常用三角函数公式

常用三角函数公式（精选12篇）

常用三角函数公式 篇1

cosα=∠α的邻边/斜边

tanα=∠α的对边/∠α的邻边

cotα=∠α的邻边/∠α的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1

tan2A=(2tanA)/(1-tanA2)

(注：SinA2是sinA的平方sin2(A))

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)

三倍角公式推导

sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina

三角函数辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A2+B2)’(1/2)

cost=A/(A2+B2)’(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

降幂公式

sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

三角函数推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos2α

1-cos2α=2sin2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3a

cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

三角函数半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

sin2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

三角函数三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

三角函数两角和差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

三角函数和差化积

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

三角函数积化和差

sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

三角函数诱导公式

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(—a)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tanA=sinA/cosA

tan(π/2+α)=-cotα

tan(π/2-α)=cotα

tan(π-α)=-tanα

tan(π+α)=tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan’(α/2)]

cosα=[1-tan’(α/2)]/1+tan’(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan’(α/2)]

其它公式

(1)(sinα)2+(cosα)2=1

(2)1+(tanα)2=(secα)2

(3)1+(cotα)2=(cscα)2

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)2,第二个除(cosα)2即可

(4)对于任意非直角三角形,总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC

(8)(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC

(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n]=0以及

sin2(α)+sin2(α-2π/3)+sin2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

高考数学记忆方法

一、分类记忆法

遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。例如求导公式有18个，就可以分成四组来记：(1)常数与幂函数的导数(2个);(2)指数与对数函数的导数(4个);(3)三角函数的导数(6个);(4)反三角函数的导数(6个)。求导法则有7个，可分为两组来记：(1)和、差、积、商复合函数的导数(4个);(2)反函数、隐函数、幂指数函数的导数(3个)。

二、推理记忆法

许多数学知识之间逻辑关系比较明显，要记住这些知识，只需记忆一个，而其余可利用推理得到，这种记忆称为推理记忆。例如，平行四边形的性质，我们只要记住它的定义，由定义推理得它的任一对角线把它平分成两个全等三角形，继而又推得它的对边相等，对角相等，相邻角互补，两条对角线互相平分等性质。

三、标志记忆法

在学习某一章节知识时，先看一遍，对于重要部分用彩笔在下面画上波浪线，再记忆时，就不需要将整个章节的内容从头到尾逐字逐句的看了，只要看划重点的地方并在它的启示下就能记住本章节主要内容，这种记忆称为标志记忆。

四、回想记忆法

在重复记忆某一章节的知识时，不看具体内容，而是通过大脑回想达到重复记忆的目的，这种记忆称为回想记忆。在实际记忆时，回想记忆法与标志记忆法是配合使用的。

高考数学复习建议

初次学习和再次复习不同。绝大部分考生在高一高二两年的时间中进行的都是新知识新理论的学习，这是初次认识初次接触的过程，我们称之为初次学习，这个过程强调的是认知、接受和掌握。而高三将近一年的时间考生几乎接触的都是之前两年当中见过的理解了的但是很多已经遗忘的内容，我们将这个过程称之为再次复习。再次复习除了恢复考生对相应知识点的记忆之外，更重要的在于将知识点升华为考点，这个过程重视的是理解、综合与应用。两个过程截然不同，必然导致我们应对的策略也要有所变化。

学习和复习的主线不同。学习的主线我们应该都很熟悉，看一看教材的目录就非常明确了：高一高二两年当中一定是以章节为单位，一个知识点接一个知识点按部就班地介绍和学习。每个章节内部也是基本遵循“定义—定理—公式—经典例题—实际应用—练习”这样由简到繁的内容安排。而二次复习如果也采用这样的模式，导致的直接结果就是，考生按知识点分块的模式分章节去解题会很顺利，一旦拿过来一份高考试卷，遇到里面的综合性题目却无从下手，这就是平时考生经常遇到的问题——没有解题思路。

最有效的复习模式——以题型为主线。结合以上讨论的两点内容，建议考生在复习过程中尤其是最后一轮复习中一定要以当地高考常考题型为主线，以题型为主线逐步建立自己在考试当中的解题思路。以题型为主线的复习方式有以下三点优势：

第一，可以将零散的知识点从题型的角度进行二次深入的梳理，把知识认知阶段进化为知识应用阶段，达到高考要求。

第二，题型为主线可以简化思维过程，头脑中不再是孤零零的点，而是形成模块化的解题套路。

常用三角函数公式 篇2

一、叠加法

例1:设数列{an}满足a1=2, an+1-an=3×22n-1, 求数列{an}的通项公式.

