕴涵着什么样边与角关系呢? #FormatTableID_5# 组织学生分组讨论，教师参与学生的讨论。(2-3钟)让学生汇报：通过对直角三角形的研究发现了什么结论。

直角三角形中存在等式：

小结：利用直角三角形中的这些边角关系对任给直角三角形的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边与其他角.这个式子在任意三角形中也是成立的，这就是我们今天要学的正弦定理.

(二)推导定理过程

1.学生思考：

1)在任意 中，3个向量 ， ， 间 满 足什么关系?

2)在 + + = 两边同乘以向量 ,有( + + ) .,这里的量 可否任意?又如何选择向量

3)由 + + = ,如何能形成数量积运算?

2.证明过程：如图，在锐角中 ，过 作单位向量 垂直于 ，则 与 的夹角为 与 的夹角为 。 由向量的加法可得:

对上面向量等式两边同取与向量 的数量积运算，得到

同理，过点 作与 垂直的单位向量 ，可得

3.深入思考：1) 当 为钝角三角形时如何证得

2)正弦定理还有没有其它的方法证明?

3)观察正弦定理，利用正弦定理可以解什么类型的三角形问题?

4.小结：正弦定理可以解决两类三角形问题：

1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角;

2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。

(三)例题分析

例1 在 中，已知 ，求 (保留两个有效数字)

解： 且

例2 在 中，已知 ，求 。

解：由 得

∵ 中 ∴ 为锐角 ∴

例3 在 中， ，求 的面积 。

解：首先可证明：

这组结论可作公式使用。

其次求 ,

∴由正弦定理

(四).练习巩固，加深理解。

(1)在 中，一定成立的等式是( )

. .

. .

(2)在 中，若 ，则 是( )

.等腰三角形 .等腰直角三角形 .直角三角形 .等边三有形

(3)在任一 中，

求证 :

证明：由于正弦定理：令 代入左边得：

(五)总结提炼

(1)三角形常用公式： ;

(2)正弦定理表示形式： ( 外接圆直径)

; 。

(3)正弦定理应用范围：①已知两角和任一边，求其他两边及一角。

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

③几何作图时，存在多种情况。如已知 、及 ，

求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数。

(六)巩固作业：

1 中， ，则 为( )

A 直角三角形 B 等腰直角三角形C 等边三角形 D 等腰三角形

2 在 中， 是 的

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

3在 中，已知 求 和 .

高中数学正弦余弦公式 篇2

一复数的指数形式——欧拉公式

对于虚数的研究由来已久。早在1545年意大利数学家卡当首先研究, 给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔, 而德国数学家高斯则第一次引入复数的概念, 将一个复数用a+bi的代数形式表示, 后来又有人将复数表示为γ (cosθ+isinθ) 的三角形式。瑞士数学家欧拉创造性地给出了cosθ+isinθ=eiθ的指数形式, 即欧拉公式。利用欧拉公式表示复数则有γ (cosθ+isinθ) =γeiθ。

二三角函数用欧拉公式表示

∴等式成立。

∴等式成立。

三两角和 (差) 正弦、余弦公式的证明

1. 两角和正弦余弦的证明

∴等式成立。

对于两角差的正弦公式证明可用同样的方法, 具体证明过程略。

2. 两角和余弦公式的证明

∴等式成立。

对于两角差的余弦公式证明可用同样的方法, 具体证明过程略。

高中数学正弦余弦公式 篇3

永康市第六中学 吴 娃

《3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式》是必修四中3.1.3中的一节内容，本节课内容共安排了2课时，我上的是第一课时。本节课的实施从整体上说是比较顺利的，教学目标基本达到。为遵循“以学生为主，教师为辅”的原则，在我的引导下，学生的思维活动展开的比较充分，在课堂上学生积极参与，积极探索，学习的热情较高，在对公式的理解，思想方法分析能力,逻辑的体会，以及运算推理能力的提高等方面都有较大的进步。针对上课情况反映出来的问题，现在我谈谈在上完这节课之后的感想，作一小结和反思，以便更好的服务于课堂教学。

一、教学要求分析

1、熟练掌握正弦、余弦和正切的和角公式，并在此基础上推导出二倍角公式。

2、掌握正弦、余弦和正切的二倍角公式，能灵活运用相关公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

3、通过公式的推导，了解各公式的内在联系，培养学生的逻辑推理能力。

二、教学内容分析

二倍角公式这一节内容在本章中是一重点。首先，二倍角公式是和角公式的特殊形式，同时，二倍角公式又可以和后面的半角公式联系起来，所以二倍角公式的地位是显而易见的。其次，二倍角公式的应用也比较广，在三角函数式的计算、化简、求证及简单应用中都会涉及到。最后，二倍角公式的证明本身就是一种化归的数学思想。

