不等式知识点

不等式知识点（共13篇）

不等式知识点 篇1

1.不等式：用符号“<”“>”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。

2.不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4.求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

二、一元一次不等式的概念：

1.一元一次不等式：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的 两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2.解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项 的系数化为1

三、一元一次不等式组的概念：

1.一元一次不等式组：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5.一元一次不等式组的解法

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集

(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组

不等式：

①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

7、不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

7.定理与性质

不等式的性质：

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

不等式知识点 篇2

1 数列与向量交汇的综合题

例1在直角坐标平面中, 已知点P1 (1, 2) , P2 (2, 22) , P3 (3, 23) , …, Pn (n, 2n) , 其中n是正整数, 对平面上任一点A0, 记A1为A0关于点P1的对称点, A2为A1关于点P2的对称点, ……, An为An-1关于点Pn的对称点.

(Ⅱ) 对任意偶数n, 用n表示向量A0→A2的坐标.

解 (Ⅰ) 设An (xn, yn) .因为An与An-1关于点Pn (n, 2n) 对称, 所以

评注本题中充分体现了向量的坐标运算在解题中的运用, 学生在解题过程中, 既要对向量的合成有形的要求, 又要对向量的合成有数的感受———坐标运算, 只有充分理解的向量的加法与减法, 才能对向量数与形的结合有一种统一性认识.

2 数列与不等式结合

例2如图1, P1 (x1, y1) , P2 (x2, y2) , …, Pn (xn, yn) , (0

(Ⅰ) 写出a1, a2, a3;

(Ⅱ) 求出点An (an, 0) (n∈N*) 的横坐标an关于n的表达式;

(Ⅱ) 依题意An (an, 0) , An-1 (an-1, 0) , 则

所以数列{an+1-an}是以a2-a1=4为首项, 公差为2的等差数列,

an+1-an=2 (n+1) (n∈N*) .

所以

所以

当n∈N*时, 上式恒为负值, 所以bn+1

评注综合上述问题, 不难发现, 对于第2问中的问题, 我们也可以利用第1小问的解题思路, 来作出不完全归纳的假设, 再对所作出的假设性结论用完全归纳法来予以证明, 而第3问中最值得关注的地方, 就是利用数列的单调性来求出最值, 从而使看似复杂的不等式恒成立问题迎刃而解.

3 数列与分段函数的结合

(Ⅰ) 求数列{yn}的通项公式, 并证明{yn}是等差数列.

(Ⅱ) 证明xn+2-xn为常数, 并求出数列{xn}的通项公式.

(Ⅲ) 在上述等腰三角形AnBnAn+1中, 是否存在直角三角形?若有, 求出此时a值;若不存在, 请说明理由.

(Ⅱ) 因为△AnBnAn+1与△An+1Bn+1An+2为等腰三角形.所以

两式相减得xn+2-xn=2.

所以x1, x3, x5, …, x2n-1及x2, x4, x6, …, x2n都是公差为2的等差数列, 所以

(Ⅲ) 要使AnBnAn+1为直角三形, 则

当n为奇数时,

所以

当n为偶数时,

所以

评注本题的难点是通过xn+2-xn=2判断出数列{x2k}与{x2k-1}都是公差为2的等差数列, 得出通项是关于n为奇数与偶数为自变量的分段函数, 从而为后续问题埋下了分类讨论的伏笔, 此题虽然较难, 但是在解题时理解了这一点, 学生在解答过程中就觉得轻松不少.

不等式知识查漏补缺自测表 篇3

（1）能够理解不等式的性质.

（2）会解决与不等式性质相关的问题.

题型：以选择、填空题为主.

注意：（1）会区分条件与结论之间的对应关系（如是“⇒”符号还是“⇔”符号）.

（2）不等式性质的重点是不等号的方向，条件与不等号的方向是紧密相连的，所以一定要强调不等式性质中条件的作用.

（3）不要弱化条件，如应用“a>b，ab>0⇒<”这一性质时，有些同学要么弱化了条件得到“a>b⇒<”，要么强化了条件得到“a>b>0⇒<”. 这里特别要注意“a>b⇔an>bn（n为正奇数），｜a｜＞｜b｜⇔an＞bn（n为正偶数）”.

（4）不等式的两边同乘以（或除以）一个含有字母的式子，一定要知其正负，并且不能为零，才能得到正确结论.

（1）能利用基本不等式证明不等式、求最值.

（2）会用均值不等式解决最大、最小值问题以及综合应用问题.

题型：各题型均可能出现，时常与三角、函数、解析几何、实际问题等综合起来进行考查.

注意：（1）在用基本不等式求最值时要注意“正、定、等”三个字；若一个不等式中用了两次重要不等式，要使这个不等式中的等号成立，则需使这两次的重要不等式中的等号同时成立.

（2）在求最值时能根据需要拼凑出最值.

