函数单调性的练习题

函数单调性的练习题（通用7篇）

函数单调性的练习题篇1

1.若函数f(x)在区间[m,n]上是增函数,在区间[n,k]上也是增函数,则函数f(x)在区间(m,k)上( )

A.必是减函数 B.是增函数或减函数

C.必是增函数 D.未必是增函数或减函数

答案：C

解析：任取x1、x2(m,k),且x1

若x1、x2(m,n],则f(x1)

若x1、x2[n,k),则f(x1)

若x1(m,n],x2(n,k),则x1n

f(x1)f(n)

f(x)在(m,k)上必为增函数.

2.函数f(x)=x2+4ax+2在(-,6)内递减,那么实数a的取值范围是( )

A.a3 B.a3 C.a-3 D.a-3

答案：D

解析：∵- =-2a6,a-3.

3.若一次函数y=kx+b(k0)在(-,+)上是单调增函数,那么点(k,b)在直角坐标平面的.( )

A.上半平面 B.下半平面

C.左半平面 D.右半平面

答案：D

解析：易知k0,bR,(k,b)在右半平面.

4.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( )

A.y=-x+1 B.y=

C.y=x2-4x+5 D.y=

答案：B

解析：C中y=(x-2)2+1在(0,2)上为减函数.

5.函数y= 的单调递增区间是___________,单调递减区间是_____________.

答案：[-3,- ] [- ,2]

解析：由-x2-x-60,即x2+x-60,解得-32.

y= 的定义域是[-3,2].

又u=-x2-x+6的对称轴是x=- ,

u在x[-3,- ]上递增,在x[- ,2]上递减.

又y= 在[0,+]上是增函数,y= 的递增区间是[-3,- ],递减区间[- ,2].

6.函数f(x)在定义域[-1,1]上是增函数,且f(x-1)

答案：1

解析：依题意 1

7.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)= 0,又g(x)=f(x)+c(c为常数),在[a,b]上是单调递增函数,判断并证明g(x)在[-b,-a]上的单调性.

解：任取x1、x2[-b,-a]且-bx1

则g(x1)-g(x2)=f(x1)-f(x2)= .

∵g(x)=f(x)+c在[a,b]上是增函数,

f(x)在[a,b]上也是增函数.

又b-x2a,

f(-x1)f(-x2).

又f(-x1),f(-x2)皆大于0,g(x1)-g(x2)0,即g(x1)

能力提升踮起脚,抓得住!

8.设函数f(x)在(-,+)上是减函数,则下列不等式正确的是( )

A.f(2a)

C.f(a2+a)

答案：D

解析：∵a2+1-a=(a- )2+ 0,

a2+1a.函数f(x)在(-,+)上是减函数.

f(a2+1)

9.若f(x)=x2+bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么( )

A.f(1)

C.f(2)

答案：C

解析：∵对称轴x=- =2,b=-4.

f(1)=f(3)

10.已知函数f(x)=x3-x在(0,a]上递减,在[a,+)上递增,则a=____________

答案：

解析：设0

f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-1),

当0f(x2).

同理,可证 x1

11.函数f(x)=|x2-2x-3|的增区间是_________________.

答案：(-1,1),(3,+)

解析：f(x)= 画出图象易知.

12.证明函数f(x)= -x在其定义域内是减函数.

证明:∵函数f(x)的定义域为(-,+),

设x1、x2为区间(-,+)上的任意两个值且x1

f(x2)-f(x1)= - -(x2-x1)= -(x2-x1)

=(x2-x1) =(x2-x1) .

∵x2x1,x2-x10且 + 0.

又∵对任意xR,都有 =|x|x,有 x,即有x- 0.

x1- 0,x2- 0.

f(x2)-f(x1)0,即f(x2)

函数f(x)= -x在其定义域R内单调递减.

13.设函数f(x)对于任意x、yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在(-,+)上单调递减,若 f(x2)-f(x) f(bx)-f(b),求x的范围.

解：∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x、yR),

2f(x)=f(x)+f(y)=f(2x).

同理,2f(b)=f(2b).

由 f(x2)-f(x) f(bx)-f(b),

得f(x2)+2f(b)f(bx)+2f(x),

即f(x2)+f(2b)f(bx)+f(2x).

即f(x2+2b)f(bx+2x).

又∵f(x)在(-,+)上单调递减,

x2+2b

x2-(b+2)x+2b0.

x2-(b+2)x+2b=(x-2)(x-b)0.

当b2时,得2

当b2时,得b

当b=2时,得x .

拓展应用跳一跳,够得着!

