一元二次函数最值问题

一元二次函数最值问题

一元二次函数最值问题 篇1

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

一元二次函数最值问题 篇2

例1 (2008年贵阳市) 某宾馆客房部有60个房间供游客居住, 当每个房间的定价为每天200元时, 房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时, 就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间, 宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x元.求:

(1) 房间每天的入住量y (间) 关于x (元) 的函数关系式;

(2) 该宾馆每天的房间收费z (元) 关于x (元) 的函数关系式.

(3) 该宾馆客房部每天的利润w (元) 关于x (元) 的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时, w有最大值?最大值是多少?

分析解决这类问题的关键就是找到定价增加后该宾馆每天的入住量, 此类试题都可以转化为二次函数的最值问题, 利用二次函数的图像和性质加以解决.

当x=210时, w有最大值.此时, x+200=410, 当每个房间的定价为410元时, w有最大值是15210元.

点评二次函数在生产、生活中有着广泛的应用, 利用二次函数解决实际问题, 要注意结合函数图像、性质, 对照实际情景进行分析.此例中的最大值恰好是二次函数的顶点的函数值, 可以直接求顶点坐标来确定最值.但有时还要考虑自变量的取值范围.比如:

例2 (2008年山东省青岛市) 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫, 规定试销时的销售单价不低于成本价, 又不高于每件70元, 试销中销售量y (件) 与销售单价x (元) 的关系可以近似地看作一次函数 (如图) .

(1) 求y与x之间的函数关系式;

(2) 设公司获得的总利润 (总利润=总销售额-总成本) 为P元, 求P与x之间的函数关系式, 并写出自变量x的取值范围;根据题意判断:当x取何值时, P的值最大?最大值是多少?

分析此题是一次函数与二次函数的综合问题, 解题时, 首先根据图像获得的信息, 利用待定系数法求出一次函数的表达式, 再根据总利润=总销售额-总成本列出二次函数的表达式.求最大值时, 要注意自变量的取值范围, 再利用二次函数的图像性质求出最大值.

解 (1) 设y与x的函数关系式为y=kx+b.

∵函数图像经过点 (60, 400) 和 (70, 300) ,

∴y=-10x+1000.

(2) P= (x-50) (-10x+1000) =-10x2+1500x-50000.

自变量取值范围为:50≤x≤70.

∴函数P=-10x2+1500x-50000图像开口向下, 对称轴是直线x=75.

∵50≤x≤70, 此时y随x的增大而增大,

∴当x=70时, P最大值=6000.

点评此题在求最值时, 没有在抛物线的顶点处获取, 其原因就是自变量的取值范围, 这一点同学们可以结合抛物线图像利用数形结合的思想体会.这也是同学们最爱丢分的地方.因此, 今后在求最值时, 一定要看清自变量的取值范围.

练习题:

1. (2008年安徽省) 杂技团进行杂技表演, 演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处, 其身体 (看成一点) 的路线是抛物线的一部分, 如图.

(1) 求演员弹跳离地面的最大高度;

(2) 已知人梯高BC=3.4米, 在一次表演中, 人梯到起跳点A的水平距离是4米, 问:这次表演是否能成功?请说明理由.

2. (2008年武汉市) 某商品的进价为每件30元, 现在的售价为每件40元, 每星期可卖出150件.市场调查反映:如果每件的售价每涨1元 (售价每件不能高于45元) , 那么每星期少卖10件.设每件涨价x元 (x为非负整数) , 每星期的销量为y件.

(1) 求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;

(2) 如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大?每星期的最大利润是多少?

答案:

∵∴函数的最大值是

答:演员弹跳的最大高度是19/4米;

(2) 当x=4时, 所以这次表演能成功.

2.解: (1) y=150-10x, 0≤x≤5且x为整数;

二次函数最值问题分类剖析 篇3

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数的最值问题的研究 篇4

（文献综述）

（内江师范学院数学与应用数学，四川 641100 王强）

摘 要函数的最值问题是高中阶段研究函数性质的一个重要指标，除了知道什么是函数最值如何求解最值这类高中生必须达到的基本要求外，能够精通求解函数最值的各种解法以及巧妙解答各类题型是对高中教师乃至高中学生的进一步要求。近年来，随着新课程的改革，教材中需要掌握的内容越加繁杂，对于知识的领悟程度也越发要求的高，高考中考查最值的题目难度增大，这不管是对于教师还是学生来说都是一个大的挑战，适应这一系列的变化，已经成为一种趋势，教师需要大量的学习、更精深的知识以及更多的方法来帮助学生度过难关，以达到一个高中生该具有的基本数学素养。