（3）均值不等式常用的变式为a2+b2≥2|ab|，|ab|≤；当a，b≥0时有a+b≥2或ab≤

. 在具体条件下选择适当的形式进行解题.

（3）在解决实际问题时，应注意变量的范围对不等式等号成立的条件的影响.

（1）了解证明不等式的一般方法：比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、换元法、判别式法.

（2）会用这些方法证明不等式.

题型：以解答题为主，时常与函数、数列、三角、导数等知识综合起来进行考查.

注意：（1）在证明时应注意与不等式的运算性质联合使用，如同向不等式可相加或相乘.

（2）使用放缩法时，放大或缩小应适度，并且在平时的解题中应积累方法，如增、减项法以及用重要不等式放缩等.

（3）在利用重要不等式进行证明时，一要注意其适用条件，二要为重要不等式的运用创造条件.

（1）掌握一元一次不等式、一元二次不等式、高次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式的解法.

（2）掌握简单不等式和含参数不等式的解法.

题型：选择、填空、解答题都可能出现.

注意：（1）解不等式的实质是寻找使不等式成立的充要条件，因此在求解时应使每一步变形都恒等.

（2）解分式不等式时，如能判断分母的符号，可直接去分母，转化成整式不等式；如不能，则≥0⇒f（x）·g（x）≥0，

g（x）≠0.

（3）利用穿根法可解分式、高次不等式.

（4）对于含参数的不等式，一般要分类讨论，分类时应注意不重不漏.

（1）理解绝对值的定义、几何意义以及运算性质.

（2）掌握含绝对值不等式的解法和证明方法.

题型：以选择、填空题为主.

注意：（1）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，一般可用“零点分段法”求解.

（2）对于形如x－a+x－b>m或x－a+x－b

题型：选择、填空、解答题都可能出现，主要和函数、数列、导数等知识综合起来考查.

高中不等式的基本性质知识点 篇4

1．不等式的定义：a-b>0

a>b, a-b=0

a=b, a-b<0

a

①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。

如证明y=x3为单增函数，设x1, x2∈(-∞,+∞), x1

+x22]

再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)

2．不等式的性质：

①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。不等式基本性质有：

(1)a>bb

(2)a>b, b>ca>c(传递性)

(3)a>ba+c>b+c(c∈R)

(4)c>0时，a>bac>bc

c<0时，a>bac

运算性质有：

(1)a>b, c>da+c>b+d。

ac>bd。(2)a>b>0, c>d>0(3)a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。

(4)a>b>0>(n∈N, n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。

②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：

(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

不等式知识点 篇5

不等式

一、单选题 1．不等式的解在数轴上表示正确的是（）

A.（A）

B.（B）

C.（C）

D.（D）【来源】浙江省嘉兴市2018年中考数学试题 【答案】A 【解析】分析：求出已知不等式的解集，表示在数轴上即可． 详解：不等式1﹣x≥2，解得：x≤－1． 表示在数轴上，如图所示：

故选A．

“≤”要用实心圆点表示；点睛：本题考查了在数轴上表示不等式的解集．在表示解集时“≥”，“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

2．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）A.a-1＜b-1

B.2a＜2b

C.D.【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷 【答案】D 3．不等式A.的解在数轴上表示正确的是（）

B.C.D.【来源】2018年浙江省舟山市中考数学试题 【答案】A 【解析】【分析】根据解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得答案． 【解答】 在数轴上表示为：故选A.【点评】考查在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式，解题的关键是解不等式.4．不等式3x+2≥5的解集是（）A.x≥

1B.x≥

C.x≤1

D.x≤﹣1 【来源】浙江省衢州市2018年中考数学试卷 【答案】A 5．下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是（）

A.B.C.D.【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题 【答案】B 6．把不等式组A.【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题 【答案】B 【解析】分析：先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集． 详解：解不等式x+1≥3，得：x≥2，解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1，将两不等式解集表示在数轴上如下：

故选B．

点睛：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．

中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（）

B.C.D.7．不等式组的最小整数解是（）

A.-1

B.0

C.1

D.2 【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题 【答案】B 【解析】【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，即可求出最小的整数解.【详解】解不等式①得，x≤2，解不等式②得，x>-1，所以不等式组的解集是：-1

C.D.，【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题 【答案】B 9．若数使关于x的不等式组

有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（）

A.B.C.1

D.2 【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷（A卷）【答案】C

二、填空题 10．不等式组的解是________．

【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷 【答案】x＞4

11．不等式的解集是___________.【来源】安徽省2018年中考数学试题 【答案】x＞10 【解析】【分析】按去分母、移项、合并同类项的步骤进行求解即可得.【详解】去分母，得 x-8＞2，移项，得

x＞2+8，合并同类项，得 x＞10，故答案为：x＞10.【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤及注意事项是解题的关键.12．若不等式组的解集为，则

