线性代数习题册

线性代数习题册（精选9篇）

线性代数习题册 篇1

习

题

册

江苏师范大学科文学院

第一章矩阵

重点掌握：矩阵的运算；行列式的计算；元素的代数余子式和伴随矩阵的定义；可逆矩阵的性质和逆矩阵的求法；矩阵秩的求法等。

一、逆矩阵

对于记作，若有． 为可逆矩阵

；

满足，则称

为可逆矩阵，且

为的逆矩阵，运算律：（1）对于可逆为可逆矩阵．

可逆, 且，有

．

．，取（2）可逆，可逆，且．

对于（3）对于，取与，取都可逆，有

可逆，且，有

． ．

．

（4）对于可逆，取

可逆, 且，有

．

．

（5）（6）可逆与都可逆

．

．

二、矩阵的初等变换

初等变换 行变换 列变换 ① 对调 ② 数乘

, 记作

③ 倍加

经过初等变换得到初等矩阵：

．

（1）

（2）

（3）定理

设（1）对（2）对是

矩阵，则

进行一次行初等变换，相当于用一个阶的初等矩阵左乘；.进行一次列初等变换，相当于用一个阶的初等矩阵右乘求逆矩阵的初等变换法：

（都是初等矩阵）

由此可得：对（矩阵的位置）成为

施行“初等行变换”，当前列 时，则后

列（的位置）为

．

三、矩阵的秩

1、子式：在中, 选取行与

列, 位于交叉处的 个数按照原来的 的一个阶子式, 记作

个．

． 相对位置构成阶行列式, 称为 对于给定的, 不同的2、矩阵的秩：在中，若

；

阶子式总共有(1)有某个阶子式(2)所有的 称

阶子式

（如果有，或者

阶子式的话）． ．

阶梯矩阵.的秩为，记作定理 任意一个矩阵，均可以经过一系列行初等变换化为定理 初等变换不改变矩阵的秩.定理 阶矩阵可逆

.典型习题练习

＊1设是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与

等价的矩阵是（）

A． B．

C． D．

2．设3阶阵A．0 B．1 C．

2＊3如果A 4设阶方阵D．3，则的秩为（）

可逆，则下列结论正确的是（）

； C

； D 的行向量线性相关。； B 是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与等价的矩阵是____________。＊5设为三阶方阵，且，则____________。

＊6设为三阶方阵，的行列式

____________。，则

___________。＊7．已知三阶方阵8．设矩设矩阵，矩阵，则矩阵的秩=____________。

9．设矩阵＊10设n阶可逆矩阵，矩阵

满足，则矩阵，则的秩=____________。

=____________。

11．3阶矩阵，则的秩为____________。

12矩阵，则行列式=____________。

13＊14已知三阶方阵

。的行列式，则。

15已知矩阵，则=____________。

＊16设矩阵，则的特征值为____________。

17计算行列式

＊18计算行列式

＊19计算行列式。

20计算行列式

＊21设

，求。

＊22设，求。

＊23设，求。

＊24设，求。

＊25设

26已知

＊27证明：如果矩阵

阶矩阵满足，求 ,求证：可逆，并求的逆。

是可逆对称矩阵，则也是对称矩阵。

第二章线性方程组

重点掌握：向量组间的线性关系：线性相关和线性无关；向量组极大无关组和秩的求法，线性方程组基础解系的求法等。

一、线性方程组

一、克拉姆（Cramer）法则

定理（克拉姆法则）如果含有个方程的元线性方程组

（1）的系数行列式

则方程组（1）有唯一解，并且

其中是将系数行列式的第列元

元线性方程组

换成常数项

后得到的行列式.定理 如果如果含有个方程的的系数行列式，则方程组（2）仅有零解.二、解线性方程组的消元法

定理（1）（2）若, 有解有解时，若

；，则有唯一解；

个自由未知量．，则有无穷多组解，此时，一般解中有定理(1)

仅有零解

；

(2)

由于对推论 如果矩阵

有非零解[即有无穷多个解]有，由此得到

．

元齐次线性方程组

必有非零解.中，方程的个数少于未知量的个数，即，则方程组特别地，对于含有个方程的元齐次线性方程组

由定理2.2和定理2.4可以得到

定理 齐次线性方程组

有非零解

．

三、向量及其线性运算

1．向量的线性组合 设维向量，及（为正整数），若有数组，称为的线性组合，或称

可由向量组

线性表示．

使得

2．线性相关与线性无关 对维向量组，若有数组

则称向量组

线性相关，否则称为线性无关．，仅当数组

称向量组向量组线性无关，否则称为线性相关． 线性相关

元齐次线性方程组

全为0时，才有

不全为0，使得

线性无关：对维向量组

（1）

有非零解.向量组特别地，当向量组

线性无关

元齐次线性方程组（1）仅有零解.时，由定理2.5可推出： 线性相关

方程组（1）的系数行列式

向量组

线性无关

方程组（1）的系数行列式

四、向量组的秩

极大线性无关组：设向量组为（1）在（2）在都可以表为则称的秩，记作：秩中有个向量中有，若

线性无关；

个向量的话）．[即

中每一个向量

个向量线性相关（如果有的线性组合] 为向量组的一个极大线性无关组，简称为极大无关组，称为向量组

．[即极大无关组所含的向量个数] 向量组的秩与矩阵的秩的关系 设

(1)(2)当（1）（2）时，有

线性相关线性无关线性相关线性无关

； ．

； ．

五、线性方程组解的结构

1、齐次线性方程组 不妨设的基础解系 的一般解为

()

依次令

可求得 因为（1）（2）所以，„，线性无关，是解空间的一个基，称为齐次方程组

解的结构 的一个基础解系．

2、非齐次线性方程组设 的一个基础解系为 的特解为，一般解为，则有

()

六、若标准正交基

为向量空间，的一个基，（1）正交化：取，，为正交向量组（两两正交），且与向量组（2）单位化，取

等价．

则向量组为的一个标准正交基．

典型习题练习

＊1．设向量组

线性相关，则向量组中（）

A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合 ＊2．下列结论不正确的是（）A 如果B 如果，„，„，则，„，线性相关；