关键词 函数最值 解法 解题

前 言 最值问题是是高中数学乃至高考的热点以及重点，也是考察其他知识点的载体，它不但可以训练学生的逻辑思维，而且可以掌握很多的解题技巧，提高解决问题的能力，是解决函数问题的基准．如二次函数的最值问题可以更确切的认识图象，能够形象地判断所求闭区间内函数的最值．在实际生活中在具体问题中建立数学模型，解决高中数学建模中简单的最优化问题，以明确在生产生活中何时利润最大，成本最低，用料最省等等，它对其他学科也有辅助作用，如物理中的最短路线问题，经济学中的投资收益，航天发射计算最佳时间等．学习最值问题主要还是为了在高考中解决涉及最值问题的题型，如线性规划、三角函数、数列、圆锥曲线、导数等都会适当考查运用，是决战高考的基础知识。

1.高中生学习函数最值问题的困难

现在有很多学生遇到题目不会灵活应用，只会一味模仿以前做题的方式，用学到的很浅显的最值概念去解题，而没有作融会贯通，举一反三，计算能力以及解题技巧都还处在很基础的水平，在解题的时候很多学生搞不清已知条件所要传达的信息，无法正确的得出结论，更无法自如的应对结合诸多知识点的难题，亦或是高考．在平时的生活中，更是照本宣科，无法将学习到的最值问题，数学模型应用到实际生活中，当今时代，经济、金融已经是毕业生们想要争先步入的龙头行业，众所周知，学好经济学要很扎实的数学基础，由此看来，从长远考虑，最值问题是高中生在高中的一堂必修课。

2.先前研究成果

由于函数最值在高考以及日常生活的重要性，所以，对于函数的最值的研究也一直没有间断．如陈克胜于2005年在高等函授学报（自然科学版）发表的《求函数最值的方法举例》中为求解函数最值提供思路，重点是为了拓宽学生解决函数最值有关问题的视野，倡导应该通过解题，在解答过程中培育创新思维能力；游波平在《函数最值解法技巧探究》（《重庆文理学院》（自然科学版）2007.4）给出了一些求解函数最值的技巧，如数形结合思想这一类比较惯用的思想，并致力解决生产、生活和科学研究中的常见问题；王贵军2010年3月发表一篇题为《几何法在求解函数最值问题中的应用》的文章，旨在运用几何图形以及题目的几何意义来解决函数的最值问题，给我们以新的启迪．颜世序2012年3月在解题技巧与方法发表《浅谈导数在求函数最值中的应用》，将求函数最值的问题融入到求导的问题当中，导数也是高考的一个比较重要且相对较难的考点，笔者把函数最值与高考结合起来，更加说明函数最值的应用广泛性．2013年，张永红发表《新课标下高中数学应用题中的最值问题研究》，他在这项研究中紧密结合我国现阶段高中数学教学状况，精心挑选了部分高考题进行方法总结，并通过问卷调查得出实证，为读者分享了自己应对此问题的教学策略．陈荣灿在2010年发表毕业论文《高中数学最值问题的教学研究》，他主要指出了高中最值问题在教学过程中本身存在的一些不足，并且为了提高教学质量从例题的讲解、课时的安排、激发学生的学习兴趣、运用数学观点数学思想等方面给出建筑性的意见．

以上这些文献期刊都没有做到全面系统的给出有关最值的解题方面行之有效并且实用的方法。

3.二次函数最值问题的研究点

求解函数的最值是高考的重点以及难点，必须从根本上解决高中生面对最值问题所遇到的困难，前面的文献很多都是有解法的缺乏思想，有教学的缺乏实践支撑，这样学生依然会陷入自己原有的思维定势，不懂得理论与实践的结合，在今后的做题中依然会遇到同样的问题．本文就是让学生将解题的技巧与求解函数的最值结合起来，主要针对做题，也给教师一些习题课的建议，让学生不再害怕最值问题，不再高考的大部分涉及函数最值的题目中失分。函数最值的问题包括求解某初等函数在闭区间内的最值，复合函数的最值，经济生活中的最大收益、最小成本、最大期望等的最值，而求解函数最值的主要核心是解法，俗话说，凡题有法而可解，高中生在做题的时候往往照抄书本模式，禁锢于思维定势，用解法解题便成了盲区，对于解法，教材中只提到了二次函数配方法求最值，利用函数的单调性、奇偶性求最值，这些方法可以应对一些简单的题目，如果题目加大难度，学生就束手无策，这样一来，学生多学习课外知识就显得尤为重要．眼观六路，容易充实人的大脑，耳听八方，可以丰富人的思维，高中生需要这样的实践来提升自己．文章对函数最值问题的解法进行研究，目的就是为了扩大学生之视野，扩张学生之思维，以解学生学习最值问题。

参考文献

【1】谭永基，俞红．现实世界的数学视角与思维［M］．上海：复旦大学出版社．2010：41-45．

【2】梁红．高考三年真题研究（文数）［G］．陕西科学技术出版社．2014． 【3】梁红.高考真题超详解（理数）［G］．陕西科学技术出版社．2014． 【4】陆军．三角函数最值问题的八种求解策略［J］．延边教育学院学报．2012，26（1）：46-53．

