诊断性评价是什么

诊断性评价是什么（精选8篇）

诊断性评价是什么 篇1

1 资料与方法

1.1 一般资料 本组12例结节性硬化患者，男9例，女3例，年龄最大42岁，最小1岁。12例患者均进行CT平扫及MRI常规扫描，3例进行CT增强，5例进行MRI增强。具有临床典型三联症者2例，只有癫痫发作者7例，无典型症状的有3例。

1.2 方法 本组全部病例使用普通CT扫描机，常规头颅检查，层厚10 mm;3例CT增强扫描用300 mgI/ml非离子型碘剂50 ml静脉团注。GE公司Singa 1.5 T MRI机，采用自旋回波序列(SE)序列T1WI：TR 600 ms，TE 25 ms。快速自旋回波序列(FSE)T2WI：TR 3000 ms，TE 102 ms。FLAIR成像：TR 8500 ms，TE 24 ms，层厚5.0 cm，间隔1.5 cm。

2 结果

2.1 本组12个病例的表现 (1)CT：室管膜下结节和钙化，共5例，表现为高密度钙化影或稍高密度阴影，结节可突入脑室，使脑室壁不光滑，钙化可大可小，小的钙化直径1 mm，大的钙化直径达8 mm。MRI：双侧大脑白质、皮层和室管膜下区多发结节样异常信号影。T1加权呈等或略低信号，少部分呈较高信号。(2)CT：皮层及皮下结节，主要有3种表现，空心型病灶、H形病灶和高密度块状影。脑回空心样病灶本组发现3例，病变脑回呈膨胀性改变，中心为低密度，周边为等皮质密度包绕。H形病灶本组有1例，H形病灶中横道的上下区域为低密度阴影，其余为等密度区，高密度块状影本组有1例。MRI：脑白质内可见不规则分布的小片样T1加权略低，T2加权高信号影。(3)CT：室管膜下巨细胞星形细胞瘤本组有1例，CT表现为莫氏孔[1]附近的稍高密度阴影，外形不规则，约3.0 cm×1.0 cm大小，CT增强扫描示肿块明显强化。MRI：肿块呈稍低信号，边界较清晰。 (4)脑实质内低密度灶1例，呈团块状，中心可见钙化。

2.2 病因病理 病因至今尚不太清楚，现认为1/3的患者属常染色体显性遗传。缺陷或基因突变引起的疾病，脑部病理可见神经胶质增生性硬化结节，颜色苍白，脑回表面隆起。显微镜下结节为神经胶质，由一些巨大的多核星型细胞构成。位于大脑皮质、基底核及侧脑室壁的室管膜下。结节质地较硬，多有钙化。这些结节把正常的脑皮质压薄。另外一种病变是小的、多发的结节，好发于室管膜下，可伸入到脑室内。显微镜下是一些过度增生的大星型细胞。当这些小结节长大时，可阻塞室间孔造成梗阻性脑积水。类似的病变还可见于中央灰质、脑干或小脑。在神经胶质增生的区域可见钙盐沉着。皮肤的皮脂腺瘤是由扩张的毛细血管和过度增生的结缔组织组成，而皮脂腺往往萎缩。

3 典型病例

例1，患者，男，42岁，以头痛、失眠来我院就诊。既往史癫痫大发作。查体：神志清楚，智力低下，鼻翼两侧有多发隆起褐红色坚硬小结节，对称性分布。头颅CT平扫：两侧侧脑室前角、体部、室管膜下可见直径约为3～8 mm多个散在圆形或椭圆形高密度钙化点，右额亦见一小钙化斑。结合临床CT诊断：结节性硬化症(图1)。

例2，患者，男，26岁，自2岁开始患癫痫病，痉挛性抽搐经常发作。查体：神志清楚，能配合，但智力低下，鼻翼两侧、双侧面颊、额头均有暗红色质硬的小结节。头颅CT平扫：双侧侧脑室体前后部及颞角均可见散在多发对称分布结节状高密度影，边界清晰。CT诊断：结节性硬化症(图2)。2例患者家族中其他人未询问出有类似病史。

4 讨论

结节性硬化是一种常染色体显性遗传性疾病，较少见[2]，1岁以内即可发病，癫痫发作，皮脂腺瘤和智力低下是它的3个特征性临床表现，但多数患者并不同时具有这3个特征性表现，少数患者可无临床表现。本病需综合临床表现及影像学资料以明确诊断。结节性硬化的CT表现具有一定的特征，首先，室管膜下有多发性小结节状钙化影，也可为单发、不强化;小结节亦可未钙化;突入脑室可以强化;但有钙化者居多，颅内异常钙化高达90%。一般出生后2年即呈典型钙化。10%～15%的病例可能恶变为室管膜下巨细胞星型细胞瘤或其他胶质瘤。前者常位于室间孔附近，生长缓慢，增强扫描可产生异常强化;其次，皮层结节主要表现为脑回环状病灶，高密度块状病灶及H形病灶，本组皮层结节的分布以额叶居多，说明额叶是皮层结节的好发部位。可伴脑灰质异位及脑室扩大系阻塞性脑积水或脑发育不良所致。除CT外，MRI对于结节性硬化的诊断也较有价值：(1)双侧大脑白质、皮层和室管膜下区多发结节样异常信号影。T1加权呈等或略低信号，少部分呈较高信号，可能与含钙盐有关。T2加权呈高信号，钙化的结节呈低信号。(2)脑白质内可见不规则分布的小片样T1加权略低，T2加权高信号影，为髓鞘形成不良或胶质增生所致。

临床上是以面部皮脂腺瘤、癫痫发作和智力低下为特征的神经皮肤综合征。关于本病诊断提出以下几点：(1)各种类型癫痫或婴儿痉挛发作;(2)智力障碍;(3)面部皮脂腺瘤;(4)皮肤色素脱失斑;(5)放射学改变：颅内钙化或气脑烛泪征;(6)其他：如视网膜晶状体瘤，心脏横纹肌瘤，鲨革样皮疹和甲下纤维瘤等。凡具备以上三项者诊断可成立。CT发现钙化结节有其特异性，MRI检查T1WI发现室管膜下结节敏感，T2WI发现白质异常信号较为敏感，FLAIR序列显示皮质结节更为清晰。

治疗：目前无特殊治疗。有惊厥者可用抗癫痫药物治疗，脑电图呈高度失律者可用ACTH。手术切除有病变的大脑皮质及皮质下结节，可使癫痫停止，但仅适用于单个病灶且智力较好者。

诊断性评价是什么 篇2

带着强烈的“解释疑团”的愿望, 人们尝试了不同视角的解读。研究学生的心理生理特点, 在遵循规律的前提下开展工作;研究学生的需要, 在激发内部动机上着力;重视针对性, 化班级授课为小组学习, 变面面俱到为突出重点;重视能力培养, 调动学习热情养成良好习惯, 把学习打造成陪伴学生生活成长的好伙伴。“梦里寻她千百度, 蓦然回首, 那人却在灯火阑珊处”, 拨开各种解读的表层, 我们不难发现深层次的问题。

好评价是师生关系的润滑剂

师生关系的和谐与否, 可以视为教育成败的标准之一。亲其师, 才会信其道;恶其师, 自然要怀疑教育的正确或者干脆拒绝外部的说教。

余文森教授介绍过这样的案例:

新学期, 蔡老师接手了“丁班” (由全校问题学生组建的问题班级) 。第一节课, 面对着“乱糟糟的学生”, 蔡老师没有抱怨, 而是饱含深情地讲了“朽木的故事”。说的是广州市发现了棵百年的树木, 然而深埋地下, 木质早已疏松。运走?不成!代价太大;烧了?不成!破坏环境;卖了?不成!运输太难。有个木匠想了个好主意。树身做成软木塞, 树根做成木雕, 碎木屑做成了工艺品, 仅工艺品一项就获益万余元。蔡老师深情地说, “朽木不朽, 总有朽木的价值。我看, 这个男同学跑得很快, 练练, 说不定能成为短跑健将呢!那个女同学表情丰富, 努力一把, 肯定能成为明星…”学生们听得入了神。几个月的高考后, “丁班”居然有好几位学生考入了重点大学…

