高中数学,充分必要条件习题

高中数学,充分必要条件习题（精选13篇）

高中数学,充分必要条件习题 篇1

[

] A．充分但不必要条件

B．必要但不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 分析

利用韦达定理转换．

解

∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1，x2的值分别为1，－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．

因此选A．

说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是

[

] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析

逐个验证命题是否等价．

解

对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．pq但qp，p是q的充分非必要条件； 对C．pq且qp，p是q的必要非充分条件；

对D．pq且qp，即pq，p是q的充要条件．选D．

说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．

例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的

[

] A．充分条件

B．必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 分析

通过B、C作为桥梁联系A、D． 解

∵A是B的充分条件，∴AB① ∵D是C成立的必要条件，∴CD②

∵C是B成立的充要条件，∴CB③

由①③得AC④ 由②④得AD．

∴D是A成立的必要条件．选B． 说明：要注意利用推出符号的传递性．

例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 分析

先解不等式再判定．

解

解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．

∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A．

说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A，条件乙为x∈B．

当且仅当AB时，甲为乙的充分条件；当且仅当AB时，甲为乙的必要条件；

当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件． 例5 设A、B、C三个集合，为使A

(B∪C)，条件AB是

A．充分条件

B．必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 分析

可以结合图形分析．请同学们自己画图．

∴A(B∪C)．

但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时，显然A(B∪C)，但A

B不成立，综上所述：“AB”“A(B∪C)”，而

“A(B∪C)”“A

B”．

即“AB”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要)．选A．

说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件：

(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；

(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1． 其中p是q的充要条件的有

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

分析

使用方程理论和不等式性质．

[

]

[

]

[

]

解

(1)p是q的必要条件(2)p是q充要条件(3)p是q的充分条件

(4)p是q的必要条件．选A．

说明：ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零．

x1＞3x1x2＞6例7是x＞32x1x2＞9的条件．

分析

将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系．

解 x1＞3且x2＞3x1＋x2＞6且x1x2＞9，但当取x1＝10，x2＝2时，x1x2＞6x1＞3成立，而不成立(x2＝2与x2＞3矛盾)，所以填“充分不 xx＞9x＞3122必要”．x1＞3x1－3＞0说明： 

x＞3x－3＞022(x1－3)＋(x2－3)＞0(x1－3)(x2－3)＞0

x1＋x2＞6这一等价变形方法有时会用得上．xx－3(x＋x)＋9＞0121

2例8 已知真命题“a≥b件．

分析

∵a≥bc＞d(原命题)，∴c≤da＜b(逆否命题)． 而a＜be≤f，∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分条件． 答

填写“充分”．

说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法． 例9 ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是

[

] A．0＜a≤1 B．a＜1 C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0 分析

此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a＝1时，方程有负根x＝－1，当a＝0时，x＝

c＞d”和“a＜b

e≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条1－．故排除A、B、D选C． 21解 常规方法：当a＝0时，x＝－．

2当a≠0时

244a1．a＞0，则ax＋2x＋1＝0至少有一个负实根＜02a 221－a＜20＜a≤1．2．a＜0，则ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根2＞21－a＞21－a＞1a＜0．综上所述a≤1．

即ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1．

说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．

例10 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？

分析

画出关系图1－21，观察求解．

244a＜02a

解

s是q的充要条件；(srq，qs)r是q的充要条件；(rq，qsr)p是q的必要条件；(qsrp)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系． 例11 关于x的不等式

(a1)2(a1)2|x－|≤与x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0的解集依次为A 22与B，问“AB”是“1≤a≤3或a＝－1”的充要条件吗？分析

化简A和B，结合数轴，构造不等式(组)，求出a． 解

A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0} 1当2≤3a＋1即a≥时，3B＝{x|2≤x≤3a＋1}．

2a≥2AB21≤a≤3a+1≤3a+1

1当2＞3a＋1即a＜时，3B＝{x|3a＋1≤x≤2} 2a≥3a+1AB2a＝－1．a+1≤2综上所述：ABa＝－1或1≤a≤3．∴“AB”是“1≤a≤3或a＝－1”的充要条件．

说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路，表达

准确，推理无误．

例12 x＞y，xy＞0是11＜的必要条件还是充分条件，还是充 xy要条件？

分析

将充要条件和不等式同解变形相联系．

1111yx解 1．当＜时，可得－＜0即＜0

xyxyxyy－x＞0y－x＜0则或xy＜0xy＞0，x＜yx＞y 即或xy＜0xy＞0，x＜y11故＜不能推得x＞y且xy＞0(有可能得到)，即x＞y且xyxyxy＜011＞0并非＜的必要条件．xyx＞yx＞y2．当x＞y且xy＞0则分成两种情况讨论：x＞0或x＜0y＞0y＜011 不论哪一种情况均可化为＜．xy11∴x＞y且xy＞0是＜的充分条件．xy说明：分类讨论要做到不重不漏．

例13 设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析a＞2且b＞1是两根α，β均大于1的什么条件？

分析

把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需

要搞清楚条件p与结论q分别指什么．然后再验证是pq还是qp还是pq．

a＞2解 据韦达定理得：a＝α＋β，b＝αβ，判定的条件是p：b＞1α＞1结论是q：(还要注意条件p中，a，b需要满足大前提Δ＝a2－4b

β＞1≥0)(1)由α＞1得β＞1a＝α＋β＞2，b＝αβ＞1，∴qp．

上述讨论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．

说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用．

例14(1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么

[

] A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙是甲的充要条件

D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件． 分析2：画图观察之． 答：选A．

高中数学,充分必要条件习题 篇2

一、从习题中发现问题意识,提升学习热情

对于高中数学学习来讲,习题的关注点并不仅限于解答过程当中,还在于题目本身。出题者在设计每一道习题时,都是具有一个较为明确的思路的,并以这个思路将学生引导至需要对大家进行考查的知识内容上。这个思路非常值得学生们加以重视,它往往能够展现出数学知识的发展与延伸脉络,让学生们明确相应知识的分析路径。

从习题中发现问题意识,为学生们的数学学习开辟出了一个全新的路径。在教师的引导下,学生们惊讶地发现,原来数学习题还可以这样来看待和处理。除了思考如何解答问题之外,学生们还可以从题目设计的角度来捕捉知识内容的发展过程,在习题面前反客为主。这不仅大大拓宽了数学习题的适用范围,还有效提升了学生们的学习热情。

二、从习题中总结基本理念,夯实知识基础

总结教材规律便会发现,在每一个新知识呈现完成后,都会配合出现一些基础性习题。很多学生认为这些题目的难度过低,丝毫不加重视,这对于有效学习是极为不利的。数学知识大厦的累积要从地基开始,这个地基就是基础知识。基础性习题不仅是对概念、定理等基本知识内容的巩固复习,更是对基本理念方法的强调与提炼。如果能够认识到这一层面,基础性习题就算运用到位了。

很多时候,借助习题的方式对基本知识理念进行强调的效果远比单纯的语言叙述要理想得多。解答习题的过程本身就是将理论知识投入实践的动作,在这种学以致用的感受当中,学生们往往可以收获更为清晰的知识认知。高中数学当中的基本理念,如果能够由学生们从习题当中自主提炼出来,记忆效果必然更佳,夯实知识基础也就不是问题了。

三、从习题中发现灵活思路,激活解题思维

当然,数学习题当中所揭示出来的也并不只是基础层面的内容。特别是在高中阶段的学习当中,知识内容的灵活性明显增强,对于学生思维方法的拓展性要求也提升了许多。为此,尽可能多地灵动学生数学思维,便成为教师们的重要任务。在这之中,习题可以起到非常重要的推动作用。

在高中数学当中,具有多种解答方法的习题不在少数。对于师生们来讲,这并不是复杂疑难的教学负担,而是开展高效教学的关键入口。对于思维开放性较强的问题,教师们一定要不断启发学生,从不同角度打开思维,发现方法,在激活解题思维的同时实现知识理解的再深入。