解:由已知, 当n≥1时, a2-a1=3×2, a3-a2=3×23, a4-a3=3×25, ……, an-an-1=3×22 (n-1) -1=3×22n-3, an+1-an=3×22n-1, 将以上n个式子相加, 得.于是an+1=a1+22n+1-2, 即an+1=22n+1=22 (n+1) -1, 而a1=2, 所以{an}数列的通项公式为an=22n-1.小结:由本例可知, 当数列的递推公式形如an+1-an=f (n) 时, 可以使用叠加法求解。

二、叠乘法

已知数列{an}, 其中a1=1, 求这个数列的通项公式.

三、构造法

例3:在数列{an}中, a1=1, sn+1=4an+2, 求这个数列的通项公式.

解:∵a1=s1=1, ∴a2=s2-s1=4a1+2-1=5, ∵an=sn-sn-1= (4an-1+2) - (4an-2+2) =4 (an-1-an-2) , ∴an-2an-1=2 (an-1-2an-2) , ∴, 于是{an-2an-1}数列是以a2-2a1=3为首项、公比为2的等比数列.∴an-2an-1=3×2 (n-1) -1=3×2n-2 (n>1) , 两边同时除以2n, ∴, 于是数列{an/2n}是首项为a1/2=1/2, 公差为3/4的等差数列∴, 即an=2n-2· (3n-1) 。小结:由本例可知, 把原数列的递推公式进行适当变形。当数列的递推公式形如an+1=pan+qn (p, q为常数) 时, 两边可同时除以qn+1, 构造出等差数列或等比数列, 再运用等差数列或等比数列通项公式的求法, 进而求出原数列的通项公式。

欧拉公式在三角函数中的应用 篇3

注：此论文系云南省应用基础研究计划青年项目（编号：2012FD060）与国家自然科学基金项目（编号：11426037）的成果.

摘要：欧拉公式形式众多，在数学方面的应用很广，但是教材中较少涉及，本文总结了欧拉公式在证明三角恒等式、求解三角表达式的值、求解三角方程、解决一些方程根的问题的应用，从而避免了复杂的三角变换简化证明和计算。

关键字：欧拉公式；；三角函数 ；三角级数

【中图分類号】G642

参考文献：

[1] 裴礼文.《数学分析中的典型问题与方法》[M].北京：高等教育出版社.

1984，135-140.

[2] 辛华.欧拉公式在三角恒等变换中的推广应用[J].雁北师范学院院报.2000，

16（2）：94-96.

[3] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社.2003：10-15.

[4] 王玉华.欧拉公式的推论与应用[J].辽宁广播电视大学报.2009，

3（13）：236-237.

[5] 薛金星.高中数学五星级题库[M].北京：北京教育出版社.2011：387-389.

作者简介：1、杨国翠（1984-），女（汉族），云南临沧人，硕士研究生，讲师，主要从事基础数学方面的研究

2、李自美（1984-），女（汉族），云南保山人，硕士研究生，讲师，

最常用的Excel函数公式 篇4

1、随机数函数：

=RAND

首先介绍一下如何用RAND()函数来生成随机数(同时返回多个值时是不重复的)。RAND()函数返回的随机数字的范围是大于0小于1。因此，也可以用它做基础来生成给定范围内的随机数字。

生成制定范围的随机数方法是这样的，假设给定数字范围最小是A，最大是B，公式是：=A+RAND()*(B-A)。

举例来说，要生成大于60小于100的随机数字，因为(100-60)*RAND()返回结果是0到40之间，加上范围的下限60就返回了60到100之间的数字，即=60+(100-60)*RAND()。

2、随机整数

=RANDBETWEEN(整数，整数)

如：=RANDBETWEEN(2,50)，即随机生成2~50之间的任意一个整数。

上面RAND()函数返回的0到1之间的随机小数，如果要生成随机整数的话就需要用RANDBETWEEN()函数了，如下图该函数生成大于等于1小于等于100的随机整数。

小学数学常用公式利率问题公式 篇5

(1)单利问题：

本金×利率×时期=利息;

本金×(1+利率×时期)=本利和;

本利和÷(1+利率×时期)=本金。

年利率÷12=月利率;

月利率×12=年利率。

(2)复利问题：

本金×(1+利率)存期期数=本利和。

例如，“某人存款2400元，存期3年，月利率为10.2‰(即月利1分零2毫)，三年到期后，本利和共是多少元?”