三、教学过程分析

（一）情景导入自然

课本中二倍角的推导本节课公式的推导相当简单，开门见山地在两角和与差的正弦、余弦、正切公式中把看成，从而得到二倍角的正弦、余弦、正切公

sin22sin,cos22cos,tan22tan,式。而学生容易犯的错误是

所以先让学生有一个直观的认识，这几个等式是不一定成立的，从而引出二倍角公式的相关内容。

（二）例子有效变式

本节课共有两个例子，两个例子围绕变换的目标，变换的内容，变换的方法，变换的结果，都在原例子的基础上变了形，然后增加了变式，同时要求学生能举一反三，通过对例子的讲解，能对变式训练进一步掌握，从而能够对二倍角公式的灵活应用！

（三）练习层次分明

为使学生熟悉公式，并做到对公式的深刻理解，我设计了三个梯度。梯度一：倍角的相对性；梯度二：熟练公式结构；梯度三：灵活应用公式。由简到难，从简到繁，层层推进，这样遵循学生认知规律，明晰学生思维特点及能力，在学习中充分体现学生的主体性及独立性，并且给予学生足够的时间及空间去体验学习过程。

（四）师生互动良好

学生是课堂的主人，所以要把课堂还给学生。我也朝这个方向努力，学生能自己解决的问题让学生自己解决，所以本节课师生互动还可以。同时，为了给学生增加信心，每节课开始我们都有一个默认“仪式”---加油（鼓掌2次）-加油（鼓掌2次）-加油加油加油（鼓掌6次），这样既可以鼓舞士气，又可以提醒学生已上课！并在课堂学生回答问题时经常鼓励学生，提高他们学习数学的兴趣。

（五）多媒体使用恰当

在上课之前，花了很多心思在做课件上，所以课件还算精美！特别在推导二倍角公式过程中，能够直观、形象地显示出推导变换过程，学生容易明白其中原委。并且为了节约时间，上课时把学生的演算过程用投影仪多次投象，这样，学生既可以看清楚同学的做题思路，又可以纠正错误的地方！

（六）情感饱满语言丰富

苏霍姆林斯基曾说：“有激情的课堂教学，能够使学生带着一种高涨的激动的情绪从事学习和思考。”激情有着丰富的内涵，它能够唤醒沉睡的潜能，打开封存的记忆，激活僵化的思维，放飞囚禁的心情，在课堂教学中老师要用自己的激情和智慧为学生创设一个民主的、开放的课堂。语言幽默风趣，肢体语言丰富，这着实给课堂带来活跃的气氛。

（七）不足之处

1、一堂课下来虽然比较顺畅，但在把握一堂课里的重难点还需再斟酌。本节课主要解决什么问题？一定要弄清楚。

2、在例子的选择上还可以再推敲。不仅仅要具有代表性，更需要提供解题的思路与方法。

3、在课堂中，基本上能调动学生的积极性，让学生参与的教学中。但在如何更有效的提问还可以再商榷。

4、课堂时间的安排能否更加合理。让学生可以多动脑，多动手！老师霸占课堂的时间不要过多。把课堂真正的还给学生。

四、今后努力方向

高中数学正弦余弦公式 篇4

理

一、选择题

1．在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么A等于()．

A．135°B．105°C．45°D．75°

解析 由正弦定理知

＜AB，∴A＝45°.答案 C

2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小

为()．

A．60°B．90°C．120°D．150°

解析 由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)－c＝ab，∴c＝a＋b＋ab＝a＋b－2abcos C，1∴cos C＝－，∴C＝120°.2答案 C

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是()

A．0B．

1C．2D．无数个 解析：直接根据正弦定理可得2222222AB232，即，所以sin A＝，又由题知，BCsin Asin Csin Asin 60°2BCa

sin Asin Bb，可得sin B＝bsin A3λsin 45°6>1，aλ

2没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案：A

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos A＝bsin B，则sin Acos A

＋cosB等于()．

11A．－B.C．－1D．1 22

解析 根据正弦定理，由acos A＝bsin B，得sin Acos A＝sinB，∴sin Acos A＋cosB

＝sinB＋cosB＝1.答案 D

5.在ABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若ab2c，则cosC的最小22222222

值为（）

A.11B.C.D. 2

222

a2b2c22c2c21解析 cosC2，故选C.2

2ab2ab

答案 C

6．在△ABC中，sin A≤sin B＋sin C－sin Bsin C，则A的取值范围是()．

ππππA.0，B.，πC.0D.，π

6363

解析 由已知及正弦定理有a≤b＋c－bc，而由余弦定理可知a＝b＋c－2bccos A，于122

是可得b＋c－2bccos A≤b2＋c2－bc，可得cos A≥ABC中，0＜A＜π，故A

π∈0，.3

答案 C

7．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)－c＝4，且C＝60°，则ab的值为()．

42A.．8－43C． 3

3a＋b－c＝4解析 依题意得222

a＋b－c＝2abcos 60°＝ab，两式相减得ab＝，选A.答案 A

二、填空题

8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．

解析 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝3，∴cos C＝

31，∴sin C＝；在△ADC中，由2

2ADAC21

正弦定理得，∴AD＝＝2.sin Csin∠ADCsin 45°2

答案

9.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，3a＝2csin A，角C＝________.解析：根据正弦定理，sin Asin C