【5】游波平．函数最值解法技巧探讨［J］．重庆文理学院学报．2007，26(2)：108-110．

一元二次函数最值问题 篇5

设计意图: 同学们学习了二次函数以后，有一类问题就是讨论二次函数在闭区间上的最值问题，同学们可能感觉不太好做。这节课就这样一类问题进行讨论。教学目标：

希望通过这节课的讨论，同学们能够对这一类问题有一个清晰的认识，以后再碰到类似的问题会思考，从而会解题。教学重难点：

让学生通过仔细观察二次函数图像，体会和理解二次函数在闭区间上最值问题的解法，并逐步培养对参数进行讨论的意识和习惯。教学方法：

借助多媒体进行教学。

二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f(x)axbxc(a0)，求f(x)在x[m，n]上的最大值与最小值。2b4acb2b分析：将f(x)配方，得顶点为、对称轴为 x，2a4a2a 当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上f(x)的最值：

bm，n时，f(x)的最小值是（1）当2a2b4acbf，f(x)的最大值是2a4af(m)、f(n)中的较大者。

bm，n时 2abm，由f(x)在m，n上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)若2ab若n，由f(x)在m，n上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)

2a

当a0时，可类比得结论。（2）当例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下三种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定。

1.轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定

第1页（共4页）区间上的最值”。

例1.函数yx4x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

分析：画出函数图像如下不难求出最值。2图1 练习.已知2x3x，求函数f(x)xx1的最值。

22图2

2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2.如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值。

2图1图2图8 2f(x)x2x3，当x[t，t1](tR)时，求f(x)的最大值． 练习.已知

二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

第2页（共4页）

当a0时f(x)maxbf(n)，n(如图3)b12af(m)，(mn)(如图1)bb2a2f(x)minf()，mn(如图4)

b12a2af(n)，(mn)(如图2)b2a2f(m)，m(如图5)2a

当a0时f(x)maxbf(n)，n(如图6)b12af(m)，(mn)(如图9)2a2bb f()，mn(如图7)f(x)minb12a2af(n)，(mn)(如图10)b2a2f(m)，m(如图8)2a

3、轴变区间定

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例3.已知x1，且a20，求函数f(x)xax3的最值。

解：由已知对称轴x22a1即可得最值。2

图3 练习.(1)求f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2)求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。

2第3页（共4页）二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例4.已知函数f(x)ax22ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。分析：分三种情况：最大值是在-3,2，还是在顶点处取得，求出a，然后再检验即可。

练习.已知二次函数f(x)ax2(2a1)x1在区间3求实数,2上的最大值为3，2a的值。

三．作业

21．函数yxx1在[1,1]上的最小值和最大值分别是

（）

(A)1 ,3

(B)2311 ,3

（C） ,3

（D）, 3

424

2已知函数yx2x3在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________3．设f(x)x24x4,x[t,t1](tR),求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。

4．已知f(x)xax

小结与反思：

这节课学习了二次函数在闭区间上的最值得求法。课后了解到并没有达到预期的目的。这样设计的优点是：这类问题讨论得比较全面。不足是：内容太多，讲解不够仔细，学生并不能掌握。如何改进：我想针对以上不足，可以把以上内容分两个课时来上，或者选择例题更简单些，让学生易于接受，同时，如果借助多媒体教学，会更直观形象一些，效果可能会更好一些。

一元二次函数的性质教案专题 篇6

课题：一元二次函数性质.教学目标：1．掌握一元二次函数的图象和性质.2．掌握研究一元二次函数性质的方法.3．培养学生的观察分析能力、逻辑思维能力、运算能力和作图能力.培养学生用配方法解题的能力.渗透数形结合的思想方法.4．使学生掌握从特殊到一般的认识规律和认真仔细的态度，培养学生用对立统一的观点、全面的观点、联系的观点、运动变化的观点和具体问题具体分析的观点处理问题.教学重点：研究二次函数性质的方法.教学难点：探索二次函数的性质.教学方法：讲练结合法、演示法.教学手段：三角板、投影仪、胶片、计算机.课时安排：1课时.课堂类型：授新课.教学过程：课件1 课件

2一、复习导入

1．复习提问：(学生回答，启发学生通过配方得出结论.)函数函数？图象如何？如何化为

＝(＋)＋的形式？

叫什么

2．导入新课：(老师口述；板书课题.)在初中学习的基础上今天我们继续学习和研究二次函数的图象和性质.二、讲授新知

1．引例分析：

例1(板书)求作函数的图象.解：(启发学生思考，分析讲解，归纳结论.)