解(1)用月利率求。

3年=12月×3=36个月

2400×(1+10.2%×36)

=2400×1.3672

=3281.28

(2)用年利率求。

先把月利率变成年利率：

10.2‰×12=12.24%

再求本利和：

2400×(1+12.24%×3)

=2400×1.3672

=3281.28(元)(答略)

[小学数学常用公式利率问题公式]

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★ 七天通知存款利率

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初中常用数学公式 篇6

①a2-b2=(a+b)(a-b)

②a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

③a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

2、三角不等式

①|a+b|≤|a|+|b|

②|a-b|≤|a|+|b|

③|a|≤b<=>-b≤a≤b

④|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

3、一元二次方程的解

①-b+√(b2-4ac)/2a

②-b-√(b2-4ac)/2a

4、根与系数的关系

①x1+x2=-b/a

②x1*x2=c/a注：韦达定理

5、判别式

①b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根

②b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根

③b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根

6、某些数列前n项和

①1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

②1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

③2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

④12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

⑤13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

⑥1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

7、正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r

注：其中r表示三角形的外接圆半径

常用三角函数公式 篇7

新的一轮课改在我省已经开展有几个年头, 《数学课程标准》为数学教学树立了新的理念、提出了新的要求, 如何正确理解新课程理念, 正确把握教学观念的转换, 成为课堂教学中首先要思考和解决的问题.下面这个案例是在我校优质课评比中开设的一节公开课, 在教法、学法上我们做了大胆的尝试, 力求体现新课程理念和符合本校实际情况的一节课.

二、学情分析

知识方面

(1) 学生知识方面的优势

初中加强了对图形运动变换的认识, 理解图形平移、旋转的基本性质以及图形之间的变换关系 (轴对称、平移、旋转及其组合) .

(2) 学生知识方面的不足

学生的整体素质不高, 对于学习的态度和方法有待提高.

能力方面

(1) 学生能力方面的优势

具有一些较好的数学思维品质, 初中数学课程内容的学习, 强调学生的数学活动, 学生通过观察、实验、猜想、验证、推理等数学活动获取经验与知识.在学习方式上, 则强调学生动手实践, 自主探索与合作交流.问题设置则强调开放性、探索性和应用性.因而学生的思维具有较好的灵活性和广阔性.

(2) 学生能力方面的不足

运算能力薄弱.初中数学课标大幅度降低了对数与式的运算的要求, 对数值较复杂的运算大都采用计算器, 学生产生依赖心理对于简单的运算也采用计算器, 所以计算准确性差、速度慢.

三、教学过程

创设问题情境, 引入新课

(1) 课前小题训练:

设计理由: (1) 在我们学校数学组对于引入这一环节推行的是“小题引入, 逐渐过渡.学生动手, 教师引导”.

(2) 课前小题难度不大, 学生容易上手, 给学生一个施展的空间.引导学生对于数学的学习不产生畏惧心理.

(3) 小题能做到“前挂后连”, 即既能复习以往的内容, 又对本节课的学习有所帮助.

(4) 小题的有一定的拓展空间, 如, 第一小题可以接着问学生角α, β的终边还有那些特殊关系?角α、β之间又有着怎样的等量关系?第二小题要让学生知道任意三角函数值和点选取的位置无关只和终边所在的位置相关.第三小题实际是第二小题的反过程, 让学生清楚单位圆上的点的坐标可以用角的三角函数值表示.这些对本节课的学习都有着很大的帮助.教师:三角函数刻画了单位圆上点的变化规律, 我们可以想象, 它的基本性质和圆的几何性质有着内在的联系.我们知道圆有着重要的性质是对称性, 例如, 圆以圆心为对称中心的中心对称图形, 以任意直径为对称轴的轴对称图形等.这种对称性反映了三角函数的什么性质呢?这就是我们今天所要研究的问题.

学生活动, 尝试探索问题

问题1:已知α和β为任意角.如果α的终边与β的终边重合, 那么它们有什么关系?它们的三角函数又有什么关系?

学生2:如果α的终边与β的终边重合, 则α和β相差的只是“转的圈数不同”所以β=2kπ+α (k∈Z) .

教师:不错, 这实际是终边相同角的表示, 那三角函数有什么关系?