线性相关，则其中某个向量是其它向量的线性组合；

C 向量组的任何一个向量可由它的极大无关组线性表示；

D 如果一个向量组线性无关，则它的任何一个部分向量组也线性无关。

＊3．设向量组

线性无关，则向量组（）A．均不为零向量 B．任意两个向量不成比例

C．任意s-1个向量线性无关 D．任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 ＊4.设向量，则下列向量是单位向量的是（）

A． B．

C．

D．

5．设为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组：的解为_________________.＊6．设是一个4维向量组，若已知

可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向量组的秩为____________。

5．如果＊7．若有非零解，则=____________。

元齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则它的基础解系含解向量的个数为____________。

8.已知向量组

＊9．已知向量组，的秩为2，则数____________.，,（1）求向量组的秩；（2）求向量组的一个极大无关组。

＊10已知向量组，,（1）求向量组的秩；（2）求向量组的一个极大无关组。

＊11试确定

的值，使齐次方程组有非零解，并求方程组的解。

＊12已知向量组 ,判断，是否可以表示为其余向量的线性组合。若可以，求其表示式。

＊13已知向量组 ,14．证明：包含零向量的向量组一定线性相关。，判别向量组是否线性相关。如果现行相关，将其中一个向量表为其余向量的线性组合。

第四章 矩阵的特征值和特征向量

重点掌握：矩阵的特征值和特征向量的计算；矩阵的特征值和特征向量的性质；相似矩阵矩阵对角化问题等。

一、特征值与特征向量

对阶矩阵称为，若有数

和

维列向量

满足，则称数

为的特征值，非零向量的属于特征值的特征向量．

说明：

1、特征向量

2、阶方阵值，即满足方程，特征值问题是对方阵而言的． 的特征值，就是使齐次线性方程组的都是矩阵的特征值．

有非零解的

3、称以记

4、设（1）（2）特征方程：

有非零解

．

或者

为未知数的一元次方程，它是阶方阵的为的特征方程． 的特征多项式．

次多项式，称其为方阵的特征值为，则有

；

特征矩阵：

或者 特征多项式：特征值和特征向量的性质

定理 设是阶矩阵，则

与

有相同的特征值．

定理 阶矩阵定理

设可逆的充分必要条件是它的任一特征值不等于零． 的互异特征值为

线性无关．，与之对应的特征向量依次为，则向量组注意：

1、属于不同特征值的特征向量是线性无关的．

2、属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．

3、矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．

定理

设无关的特征向量为的互异特征值为，重数依次为，则向量组

线性无关．

定理

设（1）（2）

． 0是的特征值． , 则 ；

． 的特征值

；，则，对应的线性推论

一元多项式：矩阵多项式：定理 设(1)(2)[注] 一般结论：若 为的全体特征值为

． ,则的全体特征值

二、相似矩阵及其性质

对于或称是阶方阵和，若有可逆矩阵

．，使得，则称矩阵

与

相似，的相似矩阵，记作相似矩阵的性质 性质1

与

[

与

有相同的特征多项式]； 的特征值相同．

推论 若阶方阵与对角形矩阵

相似，则性质2 即是的个特征值．

（．

为正整数）．

性质3

[相似矩阵一定等价，显然有相等的秩；反之不然] 性质4 单位矩阵的相似矩阵就是其本身．

性质5 性质6 性质7 若，且

与

可逆

．

即相似矩阵或都可逆或都不可逆．当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似．

相似对角化

若方阵对能够与一个对角矩阵相似，称，若可找到可逆矩阵，使

可对角化．

为对角矩阵，这就称为把方阵阶方阵对角化． 定理 阶方阵推论 如果似．[其中[注] 可对角化的有个线性无关的特征向量．

]互不相等，则

．] 的特征值． 可对角化．，重数依次为，有个线性无关的特征向量． 的每一个

重特征值，则

可对

与对角阵

相阶矩阵个特征值[的主对角线的元依次为的主对角元素为有个互异特征值的全体互异特征值为推论1 推论2 设角化的充要条件是，对应于每个特征值定理 阶矩阵特征矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是对于

． 的秩为定理 也可以叙述为：阶矩阵重特征值，齐次线性方程组

与对角矩阵相似的充分必要条件是对于的基础解系中恰含有的每一个

个向量．

三、实对称矩阵的特征值和特征向量

1．实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 定理

实对称矩阵的特征值都是实数．[即

] 定理 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交．

2、正交矩阵 实矩阵（1）（2）满足是正交矩阵是正交矩阵

时，称为正交矩阵．

． ．

（3）即

是正交矩阵，的列向量组是两两正交的单位向量．

（4）是正交矩阵，即的行向量组是两两正交的单位向量． 定理 [设为阶实对称矩阵]是以的存在正交矩阵，使得

[即]．其中即，设为

个特征值为对角元素的对角矩阵．，使得

成为对角矩阵． 一定有个线性无关的阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，若

是推论 设特征向量． 的重特征值, 则对应于特征值

3、实对称矩阵对角化方法——利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为： ① 求② 由的特征值；，求出的特征向量；