14.设函数f(x)是(-,+)上的减函数,则f(2x-x2)的单调增区间是( )

A.(-,2) B.[-2,+] C.(-,-1] D.[1,+)

答案：D

解析：令t=g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1知:当x1时,函数g(x)单调递减;当x1时,函数g(x)单调递增.又因函数f(t)在(-,+)上递减,故f(2x-x2)的单调减区间为(-,1],增区间为[1,+).

15.老师给出一个函数y=f(x),四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质:

甲:对于xR,都有f(1+x)=f(1-x);

乙:在(-,0]上函数递减;

丙:在(0,+)上函数递增;

丁:f(0)不是函数的最小值.

如果其中恰有三人说得正确,请写出一个这样的函数:________________.

答案：f(x)=(x-1)2(不唯一)

解析：f(x)=(x-1)2(答案不唯一,满足其中三个且另一个不满足即可).

f(1+x)=f(1-x)表示对称轴方程为x=1.

16.已知函数f(x)= ,x[1,+).

(1)当a= 时,求函数f(x)的最小值;

(2)若对任意x[1,+),f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.

解：(1)当a= 时,f(x)=x+ +2,设1x1

则f(x2)-f(x1)=x2+ -(x1+ )= .

因为1x10,2x1x2-10,2x1x20 f(x2)-f(x1)0,

即f(x)在[1,+]上单调递增,f(x)min=f(1)=1+ +2= .

(2)x[1,+],f(x)0恒成立 x2+2x+a0恒成立,即a-x2-2x恒成立,又y=-x2-2x=

函数单调性的练习题篇2

一、证明函数单调性

例1.用单调性定义证明函数f (x) =-x3+1在R上是减函数.

解析:任取x1, x2∈ (-∞, +∞) 且x1

∴f (x) =-x3+1在R上是减函数.

二、求单调区间

例2.求函数的单调区间.

∴函数的单调性区间是 (-∞, -5) , 单调区间为 (2, +∞) .

三、比较大小

例3:已知偶函数f (x) 在[1, 4]上单调递减, 试比较与的大小.

∵f (x) 是偶函数∴f (-3) =f (3)

而, 由f (x) 在[1, 4]上单调递减

四、求值域

例4:求函数的值域.

解析:∵在区间[1, 2]上函数是单调递减函数.

五、解不等式

例5:解不等式

解析:当x2-4x+3>0时原不等式变为式

∵函数为减函数

∴x2-4x+3<3

∴原不等式等价于不等式组

解得0

∴原不等式的解集为{x|0

六、证明不等式

例6.已知且a2

当时f (x) 为增函数.

七、求参变数的范围

例7:已知奇函数f (x) =-x3在R上是减函数, 设对一切x∈R, 不等式f (2x2-4x+3) +f (2kx-kx2) <0总成立, 试确定k的取值范围.

解析:对一切x∈R, 不等式f (2x2-4x+3) +f (2kx-kx2) <0总成立.

即有2x2-4x+3>kx2-2kx⇒2x2-kx2+ (2k-4) x+3>0对一切x∈R成立.

当k=2时, 不等式为3>0, 对x∈R成立.

当k<2时, 只要△= (2k-4) 2-12 (2-k) <0⇒k2-k-2<0⇒-1

高中数学函数单调性的解法分析篇3

关键词：高中数学；函数单调性；解法

【分类号】G634.6

前言：在近几年的高考当中，对于函数单调性、单调区间、最值和极值等方面知识的考察十分的重视，数学试卷中关于函数单调性的题目所占比例也在不断的增加。由于高考对于函数单调性的考察多种多样、十分灵活，所以学生在平常的学习中，一定要充分理解函数单调性的概念和特点，掌握扎实、牢固的函数相关基础知识。同时教师在课堂教学中要对相关知识点进行深入的剖析和详尽的讲解，尽量的让学生掌握更多的函数单调性解题方法，从而应对高考中的各类相关试题。

1.函数单调性的定义和应用

1.1函数单调性的定义

高中数学教材中，对函数单调性的定义是：设函数y=f（x）的定义域为A，且区间I?A。对于区间I内的任意两个值x1和x2，如果当x1f（x2），那么y=f（x）在区间I中就是单调减函数，区间I就是函数y=f（x）的单调减区间。如果y=f（x）在区间I中是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f（x）在区间I中具有单调性。在函数的单调区间内，如果是單调增函数，其函数图像是上升的，如果是单调减函数，则其图像是下降的。

1.2函数单调性的作用

在初中时，我们学过一次函数和二次函数，通过对其图像的分析，对函数的增减性有了一个初步的了解。进入高中之后，系统的对函数单调性的知识进行了学习，通过数形结合的方式进一步了解了函数单调性的含义[1]。函数单调性是对自变量变化的研究，学生在以后学习不等式和导数等其它数学知识的时候，都会用到运用函数单调性的相关知识，在考试做题中，也会大量的用到函数单调性。