高中数学,充分必要条件习题 篇3

经过教学实践，我的体会如下：

一、问题设计要紧扣教学重点难点。每个教学单元都有其重点难点，每堂课提问应该围绕这些重点难点进行。比如：在讲直线方程的一般式时，首先要回顾直线方程的前两种形式——点斜式、两点式，在提问时，我侧重了点斜式和两点式的局限性，以突出重点。知识是无边的海洋，不突出重点、难点，舍本逐末，东一榔头西一棒槌，片面追求所谓课堂气氛活跃，就不能实现既定的教学目标。

二、问题要有启发性。课堂提问，深浅要适宜，在教学实践中，问题设计有两个极端：一是问题大而玄，如检查性提问时，上节课我们讲了什么内容？学生感觉丈二和尚摸不着头脑。不知从何答起；二是同题细而明，学生不假思索，“是”与“非”脱口而出，且一语道破。这两个极端有共同的弊病：不能激发学生思维活动；前者大而玄，无法回答，相对地抑制了学生的思维活动，后者细而明，告诉了答案，学生不动脑更是勿庸讳言，二者都收不到什么好的效果，因此设计问题应紧扣教学重点难点，靠船下篙，让多数学生跳一下就能摘到树上的果子，这样才能启发学生的思维，发展其智力。

三、问题要面向大多数。调动全体学生参与教学活动是每堂课的主旨。有的教师提问，偏重于几个学生，多数学生干瞪眼。笔者听过一堂课，一个学生课上竟被提问六次。这样做的结果：一不利于调动学生学习积极性，二不利于组织教学。俗话说闲则生非，学生不参与教学活动，他们必然要做课堂上禁止的事，比如闲聊、做小动作、看课外书，从而影响授课效果。所提的问题要精挑细选，与教学内容密切相关，并且要难易适中，面向全体学生，以中等水平学生的接收能力为主，适当兼顾优、差生，使每个学生都能积极思考，通过回答问题有所收获。

四、问题要以旧带新，有利于巩固新知识。学习是循序渐进的过程，各学科知识系统性很强，前面知识掌握不牢。继续学习就难以深入。比如在重温旧知识的基础上，传授新知识，学生易于理解和接受。如在讲圆的标准方程时回顾了初中时圆的定义：到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)。进而启发学生利用刚学过的求曲线方程的方法得到圆的标准方程（x-a）2+(y-b)2=r2。

五、问题要有梯度。设计的问题应当由浅入深，有一定的层次感，不要在一个水平上盘旋，具有梯度，学生的思维活动才不会中止。比如通过阶梯式问题，启发学生溯踪录源，寻求答案，课上学生的思维活动就不至于中止迁移。如在讲解利用均值不等式求最值时有这样一道题：已知x，y为正数且满足2x+8y-xy=0，求x+y的最小值。我首先按照学生的思路求出最小值是16。【2x+8y≥8(xy)1/2，即xy≥64】，从而有x+y≥2(xy)1/2=16。然后启发学生验证等号是否成立。结果发现等号是不成立的。那么如何求解呢?引导启发学生用代人消元法求解。

六、问题要打破常规，学生兴趣更浓。如当x≤-1，(m-m2)4x+2x+1>0恒成立，求m的取值范围。我启发学生如果化成关于m的一个式子是否容易求解呢?这一问打破了学生的思维定势，顿时满座皆惊，这一点拔调动了学生的学习兴趣。于是受到同学们的关注。

七、提问时教师须认真听，及时批判正误。学生答题圃于自己的阅历和思维能力，难免出现偏颇，教师在听答时，要有耐心，态度要和蔼，不能急躁，要让学生说完，允许学生有预想外的答案，并要容忍答语中的一些不当和错误之外：不要重复学生的错误答案，不要急于有错必纠而轻易打断学生的话，引起思考中断，这样才能作出中肯的批判和补充。这不仅能使学生获得全面正确的知识，而且也有利于调动学生答题的积极性。学生看到教师相应的体态语，往往更加认真答题。

总之，课堂提问的方法还有很多，本文难以一一罗列。著名教育家叶圣陶认为，教师不仅要教，而且要导。如何“导”呢？他认为：“一要提问，二要指点。”如何指点，这里包含一个艺术性的问题，加强数学课堂提问的技巧性，在激发兴趣、启迪思维、培养创新精神、提高综合素质等方面都有不同程度的作用。在今天的数学教学中，教师若能重视课堂提问的技巧性，善加指点，一定能收到事半功倍的效果。

高中数学习题教学思考论文 篇4

随着时代的发展和进步，人们对学科教育教学付诸了更多标准和要求。以终身学习能力素养为培养目标追求的素质教育渗透和落实在学科教育教学的各个领域。数学学科教学离不开数学习题的教学，数学习题已成为数学教师课堂有效教学的重要“抓手”和有效“把手”。习题教学作为数学学科课堂教学的重要组成部分，理应遵循和贯彻新课改标准要求，围绕新课程标准的内涵、核心、要义，组织开展数学习题教学活动，推动和引导高中生更加深入的探知数学习题，更为有效的解答数学习题，更加高效的掌握解题技能策略，让高中生在数学习题解析的道路上越走越远、越走越好。鉴于上述认知和体会，本人现就当前课改背景下的高中数学习题有效教学活动的开展，从以下几个方面做一粗浅的论述。

一、凸显学教双边特性，提供师生互动有效载体

课堂教学是双边互动、双向沟通、思想撞击的运动、发展的过程。只有教师和学生之间、学生与学生之间的深入沟通、交流，才能实现学与教之间的和谐统一、行稳致远。高中数学教师习题教学要注重双边互动的开展，重视师生之间的沟通，将习题教学的过程变为双边互动的过程，在“引”与“导”的深入交流、探讨中，促进高中生更加深入、全面、仔细的掌握数学习题设计意图、解析习题有效路径，推动习题教学进程。

二、注重数学探究实践，锤炼学生数学探析技能

在习题解答的过程中，学生主体的动手探究能力、思维分析能力等方面数学学习技能得到了有效的锻炼和显著的提升。在数学学科教学中，数学习题讲解占据了课堂教学的大部分时间，成为高中数学课堂教学的“重头戏”。数学习题的最大功效、最显著作用，就是锤炼提升数学学习能力的教学功效。高中数学教师要发挥数学习题能力培养功效，多提供高中生数学实践的`平台，多腾出高中生数学探究的时机，将问题条件探析、习题解答思路、习题解答活动等任务，交由高中生完成，在高中生亲自“劳作”和教师指导双重作用下，实现解析技能的提升和解答方法的掌握“双丰收”。在上述问题讲解中，教师对自身“角色”进行重新定位，由“主讲人”转变为“主持人”，让高中生成为问题讲解的亲身“践行者”，根据解题要求，开展实践探析活动。高中生在认真探知题意后认为：“该问题主要涉及的知识点有三角函数中的恒等变换应用、正弦函数的图像以及余弦定理”，教师进行适当指证，明确指出：“在该问题解答时要借助三角函数的图像和性质，运用函数思想以及构造法”。高中生结合教师的点拨，进行重新认知和完善，得到其解题思路为：“第一小题可以根据三角恒等变换化简函数，得到递增区间;第二小题可以通过等式得到cosB的值，然后利用余弦定理以及三角形的面积公式求得”。这一过程中，高中生完成了问题条件以及解题思路的实践探知活动，思维能力、探究能力得到深刻训练，其数学解题技能也得以切实提升。

三、重视解析反思评判，促进良好学习习惯树立

常言道，当局者迷，旁观者清。由于高中生学习能力有所欠缺，决定了高中生数学解析会出现瑕疵和缺陷。而高中生不能及时、深刻的认知和了解。这就要求，高中数学教师习题教学结束时，要注重指导评价活动的开展，利用评价教学的指导、点拨、纠错等功效，引导高中生对自身解题活动和结果进行“回顾”和“反刍”，找出解题进程中存在的不足，破解解题过程中存在的疑惑，找准解题实践中解决的方法，从而逐步形成和梳理正确的学习方法和良好的学习习惯，促进终身学习能力的形成。除此以外，高中数学教师在习题教学中，还要注重对习题内涵的剖析以及习题外延的延伸，抓住高考政策要求和命题趋势，开展形式多样、与时俱进的习题讲解活动，推动习题教学有效开展，确保实效。

