余弦定理教学教案（推荐12篇）
1.教学目标
知识目标：理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；
技能目标：理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性
情感态度价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
2.教学重点/难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
3.教学用具
多媒体
4.标签
正弦定理
教学过程 讲授新课
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又，则
.从而在直角三角形ABC中，思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：（证法一）如图1．1-3，当
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根，则
.据任意角三角函数的定义，有CD=
同理可得，从而.类似可推出，当自己推导）ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，；（2）
等价于。
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如.一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。[随堂练习]第5页练习第1（1）、2（1）题。
课堂小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：
或，（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
课后习题
根据本教材的结构和内容分析, 结合着二年级学生他们的认知结构及其心理特征, 我制定了以下的教学目标:
(一) 知识与技能:掌握正弦定理, 余弦定理;三角形形状的判断依据;利用正、余弦定理进行边角互换;正、余弦定理综合运用。
(二) 过程与方法:
(1) 通过对实际问题的探索, 培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
(2) 增强学生的协作能力和数学交流能力。
(3) 发展学生的创新意识和创新能力。
2教学的重、难点
本着职业中学数学新课程标准, 在吃透教材基础上, 我确定了以下的教学重点和难点。
(一) 教学重点:正弦定理理解及应用;余弦定理理解及应用;利用正、余弦定理进行边角互换;正、余弦定理的综合运用。重点的依据:只有掌握了定理及其最基本的应用, 才能理解和掌握定理在实际中的灵活应用。
(二) 教学难点:正余弦定理在解三角形时的应用思路;在解决实际问题过程中怎样选择正余弦定理。
难点的依据:给定的题目边和角的量, 比较抽象;学生没有这方面的基础知识。为了讲清教材的重、难点, 使学生能够达到本节内容设定的教学目标, 我再从教法和学法上谈谈:
3教学方法:启发引导式
(1) 引导学生在证明正余弦定理时各自用最简单易懂的方法;
(2) 启发学生注意正余弦定理的变形式, 并总结正余弦定理的适用题型的特点, 在恰当时机正确选用正弦定理达到求解、求证目的;
(3) 启发学生在求解三角形问题时, 注意三角形性质、三角公式变形与正弦、余弦定理产生联系, 从而综合运用正弦、余弦定理达到求解目的。
4学法
在学法上, 采用探究, 发现, 归纳, 练习。从问题出发, 引导学生分析问题, 让学生经历观察分析、概括、归纳、类比等发现和探索过程, 让学生更深刻的理解和掌握正余弦定理及其应用。
5教学过程设计
整堂课的安排:导入1min, 正弦定理的推导5min, 探究公式的应用15min, 熟悉公式的应用20min, 课堂小结3min, 布置作业1min。
给出一个问题, 让学生能够解决部分问题, 引出本堂课的主题。以直角三角形做引子推导出比值关系式, 目的是解决开始提出的问题;然后提出定义, 并且根据定义初步说明用公式的需要满足条件。为学生自己总结埋下伏笔。
概念提出后配备三个例题, 第一个例题要求学生根据条件首先画好图, 然后对照公式, 代入数据计算, 这个题目同时让学生回忆了两角和差的正弦公式, 第二题可以边讲边板演, 让学生判断题目的完整性, 这里有一个学生容易忽视的东西, 即在三角形中已知正弦值求角是有两解。第三题要引导学生发现两解中有一解不成立。三个例题中第一个解决了已知角及一边问题, 第二、第三解决两边及一边对角问题, 并且层层引导启发学生在利用正弦定理解决问题时该注意哪些问题。
接下来配以两组练习让学生熟悉公式, 特别是在最后一个问题中, 要让学生看出无解。
练习完成后, 然学生根据开始时对定义的理解的提示总结本堂课主要内容, 以学生为主, 教师适当引导、补充。布置作业时主要还是围绕正弦定理公式的应用, 补充一个三角形面积公式的推导参照正弦定理的推导。
在课堂小结是根据板书上面回顾本堂课利用数形结合的方法, 学会综合分析问题。提示学生注意解题的完整性。
课后配备了相应的题目增强学生分析问题、解决问题的能力。
板书设计中重点板出分析的过程, 解题过程可以通过多媒体向学生展示出来, 可以节约时间。
6教学基本评价
(1) 通过学生的探究以及与学生的问答交流, 发现其思维过程, 在鼓励的基础上, 纠正偏差.
