极限习题

极限习题（通用8篇）

极限习题篇1

1．确定下列函数的定义域：

（1）y；

x9（4）y2．求函数

1sinyx0

(x0)(x0)

（2）ylogaarcsinx；

（3）y

； sinx

1x1

（5）yarccosloga(2x3)；loga(4x2)

x22的定义域和值域。

3．下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？

（1）f(x)x,g(x)x2；

（2）f(x)cosx,g(x)12sin2（4）f(x)

x,g(x)x0。x



2；

x21

（3）f(x),g(x)x1；

x1

4．设f(x)sinx证明：

f(xx)f(x)2sin

x

x

cosx 22

5．设f(x)ax2bx5且f(x1)f(x)8x3，试确定a,b的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？

1x22223

（1）yx(1x)（2）y3xx；（3）y；

1xaxax

（4）yx(x1)(x1)；（5）ysinxcosx1（6）y。

7．设f(x)为定义在(,)上的任意函数，证明：

（1）F1(x)f(x)f(x)偶函数；（2）F2(x)f(x)f(x)为奇函数。

8．证明：定义在(,)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。9．设f(x)定义在(L,L)上的奇函数，若f(x)在(0,L)上单增，证明：f(x)在(L,0)上也单增。

10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）ycos(x2)（2）ycos4x；（3）y1sinx；（4）yxcosx；（5）ysin2x（6）ysin3xtanx。11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。

（1）yx3,xsint

（2）yau,ux2；（3）ylogau,u3x22；

（6）ylogau,ux22。

（4）y,usinx2（5）y,ux3 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？（1）y(1x)21（3）ysin2(3x1)

（2）y3(x1)；（4）ylogacos2x。

（3）yx。

21

13．求下列函数的反函数：（1）y2sinx；

（2）y1loga(x2)；

14．已知函数f(x,y)x2y2xytan

x，试求f(tx,ty)。y

15．已知函数f(u,v,w)uwwuv。试求f(xy,xy,xy)。16．求下列各函数的定义域：

111（1）u； xyz（2）uR2x2y2z2

xyzr

(Rr0)。

习题1—3

1．利用数列极限定义证明：如果limunA，则lim|un||A|，并举例说明反之不然。

n

习题1—4

x2(x1)1．设f(x)

x1(x1)

（1）作函数yf(x)的图形；（2）根据图形求极限limf(x)与limf(x)；

x1

（3）当x1时，f(x)有极限吗？ 2．求下列函数极限：

（1）lim；（2）lim2；

x0|x|x0x|x|3．下列极限是否存在？为什么？（1）limsinx；

x

（3）lim

x0

x。

x2|x|

（2）limarctanx；

x

（3）limcos；

x0x

（4）lim(1ex)；

x

（5）lim

|x1|；

x1x1

（6）limex。

x

习题1—5

求下列极限

1112n1

1．lim； 2.； lim22x12xn223n(n1)nnx22x1

4．lim；

x1x21

x25

3.lim； x2x3

(xh)2x2

5.lim；h0h

6.lim

x1x1

x1。

习题1—6

1．求下列极限：

sinax

（1）lim(b0)；

x0sinbx2xtanx

（4）lim；

x0sinx

（2）lim

tanxsinx；

x0x3

（3）lim

1cosx；

x0xsinx

2； x

arcsinx

（5）lim；

x0x



（6）lim1

x

1

（7）lim1；

tt

1

（8）lim1

xx

x3；

x21

（9）lim(1tanx)cotx；

x0

xa

（10）lim；

xxa

x22

（11）lim

xx21

1

；（12）lim1。

xn

2．利用极限存在准则证明：

111

（1）limn2221；

xnn2nn（2）数列,22,222，„的极限存在；（3）lim

x21

1。x1

x

习题1—7

1．当n无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？

(1)n12n11cosn

（1）2；（2）；（3）；（4）。

n1nnn

2．已知函数

xsinx,2，ln(1x),ex,ex

（1）当x0时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？（2）当x时，上述各函数中哪些是无穷小？哪些是无穷大？