学生3:根据三角函数的定义知角的三角函数值与点的选取无关, 只和终边所在的位置有关, 所以角α和角β的三角函数值应该相等, 所以有sinβ=sinα, cosβ=cosα, tanβ=tanα

教师:问题1解决了若角α和β的终边相同, 它们的三角函数值之间的关系, 那么请学生思考角α和β的终边还有什么样的特殊关系?它们的三角函数值又有着什么样的关系?

学生4:关于y轴对称、关于x轴对称、还有关于原点对称.

教师:还有吗?

学生5:还有关于一三象限角平分线对称、二四象限角平分线对称

教师:好, 两位学生回答的都很好, 我希望其他的学生向他们学习, 下面我就给大家一个机会, 来展示一下你的实力.

教师:刚才我们研究了角α和β的终边相同有一组公式, 那你能根据角α和β的终边关于y轴对称、关于x轴对称、关于原点对称能得到什么样的公式?

教师:在探索之前, 你不妨猜猜有公式吗? (留给学生1-2分钟的思考时间再找学生回答)

学生6:应该有吧.

教师:形式是什么样的呢?

学生7:我还没有看出来, 但是应该能求出吧

教师:怎么求, 学生思考了一会 (教师并没有打断学生的思考) .

学生8:应该和第一个差不多吧

教师:那么大家按照这位学生说的求求看, 先研究角α和β的终边关于y轴对称, 所以我们得到问题2.

问题2:已知α和β为任意角.如果α的终边与β的终边关于y轴对称, 那么它们有什么关系?它们的三角函数又有什么关系?

学生9:α和β的关系应该是β=2kπ+ (π-α) , 这可以根据课前小题1得到.至于三角函数值有什么关系我没看出来.

教师:“其实, x=cost和y=sint是单位圆的自然的动态 (解析) 描述, 所以三角函数中的正弦、余弦是刻画了单位圆上点的变化, 我们是否可以借助单位圆来研究α和β的三角函数值之间的关系吗?

已经有学生在下面动手画了单位圆.

教师:角的终边的对称可以转化成什么的对称?

学生10:根据你刚才的提示和课前练习, 我知道了单位圆上的点可用角的三角函数值表示, 所以我选取了角α和角β的终边与单位圆的交点记为Ρ, P', 则P (cosα, sinα) , P' (cosβ, sinβ) , 又因为角α和角β的终边关于y轴对称可以得到

教师:很好, 大家给他点鼓励, 学生鼓掌.

教师:那正切函数呢? (有的学生在下面已经小声议论了, 并且有的说我知道)

教师:我们把这组公式称为诱导公式二.

教师:我们来回顾一下这个过程和步骤.

学生12:我觉着有这样几步 (1) 根据角的对称关系找到角的代数关系 (2) 作出单位圆求出角的终边与单位圆的交点坐标 (3) 利用对称找到坐标之间的关系经过化简即可.

教师:回答的很不错, 既然是这样学生按照刚才这位学生说的我们来看看关于x轴对称、关于原点对称能得到什么样的诱导公式, 等一会我们进行展示. (留5-6分钟, 让学生讨论)

教师:好的, 经过我们的共同努力得到了四组公式这也是本节课的教学内容——————诱导公式.大家再仔细回顾得到的过程.

教师:虽然我们得到了四组公式, 但是我还觉着好像还有点东西可能比公式本身更重要. (学生立刻静了下来) .

学生15:是不是过程和方法.

教师:当然过程方法很重要, 但是公式的本质是什么大家知道吗? (学生思考)

学生16:看不出来.

教师:大家想一下在公式得到的过程中我们用了谁的性质?

学生一起回答:单位圆的对称性.

教师:准确的说是圆的旋转对称性和轴对称 (用课件展示) .

教师:实际上诱导公式本质上是圆的旋转对称性和轴对称性的解析表述.这点希望大家知道.

教师:对于关于一三象限角平分线对称、二四象限角平分线对称的问题课后大家可以自己来探究方法大致一样.因为时间关系我们不在课堂上讨论.下面我们来看公式的运用.

设计理由: (1) 基于对于诱导公式的本质的理解, 诱导公式本质上是圆的旋转对称性和轴对称性的解析表述.也就是说, 它是三角函数的一条性质———对称性, 其几何背景是圆的旋转对称性. (2) 培养学生如何能够依据特定情境提出适当的数学问题, 所以对于问题3和问题4都完全交给学生自己提出问题并解决问题.

数学运用, 深化认识

设计理由: (1) 让学生理解公式并清楚利用公式可将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2) 熟悉求值的过程、步骤、原则———“负化正、大化小”. (3) 加强学生对特殊角的三角函数的记忆.

