小学奥数学案
课题8：小学奥数之盈亏问题
教学第一环节：衔接阶段
回收上次课的教案，检查学生的作业，做判定。
了解家长的反馈意见
通过交流，了解学生思想动态，稳定学生的学习情绪
了解学生上周学习的情况，查漏补缺，为后面的备课方向提供依据
教学第二个环节：教学内容（盈亏问题）
“老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。有几只小猴子和多少个梨？”
这道应用题是已知两种分配的方法，一次分配有余，一次分配不足，求参加分配的数量及被分配的总量。这样的应用题，通常叫做盈亏问题（有余时称盈，不足时称亏）。
例1． 老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。用几只小猴子和多少个梨？
分析：从上面的题目中，我们可以发现：第二次的分法比第一次的分法每只小猴子多分1个，从而导致梨子由原先的多出12个变成少11个，因此想要保证每只猴子分够7个梨子，必须要再添11个梨子才行。
例2.丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分3个，多16个；如果每人分5个，那么就差4个。有多少小朋友？有多少个苹果？
分析：根据已知的条件我们可以知道:要想每个小朋友多分2个苹果，苹果必须要再多4个才行。即在原先每个人分了3个苹果后，要想达到每个人多分2个，必须要拿出（16＋4）个苹果才行。从这里我们即可确定有多少个小朋友。
把您的孩子当成我们自己的孩子
Long Wen Education
教学第三个环节：知识总结
解决盈亏问题时，常采用的方法是比较法。
份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差
物品数可以由其中一种分发去求出。解决盈亏问题的关键是求出总额差和前后两次的分配的单数差，再套用公式求出分配人数，从而解决问题。
教学第四个环节：知识应用环节
训练1.北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。如果每车坐65人，则有15人不乘车。如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。一共有几辆汽车？有多少学生？
训练2.小明的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小明和小妹每人分4个梨，其余每人分2个梨，还多出4个梨。如果小明1人分6个梨，其余每人分4个梨，又差12个梨。小明家有多少人？这筐梨子有多少个？
教学第五个环节：布置作业
1、复习本次课所讲的内容
2、完成下列对应练习
1． 若干个同学去划船。他们租了一些船，如果每船坐4人，则多5人。如果每船坐5人，则船上有4个空位。有多少个同学？多少条船？
2． 把一袋糖分给小朋友们。如果每人分10粒糖，正好分完。如果每人分16粒糖，就有3个小朋友分不到糖。这袋糖共有多少粒？
把您的孩子当成我们自己的孩子
Long Wen Education
3． 少先队员去植树。如果每人各挖5个树坑，还有3个树坑没人挖。如果其中2人各挖4个树坑，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖全部的树坑。少先队员一共挖了多少个树坑？
4． 奥林匹克学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级，还要招收30人。若编成每班50人的班级，还需招收10名新生。这次共招收了多少新生？
5． 用一根长绳测量进的深度。如果绳子两折时，多5米。如果绳子三折时，差4米。求绳子长度的进深。（提示：绳子两折多5米，表示绳子长度是进深的2倍多10米。
6． 用一根绳子绕树三圈，余三米。如果绕树4圈，则差4米。树周长有几米？绳长几米？
7． 全班同学去划船。如果减少一条船，每条船正好坐9人。如果啬一条船，每条船正好坐6人。全班共有多少人？ 8． 一个学生从家到学校上课。他先用每分钟80米的速度走了3分钟，照这样的速度，则要迟到3分钟。如果改为每分钟走110米，结果提前3分钟到达，这个学生的家离学校有多远？
9． 把一笔奖金分发给获奖学生。若每人分11元，差8元。若每人分16元，差8元。求学生人数与奖金总数。
小学生在学习数学中会遇到这样的问题, 到底自己要不要去学习奥数, 怎么学, 从几年级开始最好。我们这篇文章就从小学奥数存在价值进行研究, 并给家长一些合理的学习小学奥数的建议。
二、奥数的定义及性质
小学奥数, 就是难题, 就是把课本上的知识点往深处理解和挖掘。国际数学奥林匹克 ( International Mathematical Olympiads) 简称IMO, 是一项以数学为内容, 以中学生为对象的国际性竞赛活动, 至今已有30 余年的历史。国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事, 由国际数学教育专家命题, 出题范围超出了所有国家的义务教育水平, 难度大大超过大学入学考试。有关专家认为, 只有5% 的智力超常儿童适合学奥林匹克数学, 而能一路过关斩将冲到国际数学奥林匹克顶峰的人更是凤毛麟角。现在, IMO已成为一项国际上最有影响力的学科竞赛, 同时也是公认水平最高的中学生数学竞赛。中国的数学竞赛始于1956 年。在著名数学家华罗庚、苏步青等人的倡导下, 由中国数学理事会发起, 北京、天津、上海、武汉四城市首先举办了高中数学竞赛。有认为, 表述为“数学奥林匹克竞赛”的简称应是“数学奥赛”。表述为“数学奥林匹克竞赛题”的简称应是“数学奥赛题”。
三、小学奥数的教育价值
关于小学奥数的教育价值贬褒不一, 朱伟华在他《试论数学奥林匹克的教育价值》一文中从7个具体方面论述了“奥赛”的教育价值: “ ( 1) 有利于发现和培养青少年数学人才; ( 2) 有利于激发学生学习数学的兴趣; ( 3) 有利于促进学生人性的完善; ( 4) 有利于促进学生全面创造性的发展; ( 5) 有利于学生数学能力的提高; ( 6) 有利于中学数学教育的改革和发展; ( 7) 有利于高师培养合格的中学数学教师。”夏兴国则在其《数学竞赛与科学素质》一文中指出: “数学‘奥赛’还造就了学生追求科学发现的百折不挠的心理品质, 数学‘奥赛’题需要的是意志坚强者, 而淘汰意志薄弱者。参加奥赛使他们体会到没有艰辛, 就没有成功。”在诸如上述学者极力支持“奥数”, 重视其教育价值的同时, 也有不少学者提出质疑。周玲就提出这样的观点, 认为中国数学竞赛扼杀了大多数青少年学习数学的兴趣, 阻碍了大多数青少年全面健康的发展, 并且选拔不出真正的数学人才, 也未能有效促进中学数学教学改革。游安军也指出国内学者在分析竞赛数学的教育价值时主要存在三点不足, 极大地影响了我国竞赛数学教育的实践效率: 其一, 泛化了竞赛数学的教育价值; 其二混淆了竞赛数学的教育价值与教育功能; 其三, 忽视了竞赛数学教育价值与教育目的的关系。李叶峰、梁蓉在《小学“奥数”热的冷思考》一文中指出: 当前的奥数培训在训练方式上, 采用“题海战术”, 试图通过大量的训练来锻炼孩子的思维; 在培训内容上, 奥数内容一般要超前于所学内容三、四个年级的水平, 难度太大, 违反了学生的认知规律。无论从培训方式还是培训内容上讲, 当前小学奥数教育都是对学生数学智力的掠夺性开发, 最终会导致对数学失去兴趣, 不利于学生数学智力的可持续开发。