2.函数单调性的解法

2.1利用函数单调性的定义的解法

利用函数单调性的定义是一种比较直接、有效的解题方法。要想解析函数的单调性，首先就要确定其区间范围。其次要注意对于带有无理式的函数，在利用定义解题的过程中，要注意无理式的有理化。

例如：已知函数f（x）=根号下（x2+1）-ax（a>0），证明当a=1时，函数f（x）在R上是减函数。在解答这道问题的时候，就要用到无理式的有理化。由题可知，当a=1时，f（x）=根号下（x2+1）-x=（根号下（x2+1）-x）*（根号下（x2+1）+x）/（根号下（x2+1）+x）=1/（根号下（x2+1）+x）。当x递增时，f（x）递减，因此，函数f（x）在R上是减函数。

2.2利用函数图像数形结合的解法

在函数的图形中，在特定区间内，如果y随着x的增加而增加，那么函数在此区间内单调递增。如果y随着x的增加而减少，那么函数在此区间内单调递减。试题当中对于函数单调性的考察虽然比较灵活，但究其根本也只是对一些简单的基础知识进行结合[2]。因此，高中生在平时的学习当中，要充分的理解和掌握函数单调性相关的基础知识，并且学会将其融合在一起进行分析和理解。

对于函数f（x）=5/x，它的函数图像是关于原点对称的奇函数图像，因此，在对称区间内，其单调性是一致的。而函数f（x）=x2，由于其是偶函数，因此，在对称区间内，其单调性是相反的。

例如：已知函数f（x）=x（1/（2x-1）+1/2）且x>0，判断函数f（x）的奇偶性并求证f（x）>0。在解答这道题的时候，通过画出函数图像，可以简单的判断出该函数为偶函数。在求证f（x）>0时，因为x>0，所以2x>1，所以2x-1>0。由此可以得出1/（2x-1）+1/2>0，又因为x>0，所以x（1/（2x-1）+1/2）>0，因此可得出当x>0时，函数f（x）>0。

2.3利用复合函数的解法

在高中数学当中，对于复合函数的定义是：函数y=f（g（x））是由函数y=f（t）和函数t=g（x）两部分组成的。其中t=g（x）是其内层函数，y=f（t）是其外层函数。根据定义，如果内层函数和外层函数的单调性不一致，该复合函数就单调递减[3]。如果内层函数和外层函数的单调性一致，该复合函数就单调递增。

例如：判断函数f（x）=3的（x2+1）次平方的单调性。在解题时，应先将该复合函数分解成外层函数f（t）=3t和内层函数t=x2+1。由于内层函数t=x2+1的是关于y轴对称的偶函数，因此在区间（-∞，0）中单调递减，在区间（0，+∞）中单调递增。而由于外层函数f（t）=3t是指数函数，因此其在（-∞，+∞）中单调递增。根据复合函数的定义，可知，在区间（-∞，0）中，函数f（x）=3x2+1为单调递减。在区间（0，+∞）中，函数f（x）=3x2+1为单调递增。

2.4利用导数的解法

导数是解决函数单调性问题的一个十分有效的数学工具，它为解答函数单调性问题提供了很多新的思路。如果函数y=f（x）在区间（a，b）中可导，且其导函数大于0，就可得出函数y=f（x）在区间（a，b）中单调递增。如果其导函数小于0，就可得出函数y=f（x）在区间（a，b）中单调递减[4]。

在实际应用中，利用导数法解决函数单调性的问题，可以做到步骤明确、思路清晰，十分简便和容易。例如：设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数。如果f（x）在区间（1，+∞）中单调递减，且g（x）在区间（1，+∞）中存在最小值，求实数a的取值范围。这道题在解题时，由题目可知，f（x）=1/x-a=（1-ax）/x。由于函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）在区间（1，+∞）中单调递减，可以得出a>0。设f（x）<0，则x>1/a，因此f（x）在（1/a，+∞）中单调递减。又因为f（x）在（1，+∞）中单调递减，所以（1，+∞）?（1/a，+∞），可得出1/a≤1，因此a≥1。设g（x）=0，可得出x=lna。如果xlna，g（x）>0，g（x）单调递增。由于g（x）在区间（1，+∞）中存在最小值，所以lna>1，可得出a>e。综上所述，可得出a的取值范围为（e，+∞）。

总结：高中数学离不开函数单调性，对函数单调性的研究和解析更是高考当中的重点。对于函数单调性的解法有很多，只有充分的掌握函数单调性的基础知识，熟知其各种解法，才能在实际中应用，应当根据题目的特点，有针对性的选择合适的解法，从而轻松解决函数单调性的问题。