练习:

例2判断下列函数的奇偶性

解: (1) 因为函数f (x) 的定义域是R, 且f (-x) =1-cos (-x) =1-cosx=f (x) , 所以f (x) 是偶函数.

(2) 因为函数g (x) 的定义域是R, 且g (-x) =-xsin (-x) =-x+sinx=- (x-sinx) =-g (x) , 所以g (x) 是奇函数.

设计理由: (1) 复习函数的性质———奇偶性, 并复习判断奇偶性的方法和步骤. (2) 帮助学生巩固诱导公式.

练习:

回顾反思, 巩固拓展

教学小结

(1) 研究了什么问题

直角坐标系下角α, β角终边具有上面特殊关系, α, β角的三角函数值之间的关系.

(2) 采用了什么样的方法

将几何问题代数化 (“坐标法”思想的运用) , 用代数语言描述几何要素及其关系, 帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法.

(3) 三角函数的诱导公式的本质是什么

是对称性的代数体现.

巩固拓展

拓展探究:上述问题可以归结为以下变换:

(1) 关于x轴的轴对称变换T1:θ→-θ, 单位圆上的点 (x, y) 经T1变换为 (x1, y1) , 有 (x1, y1) = (x, -y) , 也就是

在上述两种变换下, 我们可以得到所有诱导公式.

其余可以类推.显然, 在单位圆定义下, 用对称变换的思想研究诱导公式, 确实使问题简单了.事实上, 所有三角公式都可以这样来认识:终边相同的角的三角函数就是旋转2π的整数倍的旋转变换;诱导公式就是变换T1, T2及其合成;和 (差) 角公式就是旋转任意角的旋转变换.

设计意图:

(1) 基于教学小结的任务:一个是回顾、总结、反思所学习的内容与方法;另一个是拓展、深化、提出新的问题.

(2) 有助于学生站在新的高度认识本节课学习的内容, 有利于学生读数学本质的认识, 有利于对一节课有整体的认识.

四、总结与反思

本案例中主要以问题的形式串联课堂教学, 通过对问题的解决, 深入了解学生在数学学习过程中的真实思维活动.

本案例注意讲授式教学与探究式教学的有机结合.由于教学时间、教学进度、教学内容等条件的限制, 每堂课都进行探究式教学不太可能, 但是整节课采用“满堂灌”的方法显然我们是反对的, 因此在课堂上能探究的问题我们还是要坚持的.

坐标式三角形面积公式及其应用 篇8

A.a2b2-（a·b）2

B.a2b2+（a·b）2

C.12a2b2-（a·b）2

D.12a2b2+（a·b）2

答案：C.

这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式：

定理1若三点O，A，B不共线，则S△OAB=12OA2OB2-（OA·OB）2.

证明S△OAB=12OAOB1-cos2∠AOB=12OA2OB2-（OA·OB）2.

由此结论，还可证得

定理2若三点O，A，B不共线，且点O是坐标原点，点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则S△OAB=12x1y2-x2y1.

证法1由定理1，得

S△OAB=12（x21+y21）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2

=12x1y2-x2y1.

证法2可得直线AB的方程是

（y1-y2）x-（x1-x2）y+（x1y2-x2y1）=0，所以坐标原点O到直线AB的距离是x1y2-x2y1AB，进而可得△AOB的面积是S△OAB=12AB·x1y2-x2y1AB=12x1y2-x2y1.

下面用定理2来简解几道高考题.

高考题2（2014年高考四川卷理科第10题）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ）.

A.2B.3C.1728D.10

解B.得F14，0，可不妨设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1>0>y2）.

由OA·OB=x1x2+y1y2=y21y22+y1y2=2，可得y1y2=-2，所以由定理2，得

S△ABO=12x1y2-x2y1=12y21y2-y22y1=12y1y2·y1-y2=y1-y2=y1-y2.

所以S△ABO+S△AFO=y1-y2+12·14y1=98y1-y2≥2-98y1y2=3（可得当且仅当y1=43，y2=

-98时取等号）.

所以选B.

高考题3（2011年高考四川卷文科第12题）在集合{1，2，3，4，5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量α=（a，b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有平行四边形的个数为n，其中面积等于2的平行四边形的个数为m，则mn=（ ）.

A.215 B.15C.415 D.13

解B.所有满足题意的向量有6个α1=（2，1），α2=（2，3），α3=（2，5），α4=（4，1），α5=（4，3），α6=（4，5），以其中的两个向量为邻边的平行四边形有n=C26=15个.

