函数总结1

函数总结1（推荐9篇）

函数总结1 篇1

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

3、函数零点的求法： 求函数yf(x)的零点：（代数法）求方程f(x)0的实数根； ○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函○数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数yax2bxc(a0)．

１）△＞０，方程axbxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

２）△＝０，方程axbxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

函数总结1 篇2

建构主义认为,学习是获取知识的过程,知识不是通过教师传授得到的,而是学习者在一定的情境下,借助其他人的帮助,利用必要的学习资料,通过有意义的建构方式获得的。《数学课程标准》也提出:数学学习“不仅要考虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生已有的生活经验出发”,这充分说明数学教学中创设问题情境的重要性。那么,在创设数学情境时要注意哪些问题呢?本文以必修1《3.1.1方程的根与函数的零点》的教学设计为例,谈谈如何创设数学教学情景可以极大程度上调动学生的学习积极性,以取得良好的教学效果。

一、教学观念

坚持“一个理念”——关注学习过程,体现自主探究,加强合作交流,渗透人文教育;

营造“一种氛围”——师生互动,愉快和谐;

建立“一种关系”——平等互助合作的师生关系;

做到“三个淡化”一—淡化教师说教(重在问题创设);淡化理论灌输(重在自主发现);淡化知识记忆(重在能力培养)。

二、教学设计过程

1.“问渠哪得清如许,为有源头活水来”——引入情境讲究趣味性,可以激发学生的兴趣。心理学认为,学生只有对所学的知识产生兴趣,才会爱学,才能以最大的热情投入到学习中去。因此,在教学中,教师要善于挖掘教材,积极创设生动有趣的问题情境来帮助学生学习,培养学生对数学的兴趣。此例中,游戏不仅激发了学生的好胜心,也调动了学生的学习热情,使之自然而然地进入了学习状态。其实,引入情境除了可引用游戏外,还可以是趣味性较强的名人轶事、历史故事、数学趣题等。事实证明,贴近学生生活实际的、趣味性较强的情境,能很好地吸引学生的注意,最大程度地激发学生的学习欲望,培养其学习兴趣。

创设一个现实问题情境作为提出问题的背景:蹦极运动。

设置情境:利用投影展示蹦极运动图片。

设下落的时间t秒,人离开参照点“礁石尖端”的位移为s(s=0表示人在礁石点处,向下取负,向上取正),开始下落时,时间t=0,在t∈[4,6]时的变化如下表:

问:在这段时间内,人有几次通过礁石尖端处?

2.“不愤不启,不悱不发”——情境创设讲究引发学生的认知冲突,可以激发学生的内在需要。情境的设计必须以引起学生的认知冲突为基点,才能引起学生的学习需要。教师根据新学知识、方法特点及学生已有的认知结构,设计一个包含新知识、新方法或新思维的新问题情境(旧知识、旧方法或习惯思维不能解决的),学生运用旧知识、旧方法、习惯思维于新问题情境时便会产生认知冲突,由此产生疑问和急需找到解决方法的内在需要。在这种需要的驱使下,教师再展开教学,则能收到事半功倍的教学效果。

启发、引导学生提出自己关心的现实问题,逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题,解决过渡性问题时需要使用根的分布知识,借此引发学生的认知冲突,揭示方程的根与函数的零点的必要性,并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后,再引导学生抓住问题的数学实质,将过渡性问题引伸成一般的数学问题:蹦极运动在通过平衡位置的窜上与窜下抽象成函数图像,在x轴上下窜动。解决这个问题需要先回答目标问题:函数图像与x轴交点和方程根的关系?

3.“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”——情境创设讲究围绕问题动手实践,可以使学生获得经验。建构主义认为,动手实践与其他数学学习方式的合理配置和有效融合能够营造一种丰富多样的数学学习情境,而这种情境可以让学生初步体验将要学习的数学知识,为理解数学知识做好准备,为发现数学原理提供帮助,并且能够为学生提供与数学有着直接和重要作用的经验,以及情感性的支持。为了解决提出的目标问题,引导学生回到他们所熟悉的一元一次方程、一元二次方程根与相应函数图像和x轴交点问题,得出目标问题在以上情况下的结论,从而形成猜想,然后引导学生对猜想进行验证。

(1)提出问题。

问题:方程-x3-3x+5=0有根吗?

若有根,有几个根?能确定吗?

(2)探究问题。

师:以上函数图像与x轴交点和方程根的关系?

生:方程的根就是函数图像与x轴交点的横坐标;根的个数就是图像与x轴交点的个数。

师:一般的一元二次方程与相应的一元二次函数的联系又如何?

生:成立。得到知识:

①零点:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

②根据函数零点的定义可知:函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根。因此,判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有实数根,有几个实数根。

③函数零点的求法:解方程f(x),所得实数根就是f(x)的零点。

(3)解决问题。

师:如何求方程-x3-3x+5=0的根?

生:画出函数的图像。

师:与x轴有交点吗?有几个?在哪里?

生:有,一个,(1,2)之间。

师:方程有没有根?有几个?多少?

生:有,一个。

(4)形成经验。

师:在零点两侧函数值符号如何?什么条件下有零点?

生:(归纳得到)

一般地:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

(5)发散思维。

①唯一性。

师:方程-x3-3x+5=0的根唯一吗?

生:只有一个。

师:为什么?用什么知识解决?