（3）“是无穷小”，这种说法确切吗？

3．函数yxcosx在(,)是是否有界？又当x地，这个函数是否为无穷大？为什么？

4．求下列极限

n2n1aa2an!000n

（1）lim2；（2）lim；（3）lim ；(|a|1,|b|1)

xn2x1bb2bnxn1

4x21(2)n2nx3

（4）lim；（5）lim；（6）lim2；

16x5x1x(2)3x1x1x

5．求下列极限：

sinx

（1）limex；

xx

（2）limxcos；

x0x

（3）lim



n

sinn；

exarctanx

（4）lim；（5）lim；（6）limexarctanx。

xxarctanxxx

6．下列各题的做法是否正确？为什么？

（1）lim

x9x9



x9x9lim(x9)

x9

lim(x29)

1111

2)limlim20

x1x1x1x1x1x1x1

cosx1

（3）limlimcosxlim0。

xxxxx

7．证明：当x0时，arcsinx~x，arctanx~x。8．利用等价无穷小的性质，求下极限：

（2）lim（sin2xsin2x

；（2）lim；

x0sin3xx0arctanx

sinxnx

（3）lim（为正整数）；（4）。limm,n

x0(sinx)mx0cosx

（1）lim

9．当x1时，x33x2是x1是多少阶无穷小？

x11

10．当x时，4是是多少阶无穷小？

x1x111

11．当x时，sin是是多少阶无穷小？

xxx

习题1—8

1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： x

（1）f(x)；

x2(0x1)

（2）f(x)；

2x(1x2)

x2(|x|1)|x|(x0)

（3）f(x)；（4）(x)。

1(x0)x(|x|1)

2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。

x21n21（1）y2；（2）y；（3）ycos。

tanxxx3x2

ex(0x1)

3．a为何值时函数f(x)在[0，2]上连续？

ax(1x2)1x2n

x的连续性，若有间断点，判断共类型。4．讨论函数f(x)lim

n1x2n

5．函数z

y22xy22x

在何上是间断的？

习题1—9

1．设f(x)连续，证明|f(x)|也是连续的。

2．若f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]上f(x)恒为正，证明：续。

3．求下列极限：

（1）lim

x0

在[a,b]上迹连f(x)

(sin2x)3；（3）limx22x5；（2）lim

x

sin5xsin3x；

x0sinx

（6）lim

axabsinxsina

(a0)；（4）lim；（5）lim

xbxaxbxa

sinx

（7）lim2；（8）limthx；

xx0xx

ln(13x)；

x0x

（9）lim(x2x1)；

x

（10）lim

x2

x2x2；

x4

ln(ax)lna

（12）lim。

x0x

（11）lim

xxx

x1

x

习题1—10

1．证明：方程x3x1在区间（1，2）上至少有一个根。

x1,x2,,xn是[a，2．设f(x)在闭区间[a，b]上连续，b]内的n个点，证明：[a,b]，使得

f()

f(x1)f(x2)f(xn)

附件习题

1．用数列极限的定义证明：

(1)n11

（1）lim（2）lim(1n)1； 0；

nnn10（4）lim

（3）lim

3n2n24

n

3；

n9n73

2．用数列极限的定义证明数列{(1)n}发散。

n

0；（5）lim

2n1

0；

（6）limqn0(|q|1)。

n

3．设a0，用数列极限的定义证明极限lima1。

4．用数列极限的定义证明数列极限的夹逼准则。

5．下述几种说法与数列{un}极限是A的定义是否等价，并说明理由。

（1）对于任意给定的0，存在正整数N，使得当nN时，有|unA|；（2）存在正整数N，对任意给定的0，使得当nN时，有|unA|；（3）对于任意给定0，存在实数M，使得当nM时，有|unA|；（4）对于01，存在正整数N，使得当nN时，有|unA|；