ac

由3a＝2csin A，得＝，sin A3

2∴sin Cπ答案：

10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶

sinB∶sinC为______．

3π，而角C是锐角．∴角C＝.23

ac

答案 6∶5∶

411．若AB＝2，AC2BC，则S△ABC的最大值________．

解析(数形结合法)因为AB＝2(定长)，可以令AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由AC＝2BC，得 x＋12

＋y＝2 2

x－12

＋y，化简得(x－3)＋y＝8，222

即C在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动，1

所以S△ABC＝AB|·|yC|＝|yC|≤22，故答案为22.2答案 2

batan Ctan C

12．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝6cos C，则＋

abtan Atan B的值是________．

1423222

解析 法一 取a＝b＝1，则cos C由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C∴c＝，33322

在如图所示的等腰三角形ABC中，可得tan A＝tan B2，又sin C＝，tan C＝22，3tan Ctan

C∴＝4.tan Atan B

baa2＋b2a2＋b2－c2

法二 6cos C，得＝6·

abab2ab

32tan Ctan Ccos Acos B＝ 22

即a＋b＝c，∴＋＝tan C2tan Atan Bsin Asin BsinC2c

＝222＝4.cos Csin Asin Ba＋b－c答案 4

三、解答题

13．叙述并证明余弦定理．

解析 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a＝b＋c－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C，法一 如图(1)，图(1)

a2＝BC·BC

→→→→＝(AC－AB)·(AC－AB)→2→→→2＝AC－2AC·AB＋AB

→2→→→2＝AC－2|AC|·|AB|cos A＋AB

＝b－2bccos A＋c，即a＝b＋c－2bccos A.同理可证b＝c＋a－2cacos B，c＝a＋b－2abcos C.法二

图(2)

已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图(2)则C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，∴a＝|BC|＝(bcos A－c)＋(bsin A)＝bcosA－2bccos A＋c＋bsinA ＝b＋c－2bccos A.同理可证b＝c＋a－2cacos B，→→

c2＝a2＋b2－2abcos C

.14．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝解析：由余弦定理b＝a＋c－2accos B 2π22

＝a＋c－2accos

3＝a＋c＋ac＝(a＋c)－ac.又∵a＋c＝4，b13，∴ac＝3.a＋c＝4，联立

ac＝3，

2π

b13，a＋c＝4，求a.3

解得a＝1或a＝3.15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值

.cos A－2cos C2c－a

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.cos Bbsin C

(1)求

sin A

(2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长．

4解析(1)＝k，sin Asin Bsin C2c－a2ksin C－ksin A2sin C－sin A则＝＝

bksin Bsin Bcos A－2cos C2sin C－sin A所以.cos Bsin B

即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π，abc

所以sin C＝2sin A，因此sin C

sin A

2.(2)由sin Csin A2得c＝2a.由余弦定理及cos B＝1

得

b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a214

正弦、余弦定理综合应用 篇5

正、余弦定理的综合应用

一、知识要点

（一）1．正弦定理：

a

sinA

（）2．变形公式：（1）a2RsinA，bc

（2）sinAa

2R，sinB，sinC

（3）a:b:c。

3．三角形面积公式：SABC。

（二）1.余弦定理：a2b2c2

。

2.余弦定理的变形：cosA，cosBcosC。

二、基本类型

类型一：解三角形

1、已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°

2、△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝52，A＝2B，则cosB＝()A.55553B.45D.63、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝π3，b＝1，△ABC的面积为32

则a的值为()A．1B．2C.3234、、三角形的三边分别为a,b,c，且满足(abc)(abc)

3ab，则c边所对的角等于（）

A

45B60C30D150

5、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)·tanB3ac，则角B的值为()

A.π6B.ππ5ππ2π366D.3或36、在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为________．

类型

二、判定三角形的形状

7、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosBbcosA,则三角形为

8、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若bcosB

acosA,则三角形为

9、若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC（）

（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.10、已知在ABC中，sin

Asin2Bsin2CsinBsinC，则ABC是（）

A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D正三角形

11、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边的长，且sin(B＋ππ2

4－sin(B－4＝2

.(1)求角B的大小；(2)若a、b、c成等比数列，试判断△ABC的形状．

三、体验高考题

12、（2010浙江理数）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知cos2C14

(1)求sinC的值；(2)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

13、（2010辽宁文数）在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC（1）求A的大小；（2）若sinBsinC1，试判断ABC的形状.14、（2010安徽文数）ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA1213