生:单调性。

②精确性。

师:这个(1,2)范围满意吗?可以更精确吗?

生:(1,1.5)

师:这是下节课的内容。

③知识点:函数零点具有的性质:对于任意函数y=f(x),只要它的图像是连续不断的,则有当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号,如函数f(x)=x2-2x-3=0的图像在零点-1的左边时,函数值取正号,当它通过第一个零点-1时,函数由正变为负,在通过第二个零点3时,函数值又由负变正。在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。

(6)知识应用。

例1:设计几个函数,直接判断函数是否有零点,若有,判断零点的个数。

设计意图:判断函数y=f(x)是否有零点或零点有几个,需要准确把握零点的定义,即判断方程f(x)=0是否有实数根或有几个实数根。

例2:设计一个函数,求函数的零点的个数。

设计意图:确定函数零点所在大致区间及零点个数的方法、步骤如下:

①用计算机、计算器或笔算出x,f(x)对应值表格;

②做出函数y=f(x)的图像;

③确定y=f(x)的单调性情况;

④将定义域进行分割,应用零点存在性定理判断零点所在的大致区间,并通过单调性确定函数零点的个数。

三、教学反思

在本课的教学中,教师立足于所创设的情境,通过学生自主探索、合作交流,亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程,学生成为零点存在条件的“发现者”和“创造者”,切身感受了创造的苦和乐,知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

函数总结1 篇3

1. 如图，在[△ABC]中，[D]是边[AC]上的点，且[AB=][AD，][2AB=3BD，BC=2BD]，则[sinC]的值为（ ）

A. [33] B. [36] C. [63] D. [66]

2. 函数[f（x）=sin（ωx+φ）]的导函数[y=f（x）]的部分图象如图所示，其中，[P]为图象与[y]轴的交点，[A，C]为图象与[x]轴的两个交点，[B]为图象的最低点.若在曲线段[ABC]与[x]轴所围成的区域内随机取一点，则该点在[△ABC]内的概率为（ ）

A.[π3] B. [3π4] C. [π4] D. [2π3]

3. 已知[f（x）=sinx，x∈R，g（x）]的图象与[f（x）]的图象关于点[（π4，0）]对称，则在区间[[0，2π]]上满足[f（x）≤g（x）]的[x]的范围是（ ）

A. [[π4，3π4]] B. [[3π4，7π4]]

C. [[π2，3π2]] D. [[3π4，3π2]]

4. [w]是正实数，函数[f（x）=2sinwx]在[[-π3，π4]]上为增函数，那么（ ）

A. [0

C. [0

5. 当[0

A. 2 B. [23] C. 4 D. [43]

6. 在[△ABO]中，[OA=a，OB=b，OD]是边上[AB]上的高，若[AD=λAB]，实数[λ]等于（ ）

A. [a?（b-a）a-b2] B. [a?（a-b）a-b2]

C. [a?（b-a）a-b] D. [a?（a-b）a-b]

7. 若圆[x2+y2=r2（r>0）]至少能盖住函数[f（x）=30][sinπx2r]的一个最大值点和一个最小值点，则[r]的取值范围是（ ）

A. [[30，+∞）] B. [[6，+∞）]

C. [[2π，+∞）] D. 以上都不对

8. 已知平面上直线[l]的方向向量[e=（-32，12）]，点[O（0，0）]和[A（1，-1）]在[l]上的射影分别是[O]和[A，][OA=λe]，那么实数[λ=]（ ）

A. [3+12] B. -[3+12]

C. [62] D. -[62]

9. 在平面直角坐标系中，[O]是坐标原点，两定点[A，B]满足[OA=OB=OA?OB=2]，则点集[{POP=λOA+μOB，λ+μ≤1，λ，μ∈R}]所表示的区域的面积是（ ）

A. [22] B. [23] C. [42] D. [43]

10. 设[△ABC]的内角[A，B，C]所对的边为[a，b，c]，则下列命题正确的有（ ）

①若[ab>c2]，则[C<π3]

②若[a+b>2c]，则[C<π3]

③若[a3+b3=c3]，则[C<π2]

④若[（a+b）c<2ab]，则[C>π2]

⑤若[（a2+b2）c2<2a2b2]，则[C>π3]

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 在[△ABC]中，[a，b，c]成等比数列，且[a2-c2=ac-bc]，则[bsinBc=] .

12. 半圆[O]的直径为2，[A]为直径延长线上一点，且[OA=2，B]为半圆上任意一点，以[AB]为边向外作等边[△ABC]，则四边形[OACB]面积的最大值为 .

13. 在[△ABC]中，[AC=6，BC=7，][cosA=15]，[O]是[△ABC]的内心，若[OP=xOA+][yOB]，其中[0≤x≤1，0≤y≤1]，动点[P]的轨迹所覆盖的面积为 .

14. 设[f（x）=sinx+cosx-sinx-cosx2][（x∈R）].

（1）则[f（x）]的值域为 ；

（2）若在区间[[0，m]]上方程[f（x）=-32]恰有4个解，则实数[m]的范围是 .

三、解答题（15、16各10分，17、18各12分，共44分）

15. 已知函数[f（x）=-2sin2x+6sinxcosx-][2cos2x+1，x∈R].

（1）求[f（x）]的最小正周期；

（2）求[f（x）]在区间[[0，π2]]上的最大值和最小值.