(2) 在学生讨论、交流、合作时, 教师通过观察, 就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价, 以此来调动学生参与活动的积极性。
(3) 通过应用 (上黑板板演、问答交流等) 来检验学生学习的效果, 并在讲评中, 肯定优点, 指出不足。
(4) 通过作业, 反馈信息, 再次对本节课做出评价, 以便查漏补缺, 指导今后的教学。
7教学反思
(1) 改进思想:注意评价手段的多样化, 发挥教学评价的激励功能;在资源整合中, 加强数学知识与专业的结合。
(2) 存在问题:由于课堂时间有限, 安排的内容丰富紧凑, 如果学生的积极性调动得好, 不仅教学目标能够有效达成, 学生的思维也能得到有效提高, 一旦学生不够活跃或者注意力不集中, 教学目标不仅不能达成还会影响后续教学。
(3) 教学亮点:通过数形结合的方法让学生理解正弦定理和余弦定理在何种情况下使用。对教材进行了优化处理。例题与练习的配备由浅入深。
摘要：《正弦定理、余弦定理》是江苏省职业学校文化课教材第四册第15章三角计算及其应用第四节。在此之前, 学生们已经学习了三角函数相关知识及向量的相关知识, 这为学习本节内容的学习起到了铺垫的作用。这部分课程是三角函数应用最为广泛的部分, 可以把前面所学的三角相关知识点融入到本章节中, 本节内容非常重视计算能力的培养, 而且在对口单招考试中是必考题型。因此, 本节内容在三角函数中具有不容忽视的重要的地位。
关键词：正弦定理,余弦定理,教学过程
参考文献
一、教学片段实录
提出问题：
师：请同学们翻到课本第10页。看习题1.1A组第2题的第(2)小题。题目是：在△ABC中。a=lSem，b=10cm，∠A=60。，求c。
学生通过思考后能用正弦定理求解。
师：正弦定理我们是怎样推导的?三角证法的关键点是什么?
生：三角证法的关键是作高线，把解斜三角形问题转化为解直角三角形阃题。
此问题学生很难用正弦定理求解，对学生来说有一定的挑战性，此问题的设计给学生创设了很大的思维空间，学生思考后觉得比较难解，教师提示能用学过的知识解决，前面三角证法的关键点是作高线，这里是否也可以呢?学生通过作高线，作CD⊥AB，垂足为D，在RtAADC和RtACDB中求出AD、CD与BD，用勾股定理求出BC(即a)的值，再次让学生感受三角证法的关键点是作高线。
然后给出了变式2：在△ABC中，已知c，b，∠A，求a。
余弦定理源于向量和基于向量，它是“好看又好用”的又一数学典范。余弦定理向量证法的价值：向量的数量积是—个重要的工具。余弦定理向量证法基于一种新的数学结构——空间向量。
问题的引入：引用荷兰弗赖登塔尔数学研究所的一个问题“甲离学校10千米，乙离甲3千米，问乙离学校多少千米?”这问题太简单了，简直是小学生的问题。不过，该问题并没有说明甲、乙、学校三点是否在一条直线上。若三点在同一直线上，答案是13千米或7千米；若不在同一直线上，甲、乙、学校三点可以构成直角三角形，问题可以用勾股定理解决；若甲、乙、学校三点不能构成直角三角形，就变成已知三角形的“两边夹一角”如何确定第三边的问题，明确地指向余弦定理。
二、科学地解渎教材、合理地挖掘、利用教材
教材是课程的重要资源，是教师教学的重要依据和学生学习的重要文本。科学地解读教材，合理地挖掘、利用教材是每个教师必备的基本功，教师只有静下心来，仔细研究教材，充分发挥教材在教学中的引领作用，才能提高教学的有效性。教材是学术数学到教育数学转化的产物，教师使用教材的过程又是一个吸收和改造的过程。一节课教学设计的是否适合学生，首先取决于教师对整节课教学内容的准确把握。教师只有在认真研读新课标、全面理解全章节知识的基础上才能正确地把握整节课的教学内容，才能正确组织教学内容进行设计，才能明白本节课重点、难点，学生的疑点是什么。哪些内容不宜放在这一课，哪些知识在本节课学习比较合理，哪些知识适合后续学习；有没有必要在课堂上引领学生进行探究，习题该怎样变式，变式的核心是什么，问题的解决还有哪些方法，教学过程中要渗透什么数学思想方法，要培养学生什么能力等等，这些都值得教师深思。这要求教师从整体性、联系性的视角审视教学内容，应该根据学生的实际情况去进行教学，使教学设计不偏离数学本质。其实，余弦定理的证明方法很多，教材介绍了用极坐标证明余弦定理和复数证明余弦定理等等。为了培养学生对数学的兴趣，课后可以引导学生对定理给出新的證明方法。教师把握并使用教材是极富主动性、创造性的工作。在具体的教学过程中，我们要从学校、学生和自身的实际情况出发，主动地、合理地对教材进行解读，引领学生走进教材，要努力形成适合于自己、有益于学生的教学设计和方法。只要我们下真功夫研读教材，科学、合理、有效地用好教材，学生求知的星星之火定能成燎原之势。
三、对常态课的一点反思
常态课堂即一种自然、真实状态下的课堂教学活动，是师生在不受其他外界因素干扰下的双边教学过程。它是自然、真实的课堂，自然得带有几分朴实，真实得没有粉饰；它是和谐、欢乐的课堂，因为师生和生生之间的交流互动以及内心真切的体验而幸福快乐；它是充实、有效的课堂，我们必须在其间关注学生知识、能力、方法等方面的发展。叶澜教授曾指出，一节好课，应该是平时的课，是常态下的课，课堂应实实在在，不管谁在旁听，教师都要做到旁若无人，心中只有学生；一节好课，应该是真实的课，是不加粉饰、有待完善、值得反思的课，它不可能尽善尽美。如何上好常态课，进一步提高课堂的教学效率，值得我们每—位教师进行研究与探讨。
一、教学类型： 新知课
二、教学目的：
1、2、掌握余弦定理的推导过程（向量法）； 会解斜三角形。
三、教学重点：余弦定理的推导
教学难点：余弦定理在解三角形中的应用
四、教具: 黑板
五、教学过程：
（一）引入新课：
上节课我们学习了正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC ,是三角形的边与其角的正弦之间的关系，它的应用范围是什么呢？
1、2、已知两角，一边，求其他两边，一角;已知两边及一边的对角，求另一边的对角。
