一题多解方法巧

一题多解方法巧（推荐14篇）

一题多解方法巧 篇1

做数学应用题, 老师要求我们一题多解.开始, 我想: 把题做出来就行了, `多解'不是`自找麻烦'吗?

但是, 当我按照老师的要求去做了一段时间以后, 我才感到这不但不`麻烦', 而是挺有趣.如一道比例分配应用题, 我曾找出了`归一'、`分数'、`比例分配'、`比例'四种解法.

一次数学考试, 有一道题: `黄铜中, 锌和铜的比是3∶7, 现在有87.5 公斤铜, 应加入多少公斤锌才能炼出这种黄铜? '我马上就想到: 第一步先求黄铜总重量, 第二步根据锌占的比例数求出锌的重量.除此之外, 还有没有别的解题方法呢? 我很快又想出了另一种方法: 设锌重为x 公斤, 3∶7=x∶87.5, 这样, 一步就算出了锌的重量是多少.用后一种解法, 速度快, 算得准, 能`挤'出时间来检查、验算其它的.答题.

北京市三里河三小六 (4) 班 刘燕讲 峦予记

聪聪学会了`假定法'

时钟敲了九下.

爷爷: 该睡觉了.

聪聪: 这道题还没做完, 用`逆推法'和`图示法'分析都不行.爷爷, 您说怎么办呢? 爷爷戴上老花眼镜, 仔细看题目: 甲乙两种戏票共20 张, 共用去4 元5 角.甲种票3 角, 乙种票2 角, 两种票各买了多少张?

爷爷: 这道题可以用`假定法'来分析.假定每张票价都是3 角, 20 张应付多少元?

聪聪: 一共付6 元.

(0.30x20=6.00)

爷爷: 比原来的总钱数多了多少元?

聪聪: 多了1.50 元.

(6.00-4.50=1.50)

爷爷: 为什么多算了1.50 元?

聪聪沉思了一会儿, 回答: 因为把票价是2 角的票都多算了1 角.爷爷: 2 角的票有多少张?

聪聪高兴地蹦了起来: 我会了! 我会了! 2 角的票15 张.〔1.50÷(0.30-0.20) =15〕3 角的票就是5 张. (20-15=5)

爷爷又提了一个新问题: 假定20 张票都是2 角的, 你能按上面的过程分析吗?

聪聪很快列出了算式.少年朋友, 你能用`假定法'来分析解答吗?

一题多解方法巧 篇2

例1一定量的理想气体, 由A状态沿直线AB变化到B状态, 如图1 所示, 以下说法正确的是 ()

(A) 分子平均速度增加 (B) 分子平均速度减小

(C) 变化过程中温度先降低后升高

(D) 变化过程中温度先升高后降低

(E) 气体密度增加

分析:此问题大部分学生都可以把理想气体的状态方程PV/T=恒量应用到A、B始末状态, 得出TB>TA的结论, 根据一定质量的理想气体的内能仅由温度决定的特点, 可以选择 (A) , 又依据气体的质量 (分子总数) 一定, 而体积变小的情况, 选择答案 (E) .但是 (C) 、 (D) 两答案是否正确, 大部分学生都不知道.这道题其实答案 (D) 也是正确的, 下面就此分析解题方法.

解法1: (解析法) 用数学知识, 可以求出直线AB方程是2P+3V-11=0, 则P= (11-3V) /2,

PV=[ (11-3V) /2]V= (11V-3V2) /2.当V=11/6升时, PV将有最大值.由PV/T=恒量知, 此时气体的热力学温度T也最高.所以, 给定气体的体积由A态时的3升减小到11/6升的这个过程, 从初温升到最高温度, 再由11/6升减小到B态时的1升的过程中, 又从高温降到末温.

解法2: ( 图象法) 根据PV = [ ( 11V - 3V2) /2], 取气体变化过程中的若干体积值, 算出对应的乘积PV的值见表所示, 作出气体的PV - V图象, 如图2 所示.

由图可知, 气体由A态变化到B态 ( 体积由3L减小到1L) 的过程中, 其压强和体积的乘积PV值先增加后减少. 由PV/T = 恒量, 其热力学温度先升高后降低. 这种方法直观性较强, 如果求出对应的11/6升时的PV值, 那么可以确定图2的最高点.

解法3: (等温分析法) 在P-V图上任取一状态C (为了方便比较, C点最好选在AB线的中点附近) .如图3所示, 过ABC三点分别作出三条等温线, 可见, 这三条等温所表示的温度有TC>TB>TA.若气体状态沿直线AB变化时, 此时在AD段, 因为D、B在同一等温线上, 所以温度从初温TA升高到末温TD, 在DC段中, 温度从TD升高到TC.在CB段, 温度从TC降到TB, 在这一整个过程中气体温度先升高后降低.这种方法一目了解, 十分直观, 虽然并不能直接确定最高点的温度, 但已达到解题目的.如果和解法一有机结合, 把点C选在V=11/6L时, 对应的状态点, 那么过C点的等温线就是气体变化过程中的最高温度的等温线.

二、改变过程模型, 思路解法探究

例2某质点沿x轴做匀变速运动, 第1 s内的位移为s1= + 2 m, 第2s内的位移为s2= - 4 m, 则质点的加速度a和第1 s末的速度v1分别是 ()

(A) a=-8 m/s, v1=-1 m/s

(B) a=-8 m/s2, v1=-2 m/s

(C) a=-6 m/s2, v1=-1 m/s

(D) a=-6 m/s2, v1=-2 m/s

易犯错误:根据联立解得:a=-8 m/s2, v0=6 m/s.第1 s末的速度v1=v0+at1=6-8×1=-2 m/s.

错因分析: 虽是单一的“类竖直上抛”运动, 属加速度恒定的" 减至零, 终返回" 模型, 但需概念清晰. 上述错误主要是对时间与时刻的表述不理解, 不能区分“2 s内”、“第2 s内”、“第2 秒初”与“第2 秒末”的含意.

解法1:利用匀变速运动的基本公式求解.设初速度为v0, 根据Δx=v0t+at2/2, 有s1=v0×1+a/2×12, 即2=v0+a/2, s1+s2=v0×2+a/2×22, 即-2=2v0+2a, 联立解得:a=-6 m/s2, v0=5 m/s.

