“平均数”教学设计与设计意图（共11篇）
1．在具体问题情境中，感受求平均数是解决一些实际问题的需要，通过操作和思考体会平均数的意义，学会并能灵活运用方法求简单数据的平均数（结果是整数）。
2．能运用平均数的知识解释简单的生活现象，解决简单的实际问题，进一步积累分析和处理数据的方法，发展统计观念。
3．进一步发展学生的思维能力，增强与同伴交流的意识和能力，体验运用知识解决问题的乐趣，建立学好数学的信心。
教学过程：
一、课前谈话
师：同学们，上课前老师和大家一起先看一段动画片——《小马过河》。（播放动画）像小马想的那样过河真的不会有危险吗？通过今天的学习，我们就能解决这个问题。
【设计意图：课前设置“小河的平均水深是110厘米，小马像它想的那样过河一定不会有危险吗”的悬念，让学生带着疑问进入课堂，激发学生的学习兴趣和探究的欲望。】
二、创设情境
师：随着阳光体育运动的广泛开展，同学们的课外活动更加丰富了。瞧，三（1）班各小组的男、女生正在进行套圈比赛，比赛规则是每人套15个圈，套得准的获胜。这是第一小组男生套圈成绩统计图（略），从图中你知道哪些信息？
生1：张强套中5个，徐同套中9个，周宇套中6个，吴鹏套中4个。
生2：徐同套得最多。
生3：张强比周宇少套中1个。
„„
师：现在请你们来当回小裁判，这4个男生谁套得准一些，为什么？
师：从第一小组女生套圈成绩统计图（略）看，4个女生分别套中几个？谁套得准一些呢？
师：如果第一小组的男生和女生比，是男生套得准一些，还是女生套得准一些呢？
师：当男、女生人数相同时，我们就可以通过比总数来判断谁套得准一些。
【设计意图：为了让学生更好地理解平均数的意义，感受分析平均数的需要，本环节对教材中的例题进行了整合，创设了男、女生各4人套圈谁套得准一些的情境，学生能够根据已有经验通过比较总数得出结论。】
三、合作探索
1.教学例题。
师（引导学生观察第二小组的比赛情况）：从这幅图（略）中你知道了哪些信息？（男生4人，女生5人）
师：同学们真善于观察。男生一共套中了多少个？（6+9+7+6=28）女生呢？（10+4+7+5+4=30）因为女生的总数比男生多，所以我觉得是女生投得准一些，你们同意吗？（学生讨论交流）
师：当男、女生人数不同时，通过比总数来判断比赛结果不公平，那怎么才能更合理、更公平呢？
学生讨论后明确：算出男、女生平均每人套中几个，可以把几个人套中的个数“匀一匀”，让每个人看上去一样多，然后再来比较谁套得准一些。
师（引导学生观察“匀一匀”的方法）：刚才这位同学是从多的匀一些给少的，使得每个数都同样多，这个过程在数学上就叫做“移多补少”。
课件演示，引导学生回答：（1）从9个里移走了几个？（2）给李钢补了几个？（3）给陈杰补了几个？（4）他们两人一共补了几个？（5）移走的个数和补的个数有什么关系？（相等）（6）在移多补少的过程中，总数变了吗？（不变）
师：通过移多补少我们知道男生平均每人套中7个，这个“7”就是原来这四个数的平均数，也就是男生套圈成绩的平均数。（板书：平均数）
师：我们来比一比这些数据，它们有的比平均数7大，有的比平均数7小，还有的与平均数7相等。平均数7比最大的数9小，比最小的数6大，它在这组数据的最大数9与最小数6之间。
师：刚才同学们学会了用移多补少的方法得出男生套圈的平均数，现在你能估一估女生套圈的平均数会在哪两个数之间吗？请同学们在小组里用学具摆一摆，并移一移，看看女生套圈的平均数是多少。（学生小组合作）
师：女生平均每人套了多少个？（6个）这个平均数反映了女生套圈的平均水平，它在最大数10与最小数4之间。
师：通过移多补少，我们得出男生套圈成绩的平均数是7个，女生套圈成绩的平均数是6个，现在你知道是谁套得准一些了吧？
师（小结）：当男、女生人数不同时，我们可以通过比平均数来判断比赛结果。平均数表示的是一组数据的平均值，它在这组数据的最大数和最小数之间。
师：除了用移多补少法得出平均数，你能通过计算求出男、女生套圈成绩的平均数吗？【28÷4=7（个），30÷5=6（个）】这个28求的是什么？这里的30呢？它们都是先把每组的数合起来求出什么？（总数）然后再把总数怎样？（板书：再分）这种方法就叫做“先合再分”。
师：为什么求男生的平均数时除以4，而求女生的平均数时却除以5呢？
师（小结）：求几个数的平均数就要除以几。
【设计意图：通过操作、演示等活动，揭示平均数的概念，并利用方块图的移动为学生理解平均数的意义提供感性支撑，使学生较好地理解平均数，掌握求平均数的基本方法。同时让学生比较平均数和相关数据组中的各个数，自主地感受平均数的范围，发现平均数在这组数据的最大数和最小数之间，突出平均数作为一种统计量的属性。】
2.统计图变化。
师：如果男生中李钢套中的个数从6个增加到10个时，其余同学的不变，男生套圈的平均数会有变化吗？（学生汇报计算结果）
师：我们发现当其中一个数变大，其余数不变时，平均数会随着变大。
师：如果陈杰套中的个数从6个减少到2个时，男生套圈的平均数会发生什么变化？我们来算一算，验证一下。
生4：2+9+7+6=24（个），24÷4=6（个）。
生5：4÷4=1（个），7－1=6（个）。
师：同学们的想法真不错。陈杰套中的个数从6个减少到2个，减少了几个？平均每人少了几个，我们就从刚才的平均数里减去几个？
师：一个数变小，其余数不变时，平均数是怎样变化的？
北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》四年上册第二单元第24～25页“旋转与角”。
教学目标
1.通过课堂操作活动, 让学生认识平角和周角, 并能说出生活中的平角和周角。
2.通过教学, 让学生知道锐角、直角、钝角、周角的形成过程, 理解各种角之间的关系。
3.培养全体学生的实际操作能力及初步逻辑思维能力。
教学重、难点
认识平角和周角, 理解各种角的形成过程和它们之间的关系, 区别0度角和周角的不同。
教具、学具准备
教师准备:课件、活动角、投影。
学生准备:小棒、活动角的工具、尺子、三角板、点子图。
教学过程
一、创设情境, 引出角的有关知识
师:首先我们做一个拼图游戏, 请同学们拿出准备好的四根小棒, 看看能围成什么图形?
生:正方形、长方形、菱形……。
师:如果去掉一根小棒呢?还能拼出什么图形?
生:三角形。
师:再去掉一根小棒呢?
生:只能组成一个角。
师:这就是我们今天要学习的内容。 (板书课题:角)
师:你们知道哪些有关角的知识吗?
生1:角有一个顶点, 两条边。
生2:角有直角、锐角和钝角。
生3:生活中很多地方都有角, 三角板上有一个直角, 两个锐角。
生4:我还会画直角、锐角和钝角。
……
师:很好, 那么谁能在黑板上画出直角、锐角和钝角, 并标出名称。
师:同学们真棒, 不仅说的好, 画的也好, 除了你们知道的以外, 我们这节课还继续研究有关角的知识。
【设计意图】利用游戏培养学生兴趣和动手操作的能力, 激起学生扩散思维, 引起学生对角的知识的回忆, 为下面学习平角、周角做铺垫。同时让学生说出有关角的知识, 并画出各种不同的角, 把学生已有的知识充分利用起来。
二、合作交流, 探索新知
1.了解角的形成过程。
师:我们知道角有一个顶点、两条边, 那么角是怎么形成的呢? (课件演示:先画一个点, 然后由这个点引出两条射线。)
师:请同学们仔细看演示, 你能说说吗?能用你的学具做一个角吗? (师根据学生说的在角上标出顶点、边。)
师小结:由一个顶点引出的两条射线所组成的图形叫做角。
2.转一转, 认识各种角。
师:请同学们拿出刚才做好的活动角, 固定其中的一条边, 旋转另一条边, 观察旋转过程中所形成的各种角, 有什么发现, 与同学交流。 (学生动手操作, 教师巡视指导, 让学生体验角的大小是在变化的, 名称也随着变化。)
师:老师在投影上展示角的变化情况, 并让学生说出角的名称。
生:锐角———直角———钝角。
生:重合 (0度角) ———锐角———直角———钝角———直线 (平角) ———重合 (周角) 。
生:直线 (平角) ———钝角———直角———锐角———重合 (0度角) 。
师:同学们对重合 (0度角) 、直线 (平角) 到底是不是角有了争议 (教师边演示边说) 。有的说是, 有的说不是。
师:同学们在下面演示一下, 同座同学再议一议。
师:刚才同学们演示的很好, 现在有一个问题, 老师边演示 (角的两边重合) 边问, 这是角吗?大家看有没有什么不同的想法? (让学生理解这不是没有角, 而是一个0度的角。)
师:你有不同的想法吗, 请同学边演示边说一下。
生:我开始也是这样转的, 但转到钝角后我还在转, 就转成了这样 (平角) 了。我觉得还可以转, 但是我不知道叫什么角?
