行程教学设计教案（共8篇）
1.教学目标
1.借助线段图分析行程问题中相遇问题的等量关系。2.提高用方程、算术法解决实际问题的能力。
3.经历解决问题的过程，体验数学与日常生活密切关系。
2.教学重点/难点
能正确区分行程问题中的相遇和追击的情况并正确解答。
3.教学用具
教学课件
4.标签
教学过程
一、新课导入
1.我们已经学过了行程问题中的相遇问题，两辆车从两地同时出发，怎样行驶？结果会怎样？(相距、相遇、相遇后相距三种）
3．小结：行程问题中要注意出发的时间、方向、地点和最后的结果。建议小结数量关系
4．出示：甲乙两地相距210千米，汽车以每小时80千米的速度从甲地开往乙地，同时，客车以60千米/时的速度从乙地开往甲地，两车多少时间后相遇？（1）师：题目中告诉了我们那些条件？要求的是什么？数量关系是怎样的？（2）出示：总路程÷速度和= 相遇时间
（3）解：设两车x小时后相遇。
或
210÷（80＋60）80x＋60x＝210
＝210÷140
140x＝210
＝1.5（小时）
x＝1.5
答：两车1.5小时后相遇。
答：两车1.5小时后相遇。
师：如果在行驶途中遇到问题耽误了时间，或出发有先后时，该如何解决呢？建议这个问题先不出，因为没有具体的问题出现，学生不知求时间、速度、还是路程，可直接揭示课题
二、揭示课题：问题解决－行程 ⑴
二、新课探索
1.探究一
两车出发时间不同
⑴ 上海到宁波的高速公路全长296千米，一辆轿车和一辆客车分 别从上海和宁波两地出发相向而行。
轿车先行56千米后，客车再出发。轿车平均每小时行108千米，客车平均每小时行92千米。客车经过几小时与轿车在途中相遇？
请学生讲出他们所获得的相关信息。从四个要素分析
比较与前一题有什么相同点与不同点
教师出示相应的线段图，请学生观察并讲述。
根据信息，寻找未知量与已知量之间的等量关系，用不同的方法进行解答。
l
有方程解 轿车行驶的第一段路程＋轿车行驶的第二段路程＋客车行驶的路程＝上海到宁波的高速公路路程
解：设客车经过x小时后与轿车在途中相遇。56＋108x＋92x＝296, 56＋200x＝296, 200x＝296－56, 200x＝240, x＝240÷200, x＝1.2，答：客车经过1.2小时后与轿车在途中相遇。突出已知总路程，可列出的等量关系式为：
轿车行驶的路程＋客车行驶的路程＝上海到宁波的高速公路路程 有用算术方法解的(296－56)÷(108＋92)＝240÷200 ＝1.2(小时)答：客车经过1.2小时后与轿车在途中相遇。师:请学生说出每一步的含义，与数量关系式
（3）小结：解决行程问题中相遇结果的情况，我们要抓住两车相遇时所行的路程之和就是总路程这个关系，就能很快得到轿车行驶的路程＋客车行驶的路程＝上海到宁波的高速公路路程这个等量关系，只不过题目中轿车行驶的路程又分为两段，但是等量关系定好了只要根据等量关系列方程解答就可以了。⑷ 练习：
小胖和小丁丁两家之间的路程是1500米，两人同时从家里出发，相向而行。小胖平均每分钟走72米，小丁丁平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？ 用方程法解：
解：设x分钟后两人还相距324米。(72＋75)x＋324＝1500, 147x＝1500－324, 147x＝1176，x＝1176÷147，x＝8.答：8分钟后两人还相距324米。
(1500－324)÷(72＋75)＝1176÷147 ＝8(分)答：8分钟后两人还相距324米。
请学生讲出思考的过程，突出解题步骤或等量关系式
1.探究二
探究中途停顿的行程问题的解法
两车同时出发，途中轿车休息了0.5小时，结果客车1.75小时
后与轿车在途中相遇。已知客车平均每小时行92千米，轿车平均每小时行多少千米？
（1）比较两题的差异在哪里？收集相关信息进行比较（2）请学生尝试画出线段图，并根据线段图讲述相关信息。
（3）请学生思考，休息了其实是哪个量发生了改变？应做何种处理。（4）找出等量关系，用不同的方法解答。
用方程解答。
解：设轿车平均每小时行x千米。(1.75－0.5)x＋92×1.75＝296，1.25x＋161＝296，1.25x＝296－161，1.25x＝135，x＝135÷1.25，x＝108.答：轿车平均每小时行108千米。用数学方法解答。
(296－92×1.75)÷(1.75－0.5)＝(296－161)÷1.25 ＝135÷1.25 ＝108（千米）
答：轿车平均每小时行108千米。
⑹小结：列方程解应用题的一般步骤。小结语与探究一类似 ⑺练习
甲乙两地之间的路程是470千米，一辆客车和一辆卡车同时从两地出发相向而行。途中客车因加油停了半小时，结果卡车3.2小时后与客车在途中相遇。已知卡车每小时行76千米，客车平均每小时行多少千米？ 想一想，客车实际行驶了多少小时？再列式解答。
用方程法解：
解：设客车平均每小时行x千米。
(3.2－0.5)x＋3.2×76＝470，2.7x＝470－243.2，2.7x＝226.8，x＝226.8÷2.7，x＝84.答：客车平均每小时行84千米。
用算术法解：
(470－3.2×76)÷(3.2－0.5)＝(470－243.2)÷2.7 ＝226.8÷2.7 ＝84（千米）
答：客车平均每小时行84千米。请学生说出思考方法
小结：出发时间不同、行使时间不同，等情况的形成问题，都可以转化为最为基本的行程问题，如……
三、课内练习： 1.练习一
⑴ 甲乙两人骑自行车分别从相距95千米的两地出发相向而行。甲先行8千米后乙再出发，乙出发3小时后两人在途中相遇，已知甲的速度是16千米／时，求乙的速度。
解：设乙的速度是X千米／时。
(95－8)÷3－16
8＋16×3＋3X＝95，＝87÷3－16
56＋3X＝95，＝29－16
3X＝95－56，＝13(千米／时)
3X＝39
X＝13.答：乙的速度是13千米／时。
⑵ 王师傅和李师傅同时开工，共同完成284个机器零件的检修任务，中途王师傅出去接电话用去30分钟，结果李师傅在2小时后与王师傅共同完成了检修任务，已知李师傅每小时可检修67个零件，求王师傅每小时可检修多少个零件？
30分钟＝0.5小时
解：设王师傅每小时可检修X个零件。
(284－67×2)÷(2－0.5)