问题学生组建成的问题班级, 可能会被许多人认定“没有希望没有奔头”了, 随之而来的必然是自暴自弃破罐子破摔, 后果难以设想。蔡老师临危受命, 无怨无悔。没有横眉立目恼羞成怒, 有的只是推心置腹娓娓而谈。“朽木也有春天, 何况大家都有优势!”本以为没有出路了, 学生们把学校视为敌对, 把老师看作敌人, 裂痕可见一斑。蔡老师抓住“人人都有优点人人都想成功”的心理特点, 耐心疏导, 赢得了同学们的信任。高考在即, 齐心协力, 众志成城, 终于赢得了一片赞许声。

不成熟的年龄特点, 学生总会有这样或那样的问题。出于强烈的好胜心理, 学生很不愿意被揭伤疤、被指责、被嘲弄。委婉地指出来, 指出问题指明调整方向, 学生必然对老师加倍感激进而以更大的热情投入到学习中去。学习困难的如此, 优秀学生也是这样, 不过具体情况有所不同罢了。困难学生, 饱受讥讽, 急需鼓励承认;优秀生, 高高在上, 亟需冷静期待。为不同学生做出善意的评价, 他们就会把老师看作前进路上真正的朋友, 师生关系才会更融洽, 教育才能更有效。

好评价是教学过程的金钥匙

有的教学, 学生不愿听, 感觉过于平淡;有的老师, 学生不愿接受, 感觉没有激情;有的课堂, 学生不愿进入, 感觉没有兴趣。究其原因, 正如刘良华教授提醒, “这样的老师、课堂、教学是否由于缺乏节奏感?”千篇一律、平铺直叙、波澜不惊, 看着美妙, 久了会厌烦的。

无论教的节奏还是学的节奏, 都是需要环环相扣相互推动的。设置某一环节, 除了要考虑完整性、联系生活调动学生的学习胃口, 还要在不知不觉间过渡到下面的环节。教学过程中, 教学节奏的分配应该是合理的:有时让学生可以凭借自己的力量轻松获得, 有时在教师的指导下和同伴的合作交流中收获知识提高能力。一切轻松和惬意发挥了教师对教学过程评价的掌控艺术, 以至于学生根本没有觉察而已。

三角形内角和定理的学习, 看似熟悉, 对七年级的学生却远非如此。刚刚接触“有条理有依据的表达、有目标的思考”, 陌生抽象而枯燥。

“大家还记得三角形三个内角之和吗?”老师笑吟吟地进入课堂。

“量一量, 算一算……”, 学生有些不屑一顾。

“不错。一量一算, 三个角就形成了平角。还有其他办法吗?”老师不慌不忙。

“三个角撕下来, 拼在一起……”有个学生兴致勃勃地演示起来。

“好极了。在你的手里, 三个角组成了完美的平角。动用我们的经验, 在脑子里, 能把它们三个拼在一起吗?”老师抛出了重拳。

学生陷入了沉静……

量一量、算一算、撕一撕、拼一拼, 学生们前呼后拥此起彼伏。只不过, 这些操作都陷于原地徘徊, 没有实质性进展。而且散装的动手观察仅仅出自直觉, 学生并没有上升为理性。在老师的率领下, “你的想法不错呀..., 还有更好的办法吗?”学生们不断感受、思考、再感受、再思考, 思维层次实现着步步深化, 教学则一浪高过一浪研究不止...

议论文是初中教学的难点, 实在没有话可说。

“春光明媚, 这周周末我们去春游, 好吗?”老师春风满面。

“好极了!”学生一跳三尺高。

“愿望虽好, 可是, 出自安全考虑, 学校不愿意呀。”老师无可奈何。

“为什么!为什么?……”学生炸开了锅。

“别灰心, 大家把意见写下来好么?我们交给校长。”老师示意安静。一节课下来, 学生们洋洋洒洒下笔如有神助……

就是这样神奇, 老师寥寥数语“好吗?可是……别灰心……”, 难点三下五除二化解得烟消云散了。究其原因, 老师的评价功不可没。“……好吗?”学生的热情瞬间得到调动;“可是……”, 话锋猛转, 学生怨声一片;“别灰心……”, 言外之意, 困难虽有, 希望也还存在, 只需要付出争取, 学生自然要抗争, 要争取。困难十足的内容, 老师三言两语, 障碍化作了通途。情感交互, 教学推动相得益彰, 有激情有提升, 学习起来自然韵味十足不知疲倦。

好评价是高效教学的助力器

山东教育厅张志勇副厅长指出过:优质课堂的四个维度:新颖度、幸福度、开放度、效率度。一言蔽之, 利于并且实现了学生最好的发展的课堂才是高效的。学生享受到了从未有过的喜悦、受到了从未有过的挑战、得到了从未有过的满足, 都可以看作高效课堂的标准。前面阐述的“良好师生关系、起伏的教学过程”正是基于上面四个维度来构建课堂的高效。

高效教学评价有个鲜明的准绳、目标。学习目标讲究可行性和可控性。某校科学实践课, 老师告诉学生, “课下去公园收集形形色色的树叶, 下周使用。”有个孩子站起来, “收集树叶有啥用呀?”出自笑料, 实在发人深思得很, 孩子们根本不知道何去何从, 盲目学习如何能保证有效?于是, 度过了盲动期, 老师们开始在意目标的作用。

下面是北师大数学《探索与表达规律》的片段:

“老师有个宝贝, 大家想得到吗?”老师给了悬念。

“好的, 宝贝就含在今天的学习目标里, 请大家朗读” (目标略)

大屏幕上出现了某年某月的月历, 四个活动要求明确具体 (围绕目标“研究规律”) , 学习活动开始。

跃跃欲试地展示过后, 气氛归于静寂。老师引导“大家能梳理下研究的思路吗?” (紧扣目标“研究方法的获取”)

“背景转换, 大家能应用宝贝吗?” (应用目标)

“谁能总结下今天的收获?” (谈目标)

最后的环节是课堂检测 (检测目标略)

学习, 从清晰的目标开始。认识目标, 展开目标, 达成目标, 深化目标, 检测目标, 整个教学流畅自然。顺畅的的幕后, 难怪有人会感到这是“在放养”。即便是放羊的招式, 没关系, 完全可以问心无愧, 因为我们牢牢抓住了放羊的“绳子”, “羊群乃是在或松或紧的有效控制下进行着觅食和活动”, 这根绳子就是学习的目标。教学自目标开始, 围绕目标进行, 检验目标达成中结束, 丝丝入扣, 按部就班, 保证了学习的效率。

高效教学评价还能保证赏识教育的实施。“某某同学, 你的观察很仔细, 这是科学家必备的素质!”“某某同学, 你的方法独树一帜, 智商很高呀!”“某某同学, 近来表现不错, 坚持, 你会取得很大进步!”“没关系, 谁没犯错失误, 改了就是好同志, 大家鼓励一下!”真诚地赏识会让学生们感到自己的价值, 体会到自己不断成功带来的幸福, 进而在学习中付诸更大的热情和努力, 这实在是高效教学渴望的最佳状态。

好评价体现多元性和发展性

好, 是相对的, 而非绝对的。举个例子, 杨玉环倾国倾城, 当时肯定回头率极高, 毕竟唐代以胖为美嘛。然而, 如果换作现在, 注定有人劝她减肥了, 太肥胖了会带来许多问题的。优秀评价也是如此, 适用这个学生未必适用那个学生, 某某内容显著改换, 效果恐怕就很难保证了。

小组教学成功地破解了班级授课“针对性不强的问题”, 不少老师以为抓到了高效教学的救命稻草, 一味注重整体评价, 今天A组挑战B组慷慨激昂, 明天C、D展开竞赛两组难解难分, 后天某某同学异军突起, 小组得到极高评价, 大大后天某某同学违反纪律, 全组受到诘难, 久而久之, 竞争的味道越来越淡, 拼抢的作用越来越微弱。单一评价让学生感到了厌烦, 多元评价才能发挥应有的功效。

其实, 无论评价对象是谁, 评价内容如何, 都要让学生体会到自己的力量, 感到自己是受关注的, 最终认可学习是自己分内的事情, 他人无可代替, 需要付出努力汗水, 为了完成自己的使命, 需要时时学习, 事事学习, 这种多元和发展性评价, 才是好评价。