.由于对任意实数，都有≥0，所以≥－2.当且仅当＝－4时取等号，即作＝－2.(－4)＝－2，该函数在＝－4时取最小值－2，记

当＝0时，＝－6或＝－2，函数的图象与轴相交于两点(－6，0)、(－2，0).＝－6或＝－2也叫做这个二次函数的根.以＝－4为中间值，取的一些值，列出这个函数的对应值表：

在直角坐标系内描点画图(图3－8):

结论：(投影，说明)该函数的图象关于直线＝－4对称，开口向上，有最低点(－4，－2)，最小值为－2；函数在区间(－∞，－4]上是减函数，在区间[－4，＋∞)上是增函数.例2(板书)求作函数＝－－4＋3的图象.解：(启发学生思考，分析讲解，归纳结论.)＝－[(＋2)－7]＝

＝－－4＋3＝－(＋4－3)－(＋2)＋7

由－(＋2)≤0得，该函数对任意实数都有号，即＝7，该函数在＝－2时取最大值7，记作

≤7，当且仅当＝－2时取等＝7.以＝－2为中间值，取的一些值，列出这个函数的对应值表：

在直角坐标系内描点画图(图3－9)：

结论：(投影，说明)该函数关于直线＝－2对称，开口向下，有最高点(－2，7)，最大值为7；在区间

(－∞，－2]上是增函数，在区间[－2，＋∞)上是减函数.2．一元二次函数的性质(启发学生归纳性质，板书.微机显示，说明.)

一般地，对任何二次函数(≠0)，都可通过配方，化为，其中，到二次函数的一般性质：，由此可得

(1)函数的图形是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是(－，)，抛物线的对称轴是直线＝－；

(2)当＞0时，函数在＝－处取最小值＝减函数，在[－，＋∞)上是增函数.(－)；在区间(－∞，－]上是

(3)当＜0时，函数在＝－处取最大值＝增函数，在[－，＋∞)上是减函数.(－)；在区间(－∞，－]上是

三、课堂练习(投影.启发学生思考、练习.老师总结订正.)

求作函数＝－＋4－3的图象，并回答下列问题：

(1)指出曲线的开口方向；

(2)当为何值时，＝0；

(3)求函数图象顶点的坐标和对称轴.四、课堂小结(口述)

本节课主要掌握研究二次函数性质的方法，熟记二次函数的图象和性质.五、布置作业(投影、说明)

1．复习本节课所学内容.2．书面作业：第93页习题3－2第3题.3．预习作业：预习第89页，例

一元二次函数最值问题 篇7

解设每件涨价x元, 每星期售出商品的利润为y元.

根据题意得,

y= (60+x) (300-10x) -40 (300-10x) = (20+x) (300-10x) (0≤x≤30) .

当y=0时, 20+x=0, 300-10x=0,

x1=-20, x2=30.

∵a=-10<0,

ymax= (20+5) (300-10×5) =6250.

答:定价65元利润最大, 最大利润是6250元.

那么, 什么形式的二次函数用这种方法求解简单呢?

形如:y= (mx+n) (px+q) , (mp≠0) ,

当y=0时, mx+n=0, px+q=0,

∵mp≠0, ∴m≠0, p≠0.

时, y有最值.它的计算方法是只要把对称轴x的值代入即可.

试着做下面的几道中考题

1. 种植能手小李的实验田可种植A种作物或B种作物 (A, B两种作物不能同时种植) , 原来的种植情况如表.

通过参加农业科技培训, 小李提高了种植技术.现准备在原有的基础上增种, 以提高总产量.但根据科学种植的经验, 每增种1棵A种或B种作物, 都会导致单棵作物平均产量减少0.2千克, 而且每种作物的增种数量都不能超过原有数量的80%.设A种作物增种m棵, 总产量为yA千克;B种作物增种n棵, 总产量为yB千克.

(1) A种作物增种m棵后, 单棵平均产量为__千克;B种作物增种n棵后, 单棵平均产量为__千克;

(2) 求yA与m之间的函数关系式及yB与n之间的函数关系式;

(3) 求提高种植技术后, 小李增种何种作物可获得最大总产量?最大总产量是多少千克?

解 (1) (30-0.2m) ; (26-0.2n) .

(2) yA= (50+m) (30-0.2m) , 即yA=-0.2m2+20m+1500yB= (60+n) (26-0.2n) , 即yB=-0.2n2+14n+1560.

(3) 由 (2) 得y=0时, m1=-50, m2=150.

∵-0.2<0, ∴当m=时, yA有最大值, 但m≤50×80%, 即m≤40.

∴当m=40时, yA的最大值为1980.

∵-0.2<0, ∴当n=35时, yB有最大值, 并且n≤60×80%, 即n≤48.

∴当n=35时, yB的最大值为1805.

又∵1980>1805,

∴小李增种A种作物可获得最大产量, 最大产量是1980千克.

2.

某商品的进价为每件40元, 售价为每件50元, 每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元, 则每个月少卖10件 (每件售价不能高于65元) .设每件商品的售价上涨x元 (x为正整数) , 每个月的销售利润为y元.

(1) 求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;

(2) 每件商品的售价定为多少元时, 每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?

(3) 每件商品的售价定为多少元时, 每个月的利润恰为2200元?根据以上结论, 请你直接写出售价在什么范围时, 每个月的利润不低于2200元?

解 (1) y= (210-10x) (50+x-40) , 或y=-10x2+110x+2100 (0

(2) y=0时, x1=21, x2=-10.