参考文献：

对数函数的单调性、奇偶性的运用篇4

张军丽

一、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.1.比较下列各组数中的两个值大小：

(1)log23.4，log28.5

(2)log0.31.8，log0.32.7

(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1)

思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4

解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4

解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4

(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；

(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1

当0loga5.9

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则

所以，b1

所以，b1>b2，即举一反三：

【变式1】（2011 天津理 7）已知

A．

解析：另

B．，C．，则（）

D．，令b2=loga5.9，则

.当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9

当0

又∵为单调递增函数，∴

2.证明函数

故选C.上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设

举一反三：

【变式1】已知f(logax)=的单调性.解：设t=logax(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=logax为增函数，若t1

则

又∵y=log2x在即f(x1)

上是增函数.上是增函数

∴函数f(x)=log2(x2+1)在∵ 01，∴ f(t1)

解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵ y=≤4，∴ y≥

=-2，即函数的值域为[-2，+∞.(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即

再由：函数y=-1

二、函数的奇偶性

4.判断下列函数的奇偶性.(1)

(2)

.t(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由

所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称

又

所以函数

是奇函数；

总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由

以函数的定义域为R关于原点对称

即f(-x)=-f(x)；所以函数

所

又

.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.三、对数函数性质的综合应用

5．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现：使u能取遍一切正数的条件是

.的解集为R，解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0

当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；

当a≠0时，有∴ a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数

a>1.a=0或

0≤a≤1，∴ a的取值范围为0≤a≤1.6．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；

(3)判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8))(a>1)，∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕

∴ S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).，又函数y=log2x

由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+在(0，+∞)上是增函数，∴ 0<2log2(1+)<2log2，即0(1+)-(1+)=16(+8a2>0，)=16·+8a1>0，a1-a2<0，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴ a1+a2+8>0，∴ 1<1+

<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)

函数单调性篇5

北京教育学院宣武分院彭林

函数单调性是学生进入高中后较早接触到的一个完全形式化的抽象定义，对于仍然处于经验型逻辑思维发展阶段的高一学生来讲，有较大的学习难度。一直以来，这节课也都是老师教学的难点。最近，在我区“青年教师评优课”上，听了多名教师对这节课不同风格的课堂教学，通过对他们教学案例的研究和思考，笔者认为，在函数单调性概念的教学中，关键是把握住如下三个关键点。

关键点1。学生学习函数单调性的认知基础是什么？

在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成初步认识。接踵而来的任务是对函数应该继续研究什么。在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性。对各种函数模型而言，就是研究它们所描述的运动关系的变化规律，也就是这些运动关系在变化之中的共同属性或不变属性，即“变中不变”的性质。按照这种科学研究的思维方式，使得当前来讨论函数的一些性质，就成为顺理成章的、必要的和有意义的数学活动。至于在多种函数性质中，选择这个时机来讨论函数的单调性而不是其他性质，是因为函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质。

就中小学生与单调性相关的经历而言，学生认识函数单调性可以分为四个阶段：第一阶段，经验感知阶段（小学阶段），知道一个量随另一个量的变化而变化的具体情境，如“随着年龄的增长，我的个子越来越高”，“我认识的字越多，我的知识就越多”等。

第二阶段，形象描述阶段（初中阶段），能用抽象的语言描述一个量随另一个量变化的趋势，如“y随着x的增大而减少”。

第三阶段，抽象概括阶段（高中必修1），能进行脱离具体和直观对象的抽象化、符号化的概括，并通过具体函数，初步体会单调性在研究函数变化中的作用。

第四阶段，认识提升阶段（高中选修系列1、2），要求学生能初步认识导数与单调性的联系。

基于上述认识，函数单调性教学的引入应该从学生的已有认知出发，建立在学生初中已学的一次函数、二次函数以及反比例函数的基础上，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识.。

让学生分别作出函数数值有什么变化规律？的图象，并且观察自变量变化时，函在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.第三个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的．

在此基础上，教师引导学生用自己的语言描述增函数的定义：如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数．

关键点2。为什么要用数学的符号语言定义函数的单调性概念？

对于函数单调性概念的教学而言，有一个很重要的问题，即为什么要进一步形式化。学生在初中已经接触过一次函数、反比例函数、二次函数，对函数的增减性已有初步的认识：随x增大y增大是增函数，随x增大y 减小是减函数。这个观念对他们而言是易于接受的，很形象，他们会觉得这样的定义很好，为什么还要费神去进行符号化呢？如果教师能通过教学设计，让学生感受到进一步符号化、形式化的必要性，造成认知冲突，则学生研究的兴趣就会大大提高，主动性也会更强。其实，数学概念就是一系列常识不断精微化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求，因为只有达到这种符号化、形式化的程度，才可以进行准确的计算，进行推理论证。