作者:钱如美 单位:如皋中学

参考文献:

[1]敬仕龙.新课标下高中数学习题教学的思考[J].教育教学论坛，

[2]张勇.新课程理念下高中数学习题教学的思考[J].中学数学杂志，第12期

第二篇：高中数学习题教学探讨

一、高中“生本教学”的重要性

“生本教学”充分尊重学生的意愿和看法，从学生需求角度出发形成针对性教学内容，真正实现了学生知识水平和能力水平的提升。新课标高中数学教学对学生主体地位非常注重，要求教师能够围绕学生形成科学的教学体系，这与“生本教学”核心理念一致。与此同时，“生本教学”过程中教师充分把握学生状况形成针对性教学内容，使教学更加符合学生意愿，在一定程度上激发了学生学习的主观能动性，真正实现了学生主动参与、教师科学引导，达到了事半功倍的教学效果。在这种教学氛围下，学生与教师积极、主动交流，充分拉近了双方的关系，形成了和谐、开放、自由的高中数学教学体系，真正构建了民主课堂。

二、“生本教学”下高中数学习题教学的设置

(一)把握学生需求，做好拓展转变高中数学教学过程中需要对“生本理念”进行强调，在“生本教学”基础上做好课堂教学方向的选择和设置，依照学生需求合理地设置课堂教学内容等，这样才能够保证高中数学教学与学生发展相协调，实现高中数学教学效益的最大化。

(二)依照学生状况，科学设置习题“生本教学”中要求依照学生水平形成与之相适应的教学体系，对教学内容进行设置，比如，笔者在向量习题训练过程中就依照学生学习状况，对习题进行设置，其具体内容见例1。

三、结语

生本教学从学生需求、学生能力、学生兴趣等出发形成针对性教学体系，真正突出了教学中学生的主体地位，对学生知识水平和能力水平的提升具有至关重要的意义。高中数学习题课教学过程中教师需要对生本教学进行全面设置，使训练内容与学生发展相适应，从根本上改善高中数学习题训练效果。

作者:殷伟 单位:河南省信阳市第二高级中学

参考文献：

[1]马颖.生本教育理念下的高中数学教学模式探究[J].现代教育论丛，(3)：88，92-93.

高中数学三角函数及数列练习题 篇5

A．第一、二象限

C．第一、四象限

B．第一、三象限 D．第二、四象限

2、已知函数f(x)(1cos2x)sin2x,xR，则f(x)是（）A、奇函数 B、非奇非偶函数 C、偶函数 D、不能确定

3.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于（）A．13

B．35

C．49

D． 63

4.函数f(x)(13tanx)cosx的最小正周期为（）A．2 B．

3 C． D． 225.已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝（）A.－2 B.－C.D.2 226.函数f(x)cos2x2sinx的最小值和最大值分别为（）A.－3，1

B.－2，2

C.－3，32 D.－2，7．把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平行移动象上所有点的横坐标缩短到原来的 A．y＝sin2x － ，x∈R

C．y＝sin2x ＋ ，x∈R π3π3π个单位，再把所得图332

1倍(纵坐标不变)，得到函数图象是（）． 2

262πD．y＝sin2x ＋ ，x∈R

3xπB．y＝sin ＋ ，x∈R

二、填空题（每题5分，共10分）

8.在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6____________ 9.已知函数f(x)sin(x)(0)的图象如图所示, 则 ＝

三、计算题（共55分）10．求函数f(x)＝lgsin x＋

11.已知函数f(x)sinxsin(x),xR.（10分）

2（5分）2cosx1的定义域．(I)求f(x)的最小正周期；(II)求f(x)的的最大值和最小值；

12．求函数y＝sin2x － 的图象的对称中心和对称轴方程．（5分）

13．已知等差数列{an}中，a2＝8，前10项和S10＝185.，求通项；（10分）

14.在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.（10分）

(1)求通项an；(2)求此数列前30项的绝对值的和.15.设数列an满足a12,an1an322n1（15分）

（1）求数列an的通项公式；（2）令bnnan，求数列的前n项和Sn

充分条件与必要条件教案 篇6

1.使学生初步掌握充要条件

2.培养学生理解、分析、归纳、解决问题的能力

二. 教学重点:关于充要条件的判断

教学难点:关于充要条件的判断

三. 教学过程

(一)复习提问

1.什么叫充分条件?什么叫必要条件?说出“ ”的含义

2.指出下列各组命题中,“p q”及“q p”是否成立

(1)p:内错角相等 q:两直线平行

(2)p:三角形三边相等 q:三角形三个角相等

(二)授新课

1.(通过复习提问直接引入课题)充要条件定义:

一般地,如果既有p q,又有q p,就记作:p q。

这时,p既是q的充分条件,又是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件

点明思路 :判断p是q的什么条件,不仅要考查p q是否成立,即若p则q形式命题是否正确,还得考察q p是否成立,即若q则p形式命题是否正确。

2.辨析题:(学生讨论并解答,教师引导并归纳)

思考:下列各组命题中,p是q的什么条件:

1) p: x是6的倍数。 q:x是2的倍数

2) p: x是2的倍数。 q:x是6的倍数

3) p: x是2的倍数,也是3的倍数。q:x是6的倍数

4) p: x是4的倍数 q:x是6的倍数

总结:1) p q 且q≠> p 则 p是q的充分而不必要条件

2) q p 且p≠>q 则p 是q 的必要而不充分条件

3) p q 且q p 则q 是p的充要条件

4) p≠>q 且q≠>p则 p是 q的既不充分也不必要条件

强调:判断p是q的什么条件,不仅要考虑p q是否成立,同时还要考虑q p是否成立。

且p是q的什么条件,以上四种情况必具其一.

3 巩固强化

例一:指出下列各命题中,p是q的什么条件:

1) p:x>1 q:x>2

2) p:x>5 q:x>-1

3) p:(x-2)(x-3)=0 q:x-2=0

4) p:x=3 q: =9

高中数学习题课模式探究 篇7

一、习题课备课

对于高中数学习题课的教学，备课是关键，精选、优质数学习题对提高学生学习效率作用显著.因此，在数学习题课中，教师在选取训练习题的时候，必须注意选题的目标性、示范性和针对性.只有选对了题，学生才能做好题.首先从习题课的教学目标着手，教师必须通过习题训练，帮助学生掌握数学知识.其次就是学习其中的数学思想.在每章节的教学完成之后，教师首先得针对数学概念安排习题，将教学的知识点展示给学生.在学生熟悉了概念之后，教师可以选取典型和具有针对性的数学习题，帮助学生了解高考的考查难度.通过一道习题的训练，教会学生这一类习题的解法，这就是典型数学习题的作用.

二、习题课的教学策略

1.设置趣味性习题，激发学生学习兴趣

长期以来，数学习题课的教学仅仅局限于习题训练教学，教师忽视与学生之间的思想交流.俗话说：“兴趣是最好的老师.”只有学生对数学习题课产生浓厚的兴趣，他们才会积极主动地投入数学习题课的学习之中.对此，教师有必要选取一些趣味性较强的习题训练，提高学生对习题课的兴趣.例如，在高中数学概率章节的教学中，原来的问题是：试问字母ABCDEF，两两组合，一共有多少种可能的类型？笔者将其改编成：有三个官兵，押解三名罪犯去边疆.面前有一条河流，小船每次只能装载两个人.于是，这三个罪犯就商量，如果官兵的数量比他们少时，就动手.那么，试问：要想官兵能够安全押解这三名罪犯，那么，第一次过河有几种选择？如此一来，原本的概率问题变得趣味性十足，学生自然会喜欢这样的习题课类型.