根据vt=v0+at得:第1 s末的速度v1=5+ (-6) ×1=-1 m/s, 第2 s末的速度v2=5+ (-6) ×2=-7 m/s.假若质点从坐标原点出发, 则位移Δx=x-0=5t-3t2 (m) , 速度vt=5-6t (m/s) , 二者随时间t变化关系如图4甲乙所示.

解法2:利用重要推论Δs=a T2和v t/2=v珋t= (v0+v2) /2求解.注意这里Δs为相邻两段相等时间的位移矢量差.矢量差是矢量和的逆运算, 作图规则是:矢量平移, 矢尾相接, 结果等于由减数箭头指向被减数箭头.按矢量差作图规则, 位移关系如图5甲所示.在坐标系中, 如图5乙所示, 则Δs=s2-s1=-4-2=-6 m, 又T=1 s, 故a=Δs/T2=-6 m/s2.第1s末即前2 s的中间时刻, 故此刻速度.答案选 (C) .

点评: 解法2 运用重要推论, 简明快捷. 可见, 变式出技能, 延伸知识触角, 强基固本引发探究.

参考文献

[1]钱莉莉.以问题, 促效率[J].学苑教育, 2015 (6) :60.

一题多解　拓展思路 篇3

=360°.

求证：AE∥CD.

证法一：如图1，连接AC.

因为∠1+∠2+∠ABC+∠3+∠4

=360°，

又因为在△ABC中∠2+∠ABC

+∠3=180°，

所以∠1+∠4=180°.

所以AE∥CD.

证法二：如图2-1，过点B作BF∥AE，则∠A+∠1=180°.

因为∠A+∠ABC+∠C=360°，

即∠A+∠1+∠2+∠C=360°，

所以∠2+∠C=180°.

所以BF∥CD.

所以AE∥CD.

或：如图2-2，过点B作BF∥AE，则∠1=∠A.

因为∠1+∠2+∠ABC=360°，

又因为∠A+∠ABC+∠C=360°，

所以∠1+∠2=∠A+∠C.

因为∠1=∠A，

所以∠2=∠C，

所以BF∥CD.

因此AE∥CD.

证法三：如图3，在CD上任取一点F，连接AF.

因为在四边形ABCF中∠3+∠2

+∠ABC+∠C=360°，

又因为∠1+∠2+∠ABC+∠C

=360°，

所以∠1=∠3，

所以AE∥CD.

证法四：如图4，在AE、CD上分别取点F、G，连接FG.

因为在五边形ABCGF中，

∠A+∠ABC+∠C+∠1+∠2=540°（五边形内角和）.

又因为∠A+∠ABC+∠C=360°，

所以∠1+∠2=180°，

所以AE∥CD.

证法五：如图5，延长AB、DC相交于点F.

因为∠A+∠ABC+∠BCD=360°，∠BCD=∠1+∠F.

所以∠A+∠ABC+∠1+∠F=360°.

又因为∠ABC+∠1=180°，

所以∠A+∠F=180°，

所以AE∥CD.

证法六：如图6，过点C作CF交AB于点G，交EA的延长线于F.

因为∠BAE=∠1+∠F，且∠1=∠2，

所以∠BAE=∠2+∠F.

因为∠BAE+∠ABC+∠3+∠4

=360°，

所以∠2+∠F+∠ABC+∠3+∠4

=360°.

因为在△ＧＢＣ中∠2+∠ABC

+∠3=180°，

所以∠F+∠4=180°，

所以AE∥CD.

证法七：如图7，过点B作FG分别交EA、DC的延长线于点F、G.

因为∠BAE=∠F+∠1，∠BCD

=∠2+∠G，

又因为∠BAE+∠ABC+BCD

=360°，

所以∠F+∠1+∠ABC+∠2+∠G

=360°.

因为∠1+∠ABC+∠2=180°，

所以∠F+∠G=180°，

所以FE∥GD，即AE∥CD.

一题多解，曲径通幽(网友来稿) 篇4

武汉市汉南一中 张大勇

一题多解在理科学习中经常用到，而在文科学习中却殊为少见。实际上，在语文等人文学科中一题多解同样大有用武之地，试以实例证之。

阅读下面一段文言文，根据要求答题。

郡民赵颍曾为乐陵太守，八十致事归。……天宝中，郡界大水，人灾，绝食者千余家。琼普集部中有粟家，自从贷粟以给付饥者。州计户征租，复欲推其贷粟。纲纪谓琼曰：“虽矜饥馁，恐罪累府君。”琼曰：“一身之罪，且活千室，何所怨乎?”

下列句子中加点的词语的意义，与现代汉语不同的一项是：

A密走私访，别获盗者 B资产巨富，在郡多有出息

C每见则谈问玄理，应对肃敬 D人灾，绝食者千余家

解法一：从词语本身着眼，抓语素，断词义。“私访”与“密走”相参照，“私”即“密”，“访”即“走”，合义“私下走访”古今无差异;“资”义“资财”，“产”义“产业”，“资产”为“资财产业”之义，古今同义;“应”与“对”均“答”义，“应对”一词今使用频率仍高，义未变;“绝”乃“断绝”义，“食”乃“饮食、食物”义。“绝食”文中义为“断绝食物”，今“绝食”字面义仍如此。但是，词义的范畴除了词语的文面意义外，还包含色彩、倾向等附加意义。今“绝食”的附加意义多表示抗议或自杀，此义于文中显然不合，故答案应选D。

解法二：立足文本，语境释义。可以将四个选择肢还原到文本之中，瞻前顾后，左右钩连，以境现义。“绝食者千余家”之前，有“郡界大水，人灾”之语，显然，食物断绝的原因是“天灾”，“千余家”是受害者;今之“绝食”当事者多是有目的、主动的，而非被动承受，“绝食”在这一点上古今差异是很明显的，故亦可断定答案应选D。

解法三：从答题技巧方面寻求答案。单选题答案具有唯一性和排他性，四个选项中只要对其中任何三项作出判断，整题的答案实际已明确。就本题而言，选择肢前三项相对容易判断，第四项即使拿不定主意，也无关大局，答案业已敲定(当然，第四项如能搞清楚心里会更有把握)。

上例一题多解主要是从单一角度着眼的，或从选项本身入手，或从文本本身入手，或从选择技巧方面入手。若在一题多解过程中作通盘考虑，灵活地借助多角度、多途径的结合，将使同一问题的解决呈现更广的思路，更多的.形式。仍以试题说明之。