生:我转了一圈, 你看两条边都重合了, 又转成你说的0度角了。
师:同学们能看明白他们是怎么转的吗?你自己再转转看, 又有什么发现?
师:现在都能转成这样 (平角) 了, 想一想它跟前面几个角相比, 有什么不一样?
生1:比前面几个角都大。 (真仔细!)
生2:角的顶点没有那种钝或直、尖的感觉。
生3:角的两边是平的。 (真棒)
生4:它好像不是一个角吧?
师:同学观察得非常仔细, 看出了它的这么多特点, 那么谁能回答 (师指平角) 它到底是不是一个角?想一想, 为什么?。
生1:它是一条直线, 直线又不是角, 所以不是角。
生2: (马上反对) 它有顶点, 又有边, 怎么不是角? (边说边演示)
生3:而且它还是由钝角旋转过来的。
师:现在明白了吗, 这也是一个角, 只不过它有点特殊, 两边是在同一条直线上, 那么你们能给它取个名字吗?
生:横角、平角 (行吗?) ……
师:像这样的角数学上称它为平角。能理解吗?
生:因为它两边是平的。
师:你们在生活中有没有见过平角?
生:做操时, 双手侧平举时两手所形成的角。
师:用身体做示范, 有人手没伸直, 能行吗?我希望每天做这个动作的时候都能够像现在这样, 两手形成的角是一个平角, 要是弯曲了, 就不好看了, 也达不到锻炼身体的目的, 能做到吗?
生:能。
师:还有没有?
生: (指着教室前面的钟) 我觉得6点的时候应该是平角。
师:能说详细点吗?
生:6点的时候, 时针和分针所成的角是平角。
【设计意图】看课件, 概括出角的意义, 通过动手操作, 让学生体验角的大小变化, 理解各种角是可以由旋转变化的, 让学生在争论中理解为什么这是一个角, 感知平角的特点和名字的意义。
师:真不错, 现在我们接着转。这个角与平角比怎么样? (大) , 那现在 (两条边重合) 呢?它还是角吗?它是什么角?
师:这就是周角。它是怎么形成的? (一条边绕另一条转一周得到的)
生:老师, 你刚才说重合是0度角, 这时也重合了, 为什么又不是0度角了?
师:你非常爱动脑筋, 周角是我们刚才一起转一圈得到的, 它最后重合了, 但是前面的重合不是我们旋转得到的, 所以是0度角而不是周角, 能理解吗?
生:那两条边重合的时候可以是周角也可以是0度角了。
师:对, 但我们得看看它的形成过程, 现在我们一起来看看这几个角的形成过程。 (课件演示) 看到这个演示过程, 你想说什么?
师:你在生活中见过周角吗?
生:12点整时, 分针和时针成周角, 也可以说是0度角。
【设计意图】在举例子的时候让学生动手做一做, 学生感到非常兴奋, 趁机进行思想教育, 这样把知识真正融入到了学生的生活之中, 做到了数学生活化。在认识周角时, 学生记起了前面所说的0度角, 教师正好利用这个机会让学生理解周角和0度角的区别, 理解为什么12点整时可以用周角和0度角两种方式表示。
3.直角、平角与周角的关系。
师:小组之间利用活动角转一转, 说一说各种不同的角?
师:你能用手中的三角板摆出平角、周角吗?学生动手操作, 并把摆好的角举起来。
师:在摆的过程中, 谁发现了平角和周角之间的关系? (1周角=2平角)
师:还有什么发现?
生:1平角=2直角, 1周角=4直角。 (真了不起!)
4.理解各种不同角之间的大小关系。
师:请同学在点子图上分别画出各种不同的角?
师:如果让你给这几个角排队, 你想让它们怎么排? (从大到小或从小到大) , 看看谁能把队排得又快又好。
师:谁愿意到黑板前排列?
生:周角>平角>钝角>直角>锐角 (或小到大排列) 。
5.生活中的周角和平角。
师:说说生活中哪些地方有平角, 哪些地方有周角。
师:观察书上的几幅图, 它们是围绕哪一点旋转的?都形成了什么角?学生说完, 教师补充完课题 (旋转与角) 。
【设计意图】通过摆一摆, 转一转加强对平角、周角的认识。让学生理解平角、直角和周角的关系, 为后面学习打下基础。
三、综合应用
1.跟我做, 运用你的身体来表示所出示的角 (锐角、直角、钝角、平角) 。
2.跟我填, 请同学完成书上25页练一练1题, 每个钟面上的时针和分针组成的角是什么角?
3.想一想, 其他整点时刻时分针和时针所成的角是什么角?你能把它们分类整理一下吗?
师:全课总结, 这节课你有什么收获?看书了解知识。
【设计意图】这部分练习层次分明, 充分考虑了各个层次学生的需要, 而且训练的方式也让学生感到很亲切, 因此参与意识非常强。
【总体意图】
1.结合具体情境进一步认识分数，知道把一些物体看作一个整体平均分成若干份，其中的一份表示这些物体的几分之一。
2.体会分数与现实生活的联系，初步了解分数在实际生活中的应用。
教学过程：
一、创设情境
师（出示）：星期天小明和他的同学一块来到了动物园，小明带了一块蛋糕，想把这块蛋糕分给4只小猴，你能告诉他，应该怎样分吗？（板书：平均分）
课件演示：每只小猴分得这块蛋糕的。
师：这里的4表示什么？1呢？
【设计意图：复习把一个物体平均分成几份，取这样的一份就是物体的几分之一，强调“平均分”，并用语言表述获得几分之一的过程。】
二、教学新知
师：东东也带来了2块蛋糕，东东想把这2块蛋糕平均分给2只小猴。
师：根据这两个信息，你能提一个数学问题吗？
生1：每只小猴可以分得几块蛋糕？
师：怎样列式？
师：如果把这两块蛋糕放在一个盘子里，看作一个整体（板书：一个整体），就变成一盘蛋糕。把这盘蛋糕平均分给2只小猴，每只小猴分得的蛋糕还可以怎样表示呢？（板书：认识分数）这就是我们今天学习的内容。
师：把这盘蛋糕平均分给2只小猴，你能用一条虚线帮它们分一分吗？（课件出示分的过程）这样，这盘蛋糕就平均分成了2份，每只小猴分得这盘蛋糕的。
师：通过分一分，我们知道每只小猴分得这盘蛋糕的，谁能完整地说一说我们是怎样得到的？
生2：把一盘蛋糕平均分成2份，每只小猴分得这样的一份，每只小猴分得这盘蛋糕的。
【设计意图：通过课件的动态演示，帮助学生建立一个整体的概念，并让学生分一分，体会分的结果是2份蛋糕，初步学会把1块蛋糕看作1份，同时引导学生学会用语言表述获得的过程。】
出示作业纸上的第1题：把 平均分给2只小猴，每只小猴分得这盘蛋糕的。（要求先用虚线分一分，再填空）
师：你是怎么分的？（故意出示不平均分的结果）这样分行吗？为什么？如果4块蛋糕这样放 ，又该怎样分呢？
师（演示两种不同的分法）：不管横着分还是竖着分，我们都是把几块蛋糕看作1份的？（让学生数一数）谁能解释一下这里的2表示什么意思？分子为什么用1表示呢？
师：如果这盘蛋糕是6块，你还能先分一分，再填一填吗？
出示作业纸上的第2题：把 平均分给2只小猴，每只小猴分得这盘蛋糕的。
师：你是怎么分的？每份是几块蛋糕？每份是这盘蛋糕的几分之几？
师：为什么这盘蛋糕是6块了，每只小猴还是分得这盘蛋糕的？
【设计意图：让学生先把4块蛋糕平均分成2份，既是对刚建构的的一次复习和应用，也是新知学习的一大难点。学生容易出现的错误是把蛋糕的块数看作分的份数，所以安排学生先分一分再填空，就是让学生经历分的过程，逐步认识并区别每份的蛋糕块数和所分的份数这两个不同的概念。】
师：刚才我们把3盘不相同的蛋糕分别平均分给2只小猴，从分的结果看有什么相同的地方，有什么不同的地方？（同桌讨论）
师：为什么每盘的蛋糕块数并不相同，结果却都可以用表示？
【设计意图：通过比较，引导学生发现三盘不同的蛋糕平均分给2只小猴，每份的蛋糕块数随着这盘蛋糕总块数的变化而变化，但是无论蛋糕的块数怎样变化，只要平均分成2份，每份都是这盘蛋糕的，进一步强化学生对的理解。】
出示：
师（指图1）：现在每份蛋糕还能用表示吗？为什么？应用多少表示？
师：图2为什么用表示？
师：如果这盘蛋糕有很多，老师用布遮挡了，但我也把它平均分了（如图3），你还能说出每份是这盘蛋糕的几分之几吗？如果把这盘蛋糕平均分成9份，每份是——
师：分成100份呢？如果每份蛋糕是这盘蛋糕的，应该怎么分？
【设计意图：通过追问“现在还能用表示吗”，启发学生发现到几分之一的变化，帮助学生理解几分之一与二分之一的区别。用一块布遮挡一盘蛋糕的块数，既加深理解一个整体的含义，又帮助学生进一步发现每份的几分之一只与分的份数有关，而与蛋糕的块数没有关系。】
练习：把一盘蛋糕 平均分给一些小猴，每只小猴分得这盘蛋糕的。
师：为什么觉得这道题不好做？要想解决这道题，你能补充一个信息吗？
【设计意图：目的是让学生进一步理解每份的几分之一与分的份数有关，与已知的蛋糕块数没有关系。】
三、练习深入