。(1)求AB

AC

《正弦定理和余弦定理》教学反思 篇6

《正弦定理、余弦定理》教学反思

我对教学所持的观念是：数学学习的主要目的是：“在掌握知识的同时，领悟由其内容反映出来的数学思想方法，要在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”数学学习的有效方式是“主动、探究、合作。”现代教育应是开放性教育，师生互动的教育，探索发现的教育，充满活力的教育。可是这些说起来容易，做起来却困难重重，平时我在教学过程中迫于升学的压力，课堂任务完不成的担心，总是顾虑重重，不敢大胆尝试，畏首畏尾，放不开，走不出以知识传授为主的课堂教学形式，教师讲的多，学生被动的听、记、练，教师唱独角戏，师生互动少，这种形式单一的教法大大削弱了学生主动学习的兴趣，压抑了学生的思维发展，从而成绩无法大幅提高。今后要改变这种状况，我想在课堂上多给学生发言机会、板演机会，创造条件，使得学生总想在老师面前同学面前表现自我，让学生在思维运动中训练思维，让学生到前面来讲，促进学生之间聪明才智的相互交流。

三角形中的几何计算的主要内容是利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是对正、余弦定理的拓展和强化，可看作前两节课的习题课。本节课的重点是运用正弦定理和余弦定理处理三角形中的计算问题，难点是如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。在求解问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。为了突出重点，突破难点，结合学生的学习情况，我是从这几方面体现的：我在这节课里所选择的例题就考常出现的三种题型：解三形、判断三角形形状及三角形面积，题目都是很有代表性的，并在学生练习过程中将例题变形让学生能观察到此类题的考点及易错点。这节课我试图根据新课标的精神去设计，去进行教学，试图以“问题”贯穿我的整个教学过程，努力改进自己的教学方法，让学生的接受式学习中融入问题解决的成份，企图把讲授式与活动式教学有机整合，希望在学生巩固基础知识的同时，能够发展学生的创新精神和实践能力，但我觉得自己还有如下几点做得还不够：①课堂容量中体来说比较适中，但由于学生的整体能力比较差，没有给出一定的时间让同学们进行讨论，把老师自己认为难的，学生不易懂得直接让优等生进行展示，学生缺乏对这几个题目事先认识，没有引起学生的共同参与，效果上有一定的折扣；②没有充分挖掘学生探索解题思路，对学生的解题思维只给出了点评，而没有引起学生对这一问题的深入研究，例如对于运用正弦定理求三角形的角的时候，出了给学生们常规方法外，还应给出老教材中关于三角形个数的方法，致少应介绍一下；③没有很好对学生的解题过程和方法进行点评，没起到“画龙点睛”的作用。④ 00

《半角的正弦余弦和正切》说课稿 篇7

半角的正弦、余弦和正切部分知识在高中数学知识体系中占有十分重要的地位，为了帮助学生更好地理解这部分知识，我结合教育学、心理学知识精心设计了一节课，并将课程以说课稿的形式呈现给大家，希望能得到大家的指导和帮助。说课稿内容如下：

我说课的内容是全日制普通高中课程标准实验教科书人教B版《数学.必修4》第三章第二节“半角的正弦、余弦和正切”。

我将按以下步骤进行说课：1)教材分析;2)说教法;3)说学法;4)说教学过程;5)说教学反思。

一、教材分析：

1.本课在教材中的地位

本节课学习半角公式，它是上一节倍角公式的逆用。公式的逆用能开拓思路，培养学生逆向思维能力;三角函数知识是高考必考内容，在三角函数的化简过程中需要使用倍角和半角公式，因此本课的地位十分重要。

2.学情分析

高一学生的逆向思维能力还处在形成过程中，顺用公式比较容易，但逆用公式比较困难，因此只能在教学中循序渐进。考虑到以上因素，在设计这节课的时候，我积极为学生创设学习情境，由倍角公式入手引导学生探究半角公式。

3.教学目标

根据新课程标准的要求，同时针对本校学生的心理特点和认知水平，结合教材，本着面向全体、使学生全面、主动发展的原则，确定本节课的教学目标如下:

1.知识目标：(1)掌握半角公式及其推导方法。(2)能熟练、合理地运用公式。

2.能力目标：(1)通过半角公式的推导，帮助学生进一步了解各公式的内在联系，培养学生的逻辑推理能力.

(2)通过公式的综合运用及一题多解，进一步提高学生创造性思维能力.