∵a=-10<0, ∴当时, y有最大值2402.5.

∵0

当x=5时, 50+x=55, y=2400 (元) , 当x=6时, 50+x=56, y=2400 (元) .

∴当售价定为每件55元或56元时, 每个月的利润最大, 最大的月利润是2400元.

(3) 当y=2200时, -10x2+110x+2100=2200,

解得x1=1, x2=10.

∴当x=1时, 50+x=51, 当x=10时, 50+x=60.

∴当售价定为每件51元或60元时, 每个月的利润为2200元.

当售价为51元或60元时, 每个月的利润为2200元.

二次函数在某区间上的最值问题 篇8

1. 所给区间确定,对称轴位置也确定

若所给区间是确定的,其对称轴位置也是确定的,则只要先考虑其对称轴横坐标是否在所给定区间内,当对称轴横坐标在所给定区间内时,其一个最值在顶点取得,另一个在与顶点横坐标距离较远的端点取得;当对称轴横坐标不在所给定区间内时,用函数的单调性确定其最值.

例1 已知函数f(x)=x2+2x+ax,对任意x∈［1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.

解:在区间［1,+∞)上,f(x)=x2+2x+ax>0恒成立，即x2+2x+a>0恒成立.设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞),其对称轴x=-1［1,+∞).因为函数f(x)=x2+2x+a在［1,+∞)上单调递增,故ymin=f(1)=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时,f(x)>0恒成立,从而a的取值范围(-3,+∞).

2. 所给区间变化,对称轴位置确定

若所给区间是变化的,而对称轴位置是确定的,则对于区间变化是否包含对称轴的横坐标必须进行分类讨论.其分类标准为:变化区间中包含对称轴横坐标;变化区间中不包含对称轴横坐标.

例2 设a为实数,函数f(x)=x2+∣x-a∣+1,x∈R,求f(x)的最小值.

解:① 当x≤a时,函数f(x)=x2-x+a+1=x-122+a+34

若a≤12,则函数f(x)在(-∞,a］上单调递减,从而函数f(x)在(-∞,a］上的最小值为f(a)=a2+1;若a>12,则函数f(x)在(-∞,a］上的最小值为f12=34+a,且f12≤f(a);② 当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1=x+122-a+34

若a≤-12,则函数f(x)在［a,+∞)上的单调递增,从而函数f(x)在［a,+∞)上的最小值为f-12=34-a,且f-12≤f(a);若a>-12,则f(x)在［a,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在［a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.

综上,当a≤-12时,函数f(x)的最小值为34-a;当-12

3. 所给区间确定,对称轴位置变化

若所给区间是确定的,但对称轴位置是变化的,则对于对称轴位置变化情况必须进行分类讨论;对称轴横坐标在给区间内变化;对称轴横坐标在给区间外变化.若对称轴横坐标只能在给定区间内变化,则只需考虑其与端点的距离.

例3 若对任何实数x,sin2x+2kcosx-2k-2<0恒成立，求实数k的取值范围.

解：原不等式化为cos2x-2kcosx+2k+1>0令t=cosx,则-1≤a≤1

令f(t)=t2-2kt+2k+1=(t-k)2-k2+2k+1按对称轴t=k∈［-1,1］和k［-1,1］分类

(1) 若k<-1,欲使f(t)>0在［-1,1］上恒成立，只需f(-1)>0，即k>-12,故k不存在.

(2) 若-1≤k≤1，欲使f(t)>0［-1,1］上恒成立，只需Δ=4k2-4(2k+1)<0,求得1-2

(3) 若k>1,欲使f(t)>0［-1,1］上恒成立，只需f(1)>0,求得k>1.

综上所述，k的取值范围是k>1-2

4． 所给区间变化,对称轴位置也变化

若所给区间是变化的，而且对称轴位置也在变化，但由于它们的变化是相互制约的，故必须且只须对它们的制约关系（含参量）进行讨论：对称轴横坐标在所给区间内；对称轴横坐标不在所给区间内.

例5 已知函数f(x)=lg［-x2+（a-1）x+a］(1≤x

解：令u(x)=-x2+（a-1）x+a(1≤x

由于u(x)=-x2+（a-1）x+a(1≤x

当a-12≤1，即1

当13时,umax=ua-12=-a-122+(a-1)a-12+a=a2+2a+14

令a2+2a+14=100，得a=19或a=-21（舍）；

当a-12≥a时，此时a≤-1与a>1矛盾，对称轴不可能在x=a的右侧.