1.教材第64页“想想做做”第1题。
师：第（3）小题为什么是？第（4）小题为什么是？
师（追问）：6个苹果的是（ ）个，6个苹果的是（ ）个。
2.教材第64页“想想做做”第2题。
师（出示图4）：你能很快地说出图中涂色的方块是所有方块的几分之一吗？
师（出示图5）：现在你能一眼看出来吗？为什么？
师：先确定把几个小方块看作1份，然后把它们用虚线分一分，这样我们就能一眼看出每份是这个整体的几分之一了。（板书：分一分）
【设计意图：练习环节重在给学生以方法指导，使学生很快看出涂色部分的方块是这些方块的几分之一。】
3.教材第64页“想想做做”第3题。
师：请同学们每人选两个桃涂上颜色。（分别请学生说一说涂色的桃是图中桃的几分之几）
师：为什么都是涂了2个桃，得到的结果却不一样啊？
师：从刚才的练习中你发现了什么？
【设计意图：通过练习，使学生发现相同桃的个数却用不同的分数表示，让他们感受分数的神奇。但是无论怎样变化，认识分数的方法都是一样的，即都是把一些物体平均分成几份，每份就是这些物体的几分之一。】
四、总结归纳
师：今天大家学习了什么？怎样确定这个分数的大小？
【教学内容】
《义务教育教科书·数学》(青岛版）六年制三年级上册智慧广场。【教学目标】
1.结合具体情境，通过画一画、想一想、说一说等活动，建立简单重叠问题的模型。2.能借助直观图解决简单的重叠问题，学会分清主次、抓住本质，思维严谨。3.在解决问题的过程中，体验成功的乐趣，产生学好数学的自信心。【教学重点】
结合具体情境，能画图解决简单的重叠问题。【教学难点】 根据题意，正确画图。
【教学准备】多媒体课件、圆片、记录单。【教学过程】
一、创设情境、产生问题
1、猜猜看
谈话：在学习新知识之前，我们先玩一个猜一猜的小游戏还不好？
有一位同学，他在从左往右数的第三竖排，从前面数排第3，从后面数排第3，他是谁？你知道这一竖排一共有多少名同学？ 预设：5个、6个、7个等。谈话：你是怎样知道的？
预设：先找到第三排，再从前往后数他排第3，从后往前数他排第3，数一数这一排一共有5个人。
谈话：我们刚才运用数一数的方法数出了这一排同学的个数。刚才那一位同学重复数了几次？像这样同一个人重复数的现象，称为重叠。今天，我们就一起来研究简单的重叠问题。跟我一起齐读课题——简单的重叠问题。
2、找信息
谈话：接下来我们就一起搭载信息直通车，开启今天的探究之旅。一排大雁直冲云霄，大雁在飞行过程中，有时会排成人字形，有时会排成一字型。这一群大雁正排着整齐的一字型往南飞呢！你看，这只穿花衣服的大雁漂亮吗？ 预设：漂亮！谈话：我也觉得这只花雁真漂亮。从前面数，它排在第6；从后面数，它排在第3。通过刚才的信息介绍你知道了什么数学信息？
预设：从前面数，它排在第6；从后面数，它排在第3。
3、提问题。
谈话：根据数学信息你能提出什么数学问题？ 预设：一共有几只大雁？
谈话：我们把信息和问题完整的读一遍。
预设：花大雁从前面数，它排在第6；从后面数，它排在第3。这一行大雁一共有几只？
4、猜一猜
谈话：猜一猜，这一行大雁有几只？ 预设1：这一行大雁一共有9只。预设2：我猜，这一行大雁一共有8只。谈话：说说你是怎样猜的？
学生说明猜测原因。
谈话：刚才是我们猜测的结果，到底有几只呢？我们一起来验证一下。
【设计意图】情境中抽象出数学问题，借助生活中常见的排队现象，充分理解“重叠”。通过自主地发现信息提出数学问题，培养学生的观察能力和语言表达能力，初步让学生进行猜测，使学生在交流中充分暴露出现有的思维状态。
二、合作交流、探索方法
1、摆一摆
谈话：我们一起来看学习要求：
想一想：结合课前的小游戏，想一想谁重叠了？它数了几次？
摆一摆：观察信息，借助学具摆一摆，数一数。（一个圆片代表一只大雁，花大雁可以用不同的颜色表示）
说一说：把你的想法说给同桌听，完成后端正做好。
预设：黄色的是花大雁，红色的是普通大雁，从前往后数花大雁排第6，第一、第二、第三、第四、第五、第六，从后往前数，花大雁排第三，第一、第二、第三。提问：谁重叠了？数了几次？这一行大雁有几只？ 预设：花大雁重叠了，数了2次，这一行大雁有8只。谈话：谁想再上来给大家讲一讲？ 预设：生表达。谈话：现在请你轻轻将学具往前推，送它回家。
2、画一画。
谈话：刚才我们运用摆一摆的方法进行验证，下面我们一起运用画一画的方法来解决。请你用不同的图形代表花大雁和普通大雁，画一画这一行大雁有几只。拿出你的学习单，请在我是这样画的，把你的想法画出来。画完之后，同位交流。预设：汇报交流。
3、算一算。
师:刚才我们用摆一摆、画一画的方法得出了这一排大雁有8只，你能不能用一个算式计算出一共有几只大雁？你可以借助这幅图帮助你理解。预设：6+3-1=9（只）
提问：你能给大家讲一讲吗？这里为什么要减1？
预设：因为这只花大雁从前数了一次，从后面数也数了一次，一共数了两次，所以要去掉一次。
谈话：还可以怎样列式？ 预设：5+1+2=8（只）
谈话：给大家讲讲你是怎样理解的? 预设：动脑认真学习时的你，棒极了！
【设计意图】通过摆一摆、画一画、算一算的活动充分体会“重叠问题”的典型特点。在交流分享中初步建立解决简单重叠问题的模型。
三、沟通联系、优化方法
1、小结
谈话：同学们请看，我们刚才用数一数、摆一摆、画一画、算一算的方法研究了简单的重叠问题，这些都是我们的解题方法，希望同学们在以后的学习中可以灵活运用。今天我们首次运用画图法解决问题，画图是帮助我们解决问题的一种很好的方法，可以清晰直观的帮助我们理解题意，希望同学们可以好好运用。
2、回顾探究过程
谈话：我们一起来回顾一下刚才我们的探究过程。（课件回顾）回顾算一算的方法时再次提问：为什么要减1？
3、儿歌总结。
4、老师把这些方法，总结成了一首儿歌，送给大家，请跟着老师一起来读一读。
简单的重叠问题 重叠重叠，摆数画算，均可解决。重叠重叠，画图解决，简单直接。
【设计意图】借助课件回顾摆一摆、画一画、算一算的研究过程，充分体会画图的简洁性，建立解决简单重叠问题的模型，通过小儿歌总结解题方法，提高趣味性。
四、自主练习、应用方法
1、数鸭子
谈话：我们一起来轻松一下，同学们会唱数鸭子的儿歌吗？跟着音乐一起来唱一下。
学生跟唱。
谈话：小朋友数不清到底有多少只鸭子，你能帮帮他们吗？（愿意）谈话：同学们真热心，鸭妈妈领着自己的孩子在池塘里游泳
请你用不同的图形代表鸭妈妈和小鸭子在这学习单的这一个方格里画一画吧。
2、小动物排队
3、排队上车
【设计意图】这个环节让学生初步经历借助直观图解决问题的策略，让学生对用直观图解决问题的好处有所体验。将题目进行对比，使学生对“重叠问题”有了更加深刻的认识。
五、回顾反思、感受价值 谈话：接下来我们一起来回顾一下这节课的研究过程，首先我们通过大雁排队南飞的情境引入对简单重叠问题的学习，在探究过程中，我们通过数一数、摆一摆、画一画、算一算的方法解决简单的重叠问题，通过沟通联系，优化方法我们发现“画图法”可以很好的帮助我们解决此类问题，最后我们又应用画图法解决实际问题。谈话：通过这节课的学习你学会了什么知识？ 谈话：解决简单的重叠问题时，你学会了什么方法？ 谈话：通过这节课的学习你认为自己的表现如何？
西龙岗小学 黄剑波
一、教学目的：
1、使学生在生活情境中理解平均数的概念。掌握较复杂的求平均数的方法。
2、提高分析与推理能力，以及将数学知识引入生活并解决实际问题的能力。
3、在探求知识的过程中，培养学生的创新精神与合作意识。
二、教学重点：灵活运用求平均数的方法解决实际问题。
教学难点：样本平均数的意义。
三、教学过程
（一）议一议：
课件出示；一个猴妈妈在林中摘了一些桃，回到家后叫来了三只小猴分桃给他们，猴老大10个、猴老二9个、猴老三5个。
师：对猴妈妈桃这件事，你有什么话想说吗？
生：三只猴分的桃子不一样多。生：应该三只猴分的一样多
根据学生的回答板书：不一样多 一样多 师：如何使他们分的一样多呢？
学生讨论，指名汇报。（从猴老大手中拿2个桃给猴老三，再从猴老二中拿1个桃给猴老三。这样每人都是8个桃。）
师：很好。谁能给这种方法取个名字？（“移多补少法”。）
师：你还有什么好方法吗？（先把三个人的桃全合起来有24个，再平均分给这3只猴，这样每只猴都是8个桃。）
师：这种方法也很好！我们也给它取个名字。（“先合再分”）。师：刚才我们用不同的方法，都能使他们分的桃个数相等，都是8个。
师：同学们帮猴妈妈解决的分桃不公平的问题，这下小猴们也不会有争执了。
（二）探究新知