依次填入下列两句中横线处的语句，与上下文连贯、音节和谐的一组是：

(1)每逢深秋时节， 松竹山茶，色彩绚丽，美景尽览。

(2)远眺群山环抱，近看小河流水，茶园葱绿，松竹并茂。

①置身山顶，俯瞰槐榆丹枫， ②置身山顶俯瞰，槐榆丹枫，

③白云缭绕，层林叠翠; ④层林叠翠，白云缭绕;

A①③ B①④ C②③ D②④

解法一：语意和音韵相结合求解。题目所给出的两句话尽管不完整，但从其局部字数相等、句式对称等特征判断，这两句应是整句。整句除在字数、句式方面有要求外，还要求音韵和谐，而音韵和谐常常表现为两个方面：一是音节协调，二是合辙押韵。以这样的标准来审视这两句，第一句，应填入“置身山顶俯瞰，槐榆丹枫”，这样，“置身山顶俯瞰”与“每逢深秋时节”均为六字，“槐榆丹枫”与之后的“松竹山茶，色彩绚丽，美景尽览”均为四字，前后不仅字数整齐，句式对称，而且“瞰”“览”押韵，语句畅通。第二句，若填入“白云缭绕，层林叠翠”，则全句的韵脚分别是“抱”、“翠”、“水”、“茂”，押韵不好;若填入“层林叠翠，白云缭绕”，韵脚则变为“抱”、“绕”、“水”、“茂”，音韵和谐，表达流畅。综上，答案应选D。

解法二：语意和逻辑相结合求解。第一句，可抓住结尾处“美景尽览”四字作点文章。空白处若填入“置身山顶，俯瞰槐榆丹枫”就会出现一个问题，“俯瞰槐榆丹枫”是一动宾短语，强调的是动作，这样，它就与收束全句的“美景”产生抵触，即“俯瞰槐榆丹枫”不是“美景”--“槐榆丹枫”才是“美景”;另从语意上看，“俯瞰槐榆丹枫”与“美景尽览”雷同，有必要让“俯瞰”与“槐榆丹枫”脱离接触，在大的意义上让“俯瞰”与“尽览”、“槐榆丹枫”与“美景”产生照应。第二句，从小河、茶园、松竹的地理位置判断，近看的空间顺序是由低到高，根据整句对称的特点，远眺的顺序也应如此，这样才合逻辑。至此，答案已水落石出。

解法三：音韵和逻辑相结合求解。

解法四：句式和逻辑相结合求解。

三、四两种解法实质上是一、二两种解法的分拆重组，不赘述。多管齐下式的一题多解能够在短时间内找到问题的突破口，并能提高答案的正确系数。

通过以上两例不难看出，语文试题一题多解的运用面相当宽广，一题多解的方式、角度也是相当灵活多样的。语法、修辞、逻辑、文本以及题目本身透露的要求、暗示等均可作为一题多解的凭借，视具体情形，可选择单用或联用。

一题多解益处多多，首先有利于培养应变能力和立体审视问题的能力。“能力立意”已成为各类考试命题的指导思想，有备方能无患，备考只有以能力为本，才能以不变应万变。事实证明，有意识地进行一题多解的训练是提高备考含金量、特别是能力含金量的便捷途径。其二，有利于知识的整合，可以打通各种知识、各种能力的关联。一题多解往往需要全方位调动诸种知识和能力，知识和能力的分拆、联用、换位等经常被用到，一题多解的过程既是知识得以梳理、能力重新整合的过程，又是知识、能力水准得到融合提升的过程。其三，有利于培养处变不惊、出奇制胜的心理品质和宽广的视野。

一题多解方法巧 篇5

问题背景:数学相对于其他学科来说具有抽象、逻辑性强的特点，而小学生又以形象思维为主，所以有很多学生觉得数学枯燥，对数学不感兴趣。因而在学习了比例尺这一单元后，我想借助比例尺与分数应用题、比之间的联系，编一道一题多解的应用题，以此为契机使学生体会到数学的博大精深与奥妙无穷，进而激发学生学习数学的兴趣。

解决问题过程:甲、乙两地的图上距离是4厘米，比例尺是1:3000000，求实际距离是多少千米？

请同学们先自己做，然后小组合作交流，看哪个小组用的解题方法多？学生先是自己冥思苦想，继而小组成员热烈讨论，最后小组代表积极发的言，最终经过全班同学通过的有以下5种方法: 第一种:根据比例尺的定义用方程解。解:设甲、乙两地的实际距离是X厘米。4:x=1:3000000 x=4X3000000 x=12000000 12000000厘米=120千米

这种方法是根据比例尺的意义列出的方程，同学们都能列出。第二种方法:把1:3000000写作:1/3000000，这样单位“1"就是实际距离，根据分数应用题的意义列式为: 4÷1/3000000=4x3000000=12000000厘米=120千米

这种方法是把比例尺这个比转化为分数，进行及计算。成绩较好的学生能想出来，在小组合作探究环节，中下游的学生能够理解这种算法。第三种:根据比例的分配，列式为: 4÷1X3000000=12000000厘米=120千米

这是六年级上册学习的内容，有部分学生想不到，只要小组交流时有学生提出这一方法，大部分学生立刻能理解的。

第四种:因为图上距离:实际距离=比例尺，也就是图上距离÷实际距离=比例尺，（因为两个数相除又叫两个数的比，比与除法是有联系的），根据除数（实际距离）=被除数（图上距离）÷商（比例尺），列式为: 4÷1/30000000=4x3000000=12000000厘米=120千米 这种方法与第二种方法列式一样，但式子意义讲解不同。这一方法想出来的学生比较少，衔接有点复杂，但不难理解。第五种:把数值比例尺转化为线段比例尺。

3000000厘米=30千米(表示图上1厘米代表实际距离30千米)30X4=120千米。

这一方法是发散思维能力较强的学生想出来的方法。

这节课不论是小组交流还是全班交流都十分热烈，不时迸发出来的方法，让学生感到惊奇，同学的讲解又让他们产生了恍然大悟的感觉。于是学生在一次次的惊奇与恍然大悟中体悟到了数学的无穷奥妙。下课铃响了，学生们还意犹未尽，我听到他们又开始讨论那种方法容易理解，那种方法计算简洁。

课下反思：我真没想到“一题多解”学生们分析的这么深刻，我觉得这道题的设计有以下意义:

1、复习了旧的知识（分数应用题、比、比例分配、除法），巩固了新知识（比例尺）。

2、学生们搭建起了新、旧知识联系的桥梁。（比例尺就是比，比可以转化成分数，也可以转化成除法）

3、锻炼了学生运用旧知识解决新问题的能力，培养了学生发散思维能力。

4、激发学生求知的欲望。

5、使学生认识到合作探究的意义，因为任何一个人不可能想出这么多解题方法，合作探究，使每个小组的同学群策群力，达到了事办功倍的效果。

6、最大的意义是学生体会到了数学的奥妙，激发了孩子们学习数学的兴趣。

一题多解方法巧 篇6

(2)修一条长千米的水渠，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩多少千米没有修？

(3)修路队修一条公路,完成了全长的后,离中点还有16.5千米,这条公路长多少千米?