所以，在教学中提出类似如下的问题是非常必要的：

右图是函数函数吗？的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减

对于这个问题，学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.关键点3：如何用形式化的语言定义函数的单调性？

从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造成了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律：在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象，即数学的思考方式。恰当运用图形语言、自然语言和符号化的形式语言，并进行三者之间必要的转化，可以说，这是学习数学的基本思考方式。而函数单调性这一内容正是体现数学基本思考方式的一个良好载体，教学中应该充分关注到这一点。长此以往，便可使学生在学习知识的同时，学到比知识更重要的东西—学会如何思考？如何进行数学的思考？

一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程，一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述。对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图象的观察并不难认识，因此，前一过程的建构学习相对比较容易进行。后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的符合语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成。这其中有两个难点：

（1）“x增大”如何用符号表示；同样，“f(x)增大”如何用符号表示。（2）“‘随着’x增大，函数f(x)‘也’增大”，如何用符号表示。

用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象。

在初中数学中，除了学习函数的初级概念，用y=f(x)表示函数y随着自变量x的变化而变化时，接触到一点动态数学对象的数学符号表示以外，绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象。因此，从用静态的数学符号描述静态的数学对象，到用静态的符号语言刻画动态数学对象，在思维能力层次上存在重大差异，对刚刚由初中进入高中学习的学生而言，无疑是一个很大的挑战！

因此，在教学中可以提出如下问题2：如何从解析式的角度说明

在上为增函数？

这个问题是形成函数单调性概念的关键。在教学中，教师可以组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈、评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识.对于问题2，学生错误的回答主要有两种：

①在给定区间内取两个数，例如1和2，因为函数． ,所以

在上为增②可以用0，1，2，3，4，5验证：在所以函数上是增函数。

对于这两种错误，教师要引导学生进一步展开思考。例如，指出回答②试图用自然数列来验证结论，而且引入了不等式表示不等关系，但是，只是对有限几个自然数验证不行，只有当所有的比较结果都是一样的：自变量大时，函数值也大，才可以证明它是增函数，那么怎么办？如果有的学生提出：引入非负实数a，只要证明

就可以了，这就把验证的范围由有限扩大到了无限。教师应适时指出这种验证也有局限性，然后再让学生思考怎样做才能实现“任意性”就有坚实的基础了。也就是，从给定的区间内任意取两个自变量,然后求差比较函数值的大小，从而得到正确的回答: 任意取在,有为增函数． ,即，所以这种回答既揭示了单调性的本质，也让学生领悟到两点：(1)两自变量的取值具有任意性；(2)求差比较它们函数值的大小。至此，学生对函数单调性有了理性的认识.在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程。

教学中，教师引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义.然后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调.同时设计了一组判断题：

判断题：

①②若函数③若函数满足f(2)

和(2,3)上均为增函数，则函数在(1,3)上为增函数．④因为函数减函数.在上都是减函数，所以在上是通过对判断题的讨论，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

从而加深学生对定义的理解

北京4中常规备课

【教学目标】

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】计算机、投影仪．【教学过程】

一、创设情境，引入课题课前布置任务：

(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知

问题1：

分别作出函数数值有什么变化规律？的图象，并且观察自变量变化时，函

预案：(1)函数

在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数

在整个定义域内 y随x的增大而减小．

(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．

(3)函数在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．

引导学生进行分类描述(增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数

在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们在该区间上为增函数；如果函数说函数在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识

问题1：下图是函数和减函数吗？的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．问题2：如何从解析式的角度说明

在为增函数？

22预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1<2,所以为增函数．

(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3)任取，所以

在,因为

为增函数．

在为增函数．

在,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念判断题：

①．

②若函数

③若函数在区间

和(2,3)上均为增函数，则函数

在区间(1,3)上为增函

．

④因为函数在区间上是减函数.上都是减函数，所以在

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展

例证明函数

在上是增函数．

1．分析解决问题

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取，设元

求差

变形，断号

∴

即

∴函数

2．归纳解题步骤

在上是增函数．

定论

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：证明函数

问题：要证明函数

在区间

上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对

在上是增函数．

任意的，且有可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业

书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题．课后探究：(1)证明：函数

在区间

上是增函数的充要条件是对任意的上是增函数．，且

有．

(2)研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据．对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

三、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．

（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．

复合函数单调性教案篇6

教学目标知识目标

1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理.2.会求复合函数的单调区间.3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集.能力目标

培养学生的数学转化思想和构建数学建模能力。情感目标

培养学生分析问题，解决问题的能力。教学重点与难点

1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间.2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集.教学过程设计

师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.生：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AÍB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间.(教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.)(教师板书，可适当略写.)例

求下列函数的单调区间.1.一次函数y=kx+b(k≠0).解当k＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=k(k≠0).x解当k＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).bb)是这个函数的单调减区间，(－，+∞)是它的单调增区间；2a2abb当a＜0时(－∞，－)是这个函数的单调增区间，(－，+∞)是它的单调减区间；

2a2a解

当a＞0时(－∞，－4.指数函数y=ax(a＞0，a≠1).