师：说起这个啊，老师想起前不久在我们班举行的一次套圈比赛，三（3）班男女生之间发生的一次争执。
师：为了备战套圈比赛，我们班的男生和女生之间选择了一些代表队先进行了一次套圈比赛。每人套15个圈。看，这是他们套中个数的统计图。
（出示两幅条形统计图。）
女生套圈个数统计图 男生套圈个数统计图
9876543210小英小红小花小丽小晶1086420小强小军小华小刚
师：从这两幅统计图上你能知道些什么数学信息？
师：套圈比赛结束了，男队员说男生套的准，女队员却说是女生套得准，争执不下。现在，我想请大家做一个公平的裁判，你们觉得，是男生的整体水平高一些，还是女生的整体水平高一些？（小组讨论）
指名汇报，说明理由。（有3名男生都投中得比女生少，所以女生投得准一些）
这是你的意见，有不同的意见吗？（女生一共投中30个，男生一共投中28个，男生投得准一些）
可是男生只有4个人，女生有5个人啊！还有不同的意见吗？(去掉一个男生。）
去谁合理呢？能去吗?（应该求出女男生套中个数的平均数，然后再进行比较）
师：有道理，他们两个队的人数不同，所以我们不能用套的总个数来比较，分别求出他们套中个数的平均数，用平均数来体现他们套中的整体水平，好办法！掌声鼓励。
师：我们先来求哪个对的平均数呢？怎么求他们的平均数呢？ 先来求女生投中个数的平均数。
观察女生套圈成绩统计图，小组讨论，代表汇报。
（将多投中的两3个分1个给小红，分2个给小花，这样，她们每个人都是投中了6个，也就是女生投中个数的平均数是6个。）
师：不错，方法很简洁，移多补少法。有不同的方法吗？（先求出五个人投中的总个数，再求出平均每人投中的个数。）
总数：8＋5＋4＋6＋7＝30（个）
平均每人投中数： 30÷5＝6（个）他用的方法就是——先合再分法。
师：看来，大家都非常聪明，男生平均套中的个数会求吗？ 师：你们觉得这时我们求平均数用哪种方法比较合适？为什么？ 小结：求平均数的方法很多，要根据实际情况来定。人数少，差距小，用移多补少简单；人数多，差距大，用先合再分的方法比较简单。
学生在练习本上计算，指名板演，集体订正。师：为什么这里求得的总数除以的是4而不是5？
师：现在我们能帮三（3）班的同学解决他们争论的问题了吗？（女生平均每人投中6个，男生平均每人投中7个，所以男生投得更准一些。）
师：观察统计图，女生平均每人套中6个，（用直线画出6的水平位置），提问： “6”是什么？是不是每个人都套中6个？还有什么情况存在？
小结：一组数的平均数是我们计算出的结果，表示的是这组数的平均水平，并不一定这一组数都等于平均数，有些可能比平均数大，有些可能比平均数小。
（三）应用方法、解决问题
师：看来平均数的本领还真不小啊！其实在我们的学习生活中，处处都要用到它，老师这里就收集了一些有关平均数的信息。想看看吗？
《一》、教师课件出示列举生活中的平均数问题，学生自己阅读这些信息
国家旅游局关于2008年“五一”黄金旅游周旅游信息的公告（1）上海东方明珠平均每天的门票收入为130万元，北京故宫平均每天门票收入为200万元。
(2)南京中山陵平均每天接待游客70000人，北京故宫平均每天接待游客50000人。
师：你有什么想说的?
《二》学习了平均数，它能为我们解决一些生活中的问题吗？让我们继续来看。
1、老师前几天调查了我们班同学的身高，这是其中一组同学的身高。138厘米 142厘米 145厘米 129厘米 131厘米
你能估计一下这5同学的平均身高吗？
老师发现，你们猜的时候都是往中间的数猜，大家想一想，这个平均数会起过145厘米吗？会低于129厘米吗？
到底谁猜的对呢？有什么方法可以知道？
2、计算：怎么样计算？
自己试试看。指名板演。并说一说分别表示什么？（总数、项数、平均数）
3、和自己的身高比一比，你是偏高呢？还是偏矮？
4、铁道部门规定：身高不超过140厘米的儿童，坐火车时享受半价票优惠。这组同学的平均身高是137厘米。如果他们一起去坐火车，是不是就都可以享受半价的优惠？为什么？
（有些同学可以，有些同学不可以的。乘火车是看每个人的身高，而不是看平均身高的）
看来，我们要根据实际情况，选用平均数。
四、课后总结
师：平均数在我们的生活学习中是多么的重要啊，你还在哪些地方见过平均数？
师：今天你有什么收获？请大家回去搜集一些有关平均数的资料，并利用平均数来解决身边的数学问题。
五、作业：
1、试一试
甲种饼干第一季度销售量统计图乙种饼干第一季度销售量统计图200***0100806040200一月
250200数量/包数量/包150100500二月三月一月二月三月
（1）哪种饼干第一季度的月平均销售量最多？多多少？（2）分析一下乙种饼干的销售量越来越大的原因。（3）从统计图中你还能得到什么信息？
2、评一评
招聘广告：东方广告公司因工作需要，现招一名绘画水平高的专科毕业生，本公司月均收入1000元，欢迎有意者前来报名。
小海被招聘入公司，第一个月只拿了600元月，他觉得上当受骗了，要去法院告广告公司，你觉得他能打赢这场官司吗？为什么？
教学反思：
《数学课程标准》中将“统计与概率”安排为一个重要的学习领域，强调要培养学生从统计的角度思考问题的意识，重要途径就是要在教学中着力展示统计的广泛应用。这是因为随着科学技术和数学本身的发展，统计学已成为现代数学方法的一个重要部分和应用数学的重要领域。大到科学研究，小到学生的日常生活，统计无处不在。
有关平均数的知识，教学中我没有只停留在“简单地给出若干数据，要求学生计算出它们的平均数”上，而是把理解平均数的意义作为教学的重点，紧密联系实际，使学生体会到为什么要学习习近平均数，充分引导学生理解“平均数”概念所蕴涵的丰富、深刻的统计与概率的背景，让学生再实践应用中，去把握平均数的特征，理解平均数的
意义。并能在新的情境中运用它去解决实际问题，从而获得必要的发展。
怎样才能使四年级的小学生感受到学习习近平均数是一种需要呢？课标上指出：小学中年级、高年级的学生开始对“有用”的数学更感兴趣。此时，学习素材的选取与呈现以及学习活动的安排更应当关注数学在学生的学习和生活中的应用应该是现实的、具体的问题解决。使他们感受到数学就在自己的身边，而且学数学是有用的、必要的，从而愿意并且想学数学。
通过以上教学，使学生切实感受到数学的魅力与应用价值，为树立应用意识奠定了良好的基础，使学生初步形成了解决日常生活工作中的数学问题的能力，并通过这一应用过程学会用数学的眼光观察世界，将数学课中的统计与生活有机的结合，体会到数学中的生活，生活中的数学，充分调动了学生学习的积极主动性。
《生命的林子》 (苏教版国标本小语第十一册) 写了一代高僧玄奘在法门寺潜心修身, 但觉得在高僧济济的法门寺, 青灯黄卷, 苦苦修炼, 付出再多的努力, 也很难出人头地。为解开玄奘心头的困惑, 方丈把他带到寺后树林中。他们来到寺后, 看到不远处小山头上树木稀疏, 即使最大的树, 也是乱枝纵横, 树干又短又扭曲, 只能作薪柴之用。而寺后一片郁郁葱葱的林子中, 树木棵棵修长挺直, 棵棵都是栋梁之才。玄奘忽然明白:生命只有在群体竞争的氛围中, 才能蓬蓬勃勃, 得到最大限度的发展;远离群体, 就是出人头地, 生命的发展也是不充分的, 甚至是扭曲变形的。于是, 玄奘放弃了离开法门寺的想法, 继续留在法门寺, 潜心苦修, 发奋图强, 终于成为一代名僧。文章以自然之理阐述人生之理, 思路清楚, 所要说明的道理也在课文最后一节点明。教学的关键是抓住“自然”和“生命”两个着力点, 努力打通自然之理和人生之理之间的通道, 帮助学生认识生命存在的真义, 在习得语言的同时提高学生的思想认识。
[教学过程]
一、赏景比较, 走进自然的林子
1. 山头上
(1) 找词语。师:请找出描写“山头上”树木的词语。 (“树木稀疏”、“乱枝纵横”、“树干又短又扭曲”)
(2) 想画面。师:看到这些词语, 我们的头脑中一定会出现一幅画。请大家闭上眼睛, 听老师朗读这些词语, 看看我们的头脑中会出现怎样的画面。
(3) 补词语。师:刚才, 我们根据词语想象了画面。其实, 反过来由画面我们还可以想到其他的词语。想一想, 还可以用哪些词语描写山头上的树? (零零星星、三三两两、稀稀拉拉、乱七八糟、无精打采)
2. 林子中
(1) 总结上一段的学法:由“找词语”到“想画面”, 再到“补词语”。
(2) 用上面所归纳的方法学习这段内容。 (略)
3. 作比较
(1) 师:为什么小山头上树木稀疏, 而林子中的树木蓬蓬勃勃、生机盎然, 棵棵都是栋梁之才呢?