2.重视体验教学，设置生活式习题

在新课改背景下，教师重视素质教育，强调学生的教学体验.对此，很多高中数学教师从学生熟悉的生活案例中汲取数学思想，为学生选取合适的数学生活式习题.在生活式习题的帮助下，学生获得了更加深刻的数学体验，感受到了数学学科的高应用性和实践性，使学生在无形之中对数学产生了浓厚的兴趣.如

（2011年辽宁省高考一模）某乡镇为了盘活资本，决定招商引资.在外经商的王先生回家投资.投资线路板厂和机械加工厂.预算表明，若优化管理，两厂的最大盈利率分别是95%和80%，可能的最大亏损率是30%和10%.若是王

先生决定投资100万元，且要求可能的亏损不超过18万元，试问应该如何投资？

本题的考点是简单的线性规划问题.若是出题者直接给出几个方程式，再加上限制条件，明确指出解题应该使用的技巧.那么，这样的数学习题肯定难以引起学生的注意.对于本题，学生在阅读题目的基础上，设两厂分别投资x万元和y万元，便可以列出如下的方程组，欲求的目标函数为z=0.95x+0.8y.于是学生便可以绘制出如右图所示的限制区域图形，利用目标函数的几何意义，便可以求解出本题的答案.

3.实施分层教学，采用递进式习题

学生的记忆能力和掌握能力都是渐变的，要想实现科学高效的数学习题课，教师有必要实施分层习题教学，采用递进式习题，帮助学生缩小差距，实现共同进步.对此，教师需要针对每个学生的数学基础和思维能力，选取出递进式的数学习题.在发展学生个性的同时，提高学生的数学能力.对于中等学生而言，教师需要从数学概念性习题入手，帮助学生奠定扎实的数学基础.同时可以适当选取一些提高性的习题供学生去自由探究.对于优等生，他们的接受能力强，对新知识的应用得心应手.对此，教师可以鼓励优等生多去钻研数学压轴题，以及数学综合题的后两问.对于高中数学习题课而言，最佳的状态就是“踮一踮脚就够得着”，即教师需要选取难度合适的习题，促使优等生吃好，中等生上进，下等生吃饱.在新课改背景下，很多学校推出了数学的小班化教学，教师可以对每个学生做到单独布置作业，习题训练一对一培训.如此一来，教师就可以充分掌握学生的学习情况，做到因材施教.

三、习题课课后评价

很多数学教师要求学生制作错题集，以一周为一周期进行错题整理和复习.同时，还会时常抽出一两节课的时间来专门进行数学习题课课后评价教学.习题课的目的就是帮助学生巩固和及时消化数学知识，并将各类数学知识相整合，培养学生的数学思维.笔者认为，数学习题课的课后评价应该以鼓励为主.鼓励学生独立学习、鼓励学生小组合作学习、鼓励学生勤学多问，调动学生的学习积极性，帮助学生建立良好的数学习题课反思习惯.

（责任编辑 黄桂坚）endprint

习题课是数学学科的基本课程类型，是学生数学学习的关键.要想上好数学习题课，从习题选取到授课技巧，再到教学反馈，都是教师需要注意的地方.

一、习题课备课

对于高中数学习题课的教学，备课是关键，精选、优质数学习题对提高学生学习效率作用显著.因此，在数学习题课中，教师在选取训练习题的时候，必须注意选题的目标性、示范性和针对性.只有选对了题，学生才能做好题.首先从习题课的教学目标着手，教师必须通过习题训练，帮助学生掌握数学知识.其次就是学习其中的数学思想.在每章节的教学完成之后，教师首先得针对数学概念安排习题，将教学的知识点展示给学生.在学生熟悉了概念之后，教师可以选取典型和具有针对性的数学习题，帮助学生了解高考的考查难度.通过一道习题的训练，教会学生这一类习题的解法，这就是典型数学习题的作用.

二、习题课的教学策略

1.设置趣味性习题，激发学生学习兴趣

长期以来，数学习题课的教学仅仅局限于习题训练教学，教师忽视与学生之间的思想交流.俗话说：“兴趣是最好的老师.”只有学生对数学习题课产生浓厚的兴趣，他们才会积极主动地投入数学习题课的学习之中.对此，教师有必要选取一些趣味性较强的习题训练，提高学生对习题课的兴趣.例如，在高中数学概率章节的教学中，原来的问题是：试问字母ABCDEF，两两组合，一共有多少种可能的类型？笔者将其改编成：有三个官兵，押解三名罪犯去边疆.面前有一条河流，小船每次只能装载两个人.于是，这三个罪犯就商量，如果官兵的数量比他们少时，就动手.那么，试问：要想官兵能够安全押解这三名罪犯，那么，第一次过河有几种选择？如此一来，原本的概率问题变得趣味性十足，学生自然会喜欢这样的习题课类型.

2.重视体验教学，设置生活式习题

在新课改背景下，教师重视素质教育，强调学生的教学体验.对此，很多高中数学教师从学生熟悉的生活案例中汲取数学思想，为学生选取合适的数学生活式习题.在生活式习题的帮助下，学生获得了更加深刻的数学体验，感受到了数学学科的高应用性和实践性，使学生在无形之中对数学产生了浓厚的兴趣.如

（2011年辽宁省高考一模）某乡镇为了盘活资本，决定招商引资.在外经商的王先生回家投资.投资线路板厂和机械加工厂.预算表明，若优化管理，两厂的最大盈利率分别是95%和80%，可能的最大亏损率是30%和10%.若是王

先生决定投资100万元，且要求可能的亏损不超过18万元，试问应该如何投资？

本题的考点是简单的线性规划问题.若是出题者直接给出几个方程式，再加上限制条件，明确指出解题应该使用的技巧.那么，这样的数学习题肯定难以引起学生的注意.对于本题，学生在阅读题目的基础上，设两厂分别投资x万元和y万元，便可以列出如下的方程组，欲求的目标函数为z=0.95x+0.8y.于是学生便可以绘制出如右图所示的限制区域图形，利用目标函数的几何意义，便可以求解出本题的答案.

3.实施分层教学，采用递进式习题

学生的记忆能力和掌握能力都是渐变的，要想实现科学高效的数学习题课，教师有必要实施分层习题教学，采用递进式习题，帮助学生缩小差距，实现共同进步.对此，教师需要针对每个学生的数学基础和思维能力，选取出递进式的数学习题.在发展学生个性的同时，提高学生的数学能力.对于中等学生而言，教师需要从数学概念性习题入手，帮助学生奠定扎实的数学基础.同时可以适当选取一些提高性的习题供学生去自由探究.对于优等生，他们的接受能力强，对新知识的应用得心应手.对此，教师可以鼓励优等生多去钻研数学压轴题，以及数学综合题的后两问.对于高中数学习题课而言，最佳的状态就是“踮一踮脚就够得着”，即教师需要选取难度合适的习题，促使优等生吃好，中等生上进，下等生吃饱.在新课改背景下，很多学校推出了数学的小班化教学，教师可以对每个学生做到单独布置作业，习题训练一对一培训.如此一来，教师就可以充分掌握学生的学习情况，做到因材施教.

三、习题课课后评价

很多数学教师要求学生制作错题集，以一周为一周期进行错题整理和复习.同时，还会时常抽出一两节课的时间来专门进行数学习题课课后评价教学.习题课的目的就是帮助学生巩固和及时消化数学知识，并将各类数学知识相整合，培养学生的数学思维.笔者认为，数学习题课的课后评价应该以鼓励为主.鼓励学生独立学习、鼓励学生小组合作学习、鼓励学生勤学多问，调动学生的学习积极性，帮助学生建立良好的数学习题课反思习惯.

（责任编辑 黄桂坚）endprint

习题课是数学学科的基本课程类型，是学生数学学习的关键.要想上好数学习题课，从习题选取到授课技巧，再到教学反馈，都是教师需要注意的地方.

一、习题课备课

对于高中数学习题课的教学，备课是关键，精选、优质数学习题对提高学生学习效率作用显著.因此，在数学习题课中，教师在选取训练习题的时候，必须注意选题的目标性、示范性和针对性.只有选对了题，学生才能做好题.首先从习题课的教学目标着手，教师必须通过习题训练，帮助学生掌握数学知识.其次就是学习其中的数学思想.在每章节的教学完成之后，教师首先得针对数学概念安排习题，将教学的知识点展示给学生.在学生熟悉了概念之后，教师可以选取典型和具有针对性的数学习题，帮助学生了解高考的考查难度.通过一道习题的训练，教会学生这一类习题的解法，这就是典型数学习题的作用.