(4)两辆汽车同时从两地相对开出, 小时相遇,甲车每小时行138千米,乙车的速度比甲车慢6千米,两地相距多少千米?

(5)两个工人加工机器零件, 甲每小时加工48个,乙每小时加工的个数只有甲的, 两人一起工作4小时可以加工零件多少个?

六年级数学(一题多解)练习成绩____________(1)师徒二人加工机器零件, 徒弟每小时加工24个, 师傅每小时加工的比徒弟多,两人一小时共加工零件多少个?

(2)自行车厂有工人1312个,其中是女工,女工比男工少多少人?

(3四年级学生植树329棵,比五年级少,五年级学生比四年级多植树多少棵?

(4)甲乙两个商店出售电视机,甲商店售出980台,比乙商店多售出,甲商店比乙商店多售出多少台?

(5)食堂去年计划烧煤240吨,实际只烧了180吨,节约了百分之几?

六年级数学(一题多解)练习成绩____________(1)机床厂计划五月份生产32台机床,改革后,实际生产机床44台,超产了百分之几?

(2)制鞋厂六月份计划生产鞋25000双,实际比原计划多生产5000双,增产百分之几?

(3)300千克蓖麻子榨出蓖麻油135千克,蓖麻的出油率是多少?

(4)红星村前年水稻每公顷产量是51200千克,去年亩产量比前年增产15%,去年水稻每公顷产量是多少千克?

(5)胜利小学五年级学生有84人,四年级学生比五年级多25%,这个学校四.五年级共有学生多少人?

六年级数学(一题多解)练习成绩____________（1）胜利小学五年级学生有84人，四年级学生有比五年级多25%这个学校四无年级共有学生多少人？

（2）修 一条长1400米的.水渠，第一天修了全长的25%，第二天修了全长的60%，第二天比第一天多修了多少米？

（3）有一份稿件单独一个人抄，甲要15小时抄完，乙要18小时抄完，两人合抄3小时后，没抄的部分占这份稿件的几分之几？

（4）一块地，用第一台拖拉机6小时可以耕完，如果用第二台拖拉机小时可以耕完，两台拖拉机一起耕了1小时30分，这块地还剩几分之几没有耕？

（5）修一段路，单独修，甲队需10天完成，乙队需8天完成，两队合修几天修完？

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______________________班

班

一题多解 篇7

例 如图1所示的电路, 两只小灯泡 L1、L2分别标有“6V 3W”和“4V 2W”, 电源电压不变。当只闭合开关 S1, 滑片 P 滑到变阻器的中点时, L1恰能正常工作;当只闭合开关 S2, 滑片 P 滑到变阻器的 b 端时, L2恰能正常工作。求电源电压和滑动变阻器的最大阻值。

分析:设电源电压为 U, 滑动变阻器的最大阻值为 R。

(1) 当只闭合 S1时, 等效电路如图2, 此时 L1与undefined串联, L1两端的电压为额定电压6伏, 电流为正常工作的电流 Iundefined, 电阻 Rundefined, 总电阻 R总undefined。

(2) 当只闭合 S2时, 等效电路如图3所示, 此时 L2与 R 串联, L2两端的电压为额定电压4伏, 电流为正常工作的电流

Iundefined, 电阻 Rundefined, 总电阻 R总=Rundefined。

下面根据串联电路的特点、欧姆定律、电功率的有关知识采用多种方法求解, 以培养同学们综合运用知识分析问题和解决问题的能力。

解法1 电流法 利用串联电路的电流处处相等, 根据图2, 图3可得方程组:

undefined

解之得:U=8V, R=8Ω。

解法2 电压法 利用串联电路总电压等于各部分电压之和, 且电源电压不变。列出等式:

undefined (Rundefined, U=IR

解之得:U=8V, R=8Ω。

解法3 电阻法 利用滑动变阻器接入电路中的电阻列出等式:

undefined

解之得:U=8V, R=8Ω。

解法4 利用欧姆定律 Iundefined列出方程组:

undefined

解之得:U=8V, R=8Ω。

解法5 功率法 利用电功率列出方程组, 由P=UI,

I=U/R得:

undefined

一题多解，开拓思维 篇8

【题目】学校六（5）班有学生56人，女生人数是男生人数的 ，男生有多少人？

【解法一】列方程解答。

【解法二】按比例分配的方法解答。

【解法三】按一般分数应用题解答方法解答。

解法三中的后两种思路复杂一点，同学们平时解题一般只会采用前一种思路，但我通过对多种解题方法的揣摩，不仅对以前所学的知识有了更深的理解，而且开拓了自己的思维。

（指导教师 周 艳）endprint

老师经常教导我们，用多种方法解答同一道数学题，不仅能更好地掌握和运用所学知识，而且能够培养我们的创造性思维能力。下面就是我对一道题的多种解法。

【题目】学校六（5）班有学生56人，女生人数是男生人数的 ，男生有多少人？

【解法一】列方程解答。

【解法二】按比例分配的方法解答。

【解法三】按一般分数应用题解答方法解答。

解法三中的后两种思路复杂一点，同学们平时解题一般只会采用前一种思路，但我通过对多种解题方法的揣摩，不仅对以前所学的知识有了更深的理解，而且开拓了自己的思维。

（指导教师 周 艳）endprint

老师经常教导我们，用多种方法解答同一道数学题，不仅能更好地掌握和运用所学知识，而且能够培养我们的创造性思维能力。下面就是我对一道题的多种解法。

【题目】学校六（5）班有学生56人，女生人数是男生人数的 ，男生有多少人？

【解法一】列方程解答。

【解法二】按比例分配的方法解答。

【解法三】按一般分数应用题解答方法解答。

解法三中的后两种思路复杂一点，同学们平时解题一般只会采用前一种思路，但我通过对多种解题方法的揣摩，不仅对以前所学的知识有了更深的理解，而且开拓了自己的思维。

一题多解 学以致思 篇9

工作用不到的知识，就不应该学吗？我认为，有类似疑问的人，他们把学习的目的搞错了，他们把学习目的唯一地设定为获得知识和应用知识，忘了学习还有其他重要的目的：获得能力，掌握思考问题、解决问题的方法，领悟人生哲理。为了让学生明白这些道理，我试着从试题中挖掘一些一题多解类型的例题，提出有助于学生各种思维习惯形成的解题方法，传教给学生，让他们从中学会思考，收到了较好的效果。

【例】 将KCl和KBr的混合物13.4g溶于水配成500mL溶液，再通入过量的Cl2反应后，将反应混合物蒸干得固体11.175g。则原来所配溶液中K+、Cl-、Br-物质的量浓度之比为（ ）。

A.2∶1∶1 B.3∶2∶4 C.4∶4∶2 D.4∶5∶2

这一题，有三种解题方法，可以分别培养学生运用三种不同的思维方式。

解法一：见招拆招法，即利用题中所给数字，依据题中给出的关系，列式解答。题中要求原来所配溶液的K+、Cl-、Br-物质的量浓度之比，只要求出氯化钾、溴化钾物质的量即可。

解：设氯化钾、溴化钾物质的量分别为n（KCl）和n（KBr）

根据KCl和KBr的混合物总质量为13.4g这一关系，可列出等式：

74.5n（KCl）+119n（KBr）=13.4 ①

通入过量氯气，KCl不反应，而KBr与氯气反应，生成氯化钾和溴单质，所得固体蒸干后只留下氯化钾，总质量为11.175g，由此可列出等式：

[74.5n（KCl）+74.5n（KBr）]=11.175 ②

联立以上①②等式，可求出n（KCl）=n（KBr）=0.05mol

所以n（K+）=n（KCl）+n（KBr）=0.1mol，n（Cl-）=n（Br-）=0.05mol，又因为溶液体积都为500mL，所

以K+、Cl-、Br-物质的量浓度之比为2∶1∶1，选答案A。

这种按部就班式的解题方法，思维严谨，可靠性强，最终都会得出答案，但计算过程复杂，解题花的时间较多，解题没有创造性，常常违背出题者的初衷。习惯于这种解题方式的人，工作时多数会按部就班，脚踏实地，原则性强，上级领导叫干什么就干什么，这种类型的人适合做公司职员、办事员、各种生产线上的工人。

解法二：综合思维解题法，即抛开题给关系，针对题目或采用逆向思考，或采用综合分析，或根据守恒关系等等，找出题中隐含的关系，用最简便的方法，解出答案。隐性关系可能有很多，像这题，隐藏了离子守恒关系，还有差量关系，找出这两个关系其中之一就可列式求解。以下以离子守恒关系为例解题：

解：溶液为电中性，所以阳离子所带正电荷的总量等于阴离子所带负电荷的总量，可得出n（K+）=n（Cl-）+n（Br-），对照选项只能选A。

这种方法，列式简单，计算容易，用这种方法解题常常会收到事半功倍、四两拨千斤的效果。但题目中隐含的这种关系，如果能力不到或者没有这样的思维习惯，或没有相关的基础知识，盲目去找，常因不得其法，以失败告终。

如能长期进行此类解题训练，形成这种逆向思维，能从大量的表象中找出别人看不见、不注意的隐蔽关系，把复杂问题简单化、艰难问题容易化，就能事半功倍，出奇制胜。这样的人才，在各行各业中都是出类拔萃、左右时势的时代天子，他们最终都会成为单位领导或者公司总裁、各行业的决策者。

解法三：投机取巧法，指的是利用选择题答案的特殊性、唯一性，果断判断，得出答案。在这题中，KCl和KBr混合物里物质的量最多的就是K+，对照答案，K+是最多量的就只有A了，所以本题答案为A。

这种方法，需要选择的答案中有特殊的唯一性即与其他答案不同的特性。当然，不是每一道题都会有这样的选择机会，有时一套题或者几套题都不会有这样的题目，但是有这样思维的人，一旦有这样的题出现，他就能够把握机会，轻松解答。在社会中，有这样思维习惯的人的成功事例很多，如蒙牛乳业集团从创建到成为全国乳业第一，只用了六年时间，创造出了举世瞩目的“蒙牛速度”和“蒙牛奇迹”。他们用的就是广告起家的方法，而不是传统的建厂买设备先生产再销售的路子，结果创造了奇迹。习惯这一方法的人适合在商海里拼搏，机会一旦出现就能出奇制胜，创造出辉煌。

一题多解, 开阔解题视野 篇10

【例】 如右图, 在平面直角坐标系中, ⊙M与x轴交于A、B两点, AC是⊙M的直径, 过点C的直线交x轴于点D, 连接BC, 已知点M的坐标为$(0‚\sqrt{3})$, 直线CD的函数解析式为$y=-\sqrt{3}x+5\sqrt{3}.$

(1) 求点D的坐标和BC的长;

(2) 求点C的坐标.

分析:点D的坐标容易由$y=-\sqrt{3}x+5\sqrt{3}$与y=0组成方程组解之得D (5, 0) , 而第 (2) 问求点C的坐标, 可以转化为求线段BC与OB的长, 而通过观察只要求出BC的长, 便可以通过直线DC的解析式$y=-\sqrt{3}x+5\sqrt{3}$求出点C的横坐标, 因此如何求出线段BC的长是本题解题之关键, 求BC的长可以考虑以下几种途径.