一元二次函数最值问题 篇9

【教学目标】 知识与技能：

理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化。过程与方法：

逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与x轴的交点情况。由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。情感、态度与价值观：

培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。【教学重点】：探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。【教学难点】：函数方程x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。【教学准备】：多媒体课件、作图工具 【教学方法】：提问法，练习法，总结法 【教学过程】

一、师生互动、课堂探究

1．[探究]（1）教材P43问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2.考虑以下问题：

球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？

球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？

球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ 球从飞出到落地需要多少时间？ 学生交流各自愿 求解方法与结论。

[归纳]二次函数与一元二次方程有如下关系；

1、函数y=ax2+bx+c，当函数值y为某一确定值m时，对应自变量x的值就是方程ax2+bx+c=m的根。特别是y=0时，对应的自变量x的值就是方程ax2+bx+c=0的根。以上关系，反过来也成立。

[议一议]利用以上关系，可以解决什么问题？

利用以上关系，可以解决两个方面问题。其一，当y为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量x值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根。2．二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系 [议一议]观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？ 方程x2+x-2=0的根是x1=-2，x2 =1.方程x2-6x+9=0的根是x1= x2=3。方程x2-x+1=0无实数根。[归纳] 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知： 如果抛物线y=与x轴有公共点（x0，0），那么x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。

抛物线与x轴的三种位置关系：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

三、课堂练习：

根据本节课的内容选4个题进行检测，检查学生掌握的程度。针对存在的问题小组进行评讲，老师总结评价。

四、课时小结：

一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知： 如果抛物线y=与x轴有公共点（x0，0），那么x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。抛物线与x轴的三种位置关系：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

五、布置作业：课本P47习题22.2第1、2题

二次函数涨价问题 篇10

2、某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在某一时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低一元，就可以多售出200件。请你帮助分析：销售单价是多少时，可以获得最大利润？

1、（1）解：设该商品定价为x元时，可获得利润为y元依题意得： y ＝（x－40）·〔300－10（x－60）〕 ＝－10x2＋1300x－36000 ＝－10(x－65)2＋6250 300－10（x－60）≥ 0 当x=65时，函数有最大值。

得x≤ 90（40≤x ≤ 90）即该商品定价65元时，可获得最大利润。（2）设涨价x元

(60+x)(300-10x)=18000 18000-600x+300x-10x^2=18000 300x+10x^2=0 10x(30+x)=0 x1=-30 x2=0 又30<40 所以不可以

又（60-x）(300+20x)=18000 x1=45 x2=0 又15小于40 所以综上 定价60元是收益最大

一元二次函数最值问题 篇11

一、函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值的动态演示

1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制好A点（-1，0）和B点（3.2，0），即区间[-1，3.2].在线段AB上构造一个点C，度量出C点的横坐标，记为x，再计算出f（x），绘制好D（x，f（x））；选择C、D【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的图像.

2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.过D点作y轴的垂线段交y轴于E点.C点在线段AB上移动时，D点的纵坐标与E点的纵坐标一样.通过E点的值的变化可以清晰地反映函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值.

3.选择点E【编辑】|【操作类按钮】|【动画】，制作好按钮.只要按就可以让F点在图像上运动起来，观察出何时取最大值和最小值，最后将E、F的标签改为x、f（x），如图1.

图1

二、函数f（x）=x2-2x+2在区间[t，t+2]上的最大值和最小值的动态演示

1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制一点A，度量A的横坐标，记为t，计算t+2；绘制点B（t+2，0），构造线段AB，在线段AB取一点P，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点M（x，f（x））；选择P、M【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像.

2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出函数图像的对称轴，过A、B两点作x轴的垂线段，作出线段PM，再过M作y轴的垂线段（虚线），最后将A、B、P、M的标签改为t，t+2，x，f（x），如图2.

图2

3.拖动点t让函数f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像动起来.观察函数在区间[t，t+2]的最大值和最小值，并从中总结出需要的结论.

4.当t≤-1时，函数的最大值为f（t），最小值为f（t+2）；当-11时，函数的最大值为f（t+2），最小值为f（t）.

三、函数f（x）=x2-2tx+2在区间[-1，1]上的最大值和最小值的动态演示

1.在x轴上构造一点A，过A点构造x轴的垂线，再在垂线上构造一点B，度量其纵坐标，记为t，并将B点标签改为t.

2.绘制函数f（x）=x2-2tx+2图像；绘制点C（-1，0）、D（1，0），构造线段CD，在线段CD上取一点E，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点F（x，f（x））；选择E、F【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的图像.

3.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出对称轴，并作出线段EF，再过F作y轴的垂线段（虚线）.将点E、F的标签改为x，f（x）.

4.拖动参数t，观察图像的变化，然后保持参数t不变，再拖动点x，观察其函数值的变化，得出函数f（x）=x2-2tx+2在区间[-1，1]上的最大值和最小值（图略）.

5.当t≤-1时，函数的最大值为f（1），最小值为f（-1）；当-11时，函数的最大值为f（-1），最小值为f（1）.