在教育界尚且存在着对于“小学奥数”教育价值的很多争论, 因而在社会普通民众对于竞赛数学的争论也可见一般, 但往往存在即是合理的, 虽然仍有许多矛盾, 但竞赛数学一直存在, 并有强大的市场与生命力。这就涉及到“奥数”在中国这片土壤上生长的特殊性。辩言出真知, 在这样的争论中, 我们可以看到, 不能片面地否定或一味地褒扬。首先, 我们应当肯定小学“奥数”的教育价值, 其次, 认识到其负面效应是可以避免, 或者说可以降至可接受范围之内的, 因为其负面的产生也多由于组织上的经验不足, 以及社会普遍对于教育功利的认识。
四、小学奥数的学习动机
现在有不少的家长让自己的小孩上奥数的兴趣班, 通过调查分析我们发现情况如下: ( 1) 自己的小孩喜欢数学。学校里面的数学学习太过于简单, 自己的孩子应付的很轻松, 又对数学特别的感兴趣, 家长报名奥数兴趣班。这样的小孩占到学习奥数的60% 。 ( 2) 盲目跟风。有不少家长就是想着不能让自己的小孩输在起跑线上, 别人的小孩都去学习奥数了, 自己的小孩也要去。能占到学习奥数的10% 左右。 ( 3) 择校需求。自从取消了小学升初中的考试以后, 按照地段就近入学, 但是教育资源的分布与分配的不合理, 就产生了, 有一部分家长的地段初中比较差, 从而有了择校的需求。既然择校, 就是要选择比较好的民办初中, 每个大城市都有几所这样的学校。这些好一点的初中也要招生一些比较好的学生, 又因为目前考察手段的单一, 看考试成绩的居多, 而这些名校的小升初试题里面, 数学几乎都是奥数题, 你的孩子如果没有上过奥数, 想考上这些名校非常困难。还有一些家长, 地段学校也不错, 要给自己的孩子多一些选择, 也去上奥数课。所以有择校需求的学生大概占到学习奥数的30% 左右。
五、学习小学奥数的合理建议
在择校我们没有办法管控的情况下, 我认为“奥数”应当分为两个层面, 一个层面是精英教育, 上课的学生是对于数学感兴趣的数学尖子, 要培养他们的创造能力, 另一个层面作为一种数学的普及教育, 面向绝大多数的普通学生, 出一些比课本上要难一点的题目以提高他们的基本数学素质与素养。也就是说对学生进行“奥数”教育应分两条线走: 一是严谨严肃的系统的竞赛数学教育, 二是活泼生动的趣味数学教育。具体针对小学“奥数”则可表现为两种组织形式: 一是针对小学数学奥林匹克的精英培养, 这样的精英才去参加小学奥林匹克比赛, 二是针对趣味数学的普及培养, 可考虑将广大的普通学生从参与小学数学奥林匹克引向参加以趣味数学的一种形式的比赛。比如小学生数学建模比赛等。在这种情况下, 我们的家长肯定想问, 我们到底要不要上奥数, 我个人感觉, 感兴趣的, 智力好的, 就要组合在一起, 形成尖子班, 不要轻易换老师, 坚持下去, 会有非常好的效果; 感兴趣的, 智力一般的组合在一起, 把讲课的难度与进度都放慢一点, 坚持下去, 也会有好的收获; 有择校需求的, 那就另说了, 要进入那种有针对性的训练班才有效果。
摘要：本文对小学生学习奥数的价值进行探索, 对一些家长提供一些合理的建议与参考。
关键词：小学奥数,存在价值,小升初
参考文献
[1]朱华伟.试论数学奥林匹克的教育价值[J].数学教育学报, 2007, 16 (2) .
[2]夏兴国.数学竞赛与科学素质[J].数学教育学报, 1996.
[3]李叶峰, 梁蓉.小学“奥数”热的冷思考[J].教育探索, 2009 (11) .
[4]游安军.如何正确认识“奥数”的教育价值[J].数学教育学报, 2009 (10) .
[5]周玲.数学竞赛在中国的实践质问其教育价值[J].数学教育学报, 2010 (10) .
【关键词】小学奥数；理性回归；小学生学习生活及心理；新课标
一、奥数现状
我们周围的小学奥数训练已经从素质教育扭曲到应试教育，疯狂的奥数热给整个社会带来一定的负面影响，对小学生的日常学习生活及心理造成一定不好的影响。已有数据表明奥数仅适合于大概5℅的人去学习，而在一些小学90%以上的五年级学生正在疯狂学奥数，低年级也有60%的学生补过奥数。家长们为了让自己的孩子考进名牌初中，接受最好的教育资源，纷纷把孩子送进奥数培训班，只为在择校时增添一些砝码。择校是一个双向选择行为，从学校的角度看，每所学校都需要优秀生源，以提高学校的声誉，随着小升初考试的取消，学校把奥数作为评选的门槛。当奥数作为择校的敲门砖时，奥数的学习就已经严重异化和变味了！奥数本身的价值在于锻炼思维，开发智力，培养学生勇于探索的精神。只有正确地看待奥数，适度的培养和激发小学生的兴趣，才能培养出真正的数学人才，促进数学这门学科的创新发展！
奥数是心理、生理发展到一定阶段才能学习的，过早的让小学生接触高中知识，让他们陷入知其然不知所以然的状态，只是加重学生身心负担。这不是对思维的训练，而是对童年的扼杀。现在不仅奥数低龄化而且全民化，已经不仅仅是个人问题，而发展成民生问题。盲目强迫孩子上奥数班，使大多数小学生过早地背负学业负担，失去学习数学的兴趣，因奥数而抵触反感学校的数学教育。小学奥数调查小组针对小学奥数对小学生正常学习生活产生的影响以及哪一种数学训练题更适合小学生”等问题，展开了问卷调查和个案采访。接受调查的小学生大部分都正在学习小学奥数，或者曾接触过小学奥数。
因此他们对小学奥数是有切身感受的，他们基本上都会根据自己的真实感受，认真完成问卷。还有一部分是网络问卷，我们团队在中国调查网发布了我们的问卷。最后我们对问卷进行了统计和分析，得到了初步解决方案及对社会各界提出的建议和倡议。
二、调查结果分析
在我们的调查得到的数据中，喜欢数学的小学生大约有60%，而对奥数学习感觉麻木甚至讨厌奥数的小学生约占55%。这说明喜欢数学并不代表会喜欢奥数，这说明很多小学生其实对奥数不感兴趣，更谈不上学好奥数。在我们的数据中约有75%的小学生要花至少一小时学习奥数，这并不包括回家做作业的时间。其中58.7%的学生是被奥数挤占了玩乐时间，我们都知道小学生有时会玩比会学更重要，在适当的游戏中他们可以拥有更多在童年应培养的素质但我们的家长却忽视。
兴趣是最好的老师，只有喜欢奥数才能有动力去学好奥数。所以家长不应该强迫小学生去学习奥数，不能只是考虑到了奥数学好后就能够顺利地敲开名校的大门，还要考虑到奥数更深一层次的用处，比如奥数对扩展视野，拓宽知识、培养兴趣，发展数学等都有不可替代的作用。
三、学习奥数对学校数学学习的影响
有的小学生认为奥数对他们有一些帮助、数学成绩有所上升。但更多的小学生学习奥数后数学成绩没有明显地提高，还有一部分学生认为奥数对于学校数学学习不但没有帮助，反而有害处。在心理上，很多小学生学过奥数后对数学更加麻木，甚至更加厌烦。只有很少一部分变得喜欢数学。对于小学生为什么学习奥数后数学成绩没有提高，我们认为很大一部分小学生并不适合学习奥数，他们并不能接受奥数中的一些思维方式和解题思路。从调查可以看出小学生面对奥数题更喜欢趣味题，也就是说大部分小学生喜欢探索数学当中趣味和秘，并不喜欢一味的难题。由于在问卷中我们不要求受调查者解答数学题目，我们只需要测测他们对不同题的第一感受和本能反应，不料77%的都会毫不犹豫的选择趣味题。小学生对奥数都会存在或多或少的反感，相比之下，他们更喜欢带含有一些故事情节的题目，一些可以激发兴趣的数学题目。