二、习题课的教学策略

1.设置趣味性习题，激发学生学习兴趣

长期以来，数学习题课的教学仅仅局限于习题训练教学，教师忽视与学生之间的思想交流.俗话说：“兴趣是最好的老师.”只有学生对数学习题课产生浓厚的兴趣，他们才会积极主动地投入数学习题课的学习之中.对此，教师有必要选取一些趣味性较强的习题训练，提高学生对习题课的兴趣.例如，在高中数学概率章节的教学中，原来的问题是：试问字母ABCDEF，两两组合，一共有多少种可能的类型？笔者将其改编成：有三个官兵，押解三名罪犯去边疆.面前有一条河流，小船每次只能装载两个人.于是，这三个罪犯就商量，如果官兵的数量比他们少时，就动手.那么，试问：要想官兵能够安全押解这三名罪犯，那么，第一次过河有几种选择？如此一来，原本的概率问题变得趣味性十足，学生自然会喜欢这样的习题课类型.

2.重视体验教学，设置生活式习题

在新课改背景下，教师重视素质教育，强调学生的教学体验.对此，很多高中数学教师从学生熟悉的生活案例中汲取数学思想，为学生选取合适的数学生活式习题.在生活式习题的帮助下，学生获得了更加深刻的数学体验，感受到了数学学科的高应用性和实践性，使学生在无形之中对数学产生了浓厚的兴趣.如

（2011年辽宁省高考一模）某乡镇为了盘活资本，决定招商引资.在外经商的王先生回家投资.投资线路板厂和机械加工厂.预算表明，若优化管理，两厂的最大盈利率分别是95%和80%，可能的最大亏损率是30%和10%.若是王

先生决定投资100万元，且要求可能的亏损不超过18万元，试问应该如何投资？

本题的考点是简单的线性规划问题.若是出题者直接给出几个方程式，再加上限制条件，明确指出解题应该使用的技巧.那么，这样的数学习题肯定难以引起学生的注意.对于本题，学生在阅读题目的基础上，设两厂分别投资x万元和y万元，便可以列出如下的方程组，欲求的目标函数为z=0.95x+0.8y.于是学生便可以绘制出如右图所示的限制区域图形，利用目标函数的几何意义，便可以求解出本题的答案.

3.实施分层教学，采用递进式习题

学生的记忆能力和掌握能力都是渐变的，要想实现科学高效的数学习题课，教师有必要实施分层习题教学，采用递进式习题，帮助学生缩小差距，实现共同进步.对此，教师需要针对每个学生的数学基础和思维能力，选取出递进式的数学习题.在发展学生个性的同时，提高学生的数学能力.对于中等学生而言，教师需要从数学概念性习题入手，帮助学生奠定扎实的数学基础.同时可以适当选取一些提高性的习题供学生去自由探究.对于优等生，他们的接受能力强，对新知识的应用得心应手.对此，教师可以鼓励优等生多去钻研数学压轴题，以及数学综合题的后两问.对于高中数学习题课而言，最佳的状态就是“踮一踮脚就够得着”，即教师需要选取难度合适的习题，促使优等生吃好，中等生上进，下等生吃饱.在新课改背景下，很多学校推出了数学的小班化教学，教师可以对每个学生做到单独布置作业，习题训练一对一培训.如此一来，教师就可以充分掌握学生的学习情况，做到因材施教.

三、习题课课后评价

很多数学教师要求学生制作错题集，以一周为一周期进行错题整理和复习.同时，还会时常抽出一两节课的时间来专门进行数学习题课课后评价教学.习题课的目的就是帮助学生巩固和及时消化数学知识，并将各类数学知识相整合，培养学生的数学思维.笔者认为，数学习题课的课后评价应该以鼓励为主.鼓励学生独立学习、鼓励学生小组合作学习、鼓励学生勤学多问，调动学生的学习积极性，帮助学生建立良好的数学习题课反思习惯.

《条件语句》的高中数学说课稿 篇8

1.教材所处的地位和作用

在此之前，学生已学习了算法的概念、程序框图与算法的基本逻辑结构、输入语句、输出语句和赋值语句,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。这一节课主要的内容为条件语句表示方法、结构以及用法。条件语句与程序图中的条件结构相对应，它是五种基本算法语句中的一种，。通过本节课的学习，学生将更加了解算法语句，并能用更全面的眼光看待前面学过的语句，并为以后的学习作好必要的准备。本节课对学生算法语言能力、有条理的思考与清晰地表达的能力，逻辑思维能力的综合提升具有重要作用。

2.教学的重点和难点

重点：条件语句的.表示方法、结构和用法;用条件语句表示算法。

难点：理解条件语句的表示方法、结构和用法。

二、教学目标分析

1.知识与技能目标：

⑴正确理解条件语句的概念，并掌握其结构。

⑵会应用条件语句编写程序。

2.过程与方法目标：

⑴通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力。

⑵通过模仿，操作、探索、经历设计算法、设计框图、编写程序以解决具体问题的过程，发展应用算法的能力。

⑶在解决具体问题的过程中学习条件语句，感受算法的重要意义。

3.情感,态度和价值观目标

⑴能通过具体实例，感受和体会算法思想在解决具体问题中的意义，进一步体会算法思想的重要性，体验算法的有效性，增进对数学的了解，形成良好的数学学习情感，增强学习数学的乐趣。

⑵通过感受和认识现代信息技术在解决数学问题中的重要作用和威力，形成自觉地将数学理论和现代信息技术结合的思想。

⑶在编写程序解决问题的过程中，逐步养成扎实严谨的科学态度。

三、教学方法与手段分析

1.教学方法：根据本节内容逻辑性强，学生不易理解的特点，本节教学采用启发式教学，辅以观察法、发现法、练习法、讲解法。采用这种方法的原因是学生的逻辑能力不是很强，只能通过对实例的认真领会及一定的练习才能掌握本节知识。

2.教学手段：运用计算机、图形计算器辅助教学

四、教学过程分析

1.创设情境(约4分钟)

首先，我要求学生们编写程序，输入一元二次方程的系数，输出它的实数根。这样可以把教学内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，因为要解决这一问题，根据我们之前所学的三种算法语句是无法解决的，这样就引出今天我们所要学习的内容。

2.探究新知(约8分钟)

为了引入概念，我首先给出了一个基本的应用条件语句能够解决的例题：

例1 编写一个程序，求实数x的绝对值。

整个过程由师生共同分析完成。老师要引导学生分析、研究例题中的两个程序，既要让学生们看到已知的三种语句，更要注意到未知的语句，即条件语句。总结上述例题的程序可得出条件语句的两种一般格式，接下来由师生共同对这两种格式进行研究.

3.知识应用(约15分钟)

此环节有两个例题

例2 编写程序，写出输入两个数a和b，将较大的数打印出来

例3 编写程序,使任意输入的3个整数按从大到小的顺序输出.

先把解决问题的思路用程序框图表示出来，然后再根据程序框图给出的算法步骤，逐步把算法用对应的程序语句表达出来。(程序框图先由学生讨论，再统一，然后利用图形计算器演示，学生会惊喜的发现：自己也是个编程高手了!这样可以激发学生们的学习兴趣)

4.练习巩固(约4分钟)

课本第30页第3题

练习可巩固学生对知识的理解，也可在练习中发现问题，使问题得到及时的解决。

5.课堂小结(约5分钟)

条件语句的步骤、结构及功能.