________.【来源】四川省凉山州2018年中考数学试题 【答案】-1

【解析】分析：解出不等式组的解集，与已知解集-1＜x＜1比较，可以求出a、b的值，然后相加求出2009次方，可得最终答案． 详解：由不等式得x＞a+2，x＜b，∵-1＜x＜1，∴a+2=-1，b=1 ∴a=-3，b=2，∴（a+b）2009=（-1）2009=-1．

故答案为-1．

点睛：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得零一个未知数． 13．不等式组1＜x﹣2≤2的所有整数解的和为_____． 【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题 【答案】15 14．不等式组的解集为__________．

【来源】江苏省扬州市2018年中考数学试题 【答案】

【解析】分析：先求出每个不等式的解集，再根据口诀求出不等式组的解集即可． 详解：解不等式3x+1≥5x，得：x≤，解不等式，得：x＞-3，则不等式组的解集为-3＜x≤，故答案为：-3＜x≤．

点睛：此题考查了一元一次不等式组的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

三、解答题

15．解不等式：3x-1≥2(x-1)，并把它的解集在数轴上表示出来.【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题 【答案】x≥-1，在数轴上表示见解析.16．解不等式组

请结合题意填空，完成本题的解答.（Ⅰ）解不等式（1），得

．（Ⅱ）解不等式（2），得

．

（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为

． 【来源】天津市2018年中考数学试题 【答案】解：（Ⅰ）（Ⅳ）.；（Ⅱ）

；（Ⅲ）

【解析】分析：分别求出每一个不等式的解集，根据不等式在数轴上的表示，由公共部分即可确定不等式组的解集．

详解：（Ⅰ）解不等式（1），得x≥-2；（Ⅱ）解不等式（2），得x≤1；

（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为：-2≤x≤1.点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．17．“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高.孝感市槐荫公司根据市场需求代理、两种型号的净水器，每台型净水器比每台型净水器进价多200元，用5万元购进型净水器与用4.5万元购进型净水器的数量相等.（1）求每台型、型净水器的进价各是多少元？

（2）槐荫公司计划购进、两种型号的净水器共50台进行试销，其中型净水器为台，购买资金不超过9.8万元.试销时型净水器每台售价2500元，型净水器每台售价2180元.槐荫公司决定从销售型净水器的利润中按每台捐献

元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为，求的最大值.【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题

【答案】（1）型净水器每台进价2000元，型净水器每台进价1800元.（2）的最大值是元.详解：（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m-200）元，根据题意得：解得：m=2000，经检验，m=2000是分式方程的解，∴m-200=1800．

答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元．（2）根据题意得：2000x+180（50-x）≤98000，解得：x≤40．，W=（2500-2000）x+（2180-1800）（50-x）-ax=（120-a）x+19000，∵当70＜a＜80时，120-a＞0，∴W随x增大而增大，∴当x=40时，W取最大值，最大值为（120-a）×40+19000=23800-40a，∴W的最大值是（23800-40a）元．

点睛：本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于x的函数关系式．

18．文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本.（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？

（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.）【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题

【答案】（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；（2）甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大.19．（1）计算：（2）解不等式：

；

【来源】江西省2018年中等学校招生考试数学试题 【答案】（1）；(2)

作费用.张先生以每20．我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？（精确到0.01元）【来源】四川省凉山州2018年中考数学试题 【答案】至少涨到每股6.06元时才能卖出.21．“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买

两种型号的垃圾处理设备共10台，已知每台型设备日处理能力为12吨；每台型设备日处理能力为15吨，购回的设备日处理能力不低于140吨.(1)请你为该景区设计购买两种设备的方案；

(2)已知每台型设备价格为3万元，每台型设备价格为4.4万元.厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问:采用(1)设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么? 【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题

【答案】（1）共有4种方案，具体方案见解析；（2）购买A型设备2台、B型设备8台时费用最少.22．先化简,再求值:数解.【来源】山东省德州市2018年中考数学试题 【答案】.【解析】分析：原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值． 详解：原式=

﹣

=

﹣

=，,其中是不等式组的整不等式组解得：3＜x＜5，整数解为x=4，当x=4时，原式=．

点睛：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 23．解不等式组：

【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题 【答案】不等式组的解集为3＜x≤5．

【解析】分析：首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可． 详解：解不等式+2＜x，得：x＞3，解不等式2x+2≥3（x-1），得：x≤5，∴不等式组的解集为3＜x≤5．

点睛：此题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．学科&网 24．在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.（1）原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？

（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 : 2，且里程数之比为2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值.【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷（A卷）【答案】（1）40千米；（2）10.25．某地年增加，（1）从（2）在年为做好“精准扶贫”，投入资金年在年到年的基础上增加投入资金

万元用于异地安置，并规划投入资金逐万元.年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

万元用于优先搬迁租年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于户（含第户）每户每天奖励元，房奖励，规定前按租房