设αi=（x1，y1），αj=（x2，y2），得x1，x2∈{2，4}；y1，y2∈{1，3，5}，由定理2得，以αi，αj为邻边的平行四边形的面积是S=12x1y2-x2y1=2，可得这样的向量αi，αj有3对：（2，3），（4，5）；（2，1），（4，3）；（2，1），（4，1）.所以mn=315=15.

注用高考题3的解法还可求解2011年高考四川卷理科第12题.

高考题4（2009年高考陕西卷文科、理科第21题）已知双曲线C的方程为y2a2-x2b2=1（a>0，b>0），离心率e=52，顶点到渐近线的距离为255.

（1）求双曲线C的方程；

图1（2）如图1所示，P是双曲线C上一点， A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若AP=λPB，λ∈13，2，求△AOB面积的取值范围.

解（1）（过程略）y24-x2=1.

（2）可设A（t，2t），B（-s，2s），s>0，t>0，由定理2及题设可得S△AOB=2st.

由AP=λPB，可得Pt-2λs1+λ，2t+2λs1+λ，把它代入双曲线C的方程，化简得（1+λ）2=4λst，所以

S△AOB=12λ+1λ+113≤λ≤2，

可得△AOB面积的取值范围是2，83.

图2高考题5（2010年高考重庆卷理科第20题）已知以原点O为中心，F（5，0）为右焦点的双曲线C的离心率e=52.

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）如图2所示，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交于G、H两点，求△OGH的面积.

解（1）（过程略）双曲线C的标准方程为x24-y2=1，其渐近线方程为x±2y=0.

（2）由“两点确定一直线”可得直线MN的方程为：xEx+4yEy=4.

分别解方程组xEx+4yEy=4，

x-2y=0，xEx+4yEy=4，

x+2y=0，，得G4xE+2yE，2xE+2yE，H-4xE+2yE，2xE+2yE.

因为点E在双曲线C上，所以x2E-4y2E=4.

由定理2，得S△OGH=128x2E-4y2E--8x2E-4y2E=8x2E-4y2E=84=2.

注下面将指出图2的错误：

因为点E关于x轴的对称点E′（xE，-yE）也在双曲线C上，而双曲线C在点E′处的切线方程为xEx4-（-yE）y=1即xEx+4yEy=4也即直线MN，所以直线MN与双曲线C应当相切，而不是相离.

高考题6（2008年高考海南、宁夏卷理科第21题）设函数f（x）=ax+1x+b（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3.

（1）求的解析式.

（2）证明：函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；

（3）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

答案：（1）y=x+1x-1.（2）略.（3）2.

高考题7（2008年高考海南、宁夏卷文科第21题）设函数f（x）=ax-bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0.

（1）求f（x）的解析式；

（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

答案：（1）y=x-3x.（2）6.

下面给出这两道高考题结论的推广.

定理3（1）双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上任一点的切线与两条渐近线y=bax，y=-bax围成三角形的面积是S=ab；

（2）曲线y=ax+bx（b≠0）上任一点的切线与两条渐近线x=0，y=ax围成三角形的面积是S=b；

（3）曲线y=ax+c+bx+d（b≠0）上任一点的切线与两条渐近线x+d=0，y=ax+c围成三角形的面积是S=b.

图3证明（1）如图3所示，可求得过双曲线b2x2-a2y2=a2b2上任一点P（x0，y0）的切线方程是b2x0x-a2y0y=a2b2，还可求得它与两条渐近线y=bax，y=-bax的交点分别为Ma2bbx0-ay0，ab2bx0-ay0，Na2bbx0+ay0，-ab2bx0+ay0，再由定理2可立得欲证成立.

（2）由y=ax+bx（b≠0），得y′=a-bx2.所以过该曲线上任一点Px0，ax0+bx0的切线方程是

y-ax0-bx0=a-bx20（x-x0）.

从而可求得它与两条渐近线x=0，y=ax的交点分别为M0，2bx0，N（2x0，2ax0），再由定理2可立得欲证成立.

初中数学常用数学公式 篇9

公式分类公式表达式

乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a

-b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a

X1_X2=c/a 注：韦达定理

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41_2+2_3+3_4+4_5+5_6+6_7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注：其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB

注：角B是边a和边c的夹角

初中几何常见辅助线作法歌诀汇编

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

初中数学知识点总结

很多的学生到了初中之后,发现自己的分数会有一定的下降,这可能是由于上初中之后数学科目的难度加大,所以分数会有一定的降低,那么初中数学应该怎样学?应该使用什么方式哪?