现在我提出一个问题:已知三边，如何求三角？
经过这一节课的学习，就可以回答这个问题了。下面我们来研究这个问题：
（二）讲解新课 这一节课，我们继续沿用向量法研究，仍然用“从特殊到一般”的数学思想。
如图所示，在直角三角形中，b²=a²+c²，在斜三角形中，它们又有什么关系呢？
AC=AB+BC |AC|²=AC·AC=(AB+BC)(AB+BC)=|AB|²+2BC·AB+|BC|²
=|AB|²+2|BC|·|AB|COS(180°-B)+|BC|² =|AB|²-2|BC|·|AB|COSB+|BC|²
b² = c²2bccosA c ² = b ² + a²-2abcosC 他们是不是也成立呢？这个留作思考题，不过答案是肯定的。这三个式子就是今天所要学习的余弦定理：
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边
与它们夹角的余弦的两倍。
将上述定理中的三个式子稍作变形，即得
cosA=﹙b ² + c ²-a ²﹚／2bc cosB=﹙c² + a²-b²﹚／2ac cosC=﹙ b ² + a²-c ²﹚／2ab 我们来看余弦定理的应用范围：
1、2、已知两边及夹角，求第三边极其他两角： 已知三边，求三角。
六、举例子：
在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求A,B,C(精确到1°)。解：已知三边，求三角。
cosA=﹙b ² + c ²-a ²﹚／2bc =（10 ²+6 ²-7 ²）／2×10×6 =0.725 查表，得 A≈44° cosC=﹙ b ² + a²-c ²﹚／2ab =（7 ²+10 ²-6 ²）／2×10×7 =0.8071 查表，得 B≈36° B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°
七、布置作业：
1、2、余弦定理的其他两种形式的证明； 课本131页：3.﹙3﹚（4）4.(2)
1、创设数学情境是“情境.问题.反思.应用”教学的基础环
本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。
创设数学情境是“情境.问题.反思.应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。
从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第一章 1.3正弦、余弦定理应用的例1。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。
“情境.问题.反思.应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。
2．培养学生自主学习、合作学习、研究（探究）性学习的学习方式
（1）新教材与一期教材相比，有一个很大的变化就是在课本中增加了若干“探究与实践”的研究性课题，这些课题往往有着一定的实际生活情景，如出租车计价问题，测量建筑高度，邮资问题，“雪花曲线”等等，这些课题除了增强学生的数学应用能力之外，还有一个重要作用就是改变学生以往的学习方式。
在教学实践中，我对不同内容采取了不同的处理方式，像用单位圆中有向线段表示三角比；组合贷款中的数学问题主要在课堂引导学生完成；像邮件与邮费问题、上海出租车计价问题、声音传播问题、测建筑物的高度则采取课内介绍、布置、检查，学生主要在课外完成的方法。学生通过调查、上网收集数据，集体研究讨论，实践动手操作，无形之中使自己学习的主动性得以大大提高，自学能力也有所长足发展，从而有效的培养学生自主获取知识的能力，以适应未来社会发展的需要。
由此可见，新课程突出了“以学生发展为本”的素质教育理念与目标，强调素质的动态性和发展性，揭示了素质教育的本质，把学生素质的发展作为适应新世纪需要的培养目标和根本所在。因此，在教学实践中必须确立学生的主体地位。
（一）教学目标
正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，学会在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用．培养学生空间想象能力和运算能力.教学过程: 解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 [例题分析]
例
3、某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
课时5巩固练习
1.如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是 2．一船以226km/h的速度向正北方向航行,在A处看灯塔S在船的北偏东45,1小时30分钟后航行到B处看灯塔S在船的南偏东15,则灯塔S与B之间的距离为.3、如图，两条道路OA、OB相交成60角，在道路OA上有一盏路灯P，00
第1题
OP10米，若该灯的有效照明半径是9米，则道路OB上被路灯有效照明的路段长度是 米。
第3题
4.已知△ABC中,BC=2,AB+AC=3,中线AD的长为y,若以AB的长为x,则y与x的函数关系式是 ,并指出自变量x的取值范围.5.某观察站C在城A的南20西的方向,由城A出发的一条公路,走向是南40东,在C处测得距C为31千米的公路B上有一人正沿公路向A城走去,走了20千米之后,到达D处,此时C、D之间的距离为21千米,试问此人还要走几千米可到达A城?
C 0
0
一、可以转化正弦余弦定理的问题
例1在△ABC中,若9a2+9b2=19c2,求
分析:通过将P化简,就可以结合正弦定理、余弦定理求解.
正弦定理、余弦定理有,,,代入P中，得到
又由已知有,代入上式得到
评注:对于某些三角问题,通过观察是需要找出边和角之间的关系,则不妨尝试采用三角形的方法,再用正弦定理和余弦定理,得出新颖而简捷的解法.