户以后每户每天奖励元，天计算，求年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.【来源】贵州省安顺市2018年中考数学试题 【答案】（1）从年该地至少有年到

年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为

；（2）户享受到优先搬迁租房奖励.26．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.(1)第一批饮料进货单价多少元？

(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？

【来源】广东省深圳市2018年中考数学试题

【答案】（1）第一批饮料进货单价为8元.(2)销售单价至少为11元.【解析】【分析】（1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；

（2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得.【详解】（1）设第一批饮料进货单价为元，则：解得：经检验：

是分式方程的解

答：第一批饮料进货单价为8元.（2）设销售单价为元，则：，化简得：解得：，答：销售单价至少为11元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键.27如图，在数轴上，点、分别表示数、（1）求的取值范围.（2）数轴上表示数的点应落在（）

上

C．点的右边

.A．点的左边

B．线段【来源】江苏省南京市2018年中考数学试卷 【答案】（1）

28． ．解不等式组：

用均值不等式证明不等式 篇6

【摘要】：不等式的证明在竞赛数学中占有重要地位．本文介绍了用均值不等式证明几个不等式，我们在证明不等式时，常用到均值不等式。要求我们要认真分析题目，本文通过几个国内外竞赛数学的试题，介绍用均值不等式证明初等不等式的基本方法及技巧。

【关键词】：均值不等式；不等式；方法；技巧

均值不等式

设 a1、a2、、an 是 n 个 正数，则不等式H(a)G(a)A(a)Q(a)称为均值不等式[1]．其中

H(a)

n

1a

11a

2

1an，G(a)

a1a2a1aan，A(n)

a1a2an

n

22，2

Q(n)

a1a2an

n

、an 的调和不等式，几何平均值，算术平均值，均方根平均分别称为 a1、a2、值．

例1设a1、a2、…、an均为正，记

(n)n（a1a2an

n



a1a2an)

试证：(n)(n1)，并求等号成立的条件．

证明由所设条件，得

(n)(n1)

=n（a1a2an

n



n

a1a2an)(n1)（a1a2an

1n1



n1

a1a2an1)

=a1a2annna1a2an(a1a2an1)(n1)n1a1a2an1

=an(n1)(a1a2an1)n1n(a1a2an)n，n1

(a1a2an1)n1，有 将G(a)A(a)应用于n个正数：an，（a1a2an1）



n1个

an(n1)(a1a2an1)n1

n

(a1a2an)n，即

an(n1)(a1a2an1)n1n(a1a2an)n．

所以(n)(n1)，当且仅当an(a1a2an1)立．

n1，即ann1a1a2an时等号成1

此题不只是公式的直接应用．代表了均值不等式中需要挖掘信

、an 的一类题． 息找a1、a2、例2设xyz0，求证：6(x3y3z3)2(x2y2z2)3． 证明当xyz0时不等式显然成立．

除此情况外，x、y、z中至少有一正一负．不妨设xy0，因为

z(xy)，所以

I6(xyz)6[xy(xy)]6[3xy(xy)]54xyz

．

若由此直接用G(a)A(a)(n3)，只能得到较粗糙的不等式

I54xyz54（xyz

2)2(xyz)，3222

3如果改用下面的方法，用G(a)A(a)，便得

I54xyz

222

216

xy2



xy2

z

xyxy2z

(2z22xy)3，2163

再注意到x2y2(xy)22xyz22xy，因而2z22xyx2y2z2，于是即得欲证的不等式．

此题解题的关键在于构造a1、a2、、an通常需要拓宽思路多次尝试，此类也属均值不等式的常考类题． 例3设x0，证明：2

x

2

x

22

x

．(第16届全苏数学竞赛试题[2])

证明此不等式的外形有点像均值不等式． 由G(a)A(a)，得

x2

x

x

2

x

22

x

2

x

22，又

x2

x

1111

(x12x4)2x6，即得要证的不等式．

结语

有些不等式则可以利用某个已经证明成立的不等式来证明(因此多熟悉几个比较常见的不等式是有好处的)；有些不等式还要用数学归纳法来证明等等．而且在一个题目的证明过程中，也往往不止应用一种方法，而需要灵活运用各种方法．因此，要培养和提高自己的证题能力。

参考文献

[1]陈传理等编．数学竞赛教程 [M]．北京：高等教育出版设，1996，(10)：

133-134．

不等式知识点 篇7

妙用一、整体代换已知条件中的"1", 构造出平均值不等式

例1 已知a、b、c均为正数, 若a+b+c=1, 求证undefined

证明:因为a+b+c=1, a、b、c均为正数,

所以undefined当且仅当undefined时, 等号成立.所以undefined.