(2－0.5)X＋67×2＝284，＝150÷1.5
1.5X＋134＝284，＝100(个)
1.5X＝150，X＝100.答：王师傅每小时可检修100个零件。
2.练习二：
⑴ 甲乙两队合修一条长4200千米的公路。甲队平均每天修200米，乙队每天修180米，甲队先修，两天后乙队才开工。乙队开工几天后两队能把这条路修完？
解：设乙队开工X天后两队能把这条路修完。
200×2＋200X＋180X＝4200，400＋380X＝4200，380X＝4200－400，380X＝3800，X＝10.答：乙队开工10天后两队能把这条路修完。(4200－200×2)÷(200＋180)＝3800÷380 ＝10(天)答：乙队开工10天后两队能把这条路修完。
⑵ 轿车以60千米／时的速度，吉普车以80千米／时的速度分别从东、西两站出发，相对行驶，轿车先从东城开出一些时间后，吉普车才从西城开出，当轿车行驶8小时后，两车在两站的中点相遇，轿车比吉普车早开出几小时？ 解：设轿车比吉普车早开出X小时。
80(8－X)＝60×8，8－60×8÷80 640－80X＝480，＝8－480÷80
80X＝160，＝8－6
X＝2.＝2(小时)答：轿车比吉普车早开出2小时。答：轿车比吉普车早开出2小时。题目类型是否可以做些变化，课堂小结
四、本课小结
我们在解决行程问题审题时先要注意出发的时间、方向、地点和运动结果，然后根据数量关系和不同的等量关系找到解题的算式和方程。列方程解应用题时要注意按步骤分析、解答。
课后习题
五、课后作业
凸轮机械手是一种结构与运行轨迹相对简单、小型、精密的执行机械手,因为它兼有传动、导向及控制机构等功能,得到了较广泛的应用。该机械手可产生复杂的运动轨迹,实现非等速运动,工作特点和设计方法随机构形式而异,且具有结构简单、成本低、使用平稳可靠、无冲击振动且故障率低等优势。但目前绝大多数的凸轮机械手工作行程不可调或只能实现微调,这使得凸轮机械手的广泛应用受到了限制[1,2,3]。
针对上述情况,设计一种水平方向上具有较大调节范围的双圆柱沟槽凸轮机械手,主要用于自动化设备中抓放物料或零部件的装配,并对其中的主要结构进行了详细的设计计算。
1 圆柱沟槽凸轮机械手的机构设计
图1为取料(装配)机械手的运动轨迹动作示意图,其中轨迹1、2、4、5为执行机构的上下运动,其高度H表示机械手在竖直方向上的行程;轨迹3、6为水平运动,L表示机械手在水平方向上的行程大小。工作时,机械手在竖直方向推力凸轮控制下向下运动接近物料(轨迹1);抓取物料(停歇期),后在竖直方向推力凸轮控制下向上运动(轨迹2);再通过水平方向推力凸轮的控制实现水平运动(轨迹3);运动到位后,竖直方向推力凸轮控制向下运动(轨迹4);放下(装配)物料(停歇期),再回升(轨迹5);最后在水平方向推力凸轮控制下到达初始位置(轨迹6);完成了一个工作循环。因此,用于控制水平和竖直方向运动的圆柱凸轮需要精确配合,以实现输出端倒“U”字形的运动轨迹。
设计的凸轮机械手结构如图2所示。该机械手主要由执行机构、行程调节机构、水平方向推力凸轮以及竖直方向推力凸轮组成。
1.1 水平推力圆柱凸轮的设计
从图2可知,在水平推力凸轮的设计中,机械手采用摆动滚子从动件圆柱沟槽凸轮,以利于水平方向上行程可调节功能的实现。在一个运动循环中,执行机构在水平方向上应完成一次往复运动,而竖直方向需要完成两次往返运动。假设在工作中机械手的工作周期T=1s,执行机构在抓取和放置动作过程中需要1/12个周期,即1/12s,此过程中凸轮转动的角度为30°,因此,整个机械手应在300°的凸轮转角中完成上述的6个动作。
图3为水平推力圆柱凸轮机构示意图,应用单参数曲面族的包络理论,可得到圆柱沟槽凸轮轮廓面的解析式为:
式中,N=±1,表示摆杆与圆柱凸轮的布局方式;L0为摆杆的长度;Rp为滚子中心线上一点所在圆的半径;φmax为摆杆的摆程角;φ为摆杆的瞬时摆角;θ1,2为升程角或者回程角;σ1和σ2分别为上轮廓面和下轮廓面时的取值,且为:
另外,设滚子与轮廓面接触点处压力角为α,即摆杆头速度矢量与滚子受力矢量间的夹角为:
针对凸轮机械手的设计,为了满足机械手的动作实现要求,首先利用一组数据进行水平推力凸轮的设计,此后再进行行程调节机构的设计。相关的参数为:凸轮的外部直径D=60.0mm,凸轮高H=40.0mm,滚子半径r0=5.0mm,滚子高度h0=8.0mm,摆动平面与凸轮轴间的距离l0=35.0mm,滚子摆杆的长度L0=40mm,滚子摆杆的摆程角φmax=30°,许用压力角α=30°,升程和回程均为正弦加速度运动规律,θ1=θ2=46°。将参数代入上述公式,可以求得水平方向推力凸轮的轮廓线,如图4所示。
1.2 竖直推力圆柱凸轮的设计
如图2所示,机械手中竖直方向推力凸轮采用直动滚子圆柱凸轮机构,当水平方向推力凸轮完成一个运动周期时,竖直方向凸轮需完成两个周期的运动,以实现工作过程中的抓料和放料(装配)的动作。其中,第一次升程和回程角度分别为θ1=48°、θ2=38°,第二次升程和回程角度分别为θ1′=38°、θ2′=48°,滚子半径r0=5.0mm,滚子高度h0=8.0mm,许用压力角α=30°。根据直动滚子圆柱凸轮的设计方法,可以获得竖直方向推力凸轮轮廓线,如图5所示。
1.3 行程调节机构的设计及行程调节测试
在实际中,人们往往更多地关注机械手是否能够在水平方向上实现行程可调的功能,以满足生产中兼容不同行程的取料功能或者装配零件的需要。因此,这里主要实现凸轮机械手水平方向上的行程可调功能。
凸轮机械手水平方向运动控制原理如图6所示,水平方向运动控制采用杠杆原理,其中a为滚子部分、b为铰接结构、c为滑块结构。工作时,滚子始终在水平推力凸轮的沟槽中滑动,因此ab段为输入端,bc段为输出端,并且输入端的长度保持不变。在滚子沿着轨迹槽循环滑动的过程中,bc段往复摆动,而c端处的滑块在与水平臂杆固结的滑槽中进行上下滑动,从而实现机械手水平方向上的往复运动。
为了实现水平方向行程可调的功能,采用行程调节原理,如图7所示。整个调节机构由外套杆、内杆和旋紧装置组成,外套杆上端与图6中c处相连接,内杆下端与图6中的b处相连接,内杆可以在外套杆中滑动,完成输出段长度的可调节功能,最终实现行程变化的调节。调节行程以后,利用旋紧装置将内杆和外套杆卡紧,以保持输出端臂长调节好后稳定不变,使工作过程平稳。为避免内杆从外套杆中滑脱,在内杆的上端和外套杆的下端设置有防脱结构。