③ 将特征向量正交化；

④ 将特征向量单位化．

典型习题练习

1.已知矩阵A．C．2．设 B． D．与对角矩阵，则

相似，则（）

为3阶矩阵，且必有一个特征值为（）

A． B．

C． D． ＊3．设矩阵A．1 C．3 B．2 D．4，则的线性无关的特征向量的个数是（）

＊4.设3阶实对称矩阵的特征值为，则 __________。

5．已知为矩阵的重特征值，则的另一特征值为____________。

＊6．已知三阶方阵7．已知3阶矩阵的特征值为的特征值为，则且矩阵

与

________。相似，则

_________.＊8求矩阵的全部特征值及对应的全部特征向量。

＊9．求矩阵的全部特征值及对应的全部特征向量。

＊10设矩阵

＊11设矩阵，求可逆矩阵，使为对角矩阵。，求可逆矩阵，使为对角矩阵。

＊12矩阵

13证明：如果矩阵

与，求可逆矩阵，使为对角矩阵。

相似，则 与相似 14：证明：如果矩阵

与相似，则 =。

第四章 二次型

重点掌握：二次型及其矩阵；矩阵的合同的性质；二次型标准型与规范型的求法；二次型正，负惯性指数和秩的计算等。一、二次型的矩阵表示

含有个变量

称为元二次型，简称为二次型．

：称：称只含有平方项的二次型

称为二次型的标准形（或法式）．

1．矩阵表示：令，则，于是

为实二次型（本章只讨论实二次型）为复二次型 的二次齐次多项式

其中，．即，（2）

其中为对称矩阵，因为（）．

2、标准形：

对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形． 二次型的标准形的矩阵为

3、合同矩阵： 对于同于．记为定理 ∽∽为对称矩阵，若有可逆矩阵．

． 为可逆矩阵，若，即

与

合同，则

亦为

使得, 则称矩阵

与

合同，或

合定理 设对称矩阵．

二、化二次型为标准形

1．正交变换法 说明：

1、二次型经可逆变换

2、要使二次型经可逆变换

后，其秩不变，但的矩阵由

变为

；

变成标准形，就是要使

也就是要使称为对角矩阵．，总有正交矩阵，使

由于对任意的实对称矩阵此结论应用于二次型，有，即．把定理

任给二次型准形

（），总有正交变换，使化为标

其中是的矩阵的特征值．

用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：、将二次型表成矩阵形式、求出 的所有特征值，求出；

；，记

；、求出对应于特征值的特征向量、将特征向量；

正交化，单位化，得、作正交变换

2、配方法，则得的标准形．

用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变． 问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？

问题的回答是肯定的．下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法． 拉格朗日配方法的步骤：、若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形；、若二次型中不含有平方项，但是，则先作可逆线性变换

（且化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方．

定理 对于实二次型

定理 对于实对称矩阵, 存在可逆矩阵, 使得 , 存在可逆变换）, 使得

3、初等变换法

求可逆矩阵 可逆, 使得

：（是初等矩阵）

典型习题练习

1设2元二次型

正定，则矩阵

可取为（）

A． B．

C．2 二次型A．1 B．2 C．3 D．4 D． 的秩为（）若3阶实对称矩阵 是正定矩阵，则的正惯性指数为__________。＊4实二次型的正惯性指数=__________。

＊5矩阵

线性代数教学方法探讨 篇2

关键词：线性代数；教学方法；数学建模；课件

线性代数是大学数学的一门重要基础课，主要讲授矩阵理论、与矩阵相结合的有限维向量空间及线性变换理论。线性代数中的概念直接由数学符号定义，很少由引例来导入，所以相对于微积分来说，线性代数显得更加抽象难懂。对于学生来说，一拿到教材，首先看到的是线性代数教材中的实例少，大多是一些概念、性质、定理、推论以及计算，第一直觉就是线性代数非常抽象而且不太实用，从而导致学生缺乏主动学习的积极性。经过一段时间的学习后，学生们又会发现线性代数的知识点很多而且前后纵横交错，学习起来难度很大，从而导致学生畏惧心理，很被动的跟着老师学习，这样就会使得线性代数的教学任务很难高质量地完成。那么，针对学生对线性代数的心理特点以及线性代数的课程特点，教师该选择什么样的教学方法和教学手段呢?笔者根据自己多年的教学实践，总结出点自己的教学经验，与同行探讨。

一、要学生从主观上充分认识到线性代数课程的重要性

日常生活中，我们都有这样的感觉：当我们认为某件事很重要且需要认真对待时，完成的效果会很好；相反，如果某件事没有引起我们足够的重视，应付完成时，结果可想而知。所以，让学生从思想上重视线性代数是E好该门课的前提。每年线代代数课程的第一节课，笔者都会拿出一半的时间来告诉学生们线性代数课程的重要性：

1线性代数课程抽象、严谨、逻辑性强，学习该课程可以很好锻炼我们的思维能力。

2全国大学生数学建模竞赛活动的深入开展，为学好线性代数这门基础课的学生提供了很好的机会。

3工程技术和经济管理的许多定量分析问题，如振动问题和稳定问题、动态经济模型，常可归结为线性代数中的一个方阵的特征值和特征向量的问题。

根据这几点，学生自然地感觉到线性代数这门课是学有所用的，会比较自觉地学习这门课程，这样就建立了一个良性循环，从而大家可以轻松地高质量地完成教学任务。

二、在线性代数教学中引入应用实例，增强学科的趣味性

线性代数的内容大多是抽象的理论，繁琐的计算往往难以让人体会到线性代数的现实意义，也很难激发学生的学习兴趣，考虑到这种因素，在教学的过程中尽可能地研究一些典型的应用实例。比如行列式和矩阵概念的引入：

1比如在讲行列式的概念时，我们可以从计算平行四边形的面积和平行六面体的体积引入，指出n阶行列式是将其本质抽象出来而作的一个推广。

2比如在矩阵概念的概念时，我们可以从简单的经济问题入手，让学生了解知识的应用背景，表明学习矩阵是为生产实践服务的，从而提高学生学习的积极性。

三、多媒体课件的精心设计

线性代数内容多、学时少，为提高课堂教学效益，在讲课中必须注意黑板与多媒体教学的有机结合。因此，我们要制作适合自己教学风格的、有利于学生有效学习的多媒体课件，在制作和应用课件上课的时候，我们要注意以下几个方面的关系：

1主角与配角。多媒体课堂教学过程主要包含四个要素：教师、学生、教材和媒体。

正确把握四者之间的关系，有助于更好地进行课堂教学。首先，应该明确的是，学生是课堂上的主体，一切服务都是为了学生能够更好地掌握所学知识，这个主体地位是不能改变的。多媒体教学课件能够提供的信息量大，教师在上课的时候要合理安排好时间，比如：内容在屏幕上停留的时间、与学生互动的时间、需要教师板书的时间、收集学生反馈的时间等等。

2留住与逝去。大多数学生反映，听多媒体数学课很疲劳，跟不上记笔记，大脑也来不及思考，对概念的理解是含含糊糊，似懂非懂，下课后脑袋就一片空白，感觉什么都没记住。还有就是一些例题的讲解时，千万不要在屏幕上显示出完整的求解过程，这样势必中断他们的思路，其思维的连续性和独立性必然被破坏，降低学生的思维水平。所以，制作课件时，要从教学策略、教学内容以及学生的有效接受能力三方面进行充分考虑。对于重要的例题和较复杂的理论证明，必须选择一到两个典型的例子在黑板上进行完整的求解和推导，使学生跟上老师的思路，而对于线性代数一些简单的概念、性质以及例题等，则可以通过多媒体给学生演示。