解

当a＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=logax(a＞0，a≠1).解

当a＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.师：我们还学过幂函数y=xn(n为有理数)，由于n的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析.师：我们看看这个函数y=2x2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何? 生：它在(－∞，+∞)上是增函数.师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(－∞，+∞)，所以你就得到了以上的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x2+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理.(板书)引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明

在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.师：有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢? 生：不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数.师：你回答得很好.因此，还需增加一些引理，使得求复合函数的单调区间更容易些.(教师可以根据学生情况和时间决定引理2是否在引理1的基础上做些改动即可.建议引理2的证明也是改动引理1的部分证明过程就行了.)引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明

在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.师：我们明白了上边的引理及其证明以后，剩下的引理我们自己也能写出了.为了记忆方便，咱们把它们总结成一个图表.(板书)

师：你准备怎样记这些引理?有规律吗?

(由学生自己总结出规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数.)师：由于中学的教学要求，我们这里只研究y=f(u)为u的单调函数这一类的复合函数.做例题前，全班先讨论一道题目.(板书).例1 求下列函数的单调区间：

y=log4(x2－4x+3)师：咱们第一次接触到求解这种类型问题，由于对它的解题步骤、书写格式都不太清楚，我们先把它写在草稿纸上，待讨论出正确的结论后再往笔记本上写.师：下面谁说一下自己的答案? 生：这是由 y=log4u与u=x2－4x+3构成的一个复合函数，其中对数函数 y=log4u 在定义域(0，+∞)上是增函数，而二次函数u=x2－4x+3，当x∈(－∞，2)时，它是减函数，当x∈(2，+∞)时，它是增函数，.因此，根据今天所学的引理知，(－∞，2)为复合函数的单调减区间；(2，+∞)为复合函数的单调增区间.师：大家是否都同意他的结论?还有没有不同的结论?我可以告诉大家，他的结论不正确.大家再讨论一下，正确的结论应该是什么? 生：……

生：我发现，当x=1时，原复合函数中的对数函数的真数等于零，于是这个函数没意义.因此，单调区间中不应含原函数没有意义的x的值.师：你说得很好，怎样才能做到这点呢? 生：先求复合函数的定义域，再在定义域内求单调区间.师：非常好.我们研究函数的任何性质，都应该首先保证这个函数有意义，否则，函数都不存在了，性质就更无从谈起了.刚才的第一个结论之所以错了，就是因为没考虑对数函数的定义域.注意，对数函数只有在有意义的情况下，才能讨论单调性.所以，当我们求复合函数的

单调区间时，第一步应该怎么做? 生：求定义域.师：好的.下面我们把这道题作为例1写在笔记本上，我在黑板上写.(板书)解

设 y=log4u,u=x2－4x+3.由

{u＞0，u=x2－4x+3，解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.师：这步咱们大家都很熟悉了，是求复合函数的定义域.下面该求它的单调区间了，怎样求解，才能保证单调区间落在定义域内呢? 生：利用图象.师：这种方法完全可以.只是再说清楚一点，利用哪个函数的图象? 可咱们并没学过画复合函数的图象啊?这个问题你想如何解决? 生：……

师：我来帮你一下.所有的同学都想想，求定义域也好，求单调区间也好，是求x的取值范围还是求复合函数的函数值的取值范围?或是求中间量u的取值范围? 生：求x的取值范围.师：所以我们只需画x的范围就行了，并不要画复合函数的图象.(板书)师：当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，+∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.师：除了这种办法，我们还可以利用代数方法求解单调区间.下面先求复合函数单调减区间.(板书)u=x2－4x+3=(x－2)2－1, x＞3或x＜1，(复合函数定义域)x＜2(u减)解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.(板书)u=x2－4x+3=(x－2)2－1, x＞3或x＜1，(复合函数定义域)x＞2(u增)解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.师：下面咱们再看例2.(板书)例2

求下列复合函数的单调区间：

y=log(2x－x2)师：先在笔记本上准备一下，几分钟后咱们再一起看黑板，我再边讲边写.(板书)解

设 y=logu,u=2x－x2.由

u＞0

u=2x－x2 解得原复合函数的定义域为0＜x＜2.由于y=log13u在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x－x2的单调性正好相反.易知u=2x－x2=－(x－1)2+1在x≤1时单调增.由