变式题:在△ABC中,如果
答案:，则，所以，所以
二、可以构造成正弦余弦定理的问题
例2求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.
分析:注意到该三角函数式与余弦定理形式相似,可以构造三角形来解决.
解:sin220°+cos250°+sin20°sin40°的结构与三角形中的余弦定理形式相似,通过构造一个内角分别为20°,40°,120°的三角形,且使其外接圆的半径为1,那么由正弦定理知道这个三角形的三边分别为sin20°,sin40°,sin120°,再由余弦定理有sin2120°=sin220°+sin240。-2sin20°sin40。.cosl20°，从而sin220。+cos250°+sin20°cos50°=
评注:有些三角函数问题,观察其构造形式与三角形中的余弦定理形式相似,则这时也尝试通过利用正弦定理和余弦定理进行解决问题.
变式题:求值:sin285°+sin280°-2sin85°sin80°sin75°.
答案:在△ABC中,设∠A=85°,∠B=80°,∠C=15°,外接圆半径为R,
三、可以通过变形为正弦余弦定理的问题
例3已知α、β、γ都是锐角,且满足sin2求α+β+γ的值.
分析:该题同样也通过构造来解决.
解:已知等式变形为
上式与余弦定理类似,通过构造△ABC,使
根据正弦定理有,
而C>90°,α、β都是锐角,那么A、B、、都是锐角,则,,故A+B+C=
评注:注意到三角函数式的形式类似于余弦定理,则可以通过构造三角形,并结合正弦定理解决.
变式题:在任意一个△ABC中,求证:a(sinB-sinC)+b(sinC-siiL4)+c(sinA-sinB)=0.
答案：左式=2/?sirb4(sinB-sinC)+2RsinB(sinC-sinA)+2/fsinC(sinA-sin8)=2R[sinAsinB-sinAsinC+sinfisinC-sinBsinA+sinCsinA-sinCsinB]=0.
四、可利用正余弦定理解决的函数问题
例4在平面上有A、B、P、Q四个点,A、B为定点,,P、Q为动点,且AP=PQ=QB=1,记△ABP与△PQB的面积分别为S、T;(1)求S2+T2的取值范围;(2)当S2+T2取最大值时,判断△APB的形状.
分析:本题主要通过余弦定理来研究函数知识,已知条件中有两个三角形的面积,应该想办法把两个三角形联系起来,可以分别在△APB与△PQB中由余弦定理得出PB的关系解决.
解:(1)在△ABP与△PQB中,由余弦定理可以得到:PB2=AB2+AP2-2AB·APcosA
PB2=BQ2+PQ2-2BQ•PQcosQ=1+1-2cosQ=2-2cosQ,
所以,即,
所以
因为-1
所以S2+T2的取值范围是;
(2)由(1)可以知道当时,S2+T2的最大值为,此时,所以,故当S2+T2取最大值时,△APB是等腰三角形.
点评:此题的关键是想办法建立两个三角形之间的关系,从而得出函数S2+T2的表达式,利用函数知识求解.
练习:若△ABC的三边长为a、b、c,且f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2,判断f(x)的图象与x轴的位置关系.
[关键词] 正弦定理；余弦定理；解三角形；教学规律
普通高中课程标准实验教科书《数学5·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）（以下简称《必修5》）第2～4页讲述了“正弦定理”，接着在第5～10页讲述了“余弦定理”.
《必修5》是这样引入和讲授正弦定理的：
在△ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c.
先由直角△ABC中，可不妨设C=90°，由边角关系可得==①.
在锐角△ABC中，如图1所示，可得AB边上的高CD=asinB=bsinA，所以=.
进而可得①式在锐角△ABC中也是成立的.
在钝角△ABC中，可不妨设C>90°，如图2所示，设AC边上的高为BD. 可得BD=asin（π-∠BCA）=asin∠BCA，BD=csinA，所以=.
进而可得①式在钝角△ABC中也是成立的.
所以在任意的△ABC中，均有①式成立.①式就是正弦定理.
用正弦定理解三角形，可以解决“角角边”“角边角”“边边角”这三类问题，其中困难的问题是“边边角”问题（已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形），这类问题也是所有解三角形中最困难的问题，因为它面临多解的判断.
《必修5》第4页的例2就是“边边角”问题，解法是用计算器近似求解的. 如果不用计算器求解（而考试时都不能使用计算器），确实难度很大.
例：在△ABC中，a=8，b=7，B=60°，求c.
解：由正弦定理==，可得==. 可得sinA=.
（1）當A是锐角时，满足A+B<180°，即此时满足题意.
可得cosA=，sin（A+60°）=·+·=，再得c=5.
（2）当A是钝角时，可得sinA>sin120°
即>
，所以钝角A<120°，满足A+B<180°，即此时也满足题意.
可得cosA=-，sin（A+60°）=·-·=，再得c=3.
所以c=3或5.
《必修5》是这样引入和讲授余弦定理的：
在△ABC中，若a，b，C确定，则由三角形全等的判定公理“边角边”可知，△ABC的大小和形状都是确定的，所以c的大小也是确定的.那么，如何确定c的大小呢？
接下来，用向量方法可以简洁证得余弦定理：将向量等式=-两边平方即可得余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.