16. [△ABC]中，[AE=13AC，AF=14AB，][BE]交[CF]于[O]，连[AO]交[BC]于[P]，求[SΔPCE：SΔABC]的值.

17. 函数[f（x）=6cos2ωx2+3cosωx-3（ω>0）]在一个周期内的图象如图所示，[A]为图象的最高点，[B]，[C]为图象与[x]轴的交点，且[△ABC]为正三角形.

（1）求[ω]的值及函数[f（x）]的值域；

（2）若[f（x0）=835]，且[x0∈（-103，23）]，求[f（x0+1）]的值.

18. 已知函数[f（x）=4sinx?sin2（π4+x2）+][2cos2x+1+a，][x∈R]是一个奇函数.

（1）求[a]的值和[f（x）]的值域；

（2）设[w>0]， 若[y=f（wx）]在区间[-[π2]， [2π3]]上为增函数， 求[w]的取值范围；

（3）设|[θ]|<[π2]， 若对[x]取一切实数， 不等式[4+f （x+θ）f （x-θ）>2f（x）]都成立， 求[θ]的取值范围.

复变函数教案1.1 篇4

复数与复变函数

教学课题：第一节 复数

教学目的：

1、复习、了解中学所学复数的知识；

2、理解所补充的新理论；

3、熟练掌握复数的运算并能灵活运用。

教学重点：复数的辐角 教学难点：辐角的计算 教学方法：启发式教学

教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：复变函数这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的，它是学好本们课程的基础。因此，复习、了解中学所学复数的知识，理解所补充的新理论，熟练掌握复数的运算并能灵活运用显得尤为重要。教学过程：

1、复数域：

每个复数z具有xiy的形状，其中别称为

x和yR，i1是虚数单位；

x和y分z的实部和虚部，分别记作xRez，yImz。

复数z1x1iy1和z2x2iy2相等是指它们的实部与虚部分别相等。

z可以看成一个实数；如果Imz0，那么z称为一个虚数；如果Imz0，而Rez0，则称z为一个纯虚数。如果Imz0，则复数的四则运算定义为：

(a1ib1)(a2ib2)(a1a2)i(b1b2)(a1ib1)(a2ib2)(a1a2b1b2)i(a1b2a2b1)

(a1ib1)a1a2b1b2a2b1a1b2)2i 222(a2ib2)a2b2a2b2复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。

2、复平面：

C也可以看成平面R，我们称为复平面。

2作映射：CR2:zxiy(x,y)，则在复数集与平面R2之建立了一个1-1对应。横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。

3、复数的模和辐角

复数可以等同于平面中的向量，z(x,y)xiy。

x2y2向量的长度称为复数的模，定义为：|z|；

向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Argzarctany2i（kZx）。

tany,Argz我们知道人亦非零复数有无限多个辐角，今以xargz表示其中的一个特定值，并称合条件

argz的一个为主值，或称之为z的主辐角。于是，Argzargz2k,(k0,1,2,)。注意，当z=0时辐角无异议。当z0时argz表示z的主辐角,它与反正切Arctan的主值arctan（argz，arctan）

22yxy有如下关系xyxyarctan,当x0,y0;x,当x0,y0;2yarctan,当x0,y0;argzx(z0)yarctan,当x0,y0;x-,当x0,y0;2复数的三角表示定义为：z|z|(cosArgzisinArgz)； 复数加法的几何表示： 设z1、z2是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：

yz2z1z2z2z1xz1z20z2关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、|z1z2||z1||z2|；（2）、|z1z2|||z1||z2||；（3）、|z1z2||z1||z2|；（4）、|z1z2|||z1||z2||；（5）、|Rez||z|,|Imz||z|；（6）、|z|2zz； 例1 试用复数表示圆的方程：

a(x2y2)bxcyd0

（a0）

其中，a,b,c,d是实常数。

解：方程为

azzzzd0，其中(bic)。

例

2、设z1、z2是两个复数，证明

z1z2z1z2,z1z2z1z2

12z1z1

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设z1、z2是两个非零复数，则有 z1|z1|(cosArgz1isinArgz1)z2|z2|(cosArgz2isinArgz2)

则有

z1z2|z1||z2|[cos(Argz1Argz2)isin(Argz1Argz2)]

即|z1z2||z1||z2|，Arg(z1z2)Argz1Argz2，其中后一个式子应理解为集合相等。

同理，对除法，有

z1/z2|z1|/|z2|[cos(Argz1Argz2)isin(Argz1Argz2)]

即|z1/z2||z1|/|z2|，Arg(z1/z2)Argz1Argz2，其后一个式子也应理解为集合相等。

例

3、设z1、z2是两个复数，求证：

|z1z2|2|z1|2|z2|22Re(z1z2)，例

4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。解：直线：Imza0； bazaca)0 圆：Im(zbcb4、复数的乘幂与方根

利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：

ab

abc

zn|z|n(cosnArgzisinnArgz)rn(cosnisinn)从而有znz,当r1时,则得棣莫弗(DeMoivre)公式1，则 znn

令znzn|z|n[cos(nArgz)isin(nArgz)]

进一步，有

11zn|z|[cos(Argz)isin(Argz)]

nn1n共有n-个值。

例

4、求4(1i)的所有值。解：由于1i2(cos4isin)，所以有 4411(2k)isin(2k)] 4444(1i)82[cos4(1i)82[cos(16kk)isin()]2162其中，k0,1,2,3。