对行程调节机构进行两次调节后,机械手执行机构在水平和竖直方向上的合运动轨迹如图8所示,从图中可以看出水平方向上可调行程为90～200mm。
2 结语
设计了一种行程可调的凸轮机械手,该机械手整体结构简单紧凑,利用同轴安装的两个圆柱沟槽凸轮实现了机械手的循环往复运动;还利用杠杆原理实现了水平方向行程的可调节功能。
摘要：为满足自动化设备中凸轮机械手行程上的兼容性要求,利用杠杆原理设计出了一种行程可调节的圆柱凸轮机械手,并对机械手的圆柱凸轮以及行程调节机构进行探讨。
关键词：凸轮机械手,行程调节,机构设计
参考文献
[1]葛正浩,杨芙莲,卢军.直动型凸轮机械手的研究[J].西北轻工业学院学报,2002,20(5):17-20
[2]张丽.直动型弧面凸轮机械手的设计[J].制造业自动化,2010,12:155-157
[3]曹巨江,陈雪峰.弧面凸轮机械手系列化设计[J].机床与液压,2002,2:49-51
摘 要：文章介绍了钢制机床导轨防护罩行程排列的计算方法，给出了各参数之间的相互关系；利用VB语言编写计算程序及应用算法，并实例说明防护罩行程排列参数化设计方法以及实际工作应用效果。
关键词：机床导轨防护罩；行程排列；参数化；VB
中图分类号：TG502.3 文献标识码：A 文章编号：1006-8937（2015）17-0009-02
钢制机床导轨防护罩（下称“防护罩”）是数控机床重要的功能部件，在加工过程中能够有效保护机床导轨、丝杠等精密部件，优化车间工作环境。防护罩主要包括低速拖拽式结构和高速同动式结构两大类，拖拽式结构系借着一片推动一片产生位移，适用于30 m/min以下的低速运行；同动式结构依靠同动机构实现防护罩的快移，从而满足数控机床的快速移动要求。目前生产机床部件的中小企业在设计过程中主要依靠设计人员的实践经验或参照市场上已有的产品进行设计，同时在防护罩设计之初计算行程排列时，需手工反复排列计算。
本文主要介绍防护罩行程排列方法，并实现防护罩行程排列参数化设计。
1 防护罩行程排列方法
钢制防护罩各层罩板重叠具有伸缩性，因此从结构和尺寸上对机床部件空间布局有一定影响，同时满足机床主机的行程要求。防护罩的行程设计主要根据机床主机大件（或整体）结构尺寸及主机的行程确定，同时根据防护罩自身结构确定防护罩拉板、筋板材质及规格、刮屑条结构、运动附件等内部细节结构尺寸。一般情况下，防护罩在达到理论最大拉伸与最小压缩极限位置后相应各增加3～5倍丝杠导程的“冗余量”，以保证防护罩运行性能及安全性，保障机床主机稳定运行。防护罩行程设计，如图1所示。
相关参数命名：
Lmax为防护罩最大拉伸长度；
Lmin为防护罩最小压缩长度；
n为防护罩层数；
P1为第1层罩板与第2层罩板的相对行程，以下以此类推；
Pn-1：第n层罩板与第n-1层罩板的相对行程；
P为防护罩总行程（含冗余量），P=P1+P2+……+Pn-1；
t1为与机床连接板规格（注：可选项）；
t2为筋板厚度规格；
b1为与机床内部安装安全距离；
b2为相邻两个筋板距离（不含t2），根据运动部件不同设定不同值；
a1为第1层罩板与第2层罩板最小压缩状态下的层错位量，以此类推至第n-2层罩板与第n-3层罩板；
a2为第n-1层罩板与第n层罩板最小压缩状态下的层错位量；
L1为第1层防护罩板长度；
Li为第i层防护罩板长度（2≤i≤n-1）；
Ln为第n层防护罩板长度；
tzl：为安装调整量包括刮屑板（tzl1）、缓冲垫（tzl2）等安装尺寸，通常为常数；
通过式（1）和式（9）可得到最大拉伸、最小压缩、行程及层数之间的相互转化，输入其中已知两项就可以得出其他两项的参数，同时可根据式（5）、式（6）、式（7）得出各层罩板的长度，实现防护罩行程的参数化设计。
2 防护罩行程排列参数化设计
利用VB6.0编写防护罩行程排列辅助设计程序，该程序主要分为计算模式选择、防护罩类型选择、数据输入和数据计算输出四部分。防护罩行程参数化计算主要有三种模式，即：
①输入最大拉伸与最小压缩计算输出行程与层数；
②输入最小压缩与行程计算输出最大拉伸与层数；
③输入层数与行程计算输出最大拉伸与最小压缩。
防护罩类型选择预制了5种标准行程排列结构（含同动式）及1种自由输入的行程排列结构，根据防护罩所配套机床类型、运行速度等相关因素选择适合的行程排列类型。数据输入则根据选择的计算模式及防护罩类型进行数据输入，经过计算在数据输出相应的行程排列运算结果。
2.1 模式1：输入最大拉伸与最小压缩求解层数与行程
当（3B+A）2-4BC<0或n<0时，数据输入出现逻辑错误，需重新输入。在实际工作中层数n为一个正整数，因此输出的层数n为计算结果舍弃小数点后取整并加1。
当然当计算的结果非常接近（大于或小于）整数时，可凭设计者的工作经验，微调输入数据以获得满足设计要求的行程排列。此时防护罩可根据层数计算结果带入式（2）、式（3）、式（4）计算新的实际行程。
2.2 模式2：输入最小压缩与行程求解最大拉伸与层数
此计算模式适用于机床设计者或防护罩制造厂的一次设计，能够满足机床一定空间限定下防护罩行程的优化设计。当输入最小压缩Lmin与行程P求解最大拉伸Lmax与层数n时，由式（1）和式（9）可得：
同模式1，当（3B+A）2-4BD<0或n<0时候，数据输入出现逻辑错误，需重新输入。计算层数n按上述方法获得所需数据并获得相应满足设计要求的行程排列。
2.3 模式3：输入层数与行程求解最大拉伸与最小压缩
此计算模式适用于机床设计者或防护罩制造厂的一次设计，能够有效控制机床的内部空间，优化防护罩行程设计。当输入层数n与行程P求解最小压缩Lmin和最大拉伸Lmax与时，由式（1）及式（9）可得
以上三种计算模式适用于不同的防护罩行程计算方法，并可以相互间进行转化计算，能够快速解决行程排列问题。
3 结 语
防护罩行程排列设计是防护罩设计前期最重要的工作，在设计过程中结合主机的具体结构及防护罩的特点进行综合权衡，具体问题具体分析，灵活运用该软件提供的计算模式。经实际工作测试，利用该软件进行设计取得了良好的效果。
参考文献：
[1] 程焰.机床导轨防护罩的设计[J].齐齐哈尔大学学报：自然科学版，2008，（6）.