例2 已知x、y、z均为正数, 若x+y+z=1, 求证undefined

证明:因为x+y+z=1, x、y、z均为正数, 所以3 (x2+y2+z2) -1=3 (x2+y2+z2) -12=3 (x2+y2+z2) - (x+y+z) 2=2x2+2y2+2z2-2xy-2xz-2yz= (x-y) 2+ (x-z) 2+ (y-z) 2≥0

当且仅当undefined时, 等号成立.

所以undefined

[评析] 在例1中, 将要证明的不等式左端中的"1"换为已知表达式a+b+c, 构造出满足平均值不等式的条件, 从而利用平均值不等式加以证明.在例2中, 将要证明的结论适当变形, 利用作差比较, 将"1"换成已知表达式 (x+y+z) 2, 通过配方法加以证明.两个例题都是整体代换已知条件中的"1", 然后利用不等式的性质与不等式的常见证明方法加以证明.

妙用二、添加"1", 构造出平均值不等式

例3 已知a、b、c均为正数, 求证:undefined

证明:因为a、b、c均为正数, 所以有 a+b>0; b+c>0; c+a>0.所以undefined.

所以undefined.

例4 已知p、q均为正数, 且p3+q3=2, 求证p+q≤2.

证明:因为p、q均为正数, 所以p3>0, q3>0.又因为p3+q3=2, 所以 (p3+1+1) + (q3+1+1) =6,

又由均值不等式得:undefined;undefined.所以3p+3q≤6, 所以p+q≤2.

[评析] 在例3中, 根据不等式的特征, 在求证的不等式的左边加上三个"1", 然后通分, 构造出平均值不等式利用均值不等式加以证明.例4是一道一题多证的典型题目, 注意到已知表达式的特征, 利用等式的可加性, 在已知等式的两端同时加上四个"1", 构造出满足平均值不等式的条件的表达式, 然后利用平均值不等式加以证明.

妙用三、适当放大缩小"1", 构造出平均值不等式

例5 已知a、b、c、d均为正数, 求证undefined

证明:因为a、b、c、d均为正数, 所以undefined, 所以undefined;

又因为undefined,

所以undefined,

所以undefined.

所以undefined

[评析] 在例5中, 要证明的不等式的的中间较复杂, 两端都是常数, 有因为a、b、c、d均为正数, 所以, 将要证明的不等式左端的"1"转化为含a、b、c、d的表达式, 然后利用放缩法对第一个不等号加以证明;将要证明的右端的常数2换成"1+1", 然后再将两个"1"分别用a、b和c、d来表示, 最后利用放缩法对第二个不等号加以证明.

妙用四、三角换元 "1", 构造出平均值不等式

例6 已知0

证明:因为0

令undefined,

则undefineda2 (1+cot2α) +b2 (1+tan2α) =a2+b2+a2cot2α+b2tan2α≥a2+b2+2ab= (a+b) 2 所以undefined.

变式学习“不等式与不等式组” 篇8

按照常规步骤求解即可得到不等式的解集，需要注意的是不等号的方向是否改变.

（1）不等式的解集是x>3，将解集在数轴上表示出来如图1.

（2）不等式的解集是x<4，将解集在数轴上表示出来如图2.

（3）不等式的解集是x≥2，将解集在数轴上表示出来如图3.

（4）不等式的解集是x<-6，将解集在数轴上表示出来如图4.

点译：在数轴上表示不等式的解集时，要注意空心圆圈和实心圆点的区别，空心圆圈表示不包括这一点，实心圆点表示包括这一点.

解析：（1）解第一个不等式，得x>3.

解第二个不等式，得x>2.

将两个不等式的解集在数轴上表示出来如图5，可以看出两个不等式的解集的公共部分，故不等式组的解集为x>3.

（2）解第一个不等式，得x<4.

解第二个不等式，得x<-6.

将两个不等式的解集在数轴上表示出来如图6，可以看出两个不等式的解集的公共部分，故不等式组的解集为x<-6.

（3）解第一个不等式，得x>2.

解第二个不等式，得x<4.

将两个不等式的解集在数轴上表示出来如图7，可以看出两个不等式的解集的公共部分，故不等式组的解集为2

（4）解第一个不等式，得x>3.

解第二个不等式，得x<-6.

将两个不等式的解集在数轴上表示出来如图8，可以看出两个不等式的解集没有公共部分，故不等式组无解.

点评：利用数轴确定不等式组的解集与将不等式组的解集在数轴上表示出来有所不同，如将变式2中不等式组（1）（2）（3）的解集在数轴上表示出来分别如图9、图10、图11.