（5）对于任意给定的0，有正整数N使得当nN时，有|unA|K，其中K是与无关的常数；

（6）对于任意给定的正整数m，都有正整数N，使得当nN时，有|unA|。

习题18—2

2x12

（1）lim；

x3x13

x21x1

（2）lim

x

1；（3）limxa(a0)；

xa

x41

（4）limcosxcos；（5）lim（6）limex0。4；

xxx1x1

3．用函数极限的定义证明下列命题：

（1）如果limf(x)A,limg(x)B，则lim[f(x)g(x)]AB；

xx0

（2）如果limf(x)A,limg(x)B,(B0)，则

x

lim

f(x)A

。g(x)B

4．用Hine定理证明函数极限的四则运算法则。5．证明极限limxsinx不存在。

x

6．若f(x)在[a,)上连续，且limf(x)存在，证明：f(x)在[a,)上有界。

x

7．设f(x)在(a,b)上连续，又limf(x)A,limf(x)B，且AB，则(A,B)，xa

xb

x0(a,b)，使得f(x0)。

8．设f(x)在[a,b]上连续，如果xn[a,b]，数列{xn}收敛，且limf(xn)，证明：

x

函数极限与连续习题(含答案) 篇2

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0点连续，则f(x)在xx0点必有极限 f(x)在xx0点有极限，则f(x)在x0点必连续 f(x)在xx0点无极限，则f(x)在xx0点一定不连续f(x)在xx0点不连续，则f(x)在xx0点一定无极限。其中正确的命题个数是（B、2）

2、若limf(x)a，则下列说法正确的是（C、xx0f(x)在xx0处可以无意义）

3、下列命题错误的是（D、对于函数f(x)有limf(x)f(x0)）

xx04、已知f(x)1

x，则limf(xx)f(x)的值是（C、1）

x0xx2

x125、下列式子中，正确的是（B、limx11）2(x1)

26、limxaxb5，则a、x11xb的值分别为（A、7和6）

7、已知f(3)2,f(3)2,则lim2x3f(x)的值是（C、8）

x3x38、limxa

xxaa（D、3a2）

29、当定义f(1)f(x)1x

2在x1处是连续的。1x10、lim16x12。

x27x31111、lim12、x21xxx12x31

limx2x112 3x1113、lim(x2xx21)1

x

214、lim(x2xx21)1

x2

x,0x1115、设(1)求xf(x),x1

2

1,1x2

1时，f(x)的左极限和右极限；(2)求f(x)在x1的函数值，它在这点连续吗？(3)求出的连续区间。

极限习题篇3

1.设xn

nn2

(n1,2,),证明limxn1,即对于任意0,求出正整数N,使得

n

当nN时有 |xn-1|,并填下表:

1|

2n2

,只需n

22,取

证0,不妨设1,要使|xn-1||N

n2

2

2,则当nN时,就有|xn-1|.

n

2.设limanl,证明lim|an||l|.证0,N,使得当nN时,|anl|,此时||an||l|||anl|,故lim|an||l|.n

3.设{an}有极限l,证明

(1)存在一个自然数N,nN|an||l|1;

(2){an}是一个有界数列,即存在一个常数M,使得|an|M(n12,).证(1)对于1,N,使得当nN时,|anl|1,此时|an||anll||anl||l||l|1.(2)令Mmax{|l|1,|a1|,,|aN|},则|an|M(n12,).4.用-N说法证明下列各极限式:

(1)lim

n

3n12n3



;(2)lim

n

n1

0;

(3)limnq0(|q|1);(4)lim

n

n!n

0;

111(5)lim1;n1223(n1)n11(6)lim0.3/23/2n(n1)(2n)证(1)>0,不妨设<1,要使

3n12n3

32

112(2n3)

,只需n

112

3,取N

3n133n1311

3,当nN时,,故lim.2n2n32n322

(2)>0,要使

,由于



只需

,n



3,1

取N

3(3)|q||nq|

,当

nN时1

.1n

(0).n4



1n124n

n(n1)

(1)6n



n(n1)(n2)



}.



(n1)(n2)n!n

,n1.

,Nmax{4,243

(4)

,n

,N

111(5)1

(n1)n1223

111111111

1,n,N

n(n1)n1223



.

(6)

1(n1)

n

3/2



1(2n)

3/2



n(n1)

3/2



,n

,N

12.

5.设liman0,{bn}是有界数列,即存在常数M,使得|bn|M(n1,2,),证

明limanbn0.n

证0,正整数 N,使得

|an|故limanbn0.n



M,|anbn||an||bn|



M,6.证明lim

n

1.证0,要使1|n(1)

1,只需

n(1)

1.4n

而

1n

nn(n1)





(n1)



4n,只需1,n

,N

4

2.