四、奥数的真正内涵
数学思想是对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式。下面有幾种小学生常用的数学思想方法，尤其是在学习小学奥数时运用广泛。
（一）直观的数学思想
直观的数学思想就是解奥数题时，如果能合理的、科学的、巧妙的利用具体的定理、公式将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通“已知”与“未知”的联系，抓住问题的本质，迅速解题。
（二）符号思想
用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。在小学奥数中，体现最突出的就是方程的思想。
（三）假设思想
假设思想是一种常用的推测性的数学思考方法。利用这种思想可以解一些填空题、判断题和应用题。如果题目数量关系比较隐蔽，无从下手，可先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，最后找到正确答案。
（四）化归思想
化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。
（五）枚举的思想
枚举的思想在小学奥数中是一种很重要的数学思想，在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，从而得出一般结论，那么这个结论就是可靠的，这种方法叫做枚举法。
（六）数形结合思想
数形结合思想是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来。即通过作一些如线段图、树形图、长方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系，使问题简明直观。
奥数能够培训同学们主动探究问题，发现和解决问题，培养他们独立思考的习惯。这样的学生在以后的各个方面都会很优秀。由于社会上不理性的奥数热潮，在奥数教育中思维的培养和方法的训练只是变成了机械的做题，背记方法。以及学校间的恶性变相竞争，使得奥数被“妖魔化”。
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五、采访案例：“灼烫”的小学奥数，“烫伤"了小学生的心
经过多日的问卷调查和个案采访让我们深刻理解了小学奥数热对大部分孩子生活，学习，心理造成的负面影响。我们专门采访了几位家长。有位姓连的阿姨谈了很多她自己的看法，现在的小升初数学卷子里就有很多奥数题，很多小学生为了考进一个重点初中被逼去学。“有一天去接孩子，顺便捎上邻居家的孩子小白，对他说：“明天周六，你们终于可以睡懒觉了！” 小白一下子哭起来，最后才得知，原来孩子的妈妈给孩子报了两个奥数班，双休日排得满满的，孩子的负担太大，正常的小孩子每天休息8-9小时对他们来说就是妄想 ，学校的作业本来很多，再给孩子报各种补习班无疑是剥夺了孩子的自由和快乐童年。我们有些家长觉得自己看得“长远”，他们只是觉得孩子考上好的初中就会有一个好的前途。我就不这么看，我的孩子数学学的挺好的，但我们没叫他报奥数班，我征求完他的意见，就给他买了趣味数学题让他看，自学一些奥数，练练数学思维，孩子很轻松，而且效果很好！”说着她笑得很开心。
部分小学生从小学三年级开始报班学奥数，主要是她妈妈要求，理由是“不学奥数就别想考进重点初中”，小学生只能在家长的“威逼利诱”下屈服。70%-80%的小学生根本就不喜欢奥数，而且报班也听不懂，他们整天抱着一种痛苦甚至厌恶的情绪去学习奥数。发问卷时，好多小学生一听是奥数，投来厌恶的眼神，他们显得很烦，“我不喜欢，我妈偏要我报，我讨厌奥数！”当时小学生的眼里流漏出一种被控制的无奈和强烈地呼救。
奥数真正的价值被埋没了，所谓的锻炼思维，启发智慧却带来的却更多是迷惑，痛苦和惶恐，这种灼烫的奥数热已经烫伤了好多小学生的幼小的心灵， 面对小学生的惶恐，父母如何理性判断小学生的真正需求？面对学生迷茫的眼神，老师该如何正确“授业解惑”而不是简单“授之句读”？面对一阵高过一阵的奥数热，教育部门的改革怎样才能彻底解决问题？我们调查小组，分析提出如下几点建议。
六、关于给奥数降温的建议
第一，对于家长，面对年幼的孩子，在为他们“好”的同时，请不要忘了征询孩子的意见。请理性分析你所做的努力是否真的有助于孩子的健康成长；这样不仅可以减少他们的抵触情绪，也可以慢慢教会他们如何面对问题、思考问题；但您的孩子在小学奥数的学习中收效甚微时，请停止您对他的的奥数培养，这不仅浪费了他获取其它能力的时间，也磨灭会消磨他对数学的兴趣；如果想培养孩子的数学思维，可以询问老师寻找一些适合小学生的趣味数学知识，这样不仅可以培养数学思维也可以提升小学生对数学的兴趣。
第二，对于老师，现在的教学要求启发式教育，引导性学习，重在培养学生的自主学习能力，作为教育者，应该多了解孩子的身心发展，用心解决小学生日常学习生活中的困惑，帮助他们快乐地生活和学习；而不是去推荐那些“学有余力”的学生去学习奥数。一位合格的小学教师应该了解学生在6-12岁心理发展特点：直观动作思维到形象具体思维再到逻辑思维的思维水平的过程，从而制定相应的教学方案，因材施教，让更多的小学生走适合他们年龄的学习和认知道路。
第三，对于社会，人作为社会的主体，有责任去积极主动地对培训机构的教学质量进行监督，提出建议促进奥数教育的改革。当然首先应该是理性地面对奥数热，而不是被动地被媒体舆论所左右；也不是在奥数热潮初期盲目跟风，在报道之后又一味批判，没有理性看到奥数价值，也没有认识到如何正确学习奥数；而是能在舆论面前保持理性，正确判断奥数热，是为了身边的小学生，也是为了社会的将来。
第四，对于相关政策，政府以及地方政府已经出台了许多政策，是否可以保持有效还有待观察，即使明令禁止奥数加分也不能彻底平息奥数的疯狂热潮，原因之一就是没有找到合适的升学体系来取代奥数在升学选拔优势生源地地位，即使没有奥数还有奥英等其他类别的竞赛。如何制定一套符合小学生身心健康发展的公平的教育制度，让小学生能在享受快乐童年的同时还可以使基础文化知识得到发展和训练，这是一项甚至有慎的艰巨的任务，虽不能一蹴而就，但我们相信它一步步前進。
当然面对那些不合法的奥数补习班应该采取更加严厉的惩治手段，但作为家长是不会那么做的，他们只希望自己的小学生能学有所成，而小学生又没有这个能力去举报。所以政府应该寻求有效的监督群体去惊醒奥数的迷蒙，理性地宣传以唤醒家长，同时完善小学生的监督举报措施，加强他们防范意识，这些都需要做出进一步的努力。简单关闭奥数补习班是不能从根本上解决问题，因为奥数有它存在的价值，而且这本身也不是解决问题的办法。让我们全体社会成员一起携手为灼烫的奥数降降温，使奥数教育重回正确轨道，绽放属于奥林匹克数学的魅力和光辉！
【参考文献】
[1]赵二鹏.浅谈小学奥数中的数学思想方法[J].科技创新导报，2000，（02）.