知识性内容的小结，可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质;数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用

6.布置作业

课本练习第3、4题

高中数学,充分必要条件习题 篇9

简单地说，如果前面的阶段是在基层里磨练，现在则是可以更上层楼、向一个更高职位挑战的时候了。

怎样判断自己是否已经可以进入这个阶段？

从主观上来说，要进入这个阶段，大致能够体会到以下几件事情：

1.你已经在工作的技能上拥有了足够的知识。工作相关联的上下游环节是怎么运作的，都已经相当明白。

2.即使没主持过，也参与过一些重要任务。这些任务中，有成功的，更有失败的。成败经验可以七三开，但绝不能没有失败的任务。没有失败的任务，表示你对这个工作的探索还不够，在这个工作上接受的训练还不够，体会也还不够。

3.你对自己的能力有所掌握，换言之，已经可以体会到自己的强弱所在。知道如何发挥自己的长处，避免暴露自己的弱点，

4.懂得观察别人的工作，可以体会竞争对手的强弱所在，以及对方在工作上出招的意义及其作用。

5.要有自己承担失败的准备。

6.有信心也有准备组织团队内部运做，以及这些人与其他单位之间的协调。

7.对自己更上层楼之后可以做些什么不同于别人的事情，大致已经有设想与看法了。

当然，这些都只是更上层楼的充分条件。另外，还有必要条件。

必要条件就是机会。

然而，机会之出现，有其因缘，不是受个人意愿左右的事。读章回小说，经常看到 “怀才不遇，抑郁以终” 的人物。怀才没有一定要遇的道理。大致可以比喻为买奖券不一定会中奖的道理。

我听过一个很好的说法是：“机会是一个怪物，一个头发长在前额的怪物。所以要抓住机会，跟在它后面跑是没有用的。你一定要等在它的前面，看它过来，就当面一把抓住。”

所以，机会不能去追寻，而只能等待。只是这种等待有时是很漫长、很寂寞的。但如果对自己有极大的信心，就不怕这种漫长与寂寞。

高中数学中的习题教学思考 篇10

【关键词】 高中数学 习题教学 思考

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2013）11-009-01

习题教学是高中数学教学中的重要组成部分之一，在帮助学生巩固知识、提高学生对知识的实际应用能力，培养学生数学素养，提升学生综合素质方面有着积极而重要的作用和意义。但在当前的高中数学习题教学中，还存在一些问题，严重制约着我国高中数学的教学发展。

一、当前高中数学习题教学中存在的问题

1. 习题不适用需求

当前的高中数学的习题不仅题量少，不满足学生的日常联系需求，而且习题的难易度还存在很大差异不适合多数学生使用，而且题型上还不注重培养学生的综合数学解题能力，有局限性。

2. 教学方法单一

高中数学习题教学中，教师并没有以学生为中心，还是如传统教学一般以讲题为主，不仅没有调动学生的积极性，还降低了学生对数学知识的兴趣，习题教学并没有在提升学生数学能力上发挥作用，制约了我国高中数学教育的发展。

3. 教学手段落后

时代发展的今天现代化早已融入人们的生活，在高中数学的习题教学中，并没使用现代化的教学手段，利用网络查学习资料、在多媒体上探讨数学知识等都没有应用到习题教学中，不仅制约了学生学习知识的途径，还使高中数学教育与现代化脱节。

二、高中数学习题教学的改进策略

针对以上高中数学习题教学中的问题，并结合高中数学习题教材的特点，教师应该在习题教学中发挥学生的主体地位，以培养学生解题能力和思维能力为重点，全面提高学生的数学的水平。

1. 合理设计课件，发挥学生主体性

在高中数学教学中应该将学生作为出发点，以学生为主体，充分发挥学生的主体作用，促进学生数学能力的全面发展。教师在习题教学中应该重视对教材习题的背景知识挖掘，根据学生的实际数学水平，合理设计课件，引导学生进行自主解题，培养学生的综合数学能力。在数学习题教学中，要给学生时间去分析习题的解题突破口，并根据对知识的定位，从而使学生能自己去分解习题目标，从而找到解题的方法。如以下习题（图1）： P 点是ABC-A1B1C1斜三棱柱侧棱中BB1 边上的一个点，PM ⊥ BB1 相交AA1 于M，PN ⊥ BB1 交CC1 于N.求证：CC1⊥ MN. 图1

在这道习题中，其解题思路就应该从空间中之间之间位置的关系，并涉及了余弦定理的知识，因此这样的习题教学设计可以让学生的主体性得到发挥，有助于学生对解题思路的分析和理解巩固。

2. 丰富教学方法，激发学生积极性

在高中习题教学中应该充分发挥教材习题的优势，教师应该加强引导学生从不同角度去理解和认识习题，加强学生习题练习，并在充分挖掘习题教材中的各种资源，在教学中开展合作学习和研究性学习，指导学生运用已学知识从不同层次去解决数学问题，培养学生的自主探索精神，促使学生产生学习的欲望，进而对数学产生浓厚的兴趣，激发学生的学习积极性。同时还应当重视学生实践创新能力的培养，高中数学教学中教师应结合实际情况，将实践与探究性学习联合起来，开展情景式教学，拓展学生的解题思路。

3. 利用现代技术，增强学生立体感

多媒体技术具有生动、形象的优点，在高中数学习题教学中利用多媒体技术可给学生营造更为直观、生动的教学环境，提高学生的学习兴趣，如在立体几何学习中，高中学生的立体感普遍较为匮乏，如习题：如图2，三棱锥P-ABC，已知PAB为等边三角形，PA⊥PC，PB⊥BC，PC=4，平面PBC⊥平面PAC，求三棱锥P-ABC的体积。 图2

高中对三棱锥的立体感较正方体和长方体更差，而以往的板书教学或实体展示教学并不能很好地提高学生的立体感，学生学习时有较大的难度。而利用多媒体技术可将立体图像更加直观、形象地对立体图形进行展示，提示作辅助线AD⊥PC，垂足为D，连接DB，能帮学生很好地建立起空间立体感，提高学生解题能力。

此外，在高中数学的习题教学中，还可根据教学的实际情况及学生的数学水平适当增加学生的习题作业，并以自主学习、探究学习和合作学习等方式，保持习题教学中课时之间习题量的平衡，发挥学生在数学学习中的主体性。还可以在高中数学的习题教学中可以调整习题的顺序，以每个课时为单位按逻辑进行编排，增加数学教学中习题的针对性。

三、结束语

在高中数学上实施习题教学不仅能激发学生对高中数学的综合思维能力，还能促进高中数学教学质量的全面提升。在高中数学习题教学的过程中，应该注重教学的过程和方法，而且习题教学中要避免走入教学误区，并且把握好教学时机提高学生的解题能力，并发掘学生的解题思维，全面提升高中数学习题教学的水平。

[ 参 考 文 献 ]

高中数学,充分必要条件习题 篇11

版选修2-2 练习(P7)1.解：杨辉三角形的第8行是：1 7 21 35 35 21 7 1 杨辉三角形中的一般规律:(1)表中每个数都是组合数,第n行的第r+1个数是Cnrn!.r!(nr)!(2)三角形的两条斜边上都是数字1,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加,也就是rr1r=CnCn1+Cn1.rr1(3)杨辉三角具有对称性(对称美),即Cn=Cn.(4)杨辉三角的第n行是二项式(a+b)展开式,即

01r(a+b)=Cna+Cnab+„+Cnab+„+Cnb的二项式系数.nnn-1

1n-rr

n

n

n2.答案:(1)证明:如图所示,P是等边△ABC内一点,PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC，111PD·AB+PE·AC+PF·BC, 2221111因为AB=BC=AC,所以S△ABC=PD·AB+PE·AB+PF·AB=(PD+PE+PF)AB，2222则S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=所以PD+PE+PF=2AB.SABC因为等边△ABC的面积和边长AB为一定值,所以PD+PE+PF为定值.所以结论成立.(2)猜想:将上述结论从平面类比到空间,可以得出的结论是:正四面体内一点到四面体的各个面的距离之和是一个定值。

证明:设P是正四面体ABCD内一点,PE，PF，PM，PN分别是点P到正四面体ABCD四个面的距离, 则VABCD=1(PE+PF+PM+PN）S（S为正四面体ABCD一个面的面积), 3所以PE+PF+PM+PN=3S

.VABCD因为S，VABCD为一定值,所以PE+PF+PM+PN为定值.所以结论成立.习题1-1(P7)1.解：可以得出的结论是:37×3n=n×111(n=1，2，„，9).思路分析：通过对各个等式的观察,注意其数量变化规律,就可以得出相应的通式.33222.解：1+2=3=(1+2).333221+2+3=6=(1+2+3), 3333221+2+3+4=10=(1+2+3+4), „„