3.情感态度与价值观目标：(1)培养学生交流合作、善于思考的良好品质;

(2)通过多媒体宣传奥运，培养学生爱国主义情感。

其中我尤其注重培养学生形成积极向上的情感态度与价值观，在学习过程中，通过多媒体宣传奥运知识，使学生在潜移默化中养成爱国主义情感，培养民族自尊心、自信心。

4.重点与难点

根据本校学生的认知水平和教材的特点，从高考要求出发，确定本课知识重难点如下

教学重点：半角公式及其应用。

教学难点：半角公式符号的确定及半角正切公式的应用。

5.教具：多媒体课件。

课时：一课时。

二.说教法

结合“新课改”提出的将“课堂还给学生”的思想和现代教育的代言人美国教育家杜威的“实用主义教育思想”，本节课我主要采取以学生活动为主的教学方法，让学生真正的参与活动，在活动中得到认识和体验。

具体教法有：谈话法、讨论法、计算法与自主探究法等。

三.说学法

古人主张：“授人鱼，不如授人以渔”，在全面推进课程改革的今天，课堂上不仅要传授文化知识，更重要的是教给学生科学的.学习方法，在大力构建“学习型社会”的今天为他们以后继续教育或终身教育打下基础，本节课我注重调动学生积极思考，主动探索。尽可能多地增加学生参与教学活动的时间和空间，真正让学生成为教学的主体。

具体学法有：观察分析法、由特殊到一般的化归方法、合作探究法、练习巩固法等。

四.教学过程

本节课我以美国心理学家马斯洛的人本主义理论为依据。教育上的人本主义思想就是一切为了学生的思想，一切教育教学活动都必须以学生为中心，学生是学习的主体，教师的一切活动都是为学生的学习服务的。本课刚探究完毕，为节省大家宝贵时间，我简要说一下教学过程。

Ⅰ、【复习引入】

问题1：

问题2：

“复习引入”环节，由倍角公式入手，逆用公式从而引出新课。这符合人类对知识由浅入深、循序渐进的认知规律，也遵循了瑞士教育学家皮亚杰提出的建构主义理论要求。

Ⅱ. 【探究新课】

通过两个例题的练习，让学生亲身体会在应用公式时如何确定正负号;通过一题多解，帮助学生熟练应用公式。这样由学生自主探究、合作探究知识，充分体现学生的主体地位，提高了他们的能力。

讨论：你能想出哪些方法求 的值

由例3过渡到例4半角正切公式的应用这一本课难点知识。为突破这一难点知识，首先给学生一定的时间分组讨论，自主探究得出结论。这样可以充分调动学生学习的积极性，进行生生互动，让学生在互助合作中探究知识，将课堂真正还给学生。

课堂小结：由学生自主完成，帮助学生形成对本课知识的整体认识，并培养学生归纳、概括能力。

课后思考题：

五、说教学反思

本课我以新课改思想及教育学、心理学知识为指导，从学生需要出发，注重互动、交流，最大限度地调动学生参与课堂的积极性、主动性和创造性，把探索知识、培养趣和能力、渗透学习方法有机地结合在一起，目的使学生得到全面发展。由于时间有限，个人能力有限，本课不足之处一定有很多，请各位老师批评指正。谢谢大家!

二倍角的正弦余弦正切说课稿 篇8

一． 教材分析

1.教材地位和作用：二倍角的正弦、余弦、正切是三角函数的重要公式，应用这些公式也是本章的重点内容。同时，本节是学生在已经学习了两角和（差）的正弦、余弦和正切公式的基础上的进一步延伸，也是研究三角函数的图像及性质的基础。因此，本节课有着奠定基础，承上启下的作用。2.教学目标：本节课的设计以新课程标准所反映的新概念为依据，坚持以学生为主体注重学生探究能力的培养，拓展学生的创造性思维。因此，本节课的教学目标分为了知识目标，能力目标，情感目标。

（1）知识目标：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；

能够熟练地正用，逆用及变形用改组公式。

（2）能力目标：提高学生的分析，化归，比较，概括，猜想，实际探索等数学能力

（3）情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生间、师生间的交流，合作与评价，实现共同探究的教学情境，激发学生学习兴趣，培养学生勇于探索，创新的精神。

3.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切的推导及二倍角的余弦公式的两种变形及应用。

4.教学难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式，诱导公式，和（差）角公式的综合运用。

二．说教法

根据本节课的教学内容，教学任务及面临的教学对象，我所采用的教学方法是（1）引导发现法，充分调动学生的主动性和积极性，培养他们的创新能力。（2）从一般到特殊的化归思想方法，二倍角公式其实就是和角公式的特殊情况。从一般到特殊的化归思想，有利于培养学生对知识进行主动构建，也有利于发挥学生的创造性和发现数学规律。（3）巩固练习法，本节课设计了三道例题和几道练习题，以学生自己解决为主，这样更能突破难点，使学生的能力得到进一步提高。

三． 说学法

教给学生学习的方法远比教给学生的知识更重要。本节课在学生的学法指 导上注重调动学生的积极思考，主动探索。真正让学生成为教学的主体，让学生们利用观察分析法通过旧公式得出新结论，及寻找出新旧公式的内在联系。