[2]郑昌荣.小学奥数卸下镣铐跳舞[J].华章，2007，（11）.
[3]周继光.小学奥数热过了头[J].教师预览，2004，（4）.
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[6]承瑛.被妖魔化的小学奥数[J].内蒙古教育，2007，（06）.
[7]李叶风.小学奥数热的冷思考[J].教育探索，2009，（11）.
[8]易南轩.数学美拾趣[M].北京：科学出版社，2008.
[9]朱月龙.心理学改变你的生活[M].北京：海潮出版社，2007.
【作者简介】
杨雅琦（1991— ），女，内蒙古包头人，陕西师范大学数学与应用数学专业本科生；李红（1990— ），女，重庆开县人，陕西师范大学数学与应用数学专业本科生；王甜甜（1992— ）女，宁夏固原人，陕西师范大学数学与应用数学专业本科生。
梁春明
奥数的学习和兴趣的培养对于打好基础有着不可替代的作用，参加奥数学习是对思维的培养，是对学习习惯的培养，也是对自己的挑战。这种培训也许对培养数学家意义不大，但是对于思维逻辑的训练，对于日后的学习应该是很必要的。因为很多现实问题无法用固定方法去解决，奥数本身就是培养并考察你的思维能力和逻辑推理。能真正学好、学活数学，学会分析问题、解决问题，才是学好其他学科的关键
本学期，我从各方面严格要求自己，结合本班学生的实际情况，勤勤恳恳，兢兢业业，使教学教学有计划、有组织、有步骤地开展，圆满地完成了教学任务。
一、认真备课。不但备学生，而且备教材、备教法。根据教学内容及学生的实际，设计课的类型，拟定采用的教学方法，并对教学过程的程序及时间安排都做了详细的记录，对每个例题都能有补充讲解。每一课都做到“有备而来”，每堂课都在课前做好充分的准备。
二、增强上课技能，提高教学质量。在课堂上特别注意调动学生的积极性，加强师生交流，充分体现学生学得容易，学得轻松，觉得愉快，注意精神，培养学生多动口动手动脑的能力。
三、认真批改作业，布置作业有针对性，有层次性。对学生的作业批改及时，认真分析并记录学生的作业情况，将他们在作业过程出现的问题做出分类总结，进行透切的讲评，并针对有关情况及时改进教学方法，做到有的放矢。
四、做好课后辅导工作，注意分层教学。在课后，为不同层次的学生进行相应的辅导，以满足不同层次的学生的需求，同时加大了对后进生的辅导的力度。对后进生的辅导，并不限于学生知识性的辅导，更重要的是学生思想的辅导，提高后进生的成绩，首先解决他们的心结，使之对学习奥数萌发兴趣。使他们有成就感。从而喜欢上奥数。
不足，对于个别学生课堂纪律的调空还要多变换方法，吸引学生注意，使之照顾到全体学生。
任何人第一次参加比赛时都很紧张，我也不例外。一年时间的奥数补习终于要在这次奥数比赛中获得收获了。考试前的晚上我没命地复习，因为我很想得到个好名次。
第二天，我收拾好文具，走向学校的考场，心“噗通”“噗通”地跳，仿佛你坐在游乐园里的“海盗船”就要开始了一样。所有的`考生都没有说话，就像暴风雨来临前那么宁静。
整个教室里只有“哗啦哗啦”的传卷子声，每个人都把笔握得紧紧的，觜抿得紧紧的，看得出大家都要全力以赴了。监考的女老师一副严厉的样子，谁还敢抄别人的呀?
卷子发下来了，我迅速地扫视了一遍试卷。呵!还真难。我鼓着腮帮子，眉头皱得紧紧的，遇到特别难的题我干脆跳过——反正做不来，何必浪费时间呢?我紧张得全身发热，偶尔令我身体有些不适。我干脆全神贯注地将思维融入到题目中，将不适无视了。两个半小时里，我时而仰头思考，时而奋笔疾书。教室里鸦雀无声，只有“沙沙”的写字声。
“铃铃……”，铃声将我们的思绪拉回现实世界，我才发现两个半小时过去了。考生们不约而同地伸了伸身子，交了卷子，我长长地舒了一口气，走出考场，我有种脱胎换骨的畅快感。我不禁笑了，原来奥数比赛如此有趣，那种全神贯注地投入到一件事中的感觉还真不错!
——XXXX学校
学习奥数能够锻炼孩子的思维能力，三、四年级的奥数学习是小学奥数最重要的基础阶段，只有牢固掌握了三、四年级奥数最基本的知识技巧，才能有效的促进今后的数学学习，最终在小升初择校中有所斩获。鉴于学习奥数的重要性，我们艺文学校特开设了三、四年级奥数班，以下为详细的招生简章，广大家长可以参考报名!● 学习分析
A、主要内容和知识重点
《找规律》、《速算与巧算》、《巧求周长》、《和差倍问题》、《植树方阵问题》、《等差数列》、《行程问题》等。
B、普遍存在的学习问题
(1)很多例题在课堂上老师讲解之前并不能很顺利的做出来。
(2)例题听懂了，但举一反三或者题型有些变化，部分学员就束手无策。(3)低年级以计算为主，但三、四年级奥数以应用题为主，要求学员有较好的分析能力和尝试用线段图或者符号解题。
C、春季学习的重要性
(1)遗忘是记忆的大敌，大脑记忆规律要求知识要在不断复习中吸收强化。(2)老师对不同类型的题目会在授课中补充相关知识点。
(3)针对性强。从时间上说，学习最具集中和针对性，我们的专题浓缩了该年段的重难点以及常见题型，帮助学生建立知识体系意识，在重点专题上进行更深层内容、更典型题型、更系统思想、更灵活技巧的全面知识渗透与挖掘!