对上述各式进行归纳,可以得出如下结论:

n(n1)2n2(n1)21+2+3+„+n=(1+2+3+„+n)=［］=.24333

323.解:1层六边形的点数和为S1=5=5×1，2层六边形的点数和为S2=5+5+4=14=5×2+4，3层六边形的点数和为S3=5+5+4+5+4+4=27=5×3+4×3, „„

对上述各式进行归纳,可以得出n层六边形的点数和为: Sn=5+5+4+5+4+4„+5+4+4+„+4=5n+4×

n(n1)

2=5n+2n(n-1)=2n+3n.24.解：类比1+2+„+n的求和的过程可得：

3322因为n-(n-1)=n+n(n-1)+(n-1), 3322(n-1)-(n-2)=(n-1)+(n-1)(n-2)+(n-2), „„ 33222-1=2+2×1+1, 3322222从而有n-1=n+2(n-1)+2(n-2)„+2×2+1+n(n-1)+(n-1)(n-2)+ „+2×1, 22222222=n+2(n-1)+2(n-2)„+2×2+1+n-n+(n-1)-n-1+„+2-2+1-1 22222=3［n+(n-1)„+2+1］-［n+(n-1)+ „+2+1］-n-1

n(n1)2

-n-1, 2222n(n1)(2n1)所以有1+2+„+n=.6=3［n+(n-1)„+2+1］22225.解:与平面向量的坐标表示相类比,可以得出空间向量的坐标表示: 空间直角坐标系中的坐标: 已知空间直角坐标系和向量a,设i,j,k为坐标向量,则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k,有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=(a1,a2,a3).在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=xi+yj+zk,有序实数组(x,y,z)叫做点A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标.STS

类比推理的具体应用

高中数学发散性习题教学思路探析 篇12

[关键词] 高中数学；习题教学；发散性习题教学

高中数学教学中通过习题来强化学生对数学知识的理解，进而培养学生的数学思维，是一条基本且被证实有效的教学途径. 面对新的教学要求，面对新时期下学生数学素养提升的需要，习题教学如何在传统与创新之间寻求一种有效的结合，成为当下高中数学教师必须面对的重要课题. 笔者以为解决这一课题，需要建立基本的认知指向：一方面不能忽视传统，不能用空洞的所谓创新来否定传统习题教学中的有效做法，毕竟多年来高中数学教学中积淀下来的许多做法对于培养学生的数学思维是非常有效的；另一方面又不能囿于传统，传统的数学教育尤其是应试状态下的数学教学，确实存在着许多机械、重复、灌输的弊端，这是在习题教学研究中需要规避的. 笔者以为，传统数学教学中有一种方法值得传承，那就是发散性的教学思路，但同时其又要与现代教学理念与教学方式结合起来，这样才能在新的教学背景下发挥其新的魅力. 本文尝试对此做出阐述.

[?] 高中数学发散性教学思路简析

习题教学最直接的指向就是数学知识的运用，在这里需要阐述的一个观点是：当前的高中数学有研究新题的习惯，这是一件好事，因为新题往往能够用新的背景去较好地考查学生对数学知识的掌握情况. 但是需要强调的是，数学习题教学不能一味求新，尤其是在巩固学生的数学知识基础与数学知识初步应用的时候，一味地追求形式新颖，往往容易让学生忽视数学本义. 而笔者的这一观点在多个场合阐述的时候，也得到了不少一线教师的赞同. 实际上大家对当前的数学习题教学存在一个担心，那就是一味地追求形式新颖，很可能会让学生在数学知识理解的过程中，有意无意地忽视了对数学知识本质的理解.

如“最值问题”是高中数学中的一个重要类型，通过不同条件的提供，让学生基于数学规律（一般是通过公式来进行分析），确定一个最值. 经验证明，这种类型的数学题，由于思维过程的开放性，由于对数学工具选择的未知性，因而对学生的思维是非常具有挑战作用的，进而就能够很好地激活学生的数学思维. 但是近年来的一些最值问题常常通过一些看似华丽其实无效的信息包装，这样学生解题时的注意力会更多地集中在那些无效信息上，对于最值问题的求解思路反而倒忽视了，这也造成相当一部分学生在遇到最值问题的时候，把握不住重点.

基于这一现状，笔者以为类似于这些数学基础知识与基本解题能力的培养，一定要返璞归真，一定要通过“原味”的数学习题，并借助于发散性思路来真正提升学生的解题能力.

所谓发散性习题教学，就是给学生提供一个纯粹的数学试题，让学生运用所学的知识及其之前的解题经验，从解题思路、发散思路、试题变式、试题立意等多个方面展开思考，以对这一类习题构建一个立体的认识. 事实证明，发散性习题教学相对于一般的习题教学方式而言，其不仅能够提升学生的解题能力，还能促进学生对数学习题的理解，可以让学生站在一个更高的高度，可以让学生从多重角度去理解数学试题的价值. 笔者的实践经验还表明，发散性习题教学如果选择以一些经典、简洁的试题为“母题”，然后进行多重角度的发散，往往能够收到更佳的教学效果.

基于新的学习方式的发散教学

课程改革的背景下，高中数学教学追求教学方式的多样化，笔者所在的地区是教育强省，对于学生自主、合作、探究式的教学方式尤为重视，多年来在课程改革的春风吹拂下，一些课改理念已经成为课堂上的教学自觉. 即使在课程改革进入深水区的今天，虽然课改概念不再满天飞，但一些被证实为行之有效的教学方式，却真正成为课堂的常态. 在发散性习题教学的课堂上，这些新的教学方式也有所体现. 下面就选择一道经典的数学试题为母题，阐述笔者发散性的教学思路.

例：给你五根长度分别为2、3、4、5、6厘米的细棒，你能围出最大面积为多少平方厘米的三角形？（要求：细棒可以连接，但不可以折断.）

从题干描述来看，本题极为简洁，没有任何华丽修饰，但其在学生的思维中却可以迅速生成数学表象——学生会在思维中通过想象构建出三角形. 而面向三角形面积所提出的最值问题，就使得学生的数学思维会被迅速激活——他们会思考三角形面积求解过程中，有什么途径可以用来求最值.

也正是因为学生的这一直觉反应，所以发散性习题教学的第一个步骤是面向解题思路的. 笔者的课堂上，学生的解题思路基本上是这样的：

思路一：构建三角形. 显然在构建的过程中，如果一条边的边长确定好了，那在另外两边之和为定值的情况下，三角形的面积就有可能出现最值. 这也是教学过程中学生的第一思路. 事实证明，这种思路所用到的数学思维是一种“连续思维”，也就是说尽管题目提供的是5根不同长度的细棒——具有“间断性”，但在学生构建思维表象或者说在建构数学模型的时候，却在无意当中形成一种连续思维. 而也正是这种连续思维，使得有学生将此问题与椭圆问题联系了起来：毕竟椭圆的基本理解是到两定点连线为定值（大于两点距离）的点的集合. 如果视确定了一边的两个端点为定点，则剩下来的细棒长度之和就是一个定值，那么根据椭圆的模型，就可以发现当三角形为等腰三角形的时候面积是最大的. 于是问题的解决就转换成这5根细棒可以围成哪些等腰三角形，问题解决的思路也就清晰了. 应当说，这样的不同知识点之间的联系，尤其是借助于一个数学知识为另一个数学知识的解决建立模型，本身是本题培养学生思维的重要突破点.

思路二：事实上在上一思路形成的过程中，还有一个小组的学生在组内合作的过程中，提出了一个更为“笨拙”的方法，能不能一个三角形一个三角形去试，首先看能构成哪些三角形，然后看哪个三角形的面积最大. 在实际教学中有一个有意思的细节：当这个小组的学生代表提出这一思路之后，遭到了别的不少学生的反对，反对者认为这一思路太笨，不足以反映数学思维. 但笔者给予了这样的评价：这实际上是一种穷举思路，其实也是重要的数学思维方式，尽管其缺少规律性，但在数学探究的过程中很多思维的火花也就是在这种笨拙的思路中形成的. 因此，这个思路并不排斥，只是在运用的时候要注意效率罢了.