摘要：评价作用是什么, 好评价的标准怎样, 众说纷纭。经实践检验的结论最为有力:构建良好师生关系, 推动教学进程, 打造课堂高效, 促进多元发展, 才是好评价的本质属性。

阳痿的正确诊断标准是什么 篇3

我今年25岁，还没有真正和异性性交过，但我怀疑自己有阳痿，因为，我的阴茎不易勃起，只是在晨间偶尔会有勃起。我和女朋友在一起时，会有冲动，阴茎可以勃起但不硬，被女友抚摸反应也不明显。我在十四五岁的时候，无意中看见过一位妇女的阴部，当时觉得恶心，后来，我当兵的时候阴部被人踢过，这两件事我常常会想起，总觉得这些与我的阳痿有关系。请问：到底什么样的情况算阳痿？我是不是有心理问题。

山东 小彭

小彭：

阳痿的正式的诊断名称为勃起功能障碍，它是指阴茎勃起硬度不足进入阴道或不能维持其硬度至射精。偶尔的勃起障碍，比如在过度的疲劳、饮酒过度时出现勃起困难是不能诊断为阳痿的，按照马斯特斯和约翰逊提出的标准：只有在准备性交时勃起失败率达到了25%时，才算作阳痿。

以前认为，80%—90%的阳痿是由于心理因素影响造成的，但近些年来随着血管、神经、内分泌等方面的检查技术的进步，对阳痿的发病原因和机制等有了更进一步的认识，发现器质性因素造成的阳痿比率远比以往的估计要高。

有些青年人因为缺少性的知识和性的经历，往往会将一两次的勃起困难视作阳痿，从而背上很重的精神负担，结果在以后的性经历中由于心理作用造成真正的心理性阳痿，这应该引起注意。你如果怀疑自己的健康问题，可以到正规医院进行一次医学检查。简单地自我估计勃起功能可以从这样几个方面来观察：注意观察勃起反应的快慢、持续时间、硬度，另外注意自己的勃起困难是突然发生的，还是进行性加重的，前者多提示心理因素，后者则多提示器质性因素。晨间勃起是判断勃起功能的一个指标，但应该注意多数的晨间勃起自己并不能发现。此外，要考虑自己是不是有其他的身体疾患或服用过影响勃起的药物，以及是不是有过度饮酒、吸烟等不良生活习惯或者存在着较大的生活压力及人际交往的困难，因为这些因素都可以影响到勃起功能。

什么是疲劳性骨折 篇4

最早被提到的疲劳性骨折是发生在1855年的普鲁士军队里，当时是出现在新兵的跖骨上，被人们称之为“行军性骨折”，而近年来由于休闲和竞技运动的人口剧增，这个以往只发生在新兵身上的疲劳性骨折也普遍地在一般人及运动员的身上出现。 www.HacK50.com-找入门资料就到

疲劳性骨折或称压力性骨折主要是指骨骼在长期反复的操作下无法承受猛烈的压力而导致骨骼部份或完全断裂的一种现象，

它是由于过度使用的结果而造成骨骼疲劳衰弱的情形。HacK50.com-是最好的入门资料网站

疲劳性骨折的形式

www.HacK50.com-找入门资料就到

以下是疲劳性骨折四个基本的型式：www.HacK50.com-找入门资料就到

1.斜线式(obliquefracture)：是最常见的种类。

HacK50.com-是最好的入门资料网站

2.压迫式(compressionfracture)。

诊断性评价是什么 篇5

什么是人生价值?

评价人生社会价值的标准是什么？

参考答案：

（一）人生的自我价值与社会价值

1．自我价值、社会价值的含义：人生价值内在地包含了人生的自我价值和社会价值两个方面。人生的社会价值，是个体的人生活动对社会、他人所具有的价值。衡量人生的社会价值的标准是个体对社会和他人所作的贡献。人生的自我价值，是个体的人生活动对自己的生存和发展所具有的价值，主要表现为对自身物质和精神需要的满足程度。

2．人生的社会价值和自我价值，既相互区别，又密切联系、相互依存，共同构成人生价值的矛盾统一体。一方面，人生的自我价值是个体生存和发展的必要条件。另一方面，人生的社会价值是实现人生自我价值的基础，没有社会价值，人生的自我价值就无法存在。

（二）人生价值的标准

人的社会性决定了人生的社会价值是人生价值的最基本内容。一个人的生活具有什么样的价值从根本上说是由社会所规定的，而社会对于一个人的价值评判，也主要是以他对社会所作的贡献为标准。个体对社会和他人的生存和发展贡献越大，其人生的社会价值也就越大；反之，人生的社会

价值就越小。如果个体的人生活动对社会和他人的生存和发展不仅没有贡献，反而起到某种反作用，那么，这种人生的社会价值就表现为负价值。

人生价值评价的根本尺度，是看一个人的人生活动是否符合社会发展的客观规律，是否通过实践促进了历史的进步。人生价值评价的普遍标准，是劳动以及通过劳动对社会和他人作出的贡献。是一个人对社会和他人所作的贡献越大，他在社会中获得的人生价值的评价就越高。劳动和贡献的尺度作为社会评价人生价值的基本尺度，正是对人生价值评价根本尺度的一种具体化。在我们今天所处的社会主义社会中，衡量人生的价值，标准就在于看一个人是否以自己的劳动和聪明才智为中国特色社会主义真诚奉献，为人民群众尽心尽力服务。

（三）人生价值的评价

1．坚持能力有大小与贡献须尽力相统一。每个人的职业不同，能力大小不同，对社会贡献的绝对量不同，不能简单地认为能力大的人就实现了人生价值，能力小的人就没有实现人生价值。

2．坚持物质贡献与精神贡献相统一。评价人的价值，不仅要看个人对社会作出的物质贡献，也要看其对社会做出的精神贡献。

3．坚持完善自身与贡献社会相统一。人生的社会价值是

实现人生自我价值的基础，评价人生价值的大小应看一个人的人生活动对社会所作的贡献。但这并不意味着否定人生的自我价值。

幽门螺杆菌感染诊断与治疗是什么 篇6

幽门螺杆菌感染现在主要靠抗幽门螺杆菌药物进行治疗。尽管幽门螺杆菌在体外对许多抗菌药物都很敏感，但是在体内用药并不那样如意。目前不提倡用单一的抗菌药物，因为它的治愈率较低，且易产生耐药性。幽门螺杆菌(Hp)感染治疗方案的选择原则主要有以下方面：

1、采用联合用药方法;

2、幽门螺杆菌的根除率>80%，最好在90%以上;

3、无明显副作用，病人耐受性好;

4、病人经济上可承受性。判断幽门螺杆菌感染的治疗效果应根据幽门螺杆菌的根除率，根除是指治疗终止后至少在一个月后，通过细菌学、病理组织学或同位素示踪方法证实无细菌生长。

根除幽门螺杆菌前应先注意口腔卫生，使用一段时间漱口水和抑菌牙膏修复口腔问题，如蛀牙、牙垢、牙结石等，可以先更换牙具。口杯、水杯、不锈钢保温杯不要混用，并且经常要蒸煮消毒，特别是在药物治疗期间，分餐消毒碗筷。

诊断性评价是什么 篇7

关键词：数学,实在,集合论,公理化,自由

数学从诞生之日起就显示出与众不同的魅力。一方面,数学的抽象性、普适性及其深刻性无不体现着人类理性智力的荣耀;另一方面,数学在描述、解释和预测自然界真理时又呈现出无比强大的效力。数学曾被作为确定性知识的典范,其所运用的公理化———演绎方法,明确地与经验自然科学所运用的以观察和实验为基础的归纳方法有所不同。正因如此,经验自然科学往往被认为面对的是不确定的世界,经验自然科学所揭示的真理是不确定的真理,科学的可错性在某种程度上恰好印证了科学进步的可能性。然而,数学作为人类理性智力对真理的追求,它为我们呈现的是一种具有确定性的必然世界。自康托尔(Cantor)创立集合论以来,集合论带给数学的哲学挑战颠覆了数学在人们心目中的地位,进而引发了一系列具有根本性的重要问题。这些问题至今仍未获得一致的解决:数学是对真理的探求,还是一种纯粹的人类智力活动?数学是自然界真理的探求者,还是客观柏拉图世界的发现者?存在着不依赖于人类思维的独立的、不同于经验世界的抽象数学世界吗?接受一些特定数学命题为公理的标准是什么?我们能够确保数学公理系统的相容性吗?存在着数学公理系统所不能认识的真理吗?现今的数学能为我们的哲学信念提供什么证据?数学的扩张和发展揭示了一种独特的数学之本性吗?究竟什么是数学?当代的数学该何去何从?数学哲学又该何去何从?通过从数学实在性的追问到当代集合论公理的确证,我们将对上述问题给出尝试性的回答。