● 课程说明
A、教学目标
以培养学生的数学兴趣与提高数学思维为主要原则，在教师的指导下，通过学生的自主学习，以获得有关数学解题的直接经验，让学生更大自由度地发挥自己，深化素质教育，营造诱发其潜能的氛围。
B、知识要点
速算强化、等差数列、和差倍问题、行程问题等 C、课程特色
(1)在教学过程中，老师注重培养学生的自主思考能力，采取启发和引导的方式，让学生有兴趣地主动投入到课堂中来。学生不再停留于“应该是怎样，应该怎么做”的模仿式学习，而是在教师的启发和引导下，逐步形成“为什么是这样，怎样能更好”的自主性思考。
(2)在小班课堂中，老师会充分鼓励学生表达自己的想法，充分展示其思维和个性。
D、课程服务：
电话咨询 答疑解惑 跟踪服务 专题辅导
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【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2014）04A-0016-03
出入相补原理是我国古代数学的基本原理之一，在早期的《九章算术》《周髀算经》和《算术书》等文献中，利用这一原理就获得了很多有关题目的算法，如勾股定理的推导、“方田”问题、开平方法等，它不仅在几何上应用广泛，且这一原理的直观性有助于我们对一些代数问题的理解。奥数对于小学生来说是一个特殊的科目，它涉及的知识领域宽泛，技巧性强。就现有的小学数学知识水平很难解决奥数题，但如果能将新知识转化为已学知识，将复杂问题简单化，那么就可以增强学生学习奥数的兴趣，增强解决问题的能力。此外，由于出入相补原理简单、直观、自然而高效，利用这一原理将有助于学生对奥数有关问题的解决。
所谓出入相补原理，即割补法，引用吴文教授在《出入相补原理》一文中的定义即是“一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。”
下面，我们从整数运算、平面几何的面积计算来阐述出入相补原理在小学奥数中的应用。
一、出入相补原理在小学奥数整数运算方面的应用
在近几年小学数学奥林匹克竞赛中，整数运算占了相当重要的地位。对整数运算除了要掌握基本的运算定律、运算性质外，有时要达到简算、巧算，我们还要掌握其他一些简算知识，如平方差公式、公差为1的等差数列求和公式等。由于这些知识点要在初中或高中课本中才会涉及到，要让小学生快速牢记此知识点，教师可通过出入相补原理向学生讲授这些知识的由来，如：
（1）平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。
此时a2-b2可转化为求图1阴影部分的面积：根据出入相补原理，我们可将图1转化为图2，且图2阴影部分面积为（a+b）（a-b）。由于图1和图2阴影部分面积是相等的，所以有：a2-b2=（a+b）（a-b）。
本题若先计算每个平方数，再进行加减，101个数将要算很久。此时如果掌握了平方差公式和等差数列求和公式，则可简便运算，可见在小学奥数中也须掌握这两个公式。
二、出入相补原理在小学奥数平面几何方面的应用
试题的命制是奥数的中心环节，而平面几何则可提供各种层次、难度的试题，所以平面几何在各个国家、层次的竞赛活动上都占据着重要的地位。在我国近几年的小学奥数竞赛中，平面几何常常以求图形面积出现在考生面前。因此，考生须掌握快速求图形面积的方法。那么在已知长方形面积等于长乘以宽的基础上，我们可根据出入相补原理推导出平行四边形、三角形、梯形、圆等的面积公式，加深学生的印象。如：
（1）推导平行四边形的面积公式：S=底×高。
结合图5，在平行四边形ABCD中作AD边上的高BE，将平行四边形分成△ABE和梯形BCDE，此时将△ABE移动使CD和BA重合，将平行四边形ABCD重组成长方形BCEE，所以平行四边形的面积S=底×高。
（2）推导三角形的面积公式：S=×底×高
结合图6，在原有△ABC上，再构建一个与△ABC全等的△DEF，移动两个三角形使AC和FD重合，组成平行四边形ABCE，所以S△ABC=×S平行四边形ABCE=×底×高。
（3）推导梯形的面积公式：S=×（上底+下底）×高
结合图7，在原有梯形ABCD上，再构建一个与梯形ABCD全等的梯形EFGH，移动两个梯形使CD和EH重合，组成平行四边形AEFG，所以S=×（上底+下底）×高。
（4）推导圆的面积公式：S=π×半径2
结合图9，将圆进行无限分割，当分割份数增多时，当每一份弧近似直线时，半圆周长则近似长方形的长，半径近似长方形的宽，即圆的面积越来越靠近长方形的面积，所以
S=π×半径×半径=π×半径2
例：（第九届小学“希望杯”全国邀请赛六年级第2试）图9中的阴影部分的面积是 平方厘米。（π取3）
解题思路：此题的阴影部分不是我们常见的规则面几何图形，但我们可以运用出入相补原理，通过分割、添补图形，将其变成我们熟知的平面几何图形，再通过求熟知的平面几何图形的面积，用加、减运算则可得此阴影部分的面积。
方法一：如下图，把阴影部分的面积转为
本题主要考察求复杂图形面积的能力，没有公式可以直接进行计算，因此需结合出入相补原理，先对图形进行割补，再求其面积。此小题给出了六种解决方法，有助于训练一题多解的能力，熟悉运用出入相补原理。
出入相补原理的特点在于简单、直观，运用其解代数、几何中的公式，使公式更加直观，学生理解更加深入。同时，运用其求复杂图形的面积，可从不同角度考虑添加辅助线，将复杂图形转化为熟知的图形进行求解，且有利于提高学生综合运用平面图形面积计算的知识。
【参考文献】
[1]姜鸥.小学数学奥赛一本全[M].山西教育出版社，2005.
[2]高仕松.运用“出入相补原理”求阴影部分的面积[J].教育实践与研究，2012，05：46.
[3]彭刚.出入相补原理及其应用[J].四川教育学院学报，2009，25（4）：108-112.
[4]冯艳青.“出入相补原理”的思想方法启示[J].常州师专学报，2001，19（4）：69-71.