7.求下列各极限的值:(1)limn

lim

n

0.22

(2)lim

n

n3n1004nn2(2n10)nn

lim

n

13/n100/n41/n2/n



.(3)lim

n

lim

n

(210/n)11/n

16.2

1

(4)lim1

nn

2n

1

lim1

nn

e.2

11

(5)lim1limn1

nnn11

11

n1n1

1

lim1nn11

(6)lim1

nn

n1



1

lim1nn1

.111

lim1,取q(,1),N,当nN时,1qnnen

11

10,即lim1nnn

1nn

01q,limq0,lim

nnn

0.1111

(7)lim12lim1lim1e1.nnnnnne

8.利用单调有界序列有极限证明下列序列极限的存在性:(1)xnxn1(2)xn

11112121



1n,xn1xn2

121

1(n1)

xn,

1(n1)n1

2.xn单调增加有上界，故有极限.,xn1xn

n1



21



1

xn,1n

111111111.xn2n12n12222222211

2xn单调增加有上界，故有极限.(3)xn

1n1



1n2



1nn

.xn1xn

12n2



1n1



12n2

0,xn1xn,xn0,xn单调减少有下界，故有极限.(4)xn11

12!

1n!

.xn1xn

1(n1)!

0,111111

xn2133.223nn1nxn单调增加有上界，故有极限.11

9.证明e=lim11.n2!n!

11n(n1)1n(n1)(nk1)1

证11n2k

nn2!nk!n

n(n1)(nn1)1

2

1111k111n1111112!nk!nnn!nn1

11111.elim1lim11.nn2!n!n2!n!对于固定的正整数k,由上式,当nk时,11111k112111,n2!nk!nn

11

令n得e11,2!k!

1111

elim11lim11n.k2!k!2!n!

10.设满足下列条件:|xn1|k|xn|,n1,2,,其中是小于1的正数.证明limxn0.n

n1

数列极限的证明篇4

求极限我会

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;

|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

……

|X2-A|<|X1-A|/A;

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，设x(k)<4，则

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3当0

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，则：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

所以，对于数列n*a^n，其极限为0

用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n个9

5几道数列极限的证明题，帮个忙。。Lim就省略不打了。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)

第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

求极限方法篇5

为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先对极限的总结如下

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致

1极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）

必须是函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是0比0无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他法则分为3中情况0比0无穷比无穷时候直接用

20乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

30的0次方1的无穷次方无穷的0次方

对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！）

E的x展开sina展开cos展开ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！

当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义！！）

一，求极限的方法横向总结：

1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）

2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到

2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和

5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos

二，求极限的方法纵向总结：

1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置

2）用无穷小量与有界变量的乘积

3）2个重要极限

极限定义的总结篇6

极限主要包括两个方面，即自变量的变化趋势和函数的变化趋势。我们就这两个变化趋势来总结极限的定义：

自变量变化趋势limf(x)函数的变化趋势

自变量的变化趋势主要有六种：

x,x,x,xx0,xx0,xx0

函数的变化趋势主要有四种：

f(x)A,f(x),f(x),f(x) 自变量的描述格式如下：

X0,当|x|X时；（x）

X0,当xX时；（x）

X0,当x-X时；（x）

0,当0|x-x0|时；（xx0）

0,0, 当0x-x0时；（xx0）当0|x-x0|时；（xx0）

函数的描述格式如下：

0, ,

0, , 恒时：|f(x)A|（f(x)A）恒时：|f(x)|M（f(x)）恒时：f(x)M（f(x)）

恒时：f(x)M（f(x)）0, ,

那么函数极限的定义可以是这C61C4124种中的任意一种。当然还有一种最特殊的函数极限，即数列的极限。它是一种自

极限满分方法篇7

??? 求极限的方法不只限于两三种，概括来讲共分为下面八大类：

??? 1.定义法。此法一般用于极限的证明题，计算题很少用到，但仍应熟练掌握，不重视基础知识、基本概念的掌握对整个复习过程都是不利的。

??? 2.洛必达法则。此法适用于解型等不定式极限，但要注意适用条件（不只是使用洛必达法则要注意这点，数学本身是逻辑性非常强的学科，任何一个公式、任何一条定理的成立都是有使其成立的前提条件的，不能想当然的随便乱用），如出现的极限是形如，则都可以转化为型来求解。