0＜x＜2（复合函数定义域）

x≤1，(u增)解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.又u=－(x－1)2+1在x≥1时单调减，由

x＜2，(复合函数定义域)

x≥1，(u减)解得0≤x＜2,所以[0，1]是原复合函数的单调增区间.师：以上解法中，让定义域与单调区间取公共部分，从而保证了单调区间落在定义域内.师：下面我们再看一道题目，还是自己先准备一下，就按照黑板上第一题的格式写.(板书)例3 求y=(学生板书)的单调区间.解

设y=.由

u∈R, u=x2－2x－1, 解得原复合函数的定义域为x∈R.因为y=在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x2－2x－1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1时单调减，由

x∈R,(复合函数定义域)

x≤1，(u减)解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.师：黑板上这道题做得很好.请大家都与黑板上的整个解题过程对一下.师：下面我小结一下这节课.本节课讲的是复合函数的单调性.大家注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步.(作业均为补充题)作业

试论复合函数单调性的判断方法篇7

①y=f (u) , u=φ (x) 都是增函数或都是减函数的, 则y=f[φ (x) ]为增函数;

②若y=f (u) , u=φ (x) 一个是增函数另一个是减函数, 则y=f[φ (x) ]为减函数.

证明:①若y=f (u) , u=fφ (x) 都是增函数, 在所讨论的区间里任意选取x1和x2, 且x1<x2, 因为u=φ (x) 是增函数, 所以φ (x1) <φ (x2) , 即u1<u2, 又因为是增函数y=f (u) , 所以f (u1) <f (u2) , 即f[φ (x1) ]<f[φ (x2) ], 从而y=f[φ (x) ]是增函数.用类似的方法可以证明若y=f (u) , u=φ (x) 都是减函数时, y=f[φ (x) ]也是增函数.

②若y=f (u) 是增函数, u=φ (x) 是减函数, 在所讨论的区间里任意选取x1和x2, 且x1<x2, 因为u=φ (x) 是减函数, 所以φ (x1) >φ (x2) , 即u1>u2, 又因为y=f (u) 是增函数, 所以f (u1) >f (u2) , 即f[φ (x1) ]>f[φ (x2) ], 从而y=f[φ (x) ]是减函数.用类似的方法可以证明若y=f (u) 是减函数, u=φ (x) 是增函数时, y=f[φ (x) ]也是减函数.

例1.求函数y=arcsin (sinx) 的增减性.

解析:该函数的定义域是-∞<x<+∞, y=arcsinu是增函数, u=sinx在 $(- \frac{π}{2} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π)$ 上是增函数, 在 $(\frac{π}{2} + 2 k π, \frac{3 π}{2} + 2 k π)$ 上是减函数.由定理1可知:

y=arcsin (sinx) 在 $(- \frac{π}{2} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π)$ 上是增函数, 在 $(\frac{π}{3} + 2 k π, \frac{3 π}{2} + 2 k π)$ 上是减函数.

例2.求函数y=2cosx+cos2x的增减性和极值.

解:该函数的定义域是-∞<x<+∞, f (x) =2cosx+cos2x=2cos2x+2cosx-1由y=2u2+2u-1和u=cosx复合而成, -1≤u≤1.

因为f (x+2π) =2cos2 (x+2π) +2cos (x+2π) -1=2cos2x+2socx-1=f (x)

所以f (x) 是周期函数, 其周期是2π, 则只需要在[-π, π]的区间讨论.

$y = 2 u^{2} + 2 u - 1 = 2 (u + \frac{1}{2})^{2} - \frac{3}{2}$ 在 $[- 1, - \frac{1}{2}]$ 上是减函数, 在 $[- \frac{1}{2}, 1]$ 上是增函数.

u=cosx在[-π, 0]上是增函数, $- π \leq x \leq - \frac{2}{3}, - 1 \leq U \leq - \frac{1}{2}$ ;

所以f (x) 在 $[- π, - \frac{2}{3} π]$ 上是减函数, $- \frac{2}{3} π \leq x \leq 0, - \frac{1}{2} \leq u \leq 1$ ;

f (x) 在 $[- \frac{2}{3} π, 0]$ 上是增函数.

u=cosx在[0, π]上是减函数, $0 \leq x \leq - \frac{2}{3} π, - \frac{1}{2} \leq u \leq 1$ ;所以f (x) 在 $[0, \frac{2}{3} π]$ 上是减函数, $\frac{2}{3} π \leq x \leq π ‚ - 1 \leq u \leq - \frac{1}{2}, f (x)$ 在 $[\frac{2}{3} π, π]$ 上是增函数.