（责编 黄珍平）
【关键词】出入相补原理 小学奥数 整数运算 平面几何的面积计算
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2014）04A-0016-03
出入相补原理是我国古代数学的基本原理之一，在早期的《九章算术》《周髀算经》和《算术书》等文献中，利用这一原理就获得了很多有关题目的算法，如勾股定理的推导、“方田”问题、开平方法等，它不仅在几何上应用广泛，且这一原理的直观性有助于我们对一些代数问题的理解。奥数对于小学生来说是一个特殊的科目，它涉及的知识领域宽泛，技巧性强。就现有的小学数学知识水平很难解决奥数题，但如果能将新知识转化为已学知识，将复杂问题简单化，那么就可以增强学生学习奥数的兴趣，增强解决问题的能力。此外，由于出入相补原理简单、直观、自然而高效，利用这一原理将有助于学生对奥数有关问题的解决。
所谓出入相补原理，即割补法，引用吴文教授在《出入相补原理》一文中的定义即是“一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。”
下面，我们从整数运算、平面几何的面积计算来阐述出入相补原理在小学奥数中的应用。
一、出入相补原理在小学奥数整数运算方面的应用
在近几年小学数学奥林匹克竞赛中，整数运算占了相当重要的地位。对整数运算除了要掌握基本的运算定律、运算性质外，有时要达到简算、巧算，我们还要掌握其他一些简算知识，如平方差公式、公差为1的等差数列求和公式等。由于这些知识点要在初中或高中课本中才会涉及到，要让小学生快速牢记此知识点，教师可通过出入相补原理向学生讲授这些知识的由来，如：
（1）平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。
此时a2-b2可转化为求图1阴影部分的面积：根据出入相补原理，我们可将图1转化为图2，且图2阴影部分面积为（a+b）（a-b）。由于图1和图2阴影部分面积是相等的，所以有：a2-b2=（a+b）（a-b）。
本题若先计算每个平方数，再进行加减，101个数将要算很久。此时如果掌握了平方差公式和等差数列求和公式，则可简便运算，可见在小学奥数中也须掌握这两个公式。
二、出入相补原理在小学奥数平面几何方面的应用
试题的命制是奥数的中心环节，而平面几何则可提供各种层次、难度的试题，所以平面几何在各个国家、层次的竞赛活动上都占据着重要的地位。在我国近几年的小学奥数竞赛中，平面几何常常以求图形面积出现在考生面前。因此，考生须掌握快速求图形面积的方法。那么在已知长方形面积等于长乘以宽的基础上，我们可根据出入相补原理推导出平行四边形、三角形、梯形、圆等的面积公式，加深学生的印象。如：
（1）推导平行四边形的面积公式：S=底×高。
结合图5，在平行四边形ABCD中作AD边上的高BE，将平行四边形分成△ABE和梯形BCDE，此时将△ABE移动使CD和BA重合，将平行四边形ABCD重组成长方形BCEE，所以平行四边形的面积S=底×高。
（2）推导三角形的面积公式：S=×底×高
结合图6，在原有△ABC上，再构建一个与△ABC全等的△DEF，移动两个三角形使AC和FD重合，组成平行四边形ABCE，所以S△ABC=×S平行四边形ABCE=×底×高。
（3）推导梯形的面积公式：S=×（上底+下底）×高
结合图7，在原有梯形ABCD上，再构建一个与梯形ABCD全等的梯形EFGH，移动两个梯形使CD和EH重合，组成平行四边形AEFG，所以S=×（上底+下底）×高。
（4）推导圆的面积公式：S=π×半径2
结合图9，将圆进行无限分割，当分割份数增多时，当每一份弧近似直线时，半圆周长则近似长方形的长，半径近似长方形的宽，即圆的面积越来越靠近长方形的面积，所以
S=π×半径×半径=π×半径2
例：（第九届小学“希望杯”全国邀请赛六年级第2试）图9中的阴影部分的面积是 平方厘米。（π取3）
解题思路：此题的阴影部分不是我们常见的规则面几何图形，但我们可以运用出入相补原理，通过分割、添补图形，将其变成我们熟知的平面几何图形，再通过求熟知的平面几何图形的面积，用加、减运算则可得此阴影部分的面积。
方法一：如下图，把阴影部分的面积转为
本题主要考察求复杂图形面积的能力，没有公式可以直接进行计算，因此需结合出入相补原理，先对图形进行割补，再求其面积。此小题给出了六种解决方法，有助于训练一题多解的能力，熟悉运用出入相补原理。
出入相补原理的特点在于简单、直观，运用其解代数、几何中的公式，使公式更加直观，学生理解更加深入。同时，运用其求复杂图形的面积，可从不同角度考虑添加辅助线，将复杂图形转化为熟知的图形进行求解，且有利于提高学生综合运用平面图形面积计算的知识。
【参考文献】
[1]姜鸥.小学数学奥赛一本全[M].山西教育出版社，2005.
[2]高仕松.运用“出入相补原理”求阴影部分的面积[J].教育实践与研究，2012，05：46.
[3]彭刚.出入相补原理及其应用[J].四川教育学院学报，2009，25（4）：108-112.
[4]冯艳青.“出入相补原理”的思想方法启示[J].常州师专学报，2001，19（4）：69-71.
（责编 黄珍平）
【关键词】出入相补原理 小学奥数 整数运算 平面几何的面积计算
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2014）04A-0016-03
出入相补原理是我国古代数学的基本原理之一，在早期的《九章算术》《周髀算经》和《算术书》等文献中，利用这一原理就获得了很多有关题目的算法，如勾股定理的推导、“方田”问题、开平方法等，它不仅在几何上应用广泛，且这一原理的直观性有助于我们对一些代数问题的理解。奥数对于小学生来说是一个特殊的科目，它涉及的知识领域宽泛，技巧性强。就现有的小学数学知识水平很难解决奥数题，但如果能将新知识转化为已学知识，将复杂问题简单化，那么就可以增强学生学习奥数的兴趣，增强解决问题的能力。此外，由于出入相补原理简单、直观、自然而高效，利用这一原理将有助于学生对奥数有关问题的解决。
所谓出入相补原理，即割补法，引用吴文教授在《出入相补原理》一文中的定义即是“一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。”
下面，我们从整数运算、平面几何的面积计算来阐述出入相补原理在小学奥数中的应用。
一、出入相补原理在小学奥数整数运算方面的应用
在近几年小学数学奥林匹克竞赛中，整数运算占了相当重要的地位。对整数运算除了要掌握基本的运算定律、运算性质外，有时要达到简算、巧算，我们还要掌握其他一些简算知识，如平方差公式、公差为1的等差数列求和公式等。由于这些知识点要在初中或高中课本中才会涉及到，要让小学生快速牢记此知识点，教师可通过出入相补原理向学生讲授这些知识的由来，如：
（1）平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。
此时a2-b2可转化为求图1阴影部分的面积：根据出入相补原理，我们可将图1转化为图2，且图2阴影部分面积为（a+b）（a-b）。由于图1和图2阴影部分面积是相等的，所以有：a2-b2=（a+b）（a-b）。