接下来，易得其推论cosA=.
分别直接用余弦定理及其推论，可以解决“边角边”“边边边”这两类解三角形问题.
实际上，用余弦定理解“边边角”问题也很简洁：
例的另解：由余弦定理b2=c2+a2-2accosB，可得49=c2+64-8c，得c=3或5.
比较以上例题的两种解法可知，用余弦定理的解法比用正弦定理的解法简洁得多.
教师在讲授正弦定理时，总是要讲述下面的两个伴随结论：
（1）S△ABC=absinC（见《必修5》第16页例7上方的论述）；
（2）===2R（R是△ABC的外接圆半径）（见《必修5》第10页B组第1题）.
所以教师在讲授及学生学习正弦定理时，一定比余弦定理的难度大很多. 我们在学习知识时，应遵循“从简单到复杂”的基本规律，所以建议先讲授余弦定理再讲授正弦定理. 教材编排时也应注意这一点，不能说普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第2版）（以下简称《必修4》）第12页先介绍正弦后介绍余弦，我们在解三角形时就先学习正弦定理后学习余弦定理.
另外，由《必修4》第12页的叙述可知，正弦、余弦、正切都是三角函数. 由此可知，“三角函数”与“三角函数值”是有区别的（前者是“函数”，而后者是“函数值”），所以“正弦”与“正弦值”，“余弦”与“余弦值”，“正切”与“正切值”也都是有区别的. 比如，我们应当说“30°的正弦值”，不能说“30°的正弦”；可以说“任意角的三角函数”，也可以说“任意角的三角函数值”，但两者的意义不一样：任意角的正弦的值域是[-1，1]，任意角的正弦值在闭区间[-1，1]上.
“正弦函数”“余弦函数”“正切函数”应分别改为“正弦”“余弦”“正切”，因为“正弦”“余弦”“正切”本身就是函数，所以“正弦函数”“余弦函数”“正切函数”均是重复的说法，也是错误的！
所以正弦定理、余弦定理的说法都是错误的，应分别改为正弦值定理、余弦值定理.
在△ABC中，求证：
(1)a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C;
(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).
证明：(1)根据正弦定理，可设
asinA=bsinB= csinC= k，
显然 k≠0，所以
左边=a2+b2c2=k2sin2A+k2sin2Bk2sin2C=sin2A+sin2Bsin2C=右边.
(2)根据余弦定理，得
右边=2(bcb2+c2-a22bc+cac2+a2-b22ca+aba2+b2-c22ab)
=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)
=a2+b2+c2=左边.
知能训练
1.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a、b、c.若△ABC的面积S=c2-(a-b)2，则tanC2等于( )
A.12 B.14 C.18 D.1
2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足4sin2A+C2-cos2B=72.
(1)求角B的度数;
(2)若b=3，a+c=3，且a>c，求a、c的值.
答案：
1.B 解析：由余弦定理及面积公式，得
S=c2-a2-b2+2ab=-2abcosC+2ab=12absinC，
∴1-cosCsinC=14.
∴tanC2=1-cosCsinC=14.
2.解：(1)由题意，知4cos2B-4cosB+1=0，∴cosB=12.
∵0
(2)由余弦定理，知3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=9-3ac，
∴ac=2.①
又∵a+c=3，②
解①②联立的方程组，得a=2，c=1或a=1，c=2.
∵a>c，∴a=2，c=1.
课堂小结
教师与学生一起回顾本节课我们共同探究的解三角形问题，特别是已知两边及其一边的对角时解的情况，通过例题及变式训练，掌握了三角形中边角互化的问题以及联系其他知识的小综合问题.学到了具体问题具体分析的良好思维习惯.
教师进一步点出，解三角形问题是确定线段 的长度和角度的大小，解三角形需要利用边角关系，三角形中，有六个元素：三条边、三个角;解三角形通常是给出三个独立的条件(元素)，求出其他的元素，如果是特殊的三角形，如直角三角形，两个条件(元素)就够了.正弦定理与余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，正弦定理适用于已知两角一边，求其他要素;余弦定理适用于已知两边和夹角，或者已知三边求其他要素.
作业
课本本节习题1—1B组6、7.
补充作业
1.在△ABC中，若tanAtanB=a2b2，试判断△ABC的形状.
2.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，A=60°，B>C，b、c是方程x2-23x+m=0的两个实数根，△ABC的面积为32，求△ABC的三边长.
解答：1.由tanAtanB=a2b2，得sinA?cosBcosA?sinB=a2b2，
由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，
∴sinA?cosBcosA?sinB=4R2sin2A4R2sin2B.
∴sinA?cosA=sinB?cosB，
即sin2A=sin2B.
∴A+B=90°或A=B，
即△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2.由韦达定理，得bc=m，S△ABC=12bcsinA=12msin60°=34m=32，
∴m=2.
则原方程变为x2-23x+2=0，
解得两根为x=3±1.
又B>C，∴b>c.
故b=3+1，c=3-1.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=6，得a=6.
∴所求三角形的三边长分别为a=6，b=3+1，c=3-1.