用构造局部不等式法证明不等式 篇9

有些不等式的证明，若从整体上考虑难以下手，可构造若干个结构完全相同的局部不等式，逐一证明后，再利用同向不等式相加的性质，即可得证。

例1.若a，求证：212 ab123，bR，ab2分析：由a，b在已知条件中的对称性可知，只有当a，即2时，等号a13b1才能成立，所以可构造局部不等式。

证明：2 a1·(2a1)·3·(a2)*3332a133323同理，2b13(b2)33333∴2 a12b1(a2)(b2)23

2222xxxx2n1n…x，x，…，x例2.设x是n个正数，求证：1 1x212nxxx2x3n1…xn。

证明：题中这些正数的对称性，只有当x时，等号才成立，构造局部x…x12n不等式如下：

2222xxxx12n1n。x2x，x2x，…，x2x，x2x2132nn11nxxxx23n1将上述n个同向不等式相加，并整理得：

2222xx1x2n1xn…xx…x。12nxxxx23n1，a，…，a…a1例3.已知a均为正数，且aa，求证： 12n12n222aaa112n…。

aaaaa12a23n122aaa112a，a，…，a证明：因a均为正数，故，112naa41222a2a2a3anaa1a2，…，nan。

a2a34ana14又∵aaaaaa111223n1…(aa…a)12n，44422∴把以上各个同向不等式相加，整理得：

222aaa112n …aa…a112naaaaaa21223n1222aaa112n故…。aaaaa12a23n12例4.设a，且a，求证：，b，cRbc1（第36届IMO）

*3111。333a(bc)b(ca)c(ab)2证明：由a，b，c在条件中的对称性知，只有当a时，才有可能达到最小值bc131bc1，此时刚好3。所以，可构造如下局部不等式。2bc2a(bc)4∵1bc112，33bcabc()44abca1ac112，33acbac()44bacb1ab112，33abcab()44cabc111∴333a(bc)b(ca)c(ab)

1111bcacab()()abc4bcacab1111313()3 2abc2abc2

不等式知识点 篇10

第一备课人：姚雪艳

第一讲

不等式和绝对值不等式

课题： 第04课时绝对值三角不等式 教学目标：

知识与技能：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法，会进行简单的应用。

过程与方法：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。

教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。教学过程：

一、复习引入：

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。

1．请同学们回忆一下绝对值的意义。

x，如果x0x0，如果x0。

x，如果x0 几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。

2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）aa，当且仅当a0时等号成立，aa.当且仅当a0时等号成立。

（2）aa2，（3）abab，（4）那么abab?abab?

二、讲解新课：

探究: a,b,ab, ab之间的什么关系?

结论：ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.）

aba(b0)b已知a,b是实数，试证明：ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.）方法一：证明:10.当ab≥0时, 20.当ab<0时，ab|ab|,ab|ab|，|ab|(ab)2 2|ab|(ab)22 a2abba22abb2 22|a|2|ab||b| |a|22|a||b||b|2 |a|22|a||b||b|2(|a||b|)2

(|a||b|)2 |a||b||a||b|

综合10, 20知定理成立.方法二：分析法，两边平方（略）

定理1 如果a,b是实数，则ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.（1）若把a,b换为向量a,b情形又怎样呢？

aba

abab

根据定理1，有abbabb，就是，abba。所以，abab。

定理（绝对值三角形不等式）

如果a,b是实数，则ab≤ab≤ab 注：当a,b为复数或向量时结论也成立.推论1：a1a2an≤a1a2an

推论2：如果a、b、c是实数,那么ac≤abbc,当且仅当(ab)(bc)≥0时,等号成立.思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段ABACCB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）

三、典型例题：

cc例

1、已知 xa,yb，求证(xy)(ab)c.22证明(xy)(ab)(xa)(yb)xayb（1）

xacc,yb，22cc∴xaybc（2）

22由（1），（2）得：(xy)(ab)c

aa,y.求证：2x3ya。46aaaa证明 x,y，∴2x,3y，4622aa由例1及上式，2x3y2x3ya。

22注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

例3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处? 解：如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)例

2、已知x·10

四、课堂练习：

·x·20

1.(课本P20习题1.2第1题)求证: ⑴abab≥2a;⑵abab≤2b 2.(课本P19习题1.2第3题)求证: ⑴xaxb≥ab;⑵xaxb≤ab 3．（1）、已知Aacc,Bb.求证：(AB)(ab)c。22（2）、已知xacc,yb.求证：2x3y2a3bc。46

五、课堂小结：

1．实数a的绝对值的意义: a(a0)⑴a0(a0);（定义）

a(a0)⑵a的几何意义: 2．定理（绝对值三角形不等式）

如果a,b是实数，则ab≤ab≤ab注意取等的条件。

六、课后作业：

课本P19第2，4，5题

七、板书设计：

新课知识

八、教学后记：

比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．

不等式与等式的互化 篇11

一、 由等式化得不等式

古时还没有数的时候，放羊的人晚上收羊时为了看羊的数目有没有少，就在放羊时

出去一头羊，放一块石块，晚上收羊时，回来一只羊就拿走一块石块，这是一一对应的原理，在这个过程中其实就产生了等式和不等式，如果没有丢羊，那石块数等于羊数，如果丢羊了，那石块数就大于羊数．而这一过程也生动地反映了等式如何转化为不等式的——即把等式的一边适当地减少部分恒大于等于（或恒小于等于）0的式子．这种互化在高中数学中也有体现，比如设a, b为任意实数，由恒等式a2－2ab+b2=a－b2及右端完全平方式的非负性，即可转化为基本不等式a2+b2≥2ab．又如，证明“不等式1+xn>1+nx(n∈N,n>1)对任意的x>0恒成立”，这个不等式可以用数学归纳法证明，但也可以通过等式、不等式互化的思想证明．观察二项式定理中的恒等式1+xn=C0n+C1nx+C2nx2+···+Cnnxn，由