知识点

一般来说这像科目小学与初中的区别是非常大的,知识点需要了解的非常多,并且难点也是非常多的,解题的步骤要求会更加严厉,一般初中开始学习一些思想如方程思想等等,这是常见的.

初中数学应该怎么学?--难点了解

初中的时候一般对计算能力要求比较高,各种方式比如,有理数等等这都需要多种方式的计算并且非常看重解答题目的能力,函数等等都会用到概念以及一些公式,下来就是四边形等等,这些都需要完全的了解知识点之后在进行测试,并且在学习完之后大约在初三的时候就需要备战中考,要将学过的知识全部都复习一次,需要全方面的了解各个方面的难点等等,所以在房价的时候需要找出一定的空闲时间进行复习以及预习的工作.

初中数学应该怎么学?--知识图

一般来说,画出完成的知识图可以使我们更快的清楚这方面的内容e799bee5baa6e79fa5e98193e59b9ee7ad9431333433623731,要想学好的话必须要全面的熟悉这些知识点的运用,当遇到难点的时候可以换个角度去考虑,慢慢的就会找到自己的解题方式.

还需要了解各种的概念、公式、法则等等,这们课程是需要非常强的连贯性的,如果在遇到一些难点,那可能是某一点遇到了困难,某一些知识没有懂,需要及时的找到然后解决,这样分数才会有一定的提升.

知识点

当老师在讲完内容之后会讲一些课外的内容,一般是定理、概念等等,会让你对这些知识更加的了解,所以如果对这类题目有问题的同学可以多看一些课外的题目,当然想要提升分数是离不开练习题的,想要多好就需要多做一些习题,但是不可以过多,需要边做边思考才可以,这样所学的知识就会运用出来.

以上就是初中数学应该怎样学习的内容,如果在这个阶段对自己分数不满意的同学可以借鉴一下以上的内容,或许会对你有一定的帮助,将自身的分数提升.

初中数学知识点整理

初中数学7a64e4b893e5b19e31333431376565宝典,你知道学习数学最重要的是什么吗?

在初中学习数学这们课程的时候很多的学生都是比较烦恼的,因为这们课程是非常难的,并且难点非常多,很多的学生在刚开始学习的时候还可以更得上,但是过一段时间之后就会变得非常的吃力,那么你知道初中数学宝典是什么吗?我们来了解一下吧!

复习笔记

初中数学宝典----复习

很多的学生在刚开始的时候学习这们课程不费劲但是往后可能会学的非常吃力,其实这就是因为在学习后边的内容时将之前的内容忘掉了,所以会导致学习比较吃力,所以现在就需要用到我们的初中数学宝典--复习.

在数学的复习上,我们一定要去研究解题的思路和解题的步骤,这样我们的成绩才会提高,数学试题无论如何变化都离不开最为基本的理论,因此我们要在自己的脑海中建立一个数学的知识树.

我们在复习数学的时候,一定要对基础的知识进行整理和回顾,数学是一个阶梯式的课程,因此我们要建立起一个数学的知识树,我们要先在大脑中设想这棵知识树,然后找出自己的不足所在,在进行针对性的回顾,对于那写容易搞混的知识点,要进行梳理并且做到完全的区分,最重要的一点是,我们应该多层次的去分析问题,举一反三,将重点放在我们的解题思路上.

数学的复习,要秉承一个原则,那就是小题突破大题稳定,我们不可能在大题上做到突破但是在小题上可以做到这一点,有意识的练习自己选择题和填空题的答题速度,当然速度是在正确的情况下,这样会给下面的试题留下很多的思考时间,使用各种方法来进行解答.

在数学的复习上,我们一定要去研究解题的思路和解题的步骤,这样我们的成绩才会提高,数学试题无论如何变化都离不开最为基本的理论,因此在脑海中建立一个数学的知识树是非常必要的,这可以更快速的帮助自己解题.

复习知识点

常用三角函数公式 篇10

关键词：压轴题；三角形；面积

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）06-139-01

在处理中考压轴题时，很多学生觉得它难以把握。讲练压轴题的目的是为了提高临场的解题能力，同时也是一个发现弱点及时查缺补漏的机会。这样会从内容到方法、到观点的深层次的提高。教师应带领学生精题引路，反复推敲，以点带面，多角度分析，挖掘出压轴题和其他题目的关系，挖掘题目的内涵和外延，抽出具体模型，让学生消除畏惧心理，最大限度提高得分点。这里，我结合近几年河南省中考压轴题的命题形式， 以“三角形面积公式”在压轴题中的应用为例，谈一下在教学中如何建立模型，有效地训练压轴题，提高学生临场的解题能力。

例：（河南2010年压轴题）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值.