设计感想
本教案设计的思路是：通过一些典型 的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法，具体解三角形时，所选例题突出了函数与方程的思想，将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系.
本教案的设计注重了一题多解的训练，如例4给出了两种解法，目的是让学生对换个角度看问题有所感悟，使学生经常自觉地从一个思维过程转换到另一个思维过程，逐步培养出创新意识.换一个角度看问题，变通一下，也许会有意想不到的效果.
备课资料
一、正弦定理、余弦定理课外探究
1.正、余弦定理的边角互换功能
对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它，其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决.
【例1】 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sinAsinB=32，求a+bb的值.
解：∵asinA=bsinB，∴sinAsinB=ab.又sinAsinB=32(这是角的关系)，
∴ab=32(这是边的关系).于是，由合比定理，得a+bb=3+22=52.
【例2】 已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且2b=a+c.
求证：sinA+sinC=2sinB.
证明：∵a+c=2b(这是边的关系)，①
又asinA=bsinB=csinC，∴a=bsinAsinB，②
c=bsinCsinB.③
将②③代入①，得bsinAsinB+bsinCsinB=2b.整理，得sinA+sinC=2sinB(这是角的关系).
2.正、余弦定理的巧用
某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：
【例3】 求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值.
解：原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°，
∵20°+10°+150°=180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角.
设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理，得a2+b2-2abcos150°=c2.(_
而由正弦定理，知a=2Rsin20°，b=2Rsin10°，c=2Rsin150°，代入(_式，得sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=14.∴原式=14.
二、备用习题
1.在△ABC中，已知a=11，b=20，A=130°，则此三角形( )
A.无解 B.只有一解
C.有两解 D.解的个数不确定
2.△ABC中，已知(a+c)(a-c)=b2+bc，则A等于( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.△ABC中，若acosB=bcosA，则该三角形一定是( )
A.等腰三角形但不是直角三角形
B.直角三角形但不是等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
4.△ABC中，tanA?tanB<1，则该三角形一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上都有可能
5.在△ABC中，若∠B=30°，AB=23，AC=2，则△ABC的面积是__________.
6.在△ABC中，已知A=120°，b=3，c=5，求：
(1)sinBsinC;
(2)sinB+sinC.
7.在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且cos〈AB→，AC→〉=14.
(1)求sin2B+C2+cos2A的值;
(2)若a=4，b+c=6，且b
参考答案：
1.A 解析：∵a90°，因此无解.
2.C 解析：由已知，得a2-c2=b2+bc，∴b2+c2-a2=-bc.
由余弦定理，得
cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12.
∴A=120°.
3.D 解析：由已知条件结合正弦定理，得
sinAcosB=sinBcosA，即sinA?cosA=sinB?cosB，
∴sin2A=sin2B.
∴2A=2B或2A=180°-2B，
即A=B或A+B= 90°.
因此三角形为等腰三角形或直角三角形.
4.B 解析：由已知条件，得sinAcosA?sinBcosB<1，即cos?A+B?cosA?cosB>0，cosCcosAcosB<0.
说明cosA，cosB，cosC中有且只有一个为负.
因此三角形为钝角三角形.
5.23或3 解析：由ACsin30°=ABsinC，知sinC=32.
若∠C=60°，则△ABC是直角三角形，S△ABC=12AB×AC=23.
若∠C=120°，则∠A=30°，S△ABC=12AC×AB?sin30°=3.
6.解法一：(1)∵b=3，c=5，A=120°，
∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5×(-12)=49.∴a=7.
由正弦定理，得sinB=bsinAa=3×327=3314，sinC=csinAa=5314，
∴sinBsinC=45196.
(2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437.
解法二：(1)由余弦定理，得a=7，
由正弦定理a=2RsinA，得R=a2sinA=733，
∴sinB=b2R=32×733=3314，sinC=c2R=5314.
∴sinBsinC=45196.
(2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437.
7.解：(1)sin2B+C2+cos2A=12[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)=12(1+cosA)+(2cos2A-1)=12(1+14)+(18-1)=-14.
(2)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径）
正弦定理(Sine theorem)
（1）已知三角形的两角与一边，解三角形
（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形
（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
证明
步骤1
在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中,b/sinB=c/sinC
步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠ACB.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
余弦定理的证明：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
正余弦定理及其应用的重点内容为正弦、余弦定理及三角形面积公式，是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.本讲内容主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，也可能会涉及立体几何的空间角以及解析几何中的有关角等问题.对考生的运算能力，逻辑推理能力，对数形结合，函数与方程的思想，分类与整合的思想，转化与化归等重要数学思想进行了重点考查.选择题、填空题考查1～2题（分值5～10），位置应该比较靠前，以考查用正、余弦定理解三角形为主，题型基础，难度不大，容易得分；解答题1题（分值10～12），在16～17题位置，主要考查与函数结合，实现角边互化，或利用以解决实际问题（测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，计算面积问题等），难度中等.
命题特点
1.基础题型一般是考查直接用正余弦定理解斜三角形.正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其它边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况（2）中结果可能有一解、两解或无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角求第三边和其它两角；（2）已知三边，求各角.这类型题题型稳定，得分较易.