基本公式
时间×速度=距离
行程问题包括相遇问题、追击问题、跑道赛跑、火车相遇、水中行船、时钟问题，还有相关的判断问题。
关键点：位置、距离、时间、速度。
清楚各点之间相关量的关系，忽略过程的细节。
1.从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲乙两地相距x千米，则列方程为________________。
分析：行走问题，可以理解为追击问题
时间等量关系
车行时间+3.6=人行时间
x÷40+3.6=x÷8
距离等量关系
人行时间×人行速度=甲乙距离
（x÷40+3.6）×8=x
2.甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度。
分析：相遇问题---相向而行（反方向）
甲距离+乙距离=某距离
（1）甲乙两次的行走时间均已知，（2）两次行走的总距离均已知，（3）第一次甲乙时间同
距离等量关系
第二次甲走+第二次乙走=18
（2）
设甲速度x，乙的速度=距离÷第一次同时行走时间-x
（3）（单位必须一致）
速度等量关系
第二次甲40分钟路程÷40分钟=甲的速度
第二次甲40分钟路程=总行程-第二次共同走过的行程 第二次共同走过的行程=总行程×两次共同走过的时间比
速度等量关系 第一次共同行走时的速度=第二次行走时的速度
3.某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
分析：行走问题。可以理解为追击问题。两次骑行比较
设预订时间x
等量关系： 两次的距离相等
设路程x：
等式关系： 预订时间相同
4.在800米跑道上有两人练中长路，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，两人同时同地同向起跑，t分钟后第一次相遇，t等于
分钟．
分析：（追击问题）同向而行，甲距离-乙距离=某距离
等量关系
时间相等
甲距离-乙距离=800
5.一列客车长200 m,一列货车长280 m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过16秒,已知客车与货车的速度之比是3∶2,问两车每秒各行驶多少米?
分析：相遇问题
特别强调：只关注车头相遇和车尾分离两个点
等量关系
两车16秒总距离=两车长的和
设客车车速3x：
6.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6Km，骑自行车的人的速度是每小时10.8Km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车人的时间是26秒。
（1）火车的速度为每秒多少米；（2）求这列火车的身长是多少米。
分析：（追击问题）
等量关系
火车的长度相等
设火车速度x：
（火车速度-行人速度）22=（火车速度-车行速度）26
7.休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度追我们，如果我和妈妈每小时行2千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗？
分析：追击问题---速度慢的先行，快的后出发，在后面追，最终总距离相等（两者用的总时间可以不等）；也可以是跑道上的超越问题（比如快的比慢的多一圈的整数倍）。
最好先画图。先求出追上的时间，再比较判断。
等量关系：行走距离相等
设我们行走x时追上
判断
若不能在到前追上。
8.一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度60公里/小时，步行者速度是5公里/小时，步行者比汽车提前1小时出发，汽车到达目的地后，再回头接步行者。出发地到目的地的距离是60公里。问：步行者在出发后经多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）？
分析：追击问题的变形
关键词：同地出发，提前一小时出发，回头接步行者
最好先画图，可以把各段的位置、距离关系表示清楚，时间在旁边标注
时间等式
汽车出发到接人时=步行总时间-先行时间 距离等式
汽车出发到接人时的距离+步行总距离=2倍总路程
设步行者x时：
时钟问题：
9.在6点和7点间，什么时候时钟分针和时针重合？
分析：追击问题，分针追时针
暗含的已知条件：时针分钟的速度，6点时时针分针的位置
等量关系：从6点开始到重合时针分针走的时间相同
重合时的位置相同 设重合时是6点x分
360÷60×x=180+30÷60×x
行船问题：
10.一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？
等量关系 顺水行走距离=逆水行走的距离
船在静水中的速度相同
关键点顺水时船对岸的速度=船静水速+水速
逆水时船对岸的速度=船静水速-水速
船相对岸边的距离=船对岸的速度×对应的行走时间
设船静水速度为x：
11.一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间距离。此题同上12，船如飞机，水如风
教学要求：
1．能通过画线段图或实际演示，理解什么是”同时出发“”相向而行“、”相遇“等术语，形成空间表象。
2．弄通每经过一个单位时间，两个物体之间的距离变化。
3．掌握两个物体运动中，速度、时间、路程之间的数量关系，会根据此数量关系解答求路程的相遇应用题。能用不同方法解答相遇求路程的应用题，培养学生的求异思维能力。
4.通过阐明数学在日常生活的广泛应用，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：
掌握相遇问题的结构特点，弄通每经过一个单位时间两物体的变化，并能根据速度、时间、路程的数量关系解相遇求路程的应用题。
教学难点：
理解行程问题中的”相遇求路程“的解题思路。
教学过程：
一、激发
1．口答：
(1)张华从家到学校每分钟走60米，3分钟走多少米？
(2)汽车每小时行40千米，6小时行多少千米？
要求：读题列出算式并说出数量关系。
板书：速度×时间＝路程
提问：这两题研究的是什么？
2．揭题：以前研究的行程应用题，是指一个物体、一个人的运动情况，今天我们根据这个数量关系研究两个物体或两个人运动的一种情况。（板书：应用题）
二、尝试
1．出示准备题：张华家距李诚家390米，两人同时从家里出发向对方走去。李诚每分钟走60米，张华每分钟走70米。
(1)读题看线段图，汇报你知道了什么？（回答：这题是两个人同时出发，对着而行；是两个人共同走这段路程的。）
60米60米70米70米
张华李诚
390米
(2)边看演示边说明：象这样两个人对着而行，我们叫它相向而行或相对而行。
(3)看多媒体或实物演示：汇报你发现了什么？（1分钟，张华走了60米，李诚走了70米；2分钟张华走了120米，李诚走了140米，两人的路程和是260米，两人还距离130米；两人走3分钟分别走了180米、210米，两人间的距离变成了0米。
问：说明了什么？（说明走完了全程，也就相遇了。）
(4)学生打开书p.58页，根据”准备题“的条件填空，并回答：出发3分钟过后，两人之间的距离变成了多少？两人所走的路程和与两家的距离有什么关系？
走的`时间
张华走
的路程
李诚走
的路程
两人走的路程的和
现在两人的距离
1分
60米
70米
2分
3分
2．出示例5：小强和小丽同时从自己家里走向学校。小强每分钟走65米，小丽每分钟走70米，经过4分两人在校门相遇，他们两家相距多少米？
每分65米每分70米
小强小丽
？米
(1)读题，找出已知所求及他们是怎样运动的。
(2)指名边指线段图边说解题思路，使学生看到两人相遇时走的路程就是两家之间的距离。
第一种：小强4分走的路程＋小丽4分走的路程
第二种：（小强每分走的路程＋小丽每分走的路程）×4
(3)独立列式解答
65×4+70×4（65＋70）×4
＝260＋280＝135×4
＝540(米)＝540（米）
追问：65×4、70×4各表示什么？(65＋70)表示什么？
(65＋70)×4又表示什么？
(4)比较两种算式之间的联系。
(5)做一做第1题：志明和小龙同时从两地对面走来(如图)，经5分两人相遇，两地相距多少米？（用两种方法解答）
志明每分走54米小龙每分走52米
口答：
①相遇时，志明行的米数列式为×（）＝（）米。
②52×5表示。
③两地的总路程：（）×（）＋（）＋（）＝()米或（）×4=()米。
3．小结：刚才我们研究的是什么类型的应用题？解这类题的关键是什么？
板书：
速度×时间＝路程
(两人速度的和)(相遇时间)
三、应用
1．练习十四第1题
2．两列火车从两地相对行驶，甲车每小时行75千米，乙车每小时行69千米。
(1)经过3小时两车相遇，两地间的铁路长多少千米？
(2)如乙车先开出1小时，甲车才出发，再过3小时两车相遇，两地间的铁路长多少千米？
(3)如果甲车先开出1小时，乙才开出，再过2小时两车相遇，两地间铁路长多少千米？
四、体验
1.谈谈你的收获？
2.教师指明：今天学习的应用题是利用速度、时间、路程三者的关系解答相遇求路程的应用题。
五、作业
1、理解和掌握关于行程的数量关系的对应性，能灵活应用数量关系解决实际问题。
2、经历行程问题的解决过程，培养学生的逻辑思维能力。
3、在学习过程中，体会数学与生活实际的联系，培养学生的应用意识。
教学重、难点：
行程问题数量关系的灵活应用。
教学过程：
一、复习引入
1、请说出关于行程问题的数量关系式。
速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度
2、一辆赛车15分钟行驶45千米，按照这样的速度，105分跑完整个赛程。整个赛程有多长?