??? 3.对数法。此法适用于指数函数的极限形式，指数越是复杂的函数，越能体现对数法在求极限中的简便性，计算到最后要注意代回以e为底，不能功亏一篑。

??? 4.定积分法。此法适用于待求极限的函数为或者可转化为无穷项的和与一个分数单位之积，且这无穷项为等差数列，公差即为那个分数单位。例如《2013无师自通考研数学复习大全》第26页末尾的一道题：极限

??? 5.泰勒展开法。待求极限函数为分式，且用其他方法都不容易简化时使用此法会有意外收获。当然这要求考生能熟记一些常见初等函数的泰勒展开式且能快速判断题目是否适合用泰勒展开法，坚持平时多记多练，这都不是难事。

??? 6.等价替换法。此法能快速简化待求极限函数的形式，也需要考生熟记一些常用的等价关系，才能保证考试时快速准确地解题。注意等价替换只能替换乘除关系的式子，加减关系的不可替换。

??? 7.放缩法（夹逼定理）。此法较简单，就是对待求极限的函数进行一定的扩大和缩小，使扩大和缩小后的函数极限是易求的，例如《2013考研数学接力题典1800》第4页的56题：求极限，该题即是用放缩法求解，具体解法可参见书内答案。

??? 8.重要极限法。高数中的两个重要极限：及其变形要熟记并学会应用。

函数与极限(上) 篇8

第一节映射与函数

A.集合的表达方式：很基础，要求快速准确地写出。

注：*表数集内排除0；+表示数集内排除0和负数；真子集符号。

B.集合运算：这些在概率里会有应用，但部分含义是有区别的。（具体内容见概率部分）注：差集的表示AB；集合运算的四个定律，尤其是对偶律。

C.映射：这些内容的理解直接影响着对函数概念的深入理解。

注：构成映射的三个要素与判断函数是否相同的两个要素；逆映射和复合映射与反函数和复合函数的联系。

D.函数：概念，参照上面C。

E.函数的几种特性：这些应该很Easy了，但不要马虎。

注：有界既有上界也有下界；单调性是对包含在定义域内的某个区间而言的；奇偶性的前提是函数定义域要关于原点对称；周期性的前提是函数定义域是无穷集。

F.反函数和复合函数：参照C。

注：复合函数经常考查的知识点，比如求解定义域，书写表达式等，这些从它的定义出发去求解是个很好的方法，详见后面例题。

G.基本初等函数和初等函数：要对5类基本初等函数的各方面性质十分熟悉，能画草图。

例题

【课后习题】

P21第5题，考查函数二要素：定义域和对应法则。（3）是同一函数，其他的定义域均不同。推荐做一下6题（画草图）、16题（复合函数）、17题（写函数表达式一定不要遗忘定义域）。

【相关真题】

90年：设函数f(x)1,x

10,x1,则f[f(x)]=________。

分析：复合函数f·g的定义要求中间函数g的值域要在“外”函数f的定义域内，所以从g的值域入手，按定义求解，这里的g即f(x)。

解： “内”函数f(x)当|x|≤1时，其值为1，此时1属于“外”函数定义区间 |x|≤1，所以复合后的值为“外”函数|x|≤1时的值，即等于1；

“内”函数f(x)当|x|>1时，其值为0，此时0属于“外”函数定义区间 |x|≤1，所以复合后的值为“外”函数|x|≤1时的值，同样等于1。

综上，此题结果f[f(x)]=1。

注：这一节的题目大多会作为其他题目的一个解题环节，很基础，但一定要掌握扎实。

第二节数列的极限

A.概念：任意给定正数ε，总存在正整数N,对于n>N的一切xn均满足极限不等式。

注：1.极限等于无穷只是一种极限不存在的特殊情况的描述，并非极限存在2.对极限定义任意方式的描述，必须满足以上三点红色字体内容。（即可以等价过来）

B.收敛(极限存在)数列的性质：唯一性(多用于反证)、有界性、保号性、任一子数列同收敛注：此处的数列极限有界性和保号性与函数极限相应性质的区别（见后）

第三节函数的极限

A.概念：对于自变量趋于有限值的情况，描述中重点是邻域，且可以是去心邻域，也就是某点有无定义不影响此点是否有极限；自变量趋于无穷时，表达类似于数列极限。注：双侧极限，即左右极限，尤其在分段点处。