3原创与拿来。多媒体教学时，部分老师把从网上下载的或通过其他渠道得来的课件直接应用于教学，用后会发现大多数课件不适合自己的讲课风格，授课效果大打折扣。教师在授课时不要直接套用别人的课件，要根据自己授课的风格和设计情况制作课件。在设计时，一定要把学生放在主体位置上，着重于学生能力的培养，体现学生的思维方式，而不是老师的思维方式。

通过多年的教学实践，充分证明自己精心设计的课件达到了能用、好用、实用的预期目标，确实为自己与所教学生提供了一个能充分整合现代教学技术与教学资源的平台。在这个平台上，教师不仅可以充分发挥自身特长，同时也大大减轻了教师的身心劳累程度，而且确实取得相当不错的教学效果。

四、给学生思考和练习的时间。让学生轻松和快乐学习

1线性代数内容多，课时少，满堂灌有时是不可避免的，很明显这种教学效果不好，会让学生有一种完全被动的全盘接受的感觉，学习的兴趣和积极性会受到很大的冲击。其实，在教学过程中，教师的作用更重要的是去引导学生思考，让他们根据自己的知识水平构建一个知识框架，然后用他们自己的方式来理解知识和记忆知识。对学生来讲，这样学习的效果远远比一味接受老师的灌输来的好。可能有些老师认为时间不允许，其实重复性的知识可以给让学生自己做，或者课后做。所以在一个知識点讲完后，可以给学生设计思考点，让学生有点时间来思考问题，等到对方百思不得其解的时候给他们呈现出答案，这比直接给他们答案要有意义的多。

2线性代数课尤其注意学生的计算能力，只“看”屏幕是不行的，教师在讲解完一个例题的求解过程后，可以安排出一定的时间叫一个学生到讲台上解题，其余的学生在下面解题，有时甚至可以搞课堂练习突击，让学生求解完题后上交练习，这样可以保证学生都能积极参与到课堂上来。

以上是笔者在近几年的教学中总结出来的一些经验心得，写出来与大家探讨，以求找到更好的教学方法为学生服务，使学生真正掌握线性代数这门课。

线性代数习题册 篇3

1．（1）×；

（2）×；

（3）×；

（4）×。

线性代数习题册 篇4

1、求下列行列式中元素a12，a31，a33的余子式及代数余子式：

210311001751（ⅱ）（ⅰ）4

111解：M42121A2424212(1)11111

M103112

A1)31101031(1212

M213341

A(1)3321213341412、用定义计算行列式：

123（ⅰ）31

2231123解：31212232331 231312123522118

23310012115 解：M12231

01211 A12231

012107

M31015 012107

A31015 012317

M33105 002317

A33105 002112（ⅱ）031 224112解：031 2231010242422320

1210210300130011212212110002100211210021110000 1（ⅲ）1100

11解：11001201301012012(21)2132(1)32610 10***30***405132（ⅳ）40510012

10解：405100120120022001108246

3、用定义计算下列行列式，再按第二列或第三列展开，比较所得到的值是否相同

12321312503211403（ⅰ）01

2（ⅱ）11

1（ⅲ）

011100101223(1)10 解：（ⅰ）0121112111211

（ⅱ）11111001213123411

12540（ⅲ）***1411(31113420132011)

(34462)14

4、用定义计算下列行列式

132281（ⅰ）396

（ⅱ）057 1175001aa2a31aa2（ⅲ）bb2b3

（ⅳ）1bb2

cc2c31cc2132解：（ⅰ）3969633211328787001175757596281

（ⅱ）05725710 00101aa2a33

（ⅲ）bb2b3ab2ba32a3c2c3c2c3ba2c2c3cab2b3

c

a(b2c3c2b3)b(a2c3a3c2)c(a2b3a3b2)

abc(ab)(bc)(ca)

1aa22

（ⅳ）1bb2bba2aa2cc2acc2bb2

1cc2

(bc2b2c)(ac2a2c)(ab2a2b)

六年级数学代数综合练习题 篇5

1.正整数x，下面哪个选项不和3x相等

我选的是E：7-x

2.X~3 y = 10 ~6 , 问X 与 10~2比大小

解：x=10~2/y~1/3y1则y~1/31 所以还是10~2大选B

3.数列：a1=3, a2=6, a= a/a， 问：a=?

解：3, 6, 2, 1/3, 1/6, 1/2, 3, 6,

另一版本：

前人几经有误,我的是：a1=2, a2=6, an=a/a, 求a150

2, 6, 3, 1/2, 1/6, 1/3 , 2, 6, 3, 所以我的答案是1/3

4. 125w+25x+5y+z=264,x,y,z,w,are nonnegative integrate,and no more than 5,what is w+x+y+z?

解：用短除法把256写成五进制就是2024，则得到x+y+z+w=2+0+2+4=8

5.a x平方+BX+k=0，给出一个X的.值，问另一个。

简单，解出K后，再解出X2

6.a,b,c,-5,-10的平均数和a,b,c,5,10的平均数之差是多少?

解：在考场遇到时看清楚谁在前。 答案是-6 ，也许是6。

7. F=2的2X-1方， 求FF

解：2的10次方

8.-7=5-5=3问x^2-y^2的最大值?

解：当X= -7 ，Y= 0 时最大， 49。

9.有个公式很重要。求M到N之间是Q的倍数的数有多少个?