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线 上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.

学生难点分析：

第（2）问标准答案是利用面积的和差关系求得S关于m的函数关系式，但在实际做题中学生想不到连接OM，自然联系不到面积的和差关系，导致失分。同时，在很多压轴题中的三角形的顶点并不在坐标轴上，不能利用面积和差关系求得函数关系式，因此，有必要针对此种类型题进行专题分析。

解决方法：

如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直線，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”a，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”h。我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC= ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

如果在直角坐标系中的三角形任一边与坐标轴都不平行，用这个公式计算面积，面积便唾手可得。

具体步骤：

过点M做MN‖AB交AB于N，因为A ，B ，

所以AB解析式为：y=-x-4.

设M（m， m2+m-4），N（m，-m-4）

则MN=（-m-4）-（ m2+m-4）= - m2-2m

又∵AO=4

∴S△ABM= AO·MN= ×（- m2-2m）×4=-m2-4m

方法延伸：

这种方法适应于在坐标系中任意放置的三角形面积求解。在2011年各省市中考题中此类题目很常见。下面列出一道，以供练习。

（2011茂名市）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴 与 轴相交于点M.

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）设点P为抛物线（ ）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请直接写出点P的坐标；

（3）连接AC.探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由。

常用三角函数公式 篇11

D代表拟配药物的剂量, 单位mg;

W代表病人体重, 单位kg;

V代表药物容量, 恒定为50 mL;

计算公式:D=W×3。

(1) 配制方法:

将拟配药量D用N.S稀释成50 mL;泵速设定:按拟配药剂量“等数”设定泵速, 那么拟用药每公斤体重每分钟所需的微克数就等于泵速的每小时毫升数。

举例:1位体重为60 kg的病人, 拟按3 μg/ (kg·min) , 泵入多巴胺;

则:D=60×3=180 mg, 将180 mg多巴胺用NS稀释成50 mL, 以3 mL/h泵入即可;如担心药量大造成浪费, 可把D和V同时减半, 甚至减到1/3、1/4等。

(2) 对于泵入药剂量更小的药如硝普钠 (SNP) 、副肾素, 则D=W×0.3 (或0.03) 。

举例:1位体重为50 kg的病人, 拟按0.5 μg/ (kg·min) 泵入SNP,

则:D=50×0.3=15 mg, 用N.S稀释成50 mL, 以5 mL/h泵入即可。

举例:1位体重为10 kg的患儿, 拟按0.05 μg/ (kg·min) 泵入副肾素,

则:D=10×0.03=0.3 mg, 用N.S稀释至50 mL, 以5 mL/h泵入即可。

(3) 对于必须严格控制容量负荷的婴幼儿, 可在V不多的情况下, 成倍提高D∶

D=W×6, 那么, 拟用药剂量就是泵速的2倍。

举例:一个5 kg的婴儿, 拟泵入多巴酚丁胺6 μg/ (kg·min)

则:D=5×6=30 mg, 用N.S稀释至50 mL, 以3 mL/h泵入即可。

总而言之, 在临床工作中, 可根据实际需要, 灵活应用该计算公式。

参考文献

卷烟营销常用指标计算公式 篇12

——兴仁区域张志勇

1、卷烟人均消费量（条/人）=辖区卷烟消费总量÷辖区常住人口数量

2、卷烟需求预测准确率=【1—（|总量需求预测—客户订单需求总量|÷客户订单需求总量）】×100%

3、订单满足率=订单量÷订单需求量×100%

4、卷烟社会库存销比=当月份卷烟社会库存÷（上月卷烟社会库存+当月订单量—当月卷烟社会库存）

——————————=期末库存÷（期初库存+本期购进—期末库存）

5、卷烟动销率=本周期卷烟实际销量÷（期初库存+本期购进）

6、上柜率=（实际上柜户数÷目标户数）×100%

7、再购率=（上期订货后本期又订货户数÷上期订货户数）*100%

8、客户断货率=（断货客户数÷有订货记录客户数）×100%

9、卷烟毛利额=卷烟销售价格总额—卷烟批发价总额

10、毛利率=卷烟毛利额÷卷烟销售价格总额