一数学实在性的追问:三种哲学信念

从古希腊的柏拉图和亚里士多德开始,人类就形成了认识世界的两种方式:以数学推理为基础的理性认识模式和以感觉经验为基础的经验认识模式。前者推崇的是人类理性的演绎推理,理性主义者深信通过这种方式人类能把握宇宙的深层真理;后者则尊重人对世界的经验感觉,人类通过归纳推理的方式形成对世界的认知,经验主义者更看重经验对理论的验证。不过,随着数学日益抽象化的发展,早在19世纪一些数学概念就已经全然脱离了其物理意义或解释获得了自身的独立性。正如康托尔所言:“数学的本质就在于它的自由。”[1]132一直到今天,数学家、物理学家和哲学家对于数学的实在性本质仍然争论不休。数学究竟是一种发现还是创造,如果是发现,揭示的是物质宇宙世界的真理还是抽象世界的真理?基于这些追问,至今已形成对数学实在性的三种哲学信念。

(一)数学作为自然界真理的探求者

早在公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派就开启了“宇宙的数学化设计”的信念。他们深信:宇宙是以数学方式设计的,借助于数学知识,人类可以充分地认识它。[2]11那么,如何得到宇宙的真理呢?希腊人突破了其他古文明只出于实用的目的研究数学的传统,他们自己设计了数学自身独特的一套方法。欧几里得的《几何原本》成为希腊人利用数学知识探求宇宙真理的典范。它从一些不证自明、无人怀疑的公理出发,通过严格的逻辑推导,得出确定无疑的结论。“对于希腊人,几何学原理是宇宙的整体结构的体现,空间是其中的基本组成部分。因而关于空间和空间图形的探索是宇宙探索的基本工作,几何学实际上是一门更大的宇宙科学的一部分。”[2]26此外,希腊人的天文学、力学、光学和地理学等都呈现出数学化的特点。希腊人相信,“数学实质上存在于宇宙万物之中,它是关于自然界结构的真理,……宇宙存在规律和秩序,数学是达到这种有序的关键。”[2]33

然而,不幸的是,希腊文化由于战争遭到了摧毁。中世纪,文化由教会所控制,上帝成了宇宙的设计者。文艺复兴时期,一些先驱重新燃起了对自然界探索的兴趣,不过他们接受了“自然界由上帝所创造”的信念。于是,“希腊人的宗旨———自然是依数学设计的,与文艺复兴时的信念———上帝是这个设计的作者,融会在一起,统治了欧洲”。[2]39从哥白尼、开普勒、伽利略到牛顿,这些伟大的宇宙探究者都相信宇宙是上帝按照数学的方式设计的。哥白尼相信宇宙的设计遵循简单、和谐的美,他把托勒密描述宇宙所需要的77个圆缩减为34个;开普勒则创造性地发现了太阳和行星运动的椭圆轨道模型,提出行星运动三定律;伽利略提议要寻求宇宙的数学描述,而非物理解释,提出自由落体定律;牛顿则用数学前提取代物理学假设,用万有引力定律统一了开普勒的天体运动定律和伽利略的地面物体运动定律。数学史家克莱因(Klein)赞叹道:“牛顿终于放弃了物理的解释,他用数学概念及量化了的公式,还有能导致公式的数学推导重铸了整个17世纪的物理学。牛顿的光辉业绩呈现给人类一个……仅用数学表述的物理原理控制的宇宙。”[2]70直到18世纪,拉格朗日(Lagrange)、拉普拉斯(Laplace)、欧拉(Euler)、高斯(Gauss)、柯西(Cauchy)、傅立叶(Fourier)等许多伟大的数学家和物理学家都相信,数学研究的目的就在于揭示宇宙的真理。

然而,19世纪非欧几何、四元数、集合论、数论等的发展使得一些数学概念完全超越并突破了物理解释,应用数学变成了纯数学,数学不再被看作是物质世界的真理,而是有其自己的独立性。数学的确证不再依靠在解释自然界和自然科学方面的成功,而是需要依靠自身的逻辑结构,一些数学分支由此变成了数学家纯智力的追求,数学远远领先于物理学快速成长。

不过即使如此,极为抽象的数学在接下来的19、20世纪仍然使得许多伟大的数学家和物理学家相信:数学就是解开自然之谜的那把金钥匙。这些重要人物可以列出一分长长的清单:黎曼、闵可夫斯基、麦克斯韦、狄拉克、爱因斯坦、外尔、陈省身、杨振宁、丘成桐……。黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提供了基础,麦克斯韦方程组预言了电磁波、狄拉克用数学公式预言了正电子、黎曼猜想与物理现象的能级分布具有同样的分布规律、物理学的规范场恰好是微分几何纤维丛上的联络、弦论(万物理论的候选理论)则在数学中的卡拉比-丘流形中找到了依据……

总之,2000多年来,从古希腊毕达哥拉斯的“万物皆数”到20世纪80年代兴起的万物理论———弦论,数学在揭示自然这部大书之伟大奥秘的进程中一直扮演着无法替代的重要角色。

(二)数学作为人类理性的创造物

与把数学看作揭示自然界奥秘的钥匙这种观点不同,也有相当数学家、哲学家和物理学家把数学看作是人类理性的创造物。人们可以通过运用人类天生的理性直观而获得数学知识,这种观点后来演变成一个学派:数学直觉主义。

直觉主义最早可以追溯到笛卡尔。笛卡尔的怀疑论至今影响深远,它怀疑人们的常识、感觉和经验,得出“我思故我在”的断言。笛卡尔怀疑论的根基是理性,因此人类自身的理性成为知识的基础。他认为只有通过人类的直觉和推理方法才可以获得真知识。笛卡尔声称:“我所用的直觉,意思不是不稳定的感官证据,……而是纯粹、专注的心智的概念构造能力,……只来自于理性之光,甚至比推理更为确定,因为它更简单;……这样根据直觉,人人都明白他存在,他思想,三角形只由三条线段所围,……以及其他类似的事实。”[3]97在笛卡尔看来,不证自明的数学公理是人类最清楚的直觉,因而必然是真理。

笛卡尔之后,康德是数学直觉主义真正意义上的先驱。他把时间和空间看作人类理性先天的直观形式。在区分了先验/后验、分析/综合的基础上,他把数学看作先验综合判断。在康德看来,数学可以产生新知识,这种新知识是被人类先验地认识到的,是人类理性的创造物。康德认为,是人类的心智将散乱的经验组织并纳入其中,从而形成人类心智对世界的理解。这样,“既然空间的直觉来源于心智,那么心智自动地接受空间的某些属性,诸如直线是两点间的最短路径,三点确定一平面以及欧几里得的平行公理。康德称这些真理为一个先验的假设的真理,它们是心智构成的一部分”。[2]然而,19世纪非欧几何的发现最终敲响了康德先天直观的丧钟。即便如此,康德把数学看作人类理性的创造这种思想对今天的一些数学家和物理学家依然具有深远影响。

直觉主义成为一个学派,最终还应归功于克罗内克(Kronecker)、布劳威尔(Brouwer)和海丁(Heyting)等数学家的信念和实践。克罗内克的名言“上帝创造了整数,其他都是人的工作”,典型地表明了人的直观在数学中的作用。为此,克罗内克坚决不承认超越了人的直观所能理解的超穷数。在他看来,根本就不需要把整数奠定在超穷集合论的基础上。由于数学是人类心灵的创造物,不存在独立于人类心灵的数学对象,所以,克罗内克反对一切以非构造的方式形成的数学概念和证明。克罗内克之后,直觉主义由布劳威尔及其学生海丁所发展。布劳威尔主张,“数学是起源和产生于头脑的人类活动,它并不存在于头脑之外,因此,它是独立于真实世界的。头脑识别基本的、清晰的直觉,这些直觉不是感觉或经验上的,而是对某些数学概念直接的确定,其中包括整数。”[2]305即,“数学实践源自人的心灵的内省”。[4]180海丁总结道,“直觉主义数学家建议把数学研究作为人类理智的一种天然功能,是一种自由的、重要的思想活动。对他而言,数学是人类心灵的产物……我们不能把数学对象看成是一种独立于我们的思想的存在,即一种先验的存在……数学对象本质上依赖于人类的思想。”[5]