线性代数“问题解决”教学研究 篇6

关键词：线性代数；数学素养；教学改革；问题解决

一、线性代数教学面临的挑战

随着科学技术的飞速发展，计算机软件在各个学科普及，数学学科的基础学科地位在得到了加强的同时必须面临来自工程领域更多的挑战。自然科学特别是工程领域需要更多的数学理论支持，对从事工程领域研究的工程科技人员来说，数学既是重要工具又是基本素养，而数学知识和素养的获得主要来源于大学学习阶段。因此，大学数学教学特别是基础数学课程教学对学生的后继课程学习和毕业后工作和研究有着重要的影响。

线性代数是高等学校理工科和经济学科等相关专业的一门重要基础课，广泛应用于数学的许多分支以及众多科学技术之中。线性代数课程教学面临的问题主要有：部分教材内容有待更新，现有教材不能反映科学技术的发展和工程技术的要求；部分教师自身知识面相对较窄，缺乏对实际应用问题的把握，课堂教学偏重理论而轻视应用背景；课程内容抽象，定理、概念繁多，学生难以对课程形成整体认识；课堂教学手段较单一，与现代化的手段结合得不好。在目前课时紧张、高等教育大众化、高校学生价值取向多元化的前提下，逐步解决上述问题，并进行数学教学改革，有效培养学生数学素质，激发学习兴趣，提高学生对数学理论的应用能力是一个值得深入探讨的课题。

近年来，很多专家学者特别是教学一线教师对线性代数教学改革进行了较为深入而充分的研究，主要分为两类：其一是对传统教学模式进行改进，这些研究占了绝大多数，总体上还是传统教学模式的大框架；也有一些是以现代数学教学方法为基础，提出了研究性教学方法的观点。相对而言，研究性教学对培养大学生的研究能力和创新能力更为有效，适应时代发展和教育改革的需要，必然越來越受到重视，其中几种典型的研究性教学方法，如案例教学、基于问题解决、基于问题学习的教学方法在教学实践中得以发展。本文在探讨问题解决教学观的基础上，提出了以问题解决为核心的线性代数教学模式，并对相应问题解决课堂教学模式进行理论研究。

二、“问题解决”数学教学观

问题解决的教学观点首先在第六届国际数学教育会议（ICME-6，1980）“问题解决、应用和模型化”专题组的课题报告中提出，是一种旨在培养学生利用数学知识和数学方法创造性地解决实际或理论问题的能力的教学方法。教学中将学习内容设计成让学习者通过解决问题来获得相应的问题图式（problem schema）和观念性理解（conceptual understanding）。问题是这种教学方法的动机与牵引力。它不同于课堂上的问题解答，也不是以设问来组织课堂教学，或那种教师带领学生分析、寻找解决问题的办法。它首先需要在“课题”开题和方案论证中，刺激学生提出高质量的常规性问题和非常规性的问题。问题解决活动有可能使学习者激活自己的原有经验，通过积极地分析生成新的理解、新的假设。这一教学过程的结果既可能是对原有知识经验的丰富、充实，又可能是对原有知识经验的调整、重构。其目的是培养学生的数学意识，让他们学会用数学的理论、思想方法分析解决实际问题。

当前关于问题解决教学在大学数学教学中的理论研究和实践已经有一些成果，而专门对线性代数教学研究则几乎没有。笔者认为，线性代数内容相对较少，教学体系比较紧凑，与其他学科和生活实际联系广泛，有利于进行问题解决教学理论和实践研究。

三、线性代数“问题解决”教学

线性代数的线性方程组问题大都是来源于生活实践，另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。线性代数在工程领域以及经济学领域都有很多应用，包括经典线性系统理论，投入-产出分析模型，交通运输问题，指派问题等。这些理论与实际问题经过适当的处理，能够参与课堂教学过程中。

“问题解决”教学的另外一个关键是：问题解决的过程必须实现教学内容要求、师生素质、教学条件实现的有机结合。问题解决立足于教学大纲，对教师、学生都提出了更高的要求，同时需要学校的教学设备例如机房等硬件设施具备，是系统的。所以，实际中如何操作是更为关键的问题。本文以行列式内容教学进行了初步尝试，以期达到抛砖引玉的目的。

在行列式教学教师提出下列问题：运筹学中的线性规划问题；由二阶行列式类比定义三阶行列式；计算方法中的插值问题，克莱姆法则的证明。两个变量的线性规划解决方法可以通过图解法，这个来源于实际问题的讨论展开可以引出一般的方程组解的问题，及含有两个变量的方程组有解的充要条件，这里紧密衔接高中内容和实际生活，有利于教学的展开。二阶到三阶行列式的类比定义，可以通过计算过程实现，那么对一般行列式的定义就不难引出。最后是行列式的计算，通过定义的方式是不现实的，那么学生必然去探索新的方法。我们引入计算方法中的插值问题，自然会让学生有更大的兴趣去探求；课堂上实现克莱姆法则的证明，则更进一步对行列式的计算方法更多的关注，从而实现教学的最大目标：创新、应用能力的培养。

四、后继工作

同其他研究性教学方法一样，“问题解决”教学方法理论和实践存在很多难点，主要包括问题难于设计，知识系统学习难以保证，教学过程难于掌握等。而科学合理和有效地以问题解决为核心的教学模式构建也需要继续探索，教学实践也有待展开，需要我们做更多的研究和工作。

本文对“问题解决”教学方法进行了探讨，提出了线性代数问题解决教学观点，并从理论上分析了线性代数问题解决课堂教学模式。

参考文献：

[1]张素亮，刘明成.数学教育中的问题解决[J].曲阜师范大学学报，2002，（1）.

[2]李超，邓四清.让问题解决教学进入大学数学课堂.湘南学院学报，2006，（4）.

[3]王子兴.数学方法论[M].武汉：中南大学出版社，2002：19-28.

[4]高希尧.世界数学史略[M].西安：陕西科技出版社，1992：205-233.

线性代数习题册 篇7

练习题

3.1为研究中国各地区入境旅游状况，建立了各省市旅游外汇收入（Y，百万美元）、旅行社职工人数（X1，人）、国际旅游人数（X2，万人次）的模型，用某年31个省市的截面数据估计结果如下：

t=(-3.066806)

(6.652983)

(3.378064)

R2=0.934331

F=191.1894

n=31

（1）

从经济意义上考察估计模型的合理性。

（2）

在5%显著性水平上，分别检验参数的显著性。

（3）

在5%显著性水平上，检验模型的整体显著性。

3.2根据下列数据试估计偏回归系数、标准误差，以及可决系数与修正的可决系数：，，，，，3.3

经研究发现，家庭书刊消费受家庭收入几户主受教育年数的影响，表中为对某地区部分家庭抽样调查得到样本数据：

家庭书刊年消费支出（元）Y

家庭月平均收入

（元）X

户主受教育年数

（年）T

家庭书刊年消费支出（元）Y

家庭月平均收入

（元）X

户主受教育年数

（年）T

450

1027.2

793.2

1998.6

507.7

1045.2

660.8

2196

613.9

1225.8

792.7

2105.4

563.4

1312.2

580.8

2147.4

501.5

1316.4

612.7

2154

781.5

1442.4

890.8

2231.4

541.8

1641

1121

2611.8

611.1

1768.8

1094.2

3143.4

1222.1

1981.2

1253

3624.6

(1)