解法一 (三角形中位线定理的运用)

∵y轴过圆心且与AB垂直, AC为⊙M的直径,

∴OA=OB, MA=MC,

∴OM为△ABC的中位线, $\therefore BC=2{\rm O}{\rm M}=2\sqrt{3}.$

解法二 (勾股定理的运用)

设点C的坐标为$C(a,-\sqrt{3}a+5\sqrt{3})$,

在Rt△AOM中有OA2+OM2=AM2,

$\begin{array}{l}\text{在}\text{R}\text{t}△ABC\text{中}\text{有}AC{}^2=AB{}^2+BC{}^2.\\ \therefore A{\rm M}=\sqrt{a{}^2+3}‚AC=2\sqrt{a{}^2+3}‚\\ \therefore 4(a{}^2+3)=4a{}^2+(-\sqrt{3}a+5\sqrt{3}){}^2‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{解}\text{得}a{}_1=7(\text{舍}\text{去})‚a{}_2=3.\\ \therefore BC=-\sqrt{3}\times 3+5\sqrt{3}=2\sqrt{3}.\end{array}$

解法三 (面积法的运用1)

连接CO.∵M为AC的中点,

∴S△AOM=S△COM.

∵O为AB的中点, ∴S△AOC=S△BOC.

∴2S△AOM=S△BOC.

设B的坐标为B (a, 0) ,

$\therefore 2a\cdot \sqrt{3}=a\cdot BC.\therefore BC=2\sqrt{3}.$

解法四 (面积法的运用2)

连接CO、BM.

∵AC为⊙M的直径, ∴CB⊥AB.

又x轴⊥y轴, ∴OM//BC.

∴S△MOC=S△MOB.

∴S△MOC+S△AOM=S△MOB+S△AOM,

$\begin{array}{l}\text{即}S{}_{△A{\rm O}C}=S{}_{△AB{\rm M}}‚\\ \therefore \frac{1}{2}A{\rm O}\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot {\rm O}{\rm M}.\end{array}$

设点B的坐标为B (a, 0) ,

则有$a\cdot BC=2a\cdot \sqrt{3},\therefore BC=2\sqrt{3}.$

解法五 (相似三角形性质的运用)

∵AC为⊙M的直径, ∴CB⊥AB.

又x轴⊥y轴, ∴OM//BC.

$\begin{array}{l}\therefore \angle A{\rm M}{\rm O}=\angle ACB‚\angle A{\rm O}{\rm M}=\angle ABC=90°.\\ \therefore △A{\rm O}{\rm M}\backsim △ABC.\\ \therefore \frac{{\rm M}{\rm O}}{BC}=\frac{A{\rm M}}{AC}‚\text{即}\frac{\sqrt{3}}{BC}=\frac{1}{2}.\end{array}$

$\therefore BC=2\sqrt{3}.$

解法六 (构造全等三角形)

过点C作CN⊥y轴, 垂足为N.

∵x轴⊥y轴, ∠ABC=90°,

∴四边形NOBC为矩形.

$\begin{array}{l}\therefore CB={\rm O}{\rm N}.\\ \because {\rm M}A={\rm M}C‚\angle A{\rm M}{\rm O}=\angle C{\rm M}{\rm N}‚\\ \angle C{\rm N}{\rm M}=\angle A{\rm O}{\rm M}=90°‚\\ \therefore △A{\rm O}{\rm M}≌△C{\rm N}{\rm M}.\\ \therefore {\rm O}{\rm M}=\frac{1}{2}{\rm O}{\rm N}=\sqrt{3}.\\ \therefore BC={\rm O}{\rm N}=2\sqrt{3}‚\text{这}\text{样}\text{点}C\text{的}\text{纵}\text{坐}\text{标}\text{为}y=2\sqrt{3}‚\end{array}$

$\therefore 2\sqrt{3}=-\sqrt{3}x+5\sqrt{3}.$

解得x=3, ∴点C的坐标为$C(3‚2\sqrt{3}).$

一题多解与思维培养 篇11

一、一题多解, 培养思维的发散性

所谓思维的发散性是指沿着不同的方向和不同的角度来思考同一问题, 并且从多方面寻求多样性答案的展开性思维方式.数学习题, 浩如烟海, 即使昼夜运算, 也难以完成.在数学教学中, 如果能选择典型例题, 巧妙地进行一题多解, 这样既省力省时, 起到了事半功倍的效果, 同时又大大地培养了学生思维的发散性.

例1求函数y=s2-cinxos x的最大值和最小值.

解法一利用三角函数的有界性来解.

因为2y-ycos x=sin x, 故2y=sin x+ycos x.

解法二利用变量代换, 转化为有理分式函数求解.

令2-cos x=t, 则sin2 x=-t2+4t-3 (1≤t≤3) .

故, 即 (y2+1) t2-4t+3=0在区间[1, 3]内有解.

解法三利用复数知识转化为辐角正切值求解.

令z=2-cos x+isin x, 则y是z的辐角的正切值, 而z是圆 (x-2) 2+y2=1上的动点, 故z的辐角的正切值的范围是.

该例题分别利用三角函数、分式函数、复数等相关知识多角度求解, 拓宽了思路, 克服了思维定式, 培养了学生思维的发散性.

二、一题多解, 培养思维的创造性

所谓思维的创造性, 是人类高级的心理活动, 是指带有创见性的思维.即人们通过思维不仅能揭示客观事物的本质的内在联系, 而且在此基础上能产生出新颖的、独特的东西, 至少是以前在思维中缺少的东西.在数学教学过程中, 对于同一道例题, 如果教师能正确引导学生多角度、多途径地去分析、思考, 从而寻求多种解法, 这样不仅可使学生思路开阔, 思维活跃, 从而产生出新颖的、独特的东西, 而且对培养学生思维的创造性有着积极的推动作用.

例2求.

解法一先引导学生将无理式通过三角函数代换为有理式, 然后积分.

设x=sec t, 则dx=sec t·tan tdt

解法二再引导学生利用配方的方法进行积分.

解法三最后再引导学生利用倒置变换法进行积分.

通过前三种普通常用积分方法的学习, 这时就会有学生提出:是否可以直接令, 于是就产生了第四种解法, 它是一种新颖的、独特的解法.

该例题在常用解题方法的基础上产生新颖的、独特的解法, 因此较好地培养了学生思维的创造性.

三、一题多解, 培养思维的广阔性

思维的广阔性是指思维活动作用范围的广泛和全面的程度.在数学教学过程中, 对于同一道例题, 如果教师能正确引导学生全面地分析问题、多方位地思考问题、多角度地研究问题, 并对该例题的特征、函数关系进行重新分析, 作出更为广泛的联想, 使用不同的处理方法进行一题多解, 这样对于培养学生思维的广阔性有着重要的指导意义.