与这种思想相对应,数学被看作一种创造性的发明而不是发现的人类活动。维特根斯坦明确持有这种主张。在维特根斯坦的影响下,一些数学家、哲学家、数学史家和社会学家(比如布鲁尔(Bloor)、欧内斯特(Ernest)、赫什(Hersh)等)进一步发展出了更极端的观点:数学的社会建构论或者数学的人文主义。这种观点主张:数学是由数学家共同体在特定的社会历史条件下建构出来的知识体系,数学知识是可错的,不是绝对真理,数学的客观性不是由客观的实在世界所决定,而在于其共同体的约定,在于其社会性。这样,数学的社会建构论自然就滑向了相对主义。

时至今日,这种极端的直觉主义和社会建构论已被大多数人抛弃。直觉主义作为一种哲学信念,完全没有抵挡住数学前进的步伐。社会建构论则作为对数学的一种描述性说明,并没有真正解决一些有趣而重要的传统哲学难题:数学是对不同于物质世界的抽象世界的理性探究吗?从古希腊直到今天还一直让数学家、物理学家和哲学家惊叹的:数学那不可思议的有效性究竟如何可能?

然而即使如此,“数学是一种创造还是发现”至今依然是人们争论不休的话题。

(三)数学对柏拉图世界真理的追求

数学自古希腊起就被赋予了极高的地位,柏拉图学园入口处的“不懂几何者不得入内”广为流传。数学在柏拉图那里,被抬到了与哲学同样高的地位。毕达哥拉斯学派信奉:宇宙是按数学的方式设计的。柏拉图则认为,数学研究的是不同于物质世界的另一个客观真实的抽象(共相)世界,物质世界是这个抽象世界的映像。物质世界是不完美、有瑕疵,变动的;抽象的共相世界是完美、永恒的。人们可以通过对这个完美的抽象共相世界的认识,来理解我们生活于其中的物质世界。

柏拉图是第一个开启数学实在论的哲学家和数学家,而且他既是数学本体论的实在论者,又是数学真值实在论者。他断言:“几何学命题客观地为真或为假,独立于数学家的心灵、语言等等。……几何学命题涉及没有维度的点、没有宽度的完美直线和完美的圆。物质世界不包含任何这类事物,我们看不到欧几里得点、线和圆。因此,几何学不是关于物质世界,即那个变化生成的世界中的任何事物的,我们也并不是通过感觉来理解几何学对象。”[4]同样他认为:“算术和代数命题的真假独立于数学家、物质世界,甚至心灵,……算术命题是关于一个被称为‘数’的抽象对象组成的领域。”[4]57

自柏拉图以后,数学一直作为理解自然之奥秘的角色得以探究和扩展。直到19世纪后期德国数学家康托尔集合论的创立,数学才又被带回到了柏拉图的世界。康托尔是一个典型的柏拉图主义者,他那带有神学色彩的哲学信念是他坚持探索抽象的无穷世界坚实的后盾。正如康托尔的传记作者,著名的数学史家道本(Dauben)所言:“康托尔坚持认为,自然数的真实性和绝对合理性比任何在真实世界中存在并通过人的感官而感知的事物更重要。……超穷数和有穷数同样是可能的和存在的……所有的超穷数都作为永恒的理念而存在。这是一种很强的柏拉图主义。”[1]

与康托尔同时代的数理逻辑的创始人弗雷格(Frege),是当代数学本体实在论和真值实在论真正的先驱,是柏拉图主义思想复活的领路人。弗雷格通过数学上伟大的逻辑主义规划、分析哲学中的语义分析以及逻辑分析技巧,精致地阐述了他的柏拉图主义。数学是在研究一个客观的由逻辑对象构成的抽象世界,数学真理本质上是逻辑真理。可以看出,弗雷格的数学世界偏离了柏拉图意义上的抽象共相世界,弗雷格抽象世界的本质其实是逻辑。但即使如此,他的思想依然影响了后续许多的数学家和哲学家的信念,其中就包括著名的柏拉图主义者哥德尔。

哥德尔在哲学上以其概念实在论著称。哥德尔相信存在着一个类似于物质世界真实性的数学世界,数学真理即是对该世界的真实描述。哥德尔声称:“数学概念构成其自身的客观实在,这种客观实在性不是我们能创建或更改的,我们只可以感知和描述它。……柏拉图主义者的观点是唯一站得住脚的……数学描述了非感性实在,其存在既独立于人类心灵的行为,也独立于心灵的倾向,它只能被人类的心灵知觉到。”[6]哥德尔之所以有这么强的柏拉图主义信念,是因为他所研究的集合论使他不得不承认数学的实在性。他说:“尽管它们远离感官经验,但我们对集合论的对象却是有某种类似知觉的经验,这可以从那些公理强迫我们接受其为真的事实中看出。我看不出有什么理由我们为什么对这类知觉的信心,即对数学直觉的信心,要比对感性知觉的信心弱。”[7]484因此,他断言:“存在———除非我错了———一个由全部数学真理构成的完整世界,我们只能通过我们的智慧来接近它,它的存在就像物理实在世界的存在,二者都独立于我们,二者都由上帝创建。”[6]323

英国数学家哈代(Hardy)典型地代表了持有柏拉图主义的数学家的心声:“我相信,数学实在在我们之外,我们的作用是去发现它或观察它。我们所证明的,以及我们大言不惭地描述为我们所‘创造’的定理,仅仅是我们观察的记录。这种观点一直被自柏拉图以来许多具有崇高声望的数学家以这样或那样的形式坚持着。”[8]最近一些数学家、物理学家和哲学家聚集在一起,以研讨会的形式讨论了数学的创造和发现、数学和物理学的实在性等,由英国数学物理学家波尔金霍恩(Polkinghorne)主编的《数学的意义》一书于2011年出版。从其论述来看,波尔金霍恩、数学家索托伊(Sautoy)和数学物理学家彭罗斯(Penrose)等人都持有或强或弱的柏拉图主义。

时至今日,依然有许多数学家持有柏拉图主义的信念而从事数学研究。不过,也有一部分人声称并没有确定的理由使我们相信确实存在这样一种非时空的数学世界,从事数学研究并不需要提前预设数学实在。那么,究竟什么是数学?这依然是一个谜题。如果从数学所运用的独特方法来看,它又能为我们揭示出什么?

二数学公理化方法的诘难:确定性的丧失

从古希腊起至今,数学以其自身独特的方法享有具有最高确定性知识的典范。正如克莱因所言:“数学依赖于一种特殊的方法去达到它惊人而有力的结果,即从不证自明的公理出发进行演绎推理。它的实质是,若公理为真,则可以保证由它演绎出的结论为真。通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑,数学家们得出显然是毋庸置疑、不可辩驳的结论。”[2]2然而,随着19世纪非欧几何和20世纪集合论公理化的发展,数学公理系统自身的可靠性、相容性和完备性等问题浮现出来,使人们不得不重新思考数学公理化方法在获得真理方面的效力。

(一)数学公理的可靠性

从公元前3世纪欧几里得《几何原本》确立数学的公理化方法以来,数学公理的可靠性源自公理的自明性。然而,随着19世纪数学的发展,一些公理远比欧几里得的公理更抽象,远远超出了人们的直观。数学家使用公理是为了在数学严格的意义上确立数学概念的定义。比如,希尔伯特(Hilbert)的《几何基础》(1899)。因此,如果公理在直观上并不自明,那么公理的可靠性如何得到保证?