“按照这样的速度”什么意思?整个赛程有多长就是求什么?
指名回答：解答方法与解题思路。
3、小结引入
二、探究新知
1、典型错题1
一辆赛车15分钟行驶45千米，按照这样的速度，1小时45分跑完整个赛程。整个赛程有多长?
(1)对比
与复习题有什么相同?求路程要找什么?有什么不同?解答时怎么办?
(2)同桌之间交流思路并解答
(3)展示、点评
要求学生结合数量关系说出算式的意思。
预设：
a:1小时45分=105分45÷15=3(千米/分)3×105=315(千米)
b:45÷15=3(千米/分)3×45=135(千米)
c：1小时45分=105分105÷15=77×45=315(千米)
(4)小结
应用关系式时，所有的量要一一对应，对应数量的单位要相同。
2、典型错题2
王叔叔从县城出发去王庄乡送化肥。去的时候用了3小时，速度是40千米/时，返回时用了2小时。原路返回时平均每小时行多少千米?
(1)独立审题
(2)同桌交流思路
求“原路返回时平均每小时行多少千米?”就是求什么?要在题目中找什么信息?
(3)指名板演，全班点评
3、总结
两道题所求问题不同，但是我们在解决问题时都是从问题出发，找出问题与不变量之间的关系进行解答。在解答时，要注意量要一一对应，对应数量的单位要相同。
三、巩固练习
1、一辆长途客车40分钟80千米，照这样的速度，从安阳到郑州行了3小时20分钟。从安阳到郑州有多远?
2、一辆旅游车在平原和山区各行了2小时，最后到达山顶。已知旅游车在平原每小时行50千米，山区每小时行30千米。这段路程有多长?
3、小明骑远足时，3小时行了9千米。按照这个速度，小明从家到学校需要10分钟。小明家到学校有多远?
4、汽车从甲地到乙地送水果，去时用了6小时，速度是32千米/时，回来时只用了4小时，回来的速度是多少?
5、一段公路原计划20天修完，每天修150米。实际提前5天完成任务，实际每天修多少米?
四、全课小结
关键词：旅游行程规划,ACO算法,百度地图,Android平台
0 引言
合理的行程规划对自助游客拥有轻松愉快的旅游体验是必要的。进行行程规划的一般过程包括在各种旅游网站上搜集大量的旅游信息,然后决定去游玩哪些景点、景点游玩顺序、游玩时间和景点之间转移的交通路线等,通常需要花费大量的时间和精力,最终得到的结果却往往不尽如人意。因此,开发一种能够帮助自助游客规划合理行程路线的工具显得非常重要。
互联网和新一代通信技术的出现和迅速发展为在线动态规划行程提供了可能,同时也促进很多学者对如何规划合理的行程路线进行了大量研究,大致可分为两类。一类是从数学理论角度进行分析,旅游行程规划属于NP难题,其解决方法有原始的精确求解法和新兴的启发式算法、智能优化算法等。如文献
另一类研究从应用分析角度进行,这类研究着重于在优化算法的支撑下,实现一个旅游行程规划系统,如文献
本文通过对旅游行程规划和蚁群优化算法的研究,设计了城市区域内能满足自助游客多方面需求、可以进行多景点路线规划的Android智能终端旅游行程规划系统。系统采用三层体系架构,集成了行程规划模型、蚁群优化算法、Web Service、JSON、Android平台开发和百度地图API等理论与技术。相对于传统的旅游服务内容,该系统旨在为游客提供智能行程规划服务,属于智慧旅游
1 行程规划系统设计
1.1 系统体系架构设计
行程规划系统基于一云多屏的智慧旅游公共服务平台理念,采用结构清晰、明确的三层架构体系,如图1所示。该架构可以降低系统各层之间的依懒,减轻系统后期的维护成本和维护时间,整体具有较强的扩展性、易用性和开放性。其中,表现层包括少部分的逻辑代码,主要负责与用户进行交互,接受用户的请求及数据返回;业务逻辑层属于系统架构的核心,是连接用户端和数据库的桥梁,主要负责按照业务逻辑对数据库进行操作,并将数据结果传给表现层;数据库层主要负责解决大数据存储、数据高并发访问、数据分类、加工、封装和数据服务问题。
图1 系统架构图
系统应用服务器采用Tomcat部署Web Service服务,提供行程规划和用户信息管理等服务。应用逻辑被封装到了应用服务器中,当应用逻辑发生变化时,仅需修改服务器中的程序,用户端的应用程序不必更新。用户端与数据库服务器通过应用服务器进行连接,降低系统资源的开销,进而提高系统的可靠性和安全性。
系统数据库采用My SQL构建,存储从云端获取的兴趣点基础数据信息、兴趣点间的交通数据和用户数据信息,并提供数据备份和安全管理等功能。
该系统面向游客提供包括电脑、Android/i OS智能手机、PAD等多种形式的服务终端。用户端通过访问开放的应用程序接口,从兴趣点数据库获取景点信息展示给用户,并从云端或交通信息数据库搜集用户偏好的景点交通信息,采用蚁群优化算法智能生成旅游行程路线,最后在百度地图上将规划结果直观、友好地展示给用户,极大地提升了用户体验。
1.2 数据库设计
根据系统架构分析,建立了“TRPData”数据库,主要包括景点信息、交通信息、用户信息和城市信息等多个实体。下面仅对景点信息和交通信息中主要的表进行说明。景点信息表用于存储景点的基本属性信息,字段包括身份id、景点名称name、地址address、电话tel、星级star、门票价格price、开放时间timeframe、经度lonx、纬度laty和最佳游玩时间playtime。交通信息表用于存储景点之间的交通信息,字段包括起点from、目的点to、旅途时间traveltime和旅途费用travelcost。
2 行程规划功能详细设计和算法实现
2.1 系统体系架构设计
业务逻辑层承载着系统主要功能模块的实现,行程规划模块作为系统的核心功能,主要向用户提供行程规划服务,其详细设计也是针对业务逻辑层展开。如图2所示是行程规划模块的数据流图,系统根据用户输入的基本信息和从交互平台搜集的用户偏好信息,采用行程规划算法进行行程规划,最后将规划结果展示给用户。
图2 行程规划数据流图
2.2 行程规划模型分析
旅游行程规划是指根据游客的旅游需求和个人偏好,搜索旅游综合信息数据库中满足条件的相关信息要素,并对偏好景点进行规划排序,生成一条合理的行程路线。
为了使用计算机或移动终端进行旅游行程规划,有必要把行程规划所涉及到的元素及元素之间的关系转化成完全图G={S,E}进行分析,其中S={si|i=1,2,…,n}代表游客偏好的景点集合,E={eij|i,j∈S}代表两个景点间的旅游交通路线构成的边集合。对于任意顶点si,t(i)表示在景点i的游玩时间,c(i)表示对应的游览费用;对于任意边eij,t(eij)表示从景点i到景点j的旅途时间,c(eij)表示对应的旅途费用c(eij)。