2.中档题型一般是考查正余弦定理与三角函数的综合应用，这类题重点是正余弦定理，侧重点还是三角函数的转化，最后落脚点是三角函数的相关知识，如：三角函数的周期性、对称性、单调性、最值等.题型较活，要求学生活中求稳，利用扎实的基本功解决问题.
3.中难档题多数是与代数、三角、立体几何、解析几何中的知识点进行结合命题，具有较强的灵活性，对学生的运算能力，逻辑推理能力，数形结合的思想，函数与方程的思想，分类与整合的思想要求较高，该题型既新又活，能很好的区分学生的能力层次.
备考指南
1.利用正余弦定理解三角形是重点题型，解题时有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化.所以需要学生熟记正余弦定理的形式及其各种变式，并熟练转化.
2. 与代数、三角、立体几何、解析几何中的知识点进行结合命题，具有较强的灵活性，备受命题者的青睐.这种题型灵活性强，涉及知识面广，正余弦定理是解决整个题目的基本工具，备考时多注意与相关知识的衔接.
限时训练
1.在锐角中[△ABC]，角[A，B]所对的边长分别为[a，b].若[2asinB=b3]，则角[A]等于 （ ）
A.[π12] B.[π6]
C.[π4] D.[π3]
2.在[△ABC]中，若[sinCsinA=3，b2-a2=52ac]，则[cosB]的值为 （ ）
A.[13] B.[12]
C.[15] D.[14]
3.在[△ABC]中，[a=3，b=5]，[sinA=13]，则[sinB=] （ ）
A.[15] B.[59]
C.[53] D.[1]
4.在[△ABC]中，[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，若[acosC，bcosB，ccosA]成等差数列，则[B]= （ ）
A. [π6] B. [π4]
C. [π3] D. [2π3]
5.在[△ABC]中，[a2=b2+c2+bc]，则[A]等于 （ ）
A.60° B.120°
C.30° D.150°
6.在[△ABC]中，内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，]c，且[2c2=2a2+2b2+ab]，则[△ABC]是 （ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等边三角形
7.在[△ABC]中，[a，b，c]分别为角[A，B，C]所对的边，[a，b，c]成等差数列，且[a=2c]，[S△ABC=3154]，则[b]的值为 （ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
8.在等腰直角三角形[ABC]中，[AB=AC=4]，点[P]是边[AB]上异于[A，B]的一点，光线从点[P]出发，经[BC]，[CA]发射后又回到原点[P]（如图）.若光线[QR]经过[△ABC]的重心，则[AP]等于 （ ）
A.2 B.1
C. [83] D. [43]
9.对于下列命题，其中正确命题的个数是 （ ）
①在[△ABC]中，若[cos2A=cos2B]，则[△ABC]为等腰三角形；
②在[△ABC]中，角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，若[a=2，b=5，A=π6]，则[△ABC]有两组解；
③设[a=sin2014π3，b=cos2014π3，c=tan2014π3]，则[a ④将函数[y=2sin（3x+π6）]的图象向左平移[π6]个单位，得到函数[y=2cos（3x+π6）]的图象. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10.如图，半径为2的半圆有一内接梯形[ABCD]，它的下底[AB]是[⊙O]的直径，上底[CD]的端点在圆周上.若双曲线以[A，B]为焦点，且过[C，D]两点，则当梯形[ABCD]的周长最大时，双曲线的实轴长为 （ ） A. [3+1] B. 2[3+2] C. [3-1] D. 2[3-2] nlc202309032007 11. 在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为[30°]，由此点向塔沿直线行走[20]米，测得塔顶的仰角为[45°]，则塔高是__________米. 12. 已知[P]为三角形[ABC]内部任一点（不包括边界），且满足[PB-PA?PB+PA-2PC=0]，则[△ABC]的形状一定为___________. 13. 已知正方体[ABCD-A1B1C1D1]棱长为1，点[M]是[BC1]的中点，[P]是[BB1]一动点，则[（AP+MP）2]的最小值为___________. 14.设函数[f（x）=ax+bx-cx]其中[c>a>0，c>b>0].若[a，b，c]是[△ABC]的三条边长，则下列结论正确的是_________.（写出所有正确结论的序号） ①[?x∈（-∞，1），f（x）>0]； ②[?x∈R]，使[ax，bx，cx]不能构成一个三角形的三条边长； ③若[△ABC]为钝角三角形，则[?x∈（1，2）]，使[f（x）=0]. 15.在[△ABC]中，角[A，B，C]所对的边分别是[a，b，c]，已知[csinA=3acosC]. （1）求[C]； （2）若[c=7]，且[sinC+sin（B-A）=3sin2A]，求[△ABC]的面积. 16.