5、共轭复数

复数的共轭定义为：zxiy；显然zz,ArgzArgz,这表明在复平面上,z与z两点关于实轴是对称的

我们也容易验证下列公式：(1),zz,z1z2z1z2,(2),z1z2z1z2,(2z1z)1(z20),z2z2zzzz ,Imz,22i(4),设R(a,b,c)表示对于复数a,b,c的任一有理运算,则(3),zzz,RezR(a,b,c)R(a,b,c)

1二次函数教学反思 篇5

1、通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。、2会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。

3、会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题。

4、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

发现并没有提到用顶点式来求二次函数的解析式，而且在后面的几节课的教学中也没有要求用顶点式来求二次函数的解析式。但是我认为新课标所提出的要求应该是对学生的最低要求，它并不反对教师结合学生的实际对教材的重新处理。并且从教学的反馈来看，加上了这3个练习学生能较好的理解本课的教学目标，同时也能对前面所学的二次函数顶点的知识加深印象。适应学生的最近发展区。何乐而不为。

1.5分段函数与映射教案 篇6

      

一、知识与技能：

通过实例，让学生总结、体会分段函数的概念并了解分段函数在解决实际问题中的作用，培养学生数学来源于实际又服务于实践的意识或观念，增强学生运用所学知识解决实际问题的能力。经历映射概念的提出过程，体会由特殊到一般的思维方法，掌握映射的概念，会判断一个对应关系是否是映射。

体会用映射刻画函数的方法，理解函数是一种特殊的映射。

二、过程与方法：

自主学习，了解作图的基本要求。

探究与活动，明白作图是由点到线，由局部到全体的运动变化过程。会判断一个对应是不是映射。

重视基础知识的教学、基础技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；通过教师指导发现知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。

三、情感态度与价值观：

培养辩证地看待事物的观念和数形结合的思想。

使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。

激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚韧不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。  

四、重点：分段函数及其表示，映射概念的理解。

五、难点：分段函数解析式的建立及图象的描绘，用映射来定义函数。

六、分段函数的定义：对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

注意：

 分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则。

 定义域是各段函数定义域的并集，值域是分段函数值域的并集。 求分段函数值时，应根据函数自变量的值选择相应的解析式求解。

 作分段函数的图象时，应分别分段作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可。

七、例6：思考：

 自变量的范围是怎样得到的？

 自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点是怎样确定的？  每段上的函数解析式是怎样求出的？  画图象要注意什么？

八、函数是“两个非空数集间的一种确定的对应关系。”如果将数集扩展到任意的集合，会得到什么结论呢？什么是映射？

九、映射的定义：

十、设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x。在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。

象与原象：

y是x在映射f作用下的象，记作f(x),x称做y的原象。

其中A叫做映射f的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A).十一、映射要注意什么？

 有三个要素：两个集合，一个对应关系，三者缺一不可。 A中每个元素在B中都有唯一的元素与它对应。 对应可以是“一对一，多对一，”但不能是“一对多”。

十二、练习：判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映射哪些不是，为什么？

1．ABN*,对应关系f:xyx3

x0 x01,y0,1,对应关系f:x2．AR,B0,3．ABR,对应关系f:xyx x4．AZ,BQ,对应关系f:xy5．

十三：作业：课本第23页：第3题。第24页第8题。

函数总结1 篇7

函数最值问题是一类特殊的数学问题, 它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用, 体现了数学的重要特征之一———优化思想。而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置, 特别在高中数学中遍及内容的方方面面, 并以一些基础题、小综合的中档题或一些难题的形式出现;长期以来, 函数最值是历年高考重点知识点之一。但是, 在应试教育下, 努力得高分是中学师生的目标, 忽略了真正学习的目的, 老师教的时候往往花大力气去分析归纳、整理解法, 学生学的时候大都去记忆模仿典型题的解法, 以致都没有注重学习这部分知识的方法和过程, 学习效果不是很好, 慢慢失去学习以及研究的兴趣。这部分知识的综合性、关联性很强, 并且在新课改中已经重点突出了应用性, 所以研究高中函数最值问题就具有重要性和紧迫性。

研究函数最值问题的目的在于对学生学习这部分知识出现的问题进行分析, 对教学进行进一步的探索和认识, 总结数学教学中针对这方面知识应注意的问题, 提供更好的学习策略和教学策略, 提出合理的教学方式, 让学生对函数最值问题的解法有一个系统的掌握。即是说解决如何让学生真正理解知识、应用知识特别是解决实际问题, 提高学生解决问题的能力, 体现知识的广泛应用性, 同时, 在学生学习和研究过程中渗透数学思想方法, 培养良好的思维能力, 了解数学在解决实际问题中的应用, 培养学习数学的兴趣, 对较差的学生也有一定的信心去学习、运用。

研究方法是:设计了关于函数最值问题的专项训练试题测验及个别访谈, 然后分析结果, 针对函数最值问题提出改进教学活动的策略。

二、函数最值问题测试及结果分析

为了改进函数最值问题的教学, 首先必须了解教与学的现状, 找出问题所在, 尤其是分析学生的学习情况, 对知识点的学习反映。为此设计了一套函数最值问题专项训练试卷, 选择了某县中学理科班高三 (1) 班作为个案进行调查分析。