(2) 出示课文第8节:“这些树就像芸芸众生啊。它们长在一起, 就是一个群体, 为了一缕阳光, 为了一滴雨露, 它们都奋力向上生长, 于是它们棵棵可能成为栋梁。而那远离群体零零星星的三两棵松树, 在灌木中鹤立鸡群, 不愁没有阳光, 没有树和它们竞争, 所以, 它们就成了薪柴啊。”
(3) 朗读课文第8节, 并根据这段文字, 回答上面提出的问题。回答时采用两种方法:一种是, 先说“林子中”, 再说“山头上”;第二种, 先说“山头上”, 再说“林子中”。
(4) 归结, 并板书:“群体竞争”、“离开群体”。
(5) 师:在群体竞争中, 树木才能充分生长, 远离群体, 树木是长不好的。这是一条自然法则。 (板书“自然法则”)
[设计意图]这是理解“自然之理”的一个教学环节。自然给我们提供了丰富的物质条件, 同时给了我们无穷的思想源泉。同样是树, 山头上和林子中的树长得不一样, 呈现出来的景象完全不同, 这里有耐人寻味的“深意”在里面。为让学生理解这部分内容, 教学中先让学生分别找出描写两处树木的词语, 并动用学生原有的词汇积累, 分别补充两类词语, 让学生原先积累的词语“活”起来, 也让眼前的景象“丰”起来。在此基础上, 两相比较, 继而思考:同样是树, 为什么它们的命运如此不同?通过思考, 得出“自然之理”, 让学生认识到:群体竞争是生命存在的条件, 在群体竞争的地方, 生命力是蓬蓬勃勃的;远离群体, 缺乏竞争的地方, 生命是萎缩扭曲变形的。这是一条自然法则。
二、解惑求道, 走进生命的林子
1. 说“困惑”
师:唐朝高僧玄奘是一位宗教活动家、行家、翻译家, 13岁出家为僧, 29岁就独自一人远行去佛教的发祥地印度学习交流佛教经文, 历经沙漠、雪地、冰川, 花费16年的时间学成归来。回国后一心钻研佛学, 又用了19年的时间翻译经文, 一千年过去了, 他的著作《大唐西域记》至今仍是我们研究古代亚洲的地理和历史的重要文献资料。可是, 你们知道吗?玄奘的内心曾经有过困惑, 他的困惑究竟是什么?让我们走进文本之中。
(1) 学生默读第1节。
出示几组词:
(2) 朗读上面几组词语, 并从中选用两到三个 (多用更好) 词语, 说说玄奘内心的困惑。
(3) 师:心里烦哪, 真是越想越烦人!
2. 解“劝语”
(1) 师:“有人”是怎么劝玄奘的?
出示:“法门寺是个名满天下的名寺, 水深龙多, 集纳了天下的许多名僧, 你若想在僧侣中出人头地, 不如到一些偏僻小寺中阅经读卷。这样, 你的才华就会很快显露出来。”
(2) 师:我们来劝劝看。 (指导学生:劝别人的时候声音一般不要太高, 语气要诚恳, 要尽量劝得人家动心, “出人头地”后面可长长地停顿一下。先同桌互相劝, 再指名起来劝, 最后齐读这段话)
(3) 师:那个人的劝说对吗? (不对) 老师觉得这话既对又不对。先说说对在哪里?
(4) 师:这话表面上看是对的, 似乎很有道理, 但从深一层次上看, 这话其实是不对的, 我们来反驳那个人的观点。看板书, “山头上”相当于什么?“林子中”相当于什么?板书:深山小寺、法门寺) 自然的林子给我们深刻启示呀!我们在反驳时如果能联系树木的生长, 我们的反驳就更加有力, 更加让人信服。 (给学生五分钟时间写反驳的话, 再起来交流)
3. 揭寓意。
(1) 给出句式:生命只有在群体竞争中, 才能______________;远离群体, 就是_________________, 生命的发展也是___________________。
(2) 小结归纳:生命只有在群体竞争中, 才能尽情地舒展, 充分地发展;远离群体, 就是出人头心, 生命的发展也是不充分的, 甚至是扭曲的变形的。这不仅是一条自然法则, 也是生命存在的意义。
[关键词]分数 教学目标 教学过程 教学重点 设计意图
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）32-065
【教学内容】青岛版（2014版）三年级上册第九单元“我当小厨师——分数的初步认识”第91～94页信息窗一。
【教学过程】
一、开门见山，引出
师：今天我们研究一种新的数（板书：分数），你们听说过分数吗？
生1：听说过二分之一。
师：谁知道怎么写二分之一？我们先看看古人是怎么写的。（课件出示古埃及人、中国人、古印度人、阿拉伯人对二分之一的写法；介绍分数的读法、写法和各部分的名称。）
师：二分之一表示什么意思呢？
师：请同学们用手中的圆片表示二分之一。
师：怎样得到这个圆形纸片的二分之一？（出示一张不是平均分的圆形纸片）其中的一份能用二分之一表示吗？为什么？
【设计意图：“平均分”是建立分数概念的重要因素，适时沟通学生心中“分成2份”（在学生的潜意识里就是分得同样多）和数学中的平均分成两份之间的联系，链接学生的生活经验和新知识，这样学生对“平均分”的理解会更加深刻。】
二、在操作中理解
1.小组活动：折纸片，用阴影分别表示正方形、长方形、三角形的。
2.讨论交流：为什么阴影部分形状、大小不一样，却都可以用表示。
【设计意图：让学生在操作中充分感知，初步理解分数就是将一个物体平均分成二份，其中的一份就是它的二分之一。】
师（课件出示一条10厘米的线段）：能找出它的吗？如果这条线段长20厘米，那它的有多长？
师：如果这条线段表示100千克，那它的是多少千克？
师：现在你对分数有什么新的认识？
师（小结）：把一个物体平均分成两份，其中一份是它的二分之一。“它”是指“谁”？在这句话中你认为哪个词最重要？（介绍分数各部分的名称，引导学生理解分数各部分所表示的含义）
【设计意图：通过“形与量”的结合，渗透“分数与除法”的关系。】
三、理解几分之一
师：除了，你还知道哪些分数？（渗透分数的个数是无限的）
师：自己想一个分数，用长方形纸折一折，并涂上颜色，让其他同学猜猜你表示的是几分之一。
师：自己想一个分数，结合生活中的实际物体，和你的同桌说说它表示什么意思。
师：分数在生活中无处不在，在我们的人体上也能找到分数。（课件出示人体图）
师（小结）：把一个物体平均分成几份，每份就是它的几分之一。
【设计意图：让学生通过各种活动来加深对分数的理解和感知，因为知道分数在生活中的应用是非常重要的。】
四、拓展应用
1.判断图中的涂色部分能否用下面对应的分数表示。
2.猜一猜：哪条线段更长？
【设计意图：普通的两条线段，平常的两个分数，由于有“遮起来”的情节，显得饶有趣味了。这一“遮”，“遮”出了数学思维的挑战性，更“遮”出了学生的好奇心，锻炼了学生初步的推理能力。】
四、课后总结
师：关于分数，你觉得还会有什么样的问题需要学习和进一步研究？
【教学内容】
(人教版)《义务教育课程标准实验教科书·数学(二年级下册)》第13～14页“平均分”的例1和例2，练习三的第l、2题。
【教学目标】
1.通过活动情境和生活实例理解“平均分”的概念;
2.通过活动让学生探讨“平均分”分法的多样化;
3.培养学生的动手操作及观察能力;
4.通过学习让学生初步建立起公正、公平、团结、合作的人生观。
【教学重、难点】
理解“平均分”的概念。
【教具、学具准备】
卡通图片，水果图片，展示台。
【教学过程】
一、故事导入
1.教师讲故事。(伴随表演)
师：小朋友们好，老师给你们讲一个故事，认真听哟，听完后要请你们当公正的法官。有一天，沙和尚、猪八戒、孙悟空三兄弟来到一座山脚下，口渴、肚子饿，猪八戒摸摸口袋里只有9个桃子了。“来，沙师弟你3个，大师兄2个，俺老猪肚子大就4个。”(教师边说边贴出卡通图片和桃子图片，同时勾画出大山)“嗨!凭什么你多吃，哪次妖怪不是俺老孙降的，我该多吃”，孙悟空气愤地说。一直站在一旁的沙和尚说：“平时重活儿是我做的，重担是我挑的，我该多吃。” “我该!我该!!我该!!!”他们三兄弟争吵不停。其实他们三个为保护师傅都立下很大的功劳。
2.提出问题。
师：聪明的小朋友，请你们当当公正的法官，帮他们分一分，让他们别争吵下去了。
[通过故事情境来吸引学生，激发学习兴趣，并让学生初步感知“平均分”的重要性。]
二、通过活动初步体验平均分
1.谁来当法官的活动。
生：我觉得孙悟空本事大，他该多吃，沙和尚少吃。
师：他们三个保护师傅都立下很大的功劳呀!