四． 说教学过程

1.创设情景，激发兴趣。（1）复习上节课的两角和的正弦、余弦、正切公式。（2）假设公式中α=β，则公式变成怎样的形式，由学生自己推导。用这种方式引入课题，激发学生的学习兴趣。从而轻松完成重点的突出，获得二倍角公式后，自然引入课题。

高中数学正弦余弦公式 篇9

一、基础过关

1．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝44°，则此三角形解的情况为

A．无解B．两解C．一解()D．解的个数不确定

()π2．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC3时，sin C等于3

213B.13 132393213D.13

3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c2，b6，B＝120°，则a等于()

6B．23D.2

()4．若△ABC的内角A、B、C满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则cos B等于

1543B.43151611D.16

5．在△ABC中，AB＝2，AC6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sin B＋cos B2，则角A的大小为________．

7．在△ABC中，若a2＝bc，则角A是

A．锐角B．钝角

()C．直角D．60°()8．在△ABC中，已知a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C为

A．30°B．60°C．45°或135°D．120° 9．已知△ABC的面积为23，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．

10．已知△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(sin C，sin Bcos A)，n＝(b,2c)，且m·n＝0.(1)求A的大小；(2)若a＝23，c＝2，求△ABC的面积S的大小．

batan Ctan C11．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若6cos C，求＋abtan Atan B的值．

312． 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝2，cos B若b＝4，5

求sin A的值；(2)若△ABC的面积为4，求b、c的值．

13．在△ABC中,a，b，c分别为内角A,B,C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．

14．已知△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(sin C，sin Bcos A)，n＝(b,2c)，且m·n＝0.(1)求A的大小；(2)若a＝23，c＝2，求△ABC的面积S的大小．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2的度数．(2)若a3，b＋c＝3，求b和c的值．

B＋C7cos 2A＝(1)求A2

2答案

1．B 2.A 3.D 4.D 5.3 6.π6

7．证明 sin Acos B－cos Asin B

sin C＝sin Asin B

sin C·cos B－sin C·cos A

＝aa2＋c2－b2bb2＋c2－a2

c2ac－c2bc＝a2－b2

c＝左边．

a2－b2sinA－B

c＝sin C8．解(1)由已知，根据正弦定理得

2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以cos A12，故A＝120°.(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝12.因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．

9．A 10.C 11.12

12．解(1)∵m·n＝0，∴bsin C＋2csin Bcos A＝0.∵b

sin Bc

sin C∴bc＋2bccos A＝0.∵b≠0，c≠0，∴1＋2cos A＝0.∴cos A＝－12.∵0＜A＜π，∴A2π3(2)在△ABC中，∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴12＝b2＋4－4bcos 2π3∴b2＋2b－8＝0.∴b＝－4(舍)或b＝2.∴△ABC的面积S＝12bcsin A13．解 由baab＝6cos C得b2＋a2＝6abcos C.①

tan Ctan Csin Ccos Acos B化简整理得2(a2＋b2)＝3c2，将切化弦，得(＋tan Atan Bcos Csin Asin B

sin Csin C＝cos Csin Asin B

sin2C＝cos Csin Asin B

根据正、余弦定理得

sin2C2c2

＝4.cos Csin Asin B322－c2

高中数学正弦余弦公式 篇10

一、选择题

1．在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么A等于()．

A．135°B．105°C．45°D．75°

232解析 由正弦定理知＝，即＝，所以sin A＝，又sin Asin Csin Asin 60°

2由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案 C

2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则

角C的大小为()．

A．60°B．90°C．120°D．150°

解析 由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，1∴cos C＝－，∴C＝120°.2

答案 CBCAB

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是()

A．0B．

1C．2D．无数个

解析：直接根据正弦定理可得a

sin A＝b

sin B，可得sin B＝bsin A＝a

3λsin 45°6＝，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.λ

2答案：A

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos A＝bsin B，则

sin Acos A＋cos2B等于()． 11A．－B.C．－1D．1 22

解析 根据正弦定理，由acos A＝bsin B，得sin Acos A＝sin2B，∴sin Acos

A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.答案 D

5.在ABC中，角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若a2b22c2，则cosC的最小值为（）

A.11B.C.D. 2

222

a2b2c22c2c21解析 cosC2，故选C.2ab2ab2

答案 C

6．在△ABC中，sin2 A≤sin2 B＋sin2 C－sin Bsin C，则A的取值范围是()．ππππ

A.0，B.πC.0，D.π

6363解析 由已知及正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，而由余弦定理可知a2＝b2＋c2－1

2bccos A，于是可得b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，可得cos A≥2π

△ABC中，0＜A＜π，故A∈0，.3答案 C

7．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()．

42A.B．8－3C．1D.3

322

a＋b－c＝4

解析 依题意得2

a＋b－c＝2abcos 60°＝ab

答案 A，两式相减得ab＝A.二、填空题

8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝3，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则