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思路三：利用“极值定理”中的“和定积最大”. 事实上在第一个思路形成的过程中，有少数学生的切入点正是这个，既然给定了三角形的周长，而三角形的面积最终表现为一种乘积关系，那根据“和定积最大”的规则，就肯定存在一个最大面积. 但是这个思路中有一个挑战，那就是和定积最大的运用结果是三边相等时存在最大值，但根据给出的5个数据，是不可能构建出等边三角形的，那怎么办呢？当笔者向全班学生提出这一问题之后，没有急着讲思路，而是让学生去自主思考，然后合作探究. 最后有学生提出：做不到等边三角形，那就去找最像等边三角形的三角形，那个就应当是最大面积. 那哪个三角形最接近等边三角形呢？自然是三边之差最小的，于是最终探究出了三边分别为6、7（2+5）、7（3+4）的三角形的面积是最大的.

通过这样的自主合作探究的过程，学生基本上都是靠自己的思维在解决不断遇到的问题，由于解题思路的发散性，因此学生的知识综合能力、问题分析与解决能力，以及重要的数学建模能力等都得到了培养.

发散性习题教学数学思维本质

在发散性习题教学的过程中，笔者特别重视学生的数学思维. 研究发现，数学思维并不是一个空洞的概念，而应当结合学生对习题的分析来形成. 在发散性习题教学的过程中，笔者常常跟学生进行习题立意的研究，因为这样对于培养学生的数学思维而言有着明显的促进作用.

习题立意原本是命题者的事情，但对于解题者来说，如果能够站到这个高度，其解题视角与能力提升往往会有更好的效果. 譬如上题，从知识立意的角度来看，可以让学生显性地认识到用到了三角形知识、最值知识、极值定理、组合知识、椭圆知识等；从能力立意的角度来看，可以培养学生数学建模能力，以及将看似无关的知识有效联系的能力等. 而这些内容如果显性化，就会在学生后续的解题中发挥一种导引作用，也就是说学生对数学知识的把握不再是内隐的，而是显性的、可以言语的. 这样的试题立意的教学，某种程度上讲也是传统习题教学方式的发散，在提升学生解题能力的同时，还促进了学生基于数学知识进行交流、合作的能力，毕竟，学生言之有物了，而不是只会解题却无法表达.

综上所述，高中数学教学中，通过发散性的习题教学，可以从应用的角度对学生的能力提升有一个提纲挈领式的把握. 笔者以为，无论教学方式如何变革，这样的习题教学思路不能丢弃.

高中数学习题课教学有效性分析 篇13

关键词：高中数学；习题课；有效性

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）01-233-01

数学解题能力的训练，是高中生数学能力的集中体现。解题快、解得对、解得好，就说明学生理论联系实际的能力以及应用分析能力都很强。所以说学生解题能力的训练是高中数学教学的重要部分，教师在习题课上要关注学生的发展，突出学生的主体地位，最大限度调动学生的学习积极性，通过综合运用各种教法，达到教学理论与教学实践相统一的目的。

数学学习是一种经验习得性的活动。长久以来，我们都知道，无论是采用计算机辅助教学手段，还是传统的一支笔一张纸的演算方式，数学知识都不是靠拍脑袋突发奇想就能够学到的。有的人会说他是借助灵感解决问题的，但灵感还是有赖于实践性经验的积累的。因此，没有实际或思想的操作，数学概念将成为无源之水，无本之木。在习题课教学中，教师力图通过对典型习题讲评和指导学生解题练习，帮助学生巩固、深化基础知识，消除学习障碍，纠正存在的问题，梳理已学的概念和已有的知识结构，构建知识系统。因此，习题课在高中数学教学中占有重要的地位。随着教学改革推进，对于课堂教学质量的追求，也更促使我们把教育研究的重点逐渐放到了提高课堂教学有效性上。正因为习题课在高中数学中的重要地位，要提供数学教学的整体效率，就要改进数学习题课的教学，要让老师因此而少教，学生因此而多学，让学校充满快乐，而不是厌烦和高压。目前，随着课程改革的推进，数学教学内容不断地增加，教学要求也在不断地提高，而课时却在减少。要从根本上解决这一矛盾，迫切需要提升实践中的数学教学效率。习题课作为数学教学中的重要组成部分，对于数学教学效率的提升有着重要的作用。教育教学的发展需要对于数学习题课的研究。

一、习题教学的要点

1、审题。学生解题的第一步是审题，通过审题发现问题中的已知条件，并总结解题的思路，弄清楚所求的结论。“问题想得透，就意味着成功了一半”，所以教师在习题训练时，必须要科学选择例题，并做到精细分析，帮助学生掌握到正确身体，挖掘已知条件的方法，通过转化获得更多的解题信息。审题包括一下三大方面：

（1）分解题目中的“已知”与“未知”，“条件”与“结论”的概念。

（2）通过分析将题目中条件以及结论用直观的方式出来，如：概念公式化、文字图形化。

（3）充分挖掘题目中的隐含条件。

学生只要充分做到这三点内容，在审题能力方面就能够有很大突破，当然如果是难度较大的一些题目，教师应该进行合理的引导和启发，帮助学生更加准确的找到题目中的隐藏条件，同时注意例子的结合，通过正确做法与错误做法的对比，达到查缺补漏的目的，使学生建立良好的身体习惯，掌握正确的审题方法。

2、探索。教师要尽可能多的训练学生思维，通过各种探索活动，提升动脑、动手的能力，调动学生的主观能动性，一个题目常常有很多种解题方法，教师启发和鼓励学生，多多研究，多多探索，尽可能多的找到解题方法，从多个角度去思考问题，有的题目从已知条件中可以直接找到解题的方法，但是如果换个角度从结论中也可以找到问题，甚至可以引入问量进行搭桥，最终解决问题。

3、表述。除了审题、探索之外，书面表述能力也是非常关键，因为不管学生理解得多透彻，找到多少种解题方法，如果书面表述不明确，不清晰，不正确，那么依旧没有采分点，得不到高分。所以说，解题表述一定要逻辑严禁、层次清晰、步骤完整、理据分明。

4、同顾。同顾就是要求学生对上述各个环节作进一步的审查，以保证题目合理的解答，并从中发现解题规律，举一反三，触类旁通。

二、课堂练习案例分析

练习课教学，教师主要针对典型题型进行教学，学生通过教师的讲解，逐渐能够找到这类题的解题规律，最终建立触类旁通，举一反三的能力，同时还要进行“一题多解、一题多变”的训练，拓展学生思维。“恒成立问题”是高中数学教学的典型问题，下面针对这个问题进行具体分析：

己知函数f（x）1/3x3-ax2+x在（0，2]区间上是增函数，求a的取值范围。这个题目在作为例题进行分析时，可跟学生讲述以下三种方法：由题意知。

1、分离参数法。

2、构造函数分类讨论法（数形结合）。令g（x）=x2-2ax+a+1，x?（0，2]，其对称轴为x=a，则可分i：a<0，ii：1≤a≤2，iii：a>2进行讨论。

3、数轴法。这种做法需要解出原函数的单调递增区间，而a>2是所求的区间子集，这种方法最然不常用，但是学生了解还是非常非常必要的。

通过对普通高中学生和数学教师“数学习题课学习现状的调查，结合笔者多年的高中教学经验，对于高中不同阶段、不同类型的数学习题课以及不同教师的习题课课堂进行研究，以国内外相关理论文献为指导，提出一些有助于优化数学习题课课堂的教学策略，从而为提高普通高中数学习题课的有效性提供参考，优化中学数学习题课的教学，解决“怎样上好一节数学习题课”的问题，提升中学数学课堂教学的整体效率。高中数学在开展练习题教学的时候，教师除了教授学生案例题型的解题步骤与方法，还可以适当将案例题型进行简单的变化和改编，目的是让学生能够更加灵活的选择解题方法，活跃思维，提升解题的能力。

参考文献：

[1] 徐章韬，顾泠沅.师范生课程与内容的知识之调查研究[J].数学教育学报.2014（02）