用R={s1,s2,…,sn-1,sn}表示一条满足要求的行程路线,行程所需的旅游花费C和旅游时间T分别如式(1)、式(2)所示:
其中d(i)表示提前到达目的地景点时产生的等待时间,如式(3)所示:
其中tp(i)为景点关闭时间。
以旅游时间最小化和旅游花费最小化的联合来评价可选行程路线R的优劣,目标函数Φ(R)的表达式如下:
其中ω0是衡量旅游时间与旅游费用之间关系的一个权重系数。Tmax代表游客可支配的旅游时间,Cmax代表根据游客需求所得的费用预算。式(5)是对旅游时间的约束;式(6)是对旅游花费的约束;式(7)是对每个景点游玩时间的约束,以确保为游客提供的行程安排落在景点开放时间的范围之内。
2.3 行程规划算法设计
根据上述分析可知,行程规划实质上是一类含有多个约束条件的组合优化问题,高效、科学、强壮的算法是解决问题的关键
ACO算法是一种基于蚂蚁群体觅食行为的启发式优化算法
使用蚂蚁个体模拟游客进行旅游行程路线选择的过程中,把游客通常关心的旅游时间、景点开放时间、费用预算等需求参数设计到算法模型中去,对ACO算法进行改进。
(1)行程路线的构建
假设蚂蚁k(k=1,2,…,m)在当前节点i选择下一个游览景点j,所有可选的景点存放在集合Rk中。改进的算法模型中,蚂蚁个体不仅感知路径上的信息素强度τ(i,j)和路径启发式信息η(i,j),而且还会判断景点j开放时间段的约束ω(u)对其吸引度,ω(u)的表达式为如式(8)所示:
其中,C是一个常数。
蚂蚁个体计算可选景点的选择概率时采用改进的状态转移规则,如式(9)所示:
其中,参数α、β、ν分别表示信息素浓度、启发式信息和开放时间约束的相对重要性。显然,在相同条件下,景点开放时间较短的景点将会被优先选择进行游览。
同时,为了兼顾游客的多重需求,将路径启发式信息η(i,j)从时间和费用两个方面重新设计,改进后的启发式信息计算模型如式(10)、式(11)所示:
式中参数γ1、γ2分别表示时间和花费的重要程度,管理员可以根据游客的需求对其取值进行调节。显然,由于各景点的最佳游览时间和旅游费用不同,路径(i,j)和(j,i)上启发式信息也相应不同。蚂蚁群体在构建行程路线时交替使用两种启发式信息,旨在寻找到一条满足时间和费用联合最小化的行程线路。
目标节点j的确定方式采用伪随机比例规则,首先根据式(9)求得各景点的选择概率,然后产生一个[0,1]内均匀分布的随机变量q,与控制参数q0(q0∈[0,1])进行比较。如果q≤q0,下一个目标景点j采用确定性方式进行选择,由式(12)确定;如果q>q0,根据已有的选择概率,采用轮盘赌的选择方法确定下一个目的景点j。
(2)路径信息素的更新
蚂蚁群体构建完成各自的行程路线后,进行路径信息素的更新,用ρ(0<ρ≤1)表示路径信息素衰减度,具体更新规则为:
式中Δτ(i,j)表示蚂蚁个体构建的行程路线R上信息素增量,计算公式为:
式中Φ(R)为上一节行程规划模型分析得出的评价路线R的目标函数。
根据行程规划算法设计,算法实现的流程如图3所示。
图3 行程规划算法流程图
3 智能终端行程规划软件实现
Android操作系统
图4 客户端软件结构
3.1 需求交互功能模块实现
需求交互功能包括输入基本需求、景点信息展示两个界面,主要由界面组件Activity、列表组件List View和通信组件Intent及相关技术开发实现。界面展示信息通过Android客户端软件访问远程景点数据库获取。由于平台本身没有提供直接调用Web Service服务的库,开发时采用第三方的类库Ksoap2实现调用Web Servie服务,服务器以JSON对象形式返回数据结果给客户端。JSON对象具有数据量小、可读性强等特点,客户端解析时也不必用额外的类进行处理。
此外,服务器端处理数据时通过在内存中分页来提高运行效率,将结果快速展示到用户界面,并采用缓存技术来提高用户的使用体验。
基本需求确定界面运行效果如图5所示,用户输入基本需求后,点击“选择景点”按钮,提交需求信息,系统跳转至景点信息展示交互界面,运行效果如图6所示,界面上的“选择”和“已选”按钮用来记录用户的偏好选择。点击界面右上角的“查看线路”按钮,客户端向系统服务端发送行程规划的请求,服务器根据请求内容,从系统数据库搜集行程规划所需的偏好景点游玩时间、开放时间、经纬度位置、景点间旅途时间和旅途费用等信息,并调用行程规划算法模块进行路线规划,在地图上显示返回的行程路线结果。
图5 输入基本需求
3.2 地图展示功能模块实现
地图展示功能模块主要用于展示行程规划结果和提供景点间交通线路搜索功能。该模块的实现需要调用百度地图Android SDK,它是一套开放给开发者的应用程序接口,用于Android系统移动设备的地图应用开发,可提供基础地图、地图覆盖物、POI检索、线路规划等功能。地图控件的引入及所有相关操作均在Ditu Activity类中实现。
其中,为景点添加图形覆盖物是显示行程路线详情的重点,首先根据用户与系统的交互结果获取行程规划的路线信息,然后依次对各个景点添加自定义的覆盖物图标,最后根据添加顺序在地图上实现多点划线。重写自定义图标的点击事件onMarker Click,当用户点击时,可以获取对应景点的信息,运行效果如图7所示。
景点间线路搜索功能采用地图搜索模块Route Plan Search开发实现,将线路搜索的城市区域设置为杭州市,并分别提供了公交、驾车和步行线路搜索功能,运行效果如图8所示。
图7 行程规划结果
图8 公交路线信息
在该功能模块实现时,根据需求对百度地图功能做了以下改进:
(1)行程路线绘制:由于百度地图SDK提供的多边形覆盖物是一个封闭的几何图形,在使用多边形覆盖物选项类Polygon Options绘制行程线路时,改进该类方法对多边形闭合边框的设置,按照行程规划结果,将起点到终点的景点线路绘制出来。
(2)更改地图中心位置:由于百度地图在移动设备屏幕中心显示的默认位置是北京市,而本文是以杭州市的行程规划为例。为了调用地图模块时可以直观地看到杭州市内的行程路线结果,首先获取行程规划结果起点的经纬度坐标值,然后使用Map Status Update将地图中心状态位置设置为行程路线起点。
4 结语
目前市场上的一些旅游网站可以提供基本行程规划功能,但类似于本系统综合考虑游客出游时间、费用和景点开放时间等多种需求的行程规划模型还不多见。另外,本系统采用蚁群智能优化算法规划行程路线,可以承受问题规模不断扩大带来的计算压力,这也是其他优化算法不具备的优势。
首先必须明确的是，行程问题的基本公式有：
路程=速度×时间；
速度=路程÷时间；
时间=路程÷速度.