(一) 对试卷的总体评价

这份试卷分为选择题 (1~12题) 、填空题 (13~16题) 、解答题 (17~22题) 三部分, 属于中等难度, 采用闭卷考试形式, 考试时间为两个小时。测试对象是高三年级学生, 参加考试的有75人, 下面是我对75份试卷所做的总体评价。

1. 覆盖面广, 重点知识重点考查。

本试卷的知识分布较合理, 各重点章节的知识点都有涉及, 并且重点知识也在试卷中占有较大的比重, 体现重点知识重点考查的理念。这一份卷子就重点考查了均值不等式的运用。

2. 试题重视基础, 紧贴教材。

选择题和填空题以基础知识为主干, 注重考查数学思想方法, 考查通性通法。试题中许多题目要求学生能够运用公式及应用数学知识分析问题和解决问题, 考查分类讨论等数学思想方法。如试卷中第1题, 是最基础的题目, 就是考函数最值的定义;还有第20题, 直接用导数来解。

3. 强化通性通法的考查, 如第22题, 是一道综合题, 考查各个知识点之间的联系。

(二) 学生答题情况统计分析

通过对上面测试成绩的统计, 得出如下结论:

1.选择题平均得分率为52.2%, 基础题如第4、7、12题得分率很高。但第一题只是考函数最值的定义, 最基础的题目, 学生答题情况并不乐观, 可见他们没重视对定义的理解。

2.填空题得分率为57.7%, 相对这种难度已经很好, 只是对知识点的理解不够透彻。

3.三角函数换元虽说是基础, 但对题中角的限制范围有些同学重视不够。

4.有关均值不等式的问题做的较差, 没有全面分析方法, 知识点结合不起来, 有些学生甚至不知道用这种方法, 值得注意。

5.对应用题文字理解不清, 以至理解题意出现偏差, 做错题目。

6.解答题最后一题综合能力较强, 得分率低。

(三) 个别访谈情况

在进行书面闭卷测试后, 随机进行了个别访谈, 主要围绕对函数最值问题的学习展开, 之后整理归纳, 主要得出以下结论。

在与学生测试的交流中, 有些学生说函数最值问题这部分知识学起来很难, 它涉及到中学数学内容的方方面面, 综合性很强, 有的题目很难理解一看都没有思路, 一直是高中生苦恼的问题。并且他们是高三学生, 很想把这部分知识学好, 不要在高考失太多分。这也就体现出了学生学习这部分知识所出现的问题, 为了让学生更好地掌握这部分知识, 我们的课堂教学应有相应的教学策略。采取良好的教学方法, 学生也就可以掌握系统的知识, 并且有合理的学习方法, 愉快轻松地学习, 体会学习数学的乐趣。

(四) 函数最值问题在教与学中存在的问题

1.大部分学生只是做题, 对这部分知识没有真正的理解, 以致碰到难题根本不去想怎么做, 只是从记忆的题型中去找, 找不到类似的题, 就觉得不会做, 因此总觉得很难, 很头痛。学生重视掌握基础不够, 没有理解记忆。

2.知识涉及的内容很多, 学生没有主动去找它们之间的联系, 更不会自己去总结方法, 所以综合应用能力不是很强。

3.老师在教学中没有重视背景知识的揭示, 重技巧轻内涵, 重解法归类轻问题策略分析。

4.师生在教与学中应突破原有的思维模式, 关注问题少, 问题意识和模型意识比较差。

三、函数最值问题的教学策略

针对以上问题, 为了让学生学好函数最值问题, 熟练运用, 必须重视教与学方法的改进。对函数最值问题这部分知识的教学, 应注重以下几个方面:

1.要坚持最基础知识才是最有用知识的原则, 狠抓基本概念、基本思想、基本方法的教学。对函数最值的定义要解释清楚, 让学生真正理解它的任意性、存在性, 才不至于最基础的题都做错。对这部分知识的相关定义、各部分基础知识的联系, 老师讲课时就要系统得阐述, 强调定义的重点部分及实质, 以便学生更好地学习。

如第1题:设函数f (x) 的定义域为R, 有下列三个命题:

(1) 若存在常数M, 使得对任意x∈R, 有f (x) ≤M, 则M是函数f (x) 的最大值;

(2) 若存在x0∈R, 使得对任意x∈R, 且x≠x0, 有f (x) <f (x0) , 则f (x0) 是函数f (x) 的最大值;

(3) 若存在x0∈R, 使得对任意x∈R, 有f (x) ≤f (x0) , 则f (x0) 是函数f (x) 的最大值;

这些命题中, 真命题的个数是 () 。

A.0 B.1 C.2 D.3

分析:做这道题就是直接用函数最值的定义, 即一般地, 设函数y=f (x) 的定义域为I, 如果存在实数M, 满足: (1) 对任意x∈I, 都有f (x) ≤M, (2) 存在x0∈I, 使得f (x0) =M, 则称M是函数f (x) 的最大值;如果存在实数N, 满足: (1) 对任意x∈I, 都有f (x) ≥N, (2) 存在x0∈I, 使得f (x0) =N, 则称N是函数f (x) 的最小值。根据函数的最大值定义知, (1) 是假命题:因为虽然满足最大值定义中的任意性, 但不满足存在性, 故 (1) 错误。 (2) 、 (3) 正确:实质上, 它们是等价命题, 都满足最值定义中的两个条件。故选C。只要学生理解定义的本质, 这道题就很简单了。