生：每人吃3个桃子，同样多就不会吵了。
师：同意他的请举手，看来你们这些法官很公正，请你上台分一分。(动手操作)
请学生上台把桃子个数调整到每人3个。
师：这样他们每人分得的桃子个数就怎样呢?还会吵吗?
生：一样多。不会吵了。
2.小组活动。
师：如果有24个桃子，那又该怎么分他们才不会吵呢?请4人小组一起动手分一分。 (组长拿出准备好的图片，组员合作完成)
3.展示小组活动结果。
展示不同样多的小组结果。(评议)
生：不行，每人分得的不一样多，他们会吵的，应该每人分8个桃。
师：那把你们组的结果展示给大家看看。 (评议)
生：这样他们三兄弟每人分8个，一样多，很公平。
4.揭示“平均分”的概念。
师：像刚才，把9个桃子分给3个人，每人3个，每人分得的个数怎么样? (同样多)把24个桃子分给3个人，每人8个，每人分得的个数怎么样?(同样多)像这样每份分得同样多叫“平均分”。(教师板书课题并教读两遍)
提问：刚才有的组给猪八戒分7个，沙和尚分5个，孙悟空分12个，这是平均分吗?
生：不一样多，不是平均分。
5.初步理解概念。
练习：填空，把9个桃子______分给3个人，每人______个。
师：刚才我们把9个桃子怎么分给3个人，每人几个(师伴手势)，请3个同学来说。
师：谁来说说刚才你们把多少个桃子怎么分给几人，每人几个。
(请3个学生来说，着重强调平均分)
[通过两个活动，让学生初步体验平均分，第二个活动把数字由9扩大到24，有了一定难度，有些组每份同样多，有些组每份没有同样多，在认知上产生了冲突，有了比较，此时顺势引出新知“每份同样多叫平均分”，构建概念，再用概念口述，这样概念的`导出就不单薄也不抽象，而是有血有肉。]
三、加深概念的理解
1.第16页练习三的第1题。
师：听完了故事，老师再带你们去逛逛花店，花店里的阿姨要把这些花分插在花瓶里，每个花瓶里插同样多的花，应该插几枝?(出示第1题)
请学生回答并说想法。
师：谁来说说把多少枝花怎么插在几个花瓶里，每瓶插几枝?(请两个学生说)
2.第16页练习三的第2题。
师：刚才我们知道了什么叫平均分，现在老师考考你们。(出示题目，师读题)
学生所持观点不一致。请三种不同观点的代表展开辩论，其他学生做补充说明。得出正确答案(第二种)。
[判断题的处理形式很新颖，辩论符合二年级小学生好表现自我、好胜的心理特征，同时加深对概念的理解。]
四、找生活中平均分的例子
师：其实在我们生活中平均分的例子有很多很多，比如：咱班有40个人，平均分成10个小组，每个小组有4个人。再比如：有16个同学参加接力赛，平均分成2个队，每队几个人呢?(8人)那你们能举一些吗?请说给同桌听听。
请学生举例。(教师适时点拨“平均分”)
[让学生感受到平均分就在我们生活中。]
五、探索平均分的多样化，教学例2
1.师：你们能举出生活中平均分的例子，看来你们真是细心的孩子。下面我们就把这些橘子拿来平均分。(教师出示橘子图片和盘子)看看把多少个橘子平均分成几份?
2.动手操作。
师：想想可以怎样分呢?动手试一试。
小组长拿出橘子图片小组合作完成。
3.展示。
师：请小组派一个代表上台展示你们小组是怎么分的，边分边说。
生：我们组是一个一个地分，最后每盘分 3个。(边分边说)
师：还有不同分法吗?
生：我们组是先放2个，再放1个，最后每盘放3个。(边分边说)
师：还有与他们两组不同的吗?
生;我们组是三个三个地分，每盘放3个。(边分边说)
4.小结。
师：把15个橘子平均分成5份，有多种不同分法，不管是哪种，每份都有几个呢?
生：3个。
师：我们知道平均分有多种不同分法，以后就用自己喜欢的方法吧!
[充分给学生活动和展示自己的时间和空间，在活动中探索平均分的多样化，培养了学生的发散思维能力。]
六、平均分的综合运用
1.师：今天，大家都表现得很不错，老师要送给你们几种水果图片。不过要亲自动手分一分才能得到。(出示图片：20个苹果，16个桃子，12个橘子，8个草莓排列在一张8开纸上)
问：看看有什么水果呢?
生：有脆脆的苹果，酸酸的橘子、甜甜的草莓、软软的桃子。
师：因为老师很公平，爱在座的每一个小朋友，所以每人都要得到这四种水果，而且这些水果是平均分给小组里的4个人，请小组长带领你们组想办法动手分一分。
2.动手活动。
教师帮助有困难的小组。
3.展示。
师：每个小组都在积极地想办法，动手分，看看你们分得怎样呢?把你们组的分法展示给大家看看，介绍给大家听听。
生：我用圈的办法，5个苹果圈在一起， 4个桃圈在一起，3个橘子圈在一起，2个草莓圈在一起，然后把5个苹果、4个桃、3个橘子、2个草莓用一个方框框起来，这就是一个人分到的。(边说边展示)
(评议)
生：我认为他们这样分很公平，可以。
师：还有不同的吗?
生：我们组把这些图片撕下来，一个人分一种水果，最后我们每人分得5个苹果、4个桃、3个橘子、2个草莓。
(评议)
生：他们这样分很清楚。
师：还有不同的吗?
生：我们组把4个人的名字写在旁边，用连线的方法来分，比如分给我的5个苹果就与我的姓名连起来。
(评议)
生：这样分可以，但比较杂乱，不易看清。
师：小朋友们很能干，想了很多办法，但不管哪种办法，都是把这些水果怎么分给4个人的?