无论是列方程还是方程组，根本上都要从这三个公式中去寻找等量关系.
一、单人单程
例1：甲，乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从80km/h提高到100km/h，运行时间缩短了3h.甲，乙两城市间的路程是多少？
【分析】如果设甲，乙两城市间的路程为xkm，那么列车在两城市间提速前的运行时间为[x ]h，提速后的运行时间为[x ]h.
【等量关系式】提速前的运行时间-提速后的运行时间=缩短的时间.
【列出方程】 [x ]-[x ]=3
例2：某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.求这列火车的速度和长度.
【分析】如果设火车的速度为xm/s，火车的长度为ym，用线段表示大桥和火车的长度，根据题意可画出如下示意图：
【等量关系式】火车1min（60s）行驶的路程=桥长+火车长
火车40s行驶的路程=桥长-火车长
【列出方程组】 60x=1000+y
40x=1000-y
【举一反三①】
1.徐州至上海的铁路里程为650km，从徐州乘列车A，列车B都可直达上海，已知列车A的速度为列车B的2倍，且行驶的时间比列车B少2.5h.求列车A的速度及其从徐州到上海的行驶时间.
（提示：同学们可能会认为这道题是双人行程问题，其实这道题的类型可归结为例1的类型，即把列车B的速度看成是列车A提速后的速度，是不是就可看成单人单程的问题？）
2.一列匀速前进的火车用15秒的时间通过了一个长300米的隧道（即从车头进入隧道到车尾离开隧道）.又知在隧道顶部有一盏固定的灯，发出一束光垂直照射火车时间为2.5秒（光速=3×108m/s）.
（1）求这列火车的长度；
（2）如果这列火车用25秒的时间通过了另一个隧道，求这个隧道的长.
二、单人双程
单人双程问题的解题关键是弄清楚等量关系式：来时的路程=回时的路程.
例3：某校组织学生乘汽车去自然保护区野营，汽车先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，到达目的地总共用了5.6h；返回时汽车以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度走平路，到达目的地总共用了6h.请问学校距自然保护区有多远？
【分析】如果设学校距自然保护区为xkm，由题目条件“去时用了5.6h”有些同学会认为总的速度为[x ]km/h，然后用去时走平路的速度+去时爬坡的速度=总的速度，得出方程60+30=[x ].这种解法是错误的，因为速度是不能相加的.而时间是可以相加的，所以应该设平路的长度为xkm，坡路的长度为ykm，则去时走平路用了[x ]h，去时爬坡用了[y ]h，去时总共用了5.6h；回来时汽车下坡用了[y ]h，回来时走平路用了[x ]h，回来时总共用了6h.解出x和y后，学校到自然保护区的距离为（x+y）km
【等量关系式】去时走平路用的时间+去时爬坡用的时间=去时用的总时间
回来时走平路用的时间+回来时爬坡用的时间=回来时用的总时间
【列出方程组】 [x ]+[y ]=6.5
[x ]+[y ]=6
三、双人行程
1.单独应用：只应用同向而行、背向而行、相向而行、追击问题中的一种类型.
1.1同时同地同向而行：A，B两事物同时同地沿同一个方向行进.
例4：甲车的速度为60km/h，乙车的速度为80km/h，两车同时同地出发，同向而行.经过多少时间后两车相距280km.
【分析】如果设经过xh后两车相距280km，则甲车走的路程为60xkm，乙车走的路程为80xkm，根据题意可画出如下示意图：
【等量关系式】甲车行驶的距离+280=乙车行驶的距离
【列出方程】60x+280=80x
1.2同时同地背向而行：A，B两事物同时同地沿相反方向行进.
例5：甲车的速度为60km/h，乙车的速度为80km/h，两车同时同地出发，背向而行.经过多少时间两车相距280km？
【分析】如果设经过xh后两车相距280km，则甲车走的路程为60xkm，乙车走的路程为80xkm，根据题意可画出如下示意图：
【等量关系式】甲车行驶的距离+乙车行驶的距离=280
【列出方程】60x+80x=280
1.3同时相向而行（相遇问题）.
例6：甲，乙两人从相距10km的A，B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍，两人出发1.5h后相遇，求甲，乙两人的速度。
【分析】如果设甲的速度为xkm/h，则乙的速度为2xkm/h，甲走过的路程为1.5xkm，乙走过的路程为2×1.5xkm，根据题意可画出如下示意图：
【等量关系式】甲行走的距离+乙行走的距离=10
【列出方程】1.5x+2×1.5x=10
1.4追及问题.
nlc202309041707
例7：一队学生从学校步行去博物馆，他们以5km/h的速度行进24min后，一名教师骑自行车以15km/h的速度按同样的路线追赶学生队伍.这名教师从出发到追上学生队伍共用了多少时间？
【分析】如果设这名教师从出发到追上学生队伍共用了xh，则该教师走过的路程为15xkm，学生走过的路程为教师出发前走过的路程加上教师出发后走过的路程，而学生在教师出发前走过的路程为5xkm，学生在教师出发后走过的路程为5xkm，又由于教师走过的路程等于学生走过的路程.根据题意可画出如下示意图：
【等量关系式】教师走过的路程=学生在教师出发前走过的路程+学生在教师出发后走过的路程
【列出方程】15x=5×[ ]+5x
1.5同地同向不同时而行（与追击问题相似）.
例8：甲，乙两人都从A地出发到B地，甲出发1h后乙才从A地出发；乙出发3h后，甲，乙两人同时到达B地.已知乙的速度为50km/h，甲的速度为多少？
【分析】如果设甲的速度为xkm/h，则乙出发前甲走过的路程为xkm，乙出发后甲走过的路程为3xkm，甲走过的路程等于乙出发前甲走过的路程加上乙出发后甲走过的路程，而乙走过的路程为50×3km，甲走过的路程等于乙走过的路程.根据题意可画出如下示意图：
【等量关系式】乙走过的路程=乙出发前甲走过的路程+乙出发后甲走过的路程
【列出方程】50×3=x+3x
1.6不同时相向而行
例9：甲，乙两站相距448km，一列慢车从甲站出发，速度为60km/h；一列快车从乙站出发，速度为100km/h。两车相向而行，慢车先出发32min，快车开出后多少时间两车相遇？
【分析】如果设快车开出后xh两车相遇，则慢车走过的路程为60×[ ]+60xkm，快车走过的路程为100xkm.根据题意可画出如下示意图：
【等量关系式】总路程=快车出发前慢车走过的路程+快车出发后慢车走过的路程+快车走过的路程
【列出方程】448=60x+60x+100x
注：涉及此类问题的还有同时同向不同地而行、不同时不同地背向而行、不同时不同地同向而行等情况，与例9的解法类似，只要画出示意图问题就会迎刃而解.
2.结合应用：把同向而行、背向而行、相向而行、追及问题两两结合起来应用.