众所周知,数学公理化方法的发展经历了从实质公理学到形式公理学的演变。“所谓实质公理化,就是先于公理而假定一个唯一的论域来建立公理系统。数学欧氏几何是实质公理化的典范,它在给出概念、公理之前,就预设了特定的对象域或者论域———即现实的三维空间。而其中的公理则是符合人们直观的不证自明的事实,这种基于经验和直观的数学明显带着经验的成分。”[9]对感性直观的依赖,缺乏数学的严格性是实质公理化的最主要缺陷,公理的自明性恰恰成了公理可靠性的质疑点。

为此,希尔伯特开创了形式公理化的方法。“与实质公理学不同,形式公理学不预先给定任何对象域,不和任何实际的知识相结合;初始概念在引入公理之前是不加定义的,公理可以看成是初始概念的定义(称为‘隐定义’);它不涉及任何意义而展开形式的推演;对初始概念经过不同的解释,一个形式公理系统可以有许多对象域(模型)。”[10]希尔伯特有一个形象的解释:在几何学的形式公理系统中,“人们必定总是能用‘桌子、椅子和啤酒杯’来代替‘点、线和面’”。[4]151这就是形式公理化方法的本质。

数学公理可靠性的问题真正产生于20世纪初集合论的公理化。众所皆知,康托尔创立的集合论中所用的集合概念是直观的,集合被定义为:“我们的直观或思想中明确的、可分辨的物体的总体”。[2]332这种朴素集合论导致了许多悖论,为避免悖论的出现,策梅洛(Zermelo)试图用公理的方法来约束集合,后经弗兰克尔(Fraenkel)补充,形成策梅洛-弗兰克尔集合论,简称ZFC。然而,选择公理的使用激起了许多数学家的反对。第一,选择公理涉及无穷,而无穷不是自明的。第二,它会引起违反人们直觉的“巴拿赫-塔斯基分球怪论”。第三,选择公理独立于其他ZF公理。虽然如此,选择公理的应用如此广泛,如果不接受选择公理,分析、拓扑学、抽象代数等数学分支中的许多定理便不再成立。数学公理可靠性的基础问题引起了数学家的重视,由此产生了有关数学公理的内部确证和外部确证的争议。一般而言,把自明性和直观性看作公理的内部确证;把公理的有效性和丰富性看作公理的外部确证。

费弗曼(Feferman)赞成公理最初的自明性标准,反对以外部的原因为公理的合法性进行辩护。他根据《牛津英语词典》的定义,认为“数学公理就是不需要形式论证来证明其真实性的自明命题。一旦提及这样的命题,这个命题就是真命题,并且我们都赞同其真实性。……实际上,数学家与逻辑学家对公理所赋予的含义与这个词的典型含义已经远离得让人吃惊。有些人甚至把任意的假设作为公理的含义。”[11]然而,斯蒂尔(Steel)却声称:“古老的公理自明性的要求太主观了,更重要的是太局限了。……自明性的要求会阻碍更强基础的进展。”[11]

尽管有对选择公理的质疑声,更多的人却依然倾向于基于外部确证支持选择公理。就像策梅洛所说:“只要这里提到的这些相对简单的问题[如果没有选择公理]仍然是难以解决的,并且另一方面,只要选择公理这条原则不能够被明确地反驳,那么就没有人有权力阻止富有成效的科学的代表们继续使用这个‘假说’———也许有人会这么称呼它,与我无关———在最大程度上发展它的推论。”[12]哥德尔也赞成这种外部确证。他认为,“即使不理会某个新公理的内在必然性,也许甚至它根本就没有内在必然性,有关该公理的真的一种可能的判定用另一种方式也是可能的,即通过研究它的‘成功’进行归纳地判定。这里的成功意味着可以得出丰富的结论。”[7]477总之,选择公理之所以被接受是因为它可以实现特定的数学目标。

由上述分析可知,无论是公理的自明性还是其成功的应用,其可靠性都无法得到严格的证明。因此,通过诉诸自明性有可能会限制数学的发展,但若靠其外部确证,这些公理似乎又将返回到19世纪数学严格化运动之前的混乱状态。数学将何去何从,这似乎依然是数学和哲学共同面临的难题。

(二)数学公理系统的相容性

数学公理化方法的另一个棘手的问题就是:数学公理系统的相容性。希尔伯特在1900年的国际数学家大会上提出了著名的23个数学问题,其中就包括算术公理的无矛盾性,公理系统的相容性正式得到数学家的重视。19世纪的公理化运动将数学带上了追求严格性的道路。然而,此时数学家们却发现,公理化方法有一个根本的缺陷。如果无法证明诸公理之间的相容性,那么整个公理系统将会受到威胁,从而陷入一种自相矛盾的危险境地。为了使数学建立在一个安全可靠的基础上,各种公理化方法受到不同数学家的青睐,包括逻辑主义、元数学纲领和公理集合论。

第一种方案“逻辑主义”,企图把数学奠定在严格的逻辑基础之上,以此避免数学中出现悖论,将人们不可靠的经验和直观剔除出数学。如果逻辑主义规划成功,那么数学将真正成为一门严格的确定性最高的知识,数学将成为人类获知真理的最可靠途径,且是毋庸置疑的绝对真理。况且,逻辑真理的相容性足可以保证数学公理的相容性。然而,逻辑主义自身遇到了根本性的困境。首先,如果数学公理是逻辑公理,那么选择公理和无穷公理无疑就是逻辑公理。但是,关于无穷公理和选择公理是否是逻辑,人们提出了质疑。最后,就连罗素(Russell)本人也承认这两个公理不是逻辑公理。同时,数学归纳法也无法被看作逻辑。数学远远比逻辑丰富得多。其次,既然逻辑主义规划中无法囊括无穷公理和选择公理,其相容性自然也就未被解决。第三,更重要的是,如果逻辑主义正确,数学就是一门逻辑演绎的科学,无法解释数学在广泛的自然现象、空间几何、声学、电磁学、力学等中的应用。

第二种方案“元数学纲领”,希尔伯特试图通过把数学彻底形式化来解决数学的相容性问题,已达到数学最大的普适性和最高的确定性。这种元数学的核心是把数学当作形式系统,包括公理和推理规则,数学遵循严格的推导,完全建立在严格的证明之上。数学就是从公理证明定理的形式推演过程。如果形式系统是相容的,系统内的所有定理均为真理。这种方案也被称为“证明论”。希尔伯特坚信,通过这种方法,每一个确定的数学问题都可以解决。然而,哥德尔1931年发表的论文宣告了形式主义的破产:一个包含算术的形式系统如果是相容的,其相容性不能在该形式系统内得到证明。这就意味着,形式系统无法确立自身的相容性。更令人担心的是,“由于相容性的不可证明,数学家们正冒着传播谬误的危险,因为不定什么时候就会冒出一个矛盾。如果真的发生了这种情况,而且矛盾又不能消除,那么全部数学都会变得毫无意义”。[2]346

第三种方案“集合论的公理化”,公理集合论最直接的目的就是限制集合大小,通过公理的方式确定集合的严格定义,消除经验直观,从而避免康托尔朴素集合论中产生的悖论。然而,就在策梅罗建立公理集合论之初,选择公理受到了抨击。公理集合论的目的是避免出现悖论,但选择公理自身却直接推出了违反直觉的分球怪论。鉴于选择公理自身的可靠性受到了怀疑,集合论公理ZFC系统又如何保证其自身的相容性呢?即使考虑到选择公理的重要性从而接受了它,但从未有人去认真对待公理集合论自身的相容性证明。彭加勒(Poincaré)调侃道:“为了防备狼,羊群已用篱笆圈起来了,但却不知道在圈里有没有狼。”[2]335这足以看出相容性问题的重要性。

令数学家感到受挫的是,上述所有方案都没能真正解决公理系统的相容性问题,直到今天也依然如此。数学公理化方法仍然处在一种不确定的飘摇状态中。

(三)数学公理系统的完备性

自数学的公理化方法诞生以来,数学一直被看作确定性、必然性知识的典范。只要给定初始概念、定义、公理和推理规则,数学家就可以推出不容置疑的定理。在一定程度上,数学被看作证明定理的事业。只要是明确的数学问题,不论花多长时间,理论上一定可以解决。数学家凭着这样的信念,把他们的生命献给了他们所热爱的数学,只为寻求真理。然而,这一信念的根据需要数学是完备的,即只要是真理,就可证。20世纪30年代以前,从事数学基础的逻辑主义、直觉主义、元数学纲领和公理集合论的数学家几乎都相信:数学真理就是其可证性。然而,哥德尔的出场震惊了所有人:存在着不可证的数学真理!这对数学公理化方法提出了严重的挑战,还直接打击了像希尔伯特这样大批数学家的信心。希尔伯特宣称:“每一个明确的数学问题必须能被正确地解决。……吸引我们去研究一个数学问题的最主要的原因是:在我们中间,常常听到这样的呼声,这里有一个数学问题,去找出它的答案!你能通过纯思维找到它,因为在数学中没有不可知!”[2]340哥德尔的结果表明数学公理化方法的局限性,存在着数学公理系统不可判定的命题。