本题若先计算每个平方数，再进行加减，101个数将要算很久。此时如果掌握了平方差公式和等差数列求和公式，则可简便运算，可见在小学奥数中也须掌握这两个公式。
二、出入相补原理在小学奥数平面几何方面的应用
试题的命制是奥数的中心环节，而平面几何则可提供各种层次、难度的试题，所以平面几何在各个国家、层次的竞赛活动上都占据着重要的地位。在我国近几年的小学奥数竞赛中，平面几何常常以求图形面积出现在考生面前。因此，考生须掌握快速求图形面积的方法。那么在已知长方形面积等于长乘以宽的基础上，我们可根据出入相补原理推导出平行四边形、三角形、梯形、圆等的面积公式，加深学生的印象。如：
（1）推导平行四边形的面积公式：S=底×高。
结合图5，在平行四边形ABCD中作AD边上的高BE，将平行四边形分成△ABE和梯形BCDE，此时将△ABE移动使CD和BA重合，将平行四边形ABCD重组成长方形BCEE，所以平行四边形的面积S=底×高。
（2）推导三角形的面积公式：S=×底×高
结合图6，在原有△ABC上，再构建一个与△ABC全等的△DEF，移动两个三角形使AC和FD重合，组成平行四边形ABCE，所以S△ABC=×S平行四边形ABCE=×底×高。
（3）推导梯形的面积公式：S=×（上底+下底）×高
结合图7，在原有梯形ABCD上，再构建一个与梯形ABCD全等的梯形EFGH，移动两个梯形使CD和EH重合，组成平行四边形AEFG，所以S=×（上底+下底）×高。
（4）推导圆的面积公式：S=π×半径2
结合图9，将圆进行无限分割，当分割份数增多时，当每一份弧近似直线时，半圆周长则近似长方形的长，半径近似长方形的宽，即圆的面积越来越靠近长方形的面积，所以
S=π×半径×半径=π×半径2
例：（第九届小学“希望杯”全国邀请赛六年级第2试）图9中的阴影部分的面积是 平方厘米。（π取3）
解题思路：此题的阴影部分不是我们常见的规则面几何图形，但我们可以运用出入相补原理，通过分割、添补图形，将其变成我们熟知的平面几何图形，再通过求熟知的平面几何图形的面积，用加、减运算则可得此阴影部分的面积。
方法一：如下图，把阴影部分的面积转为
本题主要考察求复杂图形面积的能力，没有公式可以直接进行计算，因此需结合出入相补原理，先对图形进行割补，再求其面积。此小题给出了六种解决方法，有助于训练一题多解的能力，熟悉运用出入相补原理。
出入相补原理的特点在于简单、直观，运用其解代数、几何中的公式，使公式更加直观，学生理解更加深入。同时，运用其求复杂图形的面积，可从不同角度考虑添加辅助线，将复杂图形转化为熟知的图形进行求解，且有利于提高学生综合运用平面图形面积计算的知识。
【参考文献】
[1]姜鸥.小学数学奥赛一本全[M].山西教育出版社，2005.
[2]高仕松.运用“出入相补原理”求阴影部分的面积[J].教育实践与研究，2012，05：46.
[3]彭刚.出入相补原理及其应用[J].四川教育学院学报，2009，25（4）：108-112.
[4]冯艳青.“出入相补原理”的思想方法启示[J].常州师专学报，2001，19（4）：69-71.
看看这个类型的试题有什么规律，找到规律之后，在做这样的试题就可以迎刃而解了，祝你们成功!
有三个同样的立方体，每个立方体的六个面上分别写着“天”、“宇”、“学”、“校”、“优”、“秀”。根据下面三个图形，找出“宇”和“秀”的对面是什么。
答案：“宇”和“天”、“优”、“秀”、“学”相邻，只能和“校”相对;“秀”和“宇”、“优”、“学”相邻，且不能和“校”相对，则只能和“天”相对。所以“宇”的对面是“校”，“秀”的对面是“天”。
一、选好知识的切入点，以趣引入
学生刚刚接触奥数，必定有一种好奇感，也会有一种同比感。所谓的“同比感”就是指同普通课堂上的知识相比较。难，有可能也是闯入他们头脑里的第一印象。所以，作为一名教师要了解学生们的心里，要适当选取好知识的切入点，用以打消学生的这一“难”的预感。尽量做到让学生觉得有点难，但不是不可及，一旦发现了问题的实质解起题来很容易，很有意思，很有规律，与众不同。如果是这样，说明你的知识切入点选取的很好。兴趣会驱使学生们去探索，知识的闸门随之也就敞开了。
那么，什么样的知识点能够胜任这一角色呢?具体的内容应根据学生情况具体进行分析，采用综合评价选取的方法。如：找规律填数;特殊的简算题;九宫图的填写;简单的.等差数列问题;统筹问题……。我认为以上这“备”的过程尤为重要，决不可忽视，要把这一问题落实到每一节课，落实到每一个知识点上。
选取好了知识切入点就是万事大吉了吗?答案是否定的。如何驾驭这个知识点传授给学生才算是摆台上阵要结果。
二、驾驭好知识点，“一石激起千层浪”
驾驭好知识点也就是走上课堂开始授课了。前面讲的是构思也好，是备课也好，只不过是目标的确定。能否实现目标，收到的效果怎样?关键体现在这一环节。
假如我们选取的知识切入点是试题简算。首先，保证不能离基本简算知识太远，要做到步步深入，慢慢扩展，要让学生看到知识的联系性、纵横行、规律性、和感觉到思维的发散性。
三、知识的深浅和余有空间度的把握及关系
奥数知识真可谓是茫茫的数学海洋里的一叶小舟，要让学生荡漾在这海洋里，教师不仅是舟上的小小的船桨，还是不可推辞的导航者。俗话说得好，师傅领进门，修习在个人。也就是说余有空间应让学生自己去闯荡。 “人人学所需的数学”这又间接地告诉了我们知识的深浅度。可是如何把握两者的度呢?我认为最重要的一条是要看学生的实际情况而定。
2.(相遇问题)甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车距中点40千米处相遇。东西两地相距多少千米?
3.(追及问题)大客车和小轿车同地、同方向开出，大客车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，大客车出发2小时后小轿车才出发，几小时后小轿车追上大客车?
4.(过桥问题)列车通过一座长2700米的大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了3分钟。已知列车的速度是每分钟1000米，列车车身长多少米?
5.(错车问题)一列客车车长280米，一列货车车长200米，在平行的轨道上相向而行，从两个车头相遇到车尾相离经过20秒。如果两车同向而行，货车在前，客车在后，从客车头遇到货车尾再到客车尾离开货车头经过120秒。客车的速度和货车的速度分别是多少?
6.(行船问题)客轮和货轮从甲、乙两港同时相向开出，6小时后客轮与货轮相遇，但离两港中点还有6千米。已知客轮在静水中的速度是每小时30千米，货轮在静水中的速度是每小时24千米。求水流速度是多少?
7.(和倍问题)小李有邮票30枚，小刘有邮票15枚，小刘把邮票给小李多少枚后，小李的邮票枚数是小刘的8倍?
8.(差倍问题)同学们为希望工程捐款，六年级捐款数是二年级的3倍，如果从六年级捐款钱数中取出160元放入二年级，那么六年级的捐款钱数比二年级多40元，两个年级分别捐款多少元?
9.(和差问题)一只两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层还比下层多4本，上下层各放书多少本?