建立家庭书刊消费的计量经济模型；

（2）利用样本数据估计模型的参数；

（3）检验户主受教育年数对家庭书刊消费是否有显著影响；

（4）分析所估计模型的经济意义和作用

3.4

考虑以下“期望扩充菲利普斯曲线（Expectations-augmented

Phillips

curve）”模型：

其中：=实际通货膨胀率（%）；=失业率（%）；=预期的通货膨胀率（%）

下表为某国的有关数据，表1.1970-1982年某国实际通货膨胀率Y(%)，失业率X2(%)和预期通货膨胀率X3(%)

年份

实际通货膨胀率Y

(%)

失业率X2

(%)

预期的通货膨胀率X3（%）

1970

1971

1972

1973

1974

1975

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

5.92

4.30

3.30

6.23

10.97

9.14

5.77

6.45

7.60

11.47

13.46

10.24

5.99

4.90

5.90

5.60

4.90

5.60

8.50

7.70

7.10

6.10

5.80

7.10

7.60

9.70

4.78

3.84

3.31

3.44

6.84

9.47

6.51

5.92

6.08

8.09

10.01

10.81

8.00

（1）对此模型作估计,并作出经济学和计量经济学的说明。

（2）根据此模型所估计结果，作计量经济学的检验。

（3）计算修正的可决系数（写出详细计算过程）。

3.5某地区城镇居民人均全年耐用消费品支出、人均年可支配收入及耐用消费品价格指数的统计资料如表所示：

年份

人均耐用消费品支出

Y（元）

人均年可支配收入

X1（元）

耐用消费品价格指数

X2（1990年=100）

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

137.16

124.56

107.91

102.96

125.24

162.45

217.43

253.42

251.07

285.85

327.26

1181.4

1375.7

1501.2

1700.6

2026.6

2577.4

3496.2

4283.0

4838.9

5160.3

5425.1

115.96

133.35

128.21

124.85

122.49

129.86

139.52

140.44

139.12

133.35

126.39

利用表中数据，建立该地区城镇居民人均全年耐用消费品支出关于人均年可支配收入和耐用消费品价格指数的回归模型，进行回归分析，并检验人均年可支配收入及耐用消费品价格指数对城镇居民人均全年耐用消费品支出是否有显著影响。

3.6下表给出的是1960—1982年间7个OECD国家的能源需求指数（Y）、实际GDP指数（X1）、能源价格指数（X2）的数据，所有指数均以1970年为基准（1970=100）

年份

能源需求指数Y

实际GDP指数X1

能源价格指数X2

年份

能源需求指数Y

实际GDP指数X1

能源价格指数X2

1960

1961

1962

1963

1964

1965

1966

1967

1968

1969

1970

1971

54.1

55.4

58.5

61.7

63.6

66.8

70.3

73.5

78.3

83.3

88.9

91.8

54.1

56.4

59.4

62.1

65.9

69.5

73.2

75.7

79.9

83.8

86.2

89.8

111.9

112.4

111.1

110.2

109.0

108.3

105.3

105.4

104.3

101.7

97.7

100.3

1972

1973

1974

1975

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

97.2

100.0

97.3

93.5

99.1

100.9

103.9

106.9

101.2

98.1

95.6

94.3

100.0

101.4

100.5

105.3

109.9

114.4

118.3

119.6

121.1

120.6

98.6

100.0

120.1

131.0

129.6

137.7

133.7

144.5

179.0

189.4

190.9

(1)建立能源需求与收入和价格之间的对数需求函数，解释各回归系数的意义，用P值检验所估计回归系数是否显著。

(2)

再建立能源需求与收入和价格之间的线性回归模型，解释各回归系数的意义，用P值检验所估计回归系数是否显著。

(3)比较所建立的两个模型，如果两个模型结论不同，你将选择哪个模型，为什么？

练习题参考解答

练习题3.1参考解答

有模型估计结果可看出：旅行社职工人数和国际旅游人数均与旅游外汇收入正相关。平均说来，旅行社职工人数增加1人，旅游外汇收入将增加0.1179百万美元；国际旅游人数增加1万人次，旅游外汇收入增加1.5452百万美元。

取，查表得

因为3个参数t统计量的绝对值均大于，说明经t检验3个参数均显著不为0，即旅行社职工人数和国际旅游人数分别对旅游外汇收入都有显著影响。

取，查表得，由于，说明旅行社职工人数和国际旅游人数联合起来对旅游外汇收入有显著影响，线性回归方程显著成立。

练习题3.3参考解答

（1）建立家庭书刊消费的计量经济模型：

其中：Y为家庭书刊年消费支出、X为家庭月平均收入、T为户主受教育年数

（2）估计模型参数，结果为

即

（49.46026）（0.02936）

（5.20217）

t=

(-1.011244)

(2.944186)

(10.06702)

R2=0.951235

F=146.2974

(3)

检验户主受教育年数对家庭书刊消费是否有显著影响:

由估计检验结果,户主受教育年数参数对应的t

统计量为10.06702,明显大于t的临界值，同时户主受教育年数参数所对应的P值为0.0000，明显小于，均可判断户主受教育年数对家庭书刊消费支出确实有显著影响。

（4）本模型说明家庭月平均收入和户主受教育年数对家庭书刊消费支出有显著影响，家庭月平均收入增加1元，家庭书刊年消费支出将增加0.086元，户主受教育年数增加1年，家庭书刊年消费支出将增加52.37元。

练习题3.5参考解答

(1)

建立该地区城镇居民人均全年耐用消费品支出关于人均年可支配收入和耐用消费品价格指数的回归模型：

（2）估计参数结果

由估计和检验结果可看出，该地区人均年可支配收入的参数的t检验值为10.54786，其绝对值大于临界值；而且对应的P值为0.0000，也明显小于。说明人均年可支配收入对该地区城镇居民人均全年耐用消费品支出确实有显著影响。