生：平均分给4个人的。
师：你们每人分到几个苹果?几个桃?几个橘子?几个草莓?(生齐答)
师：老师很公平，爱你们中的每一个。
[培养了学生的应用意识和实践能力，本环节在深度和广度上得到拓展，向生活拓展，给学生思维留足了空间，他们通过小组合作想出圈一圈、连线、撕、写等办法，训练了学生思维的灵活性和开放性。]
七、全课小结
师：今天我们学会了怎样分物品，也知道了平均分的方法很多，平均分的例子很多，请你们课后用自己喜欢的分法把生活中的物品拿来平均分。
教学设计意图：通过联系生活实际，学习成反比例的量，体会数学与生活的紧密联系。不对研究的过程做详细的引导和说明，只提供研究的素材和数据，出示关键性的结论，充分发挥学生的主动性，以体现自主探究、合作交流的学习过程，获得学习成功的喜悦。通过引导学生观察、分析、比较、归纳，形成良好的思维习惯和思维品质。同时加深学生对数量关系的认识，渗透函数思想，为中学的数学学习做好知识准备。学习方式的转变是新课改的显著特征，就是把学习过程中的分析、发现、探究、创新等认识活动凸显出来。在设计《反比例》时，根据学生的知识水平，对教学内容进行整合，克服教材的局限性，最大限度地拓宽探究学习的空间，提供自主学习的机会。
【关键词】函数单调性；教学设计；意图分析
1 教材内容分析
“函数的单调性”是学生进入高中阶段后接触的第一个用数学“符号语言”刻画的“数学概念”（或说“函数的性质”），对学生来说具有一定的难度和挑战性，是研究和学习后续很多知识（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、数列、导数等）的基础，在比较大小、求最值和极值、解不等式、研究数列性质、函数零点的判定等问题上都有重要的应用，同时，对“函数的单调性”的研究过程及方法，可迁移到对函数的其他性质的研究上，对后续知识的学习有奠基意义.
2 教学目标定位
理解单调函数、单调区间的概念，能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性；通过对函数单调性的学习，让学生体会数形结合的思想；培养学生养成由特殊到一般，再由一般到特殊来研究问题的思维习惯[1].
3 教学重点难点
教学重点：函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.
教学难点：函数单调性概念的生成，特别是用数学“符号语言”描述函数的单调性；某些函数单调区间的正确表示；单调性的证明.
4 教学设计与意图分析
所用教材为现行苏教版[2]，课前布置学生在“导学案”引导下阅读教材，本节课是函数的单调性的第一课时，所涉及的题目在导学案和课件上均有，利于学生预习，节省学生抄题、教师板书的时间，给学生更多的时间思考和探究，实现有效教学.
4.1问题情境
问题情境1如图1为某市某一天24小时的气温变化图，气温y是关于时间x的函数，记为y=f（x），x∈[0，24]，观察这个气温变化图，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的？怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征？
意图分析以来源于生活的气温曲线图创设问题情境，利于激发学生求知欲，调动学生主动参与的积极性，感受函数的单调性概念产生的必要性和价值，培养学生识图能力与“形”“数”转换的能力，利于引领后续的教学.
问题情境2画出下列3个函数的图象，你能用数学中的“符号语言”刻画这3个函数的函数值随自变量的变化特征吗？
（1）f（x）=2x；（2）f（x）=1x；
（3）f（x）=x2+2x+1.
意图分析（1）从学生熟悉的3个函数切入，通过画图观察，让学生感受到函数图象的变化趋势：随着x值的增大，有的呈上升的趋势；有的呈下降的趋势；有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一区间内呈逐渐下降的趋势. 渗透分类讨论和数形结合思想.
（2）通过观察图2，先让学生从“图形语言”上直观认识到函数的单调性，并用“图形符号”表示为“上升：x，y=f（x）；下降：x，y=f（x）”；再用描述性的“文字语言”分别对应表述为“y随x的增大而增大；y随x的增大而减小”；最后用数学“符号语言”分别对应表述为“当x1
（3）将“y随x的增大而增大”翻译成“当x1 4.2建构数学 4.2.1单调增函数、单调减函数 设函数y=f（x）的定义域为A，区间IA. 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，若当x1 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，若当x1 意图分析 （1）前一定义由教师引导学生概括，后一定义放手让学生独自概括，让学生在类比模仿之中加强对数学概念的认知、内化，既培养学生的创造能力，又培养学生用数学中的“符号语言”刻画数学概念的能力[3].同时，让学生体会数学概念是如何扩充完善的. （2）当学生表述不到位、语言不准确、理解存在偏差时，教师要耐心地引导学生补充、修正，最后达成严谨、准确、简洁的表述.如学生表述时，可能会漏掉“在某区间上”，借此教师要向学生强调函数的单调性是相对某区间而言的，是函数的“局部性质”.让学生阅读教材，规范表述，找出概念中的关键词“在某区间上”、“任意”、“都有”. 4.2.2单调性、单调区间 若函数y=f（x）在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f（x）在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 4.3数学运用 例1请根据图2，写出函数f（x）=2x，f（x）=1x，f（x）=x2+2x+1的单调区间. 例2如图3是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f（x）的图象，根据图象说出y=f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f（x）是增函数还是减函数. 意图分析（1）通过例1、例2，让学生能用“图象法”判断函数单调性，并明确“函数单调性”与“函数单调区间”的区别. （2）通过独立思考，小组讨论，自主纠错，最终让学生明白函数f（x）=1x（x≠0）在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，但是在定义域上不具有单调性，并提醒学生注意函数f（x）=1x（x≠0）的减区间不能写为：①（-∞，0）∪（0，+∞），
②（-∞，0）或（0，+∞），而应写为：①（-∞，0），（0，+∞），②（-∞，0）和（0，+∞），③（-∞，0）及（0，+∞）.一般地，单调区间是不能取并集的.
思考你能画出函数f（x）=x+1x，x∈（1，+∞）的图象吗？你能用“图象法”判断函数f（x）=x+1x在区间（1，+∞）上的单调性吗？
意图分析对高一新生而言，很难画出此函数的图象，那么对于“图象不明”的函数，用“图象法”判断其单调性已不可能，让学生体会到用“定义法”证明的必要性，自然过渡到例3.
例3证明函数f（x）=x+1x在（1，+∞）上是增函数.
证明设x1，x2为区间（1，+∞）上任意两个值，且x1 f（x1）-f（x2）=x1+1x1-x2+1x2=（x1-x2）+x2-x1x1x2=（x1-x2）·x1x2-1x1x2， 由1 x1x2-1>0，x1x2>0， 于是f（x1）-f（x2）<0，即f（x1） 所以，f（x）=x+1x在（1，+∞）上是增函数. 意图分析（1）此题是教材上例2的变式题，因大部分学生还是可以画出例2中函数f（x）=-1x-1，x∈（-∞，0）的图象的，为了更好地说明引入“定义法”的必要性，故将教材上例2换为上述的例3，忠于教材又不囿于教材.教师引导学生对照单调增函数的定义，指出函数单调性证明的要点，作差比较大小是常用方法，它的基本步骤是：取值→作差→变形→定号→下结论（其中作差是依据，变形是手段，定号并下结论是目的），培养学生严谨的数学推理能力，增强思维的条理性. （2）通过这3道例题，让学生分别从“形”和“数”两个方面理解单调性，同时让学生明白“判断函数单调性”与“证明函数单调性”的差别. 思考 函数f（x）在定义域内的某区间I上单调递增，那么对区间I上的任意两个值x1，x2，f（x1）-f（x2）x1-x2的符号有什么变化规律？反之，若在区间I上的任意两个值x1，x2，都有f（x1）-f（x2）x1-x2>0，则函数f（x）在I上单调性如何？ 意图分析通过此道思考题，让学生明白“对于区间I内的任意两个值x1，x2，若当x1 4.4学生活动 练习关于函数的单调性有以下一些说法： （1）区间（a，b）上，取两数x1，x2，且x1 （2）若函数y=f（x）在区间I上是单调增函数，x1，x2∈I，f（x1） （3）若定义在R上的函数f（x）满足f（2）>f（1），则函数f（x）是R上的单调增函数. （4）函数 y =f （x）的定义域为[0，+∞），若对于任意的x2>0，都有f（x2） （5）若函数f（x）是R上的单调增函数，则必有f（2）>f（1）. （6）若定义在R上的函数f（x）满足f（2）>f（1），则函数f（x）在R上不是单调减函数. （7）若要说明函数f（x）在某个区间上不是单调增（减）函数，只需在该区间上，找到两个值x1，x2，且x1 （8）若定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调增函数，在区间（0，+∞）上也是单调增函数，则函数f（x）在R上是单调增函数. （9）若定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞）上也是单调增函数，则函数f（x）在R上是单调增函数. （10）所有的函数都具有单调区间. 