B.函数极限的性质：唯一性、有界性(局部)、保号性(局部)及其两个推论、与数列极限的关系

注：1.函数的有界性和保号性都是局部性质，都是指在极限存在的前提下，会存在自变量的某个去心邻域满足有界性和保号性，且此去心邻域包含在满足极限存在的去心邻域中。2.函数极限与数列极限关系的三个前提条件：自变量趋于某个有限值时函数极限存在、数列为函数定义域内收敛于那个有限值的数列、数列元素不包含那个有限值。

例题

【课后习题】

P37、38第1、2、3题，建议做一下，考查函数极限定义，很基本，别马虎

P39第12题，函数极限局部有界性的定义扩展。实质是当函数极限存在时，都可以找到两个参数来描述有界：1.x趋于有限值的两个参数：某个去心邻域，某个界定函数值M，当x在此邻域内函数满足有界性。2.x趋于无穷时的两个参数：某个大X，某个界定函数值M，当|x|>X时函数满足有界性。

【相关真题】

此部分相关知识点的考查，大多为其他题目的一个解题环节，比如局部有界性和局部保号性（后面章节会提及），还有双侧极限的考查频率很高，但大多注意分段点及某些特殊点处求解左右极限即可，难度一般不大。92年：当x趋于1时，求解函数

x1x

x1的极限。（原题是选择题）

分析：显然x=1是此函数的特殊点，需要分双侧极限讨论。

lim

x1x1x1x1

2解：

x1

ex1lim(x1)ex1(此时

x1

1x11

)

x1

limex1lim(x1)ex10(此时

x1

x1

)

所以极限不存在，也不是无穷。

第四节无穷小与无穷大

A.概念：无穷小与去穷大即指函数在自变量的某个趋向下其极限值是0或无穷。B.性质：1.函数极限存在函数等于极限值+无穷小（多用去证明中去掉极限符号）2.同一趋近下的无穷小与无穷大的倒数关系，注意何时要求f(x)≠0

C.渐近线：水平y=a(x趋于无穷时函数的极限值为a)、垂直x=a(x趋于有限值a函数极限值为无穷)、斜渐近线y=kx+b(x趋于无穷,分式

例题

【课后习题】

P42第5、6、7题，建议做一下,熟练掌握极限定义，区分无界与极限为无穷以及极限不存在的区别与联系。

第五节极限的运算法则

A.定理：注意描述中的有限，如有限个无穷小的和与积也是无穷小，当无限时情况不定；有界函数与无穷的乘积为无穷小（应用频率很高）、极限的四则运算的前提（如必须每个参与运算的函数其极限必须存在、再如极限的商以及数列的极限运算）B.不等关系：极限保号性的应用

C.复合函数的极限：1.满足复合函数的存在前提；2.内函数的极限值以及内函数的函数值满足使外函数在此值处极限存在的前提。此处求解时多用变量代换。

f(x)x的极限为k，算式f(x)kx的极限为b)

例题

【课后习题】

P49第4、5题，对定理的理解考查，注意定理成立的各个前提条件。【相关真题】

P49第4题本就是2003的一道选择题。分析：（1）和（2）描述本质一致，所以排除；（3）为0* ，结果未定，故排除；选（4）解：极限不等式成立的条件，对于数列是“存在一个N，当n>N时，一切…”，所以不是对于任意n成立，故（1）（2）、错。同一趋近下无穷小与无穷大的乘积结果未定，如an0,cnn，此时满足假设，二者乘积显然为0，故极限为0；若an

1n,cnn，也满足假设，但二者

乘积为n，此时极限为不存在，所以（3）错。（4）可用反证法，若存在，则

bncnbn

【极限习题】推荐阅读：

哲理话题:极限06-16