其中在用两点间距离公式计算MA和MB时比较繁琐.

此外，对于直线和曲线相交问题，两个交点的中点相应参数t=t1+t22，运用参数方程中的t的几何意义，可以快速解决一些计算繁琐的问题.

通过上述例子的对比，我们发现参数方程和普通方程在解题中应该相辅相成，我们应该根据具体题目选择相应的方法，快速准确地解决问题.

于组合数恒大于零，且x>0，所以可以舍去等式右边的第三项以后的所有项，等式就转化成了我们要证的目标不等式，这个不等式就是著名的贝努力不等式．二项式定理的另一个应用——估算也包含了上述的等式、不等式互化的思想，比如计算1.045（精确到0.01），利用二项式定理展开得1+0.045=1+C15·0.04+C25·0.042+…．舍去从第4项开始的项，得到不等式1.045>1.22，因为舍去的项数值很小，对精确度没有影响，因此在精确度为0.01的情况下不等式可以化为等式即1.045=1.22．这种思想在高考中也有不少应用．

例1

设函数f(x,y)=1+myx(m>0,y>0)．

（1）当m=3时，求f(6,y)的展开式中二项式系数最大的项；

（2）若f(4,y)=a0+a1y+a2y2+a3y3+a4y4且a3=32，求∑4i=0ai；

（3）设n是正整数，t为正实数，实数t满足f(n,1)=mnf(n,t)，求证：

f(2010,1000t)>7f(－2010,t)．

这种方法也称之为不等式估计，当变量的个数多于方程的个数时，方程的解会有无数个，但如果对变量加以限制（如本题中正整数m,n(1

通过以上两个方面，我们发现等式与不等式虽然在形式上是对立的，但是在本质上其实是统一的，有些时候等式需借助其中蕴含的不等式，来寻找新的条件达到求解的目的，而有些时候不等式也需要从其特殊的状态“等式”出发，来寻求等号成立的本质，进而达到证明的目的，所以等式与不等式不能孤立地来看，它们相辅相成，通过相互转化可以将许多数学问题化腐朽为神奇，从中探索出解决问题的最优化方法，这也是我们研究等式与不等式互化的最终目的．

解不等式的验算 篇12

下面我们来试一试, 你能够通过验算很快发现下面例题中的错误吗?

例: (2x+1) /3>4/5x-1去括号:10x+5>12x-1

移项:10x-12x>-1-5合并:-2x>-6

系数化1:x>3

验算:1、将x=3代人左边= (2×3+1) /3=7/3;右边=4/5×3-1=7/5, 左边≠右边, 通过错误原因分析, 很快就会发现去分母漏乘。2、左边x的系数2/3<右边x的系数4/5, 不等式的解的不等号方向应该变号, 也出现了错误。

正确解法: (2X+1) /3>4/5X-1去分母:5 (2x+1) >12x-15

去括号:10x+5>12x-15移项:10x-12x>-15-5

合并:-2x>-20系数化1:x<10

通过验算, 1、当x=10时, 左边=右边;2、不等式的解的不等号方向也正确。说明x<10是原不等式的解。

不等式知识点 篇13

一、不等式及其解集和不等式的性质

用不等号表示大小关系的式子叫做不等式。常见不等号有：“＜” “＞” “≤” “≥” “ ≠ ”。含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集，解不等式就是求不等式的解集。注：①在数轴上表示不等式解集时，有等号用实心点，无等号用空心圈。

②方向：大于向右画，小于向左画。

不等式的三个性质：①不等式两边同时加（或减）同一数或式子，不等号不变；

②不等式两边同时乘（或除）同一正数，不等号不变； ③不等式两边同时乘（或除）同一负数，不等号改变。

作差法比较a与b的大小：若a-b＞0,则a＞b；若a-b＜0；则a＜b；若a-b=0, 则a=b。例1、下列式子中哪些是不等式？

① a+b=b+a;②a＜b－5;③－3＞－5;④x≠1 ；⑤2x-3。例

2、若a

aba1b122 －;④

；⑤am___bm 2232⑥ab 0；⑦a+m b+m；⑧a² b²；⑨am bm。

例

3、①由axa，可得x1可得a____；②由axa，可得x＜1可得a____； ③ 由mx22xm可得x1，那么m______。

例

4、不等式5(x2)282x的非负整数解是__________________。二、一元一次不等式及其实际问题

一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式（即分母中不含未知数），这样的不等式叫做一元一次不等式。解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（两边每一项同乘分母的最小公倍数）（2）去括号（括号里每一项都要乘括号前面的系数）（3）移项（变号后移项）（4）合并同类项（5）将x项系数化为1（系数为负数要变号）。一元一次不等式与实际问题（审设列解验答）