f (x) 在x=±π, x=0时取极大值, f (±x) =-1, f (0) =3, 在 $x = \pm \frac{2}{3} π$ 时取极小值, $f (\pm \frac{2}{3} π) - \frac{3}{2}$ , 由周期性f (x) 在 $[- π + 2 k π, - \frac{2}{3} π + 2 k π]$ 上是减函数, 在 $[- \frac{3}{2} π + 2 k π, 2 k π]$ 上是增函数, $[2 k π, \frac{3}{2} π + 2 k π]$ 上是减函数, 在 $[\frac{2}{3} π + 2 k π, π + 2 k π]$ 上是增函数.当x=2kπ±π时, f (x) 取极大值-1, 当x=2kπ时, 取极大值3, 当 $x = 2 k π \pm \frac{2}{3} π$ 时, f (x) 取极小值 $- \frac{3}{2} (k \in Ζ) .$

定理推广:设y=fn{fn-1[Λf1 (x) ]}由n个函数f1 (x) (i=1, 2, 3, Λ, n) 复合而成.①若fi (x) (i=1, 2, 3, Λ, n) 中减函数的个数是偶数, 则y=fn{fn-1[Λf1 (x) ]}为增函数;②若fi (x) (i=1, 2, 3, Λ, n) 中减函数的个数是奇数, 则y=fn{fn-1[Λf1 (x) ]}为减函数;

证明:①当n=2时, 由判断定理可知命题成立;假设当n=k时命题成立.

如果fi (x) (i=1, 2, 3, Λ, k+1) 中减函数的个数是偶数, 构成的复合函数是:

y=fk+1{fk[Λf1 (x) ]}, 若y=fk+1 (u) 是增函数, 则fi (x) (i=1, 2, 3, Λ, k) 中减函数的个数仍是偶数.由归纳假设u=fk{fk+1[Λf1 (x) ]是增函数, 由判断定理可知:

y=fk+1{fk[Λf1 (x) ]}是增函数.若y=fk+1 (u) 是减函数, 则fi (x) (i=1, 2, 3, Λ, k) 中减函数的个数仍是奇数.由归纳假设u=fk{fk-1[Λf1 (x) ]}是减函数, 由判断定理可知:

y=fk+1{fk[Λf1 (x) ]}也是增函数.

同理可证:fi (x) (i=1, 2, 3, Λ, k+1) 中减函数的个数是奇数, 那么, y=fk+1{fk[Λf1 (x) ]}是减函数.这说明n=k+1时命题成立.由数学归纳法可知命题对n>2的一切自然数都成立.

由定理的推广得到:在所讨论的区间里, 复合函数的单调性, 可以通过构成复合函数的各函数中减函数的个数来确定.

例3.f (x) =ax (0πaπ1) , y=aaΛax由n个f (x) 复合而成, 讨论其增减性.

解析:该函数的定义域是-∞<x<+∞, f (x) =ax (0πaπ1) 是减函数.如果n是偶数, 那么, y=aaΛax在 (-∞<x<+∞=上是增函数;如果n是奇数, 那么, y=aaΛax在 (-∞<x<+∞=上是减函数.

例4.求函数 $y = 1 g \sqrt{- x^{2} + 2 x + 8}$ 的增减性和最大值.

解析:函数的定义域是-x2+2x+8ϕ0, 即 $- 2 π x π 4 ‚ y = 1 g \sqrt{- x^{2} + 2 x + 8} y = 1 g u, u = \sqrt{v} ‚ v = - x^{2} + 2 x + 8$ 复合而成.y=1gu和 $u = \sqrt{v}$ 都是增函数, v=-x2+2x+8=- (x-1) 2+9, 在 (-2, 1]上是增函数, 在[1,4]上是减函数.

所以 $y = l g \sqrt{- x^{2} + 2 x + 8}$ 在 (-2, 1]上是增函数, [1,4]在上是减函数.

函数在x=1时有最大值, y最大值=1g3.

从这个定理我们可以看出, 对于比较复杂的复合函数的单调性, 可以将其分解为只要讨论简单的基本函数的单调性就可以了, 这种思路清楚、方法简单, 特别是对于中学生很管用。

摘要：对于复合函数, 判断其单调性是数学中的一个重点知识, 也是一个难点问题.要判断一个复合函数的单调性往往使学生感到困惑.笔者从多年的教学实践中发现, 出现这个问题的主要原因是, 没有真正地理解单调函数和复合函数, 认为减函数与减函数复合还是减函数, 增函数与增函数复合还是增函数;再则没有掌握一定的判断方法.本文主要探讨如何化繁为简, 把复合函数的单调性问题化为基本函数的单调性问题.

关键词：复合函数,单调性,判断方法

参考文献

[1]汪浩.数学分析.上海科技出版社, 2001.6.

[2]傅海伦.数学教育概论.北京科学出版社, 2004.

[3]侯建军.谈高职数学教学中应用能力的培养.职业教育研究, 2006.5.

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