2.1相向而行+背向而行
例10：A，B两地相距36km，小明从A地骑自行车到B地，小丽从B地骑自行车到A地，两人同时出发相向而行，经过1h后两人相遇；再过0.5h，小明余下的路程是小丽余下的路程的2倍。小明和小丽骑车的速度各是多少？
【分析】如果设小明骑车的速度为x，小丽骑车的速度为y，则相遇前小明走过的路程为x，小丽走过的路程为y；相遇后两人背向而行，小明走过的路程为0.5x，小丽走过的路程为0.5y。根据题意可画出如下示意图：
【等量关系式】相遇前小明走过的路程+相遇前小丽走过的路程=总路程
相遇后小明余下的路程=2×相遇后小丽余下的路程
【列出方程组】 x+y=36
y-0.5x=2×（x-0.5y）
2.2同向而行+相向而行
例11：一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米/时的速度前进，突然，1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以45千米/时的速度往回骑，直到与其他队员会合.1号队员从离队开始到与其他队员重新会合，经过了多长时间？
【分析】由题意“1号队员以45千米/时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头”可知1号队员从离队到调转车头前的时间为[ ]h，不妨设1号队员从调转车头到与其他队员重新会合的时间为xh.根据题意可画出如下示意图：
【等量关系式】1号队员从离队到调转车头这段时间其他队员走的路程+1号队员从调转车头到与其他队员重新会合这段时间内其他队员走的路程+1号队员从调转车头到与其他队员重新会合这段时间内1号队员走的路程=10.
【列出方程】35×[ ]+35x+45x=10
【举一反三②】
1.甲，乙两人从楼底爬楼梯到楼顶，甲平均每分钟爬楼梯40级，乙平均每分钟爬楼梯50级，甲先出发2min，结果两人同时到达楼顶.问从楼底到楼顶共有楼梯多少级？
2.小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米，
（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
（2）如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬？
四、行程问题中的工程问题
这类问题乍一看，条件中只有时间已知，速度、路程都未知，做起来觉得无从下手，但其实只要把路程看做单位“1”，把行程问题转化为工程问题，就可以解决了.
例12：甲开汽车从B地到B地需要6h，乙开汽车从A地到B地需要4h，如果甲，乙两人分别从A，B两地出发，相向而行，经过多少小时后两车相遇.
【分析】题目中只有时间已知，速度、路程都未知，有些同学会想如果知道A地与B地的距离就好了，就可以得出甲与乙的速度，那么问题就能迎刃而解了，可是路程未知，怎么办呢？如果不是题目有错，那么是不是无论路程取什么值，经过相同的时间两车总会相遇呢？我们来试算看看。设A地与B地的距离为a，经过xh后两车相遇，立刻得出关系式：[a ]×x+[a ]×x=a，可以把方程两边的a消去，得到方程[x ]+[x ]=1，解得x=[ ].说明路程无论取什么值，两车经过相同的时间总会相遇.因此遇到类似问题，我们往往把路程看做单位“1”来进行解答.
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【举一反三③】
1.甲从A地到B地需要3h，乙从A地到B地需要4h，甲，乙两人同时从A地出发，甲先到达B地后掉头向A方向行驶。问：甲，乙两人从A地同时出发到两人相遇需要多长时间？
2.甲开汽车从A地到B地需2h，乙骑摩托车从B地到A地需3h.如果乙骑摩托车从B地出发往A地，1h后甲开汽车从A地往B地，那么甲出发多少时间后与乙相遇？
五、环形跑道问题
环形跑道问题也是行程问题的一种，这类问题其实就是闭合路线上的追及问题.这类问题的特殊性在于，速度慢的人也有可能“追”上速度快的人.在这类问题中，若两人同时同地出发，同向而行，第一次相遇时，两人所走路程差为跑道一周长（若两人不同地出发，速度快的人在前，速度慢的人在后，两人第一次相遇时所走路程差，为跑道一周长减去两人最初的距离；若速度慢的人在前，解法同一般追及问题）；若两人相向而行，第一次相遇时，两人所走路程和为跑道一周长.
例13：运动场跑道周长400m，小红跑步的速度是爷爷的[ ]倍，他们从同一地点沿跑道的同一方向同时出发，5min后小红第一次与爷爷相遇.你知道他们的跑步速度吗？再过5min两人会第二次相遇吗？如果不会，请说明理由；如果会，也请说明理由。
【分析】设爷爷的跑步速度为xm/min，则小红的跑步速度为[ ]xm/min，
【等量关系式】小红跑的路程-爷爷跑的路程=400m
【列出方程】5×[ ]x-5x=400
小红和爷爷第一次相遇后再出发，问题又回到了最开始两人同时同地同向出发的情况，在速度不变的情况下，5min后两人还会再次相遇.
例14：甲，乙两车分别用均匀的速度在周长为600m的圆形轨道上运动，甲车的速度较快.当两车反向运动时，每15s相遇一次.当两车同向运动时，每1min相遇一次.求两车的速度.
【分析】设甲，乙两车的速度分别为xm/s和ym/s.
【等量关系式】同向而行甲所走的路程-同向而行乙所走的路程=轨道一周长
反向而行甲所走的路程+反向而行乙所走的路程=轨道一周长
【列出方程组】 15x+15y=600
60x-60y=600
【举一反三④】
甲，乙两人在周长400m长的环形跑道上竞走，已知乙的速度是80m/min，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙前100m.问多少分钟后，两人第一次相遇？
六、水流问题
一般是研究船在流水中航行的问题.这是行程问题中比较特殊的一种类型，特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用.这类问题的基本概念和公式如下.
船速：船在静水中航行的速度 水速：水流动的速度
顺水速度：船顺流航行的速度 逆水速度：船逆流航行的速度
顺速=船速+水速 逆速=船速-水速
船速=（顺水速度+逆流速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
路程=顺流速度×顺流航行所需时间 路程=逆流速度×逆流航行所需时间
例15：某船在长80km的航道上航行，顺流航行需1.6h，逆流航行需2h.求船在静水中航行的速度和水流的速度.
【分析】设船在静水中航行的速度和水流的速度分别为x和y，顺流的速度为[ ]km/h，逆流的速度为[ ]km/h，再利用上面的公式找出等量关系.
【等量关系式】顺速=船速+水速
逆速=船速-水速
【列出方程组】 x+y=[ ]
x-y=[ ]
例16：甲，乙两艘货船，甲船在前30千米处逆水而行，乙船在后追赶.甲乙两船的静水速度分别是36千米/小时和42千米/小时，水流速度是4千米/小时，求：甲船行多少时间被乙船追上？
【分析】已知甲乙两船的静水速度和水流速度，可以分别求出甲乙两船的逆水速度，分别为32千米/小时和38千米/小时.设甲船行x小时后被乙船追上，再根据公式“路程=逆流速度×逆流航行所需时间”，则甲行驶的路程为32x千米，乙行驶的路程为38x千米，就可以把此问题转化为追击问题.
【等量关系式】甲行驶的路程+30=乙行驶的路程
【列出方程】32x+30=38x
参考答案：
【举一反三①】1.A车的速度是260km/h，时间为2.5h 2.（1）火车长60米 （2）隧道长540米（注：此题条件中的光速为干扰条件） 【举一反三②】1.400级 2.（1）10秒 （2）5秒
【举一反三③】1.[ ]h 2.0.8h 【举一反三④】15分钟
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