随之而来,引发的一个更为严峻的问题是:对于一个特定的数学命题而言,它是否可判定?也就是说,对于一个特定的数学猜想或假说,数学家能否在有穷时间内判定这些断言的真假?结果令人失望:丘奇(Church)1936年证明了这样的判定程序并不存在。“丘奇定理表明,不可能预先确定一个命题是否能证明或证伪,或许两者都不能,即该命题不可判定,但这可不像已知的不可判定命题那么明显。”[2]350这就意味着,数学家们面对的完全是一个未知的不确定的世界,他们穷其一生追随的数学问题本质上也许就是一个根据现行公理系统无法解决的问题。这些结论对数学家来说,就像晴天霹雳,简直令人震惊!号称世界上头号数学难题的“黎曼猜想”,至今数学家验证的结果已达到10万亿个零点,但是对于无穷而言就相当于0,即使验证的个数再多,严格来讲,对数学家信心的增强也没有丝毫助益。因为黎曼猜想本质上究竟是真是假,或者不可判定,我们依然一无所知!最近,英国《每日邮报》2015年11月17日报道,黎曼猜想据称被尼日利亚教授伊诺克(Opeyemi Enoch)成功解决。然而,将黎曼猜想列为七大千年数学难题之一,并承诺悬赏100万美元的美国克雷数学研究所对此既不证实也不否认,其官网也未作表态。[13]这一问题仍然悬而未决。但是,像黎曼猜想这样的问题吸引着许多数学家为此贡献一生。数学,究竟该何去何从呢?

同样,就集合论中的连续统假设(CH)而言,数学家现在依然面对着不确定性。哥德尔和科恩(Cohen)的结果表明,连续统假设和选择公理都独立于ZF公理,同时,连续统假设独立于ZFC公理。也就是说,现有的ZFC公理不足以判定连续统假设的真值,是不完全的。基于这些结果,有的数学家(比如科恩)主张CH已经得到解决,即不可判定。但也有的数学家(比如哥德尔)主张需要加强ZFC公理,进一步解决CH。还有的数学家(比如费弗曼)认为CH既不是一个确定的数学问题,也不是一个确定的逻辑问题。[14]时至今日,各派数学家仍然坚持自己的信念。就集合论而言,都存在着不同的前进方向,连续统问题依然是一个悬而未决的问题。数学公理系统的不完备性揭示出,公理化方法不足以成为数学的全部,除此之外,数学直觉、经验、哲学信念、假设仍然是数学研究中无法剔除的因素。

由上述分析可见,数学公理的可靠性、公理系统的相容性和完备性告诉人们,试图用公理化的方法为数学奠定一个严格的逻辑基础,把数学看作追求确定世界的真理是人类的一种奢望。数学确定性的壮丽图景逐渐破碎,就像经验自然科学一样,数学同样充满了不确定。那么,数学究竟是什么呢?

三数学的本质在于自由:历史的启迪

纵观数学历程及当前数学的发展,人们一直不断地追问及探究“数学的本质是什么”。今天的数学远比古希腊数学丰富和深刻得多,人们对数学的本质有了更深刻的认识。然而,“数学究竟是什么”依然是一个谜题,人们依然在追索。牛顿曾说:我之所以看得更远,是因为我站在巨人的肩上。从数学2000多年的历史画卷中可知,数学深刻性的扩张、数学丰富性的效力及数学客观性的追求是数学发展的动力,任何束缚数学发展的企图最终都被证实是不明智的,数学的本质就在于它的自由。

(一)数学深刻性的扩张

数学发展的历程告诉我们,今天数学之所以长成一棵参天大树,渗透进所有其他科学、自然及社会现象的解释中,就在于数学自身发展成为一门自成体系、独立的学科,而不仅仅是为了实用以成为其他学科的奴仆。为了更深地理解数学概念的本质、数学的逻辑结构、推进数学的扩张、建立数学严密的逻辑基础,数学才得以如此深刻和自主。如果仅仅建立于实用性的基础之上,非欧几何、四元数、集合论、数学基础主义各纲领等就不会产生,可想而知,数学会贫乏到何种程度。

首先,就非欧几何的产生而言,其内在动机是,数学家们发现欧氏几何中的平行公理并不自明,为了建立欧氏几何的相容性,需要从逻辑上进行严格推导。结果发现,平行公理独立于其他公理,换成其否命题便可以得到非欧几何,并且它是相容的。非欧几何同样可以运用于物理空间,黎曼几何正是爱因斯坦相对论的数学基础。其次,在数的扩张中,负数、无理数、实数、复数、四元数无一不是为了对数学进行推广,形成新的数学概念。如果一开始这些数学概念就以物理解释为基础,它们就根本不会诞生,它们被接受的标准是看其在逻辑上是否相容。第三,最典型的例子非康托尔创立的集合论莫属。康托尔创立了一长串崭新的概念:导集、序数、序型、基数、势、超穷序数、超穷基数等等,这些概念将人们引入一个充满神奇魅力的无穷世界。

上述概念和理论形成的过程中,数学家中充满了质疑、兴奋到接受的状态变化。欧氏几何曾被看作是现实世界物理空间的唯一几何学真理,这一观念盛行2000多年,致使人们怀疑与欧氏几何相对立的任何思想。就连高斯、鲍耶(Bolyai)这些非欧几何的创始人自己都感到惊奇。鲍耶曾说:“我已得到如此奇异的发现,使我自己也为之惊讶不已。”[2]104一直到1868年,黎曼的工作才使许多数学家相信,非欧几何同样是物理空间的几何。负数和复数建立的过程同样如此,数学家弗兰德(Frend)坦言:“用一个数减去比自身大的数是不可理解的,然而许多代数学家都这样做,他们称小于零的数为负数,认为两个负数相乘,其结果为正数。……他们用两个不可能存在的根使得一个方程可解,得到单位元素1,所有这些都是荒诞不经的。”[2]200集合论的故事则更广为人知,康托尔的才能在现实中得不到施展,其精神状况曾一度崩溃,转而求助于神学。然而,最后的结果大家都知道,所有这一切都没能阻止数学前进的步伐。此外,逻辑主义、元数学纲领以及集合论的公理化,都是为了更深刻地探清数学的本质,虽然其方法各有优势及局限,但这些尝试都是通往数学真理的途径。如果最初就限制其发展乃是对数学自由探索的束缚,也背离了数学自由精神的本质。

(二)数学丰富性的效力

数学自由的第二个特点表现为数学极大的丰富性:如果不接受未经数学上严格证明的一些数学概念、公理、假设等,数学和科学的好多定理和现象就得不到证明和解释,甚至好多数学分支就建立不起来,这种情况被称为数学的丰富性。任何限制数学丰富性的努力都终将不会成功。我们所熟知的直觉主义对经典数学的否定就是例证。直觉主义提出“存在即被构造”的原则,以此否认二值逻辑和排中律,从而否认经典数学。这种以人的直觉理解为基础的直觉主义逻辑排除了大量丰富的数学。显然,给数学如此多限制的直觉主义信念最终被数学家抛弃了。

同样,集合论中数学家接受选择公理的标准是它所带给数学的丰富性。“如果不采用选择公理,将会严格地限制能够被证明的定理,并且迫使人们排除许多在现存的数学中一直被认为是基础的东西。……需要选择公理才能证明的许多定理在现代分析、拓扑学、抽象代数、超穷数理论以及其他一些领域中都是基础性的定理,因此,不接受选择公理会使数学家们举步维艰。”[2]353因此,许多数学家最后决定使用选择公理。对于选择公理而言,数学家勒贝格(Lebesgue)声称“既要大胆,也要谨慎”。他坚持认为未来的发展会帮助我们做出决断。[2]275数学的丰富性成了接受选择公理的判别标准。