AD的长度等于________．

31解析 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝23，∴cos C＝，∴sin C2

2ADC中，由正弦定理得，答案

ADsin C

ACsin∠ADC

∴AD＝

×2.sin 45°2

9.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2csin A，角C＝________.解析：根据正弦定理，3a＝2csin A，得

asin A

＝

csin C，asin A

＝

c32

3π

∴sin C＝，而角C是锐角．∴角C＝23π

答案：

10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶

sinB∶sinC为______．

答案 6∶5∶

411．若AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值________．

解析(数形结合法)因为AB＝2(定长)，可以令AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由AC＝2BC，得x＋12

＋y2＝2 x－12

＋y2，化简得(x－3)2＋y2＝8，即C在以(3,0)为圆心，2为半径的圆上运动，1

所以S△ABC＝·|AB|·|yC|＝|yC|2，故答案为22.答案 2

batan C

12．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝6cos C，则

abtan Atan C

＋的值是________． tan B

14222

解析 法一 取a＝b＝1，则cos C＝，由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C＝，33∴c＝，在如图所示的等腰三角形ABC中，可得tan A＝tan B＝2，又sin C3

2tan Ctan C＝，tan C＝22，∴4.3tan Atan B

baa2＋b2a2＋b2－c2

法二 由＋＝6cos C，得＝6·

abab2ab3tan Ctan Ccos Acos B

＋＝ 即a2＋b2＝2，∴＋＝tan C

2tan Atan Bsin Asin Bsin2C2c2

＝4.cos Csin Asin Ba2＋b2－c2答案 4

三、解答题

13．叙述并证明余弦定理．

解析 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C，法一 如图(1)，图(1)

a2＝→BC·→BC

＝(→AC－→AB)·(→AC－→AB)＝→AC2－2→AC·→AB＋→AB

2＝→AC2－2|→AC|·|→AB|cos

A＋→AB2

＝b2－2bccos A＋c2，即a2＝b2＋c2－2bccos A.同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.法二

图(2)

已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图(2)则C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，∴a＝|BC|＝(bcos A－c)＋(bsin A)＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A ＝b2＋c2－2bccos A.同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.14．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝求a.解析：由余弦定理b＝a＋c－2accos B 2π

＝a＋c－2accos

2π，b＝13，a＋c＝4，3

＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac.又∵a＋c＝4，b13，∴ac＝3.a＋c＝4，联立

ac＝3，解得a＝1或a＝3.15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值

.cos A－2cos C2c－a

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.cos Bbsin C

(1)求的值；

sin A

(2)若cos B＝ABC的周长为5，求b的长．

4解析(1)由正弦定理，设

asin A

＝

bsin B

＝

csin C

＝k，2c－a2ksin C－ksin A2sin C－sin A则＝＝，bksin Bsin Bcos A－2cos C2sin C－sin A所以＝.cos Bsin B

即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π，sin C

所以sin C＝2sin A，因此2.sin Asin C(2)由＝2得c＝2a.sin A1

由余弦定理及cos B＝

课题：两角差的余弦公式教案说明 篇11

湖南师大附中

吴菲

一、授课内容的数学本质与教学目标定位：

《两角差的余弦公式》这节课的主要内容是公式的探究及应用，它揭示了单角三角函数与复角三角函数之间的内在联系，在学生的认知世界中，开辟了三角函数研究的新领域．针对学生已有的认知结构，我对教学目标进行了如下定位：

1、知识与技能目标：

学生在前两章的学习内容中，学习了单角三角函数以及向量的相关知识；初步掌握了一些同角三角函数关系式；对三角函数的定义也由锐角三角函数扩展到任意角的三角函数；会借助单位圆分析有关三角函数的问题．本节课的知识技能目标定位在掌握公式的两种证明方法上：数形结合法和向量法；学会运用分类讨论思想完善证明；学会正用、逆用、变用公式；学会运用整体思想，抓住公式的本质．在新旧知识的冲撞过程中，让学生自主地对知识进行重组、构建．让每个学生在头脑中再生教材，形成属于自己的知识结构体系． ２、过程与方法目标：

发展心理学的研究成果表明，学生的思维发展呈现一定的阶段性，高中学生在学习时有时仍要借助于具体运演思维甚至是前运演思维，具体经验对他们学习新的知识仍是必不可少的．所以在情景引入时，以学生学习向量数量积时物理学中力做功的例子为引例，创设问题情景，调动学生已有的认知结构，激发学生的问题意识，展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动，让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程；不断激发师生之间、生生之间的互动，让学生在探究过程中体会化归、数形结合等数学思想在数学探究过程中的运用．在公式的证明过程中，培养学生反思的好习惯，打开学生多角度、多方面分析问题的视野；在公式的理解记忆过程中，让学生发现数学中的简洁、对称美；在公式的运用过程中，通过对题目的一题多解、一题多变，培养学生严谨的思维习惯和自我纠错能力．