其中正确的有 （5）、（6）、（7）、（9）. 意图分析（1）概念辨析是概念教学的重要环节，通过这道填空题，帮助学生从正、反两方面辨析、反思，帮助学生逐步形成对概念全面、深刻的认识，准确理解概念的内涵与外延，加深学生对概念本质的认识，培养学生思维的深刻性. （2）学生先独自思考，再小组讨论，相互纠正，对于错误命题，要让学生说明理由，举出反例. （3）这道填空题的解决要比直接告知“一个定义，三项注意”的教学模式更利于激发学生探究的兴趣和思考的热情. 练习2证明函数y=x在（0，+∞）上是增函数.意图分析巩固用定义法证明函数单调性的五个步骤，让学生意识到“变形”是最为关键的步骤，其成功的标志是出现因式x1-x2，教师点评时，提醒学生规避“循环论证”情况的发生. 4.5回顾反思 通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？学会了哪些方法？经历了怎样的研究过程？ 意图分析让学生再次体验 “函数的单调性”概念发生发展的过程，掌握判断函数单调性的“图象法”和“定义法”，以及用“定义法”证明函数单调性的五个步骤，利于学生形成完整的知识结构，利于学生养成反思、归纳、总结的良好习惯. 4.6课后作业 1.必做题：教材第44页，第4题、第7题. 2.选做题：利用几何画板可画出函数f（x）=x+1x（x≠0）的图象（如图4）， （1）根据图象写出此函数的单调递增区间和单调递减区间； （2）证明函数f（x）=x+1x在区间（-∞，-1]上是增函数. 意图分析（1）通过作业及时巩固所学的知识和方法.其中选做题是例3的补充，让课堂、课后浑然一体，并让学生初步认识“对勾函数”，利于后续的学习. （2）通过选做题的第（1）题，让学生明白函数f（x）=x+1x（x≠0）的单调减区间为（-1，0）和（0，1）；单调增区间为（-∞，-1]和（1，+∞）. 特别地，单调减区间不能写为[-1，0）∪（0，1），但从简洁性角度考虑，单调增区间可写为（-∞，-1]∪[1，+∞）. 参考文献 [1]中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.4：1. [2]单墫，李善良，陈永高等. 现行苏教版《高中数学教学参考书·数学1（必修）》[M].南京：江苏教育出版社，2007.6：3. [3] 涂荣豹.“教与数学对应”原理的实践——对“函数单调性”教学设计的思考[J].数学教育学报，2004（11）：5-9. 人教版《课程标准实验教科书·数学》六年级上册第112～115页内容 教学目标 知识目标:了解“鸡兔同笼”问题, 感受古代数学问题的趣味性。尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题, 并使学生体会假设法的一般性。 能力目标:培养学生动脑筋, 解决实际问题的意识, 增强学生的数学应用能力。 情感目标:了解我国古代数学的光辉成就, 增强民族自豪感;提高学生对数学的好奇心和求知欲;增强学数学的自信心。 教学重点 用假设法来解决鸡兔同笼问题。 教学难点 在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力和对用假设法解决鸡兔同笼问题的理解与体会。 教学过程 一、创设情境, 引出新课 1. 师:我们伟大的祖国具有五千年的文明史, 在历史的长河中, 为科学知识的创新和发展作出了巨大贡献, 仅在数学领域就有《九章算术》、《孙子算经》等古代名著流传于世, 《孙子算经》中的“雉兔同笼”问题, 更漂洋过海传到日本等国。 2. 课件出示主题图和原题:今有雉兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问雉兔各几何?师:你能说说这道题是什么意思吗? (说明:雉指鸡) 出示:笼子里有若干只鸡和兔。从上面数, 有35个头, 从下面数, 有94只脚, 鸡和兔各有几只? 3. 揭示课题:这就是我们今天要研究的问题“鸡兔同笼”的问题。 (板书课题:鸡兔同笼的问题) 【设计意图】从学生们非常感兴趣的话题入手, 又有生动的故事情节, 能深深吸引学生的积极性和探索欲望。 二、自主探究, 学习新知 师:为了便于同学们用多种方法探究问题, 我们先来研究一道数据较小的“鸡兔同笼”的问题。 出示:笼子里有若干只鸡兔。从上面数, 有8个头, 从下面数, 有26只脚, 鸡和兔各有几只? 1. 理解题意 师:“从上面数, 有8个头;从下面数, 有26只脚”分别是什么意思? 2. 探索策略 师:请大家想一想, 怎样解决这个问题?然后小组进行讨论。 师:好, 刚才各小组进行讨论, 谁愿意把你们的研究成果向大家汇报? (指名汇报。) (1) 猜想法 师:鸡和兔各有几只呢?我们不妨猜猜看。 (2) 列表法 所以我们得出来结论就是:鸡有3只, 兔有5只。 (3) 假设法 (1) 假设全是鸡 师:我们先从表格中右起的第一列, 8和0是什么意思? (让学生自主探究) 师:大家明白吗?不明白的, 请大家看…… (课件演示) 。 师:算出来后, 我们还要检验算的对不对, 谁愿意口头检验? (2) 假设全是兔 师:我们再回到表格中, 看看左起第一列中的8和0是什么意思? (让学生自主探究) 课件演示:“假设法”中假设全是兔的情况。 师:在列表的基础上, 我们想到了两种算术方法。回头看看这两种方法的第一步, 一个假设全是鸡, 另一个假设全是兔, 我们给这两种方法起个名字吧。 【设计意图】运用假设法是本节课的教学重点, 也是教学难点。为此, 教师以表格中数据变化规律为探究基础, 以小组合作、师生互动为探究方式, 以课件动态演示为探究辅助手段, 巧妙地将认知经验和思维过程转化成了数学语言, 即数学算式, 从而形成了解决问题的全新的一般策略, 发展了学生的思维水平和推理能力。 3. 小结方法 师:请同学们回忆一下, 在解决鸡兔同笼问题时, 用到了哪些方法? 哪种方法比较简便?你喜欢用哪一种方法? 【设计意图】先让学生独立思考, 再进行小组讨论, 最后全班汇报。在学习过程中, 尽量地为学生多提供讨论和探究的空间, 鼓励学生自主探究与合作交流。通过教师创设的现实情境, 让学生投入到解决问题的实践活动中去, 自己去探究、去交流, 并且经历数学学习的全过程, 找出解决问题的方法, 体会假设的数学思想的应用与解决数学问题的关系。 三、巩固练习, 强化新知 1. 师:你能用假设法或者方程解来解答“孙子算经”里的问题吗? 课件再出示:笼子里有若干只鸡和兔。从上面数, 有35个头, 从下面数, 有94只脚, 鸡和兔各有几只? (独立练习, 小组交流自己的算法。指名板演) 2. 师:想知道古人在解答这道题时是怎么做的吗? (让学生看课本第114页的“阅读资料”, 了解“抬脚法”。) 【设计意图】在交流探讨中, 学生可能采用不同的解题方法, 师有意识地重点介绍他们都能接受的一种解题方法——假设法, 使学生明确解题时掌握一种基本的解答方法。 四、推广应用, 拓展新知 师:生活中像“鸡兔同笼”的情况是很多的, 我们重在掌握其中的数学思想、方法来帮助我们解决类似的问题。 出示: (1) 有龟和鹤共40只, 龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只? (2) 全班一共有38人, 共租了8条船, 每条船都坐满了。大小船各租了几条? 请同学独立列式解答。 (讲评时重点解释算术解的每步的算理) (3) 小红参加数学知识竞赛, 共10道题, 每做对一道题得10分, 做错一道题扣2分。小红每道题都做了, 共得64分。她做对了几道题? 【设计意图】通过学生的独立解决, 旨在加深学生对鸡兔同笼问题的理解, 也让学生体会到数学就在我们身边。 【总评】本节课为学生提供了讨论和探究的空间, 鼓励学生自主探究与合作交流。让学生从侧面、从多角度思考, 运用多种解题方法, 去探究、去解决鸡兔同笼的问题。 1. 注重解题策略的多样化。 教学中, 教师引导学生通过小组讨论交流探究问题, 引导学生从多角度、多侧面进行研究, 采取猜测法、列表法、假设法等分析和解决问题, 从而获得了分析问题和解决问题的基本方法, 体验了解决问题策略的多样性。在注重解决问题策略多样化的同时, 教师还注重了解决问题策略的优化。 2. 注重思维能力的培养。 让学生在参与观察、猜想、列举、验证等数学活动中, 发展合情推理和演绎推理能力, 用数学语言清晰地表达自己的想法是培养学生思维能力的重要途径。从课初的随意猜想到表格中的有序猜想, 从一般验证到表格中数据变化规律的发现, 从列表法很快自然联想到假设法、方程解方法, 学生的思维经历了从无序到有序、从特殊到一般、从肤浅到深刻等方面的巨大变化, 学生的思维能力也随之得到了极大的提升。 3. 注重数学思想的渗透与应用。 “数学广角”是人教版课程标准实验教科书中新增的教学内容之一, 通过它渗透出一些基本的数学思想和方法。本节课要求教师有意识的向学生渗透数学思想和方法。如:用容易探究的小数量替代《孙子算经》原题中的大数量的“替换法”解决问题, 渗透了转化的思想和方法;用“列表法”解决问题, 渗透了函数的思想和方法;用“算术法”解决问题, 渗透了假设的思想和方法等等。这些为学生以后的学习奠定了坚实基础。 4. 注重数学文化的继承。 【“平均数”教学设计与设计意图】推荐阅读： 求平均数应用题教学设计及意图10-13 众数平均数与平均数教学设计06-23 平均数教学设计与反思07-03 五年级数学《求平均数》教学设计07-28 《测量平均速度》教学设计04-09 认识平均分教学设计09-25 平均分教学设计自己用11-17 平均数反思07-27 四年级平均数的教案06-13“平均数”教学设计与设计意图 篇11