例3求.

解法一因该极限是“”型不定式, 多次尝试罗必塔法则, 可得下列解法:

解法二在上述解题过程中, 当两次使用罗必塔法则后, 分析函数的结构, 再联想到极限四则运算法则, 不难得到下列解法:

解法三在法一的解题中, 当第一次使用罗必塔法则后, 分析函数的结构, 再联想到三角恒等式, 于是可得下列解法:

该例题在解题过程中, 在使用罗必塔法则的同时联想到极限四则运算法则、三角恒等式的相关知识, 得到三种不同的解法, 这对培养学生的思维广阔性起着十分积极的作用.

参考文献

[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社, 1997 (6) .

一题多解灵活运用 篇12

1 运用不同的定律和定理

例1 质量为M的长木板，正以速度v0沿倾角为θ的斜面匀速下滑.现将一质量为m的木块，无实速度地放到木板的前端，经一段时间后，如图1所示，木块与木板以某一共同速度沿斜面匀速下滑.设木块与木板间滑动摩擦系数为μ1.问：（1）木块从放到木板上到相对木板静止所经过的时间？（2）木块相对木板滑行的最大距离？

分析 这类题型常常是出现在解决问题时所应用不同的定律和定理之间存在内在关系，下面列出学生平时容易解错的答案.

错解分析 ①（2）式中的am应改为am=gsinθ+μ1gcosθ.受结论的影响产生“负迁移”，所以没有认真分析M和m的受力情况.②没有分别算出两物体对同一惯性系的位移，再对两物体分别列动能定理，因此错误的得到式（4）.

正确解法1 应用牛顿第二定律和运动学公式求解.由放m之前木板匀速下滑可知.

①μ=tanθ.其中μ是木板和斜面间的摩擦系数.②放m之后，m和M重力下滑分量的和与木板与斜面间的摩擦力相等.所以m和M体系的总动量是守恒的.

由于达到共同速度之前m慢于M向下滑，因此m受到的摩擦力沿斜面向下，它给M的摩擦力沿斜面向上.所以am=gsinθ+μ1gcosθ （2）.此加速度am的方向沿斜面向下.由于M最初匀速下滑，所以可判断放m以后，M减速下滑.故aM的方向沿斜面向上.

正确解法3 应用相对运动求解.设沿斜面向上为正方向，选M为参照物，m的相对初速度为v0，相对末速度为零（因为两者达到共同速度），相对加速度为a=-（am+aM）负号表示与正方向相反，设相对位移为Δs，则

2 借助图象运用分析法解题

题目2 如图3，杆1和杆2的夹角为θθ，各沿垂直于杆自身的方向分别以速度v1和v2匀速平动.求交点O的速度.

解法2 分步法.

（1）设杆1不动，杆2以速度v2垂直于杆2自身平动，杆1和杆2交点速度v2′方向沿杆1向右，此速度可看成两速度的合成，一是沿垂直于杆2的速度v2，另一速度杆2向上，如图5，则交点速度v2′=v2/sinθ.

（2）设杆2不动，杆1以速度v1垂直于杆1自身平动，如图6，仿照第一步可求出交点速度v1′=v1/sinθ.

（3）杆1和杆2都动时，交点速度v是v1′和v2′的合成，如图7所示.

一题多解探求函数的值域 篇13

函数的值域是函数三要素之一, 求函数的值域是高中数学中的一个重点、难点, 也是高考、竞赛的热点, 但如何求函数的值域, 课本没有给出系统的介绍, 现通过对一道例题的剖析, 探讨求函数的值域的十种常用方法.

例题 求函数$y=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$的值域 (2009年安徽省江南十校测试题)

思路1:导数法 设$f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$, 于是$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}},$

由f ′ (x) =0, 得$x=\frac{1}{2}$, 因为$0\le x\le 1,f(0)=f(1)=1,f(\frac{1}{2})=\sqrt{2}$

所以$f(x){}_{\max }=\sqrt{2},f(x){}_{\min }=1$, 故f (x) 的值域为$[1,\sqrt{2}]$

注:闭区间上的连续函数有最大值也有最小值, 而导数法是求函数最值的常用方法, 因而也是求函数值域的常用方法.

思路2:换元法 因为0≤x≤1, 故可设

$x=\sin {}^2\theta ,\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$

于是原函数可变成

$y=\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$

因为$\frac{\pi }{4}\le \theta +\frac{\pi }{4}\le \frac{3\pi }{4}$, 所以$1\le y\le \sqrt{2}.$

注:通过换元, 可以达到化繁为简, 化难为易的目的, 但应注意换元前后的等价性.

思路3:不等式法 因为$\sqrt{x}\ge 0,\sqrt{1-x}\ge 0$, 应用

$(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{1-x}}{2}){}^2\le \frac{(\sqrt{x}){}^2+(\sqrt{1-x}){}^2}{2}$

$=\frac{1}{2}$得$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\le \sqrt{2}$, 当且仅当$\sqrt{x}=\sqrt{1-x}$即$x=\frac{1}{2}$时取等号, 同时注意到$y{}^2=1+2\sqrt{x(1-x)}\ge 1(x=0$或x=1时取等号) , 又y>0, 故$1\le y\le \sqrt{2}.$

注:应用不等式法要注意条件为“一正”、“二定”、“三等”缺一不可.

思路4:向量法 令$\overrightarrow{a}=(1,1),\overrightarrow{b}=(\sqrt{x},\sqrt{1-x})$, 由$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\le |\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|$知$1\cdot \sqrt{x}+1\cdot \sqrt{1-x}\le \sqrt{1{}^2+1{}^2}\cdot \sqrt{(\sqrt{x}){}^2+(\sqrt{1-x}){}^2}=\sqrt{2}$, 即$y\le \sqrt{2}$, 当且仅当$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向, 即$\sqrt{x}=\sqrt{1-x},x=\frac{1}{2}$时取等号, 又y≥1, 所以$1\le y\le \sqrt{2}.$

注:构造向量利用$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\le |\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|$, 往往可使问题简化, 但要注意等号成立的条件是$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$方向相同.