常见表示不等关系的关键词：①不超过，不多于，至多，最多（≤）；②不少于，不少于，至少，最少（≥）③之前，少于，低于（＜）；④超过，多于，大于（＞）。（1）审（找表示不等关系的关键词）;（2）设（把问题中的“至多、至少” 去掉）（3）列;（4）解；（5）验（实际问题是否需要求整数解）；（6）答（加上“至多、至少”作答）。

三、不等式组及其解集，与实际问题

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

不等式组中，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。一元一次不等式组与实际问题（审设列解验答）

（1）审（找表示不等关系的关键词和题中涉及的两个未知量）;（2）设（设其中一个未知量，另一个用设的未知数表示）（3）列;（4）解；（5）验（实际问题是否需要求整数解）；（6）答(方案问题要描述清楚)。一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）

类型（设a>b）不等式组的解集

1.（同大型，同大取大）x>a

数轴表示

2.（同小型，同小取小）x

3.（一大一小型，小大之间）b4.（比大的大，比小的小空集）无解

特殊：

x＞3x3x＞3x3无解，无解无解有解x＜3x＜3；x3；x3；专题 解决含参数的一元一次不等式（组）

类型

一、根据已知不等式（组）的解集，求参数的值(解集是突破口)方法归纳：①表示解集；②根据已知解集的情况列出方程（组）；③解方程（组）

例

1、若不等式的解集为，求k值。，得解：化简不等式，得x≤5k①，比较已知解集②，∴③。

例

2、若不等式组的解集是-1

解：化简不等式组，得 ①

∵ 它的解集是-1

也为其解集，比较得 ② ∴(a+1)(b-1)=-6.③

2xb0b________练习、不等式组的解集为：1x3，则a_____,。

3x5a 类型

二、根据已知不等式（组）的特殊解集，求参数的取值范围(解集是突破口)方法归纳：①表示解集；②根据已知解集的情况列出不等式；③解不等式 例

1、若关于x的不等式3x-a＞4（x-1）的解集是负数，求a的取值范围？

解：化简不等式得：x＜4-a①，∵ 它的解集是负数，∴只要4-a≤0均可满足②∴a≥4③ 练习、若关于x的不等式-3（x+2）＞m+2的解集是正数，求m的取值范围？

方法归纳：①表示解集；②将解集表示在数轴上，平移分析；③得参数的取值范围。

例

1、已知关于x的不等式x-a＞0，的整数解共5个，则a的取值范围是________。例

2、已知关于x的不等式组的整数解共5个，则a的取值范围是________。

解：化简不等式组，得有解①，将其表在数轴上，②

如图1，其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3。由图1得：-4

xm0练习、不等式组的整数解只有-2和-1，则a，b的取值范围__________________；

2x51

类型

三、根据不等式组是否有解，及解的特殊情况；求参数取值范围。

方法归纳：

1、表示解集；

2、将解集表示在数轴上，平移分析；

3、得参数的取值范围。例

1、不等式组xm0有解，则m的取值范围______；

2x51解：化简不等式组，得x＜m有解①，将其表示在数轴上②，观察可知：m≤-2③

x-2 练习

1、若不等式组x＜m的解集是x＜5，则m的取值范围______；

x＜5xm02、若不等式组3的解集是x3，则m的取值范围是_______________。

3x8

13、不等式组x30无解，则k的范围__________。

2xk1类型

四、根据已知方程（组）的解的情况，求参数的取值范围(解的情况是突破口)方法归纳：①表示方程（组）的解；②根据已知解的情况列出不等式；③解不等式；

例

1、已知关于x的方程5x-2m=3x-6m+2的解大于-5，求符合条件m的非负整数值？ 解：解方程的x=1-2m，① ∵解大于-5，∴1-2m＞-5，②

解得：m＜3，(3)∴符合条件m的非负整数值为：0，1，2。例2.已知方程组xy=m的解是非负数，求m取值范围的？

5x3y=13解：解方程组得①

∵方程组的解是非负数，∴

即 ②

解不等式组(3)∴m的取值范围为≤m≤, 练习

1、已知方程组

2xy=1+m的解满足x＞y，求m取值范围的？

x2y=1-m2x-3y=1+a练习

2、已知方程组的解满足x+y＞0，求m取值范围的？