3、情感、态度与价值观目标： 高中数学课程标准中指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读交流等学习数学的方式．这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．因此，将情感、态度与价值观目标定位如下：体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、大胆猜想，培养学生的“问题意识”，使学生感受科学探索的乐趣，激励学生科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良好的团队合作意识． 通过对猜想的验证，对公式证明的完善，培养学生实事求是的科学态度和科学精神，感受运用新知解决实际问题的成就感．

二、学习内容的基础及今后作用：

《两角差的余弦公式》是新课标人教版数学必修四第三章第一课时的教学内容，是本模块第一章《锐角三角函数》和第二章《平面向量》相关知识的延续和拓展，也是本章节中推导两角和、差，倍角、半角等三角恒等变换公式的基础，可以说是起着承上启下，串联全书的作用．在教学内容的设计上，与物理（功的定义）、哲学（透过表面寻求本质）等相关学科相联系，扩大学生对知识的理解角度和运用范围．

三、教学诊断分析：

学生最大的困惑在于如何得到公式．在之前的学习过程中, 课堂上已基本形成了对知识大胆质疑,合作探讨的学习氛围．在本节课的教学中学生希望通过自己的努力收获成功!教学重点：两角差的余弦公式的探究和应用

教学难点：两角差的余弦公式的由来及证明,引导学生通过主动参与,独立探索,自己得到结果.四、教法特点及预期效果分析：

教法特点：

从知识的认知程序上看，老师看问题从整体到局部，而学生却是从局部到整体。本节课尝试将“带着知识走向学生”的接受式教学模式转变为“带着学生走向知识”的探究式教学模式，充分尊重学生的主体地位．设置了从生活走入知识，从特殊到一般，从猜想到理论证明的探究过程，在学生自主构建知识体系的过程中，设置了多条成功路径，将学习主体由学生群体转移到学生个体上，让学生在头脑中主动地对知识进行自主构建，再生课堂，达到提高认识，举一反三的作用．鼓励学生多角度、多方面思考问题，为突破知识难点，在课件中设置多个链接，将学生可能出现的解答思路直观地呈现在学生面前，用多种方法的对比呈现，激发学生互相评价的动机，实现预设与生成的和谐统一．

本节课的教法采用了“一个主题两种教学”的设计模式．一个主题：公式探究与应用，两种教学：显形教学（知识能力教学）、隐性教学（情商培养），利用学生已有知识提出新问题，巧借学生对未知领域的好奇和自我展现的欲望，集思广益，多角度分析问题，强化团队合作意识，完善知识体系，剖析部分学生出现的错误，培养学生严密的思维习惯，突破易错点，尝试自我提高的喜悦，实践两种教学相互促进的人性化教学理念．

开放课堂，在课堂上营造民主、开放、平等的教学氛围，注重教学评价的多元性，将单一的教师评价转换为学生自主评价和同伴合作评价；将简单的结果评价上升为对过程的评价；将一味的知识评价拓展为能力评价，突出学生的主体性，体现学生的主体意识，实现显形教学与隐性教学的双重评价，为全面发展学生打下基础．

利用思维的多元性，引发师生、生生之间的讨论，实践证明用学生自己的语言、自己的理解、自己的表述方式更能引发学生之间的共鸣，更能达到对已有知识进行重组、自主构建新知识的教学目的。作为老师，要以更高的视角从学生的眼中看问题，和学生一起征服尚未被他们所知（甚至是尚未被老师所知）的领域，享受在征服过程中随时可能得到的意外惊喜。不需要害怕学生犯错，因为谬误本身也有它的认识价值，也是一种很好的课堂教学资源，主要是看老师怎样正确的引导和评价。

设计探究报告，帮助学生整理、构建知识体系．在重、难点突破，作业布置、课后思考等环节，都给学生留出空间，既可以实现课堂知识的再生，又可以为下节课做预习准备；既符合学生探索思维的连续性，又培养学生的创新意识和实践探索能力．

现代信息技术在数学的教学过程中运用越来越广泛，能够利用计算机进行一些简单的数学实验也将成为将来数学教学的一个发展趋势，本节课利用几何画板，通过计算机技术，给学生提供一种验证猜想合理性的途径． 预期效果: 基于上述分析，我们希望通过这节课：

１、让学生在掌握《两角差的余弦公式》探究方法的基础上，能够自我总结形成公式探究的一般方法．

２、激发学生的探究欲望，能够独立或合作提出推导其它三角恒等式的方案，形成对三角恒等变换的本质认识，加深对灵活运用公式的理解．

３、培养学生的“问题意识”，在探索的过程中学会将“知识问题化”，大胆、合理地提出猜测，通过证明、完善，最终达到将“问题知识化”的目的．