前言
小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。
概述
一、计算
1．四则混合运算繁分数
⑴
运算顺序
⑵
分数、小数混合运算技巧
一般而言：
①
加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；
②
乘除运算中，统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化
⑷繁分数的化简
2．简便计算
⑴凑整思想
⑵基准数思想
⑶裂项与拆分
⑷提取公因数
⑸商不变性质
⑹改变运算顺序
①
运算定律的综合运用
②
连减的性质
③
连除的性质
④
同级运算移项的性质
⑤
增减括号的性质
⑥
变式提取公因数
形如：
3．估算
求某式的整数部分：扩缩法
4．比较大小
①
通分
a.通分母
b.通分子
②
跟“中介”比
③
利用倒数性质
若，则c>b>a.。形如：，则。
5．定义新运算
6．特殊数列求和
运用相关公式：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n
二、数论
1．奇偶性问题
奇奇=偶
奇×奇=奇
奇偶=奇
奇×偶=偶
偶偶=偶
偶×偶=偶
2．位值原则
形如：=100a+10b+c
3．数的整除特征：
整除数
特
征
末尾是0、2、4、6、8
各数位上数字的和是3的倍数
末尾是0或5
各数位上数字的和是9的倍数
奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数
4和25
末两位数是4（或25）的倍数
8和125
末三位数是8（或125）的倍数7、11、13
末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数
4．整除性质
①
如果c|a、c|b，那么c|(ab)。
②
如果bc|a，那么b|a，c|a。
③
如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。
④
如果c|b,b|a,那么c|a.⑤
a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5．带余除法
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r＜b
a=b×q+r
6.唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n=
p1×
p2×...×pk
7.约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n=
p1×
p2×...×pk那么：
n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
n的所有约数和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk）
8.同余定理
①
同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(mod
m)
②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。
③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
9．完全平方数性质
①平方差：
A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。
②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。
④平方和。
10．孙子定理（中国剩余定理）
11．辗转相除法
12．数论解题的常用方法：
枚举、归纳、反证、构造、配对、估计
三、几何图形
1．平面图形
⑴多边形的内角和
N边形的内角和=(N-2)×180°
⑵等积变形（位移、割补）
①
三角形内等底等高的三角形
②
平行线内等底等高的三角形
③
公共部分的传递性
④
极值原理（变与不变）
⑶三角形面积与底的正比关系
S1︰S2
=a︰b；
S1︰S2=S4︰S3
或者S1×S3=S2×S4
⑷相似三角形性质（份数、比例）
①
;
S1︰S2=a2︰A2
②S1︰S3︰S2︰S4=
a2︰b2︰ab︰ab
;
S=（a+b）2
⑸燕尾定理
S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；
S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；
⑹差不变原理
知5-2=3，则圆点比方点多3。
⑺隐含条件的等价代换
例如弦图中长短边长的关系。
⑻组合图形的思考方法
①
化整为零
②
先补后去
③
正反结合2．
立体图形
⑴规则立体图形的表面积和体积公式
⑵不规则立体图形的表面积
整体观照法
⑶体积的等积变形
①水中浸放物体：V升水=V物
②测啤酒瓶容积：V=V空气+V水
⑷三视图与展开图
最短线路与展开图形状问题
⑸染色问题
几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
四、典型应用题
1．植树问题
①开放型与封闭型
②间隔与株数的关系
2．方阵问题
外层边长数-2=内层边长数
（外层边长数-1）×4=外周长数
外层边长数2-中空边长数2=实面积数
3．列车过桥问题
①车长+桥长=速度×时间
②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间
③车长甲+车长乙=速度差×追及时间
列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题
车长=速度和×相遇时间
车长=速度差×追及时间
4．年龄问题
差不变原理
5．鸡兔同笼
假设法的解题思想
6．牛吃草问题
原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间
7．平均数问题
8．盈亏问题
分析差量关系
9．和差问题
10．和倍问题
11．差倍问题
12．逆推问题
还原法，从结果入手
13．代换问题
列表消元法
等价条件代换
五、行程问题
1．相遇问题
路程和=速度和×相遇时间
2．追及问题
路程差=速度差×追及时间
3．流水行船
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
4．多次相遇
线型路程：
甲乙共行全程数=相遇次数×2-1
环型路程：
甲乙共行全程数=相遇次数
其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数
5．环形跑道
6．行程问题中正反比例关系的应用
路程一定，速度和时间成反比。
速度一定，路程和时间成正比。
时间一定，路程和速度成正比。
7．钟面上的追及问题。
①
时针和分针成直线；
②
时针和分针成直角。
8．结合分数、工程、和差问题的一些类型。
9．行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。
六、计数问题
1．加法原理：分类枚举
2．乘法原理：排列组合3．
容斥原理：
①
总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC
②
常用：总数量=A+B-AB
4．抽屉原理：
至多至少问题
5．握手问题
在图形计数中应用广泛
①
角、线段、三角形，②
长方形、梯形、平行四边形
③
正方形
七、分数问题
1．量率对应
2．以不变量为“1”
3．利润问题
4．浓度问题
倒三角原理
例：
5．工程问题
①
合作问题
②
水池进出水问题
6．按比例分配
八、方程解题
1．等量关系
①
相关联量的表示法
例：
甲
+
乙
=100
甲÷乙=3
x
100-x
3x
x
②解方程技巧
恒等变形
2．二元一次方程组的求解
代入法、消元法
3．不定方程的分析求解
以系数大者为试值角度
4．不等方程的分析求解
九、找规律
⑴周期性问题
①
年月日、星期几问题
②
余数的应用
⑵数列问题
①
等差数列
通项公式
an=a1+(n-1)d
求项数：
n=
求和：
S=
②
等比数列
求和：
S=
③
裴波那契数列
⑶策略问题
①
抢报30
②
放硬币
⑷最值问题
①
最短线路
a.一个字符阵组的分线读法
b.在格子路线上的最短走法数
②
最优化问题
a.统筹方法
b.烙饼问题
十、算式谜
1．填充型
2．替代型
3．填运算符号
4．横式变竖式
5．结合数论知识点
十一、数阵问题
1．相等和值问题
2．数列分组
⑴知行列数，求某数
⑵知某数，求行列数
3．幻方
⑴奇阶幻方问题：
杨辉法
罗伯法
⑵偶阶幻方问题：
双偶阶：对称交换法
单偶阶：同心方阵法十二、二进制
1．二进制计数法
①
二进制位值原则
②
二进制数与十进制数的互相转化
③
二进制的运算
2．其它进制（十六进制）
十三、一笔画
1．一笔画定理：
⑴一笔画图形中只能有0个或两个奇点；
⑵两个奇点进必须从一个奇点进，另一个奇点出；
2．哈密尔顿圈与哈密尔顿链
3．多笔画定理
笔画数=
十四、逻辑推理
1．等价条件的转换
2．列表法
3．对阵图
竞赛问题，涉及体育比赛常识
十五、火柴棒问题
1．移动火柴棒改变图形个数
2．移动火柴棒改变算式，使之成立
十六、智力问题
1．突破思维定势
2．某些特殊情境问题
十七、解题方法
（结合杂题的处理）
1．代换法
2．消元法
3．倒推法
4．假设法
5．反证法
6．极值法
7．设数法
8．整体法
9．画图法
10．列表法
11．排除法
12．染色法
13．构造法
14．配对法
15．列方程
⑴方程
⑵不定方程
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