线性代数课件 篇8

一、简介

线性代数是代数学的一个分支，今天数学界一致认它作为一门独立学科诞生于上世纪30年代，因为吸纳了系统的线性代数内容的著作是在这一时期产生的，如Van的名著代数学第二卷就把线性代数作为其中的短短一章。

回顾线性代数的历史基础上，分析了关于线性代数的几个核心问题：第一介绍了几种关于线性代数基本结构问题的看法;第二介绍了关于线性代数的两个基本问题，即“线性”和“线性问题”;第三介绍了线性代数的研究对象;第四分析了线性代数的结构体系。

上世纪80年代以来，随着计算机应用的普及，线性代数理论被广泛应用到科学、技术和经济领域，因此线性代数也成为高等院校理工科各专业的一门基础课程，文章简述线性代数的相关核心核心问题。

二、线性代数的历史

线性代数是代数学的一个分支，今天数学界一致认它作为一门独立学科诞生于上世纪30年代，因为吸纳了系统的线性代数内容的著作是在这一时期产生的，如Van的名著代数学第二卷就把线性代数作为其中的短短一章。但是线性代数的一些初级内容如行列式、矩阵和线性方程组的研究可以追溯到二百多年前;19世纪四五十年代Grassmann创立了用符号表述几何概念的方法，给出了线性无关和基等概念，这标准着线性代数内容近代化开始;19世纪末向量空间的抽象定义形成，并在20世纪初被广泛用于泛函分析研究，从而使线性代数成为以空间理论为终结的独立学科，因此可以说线性代数是综合了若干项独立发展的数学成果而形成的。从上世纪六七十年代起线性代数进入了大学数学专业课程，在我国这门课程称为高等代数，它以线性代数为主体并纳入了一章多项式理论。

无论是高等代数或线性代数，这个课程有两个特点：一个特点是各部分内容相对独立，整个课程呈现出一种块状结构，原因是线性代数学科的形成过程本身就没有一条明确的主线。我们几乎可以找到从线性方程组，行列式，向量，矩阵，多项式，线性空间，线性变换中的任何一个分块开始展开的教材，其展开过程主要取决于作者串联这些分块的形式逻辑的脉络。另一个特点是内容抽象，要真正掌握线性代数的原理与方法必须具备较强的抽象思维能力，即对形式概念的理解能力和形式逻辑的演绎能力，而这两种能力要求几乎超越了大多数学生在中学阶段的能力储备，而必须在学习这门课程的过程中重塑。主要是这两个原因，线性代数被认为是一门非常难掌握的课程，而克服这一困难的关键就是针对线性代数课程的这两个特点进行有效的课程改革。

三、关于线性代数基本结构问题的看法

线性代数基本结构问题，学者们历来有许多不同的看法，较为常见的是以下几种：

第一种是以矩阵为中心。

这一看法认为整个线性代数以矩阵理论为核心，将矩阵理论视为各个内容联系的纽带。在求线性方程组、判定方程组的解以及研究线性空间问题时，矩阵理论是重要工具。例如正交矩阵和对称矩阵主要应用于欧氏空间和二次型方程问题中。可见，只要对矩阵知识有了全面系统的理解后，就能将各种问题都化解为矩阵理论中的一部分，引申为矩阵问题。

第二种是以线性方程组为中心。

这一关观点认为线性方程组是线性代数研究的基本问题。具体操作过程中，将线性方程组的理论和方法应用到各个章节，由此引出矩阵、行列式、向量等理论，最后列出方程组、求解，然后进一步应用，串联起各部分内容。这一理论较为系统、科学，常常被初学者采纳。

第三是一种线性代数体系，以线性变换和线性空间为核心。

在学习线性代数之前，学生要先掌握关系、集合、环、群、域等概念，形成对高等数学的研究对象、知识结构、表达方式的初步认识。线性代数体系依次安排了线性空间、内积空间、线性变化、矩阵概念和性质等章节。掌握线性变换基础后，再教学线性方程组求解知识，在此基础上，进一步引出特征向量、特征值和二次型理论。整个体系以线性代数为核心，内容介绍、理论讲解及方法系统化为一个整体。

第四是以向量理论为核心。

对二维、三维直角坐标系的研究是线性代数的起源。学生在中学时就已经了解了关于平面向量的一些基本知识，因此，将向量作为整个线性代数知识的核心，有利于使各部分内容的联系更加密切、理论体系更加完整完善，学生的空间概念也能得以加强。矩阵、行列式、线性方程组一般为研究维向量空间所必须的表示工具、向量的`线性相关性的判别工具)和未知向量的计算工具，从宏观讲它们独立于体系之外，从微观讲它们也是维向量空间的一些具体内容。而二次型仅仅是对称双线性函数的一个简单应用。

四、线性和线性问题

“线性”这个数学名词在中学数学课程中，学生从未接触过。而这一课程是大学数学的基础课程，学生刚进入大学，对这一词汇的具体内容知之甚少。所以在学习之前，学生必须对什么是“线性”有所了解，在“线性代数”这一课程中有对于“线性”概念的明确介绍。这是学习线性代数要解决的第一个基本问题，即什么是“线性”。

从整个数学全局来看线性代数，可将涉及到的数学问题分为两类：即线性问题和非线性问题。其中，对于线性问题的研究，历来有最完善的理论和最多的研究成果;并且，许多非线性问题往往也可以转化为线性问题解答。所以解决具体的数学问题时，首先应判断该问题是否属于线性问题，如果是线性问题该采用怎样的解决方法，如果不是线性问题，应考虑如何将其转化为线性问题。这是学习线性代数要解决的第二个基本问题：什么是“线性问题”，如何处理“线性问题”?