闭区间上二次函数求最值探讨 篇12

一、定轴动区间

所谓的定轴动区间就是说这时候二次函数的对称轴是可以确定的, 而闭区间不确定, 有一定的变量存在, 是不确定的。二次函数在闭区间上的最值受制于对称轴与区间的相对位置关系, 特别是含参数的两类“定区间动轴、定轴动区间”的最值问题, 要考察区间与对称轴的相对位置关系, 分类讨论常成为解题的通法, 这些问题其实仔细思考就很容易解决。通过二次函数的性质和图像, 我们不难观察到:二次函数在闭区间上的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。

例1.求f (x) =-x2+2x-2在闭区间[t, t+1]上最大值和最小值是多少。

分析:根据二次函数最值出现的可能:二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。在这个例题中, 这个二次函数是开口向下的, 在闭区间上, 它的最大值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到, 有三种可能, 所以分三种情况讨论;而它的最小值不可能是二次函数的顶点, 只可能是闭区间的两个端点, 哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到, 当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。

解:由二次函数f (x) =-x2+2x-2, 可以很简单的得出二次函数的对称轴是x=1。

(1) 求二次函数的最大值f (x) max

当t+1<1, 即t<0时, f (x) max=f (t+1) =-t2-1

当t<1≤t+1, 即t<0时, f (x) max=f (t+1) =-t2-1

当t≥1时, f (x) max=f (t) =-t2+2t-2

(2) 求二次函数的最小值f (x) min

当时,

这样, 这道题的最值就由分别讨论得出来了, 这就是定轴动区间的情况, 求最大值的时候主要考察对称轴有没有在区间里, 因为当图像开口向下的时候, 区间两端点和对称轴上都有取得最大值的可能性, 而最小值的取值不可能在图像顶点, 只可能是区间两端点, 所以只分两种情况就可以了。

二、定区间动轴

所谓的定区间动轴是和定轴动区间正好相反的一种情况, 这种情况是区间固定, 而图像的对称轴是不固定的情况。这种情况下, 想要求得二次函数的最值也是要分情况讨论而定, 这种分类其实本质上和定轴动区间的情况一样。

例2.求f (x) =x2+2ax+1在区间[-1, 2]上的最小值和最大值是多少?

分析:从这个二次函数来讲, 其图像的开口向上, 其最小值有可能在顶点和区间两端出现, 这就需要考查对称轴是否在区间内部;最大值只能出现区间的两端点。

解:由二次函数f (x) =x2+2ax+1, 可得对称轴方程为:x=-a.

(1) 求二次函数的最小值f (x) min

当-a<-1, 即a>1时, f (x) min=f (-1) =-2a+2;

当-1≤-a<2即-2<a≤1时, f (x) min=f (-a) =1-a2;

当-a≥2, 即a≤-2时, f (x) min=f (2) =4a+5;

(2) 求二次函数的最大值f (x) max

当即时, f (x) max=f (2) =4a+5;

当即时, f (x) min=f (-1) =-2a+2;

三、逆向求值问题

所谓逆向求值问题就是已知了一个二次函数在某一段区间上的最值, 而求二次函数系数上的某个变量的值的运算, 实质上是二次函数求最值的逆向运算, 是二次函数求最值运算的一种变化的题型, 这种题型在考试中也是经常出现的。

例3.已知二次函数f (x) =ax2+ (2a-1) x+1在区间上的最大值为3, 求实数a的值是多少?

分析:这个问题, 若从求最值入手, 需分a>0与a<0两大类五种情形讨论, 过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到, 因此先计算这些点的函数值, 再检验其真假, 过程就简明多了。

解: (1) 当最大值在图像的顶点处的时候, 即令, 得到;此时抛物线的开口向下, 对称轴x=-2, 不在区间上, 所以是不符合题意的。

(2) 令f (2) =3, 得到, 此时抛物线的开口向上, 闭区间的右端点距离对称轴较远, 所以是符合题意的。

(3) 令, 得到, 此时抛物线的开口向下, 闭区间的右端点距离对称轴较远, 所以是符合题意的。

综上所述, 或者都是符合题意的。

总之, 二次函数在闭区间上求最值一直是教师和同学感到棘手的问题, 其实只要分析清楚题目, 看清题目是属于哪一个类型, 然后再分类解决就可以了。在平时学习中, 同学们一定做好知识的梳理工作, 勤于思考, 学会融会贯通, 举一反三。

摘要：二次函数是初中数学学习的重难点问题, 特别是关于在闭区间求最值的问题成为许多同学所困扰的问题, 笔者将此问题分为:定轴动区间, 定区间动轴和逆向求值问题等三个问题来加以讨论。

关键词：初中数学,闭区间,二次函数,最值

参考文献

[1]陈玉华.关于初中数学函数教学设计的几点思考[J].数理化学习, 2009 (11)

《实际问题与二次函数》说课稿 篇13

1.教材的地位和作用

函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中建模的主要工具之一。二次函数与实际生活紧密联系，使学生对本章的学习由感性到理性再到感性，感到真实贴切，易于接受，进一步加强二次函数与实际生活的联系，使所学的知识得到应用，对后续学习做好了铺垫。

2.教学目标

根据九年级学生的生理特征及认知水平，我特此制定以下教学目标：

(1)知识与技能 能根据实际问题建立二次函数的关系式，并探求出在任何时刻实际问题都能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力;