已知向量[a=（12，12sinx+32cosx）]，[b=（1，y）]，[a∥b]，且有函数[y=f（x）]. （1）求函数[y=f（x）]的周期； （2）已知锐角[△ABC]的三个内角分别为[A，B，C]，若有[f（A-π3）=3]，边[BC=7]，[sinB=217]，求[AC]的长及[△ABC]的面积. 17.已知[a，b，c]分别为[△ABC]三个内角[A，B，C]的对边，[A]为[B，C]的等差中项. （1）求[A]； （2）若[a=2]，[△ABC]的面积为[3]，求[b，c]的值. 18.如图，海上有[A，B]两个小岛相距10km，船[O]将保持观望[A]岛和[B]岛所成的视角为60°，现从船[O]上派下一只小艇沿[BO]方向驶至[C]处进行作业，且[OC=BO].设[AC=xkm]. （1）用[x]分别表示[OA2+OB2]和[OA?OB]，并求出[x]的取值范围； （2）晚上小艇在[C]处发出一道强烈的光线照射[A]岛，[B]岛至光线[CA]的距离为[BD]，求[BD]的最大值. 期中考试中有这样一道试题:某观测站C在城A的南偏西20°的方向上, 由A城出发有一条公路, 其走向是南偏东40°, 在距C处为31千米的公路上B处, 有一人正沿公路向A城走去, 走了20千米后, 到达D处, 此时C、D间距离为21千米, 问:这人还需走多少千米到达A城? 学生有这样两种解法: 解法一 设AD=x.由题意得BC=31, DB=20, CD=21, ∠CAD=60°. 在△BCD中, 由余弦定理, 得 在△ABC中, 由正弦定理, 得 在△ACD中, 由余弦定理, 得 整理得x2-24x+135=0, 解得x=15或9. 解法二 在△BCD中, 由余弦定理, 得 在△ABC中, 两种方法得出的结果不同, 比较解题过程:第一种方法最后用余弦定理得出解为9和15;第二种方法最后用正弦定理得出解为15.这就产生了疑问:一个具体的题目用正弦定理解题和用余弦定理解题得出的结果不统一吗?事实上, 两种解法最后都是已知三角形两边及一边的对角来解三角形.从平时做题中我们可以总结出:已知三角形两边及一边的对角解三角形, 用正弦定理和用余弦定理得出的结果是统一的.下面就来论证在“解三角形”这一章内容中, 已知两边及一边的对角解三角形, 用正弦定理解题和用余弦定理解题得出的结果是统一的. 在△ABC中, 已知a, b, A, 三角形解的情况如下: 1.若A是锐角 2.若A是钝角 这是对a, b, A之间满足一定关系△ABC解的情况, 下面从方程的解的角度来论证用余弦定理解三角形, 解的情况是和上面相吻合的. 由余弦定理, 得a2=b2+c2-2bccosA, 整理得, 关于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0的判别式为Δ=4b2cos2A-4b2+4a2=4a2-4b2sin2A. 1.若A是锐角 (1) a<bsinA时, Δ=4a2-4b2sin2A<0, ∴方程无解, 即△ABC无解. (2) a=bsinA时, Δ=4a2-4b2sin2A=0, ∴方程有两个相等的实数根. ∵x1+x2=2bcosA>0, 又∵x1x2=b2-a2>0, ∴方程有两相等正根, 即△ABC有一解. (3) bsinA<a<b时, Δ=4a2-4b2sin2A>0, ∴方程有两个不相等的实数根. ∵x1+x2=2bcosA>0, 又∵x1x2=b2-a2>0, ∴方程有两不相等正根, 即△ABC有两解. (4) a≥b时, Δ=4a2-4b2sin2A>0, ∴方程有两个不相等的实数根. ∵x1+x2=2bcosA>0, 又∵x1x2=b2-a2<0, ∴方程有一正、一负根, 即△ABC有一解. 2.若A是钝角 (1) a<bsinA时, Δ=4a2-4b2sin2A<0, ∴方程无解, 即△ABC无解. (2) a=bsinA时, Δ=4a2-4b2sin2A=0, ∴方程有两个相等的实数根. ∵x1+x2=2bcosA<0, 又∵x1x2=b2-a2>0, ∴方程有两相等负根, 即△ABC无解. (3) bsinA<a<b时, Δ=4a2-4b2sin2A>0, ∴方程有两个不相等的实数根. ∵x1+x2=2bcosA<0, 又∵x1x2=b2-a2>0, ∴方程有两不相等负根, 即△ABC无解. 综合 (1) (2) (3) , 当a≤b时, △ABC无解. (4) a>b时, Δ=4a2-4b2sin2A>0, ∴方程有两个不相等的实数根. ∵x1+x2=2bcosA<0, 又∵x1x2=b2-a2<0, ∴方程有一正、一负根, 即△ABC有一解. 由上面的论证可知, 如果已知三角形两边及一边的对角来解三角形, 用正弦定理和余弦定理的结论是统一的. 事实上, 对于已知三角形两边及一边的对角来解三角形这一类问题, 在没有任何附加条件的情况下, 用正弦定理解题过程中必须讨论角的情况, 而用余弦定理则不需要, 这样用余弦定理解题就比用正弦定理解题少了讨论角的情况这一步. 【余弦定理教学教案】推荐阅读： 正弦余弦定理教案11-01 正余弦定理练习11-02 余弦定理说课稿07-03 余弦定理练习题11-05 正余弦定理说课稿免费07-08 数学教案－正余弦函数的图象12-07 正弦函数余弦函数的图象 河南省优质课教学设计(陈琦)11-25 动能定理教案大学09-26 勾股定理教案教案10-29 勾股定理教案一06-25余弦定理教学教案 篇12