了解了什么是“线性”、什么是“线性问题”后，离完成线性代数的教学目的还有很长一段距离。如今的高校教育，一味灌输给学生行列式、向量、矩阵、线性变换等空洞的数学定理，指导学生用这些理论来思考线性代数的基本结构、具体应用等问题。教师在教学线性代数问题时更是一味强调理论的选择与应用，却忽视了学生发现问题、分析问题、解决问题的能力的培养。

五、线性代数的研究对象

稍微观察一下我们可以发现，中学的初等代数就是线性代数的前身，只是在其基础上的进一步抽象化。初等代数研究的多是具体的问题，运用加减乘除的运算方法即可解决问题;线性代数中则引入了许多新的概念，如向量、向量空间、集合、空间、矩阵等等，问题展现的形式发生了变化，要想解决问题，我们的思维方式也应该发生变化。涉及到新概念的数学问题往往都很抽象，如向量指的是既有数值又有具体方向的量;向量空间是许多量组成的集合，这一集合中的元素全都符合特定的运算规则;集合是具有某种属性的事物的总和;矩阵理论则是一种更加抽象化的理论，因此我们的研究方法和思维方式都要随之进行改变。如初等代数中的基本运算法则性代数中经常会失效，线性代数的研究对象是向量运算、矩阵运算和线性变换，解决问题时，需要采用一种特殊的运算方法。

综上所述，线性代数的学习中应重点培养两个方面的能力：

一个是知识掌握的能力的培养。介绍知识时应坚持从易到难、循序渐进。先掌握好中学的运算法则，再慢慢学习向量、矩阵知识，之后学习线性变换，最后综合学习线性运算。学生经过中学阶段的学习，完全掌握了加法和乘法这两种基础运算法则，简单了解了向量运算。矩阵知识相对于前者更加抽象，因此应放在之后学习。线性变换则是线性代数教学中的重点和难点所在，也是最容易被忽视的地方。由于线性变换可结合映射知识学习，而映射知识在中学数学和微积分教学中都有详细的介绍，在此基础上学生更容易理解线性变换及运算的相关知识，更容易解决矩阵特征值问题、线性方程组问题及二次型问题等。

另外一个是思维能力的培养。在学习中，注意引导学生带着问题学习，并在学习中进一步发现问题、解决问题，这是最有效的思维方式和学习方法。前文提到了学习线性代数必须先了解的两个基本问题：什么是“线性”、什么是“线性问题”。这两个基本问题应该始终贯穿性代数的学习过程中。无论在什么阶段的学习，都要注重理论知识和实际问题的有效结合。学生在掌握了一定的理论知识后，可尝试去解决相关的实际问题。在这一过程中，学生会加深对理论知识的理解，并进一步发现自身知识储备的不足之处。若单单追求知识的应用，而不加深自己的理论素养，最终也无法具备良好的思维能力。所以，在学习线性代数时，要培养好两方面的能力，使之相辅相成、相互促进。

结语：

基于线性代数中反例的研究 篇9

【关键词】 代数;反例;矩阵

中图分类号: G633.66

在《高等代数》和《线性代数》中,向量组的线性相关性是一个非常抽象的内容,如果对定理把握不准,容易混淆概念。通常情况下,很多问题可以采用直接进证明的方法来解决,但是,对于向量组的线性相关性来说,因为其叙述较多,整个证明过程就会显得非常冗长、复杂。相比之下,举反例,就以其简单、直接和明了显示出其优越性。人们往往忽略了反例的理论价值和功能效应,这是线性代数或高等代数教学及理论研究的一个缺陷.本文在这方面的研究,将作为读者的引玉之砖。

若向量组(1)线性无关,且(1)可由(2)线性表示,则s≤t。

对于命题1,反之不成立.即s≤t时,向量组(1)不一定线性无关,且向量组(1)也不一定可由向量组。

(2)线性表示,即便是s≤t,且向量组(1)线性无关,则(1)也不一定可由(2)线性表示。

例如:设 =(1,1)为向量组(1);(1,0), (2,0)为向量组(2),这时有1<2,且(1)线性无关,但显然(1)不可由(2)线性表示。

命题2 设A,B∈Mn(F),且A～B,则有s≤t。

在命题2中,若mA(x)=mB(x),则未必有A～B.例如,设

[XC6批4.tif;%80%80]

则mA(x)=(x-3)(x-1)=mB(x),但A与B不相似,这是因为fA(x)=(x-3)(x-1)2,而fB(x)=(x-1)(x-3)2,则fA(x)≠fB(x)。

为了加深读者对命题2的理解,本文先给出一个另外的证明,这不同于文献[1](P321)的说明。

因为A～B,则有可逆的n阶方阵T,使得

B=T-1AT

令mA(x)=xs+as-1xs-1+…+a1x+a0,则

[XC6批5.tif;%80%80]

[XC6批6.tif;%80%80]

[XC6批7.tif;%80%80]

[XC6批8.tif;%80%80]

所以,mB(x)|mA(x)。

同理可证,mA(x)|mB(x),又mB(x)与mA(x)的首项系数均为1,所以mA(x)=mB(x)。

命题3n元实二次型

f(x1,x2,…,xn)=XTAX

半正定当且仅当A的一切主子式都大于或等于零。

由于实二次型的正定与半正定,主子式与顺序主子式,有着诸多平行的结论。但是下述结论不成立:

n元实二次型

f(x1,x2,…,xn)=XTAX

半正定当且仅当A的顺序主子式都≥0。

例如

[XC6批9.tif;%80%80]

其顺序主子式都等于0,但f不是半正定的。

命题3’n元实二次型

f(x1,x2,…,xn)=XTAX

正定当且仅当A的顺序主式都大于零。

命题4 令数域F上的n阶方阵A有n个互不相同的特征根,则A可以对角化。

但是下述结论不成立:

若数域F上的n阶方阵A可以对角化,则A有n个互不相同的特征根。

我们的主要目的是,将命题4加以修正,引出更有价值的命题。即

命题4’令数域F上的n阶方阵A 有n个互不相同的特征根,又对于n阶方阵B,使得AB=BA,则B可以对角化。

证 因A可以对角化,则有可逆矩阵P使得

[XC6批10.tif;%80%80]

而AB=BA,则P-1APP-1BP=P-1BPP-1AP。

設P-1BP=C,则

[XC6批11.tif;%80%80]

由于λi=λj(i≠j),则C为对角形矩阵,亦即B可以对角化。

命题5令A为n阶数字方阵,则A的初等因子为她的特征多项式 fA(λ)=|λI-A|的一次方幂因子。

但是A的特征多项式fA(λ)=|λI-A|的一次方幂因子不一定是A的初等因子,例如

[XC6批12.tif]

故A的初等因子为λ-1,λ-1,λ+1。于是

fA(λ)=|λI-A|=(λ-1)2(λ+1)