思路5:反解法 由$y=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$反解得$\sqrt{x(1-x)}=\frac{y{}^2-1}{2}$, 因为0≤x≤1, 所以$0\le \sqrt{x(1-x)}\le \frac{x+1-x}{2}=\frac{1}{2}$, 当x=0或1时左边等号成立, 当x=1-x即$x=\frac{1}{2}$时, 右边等号成立, 于是$0\le \frac{y{}^2-1}{2}\le \frac{1}{2}$, 所以1≤y2≤2, 又y>0, 所以$1\le y\le \sqrt{2}.$

注:此法应用范围很广, 把函数变成f (x) =g (y) 的形式, 通过f (x) 的范围求y的值域.

思路6:配方法 函数$y=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$可变成

$\begin{array}{l}y=\sqrt{(\sqrt{x})+\sqrt{1-x}){}^2}=\\ \sqrt{1+2\sqrt{-(x-\frac{1}{2}){}^2+\frac{1}{4}}}\end{array}$

, 因为0≤x≤1, 所以$\sqrt{-(x-\frac{1}{2}){}^2+\frac{1}{4}}\in [0,\frac{1}{2}]$, 于是

$1\le y\le \sqrt{2}$

注:此法适合于二次函数或变形后为二次函数的形式, 配方法可以使自变量x归一.

思路7:判别式法 因为y>0, 所以$y{}^2-1=2\sqrt{x-x{}^2}$于是

4x2-4x+ (y2-1) 2=0 (*)

令F (x) =4x2-4x+ (y2-1) 2, 因为

F (0) =F (1) = (y2-1) 2≥0

所以方程 (*) 在[0, 1]上有实数解的充要条件是Δ≥0

所以16-16 (y2-1) 2≥0, 又y2-1≥0, 所以0≤ y2-1≤1, 又y>0, 所以$1\le y\le \sqrt{2}.$

注:判别法适合于二次函数或变形后为二次函数的形式, 要注意二次函数形式中未知数x的取值是否有条件限制.

思路8:单调性法 因为y>0, 所以y与y2的单调性相同, 而

$\begin{array}{l}y{}^2=1+2\sqrt{-(x-\frac{1}{2}){}^2+\frac{1}{4}}(0\le \\ x\le 1)\end{array}$

在$[0,\frac{1}{2}]$上增, 在$[\frac{1}{2},1]$上减, 从而$y=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$在$[0,\frac{1}{2}]$上增, 在$[\frac{1}{2},1]$上减.

故当$x=\frac{1}{2}$时, $y{}_{\max }=\sqrt{2}$, 又x=0或x=1时y=1为最小.所以$1\le y\le \sqrt{2}.$

注:若函数的单调性不明显可以通过变形, 转化为容易判断单调性的另一函数. (当然也可以利用导数、单调性性质、定义等其他方式判断) 从而求出函数的值域.

思路9:数形结合法

令, 于是

u、v∈[0, 1].问题转化成圆弧u2+v2=1 (u≥0, v≥0) 与直线v+u-y=0有公共点时, 求y的取值范围, 如图1当动直线v+u-y=0过A (0, 1) 点时, 直线在v轴上截距y取最小值为1, 当直线与圆弧相切时, 直线在v轴上的截距y取最大值为$\sqrt{2}$.故$1\le y\le \sqrt{2}.$

注:数形结合法是中学数学中一种重要的思想方法, 要养成见数想形的好习惯, 借助形象思维认识处理问题.

思路10:构造法 如图2, 作以AB为直径的半圆, 在半圆上任取一点C, 设$AC=\sqrt{x}$, 则$BC=\sqrt{1-x}$, 于是y=AC+BC, 显然y随C点的变化而变化, 当C在A或B点时, y最小=AB=1, 当C位于$\stackrel{⌢}{AB}$中点时, $AC=BC=\frac{\sqrt{2}}{2}‚y{}_{\text{最}\text{大}}=\sqrt{2}$, 于是$1\le y\le \sqrt{2}.$

注:构造图形直观明了, 但有一定的难度需要认真研究函数的特点.

一题多解 巧求逆矩阵 篇14

例求矩阵A=21201的逆矩阵

分析一：矩阵A对应一个几何变换，只要找出它的逆变换，就可以根据逆变换写出逆矩阵．

解1：矩阵A对应的几何变换为：将平面上的向量（点）保持纵坐标不变，而将横坐标变为原横坐标的2倍并依纵坐标的12增加，即(x,y)→(2x+12y,y)的几何变换，因此它的逆变换为：将平面上的向量（点）保持纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的12并依纵坐标的14减少，即(x,y)→(12x－14y,y)，∴A－1=12－1401

点评：利用几何变换法求解逆矩阵，首先要找准逆变换，再写逆矩阵，该题中的逆变换易认为是：将平面上的向量（点）保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的12减少，再变为原来的12．导致求解错误，故对几种基本几何变换要熟练掌握，需谨慎对待．

分析二：设矩阵A的逆矩阵为A－1=abcd，由矩阵乘法并根据可逆矩阵定义得到一个方程组，进而解出a,b,c,d的值．

解2：设矩阵A的逆矩阵为A－1=abcd，

所以AA－1=2a+12c2b+12dcd

=1001

∴2a+12c=12b+12d=0c=0d=1,

∴a=12b=－14c=0d=1

∴A－1=12－1401

点评：这种利用方程组方法求解逆矩阵，是求解二阶逆矩阵的基本方法，主要理论依据是可逆矩阵的定义．

分析三：利用行列式求解逆矩阵，首先求出|A|的值，然后套用结论即可解决．

解3：|A|=2,∴1|A|=12，

∴A－1=1|A|

1－1202=

12－1401

点评：一般地：若二阶可逆矩阵A=

abcd

(ad－bc≠0),它的逆矩阵为A－1=1|A|d－b－ca．

分析四：在原二阶矩阵A的边上傍一个二阶单位矩阵对二阶矩阵施行变换的同时，单位矩阵也施行同样变换，当矩阵A化为单位矩阵时，右边单位矩阵转化的结果即为所求矩阵A的逆矩阵．

解：21201

1001

第二行乘以－12加到第-行

2001

1－1201

第一行乘以12

1001

12－1401，

∴矩阵A的逆矩阵为A－1=12－1401．

点评：这种利用行变换求逆矩阵方法，特别要注意两个矩阵必须同时施行同样变换．

对于上述几种求解逆矩阵的方法，在学习过程中，请同学们注意比较，做到能根据具体问题选择较为合适的解决问题方法．