第三,数学在经验自然科学或解释自然现象应用中所体现的丰富性同样是激发数学自由的源泉。从古希腊数学被看作探索宇宙奥秘的钥匙一直到今天,虽然数学呈现出高度的独立性和自主性,然而,数学在自然科学中不可思议的有效性依然未得到合理解释。至今,仍有许多数学家、物理学家和哲学家相信数理同源,即数学和物理学揭示的是同一个宇宙。冯·诺伊曼(Von Neumann)声称:“无可否认,数学上某些最了不起的灵感,那些想象之中纯得不能再纯的数学部门中的最好的灵感,全部来源于自然科学。……在我看来,最能从根本上表明数学特点的事实是它和自然科学非常特殊的关系,或者更一般地说,是它和任何一种科学的非常特殊的关系。”[2]392在外尔看来,“一种真正的数学应该和物理学一样被当作是真实世界的理论结构的分支,并且我们应该用同样严肃谨慎的态度去对待其基础的扩展,就如同对待物理学的一样”。[2]433库朗(Courant)则明确宣称:“我们不能接受数学的终极标准是‘人类理性的光荣’这一陈词滥调,不允许把数学分割为‘纯的’和‘应用的’两派。它们都只能而且必须是科学的洪流中不可缺少的一股,不允许分出一条细流,让它消失在沙滩里。”[2]390就连基础主义各学派的发起者也没有否认经验证实在数学发展中所起的重要作用。从负数、复数、微积分等的创立和发展,可以清楚地看出,它们依靠的并非逻辑上严格的公理化演绎方法,相反,它们依靠的是应用,依靠的是归纳。如果按照严格的逻辑证明,这些数学概念和分支或许根本建立不起来。所以,数学的自由允许适当冒险,在这个意义上,数学和自然科学一样是尝试性的。

如前所述,数学的进程并非按照严格遵守公理化的演绎模式前进,其间充满了直觉、猜测、经验证实、富有成效的应用等等,甚至充满了各种矛盾。然而,许多数学概念、公理也正是或者依然按照这样的模式行进。虽然数学追求最严格的逻辑推理和确定性,然而自由的数学探索中无法把这些非逻辑因素全部排除,数学丰富性的效力是保持数学自由活力的重要源泉。

(三)数学客观性的追求

从数学的演进以及人们对数学持有的形而上学态度来看,无论是把数学看作揭示人类理性智力的创造性活动,还是看作一项揭示客观真理的发现事业,无论把数学看作逻辑的公理化演绎证明,还是看作归纳的经验性证实的应用,数学家们几乎都承认数学背后隐含着某种客观性,虽然他们对客观性的理解有所不同。但总体而言,数学的客观性是指,数学陈述的真假、数学证明、数学定理独立于人类的心灵、语言和约定等。换言之,即使人们对数学的实在性持有不同的看法,无论是数学实在论者(或强或弱的柏拉图主义者)、反实在论者还是一些相信数学揭示物理宇宙实在性的数学家和物理学家,他们都坚持数学具有客观性,数学的动力之一就是追求数学的客观性。

数学实在论者哈代典型地支持数学的客观性,他说:“317是一个素数,不是因为我们这么认为,也不是因为我们的心灵是以某种方式这样塑造的,而是因为它就是如此,是因为数学实在就是按照那种方式建造起来的。”[15]20数学家索托伊在承认数学是一种创造性活动的同时,坚持认为数学具有一种客观实在性:“我能写下无尽新的、原创性的定理。我能构造无穷多新的对称群。……它们都具有客观的真实性。所有这些在数学上都是真实的陈述。……我在内心里当然是一个柏拉图主义者。有一些事物确实就在那儿存在着,独立于我们的存在或我们对其想象的行为。素数、单群、椭圆曲线,就是这样的事物。并不是数学家们制造了这些事物。”[15]

数学物理学家波尔金霍恩和彭罗斯则主张数学和物理学极有可能揭示的是同一种具有客观性的实在。虽然他们都没有明确指出存在着一个独立的抽象数学世界,但他们确实承认数学揭示了某种实在,而不是人类的任意创造。波尔金霍恩断言:“如果数学实体是实在的一部分,那么人们也许可以期望数学实体存在的本体论王国并不是一个孤立的领域,与所有其他领域没有联系,而是与实在的其他方面存在微妙的关联。……很少有人怀疑物质世界的实在性;他们应该准备好考虑承认与之纠缠在一起的一种类似的数学世界的实在性。”[15]彭罗斯明显地表达了数学与物理学实在性之间的契合,他宣称:“这强烈地表明数学真理具有客观性,不仅仅是基于起源于人类文化的任意规则的某种‘游戏’。……这表明自然界在其最基本层次(这里指空间和时间的结构)的运行机制和复杂的数学理论之间令人惊奇的一致性。……自然界和复杂而优美的数学之间的一致性一直就在‘那儿’,时间上远远早于人类的出现。”[15]

一些数学反实在论者同样也为数学的客观性进行辩护。玛丽·伦(Mary Leng)主张没有理由认为存在着一个独立的数学柏拉图王国,但数学依然不是主观的,相反,它独立于数学家的约定。她论证道,“数学发现必须告诉我们有关数学实在的事情吗?我认为我们的数学定理并不对独立的数学对象的王国负责。……但是我们必须承认,我们的数学发现是靠有关逻辑推论的客观事实加固其基础的。”[15]同样,“甚至一些基础研究中的领袖人物———希尔伯特、丘奇和布尔巴基学派的成员———也坚持数学概念和性质在客观的意义上存在,并可由人类心智把握。这样,数学真理是发现的而不是发明的;进化的不是数学而是人类关于数学的知识”。[3]

通过上述分析可以看出,数学的本质在于自由。从方法论上来看,数学的创造和发展并没有统一严格的标准。直觉、猜测、构造、公理化的逻辑推导、经验性归纳、对客观真理的追求等都是激发数学创造的活力。从形而上学态度来看,数学究竟是对柏拉图数学王国的探求,还是人类理性智力的创造物,抑或是对宇宙世界的认识?截至目前,这些问题依然没有统一的答案。不可否认,数学确实是人类理性的一种智力活动。虽然这种活动进一步的目的现在依然是一个未解之谜,但数学背后显然蕴含着客观性。因此,最明智的做法是允许数学拥有最大程度的自由,因为只有这样,才不会使我们偏离通向真理、解答深刻的形而上学追问、探清数学方法论的正确航向。

结语数学和自然科学的统一:对不确定性世界的探索

腺性膀胱炎是什么病 篇8

我今年56岁。最近3个月以来,我经常出现尿频、尿急的症状。我曾去多家医院进行检查,这些医院的医生都认为我患的是“尿路感染”。但我在进行尿液检查时,却查不到白细胞,只偶尔查到了红细胞。医生让我服用多种抗菌药进行治疗,但毫无效果。请问,我患的是什么病,应如何治疗?

江西 赖思彧

赖思彧读者:

你应进行膀胱镜检查,以确诊是否患了腺性膀胱炎。腺性膀胱炎不是由细菌感染引起的,其病因尚不清楚。有些医师认为,此病是由于人们在胚胎时期出现了异常发育,在出生后其膀胱黏膜细胞出现了异常分化而引起的。近年来,腺性膀胱炎的发病率呈逐渐升高的趋势。此病属于膀胱癌的癌前期病变,其症状与普通膀胱炎相似,主要表现为尿频、尿急等排尿刺激症状及偶尔出现血尿的症状。此病患者在进行膀胱镜检查时,可发现膀胱黏膜呈片状或簇状分布,并可出现多形性、乳头状、分叶状或滤泡状的隆起。你若在进行膀胱镜检查时发现有这些情况,可直接取出膀胱内的病变组织进行病理切片检查,以明确诊断。

腺性膀胱炎患者使用抗菌药进行治疗不会有任何效果,而必须利用内窥镜,使内窥镜经尿道进入膀胱,通过电灼、激光等方式消灭病灶。在术后,此病患者还需使用丝裂霉素、吡柔比星等药物进行膀胱内灌注,以预防病情复发。