(2) 过程与方法 经历探索商品销售中最大利润等问题的过程，增强学生数学应用能力;

(3)情感态度价值观 提高学生解决问题的能力，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学模型思想和体会数学的应用价值。

3.教学重点、难点

重点为让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决经济中最大(小)值问题。

难点是如何分析现实问题中的数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的。

二.教法与学法

师生互动探究式教学，依新课标为依据，渗透新的教育理念，遵循教师为主导，学生为主体的原则，结合九年级学生的求知心理和已有的认知水平开展教学，形成学生自动、生生助动、师生互动，老师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高。

在本节课的教学过程中，不但传授学生基本知识，而且注重培育学生主动思考，亲自动手，自我发现等能力，增强学生的综合素质。在教学中，我创设疑问，学生想办法解决问题，通过启发与点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决问题的方法，找准了解决问题的关键。

三.教学过程

根据教材内容的结构特点，紧紧抓住新旧知识的内在联系，运用类比、联想、转化的思想，突破难点。

1.创设情境，导入新课

复习旧知识的目的是对学生新课应具备的认知能力和情感特征进行检测和判断。学生自主完成，不仅体现了学生自主学习意识，调动学生的学习积极性，也为课堂教学扫清障碍，以致于更好的用二次函数解决实际问题。

2.合作交流，解读探究

本环节通过探究活动的设置，发散学生的思维，让学生在教师的引导下，独立思考，相互交流，培养学生自动探索，合作探究的能力，通过学生思考、交流、经历，发现过程，加强对重点知识的理解。

3.应用迁移，巩固提高

通过学习，学生对所学知识进行内化，根据不同层次的学生，设置由低到高，层次不同的巩固性练习题，使不同的学生得到不同的发展，体现了渐进性原则，使学生能将知识转化为技能，让每一个学生获得成功，感受成功的喜悦。

4.总结反思，拓展升华

由总结归纳反思，加强对知识的理解，并且能熟练地运用所学知识解决问题。提醒学生用二次函数还能解决其它类型的问题，进一步增强学生的好奇心，激发学生的学习兴趣。

5.布置作业

作业分层布置，以体现新课标所提倡的人人学数学，人人学有用的数学，使不同程度的学生都获得成功的快乐。

四.教学评价与反思

一元二次函数最值问题 篇14

第2课时 二次函数与商品利润

教

学

目

标 知识技能：

①会根据实际问题列二次函数，并能根据实际情况确定自变量的取值范围； ②使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题。方法过程：

让学生通过阅读、合作讨论、动手画草图、分析、对比，能找出实际问题中的数量关系，揭示两个变量的关系，培养学生结合图形与其性质解决问题的能力 解决问题：

通过两个变量之间的关系，进一步体会二次函数的应用，体验数形结合思想。情感态度：

通过具体实例，让学生经历应用二次函数解决实际问题得全过程，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点。

重点：培养学生解决实际问题，综合解决问题的能力，渗透数形结合的思想方法。难点：对实际问题中变量和变量之间的相互依赖关系的确定。教学过程： 基础扫描

1.二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 直线x=3，顶点坐标是(3，5)。当x= 3 时，y的最小 值是 5。

2.二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4，顶点坐标是(-4，-1)。当x=-4 时，函数有最 大 值是-1。

3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2，2 时，函数有最 小 值，顶点坐标是(2，1).当x= 是 1。

在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。

如果你去买商品，你会选买哪一家呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？

自主探究

问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整价格，每涨 价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该 商品应定价为多少元？

分析：没调价之前商场一周的利润为 6000 元； 设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润（20+x）元，每周的销售量可表示为 可表示为（300-10x）件，一周的利润可表示为(20+x)(300-10x)元，要想获得6090元利润可 列方程(20+x)(300-10x)=6090。

合作交流 问题2.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市 场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多 少元时，商场能获得最大利润？

问题3.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖 出300件。市场调查反映：如调整价格，每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？

问题4.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖 出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件； 每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？

解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.y =(60-40+x)(300-10x)(0≤x≤30)=(20+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x)+6000 =-10［(x-5)2-25 ］+6000 =-10(x-5)2+6250 当x=5时，y的最大值是6250.定价:60+5=65（元）

解:设每件降价x元时的总利润为y元.y=(60-40-x)(300+20x)怎样确定x 的取值范围 =(20-x)(300+20x)=-20x2+100x+6000 =-20（x2-5x-300）=-20（x-2.5）2+6125（0≤x≤20）所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.由(2)(3)的讨论及现在的销 售情况,你知道应该如何定 价能使利润最大了吗? 答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得 最大利润为6250元.解决这类题目的一般步骤

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的 实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值.当堂检测

1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单 价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销 售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价 每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元 时,才能在半个月内获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x)=-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元

2.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场 调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500 件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售 出100件.（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种 小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数关 系式，并注明x的取值范围；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销 售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购进成本）

解析：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）, y=－100x2+600x+5500（0＜x≤11）