2.要在重点内容上狠下功夫。从前面对试卷的测试情况分析可以看出, 涉及到函数最值问题的解法如函数导数、均值不等式这几种是最多的。因此教师应对这几方面内容进行全面复习总结, 着重强调, 使学生形成这样的思维。

3.要培养学生良好的学习方法。教师平时就给学生一种全面系统分析解题的思维, 每一道题都认真讲解, 注重对学生的训练、引导, 而且要分析透彻, 学生在无形中也就有了这样的思考和做题习惯。长时间下来, 学生就会自主去把各部分知识联系起来, 去分析问题的本质, 有更好更快的解题方法。

4.要注重学生分析问题解决问题的能力。在教学中, 首先要教会学生审题、读题, 特别是对应用题。学会分析题目的内涵, 注重知识点之间的联系, 培养自己的逻辑思维能力。有些同学由于读错了题, 把题做错, 就很不应该。

如第20题:某地建一座桥, 两端的桥墩已建好, 这两桥墩相距m米。余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩。经测算, 一个桥墩的工程费用为256元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 () x万元。假设桥墩等距离分布, 所有桥墩都视为点, 且不考虑其他因素, 记余下工程的费用为y万元。

(1) 试写出y关于x的函数关系式;

(2) 当m=640米时, 需新建多少个桥墩才能使y最小?

分析:首先应理解对两端之间的距离和建几个桥墩之间的关系, 如果这里出错了, 那么第一问中的函数关系式也就列错了, 下一问自然就错了, 大部分学生就错在函数关系式列错了。实际上第二问很简单, 就是直接运用函数导数求最值的方法, 求导就出来了。在实际问题中, 如果函数只有一个极值, 那么它就是要求的最值, 带入答案就求出来了, 通过解题过程可以知道很简单。

解答过程: (1) 设需建n个桥墩, 则 (n+1) x=m, 即n=m/x-1, 所以

当0<x<64时, f1 (x) <0, f (x) 在区间 (0, 64) 内为减函数;

当64<x<640时, f1 (x) >0, f (x) 在区间 (64, 640) 内为增函数;

所以f (x) 在x=64时取得最小值, 此时n=m/x-1=10-1=9。

故需新建9个桥墩才能使y最小。

从这道题可以看出, 函数最值问题在生产、科学研究和日常生活中等实际问题中也有广泛的应用, 这样就和实际生活联系起来了, 可以突出这部分知识的作用和价值。能帮助人们解决一些最实际的问题, 学生学起来也有兴趣。

在老师发挥主体作用的前提下, 学生也要体现自己主动性学习。函数最值这部分知识综合性强, 这就需要自己上课好好听老师讲, 认真做笔记, 多做些题目来巩固所学的知识。自己从解题中总结一些适合自己的方法, 把知识点用一种方法联系起来, 找出其中的本质联系, 那么每道题就自然能想出解决的方法, 就不会觉得难了, 以后才会带着兴趣去学。

5.在新课改下函数最值问题的编排与教学新要求

在新课改的教学下, 函数最值问题往往与函数、数列、几何等知识相交汇, 在解析几何中还尤其表现为长度、面积的最值等, 由于最值问题思考的路径、处理的方法往往是因题而异的, 无一定之规, 有时还需要等价转化, 解决这类问题的其本策略是“大处着眼, 小处着手。”从整体上把握问题给出的综合信息和处理问题的数学思想, 并选用恰当的数学方法。从高中数学课程标准可知, 必修课程数学1中涉及了函数定义性质, 数学4中是三角函数这部分知识的学习, 数学5中是不等式的学习。结合着教材和平时做题的心得对求最值的常用方法进行归纳, 主要有:定义法、函数的单调性法、配方法、数形结合法、三角函数有界法、线性规划法、导数法、均值不等式法还有化归法, 这样给学生一个总体概括, 以便更系统地学习。

事实上求函数最值这类问题的方法除了上述这些常用方法以外, 在高中数学中还有判别式法、换元法、平方法等, 应该说函数的最值的求解方法灵活多样, 通过以上的归纳能够对函数最值求法有一个系统的掌握, 还要掌握各数学分支知识, 能综合运用各种数学技能, 然后灵活选择合理的解题方法。

为了贯彻新课程理念, 我们应该让学生融会其中的方法和技巧, 带着兴趣去学, 而不只是为了应付高考, 只为了解题得高分而学, 把这种传统的教学理念改变过来。由于高中将实行学分制, 对不同层次的学生必须整合模块间的知识要求, 采取有针对性的教法。比如, 理工类的学生就需要对这部分知识认真学习, 而人文类的学生就没有这么高的要求, 只要学好必修课程, 然后就可以去选自己喜欢的专题, 就不一定再学这部分知识。我们要培养学生的数学能力, 发散学生的思维, 让学生去认识数学、理解数学, 去学有意义、有价值的数学。对函数最值问题这一部分内容, 在具体教学中, 老师就要精心设计自己的课堂, 让学生的学习达到更好的效果。可针对每位学生的不同, 老师课下采取不同的辅导方式, 帮助每位学生学习好这部分知识, 使人人学有价值的数学。

参考文献

[1]薛金星.中学教材全解[M].陕西人民教育出版社, 2006.

[2]杜志建.试题调研[M].新疆青少年出版社, 2009.

[3]张雄, 李得虎.数学方法论与解题研究[M].高等教育出版社, 2003.

必修1函数单调性说课稿 篇8

酒泉中学 马长青

一.教学内容分析

1.本课定位与内容

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》A版第一章第三节函数的基本性质第一小节函数的单调性与最大(小)值，本节课内容教材主要学习函数的单调性的概念，判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性，共2课时，本节课为第一课时。

2.教材的地位和作用

从单调性本身看，学生的学习分为三个层面，首先是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，其次在高一对单调性进行严格定义，最后在高三从导数的角度再次研究单调性。本节课的学习处于对单调性学习的第二层面，通过图象归纳、抽象出单调性的准确定义，并在高中首次经历代数的严格证明，是对初中学习的一次升华。

从本节的教学看，在此学习单调性是对函数概念的延续和拓展，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用，从本章的教学看，本节课的学习是后续研究指数函数、对数函数内容的基础。

从函数知识网络看，单调性起着承上启下的作用，一方面，是初中学习内容的深化，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等都有着紧密的联系。

从高中数学学习看，函数的单调性是培养学生数形结合思想的重要内容，也是研究变量的变化范围的有力工具。3.教学目标

根据本课教材特点、课程标准对本节课的教学要求以及学生的认知水平，教学目标确定为： 知识与技能：

（1）从形与数两方面理解单调性的概念

（2）初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法

（3）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力 过程与方法：

（1）通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合思想方法（2）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。情感态度价值观：

通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；领会用运动的观点去观察分析事物的方法 4.教学重难点

根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用。虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力，但是要用准确的符号语言去刻画图象的增减性，从感性上升到理性对高一的学生来说比较困难。因此，本节课的教学难点是函数单调性的概念形成。

二.学生情况分析

知识结构

学生已经学习过一次函数，二次函数，反比例函数，函数的概念及函数的表示，能画出一些简单函数的图象，能从图象的直观变化，学生能得到函数增减性。

能力结构

通过初中对函数的学习，学生已具备了一定的观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力。

学习心理

函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生渴望进一步学习，这种积极心态是学生学好本节课的情感基础。

本班学生特点

本班为酒泉中学高一（4）班，学生数学素养较好。三.教学模式

《普通高中数学课程标准(实验)》指出：“高中数学课程应倡导自主探索等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程。”

因此，根据教学内容和学生的认知、能力水平，本节课作为新授课主要采取教师启发式教学法和学生探究式教学法。以设置情境、设问和疑问进行层层引导，激发学生积极思考，逐步将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。引导学生提出疑问，进行思考，从而创造性的解决问题，最终形成概念，培养学生的创造性思维和批判精神。

五个环节：创设情境，引入新课；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；证法探究，应用定义；小结评价，作业创新 四.教学设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为五个环节：创设情境，引入新课；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；证法探究，应用定义；小结评价，作业创新

单调性的概念是本节课的重点，而形成过程则是本节课的难点，为了突破这一难点，让学生能够充分感受单调性概念的形成过程，经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，本节课设置了前三个环节,后两个环节的设计，是为了使学生对函数单调性认识的再次深化。

（一）创设情境，引入新课

数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本节课的开始，我作了这样的情境创设，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。

提出问题1：分别作出函数y=x，二次函数y=2x，y=-2x和y=x的图象，并且观察函数变化规律？

2首先引导学生观察两个一次函数图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小。然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.二次函数的增减性要分段说明，进而提出问题：二次函数是增函数还是减函数？ 进一步讨论得出：增减性是函数的局部性质

据此，学生已经对单调性有了直观认识，紧接着，我提出问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？ 结合增减性是局部性质，学生会用直观描述回答：在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数。

学生用图象的感性认识初步描述了单调性，下面进一步将学生从感性向理性进行引导

（二）初步探索，概念形成

提出问题三：以y=x+1在（0，+∞）上单调性为例，如何用精确的数学语言来描述函数的单调性？

这是本节课的难点，因此我将概念形成设置了三个阶段 1.提问学生什么是“随着”

经讨论得出，随着是由于当x取一定的值时，y有确定值与之对应，因此x变化时，y会根据法则随着x发生变化

2.如何刻画“增大”？

要表示大小关系，学生会想到取点，比大小，学生也许会用特殊点说明问题，比如x取2、3，2<3，对应的函数值是5<10

提出质疑：这个点的变化能否说明y随着x增大而增大，进一步引导学生从特殊到一般，进入第三阶段，对“任取”的理解。

3.对“任取”的理解

针对特殊值，学生可能会举反例证明其是不充分的，那么应该如何取值呢？学生可能会多取一些，也可能会想到将取值区间任意小，进一步讨论得出“任取”二字。

用对随着的理解再次深化函数概念，用对增大的理解得到要表示大小关系，最后再强调取值的任意性，这样就实现了从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”的过渡，实现“形”到“数”的转换，形成了单调性的定义。

得到定义后，再提出如何得到f(x1)

（三）概念深化，延伸拓展

通过上面的问题，学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言学生还缺乏准确理解，因此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解。

2提出问题四：能否说从这个例子能得到什么结论？

在它的定义域上是减函数？

学生思考、讨论，提出自己观点 学生可能会提出反例，如x1=-1，x2=1 进一步得出结论：

函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，函数在A∪B上不一定是增（减）函数

教师给出例子进行说明：

进一步提问：

函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数。

学生会提出将函数图象进行变形（如x<0时图象向下平移）

性

回归定义，强调任意 在问题四的背景下解决本题，体会在运动中满足任意性。拓展探究：已知函数

是（-∞，+∞）上的增函数，求a的取值范围.这个问题有一定难度，但是学生在前面集合的学习中已经接触过在运动中求参数a的取值范围，此处可看作是对前面学习的巩固。

（四）证法探究，应用定义

在概念已经完善的基础上，提出例1 例1：证明函数 在（0，+）上是增函数

本环节是对函数单调性概念的准确应用，本题采用前面出现过的函数，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念，另一方面避免学生遇到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。

学生根据单调性定义进行证明，教师在黑板上书写证明步骤，再引导学生总结证明步骤。

提出例2判断函数在（0，+∞）上的单调性。

根据定义进行判断，体会判断可转化成证明。

课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。

进一步提问：如果把（0，+∞）条件去掉，如何解这道题？为学生提供思考空间。

（五）小结评价，作业创新

从知识、方法两个方面引导学生进行总结。学生回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法。

小结过程使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：直观感受、文字描述和严格定义。

作业的设计实现了分层，既巩固了基础，又给了学生充足的思考空间。

通过本节课的学习，预计学生能理解单调性的定义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性，本节课的评价方式为课堂反馈、教师评价、学生自评相结合。

1.1锐角三角函数教学设计 篇9

一、教学内容分析

本节课是三角函数的起始课，是在学生学习了正比例函数、一次函数、反比例函数以及二次函数后已对函数有了一定的理解的基础上来学习，但是三角函数与以前学习过的函数有着较在区别，函数值随角度变化而变化，函数值是关于角度的函数与所在三角形无关很难理解，课本把它放在直角三角形中来进行定义及进行简单计算，可以降低难度，学生能更好地理解学习，本课时主要内容是三角函数的概念及进行简单的计算应用，而其中三角函数的概念应是本节课的难点。

二、学习类型与任务分析

（一）学习类型

1、学习结果

（1）三角函数的概念是数学概念

（2）在直角三角形中函数值恰好等于边长之比是数学原理（3）利用利用三角函数的定义进行简单计算是数学技能，数形结合思想是数学思想方法。

（4）利用各种方法进行因式分解，因式分解的应用是数学问题解决。（5）通过让学生体验三角函数来源于生活；通过构造直角三角形来计算锐角三角函数值的过程是数学认识策略。

2、学习形式

锐角三角函数（1）是三角函数的起始课，属上位学习；三角函数的概念形成很抽象，宜通过实例、生活情境入手引入，让学生从实例中探究，体验概念的形成过程，宜采用探究与合作相结合的启发式教与学。

（二）学生的起点能力

1．函数概念，一些特殊简单函数及其性质的学习。2．线段比例及相似三角形（图形）的学习。

三、教学目标 知识技能目标：了解三角函数的概念，学会在直角三角形中进行一些简单的计算。

过程方法目标：

（1）通过体验三角函数概念的形成过程增进学生的数学经验（2）渗透数形结合的数学思想方法。

（3）培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神。情感态度目标

（1）让学生感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历。

（2）通过实际问题情境的经历探究性的学习培养学生学习数学的兴趣，培养学生热爱数学、热爱生活的情感。

四、教学重、难点

重点：锐角三角函数的概念及其简单的计算 难点：三角函数概念的形成

五、教学流程 教师活动；

（一）实例引入，问题提出：

生活中处处有数学，数学就在我们身边，每次新知识的学习都与生活问题的解决相关，下面我们说说生活中的又一例：

生活中有很多的“陡峭”与“平坦”的问题，如我们常见的各色梯子、商场里的电动扶梯、大城市里的过街天桥等，在生活中我们经常讲这个坡太“陡”那个坡比较“平”，那么，我们又是用哪些量来衡量“陡”与“平”的呢？（幻灯片1）

上图是我们把天桥改“平”的示意图，我们这次次改造过程中有哪些量保持不变，哪些量发生了变化？它们的变化有联系吗？（幻灯片2和3）

如果进行上图的另两种改法呢？ 由此看来坡改“平”之中这些改变的量之间到底有何必然联系有待我们去探索。（幻灯片4）

（二）探究合作学习，形成新知：

下面让我们来做一做，作一个30°的角,在角的边上任意取一点B,作BC⊥AC于C,计算比 的值,与同伴的结果进行比较。

再作一个50°的角进行上述操作，对结果进行比较（幻灯片5）通过两种比较，你有什么发现？能说明理由吗？那么这种特性是否对任意锐角都存在呢？你能说明吗？

生思考，交流：

1.高度没变；坡的长度、水平距离、坡与地面的夹角在变化，前两者变大；

2.角度变小，坡变“平”了，角度的变化一定与三种线段长度的变化有联系。

（三）新知巩固，练习提高： 学生作图，通过相似三角形来说明

通过动手操作，探究培养学生探究能力，也能让学生体验三角函数的概念的形成过程，增加数学经验。

（四）小结与反思

一个相关：锐角函数值只与角度数有关 二种写法：是否带“∠”符号

二种计算：直接用直角三角形计算、构造直角三角形求解 三种函数：正弦、余弦、正切

（五）作业布置：见作业本（1）